Pratarmd

Sioje knygeleje rasite reikalingiausias matematikos formules, apibrd-iimus, teiginius bei matematikos lenteles. Leidinio turinys paremtas gim-

nazijq ir viduriniq mokyklq matematikos kursrl temomis. Rengiant 5i4 kny-gelg buvo stengiamasi, kad medZiaga butq suprantama ir reikalinga, opaie5ka - kuo lengvesnd. Leidinyje pateikiama keletas apibrdZimq beipavyzdLir4 tiesiogiai nesusijusiq su mokymo programa. Tbdiau tai idomi irnaudinga mediiaga, kuri leis geriau suprasti atskiras matematikos temas.Tikimds, kad knygeld pateisins besimokandiqjq lukesdius.

Matematikos lentelis visr4 pirma skiriamos moksleiviams. Taip pat yraparengta ir keletas kitoms disciplinoms skiriamq Iios serijos knygeliq. Lin-kime susidom6ti ir jornis!

,eid.iiai

TURII,]YS

Kvadratiniu Saknu reikimiu lentele.....................'........ ...t4Kubiniq Saknq reikimiq lentele L6

18

Lygdiq sistemos .,.,.,.20

Matricos ir determinantai ...21

De5imtainiq logaritmq 1enteIe..............,............

Antilogaritmai ........................................25

Funkcijq iSvestines ir integralai....... ''........,,,.,42

Tiikampiai '.'. -......'.'''''.,..,..........'.... 52

Koordinadiq sistemos ............... ...............60

Vektoriai 6062

65

66o/

KELETAS MATEMATINIU KONSTANTASkritulio skersmens ir jo ilgio serylisl

n = 3,141 592 653 589 193 238 462 643 383 279 502 884 197 169... - 3,14

Naturaliojo logaritmo pagrindas:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 411 352 266 249 775 724... = 2,72

Aukso pjiivis: q = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834... - 1,62

Tiesds lygtysPlokstumos kreiviq lygtys 64Funkcijq monotoni5kumo tyrimasElipsd, parabold, hiperbold .

Rinktines kreivds ir funkciiosLogika ir veiksmai su aibemis 68

7070

Kombinatorika .1q-1=-.9

Ji = 1,414 2r3 s62 373 09s 048....lE = 2,236 067 97't 499 789 696...

log,oe = 0,434 294 481 903 251 827...hr 10 = 2,302 585 092 994 045 684...1 radianas - 57"17'44,80625"

SkaiCiry pavadinimai

J3+ r-2Jj = r,732 050 807 s68 772 935....li - 3,162 277 660 168 379 332...log,o2 = 0,301 029 995 663 981 195...ln 2 = 0,693 147 180 559 945 309...1. - 0,017 453 292 519 943 296.., tud

Tikimybiq teorija

Tiiktantis 10rMilUooas 106

Milijardas 10'g

Bilijonas 10'r =Bilijardas' 1015 =Trilijonas 10'3 =Kvadrilijonas 10ra =Kvintilijonas 10ro =Sekstilijonasb 1CP6 =

000000 000000 000 000000 000 000 000000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

' retai Lietuvoje vartojamas pavadioimas; analogiskai 10" - tai trilijardas, 1027 - kvad-rilijardas ir t. t,;b tolimesni: 10a'z- septilijonas, 103 - oktilijonas, 103a - nonilijonas, 1060 - deciltonas,10ffi - centilijonas

Pagrindiniai realiqjq skaiti4 poaibiai

1,2, 3, 6, 1000

0, natiiralieji skaidiai bei jiems priesingi skaiaiai 1)n-1 -A

Skaidiai, kuriuos galima isreiksti trupmena

Realieji skaidiai, kurie nepliklauso raciooaliqiqskaidiq aibei

(bet kurio laipsnio) algebridq lygdiq su sveikai-siais koeficientais Saknys

Realieji skaidiai, kurie oCra algebriniai skaidiai

" kartais (ne Lietuvoje) matiausiu natiiraliuoju skaidiumi vadinamas 0, o ne 1

Nat0ralieji \kaiciai n > I, kurie turi lik dunatiiraliuosius daliklius - 1 ir n

Du natlralieji skai6iai, kuriq bendras di-dziausias daliklis yla 1

2tr3,4ir9,9fi1.4

Skaidiai, kuriq skaitmenq sumayra lygi nati-ralidq dalikliq sumai (iiskyrus pati skaidir.l)

6=3+2+1;28=14+'7+4+2+l

Didiiausias natfrralusis skaicius, ii kunogalima padalyti visus (du arba daugiau) na-t[raliuosius skaiiius

bdd(4, 6) = 2;bdd(10, 20) = 10;

bdd(24, 30, 60) = 6

Maziausias natiralusis skaidius, kuris dali-jasi iS kiekvieno duoto (dviejq arba dau-giau) natlraliojo skaiiiaus

bmk(12, 30) = 60;bmk(5, 10, 11) = 5s

sKArerq sAwBESApibrdiimai, susijq su skaiiiy daltba

" iki 2001 m. birielio men. buvo Zinomi 38 tobulieji skaiaiai. Visus juos galima isfeiksti taipltr! t(2, - 1), kai 2r - 1 * pirminis skaidius; didziausias iinomas tobulasis skaidius dcsimtai-ncjc sistcmoje sudarytas iS 2098960 skaitmcnq - tai 26'!25'q(26'1'zer - 1), kuris buvo atrastas1999 m. N6ra zinoma, ar yra daugiau tobuldq skaidirt, kaip nera zinoma, ar egzistuojanelyginiai tobulieji skaidiai

bmk(a, b, ..., q) bdd(a, b' ..., q) = a b . . q

Sveik4j4 skaiii4 dalumo savybis"

TRA PMEN O S, P RO PORC IJO S, APYTIKSLIAI SKAI EWPagrindiniai veiksmai su trupmenomisa c ad+bc a c e d-b.cb d bd b.l b.d

Pagrind.inis p ropo rc ij 4 savy bds

IS proporcijos 9=9 15p1nuk;6 tokie sqrySiai (jei trupmenq vardikliai yra nclyg[s nuliui):

a+b c+d a-b c-d a+c a-c a c

b+.1 b-d b d

b d b.d

Praktinis apltiksliq skaiiiavimq taislHds

Tiek skaitmenq po kable-lio, kiek jq turi maiiautikslus skaidius

123,245+4,3-L27,5;1,23 1.07 + 1.2fr - 1,23 . 101

Tiek skaitmenq po kable-lio, kick jq turi maiiautikslus skaiaius

r23,24s-3,2=120,0:123,345-123,2=0,1111,2-0.001 = 11.2

Kartaisstaigiai auga(antrasis pvz.)

Tiek reikSmingq skaitme-nq po kablelio, kiek.jq tu-ri maziau tikslus skaicius

1,234 1,1 - 1,4,50,001 .4,0 = 2,0. 101

lki dviejq kar-tq didesni neitoji, kuriq turimaZiau tikslusskaidius1 Tiek reikimingq skaitme-

nq po kablelio, kiekjq tu-ri maiiau tikslus skaiCius

1'234 = r.ooor

1!?14 -e1,234 1,0

Tiek, kiek reiksmingqsKallmenq

1,241 - 1.,54;

0,011, = 0,00012

VidutiniSkaiauga du kartus

Tiek skaitnrenq po kable-lio, kiek reikSmingq skait-menq turi maziau tiksluslaipsniu kcliamas skaidius

5,I-1,4.101i1,01," = 1,10

VidutiniSkaiauga n Karnl

J; Tiek skaitmenq po kable-lio, kick reikSmingq skait-menll turi maZiau tiksluspoSakDyje esantis skaitius

.[r.2a =t,u,;JW4s -rr,1rl

MaiejavidutiniSkaidu kartus

Tiek skaitmenq po kable-lio, kiek reikSmingq skait-mcnq turi maiiau tikslusposakninis skaidius

1/"u =t,os;{o,oooou - o,z+

MaZija viduti-niikai /' kartq

log d Tiek skaitmerq po kable-lio, kiek reikJmingq skait-menq turdjo skaiiius a

log 1.23,456 - 2,091 512;log 0,00 011 = -3,96

' atliekant skaiiiavimus su apytiksliais skaidiais patartina tarpiniuose skaidiavimuose rasytipo kablelio bent vienu skaitmcniu daugiau, kad veliau gavus galutini rezultat4 galima biittlatmcsti skaitmeni, paliktq atsargai;b darome prielaid4, kad duotieji skaidiai yra tikri, ni vicno jq ncgalima laikyti tiksliuoju;' skaiiius 0,00 002 turi tik vien4 reiksmingqji skaitmcni ir pcnkis skaitmenis po kablelio;skaidius 2000 turi keturis reikimingus skaitmcnis; tas pats skaidius uzrasytas 2,0*10r turi dureiksmingus skaitmenis (ir formaliai ,,-2" skaitmenis po kablolio, nos taip uzrasytas skaidiusneteikia informacijos apie Sio skaidiaus desimtis ir vienetus)

... jci paskutini. skrritmuo 0. 2,4. 6 rrba 8

,.. jei skaitmenq suma dalijasi iS 3 123456'1890 dalijasi iS 3 (nes 45 da-lijasi i3 3, nes 4 + 5 = 9 dalijasi i5 3)

... jei paskutiniai du skaitmenys sudaro dvi-ienkli skaidiq, kuris dalijasi i3 4

L234567890 nesidalija i5 4, nes 90nesidalija i5 4

... jei paskutinis skaitmuo 0 arba 5

... jei skaiaius dalijasi i5 2 ir 3 2345678 nesidalija i5 6 (nors dalijasiiS 2, bet nesidalija is 3)

12345100 nesidalija iS 8, nes 100 ne-sidalija ii 8

... jci trys paskuliniai skailmenys sudaro trr'Zenkli skailiq, kuiis dalijasi i3 8

12345678 dalijasi iS 9, nes 36 dalijasiii9

... jei skaitmenll suma dalijasi i! 9

... jei piskutinis skaiciilus skaitmuo yrr 0 123445560 dalijasi iS 10

... jei skaitmenq, esantiq lyginise victosc,ir skaitmen{], esandiq nelyginese vietose, su-mq skirtumas dalijasi iS 11 (gali bnti lygus

12345678 nesidalija ia 11, nesI-2+3-4+5-6+'7-B=-4nesidalija iS 11

... jei skaiiius dalijcsi is 3 ir 4 12345678 nesidalija iS 12 (oors skai-iius dalijasii! 3, bct jis nesidalija i! 4)

' deSimtainiai skaidiai

10 77

PAGRINDINES ALGEBROS FORMULESPagrindiniai aritmetiniai veiksmai reali4jr4 skaidit4 aibije

' dalyba |, kai b = 0 negalima, t. y. daugyba i5 0 neturi atvirkstinds operacijos

Motlulio savybis

Aoibr6zimas ,o -[a' kai a>o'

l-a, koi o<0

lol >0 Jeigu lal =0,taia=014+Dl <ldl + lrl la-bl >lal -lbl llal -lbll<lc+bl

lal lalla bl = lal lbl ]t=itlKilimas laipsniuan = a . a .,.. . a (z kartq) (a - realusis skaiCius, n - natiiralusis skaidius)

(ei n - nelyginis, tai dvejose paskutiodse formulose galimi veiksmai, kai a < 0)

o o ttr F\: _= lvD_vclVD+Vc D_c'

Sqknies traukimas

."6=o

a" =<ta (a>0)

"; =4V =(4;)^

4"b =41;<lb

.,la +,lb = {a + b +2,lab

l,lo -,lb = tla+ b-2'lab

o oJE

^tb b

a o t, a\__.=._:-to_vclb+ Jc b'-c\

dt=t_fl

a ' =i; @>o)

\ala = \lla ='"4a

l; th\16 Vb

(a,b>0)

(a,b>0)

Iracionalumo Salinimo ii vanliHio hfrtlai

o o '-!b4bb

A A t,r = _. _lD + vc,b-Jc b- -c'A A tr -\_. _ = lvD +vc,

Jb -lc D-c'

a a n:, nr\= =

- lltD- -c llD + Vc I

r/b-Jc o'-c ''ao= 1(a + 0) 0'= 0 (z + 0)

1

a* = 1(at0) (-.a), = a, (z lyginis)

(a,')^ = a^- an . on = an+n

^a /-\ ^a!;=a"-^ (o*0) li | =| (a*o)o" \o) o

Skaidi4 laipsnfu a." lentuft

(4)" = 4' (4 nelvginis)

(o.b)'=o'.b'Auklliau pateiktose formulCse tariame, kad po laknimi esantys skaiCiai yra teigiami, ovardikliai - nelygiis nuliui.

FaklorialaiApibriiimas: 0! = 1

1! = 1

3l=6

5l = 1206l = 'lN7l = 5M08! = 403209! = 36288010! = 3628800

Stirlingo formuli

nl- J2nnL(tai apytiksle faktorialo reiksm6 esant dideliems skaidiams r; kai n = 20 formulds paklaidamazesnd nei 0.5 7r)

nl = (n - \)ln1ll =

16! =

18! =19! =2Ol =

(kai r > 0) nl = 1.2. ,,, n

39 916 800479 001 6006 227 020 8008't 178 291 2001 307 674 368 00020 922 789 888 000355 687 428 096 0006 402 373 105 728 000121 645 tO0 408 832 0002 432 902 008 176 640 000

(6+b)+c=a+(b+c)

(a.b).c=a.(b.c)Atimties ativilgiua,(b-c)=s 6-a a

b'-,)(b-"G)

4 8 64 128 256 512 1024

9 81 243 729 2187 6561 19683 59049

64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576

25 1Zt 625 3125 1s625 '18125 390625 195312s 9165625

2L6 1296 77'76 46656 278836 1679616 10017696 60466176

49 2401 16807 1t7649 823543 5764801 40353607 282475249

64 512 4096 32768 2621.44 2097152 16777216 134211728 1073741824

81 129 6561 59049 531441 4'782969 43046721 387420489 3486784401

t2

DAAGUNARW

W(x)=a*"+o,)'*t+-.- Dazniausiai sutinkama israiska. Patogi brai'antgafikus

w(x) = ((...((ot + a"_)x +a*)r+,.,)t+a,)x+ao

Patogi illaiSka ivairiems skaidiavimams: daugy-bos veiksmo taikymo skaidius, reikalingas rasti

W(x) = a (x - x,) ... (x - ttt)... (r'z+ bl + c) ...(f+bi+c

thip parasytame daugianaryje iS karto matomejo Saknis;jei ,t(t) = 0 turi tik realiqsias Saknis,tai p = 0. Jei neturi tokiq Saknq - tai t = 0b

' a, - daugianario koeficientai; r. - lygties l(.r) = 0 361nttt ",, O - Zinomi koeficientai;

bjei darome prielaidq, kad kompleksinds Saknys gali buti, taip = 0 (egzistuoja tik pirmojolaipsnio dauginamieji)

Daugiannri4 dabba, P(x) /8@)*

" tiktai taisyklingoms trupmenoms (vardiklio laipsnis didesnis nei skaitiklio) bei nesupras-tinamoms trupmeDoms (vardikli ir skaitikli padalijome i! bendro didiiausio daliklio)' aia ir toliau taip pateikiamas trupmenos Zenklas

1) randame fft), dalydami auks-diausiojo laipsnio vienanarius, esan- 4(,)=i="'

P,(r) = P(r) - r(x) Ob)Plx) = P(x\ -,('1Q(r) =- +.r1-3r + 1

kartojame 1-qii ir 2-qii veiksmqimdami daugianari Pr(x) vietoj P(r)tol, kol P16) laipsnis bus matesnis

T,(x) = i/x' = x: P,(x) = 13 + r'? - 3t +Tr(x)=x'/t=l;Pr(") = tt - zt + 1 (nutraukti!)

gaunamq vienanariq suma T,(x)sudaro dalmeni. o paskutinis daugia-naris P,(r) yra dalybos liekana

P(x) , , x2-2x+1-=j-+.r+1+-.......=-8G) x" -x

1) dalijame P(x)/Q(x), randame dal-

= * -2t +12) dalijame O(r)/Rr(r), randamedalmeni f,(r) ir liekan4 R"(x)

Tt@)=x+z;=2x-2=2(x-1)

3) dalijane.R,(.tlR,(.r) randame lie-kan4 R (r), vdliau iS Rr(r)/R (r) lieka-nq Ra(') ir t. t., kol liekana bus lygi 0

n@=)"-);= 0 (nutraukti!)

4) paskutine oenulind liekana yrabendras didziausias daliklisVardikli reikia suskaidyti i pirmojoir antrojo laipsnio dauginamuosius

fie sudarys paprashdq trupmenqvardiklius). Neiinomus skaitiklius(1, B, ...) reikia rasti i5 lyglirl siste-mos (palyginti koeficientus prieskirtingq kintamojo

x-1 -A+ Br(-x+1) x (r+l)'

is Ciar- I = A(x + 1) + Bx,

[t=At+Bxgauname l_1="4,

ii EiaA = -l; B = 2.

11J

Dvinariq kilimas laipsniu

(a+b)'?=a'?+2ab+b'z(a-b)2=a2-2nb+b2(4 + b)! = a3 + 3a2b + 3ob2 + b3

(a - b)! = o' - 3a'b + 3ab2 - b!

