MATEMATIN S ANALIZ S ELEMENTAI LIETUVOS VIDURINĖ · 2020. 12. 23. · „Matematika 12...

VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS

MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS DIDAKTIKOS KATEDRA

Svetlana Martynova

MATEMATINĖS ANALIZĖS ELEMENTAI LIETUVOS VIDURINĖJE MOKYKLOJE PO 1991 METŲ

MAGISTRO BAIGIAMASIS DARBAS (Matematika)

Mokslinis vadovas: Doc. dr. Juozas Banionis

Vilnius 2005

TTUURRIINNYYSS

ĮVADAS...................................................................................................................................

3

I.

MATEMATIKOS MOKYTOJO

DARBO PAGRINDAI DABARTINIU METU

1. Bendrųjų programų ir išsilavinimo standartų analizė (matematikos kaip dalyko, tikslai, uždaviniai, didaktinės nuostatos, struktūros bei turinio trumpa apžvalga)

8

2. Matematikos mokytojas – jo pagrindinis vaidmuo. Ryšiai: mokytojas – mokinys; mokinys – mokytojas.

10

3. Dalyko integravimas ir tarpdalykiniai ryšiai. Pagalbininkai mokantiesiems.

13

4. Pažymių norma ir gradacija matematikos pamokoje- nerašytas standartas

15

II.

AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS ELEMENTAI IR JŲ DĖSTYMAS

LIETUVOS VIDURINĖJE MOKYKLOJE

1. Funkcijos. 16 2. Išvestinės. 31 3. Integralai. 56

III.

DARBO PRIEDAI

1. Atvira integruota matematikos-informatikos pamoka XI klasei. Pamokos tema: „Funkcijos savybių kartojimas. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų grafikų braižymas, taikant kompiuterinę programą „Winplot“

66

2. Bendro ir išplėstinio kurso turinys. Bendrieji ir specialieji moksleivių gebėjimai.

85

3. Pamokų skaičius. XI-XII klasių matematikos teminiai planai. 94

4. Mokomoji programa dešimtokams: matematikos dalyko pagrindinio kurso kartojimas. Testų ir kontrolinių darbų sąsiuviniai.

95

IŠVADOS..................................................................................................................................

96

SUMMARY...............................................................................................................................

97

LITERATŪRA.........................................................................................................................

98

2

ĮVADAS

XX ir XXI amžių sankirtoje visos industrinės valstybės išgyvena perėjimo iš industrinės į informacinę visuomenę laiką. Mokyklos kaita atspindi naujus visuomenės ir individo poreikius. Iki šiol mokyklos sąranga buvo panaši į valstybės sąrangą: ji buvo uždara, standartizuota ir autoritarinė, paremta viena tiesa (griežtai centralizuotas ugdymo turinys, nustatyta pamokos struktūra), neatidi individui (kurso kartojimas antrus metus, specialios mokyklos, gabiausiųjų atranka). Reformuojamos mokyklos tikslas – kuo daugiau atliepti demokratinį valstybės pobūdį, padėti ugdytis kiekvienam individui pagal jo sugebėjimus ir polinkius, atskleisti jo kūrybines galias, padėti prisitaikyti prie nuolat kintančių darbo santykių ir darbo rinkos. Kintant šiuolaikinės mokyklos tikslams, kuriuos jai kelia valstybės socialiniai, ekonominiai pokyčiai, kinta ir matematikos mokymo tikslai:

• parengti matematiškai raštingus darbuotojus, • įdiegti supratimą, kad mokytis teks visą gyvenimą, • suteikti visiems vienodas ugdimosi galimybes (pagal sugebėjimus ir polinkius).

Prasidėjus švietimo reformai, iškilo daug klausimų, kurie privertė mus diskutuoti ir eksperimentuoti. Kaip žinia, visa mokymo sistema buvo orientuota į mokomuosius dalykus ir reprodukcinį mokymą (privalomą visuotinį, kaip uniforma, neatsižvelgianti į mokinio galimybes ir poreikius). Mokomasis dalykas, o ne ugdomoji asmenybė, mokoma pažinti save ir tirti supantį pasaulį, buvo (ir dar tebėra) svarbiausias mokymo sistemos komponentas. Pats mokomasis dalykas buvo tiek išgrynintas ir formalizuotas, kad retas klausdavo savęs: o kam to ar kito mokame? Kodėl mokome tiek trigonometrijos formulių ir kodėl tiek daug jai skiriame pamokų? Kiek trigonometrijos prisireikia gyvenime (net ir studijuojant aukštojoje mokykloje)? Atsakymas yra labai paprastas: trigonometrijos mokome daug , nes yra tokios tradicijos. Tačiau jos pakaktų tiek, kiek reikia trikampio trigonometrijai ir periodiniams procesams iliustruoti. Apie realius periodinius reiškinius senoje mokykloje net nebuvo kalbama. Buvo pamiršta, kad temų „Lygtys ir nelygybės“ mokome todėl, kad jomis gali būti aprašoma daug realaus gyvenimo procesų, o logaritminius ir rodiklinius reiškinius reikia sieti su simetrija ir auginimu (pavyzdžiui, tiesiniu). Ilgus dešimtmečius tardami stebuklingą žodį tradicijos, šiandien turime pripažinti, kad pagrindinėje mokykloje (iki X klasės) matematikos mokomieji tikslai buvo vienoki, o trečioje pakopoje (nuo X iki XII klasės) – visai kitokie. Nuo pat V klasės buvo mokoma gražiosios matematikos, praleidžiant žodinius uždavinius. Matematika mūsų mokykloje tapo „menas menui“. Šiandien nepakanka „įdiegti“ taisyklių rinkinio, matematikos mokymo metodiką sutapatinant su išmokymu spręsti trafaretinius uždavinius, toleruojant sprendimą pagal pavyzdį. Šiuolaikinė mokykla privalo ugdyti kritiškai mąstančias asmenybes, gebančias gerai orientuotis netikėtose situacijose, argumentuoti savo sprendimus. Lietuvos mokykloje nuo 1991 metų buvo pradėta įgyvendinti anksčiau suformuluotieji tikslai. Imta tolti nuo didelę įtaką mokyklinei matematikai padariusio N.Bourbaki formalizavimo, kurį perėmė ir pas mus nūnai galiojanti matematikos mokymo sistema (įdiegta akademiko A.Kolmogorovo mokyklinės matematikos reformos), pradėta ir krypsta į realiąją, taikomąją, net empirinę, matematiką. Taip intuityviai bus atskiriamos griežtai mokslinė-teorinė matematika ir ugdomoji matematika. Įrodymas – didelis mokytojų aktyvumas svarstant naujas matematikos mokymo programas, lankant seminarus ir tobulinimo kursus, atestacijai parengti mokytojų metodiniai darbai. Ši tendencija pastebima visame pasaulyje ir ne tik mokykloje. Pavyzdžiui, Harvardo universiteto Calculus reform (matematinės analizės reforma), keičianti skaitinių, vaizdinių ir simbolinių matematikos pateikimo aspektų hierarchiją, rodė, kad prasidėjo universitetų aukštosios matematikos dėstymo reforma. N. Bourbaki idėjos papildė Europos matematikos mokymo sistemoje po

3

1959 metų įvykusio Reimonto seminaro, kur J.A.E.Dieudonne labai entuziastingai propagavo struktūralistinės, aibių teorija paremtos matematikos diegimą mokyklose. Šis seminaras turėjo įtakos ne tik Prancūzijos, bet ir Rusijos (tuometinės SSRS) mokyklinei matematikai. Pamažu Vakaruose tos idėjos pradėtos kritikuoti. J.A.E.Dieudonne jau 1982 metais konstatavo, kad nereikėjo N. Buorbaki struktūralizmo uoliai diegti mokyklose. Daugelyje Europos šalių matematikos mokymo reforma vyko 7–8 dešimtmetyje. Prie to prisidėjo ir UNESCO inicijuojamas judėjimas Švietimas visiems. Dabar esminės mokyklinės matematikos reformos vyksta Japonijoje, Rusijoje, Vokietijoje ir Lietuvoje. Pereinama prie mokymo sistemų, kuriose visiškai kitokie mokomojo dalyko (Matematika visiems), mokinio (ugdymo centro) ir mokytojo (pagalbininko) vaidmuo mokant, lankstesne mokymo sistema (ji grindžiama srautiniais ir profiliniais kursais), dėstymo metodika rengiama atsižvelgiant į vaikų amžiaus tarpsnių psichologijos ypatumus, įgimtus suvokimo gebėjimus ir poreikius. Pradedama mokyti spiraliniu - koncentriniu būdu. Iki 1991 metų Lietuvos vidurinės mokyklos problemos koncentravosi, skiriant tuo nepelnytai daug dėmesio algebriniam metodui ir menkai akcentuojant vizualinius medžiagos pateikimo būdus. Be to per mažai dėmesio tenka ekvivalenčioms formoms ir absoliutintas standartinių formalių uždavinių sprendimas, mažai sprendžiant informacijos tvarkymo uždavinių. Mūsų moksleivis neturėjo bendrojo skaičių sistemos vaizdinio (tai parodė ir atlikti tyrimai), negalėjo sėkmingai lyginti įvairioms formomis duotų skaičių. Sugebėjimas spręsti formaliuosius uždavinius nelaikytinas pakankama matematine branda, nes gyvenime daugeliui prisireiks būtent taikomųjų žinių ir neformaliosios logikos. Nors gyvenime retas sprendžia kvadratines lygtis, gyvenimo lygtys yra daug sudėtingesnės. Matematikos mokymo kamieną sudaro formaliosios žinios – apibrėžimai, taisyklės, teoremos, formulės, bet kad tas kamienas neliktų tik stagaru moksleivio pažinimo patyrime, turėjome šiek tiek pakeisti mokymo akcentus. Prieš akis iškilo naujos problemos: kaip gi turėtume koreguoti matematikos dėstymo tradicijas Lietuvos mokykloje, atsižvelgiant į pasaulines matematikos mokymo tendencijas? Šiame darbe bandysime apžvelgti mums siūlomus šiandienos “receptus”, kaip mokyti matematikos”ir bandysime nustatyti, kuris iš tų “receptų” yra pats efektyviausias. Nagrinėsime XX a. paskutinio dešimtmečio vadovėlius, metodinius bei didaktinius leidinius. Apžvelgsime šiandienos matematikos mokytojo darbo problemas. Sudarysime išplėstinį darbo priedą, kuriame bus pateikti “gyvi” šių problemų sprendimai: mokytojų individualių ugdymo programų pavyzdžiai, nestandartinių pamokų aprašymai, savarankiškų ir kontrolinių darbų sąsiuviniai, kita naudinga metodinė medžiaga. Visi šie keliami uždaviniai atitiks vieną vienintelį tikslą: išryškinti matematinės analizės elementus dabartinėje Lietuvos vidurinėje mokykloje ir jų dėstymo ypatybes. Siekiant užbrėžto tikslo, bus taikyti tokie tyrimo metodai:

• mokslinės literatūros analizė; • dokumentų analizė; • anketinė apklausa; • pedagoginis eksperimentas; • statistinė analizė.

Visą darbą sudarys trys dideli blokai: I, II ir III dalys. Pirmosios dalies dėmesio cente yra bendrųjų programų ir išsilavinimo standartų išsami analizė ir aptarimai. Šiai daliai bus keliami tokie tikslai:

• akcentuoti matematikos kaip dalyko, tikslus, uždavinius, didaktines nuostatas, apžvelgti bendrųjų programų ir išsilavinimo standartų struktūrą bei turinį;

• apžvelgti šiandienos matematikos mokytojo darbo problemas, pabrėžti jo vaidmenį mokymo procese, aptarti mokytojo ir mokinio ryšius;

• “pagalbininkų” moksleiviams paieška, integravimas ir tarpdalykiniai ryšiai

4

Antroji dalis, tai temos ”Matematinės analizės elementai Lietuvos vidurinėje mokykloje po 1991 metų” nagrinėjimas. Šios dalies tikslas – išsamiai išanalizuoti matematinės analizės elementų dėstymo tematiką nurodytu laikotarpiu. Tai bus bazinis darbo blokas, ties kurio susikoncentruos minčių branduolys. Bus nagrinėjamos šios temos:

• funkcija; • išvestinė, į kurią įeis ir funkcijos ribos nagrinėjimas; • integralas.

Naudojamų vadovėlių (V), uždavinynų (U), bei metodinių leidinių (M) sąrašą pateikiame lentelėje. Patogumo dėlei, viso tolimaus darbo kontekste naudosime paminėtų leidinių piktogramas: Nr.: Autorius ir leidimo

metai Leidinio

pavadinimas Leidinio paskirtis

Leidinio piktograma

1

A.Kolmogorovas, A.Abramovas, B.Veicas

ir kt. Kaunas: Šviesa, 1999m.

