Matematiska kompetenser i läromedel1113019/FULLTEXT01.pdfforskning från NCTM Principles and...

Matematiska kompetenser i läromedel En jämförande innehållsanalys av ett digitalt respektive ett tryckt läromedel

Erik Andersson & Anton Hemmingsson

Handledare: Kristina Palm Kaplan

Examinator: Iva Lucic

Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier.

Grundlärarprogrammet, självständigt arbete 2, 15 hp

Sammanfattning

Syftet med denna studie har varit att identifiera samt undersöka i vilken utsträckning matema-

tiska kompetenser förekommer i läromedel. En innehållsanalys med utgångspunkt i ett

kompetensbaserat ramverk har genomförts, där ett digitalt respektive ett tryckt läromedel jäm-

förts. För att kunna undersöka kompetenser på textnivå har ett analysverktyg konstruerats, där

indikatorer i text samt uppgiftsexempel från läromedlen presenteras. Vid analysen har

kompetensförekomsten kvantifierats för att möjliggöra en jämförelse mellan läromedlen. De

matematiska kompetenser som i denna studie undersökts är: problemlösning, resonemang,

procedur, representation samt kommunikation.

Resultatet av studien visar att alla kompetenser förekommer i de båda analyserade läromedlen.

Procedur- och representationskompetens dominerar i sin förekomst medan problemlösning och

resonemang identifierades mer sällan. Vad gäller jämförelsen mellan det tryckta och det digi-

tala läromedlet visar analysen ingen större skillnad i fördelningen av kompetenser, men i det

tryckta läromedlet varieras kompetenserna mer genomgående i uppgifterna. Resultaten går i

linje med tidigare forskning och visar på riskerna med en alltför läromedelsbaserad undervis-

ning. Elever som inte möter en viss typ av uppgifter ges inte möjlighet att utveckla alla

kompetenser. Läraren bör därför granska det innehåll som erbjuds eleverna och komplettera

undervisningen i syfte att lyfta fram de kompetenser som åsidosatts i läromedlen.

Nyckelord: matematiska kompetenser, läromedel, innehållsanalys, digitala verktyg

Innehållsförteckning 1. Inledning 4

1.1 Centrala begrepp 52. Bakgrund 5

2.1 Kompetensmålsreformen 62.2 Matematiska kompetenser i undervisning 72.3 Digital teknik i skolan 92.4 Sammanfattning 10

3. Tidigare forskning 113.1 Synen på matematiska kompetenser 113.2 Läromedelsforskning inom matematik 123.3 Kompetensbaserade ramverk i tidigare studier 143.4 Forskningsläget 15

4. Syfte och frågeställningar 16

5. Teori 165.1 Innehållsanalys 165.2 Definiering av kompetenser 17

5.2.1 Problemlösningskompetens 195.2.2 Resonemangskompetens 195.2.3 Procedurkompetens 205.2.4 Representationskompetens 205.2.5 Kommunikationskompetens 21

6. Metod och material 216.1 Urval 216.2 Analysverktyg 23

6.2.1 Problemlösningskompetens – indikatorer i text: 236.2.2 Resonemangskompetens – indikatorer i text: 256.2.3 Procedurkompetens – indikatorer i text: 266.2.4 Representationskompetens – indikatorer i text: 276.2.5 Kommunikationskompetens – indikatorer i text: 28

6.3 Reliabilitet och validitet 306.4 Arbetsfördelning 316.5 Forskningsetiska principer 32

7. Resultat 327.1 Kompetenser i Favorit matematik 3A 327.2 Kompetenser i Matte 3 - Rymdäventyret 347.3 Jämförelse mellan läromedlen 35

8. Diskussion 368.1 Vilka kompetenser ges plats? 368.2 Vad innebär en ojämn fördelning av matematiska kompetenser? 378.3 För- och nackdelar med ett digitalt läromedel 398.4 Studiens bidrag till forskningsläget 398.5 Konklusion 408.6 Vidare forskning 41

10. Referenslista 42

11. Bilaga 47

Matematiska kompetenser i läromedel Erik Andersson En jämförande innehållsanalys Anton Hemmingsson

4

1. Inledning

Under vår verksamhetsförlagda utbildning och när vi tidigare arbetat inom skolan har vi båda

uppmärksammat hur innehållet i digitala läromedel kan skilja sig från tryckta läromedel. Inom

matematikämnet är vår erfarenhet att fokus på appar eller datorprogram i stor utsträckning lig-

ger på färdighetsträning där framför allt rätta beräkningar premieras. Hur eleven tänkt och kom-

mit fram till svaret är något som i många fall läggs åt sidan och inte ges utrymme i de digitala

läromedlen. Vår erfarenhet är också att problemlösande uppgifter ibland saknas helt eller end-

ast ges ett begränsat utrymme. I dagens samhälle ökar ständigt användningen av digitala

verktyg så som surfplattor, datorer och smarta telefoner. Exempelvis hade år 2014 86% av barn

i åldrarna 9-12 tillgång till egen mobiltelefon och nästan hälften av landets 8-11 åringar

använder internet dagligen för att visa film eller spela spel (Findahl & Davidsson, 2015; Statens

medieråd, 2015). Precis som i övriga samhället ökar även denna tillgång och användning inom

skolan. Datorer, surfplattor och andra digitala hjälpmedel blir allt vanligare i klassrummen, där

spel och uppgifter används i både intresseväckande och lärande syfte. 2015 gick det 4,8 elever

på varje surfplatta i grundskolan, siffran låg fyra år tidigare på 29 elever per surfplatta. IT-

användningen under lektionstid har under många år varit hög. Användningen inom

matematikämnet har dock varit begränsad men även där syns en ökning under de senaste åren

(Skolverket, 2016a).

Tryckta läromedel används fortfarande i stor utsträckning och då vi båda studerar till

grundskollärare anser vi det centralt att kritiskt granska det innehåll som elever exponeras för,

både i digitala och tryckta verk. Sverige har visat sig vara ett av de länder som i störst utsträck-

ning använder läromedel i matematikämnet, där över 90% av lärarna i både årskurs 4 och 8

baserar sin matematikundervisning på läromedel (Skolverket, 2008). Trots detta genomförs

ingen statlig granskning av läromedel utan detta ansvar läggs helt i lärarens händer (Calderon,

2015). Lundström (2010) har i en tidigare studie granskat två läromedel inom matematik med

utgångspunkt i matematiska kompetenser. Studien visar att båda de granskade läromedlen

domineras av uppgifter som övar procedur- och representationskompetens, samt att problem-

lösning, kommunikation och resonemang förekommer betydligt mindre frekvent. Resultatet

stämmer överens med vår egen syn på vilket kunskapsinnehåll matematikläromedel oftast

förmedlar.


5

Med vår erfarenhet, samt den ovan presenterade statistiken i åtanke, har ett intresse väckts för

läromedelsgranskning inom matematikämnet. De digitala läromedlens innehåll samt förekoms-

ten av matematiska kompetenser är vad som framför allt intresserar oss.

1.1 Centrala begrepp

Med tanke på studiens inriktning mot matematiska kompetenser kommer dessa kortfattat att

presenteras nedan. Mer utförliga definitioner av kompetenserna samt hur dessa kommer

användas i föreliggande studie presenteras i teorikapitlet (se teori).

Problemlösningskompetens - innebär att ha förmågan att lösa samt formulera matematiska

problem.

Resonemangskompetens - innebär att kunna resonera matematiskt samt argumentera och under-

bygga matematiska val.

Procedurkompetens - innebär att ha förmåga att genomföra olika matematiska procedurer.

Exempelvis att kunna använda addition, subtraktion, division eller multiplikation.

Representationskompetens - innebär att ha förmågan att kunna använda samt förstå samband

mellan olika representationsformer inom matematik. Exempelvis bilder, symboler och text.

Kommunikationskompetens - innebär att kunna kommunicera matematiskt, det vill säga kunna

utbyta central information med hjälp av exempelvis symboler och text.

Lithner m.fl. (2010)

2. Bakgrund

I kapitlet presenteras en bakgrund till dagens kunskapssyn på matematikämnet i stort, där

läroplanen samt de kompetensrelaterade målens utveckling presenteras. Med tanke på den


6

ökade användning av digitala verktyg har även denna utveckling undersökts ytterligare. Bak-

grunden presenteras i underrubrikerna: kompetensmålsreformen, matematiska kompetenser i

undervisning samt digital teknik i skolan.

2.1 Kompetensmålsreformen

Vad gäller matematikundervisningens innehåll skedde en förändring i målformuleringen i

kursplanen under 90-talet. Tidigare var målen riktade mot matematiskt innehåll och inte mot

matematiska kompetenser. Matematikens syfte, samt den utvärderande delen har ofta haft en

förminskad roll, och ett stort fokus har istället legat på resultat kopplat till kursplanens innehåll.

Ett alltför stort fokus på matematiskt innehåll innebär att de matematiska kompetenserna ofta

åsidosatts. Detta innebär att jämförelser mellan kursplaner för olika åldrar försvåras, i och med

att kursplanernas innehåll varierar, och även att svårighetsgraden i olika typer av innehåll blir

svår att avgöra (Bergqvist m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011). Som nämnts har dock

läroplanens målformuleringar förändrats, till det som benämns processmål, eller kompetensmål.

Denna övergång beskrivs som kompetensmålsreformen, vilken grundades i framförallt

forskning från NCTM Principles and Standards (Midgett & Eddins, 2001). Detta ramverk

baseras på en stor mängd forskning och samma typ av kompetensmål ligger även till grund för

stora internationella studier som det danska KOM-projektet (Niss & Højgaard, 2011) och det

amerikanska “Adding it up” (Kilpatrick m.fl., 2001). Syftet med det nämnda KOM-projektet

var bland annat, med bakgrund i den ovan beskrivna problematiken, att identifiera vad det

innebär att bemästra matematik oavsett innehåll, beskriva och utveckla en progression samt

karaktärisera olika nivåer av matematiska kunskaper (Niss & Højgaard, 2011). Ramverken för

både TIMSS och PISA baseras också på matematiska kompetenser (Mullis m.fl., 2011; OECD,

2009).

Kompetensmålen som internationellt utarbetats har sedan överförts till en svensk kontext av

bland annat Palm m.fl. (2004) och Lithner m.fl. (2010) och utgör idag en betydande del av

matematikämnet. Säfström (2013) nämner hur synen på matematiska kunskaper förändrats och

breddats i och med införandet av kompetensbaserade mål. Att läroplanen blivit mer och mer

målinriktad istället för aktivitetsbaserad har dock även inneburit en mer ensidig undervisning

där arbete i läroboken ges stor plats. I och med införandet av LPO 94 (Utbildningsdepartemen-

tet, 1994) förändrades målformuleringen inom matematikämnet och kompetenser fick en mer


7

betydande roll. Denna utveckling har sedan fortsatt i samma riktning och i LGR 11 (Skolverket,

2016b) är målen än mer explicit inriktade mot kompetenser (Boesen m.fl., 2016). I läroplanen

finns dessa kompetensmål representerade i syftesdelen av matematikämnet:

“Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsätt-

ningar att utveckla sin förmåga att:

• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och

metoder,

• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,

• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa

rutinuppgifter,

• föra och följa matematiska resonemang, och

• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för

frågeställningar, beräkningar och slutsatser”

Skolverket (2016b)

Kompetenserna utgör även en betydande del i det centrala innehållet för årskurs 1-3 där

framförallt problemlösning, metod och begrepp ska vara en del i undervisningen. Vidare

presenteras i kunskapskraven att eleverna i årskurs 3 ska vara förtrogna med samtliga av de

ovan beskrivna kompetensmålen. Dessa mål är genomgående för hela grundskolans matematik-

undervisning där kompetenserna ligger till grund för betygsättningen i både årskurs 6 och 9

(Skolverket 2016b).

