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TutorialMT-m3

Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio

Función cuadrática

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Función Cuadrática

Marco Teórico 1. Función cuadrática:

Está representada por: y = ax2 + bx + c ó f(x) = ax2 + bx + c

Su representación gráfica es una parábola.

1.1 Análisis de sus coeficientes:

• a : concavidad de la parábola.

a>0

a<0

Si a> 0 , la parábola va hacia arriba. Si a< 0, la parábola va hacia abajo.

• c : punto de intersección de la parábola con el eje y.

1.2 Eje de simetría y vértice de la parábola:

Eje de simetría: x = -b2a

Vértice: V = ( -b2a

, f ( -b2a ))

El vértice nos permite determinar los mínimos y máximos de la parábola.

Si a > 0, la parábola es abierta hacia arriba ⇒ existe mínimo.Si a < 0, la parábola es abierta hacia abajo ⇒ existe máximo.

1.3 Puntos de intersección de la parábola con el eje x:

Utilizamos: Discriminante: ∆ = b2 - 4ac

a) Si ∆ > 0 ⇒ la parábola intersecta al eje x en 2 puntos.b) Si ∆ = 0 ⇒ la parábola intersecta al eje x en 1 punto.c) Si ∆ < 0 ⇒ la parábola no intersecta al eje x.

1.4 Ecuación cuadrática: se obtiene al determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x, haciendo y = 0.

Como: y = ax2 + bx + c (Reemplazando y) 0 = ax2 + bx + c

⇒ ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado con una incógnita, donde el mayor exponente es 2 y por lo tanto tiene 2 soluciones (reales o imaginarias). A las soluciones también se les llama raíces o ceros.





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Para resolvela utilizaremos 2 métodos:

a) Factorización:

Ejemplo: x2 - 2x - 35 = 0 -7 ⋅ 5 = -35 (x - 7)⋅(x + 5) = 0 -7 + 5 = -2

Cuando un producto es 0 ⇒ uno de ellos es 0 ∴ x – 7 = 0 ó x + 5 = 0 (Despejando x) x = 7 ó x = -5

Entonces los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (7,0) y (- 5,0)

b) Fórmula: x = -b ± √b2 - 4ac 2a

(Se utiliza cuando la factorización no es simple)

1.4.1 Tipos de soluciones:

Dependen del valor del discriminante ∆ = b2 - 4ac

a) Si ∆ = 0 ⇒ tiene 2 soluciones reales e iguales (x1 = x2)b) Si ∆ > 0 ⇒ tiene 2 soluciones reales distintas (x1 ≠ x2)c) Si ∆ < 0 ⇒ tiene 2 soluciones imaginarias distintas (x1 ≠ x2)

1.4.2 Propiedades de las raíces:

x1 + x2 = -b a

x1 · x2 = c a

A partir de las soluciones, se puede obtener la ecuación, aplicando las propiedades mencionadas.

Entonces x2 - (x1 + x2) ∙ x + x1 ∙ x2 = 0

O bien (x - x1) ∙ (x - x2) = 0



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Ejercicios

1. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f(x) = ax2 + bx + c , con a > 0, b2 - 4ac < 0, c > 0?

A) B) C)

D) E)

2. A la función f(x) = -x2 - 4x - 4, le corresponde el gráfico:

A)

4

B)

-4

C) 4

D)

-4

E)

4

3. La función graficada corresponde a :

A) f(x) = x2 + x - 6 B) f(x) = -x2 - x + 6

6

2-3x

y

C) f(x) = x2 + 5x - 6 D) f(x) = -x2 - 5x + 6 E) f(x) = -x2 + x + 6





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4. Sea f(x) = x2 + 4x - 32, entonces, el mínimo valor que toma la función es :

A) - 36 B) - 28 C) - 20 D) - 2 E) 2

5. ¿Para qué valor de k, la parábola y = 3x2 + 2x + k intersecta en un punto al eje x?

A) - 13

B) - 3

C) 13

D) 3

E) Ninguno de ellos

6. Dada la siguiente parábola: f(x) = x2 + 5x - 14, ¿en qué puntos intersecta al eje x?

A) (- 7, 0 ) y (- 2, 0 ) B) (- 7, 0 ) y ( 0, - 2 ) C) (- 7, 0 ) y ( 2, 0 ) D) ( 0, - 7 ) y ( 0, - 2 ) E) ( 7, 0 ) y (- 2, 0 )

7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

A) 1 cm y 5 cm B) 2 cm C) 2 cm y 10 cm D) 10 cm E) No existe dicho triángulo

8. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2 es:

A) x2 + 2px + q2 = 0 B) x2 - 2px - q2 = 0 C) x2 - px + q2 = 0 D) x2 - px - q2 = 0 E) x2 - 2px + q2 = 0



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9. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 6x2 - 11x + 3k + 12 = 0 para que una de las raíces sea cero?

