Eystein RaudeTexas Instruments

1998

1

1

"Matematikk med TI-83 påAF/ØKAD/VKI"

Eksempler som oppfyller målene i"Læreplan for 2MX etter R`94"

Arbeidet bygger på“Matematikk med TI-83” for GK

av samme forfatter.

Mål og hovedmomenter

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

2

2

Mål 3: AlgebraElevene skal kunne løse likninger, likningssystemer og ulikheter grafisk, ved regning om med bruk av IT -teknologi• ikke-lineære likninger og likningssystemer: TI-83 har et meget kraftig verktøy i "MATH 0: Solver...". Dette er gjennomgått i matematikk for

grunnkurset (). et eksempel på en ikke-lineær likning løst med "Solver...": Eksempel 1.

x

x x x x++

+=

2

8

2

32

Gå til MATH 0: Solver...

Her er benyttet tasten ↑ slik at feltet etter “ = “ er tomt. Skriv inn likningen:

Trykk på ENTER (og kan hende ALPHA SOLVE dersom editoren ikke var tom)

x = 2 Likningen kan ha en løsning til. La oss se på grafen til funksjonen

yx

x x x x=

++

+−

2

8

2

32

og finne nullpunktene. Skriv denne inn i “Y=“:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

3

3

ZOOM 6: Zstandard gir

Ved å bruke ZOOM 2: Zoom In og ENTER ved f.eks. x = .426 og y = .323, får vi

Vi bruker [2nd] CALC 2: Zero:

og paser på å flytte markøren riktig ved spørsmålene Left bound? Righte bound? og Guess?:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

4

4

x = 1 Eksempel 2. Ett ikke-lineært likningssystem:

( )x y

x y

− + =− =

1 5

5 7 18

2

Vi må nå skrive om uttrykkene til “ y = “ ved algebraisk omforming. Når du har gjort dette skriver dudisse inn i Y= editoren:

Så løser vi dette grafisk:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

5

5

x=-2 og x=3.3

Ved innsettingsmetoden vil vi få likningen ( )xx− + − − =1

5 18

75 0

2

Denne løser vi ved MATH 0: Solver...

og vi får x = 3.4 eller x = -2 • lineære likningsystemer med fler enn to ukjente

Eksempel 3.

Grafen til f x ax bx c( ) = + +2 går gjennom punktene (1,4),(2,7) og (3,14). Finn a, b og c.

Vi løser dette problemet ved hjelp av MATRX.Innsatt i uttrykket får vi dette likningssystemet:a b c

a b c

a b c

+ + =+ + =+ + =

4

4 2 7

9 3 14

Ved MATRX:

velger vi EDIT 1: [A] ENTER:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

6

6

Vi skriver 3 istedfor ¤ fordi vi har tre rader og 4 kolonner:

Nå skriver vi inn koeffisientene:

og

For å øse likningssystemet trykker inn vi følgende rekke:[2nd] QUIT MATRX MATH B:rref( MATRX 1:

Avslutt med høyreparentes og ENTER:

Gå helt til høyre med markøren og svarene er:

a = 1/2, b = 9/2 og c = -4.

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

7

7

• ulikheter som inneholder rasjonale uttrykk Eksempel 3.

xx

x

x2 6

2

5

2+

−≥

−vi løser denne ulikheten grafisk

ZOOM 6: ZoomStandard gir bildet av grafene:

Så bruker vi [2nd] CALC 5: intersect:

For å finne neste skjeringspunkt bruker vi ZOOM 1: Z Box: og bruker piltastene til å markere et områderundt punktet:

ENTER gir bildet

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

8

8

Nå bruker vi [2nd] CALC 5: intersect og finner:

Det betyr at når x ≤ −2 eller 1≤ x <2 eller x ≥ 3 vil 3.gradsgrafen ha større eller like verdier enn/somhyperbelen.

Vi kunne også ha løst ulikheten

ved å skrive inn i Y=:

og finne ut når grafen til denne differensen ligger over x - aksen:

x x ellerx≤ − ≤ < ≥2 1 2 3, .

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

9

9

• irrasjonale likninger vi løser disse enten1. ved hjelp av Solver... eller2. grafisk

Eksempel 4.

4 3 02− − + =x xVed hjelp av MATH 0: Solver.... får vi:

og

Da − ≤ ≤2 2x har denne likningen ingen løsninger.