Niutono dvinaris

n=0

n=8

n=10

('.b)' =il.(i)"*,b.(;)n,.,r,"_t)"u',v, r^ (:)- ^#dPaskalio trikampis

1

11r21

133114641

1510 1051161520 15 61

1't 21 35 35 21 7118 28 56 10 56 28 8 1

19 36 84 126 126 84 36911 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 r

t.\m-oji eilutes reiksmd yra lygi | " l. a, m = 0, l,,,,

\)Kiekviera reikimd (isskyrus abi kraltutioes) yra lygi dviejq reiksmitl, esandiq virsjos, sumai:

r')=r 'l=|.'-1).r'-'')\n) \n-n) \n-r) ln )

z-ojoje eilut6je visq reikimiq suma yra lygi 2':' (n\ (r\ rt n \ /r\ --L lFl . l+... +l " l+l l=t'

ll./ \2, vt-r, l,,J

Daugianariq ska.Wmos dauginamaisiaisaz-b2=(o-b)(a+b)a'? + r'z- neisskaidomasa1 _ b' = (a _ b) (a, + ab + bt)a3 + bt = (a + b) (a, - ab + bz)

4?i+t + bli+t = (a + b) (az, _ ab tb + a?^ 2b? -,., - abb' + bz,\al,+t _ b2'+t = (a _ b\ (ab + ah-lb + a2tF2b2 + ... + abhr + bb)ah _ bb = (a - b) (|b-t + 4,',2b + o?'-rb2 + ... + abli-, + b?'-t)

L4

|,34161,6'733

t,94942,19092,40832,60712;79282,96653,1305J,28633,4351

3,1t483,84713,97 494,09884,21904,33594.44974,56074,66904,77494,87854,98005,01945,t1695,27265,36665,45895,5498

5,727 r5,8138

6,06636,14826,22906,30876,38756,46536,54226,61826,69336,',7676

6,84116,91386,98577,0s697,12741,1972"t,2664

1,37841,70291,97182,2t362,42902,62682,81072,98333,14643,30153.44963,59173,72833,860r

4,11104,23084,34',7 4

4,46094,51174,67914,78544,88884,99005,08925,18655,2820

5,46815,55885,6480

5,82245,90765,99176,07156,15636,23706,31666,39536,47306,54986,62576,70076,77506,84846,92106,99291,06401,1344'7,2042

7,2132

1,0000

t,73212,00002,236r

2,64582,82843,00003,16233,31663,46413,60563,74173,87304,00004,12314,24264,35894,47244,58264,69044,79584,89905,00005,09905,1962

5,38525,47725,56785,65695,7 4465,83105,91616,00006,08286,16446,24506,32466,40316,48076,55746,63326,70826,78236,85576,92827,00007,07117,t4t47,2tll

1,0488

1,76072,02482,25832,46982,66462,84603,01663,1780

3,4',785

3,61943,?5503,88594,Ot254,t352

4,37044,4833

4,10t[4,80624,90925,01005,10885,20585,30095,39445,48635,5',76't

5,665'l

5,8395

6,00836,09106,17256,253{)

6,41096,48856,56516,64086,71576,78976,86296,93547,007r7,07817,14847,2180

1,09541,48321,78892,04942,28042,49002,68332,8636

3,19373,34663,4928

3,76833,8987

4,t4134,266r4,38184,49144,60434,7 tr74,8166

s,02005,11865,21545,31045,40375,49555,585?5,6',745

5,84815,93306,01666,09926,18066,26106,34036,41816,49626,51276,64836,723r6,797r6,81026,94267,01437,08527,15547,2250

1,14021,51661,81662,07362,30222,51002,70192,88103,04963,20943,36153,50713,64693,78153,91154,03134,r5934,27781,39324,50564,61524,72234,82704,92955,02995,12845,22495,31985,4t295,50455,59465,68335,'7',706

5,85665,94t46,02496,10746,18876,26906,34826,42656,50386,58036,65586,73056,80446,87756,9498't,02147,09227,16247,2319

1,18321,54921,84392,09762,32382,52982,72032,89833,06593,22493,37643,52143,66063,194',7

3,92434,04914,1'7134,28954,40454,51664,62604,73294,83744,93965,03985,13815,2345

5,42225,5136s,6036s,692r

5,86525,94986,03326,11566,19686,27696,35616,4343

6,58796,66336,73806,81186,88486,95701,02851,n993't,1694

7,2388

t,22471,58111,87082,1.2132,34522,54952,1386

3,08223,21043,3912

3,67 423,80793,93704,06204,18334,30t24,4t594,52174,63684,74344,84174,94975,04985,14',78

5,24405,33855,4314

5,61255,70095,78795,87375,95826,04r56,12376,20486,28496,36406,44206,5192

6,67086,74546,819r6,89206,96427,03567,1063'7,r764

7,2451

1,26491,6125r,89742,t4482,36642,56902,15682,93263,09843,25583,40593,54963,68783,82103,94974,0'7434,t9524,3128

4,53814,647 6

4,75394,85B04,9598s,0596

5,34795,44065J53175,62t45,',7096

5,1966

5,96666,04986,13196,21296,29296J7r86,44986,52696,60306,67836,15286,82646,89936,g',t14'1,0427

7,11347,18337,2526

t,6432|,92352,16',t62,38752,58842,71492,94963,11453,2711

3,s6373;71043,83413,96234,08664,2n7 r

4,54974,65834,76454,86834,96995,06955,t612s,263r5,35725,44985,54085,63035,',^845,80525,89075,9',749

6,05816,14006,22096,30086,31976,45',76

6,53456,61066,68586,',7602

6,83376,90656,9785't,0498

1,12047,19037,2664

't,2801

7,34857,4t62

7,54987,61587,68117,74607,81027 ,8',7 407,9373B,00008,06238,12408,18548,24628,30668,36668,42618,48538,54408,60238,66038,71788,77508,831B8,88828,94439,00009,05549,11049,t652

9,27369,32749,38089,43409,48689,s3949,59t79,64379,69549,74689,79809,84899,89959,9499

'7,28',70

7,35537,4229'7,4900

?,5565't,6223

7,687'/1,75247,81667,88047,94368,00628,06858,13028,19158,25238,31268,37268,43218,49t28,54998,60818,66608,72358,?8078,83748,8S388,94999,00569,06099,11599,17069,22s09,21909,33279,3862

9,4921

9,59699,64889,70059,',l5199,80319,85399,9045

9,9549

'7,2938

1,362r

'7,4967

7,5631'7,6289'7,6942

7,75897,82307,88677,94988,01258,01478,13638,1976

8,31878,37858,43808,49718,55578,61398,67188,72938,?8648,843r8,89948,9ss19,011i9,06649,t2149,t7619,23049,28449,33819,39r59,44469,49749.54999,60219,65409,70579,75709,80829,85909,90969,9599

7,30077,36897,4364'7,5033'7,5697'7,6354'7,7006

1,7653'7,8294

7,89301,95618.01878,08088,14258,20378,26448,324',78,18458,44398,5029

8,61978,67768,73508,1920B,84878,90518,96109,01679,07199,t2699,18159,23s89,28989,34349,39689,44999,5026

9,60',t39,65929,71089,16229.81339,86419,91469,9649

'1,3075

7,3756'1,4431

7,51007,5',7631,6420'7,7070

1,17177,8358'7,8994'7,9624

8,02508,08708,14868,20988,27048,33078,39058,44998,50888,5674

8,68338,74078,791'l8,85448,91078,96669,02229,01749,t3249,18699,?412

9,34889,402r9,45529,s0799,56039,61259,66449,11609,',t6739.81849,86919,91979,9700

'7,3144'7,3824'7,4498

1,5166'7,5829'7,6485

7,71361,77827,8422'7,9057

7,96878,03128,09328,15488,21588,21658,33678,39648,45588,514',78,57328,63138,68918,',74648,80348,86008,91638,97229,027',|9,08309,1378I,19249,24669,30059,35419,40'/49,46049,51319,56569,61779,66959,72119,77249,132349,13',t42

9,97s0

7,32127,38927,4565

7,58957,65517,120r1,78467,84867,9r207,91508,03748,09948,16098,2219I,28258,34278,40248,46178,52068,57908,63718,6948!3,',t521

8,80918,86578,92198,97789,03339,08859,14339,19789,25209,30599,35959,4t289,465'79,51849,5708

9,67479,7263

9,828s9,87939,92989,9800

't,3280't,3959

7,4632

7,5961'7,66t67,12667,79fi7,85497,91837,98128,04368,10568,16708,22808,28858,34878,10838,46',76

8,52648,58498,64298,70068,75798,81488,87138,92',75

8,98339,03889,09409,14889,2033

9,31r39,36489,4r819,4710

9,57609,62819,67999,73149,78269,83369,88439,93489,9850

"t,3348'7,402',7

7,46997,53667,60267,66811,',t3307,79747,86137,92467,98',t58,04988,11178,17318,23418,29468,35468,41438,4735

8,59078,64878,70638,',76368,82048,87698,93318,98899,04439,09959,15429,20879,26289,31619,3',702

9,47639,52499,58129,63339,68509,73659,',|8',7',|

9,83879,88949,93989,9900

't,3411'7,4095

1 ,4166

1,6092'7,6',746

'7,',7395

7,8038'7,86',7',7

'7,9310'7,9937

8,05618,11798,17928,24018,30068,36068,42028,4',t948,53818,59658,65458,?l2l8,16938,82618,88268,93878,99149,04999,t0499,15979,2t419,26829,32209,37559,42879,48169,$4r9,s8649,63859,69029,74t79,79299,84389,139449,94489,9950

Norint rasti bet kurio skaiaiaus d 5akni, reikia ji isreiksti taip: r . l0?"; kai 1 <r < 100, n -sveikasis skaiCius.

'6 =6; -

". to"; ./7 randame lcntclijc.

Paryzdiiai

./m50 ={m,5r00 = JoJ .r0 =3,2404.10 =32,404;

.i6;000?4 = fi7. r0r = n1,q.,[ffi =z,tzot. ru! = 0,027203.

16

KUBTNTU SdxNtl nmxSmtq LnNrnnE

1.00001,2599

1,58741,71001,81711,91292,00002,0801

1,03231,28061,45811,6005t,'t2131,8272t,922r)2,00832,0878

t,06271,30061,41361,6134

1,8371i,93102,01652,0954

1,09141,32001,4888|,6261t,74351,B4691,93992,024',72,1029

1,11871,33891,50371,6386t,75441,8566\,948',12:03282,110s

1,14471,35721,51831,65101,76521,86631,95742,04082,11'.79

|,16961,37511,53261,6631|,'7',7581,87581,96612,0455

r,19351,39251,54671,61511,7863I,B852r,974'/2,05672,\327

1,21641,4095

1,68691,79671,89451,98322,06462,1400

|,23861.42601,5741

1,80701,90381,99162,07242,14',72

2,1544

3,t0723,42003,68703,91494,12134,3089

4,64164,79144,93245,06585,192s5,31335,4238

5,64625,',7 4895,84805,94396,03686,t2696,2t456,29966,38256,46336,54216,61916,69136,',76',79

6,83996,9t046,97951.04't3?,1138'7,1't9l'7,?432'7,306r7,36817,42901,48897,54787,6059

2,224lJ2,75893,14i43,44823,70843,93654,140u4,326',74,49794,65704,80594,94615,07385,2048

5,440I

5,65675,75905,8578-s,95336,01596,13586,223\6,30806,390',76,47136,54996,626',76,?0186,1',7 526,84706,9t746,98647,05407,12t4

'7 ,3 t241,37421,43507,4948

7,6117

2,28942,80203,17483,4760

3,95',794,16024,34454,51444,61234,82034,959',15,09165,21',71s,3368

5,66',7 |5,76905,86?55,96276,05s06,t4466,23t16,31646,3988

6,55',776,63436,70926,',78246,85416,92146,9932't,0607

1,1269't,1920

7,31rJ67,3803'7,4410'7,5Dt)7

7,5595'7,617 4

2,35132,84393,20753,50343,75633,97914,1'7934,36214,53074,647 5

4,83464,g',t325,1045

5,34855,4626

5,67'745,77905,87115,9't2l6,06416,15346,24036,324',76,40706,48',726,56546,64196,7 1666,78976,86126,93137,00007,0614

1,1984

1,32487,38647,44707,5067'7,5654

1,6232

2,4t012,88453,2396

3,1',1984,00004,19834,31954,54684,10214,84884,9866

5,24155,36015,4',t315,58285,68',7 7

5,7890s,88685,98146,07326,r6226,24886,33306,41516,49516,57316,64946,72406,79696,86836,93827,00687,01407,1400't,20487,2685't,33t91,39257,4530'7,5t261 ,5't 12

7,6289

2,46622,92403,2',7 1L

3,55693,80304,020't

4,39684,56294,71774,86295,000

5,1299

5,48485,59345,69805,79895,8964

6.08226,17106,25736,34136,42326,s0306,58086,65696,13t36,80416,87536,94517,01367,08077,14667,2t127,2748'7,33',t2

7,3986?,4590

'7 ,5',7 70'7,6346

2,s1982,96253,30193,58303,132594,04t24,23584,41404,5',7894,73264,87105,01335,14265,2656

5,60415,70835,80885,90596,00006,09126,17976,26586,34966,43\26,51086,58856,66446,13816,81136,88246,95217,02037,0813't,t53l7,2117't,28tt7,34347,40417,4650

'7,5828'7,6403

2,51133,0000

3,60883,84854,0615

4,43104,59474,74754,8910

5,15515,27765,39415,50695,61475,71855,81865,91556,00926,10026,18856,21436,35',796,43936,51876,59626,67t96,74606,81856,88946,9589'7,0271

?,0940'7,1596

1,22407,28',747,34967,1108't,41t07,53027,5886't.6460

2,62013,03663,36203,63423,87094,08174,z',t2',1

4,44804,61044,76224,90495,03975,t6165,28965,40615,51785,62525,',l 287s,82855,92506,01856,10916,19126,28286,36616,44',73

6,60396,67946,75336,B2566,89646,9658?,03387,10067,t661'1,2304

7,29367,35587,11691,41707,5361'7,5944'7,65t7

2,66843,07233,39123,65933,89304,10164,29084,464'14,62614,77 694,9187

5,18015,30155,4175

5,63575,73885,83835,93456,02776,11806,20586,29126,3',7 436,45536,53436,61156,68696,16066,83286,90346,9727'7,0406

7,10727,1726'7,2368'7,2999'7,3619

7,42297,48297,54207,60017,6514

1,6631'7,7t947,77507,82977,883'l7,93707,98968,04158,09278,14338,19328,24268,29r38,33968,38728,43438,48098,5270

8,61',7',l

8,66248,70668,75038,',793',1

8,83668,87908,92t 1

8,96289,00419,04509,08569,12589,16579,2052

9,28129,32r',79,35999,39789,43549,47279,50979,54649,58289,6r909,65499,69059,72599,',t6t0

9,83059,86489,8990

7,6688't,12507,78057,83527,889r7,94237,99488,04668,09788,11838,19828,24758,29628,34438,39198,43908,48563,53168,57728,62228,66688.71108,75478;79808,84088,88338,92538,96709,00829,04919,0896

9,16969,20919,24829,28709,32559,36379,40169,43919,41649,51349,55019,58659,62269,65859,69419,12949,7645

9,83399,86839,90249,9363

7,6',744'7,7306'7,7860

7,84067,89441,94168,00008,05178,10288,15338,20318,25248,30108,34918,39678,44318,49028,53628,581?8,62678,67138,',71548,75908,80238,84518,88758,92958,97119,0t239,05329,09379,13389,17369,2t309,25249,29099,32949,361s9,40539,44299,48019,5171

9,59019,62629,66209,69769,73299,16809,80289,83749,87 t79,90589,9396

7,680r7,'13627,',7915'7,8460

7,89981,95288,00528,05698,10798,15838,20818,25738,30598,35398,40148,448,18,49488,54088,58628,63128,675',78,71988,16348,80668,84938,89178,93378,97529,01649.05729,09779,r3789,r7759,21709,25609,29489,33329,37139,40919,44669,4u389,52079,55749,593'l9,62989,66569,70129,73649,77t59,80639,84089,87519,90929,9430

'7 ,685 7

7,7418'7,7970

7,85147,90sr7,95818,01048,06208,11308,16338,21308,262

rJ,31078,35878,40618,45308,49948,54538,5907rJ,63578,68018,72418,767',78,8r098,85368,89598,93788,97949,020s9,06139, t 0l79,i4189,18159,2209

9,29869,33709,37519,41299,45039,48759,52449,56109.59739,63349,66929,',70479,14009,77509,'!0979,84439,87859,91269,9464

'7,6914

7,80257,85687,91057,96348,0r 568,06718,11808.16838,218013,2670

8,31558,36348,41088,45778,50408,5499

8,61018,68458,7285t3,7721

8,81528,85788,90018,94208,98359,02469,06549,10579,14589,18559,22489,26389,30259,34089,31899,41669,454r9,49129,52819,56479,60i09,63709,67279,70829,14359,778s9,81329,84779,88199,91609,9497

7,6970

7,80791,8622?,91587,96868,02088,07238,12318,17338,22298,27198,32038,36828,41558,16278,50868,5544

8,64468,68908,73298,'/7 648,81948,86218,90438,94628,98769,02879,06949,109B9,14989,18949,22879,26779,30639,344',79,38279,42049,45789,4949

9,56839,60469,64069,67639,71189,74709,78199,81679,85119,88549,91949,953r

1,70267,15847,8134'7,86',76'7,9211

1,91398,02608,O7748,12818,17838,22',788.2',7688,32518,37308,42028,46108,5132i1,55908,60438,64908,69348,73738,78078,82378,86638,90858,95038,99r89,03289,07359,11389,t5379,19339,23269,27169,31029,34859,38659,42419,46159,49869,53549,5',t t99,60829,64429,61999,71539,750s9,78549,82019,85469,88889,92279,9565

7,7082'7,7639

7,81887,87307,92647,97918,031r8,082s8,13328,18338,23278,28168,33008,37778,42498,47168,51788,56358,608B8,65358,69788,74168,78508,82808,87068,91278,9545

9,03699,071s9,11789,L5779,19739,23659,27549,3140

I,3902

9,16529,50239,53919,5',7569,61189,64779,68349,71889,75409,78899,13236

9,8580

9,926r9,9598

'7.'/138'7,7695

7,82437,B7847,93177,98438,03638,08768,13828,18828,23178,28658,334B8,38258,42968,47638,52248,568r8,61328,65798,'to228,74608,78938,83238,87488,91698,95879,00009,04109,08169,12189,161',79,20)29,24049,27939,31799,35619,39409,43169,46909,50609,5427

9,61549,65139,6870

9,79249,82',709,86119,8956

9,9632

Nofidllliglti skaiiiaus a kubing sakDi, turimc ji uzraiyti taip: d = "r . 10r,; kai 1 <jr < 1000.

