1

MATEMATİK VE BAZI UYGULAMAALANLARI

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

isiap@yildiz.edu.tr

Yıldız Teknik Üniversitesi

Matematik Bölümü

PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYIÇANAKKALE – OCAK, 2014

2

SUNUM AKIŞI

� Bilim, Teknoloji ve Matematik nedir?

� Uygulamalı ve Soyut Matematik Nedir?

� Matematik ve Görüntü İşleme

� Ağlar

� Matematik ve Hata Düzelten Kodlar

� Matematik ve Şifreleme

� Matematik ve Tıp Teknolojisi

� Sorular

3

Bilim, Matematik ve Teknoloji

� BİLİM: Gözlem, tanımlama, benzerlikler ve örüntüler yardımıyla çevremizdeki doğal olayları araştırmaktır.

� MATEMATİK: Örüntüleri, düzen ve niceliklerin özelliklerini, ölçümlerini ve ilişkilerini araştıran bilim dalıdır.

� TEKNOLOJİ: Bilgi üretimi ve uygulaması ile problemleri çözen sistemler üretilerek yeniliklerin uygulanmasıdır.

GÖZLEM

MATEMATİKSELMODELLEME

TEKNOLOJİ

5

Aralarındaki ilişki nedir?

BİLİM: Doğayı anlamaya yardımcı olur.

BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Şubat 2010 -TUSSİDE

MATEMATİK: Ölçme, tahminde bulunma, modelleme, bağıntılar ile ifade ...

TEKNOLOJİ: istek ve ihtiyaçlarımızı karşılamak için gerekli yazılım, donanım ve sistemleri sağlar.

Bir göle bırakılan radyoaktif bir maddenin zamanla göl içinde azaldığıgözlemlenir. Bu azalmanın ilk anda bırakılan madde miktarı ve maddeninözelliğine bağlı olarak maddenin değişen miktarı ile ilgili olduğu belirlenir.

t: zaman ise M(t): t anındaki madde miktarı;

0M

dMkM

dt= −

: Başlangıçtaki madde miktarı;

( ) 0ktM t M e−=

Komplike denklemlerin sayısal çözümleri için bilgisayarlar

6

Matematik, Bilim ve Teknoloji arasındaki ilişki:

�Bilim teknoloji için bilgi kaynağı sağlar.

�Matematik hem bilim hem de teknoloji için bir araçtır.

�Teknoloji bilim için araç ve malzeme sağlar.

MATEMATİK VE BAZI ALANLAR7

MATEMATİKEKONOMİ

Toplumda ve Teknolojide Matematik8

Problem/Uygulama Matematiğin Katkısı

MRI veCAT Görüntüleme Integral dönüşümleri, geometri

Đnternet: arama motorları, sıkıştırma Graf (Çizge) Teorisi, Lineer Cebir, dalgacıklar (wavelets)

Finans Olanaklarını Değerlendirme Black-Scholes modeli ve Monte Carlo simülasyonu

Uydu ve Benzeri Görüntü Alma Görüntü işleme, veri derleme

Güvenlik ve Emniyet Sayılar Teorisi, Şifreleme, Kombinatörik

Atmosfer ve Okyanusları Modelleme Dalgacıklar, istatistik, sayısal analiz

Đnsan Genlerin Analizi Veri madenciliği, örüntü tanıma, algoritmalar

Đlaç tasarımı Veri madenciliği, istatistik, optimizasyon

Dijital Eğlence, Animasyon Görüntü işleme, geometrik ve grafik algoritmalar

Aeordinamik Tasarım Diferensiyel denklemler, optimizasyon

Deprem Analizi ve Tahminler Đstatistik, dinamik sistemler

9

MATEMATİK

�Uygulamalı Matematik: Çevremizdeki doğal olayları modelleme ve bu modellerin özelliklerini inceleme ile ilgilenir.

� Soyut Matematik: Aksiyomlar ile belirlenmiş kümeler üzerindeki yapıları inceleme ile ilgilenir.

10

Matematik ve Teknolojik Uygulamaları

DNA ve Matematik

Üzerinde Durulacak Ana Başlıklar

Dijital Bilgi depolama ve aktarımı

Görüntü işleme

Kodlar- Hata Düzelten Kodlar

Şifreleme

X ışını –Tomografi ve Radon Dönüşümü

11

DİJİTAL GÖRÜNTÜLER

MATRİSLER OLARAK DİJİTAL GÖRÜNTÜLER12

Matris –Sıralı Dikdörtgensel

Sayılar

13

GÖRÜNTÜ İŞLEME

� Hırsız banka soyar

Araba ile kaçar

Polis tarafından takip edilir.