(8-asis leidimas)

„Algebra ir analizės

pradmenys. Mokomoji knyga

X-XII klasei“

V

2

R.Razmas, J.Teišerskis,

V.Vitkus Kaunas: Šviesa, 1997m.

(3-asis leidimas)

„Matematikos uždavinynas

XI-XII klasei“

U

3

A.Steponavičius

Kaunas: Šviesa, 2000m. (4-asis leidimas)

„Matematika.

Vadovėlis X-XII klasei“

V

4

A.Steponavičius


„Matematika.

Bendras ir išplėstinis kursas

Vadovėlis XII klasei“

V

5

A.Steponavičius


„Matematika XI-XII klasės

mokytojo knyga “

M

6

Autorių kolektyvas: K.Intienė, A.Skūpas,

V.Stakėnas ir kt. Vilnius: Tev, 2003m.

(1-asis leidimas)

„Matematika 11“

1 dalis 2 dalis

V

7

V.Stakėnas

Vilnius: Tev, 2002m. (2-asis leidimas)

„Matematika 11 Uždavinynas.“

U

5

Nr.: Autorius ir leidimo metai Leidinio

pavadinimas Leidinio paskirtis

Leidinio piktograma

8

R.Biekšienė,

M.Zenkevičienė Vilnius: Tev, 2003m.

„Matematika 11 Savarankiški ir

kontroliniai darbai.“

M

9

V.Stakėnas

Vilnius: Tev, 2003m.

„Matematika 11. Mokytojo knyga“

M

10

Autorių kolektyvas: K.Intienė, A.Skūpas,

V.Stakėnas ir kt. Vilnius: Tev, 2003m.

(1-asis leidimas)

„Matematika 12“

1 dalis 2 dalis

Išplėstinis kursas

V

11

V.Stakėnas

Vilnius: Tev, 2004m. (1-asis leidimas)

„Matematika 12 Uždavinynas.“

Išplėstinis kursas

U

12

R.Biekšienė,

M.Zenkevičienė Vilnius: Tev, 2004m.

(1-asis leidimas)

„Matematika 12 Savarankiški ir

kontroliniai darbai.“

M

13

V.Stakėnas

Vilnius: Tev, 2004m.

„Matematika 12. Mokytojo knyga“

M

14

R.D.Šileikienė


„Matematika. Vadovėlis X klasei ir gimnazijų II klasei.“

1 dalis 2 dalis

V

15

R.D.Šileikienė


„Matematika. Išplėstinis kursas

Vadovėlis XI klasei 1 dalis 2 dalis

V

Šio skyriaus gale bandysime atsakyti į klausimą: “Kaip galima būtų tobulinti matematinės analizės elementų dėstymą dabartinėje Lietuvos vidurinėje mokykloje?”

6

Paskutinė darbo dalis – priedai:

• metų dalyko teminiai planai; • individualūs ugdymo planai; • metodinė medžiaga (testai, klausimynai, kontroliniai darbai, mokomosios programos); • apklausos-statistinio tyrimo “Kaip man pavyksta tobulinti matematikos dėstymą šiandien?” rezultatai.

Išvados apibendrins, įvertins visą padarytą darbą ir, mes tikimės, atsakys į klausimą: ”Kaip galima būtų tobulinti matematinės analizės elementų dėstymą dabartinėje Lietuvos vidurinėje mokykloje?”

7

I DALIS

MATEMATIKOS MOKYTOJO DARBAO PAGRINDAI DABARTINIU METU

1. BENDRŲJŲ PROGRAMŲ IR IŠSILAVINIMO STANDARTŲ ANALIZĖ (MATEMATIKOS KAIP DALYKO, TIKSLAI, UŽDAVINIAI, DIDAKTINĖS NUOSTATOS,

STRUKTŪROS BEI TURINIO TRUMPA APŽVALGA)

Matematikos mokymas visame pasaulyje kinta labai greitai. Būna laikotarpių, kai aktyvi kaita, paremta tos pačios idėjos, vyksta iš karto keliose šalyse, pavyzdžiui, po 1959 metų Reimonto (Prancūzija) konferencijos kilo formalaus mokyklinės matematikos struktūralizavimo banga. Aštuntajame dešimtmetyje Olandijos, Danijos, JAV mokyklinė matematika perėjo nuo pozityvizmo prie socialinio konstruktyvizmo reformos; vykusios Anglijoje, Japonijoje, JAV, Norvegijoje. Pasikeitė matematikos mokymo tikslų, matematinio raštingumo apibrėžimai daugelyje šalių. Yra nurodomi tokie privalomojo mokymosi ciklo matematikos mokymosi tikslai (pagrindinės mokyklos):

• tapti matematiškai raštingu, intelektualiu, brandžiu piliečiu; • pasirengti dirbti arba toliau mokytis; • suprasti matematiką kaip dalyką (žmogaus veiklos sritį).

Matematinis raštingumas apibūdinamas kaip: • Matematikos vertės supratimas (gebėjimas suprasti jos evoliuciją ir vaidmenį visuomenei

bei kitiems mokslams). • Savo galimybių suvokimas (pasitikėjimas savo matematiniu mąstymu ir pasirengimas juo

remtis analizuojant įvairias situacijas). • Gebėjimas matematikos priemonėmis spręsti problemas (Tai svarbu veikiant piliečiui,

susiduriančiam su daugybe įvairiausių problemų, tarp jų – ir su netradicinėmis). • Matematinės komunikacijos įgūdžiai (svarbu gebėti pažinti ir teisingai vartoti matematinius

simbolius, terminus, sąvokas). • Matematinis argumentavimas (gebėti pastebėti sąryšius, dėsningumus, rasti argumentus

teiginiams pagrįsti)

Žvilgtelkime į bendruosius standartus.

Ten akcentuojama, kad matematika yra svarbi šiuolaikinio žmogaus ugdymo sritis. Žinomų matematikos sąvokų, matematinių modelių, metodų, ryšių įvairioms situacijoms analizavimo supratimas bei taikymas sudaro prielaidas ne tik pasaulio pažinimui, bet ir padeda perimti šimtmečiais susiformavusią žmogaus mąstymo bei veiklos kultūrą. Be to gelbsti individui jo praktinėje veikloje, formuluojant matematines prielaidas, hipotezes, vertinant savo bei kitų individų loginių argumentų tinkamumą bei patikimumą. Tai būtų prisitaikymo prie nuolat kintančios tikrovės pamatas. Gebėjimo susigaudyti informacijos jūroje bei priimti tinkamus sprendimus pagrindinėje mokykloje formavimas siejamas su tam tikros moksleivių matematinės kompetencijos ugdymu. Ši samprata apima ne tik kiekvieno moksleivio matematinio raštingumo įgijimą,

8

matematinių gabumų plėtojimą, bet ir moksleivio norą bei gebėjimą nuolatos aktyviai mokytis. Todėl galima teigti, kad matematikos kaip mokomojo dalyko paskirtis yra daugialypė.

Pirmiausia siekiama, kad visi moksleiviai taptų matematiškai raštingi, t. y. kad kiekvienas pagrindinę mokyklą baigiantis moksleivis mokėtų pagrindines matematines sąvokas ir procedūras, gebėtų atpažinti matematinius objektus ir juos pavaizduoti, pritaikyti standartinius ar jau taikytus sprendimo algoritmus naujai užduočiai spręsti, matematiškai tirti paprastas praktines situacijas, pagrįsti sprendimus, argumentuoti, remtis analogijomis, įvairiais būdais (grafikais, simboliais, lentelėmis ir pan.) pateikta informacija bei gebėtų ją šiais būdais perteikti.

Mokant matematikos taip pat svarbu plėtoti kiekvieno moksleivio matematinius gabumus, sudaryti sąlygas gabiausiems moksleiviams atsiskleisti ir pademonstruoti savo galimybes. Moksleiviai turėtų tapti išsilavinusiais matematinių metodų vartotojais ir įgyti matematikai būdingo mąstymo ir kūrybos pradmenis.

Taip pat visi baigiantys pagrindinę mokyklą moksleiviai, nepriklausomai nuo jų gabumų, turėtų pajusti matematikos grožį bei praktinę naudą. Pagrindinėje mokykloje kiekvienas moksleivis turi patirti sėkmę mokydamasis matematikos, o matematikos ugdymo turinys, jo perteikimo būdai ir tam naudojami metodai turi padėti moksleiviui susiformuoti į mokymosi sėkmę ir matematikos mokymosi prasmingumą orientuotas nuostatas bei bendruosius ugdymo tikslus atitinkančią vertybių sistemą.

Mokant matematikos turėtų būti siekiama ne tik matematikos mokomojo dalyko tikslų, bet ir bendrųjų ugdymo bendrojo lavinimo mokykloje tikslų – siekti vertybinių nuostatų, gebėjimų, įgūdžių ir žinių brandos. Matematikos mokymo pagrindinėje mokykloje tikslas – suteikti galimybę moksleiviams:

• ugdytis bendruosius matematinius gebėjimus;

• ugdytis specialiuosius gebėjimus, susijusius su įvairiomis matematikos sritimis;

• domėtis matematika, formuotis deklaruojamas bendrojo ugdymo turinyje nuostatas ir vertybines orientacijas.

Užsibrėžtų tikslų realizavimas pagrindinėje mokykloje siejamas su tam tikrais laukiamais rezultatais. Siekiama, kad moksleiviai, baigdami pagrindinę mokyklą:

• įvaldytų matematinio mąstymo elementus, išmoktų bendrauti vartodami matematines sąvokas ir matematinius informacijos užrašymo būdus, naudotis matematiniu žodynu ir simboliais, išmoktų matematiškai tirti paprastas realias situacijas ir spręsti paprastas gyvenimo problemas, suprastų ir panaudotų vidinius ir išorinius matematikos ryšius;

• įgytų skaičių ir skaičiavimų, ekonomikos elementų, geometrijos, matavimų, algebros, funkcijos ir funkcinių sąryšių, statistikos, kombinatorikos, tikimybių teorijos konkrečių žinių tiek, kad galėtų savarankiškai spręsti praktinius ir matematikos uždavinius;

• suprastų matematikos svarbą visuomenės gyvenime, pritaikomumą įvairiose žmonių praktinės veiklos srityse, moksluose, technikoje, suprastų ir vertintų matematikos objektyvumą, kūrybiškumą, išsiugdytų išradingumą, smalsumą, atkaklumą, valingumą, norą, atsakomybę ir gebėjimą mokytis.

Išvardytieji tikslai ir matematinio raštingumo sąvokos kaita rodo, kad tolstama nuo įprastos, tradicinės praktikos ir krypstama nuo tradicinių, grynosios matematikos žinių, mokėjimų, įgūdžių akcentavimo į bendresnius tikslus problemų sprendimo, kritinio požiūrio, gebėjimo bendradarbiauti ugdymo.

9

2. MATEMATIKOS MOKYTOJAS – JO PAGRINDINIS VAIDMUO. RYŠIAI: MOKYTOJAS – MOKINYS; MOKINYS – MOKYTOJAS

Šveicarų psichologas J.Piagė, žinomas kaip keturių intelekto plėtros stadijų pagrindėjas, darė prielaidą, svarbią šiuolaikinei švietimo ideologijai, - kad vaiko mąstymas, kalba ir elgsena kokybiškai ir kiekybiškai skiriasi nuo suaugusiojo. Vaikai nėra maži suaugusieji, ir jų mokymo metodai, atsižvelgiant į intelekto plėtojimosi stadiją, turi skirtis. Tinkamiausia yra praktinė, “pačiupinėjama” veikla, praktinės medžiagos naudojimas, supančios aplinkos konkretus pavyzdžiai. Konkrečių operacijų stadijoje vaikas geriausiai išmoksta pats viska bandydamas, tyrinėjant. Tada vaikas gali natūraliai ugdytis. Tačiau reikia ir bendradarbiavimo. Taigi mokytojo vaidmuo turi pasikeisti iš dėstančiojo į pagalbininko, organizuotojo. Mokytojas turi būti kuris veda link, o ne tuo, kuris viską žino ir tiesmukiškai to reikalauja iš savo mokinių. Tada būsimam humanitarui tikrai nepasirodys, kad matematika – tai menas išrinktiesiems, o ne visiems, tad gal geriau – be matematikos visai... Pagrindinis mokytojo uždavinys padaryti mokyklinę matematiką tokią, kad ji būtų prieinama visiems. Tačiau jei kam nors būtų pavykę rasti idealų ugdymo metodą, mes juo ir naudotumės nė kiek nedvejodami ir nekvaršindami galvų. Z.P.Dienes, kuris tyrė matematikos mokymo metodiką, akcentavo aktyvų mokinių įtraukimą naudojant įvairias priemones ir metodus, kad ko geriau mokymas būtų integruotas su mokinio pažinimo galimybėmis ir veiktų jo asmenybę. J.Piage, Z.P.Dienes ir J.S.Brunerio idėjomis paremti šie teiginiai:

• žinojimas yra ne produktas, o procesas; • vaikai sąvokas susidaro ne mokytojui imituojant, o jiems patiems rekonstruojant realias

situacijas; • mokiniai turi susidaryti savo matematinių idėjų modelius, jų sampratą.