Va={/r 10"'={x 10' rcikiam4 i4 randame lenrclijo.

1918

LYGTYS

Pirmojo ir antrojo laipsnio lygiit4 su fienu neiinomuoju sprendimas

n A diskriminantas, h, = b'1- 4ac

Yieto Jormulisb

n-ojo laipsnio daugianari4 lygii4 satybisFormulds lygtims a/c + a,,-rl't + ,,. + at)c2 + af + ao = 0

" jei tariame, kad lygties Saknys gali biiti kompleksinds, tai n-ojo laipsnio lygtis visada turir Saknq (taip formuluojama pagrindine algebros teorema); b Dekarto taisykle; " pakeitg.t +.r - a, galime patikrinti, kiek yra laknq, didesniq uZ duot4j4 r; d formul6 teisinga. jeiitrauktos ir kompleksinds Saknys; ' taip galima uzrasyti lygti su racionaliaisiais koeficientaispadauginus jq i3 atitinkamo sveikojo skaidiaus

Daugianaris nelygtbds (pvz.: D(x) > 0)

pirmojo lsipsnio lygtis su vlenu neZinomuoiu

Lygties / = ar + b susikir-timo taskas su aiimi Ox

(dese y = D nekertaalies or)tiesd y = 0, kuri yra aSis Oj

antrojo Islpsnio su vlenu nezinomuoju'

Parabole y = tue + b, + c

kerta ali Ot dviejuose tas-

kuose

at0,A>0

parabolds ) = oxz + bt + c

ir alies Ox lietimosi taskaso+0,L=0

(parabole / = M2 + bx +leturi bendrq talkq su

mi Or)

*0,A<0

skaidius yra lygus lygties laipsniui ar-ba lyginiu Saknq skaiiiumi yra maiesnis.Kiekviena nelyginio laipsnio lygtis turi

Lygtis.d +./ +./ + I + 'l + 1 = 0tikrai turi lealUii sprerdini; tokiqsprendinirl gali buti 1, 3 alba 5

Toks pats kaip ir lygties koeficientq (a,,,

a,a, ..., a) Zenklq keitimo skaiCius ar-ba vra mazesnis lysiniu skaidiumib

Lygties.t' +,y' +./ +.l +'r + 1= 0koeficientai nekeidia ienklo, todel lyg-

Pakeidiame x r -r ir taikome ankstes-n9 taisykl9'

Lygties -t' +,y' +./ + rr +r + I == 0 koeficientai keidia Zenkl4 5 kai-tus, todCl lygtis

+ x4 + xt + x2 +r + 1 = 0 turi 1,

DJei ; yra nesuprastinama trupmena iryra lygties Saknis su sveikaisiais koefi-cientais', taip yla a0 daliklis, o q yla a,,

daliklis

Lygties.t' +./ +t +r'! +r + 1= 0koeficientai yra sveikieji. Calimos preikSmis t 1, o 4 reiklmes taip patt 1, Galimas racionalusis sprendinysr 1. Ira59 i lygti apskaidiuojame, kad

Jeiro yra lygties D(r) = 0 m kartq .ak-nis, tai D(r) dalijasi i3 (r - ro)'

'Ibolema leidiia sumazinti lygtieslaipsni. IS gautosios lygties apskaidiuo-jame likusius sprendinius.Pa*yzdi.iui, lygti .l + / +.C + I ++r + I = 0 galima pakeisti lygtimi

+I)(.y'+.t':+1)=04 +r! +,.. +x,, =-

,\ x, .., .)c, =ct"?,

Kvadratinio trinario vaialavimo bfidni

(0, c) - susikirtimo su asimi O taskasattz+bx+c

r,, r, - trinario laknys;diulinamqjq vaizdavimo bfidas neegzistuoja, jei A < 0

a(x-r,)(x-xr)

"Prielaida:a+0.' arba atviri begaliniai intervalai; b n - daugianario D(.r) laipsnis

Dviej4 lygiirl tistemos su tlviem neiinomaisiais sprendirnas

apz-azbt+0

Dvi nesikertan-Cios tieses -tiesds lygiagrelios(sprendiniq nera)

apz-apt=0,b2q - bf2* O

Be galo daugsprendiniq, tenki-nandir+ vien4 lygti

arbr-arbr=0,

ZL

LYGCIU SISTEMOS

n labai beDdras metodas, bet pakar*amai greitas; b taikant 3i metodq daznai galirna greitaiisspresti lygdirl sistemq, bet tai priklauso nuo padios lygdiq sistemos bei sprendziandiojopastabumo; " patogus metodas, palyzdZiui, irodined teoremas, taCiau reikalauja labai daug

skaidiavimq, kai lygdiq skaidius didesrlis ui tris; d determinantai - rinrdti kit4 puslapi; " jeiD = 0, tai lygdiq sistema neturi sprendiniq (iei nors viena reiksmiq 4, D,, ... nelygi nuliui)arba turi be galo daug sprendiniq (ei visi D,, D", ... yra lygiis nuliui)

MATRICOS IR DETERMINANruIMatricos apibriiimasMatrica - stadiakampd m /, skaidiq lenteld,kuliq sudaro , eiluCiq ir tn stulpeliq.Atskiri matricos elementai Zymimiar(i = 1.n, i= 1.m).

Matric4 rfiiys

ln +, - +^l

t"t=l?' ? ", "',^l

La ans .- onl

acllal = a .l= ad - bc, DA

Yi aD at!

)az azz azt = af2za3t + arfz{t * ar{zf n - qt{zrajl - afzflz - aDaz&3

lo" q, q')Pastaba: formulds, skirtos didesniems determinantams apskaitiuoti, yra suddtingesn6s.

' tinka tik kvadratinei matricai

Paprastt4it4 determinanfil skaitiav imas

Lygdirl sistemq sprendimas skai.iiavimo bfitlu

Antr4i4 lygti galima uirasyti taip: r == 3/ + 1. Iras9 siq israiskq ipirmqiqlygti, gauname 2(3/ + 1) + 3y = 5; is

tia gy = 3 ir), =1. FaSe iantlqis-1.rygrl, gaunamer = J - ; + L = z

I! vienos lygties isreilkiame vienq ne-

Zinomqjq, o gaut4 iSraiskq irasome ilikusias lygtis

Pridej9 pirindq lygti pde antrosios

lJ' = o'sauname: { - _ rs cra lengva ap-

l-t-Jy = t:skaidiuoti aprendinius:

Sistemos sprendinys nesikeitia:. jei padaugirsime vienq lygdiq is

skaidiaus a * 0. jei prie vieros lygties prid6sim kitq

lveti. iS vienos lygties atimsime kitq lygti

o=2, 3^l=+,I -rl

D,=l 1=-rr,.=*=z^ l2 5l ^ -3 1u'=ft

1l= a: t=1=,

taikome formules x =?;= | ; ..., tia o va #terminanta",

sudarytas is lygtiq sistemos koefi-cientr+d', o 4, D, .,. determinantai,gauti iS D, atitirikamus jq stulpelius

laisvaisiais koeficientais

Pavadinimas Sqlyga PaaiSkinirnsi, pasaabos Pa\yzdys

Kvadratinemattrca Stulpeliq ir eilutiq skaidius yra lygus lob

lc d

Diagonalio-ji matdca'

ati = 0,kai irj Visi matricos elementai, isskyrus pagrindnesistriZaines elementus, yra lygiis nuliui f, ol

l0 -31Simetrinematnca'

SimetriSkai ildestyti pagrindites istriiainesatzvilgiu elementai yra lygis l'" ;l

Vienetinematrica"

a-=l,kaii=j., Visi diagonalieji elementai (t. y. esantys pa-grindin6je istriZaineje) yra lygis vienetui. Ki-ti elementai - nuliai

It olLOU

Determinant4 savybds

z7

LOGARITMAISkaiiiaus x logaritmo pagrindu a apibrd,imas

lo&.n = ) <+ r = d/ (iia ir kitose formulese sutarta, kad t > 0, a > 0, 4 * 1)

Pagrindinis logaitm4 savybis

log,1 = 0 log"a = \_.t

lo8, {x y) - loB,,r + lo& / log, " = log,r-1ot,.y

log" xr =y log,x tog,r[= itog,t

Logaritmo pagrindo keitimas

log,.r = logb a lo& x

DeSimtainis logaritmas Natiiralusis log{ritmas

logx = Iog,,,.r lnt = log"n (e =2,118...) Inr=In10 logr=2,303 logt

NATUMLIVTA LOGARITMq LENTELE

Norint apskaidiuoti In t, logaritmuojamq skaidiq , reikia iSreiksti taip: .r = y 10' (dia

1 < , < 10, '1

- sveikasis skaidius), toliau taikome toki4 formulg ln .r = ln (y 10") == lny + ,1 ln 10. lny randame iS lenteliq, ln 10 = 2,302585. (tikslesnc reiksme, rr. p,7)Jei y labai artimas vienetui, tai galima taikyti tokia formulQ ln (1 + a) = a (tikslcsne

formuld, Zr. p. 37).

PalTzdiiai:ln550 = ln (5,5 10) = ln5,5 + 2ln l0 - 1,7047 +2 2,3026 = 6,310;

ln 0,002 = ln (2 . 10 ) - ln 2 - 3 ln 10 = 0,6931 - 3 2,3026 = -6,215;ln 0,99995 = ln (1 - 0,00005) = -0,00005.

0,30010,61520,85441,04't31,20901,34811,47021,5790r,677r1,76641,8485L,9242

2,06052,12232,18042.23542,2875

0,33650,64L90,87551,0647I,22381,36101,48161,58921,6864l,'71501,85631,93152,00152,06692,12822,18612,24072,2925

0,37t60,66780,89611,08r81,23841,3137

r,69561,78341,86411,93872,00822,0'7322,t3422,r2r'72,24602,2916

0,13980,50080,76550,9746t,t4741,294',7

1,42311,53691,6390|,'13171,81651,89461,96712,03472,0980

2,21382,26',70

0,18230,53060,78850,99311,16321,30831,4351t,54161,64871,74051,8245r,9021\,974r2,04t22,10412,16332,21922,2721

0,22310,55960,81091,0116l,l'7871,3218|,44691,55811,6582r,74921,83261,90951,98102,047'l2,11022,r69r2,22462,2773

0,26240,587B0,8329r,02961,19391,33501,45861,5686t,66771,75791,8405r,9r69

2,05412,11632,17482,23002,2824

0,00000,40550,693r0,9r631,0986r,2528r,38631,50411,60941,',7047

1,79181,871B

2,01492,0't942,140\

2,2513

0,04880,43830,71780,93611,l15l1,26691,398',7

1,5151|,6t941,71381,80011,87951,95302,02152,08s'7

2,20282,2565

0,09530,47000,'t4190,9555I,13141,28091,4110

r,6292t,7228r,80831,8B711,960r2,02812,09192, t5 t82,20832,26t8

23

DESIMTAINII| LOGARITMI| LENTELE

0J00860,04920,08640,12060,15230,18180,20950,23550,26010,28330,30540,32630,34640,36550,38380,40140,41830,43460,4s020,46540,48000,49420,50790,521r0,53400,54650,55870,57050,58210,5933o,60420,61490,62s30,63550,64540,65510,66460,67390,68300,6920n,70010,70930,11710,72590,7340o,'14190,74970,'t5740,7649o,7723

0,00000,04140,01920,11390,14610,17610,20410,23040,25530,27880i0r00,32220,34240,36t'70,38020,39730,41500,43140,44720,46240,47710,49r40,50510,51850,53150,544\0,55630,56820,57980,59110,60210,61280,62320,63350,64350,65320,66280,6'72r0,68120,69020,69900;70760,7r600,72430,'73240,'74040,14820,75590,76340,7709

0,00430,04530,0B280,11?30,14920,11900,?0680,23300,25',7 7

0,28100,30320,32430,34440,36360,38200,39970,4r660,43300,448',7

0,46390J47860,49280,50650,51980,5328[1,5453

0,56940,58090,59220J60310,61380,62430,63450,64440,65420,663',7

0,67300,68210,69110,699E0,?0840,71680,72510,'73320,'74t20,14900,'75660J6420,7 7 16

0,01280,05310,08990,12390,15530,18470,21220,23800,26260,28s60,30750,32840,34830,36740,38560,40310,42000,43620,4_518

0,46690,48140,49550,s0,)20,52240,53530,54780,55990,5'7170,58320,59440,605J0,61600,62630,63650,64640,65610,66560,67490,68390,69280,70160,71010,71850,'t26'70,7348o,14210,7505o,'t5820,76510,'7731

0,01700,05690,09340,1.271

0,15840,18750,21480,24050,26480,28780,30960,33040,35020,36920,38740,40480,42160,43?80,45330,46830,48290,49690,51050,52370,53660,54900,56110,57290,58430,59550,60640,61700,62140,63750,64740,65710,66650,67580,68180,69370,10240,71100,71930,72150,'7356o,74350,?5130Js890,76640,773!3

0,02120,06070,09690,13030,i6110,19030,21^75

0,24300,26720,29000,3rr80,33240,35220,3?110,38920,40650,42320,43930,45480,46980,48430,49830,5119

0,53780,55020,56230,57400,58550,s9660,60750,61800,62840,63850,64840,65800,66',75

0,6'1670,68570,69460,70330,71180,'72020;72840,7364o,74430,'7520t),759',7

0,'16120,7745

0,02530,06450,10040,13350,r6440,19310,22010,24550,26950,29230,31390,33450,35410,37290,39090,40820,42490,44090,45640,47t30,48570,49970,51320,52630,53910,55140,5635

0,58660,59770,60850,619r0,62940,63950,64930,65900,66840,67't60,68660,6955n,70120,71260,'t2t00;t2920,73720,74510,75280,76040,76790,7752

0,n2910,06820,10380,136'10,16730,19s90,222',1

0,24800,27180,29450ir600,33650,35600,37470,39270,40990,42650,44250,45790,472E0,48710,50110,51450,52760,5403

0,564',/0,57630,58770,59880,60960,62010,63040,64050,65030,65990,66930,67850,68750,69640,?0500,71350,12180,73000,73800,74590,75360,76120,76860,'7'760

0,03340,07t90,L0720,13990,17030,19870,22530,25040,21420,29670,31810,33850,3s'790,37660,39450,41160,42810,44400,45940,47420,48860,50240,51590,52890,5416

0,56580,57150,58880,59990,61070,62120,63140,64150,65130,66090,6'7020,6'7940,68840,69120,70590,11430,'/2260,73080,?3880,74660;7s430,76190,'t6940,17 67

0,03740,07550,11060,14300,17320,20r40,22790,25290,27650,29890,32010,34040,35980,37840,39620,41330,42980,44560,4609r),4757

0,49000,50380,51120,53020,5428

0,56700,s7860,58990,60100,61170,62220,63250,64250,65220,66180,67t20,68030,68930,698r0,70610,71520,72350,73160,'t3960,14140,75510,'t6270,77010,7774

a/1

ANTILOGARITMAI

1,00001,02331,04711.07151,0965|,12201,1482t,17491,2023r,2303ri25891,28821,31831,34901,3804t,41251,44541,47911,51361,5488r,58491,62181,65961,69821,73781,77831,81971,86211,90551,94981,99532,04172,08932,13802,1878

2,2909

2,39882,45472,51r92,57042,63032,6915

2,81842,88402,95r23,0200

3,0903

1,00000,9'7',72

0.95500,93330,91200,89130,87100,85110,83180,81280,79430,77620,75860,74130,'72440,70790,69180,67610,66070,61570,63100,61660,60260,s8880,5'7540,56230,54950,53700,52480,51290,50120,48980,47860,46770,457 |0,44670,43650,42660,41690.40740,39810.38900,3rJ020,37150,36310,35480,34610,33880,33110,3236

r,00001,0101t,02021,03051,04081,05131,0618r,01251,08331,49421,10521,1163t,lz751,13881,15031,1618t,t7351,1853t,t9721,2|921,2214

t,24611,2586r,27121,28401,29691,31001,32311,3364r,34991,36341,377 |1,39101,40491,41911,43331,447',7

t,46231,47701,'19181,50681.5220

1,55271,56831,58411,60001,61611,6323

r,00000,99000,98020,97040,96080,95120,94180,93240,92310,91390,90480,89580,88690,87810,86940,86070,85210,84370,83530,82700,8r870,81060,80250,79450,1!3660,77880,77110,76340,?5580,74830,74080,73310,72610,71890,71180,'70470,69770,69080,68390,6't710,6703u,66370,65700,65050,64400,63730,63130,62500,61880,6t26

3,t6233,23593,31133,38843,46743,54813,63083,71543,80193,89053,98rr4,07384,t68',74,26584,36524,46684,57094,67744,78631,89 78

5,01r95,12865,24815,37035,49545,62345,15445,88846,02566,t6606,30966,45656,60696,76086,9183'7,0795

7,24447,41317,58587,76257,94338.12838,31768,51148,70968,91259,r201

9,54999,',7',724

0,31620,30900,30200,29510,28840,28180,27540,26920,26300,25',700,25120,24550,2399t,23440,2291D,22390,21880,21380,20890,20420,19950,19500,19050,18620,18200,11'780,17380,16980,16600,16220,158s0,15190,15140,14',t90,L4450,14130,13800,13490,13180,12880,12s90,12300,12020,11750,11480,11220,1096D,IO'120,10470,1023

t,6487i,66531,68201,69891,7r60r,'73331.75071,76831,78601,80401,82211,84011,85891,87761,8965

1,9348r,95421,97391,99312,01382,03402,05442,0'7512,09592,11702,13832,15982,r8r52,20342,225s

2,2',105

2,31642,33962,36322,38692,41092,43512,45962,48432,50932,53452,56002,58572,61t72,63',792,66452,6912