2.2 Matematiska kompetenser i undervisning Kompetensmålsreformen har således förändrat innehållet i läroplanen där synen på matematisk

kunskap gått från innehållsmål till kompetensrelaterade mål. Studier har dock visat att många

skolor inte följer styrdokument i tillräcklig hög grad och kompetenserna problemlösning,

resonemang och kommunikation åsidosätts ofta i undervisningen. Denna utveckling ses

problematisk bland forskare som ser en risk att elever ges en alltför ensidig undervisning där

matematisk förståelse inte prioriteras (Jäder, 2015). Ytterligare problem lyfts fram av studier


8

rörande synen på matematisk kunskap. Exempelvis ses utantillinlärning som en vanligt

förekommande inlärningsmetod vilket i förlängningen leder till att elever inte lyckas överföra

sina kunskaper till nya, för dem okända, situationer och problem. Kulturen inom matematik har

länge varit att kunna lösa så många uppgifter som möjligt på kortast möjliga tid med hjälp av

redan inövade algoritmer (Hiebert, 2003). Hiebert (2003) har istället visat att det är effektivare

och mer värdefullt att skapa förståelse för olika processer inom matematik. Denna studie kan

även kopplas till den diskussion som förts angående procedurkompetensens roll. Å ena sidan

lyfter Star (2005) fram vikten av procedurkompetens och menar att den kan läras på djupet och

medföra positiva resultat i elevernas matematiska kunnande. Å andra sidan menar Brown m.fl.

(2006) att procedurkompetensen ges ett alltför stort utrymme. För stort fokus på procedur kan

göra mer skada än nytta och bör istället spela en sekundär roll i undervisningen. Andra teorier

lyfter dock vikten av både procedurkompetens och begreppslig förståelse. Båda dessa

kompetenser är centrala i elevernas matematiska kunnande och avgörande för elevens

möjligheter att använda sin matematik inom olika områden och kontexter (Voutsina, 2012).

Diskussionen ovan exemplifierar att vissa kompetenser ses mer framträdande än andra och

användandet av procedurer har dominerat undervisningen på bekostnad av andra kompetenser.

Med tanke på den förändrade synen på matematiska kunskaper, blir det relevant att ytterligare

undersöka vad som diskuterats angående de matematiska kompetenserna. Bland annat har van-

ligt förekommande problem kopplade till elevernas förtrogenhet med de matematiska

kompetenserna, samt vad som orsakar dessa problem diskuterats bland både lärare och exper-

ter:

• Vad gäller procedurkompetens nämner många lärare att äldre elever är osäkra vid

beräkning av algebra, aritmetik och grafer. Möjliga orsaker till detta nämns som

slentrianmässig användning av tekniska hjälpmedel samt att ett ensidigt fokus på t.ex.

aritmetik inte gynnar någon av de övergripande kompetenserna (NCM, 2017).

• Kopplat till representationskompetens beskriver lärare hur elever ofta har problem med

innebörden av ett begrepp, samt dess koppling till andra områden. Otydliga definitioner

av de matematiska begreppen ses som den största orsaken till detta, men laborationer

och samtal skulle kunna medföra större förtrogenhet till begreppen (NCM, 2017).

• Det största problemet kopplat till resonemangskompetens ser lärarna som elevernas

svårigheter med förståelse för bevis. För att förbättra denna förståelse bör större fokus


9

läggas på bland annat redovisningsuppgifter, samt uppgifter som innebär bedömning

om huruvida en lösning finns eller inte (NCM, 2017). Resultaten från TIMSS 2015 vi-

sar dock att de svenska eleverna, både i årskurs 4 och 8 är starka inom just den resone-

rande delen av matematik (Skolverket, 2016c).

• Vad gäller kommunikationskompetens har det visat sig att eleverna har svårt att tolka

matematiska texter samt använda likhetstecknet på rätt sätt. Återigen beskrivs proble-

met med otydlig definition av begrepp samt för stort fokus på färdighetsövningar, och

inte teori (NCM, 2017).

Ovan ges en bild av lärarnas syn på elevers kompetensrelaterade svårigheter. Diskussionen

berör främst elever i äldre åldrar men med tanke på att kompetenserna ska genomsyra

undervisningen genom hela skolgången (Niss & Højgaard, 2011; Skolverket 2016b) blir det i

föreliggande studie relevant att presentera de problem som kan uppstå på sikt.

2.3 Digital teknik i skolan

Statistiken som presenterades i inledningen om att användandet av digital teknik ökat markant

medför ett intresse att undersöka hur detta speglar matematikämnet. I läroplanen presenteras

innehåll kopplat till digitala verktyg i ämnets övergripande syfte. Där nämns att eleverna ska

ges möjligheter att använda digital teknik för beräkningar, presentationer, tolkning av data samt

undersökning av problemställningar. Även i de övergripande målen och riktlinjerna ingår

modern teknik, där eleven ska ges möjlighet att utveckla sin förmåga till kunskapsinhämtande

och lärande (Skolverket, 2016b).

I och med de digitala läromedlens intåg i skolvärlden har dess för- och nackdelar diskuterats

mer och mer under senare år. Forskare och debattörer menar att det finns mycket att vinna både

i engagemang och i kunskaper, i och med ett mer digitalt lärande, men att det också finns risker

med utvecklingen. Å ena sidan menar exempelvis Jönsson (2015) att det finns problem med

digitalt stöd i matematik. Internetbaserade sidor kan vara användbara för eleverna, men det är

samtidigt viktigt att vara uppmärksam på riskerna med dessa hemsidor. Han menar att hemsi-

dorna är ett bevis på att det finns behov inom skolan som inte tillgodoses. Det är snarare i

interaktionen med läraren som eleverna bör tillgodogöra sig kunskaper inom matematikämnet

och inte på en webbplats där eleverna exempelvis repeterar matematikövningar. Å andra sidan


10

visar flera andra studier på positiva effekter med ett digitalt lärande inom matematik. Exempel-

vis visade projektet “Matematik för den digitala generationen” (Ryan, 2015) att digitala verktyg

hade många positiva inverkningar på matematikundervisningen. I och med ett ökat användande

av digitala verktyg stärktes elevernas uthållighet och de orkade då arbeta längre med uppgifter

utan att tröttna. Vidare visades att digitala verktyg kan underlätta att sätta det matematiska

innehållet i fokus. När elever interagerar i spelen och webbsidorna blir lärandet mer effektivt

och eleverna kan lösa fler uppgifter utan att tröttna än om traditionella läromedel används.

Även Gyllenstig Serrao (2017) nämner att spel och digitala verktyg i undervisningen kan få

eleverna mer arbetsvilliga och mindre benägna att ge upp när de möter motgångar. Detta

samstämmer också med Ryans (2012; 2015) resonemang om att digital teknik är effektivt för

färdighetsträning inom matematik eftersom eleverna då kan fokusera på matematiken och inte

på finmotoriken.

Samuelsson (2006) nämner hur datoranvändningen i matematikämnet genomgått en förändring,

där undervisningen tidigare mestadels handlade om repetitionsövningar men idag innefattar

mer simulation och problemlösning. Detta bekräftas i Carlsens (2013) studie på förskolebarns

användning av ett digitalt matematikläromedel. Resultaten visade goda effekter i det matema-

tiska lärandet, både vad gäller förståelse för olika representationsformer och problemlösning.

Tidigare studier har också visat hur digitala program kan uppmuntra till både kommunikation

och resonemang, samt förbättra elevers attityder till matematik (Herheim, 2010; Samuelsson,

2006). Även fast användandet av digitala verktyg har visat sig ha både positiv och negativ ef-

fekt på lärandet är det viktigt att ha i åtanke att det fortfarande är läraren som har det övergri-

pande ansvaret för hur de digitala verktygen används, samt för det stöd eleven får. Exempelvis

kan matematiska begrepp i ett digitalt läromedel behöva konkretiseras av en vuxen för att ge

barnet förståelse för den matematiska meningen. Det digitala verktyget kan på så sätt implicit

mediera ett matematiskt innehåll medan den vuxne gör detsamma explicit för barnen (Carlsen,

2013).

2.4 Sammanfattning Som tidigare beskrivits baseras målen i läroplanen i matematik idag på matematiska kompeten-

ser, istället för enbart på matematiskt innehåll. Läroplanens innehåll ska genomsyra hela sko-

lans undervisning och eleverna ska således ges möjlighet att ständigt utveckla sina matematiska


11

kompetenser (Skolverket, 2016b). Vilken kunskap som anses viktig skiljer sig dock mellan

olika forskare och tidigare studier har visat på en ojämn fördelning av de matematiska

kompetenserna i både läromedel och provuppgifter (Boesen 2006; Boesen m.fl., 2016; Johans-

son, 2003). Det problematiska med detta är att läromedel till stor del styr undervisningen inom

matematik och påverkar således vilket innehåll eleverna möter (Skolverket, 2008). De senaste

åren har digitala läromedel blivit allt vanligare, och användandet av dessa har visat på både för-

och nackdelar (Gyllenstig Serrao, 2017; Jönsson 2015; Ryan, 2015). Vad som inte undersökts

eller tagits upp för vidare diskussion är i vilken utsträckning digitala läromedel förmedlar de

matematiska kompetenserna, samt om innehållet skiljer sig från traditionella läroböcker. Med

tanke på den förändrade kunskapssynen inom matematik samt den ökade digitala användningen

blir en sådan undersökning därför relevant att genomföra.

3. Tidigare forskning

I detta kapitel presenteras en översikt över forskningsläget inom studiens ämnesområde. De

matematiska kompetenserna ligger i fokus och även studier där innehållsanalys genomförts på

läromedel i matematik presenteras. Forskningsläget beskrivs ur både ett internationellt och

nationellt perspektiv, och studier från alla skolans årskurser förekommer i översikten.

3.1 Synen på matematiska kompetenser Många matematikforskare är överens om att det finns vissa särskilda kompetenser som är

nödvändiga att tillgodogöra sig för att framgångsfullt lära sig matematik. Dessa kompetenser

sträcker sig utanför de traditionella matematiska innehållsmålen, såsom exempelvis algebra,

geometri eller sannolikhet och statistik. Kompetenserna innefattar processer och förmågor som

är nödvändiga i utövandet av matematik och tillägnandet av matematisk kunskap (Kilpatrick

m.fl., 2001; Niss & Højgaard, 2011). Trots att många forskare har olika syn på vilka kompeten-

ser som är viktiga för matematiskt kunnande går det ändå att se många likheter i deras synsätt.

De kompetenser som genomgående benämns som nödvändiga är framför allt problemlösnings-,

resonemangs-, procedur-, representations- och kommunikationskompetens (Kilpatrick m.fl.,

2001; Lithner m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011; Palm m.fl., 2004). I övrigt är även tanken

om att kompetenserna är sammanvävda och att de tillsammans är nödvändiga för lärande


12

gemensamt för forskningen om kompetenser. Det går alltså inte att lära sig matematik genom

att enbart öva en av dessa matematiska kompetenser (Kilpatrick m.fl., 2001; Niss & Højgaard,

2011). Kompetenserna går således in i varandra och synen på vad som är viktigt är alltså ändå

relativt samstämmig. Det är också viktigt att ha i åtanke att alla kompetenser påverkar varandra

och ett bemästrande av dem alla krävs för full matematisk kompetens (Niss & Højgaard, 2011).

Värt att nämna är att det också finns vissa kompetenser som hör till varje enskild forskares syn,

t.ex. att se matematik som givande och användbar (Kilpatrick m.fl., 2001), modellerings-

kompetensen (Niss & Højgaard, 2011; Lithner m.fl., 2010) samt verktygs- och hjälpmedels-

kompetensen (Niss & Højgaard, 2011).

3.2 Läromedelsforskning inom matematik

Studier som undersöker läromedel har riktats mot tre olika håll: (1) lärobokens roll, (2) lärobo-

kens användning samt (3) innehållsanalys eller jämförande av läroböcker (Fan m.fl., 2013;

Rezat & Strässer, 2015). Föreliggande studie fokuseras mot den sistnämnda av dessa tre

dimensioner vilket medför en relevans i att överblicka detta forskningsområde. Innehållsanalys

av läromedel utgör den största delen av läromedelsforskningen inom matematik där studier

oftast riktas mot ett visst innehåll i böckerna. Jämförande studier mellan böcker i en serie eller

mellan läromedel från olika länder är också vanliga inriktningar (Fan m.fl., 2013; Rezat &

Strässer, 2015). Tidigare internationella studier på innehåll i läromedel inom matematik, har

bland annat undersökt: i vilken uträckning läromedel återanvänder eller skapar nytt innehåll,

innehållet av statistik i läroböcker, hur grundskoleböcker presenterar och utvecklar beräkningar

samt hur bråk och division presenteras i läroböcker (Fan m.fl., 2013). Nordiska studier har

fokuserat på bland annat: en historisk överblick över läroböckers introduktion av derivata,

innehållet av algebra i gymnasieläromedel, användning av siffrorna 1 och 0 i matematikläro-

medel samt användningen av tallinjen i läromedel avsedda för årskurs 1 (Rezat & Strässer,

2015).