Aptarkime ir pacituokime bendruosius standartus.

Geras matematikos mokymas ne tik ugdo moksleivio gebėjimus, lavina intelektą ir formuoja bendruosius darbo įgūdžius, bet ir plėtoja jo vertybines nuostatas, stiprina nusiteikimą bei gebėjimą mokytis. Kūrybiškumas, atvirumas naujoms idėjoms, sąžiningumas, tiesos siekimas, smalsumas, išradingumas, darbštumas, savarankiškumas bei gebėjimas bendradarbiauti su kitais – tai vertybės, kurias ugdo tinkamai parinktas matematikos mokymo turinys ir mokymo, mokymosi būdai.

Mokydamasis matematikos, moksleivis turėtų:

• ugdytis teigiamą požiūrį į matematiką, mokslą ir technologiją, domėtis šių sričių laimėjimais;

• ugdytis pasitikėjimą savo matematikos žiniomis ir gebėjimu jas taikyti;

• susipažinti su profesijomis, susijusiomis su matematika, tiksliaisiais mokslais ir technologijomis, matematikos, tiksliųjų ir gamtos mokslų bei technologijų svarba profesinei veiklai;

• ugdytis mokslinę pasaulėžiūrą, atvirumą, objektyvumą, pakantumą nežinomybei, išradingumą, žinių troškimą, nusiteikimą nuolatinei kaitai, poreikį mokytis;

• ugdytis bendradarbiavimo įgūdžius.

10

Įgytų žinių kiekis ir mokėjimas gerai atlikti standartines procedūras ne visada lemia moksleivių sėkmę toliau studijuojant ar dirbant, nes naujų žinių ir informacijos srautas sparčiai didėja. Ši tendencija ypač ryški šiandien, besikuriančioje informacinėje visuomenėje. Vis svarbesni darosi universalūs moksleivių gebėjimai – bendrieji gebėjimai, padedantys moksleiviams sėkmingai toliau mokytis ir taikyti tarpusavyje susijusias žinias, patiems pažinti, atrasti, dalyvauti priimant sprendimus kasdieniame gyvenime ar profesinėje veikloje. Šiuolaikinėje matematikos didaktikoje įprasta skirti tris svarbiausius bendruosius matematinius gebėjimus – problemų sprendimo, matematinio mąstymo ir matematinio komunikavimo. Glaudžiai su bendraisiais gebėjimais susijęs ir moksleivių įgytų žinių integruotumas (dalykinis, tarpdalykinis bei sociokultūrinis). Jis svarbus įgyvendinant visuminio ugdymo principus. Todėl, mokydamasis matematikos, moksleivis turėtų:

• ugdytis gebėjimą matematiškai mąstyti (mokytis suprasti ir įvaldyti naujas sąvokas ir žodyną, konstruoti algoritmus, apibendrinti sąvokas ir rezultatus, argumentuoti bei įrodinėti);

• mokytis naudotis matematiniu žodynu ir simboliais taip, kad gebėtų skaityti ir suprasti matematinius tekstus, aprašyti matematinius objektus ir procedūras, reikšti mintis ir diskutuoti matematiniais klausimais;

• ugdytis gebėjimą matematiškai tirti problemas ir rasti racionalius jų sprendimus (nagrinėti probleminę situaciją, formuluoti problemą, aiškintis jos esmę, rasti sprendimo būdą, jį realizuoti, numatyti galimus vienokio ar kitokio sprendimo būdo pritaikymo rezultatus, patikrinti gautą matematinio uždavinio atsakymą, interpretuoti jį pradinės problemos terminais, išsiaiškinti praktinę matematinių rezultatų vertę konkrečiai probleminei situacijai);

• mokytis naudotis vidiniais ir išoriniais matematikos ryšiais taip, kad gebėtų atpažinti ekvivalenčias sąvokas ir procedūras, rasti įvairių matematikos temų ryšius bei matematikos ir kitų disciplinų ryšius;

• mokytis atlikti standartines operacijas, tokias kaip ilgio, ploto, tūrio ir kitų dydžių matavimas, skaitmeninių reiškinių reikšmių skaičiavimas, algebrinių reiškinių pertvarkymas, funkcijų reikšmių skaičiavimas, funkcijų tyrimas, grafikų brėžimas, įvairių mokykloje nagrinėjamų matematinių objektų palyginimas, klasifikavimas ir transformavimas, apytikslis atsakymo prognozavimas, statistinių duomenų apdorojimas ir pan. Didaktiniu požiūriu ypač svarbūs šie matematikos mokymo(si) aspektai:

• matematikos žinių įgijimas;

• matematinių modelių kūrimas ir taikymas;

• matematikos teikiamų galimybių informacijai perteikti panaudojimas;

• matematikos plėtros procesas (t. y. procesas, kuriam vykstant atrandami ir pagrindžiami matematiniai dėsningumai, kaupiamos ir apibendrinamos matematikos žinios);

• vidinių bei išorinių matematikos ryšių panaudojimas. Matematikos mokymas, mokymasis yra visavertis tuomet, jei visiems šiems aspektams skiriama

tinkamai dėmesio. Šiuolaikinės mokyklinės matematikos žinios suvokiamos ne tik kaip faktai, sąvokos, teoremos ar

standartiniai algoritmai, bet ir kaip geras matematikos supratimas. Žinios yra tikrai vertingos ir veiksmingos tik jei moksleivis jas supranta, geba interpretuoti ir taikyti, jei suvokia, kodėl mokosi matematikos. Didėjant informacijos kiekiui ir tobulėjant informacinėms technologijoms vis svarbiau darosi ne tiek įsiminti gausybę faktų, kiek atpažinti situacijas bei klausimus, į kuriuos gali atsakyti ar jau atsakė matematika, ir susirasti reikiamą informaciją.

11

Ugdant gebėjimus spręsti problemas, moksleiviai dažniau turėtų susidurti su būtinybe rinkti papildomus duomenis, mokytis spėti, nebijoti klysti, rasti savo klaidas, pagrįsti spėjimus. Todėl reikėtų kartu su kitų dalykų mokytojais parinkti problemas, kurioms išspręsti prireiktų kelių dienų ar savaičių, bendro ar grupinio moksleivių darbo, gebėjimo naudotis technika (ypač kompiuteriu), atlikti tyrimus, o ne vien mechaniškai taikyti žinias.

Nuodugniam matematikos suvokimui ir gebėjimui sėkmingai ją taikyti įtakos turi pačios matematikos vidinių ir tarpdalykinių ryšių atskleidimas. Mokykloje matematikos temos turėtų būti išdėstytos taip, kad moksleiviai atpažintų įvairiai pateiktas sąvokas ir operacijas (pavyzdžiui, ½, 0,5 ir 50%; funkcijos grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų abscisių ir lygties f(x) = 0 sprendinių ieškojimas). Išmokę pereiti nuo vieno problemos sprendimo ar matematinės sąvokos pateikimo būdo prie kito, moksleiviai įgis lankstų ir reikšmingą problemų sprendimo įrankį, geriau supras matematikos esmę, formalių veiksmų, matematinių idėjų ir realaus pasaulio ryšį. Dažnai geriau mokėti vieną uždavinį išspręsti keliais būdais, nei kelis – tuo pačiu būdu. Ne mažiau svarbu mokytis įžvelgti matematikos metodų universalumą, suvokti, kad tie patys metodai gali būti taikomi įvairių tipų uždaviniams spręsti.

Pravartu moksleiviams parodyti, kaip kituose dalykuose ar realiame pasaulyje iškilusios probleminės situacijos modeliuojamos matematikoje. Matematikos metodų universalumas geriausiai išryškėja, kai jie taikomi kitų dalykų uždaviniams (problemoms) spręsti. Fizikoje, biologijoje, chemijoje, geografijoje ir kituose dėstomuose dalykuose vartojamos tos pačios matematinės sąvokos ir operacijos, jų savybės, tik taikymo kontekstas yra skirtingas. Reikia padėti moksleiviams įžvelgti įvairiuose dalykuose vartojamas vienodas matematines sąvokas, nes kita užrašymo forma gali atrodyti kaip kitas metodas ar kita sąvoka. Matematikos ir kitų dalykų mokytojai turėtų kartu aptarti, kaip jie pateiks medžiagą savo dalyko pamokose, kaip atskleis moksleiviams metodų ir sąvokų, apibrėžimo taikymo, interpretavimo įvairiuose moksluose ryšius. Išvardinsime pagrindinius mokymo metodus, kurie neleidžia mums nuobodžiauti per matematikos pamokas:

• diskusijos; • darbas mažomis grupėmis; • projektai (ilgalaikiai ir trumpalaikiai, integruoti su kitų mokomųjų dalykų temomis,

grupiniai); • bendros kelių dalykų pamokos, mokomajai savaitei bendra tema, kai klasės mokytojai dirba

kaip viena komanda; • pamokos, paremtos viena integruojančia tema; • pamokos-pasakos (mažiesiems); • matematinės ekskursijos; • matematiniai žaidimai; • situacinis mokymas; • modelių gamyba, darbas su jais; • darbas su kompiuteriu.

Ir kita veikla, išmintingai derinama su kryptinga akademinio tipo pamoka, duos visai kitų vaisių negu nuspėjama kasdienė pamokų monotonija.

12

3. DALYKO INTEGRAVIMAS IR TARPDALYKINIAI RYŠIAI PAGALBININKAI MOKANTIESIEMS.

Šiandien daugelyje šalių, taipogi ir Lietuvoje, vyrauja realistinis matematikos mokymas. Olandijos mokslininkų teigimu, šiai mokymo teorijai būdingi bruožai:

• nuo konkretaus prie abstraktaus; • gamybos įrankių gamyba; • mokymasis bendraujant ir bendradarbiaujant; • persipinantis mokymas; • integruotasis mokymas; • standartai.

Anot H.Freudenthalio, matematikos mokymas turi prasidėti “nuo situacijos, kurios intuityvioji analizė sukeltų natūralų poreikį ją matematizuoti. Problema turi būti identifikuojama, formalizuojama, nustatomi dėsningumai, sąryšiai. Aktyvus pradinis tyrimas veda tinkamo matematinio įrankio paieškos, atradimo, sukūrimo link”. Mokomoji veikla turi būti organizuojama taip, kad mokiniai galėtų nuosekliai sekti savo pažinimo kelią, dalyvauti pasirengimo mokytis naujų idėjų “gamybos procese”. Tam tinka įvairi veikla: išsamaus aprašo rengimas, duomenų rinkimas, išvadų aprašymas, testų sudarymas ir t.t. Svarbu – dalyvauti kuriant, pasirengti perimti žinias, gaminti, aptarinėti, analizuoti. Visa tai krypsta matematinio modeliavimo link. Pavyzdžiui, galima siūlyti mokiniams :

• pasigaminti po geometrinę lentą; • ant asfalto ar grindų nupiešti apskritimą ir išmatuoti jo skersmenį siuvėjo ar staliaus metru; • pasidaryti Lietuvos žemėlapio modelį iš kartono, putoplasto, kurį naudosite mokydamiesi

mastelio, atkarpų ir laužčių (integruodami su krašto pažinimu); • iš mokinių pagamintų kubų, stačiakampių gretasienių, prizmių ar popierinės taros pastatyti