0,60650,60050,59450,58860,58270,57690,51120,56550,55990,55430,54880,54340,53790,53260,52730,52200,s1690,51170,50660,s0160,49660,49160,48680,48190,47710,47240,46',7',7

0,46300,45840,45380,44930,44490,44040,43600,43170,42740,12320,41900,41480,4t0'10,40660,40250,39E50,39460,39060,38670,38290,37910,37530,3716

0,11820,78530,1924

0,80620,81290,8195

0,82610,83250,83880,84510,85130,85730,86330,86920,87510,88080,886s0,8921

0,89760,90310,90850,91380,919r0,92430,92940,93450,93950,94450,94940,95420,95900,96380,96850,9'/310,97770,98230,98680,99120,99561,0000

0,11890,78600,'t9310,80000,80690,81360,82020,82670,83310,83950,84570,8s190,85790,86390,86980,87560,8B140,88710,89270,89820,90360,90900,91430,91960,92480,92990,93500,94000,94500,94990,9s470,95950,96430,96890,97360,97820,98270,98720,99170,9961

1,0004

0,71960,78680,79380,80070,80750,81420,82090,82740,83380,840r0,84630,85250,858s0,86450,87040,87620,88200,88760,89320,89870,90420,9096o,91490,92010,92530,93040,93550,94050,94550,95040,95520,96000,96470,96940,97410,97E6

0,98320,98770,99210,99651,0009

0,78030,78750,79450,80140,80820,81490,82150,82800,83440,840'7

0,8,170

0,85310,85910,86s10,87100,87680,88250,88820,89380,89930,90470,91010,91540,92060,92580,93090,93600,94r00,94600,95090,95510,96050,96520,96990,9'7 4s0,97910,98360,98810,99260,99691,0013

0,78100,?8820,79520,802r0,80890,81560,82220,82870,83510,81440,84760,85370,85970,86570,87160,87140,88310,88870,89430,8998

0,90s30,91060,91590,92120,9263

0,93150,93650,9415

0,94650,95130,95620,96090,965?0,9?03

0,97500,97950,98410,98860,99300,99741,0017

0,7818

0,78890,79590,8028

0,80960,81620,82280,82930,835?0,84200,84820,8s430,8603

0,86630,87220,87790,B8370,88930,89490,90040,90580,9t120,91650,92170,92690,93200,93700,94200,94690,95180,9s660,96140,96610,97080,9'754

0,98000,98450,98900,99340,99781,0022

0,78250,78960,79660,80350,81020,81690,82350,82990,83630,84260,84880,8s490,86090,86690,8'7210,87850,88420,88990,895,1

0,90090,90630,91i70,91700,92220,92t 4

0,932s0,93750,94250,91740,95230,95710,96190,96660,97130,91590,9805

0,98500,98940,99390,99831,0026

0,78320,79030,79730,80410,8109

0,81760,82410,83060,83700,84320,8,194

0,85550,86150,86750,87330,8791

0,88480,89040,89600,90150,90690,9t220,9175

0,92190,93300,93800,943t)0,94790,95280,9576

0,96240,967 |0,97110,9'7630,98090,98540,9899

0,9987

1,0030

0,78390,79r00,79800,80480,81160,81820,82480,83120,83760,84390,85000,85610,86210,86810,87390,87970,88540,89100,89650,90200,9o140,91280,91800,92320,92840,93350,93850,94350,948,1

0,95330,9581

0,96280,96750,97220,97680,98140,98590,99030,99480,9991

1,0035

0,78,{60,79 t70,79870,80s50,8L220,8r890,82540,83190,83820,84450,85060,85670,86270,86860,87450,88020,88s90,89150,89710,90250,90790,9133

0,91860,92380,92890,93400,93900,94400,94890,95380,9s860,96330,96800,91270,9773

0,98180,98630,99080,99s20,9996r,0019

Norint apskaiaiuoti log r, logaritmuojamq skaidiq ,r rcikia isreikiri taip: r = ), . 10, (dia1 <l < 10,,' - sveikasis skaidius); toliau taikome tokiq formulg Iogr = log (y . 10,) =- logy + n. log 1 randame lentel€se.Jei ), labai artimas vienctui, tai galima taikyti tokiq formulg log (l + d) - o rcg\) e == alln 10 = 0,4343 d (tikslesne ln 10 ir logLo c rcikime, ir. p. 7).Pa\yzdZiaillo9 6,29 = 0,'7987;log195 = log{1.q5 101 = log 1.95 + log 10, = 0.2q00 + 2 = 2,2900.,log 0,834 = log (8,34 . 10 r) = log 8,34 + log l0 t = 0,9212 + (-1) = -0,07SS.

P^\yzdZtailJcigtr log.r = 6,23, tai x =1062)Jeigu log.r = -6,23, tai x = ttr4?J

Jeigu lnr = 6,23, tair = coz:

= 10or 106 -'1,6982. 106

= 10{.x . 106 = 0,5888 10 6 = 5,888 10 ?;

= 106.'Jri m = 106.:],,10r = 10lr = 100,r . 10? = 513.

26

TRIGONOMETRTNES F ANKCAO SApibreiimai

sinq = itgc=rZ (r * o)

,""o=l 1x*0)

Pagrindinds lormulds

. si! q- cos ct

ctgd=- (y*u)v

-r""o = I (y *0)v

sin'1q+cos'1q=1

cosqctgd =

-sm c[

teo(= -l- ctg cr

DuoQ kamp4 trigonometrini4 funkcijq reikimis

0 1 0

.tB-.t,4

.le t.!14

!J -14

.61t6

2

12+'t22

Jl-r

t2 t T2

E

T 1 1

tI, T

.la +',li4

J6-A4

1 0 0

t _12

_T

Tn-t -t -1

0 -1 0

-1 0 0

0 1 0

27

Redukcijos formuhs

cos f,t

- sin qsin d

- cos q- cos ct

sin c- sin ct

cos (lcos d

-tg q- ctg (r

ctg (|fuct

-rg q- ctg ([

ctg d

-tg d

- ctg o-tg o

lg0ctg d

- ctg d-tg a

tg cr

ctg q- ctg q

- srn q,

cos dcos o

- sin (lsin c

- cos o- cos d

srn c- sin 0

Pavyzdys: cos (180' + o) = -se5 q

Dvigubo kampo funkcijos2 ts. o,

SrIiZd= Z Sln q COS d = _---=-

cos 2or = cos'zq - sinlcr = 2 cos? q - I = 1 - 2 ri"'" = t#g::

^ 2 tqq Zl2tq=----:-=-- I -tg'q ctgd - tgo

- c!e?s-1 ctEq-tgdctpzcl=-=' '' 2crgd 2

Pastaba! Cia fu visose kitose formuldse tariame, kad visos israiskos yla apibroitos.

Pusinis ktmpo funkcijos

1- cosdl+cos

sinq 1-coso1+ cosq sinq

l+cosq, sinqsinq 1-cosd

Kampry sumos ir skirtumo lunkcijossin (d + P) = sin ccos P + cos asir P

cos (q + P) = cos d cos P - sin 0 sin P

tqa+ tq0tP{(,+ ltl =

-

' l-tgo tgltctsd cts0 - IctP ld + Ltl = --'' ctgp+ ctgo

= sin cl cos p - cos q. sirr p

=cosccos0+sindsinptgo,- tqB

1+ tg(l tgP

_ ctgd ctgp+ 1

ctgp - ctg q

sin (d - P)

cos (o - P)

ts(d-p)

cts ((, - P)

28

Sumos ir skbtumo trigonomarinds funkcijos

sind+sin9=

cosd+cosP=

^ d+B q-Bz sln

-r cos-:

^ q+B q-BI COS-COS-22

sind-sinp = 2 "or9l-0*.o:B^ q+B . q-B

= -z sln-srn-22sin (cr - F)cosc cosP

_ sin(F-a)sioq sinp

r-cosq=zsln':-1I+ctg'o.=-- sln- d

- sin(B+c)ctg a + ctg P = .1";.t"licos .r. + sin d = Jt sin (45' + d) = Jt cos (45' - d)

cos d - sin cr = JI cos (45' + d) = Jt sin (45' - d)

sin'?s - sio'? I = cos'? F - cos'? q = sin (a + p) sin (0 - p)

cos'z C[ - sin'z F = cos' F - siDz c! = cos (q + p) cos (q - p)

Funkcijq sandaugos

1sin a sin P =1[cos (c - P) - cos (c + P)]

1

cos o cos p = |lcos (c - p) - cos (c + p)]

Isitr ci cos p = t [sin (cl - p) + sin (o + p)]

Funkcijos ir vienao suma bei skirtumas

t + sin <r =2sinlf4s"*|)=z""*[+s-])\ z) \ z)

r - sin q = z cos,f45"**)=z s*f+y-i)\ 2) \ 2)

lfcosc=lcos';1I+tg'O,= '- cos- d

tgd+tgP=

Trigubo kampo funkcijossin3q=-4sitrrq+3sin(r

Kitos f,ormuldsq2t

Jelgu, = Igt, rat: slnd=iJ7,

cosq-cosP

tg([-tgp=

ctga-ctgP

cos 3q = 4cosrcl-3cosq

- 3 tE 0- rerqls JCI = -_-- t-3 tg'd- crerq-3 ctecCteJd=_+- 3 ctg'd- 1

L-tz 2tCOSd=-. lSd=-l+( ' ' l-t'

29

ATWRKSTINES TRIGONOMETRINES FANKCIIOSViena finkcijt4 keitimds kitomis

arc sin r = -arc sin (-,t) = !-61c cosr=arc tg-fri:a,

arc cos r = ,r - arc (-r) = I-arc sinr=arc ctg#7

arc tgx = -arc tg (-+) = !-ur" "1tr=ut"

,in-6k

arc ctgr = n - arc ctg (-r) = l-arc tg:t=arc @s-JJiF

Zemiau esandios folmulds teirilgos, kai r > 0

. E----i Jr-7 E-----i JL=arcsin;=arccosJl-x'=ur""tg"'r* u.""o.r=ur".ioJil7=arcrg\ r11 11

arc tgr =arc cos-d;7- = arc clg- arc clgr = arc sm Ji;7 = arc rg-

Funkcijt4 sumos ir skirhtmai

arc tp.r + arc t|v = A + arc tslz'l-ry

arc ls. x - atc ts. v = A + arc tsP- l+r'

arc sin r + arc sin / =

[0, kai r .), < 1

,{=.1r, kai.r.l>1 bei x>0[-n, kai i./ > 1 bei t<0

[0, kai r., > -1

I = lr,kai .r.y < -1 bei .r > 0

[-r, kai;.y<-1 bei r<0

atcstnr-arcsm/=

t "."t"lE

- arc

[-r-arc

| "."I'ln

- arc

[-r - arc

tn(

tn(

rin (

h(

sm

sm

srn

slo I

sin

sin

,W,$-s',t$4

,Jt-f

*rE-S

,^F7

,Jr-f

",ll-f,f-f

(,

(.

l-t"(,

(,

kai.r.y<0 arbaxr+y'?s1

kai.t>0,Jr'>0ir12+]1>1

kair<0,y<0irxz+yz>I

kai r.y>0 arba r'?+ /z <1

kair>0,y<0irr'z+/?>1

kait<0,),>0irt'?+/z>1

),

),

),

),

+ y."E:7',

+yri-r'-',

*v.ll}

-vI-7)-v^E-7

- v\\- f),

),

I u'" "or(,r-n/i71/ill), uir+y>oatc cos,x + arc cos ), = 1

[zo - u'" *. ('r - Jr-- *' r/i - I ), tai r*yco

u'" "o.(rr*Jf:7.,/i7- u'"

"o, ('r, * Ji-r - ,' rii-7

),k )c< !kai. t>y

alc cos r - arc cos, =),

-30

TRIGONOMETRINIV IR ATWRKSTINILJTRI G O NO ME TRINI A F U NKCIJ A G MF IKAI

rl.TZ\0/ , \,

,/r^ l, j\_,'/

nrliai.r

. Fu[kcijr ) = cos v

Apibrcii lo srilis:r e }. ;) € [--1, 1];pcriodas 2n;

]Irruliai-r- : 2 + Ar.

Maksinrlrnai (:kn,1),mini umxi ((2* - 1) n, -l)

): ) ',

) \1/ | /-L^ // t/ ) /I it l

ui(" I

7

;lnuliai .r = 0;

Iunkcija dideja visojc xpibfitino srit)'je'

Funkci.ia )' = rrc cos rApibrtiinr-r sritjs:.r € [-1, l];! e J0, nl'l

nuliai.t = l;funkcija mazaja visqc npibruimo srily.jc"

I2 o 'l

Funkcija Y = x1g aig -1

Aprbriirrno .fl' '. Y c n; , L [{r. nl :

nrliri r = 0: Iori?{'nrrli,,s r.improris) - 0

ir1 - n

ru.kciid -na/i'a !rso'c i,pibri,,r,rrJ \flrvlc

t svcikasis skaidius (..., -2, -1,0, 1,2, ...)."aia ncnoSrinajam daugiafcikinriq llnkcilrl

.IIi]G ON OMETRINIT| F UNKCIJA LENTELE S

q. t'l sh&cos F

tgactg P

0"00'0'10'0'20'0"10'0'10'0'50'l'00't'10'1"20',l'30'1"4t}'l'50'2'00'2'10'2"20',z',3{f2"44',2'50'3'00'3'1t'3',2$'3't0'3'1o',j'50'1'00'4'10'4'10'1"-r0'.1'40',

1"5O',

5"00's"10'5"20',s'30'5'4o',5'5O',6'00'

6'20'ff30'6'4If6'5O',7'00'1'10'1"20',1'30'1'10''7',50'

8'00'B'10',8"20'8'3o',8'40',6'5o',

0,00000.00290,00530.00370,{J 1160.01450,017s0.02010,023:l0,0)62(J.0l9l0.0.1100,0.Ht0.01780.0107(1,013()

0,0.1651l.0.lt)5

0,05210.05510,05820.06 L l0,0640{).11669

0,0698t).t7270.07560,07s50,0till0.0s410,08730.09010.09:ll0.09anl0.r19390.l0lil0,l0t70.1074)0.t t050,llll0.11640.1i9:lo,12220,r:510,128t)0,130,0.t-l:180,13670,13960.112-50,r4510,I,1840,15130.1542

0,00000.00290.0{J580,00u70,01160,0t.150,0r750,02{1,1

0,0:330.11262

0,029l0.0t200,03.1,)0,0i7s0,01070,{l13aJ

t),0'1651),0494

0,052.10.05520.0islt,06100,06.10

0,06690,06980.0727(1.075 4r

0,07E-5

0.(Js l40.0s.130.08720,0r0t0.09190.1)95S0,09870. i0ia)0, t0t50.107.10,lt0l0.1 t.t20,|6i0,11900,l2l90,1248\),tL1rt0,13050,13110, it6l0,13920, r42l0, i4490,11780,15070,r516

0,00000,00290.00580,001r70,01t60,01150,01750,010:l0,01330,02620,02910,01t00,0.1'190,0l7li0,0.+1)7

0,0,1170,0,1660,0-19-5

0,052J0,r)55 i0,051i2

0,06120,06,110,06700,06990,07290,1)7rs0,t)7E70,0&a)t),0ii160,01175

0,0q1.10,ur310,0!630,09920,10220,10510,10E00.1 1100.ll190.1 t690.1 l9E0,12280.t2570.l2lJ70.lt 170,lt460,llTr)0,1'1050.1,1150.1,1650.14950.1524

0,1554

90'00'89'50',89'40',89'30'IJ9'20',rJ9"l0'89'00'3U"50',33'40'88'30'33'2{J'33"10',88'00'37"50',87".10',u7,30'B7'20',87"10',87'00'86'50',lJ6'1o',86'30',86"20',86',10'86'00'85'5o',B5'4o',85"30'85'20'85'10'lJ5'00'34'50',34'4{i',84':10'rJ4"20',

81'10',1r4"00'83'50',B3'40',E.1"30',

81":0'81"10'83"00'ti2'50'til'40'82'i]0'B2'20'ti2"l0'82'0O',81"5o',til"40'8 f3(r81"20',8t'10'

31

d l"l tgscts P

9'00'9'10'9'24'9'30',9"10',9"50',t0'00'r (f10'l0'20't0'10'10'40'10'50'1l'00'I t'10'l1'20'll'30'lt'40'll'50'.12'00'L2'10'12'Ztv12'3O',r2'4tv.12"50',

13'00'13'1o',13"20',13"30',13'10',13"50',l4'00'14'10',14'20',t4'30'1.,1".10'

1.1'50'l5'00't5'10'15'2o',l5'30'l5'40'l5'50'r6'00'l{fl0'16"20'16"30'16'4o',l6's0'l7'uJ'1/"rn't'l"21J'I/'3tv11,40'17"50'

0,15710,16004.16290,16580.16E70.1714)0,17150,11110,13010, t 8t30,1ti620,Lti9l0,r9:00,1(1190,1!7s0,20070,20t60,20650,20910,21210,21530,21ti20,22110,12100,22690,?293t,2321(l.2l5a)

0,23850,t4110,2,1.13

0,24730,25020,25310,254r00,25890,26t I0,26t110,267 6

0,27050,273'10,1763[,279]i1,23220,28510,2uii00,29090,2918o,29670,29r60,30150,30510,30810,3I 13

0,15640,1593|,t6220,t{;50t),16160,17080,17361r,17650,179:10,18220.1ti5l0.1It800,t e080.19i70.194r50, t !r'l.tt).201.20.20510,20790,21080.2134){).116:l0,2r930,)))10,22500,22780,23060,21140,2i630,2-1910,2111)0,21,170.21160.15{),10,253:i1,25{;00,25880.26160,26440.261 )0.17{)00,27180,27560.27840,28120.28100,28.ti0.289r)o,29210.29520,29190,30070.30350,3{)62

0, t 58,1

0,16140.16440,16730.1703{).17130, t7630,1793u,lii:30,18511),lsul0,i9tl0,19.1J0,t9710,200,10,20350,20650,2095{t,2t260,215 6

