Matematikai Statisztika (Tómács Tibor)

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematikai statisztika

Tmcs Tibor

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematikai statisztika Tmcs Tibor

Publication date 2011 Szerzi jog 2011 Hallgati Informcis Kzpont

Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgati Informcis Kzpont

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

Elsz ................................................................................................................................................. v Jellsek ............................................................................................................................................ vi

1. ltalnos .............................................................................................................................. vi 2. Valsznsgszmts .......................................................................................................... vi 3. Matematikai statisztika ........................................................................................................ vii

1. Valsznsgszmts ..................................................................................................................... 1 1. Valsznsgi mez .............................................................................................................. 1

1.1. Vletlen esemny ...................................................................................................... 1 1.2. Valsznsg ............................................................................................................. 1

2. Valsznsgi vltoz ........................................................................................................... 3 3. Eloszls- s srsgfggvny ................................................................................................ 3 4. Vrhat rtk, szrsngyzet ................................................................................................. 4 5. Valsznsgi vektorvltozk ............................................................................................... 5 6. Feltteles vrhat rtk ......................................................................................................... 6 7. Fggetlen valsznsgi vltozk ......................................................................................... 7 8. Kovariancia s korrelcis egytthat .................................................................................. 8 9. Nevezetes eloszlsok ............................................................................................................. 9

9.1. Diszkrt egyenletes eloszls ..................................................................................... 9 9.2. Karakterisztikus eloszls .......................................................................................... 9 9.3. Binomilis eloszls ................................................................................................... 9 9.4. Poisson-eloszls ...................................................................................................... 10 9.5. Egyenletes eloszls ................................................................................................. 10 9.6. Exponencilis eloszls ............................................................................................ 11 9.7. Gamma-eloszls ...................................................................................................... 12 9.8. Normlis eloszls .................................................................................................... 13 9.9. Tbbdimenzis normlis eloszls ........................................................................... 15 9.10. Khi-ngyzet eloszls ............................................................................................. 16 9.11. t-eloszls ............................................................................................................... 17 9.12. Cauchy-eloszls .................................................................................................... 18 9.13. F-eloszls .............................................................................................................. 18

10. Nagy szmok trvnyei ..................................................................................................... 20 11. Centrlis hatreloszlsi ttel .............................................................................................. 22

2. A matematikai statisztika alapfogalmai ........................................................................................ 25 1. Minta s mintarealizci ..................................................................................................... 25 2. Tapasztalati eloszlsfggvny ............................................................................................. 26 3. Tapasztalati eloszls, srsghisztogram ............................................................................ 31 4. Statisztikk .......................................................................................................................... 33

3. Pontbecslsek ................................................................................................................................ 37 1. A pontbecsls feladata s jellemzi .................................................................................... 37

1.1. Vrhat rtk becslse ............................................................................................ 39 1.2. Valsznsg becslse ............................................................................................ 41 1.3. Szrsngyzet becslse ........................................................................................... 43

2. Informcis hatr ................................................................................................................ 44 3. Pontbecslsi mdszerek ...................................................................................................... 50

3.1. Momentumok mdszere ......................................................................................... 50 3.2. Maximum likelihood becsls .................................................................................. 52

4. Intervallumbecslsek .................................................................................................................... 56 1. Az intervallumbecsls feladata ............................................................................................ 56 2. Konfidenciaintervallum a normlis eloszls paramtereire ................................................. 56 3. Konfidenciaintervallum az exponencilis eloszls paramterre ........................................ 61 4. Konfidenciaintervallum valsznsgre .............................................................................. 62 5. ltalnos mdszer konfidenciaintervallum ksztsre ...................................................... 63

5. Hipotzisvizsglatok ..................................................................................................................... 65 1. A hipotzisvizsglat feladata s jellemzi ........................................................................... 65

1.1. Null- illetve ellenhipotzis ...................................................................................... 65 1.2. Statisztikai prba terjedelme s torztatlansga ...................................................... 65

Matematikai statisztika

iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1.3. Prbastatisztika ....................................................................................................... 66 1.4. A statisztikai prba menete ..................................................................................... 66 1.5. A nullhipotzis s az ellenhipotzis megvlasztsa ................................................ 66 1.6. A prba erfggvnye s konzisztencija .............................................................. 67

2. Paramteres hipotzisvizsglatok ........................................................................................ 67 2.1. Egymints u-prba .................................................................................................. 67 2.2. Ktmints u-prba .................................................................................................. 71 2.3. Egymints t-prba ................................................................................................... 72 2.4. Ktmints t-prba, Scheff-mdszer ...................................................................... 73 2.5. F-prba ................................................................................................................... 76 2.6. Khi-ngyzet prba normlis eloszls szrsra ...................................................... 78 2.7. Statisztikai prba exponencilis eloszls paramterre .......................................... 79 2.8. Statisztikai prba valsznsgre ............................................................................ 81

3. Nemparamteres hipotzisvizsglatok ................................................................................ 84 3.1. Tiszta illeszkedsvizsglat ...................................................................................... 84 3.2. Becslses illeszkedsvizsglat ................................................................................ 85 3.3. Fggetlensgvizsglat ............................................................................................. 85 3.4. Homogenitsvizsglat ............................................................................................. 87 3.5. Ktmints eljelprba ............................................................................................. 87 3.6. Kolmogorov Szmirnov-fle ktmints prba ....................................................... 88 3.7. Kolmogorov Szmirnov-fle egymints prba ...................................................... 89

6. Regressziszmts ....................................................................................................................... 91 1. Regresszis grbe s regresszis fellet ............................................................................. 91 2. Lineris regresszi .............................................................................................................. 92 3. A lineris regresszi egytthatinak becslse ..................................................................... 94 4. Nemlineris regresszi ........................................................................................................ 97

4.1. Polinomos regresszi .............................................................................................. 97 4.2. Hatvnykitevs regresszi ...................................................................................... 97 4.3. Exponencilis regresszi ........................................................................................ 98 4.4. Logaritmikus regresszi .......................................................................................... 98 4.5. Hiperbolikus regresszi .......................................................................................... 99

Irodalomjegyzk ................................................................................................................................. c

v Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Elsz Ez a tananyag az egri Eszterhzy Kroly Fiskola matematikai statisztika eladsaibl kszlt, melyet elssorban matematika tanr szakos s programtervez informatikus hallgatknak sznunk.

Az sszelltsnl alapvet szempontknt szerepelt a kevesebb tbb elve. Ez azt jelenti, hogy nem volt cl a matematikai statisztika sszes fontos gnak ismertetse, ehelyett arra trekedtnk, hogy a taglalt tmakrk trghatak legyenek az egy flves kurzus alatt.

Tbb helyen emltnk mrtkelmleti fogalmakat, felttelezvn, hogy az Olvas ezeket mr ismeri.

A Valsznsgszmts cm fejezet nem kerl ismertetsre a kurzus idejn. A clja azoknak a fontos fogalmaknak az sszefoglalsa, melyekre szksgnk lesz a matematikai statisztika megrtshez. Ennek tismtlst az Olvasra bzzuk. Ezen fejezet msik clja, hogy a valsznsgszmts s a matematikai statisztika szhasznlatt s jellseit sszehangoljuk. A jellseket kln is sszegyjtttk.

A szksges defincikon, tteleken s bizonytsokon tl, elmleti szmtsokat ignyl feladatokat is megoldunk. Ezek gyakorlatilag olyan ttelek, amelyeknek a bizonytsn rdemes nllan is gondolkodni, mieltt a megoldst elolvasnnk.

Ehhez a tananyaghoz kapcsoldik Tmcs T. [17] jegyzete, amely a gyakorlati rk tmit dolgozza fel. Itt szmtgppel megoldhat gyakorlatokat tallunk. Ezt a szles krben elterjedt Microsoft Office Excel 2007 program magyar nyelv vltozatval vgezzk. A statisztikban szoksos tblzatokat nem mellkeljk, mert az ezekben tallhat rtkeket a gyakorlaton szintn Excel segtsgvel fogjuk kiszmolni.

vi Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Jellsek

1. ltalnos

a pozitv egsz szmok halmaza

a vals szmok halmaza

-nek nmagval vett -szeres Descartes-szorzata

a pozitv vals szmok halmaza

rendezett elempr vagy nylt intervallum

kzeltleg egyenl

az vals szm egsz rsze

az fggvny inverze

az fggvny -beli jobb oldali hatrrtke

az mtrix transzponltja

az mtrix inverze

az mtrix determinnsa

2. Valsznsgszmts

valsznsgi mez

az esemny valsznsge

vrhat rtke

feltteles vrhat rtk

feltteles vrhat rtk

szrsa illetve szrsngyzete

kovariancia

korrelcis egytthat

a standard normlis eloszls srsgfggvnye

a standard normlis eloszls eloszlsfggvnye

Gamma-fggvny

az esemny indiktorvltozja

az -edrend paramter binomilis eloszls valsznsgi vltozk halmaza

a paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltozk halmaza

Jellsek

vii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

az vrhat rtk s szrs normlis eloszls valsznsgi vltozk halmaza

az s paramter -dimenzis normlis eloszls valsznsgi vltozk halmaza

az -edrend paramter gamma-eloszls valsznsgi vltozk halmaza

az szabadsgi fok khi-ngyzet eloszls valsznsgi vltozk halmaza

az szabadsgi fok t-eloszls valsznsgi vltozk halmaza

az s szabadsgi fok F-eloszls valsznsgi vltozk halmaza

Ha valsznsgi vltoz, s a -vel azonos eloszls valsznsgi vltozk halmaza, akkor ez azt jelli, hogy a -beli valsznsgi vltozk kzs eloszlsfggvnye. Pldul

.

3. Matematikai statisztika

statisztikai mez

tapasztalati eloszlsfggvny

a -re vonatkoz minta tlaga (mintatlag)

tapasztalati szrs illetve szrsngyzet

-re vonatkoz tapasztalati szrs illetve szrsngyzet

korriglt tapasztalati szrs illetve szrsngyzet

-re vonatkoz korriglt tapasztalati szrs illetve szrsngyzet

rendezett minta

tapasztalati kovariancia

tapasztalati korrelcis egytthat

paramtertr

a paramterhez tartoz valsznsg

a paramterhez tartoz vrhat rtk

a paramterhez tartoz szrs illetve szrsngyzet

a paramterhez tartoz srsg- illetve eloszlsfggvny

Fisher-fle informcimennyisg

likelihood fggvny

loglikelihood fggvny

a paramter becslse

nullhipotzis, ellenhipotzis

illetve esetn lehetsges valsznsgek halmaza

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet - Valsznsgszmts Ennek a fejezetnek a clja, hogy tismteljk a valsznsgszmts azon fogalmait s jellseit, amelyek szksgesek a matematikai statisztikhoz. Az itt kimondott lltsokat s tteleket nem bizonytjuk, felttelezzk, hogy ezek mr ismertek a korbban tanultak alapjn.

1. Valsznsgi mez

1.1. Vletlen esemny

Egy vletlen kimenetel ksrlet matematikai modellezsekor azt tekintjk esemnynek, amelyrl egyrtelmen eldnthet a ksrlet elvgzse utn, hogy bekvetkezett-e vagy sem. gy az, hogy egy esemny bekvetkezett, logikai tlet. Ebbl a logika s a halmazelmlet ismert kapcsolata alapjn az esemnyeket halmazokkal modellezhetjk.

Ha egy ksrletben az s halmazok esemnyeket modelleznek, akkor az bekvetkezse azt jelenti, hogy s kzl legalbb az egyik bekvetkezik. Errl egyrtelmen eldnthet a ksrlet elvgzse utn, hogy bekvetkezett-e, ezrt ez is esemnyt modellez. Msrszt, ha esemny, akkor az ellenkezje is az.

Jelljk ezt -val. Az biztosan bekvetkezik, ezrt ezt biztos esemnynek nevezzk s -val jelljk. Ebbl lthat, hogy az -nak -ra vonatkoz komplementere, tovbb minden esemny az egy rszhalmaza. Az adott ksrletre vonatkoz esemnyek rendszert jelljk -fel, mely teht az hatvnyhalmaznak egy rszhalmaza.