Gällande innehållsanalys kopplat till de matematiska kompetenserna i läromedel är forskningen

mer begränsad, och en stor del av studierna riktar sig mot antingen högstadiet eller gymnasiet.

Denna studie fyller därför en lucka inom detta område, i och med inriktningen mot kompeten-

ser samt grundskolans yngre åldrar. De studier som tidigare undersökt kompetenser har i mångt

och mycket inriktat sig mot enbart en eller ett fåtal av kompetenserna. Problemlösnings- och


13

resonemangskompetenserna är de kompetenser som mest frekvent undersöks i läromedel, både

nationellt och internationellt. I Brehmers & Van Steenbrugges (2016) studie undersöktes tre

välkända läromedelsserier i matematik för gymnasiet. Undersökningen fokuserade på i vilken

utsträckning problemlösningsuppgifter förekom, var i kapitlen eventuella problemlösnings-

uppgifter var placerade, vilken svårighetsgrad uppgifterna hade samt i vilken kontext upp-

gifterna presenterades. Resultatet av studien, som baseras på 5722 uppgifter, visade att

problemlösning sällan förekom (endast 5,45% av uppgifterna). När problemlösningsuppgifter

väl förekom skedde det i slutet av kapitlen och uppgifterna hade då en hög svårighetsgrad samt

presenterades i en ren matematisk kontext.

Precis som Brehmer & Van Steenbrugge (2016) har Stylianides (2009) identifierat matematiska

kompetenser i matematikböcker, men istället med inriktning mot resonemangskompetens. Stu-

dien baseras på läromedel från USA, där 4855 uppgifter analyserats. Resultaten visar att hälften

av uppgifterna inte inbjuder till resonemang överhuvudtaget samt att 40% av uppgifterna endast

ger en möjlighet till resonerande. I en studie från Australien undersöks resonemangskompeten-

sen ytterligare. Analysen av matematikböcker riktade mot åttonde klass, visade att de flesta

förklaringar som presenteras inte används som tankeverktyg, utan är istället kopplade mot den

enskilda uppgiften som ska lösas (Stacy & Vincent, 2009). En ytterligare studie baserad på

läromedel för elever i åldrarna 13-17 år, från 12 olika länder, har undersökt resonemangs-

kompetensen inom algebra och geometri. Studien fokuserar på vilken nivå av resonemang som

krävs av eleven och resultatet går i samma riktning som de ovan beskrivna studierna. En stor

andel av uppgifterna från alla de undersökta länderna, kräver inget kreativt resonemang, och de

uppgifter som kräver detta läggs ofta i slutet av kapitlen (Jäder, 2015) - precis som problem-

lösningsuppgifterna som Brehmer & Van Steenbrugge (2016) undersökt. Problemet med dessa

resultat anser författaren vara att många lärare väljer att fokuseras på de enklare, inledande

uppgifterna. Detta skulle kunna innebära att elever som arbetar på grundläggande nivå inte ges

någon möjlighet att träna sin resonemangsförmåga med utgångspunkt i läromedlen (Jäder,

2015).

Även om en stor del av den tidigare forskningen är inriktad mot problemlösning och resone-

mang finns även studier om de andra kompetenserna inom matematik. Exempelvis visar Stylia-

nous (2011) studie på vikten av förståelse för representationsformer. Tidigare studier har visat

att elever ofta har svårt med användandet av representationsformer, men resultatet av Stylia-

nous (2011) forskning visar att både matematikexperter och elever på högstadiet använder


14

representationsformer som verktyg vid lösande av problem. De olika representationerna ger en

ökad förståelse för problemet, belyser centrala delar i uppgifterna och kan användas för

undersökning. Experterna använde representationsformerna mer abstrakt medan eleverna an-

vände dem mer konkret. Användandet av olika representationsformer kan göra matematikäm-

net mer meningsfullt och effektivt. Även Johansson (2003) har undersökt de matematiska

kompetenserna, och då inriktat sig mot dess förekomst i läromedel samt hur väl sammankopp-

lade läromedlen är med läroplanen. Studien innefattar en innehållsanalys av vanligt förekom-

mande läroböcker, där delar som: läsa och förstå, lösa rutinuppgifter, problemlösning, resone-

rande samt kommunicerande i grupp ingår. I analysen ingår fyra äldre böcker (två från 1979

och två från 1985) vilka jämförs med en lärobok från 2001. Vad gäller kompetenser visar

resultaten att den nyare boken innehåller flest rutinuppgifter samt minst uppgifter i kategorin

“läsa och förstå”. Två av de äldre böckerna innehåller fler problemlösande uppgifter men boken

från 2001 är den enda som innehåller resonerande uppgifter. Studien visar på en förändring i

läroböckerna i matematik där den nyare boken lagt till delar om problemlösning och resone-

mang. Johansson (2003) poängterar dock att det fortfarande är upp till läraren hur läroboken

sedan används. Delar av läroböckerna kan utelämnas från undervisningen och på så sätt inne-

bära att elever inte får ta del av alla kompetenser. Vidare visar studiens resultat att läroböckerna

inte till fullo samstämmer med innehållet från läroplanerna, ett visst innehåll är helt utelämnat

eller enbart begränsat representerat (Johansson, 2003).

3.3 Kompetensbaserade ramverk i tidigare studier

Det finns tidigare forskning som går i samma linje som denna studie, d.v.s. som inriktar sig mot

att undersöka matematiska uppgifter med utgångspunkt i ett kompetensbaserat ramverk. Dessa

studier är dock begränsade (Säfström, 2013) och analyserar inte läromedel utan riktas istället

mot uppgifterna i prov. Exempelvis har Boesen (2006; 2016) genomfört två studier inom denna

kategori. Den ena studien som undersöker vilka matematiska kompetenser som testas i de

svenska nationella proven visade att testandet av samtliga kompetenser skedde i mer än 39% av

uppgifterna. Resultaten visar också att procedurkompetensen samt kommunikationskompeten-

sen var de två kompetenser som var vanligast förekommande i proven. Detta stämmer enligt

studien in på alla de testade årskurserna. Dock fanns en skillnad mellan årskurserna vad gällde

de andra kompetenserna. I de yngre åldrarna testas inte resonemangskompetensen i lika hög

grad som i de äldre årskurserna. Resultaten visade också att de yngsta eleverna testades i lägre


15

grad i både kommunikations- och sambandskompetensen. I Boesens (2006) tidigare studie

undersöktes de matematiska kompetenserna med fokus på i vilken grad kompetenser prövas i

nationella prov, jämfört med prov konstruerade av lärare. Studien visar hur lärarnas konstrue-

rade prov ofta saknar uppgifter där elevernas resonemang samt problemlösande testas. Uppgif-

terna visade sig ofta vara av en mer imitativt karaktär. Frågorna i de nationella proven visade

sig däremot innehålla fler uppgifter där elevernas kreativa sida utmanas.

3.4 Forskningsläget

Som presenterats ovan har större delen av forskningen om de matematiska kompetenserna varit

inriktad mot högstadiet och gymnasiet. Existerande forskning om de matematiska kompeten-

serna på yngre elever från låg- och mellanstadiet är begränsad. Med tanke på att elever ska ges

möjlighet att möta alla dessa kompetenser redan i tidig ålder (Niss & Højgaard, 2011; Skolver-

ket, 2016b) är det därför centralt att även undersöka vilka kompetenser som kan identifieras i

läromedel i yngre åldrar. Vidare visar den tidigare forskningen att de flesta studier enbart

undersökt en eller ett fåtal av kompetenserna. De matematiska kompetenserna är alla

sammanlänkade och beror av varandra (Niss & Højgaard, 2011) vilket medför en relevans i att

undersöka och jämföra dem med hjälp av ett övergripande ramverk. Studier som undersöker

alla de matematiska kompetenserna är dock mer sällsynta, där väldigt lite empirisk forskning

baserat på kompetensrelaterade ramverk genomförts (Boesen m.fl., 2016; Säfström, 2013). Den

forskning som genomförts inom området är då inriktad mot uppgifter i prov och inte i lärome-

del. Vad gäller forskning kopplad till digitala läromedel inom matematik är också studier om

matematiska kompetenser sällan förekommande. Tidigare studier har ofta riktats mot ett

elevperspektiv och bland annat visat att användandet av digitala verktyg kan ha positiva effek-

ter gällande problemlösningsförmåga, kommunikation samt begreppsförståelse (Carlsen, 2013;

Herheim, 2010; Samuelsson, 2006).

Med de beskrivna studierna i åtanke fyller denna studie en lucka i forskningen om de mate-

matiska kompetenserna. Studien intar ett vidare perspektiv och riktas mot alla kompetensers

förekomst i läromedel.


16

4. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att undersöka matematiska kompetenser i läromedel. Studien syftar

även till att jämföra kompetensförekomsten mellan ett digitalt respektive ett tryckt läromedel.

Frågeställningarna som används för att besvara syftet är:

Vilka kompetenser testas i det digitala respektive det tryckta läromedlet?

I vilken utsträckning testas kompetenserna i de båda läromedlen?

5. Teori

I detta kapitel beskrivs studiens teoretiska utgångspunkter och kapitlet inleds med en beskriv-

ning av de teorier som ligger bakom studiens innehållsanalys. Eftersom syftet med arbetet är att

undersöka förekomsten av matematiska kompetenser i läromedel riktas teorikapitlet också mot

att definiera kompetenserna. Förutom definitionerna förklaras även vikten av att särskilja dessa

kompetenser samt hur studieobjektet kan undersökas på textnivå.

5.1 Innehållsanalys

Denna studie innefattar en innehållsanalys av matematikläromedel. Med innehållsanalys menas

ett sätt att beskriva textinnehåll på ett systematiskt sätt och metoden kan innefatta analyser på

alla typer av medier. Denna analys kan genomföras både manuellt och digitalt, och är en lämp-

lig metod för att finna mönster i ett innehåll. Inriktningen har sitt ursprung i en empirisk

vetenskapssyn och även fast ett stort fokus ofta läggs på det som explicit uttrycks i texter, kan

analysen belysa ett implicit innehåll (Bergström & Boréus, 2012). Enligt Fan m.fl. (2013) riktas

innehållsanalys inom matematikämnet mot hur ett visst innehåll presenteras och behandlas, och

innefattar ofta en jämförelse mellan olika läromedel.

Studies focusing on analysing the concerned features of mathematics

textbooks under study and, in the case of textbook comparison, compa-


17

ring the similarities and differences of two or more series of mathematics

textbooks.

Fan m.fl. (2013, s. 635)

Läromedelsanalyser inom matematikämnet har ofta syftat till att belysa läromedlets innehåll

och inte hur det används eller vilken roll det spelar (Fan m.fl., 2013). Även Rezat & Strässer

(2015) menar att det är viktigt att ha i åtanke att en innehållsanalys endast redovisar möjligheter

till lärande. Oavsett teoretiskt ramverk, vilket innehåll som analyseras eller vilket fokus

analysen har, kan inga slutsatser angående bokens påverkan på elever dras. Vidare beskriver

Bergström & Boréus (2012) hur innehållsanalys ofta innebär att kvantifiera och räkna ett

innehåll, vilket kommer att genomföras i denna studie. Innehållet som räknas är då de

matematiska kompetenserna och förekomsten av dessa kan då lyfta fram vissa mönster i

läromedlens innehåll. Eftersom definitionerna i det teoretiska ramverket riktas mot elevens

kompetenser, krävs en omtolkning mot ett textperspektiv för att kunna undersöka uppgifter i

läromedel. Då definitionerna läses är det därför viktigt att ha i åtanke att dessa riktar sig mot

elevens kunnande och skicklighet (Niss & Højgaard, 2011). Analysen i denna studie intar alltså

inte ett elevperspektiv, så hur den enskilde eleven utvecklar en kompetens kommer inte kunna

besvaras. Ett analysverktyg har, med detta i åtanke, utarbetats i syftet att undersöka vilka

kompetenser som testas i uppgifter på textnivå. Indikatorer på att kompetenserna övas kommer

presenteras i kapitlet analysverktyg.