A) - 4

B) - 116

C) 0

D) 2

E) 4

10. ¿Qué valor debe tener h en la ecuación x2 + hx - (21 + h) = 0 para que las soluciones sean - 4 y 5 ?

A) - 12

B) - 1

C) 1

D) 2

E) 3

11. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0 para que el producto de las raíces sea 58?

A) - 48 B) - 6 C) 6 D) 48 E) Ninguno de ellos

12. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, entonces, (x1 + 3)(x2 + 3)=

A) - n - 3m + 9 B) - n + 3m - 9 C) n - 3m - 9 D) n + 3m - 9 E) n - 3m + 9





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13. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k carezca de raíces reales, deberá cumplirse que

A) k < - 5 B) k ≤ - 5 C) k ≤ 5 D) k < 5 E) k > 5

14. Determinar la(s) solución(es) de la ecuación √x + √10 -3x = 2

I) x = 2 II) x = 3 III) x = - 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas

15. Dada la función de consumo de combustible respecto de la velocidad C(v) = 80v - 2v2, donde la velocidad se expresa en km/h. Determinar a qué velocidad debe ir el auto, para que el consumo de combustible sea máximo.

A) 20 km/h B) 30 km/h C) 40 km/h D) 50 km/h E) 80 km/h



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Respuestas

Preg. Alternativa1 E2 D3 B4 A5 C6 C7 D8 E9 A10 B11 C12 E13 A14 D15 A

Solucionario1. La alternativa correcta es la letra E)

Como a > 0, entonces la parábola es abierta hacia arriba. ∴ Quedan descartadas las alternativas A) y D) Como b2 - 4ac < 0, entonces la parábola no intersecta al eje x ∴ El gráfico corresponde a la alternativa E)

2. La alternativa correcta es la letra D)

f(x) = -x2 - 4x - 4, entonces a = - 1, b = - 4, c = - 4 Como a < 0, entonces la parábola es abierta hacia abajo. ∴ Quedan descartadas las alternativas A) y E) Como c = - 4, entonces la parábola intersecta al eje y en (0,- 4) ∴ Queda descartada la alternativa C) Entonces nos quedan las alternativas B) y D) Para discriminar entre ambas debemos analizar el eje de simetría.

x = -b2a

(Reemplazando “b” y “a”)

x = -(-4)2 · -1

(Multiplicando y dividiendo signos)





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x = 4-2

(Dividiendo)

x = -2

O sea x es negativo. ∴ El gráfico correspondiente a la función dada es la alternativa D)

3. La alternativa correcta es la letra B)

Según el gráfico, los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (- 3, 0 ) y ( 2, 0 ). Entonces, las soluciones de la ecuación son x1= - 3 y x2 = 2

Aplicando (x - x1) ∙ (x - x2) = 0 (Reemplazando x1 y x2) (x-(- 3)) ⋅ (x- 2) = 0 (Multiplicando signos) (x + 3 ) ⋅ (x - 2 )= 0 (Multiplicando binomios) x2 + x - 6 = 0 / ⋅ - 1 (La parábola es abierta hacia abajo, entonces, a < 0, multiplicamos por – 1) -x2 - x + 6 = 0 (Nos piden la función)

∴ f(x) = -x2 - x + 6

4. La alternativa correcta es la letra A)

En la función: f(x) = x2 + 4x - 32, a = 1, b = 4, c = - 32

Nos piden el mínimo valor que toma la función, eso significa que la parábola es abierta hacia arriba, lo que es efectivo ya que a > 0.

Entonces utilizamos el eje de simetría que es :

x = -b2a

(Reemplazando a y b)

x = -42 · 1

(Simplificando)

x = -2

Entonces el eje de simetría es x = - 2, eso significa que la función evaluada en ese punto es el mínimo.

Evaluando la función para x = - 2

f(- 2) = (-2)2 + 4 ∙ -2 - 32 (Respetando el orden de las operaciones) f(- 2) = 4 – 8 – 36 f(- 2) = - 36

∴ El mínimo valor que toma la función es - 36



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5. La alternativa correcta es la letra C)

En la función : y = 3x2 + 2x + k , a = 3, b = 2, c = k

Para que la parábola intersecte al eje x en 1 punto el discriminante debe ser 0.