0,2184)

0.22t10,22110.227IJ0,23090,23390.23700.2,{010.2132.0,21620,21910,15210.25550,25S6{),:6t 7

0,26180,267..)4,27 | |4,21t2a,21130,2s050,28341

0,786',10,2s990,293I0,29620,29910,3{)2r)0,30570,30890,312t0,.1r5l0,11850,3217

81'00'E0"50'80"10'80"30'E0'20'60"10'80"00'79"50',79"40',79'30',79'20'79" t0'19"00'78',50',1?,"40',7S"30',18'2U'78" tQ',

78"00'7't"5t'77"4l',77'3t'7]'1{t',77"1t'77"O0'?6"50',16"1|'76"3o',76"20',76"10'76"00'75'50','15"40'

?,5"30',15"20',75"10'75"00''14'50','74'40',

14"30',74"2U74"1l',74"00'73'5fJ',73'40',13'30',73'.20',1J'.l0'73"00''12"50'

12"40',12"30','72'20','72"10'

3l 33

0,7851t),7883t,1912t,79410,'79',700,79990,1t029

0,80-s80,80870,81160,81450,81710,82030,82320,82610,82900,1i3I90,83480,83780,81070.ti1360,81650,84910.85230,85520,858r0,86100.B6190,86680,36980,87270,ri7560,878s0,88r4{J,8843

0,s8720,89010,89300.89590,ll9lJ80,90r80,90470,90"t60,91050,91310,91630,91920,92210,92s00,92790,93080,93380,9361{J,9396

o,707l0,'70920.71l20.7r 330,715it),7 ) t'3

0,7t 93

0,12r4t,7231|,72540,12710,'72940,73140.73330,73530,'73',73

0,73920,14)20,7,t310,74510,"t1't00,71900,75090,75280,7 5170,75660,75850,76010,16230,'76120,76600,'76190.76980,77160,'/7350,77530,77710,77900,?8080,7u260,78140,78620,78800,78980.79t60,79310,79510,79690,'t9860,80040,8021{J,11039

0,80560,8073

1,00001,00581,01171,01761,02351,0295r,01551,041r)r,04711.0_53ti

l,0it9L,{J661

1,07211,078t)1,08501,0913\,o91',71,1041

I,l106I,t 17l1,123',7

I,1303l,tJ691,11361,1501l,t57lI,l64t)1,17081,)778r,18471,19r8I,19881,2059l,2i 3l1,22031,22',76

1,2349|,24231,24971.2512\,2647|,21231,27991,28761,29541,10121,3111

1,3190r,32701,335l1,31321,35141,3.597

1,3680

2/l

0,94250,94540.94830,95120,95410,957i10,95990,96280,96570,96rJ7

0,97\60,97450,97740,98030,98320,98610,98900,99190,99180,99',7',7

1,00071,00361,00651,00911,0r231,0 r 521,01811,02101,02391,02611

1,02971,032',7

1,03561,03851,04141,01131,04721,05011,05301,05591,05881,0617I,06171,06761,0705I,iJ731|,0163|,0192l,o82l1,08501,08791,09081,09371,0966

0,80900,81070,81240,81410,81580,81750,81920,82080,82250,82410,8258(\,82',/4

0,ti2900,83070,83230,83390,83550,ti37l0,tillt70,84030,84180,84340,81500,34650,84800,i14960,851r0,85260.85420,85570,85720,85E70,86010,86160,86310,u6460,86600,86750,ti6890,E7040,871E0,87320,87460,87600,81140,87880,88020,B8160,88290,tiu430,88570,88700,88840,8897

1,3764r,38181.39311,4019r,4106I,41931,42811,43701.,146{)1,15501,,164t1,47331,48261,19191,5013I,5 ] IJIJ

1,5201l,5301

1.51911,5597|,569 7

1,5?981,59001,60031,6107|,62121,6319I,64261,653,11,66411,67531,6864|,69111,7090|,'72051,132,r1,14311,7556|,16',t51,17961.79 t7r,8040l,ill651,82911,84181,85461,86761,88071,89101,90711.9210\,93411,9486

1,0996r,10251,10541,10ri31.11 12

l,| 41

1,11701,11991,12281,1257I,12861,13161,1345|,13',741,14031,11321,14611,l49ill,t5t91,1548|,1,5'71

1,1606I,l6l61,16651,16941,\723r,L't52l,l7Etl,l8l0i,18391,18681,1B971,1926I,1956l,19ll51,2014r,2011|,2012t,2l0l1,21301,2159i,21E81,221'l|,22461,22151,2305|,23341,23631,2392).,24211,24501,24',79

1,25081,2531

0,89100,89230,89360,89490,89620,89750,89880,90010,90130,90260,90380,90510,90630,90750,90880,91000.91120,9 t210,9r350,91470,91590,91710,91820,91940,92050,9:r60,92280,9239{J,9250

a,92610,92720,92830,92930,93040,93150.93250,93160,93460,93560,91670,93710,93870!93970,94070,94l'10,94260,91360,91160,9.155

0,94650,94110,94830,94920,9502

1,96261,97681,99t22,00572,02042,03532,05032,06552,08092,u9652,tt2.32,12832,14152,1609

2,19432,2t 13

2,22862,21602,26312,28112,299E2.lIJ32,3369

2,315t)2,39152,4t12

2,17512.49602,5 \122,53862,5fi)5

2,60512,62792.65 t12,61162,69852,722u2,71',75

2,',7125

2,79rJ02,8239

2,81102,90422,93192,96002,98ti73,01783,0475

19'50'

1q" )',

. 19'00'

1,25661,2595I,26251,26541,26831,27\21,27111,2710t,2'7991,2t281,28571,23861,2915I.2945I,29141,30031,3012l,l06l1,30901,3r l91,31481,3 \711,32061,32351,12651,32941,13231,3352l,33rJ It,34101,31391,3463t.3497t,:5261,35551,35841,361.11,3643t,36721,37011,17301,37591,3788l,3lJ l71,38461,1ti7.51,39041,39111,3961t,39921,10211,40501,44191,4t08

0,951I0,95200,952B0,95370.95460,95550,95630,95720,95800,95iirJ0,95960.960-50,96r10,96210,96280,96360,96440,96520,9659l),t)66'70,96710,96810,96E90.96960,9?010,97 L L)

0,97 110.91240,97300,97370,97110,975{l0,97510,97610,91690,97',750,97810,97870.97930,97990,98050,91 I0,98r6r:J,9IJ22

0,98210,98330,98380,98430,98.180,98530.98580,98630,98680,9872

3,01773,10843,13973, r 7l63,20113,231r3,27093,30523,34023.3759

3.44953,48713,526r3,56563,60593,64703,68913,73213,?7603,82083,86671,91363,96174,01084,06114,11261,16534,21934,2',7174,f,3154,38974,44914,51074.57164,6:1821,70164,11294,84304,9 t521,98945,065iJ5,1,1465,22515,30935,3955

5,51645,67135,76945,87085,97586,08446,1911)

.15"30'

Norcdami apskaidiuoti sinuso ir tangento reika$cs, taikykite u rcikimcs, csantias kairijc.Norcdami apskaidiuoti kosinuso ir kolangcnto reikimes, taikykite l] reikames, esaniias deSincic.

35

1,41371,41661,;1195

t,42541,4283t,13121,43111,43741,13991,11281,445',7

l,,t;1861,45151,45,111,45731,16011.46321,46611,4690t,11t91,47481,417',7

1,18061,48351,1864l,4rJ931,49211,49521,1981t,50101,5039l,-50681,50971,51261,51551,518.11,5213|,52431,52',72

1,51011,53301,53591,5388i.51171,54461.51751,5504

1,5563

j,5621

1,56501,56791.5708

0,98770,98810,98860,98900,98940,98990,99030,99070,99110,99110,99180,99220,99250,99290,99320,99360,9939u,99120,99450,994u0,995r0,99510,99570,9959u,99620,99640,996'.l0.99690,99',7 L

0,99'/ 40,99760,997B0,99800,99810,99ri3{J,99850,99860,99880,99890,99900,99920,99930,999,10,99950,99960,99970,99970,99980,99980,99990,99991,00001.0000r,0000

6,31386,43486,56066,69126,82696,96827,ll5,l1,2687'7,4287

7,59587,77017,95308,14138,3150

8,176t)9,0098

9'51,1,19.7882r0,07tir0,38510,11211,05911,430I t,[J2612,251t2,'70613,197t3,12114,101t1,92415,60516,150t't,16918,07519,08120,20621,471)22,901

26,432.28,616

34,36838,18912,96449.10157,29O68,7508_5,910

114,59171,89343,11

85'

Progresijos

l+2+4 7 ^ -^^^=,=1='''..

h =i-;---T == =1.114

JO

PROGRESIJOS, SEKOS, SKAIEIq EILUTES

" tariame, kad po Saknimi esantis skaiaius teigimas; b skaidiai, ku q vidurkis skaidiuojamas,turi bdti neneigiaml " nei vienas skaiaiq, kuriq vidurkis skaidiuojamas, negali biiti lygusnuliui.Skirtingos Fogresijq rlSys (turint t4 pati skaidiq rinkinD visada atitink^ sllygq h < g< m < d.

Geometrind ir ar maind sekn

SKAICIA EILAAU SUMOS

.!- n(n+l\

f1z*-t1= n,

s a=l!?k, 6

MI KAMU FUNKCAA SKLEIDIMASL/IIP S NINE MI S EILA TE MI S

. S,r" - x' xte'= L ,=t+)c+r+i+,-

"- =i (-1)',r' _r_, * 4 _t*...4-lrtll

. : (-l)'x'?".' x' x' x'stnx = L b_!l\t =.1- ?t+ St- lr +,..

: (-l)"x' " x' xn xucos 't = 4?nI =t- 2l* q!- 6!* '

1,2, t1 ,62 "lg .l =.t+-x-+-x-+3f5.r +2835x +...

:(-l)'xh' x' x' x'atct9x=LD-n+t =x- j+ 5- 7+-

. Irr 13rt l35.rtarc sln r = r+i T+ 2.4 s+ 2.4.6 7

+"'

ln tt + *1 = f (-t)"'t'

=r-" *rt -'o-n...;in234

,nl+r *rf r'?"-' _r|.,*4*d*....)1-.r fi2n-r |. 3 s )

1 = ir-r't" r'= t- t+ t'- x'+..,

I +.r fi'

- 1 | ' 13 , 135.

.,1| +x = t+ 2)a- 22,2tx'+ Zr.3lx- -tt ^.x

+-.

I I 1.3, 1.3.5. 1.3.5.7

f,fi=t- )tt Z.qr' - ,.O.Ux'+ 2 * Bt --. .r e [-r. r]

* ,, |l(r+l)(2r+1)>k-=:

=4

f1k-q' =*!_t) (nelygiriq skaidiq kvadrarq suma)

f 2, =l 4('+r)

|

inL_.t

-rE R

r€n

r matuojamas radianais; r € n

, matuojamas radianais; r e lt

.x matuojamas radianais; lrl

r 6 (-1, 1)

', € (-1, 1)

'r € (-1, 1l

'r € (-1, 1)

x e (-1, 1)

, € [-1, 1]

't

Sek4 {a,} vadiname aritrneti-ne, jei gretimq sekos nariqskirtumas r yra pastovus:

aa+t= an+ f

Sek4 {4,} vadiname geometri-ne, jei a, + 0 ir bet kurio(n > 1) sekos elemento ir pojo einandio elemento dalmuo4 yra pastovus:

a -=a.a=at+ (r1 -1) | <n>1)o.=u#^ @, r)

a, = ar' 4n (n>l)a: = a*t. a,*, (z > 1)

a,, kai r > 1, tai tq elem€ntq,tarp kuriq jis yra, aritmetinis

o^, kai n > 1, tai geometrinisvidurkis tq elementq, tarp ku-

.t- (kai q>1 bei a, >0)

.. (kai 4>1 bei a, <0)q (kai 4=1)0 (kai 4l< 1)

ndra (kai 4<-1)

[+- (kai r > 0)

I dr (kai r=0)l- (kai r <0)

s.=nqla" -

=na + Ln( n-l\'2'

(kai 4 *1)

(kai 4=1)

I t-o's, ={ ' 1-4

Ipq

(a1 =3,r=2),-t-4J-1n

(at=2,r=-j)2, 4, 18, -54, 162, ...

(ar=2;q=-j)

38

sEKq MBOSSekos ribos apibrdiimasSkaidiq g vadiname skaidiq sekos {a,} riba, jei kiekvienai skaiaiaus 8 aplinkai priklauso visisekos elementai, ilskyrus baigtini elementq skaidiq.

Kitaip tariant:

skaidius 8 yra sekos {a,} riba, jei kiekvienq skaidiq e > 0 atitinka toks natiiralusis skaidiusM, kad su kiekvienu l' > M teisinga nelygyb€ lo,, - gl < e.

Jei seka {a,,} turi ribq & tai lasome taip: lima, =8.Pastaba: seka gali turdti tik vienq ribq,

E hme ntario sios s e hl rfr.i! s

Su kiekvienu n 2 I a" = qen51 l, 1, 1, 1, 1,...

Su kiekvienu n >1a,,n\> o,, l, 2, 3, 4,5, ...

Su kiekvienu r > 1 a,,*! < o,,

Su kiekvienu a > | a^+t > a,, t, t, 2,2, 3, 3, 4, 4, ...

Su kiekvienu n 2 | a .,3 a 1, 0, 0,0, 0, ...

1, 1, ;, 0, 0, 0, ...

Su kiekvienu n > | a.. a,,*, < 0 1, -2, 4, -8,16, -i2, ...Egzistuoja toks skaidius,4, kad su kiekvienu, > 0 teisinga nelyrybe a,, >l (t, y, egzistuo-ja nemaZesnis skaidius uz bet kuri sekoselementq)

1,2, 4, 8, 16,32, ...

Egzistuoja toks skaidius l, kad su kiekvre-nu , > 0 teisinga nelygrbe a,,<A

1,0, -1, -2, -3, ...

Seka aprizta i3 virsaus ir i5 apadios 1,0, 1,0, 1,0, 1,0, ...

Egzistuoja toks skaidius g, kad I yra sekosriba (Ziiirdti sekos ribos apibrdiim4)

11111

" 2' 4' 8' 16' '(sekaartdjait=0)

Jei bet kuri skaiEiq I atitinka toks natola-lusis skailius M, kad su kiekvienu n > Mteisinga nely$/bd a, > A (t. y. beveik visinsekos elementai didesni uZ duotdi skaidiq)

Jei bet kuri skaiciq,4 aritinka loks natiira-lusis skaiCius M, kad su kiekvienu ll > Mteisirga nelyg]'be a,, < A (t, y. beveik visi'sekos elementai mazesni uZ duot4l'i skaidiq)

" ,,beveik visi" reiSkia ,,visi, isskyrus baigtini elementU skaidirl",, sin.x ,

39

Sek4 ribq skaiiiavimo taisyHis

Jei egzistuoja sekq {a,,} ir {4} tibos: li-a, = a ft lirn4, = b, tai tenkinamos tokios ribosi

\i1!a,+b,)=a+u \ty(a" -b^)= a -b

tig{(, b^)=a b ,,^(o,,\_o^-\b^ ) b

(kiekvienam b. + 0)

Jei seka {a,} art€ja i nuli, o seka {b,} apr6ita, tai !g@.'t")=0.

Sekos, artdjaniios I nuli, ir sekos, tolstaniias i begalybq

Jei su kiekvienu n a,, > 0 it

Jei su kiel!:vienu n 4,, < 0 ir

. ,. 1Jet llmB,,l= 6 , ral llmn" ar

Trij4 sekq teorema

Jeigu teisinga lygybd lima,,= l,r*., = g, o tredios sekos elementai (pradedant z-uoju

elementu) tenkina s|lygq a, < b,, < c,, tai sekos 4 riba lim b, = 8.

Monotoniniq sekt4 ribos

Monotonines ir aprezlos sekos riba yra baigtind

Kelctas rib4

Hj=oliml 1+1 l= e = 2.718

liml 1+a | =e'

lima = 1 (a > 0)

ts;=*tim4=o (a e n)

,. lon ^.. 1-

liml: = hd (o > 0)'-.n t

Keletas funkctq ribq (Zr. kit4 puslapD:

^ ,. 1= ur tal llm- = f€.

1

= U, tal um

lg{/;=l (o > o)

... (nat0raliojo logaritmo pagdndas)

>0)

lim-=r- (k € N)

lim,=0 (k€ M)

.. ln lnd ^

lim a"

li'll a,

lim: lnl 1+: l=l

lifta, = 1 (a

40

FUNKCIITl RIBOS

Funfu ij q rib4 ap ibr i iim ai

Pastaba: lyg/bd lln t/0) + g0)l = lim fir) + ll.fi 8(t) teisinga ir aoalogiskos lvgvbds skir-

tumui, ir dalmeniui, ir sandaugai. Palyginkite su sekq formulimis ankstesniame puslaPyie.

Lopitalio ('Hospital) taisyHi

ri," 4*l = ri. 1.('J,-," Stxl ,_.0 g (r]

Sqlygos: f(r) i! g(r) apiblezbs intervale, kuriam priklauso taskas t0 (padiame talke gali bfitiir neapibrertos), funkcijrl ilvestidds (Zr. kitq puslapi) /(r) ir 8t) tame intervale baigtinds,

g'(r0) + 0, neapibreztumas gaunamas toks f, arba :. IIrailka desin€je formules pus6je

egzistuoja arba yra lygi !-.

NeapibrdZtumai apskaiiiuoj ant ribas

Skaidius 8 yra funkcijos / dba taSke.ru, jei kiekvienos sekos {r,,} elementai

,, p klauso funkcijos apibrezimo sridiai ir is s4lygos limr, =r0 isplaukia

lrg,f(.r.) = e. Sekos {.r,,} nariai yra tokie, kad su kiekvienu , € N tenki-

skaidius 8 yra funkcijos/riba is kaires (i! delines) taskc r0, jei kiekvienossekos {4,} elementai r,, priklauso funkcijos apibrdZimo sridiai ir iS sqlygos

lim-r, =.ro iSplaukia lig,f(-r.) = e. Sekos {t,} nariai yra tokie, kad su bet

fiiiluo , . ff tenkinaffi x,, < x,, [x,, >

Kai galioja prielaidos i5 ankstesniq apibrdziftq, tai gauname, kad

!m(r,,) = +- n lim/(x,,) = -.