5.2 Definiering av kompetenser

Ordet kompetens används synonymt med kunnighet, skicklighet eller expertis. Att inneha

kompetens inom ett område innebär således att effektivt och överskådligt kunna bemästra de

mest centrala aspekterna inom området, och på så vis besitta en säkerhet i sitt omdöme (NE,

2017; Niss & Højgaard, 2011). Kopplat till matematik innebär det att:

...mathematical competence comprises having knowledge of, understan-

ding, doing, using and having an opinion about mathematics and

mathematical activity in a variety of contexts where mathematics plays or

can play a role.

Niss & Højgaard (2011, s. 49)


18

Att vara matematiskt kompetent innebär inte enbart att ha kunskap inom ett område utan även

att ha förståelse för matematiken samt att kunna använda den matematiska kunskapen. Detta

användande ska kunna ske i olika kontexter och situationer, och att ha en åsikt om matemati-

kens roll är också en del i att vara matematiskt kompetent (Niss & Højgaard, 2011). Denna

beskrivning ger en generell och överskådlig syn på vad det innebär att vara matematisk

kompetent, men definitionen kan ytterligare avgränsas. En matematisk kompetens beskrivs som

en självständig och distinkt del av den matematiska kunskapen, och kan vidare sägas vara en

förmåga, samt en beredskap, att kunna agera lämpligt vid olika matematiska utmaningar. Även

om kompetenserna kan ses som distinkta och självständiga beskrivs det här hur dessa

överlappar och beror av varandra:

The fact that such competencies are independent and relatively distinct

does not imply that the different competencies are unrelated to each other

or that they are so sharply defined that there is no overlap. … any one

competency cannot normally be acquired or mastered in isolation from

the other competencies.

Niss & Højgaard (2011, s. 49)

Även om Niss & Højgaard (2011) poängterar hur kompetenserna överlappar varandra finns en

poäng att i denna studie tydligt särskilja dessa. Eftersom studien ämnar att empiriskt undersöka

förekomsten av enskilda matematiska kompetenser blir den distinkta uppdelningen avgörande

för presentationen av resultatet. En tydlig uppdelning minskar risken att ett fenomen

kategoriseras inom flera olika kompetenser (Boesen m.fl., 2016). Kategoriseringen av de

matematiska kompetenserna, som presenteras nedan, bygger i föreliggande studie på ramverket

MCRF (Mathematical Competencies: a Research Framework) utarbetat av Lithner m.fl. (2010).

Ramverket har i sin tur inspirerats av NCTM Principle and Standards (Midgett & Eddins, 2001)

samt Niss & Højgaards (2011) KOM-projekt och syftar till att underlätta empiriska studier av

matematiska kompetenser. MCRF:s definitioner av de matematiska kompetenserna utgör en

grund till denna studies analysverktyg (se metod och material).


19

5.2.1 Problemlösningskompetens

Med problemlösningskompetens menas kortfattat att ha förmågan att kunna formulera,

representera samt lösa matematiska problem. Därutöver innebär kompetensen att kunna välja

en passande och rimlig lösningsstrategi att använda sig av. Vidare definieras en problemlö-

sande uppgift som en uppgift där en given strategi inte på förhand finns framskriven för eleven.

Med detta i åtanke finns i MCRF:s definition endast två typer av uppgifter: problem eller icke-

problem (rutinuppgifter) (Kilpatrick m.fl., 2001; Lithner m.fl., 2010). Problem kan vara öppna

eller stängda, rent matematiska eller anpassade efter en viss situation (Niss & Højgaard, 2011;

Midgett & Eddins, 2001).

Det faktum att en uppgift kan ses som ett problem för en elev men inte för en annan (Niss &

Højgaard, 2011) har utelämnats ur denna studie, med tanke på att analysen har ett textperspek-

tiv och inte ett elevperspektiv. Andra definitioner av problemlösning innehåller bland annat

delar om att uppgiften ska vara krävande för eleven samt att den ska kunna lösas på olika sätt

(Hagland, 2013; Niss & Højgaard, 2011). Dessa delar har utelämnats i definitionen för att tydli-

gare kunna genomföra analysen av det empiriska materialet. Denna studie riktar sig, som

nämnts, inte mot testandet av elevernas upplevelser av uppgifterna utan istället mot ett

textperspektiv. Detta medför att problemlösningsdefinitionen exempelvis inte kan innefatta att

ett problem ska vara utmanande, såsom t.ex. Hagland (2013) beskriver det.

5.2.2 Resonemangskompetens

Resonemangskompetens handlar om att kunna resonera matematiskt. Kompetensen innebär att

explicit kunna underbygga matematiska val med argument och matematiska bevis. Ett argu-

ment anses matematiskt då slutsatserna är sanna eller anses rimliga. Dessa slutsatser ska även

förankras i matematiska komponenter såsom exempelvis begrepp eller objekt. Ett bevis behö-

ver vara logiskt underbyggt med matematiska argument. I kompetensen ingår även att eleven

ska kunna förstå och tolka argument, välja och använda matematiska argument för att stödja

sina slutsatser samt kunna bedöma och utvärdera resonerande (Lithner, m.fl., 2010). De sist-

nämnda delarna har dock utelämnats i denna studies definition, med tanke på att förståelse och

tolkning inte kan undersökas på uppgiftsnivå.


20

5.2.3 Procedurkompetens

Med procedurkompetens innebär att kunna utföra matematiska procedurer. Med en procedur

menas “en sekvens av matematiska handlingar som är ett accepterat sätt att lösa en uppgift”

(Lithner, m.fl., 2010, s. 162, vår översättning). Att kunna använda en procedur innebär på så

sätt att dessa matematiska handlingar utförs i syfte att lösa en uppgift. Kompetensen innebär

dessutom att användandet av procedurer kan göras på ett rutinmässigt sätt där varje steg följer

en bestämd ordning. En procedur kan även benämnas algoritm. Procedurkompetensen handlar

om att kunna tolka procedurer, välja och använda procedurer för att lösa uppgifter samt bedöma

och utvärdera resultat till följd av procedurer (Lithner m.fl., 2010; Palm, 2004). Huruvida ele-

ver tolkar och utvärderar procedurer ingår inte i denna studies analys med tanke på det redan

nämnda textperspektivet.

5.2.4 Representationskompetens

Med representationskompetens menas att ha kompetens att hantera och förstå olika representat-

ioner. Inom matematiken finns ett antal olika representationsformer som alla är sammanlän-

kade.

Figur 1. Bild över representationsformer inom matematik (jfr Häggblom, 2013)

Bilden visar hur alla fem representationsformer hänger samman och representerar ett begrepps

olika former. Exempelvis kan en uppgift redovisas skriftligt, kopplas till en verklig händelse,


21

visas med ett konkret material (exempelvis klossar), skrivas med symboler eller ritas med en

bild (Häggblom, 2013). Dessa representationsformer kan också nämnas som matematiska en-

heter och att förstå aspekterna av, samt relationerna mellan dessa ses som en del i

representationskompetensen. Att kunna konkretisera matematiska enheter, både mentalt och i

verkligheten är avgörande för denna kompetens. Eleven ska således kunna använda olika

representationsformer för att kunna lösa problem och visa matematiska idéer (Lithner m.fl.,

2010).

5.2.5 Kommunikationskompetens

Med kommunikationskompetens innebär att kunna kommunicera med hjälp av bland annat

symboler och begrepp. I kommunikation finns en sändare och en mottagare samt ett medium

som används i överförandet av information. Det varierar vem avsändaren är men oftast är det

exempelvis en textbok, en lärare eller en student och mottagaren är oftast en annan student eller

lärare. Kommunikationskompetens innebär också att eleven ska kunna tolka och förstå skriven,

muntlig och visuell information. I kompetensen ingår även att kunna formulera, konstruera och

bedöma matematisk information (Boesen m.fl., 2016; Lithner m.fl., 2010). Återigen har delarna

att tolka och förstå utelämnats då detta inte kan analyseras i och med studiens inriktning mot ett

textperspektiv.

6. Metod och material

Då studiens teoretiska utgångspunkter ovan definierats kommer detta kapitel att fokusera på hur

dessa teorier kan appliceras i analysen av det empiriska materialet. I kapitlet kommer studiens

metodiska val att underbyggas och diskuteras. De delar som presenteras är urval, analysverk-

tyg, validitet och reliabilitet samt arbetsfördelning.

6.1 Urval

De uppgifter som analyseras i denna studie är avgränsade till områdena aritmetik och algebra.

Detta val baseras på att de är centrala delar i läroplanen (Skolverket, 2016b), samt på att en


22

övervägande del av uppgifterna i det empiriska materialet berör dessa områden. Uppgifter inom

geometri, statistik, sannolikhet samt kombinatorik har utelämnats från studien. För att ytterli-

gare begränsa vår analys har två läromedel, ett tryckt och ett digitalt valts ut. Läroboken Favorit

matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) har valts ut som tryckt läromedel. Även fast det inte

finns någon tillgänglig statistik på hur mycket böckerna används i skolorna, har författarna

egna erfarenheter om att läromedlet används frekvent på många håll. Vidare är läroboken

anpassad till LGR 11 (Skolverket, 2016b) och har tidigare varit ett uppskattat läromedel med

goda resultat i Finland (Studentlitteratur, 2017). Det digitala matematikspelet Matte 3 -

Rymdäventyret från Learning Excursions (2016) har valts ut som digitalt läromedel. Valet

baseras på att läromedelsserien fått goda recensioner och rekommendationer på hemsidor där

appar recenseras (iTunes, 2017). Appen bygger precis som det tryckta läromedlet på läropla-

nen, vilket ger ytterligare relevans till valet av digitalt läromedel. Båda läromedlen riktar sig till

elever i årskurs 3.

De nedan presenterade Tabell 1 och 2 visar antalet uppgifter från de båda läromedlen uppdelat i

det tryckta läromedlets kapitel samt de olika delarna av appen. Talen visar antal uppgifter som

ingått i analysen av materialet, medan talen inom parentes är totala antalet uppgifter i läromed-

len. I Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) har uppgifter innefattande flera steg

(a,b,c,..) räknats som en uppgift.

Tabell 1 - Uppgifter från Favorit matematik 3A Tabell 2 - Uppgifter från Matte 3 - Rymdäventyret

Matte 3 - Rymdäventyret Antal uppgifter

Planet Bulbon 28 (34)

Planet Skvar 17 (17)

Planet Stellar 12 (24)

Planet Dimondus 6 (30)

Planet Tritonus 24 (32)

Problemlösning 33 (38)

Totalt: 120 (175)

Favorit matematik 3a Antal uppgifter

Kapitel 1 74 (113)

Kapitel 2 96 (129)

Kapitel 3 54 (74)

Kapitel 4 73 (112)

Totalt: 297 (428)


23

I Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) innehåller varje kapitel övningar kopplade till

sitt övergripande tema. Med läroboken medföljer även en CD med ett digitalt innehåll kopplat

till varje kapitel. Denna har utelämnats då analysen av Favorit matematik 3A (ibid.) endast är

ämnad att undersöka ett tryckt läromedel. Matte 3 – Rymdäventyret är indelad i olika delar

(kallat planeter) där varje del består av ett antal uppgifter som ska lösas i en spelmiljö.

Problemlösningsdelen är avgränsad från den spelbaserade delen och dessa uppgifter förekom-

mer således inte i de andra delarna.