Ahhoz, hogy az esemnyeket megfelelen tudjuk modellezni, nem elg vges sok esemny unijrl felttelezni, hogy az is esemny. Megszmllhatan vgtelen sok esemny unijnak is esemnynek kell lennie. Teht a kvetkez defincit mondhatjuk ki:

1.1. Definci. Legyen egy nem res halmaz s rszhalmaza az hatvnyhalmaznak. Tegyk fel, hogy teljeslnek a kvetkezk:

(1) ;

(2) Ha , akkor , ahol ;

(3) Ha , akkor .

Ekkor -fet -algebrnak, elemeit esemnyeknek, illetve -t biztos esemnynek nevezzk. A

mrtkelmletben az rendezett prost mrhet trnek nevezzk. Ha s , akkor azt mondjuk, hogy teljesl az -n.

1.2. Valsznsg

A modellalkots kvetkez lpshez szksg van egy tapasztalati trvnyre az esemnyekkel kapcsolatosan, melyet Jacob Bernoulli (16541705) svjci matematikus publiklt. Egy dobkockt dobott fel tbbszr egymsutn. A hatos dobsok szmnak s az sszes dobsok szmnak arnyt, azaz a hatos dobs relatv gyakorisgt brzolta a dobsok szmnak fggvnyben:

Valsznsgszmts


Bernoulli azt tapasztalta, hogy a hatos dobs relatv gyakorisga a dobsok szmnak nvelsvel egyre kisebb

mrtkben ingadozik krl. Ms vletlen kimenetel ksrlet esemnyeire is hasonl a tapasztalat, azaz a ksrletek szmnak nvelsvel a figyelt esemny bekvetkezsnek relatv gyakorisga egyre kisebb mrtkben ingadozik egy konstans krl. Ezt a konstanst a figyelt esemny valsznsgnek fogjuk nevezni.

A tovbbiakban jellje az esemny bekvetkezsnek valsznsgt. Knnyen lthat, hogy

minden esetben, a biztos esemny valsznsge 1, illetve egyszerre be nem kvetkez esemnyek unijnak valsznsge az esemnyek valsznsgeinek sszege.

Mindezeket a kvetkez definciban foglaljuk ssze:

1.2. Definci. Legyen mrhet tr s olyan fggvny, melyre teljeslnek a kvetkezk:

(1) ;

(2) , ha pronknt diszjunktak.

Ekkor a fggvnyt valsznsgnek, a szmot az esemny valsznsgnek, illetve

az rendezett hrmast valsznsgi meznek nevezzk. Ha egy esetn

teljesl, akkor azt mondjuk, hogy majdnem biztosan teljesl.

Ha valsznsgi mez, akkor belthat, hogy , gy mrtkelmleti rtelemben a valsznsgi mez vges mrtktr.

A valsznsgi mez teht egy vletlen kimenetel ksrletet modellez. De a matematikai statisztikban egy ilyen ksrletet tbbszr is el kell vgezni egymstl fggetlenl. Ezen fggetlen ksrleteket egyetlen valsznsgi mezben le tudjuk rni az albbiak szerint.

1.3. Definci. Legyen az valsznsgi mez,

a legszkebb -algebra, mely tartalmazza az

halmazt, tovbb legyen olyan valsznsg, melyre minden

esetn

teljesl. (Ilyen valsznsg a Caratheodory-fle kiterjesztsi ttel miatt egyrtelmen ltezik.)

Ekkor az -t fggetlen ksrletek valsznsgi mezjnek nevezzk.

Teht az ksrlet -szeri fggetlen elvgzst modellezi.

Valsznsgszmts


2. Valsznsgi vltoz

Egy esemnyt a gyakorlatban legtbbszr a kvetkezkppen szoktunk megadni: Egy fggvnnyel az minden elemhez hozzrendelnk egy vals szmot, majd megadunk egy intervallumot. Tekintsk az azon elemeit, melyekhez ez a fggvny -beli rtket rendel. Az ilyen elemekbl ll halmaz jelentse a vizsgland esemnyt. Ehhez viszont az kell, hogy ez a halmaz valban esemny legyen. Az olyan fggvnyt, mely minden intervallumbl esemnyt szrmaztat az elbbi mdon, valsznsgi vltoznak nevezzk.

Bizonythat, hogy elg csak az alak intervallumok esetn felttelezni, hogy az elbb megadott halmaz eleme -nek, ebbl mr kvetkezik minden ms intervallum esetn is. sszefoglalva, kimondhatjuk teht a kvetkez defincit:

1.4. Definci. Legyen mrhet tr s olyan fggvny, melyre teljesl,

hogy minden esetn. Ekkor a fggvnyt valsznsgi vltoznak nevezzk.

A tovbbiakban az halmazt a mrtkelmletbl megszokottak szerint vagy

rvidebben mdon fogjuk jellni. Az ilyen alak halmazokat nvhalmazainak is szoks nevezni. Hasonl jellst alkalmazunk helyett ms relcik esetn is. A valsznsgi vltoz ekvivalens a mrtkelmletbeli mrhet fggvny fogalmval.

3. Eloszls- s srsgfggvny

A valsznsgi vltoz jellemzsre ltalnos esetben jl hasznlhat az gynevezett eloszlsfggvny:

1.5. Definci. Legyen valsznsgi mez s egy valsznsgi

vltoz. Ekkor a eloszlsfggvnye

1.6. Ttel. Legyen egy tetszleges valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye. Ekkor teljeslnek a kvetkezk:

(a) monoton nvekv;

(b) minden pontban balrl folytonos;

(c) ;

(d) .

1.7. Ttel. Ha egy tetszleges fggvnyre teljeslnek az (a)(d) tulajdonsgok, akkor ltezik olyan valsznsgi vltoz, melynek az eloszlsfggvnye.

Ezen kt ttel alapjn jogos a kvetkez elnevezs:

1.8. Definci. Az fggvnyt eloszlsfggvnynek nevezzk, ha teljeslnek r az (a)(d) tulajdonsgok.

1.9. Ttel. Ha a valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye, akkor teljeslnek a kvetkezk:

(1) minden esetn;

(2) minden esetn;

(3) pontosan akkor, ha az pontban folytonos.

Valsznsgszmts


Ha diszkrt valsznsgi vltoz, azaz ha ( rtkkszlete) megszmllhat, akkor az elz ttel (2) pontja

alapjn a eloszlsfggvnye egyrtelmen meghatrozott a rtkekkel. A

hozzrendelst eloszlsnak nevezzk.

Az eloszls elnevezs ms jelentsben is elfordul: Kt tetszleges (nem felttlenl diszkrt) valsznsgi vltozt azonos eloszlsnak nevezzk, ha az eloszlsfggvnyeik megegyeznek.

Gyakorlati szempontbl a diszkrt valsznsgi vltozk mellett az gynevezett abszolt folytonos valsznsgi vltozk osztlya is nagyon fontos.

1.10. Definci. A valsznsgi vltozt abszolt folytonosnak nevezzk, ha ltezik olyan

fggvny, melyre

teljesl minden esetn, ahol a eloszlsfggvnye. Ekkor -fet a srsgfggvnynek nevezzk.

1.11. Ttel. Ha a abszolt folytonos valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye s

srsgfggvnye , akkor folytonos (kvetkezskppen ) s

Lebesgue-mrtk szerint majdnem mindentt differencilhat nevezetesen, ahol folytonos

, tovbb a differencilhat pontokban .

1.12. Ttel. Ha a abszolt folytonos valsznsgi vltoz srsgfggvnye , akkor

(1) minden esetn;

(2) .

1.13. Ttel. Ha s , akkor van olyan abszolt folytonos

valsznsgi vltoz, melynek a srsgfggvnye.

Ezen kt ttel alapjn jogos a kvetkez elnevezs:

1.14. Definci. Az fggvnyt srsgfggvnynek nevezzk, ha

.

4. Vrhat rtk, szrsngyzet

A valsznsgi vltozk fontos paramtere a valsznsg szerinti integrlja.

1.15. Definci. Legyen valsznsgi mez s egy valsznsgi

vltoz. Ha az integrl ltezik akkor azt mdon jelljk, s vrhat rtknek

nevezzk. Ha ez az integrl nem ltezik, akkor azt mondjuk, hogy -nek nem ltezik vrhat rtke.

Ha kt valsznsgi vltoz eloszlsa megegyezik, s valamelyiknek ltezik a vrhat rtke, akkor a msiknak is ltezik, tovbb a kt vrhat rtk megegyezik. Teht a vrhat rtk valjban az eloszlsfggvnytl fgg.

A vrhat rtk elbbi rtelmezse szerint lehet illetve is. Ha a valsznsgszmtst mrtkelmleti alapok nlkl trgyaljk, akkor ltalban felttelezik a vrhat rtk vgessgt, s csak diszkrt illetve abszolt folytonos eseteket trgyaljk. A kvetkez ttel rvilgt a vrhat rtk gyakorlati jelentsgre.

1.16. Ttel. Ha a valsznsgi vltoz rtkkszlete , akkor

.

Valsznsgszmts


Teht a vrhat rtk a lehetsges rtkeinek az eloszls szerinti slyozott tlagt jelenti. A ksbbiekben trgyalt Kolmogorov-fle nagy szmok ers trvnye mutatja, hogy bizonyos felttelekkel egy

ksrletsorozatban egy valsznsgi vltoz rtkeinek szmtani kzepe vrhatan (pontosabban 1

valsznsggel) -hez konvergl.

1.17. Ttel. Legyen a valsznsgi vltoz rtkkszlete. -nek pontosan akkor vges a vrhat rtke, ha

tovbb ekkor

1.18. Ttel. Legyen abszolt folytonos valsznsgi vltoz, melynek a

srsgfggvnye. A -nek pontosan akkor vges a vrhat rtke, ha

tovbb ekkor

1.19. Ttel. Ha -nek ltezik vrhat rtke s majdnem biztosan teljesl, akkor -nak

is ltezik a vrhat rtke, tovbb megegyezik a vrhat rtkvel.

1.20. Ttel. Ha s vges vrhat rtkkel rendelkez valsznsgi vltozk, akkor

( ) is az, tovbb

1.21. Ttel (Jensen-egyenltlensg). Ha nylt intervallum, olyan

valsznsgi vltoz, melyre teljesl, tovbb Borel-mrhet konvex fggvny, akkor

A valsznsgi vltoz rtkeinek ingadozst az tlag pontosabban a vrhat rtk krl, az gynevezett szrsngyzettel jellemezzk, amely nem ms, mint az tlagtl val ngyzetes eltrs tlaga.

1.22. Definci. A valsznsgi vltoz szrsngyzete illetve szrsa

feltve, hogy ezek a vrhat rtkek lteznek.

1.23. Ttel. Ha -nek ltezik a szrsngyzete, akkor

(1) ;

(2) , ahol .

5. Valsznsgi vektorvltozk

Valsznsgszmts


1.24. Definci. Legyenek tetszleges valsznsgi vltozk. Ekkor a

rendezett elem -est ( -dimenzis) valsznsgi vektorvltoznak nevezzk.

1.25. Definci. A valsznsgi vektorvltoz eloszlsfggvnye

abszolt folytonos, ha ltezik olyan fggvny, melyre

teljesl minden esetn. Ekkor -fet a srsgfggvnynek nevezzk.

1.26. Ttel. Ha a abszolt folytonos valsznsgi vektorvltoz

srsgfggvnye , s Borel-mrhet fggvny, akkor

olyan rtelemben, hogy a kt oldal egyszerre ltezik vagy nem ltezik, s ha ltezik, akkor egyenlek.

6. Feltteles vrhat rtk

A feltteles vrhat rtket az egyszersg kedvrt csak kt specilis esetben definiljuk. Az ltalnos defincit lsd pldul Mogyordi J., Somogyi . [11].