Dette ser vi grafisk:

Vi plotter grafen vha ZOOM 6: Zstandard og deretter ZOOM 1: Zbox:

Grafen skjærer ikke x - aksen!

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

10

10

Mål 4: Trigonometriske funksjonerElevene skal kunne regne med trigonometriske funksjoner og kjenne noen av deres mulige anvendelser• kunne cosinussetningen og sinusproporsjonen

Eksempel 1.Vanntilførselen mellom tre byer, A, B og C, skal forbedres.Avstanden fra Avtil B er 24 km. Avstanden fra A til C er 17 km, og ∠BAC = 135°.

En hovedvannledning går mellom byene B og C.

1) Hvor lang er BC?Cosinussetningen gir oss

( ) ( ) ( ) ( )( ) cos( ) cosBC AC AB AC AB BAC2 2 2 2 2 02 24 17 2 24 17 135= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ =

BC er 38 km.

En har planer om å legge en tilførselsledning fra BC til A.2) Regn ut den korteste avstanden fra BC til A.En rett linje fra A normalt på BC vil ha den korteste avstanden.Kaller vi skjeringspunktet for D, vil vi kalle BD for x. To rettvinklete trekanter ACD og ABD gir da

( ) ( )17 24 382 2 2 2− + − =x xVi løser likningen:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

11

11

AD er 7.6 km lang.

• kunne finne argumentet når verdien til trigonometriske funksjoner er gitt

Det er viktig å skille mellom vinkler gitt i grader og radianer.I MODE finner vi disse alternativene:

La oss si at tangens til en vinkel er 7.5. Vi finner dens vinkel ved å bruke [2nd] tan−1

ENTER gir

Mål 5: Rekker og logaritmer

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

12

12

Elevene skal være fortrolige med aritmetiske og geometriske rekker, kunne [ ] løse praktiske oppgaver.Elevene skal [ ] kjenne noen enkle anvendelser av logaritmene.• summere endelige aritmetiske og geometriske rekker Eksempel 1. Regn ut summen av de ti første positive hele tall. Vi skal benytte summefunksjonen [2nd] LIST MATH 5: sum ( og [2nd] LIST OPS 5: seq ( Vi skal altså summere en tallfølge. Da det er snakk om hele, positive tall, vil uttrykket for tallfølgen

være seq ( X,X,0,10,1 ); dette betyr at vi danner en tallfølge med uttrykket X, at den variable er X og at vi

setter inn tall fra 0 til 10, med en økning på 1:

Dette skal summeres

Her kunne vi bruke formelen for summen av en aritmetisk rekke. Da blir det en ren innsettingsoppgave. Det samme kan sies om geometriske rekker. Eksempel 2. Avdragene på et lån skal reguleres hvert år. Det første året er avdraget 5000 kroner. Deretter skal det

årlige avdraget økes med 4 % hvert år. Lånet er tilbakebetalt etter 10 år. Hvor stort var lånet?

Avdrag nr. x er 5000 104⋅ . x . [ ]x ∈ 0 9, Vi skal summere [2nd] LIST MATH 5: sum( ENTER

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

13

13

og deretter skriver vi inn [2nd] LIST OPS 5: seq( ENTER:

Nå skrver vi inn uttrykket for tallfølgen og trykker ENTER får vi lånet:

60 000 kroner. Vi kunne også ha skrevet

Her har vi lagret tallfølgen i L1. Vi summerer så leddene, en geometrisk rekke, og får

ENTER gir

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

14

14

Et annet problem knyttet til rekker: Eksempel 3. Kari drikker 15 liter brus per uke. Hun bestemmer seg for å redusere forbruket gradvis, med 25% per

uke. 1) Hvor mange uker vil det ta før forbruket er nede i 2 liter per uke? Vi skriver forbruket som en funksjon, Y=

Vi løser nå likningen y1 2= ved MATH 0: Solver...

Vi skriver likningen ved hjelp av VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1

ENTER og ALPHA SOLVE gir:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

15

15

Svaret er 7 uker. 2) Hvor mange liter har hun drukket i løpet av denne tiden? Vi gjør som i forrige eksempel:

Hun drakk 54 liter. • kunne [ ] finne summen av uendelige geometriske rekker

Eksempel 4.