6.2 Analysverktyg

Som beskrivits i teorikapitlet ligger ramverket MCRF (Lithner m.fl., 2010) till grund för studi-

ens utarbetade analysverktyg. Då kompetenserna redan definierats fokuserar detta kapitel på att

visa kompetensernas indikatorer i text samt exemplifiera utifrån det empiriska materialet. Vik-

tigt att poängtera är att inte alla delar av MCRF:s ramverk används i denna studie. Ramverket

har modifierats där exempelvis sambandskompetens samt uppdelningen av kompetens-

relaterade uppgifter (CRA) inte ingår i det utarbetade analysverktyget. Analysverktyget har ut-

arbetats i syftet att undersöka uppgifter på textnivå och de indikatorer som beskrivs baseras på

definitionerna av kompetenserna i MCRF, samt på innehållet i Häggblom (2013) och ramverket

för PISA (OECD, 2009). Dessa ramverk innehåller båda exempel på uppgifter som kan

relateras till varje enskild kompetens. Med utgångspunkt i dessa uppgifter har sedan liknande

exempel från de analyserade läromedlen identifierats. Minst en uppgift från varje läromedel

presenteras under varje kompetens för att exemplifiera innehållet i båda läromedlen. När ett

analysverktyg konstrueras förekommer alltid ett ställningstagande om vad som ska räknas i

analysen. Det kan vara vissa ord, teman eller vad som helst som går att urskilja i text. Egen-

skaperna som väljs ut brukar kallas variabler (Bergström & Boréus, 2012) men benämns i

denna uppsats som indikatorer i text. Indikatorerna gör det möjligt att kunna identifiera när de

olika kompetenserna testas i läromedlen.

6.2.1 Problemlösningskompetens – indikatorer i text:

• En matematisk undersökning krävs för att lösa uppgiften

• Det finns ingen på förhand given strategi


24

• Stängt problem: ett givet svar

• Öppet problem: flera möjliga svar

Exempel 1. Problemlösning

7. Visa hur du löser uppgiften. Skriv svar.

a) En klass har 32 elever. En dag är 8 elever hemma för att de är sjuka. Hur

många elever är det i klassen den dagen?

b) I en klass 3a är det 17 elever i klassen en dag. 8 elever är hemma för att de är

sjuka. Hur många elever är det i klassen när alla är friska?

Karppinen m.fl. (2013, s. 13)

I uppgiften presenteras inte explicit någon strategi att använda och det finns heller inte något

framskrivet exempel på en liknande lösning. Eleven behöver därför själv välja strategi för att

kunna lösa problemet. Eftersom båda uppgifterna är uppbyggda på ett likartat sätt, och kan lö-

sas med samma metod, skulle uppgift b) kunna ses som en rutinuppgift. Eftersom denna analys

intar ett textperspektiv där inte elevens tidigare kunskaper kan analyseras anses dock båda

passa in i problemlösningskompetensen. Uppgift a) kan lösas både genom att räkna 32-8 = 24,

eller 8 + 24 =32.

Exempel 2. Problemlösning

Du ska lösa problemet genom att använda plockmaterial eller rita en bild som

förklarar hur du tänker. Du kan också använda räknespråket eller skriva med

ord.

9. Tangeli städar raketen på 3 timmar. För Sinosa tar det dubbelt så lång tid.

Hur lång tid tar det om Tangeli och Sinosa städar raketen tillsammans?

Learning Excursion, 2016

Här presenteras en uppgift utan någon framskriven metod för hur uppgiften ska lösas. I likhet

med uppgiften i det tryckta läromedlet här ovan behöver eleven själv välja strategi för att kunna


25

lösa uppgiften. Uppgiften kategoriseras då, enligt analysverktyget, som en problemlösnings-

uppgift. Uppgiften är ett exempel på ett stängt problem med ett möjligt svar men kan lösas på

olika sätt, exempelvis genom att rita en bild, göra en tabell eller genom att ställa upp en

ekvation.

6.2.2 Resonemangskompetens – indikatorer i text:

• Uppgifter där eleven uppmanas att visa sitt matematiska resonemang

• Uppgifter där eleven uppmanas att argumentera och/eller förklara sin lösning

Exempel 3. Resonemang - Förklarande uppgift

5. Fyra barn ska dela 5 pajer lika. Hur mycket paj får varje barn?

Hur kom du fram till ditt svar? Förklara.


Till uppgiften visas även en bild med fem pajer och fyra barn, samt två tomma cirklar med en

uppmaning skriven att: Måla hur mycket varje barn får.

Denna uppgift kategoriseras som ett testande av elevens resonemangskompetens. I och med att

eleven inte bara ska lösa problemet och svara på uppgiften, utan även uppmanas att förklara blir

det ett tillfälle att resonera matematiskt. Eleven ges här en möjlighet att föra ett matematiskt

resonemang samt argumentera för detsamma. Att med hjälp av begrepp argumentera för sina

matematiska slutsatser ses som centrala delar i resonemangskompetensen (Lithner m.fl., 2010).

Exempel 4. Resonemang - Förklarande uppgift



ord.

1. 22 barn ska resa med raketer. Det ryms tre eller fyra barn i varje raket. I hur

många raketer kommer det att vara tre barn och i hur många är det fyra barn.

Learning Excursion (2016)


26

Uppgiften ovan kategoriseras som övande av resonemangskompetensen. Som skrivits tidigare

uppmanas eleven att på något sätt förklara hur hen tänkt för att komma fram till svaret på

uppgiften. Uppgiften inbjuder till resonemang i fler än ett logiskt led. När eleven förklarar hur

uträkningen genomförts erbjuder uppgiften till resonerande utöver själva uträkningen.

Alla uppgifter som erbjuder eleven en möjlighet att förklara eller visa hur en uppgift är löst

kategoriseras under resonemangskompetens. Resonemangskompetensen är något som ofta övas

muntligt i klassrummet (Häggblom, 2013) men eftersom studien har ett textperspektiv kan end-

ast det som indikeras i text tas i beaktning.

6.2.3 Procedurkompetens – indikatorer i text:

• Algoritmiska uppgifter

Exempel 7. Procedur - Algoritmer

Karppinen m.fl. (2013, s.12; 32; 58)

De tre ovan presenterade uppgifterna visar exempel på uppgifter som kategoriseras under

procedurkompetensen. För att lösa dessa uppgifter krävs en algoritmisk uträkning som följer en

Räkna 32-2=___

Räkna 6+8=___


27

på förhand bestämd metod (Lithner, 2010). Eleven behöver välja en fungerande metod för en

korrekt beräkning.

Exempel 8. Procedur

4. Additionskombinationer – Dra till rätt svar


Exemplet illustrerar en uppgift i det digitala läromedlet där procedurkompetensen tränas. Här

erbjuder appen övande av hur vanliga rutinuppgifter löses. Här behöver eleven genomföra

algoritmiska uträkningar för att lösa uppgiften korrekt.

Med utgångspunkt i de ovan nämnda indikatorerna i text placeras således alla uppgifter som

kräver någon typ av rutinmässig beräkning som procedurkompetens. Detta innebär beräknande

med addition, subtraktion, multiplikation samt division (Häggblom, 2013).

6.2.4 Representationskompetens – indikatorer i text:

• Uppgifter där olika representationsformer presenteras

• Uppgifter där eleven ges möjlighet att se samband mellan dessa olika representationer

Exempel 5. Representation - Bildmodell och symboler


28


Uppgiften ovan kategoriseras som en uppgift relaterad till representationskompetens. Addit-

ions- och subtraktionsuppgifterna konkretiseras med hjälp av de blåa och gröna bollarna, vilket

ger eleven en möjlighet att se sambandet mellan dessa och siffrorna/symbolerna. Detta visar

exempel på hur matematiska symboler och bildmodeller sammanlänkas (Häggblom, 2013).

Exempel 6. Representation - Bildmodell och symboler

18. Fyll i multiplikationstabellen 5x5 - Skriv i de saknade produkterna


Uppgiften är ett exempel som har kategoriserats som testandet av elevens representations-

kompetens. Uppgiften innehåller en kvadrat med tal mellan 1-25. Uppgiften går ut på att

markera alla tal som saknas i femmans tabell. Multiplikationstabellen fungerar som en

bildmodell som samspelar med talen i uppgiften, d.v.s. en koppling mellan bild och symbol.

Ytterligare exempel på uppgifter som kategoriseras som representationskompetens är uppgifter

där bilder, konkreta modeller, symboler eller vardaglig text samspelar (Häggblom, 2013).

6.2.5 Kommunikationskompetens – indikatorer i text:

• Uppgifter som uppmanar till att eleven visa sin lösning

• Uppgifter som ger utrymme till att kommunicera med matematiska symboler, begrepp

och uttrycksformer


29

Exempel 9. Kommunikation - Visa hur

3. Visa hur du löser uppgiften och skriv svar.

a) På skolans vind finns 116 trästolar och 246 plaststolar. Hur många stolar

finns det sammanlagt?


I denna uppgift uppmanas eleven att visa och skriva ner sin lösning. Detta kräver en

kommunikativ förmåga och uppgiften hamnar därför under kommunikationskompetens. Att

kunna kommunicera innebär att kunna visa sin lösning för en mottagare (Lithner m.fl., 2010). I

denna uppgift blir läraren mottagare där eleven får visa sin lösning.

Exempel 10. Kommunikation



ord.

3. Kvaddy kastar tre tärningar. Summan blir 12. Vad kan tärningarna visa?

Försök hitta så många förslag som möjligt. Hur många förslag hittar du om

summan är 10?


Exemplet ovan kommer från problemlösningsdelen i appen och visar som de andra problemen

prov på hur kommunikationskompetensen testas. Som nämnts tidigare uppmanas eleven att visa

sina svar vilket tränar kommunikationskompetensen. Enligt definitionen som analysverktyget

utgår från ska eleven kunna tolka och förstå information som kan vara både skriven, muntlig

och visuell. Dessutom innebär kompetensen att kunna kommunicera sin lösning till en motta-

gare (Lithner m.fl., 2010). I uppgiften ska så många förslag som möjligt hittas, och visas, och

på så sätt övas kommunikationskompetensen.

Alla uppgifter som erbjuder eleven en möjlighet att visa sin beräkning placeras under

kommunikationskompetens. Rita, skriva och använda symboler innebär alla sätt att kommuni-


30

cera sin lösning (Häggblom, 2013). Då matematiska symboler redan innan finns ditplacerade,

exempelvis: __-__=___, kategoriserats inte uppgiften som kommunikationskompetens.

6.3 Reliabilitet och validitet

Hög reliabilitet uppnås ifall det iakttagits en hög noggrannhet vid mätningarna och om

resultatet blir detsamma vid en andra mätning, eller om mätningen skulle genomföras av någon

annan. Om en annan person kan rekonstruera forskningen och kommer fram till samma resultat

anses intersubjektiviteten vara god (Bergström & Boréus, 2012). Innan materialinsamlingen

genomfördes en pilotstudie där tio slumpade uppgifter, från båda läromedlen, analyserades av

båda författarna. En pilotstudie innebär att analysverktyget används på en liten del av det

material som analysen avser. Fördelen med detta är att eventuella problem kan identifieras och

korrigeras (Bergström & Boréus, 2012). Efter den inledande insamlingen jämfördes resultaten

med varandra, vilket visade att samma resultat uppnåtts i 8 av 10 analyserade uppgifter. I de två

uppgifter som inte överensstämde var det resonemangskompetensens förekomst som skapade

osäkerhet. Uppgifterna diskuterades då tills en samstämmighet i bedömningen nåddes och

analysverktyget korrigerades därefter. I det vidare arbetet med analysen fördes ständigt

diskussioner mellan författarna där uppgifternas innehåll låg i fokus. Det skulle kunna

ifrågasättas att tio uppgifter är för lite för att fastställa att reliabiliteten och intersubjektiviteten i

pilotstudien är god. Men med tanke på att analyserna av de båda läromedlen skedde simultant

samt att de resultat som inte överensstämde diskuterades kan ändå reliabiliteten och

intersubjektiviteten anses hög.