1.27. Definci. Legyenek az diszkrt valsznsgi vltozk rtkkszletei

rendre , tegyk fel, hogy vges, tovbb legyen

Ekkor a valsznsgi vltozt -nak -ra vonatkoz feltteles

vrhat rtknek nevezzk, s mdon jelljk. A

rtket mdon jelljk.

1.28. Definci. Legyen az abszolt folytonos valsznsgi vektorvltoz

srsgfggvnye , a srsgfggvnye , tegyk fel, hogy vges, tovbb legyen

Ekkor a valsznsgi vltozt -nak -ra vonatkoz feltteles

vrhat rtknek nevezzk, s mdon jelljk. A

rtket mdon jelljk.

A feltteles vrhat rtkre teljeslnek a kvetkezk:

;

Valsznsgszmts


majdnem biztosan, minden

esetn;

majdnem biztosan;

majdnem biztosan.

7. Fggetlen valsznsgi vltozk

Az s esemnyek fggetlenek, ha . Valsznsgi vltozk fggetlensgt nvhalmazaik fggetlensgvel definiljuk.

1.29. Definci. A valsznsgi vltozkat fggetleneknek nevezzk, ha

minden esetn teljesl. A valsznsgi vltozk pronknt fggetlenek, ha kzlk brmely kett fggetlen. Vgtelen sok valsznsgi vltozt fggetleneknek nevezzk, ha brmely vges rszrendszere fggetlen.

Szksgnk lesz a valsznsgi vektorvltozk fggetlensgnek fogalmra is. Ehhez bevezetnk egy jellst.

Legyen egy valsznsgi vektorvltoz s . Ekkor a esemny

alatt azt rtjk, hogy a esemnyek minden esetn teljeslnek.

1.30. Definci. A -dimenzis valsznsgi vektorvltozkat fggetleneknek

nevezzk, ha minden esetn

teljesl. A valsznsgi vektorvltozk pronknt fggetlenek, ha kzlk brmely kett fggetlen. Vgtelen sok valsznsgi vektorvltozt fggetleneknek nevezzk, ha brmely vges rszrendszere fggetlen.

1.31. Ttel. A diszkrt valsznsgi vltozk pontosan akkor fggetlenek, ha

teljesl minden esetn.

1.32. Ttel. Legyen abszolt folytonos valsznsgi vektorvltoz. A

valsznsgi vltozk pontosan akkor fggetlenek, ha

teljesl minden esetn, ahol a srsgfggvnye, tovbb a

srsgfggvnye.

1.33. Ttel (Konvolci). Ha s fggetlen abszolt folytonos valsznsgi vltozk

illetve srsgfggvnnyel, akkor is abszolt folytonos, tovbb a srsgfggvnye helyen

Valsznsgszmts


1.34. Ttel. Ha s fggetlen abszolt folytonos valsznsgi vltozk illetve

srsgfggvnnyel, akkor is abszolt folytonos, tovbb a srsgfggvnye helyen

1.35. Ttel. Ha s fggetlen abszolt folytonos valsznsgi vltozk illetve

srsgfggvnnyel, akkor is abszolt folytonos, tovbb a srsgfggvnye helyen

8. Kovariancia s korrelcis egytthat

1.36. Definci. A s valsznsgi vltozk kovariancija

feltve, hogy ezek a vrhat rtkek lteznek.

Knnyen belthat, hogy .

1.37. Ttel. Ha a s fggetlen valsznsgi vltozknak ltezik a vrhat rtkeik, akkor

ltezik a kovariancijuk is s , azaz .

1.38. Definci. A valsznsgi vltozkat korrellatlanoknak nevezzk, ha

minden esetn.

1.39. Ttel. Ha a valsznsgi vltozk esetn ltezik minden

esetn, akkor -nek ltezik a szrsngyzete, tovbb

1.40. Ttel. Ha a pronknt fggetlen valsznsgi vltozknak lteznek a

szrsngyzeteik, akkor a valsznsgi vltoznak is van szrsngyzete, tovbb

.

1.41. Definci. Ha s pozitv szrs valsznsgi vltozk, akkor a korrelcis egytthatjuk

1.42. Ttel. Legyen pozitv szrs valsznsgi vltoz, tovbb , ahol

. Ekkor ltezik s korrelcis egytthatja, s

Valsznsgszmts


1.43. Ttel. Ha , akkor lteznek olyan konstansok,

melyekre teljesl.

9. Nevezetes eloszlsok

9.1. Diszkrt egyenletes eloszls

1.44. Definci. Legyen a valsznsgi vltoz rtkkszlete s

Ekkor -t diszkrt egyenletes eloszlsnak nevezzk az halmazon.

1.45. Ttel. s .

9.2. Karakterisztikus eloszls

1.46. Definci. Az esemny indiktorvltozjnak az

valsznsgi vltozt nevezzk, tovbb az -t paramter karakterisztikus eloszlsnak nevezzk.

1.47. Ttel. s .

9.3. Binomilis eloszls

1.48. Definci. Legyen a valsznsgi vltoz rtkkszlete s .

Ha minden esetn

akkor -t -edrend paramter binomilis eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. Az

ilyen eloszls valsznsgi vltozk halmazt mdon jelljk.

Egy tetszleges esemny gyakorisga ksrlet utn -edrend paramter binomilis eloszls valsznsgi vltoz.

Az rend paramter binomilis eloszls megegyezik a paramter karakterisztikus eloszlssal,

vagyis a paramter karakterisztikus eloszls valsznsgi vltozk halmaza .

Msrszt darab fggetlen paramter karakterisztikus eloszls valsznsgi vltoz sszege -edrend paramter binomilis eloszls.

1.49. Ttel. esetn s .

1.1. bra. rend paramter binomilis eloszls vonaldiagramja

Valsznsgszmts


9.4. Poisson-eloszls

1.50. Definci. Legyen a valsznsgi vltoz rtkkszlete, s

Ekkor -t paramter Poisson-eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk.

1.2. bra. paramter Poisson-eloszls vonaldiagramja

1.51. Ttel. Ha egy paramter Poisson-eloszls valsznsgi vltoz, akkor

.

9.5. Egyenletes eloszls

1.52. Definci. Legyen abszolt folytonos valsznsgi vltoz, s . Ha srsgfggvnye

akkor -t egyenletes eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk az intervallumon.

1.53. Ttel. Ha egyenletes eloszls valsznsgi vltoz az intervallumon, akkor eloszlsfggvnye

Valsznsgszmts


tovbb s .

9.6. Exponencilis eloszls

1.54. Definci. Legyen abszolt folytonos valsznsgi vltoz, s . Ha srsgfggvnye

akkor -t paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltoznak nevezzk. Az ilyen

valsznsgi vltozk halmazt mdon jelljk.

1.55. Ttel. esetn , tovbb eloszlsfggvnye

1.3. bra. paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

1.4. bra. paramter exponencilis eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

1.56. Definci. A valsznsgi vltozt rkifj tulajdonsgnak nevezzk, ha

minden esetn.

Valsznsgszmts


1.57. Ttel. Egy abszolt folytonos valsznsgi vltoz pontosan akkor rkifj tulajdonsg, ha exponencilis eloszls.

9.7. Gamma-eloszls

A kvetkezkben szksgnk lesz az gynevezett gamma-fggvnyre:

illetve ha , akkor .

1.5. bra. A gamma-fggvny grafikonja

1.58. Definci. Legyen s a valsznsgi vltoz srsgfggvnye

Ekkor -t -edrend paramter gamma-eloszlsnak nevezzk. Az ilyen valsznsgi

vltozk halmazt mdon jelljk.

A definci kvetkezmnye, hogy .

1.6. bra. rend paramter gamma-eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

1.7. bra. rend paramter gamma-eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

Valsznsgszmts


1.59. Ttel. esetn s .

1.60. Ttel. Ha s azonos paramter exponencilis eloszls

fggetlen valsznsgi vltozk, akkor .

1.61. Lemma. Ha s eloszlsfggvnye , akkor

.

1.8. bra. grafikonja

9.8. Normlis eloszls

1.62. Definci. A abszolt folytonos valsznsgi vltozt standard normlis eloszlsnak nevezzk, ha a srsgfggvnye

1.9. bra. Standard normlis eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

Valsznsgszmts


A standard normlis eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnyt -vel jelljk, mely a srsgfggvny defincija szerint

1.10. bra. Standard normlis eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

-re nincs zrt formula, kzelt rtkeinek kiszmtsra pldul a Taylor-sora hasznlhat:

Megemltjk mg a egy egyszer kzelt formuljt. Johnson s Kotz 1970-ben bizonytottk (lsd [6]), hogy az

kifejezssel esetn -nl kisebb hibval kzelthet , ahol

Mivel pros fggvny, ezrt minden esetn .

1.63. Ttel. Ha standard normlis eloszls valsznsgi vltoz, akkor s

.

1.64. Definci. Legyen standard normlis eloszls valsznsgi vltoz, s

. Ekkor a valsznsgi vltozt s paramter normlis eloszlsnak

nevezzk. Az ilyen valsznsgi vltozk halmazt mdon jelljk.

Valsznsgszmts


Definci alapjn a standard normlis eloszls valsznsgi vltozk halmaza .

1.65. Ttel. esetn , , tovbb eloszlsfggvnye

illetve srsgfggvnye

1.66. Ttel. Ha fggetlen, normlis eloszls valsznsgi vltozk, akkor

is normlis eloszls.

1.67. Ttel. Ha normlis eloszls valsznsgi vltozk s minden

esetn , akkor fggetlenek.

1.68. Definci. A valsznsgi vltoz eloszlsnak ferdesge illetve lapultsga

feltve, hogy ezek a kifejezsek lteznek.

1.69. Ttel. Ha normlis eloszls valsznsgi vltoz, akkor az eloszlsnak ferdesge s lapultsga is 0.

Ha , akkor kzeltleg standard normlis eloszls (lsd MoivreLaplace-ttel). A kzelts akkor tekinthet megfelelen pontosnak, ha

9.9. Tbbdimenzis normlis eloszls

1.70. Definci. Legyenek fggetlen standard normlis eloszls valsznsgi

vltozk. Ekkor az valsznsgi vektorvltozt -dimenzis standard normlis eloszlsnak nevezzk.

1.71. Definci. Ha -dimenzis standard normlis eloszls valsznsgi

vektorvltoz, egy tpus vals mtrix s , akkor a

valsznsgi vektorvltozt -dimenzis normlis eloszlsnak nevezzk. A -vel azonos

eloszls valsznsgi vektorvltozk halmazt mdon jelljk.

1.72. Ttel. Ha , akkor

tovbb ha , akkor srsgfggvnye

Valsznsgszmts


1.73. Ttel. Legyen . Ekkor pontosan akkor korrellatlanok, ha fggetlenek.

1.74. Ttel. Ha , akkor ltezik , hogy

.

9.10. Khi-ngyzet eloszls

1.75. Definci. Legyenek fggetlen standard normlis eloszls valsznsgi

vltozk. Ekkor a valsznsgi vltozt szabadsgi fok khi-ngyzet

eloszlsnak nevezzk. Az ilyen eloszls valsznsgi vltozk halmazt mdon jelljk.

1.76. Ttel. Ha s fggetlenek, akkor

1.77. Ttel. , azaz srsgfggvnye

1.78. Kvetkezmny. esetn s .

1.79. Ttel. Legyen egy teljes esemnyrendszer (azaz unijuk a biztos esemny

s pronknt diszjunktak). Jellje az esemny gyakorisgt ksrlet utn. Tegyk fel,

hogy minden esetn. Ekkor

eloszlsa szabadsgi fok khi-ngyzet eloszlshoz konvergl esetn.

A bizonyts a karakterisztikus fggvnyek elmletn s lineris algebrn alapul (lsd pldul Fazekas I. [2,

161162. oldal]). A gyakorlatban a ttel azt jelenti, hogy jellssel

A kzelts mr jnak tekinthet, ha .