La oss finne summen av rekka 1

2

1

4

1

8+ + + ⋅ ⋅ ⋅

Vi kan la TI-83 regne ut for de 100 første ledd og da se hvordan det går:

I følge teorien skal summen være

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

16

16

Til slutt et mer matematisk problem:

Eksempel 5.

Finn x slik at rekken xx x+ + + ⋅ ⋅ ⋅

2 3

2 4 konvergerer.

Vi ser at kx=2

. Da skal vi løse ulikheten − < <1 1k . Vi tegner grafen til k og linjene - 1 og 1:

Ved hjelp av [2nd] CALC 5: intersect får vi at løsningen blir:

og

Løsningen er - 2 < x < 2

Vi skal så finne x slik at summen blir 1. Vi lar TI-83 løse likningen, ved hjelp av MATH 0: Solver.......:

Vi får da

Løsningen er x = 2/3.

Ekempel 6.

Samme spørsmål, men summen skal være - 3.Nå lar vi TI-83 tegne grafen for summeformelen og linja - 3:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

17

17

Likningen har ingen løsning!

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

18

18

Mål 6: Grenser og deriverteElevene skal kunne [ ] utnytte kunnskapen til å løse praktiske problemer• bruke grafiske, regnetekniske og eksperimentelle verktøy basert på IT i funksjonslæren

Ekempel 1.

Funksjonen f er gitt ved

f xx

x( ) = +

+1

32.

(i) Undersøk om grafen til f har en horisontal tangent for x = 1.

Skriv inn funksjonen i Y=:

Trykk på ZOOM 0: ZoomFit og deretter TRACE, for å se verdier:

For å svare på spørsmålet skriver vi MATH 8: nDerive( VARS Y - VARS 1: Function 1: Y2:

GRAPH gir:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

19

19

Den deriverte er 0 når x = 1, og den skifter fortegn der. I tillegg er grafen til f kontinuerlig i x = 1.Svaret er ja!

( ii) Finn likningen for tangenten i x = 2. Sett TI-83 i [2nd] FORMAT ExprOn

Vis grafen:

Trykk på [2nd] DRAW 5: Tangent (

Skriv inn 2 og trykk ENTER:

Tangentlikningen er y x= − +0102 0 633. . .

Ekempel 2.

Undersøk om

limx

xx

2 1

11

−+

→ − eksisterer.

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

20

20

Skriv inn f i Y=:

I [2nd] TBLSET skriver vi

Når vi nå undersøker i [2nd] TABLE, ser vi hvordan forløpet er når vi passerer x = -1, og vi kan svare påspørsmålet:

Eksempel 3.

Vi skjærer ut en sektor av en sirkelformet plate med radius 1. Vi kan da lage to kjegler, med volumene hhv

V x x x og

U x x x

( )

( ) ( ) ( )

= −

= − − −

π

π3

1

31 1 1

2 2

2 2

( i ) Tegn grafen til V, la 1 cm på hver av aksene svare til 0.1 enheter.Bruk grafen til å bestemme den verdien på x som gir størst volum, og bestem dette volumet.

Skriv inn funksjonsuttrykket for V i Y= og tegn grafen:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

21

21

Vi bruker nå [2nd] CALC 4: maximum, flytter markøren, og besvarer spørsmålene:

Koordinatene er ( 0.82, 0.40 ).

Vi kunne også ha brukt MATH 7: fMax ( VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1:

, men da uten å få vite x - verdien!

( ii ) Vi ønsker at summen av volumene skal bli så stort som mulig. Bruk grafisk lommeregner til åbestemme den største verdien av summen V(x) + U(x).

GRAPH ZOOM 0: ZoomFit gir:

Ved hjelp av [2nd] CALC 4: maximum får vi

, ( 0.57, 0.92).

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

22

22

Eksempel 4.

Vi skal studere en modell for hvordan en dyrestamme vokser og stabiliserer seg. Hvis dyrestammen bestårav A dyr ved tiden t = 0, vil den ifølge modellen bestå av

f tA

A

t

t( )

( )

.

.= ⋅ ⋅

+ ⋅ −1000 10

1000 10 1

0 05

0 05

etter t år.a) Hvor mange dyr består stammen av etter 20 år og etter 40 år når A = 200?Vi lagrer verdiene for t i en liste, L1:

ved hjelp av { 20, 40 } STO→ [2nd] L1.