Validitet innebär att den metod som används mäter det som den faktiskt ämnar att mäta (Berg-

ström & Boreus, 2012). Som Kilpatrick (1992) skriver måste frågan ställas ifall forskningsme-

toden har möjliggjort att studiens syfte faktiskt har uppfyllts. Studiens framarbetade

analysverktyg stärker studiens validitet och möjliggör samtidigt uppfyllandet av syftet: att

identifiera samt jämföra matematiska kompetenser i ett digitalt respektive ett tryckt läromedel.

Validiteten kan anses hög då verktyget även är kopplat till PISA:s ramverk (OECD, 2009) samt

till Häggbloms (2013) forskning. Indikatorerna i text, som är en del av verktyget, gör det tydligt

vad som söks i läromedlen. I likhet med att validiteten höjs av analysverktyget kan även

reliabiliteten sägas stärkas. Analysverktyget kan användas på vilket matematiskt läromedel som

helst för att identifiera kompetenserna. Att vem som helst skulle kunna använda verktyget för


31

att genomföra en analys på denna studies empiri kan dessutom visa på hög intersubjektivitet.

För att en hög intersubjektivitet ska kunna uppnås behöver forskning argumenteras för grund-

ligt. Det kan exempelvis ske i form av citat från texter eller beskrivningar av olika bilders detal-

jer (Bergström & Boréus 2012). Att så sker i denna studies analysverktyg stärker således

reliabiliteten i arbetet. Med det sagt kan exemplen som ingår i analysverktyget å ena sidan höja

studiens reliabilitet, men å andra sidan bli föremål för tolkning, vilket då istället sänker

reliabiliteten. Det senare argumentet går dock att tillbakavisa då exemplen ska ses som just

exempel och ändå kan appliceras på andra läromedel. I övrigt är det också viktigt att komma

ihåg att analysverktyget inte mäter på vilken nivå kompetenserna testas eller hur uppgifterna

varieras. Exempelvis kan inte analysen besvara vilken svårighetsgrad problemlösningen ligger

på, vilka representationsformer som samspelar eller vilken typ av procedur som förekommer

mest frekvent i läromedlen.

Vid materialinsamlingen fördes kontinuerligt protokoll över identifierade kompetenser. Då

flera kompetenser identifierades i en och samma uppgift prickades alla dessa in. När alla

uppgifter analyserats räknades den totala mängden kompetenser samman och den procentuella

fördelningen fördes in i ett diagram. Eftersom analysen genomfördes enskilt fördes anteck-

ningar kontinuerligt under hela processen. Vid tveksamheter kring klassificering av en uppgift

markerades detta i dokumenten för att sedan kunna diskuteras författarna emellan. Detta för att

öka samstämmigheten och minska oklarheter i klassificeringen, vilket skulle kunna sägas styrka

både studiens reliabilitet och validitet (Bergström & Boréus, 2012).

6.4 Arbetsfördelning

Då vi är två författare till denna uppsats har analysen delats upp mellan oss båda. Erik ansvarar

för analysen av boken Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) medan Anton ansvarar för

analysen av det digitala läromedlet, appen Matte 3 – Rymdäventyret (Learning Excursion,

2016). Analysuppdelningen har inneburit att båda, var för sig, tagit fram exempel till analys-

verktyget och underbyggt detta utifrån de teoretiska ramarna. Därutöver har insamlandet av

empiriskt material samt sammanställningen av resultaten gjorts individuellt. Under analysen

har dock en ständig diskussion förts mellan oss, och vi har samarbetat för att undvika oklar-

heter. Samarbetet har bidragit till en ökad insikt i varandras analysarbete och även gett oss en


32

större inblick i ämnet i stort. I övrigt har uppsatsen skrivits tillsammans där båda bidragit med

både informationshämtande och skrivande i alla kapitel.

6.5 Forskningsetiska principer

De forskningsetiska principerna har inte behövt beaktas i någon större utsträckning, då studien

varken innefattar observationer eller intervjuer. För att undvika att upphovsrättsliga bestämmel-

ser bryts har de båda läromedelsförlagen kontaktats och tillåtelse att använda bilder från de

båda läromedlen har beviljats (Karlsson, 2017; Torres, 2017).

7. Resultat

Studiens syfte om att undersöka de matematiska kompetensernas förekomst i läromedel besva-

ras i de nedan beskrivna resultaten. Kapitlet inleds med en beskrivning av de identifierade

kompetenserna, där resultaten är uppdelade efter det tryckta och det digitala läromedlet. Dia-

gram 1 visar resultatet från Favorit matematik 3A och Diagram 2 för Matte 3 – Rymdäventyret.

Den andra delen av resultatet visar en sammanställning av resultaten där de båda läromedlen

jämförs, vilket visas i Diagram 3.

7.1 Kompetenser i Favorit matematik 3A

I läromedlet Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) analyserades 297 uppgifter. Dia-

gram 1 visar resultatet av analysen där staplarna visar den procentuella förekomsten av de

matematiska kompetenserna i läromedlet.

Diagram 1. Resultat för Favorit matematik 3A


33

Resultatet från analysen av Favorit matematik 3A (Karppinen m.fl., 2013) visar att i princip

alla (95%) uppgifter identifieras som procedurkompetens. Representationskompetensen är

också relativt vanligt förekommande där över hälften av uppgifterna kategoriserats inom den

kategorin. Vidare visar resultatet att 39% av uppgifterna uppmanar eleverna till att

kommunicera matematiskt. De två kompetenser som förekommer mer sällan är problem-

lösningskompetensen och resonemangskompetensen. Ungefär en femtedel av uppgifterna

innefattar ett problemlösande moment och resonemangskompetensen identifierades i endast 7%

av de analyserade uppgifterna. Delar av resultatet överensstämmer med flera tidigare

genomförda studier. Vad gäller resonemangskompetensen har även tidigare studier visat på att

resonemangsuppgifter förekommer i låg utsträckning i matematikläromedel (Jäder, 2015;

Stylianides, 2009). Däremot går andra delar av resultatet emot tidigare studier. Även om

problemlösning i denna analys förekommer mer sällan än andra kompetenser, visar resultatet

på större förekomst än i andra undersökningar. Exempelvis Brehmer & Van Steenbrugges

(2016) studie som visade att endast 5,45% av uppgifter i svenska matematikläromedel riktade

mot gymnasiet, innehåller problemlösning.


34

7.2 Kompetenser i Matte 3 - Rymdäventyret

Precis som i diagram 1 visar diagram 2 i vilken utsträckning kompetenserna identifierades i

uppgifterna. Diagram 2 presenterar resultatet av det digitala läromedlet Matte 3 – Rymdäventy-

ret (Learning Excursion, 2016) där 120 uppgifter ingått i analysen.

Diagram 2. Resultat för Matte 3 - Rymdäventyret

I likhet med resultatet från det tryckta läromedlet framkommer det att procedurkompetensen är

den kompetens som förekommer i flest uppgifter. Som diagrammet ovan visar identifierades

procedurkompetensen i samtliga 120 analyserade uppgifter. Näst efter procedurkompetensen

förekom representationskompetensen i högst utsträckning. Den testas i över 8/10 uppgifter och

dessa två kompetenser utmärker sig på så sätt från de övriga kompetenserna. Procedur- och

representationskompetenserna är de två kompetenser som med marginal identifieras i flest

uppgifter. Detta beror på att varken problemlösnings-, resonemangs- eller kommunikations-

kompetensen ingår i någon annan del av appen än i problemlösningsdelen. I den spelbaserade

delen av appen erbjuds således inget övande av några andra kompetenser än procedur eller

representation. I problemlösningsdelen förekommer däremot de andra kompetenserna i

samtliga uppgifter och problemlösningsdelen utgör knappt 30% av alla uppgifter i appen

(33/120). Detta resultat går emot tidigare forskning som visat på ett lågt innehåll av

problemlösningsuppgifter i svenska matematikläromedel. Där endast 5,45% av 5722 uppgifter

innehöll problemlösning (Brehmer & Van Steenbrugge, 2016). Även förekomsten av


35

kommunikationskompetensen skiljer sig från tidigare forskning. I det digitala läromedlet testa-

des kommunikationskompetensen i 28% av alla uppgifter medan Boesens m.fl. (2016)

forskning visade på en klart högre förekomst av kommunikationstestande i sitt undersökta

material.

7.3 Jämförelse mellan läromedlen

För att besvara studiens syfte om att jämföra ett digitalt respektive ett tryckt läromedel har det

analyserade materialet sammanställts. Precis som i de övriga diagrammen visar staplarna

förekomsten av kompetenser i läromedlen.

Diagram 3. Sammanställning av resultat

Som diagrammet visar förekommer fyra av de fem undersökta kompetenserna mer frekvent i

det digitala än i det tryckta läromedlet. Dessa kompetenser är problemlösnings-, resonemangs-,

procedur- samt representationskompetens. Vad gäller procedurkompetens och problem-

lösningskompetens visar dock diagrammet på liknande resultat från de båda läromedlen. Båda

domineras av procedurkompetens medan problemlösningskompetens förekommer mer sällan

(20% i det tryckta och 28% i det digitala läromedlet). Resonemangs- och representations-

kompetenserna förekommer å andra sidan betydligt mer frekvent i det digitala läromedlet.

Gällande resonemangskompetens går resultatet från det digitala läromedlet emot andra studier

som undersökt matematikläromedel, då resonemangskompetensen tidigare identifierats i en

begränsad andel av uppgifter som analyserats (Boesen m.fl., 2016). Den enda kompetens som


36

identifierades mer frekvent i det tryckta läromedlet var kommunikationskompetensen. Där 39%

identifierades i det tryckta läromedlet medan 28% identifierades i det digitala.

8. Diskussion

Med utgångspunkt i de ovan presenterade resultaten diskuteras studiens implikationer ytterli-

gare i detta kapitel. Resultaten jämförs med tidigare forskning och kopplas samtidigt mot risker

och fördelar med användandet av dessa läromedel. Diskussionen beskriver studiens bidrag till

forskningen om kompetenser samt vad som skulle kunna ligga till grund till vidare forskning

inom området.

8.1 Vilka kompetenser ges plats?

På ett övergripande plan visar resultatet av analysen på en ojämn fördelning av de matematiska

kompetensernas i läromedlen. Procedurkompetensen dominerar i sin förekomst och identifiera-

des i nästa alla av de analyserade uppgifterna. Detta resultat kan sägas styrka andra forskares

resonemang om att procedurkompetensen ges ett alltför stort utrymme inom matematiken. Att

för mycket fokus läggs på beräkningar och metod kan innebära en alltför isolerad kunskap vil-

ket kan medföra mer skada än nytta för elevers matematiska kunnande (Brown m.fl., 2006). Å

andra sidan menar Star (2005) att procedurkompetensen bör ges en central roll inom matemati-

ken och att den kan läras mer på djupet än vad andra forskare menar. Eftersom denna studie har

ett textperspektiv kan endast det som identifieras i uppgifterna diskuteras och inte elevernas

förståelse för procedurer. Vad som dock blir tydligt i analysen är att procedurkompetensen är

vanligast förekommande och på så sätt troligtvis den kompetens som övas mest och ges störst

utrymme vid användning av läromedlen. Fördelen med ett läromedel som domineras av

proceduruppgifter är att eleverna kan ges en möjlighet att öva och bli förtrogna med de

matematiska metoderna (Star, 2005). Detta går även i linje med Lithners m.fl. (2010) forskning

som visar på vikten av förtrogenhet till hur matematiska procedurer kan identifieras och lösas.

Nackdelen är å andra sidan att undervisningen skulle kunna bli ensidig och få ett begränsat

innehåll av andra kompetenser. En kompetensvarierad undervisning är något som enligt både

Niss & Højgaard (2011) och Voutsina (2012) gynnar elevens matematiska prestationer och

samtidigt behövs för att flexibelt kunna använda matematik i olika kontexter.