1.80. Lemma. Ha a valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye , akkor

.


Valsznsgszmts


9.11. t-eloszls

1.81. Definci. Ha s fggetlenek, akkor a valsznsgi vltozt szabadsgi fok t-eloszlsnak nevezzk. Az ilyen eloszls


1.82. Ttel. Ha , akkor a srsgfggvnye

1.83. Kvetkezmny. s minden esetn, ahol

illetve a srsg- illetve eloszlsfggvnye.

1.84. Ttel. Ha , akkor esetn , illetve esetn .

Ezektl eltr esetekben nem ltezik vrhat rtke illetve szrsa.

1.12. bra. szabadsgi fok t-eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

1.13. bra. szabadsgi fok t-eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

Valsznsgszmts


1.85. Ttel. Ha minden esetn, akkor minden -re, azaz a t-eloszls konvergl a standard normlis eloszlshoz, ha a szabadsgi fok tart

-be.

Gyakorlatilag esetn a eloszlsfggvnye s kztt elhanyagolhatan kicsi a klnbsg.

9.12. Cauchy-eloszls

1.86. Definci. Egy valsznsgi vltozt Cauchy-eloszlsnak neveznk, ha a srsgfggvnye

1.87. Ttel. Cauchy-eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

1.88. Ttel. A Cauchy-eloszls megegyezik az 1 szabadsgi fok t-eloszlssal.

1.89. Kvetkezmny. Cauchy-eloszls valsznsgi vltoznak nem ltezik vrhat rtke illetve szrsa.

9.13. F-eloszls

1.90. Definci. Ha s fggetlenek, akkor az valsznsgi vltozt s szabadsgi fok F-eloszlsnak nevezzk. Az ilyen eloszls


1.14. bra. s szabadsgi fok F-eloszls valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye

Valsznsgszmts


1.15. bra. s szabadsgi fok F-eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

1.91. Ttel. Ha , akkor a srsgfggvnye

1.92. Ttel. Ha , akkor .

1.93. Ttel. Ha , akkor esetn illetve esetn

.

1.94. Ttel. Ha , akkor .

1.95. Lemma. Legyen eloszlsfggvnye . Ekkor az vltozban monoton cskken, mg az vltozban monoton nvekv, tovbb

.


Valsznsgszmts



10. Nagy szmok trvnyei

1.96. Ttel (Csebisev-egyenltlensg). Ha vges szrssal rendelkez valsznsgi

vltoz, akkor minden esetn

Specilisan, ha relatv gyakorisgot jelent, akkor kapjuk a kvetkez fontos ttelt.

1.97. Ttel (Bernoulli-fle nagy szmok trvnye). Legyen az esemny relatv gyakorisga ksrlet utn. Ekkor

minden esetn.

Teht annak a valsznsge, hogy az esemny relatv gyakorisga -nak az sugar krnyezetn kvl legyen, az nvelsvel egyre kisebb, hatrrtkben 0. Ez pontosan rillik a Bernoulli-fle tapasztalatra.

A kvetkez brn a hatos dobs relatv gyakorisgt lthatjuk szablyos kockval 10 dobssorozat utn, 3000-tl 3500 dobsig.

Valsznsgszmts


A kk vonal jelzi a hatos dobs valsznsgt, mg a zld vonalak annak sugar krnyezett. Az

brn lthatjuk, hogy a 10 dobssorozatbl 8 esetn a relatv gyakorisg pontossggal megkzeltette a valsznsget a 3000-tl 3500-ig terjed intervallumon.

A kvetkez videban az elz ksrletsorozatot vizsgljuk tbbfle paramterezssel.

V I D E

Az elz videban hasznlt program letlthet innen: valdem.zip

A Bernoulli-fle nagy szmok trvnye megfogalmazhat valsznsgi vltozkkal is. Hajtsunk vgre egy

ksrletet -szer egymstl fggetlenl. Ha egy esemny az -edik ksrletben bekvetkezik, akkor a

valsznsgi vltoz rtke legyen 1, klnben pedig 0. A valsznsgi vltozk ekkor paramter karakterisztikus eloszls pronknt fggetlen valsznsgi vltozk, melyeknek a szmtani kzepe

az relatv gyakorisga, msrszt ekkor s . gy teht brmely esetn

Ms eloszls valsznsgi vltozk szmtani kzepe is hasonl tulajdonsgot mutat.

1.98. Ttel (Nagy szmok gyenge trvnye). Legyenek vges vrhat rtk s szrs, azonos eloszls, pronknt fggetlen valsznsgi vltozk. Ekkor

minden esetn.

Teht annak a valsznsge, hogy a valsznsgi vltozk szmtani kzepe a vrhat rtk sugar krnyezetn kvl legyen, az nvelsvel egyre kisebb, hatrrtkben 0.

A kvetkez brn darab standard normlis eloszls pronknt fggetlen valsznsgi vltoz szmtani kzept lthatjuk fggvnyben -tl -ig, 20 ksrletsorozat utn.

Valsznsgszmts


A kk vonal jelzi a vrhat rtket (ez most 0), mg a zld vonalak annak sugar krnyezett. Az

brn lthatjuk, hogy a 20 ksrletsorozatbl 17 esetn a szmtani kzp pontossggal megkzeltette a vrhat rtket a 29 500-tl 30 000-ig terjed intervallumon.

A kvetkez videban az elz ksrletsorozatot vizsgljuk tbbfle eloszls esetn.

V I D E

Kt fggetlen standard normlis eloszls valsznsgi vltoz hnyadosa Cauchy-eloszls. Errl ismert, hogy nincs vrhat rtke. gy erre nem teljesl a nagy szmok gyenge trvnye. Ezt szemllteti a kvetkez vide.

V I D E

1.99. Ttel (Nagy szmok Kolmogorov-fle ers trvnye). legyenek fggetlen,

azonos eloszls valsznsgi vltozk s . Ekkor

Ez a ttel az elznl ersebb lltst fogalmaz meg. Etemadi (1981) s Petrov (1987) eredmnyeibl kiderlt, hogy a nagy szmok Kolmogorov-fle ers trvnynek lltsa pronknti fggetlensg esetn is igaz marad.

11. Centrlis hatreloszlsi ttel

A valsznsgszmtsban s a matematikai statisztikban kzponti szerepe van a standard normlis eloszlsnak. Ennek okt mutatja a kvetkez ttel.

1.100. Ttel (Centrlis hatreloszlsi ttel). Legyenek fggetlen, azonos eloszls, pozitv vges szrs valsznsgi vltozk. Ekkor

hatreloszlsa standard normlis, azaz

minden esetn.

Specilisan, ha fggetlenek s paramter karakterisztikus eloszlsak, akkor egy -edrend paramter binomilis eloszls valsznsgi vltoz. Ennek vrhat rtke s szrsngyzete

. Erre alkalmazva a centrlis hatreloszls ttelt, kapjuk, hogy minden esetn

Valsznsgszmts


Ez az n. MoivreLaplace-ttel. Ez ekvivalens azzal, hogy s esetn

gy nagy s kicsiny esetn

Legyen egy valsznsg esemny gyakorisga ksrlet utn. brzoljuk fggvnyben a

rtkeket, ahol . A kvetkez bra ezt mutatja s esetn.

A ksrletsorozatot megismteljk -szer. A kk vonalon brzoljuk a becsapdsok szmt vonaldiagrammal. A kvetkez brn ez lthat esetn.

Vgl a vonaldiagramot normljuk -nel s -szel, mely mr sszehasonlthat a standard normlis eloszls srsgfggvnyvel.

Valsznsgszmts


A kvetkez videban az elz ksrletsorozatot folyamatban vizsgljuk.

V I D E


2. fejezet - A matematikai statisztika alapfogalmai A valsznsgszmts rkon trgyalt feladatokban mindig szerepel valamilyen informci bizonyos tpus vletlen esemnyek valsznsgre vonatkozan. Pldul:

Mi a valsznsge annak, hogy kt szablyos kockval dobva a kapott szmok sszege 7?

Itt a szablyossg azt jelenti, hogy a kocka brmely oldalra valsznsggel eshet.

Egy boltban az tlagos vrakozsi id 2 perc. Mi a valsznsge, hogy 3 percen bell nem kerlnk sorra, ha a vrakozsi id exponencilis eloszls?

Itt az adott informcik alapjn annak a valsznsge, hogy a vrakozsi id kevesebb mint perc.

Ha egy hasonl feladatban a megoldshoz szksges informcik nem mindegyike ismert, akkor azokat neknk kell tapasztalati ton meghatrozni. A matematikai statisztika ilyen jelleg problmkkal foglalkozik.

A statisztikai feladatokban teht az esemnyek rendszere, pontosabban az mrhet tr adott, de a valsznsg nem.

Legyen azon fggvnyek halmaza, melyekre valsznsgi mez. Ekkor az rendezett hrmast statisztikai meznek nevezzk. Az idelis az lenne, ha -bl ki tudnnk vlasztani az igazi -t. Sok esetben azonban erre nincs is szksg. Pldul ha az s esemnyek fggetlensgt kell kimutatnunk,

akkor csak azt kell megvizsglni, hogy az igazi -re teljesl-e az a tulajdonsg, hogy .

A statisztikai feladatokrl azt is fontos tudnunk, hogy azok mindig megfogalmazhatk valsznsgi (vektor)vltozk segtsgvel. Ennek szemlltetsre tekintsk a kvetkez pldkat.

Dntsk el egy dobkockrl, hogy az cinkelt-e. A problma matematikai modellezsben legyen

, az hatvnyhalmaza s . Ekkor azt kell kiderteni, hogy

diszkrt egyenletes eloszls-e, azaz teljesl-e az igazi -re, hogy minden esetn

.

Az emberek szem- s hajszne fggetlen, vagy van kzttk genetikai kapcsolat? A halmaz elemei legyenek a haj lehetsges sznei, illetve az halmaz elemei a szem lehetsges sznei. Legyen s az

hatvnyhalmaza. Ekkor pldul a elemi esemny modellezze azt, hogy a vletlenl

kivlasztott szemly barna haj s kk szem. Legyen aszerint, hogy

s aszerint, hogy

. Ekkor a valsznsgi vektorvltoz eloszlst kell meghatrozni, pontosabban az a krds, hogy az igazi -re teljesl-e, hogy

minden s esetn.

Kt esemny kzl dntsk el, hogy melyiknek nagyobb a valsznsge. Legyen a kt esemny s . Ezen

esemnyek indiktorvltozira teljeslnek, hogy s . gy teht azt kell eldntennk, hogy a kt esemny indiktorvltozi kzl melyiknek nagyobb a vrhat rtke.

1. Minta s mintarealizci

A statisztikban teht egy valsznsgi (vektor)vltozra vonatkozlag kell informcikat gyjteni. Jelljk ezt

-vel. Tegyk fel, hogy az valsznsgi mezben van rtelmezve, ahol a valdi (ltalunk

nem ismert) valsznsget jelenti. Az adatgyjtsnek a statisztikban egyetlen mdja van, a -t meg kell

A matematikai statisztika alapfogalmai


figyelni (mrni) tbbszr, egymstl fggetlenl. Az -edik megfigyels eredmnyt jellje , amely egy vletlen rtk, vagyis valsznsgi (vektor)vltoz. Mindez a kvetkezkppen modellezhet.

Legyen azon fggetlen ksrletek valsznsgi mezje, amely az ksrlet -szeri

fggetlen elvgzst modellezi. Tegyk fel, hogy -dimenzis. Legyen

Ekkor tetszleges esetn

azaz s azonos eloszls. Msrszt tetszleges esetn

azaz a valsznsgi vltozk fggetlenek.

sszefoglalva teht az megfigyels modellezhet fggetlen, -vel azonos eloszls valsznsgi

(vektor)vltozkkal. Mivel valjban minket csak a valdi eloszlsa rdekel, matematikai rtelemben nincs

jelentsge, hogy a s -k klnbz valsznsgi mezben vannak rtelmezve. Ezrt megllapodunk abban,

hogy a tovbbiakban a valsznsgi vltozk ugyanazon valsznsgi mezn rtelmezettek, ahol az ltalunk nem ismert valdi valsznsg.