∆ = b2 - 4ac b2 - 4ac = 0 (Reemplazando a,b y c) 22 - 4 ∙ 3 ∙ k = 0 (Respetando el orden de las operaciones) 4- 12k = 0 (Despejando k) 4 = 12k

412

= k (Dividiendo)

13

= k

∴ Si k = 13

la parábola intersecta al eje x en 1 punto.


Si f(x) = x2 + 5x - 14, para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x, hacemos y = 0, entonces:

x2 + 5x - 14 = 0 (Resolviendo la ecuación factorizando)

(x ) (x ) = 0 ( 2 números que multiplicados nos dé – 14 y sumados 5)

(x + 7 ) (x – 2 ) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0)

x + 7 = 0 ó x – 2 = 0 (Despejando x)

x1 = - 7 x2 = 2

∴ Los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (- 7, 0 ) y ( 2, 0 )





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Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa, entonces, aplicando Pitágoras:

x2 = (x - 2)2 + (x - 4)2 (Resolviendo cuadrado de binomio)

x2 = x2 - 4x + 4 + x2 - 8x + 16 (Reduciendo términos semejantes)

x2 = 2x2 - 12x + 20 (Igualando a 0)

2x2 - x2 - 12x + 20 = 0 (Reduciendo términos semejantes)

x2 - 12x + 20 = 0 (Resolviendo la ecuación factorizando)

(x ) (x ) = 0 (2 números que multiplicados nos dé 20 y sumados - 12)

(x - 10 ) (x – 2 ) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0)

x - 10 = 0 ó x – 2 = 0 (Despejando x)

x1= 10 x2= 2

En este caso como x es la hipotenusa, debemos analizar los valores.

Si x = 10, los catetos serían 6 y 8 , que corresponden a números pitagóricos.

Si x = 2, los catetos serían 6 y 0, como un cateto no puede ser 0, queda descartada esta solución.

∴ La hipotenusa es 10 cm.

8. La alternativa correcta es la letra E)

x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2

Para formar la ecuación aplicaremos las propiedades de las raíces:

x1 + x2 = -ba

p + √p2 - q2 + p - √p2 - q2 = -ba

(Reduciendo términos semejantes)

2p = -ba

(El denominador de 2p es 1)

x - 2x

x - 4



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⇒ - b = 2p / ⋅ -1 y a = 1 (Dejando b positivo al multiplicar por – 1)

b = - 2p

∴ a = 1, b = - 2p

x1 · x2 = ca

(Reemplazando x1 y x2)

(p + √p2 - q2 ) · (p - √p2 - q2 ) = ca

(Resolviendo la suma por diferencia)

p2 - (p2 - q2) = ca

(Eliminando el paréntesis)

p2 - p2 + q2 = ca

(Reduciendo términos semejantes)

q2 = c

a (El denominador de q2 es 1)

⇒ c = q2 , a =1

Formando la ecuación de segundo grado:

ax2 + bx + c = 0 (Reemplazando a,b y c)

x2 - 2px + q2 = 0

∴ La ecuación cuyas soluciones son x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2 es: x2 - 2px + q2 = 0


Para que una de las raíces sea 0, c = 0, ya que si

ax2 + bx = 0 (Factorizando) x (ax + b) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0) x = 0 ó ax + b = 0

∴ Si c = 0, una de las raíces es 0

Entonces en la ecuación 6x2 - 11x + 3k + 12 = 0

c = 3k + 12 (Reemplazando c por 0)

0 = 3k + 12 (Despejando k)

-12 = 3k





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-123

= k (Dividiendo)

- 4 = k

∴ Para que una de las raíces se anule, k = - 4

10. La alternativa correcta es la letra B)

En la ecuación x2 + hx - (21 + h) = 0, a = 1, b = h, c = - ( 21 + h )

Si las soluciones son - 4 y 5, para determinar el valor de h utilizamos las propiedades de las raíces:

x1 + x2 = -ba

x1 · x2 = ca

Como h está en b y c, utilizamos cualquiera de las 2 propiedades, aplicaremos la suma:

x1 + x2 = -ba

(Reemplazando x1 y x2, a y b)

- 4 + 5 = -h1

(Sumando)

1 = -h / ⋅ - 1 (Dejando h positivo al multiplicar por – 1)

- 1 = h

∴ Para que las soluciones de la ecuación dada sean – 4 y 5 , h = - 1


En la ecuación x2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0, a = 1, b = - (k + 10), c = (10k - 2 )

Como el producto de las raíces es 58, aplicaremos la propiedad de las raíces que se refiere a su producto.