Miferencijuoti vardikll ir skaitikli, taikant Lopitalio taisyklg (kart4 dife-

Kadangi a . 6 =,f., rai galime duotaiq reiksmg pakeisli truprnena ir- lr I

tbl o *elslis taip kaip su neaDibrertumais : arbatl-Reiskini islogaritmuoti (potencijuoti) (gausime israiskq tokiu pavidalu 0 . -)ir transformuoti auksciau aprasytu b[du i reiskini I arba - . Rurti ,ibq ltar-

kim, kadji lygi,4), gautq rezultatq antilogaritmuoti(galutinis rezultatas = ei')

Kadangi a -b =(i)ti,sauname neapibreltum4 ff

(sprendimo uu-

das auksdiau)

runv,av,, 1gX $ = l9?= I (kai turl,ne neapibre'tum4

3, taikorre Lopitalio taisvklg)'

4L

ISWSTINE IR INTEGRALASPagrindiniai apibrii,imai ir iXmijimai

irro + l, priklauso funkctosfapi-brezimo sridiai, pokytis l' + 0

71,,1=mf-@o:E-JQ)

S4lygos tokios kaip ir skirtuminiamdalmeniui, be to, duota riba egzis-tuoja (nepriklausomai nuo to, kaipl artdja p e nulio) ir

rr,t=4lJl.dx

funkcija priskilia argumen-tamsr E X iunkcijos isvestingduotame taske

X - tq argumentq aibe, kurioje eg-zistuoja funkcijos / iSvestind

I' yra funkcijos / pirmykttdfunkcija, jei duotame r € X

Neapibrertinis integralas, taivisq duotos funkcijos f pir-myksdiq funkcUq aibd

Skiltingos pirmykltds funkcijos ski-riasi tik konstanta, F(r) + C

Vienas apibr6iimlt gali buti:

JI \x )ax = f \D)- f l(')

Integralas apibrdziamas tik uzdara-jame intervale [d, ,]

Svarbiausi integrav imo bfidai

Integralo sumos skaidymas integralqsumomis (algebriniai pertvarkiai,trigonometrinds formulds ir t. t.)

Ndra bendlos formulds, kaip suinteg-ruoti bet kuri funkcijos dalmeni arbasandaug4

I f(r) !(r) d' == f(tc) sQc) - Jf'(x) s(x) dr

lntegruojamus dauginamuosius pa-renkam taip, kad/(x) supaprastetq su-

us (palyzdiiui, daugianaris),neliktq labiau sudetinga neiegfavim4 (pavyzdriui, sin.4, ?')

I f(x) di = I fl1gls\t) dt

sykliq kaip parirkti tinkamiausiq 8(r);jei turim apibreztini integral4, reikiaatitinkamai keisti integravimo ribas,apskaidiuojant koki t atitinka duota-

Yra detaliq integralq lenteliq, kurio-se rasime dazniausiai sutinkamas su-

Maroma, kad vartotojas ,ino papras-aiausias integravimo taisykles

Palyzdiiui, grafinis ploto tvertinimaspo kreive (palyginti p. 43 rnedtiagq),

ilreiSkimas sumomis

Tokie budai tinka apskaiciuoti apy-tiksles apiblCztiniq integralq reiksmes

FUNKCIIr tSwsrtlti s IR INTEGMT'Ar

I/(\) dr + iE(f) lt/ (.r) + s'(r)

! l (Lt + b) tlx = ' n lro * 11a f\ax + b)

Ncra papflstos bcndrosformulcs

/(:r) s(r) + /(x) s'(jr)

/'( rl8 (.r) - / tr)s"(r )

ls(')l'

i8li'r.r'(s6)) 8'(t

Keleto funkcijq isvestines ir integralai

ln lrl +C

xlnl-,r+C

.r (lnr 1)+c

-ln (cos x) + C

ln (sin n) + C

., ,ra ,in t + n/iT + C

r arc cos-I-"/iJ+ C

r arc tg * -1ln (1 +r:) + c

.r ,rc ct,'.r t t ln rl t-.rr) + c-2

" praleista prielaida, svarbi funkcijos apibrcztumui (vardikliai nelygDs nuliui ir t. t.);b tajp vadinama logaritmine iivcstini, praveriianti diferencijuojant funkcijas, kuriq israiikayra tokia: /(r)o)Iivestinir4 tailq mai fizikoj e ir geo,netrioje, Pavyztliiai

" s4lygos priklauso nuo to, kaip apibreziamc apibraZtin! integralq; b jci formulcjc niramodulio Zcnklo, tai plotas, kai/(.{) > 0, skaiii ojamas kaip teigiamas; kai/(:r) < 0 -skaiiiuojamas kaip ncigiamas

Liestines lyglis:

), = & (i -.ro) + lko);Cia:k=tgo=/'(r;)

Funkcija ir jos isves-tind tufi bnti api-brczta, kair =,ro

,,"=,t lt|;lXl,;]r

Abi funkcijos irjq iS-

vestinis turi bitiapibreZtos, kai.ir = jrl,

,o='t'::\

,1a=dlQ =4''\')" dt dt'Antrosios iSvcstinestaikymo pa\yzdys

Inte grq 14 ta ik! mes ge omet rij oj e

5

Plotas tarpkrcivis iraSics Orr'

s=J f e),kFunkcija/(x) turibili apreita in-tcrvalc [d, 1r]

Krcivcs /(.r)laDkas tarptaskq

,I .-h\-,1

/(x) ir jos isvesti"ni/'(r) negalitu-rcri rriikio raikLlirtcrvalc [d, b]nl; i7

PavirSiqgavorne,apsukQ

krejvg t(ir)apie aSi On

lr-= 2'rJ /(.{) V1+ L/'( \ ).1',lI

F-unkcija /(,v) ne-gali turcti trikiotaSkq intetval(r

In' bl

44

PAPRASEAUil GEOMETWOS APIBREZIMAI

Pirminds geometrijos sqvokos

TaSkas, ties6, plokstuma, erdvd.

Elementariosios taik4 ir tiesi4 savybds

1. Per du skirtingus talkus (l ir B) galime nub!6zti tik vienq tiesg, einandi4 per Siuos dutaikus (tiese r4r).

2. Jei plokstumos talkas nepriklauso tiesei, tai per ji galime nubreZti tik vien4 tiesg, neker-tandiq kitos toje plokstumoje esaoCios tiesds, Tai tiesd, kLrri yra lygiagreti Siai tiesei.

3. Tiese - tai vienai plokatumai priklausandiq taikq, lygiai nutolusiq nuo duottl taskq Iir B, geometlind vieta.

4. Plokltuma - tai vienos erdv€s talkq, lygiai nutolusiq nuo duotq talkq I ir B, geomet-rind vieta.

Tiesi4 ieimosTiesiq pluoStas - grupd visq tiesiq, kertantirl joms bendr4 taskq l.Lygiaglediq tiesiq pluoltas - grupd visq tiesiq, lygiagrediq duotai tiesei a.

Atstumo tarp taikq savybis1,. lABl >0; lABl = 0 eA = B.

2. lABl = lBAl.3. Kai A, B, C - trys taskai, tai ltlBl + lBCl < lACl (trikampio nelygybd).

Ik I e t a s pr ikl a us o my b i4

" erdvije tiesds, neturindios bendrrl talkq arba lygiagredios (esandios vienoje plokstumoje),arba prasilenkianlios (kitu atveju); b visi abiejq tiesiq taskai

S4lyga: arba lABl = lACl + lCBl,

Nepriklauso vienai tiesei (kiek-viena pora taskq apibrdzia at-skira tiesg)

.4, B i! C sudaro trikampi

Be galo daug (visa tiesd)

45

Figury ir joms prikhusanihl talk4 rfiits

Figlra, kurios negalima patalpinti jokiameskritulyje'

Thskas, kurio aplinkab nepriklauso figfirai

Thskas, kurio kiekvienq aplink4b sudaro tas- IGaSto taskas gali pri-klausyti figiirai arba ne

Visq vidiniU [isoriniq/kralto] taskq aibe Skritulio vidus - taiskritulys be apskritimo

Figiira, kuriai priklauso kiekvienas krasto tas-kas

Figiira, kuriai nepriklauso ne vienas krasto

Fig[ra, kurios bet kuriuos du taSkus galimesujuogti viena atkarpa, priklausandia duotai

Bendra iskiliqjq figtnldalis * tai iskilioji fi-

Figira, kurios bet ku uos du taskus galrmesujungti paprastqia laurte, priklausandia duo-

Figfira, kuri yra bendlas dviejq susikertandiqpavirliq kraltas, kai pavirsiq s{iunga sutam-pa su duota plokltuma

" ,iirdti toliau lenteleje esanti apibrdrimq; b rasko ,4 aplinka plokStumoje - tai kiekvienafigiila, kurioje yra kaikoks skritulys su centru taske l; " nejungios figfiros pa\,yzdys - per-skirtq skritulir.l s4iunga

Paprastosios geometrinds Jigfiros

Pustiesd,4B' su pradiia taske I - tai aibelieses,4B taskq P. kurie renkina vienq sqlygq -lAPl + lPBl = lABl arba lABl + lBPl = lAPl

Tieses taskas dalija jqi dvi pustieses

Geometrine vieta tq tieses taskq (P), kurie nuoatkarpos galq yra nutolg atstumu, tenkinandiusqtys4t lAPl + lPBl = lABl

Kitaip: tieses taikU,esandiq tarp I ir .8,geometrine taskq vieta

Plokltumos dalis, kurios krastas yra tiesd, kar-ru su Irese

Plokstumos dalis, kurios kraltas yra tiesd, betieses

Viena i5 pustiesill, sutampandiq su padia tieseir prasidedanti duotame taske, be paties tasko

Bendra pusplokatumiq ab- ir ba. d^lis,jei a ll b (ei a = b. tai juosta )ra ticse)

Juosta yra neapre;taiskilioji figffra

Figiira, sudaryta iS tokios atkarpq 1r,42, -4rlyA-A.. ....A -l sekos. kad kiekvienos dvi at-4A4, ..., A,,rA,, sekos, kad kiekvienos dvi at-karpos viena su kita turi tik vienq bendrq taskq

r' A A -l^rt-

Gs viriinds

LauZt6, kurios atkarpos tenkina tokias s4lygas:1) bet kurios dvi atkarpos su bendra virSUDe

oepdklausandios vienai tiesei;2) bendru dviejq atkarpq tasku gali buti tik jq

virSini;3) duotas taskas gali biiti daugiausiai dviejq at-

karpq virs[ne

Lauzt€s, kurios ndlapaprastosios, vadina-mos suddtinemislauZtdmis

Dalija plokStumq idvi dalis; apr6itq ir

Paprastoji lauzte, kurios pradiios virlfine su-tampa su pabaigos virsune (lr =,4,,)

Aibe plokitumos taskq, kuriq nuotolis nuo tas-ko O (skritulio centro) ne didesnis nei / (/ > 0)

Aibd plokstumos talkq, kuriq nuotolis rluo tas-ko O (apskritimo centro) yra lygus r (/ > 0)

Apskritimas a(O, r)yra skritulio k(O, /)klastas

Paprastoji uzdaros laurtis ir apribotos figtross4iunga

Sqjunga dviejq pustiesiq (kampo Sonq) su ben-dru pradzios talku (vidnne) ir vieno i! plottl,kuriuos tos pustiesis iskerpa i3

Kamp4 rfriys

Kampas, kurio kraltinds yra viena kitq papildan-

Kampas, kuris riboja ilkil4 figfirA

Kampas, kuris riboja neiskilq fig[r4

Kampai, kuriq bendra dalis yra jq bendra kraitind

Du iskilieji kampai, kuriqviena kraltine yra bendla,o kitos dvi krastines papildo viena kit4 iki tieses

Kampas, kurio kraltines papildo vie[a kitq iki

Kampas, Iygus savo gretutiniam kampui

Kampo matas: turi neneigiam4 reiksmg; getutiniq kampll matai yra lygfis; kampo, kurislygus dviejq gretutiniq kampq sumai, matas lygus tq kampq matq sumai,

47

PLOKSTUMOS TMNSFORMACAOS

" talkas iS pradziq turi koordinates (x0,/iJ; bjei simetrijos centras arba ilskirta asis nesutampasu koordinadiq sistemos pradiia arba alimi Or, tai trdnsformuojamo taiko koordinatds for-mul6s sudetingesnes; ' darome prielaidq, kad vektorius nenulinis ir nelygiagretus asiai O-r

I?ometriios

EVisiplok!tu-mos taskai

Lvgi'nis

lbrT" (xo+ a,ys+ b)

Lvcl-nis

q (4, - vo)

VisisimetrijosaSies

taSkai

Nely-ginis L&"F

(xo + a, -yo)Nely-ginis

so (-r' -rJThskas O -simetrijoscenllas

Lygi-nis

9*

o" (.rocos q -/o sin a,rosin d + ),o cos q)

Thskas O -posiikiocentras

Lygi'nis

}..i '-fs

-Neizometrin€s transformac 0s

.ri (sxu, ryo)

Taskas O -homoteti-jos centras

(r, svu)Visi aliesO, taskai

&

k.0) Visi asiesO, talkai

48

Transformacij 4 savybis

Visos transformacijos apgrgriamos. Neapgr9ziama, palyzdiiui, yra stadiakampi plojekcija.

Tiansformaci-ja, islaikantiatstumus tarptaikq

Issaugomas ta$kq priklauso-mumas tai paliai tiesei; tiesiUlygiagretumas; figiirq pavirsiqplotai; kampai tarp tiesiu

Ihpadiosios transformacijos, po-stlmis, centrind simet ja, asindsimetrija, simetrija su postiimiu,pos[kis aplink task4, postnmis

Issaugomas taskr{ priklauso-mumas tai padiai tiesei; tie-siq lygiagretumas; bet kuriqatkarpq santykiai lieka pa-stov[s; fig[los ir jos vaizdo

Bet kuri izometrija arba ho-motetija, taip pat bet kuri siqtraosformacijq kombinacija

Tfansformactaabipusilkai vie-narcikSmi, i5-sauganti taskllpdklausomum4tai paCiai tiesei

Issaugomas tiesiq lygiagre-tumas; bet kurios atkarposir jos vaizdo atitinkamos at-karpos ilgio santykis yra pa-stovus; figiiros ir jos vaizdoploto santykis yra pastovus

Pavieniai atvejai: izometrijos,panalumai, stadiakampis sq-spudis

Posiikis apie tq pati cen-tr4 kampu d .t p, O

Keliq postiimiq suma yra po-stimis

Isvada: sudejus postiimius jrcentrines simet jas gaunamecentring simetrij4

Centrine simetrija su cen-tru, sutampandiu su asiqsusikirtimo talku

Kiekvienq ceotrirl€ simetrijqgalime iSskaidyti i dvi asires

Kiekvien4 postimi galime iS-

skaidyti i dvi asines simetrijas

Homotetija su centru O i!koelicientu sr. sr, "6',

Sud6jus bet koki homotetijosskaidiq gauname homotetUqb

Kiekvien4 panaium4 galimeiSskaidyti i homotetija ir izo-

n centrai debitinai turi sutapti; b centrai turi sutapti

49

KAI KARIOS TMNSFORMACIJOS ERDWEErdvis transformacijos

Izom€trijoslE Visi erdves taskai L

s.) Thskas O - simetrijostaskas

n

S Visi simetrijos asies tas-kai

L sA=rs Visi plokstumos simetri-

jos taskain S,S.=E

T" L T,T* = T,+"

L" Visi l, a5ies talkai L

n

n

LN€izometrinas aransformacijos {pavyzdtiai}

Taskas O Izometrijos ir panasu-mo sdunga

Taskas O Transformacija islaikoxampq matus

Priklausomai nuo trans-formacijos isies

Islaiko vienatiesilku-m4

Visi plokitumos n taskai Erdves transformacijai plokitumq

L * izometrijos lygiikumas (L, n * IyginCs ir nelygines izometrijos, tokios, kuriq squngqgalima sudaryti iS lyginio/nelyginio plokstumos simetrijq skaidiaus; lygines izometrtos - taivadinamieji erdvis juddjirnai)." duota issami izometrijrl klasifikacija; b sqiunga plokstumines simetrijos ir postiimio sunenuliniu, lygiagreiiu plokitumai vektoriumi; . sqiunga plokstuminis simetrijos ir posikio,su nenuliniu (ir skirtingu nei 180") kampu, aplink statmenq i plokstumq aii; d sqlunga po-siikio su nenuliniu (ir skirtingu nei 180') kampu ir postiimio, su nenuliniu, lygiagreiiusukimosi asiai, vektoriumi; . r - ties6, kuri ndra lygiagreti plokitumai rPagrindinds proj ekcij4 sary b is1. P:P: =P: (idempotentyvumas).

2. Lygiagrediq atkarpq ilgiq (bet nelygiagrediq proiekctos atzvitgiu) i! jq projekctq santy-kis yra pastovus. lABl I lCDl = lA'B'l: lC'D'\.

3. Atkarpos centro projekcija yra projekcijos centras (atkarpai, nelygiagrediai projekcijoskrypdiai).

50

PAGRINDINES GEOMETRINES KONSTRUKCIJOS

Simetrijos aiis da-lija atkarpq l,pusiau ir yra jaislarmena;

it ABD - ly-giakrasdiai tri-

1. Lankai su centrais taSkuose Iir B bei spinduliu lB.

2, Tiese per taSkus C ir D

Trikampis ABCyra lygiasonis, at-karpos BC simet-rijos asis eina pe!tatkq I

1. Lankas su centru taske I ir to-kiu spinduliu, kuris kirstq tiesgdviejuose skirtinguose taskuose,irC.

2. Simetrilka atkarpa F-

- lygiagre-1. Lankas su centru taske,4, ker-tantis tiesg taSkuose , ir c.