2.1. Definci. A valsznsgi (vektor)vltozra vonatkoz elem minta alatt a -vel

azonos eloszls fggetlen, valsznsgi (vektor)vltozkat rtnk. A -t -adik mintaelemnek, -et pedig a mintaelemek szmnak nevezzk.

Termszetesen, ha tbb valsznsgi (vektor)vltozra is szksgnk van, akkor mindegyikre kell megfigyelseket vgezni, gy tbb mintnk is lesz.

A gyakorlatban nem mintval dolgozunk, hanem konkrt rtkekkel, melyek a mintaelemek lehetsges rtkei.

2.2. Definci. Ha a valsznsgi (vektor)vltozra vonatkoz minta s ,

akkor a rtkeket -re vonatkoz mintarealizcinak nevezzk. Az olyan

elem -esek halmazt, melyekre teljesl, hogy az benne van a

rtkkszletben , mintatrnek nevezzk.

Statisztikai feladatokban mintarealizci alapjn szmolunk. Az gy meghozott dnts nem biztos, hogy megfelel a valsgnak, csak annyit mondhatunk rla, hogy nem mond ellent a mintarealizcinak. Azaz az ilyen dnts hibs is lehet, gy a vlaszunkban azt is meg kell adni, hogy mi a valsznsge ennek a hibnak.

2. Tapasztalati eloszlsfggvny

Ebben a rszben felttelezzk, hogy egy valsznsgi vltoz (teht nem vektorvltoz) tulajdonsgait kell megfigyelni. A legjobb az lenne, ha az eloszlsfggvnyt sikerlne meghatrozni. Valjban az elbb elmondottak miatt -fet meghatrozni a mintarealizci alapjn nem tudjuk, de becslni igen. Egy rgztett

esetn . Teht egy esemny valsznsgt kell megbecslni. A valsznsg defincijt a relatv gyakorisg tulajdonsgai sugalltk, gy az a sejtsnk, hogy egy esemny valsznsgt a

relatv gyakorisgval lenne rdemes becslni. A esemny relatv gyakorisga a -re vonatkoz

minta alapjn knnyen megadhat indiktorvltozkkal: . Itt azon



mintaelemek szmt jelenti, melyek kisebbek -nl. A ksbbiekben ltni fogjuk, hogy ez a becsls valban megfelel lesz szmunkra.

2.3. Definci. Legyen egy valsznsgi vltozra vonatkoz minta. Ekkor az

fggvnyt a -re vonatkoz elem minthoz tartoz tapasztalati eloszlsfggvnynek nevezzk.

Az minden rgztett esetn egy valsznsgi vltoz. Ha a ksrletsorozatban az elemi

esemny kvetkezett be, azaz a mintarealizci , akkor az

hozzrendels egy vals fggvny. Ezt a fggvnyt a tapasztalati eloszlsfggvny egy realizcijnak

nevezzk, de a tovbbiakban a rvidsg kedvrt ezt is csak tapasztalati eloszlsfggvnyknt emlegetjk s mdon jelljk.

Pldaknt legyen egy dobkockval dobott szm, s a mintarealizci 3, 4, 5, 3, 6, 2, 3, 3, 5, 2. Ekkor

A kvetkez brn egy -beli valsznsgi vltozra vonatkoz 20 elem minthoz tartoz tapasztalati eloszlsfggvnyt lthatunk.



A kk grafikon a valdi eloszlsfggvnyt jelenti, a piros a tapasztalatit. Vegyk szre, hogy a tapasztalati eloszlsfggvny mindig lpcss fggvny, azaz az rtkkszlete vges. Nevezetesen elem minta esetn az

maximlisan fle rtket vehet fel. gy felmerl a krds, hogy a lpcss tapasztalati eloszlsfggvny

hogyan nz ki folytonos eloszlsfggvny valsznsgi vltoz esetn. A kvetkez brn egy -beli valsznsgi vltozra vonatkoz 10 elem minthoz tartoz tapasztalati eloszlsfggvnyt lthatunk.

A kk grafikon itt is a valdi eloszlsfggvnyt jelenti, a piros a tapasztalatit.



A tapasztalati eloszlsfggvny megfelel becslse-e a valdi eloszlsfggvnynek? Az elz pldkban, ahol a

megfigyelsek szma viszonylag kevs, elg nagy eltrseket lthatunk. De az nvelsvel javul-e ez a helyzet? A kvetkez Glivenkotl s Cantellitl szrmaz ttel errl ad informcit.

2.4. Ttel (A matematikai statisztika alapttele). Legyen a valsznsgi vltoz valdi

eloszlsfggvnye s a -re vonatkoz elem minthoz tartoz tapasztalati

eloszlsfggvny . Ekkor

azaz egyenletesen konvergl -en -hez majdnem biztosan.

Bizonyts. Legyen rgztett s olyan, hogy . Ha

, akkor az balrl val folytonossga miatt az halmaznak ltezik maximuma. Ezt a maximumot jelljk -val. Legyen tovbb s . Ekkor

gy

Jelentse azt az esemnyt, hogy , illetve azt,

hogy . A nagy szmok ers trvnye miatt

. Ebbl

jellssel teljesl. Emiatt ltezik , hogy minden egsz szm s

esetn az -n teljesl, hogy

Legyen rgztett. Ekkor ltezik , hogy

Mindezek alapjn minden egsz esetn az -n teljesl, hogy



Hasonlan teljesl minden egsz esetn az -n, hogy

gy teljesl az -n, ha . Ebbl mr kvetkezik a ttel.

Az elz ttelben fontos az egyenletes konvergencia. Ugyanis ha csak pontonknti lenne, akkor a szmegyenes klnbz helyein ms s ms sebessg lehetne. gy ebben az esetben a tapasztalati eloszlsfggvny alakjbl a valdira nem lehetne kvetkeztetni.

A kvetkez kt brn egy Cauchy-eloszls valsznsgi vltozra vonatkoz 200 illetve 10 000 elem mintnak a tapasztalati eloszlsfggvnyt ltjuk. (Kt fggetlen standard normlis eloszls valsznsgi vltoz hnyadost nevezzk Cauchy-eloszlsnak.) A kk grafikon a valdi eloszlsfggvnyt jelenti, mg a piros a tapasztalatit.





Lthat, hogy 10 000-es mintaelemszm esetn mr gyakorlatilag megegyezik a tapasztalati s a valdi eloszlsfggvny. Az utbbi brn gy tnhet, hogy a tapasztalati eloszlsfggvny nem lpcss. Termszetesen ez nem igaz, pusztn arrl van sz, hogy egy lpcsfok hossza olyan kicsi, hogy az a rajz felbontsa miatt csak egy pontnak ltszik.

A kvetkez videban tbbfle eloszlssal vizsgljuk a tapasztalati eloszlsfggvny konvergencijt.

V I D E

Az elz videban hasznlt program letlthet innen: valdem.zip

3. Tapasztalati eloszls, srsghisztogram

Tapasztalati eloszlsfggvny helyett ms lehetsg is van valsznsgi vltozk eloszlsnak vizsglatra.

Diszkrt valsznsgi vltoz esetn vizsglhatjuk az gynevezett tapasztalati eloszlst is, mely a valsznsgi vltoz egy lehetsges rtkhez hozzrendeli a ksrletsorozatbeli relatv gyakorisgt. Azaz, ha

a valsznsgi vltoz rtkkszlete s a -re vonatkoz minta , akkor a tapasztalati eloszls az

hozzrendels. (Teht a mintban az -vel egyenl elemek szmt jelenti.)

Ha a ksrletsorozatban az elemi esemny kvetkezett be, azaz a mintarealizci , akkor az



hozzrendelst a tapasztalati eloszls egy realizcijnak nevezzk, de a tovbbiakban a rvidsg kedvrt ezt is csak tapasztalati eloszlsknt emlegetjk. Ezt clszer vonaldiagrammal brzolni. Ez azt jelenti, hogy az

koordintj pontot sszektjk az ponttal minden -re.

A kvetkez kpen egy -beli valsznsgi vltozra vonatkoz 1000 elem mintarealizcibl szmolt tapasztalati eloszlst lthatunk vonaldiagrammal brzolva.

Ugyanezen az brn kkkel felrajzoljuk a valdi eloszlst is, mely jl mutatja a hasonlsgot.

Abszolt folytonos valsznsgi vltoz esetn a srsghisztogram vizsglata is clravezet lehet a

tapasztalati eloszlsfggvny mellett. Legyen , s . Tegyk fel,

hogy a -re vonatkoz mintarealizci minden eleme benne van az intervallumban.

Jellje a minta azon elemeinek a szmt, amelyek az intervallumba esnek, azaz

ahol . Ezutn minden intervallum fl rajzoljunk egy -val arnyos magassg

tglalapot gy, hogy a tglalapok sszterlete 1 legyen, azaz a -edik tglalap magassga

Az gy kapott oszlopdiagramot srsghisztogramnak nevezzk, mert a valdi srsgfggvnyt kzelti.

A srsghisztogram megadsa a mintarealizci alapjn nem egyrtelm, fgg az osztpontok vlasztstl. Az osztpontok felvtelhez csak annyi ltalnos irnyelv mondhat, hogy fggetlennek kell lennie a minta rtkeitl.



Az is fontos, hogy az osztpontok ne helyezkedjenek el tl srn a mintarealizci elemeihez kpest, mert ekkor egy rszintervallumba tl kevs mintaelem fog esni, s gy nagyon pontatlan lesz a becsls. Azaz ebben az esetben a srsghisztogrambl nem lehet kvetkeztetni a valdi srsgfggvny alakjra.

Msrszt, ha az osztpontok tl ritkk, azaz a rszintervallumok szma kevs, akkor a srsgfggvny becslt pontjainak szma tl kevs ahhoz, hogy a srsghisztogrambl kvetkeztetni lehessen a valdi srsgfggvny alakjra.

A kvetkez brn standard normlis eloszls 1000 elem mintra vonatkoz srsghisztogramot lthatunk

vlasztssal, tovbb a rszintervallumok egyenl hosszsgak.

sszehasonltskppen a kvetkez brn a standard normlis eloszls srsgfggvnyt lthatjuk a intervallumon.

4. Statisztikk

Tegyk fel, hogy egy ismeretlen eloszls valsznsgi vltoz vrhat rtkt kell meghatrozni. Mivel az eloszlst nem ismerjk, ezrt a minta alapjn kell becslst adni. A ksbbiekben ltni fogjuk, hogy bizonyos

szempontbl j becslse a vrhat rtknek a -re vonatkoz minta elemeinek a szmtani kzepe,

azaz . ltalnosan fogalmazva itt egy olyan fggvnyt definiltunk, amely egy valsznsgi vltozkbl ll rendezett -eshez egy valsznsgi vltozt rendel. Az ilyen fggvnyeket statisztiknak nevezzk, s a kvetkezkben kiemelt szerepk lesz.

2.5. Definci. Legyen egy valsznsgi vltozra vonatkoz minta, tovbb

olyan fggvny, melyre valsznsgi vltoz. Ekkor ezt a valsznsgi

vltozt a minta egy statisztikjnak nevezzk. Ha egy a -re vonatkoz

mintarealizci, akkor a szmot az elbbi statisztika egy realizcijnak nevezzk.

Ha Borel-mrhet fggvny, akkor mrhet, azaz valsznsgi vltoz. Pldul minden rgztett esetn statisztika.



2.6. Definci. Legyen egy valsznsgi vltozra vonatkoz minta. A kvetkez nevezetes statisztikkat definiljuk:

Ha tbb valsznsgi vltozt is vizsglunk s hangslyozni szeretnnk, hogy a tapasztalati

illetve korriglt tapasztalati szrs a -re vonatkozik, akkor azokat illetve mdon fogjuk jellni.