x1 · x2 = ca

(Reemplazando x1 · x2, a y c)

58 = 10k - 21

(Despejando k)

58 + 2 = 10k (Sumando)

60 = 10k

6010

= k (Dividiendo)

6 = k

∴ Para que el producto de la ecuación dada sea 58, k = 6



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12. La alternativa correcta es la letra E)

(x1 + 3)(x2 + 3)= (Multiplicando binomios) x1 · x2 + 3x1 + 3x2 + 9 = (Factorizando) x1 · x2 + 3 (x1 + x2) + 9 =

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, donde a = 1, b = m, c = n, aplicamos las propiedades de las raíces:

x1 + x2 = -ba

(Reemplazando a y b)

x1 + x2 = -m1

⇒ x1 + x2 = -m

x1 · x2 = ca

(Reemplazando a y c)

x1 · x2 = n1

⇒ x1 + x2 = n

Entonces:

x1 · x2 + 3 (x1 + x2) + 9 = (Reemplazando x1 · x2 y x1 + x2 )

n + 3 ⋅ - m + 9 = (Multiplicando)

n – 3m + 9

∴ (x1 + 3)(x2 + 3) = n – 3m + 9


Para que la ecuación 5x(x + 2) = k carezca de raíces reales, el discriminante debe ser menor que 0, entonces:

∆ = b2 - 4ac ⇒ b2 - 4ac < 0

5x(x + 2) = k (Distribuyendo)

5x2 + 10x = k (Igualando a 0)

5x2 + 10x - k = 0, donde a = 5, b = 10, c = - k

b2 - 4ac < 0 (Reemplazando a,b y c)

102 - 4 ∙ 5 ∙ -k < 0 (Respetando el orden de las operaciones)





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100 + 20k < 0 (Despejando k)

20k < - 100

k < -10020

k < - 5

∴ Para que la ecuación 5x(x + 2) = k carezca de raíces reales, k < - 5


√x + √10 -3x = 2 /()2 (Elevando al cuadrado para eliminar la raíz)

x + √10 -3x = 4 (Despejando la raíz)

√10 -3x = 4 - x / ()2 (Elevando al cuadrado para eliminar la raíz)

10 -3x = (4 - x)2 (Desarrollando el cuadrado de binomio)

10 -3x = 16 - 8x + x2 (Igualando a 0)

0 = x2 - 8x + 16 + 3x - 10 (Reduciendo términos semejantes)

x2 - 5x + 6 = 0 (Factorizando)

(x - 2)( x - 3) = 0 ⇒

x - 2 = 0 x - 3 = 0

x1 = 2 x2 = 3

Como la ecuación de segundo grado es un instrumento para resolver la ecuación

√x + √10 -3x = 2, debemos reemplazar ambas soluciones en la ecuación original, la que satisfaga la ecuación, será solución de ella.

√x + √10 -3x = 2 (Reemplazando x1)

√2 +√10 -3 ⋅ 2 = 2 (Multiplicando)

√2 + √10 -6 = 2 (Restando)



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√2 + √4 = 2 (Extrayendo √4 )

√2 + 2 = 2 (Sumando)

√4 = 2 (Extrayendo √4 )

2 = 2

Se cumple la igualdad, por lo tanto, x1 = 2 es solución.

√x + √10 -3x = 2 (Reemplazando x2)

√3 +√10 -3 ⋅ 3 = 2 (Multiplicando)

√3 + √10 - 9 = 2 (Restando)

√3 + √1 = 2 (Extrayendo √1 )

√3 + 1 = 2 (Sumando)

√4 = 2 (Extrayendo √4 )

2 = 2

Se cumple la igualdad, por lo tanto, x2 = 3 es solución.

∴ I y II son soluciones de la ecuación √x + √10 -3x = 2


Dada la función: C(v) = 80v - 2v2, donde C(v): consumo de combustible y v: velocidad

Como nos piden máximo y la función corresponde a una parábola, eso significa que a < 0 (lo que es efectivo, ya que a = - 2) , o sea, es abierta hacia abajo.

Para encontrar el máximo, utilizamos el eje de simetría:

x = -b2a

(Reemplazando a = -2, b = 80)

x = -802 · -2

(Multiplicando)





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x = -80-4

(Dividiendo)

x = 20

Entonces, cuando x = 20 , la función toma el valor máximo, como en este caso la función es consumo de combustible, eso significa que cuando la velocidad sea 20 km/h, el consumo de combustile va a ser máximo.

∴ Para que el consumo de combustible sea máximo, la velocidad debe ser 20 km/h.



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