İyi Haber: Arabanın plakasının fotoğrafı çekilir.

Kötü Haber: Fotoğraf net değildir!

14

Görüntü işleme

Fotoğraf-Plaka

Bozulmuş Fotoğraf

15

Problemin Çözümü

Fotoğraf

f(x)

Etki eden

g(x)

Bozulmuş Foto

h(x) = f(x)*g(x)

Matematik yardımıyla bozulmaya neden olan g(x) fonksiyonu hesaplanarak, fotoğraftaki hata düzeltilebilir!

16

Görüntü işlendikten sonra:

Plaka okunabiliyor!

17

DİJİTAL FOTOĞRAFLARI DEĞİŞTİRME

2001-Yılın Fotoğrafı-Internette

11 Eylül –Internette servis olan bir fotoğraf

Bu fotoğraflar gerçek mi değil mi ? Nasıl Karar verilir?

18

Şekilleri Belirleme ve Bulma

Yöntem: Kenarları renk farklılıklarından belirleme

– şekli basitleştirerek arananı bulma!

Matris bileşenleri arasındaki keskin farkları belirleme!

19

Belirgin şekilleri öne çıkarma

Matris bileşenlerinde

– belli bir sayının üstündekilere ve

altındakilere değer atama!

20

Fotoğraflar arasındaki farkı belirleme

Matrislerin Farkı!

21

DİJİTAL GÖRÜNTÜLER

� CD

� DVD

� MOBİL İLETİŞİM ARAÇLARI

� TV …

Görüntünün sayısal temsili

22

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 0 1 0

MATRİSLER ve AĞLARDA İLETİŞİM –ULAŞIM

SOSYAL AĞ -1

BaharAli

Duru Cem

A B C D

A

B

C

D

23

AĞLARDA İLETİŞİM – ULAŞIMSOSYAL AĞ -2

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 0 1 0

M=

1 1 1 1

1 1 0 1

0 1 3 0

1 1 0 1

M2=

Soru: M matrisin karesi neyi verir?

Cevap: Kişilerin birbiri ile iletişim yollarının sayısını.

Soru: M matrisin karesi modülo 2 aritmetiğine göre neyi verir?

Cevap: Kişilerin birbiri ile iletişiminin var olup olmamasını.

Araştırma konusu: En kısa yolu bulma problemi.

24

Diğer Uygulamalar

Animasyon- PIXAR

Trigonometri: Hareketler

Cebir: Parlaklık

Analiz: Işıklandırma

100 adet süper bilgisayar-

1/24 saniyelik bir film için 5-6 saat gerekli!

25

CD ve İçindeki Matematik-Hata Düzelten Kodlar

CD

Galois

1sn lik müzik yaklaşık:4 321 800 bit (bit: 0 veya 1)

1 CD dijital formda yaklaşık: 5 km bit!

Yeni bir CD: ortalama

500 000 hata olabilir (van Lint)

26

ÖRNEKLERLE KODLAMA HATA KONTROLÜ VE DÜZELTME

� Örnek 1: International Standard Book Number (ISBN)

9-758-64403-3

� � �

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası

9 - 758 - 64403 - 3���

27

27

( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 mod 119 7 5 8 6 4 4 0 3× + × + × + × + × + × + × + × + × ≡

� � �

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası

9 - 758 - 64403 - 3���

Genel olarak: ISBN No:

5 71 2 3 4 6 8 9 10d d d d d d d d d d− − −

( )510 1 2 3 4

76 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8 9 mod 11

d d d d d d

d d d d

= × + × + × + × + ×

+ × + × + × + ×

10 10d X= =

ISBN kodlaması bir hata tespit edebilir!

28

Ali, Oya’ın güvenli bir şekilde geçebileceği güzergah yönünü aşağıdaki gibi verir:

KKBKKBBGGBBKKKKBBK

C1 = {00, 01, 10, 11}

000001000001011111010100000000010100

{K, B, G, D}

C2 = {000, 011, 101, 110}

C3 = {00000, 01101, 10110, 11011}

1 hata tespit edilebilir.

1 hata düzeltebilir.