2.7. Ttel (Steiner-formula). Brmely esetn

Bizonyts. Legyen tetszlegesen rgztett. Ekkor

2.8. Definci. Legyen egy valsznsgi vltozra vonatkoz minta, tovbb

esetn jellje az szmok egy olyan permutcijt, melyre teljesl, hogy



Legyen

Ekkor a valsznsgi vltozkat rendezett mintnak

nevezzk. (Vegyk szre, hogy s .)

A statisztikt mintaterjedelemnek nevezzk. A az gynevezett terjedelemkzp.

A tapasztalati medin legyen , ha pratlan, illetve , ha pros.

Legyen . A %-os tapasztalati kvantilis legyen , ha , illetve

, ha . (Vegyk szre, hogy az 50%-os tapasztalati kvantilis a tapasztalati medinnal egyenl.) A 25%-os tapasztalati kvantilist tapasztalati als kvartilisnek, illetve a 75%-os tapasztalati kvantilist tapasztalati fels kvartilisnek nevezzk.

A tapasztalati mdusz a mintaelemek kztt a leggyakrabban elfordul. Ha tbb ilyen is van, akkor azok kztt a legkisebb.

2.9. Megjegyzs. Az elbbi fggvnyek Borel-mrhetek, gy a rendezett minta elemei statisztikk.

Ha a ksrletsorozatban az elemi esemny kvetkezett be, azaz a mintarealizci ,

akkor a szmot is mintatlagnak nevezzk. Hasonlan llapodunk meg minden

nevezetes statisztika esetn. (Azaz pldul -t is tapasztalati szrsnak nevezzk.)

A kvetkezben a statisztika fogalmt kiterjesztjk arra az esetre, amikor a minta elemei valsznsgi vektorvltozk.

2.10. Definci. Legyen egy -dimenzis valsznsgi vektorvltozra vonatkoz minta, tovbb

olyan fggvny, melyre valsznsgi vltoz. Ekkor ezt a valsznsgi

vltozt a minta egy statisztikjnak nevezzk. Ha egy a -re vonatkoz

mintarealizci, akkor a szmot az elbbi statisztika egy realizcijnak nevezzk.

2.11. Definci. Legyen ktdimenzis valsznsgi vektorvltoz, tovbb a

rvonatkoz minta . Ennek a mintnak a tapasztalati kovariancija

illetve tapasztalati korrelcis egytthatja

2.12. Definci. Legyen egy valsznsgi (vektor)vltozra vonatkoz minta.

A statisztikt szimmetrikusnak nevezzk, ha az szmok minden

permutcija esetn



Vegyk szre, hogy az elzekben definilt minden nevezetes statisztika szimmetrikus.

Mg tovbb ltalnosthat a statisztika fogalma, ha tbb valsznsgi vektorvltozra vonatkozik.

2.13. Definci. Legyen egy -dimenzis valsznsgi vektorvltozra

vonatkoz minta , tovbb

olyan fggvny, melyre valsznsgi vltoz. Ekkor ezt a valsznsgi vltozt az elbbi darab minta egy statisztikjnak nevezzk.

Ilyen statisztikkra pldt, majd a hipotzisvizsglatoknl ltunk.


3. fejezet - Pontbecslsek

1. A pontbecsls feladata s jellemzi

Tegyk fel, hogy a vizsglt valsznsgi vltozrl tudjuk, hogy egyenletes eloszls az intervallumon, de az s paramtereket nem ismerjk. Ekkor a vizsgland statisztikai mez leszkl az

mezre, ahol s olyan valsznsg az tren, melyre

teljesl minden s esetn.

A pontbecsls feladata ebben az esetben az illetve valdi rtknek becslse. De nem mindig van szksg az

sszes ismeretlen paramterre. Pldul elfordulhat, hogy csak a vrhat rtkre vagyunk kvncsiak. Ekkor

a fenti esetben az valdi rtkt kell megbecslni.

Az eljrs a -re vonatkoz mintarealizci alapjn gy fog trtnni, hogy bizonyos kritriumokat figyelembe vve megadunk egy statisztikt, melynek az helyen vett realizcija adja a becslst.

Most ltalnostjuk az elzeket. Legyen az gynevezett paramtertr. Feltesszk, hogy

. Jelljn eloszlsfggvnyt minden esetn. Feltesszk, hogy esetn

. Ez az gynevezett identifiklhat tulajdonsg. Tegyk fel, hogy a vizsglt valsznsgi vltozrl tudjuk, hogy az eloszlsfggvnye az

halmaz (eloszlscsald) eleme, de a paramterek valdi rtkei ismeretlenek. Ekkor a vizsglt statisztikai mez leszkl az

mezre, ahol olyan valsznsg az tren, melyre

teljesl minden s esetn. A tovbbiakban mindezt gy fogalmazzuk meg, hogy legyen a

vizsgland valsznsgi vltoz az , statisztikai mezn.

Legyen egy tetszleges fggvny. A pontbecsls feladata a valdi rtknek becslse egy

statisztikval. Ezt a statisztikt s annak realizcijt is a pontbecslsnek nevezzk.

Fontos krds, hogy milyen szempontok szerint vlasszuk ki a pontbecslst megad statisztikt. A kvetkez termszetesnek tn feltteleket adjuk:

ingadozzon a valdi rtke krl;

szrsa a lehet legkisebb legyen;

a minta elemszmnak vgtelenbe diverglsa esetn konvergljon a valdi rtkhez.

A kvetkezkben ezeket a feltteleket fogalmazzuk meg pontosabban. Legyen az elbbi

valsznsgi vltozra vonatkoz vgtelen elemszm minta (azaz fggetlen -vel azonos eloszls

valsznsgi vltozk), tovbb jellje , illetve a -bl szrmaztatott vrhat rtket, szrst illetve kovariancit.

3.1. Definci. A statisztika torztatlan becslse, ha

Pontbecslsek


minden esetn. Ha ez nem teljesl, akkor a torztott becslse.

3.2. Feladat. Bizonytsa be, hogy torztatlan becslse -nek brmely

esetn, ahol a eloszlsfggvnye s a tapasztalati eloszlsfggvny.

Bizonyts. egy -edrend paramter binomilis eloszls valsznsgi

vltoz. gy .

3.3. Feladat. Legyen torztatlan becslse -nak minden

esetn, s olyan fggvny, melyre valsznsgi vltoz.

Bizonytsa be, hogy nem felttlenl torztatlan becslse -nak.

Bizonyts. Legyen pldul egy olyan esemny indiktorvltozja, melynek

valsznsgre teljesl. Knnyen lthat, hogy , azaz torztatlan

becslse -nek. Msrszt jellssel

azaz torztott becslse -nek.

3.4. Definci. A statisztikasorozat aszimptotikusan torztatlan becslssorozata, ha minden esetn teljesl, hogy

3.5. Definci. Egy statisztikt vges szrsnak neveznk, ha minden

esetn .

3.6. Definci. Legyenek s vges szrs torztatlan

becslsei -nak. A hatsosabb becslse -nak mint , ha minden esetn teljesl, hogy

3.7. Definci. A sszes vges szrs torztatlan becslse kzl a leghatsosabbat a

hatsos becslsnek nevezzk.

Nem biztos, hogy -nak ltezik hatsos becslse, hiszen egy alulrl korltos szmhalmaznak nem mindig van minimuma. De ha ltezik hatsos becsls, akkor az majdnem biztosan egyrtelm. Ezt fogalmazza meg a kvetkez ttel.

3.8. Ttel. A hatsos becsls 1 valsznsggel egyrtelm, azaz, ha s

a -nak hatsos becslsei, akkor minden esetn

Bizonyts. Legyen , s . Ekkor

Pontbecslsek


azaz torztatlan becslse -nak. gy hatsossga miatt

Ebbl kapjuk, hogy , azaz

. De ez csak gy lehetsges, ha

Ebbl mr kvetkezik az llts, hiszen .

3.9. Definci. A statisztikasorozat -nak konzisztens becslssorozata, ha brmely s esetn

3.10. Feladat. Bizonytsa be, hogy ltezik nem konzisztens torztatlan becslssorozat.

Bizonyts. Legyen , ahol az paramternek a valdi rtke

ismeretlen. Ekkor torztatlan becslssorozat, hiszen , de esetn

azaz . gy nem konzisztens becslssorozat.

A torztatlan becslssorozatok konzisztencijhoz tudunk adni elgsges felttelt.

3.11. Ttel. Ha torztatlan becslse -nak minden esetn, s

minden esetn, akkor a konzisztens becslssorozata.

Bizonyts. Legyen , s . Ekkor torztatlansga, a

Csebisev-egyenltlensg s miatt

Ebbl mr kvetkezik, hogy a konzisztens becslssorozata.

3.12. Definci. A statisztikasorozat -nak ersen konzisztens becslssorozata, ha minden esetn

3.13. Megjegyzs. Mivel a majdnem mindentti konvergencibl kvetkezik a mrtkben val konvergencia, ezrt az ersen konzisztens becslssorozat egyttal konzisztens becslssorozat is.

1.1. Vrhat rtk becslse

Ebben az alszakaszban feltesszk, hogy minden esetn.

3.14. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha s , akkor

torztatlan becslse vrhat rtknek.

Pontbecslsek


Bizonyts. .

3.15. Feladat. Bizonytsa be, hogy a mintatlag torztatlan becslse a vrhat rtknek.

Bizonyts. Az elz kvetkezmnye vlasztssal.

3.16. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha vges szrs, akkor a mintatlag konzisztens becslssorozata a vrhat rtknek.

Bizonyts. Az llts a nagy szmok gyenge trvnyvel ekvivalens. De belthat a konzisztencia elgsges felttelnek vizsglatval is, hiszen

melybl kvetkezik az llts.

3.17. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha minden esetn, akkor a mintatlag ersen konzisztens becslssorozata a vrhat rtknek.

Bizonyts. Az llts a Kolmogorov-fle nagy szmok ers trvnyvel ekvivalens.

3.18. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha vges szrs brmely esetn, akkor

hatsosabb becslse a vrhat rtknek, mint , brmely

esetn.

Bizonyts.

. Itt felhasznltuk a szmtani s a ngyzetes kzp kztti relcit, mely szerint tetszleges

esetn . (Ez a Cauchy-egyenltlensgbl kvetkezik.)

Teht a vrhat rtknek a alak, gynevezett lineris becslsek kztt a leghatsosabb becslse a mintatlag. Vajon az sszes vges szrs torztatlan becsls kzl is ez a leghatsosabb, azaz hatsos? A kvetkez feladat lltsa erre ad ltalnossgban nemleges vlaszt.

3.19. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha egyenletes eloszls a intervallumon , akkor a terjedelemkzp hatsosabb becslse a vrhat rtknek a mintatlagnl.

Bizonyts. A bizonyts terjedelmes, csak a fontosabb lpseket kzljk. A minta legyen

. Elszr be kell ltni, hogy a terjedelemkzp a vrhat rtk torztatlan becslse, majd meg kell mutatni, hogy ennek szrsa kisebb a mintatlag szrsnl. Ehhez elszr a

rendezett minta elemeinek eloszlst vizsgljuk meg. Mivel

esetn

ezrt annak a valsznsge, hogy kzl pontosan darab kisebb -nl,

A esemny azt jelenti, hogy pontosan vagy pontosan vagy pontosan darab mintaelem kisebb -nl. gy

Pontbecslsek


Ebbl belthat, hogy srsgfggvnye helyen

gy esetn

Ebbl . Teht a terjedelemkzp a vrhat rtk torztatlan becslse. Most rtrnk a szrs meghatrozsra. A korbbiak alapjn

teljesl minden esetn. Msrszt az elzekhez hasonl gondolatmenettel

s egyttes srsgfggvnye esetn, az helyen

Ebbl bizonythat, hogy

gy a szrsngyzet:

Mivel , ezrt az llts ekvivalens az

egyenltlensggel. Knnyen lthat, hogy ez minden esetn teljesl, s csak illetve esetn lehet egyenlsg. Az illetve esetn kapott egyenlsg nem

meglep, hiszen ekkor . Ezzel bizonytott az llts.