“namą”, kurį naudosite įvairiems uždaviniams spręsti. Mokinių ir mokytojo, bei mokinių tarpusavyje bendras darbas (grupėmis, poromis) yra labai paveikus. Įgyjama naujos patirties, kuri leidžia pajusti ne tik greitesnio ir patikimesnio sprendimo atradimo galimybes, bet ir konfrontacijos, ginčo situacijas, pasitikėjimo savimi ir atsakomybės svarbą nesant ryškaus lyderio. Tokia veikla, be tiesioginio dalyko mokymosi, yra svarbus socializacijos ir psichologinio ugdimosi veiksnys. Be abejo, matematika svarbi realiam pasauliui, bet sunku mokytis naudoti matematiką realiame gyvenime. Viena iš priežasčių yra ta, kad ne tik algebros ir geometrijos mokome “vertikaliai”, bet apskritai mokyklinė matematika suskirstyta į daugelį nesusiejančių temų. Susidarę modeliai ir algoritmai mokinių sąmonėje yra nesusiję. Mokymas turi būti persipinantis, pasikartojantis, spiralinis. Realiam problemų sprendimui, matematikos taikymams reikia daugiau negu vien algebros arba vien geometrijos žinių. Pasaulis yra vienas, o mokomųjų dalykų – daug. Visi jie turi savo “bandymų poligoną”. Mokiniams tokios temos ir sąvokos, kaip: mastelis, duomenų tvarkymas, diagramos, vektoriai – tai dviprasmybės, nes to mokoma per dviejų dalykų pamokas skirtingose klasėse. Todėl reikia mokyti integruotai, kad vaikai susidarytų vieną apibendrintą modelį, o ne keletą atskirų fragmentų. Yra daug integruoto mokymo modelių, reikia tik pasirinkti palankiausią temai ir situacijai. Siekiant realistinio matematikos mokymo tikslų, t.y. siekiant matematikos visiems , ypač pagrindinėje mokykloje, integruotas mokymas labai palankus, nes priartina prie realaus pasaulio ir taikymų. Laikantis principo – nuo konkretaus prie abstraktaus – tai puiki medžiaga. Gyvas realistinio mokymo pavyzdys – integruotos įvairių dalykų pamokos, kurios vis dažniau ir dažniau patraukia mūsų dėmesį. Be abejo, tarpdalykinė integracija – tai sudėtingas procesas, reikalaujantis mokytojo ir jo auklėtinių kūrybiškumo, entuziazmo, jėgų. Remiantys neilgu

13

pedagoginių stažu , norėtųsi pakeikti savo pirmųjų „pergalių“ įrodymus. Tai atvira integruota matematikos-informatikos pamoka XI klasei, kurios tema neatsiejamai susieta su nagrinėjama šio magistrinio darbo tema. „Funkcijos savybių kartojimas. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų grafikų braižymas, taikant kompiuterinę programą “Winplot“ – su šios pamokos išplėstiniu planu: tikslais, uždaviniais, bei panaudotais mokymo metodais skaitytojas gali susipažinti pateiktuose prieduose (III dalis, 1, p). Puikūs pagalbininkai mokantiesiems šiandieną – tai mokomosios programos, kurių vaizdumas, ryškumas ir patrauklumas užburia mokinius. Tokių programų dėka, kyla motyvacija, noras mokytis ir domėtis dalyku. Dirbant mokykloje, stengiamės kiekvieną dieną, kad matematika visiems laikams prarastų taip dažnai moksleivių gretose jai duodamus apibrėžimus: „siaubas, pievos“ ir t.t. Norėtumėm pateikti Jūsų dėmesiui vieną, iš mokomųjų programų. Programos kūrėjai – Vilniaus Gabrielės Petkevičaitės-Bitės SMC mokytojų kolektyvas. Programos paskirtis: pakartoti dalyko pagrindinio kurso tematiką ir paruošti mokinius X klasės matematikos egzaminui. Su šios mokomosios priemonės privalumais ir trūkumais skaitytojas gali susipažinti prieduose pateiktose puslapiuose (kompiuteriniame darbo variante: failas vardu mokomoji.exe). Be to, siūloma šios programos kompaktinė plokštelė. (III dalis, 4) Šiandien norisi tikėtis, kad integravimas ir tarpdalykiniai ryšiai taps įprastu dalyku kiekvienoje Lietuvos mokykloje, kad kiekvienas mokytojas, bei metodinis būrelis, kuriame jis dirba, kiekvieną dieną dalinsis patyrimais, idėjomis, noru atrasti, kurti.

14

4. PAŽYMIŲ NORMA IR GRADACIJA

MATEMATIKOS PAMOKOJE-NERAŠYTAS STANDARTAS

Kintant mokymo teorijai, kinta mokomojo dalyko programos ir tikslai. Tačiau nė viena nauja mokymo teorija nebus įgyvendinama (nors jai ir bus simpatizuojama), kol žinių vertinimo sistema ir priemonės nebus paremtos ta pačia idėja ir jai tiks (nes negalima matuoti kelio litrais, o skysčių metrais). Ne kartą įrodyta, kad mokytojai moko patikrinimui. Egzistuojantys egzaminai ir yra nerašytas standartas, į kurį tradiciškai orientuojamasi. Visų reformų opiausia vieta – perkirsti uždarą ratą mokymas – tikrinimas – mokymas. Deja, dažnai reformos nepasiseka vien todėl, kad jos nėra kompleksinės, t.y. keičiamas tik vienas ugdymo sistemos komponentas, o likusieji lieka iš ankstesnės sistemos. Vertinimo problemai spręsti gali būti du būdai – pamažu keisti vertinimo sistemą, taip pat pamažu tikintis mokymo praktikos keitimosi arba parengti visą sistemą ir pereiti prie jos nuosekliai. Nors pirmas būdas “skausmingesnis”, kaitos galima tikėtis greičiau. Tai susieta su stereotipu “buvo per egzaminą” ir su mokytojo suinteresuotumu. Antruoju atveju mokytojų nuostatos, tradicijos ir nepasitikėjimas naujovėmis gali reformos procesą užtęsti. Pati vertinimo sistema, egzaminų sistema yra vienas iš pagrindinių reformos stabdžių, jai pakeisti reikia valstybinių sprendimų. Tokių sprendimų galima tikėtis, jei bus suvokta, kad pakitus valstybės pobūdžiui keičiasi mokyklos orientacija ir ugdymo tikslai, o ugdymo sėkmę lemia subalansuota sistema. Tą sistemą, paremtą darnia ugdymo filosofija, sudaro:

• tikslai; • turinys; • metodai; • vertinimas.

Žvilgtelkime į bendruosius standartus. Moksleivio pažangos ir pasiekimų vertinimas yra integrali ugdymo proceso dalis. Pagrindinė vertinimo paskirtis – skatinti moksleivio asmenybės brandą, ugdyti jo gebėjimą racionaliai vertinti savo poreikius , polinkius, galimybes ir remiantis tuo kelti sau prasmingus ateities tikslus. Vertinimas turi turėti ugdomąjį pobūdį – sudaryti galimybę moksleiviui, jo tėvams gauti informaciją apie moksleivio ugdimąsi, padėti moksleiviui rinktis efektyvesnius mokymosi būdus, skatinti jo savistabą, adekvatų savo veiklos ir pasiekimų vertinimą. Atsižvelgiant į ugdomąją vertinimo paskirtį, ypač daug dėmesio reikia skirti tokiam vertinimui, kuris padeda tikslingai remiantis moksleivio rezultatais, patirtimi, planuoti tolesnį jo mokymąsi. Vertinant moksleivių pasiekimus, mokymosi pažangą formalūs vertinimo metodai derinami su neformaliais. Mokyklos taryba nustato moksleivių pažangos ir pasiekimų formalaus vertinimo tvarką, apibrėždama pasiekimų vertinimo būdus, vertinimo rezultatų fiksavimo, analizės ir informavimo apie juos procedūras, vertinimų dažnumą ir jų koordinavimo būdus. Moksleivių pasiekimų ir pažangos vertinimo rezultatai gali būti fiksuojami įvairiais būdais: recenzija, išsamesnė charakteristika, įskaita, pažymiu ir kt. Tačiau visi ugdymo procese naudojami moksleivių pasiekimų vertinimų būdai turi būti tikslingi, pagrįsti, patikimi, efektyvūs, ekonomiški.

15

II. DALIS

AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS ELEMENTAI IR JŲ DĖSTYMAS

LIETUVOS VIDURINĖJE MOKYKLOJE

1. FUNKCIJA

16

2. IŠVESTINĖ

31

3. INTEGRALAS

56

III. DALIS

DARBO PRIEDAI

1. ATVIRA INTEGRUOTA MATEMATIKOS-INFORMATIKOS PAMOKA XI KLASEI. PAMOKOS TEMA: „FUNKCIJOS SAVYBIŲ KARTOJIMAS. DIDĖJANČIŲ IR MAŽĖJANČIŲ FUNKCIJŲ GRAFIKŲ BRAIŽYMAS, TAIKANT KOMPIUTERINĘ PROGRAMĄ „WINPLOT“

Atviros integruotos matematikos – informatikos pamokos XI klasei

Išplėstinis planas

PAMOKOS TEMA: Funkcijos savybių kartojimas. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų grafikų braižymas, taikant kompiuterinę programą „Winplot“. PAMOKOS TIKSLAI IR UŽDAVINIAI:

1. Pakartoti pagrindines funkcijų savybes: funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis, didėjančias ir mažėjančias funkcijas, minimumo ir maksimumo taškus, funkcijų lyginumą.

2. Išmokti braižyti funkcijų grafikus taikant kompiuterinę programą „Winplot“. 3. Išmokti iš funkcijos grafiko nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, ir kitas

pagrindines funkcijos savybes. 4. Mokyti naudoti kompiuterį problemos arba situacijos tyrimui. 5. Gilinti tiriamojo darbo įgūdžius. 6. Stiprinti darbo grupėje įgūdžius.

MOKYMO METODAI:

1. Informaciniai (demonstravimas, mokytojo aiškinimas). 2. Atgaminamieji (kartojimas, frontalinė apklausa). 3. Kūrybiniai (uždavinių sprendimas). 4. Darbas grupėse. 5. Grupės pranešimas.

PAMOKOS TIPAS: mišrusis. PAMOKOS RESURSAI: Kompiuterinė mokomoji programa „Winplot“; grafoprojektorius; skaidrės; padalomoji medžiaga mokiniams (užduotys grupėms) (Priedas № 1 ); atmintinė mokiniams programai „Winplot“ (Priedas № 2). MOKOMOJI IR NAUDOJAMA LITERATŪRA:

1. Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos ir bendrojo išsilavinimo standartai. XI-XII klasės. Vilnius: Švietimo plėtotės centras, 2002 m.

2. K. Intienė ir kt. Matematika 11. I dalis. Vilnius, 2002 m. 3. Matematika 11. Mokytojo knyga. Vilnius 2002 m. 4. A. Steponavičius. Matematika bendrasis ir išplėstinis kursas. Vadovėlis XI klasei. Kaunas,

2002 m.

66

PAMOKOS EIGA

1. Pamokos temos pristatymas ir pamokos tikslų skelbimas. Mokytoja paskelbia pamokos temą, pristato pamokos tikslus ir uždavinius. Ugdytiniai užsirašo pamokos temą. 2. Praeitos pamokos pagrindinių sąvokų ir terminų kartojimas. Mokytoja grafoprojektoriaus pagalba demonstruoja skaidres, kuriose išdėstytos pagrindinės funkcijų savybės, sąvokos ir terminai. Ugdytiniai atsako į klausimus:

1. Kokią taisyklę vadiname funkcija? 2. Kokiais būdais galime išreikšti funkciją? 3. Kas nusako funkcijos apibrėžimo sritį? 4. Kas nusako funkcijos reikšmių sritį? 5. Kokią funkciją vadiname didėjančiąja? 6. Kokią funkciją vadiname mažėjančiąja? 7. Kokią funkciją vadiname monotonine? 8. Kokius funkcijos taškus vadiname funkcijos minimumo ir maksimumo taškais? 9. Kokią funkciją vadiname lygine? 10. Kokią funkciją vadiname nelygine? 11. Kokią funkciją vadiname nei lygine, nei nelygine?

3. Programos pristatymas ir darbo su ja apmokymas. Mokytoja pristato programą „Winplot“. Grafoprojektoriaus pagalba demonstruoja skaidres, kuriose parodo ugdytiniams, kaip programoje „Winplot“ užrašyti funkcijos formulę, kaip nubrėžti funkcijos grafiką, kaip iš funkcijos grafiko nustatyti ekstremumo taškus, funkcijos nulinius taškus. Mokytoja išdalina ugdytiniams darbo su programa aprašus (Priedas № 2). Ugdytiniai perskaito aprašus ir pradeda dirbti su programa. Konsultuojasi su mokytoju. 4. Praktinių užduočių atlikimas kompiuteriu. Mokytoja išdalina ugdytiniams užduotis (Priedas № 1). Konsultuoja ugdytinius jas atliekant. Ugdytiniai grupėmis prie kompiuterių atlieka užduotis. Formuluoja išvadas ir ruošia pristatymus. 5. Ugdytinių atliktų užduočių pristatymas. Ugdytinių įvertinimas. Ugdytiniai atlieka trumpą savo darbo pristatymą. Mokytoja užduoda klausimus, klauso, neformaliai vertina grupių pranešimus. Kartu aptariame jų gautas išvadas, išsiaiškiname netikslumus ir klaidas. Atsakymus pasitikriname naudojant skaidres. 6. Apibendrinimas ir namų darbų skyrimas. Mokytoja apibendrina pamoką. Skiria namų darbų užduotis. Temos „Didėjančios ir mažėjančios funkcijos“ vadovėlyje, psl. 137, Nr. 31, 32, 37. 7. Ugdytinių numatomi pasiekimai. Ugdytiniai išmoko braižyti funkcijų grafikus taikant kompiuterinę programą „Winplot“. Išmoko nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, ir kitas pagrindines funkcijos savybes.

67

PAMOKOS EIGA

Laikas Veikla Mokytojo veikla Ugdytinių veikla 3 min. Pamokos

temos pristatymas ir pamokos tikslų skelbimas.

Mokytoja paskelbia pamokos temą, pristato pamokos tikslus ir uždavinius.

Klauso. Užsirašo pamokos temą.

10 min. Praeitos pamokos pagrindinių sąvokų ir terminų kartojimas.

Mokytoja grafoprojektoriaus pagalba demonstruoja skaidres, kuriose išdėstytos pagrindinės funkcijų savybės, sąvokos ir terminai.

Ugdytiniai atsako į klausimus: Kokią taisyklę vadiname funkcija? Kokiais būdais galime išreikšti funkciją? Kas nusako funkcijos apibrėžimo sritį? Kas nusako funkcijos reikšmių sritį? Kokią funkciją vadiname didėjančiąja? Kokią funkciją vadiname mažėjančiąja? Kokią funkciją vadiname monotonine? Kokius funkcijos taškus vadiname funkcijos minimumo ir maksimumo taškais? Kokią funkciją vadiname lygine? Kokią funkciją vadiname nelygine? Kokią funkciją vadiname nei lygine, nei nelygine?

5 min. Programos pristatymas ir darbo su ja apmokymas.

Mokytoja pristato programą „Winplot“. Grafoprojektoriaus pagalba demonstruoja skaidres, kuriose parodo ugdytiniams, kaip programoje „Winplot“ užrašyti funkcijos formulę, kaip nubrėžti funkcijos grafiką, kaip iš funkcijos grafiko nustatyti ekstremumo taškus, funkcijos nulinius taškus. Išdalina ugdytiniams darbo su programa aprašus (Priedas № 2).

Perskaito aprašus ir pradeda dirbti su programa. Konsultuojasi su mokytoju.

20 min. Praktinių užduočių atlikimas kompiuteriu.

Mokytoja išdalina ugdytiniams užduotis (Priedas № 1). Konsultuoja.

Ugdytiniai grupėmis prie kompiuterių atlieka užduotis. Formuluoja išvadas ir ruošia pristatymus.

5 min. Ugdytinių atliktų užduočių pristatymas. Ugdytinių įvertinimas.

Mokytoja užduoda klausimus, klauso, neformaliai vertina grupių pranešimus.

Atlieka trumpą savo darbo pristatymą.

2 min. Apibendrinimas ir namų darbų skyrimas.

Mokytoja apibendrina pamoką. Skiria namų darbų užduotis. Temos „Didėjančios ir mažėjančios funkcijos“

Klauso.

68

vadovėlyje, psl. 137, Nr. 31, 32, 37.

69

Atsakymai

Funkcija Apibrėžimo sritis Reikšmių sritis Lyginumas Didėjimo

intervalai Mažėjimo intervalai

Maksimumo taškas

Minimumo taškas

Nuliniai taškai

f(x) = 3x x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nelyginė (-∞; +∞) - - - x = 0

f(x) = 3x2 x∈(-∞; +∞) y∈[0; +∞) Lyginė (0; +∞) (-∞; 0) - x = 0 x = 0

f(x) = -x3 x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nelyginė - (-∞; +∞) - - x = 0

f(x) = 2−x x∈(-∞; +∞) y∈[0; +∞) Nei lyginė, nei nelyginė (2; +∞) (-∞; 2) - x = 2 x = 2

f(x) = x3 – 3x2 x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nei lyginė, nei nelyginė (-∞; 0)∪(2; +∞) (0; 2) x = 0 x = 2 x 1 = 0;

x2 = 3.

f(x) = -3x2 – 6x x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; 3] Nei lyginė, nei nelyginė (-∞; -1) (-1; +∞) x = -1 - x1= -2;

x2 = 0.

70

UŽDUOTYS MOKINIAMS

Naudodami programą „Winplot“ nubraižykite duotųjų funkcijų grafikus ir užpildykite lentelę.



Maksimumo taškas

Minimumo taškas

Nuliniai taškai

f(x) = 3x

f(x) = 3x2

f(x) = -x3

f(x) = 2−x

f(x) = x3 – 3x2

f(x) = -3x2 – 6x

71

Atsakymai



Maksimumo taškas

Minimumo taškas

Nuliniai taškai

f(x) = 3x x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nelyginė (-∞; +∞) - - - x = 0

f(x) = 3x2 x∈(-∞; +∞) y∈[0; +∞) Lyginė (0; +∞) (-∞; 0) - x = 0 x = 0

f(x) = -x3 x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nelyginė - (-∞; +∞) - - x = 0

f(x) = 2−x x∈(-∞; +∞) y∈[0; +∞) Nei lyginė, nei nelyginė (2; +∞) (-∞; 2) - x = 2 x = 2

f(x) = x3 – 3x2 x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; +∞) Nei lyginė, nei nelyginė (-∞; 0)∪(2; +∞) (0; 2) x = 0 x = 2 x 1 = 0;

x2 = 3.

f(x) = -3x2 – 6x x∈(-∞; +∞) y∈(-∞; 3] Nei lyginė, nei nelyginė (-∞; -1) (-1; +∞) x = -1 - x1= -2;

x2 = 0.

72

UŽDUOTYS MOKINIAMS

Naudodami programą „Winplot“ nubraižykite duotųjų funkcijų grafikus ir užpildykite lentelę.



Maksimumo taškas

Minimumo taškas

Nuliniai taškai

f(x) = xx 33 −

f(x) = x3 – 3x

f(x) = 22 −− xx

f(x) = x2 – x - 2

f(x) = x1

f(x) = x1

73

Programos „Winplot“ atmintinė mokiniams

1. Pasirenkame koordinačių plokštumą: Window ⇒ 2-dim

2. Pasirodo darbo langas, kuris turi pavadinimo ir meniu juostas.

3. Pasirenkame meniu komandą Equa (lygtis) ⇒ Explicit. Pasirodo lentelė, kurioje: langelyje „f(x) = “ – įrašome funkcijos formulę; color – galima pasirinkti norimą grafiko spalvą ir spalvų lentelę išjungti; Spaudžiame „Ok“, plokštumoje atsiras grafikas.

4. Kartu su grafiku atsiras inventorinė dėžutė „Inventory for noname2.wp2“. Joje galima, prieš tai pažymėjus funkciją, atlikti: Edit – funkcijos redagavimas; Delete – pažymėtos funkcijos trynimas; Table – atidaro pažymėtos funkcijos reikšmių lentelę; Hide graph – paslepia (atstato) funkcijos grafiką; Show equa – parodo arba paslepia funkcijos lygtį; Name – užrašome lygties pavadinimą. Jeigu uždarėt inventorinę dėžutę – ją atstatyti spaudžiame komandą Equa ⇒ Inventory.

5. Norėdami pažymėti funkcijos nulinius taškus pasirenkame komandą One ⇒ Zeros. Pasirodys lentelė, kurioje bus nurodyti funkcijos nuliniai taškai, kitus pamatyti spaudžiame Next. Ties taško, kuriame grafikas kerta Ox ašį atsiras rodyklė.

74

6. Norėdami pažymėti funkcijos ekstremumo (maksimumo, minimumo) taškus pasirenkame meniu komandą One ⇒ Extremes. Pamatyti visus ekstremumo taškus pasirodžiusiame lange spaudžiame Next extreme of.

7. Norėdami įrašyti funkcijos formulę, kurioje nežinomasis x keliamas laipsniu (pvz. f(x) = x3) atliekame:

įrašome x; spaudžiame klavišą „Shift“ kartu su klavišu „š“.

Programoje atrodys taip: x^3. 8. Norėdami įrašyti funkcijos formulę, kurioje naudojamas modulis (pvz. f(x) = 1−x )

programoje rašome taip: abs(x - 1).

75

Funkcijos sąvoka Taisyklę, kuri kiekvienai vieno kintamojo reikšmei priskiria vienintelę kito kintamojo

reikšmę, vadiname funkcija.

Rašome y = f(x), x – funkcijos nepriklausomas kintamasis, y – priklausomas

kintamasis.

Funkcijos reiškimo būdai.

1. Reiškimas formule. Pvz.: f(x) = x2 + 2x.

2. Funkcijos reiškimas lentele:

3. Funkcijos grafikas.

Funkcijos y = f(x) grafiku vadinama aibė koordinačių plokštumos taškų (x, f(x)),

x ∈ D(f).

Pvz.: Funkcijos f(x) = x2 + 2x grafikas yra parabolė.

x -2 -1 0 1 2

f(x) = x2 + 2x 0 - 1 0 3 8

f(x) = x2 + 2x

4. Funkcijos reiškimas žodžiais.

5. Funkcijos reiškimas lygtimi. Pvz.: x + y – 2xy = 0.

76

Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai. Monotoniškumas.

Funkcija f(x) vadinama didėjančiąja intervale (a; b) funkcija, kai su

bet kuriais intervalo (a; b) skaičiais x1 ir x2 iš nelygybės x1 < x2 išplaukia

nelygybė f(x1) < f(x2).

Intervalą (a; b) vadiname funkcijos didėjimo intervalu.

y = f(x)

1 pav. Intervale (a; b) didėjančios funkcijos grafikas

77


Funkcija f(x) vadinama mažėjančiąja intervale (a; b) funkcija, kai

su bet kuriais intervalo (a; b) skaičiais x1 ir x2 iš nelygybės x1 < x2

išplaukia nelygybė f(x1) > f(x2).

Intervalą (a; b) vadinsime funkcijos mažėjimo intervalu.

y = f(x)

2 pav. Intervale (a; b) mažėjančios funkcijos grafikas

78


Funkcija f(x), kuri intervale (a; b) yra didėjančioji arba mažėjančioji,

vadinama monotonine tame intervale, o pats intervalas (a; b) − funkcijos

monotoniškumo intervalu.

f(x) = x3 – 3x + 2

3 pav.

P a v y z d y s . Funkcijos f(x) = x3 – 3x + 2 grafikas nubraižytas 3

paveiksle. Intervaluose (- ∞; -1) ir (1; + ∞) ši funkcija monotoniškai didėja,

intervale (-1; 1) − monotoniškai mažėja.

79

Funkcijos minimumo ir maksimumo taškai

Taškas x0, iki kurio funkcija f(x) didėja, o už jo mažėja, vadinamas

maksimumo tašku, o funkcijos reikšmė f(x0) vadinama jos maksimumu.

Taškas x0‘, iki kurio funkcija f(x) mažėja, o už jo didėja, vadinamas

minimumo tašku, o funkcijos reikšmė f(x0‘) vadinama jos minimumu.

y = f(x)

4 pav.

Maksimumo ir minimumo taškai vadinami funkcijos ekstremumo

taškais, o funkcijos reikšmės tuose taškuose − funkcijos ekstremumais.

80

81

Lyginės ir nelyginės funkcijos

Funkcija f(x) vadinama lygine, jei su visais x iš apibrėžimo srities

yra teisinga lygybė f(− x) = f(x).

Bet kokios lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas tiesės Oy

atžvilgiu.

5 pav.

P a v y z d y s . Funkcijos f(x) = x2 grafikas nubraižytas 5 paveiksle.

Grafikas simetriškas tiesės Oy atžvilgiu.

f(− x) = (− x)2 = x2 = f(x), t. y. f(− x) = f(x).

82


Funkcija f(x) vadinama nelygine, jei su visais x iš apibrėžimo srities

yra teisinga lygybė f(− x) = − f(x).

Bet kokios nelyginės funkcijos grafikas simetriškas taško O(0; 0)

atžvilgiu.

6 pav.

P a v y z d y s . Funkcijos f(x) = x3 grafikas nubraižytas 6 paveiksle.

Grafikas simetriškas taško O(0; 0) atžvilgiu.

f(− x) = (− x)3 = (− 1)3x3 = − x3 = − f(x), t. y. f(− x) = − f(x).

Taškai M(x; y) ir N(−x; −y), kurie priklauso funkcijos grafikui, yra

simetriški taško O atžvilgiu.

83


Funkcija yra nebūtinai lyginė arba nelyginė. Dauguma funkcijų

nėra nei lyginės, nei nelyginės.

7 pav.

P a v y z d y s . Funkcijos f(x) = x , grafikas nubraižytas 7 paveiksle.

Funkcija nei lyginė, nei nelyginė.

84

Skaidrės POWER POINT

Funkcija f(x) = 3x

Funkcija f(x) = 3x2

Funkcija f(x) = -x3

Funkcija f(x) = |x - 2|

Funkcija f(x) = x3 – 3x2

Funkcija f(x) = -3x2 – 6x

Po stebėtos pamokos mokytojams buvo pasiūlyta užpildyti II formą, kurioje atsispindi dalyvaujančių pamokoje pedagogų nuomonė. II forma Pildo stebėtojas (geriausiai tinka gebėjimų vertinimo procese) ATASKAITA PO STEBĖTOS PAMOKOS (VEIKLOS)

PEDAGOGO VARDAS STEBĖTOJO VARDAS Pavardė Stažas Klasė (grupė) Kategorija Ugdytinių skaičius Data Prieš kelias dienas iki stebimos pamokos (veiklos) stebėtojas turėtų susitikti su pedagogu ir aptarti šį klausimyną. Pedagogas turėtų paaiškinti stebėtojui, kokius kels ugdymo tikslus, kokius naudos metodus. Po stebėtos pamokos (veiklos) stebėtojas ir pedagogas turėtų vėl susitikti, aptarti stebėtą pamoką ir padaryti išvadas. 1. Aprašykite pamoką, veiklą (temą, tikslus, metodus). 2. Įvertinkite pamoką, veiklą (problemų reikšmingumą, medžiagos gausumą ir pagrįstumą, dėstymo išsamumą ir detalumą). 3. Ar tinkamai. Aiškiai organizuota pamoka (veikla)? 4. Ar mokymo metodai atitiko tikslus (šioje klasėje, grupėje)? 5. Apibūdinkite ugdytinių susidomėjimą ir aktyvumą. 6. Kuo pedagogas kompetentingas? Nekompetentingas? 7. Ką patartumėte pedagogui, tobulinančiam savo profesinius įgūdžius? (Šį formą pildoma po kiekvienos stebėtos pamokos, veiklos) _____________________________________________________________________

Išvados: remiantis apklausos rezultatais, pamoka pavyko ir sulaukė teigiamo kolegų įvertinimo.

85

2. BENDROJO IR IŠPLĖSTINIO KURSO TURINYS. BENDRIEJI IR SPECIALIEJI MOKSLEIVIŲ GEBĖJIMAI

Lentelėje pateikiamas bendrojo (kairėje skiltyje) ir išplėstinio kurso (dešinėje skiltyje) kurso turinys. Išplėstinio kurso turinį sudaro privalomas bendrojo kurso turinys (dešinėje skiltyje nebekartojama) ir papildomos temos.

Bendro kurso turinys Papildomos išplėstinio kurso temos Realieji skaičiai ir algebra

Skaičių aibės (bendrųjų žinių apie natūraliuosius, racionaliuosius, iracionaliuosius, realiuosius skaičius , skaičių intervalų sisteminimas), aibių sąjunga ir sankirta.

Bendrųjų žinių apie realiųjų skaičių ir tiesės taškų atitiktį sisteminimas.

Skaičiaus modulio sąvoka. Reiškinių su moduliais pertvarkiai.

Sekos sąvoka. Sekos n-ojo nario formulė, rekurentinės formulės. Aritmetinė progresija. Geometrinė progresija. Pirmųjų n progresijos narių suma.

Nykstančios begalinės geometrinės progresijos narių suma. Sekos ribos sąvoka. Progresijų taikymai.

Racionaliųjų reiškinių pertvarkiai. Kėlimo laipsniu sąvokos išplėtimas. Veiksmų su laipsniais taisyklės. Teigiamo realiojo skaičiaus laipsnis. Veiksmai laipsnių su realiaisiais laipsnio rodikliais. Laipsnių ir rodiklinių reiškinių pertvarkiai.

Logaritmo sąvoka. Skaičius e, natūrinis logaritmas. Logaritminių reiškinių pertvarkiai.

Funkcijos, lygtys ir nelygybės Funkcijos samprata; funkcijos apibrėžimo būdai, funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys. Funkcijos grafikas. Lyginės, nelyginės, didėjančios ir mažėjančios funkcijos; funkcijos maksimumo ir minimumo taškai. Lygčių f(x)=0 ir f(x)=g(x)sprendimo grafinė interpretacija.

Funkcijos sąvoka: veiksmai su funkcijomis; funkcijų lyginumo, monotoniškumo nustatymo uždaviniai. Sudėtinė funkcija; funkcijai atvirkštinė funkcija. Funkcijų grafikų transformacijos. Funkcijos g(x)=f(|x|) ir h(x)=|f(x)| bei jų grafikai.

Lygtys ir nelygybės su vienu kintamuoju, lygtys pavidalo f(x)g(x)=0, bikvadratinės lygtys, paprastos racionalios ir iracionalios lygtys.

Algebrinių lygčių sprendimo būdai: kintamojo pakeitimas, skaidymas dauginamaisiais. Lygčių sistemų sprendimo būdai.

Paprastos racionalios nelygybės. Nesudėtingų pirmojo ir antrojo laipsnio lygčių ir lygčių sistemų grafinis sprendimas. Lygčių sistemų, kuriose viena lygtis tiesinė, sprendimas. Lygčių ir sistemų sprendimo taikymai pagrindinės mokyklos geometrijos ir stereometrijos uždaviniams spręsti.

Lygčių su moduliu sprendimas. Nelygybių su moduliu sprendimas. Nelygybių ekvivalentumo samprata.

86

Bendro kurso turinys Papildomos išplėstinio kurso temos Funkcijos, lygtys ir nelygybės (tęsinys)

Lygčių ekvivalentumo samprata. Laipsninės funkcijos, jų savybės ir grafikai. Rodiklinė ir logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikas; logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikas. Realių procesų, modeliuojamų rodiklinėmis arba logaritminėmis funkcijomis, lygtys bei nelygybės.

Nesudėtingos rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės. Populiacijos augimo, radioaktyvaus ir kitų procesų skilimo, sudėtinių palūkanų uždaviniai.

Trigonometrinės funkcijos: radianinis kampo matas; sinθ, cosθ, tgθ apibrėžimai, remiantis vienetinių apskritimu; trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas skaičiuoklių; skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos ir jų periodiškumas, grafikai ir svarbiausios savybės; paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas, sprendinių duotame intervale radimas; trigonometrijos taikymai geometrijos uždaviniams spręsti.

Redukcijos formulės; dviejų argumentų sumos (skirtumo) trigonometrinių funkcijų bei trigonometrinių funkcijų sumos, skirtumo reikšmių skaičiavimas ir su tuo susijusios pagrindinės trigonometrinės formulės. Nesudėtingi trigonometrinių reiškinių pertvarkiai ir jų taikymo uždaviniai. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai ir savybės. Nesudėtingų trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas.

Planimetrija Pagrindinės mokyklos planimetrijos kurso

sisteminimas ir išplėtimas; planimetrijos aksiomų pavyzdžiai, apibrėžimai, teoremos ir teoremai atvirkštinės teoremos, jų įrodymai: tiesioginis, netiesioginis.

Stereometrija Supažindinimas su stereometrijos

aksiomomis. Pagrindinių stereometrijos teiginių (tiesių ir plokštumų lygiagretumo, statmenumo, kampų tarp tiesių ir plokštumų, tarp plokštumų) įrodymai ir taikymai geometrinių kūnų savybėms nagrinėti bei plotų ir tūrių uždaviniams spręsti. Geometrinių kūnų paviršių plotų ir tūrių skaičiavimo uždaviniai. Paprasčiausi geometrinių kūnų junginiai ir pjūviai, jų paviršių plotų ir tūrių radimas.

Vektoriai Vektorių plokštumoje ir erdvėje apibrėžimas

ir veiksmai su jais. Vektorių plokštumoje ir erdvėje koordinatės. Vektorių skaliarinė daugyba. Vektoriaus ilgis. Vektorių statmenumo ir lygiagretumo sąlygos, kampo tarp vektorių ir tiesių apskaičiavimas, kai vektoriai duoti koordinatėmis. Vektorių taikymo uždaviniams spręsti ir geometrijos teoremoms įrodyti pavyzdžiai.

87

Bendro kurso turinys Papildomos išplėstinio kurso temos Diferencialinis skaičiavimas

Funkcijos ribos taške ir funkcijos tolydumo sąvokų paaiškinimas konkrečiais pavyzdžiais. Funkcijos argumento pokytis. Funkcijos pokytis. Funkcijos išvestinės sąvoka. Funkcijų sumos, skirtumo, sandaugos ir realaus skaičiaus, laipsninės funkcijos išvestinių skaičiavimo taisyklės. Jų taikymas daugianarių išvestinėms rasti. Išvestinių taikymai funkcijų grafikams brėžti ir funkcijos tirti: intervalų, kuriuose funkcija yra didėjanti arba mažėjanti, radimas, funkcijų ekstremumų radimas, funkcijos didžiausios ir mažiausios reikšmės intervale radimas. Funkcijų išvestinių taikymai paprasčiausiems realaus turinio uždaviniams spręsti.

Funkcijų sandaugos ir santykio išvestinių skaičiavimo taisyklės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Laipsninės, rodiklinės, logaritminės ir trigonometrinių funkcijų išvestinių skaičiavimo formulės. Jų taikymas sudėtingesnių funkcijų išvestinėms rasti. Funkcijos grafiko liestinės taške lygtis. Judėjimo ir greičio funkcijų išvestinių fizikinė prasmė. Kiti išvestinių taikymo uždaviniai.

Integralinis skaičiavimas Funkcijų pirmykščių funkcijų radimo

taisyklės. Funkcijų neapibrėžtinio ir apibrėžtinio integralo samprata ir sąvoka. Apibrėžtinio integralo radimas. Niutono-Leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo taikymai: kreivinės trapecijos ploto radimas; ritinio, kūgio ir rutulio tūrių formulių išvedimas, remiantis sukinio tūrio išraiška apibrėžtiniu integralu.

Tikimybės ir statistika Bandymo baigčių skaičiaus radimas. Nesutaikomi atsitiktiniai įvykiai, jų sąjungos tikimybė. Nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai, jų sankirtos tikimybė. Generalinė aibė ir imtis. Imties paėmimo būdai. Imties pateikimas dažnių lentelėje. Grafinis imties vaizdavimas: diagrama, histograma. Imtie skaitinės charakteristikos: vidurkis, dispersija, mediana, moda, kvartiliai. Koreliacijos samprata.

Derinių iš n po k skaičiaus radimas pagal formulę. Sąlyginė tikimybė, įvykių sankirtos tikimybė. Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai. Atsitiktinio dydžio matematinė viltis, dispersija, mediana, moda, kvartiliai. Binominiai bandymai ir binominis tikimybių skirstinys. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Dviejų požymių imties koreliacijos koeficientas.

88

Išsilavinimo standartuose pateikiami reikalavimai moksleivių bendriesiems ir specialiesiems gebėjimams. Išplėstinio kurso išsilavinimo standartų reikalavimai apima ir bendrojo kurso išsilavinimo standartų reikalavimus, todėl lentelių išplėstinio kurso skiltyse įrašyta tik tai, ką moksleiviai privalo žinoti ir suprasti geriau ir daugiau, negu reikalaujama bendrajame kurse.

Bendrieji moksleivių gebėjimai

Veiklos sritys

ir rūšys Bendro kurso pasiekimai Papildomi išplėstinio

kurso pasiekimai Žinių įsiminimas

Žino matematines sąvokas ir procedūras, paaiškina jas savais žodžiais arba pavaizduoja grafiškai. Paprasčiausiais atvejais atpažįsta ir sukonstruoja matematinius objektus (geometrines figūras, reiškinius, lygtis ir pan.). Atsimena ir taisyklingai vartoja svarbiausius matematinius simbolius. Atsimena svarbiausias sąvokas, apibrėžimus ir jų savybes.

Žino matematines sąvokas ir procedūras, susieja jas su kitomis sąvokomis, pavaizduoja grafiškai, išreiškia algebriškai ir pan. Atsimena, parenka, suformuluoja arba sukonstruoja matematinius objektus (apibrėžimus, geometrines figūras, reiškinius, lygtis, teoremas ir pan.). Atsimena ir taisyklingai vartoja matematinius simbolius. Atsimena bei geba suformuluoti svarbesnių matematinių sąvokų apibrėžimus ir savybes. Atsimena matematinius objektus ir savybes, tenkinančius konkrečius reikalavimus.

Įprastinių procedūrų naudojimas

Naudojasi formulių rinkiniais, lentelėmis, braižymo įrankiais ir skaičiuotuvais paprastiems uždaviniams spręsti. Atlieka paprastas standartines skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo, grafikų brėžimo lygčių sprendimo ir kitas matematines procedūras. Atlieka kai kurias sudėtingesnes įprastines matematines procedūras (patikrina gautą atsakymą, ištiria funkciją, sutvarko ir pateikia duomenis).

Naudojasi formulių rinkiniais, lentelėmis, braižymo įrankiais ir skaičiuotuvais. Atlieka standartines skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo, grafikų brėžimo lygčių sprendimo ir kitas matematines procedūras. Atlieka kai kurias sudėtingesnes įprastines matematines procedūras (įvertina galimą atsakymą, patikrina gautą atsakymą, ištiria funkciją, sutvarko ir pateikia duomenis ir pan.).

Matematinis komunikavimas

Skaito ir supranta uždavinių sąlygas bei kitokius paprastus matematinius tekstus. Suprantamai aprašo uždavinio sprendimą. Dėsto savo mintis matematinėmis temomis.

Skaito ir supranta uždavinių sąlygas bei kitokius nesudėtingus matematinius tekstus. Nuosekliai aprašo uždavinio sprendimą ir paaiškina jo svarbiausius etapus. Formuluoja teiginius, apibendrinimus ir išvadas. Matematiškai aprašo sąryšius, dėsningumus ir algoritmus. Tinkamai vartoja matematinius terminus ir simbolius.

89

Bendrieji moksleivių gebėjimai

Veiklos sritys

ir rūšys Bendro kurso pasiekimai Papildomi išplėstinio

kurso pasiekimai Matematinis mąstymas

Pritaiko algoritmus ir procedūras konkretiems uždaviniams spręsti. Pastebi paprastus dėsningumus ir jais pasinaudoja. Pagrindžia paprastus teiginius ir veiksmus. Taiko matematinius modelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) nesudėtingiems praktinio pobūdžio uždaviniams spręsti.

Pritaiko ar sukuria algoritmus ir procedūras konkretiems uždaviniams spręsti. Randa dėsningumus ir daro apibendrinimus. Atlieka paprastus matematinius tyrimus. Pagrindžia atliekamus veiksmus ir įrodo nesudėtingų teiginių teisingumą. Supranta, kas yra tiesioginis ir netiesioginis įrodymas. Taiko matematinius modelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) praktinio ir teorinio pobūdžio uždaviniams spręsti. Sprendžia uždavinius, kurių formuluotėse duota per daug ar per mažai informacijos, kurie turi daugiau kaip vieną sprendinį, kuriuose aprašytos situacijos reikalauja nestandartinių matematinių modelių, kurių reikia spręsti ne visai standartiniu būdu.

Matematikos ryšiai

Spręsdami nelabai sudėtingus uždavinius taiko algebros, geometrijos, funkcijų ir analizės metodus.

Uždaviniams spręsti naudojasi vidiniais ir svarbiausiais matematikos ryšiais (tarp temų, tarp dalykų).

90

Specialiuosius moksleivių gebėjimus formuluosime tik nagrinėjamų temų kontekste: „Funkcijos. Išvestinės. Integralai.“

Specialieji moksleivių gebėjimai

Sritis (tema) Bendro kurso pasiekimai Papildomi išplėstinio

kurso pasiekimai Funkcijos, lygtys nelygybės

Pagrindinės sąvokos

Supranta ir teisingai vartoja sąvokas: argumentas, funkcija, jos apibrėžimo sritis, reikšmių sritis, funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai, lyginė ir nelyginė funkcija ,funkcijos minimumo ir maksimumo taškai.

Apibrėžia sąvokas: funkcija, didėjanti (ar mažėjanti) intervale funkcija, lyginė, nelyginė funkcija, ,funkcijos minimumas ir maksimumas, funkcijai atvirkštinė funkcija. Nustato, kai funkcija apibrėžta nesudėtingu reiškiniu, funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, monotoniškumo intervalus, ar funkcija lyginė, ar nelyginė, funkcijos minimumo ir maksimumo taškus, patikrina, patikrina, ar dvi funkcijos yra viena kitai atvirkštinės.

Funkcijos grafikas

Iš funkcijos grafiko geba nustatyti funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, monotoniškumo intervalus, maksimumo ir minimumo taškus, ar funkcija lyginė, ar nelyginė. Moka nustatyti lygties f(x)=0 ir lygties f(x)=g(x) apytikslį sprendinį, rasti sprendinių skaičių naudodamiesi funkcijų f(x) ir g(x) grafikais.

Iš funkcijos grafiko geba nustatyti funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, monotoniškumo intervalus, maksimumo ir minimumo taškus, ar funkcija lyginė, ar nelyginė. Moka nustatyti lygties f(x)=0 ir lygties f(x)=g(x) apytikslį sprendinį, rasti sprendinių skaičių naudodamiesi funkcijų f(x) ir g(x) grafikais. Moka nubrėžti funkcijų f(x)+a, f(x+a), af(x), f(ax), |f(x)|, f(|x|) grafikus, kai turi funkcijos f(x) grafiką. Žino ir geba iliustruoti ryšį tarp funkcijos ir jai atvirkštinės funkcijos grafikų.

Laipsninės funkcijos

Brėžia laipsninių funkcijų su natūraliuoju rodikliu ir n-tojo laipsnio šaknies grafikų eskizus (kai n yra mažas natūralusis skaičius), žino jų savybes. Naudodamiesi skaičiuokliu arba lentele apskaičiuoja laipsninių funkcijų reikšmes.

Brėžia laipsninių funkcijų su racionaliuoju rodikliu grafikų eskizus bei nagrinėja šių funkcijų savybes. Apskaičiuoja laipsninių funkcijų reikšmes.

Rodiklinės ir logaritminės funkcijos, lygtys ir nelygybės

Brėžia rodiklines ir logaritmines funkcijų grafikų eskizus Žino rodiklinių ir logaritminių funkcijų savybes ir taiko jas paprasčiausioms lygtims ir nelygybėms spręsti.

Brėžia rodiklines ir logaritmines funkcijų grafikų eskizus Suformuluoja ir moka pagrįsti rodiklinės ir logaritminės funkcijų savybes (taip pat ir pagrindu e).

91




Rodiklinės ir logaritminės funkcijos, lygtys ir nelygybės

Apskaičiuoja rodiklinių ir logaritminių (pagrindu dešimt) funkcijų reikšmes skaičiuokliu. Atpažįsta realius procesus, modeliuojamus rodiklinėmis ir logaritminėmis funkcijomis.

Taiko rodiklinės ir logaritminės funkcijų savybes paprastiems uždaviniams spręsti ir sprendimams pagrįsti. Apskaičiuoja rodiklinių ir logaritminių funkcijų reikšmes skaičiuokliu. Sudaro ir sprendžia nesudėtingas rodiklines bei logaritmines lygtis ir nelygybes. Taiko jas populiacijos augimo, radioaktyvaus ir kitų procesų skilimo, sudėtinių palūkanų nesudėtingiems uždaviniams spręsti. Supranta ir moka pagrįsti, kad funkcija f(x)=logax, x>0, yra atvirkštinė rodiklinei funkcijai g(x)= ,xa Rx ∈ . Supranta rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ryšius.

Bendros žinios apie trigonometrines funkcijas

Moka išspręsti kampo didumą radianais, radianus paversti laipsniais ir atvirkščiai. Apibrėžia bet kokio dydžio kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir taiko vienetinio apskritimo modelį jų kitimui, apytikslėms reikšmėms ir ženklui nustatyti. Randa trigonometrinių funkcijų reikšmes keturženklėse lentelėse ar skaičiuoklių. Žino ir taiko pagrindinius to paties argumento trigonometrinių funkcijų sąryšius trigonometrinių reikšmių pertvarkiams ir kitiems uždaviniams spręsti. Apibrėžia bet kokio argumento trigonometrines funkcijas

,cos)(,sin)( xxfxxf == ir nubrėžia jų

grafikų eskizus. Supranta, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės.

,)( tgxxf = Rx ∈

Apibrėžia bet kurio dydžio kampo kotangentą. Atsimena kampų

trigonometrinių funkcijų reikšmės. Moka redukuoti trigonometrines funkcijas, taiko redukcijos formules įvairių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuoti. Moka įrodyti to paties argumento trigonometrinių funkcijų sąryšius ir geba juos taikyti trigonometrinių reiškinių pertvarkiams, geometrijos ir kitiems uždaviniams spręsti. Žino ir taiko trigonometrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuoti, nesudėtingiems reiškiniams pertvarkyti ir kitokiems uždaviniams spręsti dviejų kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, tangento bei trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo keitimo sandauga formules bei jų išvadas. Moka apibrėžimus, savybes funkcijų:

906045300 00000,,,,

,cos)(,sin)( xxfxxf ==,)( tgxxf = ,)( ctgxxf = Rx ∈ ,

braižo jų grafikus, nustato periodą, taiko uždaviniams spręsti.

92




Trigonometri-nės lygtys ir nelygybės

Naudodami simbolius arcsin, arccos, arctg užrašo paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendinius ir skaičiuoklių apskaičiuoja arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes. Sprendžia duotame intervale paprastas trigonometrines lygtis, pertvarkydami jas į paprasčiausias. Sprendžia trikampių ir trikampių plotų radimo uždavinius, taikydami sinusų ir kosinusų teoremas ir trikampio ploto formulę.

Moka arksinuso, arkkosinuso ir arktangento apibrėžimus, savybes, geba juos taikyti uždaviniams spręsti. Apskaičiuoja atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmes ir nubrėžia jų grafikus. Sprendžia nesudėtingas trigonometrines lygtis ir nelygybes, atlikdami tapačius trigonometrinius pertvarkius arba naudodami kintamojo pakeitimą. Sprendžia nesudėtingas lygčių sistemas, kuriuose viena lygtis trigonometrinė. Aprašo trigonometrinėmis funkcijomis, lygtimis ir nelygybėmis nesudėtingas praktines ir matematines situacijas.

Diferencialinis skaičiavimas Funkcijos išvestinės samprata

Supranta funkcijos tolydumo sąvoką ir paaiškina, kaip atrodo tolydžių funkcijų grafikai. Supranta sąvokas: argumento pokytis, funkcijos pokytis. Žino funkcijos išvestinės sąvoką ir sieja ją su funkcijos reikšmių kitimo greičiu. Geba pavyzdžiais paaiškinti funkcijos išvestinės mechaninę ir geometrinę prasmę.

Supranta funkcijos ribos taške sąvoką ir geba iliustruoti ją pavyzdžiais. Apibrėžia funkcijos tolydumą taške ir intervale. Supranta sąvokas: argumento pokytis, funkcijos pokytis. Supranta funkcijos išvestinės sąvoką ir geba paaiškinti išvestinės mechaninę ir geometrinę prasmę.

Funkcijų išvestinių skaičiavimai ir taikymai

Apskaičiuoja daugianarių išvestines. Nesudėtingais atvejais taiko išvestines funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalams nustatyti, ekstremumo taškams rasti, funkcijos didžiausiai bei mažiausiai reikšmėms intervale apskaičiuoti ir funkcijų grafikų eskizams brėžti. Taiko išvestines paprastiems realaus turinio uždaviniams spręsti.

Moka ir nesudėtingais atvejais taiko funkcijų sumos, skirtumo, sandaugos, santykio ir sudėtinės funkcijos išvestinių skaičiavimo taisykles bei laipsninės, racionaliųjų trigonometrinių, (f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=tgx, f(x)=ctgx), rodiklinių (ir pagrindu e), logaritminių funkcijų išvestinių formules. Užrašo funkcijos grafiko liestinės taške lygtį. Suformuluoja ir paaiškina funkcijos reikšmių didėjimo (mažėjimo) požymius, būtinąjį ekstremumo, minimumo ir maksimo požymius bei taiko juos tirdami funkcijas ir braižydami funkcijų grafikų eskizus, spręsdami realaus turinio uždavinius.