37

Representationskompetensen identifierades också i en majoritet av de analyserade uppgifterna i

de båda läromedlen. Häggblom (2013) benämner vikten av att se sambandet mellan olika

representationsformer (se figur 1), och samtidigt ha förståelse för innebörden av dessa. I och

med detta ges eleven i båda läromedlen, och framför allt i det digitala, en möjlighet att

konkretisera den abstrakta matematiken, och samtidigt få förståelse för innebörden av olika

begrepp. Detta konkretiserande är enligt Lithner m.fl. (2010), en central del i representations-

kompetensen. Vad som även framskrivs av flera forskare är hur de matematiska kompetenserna

samspelar och beror av varandra (Lithner m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011). Detta

exemplifieras i Stylianous (2011) forskning som visar på vikten av representationskompetens

när det kommer till lösande av problemuppgifter. Med detta i åtanke kan användandet av

läromedlen innebära en möjlighet för eleven att även utveckla sin problemlösande förmåga, där

representationsformerna kan används som ett matematiskt verktyg.

De kompetenser som i läromedlen identifierades mest sällan var resonemangs- och

problemslösningskompetensen. Resultatet gällande dessa kompetenser går, som nämnts, i

samma riktning som tidigare studier vilka visat på ett begränsat innehåll av problemlösande och

resonerande aktiviteter i både läromedel och provuppgifter (Boesen m.fl., 2016; Brehmer &

Van Steenbrugge, 2016; Johansson, 2003). Problemlösningsuppgifter har dock förekommit än

mer sällan i tidigare studier så resultatet kan således också sägas vara ett steg i rätt riktning.

Den begränsade andelen resonerande och problemlösande i läromedlen kan dock ses problema-

tisk. Tidigare forskning kring de matematiska kompetenserna har konstaterat att både

problemlösning och resonerande bör ses som en betydande del i det matematiska kunnandet

(Kilpatrick m.fl., 2001; Lithner m.fl., 2010; Niss & Højgaard, 2011). Att resultaten visar ett

begränsat innehåll av vissa kompetenser innebär följaktligen att elevens möjlighet att utveckla

dessa förmodligen försvåras.

8.2 Vad innebär en ojämn fördelning av matematiska kompetenser?

Som tidigare nämnts är matematik det ämne där lärare uppger att de använder läromedel i störst

utsträckning (Skolverket, 2008). Även Säfström (2013) nämner hur dagens målbaserade läro-

plan inneburit mer undervisning med läromedel i fokus. Eftersom de ovan diskuterade resulta-

ten inte visar på jämvikt i fördelning av kompetenser blir det därför relevant att diskutera


38

potentiella risker med en läromedelsbaserad undervisning. Som Hiebert (2003) nämner lär sig

elever när de ställs inför aktiviteter och processer som övar kompetenserna. Elever som aldrig

får möta exempelvis problemlösning i undervisningen kommer således inte få möjlighet att öva

problemlösning och utveckla sin problemlösningskompetens. För lärare innebär det med andra

ord:

If one wants students to acquire particular kinds of knowledge and skill,

then one must provide them opportunities to do so.

Hiebert (2003, s. 10)

Om lärare i matematikundervisningen utgår från läroböcker finns en risk att elevens möjlig-

heter att utveckla alla de matematiska kompetenserna begränsas. Med resultaten av denna ana-

lys i åtanke kan procedur- samt representationskompetens ses utgöra en betydande del i

undervisningen och vara det innehåll som eleverna erbjuds att utveckla. På samma sätt blir

resonemangs- och problemlösningskompetenserna i läromedlen i viss mån förbisedda. Fördel-

ningen av kompetenser kan också problematiseras utifrån idén om att kompetenserna inte en-

bart kan övas en och en (Kilpatrick m.fl., 2001; Niss & Højgaard, 2011). Att inte alla

kompetenser erbjuds i samma utsträckning innebär således en risk att eleverna inte ges möjlig-

het till en helhetssyn på matematik. Att vara matematiskt kompetent innebär att ha förtrogenhet

med alla de matematiska kompetenserna (Niss & Højgaard, 2011).

Resultatet av analysen går även i linje med Boesens m.fl. (2010) studie på nationella prov.

Även där dominerar procedur- och representationskompetens och detta syns tydligast i proven

för årskurs 3. Eftersom Boesens m.fl. (2010) studie även undersökt prov i de äldre åldrarna går

kompetensinnehållet att jämföras årskurserna emellan, där det visades att problemlösnings-,

resonemangs- och kommunikationskompetenserna ökade högre upp i åldrarna. Niss &

Højgaard (2011) nämner vikten av att alla kompetenser är en del i undervisningen i alla åldrar,

vilket leder till att resultaten i både Boesens m.fl. (2010) och föreliggande studie kan ses

problematiska.


39

8.3 För- och nackdelar med ett digitalt läromedel

Vid jämförelsen mellan det digitala och det tryckta läromedlet visar resultatet att båda dessa

domineras av procedurkompetens. En elev som använder appen kan således sägas erbjudas lika

mycket procedurhanterande som den elev som istället använder det tryckta läromedlet. Tidigare

forskning har visat hur digitala verktyg gått från mestadels repetition och procedur till att även

innehålla problemlösning och resonemang (Carlsen, 2013; Samuelsson, 2006). Precis som i

tidigare forskning visar resultatet av denna studie på ett innehåll av alla kompetenser i det digi-

tala läromedlet, men det är som sagt fortfarande procedurkompetensen som dominerar. Dock

har en fördel med digitala läromedel visats vara just övandet på procedurer, eller färdighetsträ-

ning. Eleverna behöver inte fokusera på sin egen finmotorik utan kan istället fokusera på det

matematiska. Digitala läromedel har även visats få elever mer uthålliga och villiga att lösa en

större mängd uppgifter (Gyllenstig Serrao, 2017; Ryan, 2012; 2015). I vilken mån eleverna tar

till sig förståelsen för procedurkompetens skulle alltså kunna skilja sig beroende på om ett digi-

talt eller tryck läromedel används.

Att det digitala läromedlet testar alla kompetenser och i flera kategorier i större utsträckning än

det tryckta, kan dock diskuteras ytterligare. Vid analysen av det digitala läromedlet

uppmärksammades att uppgifterna genom spelets gång upprepas i större utsträckning än i det

tryckta läromedlet, där alla kompetenser identifierades i alla delar. I det digitala läromedlet

innehåller den spelbaserade delen endast procedur- och representationskompetens medan de

andra kompetenserna identifierades i appens problemlösningsdel. Risken med detta är att elever

som inte använder alla appens delar således går miste om möjligheten att utveckla alla matema-

tiska kompetenser. Detta resonemang går i linje med både Jäders (2015) och Brehmer & Van

Steenbrugges (2016) tankar som i sina studier också problematiserar att uppgiftstyper inte

varieras genomgående i läromedel.

8.4 Studiens bidrag till forskningsläget

Syftet med denna studie har varit att identifiera samt undersöka i vilken utsträckning matema-

tiska kompetenser förekommer i läromedel. I och med att den tidigare forskningen kring

matematiska kompetenser är begränsad fyller detta arbete ett tomrum inom området. Större


40

delen av forskningen riktas mot elever och läromedel i äldre årskurser. Niss & Højgaard (2011)

nämner dock vikten av att möta dessa kompetenser tidigt och föreliggande studie bidrar därför

med kompetensbaserad forskning riktad mot läromedel i grundskolans yngre åldrar. Vidare har

tidigare forskning enbart kunnat svara på förekomsten av en eller ett fåtal kompetenser i

läromedel (Brehmer & Van Steenbrugge, 2016; Jäder, 2015; Stylianides 2009) medan denna

studies resultat kan uppvisa en mer övergripande bild. Föreliggande studie har empiriskt testat

ett kompetensbaserat ramverk vilket blir relevant med tanke på Niss & Højgaards (2011)

resonemang om att alla kompetenser är sammanlänkade. Vad gäller de studier som tidigare

undersökt kompetenserna ur ett helhetsperspektiv har dessa då riktats mot prov och inte mot

läromedel (Boesen m.fl., 2016; Johansson, 2003). Inriktningen mot läromedel ger således

ytterligare en infallsvinkel till forskningen om kompetenser. Läromedel granskas inte i samma

utsträckning som de nationella proven (Calderon, 2015; Skolverket, 2016d), vilket tillför

ytterligare relevans att undersöka läromedel istället för prov.

8.5 Konklusion

Som nämnts i inledningen har vi båda två erfarenheter av att innehållet i digitala läromedel är

mer ensidigt och inriktat mot färdighetsträning. Resultatet i denna studie kan därför ses en

aning överraskande där alla kompetenser identifierades i både det digitala och det tryckta

läromedlet. Jämförelsen visade även att det digitala läromedlet innehöll en större andel uppgif-

ter som testade bland annat problemlösning och resonemang. Studien har gett oss en större

förståelse för vikten av att som lärare granska de läromedel som används i undervisningen. Ef-

tersom både denna och tidigare studier visat på en dominans av proceduruppgifter finns en risk

att elever inte erbjuds möjlighet att utveckla alla kompetenser. Läraren kan därför behöva

komplettera läromedlet med annan undervisning och framför allt lyfta in delar om

problemlösning och resonemang. Det är dock viktigt att poängtera att denna studie endast

undersökt två läromedel inom matematik. Vi kan därför inte uttala oss om digitala och tryckta

matematikläromedel i allmänhet utan resultaten visar endast på kompetensfördelningen inom

just de två läromedel vi analyserat. Generaliserbarheten av vårt resultat blir därför begränsad

och går inte i nuläget att applicera på andra läromedel. Ramverket vi konstruerat kan dock

användas vid analys andra läromedel och en mer omfattande undersökning skulle därför kunna

genomföras i syfte att öka generaliserbarheten. Vi anser ändå att vårt arbete för oss medfört en


41

djupare insikt i det matematiska innehållet i de undersökta läromedlen, samt ökat vår förståelse

för att alla matematiska kompetenser behöver utvecklas.

8.6 Vidare forskning

Då denna studie endast riktas mot läromedel i årskurs 3 finns en relevans i att göra en vidare

undersökning av läromedel inom andra åldrar. En sådan studie skulle kunna svara på vilka

kompetenser som testas i olika årskurser samt vilka kompetenser som premieras i de olika åld-

rarna. Även om denna studie i viss mån kan jämföras med Boesens m.fl. (2016) studie om

matematiska kompetenser i nationella prov, skulle en undersökning av läromedel från olika

åldrar kunna ge en bredare jämförelse. Exempelvis skulle läromedel från alla årskurser som

genomför de nationella proven kunna jämföras med Boesens m.fl. (2016) resultat från

provuppgifter. Vidare skulle studien också kunna byggas ut till att undersöka ett större material

av både digitala och tryckta läromedel. Detta skulle ge en mer underbyggd analys av läromed-

len inom matematikämnet, och på så sätt kunna svara mer generellt på vilket innehåll som er-

bjuds.

Med tanke på att kompetensernas definitioner riktas mot elevens eget kunnande (Lithner m.fl.,

2010) skulle också den vidare forskningen kunna undersöka elevers utveckling och användande

av läromedlen. Kompetenserna har dock tidigare undersökts ur ett elevperspektiv (Häggblom,

2013), men att observera och samtidigt granska innehållet i läromedel skulle ge ytterligare en

dimension till forskningen.


42

10. Referenslista Bergqvist, E. (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet [Elektronisk resurs]:

grundskolan våren 2009. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet.

Tillgänglig: http://ncm.gu.se/media/ncm/forskning/kunskapsoversikt_ncm_ufm_gr.pdf Hämtad: 2017-04-22

Bergström, G. & Boréus, K. (red.) (2012). Textens mening och makt: metodbok i samhällsvetenskaplig text- och

diskursanalys. 3., [utök.] uppl. Lund: Studentlitteratur

Boesen, J. (2006). Assessing mathematical creativity: comparing national and teacher-made tests, explaining

differences and examining impact. Umeå: Umeå universitet, 2006. Tillgänglig: http://umu.diva-

portal.org/smash/get/diva2:144670/FULLTEXT01.pdf Hämtad: 2017-04-10

Boesen, J., Lithner, J. & Palm, T. (2016). Assessing mathematical competencies: an analysis of Swedish national

mathematics tests. Scandinavian Journal of Educational Research. Tillgänglig:

http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00313831.2016.1212256?needAccess=true Hämtad: 2017-04-10

Brehmer, D., Ryve, A. & Van Steenbrugge, H. (2016). Problem solving in Swedish mathematics textbooks for

upper secondary school, Scandinavian Journal of Educational Research, vol. 60:6, ss. 577-593

Brown, S., Seidelmann, A., & Zimmermann, G.(2006). In the trenches: Three teachers' perspectives on moving

beyond the math wars. [Elektronisk resurs]. Tillgänglig: http://mathematicallysane.com/analysis/trenches.asp

Hämtad: 2017-05-11

Calderon, A. (2015). Hur väljs och kvalitetssäkras läromedel. Stockholm: Skolverket [Elektronisk resurs].