Teht van olyan eset, amikor a vrhat rtknek nem a mintatlag a hatsos becslse. De vajon a mintatlag sohasem lehet hatsos becslse a vrhat rtknek? A valsznsg becslse sorn ltni fogjuk, hogy pldul karakterisztikus eloszls esetn az.

1.2. Valsznsg becslse

Pontbecslsek


3.20. Feladat. Bizonytsa be, hogy egy esemny relatv gyakorisga torztatlan becslse az esemny valsznsgnek.

Bizonyts. Legyen a vizsglt esemny indiktorvltozja. Ekkor az esemny relatv

gyakorisga -vel egyenl, msrszt vrhat rtke a vizsglt esemny valsznsge. gy az llts annak a specilis esete, hogy a mintatlag torztatlan becslse a vrhat rtknek.

3.21. Feladat. Bizonytsa be, hogy egy esemny relatv gyakorisga ersen konzisztens becslssorozata az esemny valsznsgnek.

Bizonyts. Az llts annak a specilis esete, hogy a mintatlag ersen konzisztens becslssorozata a vrhat rtknek.

3.22. Feladat. Bizonytsa be, hogy egy ismeretlen valsznsg esemny relatv

gyakorisga hatsos becslse -nek. (Azaz paramter karakterisztikus eloszls valsznsgi vltozra vonatkoz mintbl szmolt mintatlag hatsos becslse a vrhat rtknek.)

Bizonyts. Legyen a vizsglt esemny indiktorvltozja s egy -re vonatkoz

minta. Ekkor az esemny relatv gyakorisga , tovbb az eddigiek alapjn a torztatlan

becslse. Legyen tetszleges torztatlan becslse -nek,

s

Knnyen lthat, hogy szimmetrikus statisztika s torztatlan becslse -nek.

Ha a mintarealizciban pontosan darab 1 van, akkor fggetlenl attl,

hogy pontosan melyek azok, a szimmetria miatt az rtke mindig ugyanaz. Ezt a kzs rtket jelljk -val. Annak a valsznsge, hogy a mintarealizciban pontosan darab 1 van

Mindezekbl a torztatlansg miatt

azaz

minden esetn. Ez pedig csak gy lehetsges, ha minden esetn. Ebbl az kvetkezik, hogy

gy azt kell beltni, hogy , amely azzal ekvivalens a

torztatlansg miatt, hogy . Legyen

Pontbecslsek


Ekkor az elzekhez hasonlan lthat, hogy

Msrszt

gy elg azt beltni, hogy

Ez viszont teljesl a szmtani s a ngyzetes kzp relcija miatt, hiszen -nak darab eleme van.

1.3. Szrsngyzet becslse

Ebben az alszakaszban feltesszk, hogy minden esetn.

3.23. Feladat. Bizonytsa be, hogy a tapasztalati szrsngyzet torztott becslse a szrsngyzetnek.

Bizonyts. A Steiner-formula s miatt

3.24. Feladat. Bizonytsa be, hogy a tapasztalati szrsngyzet aszimptotikusan torztatlan becslssorozata a szrsngyzetnek.

Bizonyts. Lttuk, hogy , gy .

Pontbecslsek


3.25. Feladat. Bizonytsa be, hogy a tapasztalati szrsngyzet ersen konzisztens becslssorozata a szrsngyzetnek.

Bizonyts. A Kolmogorov-fle nagy szmok trvnye miatt

gy a Steiner-formulbl kapjuk az lltst.

3.26. Feladat. Bizonytsa be, hogy a korriglt tapasztalati szrsngyzet torztatlan becslse a szrsngyzetnek.

Bizonyts. Lttuk, hogy , gy .

3.27. Feladat. Bizonytsa be, hogy a korriglt tapasztalati szrsngyzet ersen konzisztens becslssorozata a szrsngyzetnek.

Bizonyts. Az llts a tapasztalati szrsngyzet ers konzisztencijbl kvetkezik, hiszen

.

2. Informcis hatr

Legyen egy ismeretlen paramter karakterisztikus eloszls valsznsgi vltoz, tovbb a

rvonatkoz minta . Korbban bizonytottuk, hogy hatsos becslse -nek. Mivel

, ezrt azt kapjuk, hogy a sszes vges szrs torztatlan becslsnek szrsa

nagyobb vagy egyenl, mint .

ltalnossgban, ha sszes vges szrs torztatlan becslsnek szrsa nagyobb vagy egyenl, mint egy -tl fggetlen rtk, akkor ezt informcis hatrnak nevezzk.

Ennek a szakasznak a clja az informcis hatr meghatrozsa azzal a feltevssel, hogy abszolt folytonos

vagy diszkrt, illetve , azaz csak egy paramter ismeretlen . Feltesszk mg, hogy nylt

halmaz. Amennyiben abszolt folytonos, akkor jellje -nek a -bl szrmaz srsgfggvnyt. A -re

vonatkoz minta legyen , tovbb a rtkkszlete legyen , azaz a mintatr .

3.28. Definci. A minta likelihood fggvnye

A minta loglikelihood fggvnye .

3.29. Definci. A minta Fisher-fle informcimennyisge

feltve, hogy ez a fggvny rtelmezhet. Ellenkez esetben azt mondjuk, hogy a Fisher-fle informcimennyisg nem ltezik.

3.30. Definci. Legyen egy tetszleges fggvny. Azt mondjuk, hogy -re teljesl a bederivlsi felttel, ha

Pontbecslsek


vagy

aszerint, hogy abszolt folytonos vagy diszkrt.

3.31. Megjegyzs. Ha vges, akkor -re trivilisan teljesl a bederivlsi felttel.

3.32. Lemma. -re pontosan akkor teljesl a bederivlsi felttel, ha

aszerint, hogy abszolt folytonos vagy diszkrt.

Bizonyts. Csak abszolt folytonos esetben bizonytunk, de diszkrt esetben analg mdon jrhatunk el, melyet az Olvasra bzunk. A bizonytshoz vegyk szre, hogy

s . Most tegyk fel, hogy . Ebbl kapjuk, hogy

azaz ekkor -re teljesl a bederivlsi felttel. Megfordtva, ha feltesszk, hogy -re teljesl a bederivlsi felttel, akkor

Ezzel teljes a bizonyts.

3.33. Ttel. Ha -re teljesl a bederivlsi felttel s ltezik, akkor is ltezik s

.

Bizonyts. Csak abszolt folytonos esetben bizonytunk, de diszkrt esetben analg mdon

jrhatunk el, melyet az Olvasra bzunk. Az , gy

Ebbl

Pontbecslsek


Msrszt

Ebbl

3.34. Feladat. Karakterisztikus eloszls esetn hatrozza meg a Fisher-fle informcimennyisget.

Megolds. Legyen teht egy paramter karakterisztikus eloszls

valsznsgi vltoz, s a rvonatkoz minta . Ekkor

s . gy

Msrszt vgessge miatt -re teljesl a bederivlsi felttel, melybl

3.35. Feladat. Legyen , ahol rgztett. Hatrozza meg a Fisher-fle informcimennyisget.

Megolds.

, azaz -re teljesl a bederivlsi felttel. Korbban lttuk, hogy ekkor

Pontbecslsek


Ebbl kapjuk, hogy .

3.36. Feladat. Legyen ismeretlen paramter Poisson-eloszls. Hatrozza meg a Fisher-fle informcimennyisget.

Megolds.

Msrszt

azaz -re teljesl a bederivlsi felttel. Ebbl kapjuk, hogy .

3.37. Feladat. Legyen . Hatrozza meg a Fisher-fle informcimennyisget.

Megolds.

Msrszt

azaz -re teljesl a bederivlsi felttel. Ebbl kapjuk, hogy .

3.38. Feladat. Legyen egyenletes eloszls a intervallumon . Mutassa meg,

hogy ekkor nem teljesl -re a bederivlsi felttel, tovbb az s

meghatrozsval bizonytsa be, hogy , ha .

Pontbecslsek


Megolds. , gy -re valban nem teljesl a bederivlsi felttel.

Teht ekkor , azaz esetn .

3.39. Ttel (RaoCramr-egyenltlensg). Legyen vges szrs torztatlan

becslse -nak, ahol differencilhat fggvny. Tegyk fel, hogy -re s -

re teljesl a bederivlsi felttel, tovbb, hogy ltezik s pozitv. Ekkor

minden esetn. A kifejezs az gynevezett informcis hatr.

Bizonyts. Csak abszolt folytonos esetben bizonytunk, de diszkrt esetben analg mdon

jrhatunk el, melyet az Olvasra bzunk. Korbban mr lttuk, hogy az adott felttelekkel

ltezik s . Legyen

Ekkor

msrszt

Pontbecslsek


Ezekbl , msrszt jellssel

gy , melybl kvetkezik az llts.

3.40. Lemma (Bederivlhatsgi lemma). Ha vges szrs statisztika,

ltezik, pozitv s folytonos, tovbb a vltozban folytonosan differencilhat

minden esetn, akkor -re s -re teljesl a bederivlsi felttel.

A bizonytst nem kzljk, mert terjedelmes s bonyolult. (Lsd pl. A. A. Borovkov [1, 16. 1. Lemma, 164.

oldal, VI. Ttel bizonytsa, 470. oldal].) A bederivlhatsgi lemma -re s -re vonatkoz feltteleit gyenge regularitsi feltteleknek is nevezzk.

3.41. Feladat. A RaoCramr-egyenltlensggel bizonytsa be, hogy egy valsznsg esemny relatv gyakorisga hatsos becslse -nek.

Megolds. Legyen egy paramter karakterisztikus eloszls valsznsgi

vltoz, s a rvonatkoz minta . Korbban lttuk, hogy vges szrs torztatlan

becslse -nek s . Msrszt miatt az informcis hatr

. Most legyen tetszleges vges szrs torztatlan becslse -

nek. Mivel vges, ezrt -re s -re teljesl a bederivlsi felttel. gy a RaoCramr-

egyenltlensg miatt . Ebbl kvetkezik az llts.

3.42. Feladat. Legyen , ahol rgztett. Bizonytsa be, hogy a mintatlag hatsos becslse -nek.

Megolds. Korbban lttuk, hogy vges szrs torztatlan becslse -nek s

. Msrszt miatt az informcis hatr . Most legyen

Pontbecslsek


tetszleges vges szrs torztatlan becslse -nek. Mivel a bederivlhatsgi

lemma minden felttele teljesl, ezrt -re s -re teljesl a bederivlsi felttel. gy a Rao

Cramr-egyenltlensg miatt . Ebbl kvetkezik az llts.

3.43. Feladat. Legyen ismeretlen paramter Poisson-eloszls. Bizonytsa be, hogy a mintatlag hatsos becslse -nak.

Megolds. Tudjuk, hogy vges szrs torztatlan becslse -nak s . Msrszt

miatt az informcis hatr . Most legyen tetszleges vges szrs torztatlan becslse -nak. Mivel a bederivlhatsgi lemma minden

felttele teljesl, ezrt -re s -re teljesl a bederivlsi felttel. gy a RaoCramr-

egyenltlensg miatt . Ebbl kvetkezik az llts.

3.44. Feladat. Legyen . Bizonytsa be, hogy a mintatlag hatsos becslse -nak.

Megolds. Korbban lttuk, hogy vges szrs torztatlan becslse -nak s .

Msrszt miatt az informcis hatr . Most legyen

tetszleges vges szrs torztatlan becslse -nak. Mivel a bederivlhatsgi

lemma minden felttele teljesl, ezrt -re s -re teljesl a bederivlsi felttel. gy a Rao

Cramr-egyenltlensg miatt . Ebbl kvetkezik az llts.

3. Pontbecslsi mdszerek

A fejezet htralv rszben kt ltalnos mdszert ismertetnk pontbecslsek konstrulsra.