2. Lankas su centru talke /4 irspinduliu ,C, lankas su centrutalke C ir spirduliu ,4-B bei jqsusikirtimo taskas D

3, Tiese,4D

=lD' t

\c 8//'

1. Pustiese,4X- nesudaro bendra-tiesgs su lB-.

2. Pusti€sdje,4x- atidedame, lygir.l

^tkatp[ AA p A tAz, .,,, A,-l

".3. Tiese 4, einanti per taskusB ir,{,,.4, Tieses, lygiagredios tiesei d ir ei-

nandios per talkus-.4,,,4,, .,.,,4

Koostrukcijos tei-singumas pagris-tas Tblio teorema(qCzinyje atkarpal8 dalijama itrislygias dalis)

1. Lankas su centru taske,4 (betkokio spindulio) ir jo susikirti-mo su kampo kraltindmis tas-kai (A ir C_)..

2. Atkarpos -BC simetrijos asis irtalkas D - tai lanko susikirti"mo su simetrijos asimi vieta.

3. Tiesd su taskais I ir D

Pusiaukampinddalija kamp4

BIC pusiau ir yralygiai nutolusiqnuo kampo kraiti-niq taikq aibe

l. Lankas su centru laike,4, ker-tantis apskritim4 dviejuose tas-kuose B ir C.

2. Tiese, einanti per taskql, ir ly-giagreti tiesei, einanliai per tas-

- lietimosi ta!-kas; liestio€ yrastatmena apskriti-mo spinduliui

l. Dvi, bet kurios nelygiagrediosapskritimo stygos: AB it CD.

2. Abiejtl stygrl simetrijos asys.

3. Apskritimo centras yra simetri-jos aSiq kirtimosi taSkas

Cia pateiktas konstrukcijas galima nubroiti su skriestuvu ir liniuote (li4iuoti be padalq).Kai kurias pateiktrl konstrukctq galima nubrditi lengviau, jei tudme kitokius irankius,pavyzdiiui, statdi trikampi

51

Kelctas kanstrukcijq, kuri4 negalime nubrdilti su skriestuvu b liniuote

Radimas kvadrato, kurio plotas yra lygus apskd-

Bet kuriob kampo daltimas i tris lygias dalis Pjeras Loranas Vantzelis(Pierre Laurent Wantzell)

Urduotis lygiaverte pilnojo kampo padalijimui iseptynias lygias dalis

Karlas Fridrichas Gausas(Carl Friedrich Gauss)(17e6).

Kubo, kurio tiiris biitq du kartus didesnis neikubo su duota kraltine, kraitines radimas

Pjeras Loranas Vantzelis(Pierre Laurent Wantzell)

n sprendimo, nesdkmingai, buvo ieskoma nuo senoves; b kai kuriems kampams (pavyzdi'iui,statmenajam),siq uzduotigalima ilsprgsti, bet vartojamas algoritmas netinka kitiems kam-pams! c Gausas irodi toki teigini, kai n yra pirminis skaidius, tai i5 taisyklingdq ,-kampiqgalima sukoNtruoti tik tuos, ku ems n yra iireikstas israiSka 2a + 1 (& = 0 : trikampis,k = 1i penkiakampis, k = 2: septyniolikakampis ir t. t.); d vadinamoji Delo salos problema

GEOMETWOS TEIGINW

AB _AD ,

Bc-nE'AB AD BDAC AE CE

Atitinkamq atkarptl proporcingu-mas

Pagrindind formuldi

Papildomos formul6s:

Tik statmeniesiems trikampiams;a, b - statiniaijc - izambinC;,' - aukstind nuleista i iiambing;e, /- statinitl projekcijos i izam-bing(e+t=c)

PA.PB = PC PD Tiesds lB ir CD - kirstinds subendru talku P (kufis gali bfiti ap-skritimo viduje arba ilordje);

vietoj vienos ki6tinCs paim-sime apskitimo liestine G = D),tad^ PA . PB = PCzPA.PB = PC PD

52

TRIMMPUI2ymijimai,4, r, C - vilsiines, a, r, c - krastinis (kraltinitl ilgiai);cr, p, y - kampai; R - apibrditinio apskritimo spindulys;r - ibreztinio apskritimo spindulys; /l" - aukstine, nuleis-ta i kraSting 4; S - plotas;

a+b+cv - 2 \PuJPsrnxsrrrJ/.

Trikampio vidaus kampry suma

a+P+1=180'

lbriitinio ir apibriitinio apskititrut spirululiai

Bet kuric fikampini - ploto skaiiiavimo bfitlai

^ ah absin'v

22

^ abc

B* kurio trikompio trigonometrines priklausomjbis

sin d + sin g + sin r =acosl cos!cos]

cos d + cos B + cos y = l+4sind sinF sinl222tg d + tg p + tg'y = tg q tg p tg Y

aB"vcBvctgt + ctgt+ cIE, = ctgl ctE , ctEl

abcSrnusulormurei zx=-=-=-srnq srnp stnY

Koslnusq formules:

obcr=- {palyglnK su slnusq lormule), abc

J = zJ(' Slnq slnp s'nY

az=b2+c2-2bccosqbz = oz + c2 - 2ac cos pc2=at+b'?-2abcosf

o*t -tei.l.*F)'-u

"i@-9)

Tang€ntq formulds:

Atkarpa, jungianti trikam-pio virsiing irjos stadiakam-pe projekcija prielirgojekraStindje

.bcha=- = D sfi I =

=csinF

einanti per jos cantrq

Atkarpa, jungianti virsing supriesingos krastinds centru

Ties€s atkarpa, dalijanti vir-Siinos kampq pusiau - taiatkarpa nuo virsinis ikiprielingos krastines

b+c

Tos krastinds, kuriai jilygiagreti, ilgio pusd

Atkarpa, jungianti dviejLlkraltiniq viduri (tiesd lygia-greti trediai kraftinei)"

53

ir fieses ffikampie

" kiekviename trikampyje egzistuoja Sios trys atkarpos arba tieses, jos kertasi viename taske;b fu. formules ankstesniame puslapyje; " trys vidurio linijos apibreria tlikampi DElc panalq

i ABC, kurio plotas sudaro ; to trikampio

. ypatingi statieji trikampiai - tai Pitagoro (egiptietiski) trikampiai, su kraltinemis, isreiks-

tomis natiraliaisiais skaidiais (paryzdiiui, 3, 4, 5)

Ypat i n gosi os t ri k a mpiq ru!! s

msti S, ,, R, r

, - statiniai,

- iZambinC;

yra izambin€jerasti s, ,, R, r

maziausiai vienq simetaSi (turi tlis simeljei jis lygiakrastis)

n=la: s=:f a'z;

1. _ 2

tris simetrijos asis;centro taSkas,

ibreztinio ir

54

Trikampiq panaiumo ir lygumo kriterijai

Tlikampiai yra kongruentiski, jei eg-zistuoja izometdja, transformuojanti

Tiikampiai yra pana$iis, jei egzistuo-ja panalumas, transformuojantis vie-n4 trikampi i kit4

Trys pirmo trikampio kastines yralygios trims kito trikampio kralti-nems

Trys pirmo trikampio kraitines yraproporcingos trims kito trikampio

Dvi vieno trikampio kraltinis i!kampas tarp jq yra atitinkamai lygdsdviem kito trikampio kraitiodms ir

Dvi vieno trikampio kraStines yra ati-tinkamai pfoporcingos dviem kito ti-kampio kra5tin6ms, o kampai tarp jqIygls

l<Iastind ir du karnpai, esantys priejos, yra atitinkamai lyg[s kito tri-

Du vieno tlikampio kampai yra lygiisdviem kito trikampio kampamsn

Trikampi4 sprendimai

Antras kampas statusis = (90' mi-nus duotas kampas), likusieji kam-

i3 sinusq tcoremos

Tleaia krastini - i5 Pitagoro teore-mos, kampai - iS formuliq apibre-,ianaiq trigonometrines fuokcijas

Egzistuoja sprendinys, jeigua<c,b<cbeia+b<c

Kampai q, p ir y - i! kosinusqteolemos

Sprendinys egzistuoja, jeibet kurios kraStines ilgis ma-iesnis nei likusiq dviejq

c - iS kosinusq formuliq, kampai qir p iS sinusq arba kosinusq formu-lds

TiUkstamas kraStines - iS sinusqformules, hediq kampq - is tdkam-

Sprendinys egzistuoja, jeigu

P+T<180'

Kamp4T - is sinusq formulis, kam-p4 d i! trikampio kampq sumos(180'), trediq kraltinQ (a) is sinusqformulds

Sprendinys neegzistuoja tiktada,kaib<circsinP>0"

oegzistuojadusprendiniai,jeib<circsinP<b,kitaisatvejais-vienassptendinys

55

KETURKAMPAIPaiymijimd ir bendros keturkampir4 savybis

S - plotas; a, b, c, d - krastineq dt,.1z - itambines; ft - aukstind; d - kampas tarpkraStiriqj A - kampas tarp izambiniq.

s=4{'."ino q + 0 = T + 6 = 360.

Sqlyga, kad galima butq ibrditi keturkampi iapskitimq:a+c=b+d.Sqlyga, kad galima bntr+ keturkampi apibrditi apskritimu: d + 'y = p + 6.

Pagrindini ai keturkamp i ai

" ypatingos rllies stadioji trapecija (viena krastiniq statmena abiems pagrindams) ir lygia-Sone tlapecija (dvi krastines, skirtingos nuo pagrindq, yra vienodo ilgio); b i5 kiekvienossarybes paZymitos Zymeb, isplaukia ir likusios savybds

Ypatingosios stadiakampio rfi.iys

Dvi kraltinds (trapecijos pagrindai) yralygiagredios

Istriiaines tarpusavyje statmenos ir vie-na jq dalija kitQ pusiaub; kraStinds poro-

Pliesais esandios kraltines poromis yralygiagrediosh ir lygiosb, prielirgieji kam-pai poromis yra lyg[sb, istriiaines kertaS = ah = ab .sind

Lygiagretainis, ku o visos kraltinds yralygiosb; lygiagretainis, kurio istrizaineskertasi stadiuoju kampub

Lygiagretainis, kurio visi kampai yra sta-

tiejii dt = dz = \FE ; q;=!

Taisyklingas keturkampis; rombas, kuriskartu yra staliakampis;

= i, = .fu; t=so

Visos krastinds, kampai ir izambinds yra lygios;

irambings kenasi staaiuoju kampu;formulis - aukldiau esandioje lonteleje

Padalijg pusiau gauname du sunormirtus stadiakampius,taikomus poligrafUoje (paryzdiiui: formatai 44, A5)

Atkirpus kvadratq, lieka mazesnis auksinis staaiakampis;ilgio ploporcta (q = 1,618.,.,7 puslapis) Iaikoma labaimalonia akiai; sutinkamas Graikijos alchitekt[roje

tb

DAa GUKAM P Iq KL,,IS I F I KAC AARinktin i s d uugiakamp i4 ri6y s

Daugiakampis, kurio visos krastinds ir

daugiakampis b[rq iskilusis

Bendros daugiakamp 4 savybisn-kampio vidiniq kampq suma = (z - 2) . 180'.Kampq, gretimq vidiniams, iskiliojo r-kampio kampq suma = 360'.

Ilkiliojo n-kampio istriZaioirt skaidius = )n(n-Z).Zvaigidiniai ir taisyHingieji daugiakampiai

.in 4!ThisyHingojo n-kampio ilambinis d, = a--4

sm-n

Il kilosios

A 3

t;4

60"

2

1

2' 90"

2

v10 - 2../5

1

Jzo-,6G*10.6 -,4"

108'

-\.9/a

2 2120'

o \2't+ Ji

2' 2(1+Jr)a, 135.

I^,L

1f ,iltl"";)'

at' n\ ,ol"s; f"

::_: l80o

ZvNigrdinlat

*2

Jto+zJ5I

2\15+245

suddtingaformule

36'

a - daugiakampio kraltinds ilgis, , kiekvienam taisyklingam ,-kampiui teisinga r = R

(k > 1).

tt

SKNTULYS IR TO DALYSSkritulys ir jo dalys

A\--- :- ,

\;-/

llgist L = htr.IS figiiq su duotu ilgiu skritulysturi didziausiq plot4

@^ rL a.rrz c lJ =-- =- =-trl-2 360" 360"

(q ilreiksta laipsniais)180.

(NEN

W

- / rq sinq \ ,J=l - lr-\360" 2 )

h=r-=r-:J4r2-ct212

" =znlin - tf

^ ,(90"-q, sin2q \J=ri-t-tt_- t+'l. 3600 2 ),( ct sin2o \*t[366"n- z I

d - centrinis kampas su centrumazesniam skritulyje, besire-miantis j didiiausi4 lankq, pri-klausanti bendrai abiejq apskri-timq daliai

kampai. paZymeti simboliu d,

Atkarpos ir kampai skrinlyje. Apibrdiimai

Kampas su vilsune, esandia skritulio centre Ziiireti teiginiuslenteleje

Kampas su virsune, priklausantia sk tulio ap-skritimui

Stygos ir kampai skritulyje

Centriniai kampai, kurie remiasi i vienodo ilgiostygas yra lygiis (breiinyje kampas AOB lyg.us

Ibriitieji kampai, kurie remiasi i tq pati lankq(i tq padi4 styg4), yra lygns

Kiekvienas ibrdztasis kampas, kuris remiasi i ap-skritimo skersmeni, yra statusis

Centlilis kampas yra du kartus didesnis neiibr6ztasis kampas, kuris remiasi i tq pati lankq

Smailusis kampas, esantis tarp stygos ir liestinds,einandios pe! vienq stygos galq, yra lygus ibrCzta-jam kampui, kuris remiasi i duotqi4 stygq

58

ERDWNUI KUNAISvarbesni

- uexurar l,rvr..' u!

-.uxnuJ Prvrar' u, - Po6lxruv Prv.aJ, /

- 4u^.u'n

, - apotemos ilgis (Sooinds sienos aukltind); , - pagrindo perimetras; d - iiambine

Jeigu briaunos yra 1pagrindui, tai prizmCvadinama paprastqla

S=S +S. kampis, lonines sie-nos - tai trikampiaisu bendra virsiine

s=s,+sa+sAPagrindai * panasiisdaugiakampiai, kurieyra lygiagretfis

v =+9". +4s,,+ s- s=sJ+s,,+sp,tus daugiakampiai;s,, - pjuvio, nubrdi-to per aukltinds t,

Taisyklingieji briaunainiai (Platono erdviniai kfinai)

4 trikampiai64

I trikampiai126

12 penkiakampiq3020

d - kiekvienos briaunainio krastines ilgis; q - kampas tarp sientt su bendrqja bdauna

Svarbesni kreivieji erdvis kfinai

Erdviniai sukimosi kiinsi

\7 V =:?trR' S = 4trR'?Kiekvienas rutuliopjiivis plokltumayra skritulys

z=i:--\3

S=2rcbx

xlD + -arc srne J

a>b;E"f-*-

=ll7rn-;,:E\V = rna'b

g =2oo, 1It 6!!3€ 1-e\S=tz

E" V = rR'zhSo = 2rtRh;

S=2nR(r+R)Skersinis pjuvisSkritulys

l"i3\t/ 3

So = oRt;S=,rR(R+r);

I=Jtf + FVirlune yra virspagrindo centro

/fr\-8,/v=!n(n'tro+l

so = r(R + r') l;= Sb + rR! + ,rr2;

tJtr +1a-4

Pagrindai yla ly-giagretis vienaskito atzvilgiu

V = 2fi2Rt'z S = 4tszRr

ffi,"w\t/v=H$R'++ 4.R + 3l)

Kreivd Z - taiparaboldsb lanl€s

'9".. 2 _,.Y = - 1rI<- h S=nR(2h+a)

lf,t?\i--:f-i V = tJt'zR-! h! So = 2trRh;S=Su*ral

Erdvinis nesukihosi kinas

/--n-\3

Nera paprastos for-mules plotui ilreiKti

a,b,c-elipsoi-do pusaliaiw

59

Oilerio ilkili4j4 brinunaini4 teorema

Viriuniq skaidius + sieriq skaidius = briaunq skaidius + 2

i palyginti su triaiiu elipsoidu; b jei l, yra rutulio lankas, tai apytiksliai teisinga formuld

v =!nh QR, + t\3

Pagrindinis koordinaii4 sistem4 ruiys plokiturnoje

d =,16,, *pirp"",."(e, -qJ

60

KOORDTNACTV SISTEMOS

" stadiakampe koordinadiq sistema; b jei p = 0, tai polinis kampas leapibrditas; " galime

tarti, kad q igyja bet kokias reiksmes iS intervalo (*, +-)

Dekorto sistemos kcitimas i polinQ ir atvirkliiair=pcosqp=JV +v'

y=psingsrnq= l--:-----'L (p>o)

WKTORAIPagrindiniai veiksmai su vektoriais

' paprastojo jungiamumo bendru atveju nebtna; b veiksmas neivykdomas ploKtumoje; vek-

torius, kuris yra daugybos rezultatas, yra statmenas abiems dauginamiesiems

...jei a = 0Jungiamumas: a (b n) = @ .b) n

Skirstomumas: a . ( t + t) = (4. t)++ @.m)

+ b\. v = (a t)+(b.t)PeNtatomumas: n+fi=fr+iJungiamumas: (i + i) + t = t + (t + ri, )'ltikampio nelygyb€: a+ils]a]+ 6l

.,.jeiguiiriyrapriesingieji vektoliai(lygiagretiis, vieno-do ilgio ir pdelingoskrypties)

Perstatomumas: r.ow= w",Skirstomumas suddties atzvilgiu:

uo\v+w)=uav+uowJungiamumas dau$/bos atzvilgiuo:

la v ).w = 4.\vow)