93



kurso pasiekimai Integralinis skaičiavimas

Funkcijos pirmykštė funkcija

Apibrėžia funkcijos pirmykštę funkciją. Supranta ir taiko paprasčiausias funkcijų pirmykščių funkcijų radimo taisykles. Naudoja tiesinį kintamojo pakeitimą.

Apibrėžtinis integralas ir jo taikymai

Supranta ir geba paaiškinti funkcijų neapibrėžtinio ir apibrėžtinio integralo intervale [a, b] sąvokas. Moka Niutono-Leibnico formulę ir taiko ją apibrėžtiniams integralams skaičiuoti. Taiko apibrėžtinius integralus nesudėtingų kreivių figūrų plotams apskaičiuoti ir kitiems paprasčiausiems uždaviniams spręsti (matematinio ir praktinio pobūdžio).

Labai svarbūs yra socialiniai kultūriniai matematikos aspektai, kuriuos, pageidautina, kad žinotų kiekvienas moksleivis.

Socialiniai kultūriniai matematikos aspektai

Pageidautina, kad moksleivis žinotų esminius faktus, susijusius su žinomiausių

matematikų idėjų istorine raida. Pageidautina, kad moksleivis gebėtų sieti matematinių idėjų raidą su jas

tobulinusių visuomenių poreikiais ir galimybėmis. Pageidautina, kad moksleivis gebėtų paaiškinti kultūrinius bei vidinius

matematikos raidos stimulus. Pageidautina, kad moksleivis gebėtų paaiškinti matematikos reikšmę

šiuolaikiniame pasaulyje. Pageidautina, kad moksleivis gebėtų paaiškinti ryšius tarp matematikos ir

kompiuterinių technologijų. Pageidautina, kad moksleivis gebėtų paaiškinti matematinės kultūros įtaką

Lietuvos kultūrai.

95

4. MOKOMOJI PROGRAMA DEŠIMTOKAMS: „MATEMATIKOS DALYKO PAGRINDINIO KURSO KARTOJIMAS“

TESTŲ, KONTROLINIŲ IR SAVARANKIŠKŲ DARBŲ SĄSIUVINIAI Pateikiama mokomoji programa dešimtokams, kurios paskirtis pakartoti matematikos pagrindinio kurso tematiką ir pasiruošti X-tos klasės egzaminui. Programa yra labai paprasta ir užima nedaug vietos, sudaryta iš dviejų dalių: bandomosios ir kontrolinės. Bandomojoje dalyje moksleiviai mokosi, prisimena taisykles, kompiuterio pagalba pakartoja tematiką ir sprendžia praktinius uždavinius. Kontrolinė dalis-patikrinimo dalis, moksleiviams siūlomas testas, kurį atlikus jie mato surinktų taškų skaičių. Šios programos privalumas-paprastumas ir efektyvumas. Ją lengvą įdiegti, naudoti. Programos trūkumas-gana žemas uždavinių lygis, programa tinka tik pirmajam (baziniam) kartojimui. Jos išspręstų uždavinių tikrai nepakaks sėkmingam X-tos klasės egzamino išlaikymui. Taigi ją galime laikyti pirmuoju žingsniu pasiruošime X-tos klasės egzaminui.. Pateikiame matematikos XI-XII klasėms testų, kontrolinių ir savarankiškų darbų sąsiuvinius. (Šiuos puslapius nenumeruojame).

96

IŠVADOS Pradedant rašyti šį darbą, jo pagrindinis tikslas buvo išnagrinėti matematinės analizės elementų dėstymo ypatumus. Šiam tikslui pasiekti buvo verčiami visi šiandien naudojami vadovėliai, išsamiai išanalizuoti metodinių leidinių pasiūlymai. Lyginant mokymo medžiagos pateikimo būdus (kaip teorinių klausimų, taip ir siūlomų uždavinių tipus) buvo bandyta rasti atsakymą į klausimą: „Kaip reikia mokyti, kad išmokyti?“ Darbo pradžioje yra nagrinėjamas matematikos mokytojo darbas. XX amžiaus pabaigoje, 1997 metais Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija pasiūlė priešmokyklinio, pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrasias programas ir išsilavinimo standartus. Standartuose mes pamatėme daug metodinių rekomendacijų mokymo ir ugdymo procesui tobulinti. Remiantis standartais bandėme nustatyti, kaip gyvena ir klesti šiuolaikinė Lietuvos mokykla. Nagrinėjome matematikos mokytoją – jo pagrindinį vaidmenį šiandieną; ryšius: mokytojas – mokinys; mokinys – mokytojas. Išsiaiškinome, kas yra dalyko integravimas ir tarpdalykiniai ryšiai, pabandėme patys įgyvendinti integruotos pamokos idėją .Ieškojome pagalbininkų mokantiesiems šiandien: pasiūlėme dešimtokams pačių sukurtą programą, kurios dėka jie galėtų patikrinti savo matematinių žinių lygį. Be to buvo išnagrinėta pažymių norma ir gradacija matematikos pamokoje. Antroji darbo dalis-tai bandymas parodyti, kaip gi dėstoma matematika šiandien: kokius apibrėžimus turi mokėti mokiniai ir kokius uždavinius turi mokėti spręsti. Ypač didelis dėmesys buvo skirtas XI-XII klasių mokytų knygoms, kuriuose galima rasti daug metodinių patarimų, nestandartinių idėjų, pasiūlymų padaryti pamoka įdomia, išskirtine. Nagrinėjant funkciją, buvo smulkiau išnagrinėta jos sąvoka: reiškimo būdai, atvirkštinė funkcija, didėjančios ir mažėjančios funkcijos. Nagrinėjant išvestinę, buvo išnagrinėtas išvestinės taikymas funkcijoms tirti:

• aprašytas funkcijos didėjimo (mažėjimo) požymis; • funkcijos kritiniai taškai, jos maksimumai ir minimumai; • išvestinės taikymo funkcijoms tirti pavyzdžiai; • funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė; • harmoniniai svyravimai.

Nagrinėjant integralus, buvo bandoma aprašyti pirmykštės funkcijos sąvoką, neapibrėžtinių integralų savybes. Ši darbo dalis buvo eksperimentinė: visos nagrinėjamos temos buvo apžvelgiamos skirtingų vadovėlių pagrindu. Buvo pasistengta parodyti, kaip skirtingų vadovėlių autoriai susivienija ties pagrindinių sąvokų ir tezių. Trečioji dalis - tai priedai, kuriuose pateikti išplėstiniai ir teminiai planai, be kurių negali apsieiti nei vienas mokytojas. Tai pagalbininkas, kurio pasinaudoti galės bet kuris pradedantysis pedagogas. Tikimės, kad sudarytas kontrolinių darbų ir testų sąsiuvinis pravers ir padės kasdienio darbo veikloje. Apžvelgiant Lietuvos vidurinės mokyklos evoliuciją ir matematikos dėstymą joje, norisi teigti, kad vadovėliai ir metodinė medžiaga, teikiama šiuolaikiniam mokiniui bei mokytojui, yra aukšto lygio ir atitinka visiems bendrųjų programų ir išsilavinimo standartų reikalavimams. Nepaisant dažnai iškilusių problemų ir sudėtingų situacijų norisi dirbti ir kurti. Norisi mokyti, kad išmokinti!

94

3. PAMOKŲ SKAIČIUS. XI-XII KLASIŲ MATEMATIKOS TEMINIAI PLANAI.

Mokomasis dalykas Bendras kursas Išplėstinis kursas Matematika 5 175 9 310

Lentelėje nurodoma privaloma dvejų metų savaitinių pamokų suma. Moksleivis pasirinktam dalyko programos kursui gali skirti ir daugiau pamokų.

Pateikiame matematikos teminius planus XI-XII klasėms. (Šiuos puslapius nenumeruojame).

97

SUMMARY

Minestery of Education of Lithuania, besides “Programme”, in 1994 offered for all schools methodical recommendations for educational process, named “General Educational Standards”. The process has influenced on citizens’ educational of Independent Lithuania. The Standards have allowed looking at subject in a new way. The topic of the given MA work “Teaching of mathematics analysis of elements in Lithuania since 1991”. Work goal is to clarify peculiarities of teaching of mathematics analysis of elements: -To consider the following topics: function, derivative, line, integral. Tasks:

1. To consider teacher’s job in our days and to find out this role in Educational process, to discuss connection between pupil and teacher.

2. To answer the question “What is integration and intersubject relations”. 3. To announce mark’s norms at lessons of mathematics.

The given work is an analysis of text books, didactic books, small pedagogical experiments and statistic analysis. In general, to find the answer “How to teach and to be tought? We hope the work will be a good assistance for young specialists, who have started difficult and interesting pedagogical path.

98

LITERATŪRA:

1. Švietimo plėtotės centras „Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklos bendrosios programos ir bendrojo išsilavinimo standartai. XI - XII klasės“-Vilnius, 2003m. 2. Švietimo plėtotės centras „Bendrieji ugdymo planai 2003-2005m.m.“.-Vilnius, 2003m. 3. A.Kolmogorovas, A.Abramovas, B.Veicas ir kt. „Algebra ir analizės pradmenys. Mokomoji knyga X-XII klasei“.-Kaunas: Šviesa, 1999m. (8-asis leidimas) 4. R.Razmas, J.Teišerskis, V.Vitkus „Matematikos uždavinynas XI-XII klasei“.- Kaunas: Šviesa, 1997m. (3-asis leidimas) 5. A.Steponavičius „Matematika. Vadovėlis X-XII klasei“.-Kaunas: Šviesa, 2000m. (4-asis leidimas) 6. A.Steponavičius „Matematika. Bendras ir išplėstinis kursas. Vadovėlis XII klasei“.- Kaunas: Šviesa, 2002m. (1-asis leidimas) 7. A.Steponavičius „Matematika XI-XII klasės mokytojo knyga“.- Kaunas: Šviesa, 2004m. (1-asis leidimas) 8. Autorių kolektyvas: K.Intienė, A.Skūpas, V.Stakėnas ir kt. „Matematika 11“ 1 dalis, 2 dalis.-Vilnius: Tev, 2003m. (1-asis leidimas) 9. V.Stakėnas „Matematika 11 Uždavinynas“.-Vilnius: Tev, 2002m. (2-asis leidimas) 10. R.Biekšienė, M.Zenkevičienė „Matematika 11. Savarankiški ir kontroliniai darbai“.- Vilnius: Tev, 2003m. 11. V.Stakėnas „Matematika 11. Mokytojo knyga“.-Vilnius: Tev, 2003m. 12. Autorių kolektyvas: K.Intienė, A.Skūpas, V.Stakėnas ir kt. „Matematika 12“ 1 dalis, 2 dalis. Išplėstinis kursas“.-Vilnius: Tev, 2003m. (1-asis leidimas) 13. V.Stakėnas „Matematika 12 Uždavinynas. Išplėstinis kursas“.- Vilnius: Tev, 2004m. 14. R.Biekšienė, M.Zenkevičienė„Matematika 12. Savarankiški ir kontroliniai darbai“.-Vilnius: Tev, 2004m. 15 V.Stakėnas „Matematika 12.Mokytojo knyga“.-Vilnius: Tev, 2004m. 16. R.D.Šileikienė „Matematika. Vadovėlis X klasei ir gimnazijų II klasei.“ 1 dalis, 2 dalis“.-Kaunas: Šviesa, 2003m. (1-asis leidimas) 17. R.D.Šileikienė „Matematika. Išplėstinis kursas Vadovėlis XI klasei. 1 dalis, 2 dalis“.-Kaunas: Šviesa, 2004m. (1-asis leidimas)

99

18. A. Piličiauskas „Meninis moksleivių ugdymas: kompiuterinės technologijos ir jausmai“.-Vilnius: LAMUC 2002m. 19. N.Kligienė. Informacinė visuomenė ir matematikai // Alfa plius omega, 1998. Nr.1, p. 43-49 20. P.Grebenečenkaitė. Matematikos baigiamiesiems egzaminams artėjant // Alfa plius omega, 1998. Nr.2, p. 67-70 21. J.Banionis Kai kurie matematinio švietimo bruožai Lietuvoje priklausomybės metais //Liet. matem. rink. ,2004-01-05. Nr.44. 22. M. Stričkienė. Matematika ir pasaulis. // Pedagogika, 1998. Nr.3, p. 24-26 23. V.Būdienė Matematika visiems lygu be matematikos visai? // Pedagogika, 1998. Nr.4, p. 27-29

MATEMATIN S ANALIZ S ELEMENTAI LIETUVOS VIDURINĖ · 2020. 12. 23. · „Matematika 12...

Documents

Transcript of MATEMATIN S ANALIZ S ELEMENTAI LIETUVOS VIDURINĖ · 2020. 12. 23. · „Matematika 12...