3.1. Momentumok mdszere

Ez volt az els ltalnos eljrs pontbecslsek ksztsre. A mdszer K. Pearson nevhez fzdik. Az elve az, hogy darab ismeretlen paramter esetn a -adik momentumot a -adik tapasztalati momentummal becsljk

. A kvetkez ttel szerint, bizonyos felttelek esetn az gy kapott becslsei az ismeretlen paramtereknek ersen konzisztensek.

3.45. Ttel. Legyen a vizsglt valsznsgi vltoz s a paramtertr nylt

halmaz. Tegyk fel, hogy ltezik s vges minden esetn,

ltezik s folytonos -n minden esetn, tovbb az gynevezett Jacobi-determinns

minden esetn. Ha az

egyenletrendszernek 1-hez tart valsznsggel ltezik egyrtelm

megoldsa, amint , akkor ersen konzisztens becslssorozata -nak

.

Bizonyts. Legyen

Pontbecslsek


Az adott felttelekkel folytonos, gy nyltsga miatt is nylt. Ebbl ltezik rgztett

esetn -nak olyan sugar krnyezete, mely rszhalmaza -nak. A nagy

szmok ers trvnye miatt ersen konzisztens becslssorozata -nak

, melybl a konzisztencia is kvetkezik. gy brmely esetn van olyan , hogy esetn

Innen kapjuk, hogy

azaz legalbb valsznsggel, amennyiben . Ebbl kvetkezik, hogy

Teht 1-hez tart valsznsggel , ahol a inverzt jelenti. Az inverzfggvny-ttel miatt (lsd W. Rudin [14, 230. oldal]) az adott

felttelekkel ltezik s folytonos. ersen konzisztens becslssorozata -

nak , melybl a folytonossga miatt 1 valsznsggel teljesl, hogy

Mindezekbl

(Az utbbi kt hatrrtk koordintnknt rtend.) Ezzel az llts bizonytott.

3.46. Feladat. Bizonytsa be, hogy ha , akkor ersen konzisztens becslssorozata -nak.

Megolds. Az elz ttel felttelei teljeslnek, gy az

megoldsa ersen konzisztens becslssorozata -nak.

3.47. Feladat. esetn szmolja ki az s becslst a momentumok mdszervel.

Megolds. A kvetkez egyenletrendszert kapjuk:

Pontbecslsek


Ennek a megoldsa s . Ezekrl mr korbban is lttuk, hogy ersen konzisztens becslssorozatok, de az elz ttel is ezt mutatja, hiszen a felttelek teljeslnek.

3.48. Feladat. Legyen egyenletes eloszls az ismeretlen intervallumon. Szmolja ki az s becslst a momentumok mdszervel. Bizonytsa be, hogy ezek ersen konzisztens becslssorozatok.

Megolds. A kvetkez egyenletrendszert kapjuk:

Ennek a megoldsa s . Egyszer szmolssal kapjuk,

hogy a Jacobi-determinns , gy az elz ttel miatt teljesl, hogy ezek a becslssorozatok ersen konzisztensek.

3.2. Maximum likelihood becsls

A maximum likelihood (magyarul: legnagyobb valsznsg) becsls elve az, hogy adott mintarealizcihoz az ismeretlen paramtereknek olyan becslst adjuk meg, amely mellett az adott mintarealizci a legnagyobb valsznsggel kvetkezik be.

Ennek az elvnek a vizsglatban feltesszk, hogy a vizsglt valsznsgi vltoz abszolt folytonos vagy

diszkrt, , a -re vonatkoz minta , tovbb a rtkkszlete , azaz a mintatr . Ha

abszolt folytonos, akkor jellje -nek a -bl szrmaz srsgfggvnyt, ahol . Elszr a mr korbban definilt likelihood fggvnyt terjesztjk ki esetre.

3.49. Definci. A minta likelihood fggvnye

3.50. Definci. A statisztika a maximum likelihood becslse

, ha

minden s esetn.

Teht a becsls kiszmtsa nem ms, mint szlsrtkhely keress. Praktikus okbl nem a likelihood fggvnynek fogjuk a maximumhelyt keresni, hanem a termszetes alap logaritmusnak. Ezzel a szlsrtkhely nem vltozik, hiszen szigoran monoton nvekv fggvny. Az ok az, hogy ekkor nem szorzatot, hanem sszeget kell vizsglni.

3.51. Definci. A minta loglikelihood fggvnye .

Pontbecslsek


3.52. Feladat. Legyen egyenletes eloszls az intervallumon. Szmolja ki s maximum likelihood becslst.

Megolds. A loglikelihood fggvny

Ennek maximumhelye s , gy a maximum likelihood becslse -nak s

-nek .

3.53. Feladat. Legyen Poisson-eloszls paramterrel. Szmolja ki maximum likelihood becslst azzal a feltevssel, hogy a mintarealizcinak van nulltl klnbz eleme.

Megolds. , ami vltoz

szerint differencilhat fggvny az halmazon. Mivel

megoldsa , s , ezrt loklis maximumhely. Mivel

sszefgg halmaz, s csak egy loklis szlsrtkhely van, ezrt globlis

maximumhely. Teht a maximum likelihood becslse -nak .

3.54. Feladat. Legyen . Szmolja ki maximum likelihood becslst.

Megolds. , ami

vltoz szerint differencilhat fggvny az halmazon. Mivel

megoldsa , s , ezrt loklis maximumhely.

Mivel sszefgg halmaz, s csak egy loklis szlsrtkhely van, ezrt globlis

maximumhely. Teht a maximum likelihood becslse -nak .

3.55. Feladat. Legyen . Szmolja ki s maximum likelihood becslst.

Megolds. A loglikelihood fggvny

ami s vltozk szerint parcilisan differencilhat fggvny az halmazon. Tekintsk a kvetkez egyenletrendszert:

Pontbecslsek


Ennek egyetlen megoldsa: s . Msrszt

tovbb , gy loklis maximumhely. Mivel sszefgg

halmaz, s csak egy loklis szlsrtkhely van, ezrt globlis maximumhely. Teht a

maximum likelihood becslse -nek , illetve -nak .

Az utbbi hrom pldban lttuk, hogy a maximum likelihood becsls meghatrozsnl kulcsszerepe lehet a

egyenletrendszernek. Ezt az egyenletrendszert likelihood egyenletrendszernek nevezzk. Termszetesen esetn egyenletrendszer helyett egyenletet kapunk. Sokszor a likelihood egyenletrendszer megoldsa s a maximum likelihood becsls egybeesik, de ez nem mindig van gy. Ilyen plda konstrulsa igen bonyolult, most eltekintnk tle.

A likelihood egyenlet megoldsnak a j tulajdonsgt, bizonyos felttelek esetn, a kvetkez ttel fogalmazza meg.

3.56. Ttel (Wald-ttel). Ha , az differencilhat a valdi paramter egy

krnyezetben, tovbb ltezik s vges minden esetn, akkor a

likelihood egyenletnek van olyan megoldsa, amelyre teljesl, hogy

ahol a minta elemszmt jelenti.

Bizonyts. Csak abszolt folytonos esetben bizonytunk, de diszkrt esetben analg mdon jrhatunk el, melyet az Olvasra bzunk. Mivel konvex fggvny, ezrt a Jensen-egyenltlensg alapjn minden esetn

azaz az identifiklhatsg miatt minden esetn

A Kolmogorov-fle nagy szmok ers trvnye s

Pontbecslsek


miatt

minden esetn. Mindezekbl kapjuk, hogy

minden esetn. Ebbl elg nagy -ekre kapjuk, hogy

minden esetn. Most legyen olyan, hogy . Ekkor elg nagy -ekre

melybl kvetkezik az llts, hiszen tetszlegesen kicsi lehet.

A likelihood egyenlet egy megoldsnak tovbbi j tulajdonsgait lltja Cramr ttele, melyet bonyolultsga miatt nem taglalunk (lsd pl. Fazekas I. [2, 90. oldal]).


4. fejezet - Intervallumbecslsek

1. Az intervallumbecsls feladata

Legyen a vizsglt valsznsgi vltoz az , statisztikai mezn, ahol

nylt halmaz. A feladat jellssel valdi rtknek becslse.

Amint korbban lttuk a pontbecsls valdi rtkt egy szmmal becsli. Mindezt egy statisztika realizcijval tettk meg. Intervallumbecslsnl egy olyan intervallumot adunk meg, amelybe a valdi rtke nagy valsznsggel beleesik. Ezen intervallum als s fels vgpontjt egy-egy statisztika realizcijval adjuk meg. Magt a becsl intervallumot konfidenciaintervallumnak fogjuk nevezni.

4.1. Definci. Legyen a -re vonatkoz minta , tovbb

statisztikk. Azt mondjuk, hogy biztonsgi szint konfidenciaintervallum a paramterre, ha

minden esetn, ahol . A intervallumot centrlt konfidenciaintervallumnak nevezzk -ra, ha

minden esetn. Az

rtket a -ra vonatkoz konfidenciaintervallum pontos biztonsgi szintjnek nevezzk.

Ha diszkrt, akkor adott -hoz nem felttlenl tallhat olyan konfidenciaintervallum, melynek a pontos biztonsgi szintje. Ezrt definiltuk a biztonsgi szintet az elz mdon.

2. Konfidenciaintervallum a normlis eloszls paramtereire

4.2. Feladat. Legyen s egy -re vonatkoz minta. Tegyk fel, hogy ismeretlen, de ismert. Adjon -re olyan centrlt konfidenciaintervallumot, melynek a pontos biztonsgi szintje.

A megoldshoz szksgnk lesz a kvetkez ttelre.

4.3. Ttel. Ha s egy -re vonatkoz minta, akkor

Bizonyts. Tudjuk, hogy normlis eloszls, s

, azaz . gy, ha jelli a eloszlsfggvnyt, akkor esetn

Intervallumbecslsek


Ezzel bizonytott az llts.

Most trjnk vissza a feladatra.

Megolds. Legyen . Ekkor az elz ttel szerint

Mivel pontosan akkor teljesl, ha , ezrt ilyen -re trendezssel azt kapjuk, hogy

Knny ltni, hogy ez centrlt konfidenciaintervallum, hiszen

sszefoglalva teht a megolds:

jellsekkel olyan centrlt konfidenciaintervallum -re, melynek a pontos biztonsgi szintje.

4.4. Feladat. Legyen s egy -re vonatkoz minta. Tegyk fel, hogy ismert s ismeretlen. Adjon -ra olyan centrlt konfidenciaintervallumot, melynek a pontos biztonsgi szintje.

A megoldshoz szksgnk lesz a kvetkez ttelre.

4.5. Ttel. Ha s egy -re vonatkoz minta, akkor

Bizonyts. Mivel fggetlen standard normlis eloszls valsznsgi vltozk, ezrt a ngyzetsszegk szabadsgi fok khi-ngyzet eloszls valsznsgi vltoz.

A feladat megoldsa eltt bevezetnk egy jellst, melyet a tovbbiakban gyakran fogunk alkalmazni. Legyen egy tetszleges valsznsgi vltoz, s az -val azonos eloszls valsznsgi vltozk halmaza. Ekkor

jellje azt, hogy a -beli valsznsgi vltozk kzs eloszlsfggvnye. Pldul

.

Megolds. Legyen s . Ekkor az elz ttel szerint

Intervallumbecslsek


Mivel pontosan akkor teljesl, ha s

, ezrt ebben az esetben

azaz trendezve

Vegyk szre, hogy miatt . sszefoglalva teht a megolds:

jellsekkel olyan centrlt konfidenciaintervallum -ra, melynek a pontos biztonsgi szintje.

4.6. Feladat. Legyen s egy -re vonatkoz minta . Tegyk fel, hogy s ismeretlenek. Adjon -ra centrlt konfidenciaintervallumot, mel

Matematikai Statisztika (Tómács Tibor)

Documents

Transcript of Matematikai Statisztika (Tómács Tibor)