,.. jeigu i arba linuliniai vektoriai ar-ba jie statmeni

Antikomutagvumas:, xfr = -frxiSkirstomumas sudeties ativilgiu:fix(n + fi) = itx, + i.x ie

Jungiamumas daugj/bos atzvilgiu':

\a v )xw = o.\vxw)

... jeigu t arba l7

nuliniai vektoriai ar-ba jie yra lygiagretus

61

Koonlinatds plokJtumoje ir enlvije, velaoriai

a -n\2+(a -n\'-1 -!' \"t -tla-p]-(z-rt"r -r, \"j 'r +(.\- B,)'

I z,+ s, z,+8,,q+a,ll)'r"rl

i = {v ";

v,: v.}

n=18"-A":4-By) i =18,- A,: By- 4: B,- .41

-t = {-v,; - vr} -i = {-v,; -v,|_v,l

A=Iv,+r,,; vr1-wtl fi = {v" +v,; v, + wr; v, + \}

A= |a.v,i o.vtI

a=v,.$t,+vr.w,

it ={v,.,/ ,-r,,tr; vz, wz- v,, w.l

Skaliarini ir velctorind sandauga, kampas tarp vektorh4

t"t=lt].ltl.cosq (Si4 formul9 galime taikyti noredami apibrditi kamp4 tarp vektorirt)

lyxly =ly .lw.$nq

62

TIESES LYGTYS

Skirtingos tiesis lygties iiraiikos

' tieses, einandios per poliq lygtis yla tokiai 9 = p; b sqlygos kaip tiesei, apibrdiiamainormalieia lygtimi

iymijimai ir sqryiiai tarp parametrym = tEd - krypties koeficientas; d - tiesds atstumas nuo koordinadiq pradiios;i = {,4;B} - vektorius, statmenas tiesei; i = {p; 4} - vektorius, lygiagretus tiesei

bAaB

costt =

-

' lJAr +Br

cA

BsmD=-' r.!A' + B'z

,cB

Ax+By+C=0 A +0 atbaBr0

Tiesd, statmena vektoriuii ir einanti per duotatalkq P(xo, /o);C=-(tuto+Byo)

a+Oirb*0

Tiese, atkertanti koordi-nadiq sistemos asyse at-karyas, kurios yra lygiosatitinkamai d ir b

Tiese, sudaranti su aSimiOr kampq, kurio tangen-tas yra lygus m, ir atker-tanti asyje 4 atkarp4 b

ysinp+-rcosp=d

Ties6, nutolusi nuo koor-dinadiq sistemos pra-diios atstumu d ir tokia,kad jos normald kerta asiOx kampu F

x-ro !-!o ^Pq

+0 arbaq+0

Tiesd, lygiagreti vektoriuii ir einanti per duot4taikq P(ro, /o)

Y=Yo+qlo *0 atba

q+0

x-rr = l- lt

\-\. h-lzTiesd einanti per du duo'tus taskusi Pr(xr y) itP,@, Y,)

dc.stq-p) dr0'

Tiesd, kurios ardiausiaspoliui (Zr. p. 60) talkaspolinCje sistemoje. turikoordinates (/, p)'b

. lcl lb

,!A! + B'1 .h+ nlFormulise sin p ir cos B reikia lra3yti ienkl4 prieSing4 Uenklui C.

63

Thikai ir tiesds plokitumoje. Prikhusomybis

, _lnro- yo+bl"--{;F 6= lro cos p +yosinp-dl

Ar4, + Bp2= 0

" tokios israiskos lygtimi negalime apibrditi tiesiq, lygiagrediq aSiai Oy

Parinktosios ties 4 ir ploWtumq lyg$s erdvije

A.x+By+Cz+D=0A+0

arba , t 0arba C+0

Plokstuma, statmena vektodui, kurio ko-ordinates {1, t, C} ir einanti per taskqPltr yr z));D=-Ux.+Bv.+Plokstuma, atkertanti koordinadiq siste-mos alyse atkarpas, kuriq ilgiai 4 b ir c

4x*4y+Ctz+q=0,4\x+Bz!+qz+4=0

rt- xz yt-y, zt- 22

Tiesd, einanti per du skiltingus talkusP,@" f

" z,) tt P,(x? y,, z,\

p+0^rbaq*0arbar+0

Tiesd, lygiagreti vektoriui, kurio koordi-n^tCs {p, q, i ir einanti per duotq taik4P{xr h z)

'plokitumos IyBtis bendrojoje israiskoje ir lieses lygtis parametrinije i(raiSkoje

Lygiagretumo sqlygos

PzhtzJei kuris nors vardiklis yra tulis, tai ir atitinka-mas skaitiklis turi biti nulis

Jei kuris nors vardiklis yra nulis, tai i! atitinka-mas skaitiklis turi btti nulis

Ap+Bq+O=0Sqlyga lygiavertd tai, kuri sako, kad tiesCs kryp-ties vektoriaus ir normaliojo plokstumos vekto-riaus skaliarind sandauga bitq lygi nuliui

o4

PLOKSTUilIOS KRETWT| LYGTYS

Pagrindinds kreivi4 lygiiq ruiys

ISraiSka dazniausiai varto-jama mokykloje

p = n (apskritimas) Plg. tbrrnulcs p. 60, 67

x: + y'1 = R'z (apskritimas)

x = "r, (r)

y = f,(t)

Krcivis taSkU koordinatcspriklauso nuo parrmetro I

Elemenlariosios funkcij4 transJormacijos

!).:i.]/Ori4..lkaia > 0) l

(x) '--' -/(-r)

Postimis (i kairg pcr d vie-,rctq)

ParyzdZiui, periodi-nis funkcijos supcnooo d

Postiin1is (ivirSq pcr d vic'netq)

Ncsikcitia lygticsr = d graflkas

ASin6 simctrija asics 4 at'Zvilgiu

Lyginis funkcijos

Asine simctrija asics O)r at-Zvilgiu

Funkcija )r = 0,

lygticsx = a grafi-kas

Ccntrinc simetrija koordi-nadiq sistemos pradZios at-;vilgiu

Nclygines funkcijos

Sqspndis iSilgai asics O,r sukocficicntu d

Pxstoviosios funk-c{os

lstempis isilgai asies Q sukoeficientu a

Funkcija), = 0, lyg-tics,r = a grafikas A;A A

Dalies grafiko asini simct-rija (kair < 0) asies q, at-Zvilgiu

Lyginirs funkcijos i...r\|.\ nv'.,f v v'Dalies grafiko aiini simet-rija (kai/ < 0) aSies Or at-Zvilgiu

NeneiBiamai apreZ-tos funkcijos,/(') > o

.'-:\

Aiini simctrija aiics y, = aativilgiu

F U NKCIJO S MO N OTO NI S KA M O TYRIMAS

ApibrEZimo sritis - aibe tokiq r,su kuriais lk) apibrizta

Lyginis funkcijos: /(.r) = /(-r); ne-

Gali cgzistuoti, jci apibrezimo sri-tis iki begalybes

Pasvirusioji asimptote egzistuoja,riba a cgzisluoja ir yra baigtinc,

trisi b = lim [/(r) ral

Tokiu bndu galima rasli smailcjimo' ir trtkio taskus

Maksimumas, jci l(x) < 0,minimumrs, jei/"(i) > 0

Rcikia istirti, kokia yra funkcijatuose taskuosc

) > 0 ir mazcja, kai /(-I) < 0

Pcrlinkio tasko aplinkojc /(-!), /(-r)ir /t) turi biti apibrcztos

Funkcija igaubta intervale, kuria-ne /"G) > 0 ir iikila su tais .r, su

kuriais /"(r) < 0

Susikirtimo taSkaisu koordinaiiq sis-temos aSimis

Rcikia patikrinti, ar 0 ir funkcijos) = 0 Saknys priklauso apibreii-

Kiti ypatingi taS-kii, priklausartyskreivcs grafikui

Apskaidiuojanc funkcijos reikinqekstremumll ir pcrlinkio taikuosc,taip pat ribas trikio taSkuosc

" {unkcijoms, kuriq israiska } = /(-r); u tieses, kuriq atstumas ruo krcivis artcja pric nulio,kai krcivi artejr i begalybg; " vienpuscs ribos; d ribos iS kaires ir dc(ines; " paryzdziui,/(r) = lrl smaileja, kaix = 0; I pavyzdZiui, /(x) = lxl/x nira tolydi, kair. = 0

oo

ELIPSE. PARABOLE, IIIPERBOLE

,:-,"/-.

-r\',. vTirakai, kuriq rlstllnlqnLro dvicjq apibroZtqtaSkq (Zidiniq) sumiryrn pustovi (ir lygi 2d)

'lhikiri, lySili nutolgnuo duoto trsko (ziclinio) ir duotos !ic-sis (diroktrisos)

'llikai, kuriq atstumqnuo dviejq taakLl (:idi'riq) skirlumas Yra pistovus (lygus 2d)

),,i'.-'PaaiSkinimai ,b-Dusaics(d,b>U) Parirnrc!f;ls (, > (l) d,ll - Dusaiiai (.r. ir > 0)

({, 0) ir (c, 0), l,' ({, 0) ir (c,0),

2

]= -r; l=- -r

Kclurios: ( d, 0), Gr, 0),(0, -/,)), (0, b)

Vicn-r: UJ Dvi: (-d,0), (d,0)

Simclrijos asys Koordinaaiq sislcnosaays

Asis O.r Koordinrdiq sistcnlosasys

'1'* ll u=r ,1,'-1,:"='0<tr< I E= I €>l

Atskiri. krciviqltvajai ir kitjvaizdavimo.bldai

Apskfitirrrs:

Zidiniai sul.rDrp

jj = /lt'+ Bt + (:(parabolt, kurios si-nclrijos alis lygir-grcti asiiti Oy)

Lygirr!c" hipcrbolc:a=b,t="li:lygtis -rr =t='f

Plotasr S=nd;" rik tuo atvciu, kai Zidiniri yra riyjc (]n; r' kickvicno krcivcs laiko alstunu diroktr ises nuoTidinio sanLykis yra pastovus ir lygus krcivcs cksccnlficite!ui; " dafomc priclaici4, kad laikasprikl.ruso krriver; r e =' ;'clip\q, I.rfilbolg ir hipcrbolg (vicnq Srkit) Salinc Pavrizcluoti

ir polinc.je sistcnojc (zr. p. 60), kurios iir:rrskr p = ,, , ^'l-.^-^,,o - n,',rnetrrr; LclipscsI L I aaosol

ilgio ncgalirDc iircikiti clenrcntari4ja israiSkr, apyliksliai 1- = n[],5kr + b) -JaDl

Antroj o laips,tio lt'gtis

Ax'.+BJl|+Or+rr+Ly+F=l)(kurioje bcnt vienrs skaiaiq,,1,-B afba C yra nclygus nuliui) grli apibrczti apskrilinla, clipsq,pdrabolq, hipcrbolg, taip pal (prvicniu atvcju) tiesiq pofE, licsc, taikE arba hrsii4 aibQ.

Kickvic il iirt fignrlt grlima gauti pcrkirtus kigini p.rvirsilt plokltuma.

IR FUNKCI.IOS

L.r;,J* ru;rc1;a , ;.,-l\ltrisf ='i; + b. Tiiie.,lr,l(janti, kai a >0 ir n1..,r .r < 0; pastovi, kai a-----------;;-

,1i\li'--:fri:_____lll

68

LOGIKA IR WIKSMAI SU AIBEMISLoginio teiginin reikimd1 - teisingas teiginys0 - neteisingas teiginys

Losiniai rriiai

Kai kurie logikos tlisniaiTiedio negalimojo dCsnisDvigubo neigimo ddsnisImplikacijos neigimo desnis

Kontrapozicijos desnisImplikacijos tranzit ryumasElimilavimo taisykld

De Morgano ilisniaiKonjunkcijos neiginys yra neiginiq disjunkcija -(p "

q) e (-p " -q)Disjunkcijos rreiginys yra neiginiq konjunkcija -(p "

q) <+ (-p " -q)

Kvantoriai ir j4 neigimas

Pastaba: taip pat yra kitoks kvantoriq Zymejimas.

Bendrumo kvantorius: n p(t), Egzistavimo kvalto us: Vp(')'

pv-p

-(p-q)<+h^(-s)l(p - q) cr (-q =+ -p)[(p + q) " (q =.+ r)'l =+ @ .+ r)l@+q)xpl+q

Rysiai <, 3, 2, > skaidilt aibe-se, aibiq tarpusavio dalys

1) jei a * b ir aRD, tai netiesa, kad b,Ra

(dalind antisimetrija);2) jei aRb ir bRc, tai aRc (tranzit,.r'umas)

Skaidiq ly$/bes, desiq lygia-gretumas, aibiq galios vieno-dumas, figiq kongruentumas

l) su kiekvienu a teisinga aRd (refleksy-wmas);2) je\ aRb, tai ,Ra (simetriskumas);3) 1ei aRb it bRc, tai dRc (transityvumas)

' !tua14 aRb skaitome ,,4 susietas su b sqryliu R"

Pagrindiniai veiksmai su aibimis

... visi tie elementai, kuriepriklauso ,4 arba , AvQ=A.,. visi tie elementai, kuriepriklauso I ir B aO=Q,.. visi tie elementai, kuriepriklauso ,4 h nepriklauso B

A -A = QA-A=A

.., visi tie elementai, kuriepriklauso O ir nepriklauso I

A^A'=QAwA'= A

... visos sutvarlq/tos poros(4, r), tokios, kad a igyja vi-sas aibCs I elementq reiks-mes, o b i$'ja visas aibds BelementU reiksmes

JeiA+BbeiAirBnetusaios aibes, taiAxB*BxA

Teiginiq ir aibi4 taisykli4 palyginimas

Aibdspoaibis,4cBTeiginiq ekvivalentiskumas p <+ 4

SudCties komutatlvumasAwB=BvA

Disjunkcijos distributlvumas konjunkcijosativilgiul@ ^

q) v rl r+ [(p v r) a (a v r)]

Suddties distributlvumas daug/bos ati:vilgiu(A^B)vC=(AvC)n(auc)

Konjunkcijos distribuq^r'umas disjunkctosativilgiu[@ v q) n r] <+ [(p a r) v (4,,r r)]

Daugybos distributlvumas sudedes atZrilgiu(AwB)^C=(A^C)v(BnC)

De Morgano ddsniai

-(p"det?d"?q)l- (p v q) <1 l(-p) " (-q)l

De Morgano ddsniai(A^)B)'=A'eB'(A\)B)'=A'

^B'

70

KOMBINATORIKAPagrinilinis komb inatorikos fonnulisI3 aibes,4, kulioje yra tam tikii skirtingi elementai, sudaromi junginiai.

" pirmas iS k eleme.ltq pasirodo lrt kartrl, alltras ,, kartrl ir t. t.; sumoje r1r + rl] + ...

TIKIIUTYBIU TEOEUAAksiominis likimybds apibrdi,imas

Elementariqjq irrykiq aibeje (aibd O baigdne) apibrdziama tikimybC, jei kiekvienam ilykiui,4 c O priskiriamas tik vienas skaidius P(,4) (vadinamas i\ykio,4 tikimybe) su tokiomis

savybdmis:1) P(l) > 0;2) kai A n B - nesutaikomdq ilTkir.l pora, tai P(A v B) = P(r4) + P(8)i3)PO=1.

(dia,t < r,)n-ele-menaioji

abc, acb, bac, bca, cab, cba)

{ab, ba, ac, ca, bc, cb}

{ab, ba, ac, ca, bc, cb, aa, bb, cc

{ab, ac, bc}Deriniai be pasikartojim{(k^i k = 2)

{ab, ac, bc, aa, bb, cc}3+2-1.l 4!Deriniai su pasikanojimais(kai & = 2)

{aac, aca, caa}Kelidiai su pasikartojimais(k = 2,n = 3,\= 2,nz= 1)

7tPagrindinds tikimybi4 savybis

Jei O elementariqjrt i\,ykiq aibd, o l ir I ivykiai (,4 c O ir B c O), tai:

P@) = o; P(A) < 1., P(a-4=r-P(A).Jei A c B, t^i P(A) < P(B).

P(4 v B) = P(A) + P(B\ - P(A ^

B).

P(A ^

B) = P(B). P(AIB) = p(.t). p(a?).Jei P(4

^ B, = P(Z) . P(B), tai ivykius,4 ir B vadiname nepriktausomals.

Klasikinis tikintbds apibrdiimas (Laptaso apibrdlimas)

Jei visi elementarieji iwkiai vienodai galimi. tai rurime p(,{) = fr I tia n _ irykiq, palankiqivykiui l, skaidius N - visq ilykirl skaidius.

Sqlygind tikimybdTikirnybd ilykti ivykiui l, jei ivyko ivykis B:

p( A^ B\PA4IB) = "::::

::a e@) > 0)

Pilnoji. ttkimybd- poromis nesutaikomq ivykiq Al Al, ..., B, rokiq, kad jq sumos tikimybdyra lygi 1, o kiekvieno ilykio tikimyb6 > 0r -

pQa) = p(AlB). p(Bt) + p(AlB). p(B?) + ... + p(AlB^). p(B^).

Pagrirulinds atsitiktiniq kintam4j4 funkcijos

' atsitiktiniam djdzi*lgris gati igauri r, reiksmiq (.x,, xr, ...,.r,) su aritinkama rikimybe p,,pr, ..., p^i b DX =',tD'X vadinamas standartiniu nuokryoiu

Parinktiej i tikimy biq pasiskirstymi

p - pasisekimo-tikimybd, 0 < p < 1, 4 - nes6kmds tikimyb6, 4 = 1 _ p.. taip vadinama Bernulio schema; b puasono skirstinio taikymas vietoj binominio daZniau-siai yra patenkinamas, k^i h > 20, p < 0,2

Tikimybe, kad pelt, bandymq k karrqivyks teisingas" ilykis

e(x =*1=a!t"-, Ribind binominio skirstinio iirailka, kain dideli ir pb maii