29

BİLGİ TRANSFER ŞEMASI

1011

zararlı

etki

1010010

1011010

1011010

1011

Güncel hayatımızda bu şekilde hataları düzeltme örneğimiz var mı?

30

Örnek 4:"KODLAMA“ sözcüğü

Haberleşme-Depolama Kanalın Özellikleri:

0.1y =hatalı sembol ulaşma olasılığı

0.9d =hatasız sembol ulaşma olasılığı.

Kodlamadan önce:

7 0.48d =doğru bilginin ulaşma olasılığı:

Uzaydan Görüntü İletme:

31

Kodlamadan sonra: ( 5 kez tekrar kodu ile)

“KKKKKOOOOODDDDDLLLLLAAAAAMMMMMAAAAA”

doğru harfi dekodlama olasılığı 5 4 3 25 10 0.99d d y d y+ + =

doğru bilginin ulaşma olasılığı! 7(0.99) 0.94=

(Tekrarlı) Kodlama yapmadan önce doğru bilgi ulaşma olasılığı:

Kodlamadan sonra ise;7(0.99) 0.94=

7 0.48d =

32

ŞİFRELEME - KRİPTOGRAFİ

Sade Metin Şifreleme

(Anahtar kullanılır)

Şifrelenmiş

Metin

Çözümleme

DeşifrelemeSade Metin

Gönderen Alıcı

33

II. Dünya savaşında Almanlar tarafından kullanıldı. 1920 den sonra ilk versiyonları

ticaret alanında kullanılmaktaydı.

ENİGMA

34

Simetrik Şifreleme Örneği

Permütasyon Şifrelemesi:

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U

Ü V Y Z

Z A BC

Ç

D

E

F

G

Ğ H İ IJ K LM NO Ö P RSŞ T U

Ü

V Y

A L İ Ğ S D

29! Şifreleme anahtarı mevcuttur.

Deneme yanılma ile çözme bilgisayar desteği ile yıllar alır!

İstatistik işe yarar mı?

35

Simetrik Şifreleme Örneği-2

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Ü V Y Z

25 26 27 28

A 0 00000

B 1 00001

Y 27 11011

Z 28 11100

İkili Sistemde-5 uzunluğunda

36

Simetrik Şifreleme Örneği-2 devamı

ALİ 0000001001001010

Bir paragraf yaklaşık 200 kelime

Yaklaşık 600 karakter (harf)

Anahtar = Gelişigüzel (Keyfi) 0 ve 1 lerden oluşan bi sıralı dizi olsun.

Örneğin: 011001001110010010111000110P..1001

2600 Durum sözkonusu Çok güvenli

Pratik (kullanışlı) değil! Neden?

Anahtar Değişimi Gizli Yapılmalı!

Yer, Zaman, Olanaklar!

37

Asimetrik (Açık) Şifreleme Örneği

dinlemeAyça Kaya

Aralarında herhangi bir gizli ön iletişim yok

38

The Diffie-Hellman (1976) Anahtar Değişimi(Açık Şifreleme Metodu)

� Zq – özel q seçimi yapılır! Ör: Z11={0,1,2,3,4,…,9,10}� q = | Zq |� g –Zq grubun üreteci

Ayça Kaya

x ← Zqgizli

h1 = gx

y ← Zqgizlih2 = gy

çıktı

kA=(h2)xçıktı

kB=(h1)y

gyx gxyEŞİT!

39

Diffie-Hellman Metodun Güvenirliği

h1 = gx h2 = gyG,g

Bilinmekte- Halka Açık!

gyx bilinmiyor?

gyx ?

40

Anahtar Kırmak için gerekli zaman!

Anahtar Uzunluğu(bits)

Olası Anahtar Seçeneklerin sayısı

106 çözümleme/ µshızında gerekli zaman

32 232 = 4.3 x 109 2.15 mili saniye

56 256 = 7.2 x 1016 10 saat

128 2128 = 3.4 x 1038 5.4 x 1018 yıl

168 2168 = 3.7 x 1050 5.9 x 1030 yıl

41

Anahtarı Bulmak için Gerekli Zaman

128 bits AES standardı olarak kullanılmakta (2001’den günümüze.)256 bits ABD Çok Gizli İletişim için kullanılmakta

42

p,q n=pq

de=1 (mod (p-1)(q-1))

p,q ve d gizli

m: mesaj

c =me (mod n)

n ve eyayınlanır

cşifreli metin

m=cd (mod n)

deşifrelenir

RSA

Ahmet Ali

Ali Ahmet’e gizli bir mesaj gönderecek

43

RSA – AÇIK ŞİFRELEME ÖRNEĞİ

� Bu metodun güvenliği bir sayının (yeterince büyük) çarpanlarına ayrılışının güç (zaman alması) üzerine kuruludur.

� 77 nin asal çarpanları?

� 7 ve 11

� 70058167 nin asal çarpanları nedir?

� 8867 ve 7901

44

� Mesaj şifreleme için kullanılacak küçük sayılan bir anahtar örneği:

� 27997833911221327870829467638722601621070446786955428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

� Asal çarpanları nelerdir?

45

Çarpanlara Ayırma – Bir Örnek

N=pq ve

p = 3532461934402770121272604978198464368671197400197625023649303468776121253679 423200058547956528088349

q = 792586995447833303334708584148005968773797585736421996 0734330341455767872818 152135381409304740185467

N= 279978339112213278708294676387226016210704467869 55428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

RSA-200 challenge, 5/9/05 tarihinde çarpanlarına Jens Franke’in ekibi tarafından BonnÜniversitesi (Almanya) da ayrıldı. Ödül 20,000 A.B.D $.

GÖRSEL GİZLİ MESAJLAR

46

Çanakkale’de sonunda bir araya geldik. Anlaşılan çok verimli günlergeçirmek için hep birlikte sabırsızlanıyoruz. Lakin, evlerimizden vesevdiklerimizden uzak olmanın burukluğunu atmak çok zamanalmayacağını önceki çalıştaylar’daki deneyimlerimden söyleyebilirim.Isınabilmek için çeşitli etkinliklerin planlandığını bildiğimden, bu etkinliğinbir aile sıcaklığı içinde geçeceğinden eminim. Şimdilik yazımı kısatutmaya çalışacağım. Türkiye’mizin bu tür etkinliklere çok ihtiyacıolduğunu ve bu ve benzeri etkinliklerde başrol oynayan sayın Prof. Dr.Mehmet AY gibi hocalarımıza teşekkür ediyorum. Ancak bu etkinliklerinverimli ve hedefine ulaşması için sizlerin özverili olacağınızdan daşüphem yok. Yarınlarımızı inşa da önemli rol oynayacak bu etkinliklerinhayırlı olması dileğiyle başarılarP

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

SİZLERE BİR MESAJ

Çanakkale’de sonunda bir araya geldik. Anlaşılan çok verimli günler geçirmekiçin hep birlikte sabırsızlanıyoruz. Lakin, evlerimizden ve sevdiklerimizdenuzak olmanın burukluğunu atmak çok zaman almayacağını öncekiçalıştaylar’daki deneyimlerimden söyleyebilirim. Isınabilmek için çeşitlietkinliklerin planlandığını bildiğimden ve bu etkinlikte bir aile sıcaklığı içindegeçeceğinden eminim. Şimdilik yazımı kısa tutmaya çalışacağım.Türkiye’mizin bu tür etkinliklere çok ihtiyacı olduğunu ve bu ve benzerietkinliklerde başrol oynayan sayın Prof. Dr. Mehmet AY gibi hocalarımızateşekkür ediyorum. Ancak bu etkinliklerin verimli ve hedefine ulaşması içinsizlerin özverili olacağınızdan da şüphem yok. Yarınlarımızı inşa da önemli roloynayacak bu etkinliklerin hayırlı olması dileğiyle başarılarP

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

ŞİFRE: ÇALIŞTAY

49

Dijital Fotoğraflarda Bilgi Saklama(Steganography)

Her bir rengi temsil eden sayı grubunun sonuna iki hane eklenmiştir.

(Şifreleyen kişi bilmektedir!)

Son iki haneler kullanılarak yukarıdaki gizlenmiş resim elde edilir!

U Kasım ayında makas kullanma. U

U Kasım ayında makas kullanma. U Şifre: masa

50 ====++++

Matematik ve TIP Teknolojisi

51

52

CAT = Computerised axial tomography

Roentgen tarafından icat edilen X-Ray tabanlıdır.X-Ray: Gölge!

İYİ Kemik (sert doku) incelemesi

KÖTÜ Yumuşak doku incelemesi

Roentgen’in kendi eli.

Ultrasonografi (1960) Kemik ve katı kısımları görüntüler. Küçük ve yumuşak

dokularda iyi neticeler vermeyebilir.

53

MODERN MATEMATİK İLE DAHA İYİSİ YAPILABİLİR

Modern CAT Tarayıcıları

CAT Tarayıcıları: Çeşitli sayı ve açılarda X – ışınları göndererek elde edilen verileri matematik yardımıyla fotoğrafa çevirirler!

Bilgisayar Tomografisi (1970) 2B – 3Boyutlu görüntü elde edilir. Radon Transformu:

54

X ışının ölçülmesi ile Nesnenin Şeklinin Belirlenmesi

X-Işın Kaynağı

Nesne

Detektör

X

Detektör deki X ışının yoğunluğu nesnenin

kalınlığına bağlıdır.

Kalınlığı ölçebiliyoruz P Şekli çizebilir miyiz?

Yoğunluk

X

55

CAT’ in Çalışması

Kaynak ve Detektörleri hareket ettirerek, Nesnenin gölgeleri farklı açılardan elde edilir ve X-ışın yoğunlukları ölçülür

56

nesne

kaynak

detektör

X-ışınıρ : Nesnenin merkezinden olan uzaklık

θ : X-ışının açısı

X-Işının Sönümü R(ρ, θ) yi hesaplayalım:

57

Nesne

ρ

θ

Nesnenin Radon Transformu!

R(ρ, θ)’nın grafiği

58

Nesne

R(ρ, θ)’nın grafiği

ρ

θ

kenar kenar

kenar kenar

59

R(ρ, θ)’nın hesaplanması

R(ρ, θ)’nin hesaplanması = nesnenin f(x,y) yoğunluk fonksiyonun hesaplanması

•Radon (1917) tarafından Matematik formül keşfedildi

• Bu formülü kullanacak bilgisayar ve

makinaların icatı için 60 yıl geçmesi gerekiyordu!

• Cormack cihazı keşfetti ve Nobel ödülü aldı!

• Radon ödül almadı!

60

Örnekler Kailey Bolles’tan alıntıdır.

Radon Transform (Parlaklık=Yoğunluk)61

62

Gerçek Resim Dönüşümden Sonra

Bir Örnek (MATLAB ile)63

64

Radon Formülü

Radon dönüşümü

Geri Dönüşüm (projeksiyon)

Bir çok farklı uygulamalar:

•X-ışını ve mumyalar

•Isıyı gözlemek

•Uzaktan Algılama P

65

Radon Dönüşümü - Mayınlar

Mayınlar kırsal (orman, vsP) alanlarda yaprak veya benzeri doğal bitkiler ile örtülüdür. Tetikleyici tel gibi tuzaklar gözle kolayca tespit edilememektedir.

66

Tuzak-mayınları tetikleyen tel(ler), nerede?

67

Dijital Foto ile görüntü ve Radon Dönüşümü

••

•

•

x

y

θ

f(x,y)

Radon dönüşümü

ρ

R(ρ,θ)

R(ρ,θ) deki yüksek yoğunluklu noktalar fotoğraftaki tel tuzaklarını göstermektedir!

Noktaları tespit ettikten sonra geri dönüşüm (ters fonksiyon) ile teller tespit edilir!

68

Geri Dönüşüm ile Mayınlar Tespit edilir:

JPEG Fotoları ve Matematik69

Joint Photographic Experts Group (“JPEG”) 1983

Amaç: Dijital fotoğraflarda gözle görülür kaliteden

fazla ödün vermeden daha az bileşen

(tekrarlı) temsil etme

JPEG oluşumu70

Bir Örnek71

8x8 lik orijinal siyah beyaz kare

8x8 lik JPEG ile sıkıştırılmış siyah

beyaz kare

Bütün bir örnek72

Orijinal JPEG hali

DNA VE MATEMATİK73

…ACGTGACTGAGGACCGTG

CGACTGAGACTGACTGGGT

CTAGCTAGACTACGTTTTA

TATATATATACGTCGTCGT

ACTGATGACTAGATTACAG

ACTGATTTAGATACCTGAC

TGATTTTAAAAAAATATT…

DNA DİZİLİMİ E.Coli bakterisi: 5 Milyon Bazı var!

İnsan:1 çekirdek3 Milyar

74DNA Dizilimi (shotgun)

Gelişigüzel kesitler

Bilinen uzaklık Đleri-geri okumalar

~500 bp~500 bp

hedef DNA

DNA Dizilimi75

Hedef DNA: AAATGCG - Üçlü Tüm Durumlar

Kesitlerden-DNA Dizlimi Tek değildir!

Kesitler: ACT, CTA, TAC

Farklı dizimler aynı kesitlere sahip olabilir!

TTT

TTT

TTA

TAC

ACG

CGC

İdeal durum

HEDEF: ……TTTTACGC……

TTT

TTT

TTA

TAC

ACG

CGC

TGA

Hatalı Durum

DNA 1: ACTACDNA 2: TACTA

1958

EULER- Konigsberg Köprüleri (1736)78

Köprülerden en fazla bir kez geçmek koşuluyla tüm köprüleri kullanmak üzere başlangıç noktasına dönecek şekildeki seyahat

yolunu bulma.

EULER- Konigsberg Köprüleri (1736)79

Euler Yaklaşımı80

Hamilton Problemi - NP Zor

� Köprülerden en fazla bir kez geçmek koşuluyla tüm köprüleri kullanmak üzere başlangıç noktasına dönecek şekildeki seyahat yolunu bulma.

� Köprüler Köşe, Yollar Kenar ise: Tüm köşelerden geçmek üzere an az kenar kullanma problemine Hamilton Problemi denir.

81

Euler (1736) bu problemi denk olan: Köprüleri yol, yolları köşe olmak üzere değiştirdi .Soru (Euler Yolu): Her köşeden tam bir kez geçmek üzere tüm köşeleri içeren, başlangıç noktasına dönmek koşuluyla en kısa seyahat!

ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme

� Kesitler:

� {ATAG, TAGG, AGGC, GGCA, GCAG, CAGG, AGGA}

82

AGGA

CAGG

AGGC

GCAG

ATAG

GGCA

TAGG

ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme83

AGGA

CAGG

AGGC

GCAG

ATAG

GGCA

TAGG

ATAG

TAGG

AGGC

GGCA

GCAG

CAGG

AGGA

ATAGGCAGGA

ÇÖZÜM: HAMİLTON YOLU

DNA DİZİMİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR

� Bilinen en iyi uygulamalar:

� Tabu arama algoritması: Blazewicz et al., 2000

� Overlapping windows heuristic: Blazewicz et al., 2002

� SOPAS – Genetik algoritma: Endo, 2004

84

DİZİLİMİ BULMA PROBLEMİ85

İdeal Durum (tekrar ve hata olmaksızın)� Duruma karşılık gelen çizgede Eulerian yol bulma

problemine denktir. (Pevzner, 1989)

� Lineer zamanlı bir algoritma (Fleischner, 1990)

Genel durum: NP-zorluğunda bir problem

DNA İLE ÇALIŞAN BİLGİSAYARLAR86

DNA computers, tomorrow’s realityLila Kari

L.Adleman. Molecular computation of solutions to combinatorial problems.

Science v.266, Nov.1994, 1021– 1024.

L.Adleman. On constructing a molecular computer,ftp: /ftp/pub/csinfo/papers/adleman/molecular computer.ps

87

Matematiğin Diğer Uygulama Alanları

•Modelleme (Doğal olaylar, vs.)•Hızlı Hesaplamalar (Bilgisayar, Animasyon-Filmler, Quantum!)•Yaklaşık Hesaplamalar (Modeller, Hesap

makinaları)•İstatistik ve Olasılık (Bankacılık, Sosyal olaylar,vs.)•Veri Düzenleme (Bilgisayar, vs.)•Optimizasyon (Ulaştırma, internet, vs.)• Kombinatöriyel Matematik, Algoritmalar (DNA)

88

MATEMATİK VAZGEÇİLMEZDİR!

� Matematik alanındaki gelişmeler Teknolojide kullanılacak olan araçların inşası ve geliştirilmesi için olanaklar (denklemlerP) sağlar.

� Dolayısıyla, Matematik Teknolojinin gelişmesi için vazgeçilmez bir araçtır.

GALILEO GALILEI (1600)

DOĞA KİTABI MATEMATİK DİLİYLE YAZILMIŞTIR

Kaynakça

� Kaıley Bolles, Mathematics Of Medical Imaging Inverting The Radon Transform, Bitirme Tezi.

� Image Compression:How Math Led to the JPEG2000 Standard, 2011 Society for Industrial and Applied Mathematics.

89

90

TEŞEKKÜRLER

Sabırla Dinlediğiniz için

Ve

Bu etkinliği organize edende emeği geçenlere

Teşekkürler