Tillgänglig: https://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/didaktik/tema-laromedel/hur-valjs-och-

kvalitetssakras-laromedel-1.181769 Hämtad: 2017-05-10

Carlsen, M. (2013). Barns bruk av digitale verktøy i barnehagen: muligheter for å gjøre seg matematiske

erfaringer, Nordic Studies in Mathematics Education, vol: 18:3, ss. 5-26. Tillgänglig:

http://ncm.gu.se/pdf/nomad/18_3_005026_carlsen.pdf Hämtad: 2017-05-03

Fan, L., Zhu, Y. & Miao, Z. (2013). Textbook research in mathematics education: development status and

directions. ZDM Mathematics Education (2013) vol. 45, ss. 633-646

Findahl, O. & Davidsson, P. (2015). Svenskarna och internet: 2015 års undersökning av svenska folkets

internetvanor. SE, Stiftelsen för internetinfrastruktur

Gyllenstig Serrao, F. (2017). Minecraft som pedagogiskt verktyg. Stockholm: Natur & Kultur


43

Herheim, R. (2010). Communication and learning at computers: an overview. Nordic Studies in Mathematics

Education, vol. 15:2, ss. 69–94. Tillgänglig: http://ncm.gu.se/pdf/nomad/15_2_069094_herheim.pdf Hämtad:

2017-04-13

Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM Standards. Ingår i: Kilpatrick, J., Martin, W. G. &

Schifter, D. (red.) (2003). A research companion to Principles and standards for school mathematics. Reston, VA:

National Council of Teachers of Mathematics

Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur

iTunes (2017). Matte 3 – Rymdäventyret. [Elektronisk resurs]. Tillgänglig: https://itunes.apple.com/se/app/matte-

3-rymd%C3%A4ventyret/id1051245946?mt=8 Hämtad: 2017-05-09

Johansson, M. (2003). Textbooks in mathematics education: a study of textbooks as the potentially implemented

curriculum. Licentiate Thesis. Luleå: Luleå tekniska universitet, 2003. Tillgänglig: https://www.diva-

portal.org/smash/get/diva2:991466/FULLTEXT01.pdf

Jäder, J. (2015). Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang. Licentiate Thesis. Lindköping:

Lindköpings universitet, 2015. Tillgänglig: 2017-04-13

Jönsson, P. (2015). Mattestöd på nätet – på gott och ont. Stockholm: Skolverket [Elektronisk resurs]. Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/skolutveckling/resurser-for-larande/itiskolan/sa-arbetar-andra/matematik/mattestod-pa-

natet-pa-gott-och-ont-1.190018 Hämtad: 2017-04-10

Karlsson, K. (2017). Email 8 maj. < [email protected] >

Karppinen, J., Kiviluoma, P. & Urpiola, T. (2013). Favorit matematik. 3A. 1. uppl. Lund: b Studentlitteratur

Kilpatrick, J. (1992). Beyond Face Value: Assessing Research in Mathematics Education. Georgia: University of

Georgia

Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red.) (2001). Adding it up: helping children learn mathematics.

Washington, D.C.: National Academy Press

Learning Excursions Exc AB (2016) Matte 3 – Rymdäventyret (version: 1.0.2) [App]. Tillgänglig:

https://appsto.re/se/61lQ-.i Hämtad: 2017-04-10

Lithner, J., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Boesen, J., Palm, T. & Palmberg, B. (2010). Mathematical Competencies:

a Research Framework, Umeå: Umeå universitet. Mathematics and mathematics education: Cultural and social

dimensions / [ed] Bergsten, Jablonka & Wedege, Linköping, Sweden: Svensk förening för matematikdidaktisk

forskning, SMDF, 2010, ss. 157-167


44

Lundström, P-Å. (2010). Läromedel som stöd eller hinder? Analys av två läromedel i matematik utifrån

kompetensmålen. Göteborg: Göteborgs universitet. Tillgänglig:

http://ncm.gu.se/media/namnaren/npn/2011_4/lundstrom_uppsats.pdf Hämtad: 2017-04-10

Midgett, C. W. & Eddins, S. K. (2001). NCTM's Principles and Standards for School Mathematics: Implications

for administrators. National Association of Secondary School Principals. NASSP Bulletin, vol. 85:623, ss. 35-42

Mullis, I. V. S. (red.) (2009). TIMSS advanced 2011 assessment frameworks. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS

International Study Center

Nationalencyklopedin, NE. (2017). Kompetenser. NE.se [Elektronisk resurs]. (2000-). Malmö:

Nationalencyklopedin Tillgänglig:

http://www.ne.se.ezproxy.its.uu.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/kompetens-(juridik) Hämtad: 2017-04-

25

Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM. (2017). Mattebron. Nämnaren [Elektronisk resurs]. (1980-).

Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Tillgänglig:

http://mattebron.ncm.gu.se/node/574 Hämtad: 2017-04-23

Niss, M. & Højgaard, T. (red.) (2011). Competencies and Mathematical Learning Ideas and inspiration for the

development of mathematics teaching and learning in Denmark. English edition. IMFUFA, Roskilde University

OECD (2009). PISA 2009 Assessment framework: key competencies in reading, mathematics and science. Paris:

Organisation for Economic Co-operation and Development

Palm, T., E Bergqvist, E., Eriksson, I., Hellström, T. & Häggström, C-M. (2004). En tolkning av målen med den

svenska gymnasiematematiken och tolkningens konsekvenser för uppgiftskonstruktion. PM Nr 199, Umeå: Umeå

universitet

Rezat, S. & Strässer, R. (2015). Methodological issues and challenges in research on mathematics textbooks.

Nordic Studies in Mathematics Education, vol. 20:3-4, ss. 247–266

Ryan, U. (2012). Matematik för den digitala generationen. Nämnaren [Elektronisk resurs]. (1980-). Göteborg:

Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Tillgänglig:

http://ncm.gu.se/media/stravorna/8/a/8A_ryan.pdf Hämtad: 2017-04-23

Ryan, U. (2015). Digital matematik för yngre elever. Stockholm: Skolverket [Elektronisk resurs]. Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/skolutveckling/resurser-for-larande/itiskolan/sa-arbetar-andra/matematik/digital-

matematik-for-yngre-elever-1.186692 Hämtad: 2017-04-23


45

Samuelsson, J. (2006). The Impact of Teaching Approaches on Students’ Mathematical Proficiency in Sweden.

International Electronic Journal of Mathematics Education - IΣJMΣ -vol. 5:2, ss. 61-78

Skolverket (2016b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2016. 3.,

kompletterade uppl. (2016). Stockholm: Skolverket

Skolverket. (2008). TIMSS 2007: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett

internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket

Skolverket. (2016a). It-användning och it-kompetens i skolan. Stockholm: Skolverket. [Elektronisk resurs].

Tillgänglig: https://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-

publikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycks

ak%2FBlob%2Fpdf3617.pdf%3Fk%3D3617 Hämtad: 2017-04-10

Skolverket. (2016c). TIMSS 2015: svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett

internationellt perspektiv. Stockholm: Skolverket. [Elektronisk resurs]. Tillgänglig:

http://www.skolverket.se/publikationer?id=3707. Hämtad: 2017-05-03

Skolverket. (2016d). Nationella prov. Stockholm: Skolverket [Elektronisk resurs]. Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/bedomning/nationella-prov Hämtad: 2017-05-01

Stacy K. & Vincent J. (2009). Modes of reasoning in explanations in Australian eighth-grade mathematics

textbooks. Educational Studies in Mathematics, vol. 72, ss. 271–288

Star, J. (2005). Reconceptulizing procedural knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, vol.

36:5, ss. 404- 411. Tillgänglig:

http://cognitrn.psych.indiana.edu/rgoldsto/courses/cogscilearning/starprocedural.pdf Hämtad: 2017-05-05

Star, J. (2007). Foregrounding procedural knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, vol. 38:2,

ss. 132-135. Tillgänglig: https://www.jstor.org/stable/pdf/30034953.pdf Hämtad: 2017-05-03

Statens medieråd. (2015). Ungar & medier: fakta om barns och ungas användning och upplevelser av medier.

(2005-). Stockholm: Medierådet. [Elektronisk resurs]. Tillgänglig: http://www.statensmedierad.se Hämtad: 2017-

04-10

Studentlitteratur (2017). Favorit matematik 3A. [Elektronisk resurs]. Tillgänglig:

https://www.studentlitteratur.se/#9789144084435/Favorit+matematik+3A+-+Elevpaket+(Bok+++digital+produkt)

Hämtad: 2017-05-09


46

Stylianides, G. J. (2009). Reasoning-and-Proving in School Mathematics Textbooks, Mathematical Thinking and

Learning, vol. 11:4, ss. 258-288

Stylianou, D. A. (2011). An examination of middle school students’ representation practices in mathematical

problem solving through the lens of expert work: Towards an organizing scheme. Educational Studies in

Mathematics, vol. 76, ss. 265–280. Tillgänglig: http://link.springer.com/article/10.1007/s10649-010-9273-2

Hämtad: 2017-04-25

Säfström, A. I. (2013). Exercising Mathematical Competence: Practising Representation Theory and Representing

Mathematical Practice [Elektronisk resurs]. Göteborg: Göteborgs universitet. Tillgänglig:

http://hdl.handle.net/2077/32484 Hämtad: 2017-04-25

Torres Jeria, N. (2017). Email 8 maj. < [email protected] >

Utbildningsdepartementet (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga skolformerna:

Lpo 94 : Lpf 94. Stockholm: Utbildningsdepartementet

Voutsina, C. (2012). Procedural and conceptual changes in young children’s problem solving. Educational Studies

in Mathematics, vol. 79, ss. 193–214. Tillgänglig: http://link.springer.com/article/10.1007/s10649-011-9334-1

Hämtad: 2017-05-03


47

11. Bilaga

Kompetens Förklaring Indikatorer i text

Problemlösnings- kompetens

- Kunna formulera och lösa matematiska problem, både öppna och stängda, rent matematiska och vardagliga - Kunna lösa problem utan en på förhand given strategi

- En matematisk undersökning krävs för att lösa uppgiften - Det finns ingen på förhand given strategi - Stängt problem: ett givet svar - Öppet problem: flera möjliga svar

Resonemangs- kompetens

- Kunna föra och följa matematiska resonemang - Förstå vad ett matematiskt bevis är - Kunna tänka ut och genomföra resonemang - Kunna argumentera för och förklara varför en lösning är rimlig

- Uppgifter där eleven uppmanas att visa sitt matematiska resonemang - Uppgifter där elever uppmanas att argumentera och/eller förklara sin lösning

Procedurs- kompetens

-Kunna utföra matematiska procedurer. -Med en procedur menas en sekvens av matematiska handlingar som är ett accepterat sätt att lösa en uppgift.

- Algoritmiska uppgifter

Representations- kompetens

- Att kunna se ett samband mellan konkreta och abstrakta ting, samt förmågan till förståelse för olika representationsformer - Språk, symboler, verklighet samt konkret- och bildmodell är exempel på representationsformer

- Uppgifter där olika representationsformer presenteras - Eleven ges möjlighet att se samband mellan dessa olika representationer

Kommunikations- kompetens

- Kunna kommunicera och tolka matematiskt innehåll - Kunna uttrycka sig matematiskt, d.v.s. visa sin lösning

- Uppgifter som uppmanar till att eleven visar sin lösning - Uppgifter som ger utrymme till att kommunicera med matematiska symboler, begrepp och uttrycksformer

Matematiska kompetenser i läromedel1113019/FULLTEXT01.pdfforskning från NCTM Principles and...

Documents

Transcript of Matematiska kompetenser i läromedel1113019/FULLTEXT01.pdfforskning från NCTM Principles and...