Uttrykket for f ( t ) skriver vi deretter inn:

Vi ser at tallene er ca.714 og 960.

b) Tegn grafen til f for [ ]t ∈ 0 100, . Kontrpller for svarene i a). Bruk fortsatt A = 200. Hvor lang tid tar det

før stammen er 500 dyr?Skriv uttrykket for f inn i Y=:

. Velg verdier i WINDOW:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

23

23

GRAPH gir nå:

Vi setter inn verdiene 20 år og 40 år ved hjelp av [2nd] CALC 1: value:

og

Vi løser likningen f t( ) = 500 ved hjelp av MATH 0: Solver... og VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1:

ENTER og ALPHA SOLVE gir:

Dette spørsmålet kunne også øses grafisk:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

24

24

Her bruker vi Y2 = 500, [2nd] CALC 5: intersect.

c) Tegn grafen for noen andre verdier på A.. Oppdager du noen lovmessighet?Kan du vise at denne lovmessigheten gjelder uansett hvilken verdi A>0 du velger?Vi erstatter nå A = 200 i uttrykket for Y1 med L1, og skriver inn en liste L1 med ulike verdier:

og . GRAPH gir:

. Alle grafene har samme grenseverdi:

,dvs. 1000 dyr.

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

25

25

Mål 7: Kombinatorikk og sannsynlighetsregningElevene skal• kunne regne med fakulteter og binomialkoeffisienter• kunne bruke sannsynlighetsregningens addisjons- og produktsetning• kunne behandle ordnede utvalg med og uten tilbakelegging, uordnede utvalg uten tilbakelegging,

og kunne bruke dette til å beregne sannsynligheter• skaffe seg innsikt i tilfeldige fenomener gjennom eksperimenter og simulering• [ ] kunne løse enkle praktiske problemer ved hjelp av sannsynlighetsregning

TI-83 er et fint redskap på dette feltet.

De aktuelle funksjoner finner vi i MATH PRB:

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

26

26

Eksempel 1.

I en tilbudskurv er det 15 umerkede musikkassetter, 9 av disse inneholder klassisk musikk, mensresten inneholder hard rock.

En elev plukker ut to kassetter.

Hva er sannsynligheten for at eleven får en av hver type?

Antall mulige måter å trekke ut to kassetter av 15 er gitt ved nCr:15 → MATH → PRB 3: nCr 2 ENTER:

Antall gunstige måter å trekke 1 av 9 kassetter med klassisk musikk og 1 av 6 kassetter med hardrock er gitt ved:

Sannsynligheten er da 54

1050 514= .

Eksempel 2.

Et håndballag med 7 jenter diskuterer i hvilken rekkefølge de skal løpe ut på banen før en kamp.De blir eninge om å skifte rekkefølge for hver kamp. På hvor mang ulike måter kan de stille opp?

Slå inn 7→MATH→PRB 4: ! ENTER

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

27

27

måter.

Simulering.

Eksempeler.

(i) La oss først bruke «tilfeldighetsgeneratoren» MATH PRB 1: rand.Den gir oss på en slumpmessig måte tall i intervallet <0,1>:

osv.

Dersom vi ønsker tall i intervallet <1,2> skriver vi: MATH PRB 1: rand + 1 :

Dette gir da: osv.

La oss si vi ønsker hele tall mellom 0 og 8. Da må vi bruke MATH NUM 5: int ( og deretter MATHPRB 1: rand, slik:

osv.

(ii) La oss nå kaste en terning. Da kan vi benytte MATH PRB 5: randInt (

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

28

28

Vi skriver inn at vi velger hele tall mellom 1 og 6, og at vi vil kaste 24 ganger. Resultatetlegger vi inn i L1, vha. STO →:

. ENTER gir: .

Vi kan se resultatet også i STAT Edit 1:

.

(iii) Vi kan trekke en «lottorekke»:

og resten:

Kanskje rekka 16, 1, 34, 29, 18, 32 og 9 har lykken i seg?Vi skriver tallene i stigende rekkefølge: først legger vi resultatet inn i L1.Deretter bruker vi STAT 2: SortA ( [2nd] L1):

Eystein RaudeTexas Instruments

1998

29

29

. Vi ser på resultatet i L1: