Matematikai B¶vésztrükkök · 2013-03-26 · Bevezetés B¶vész? "A b¶vész nem varázsló,...

Matematikai B¶vésztrükkök

Mészáros Gábor

Central European University, Budapest

Apáczai Napok2013. Március 27.

Mészáros Gábor Matematikai B¶vésztrükkök

BevezetésB¶vész?


BevezetésB¶vész?

"A b¶vész nem varázsló, csak színész aki a varázsló szerepét játssza."

"Csak a kezemet �gyeljék, mert csalok!"

Rodolfo al. Gács Rezs® (1911-1987)


BevezetésMatematikus "B¶vészet" ?!



266× 5 =?

19× 21 =?

292 =?



266× 5 = 266×102

= 26602

= 1330,

19×21 = (20−1)×(20+1) = 202−12 = 400−1 = 399,292 = (30− 1)2 = 302 + 12 − 2× 30× 1 = 900+ 1− 60 = 841.



a = b (1)

a2 = ab (2)

a2 + (a2 − 2ab) = ab + (a2 − 2ab) (3)

2(a2 − ab) = a2 − ab (4)

2 = 1 (5)


Bevezetés

Miért érdekes egy b¶vésztrükk?LátványosVáratlan"Hogy csináltad?!"...

Nem feltétlenül szükséges kártya vagy cilinder a fenti hatásokeléréséhez. Lássunk néhány példát!


BevezetésNincs b¶vésztrükk közönség nélkül


BevezetésHangolódjunk rá...

1 Gondolj egy egész számra 1 és 10 között! Szorozd meg a gondoltszámot 9-cel!

2 Add össze a jegyeket! Vonj le a számból 5-öt!3 Válaszd ki a kapott számhoz tartozó bet¶t a táblázatból!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!

Gondolatolvasás (?)

A gondolt szavak sorrendben:

DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA




2 Add össze a jegyeket! Vonj le a számból 5-öt!

3 Válaszd ki a kapott számhoz tartozó bet¶t a táblázatból!1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J




DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J




DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!

5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!



DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

4 A kapott bet¶vel gondolj egy európai ország nevére!5 Az ország nevének harmadik bet¶jével gondolj egy színre!

6 A szín harmadik bet¶jével gondolj egy négylábú eml®s állatra!



DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J




DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKA





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J




DÁNIA

NARANCS(SÁRGA)

RÓKAMészáros Gábor Matematikai B¶vésztrükkök

BevezetésHangolódjunk rá...Megfejtés



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

n egész szám jegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva,mint az eredeti szám.

Számunk szorzást követ®en 9-cel osztható, így n ≤ 10 miatt a kapottjegyösszeg 9, a kivonást elvégezve az eredmény 4.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B C D E F G H I J

n egész szám jegyeinek összege ugyanannyi maradékot ad 9-cel osztva,mint az eredeti szám.

Számunk szorzást követ®en 9-cel osztható, így n ≤ 10 miatt a kapottjegyösszeg 9, a kivonást elvégezve az eredmény 4.

Mindenki a D bet¶t választja!!!



Európai ország D-vel: DÁNIA (Európán kívüli jelöltek?)

Szín N-nel: NARANCS (neonzöld?)

Négylábú eml®s R-rel: rozsomák, rackajuh, rozmár... de leginkábbRÓKA.

Összefoglalás

Az áldozat döntésének nincsen beleszólása a kimenetelbe.

Megjegyzés

A b¶vész fegyvertárának egyik f® eleme az irányítás átvétele a színfalakmögül. Lássunk néhány példát!


Néhány Egyszer¶ Trükk

I.


Néhány Egyszer¶ TrükkDUPLA FORDULAT

1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!

2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add

össze az eredetit és a megfordítottat.5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!

Csiribí, csiribá!A véletlenül sorsolt két szám azonos!



1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!

3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add





1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!

4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal addössze az eredetit és a megfordítottat.

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!




1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add

össze az eredetit és a megfordítottat.

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)!




1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal add





1 Gondolj egy háromjegy¶, nem palidrom számra!abc = 100a + 10b + c .

2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!|abc − cba| = |100a + 10b + c − 100c − 10b − a| = |99a − 99c | =99× |a − c | ∈ {99, 198, 297, 396, . . . , 891}.

4 Ismét fordítsd meg a(z el®z® lépés végén kapott) számot, ezúttal addössze az eredetit és a megfordítottat. x9y + y9x

5 Írd le az eredményt (ne mutasd meg senkinek)! Az eredmény:

1089!




2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!

3 Vedd a szám abszolút értékét!|abc − cba| = |100a + 10b + c − 100c − 10b − a| = |99a − 99c | =99× |a − c | ∈ {99, 198, 297, 396, . . . , 891}.



1089!




2 Fordítsd meg a számot, és a megfordítottat vond ki az eredetib®l!3 Vedd a szám abszolút értékét!|abc − cba| = |100a + 10b + c − 100c − 10b − a| = |99a − 99c | =99× |a − c | ∈ {99, 198, 297, 396, . . . , 891}.



1089!


Néhány Egyszer¶ TrükkVÁRATLAN UTAZÁS

1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!

2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?



1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!

3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?



1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!

4 Isten hozott... HOL IS?



1 Válassz tetsz®leges kezd®mez®t az ábrán!2 Utazz kék élen, majd ezt követ®en kétszer piros éleken!3 Ismételd meg az els® három lépést még kétszer!4 Isten hozott... HOL IS?


Road Coloring ProblemA "VÁRATLAN UTAZÁS" matematikai hátterér®l

FeladatAdott G = (V ,A) er®sen összefügg® irányított gráf, melyben minden csúcs"ki"-foka adott k egész. Színezzük az éleket k színnel, úgy, hogy megfelel®"szó" mentén utazva minden csúcsból ugyanoda érkezzünk.

Tétel[Kari, 2003] Ha G = (V ,A) er®sen összefügg® (aperiodikus) irányított gráf,melyben minden csúcs "ki"-foka és "be"-foka ugyanazon k egész, létezikmegfelel® "szinkronizáló" színezés.

Tétel[Trahtman, 2009] Ha G = (V ,A) er®sen összefügg® (aperiodikus)irányított gráf, melyben minden csúcs "ki"-foka adott k egész, létezikmegfelel® "szinkronizáló" színezés.


Néhány Egyszer¶ TrükkSTOP

1 Keverjük meg a paklit!

2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

"kis" paklit tegyük el szem el®l!6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?



1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!

3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik




1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!

4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik




1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!

5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik"kis" paklit tegyük el szem el®l!

6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?



1 Keverjük meg a paklit!2 Számoljunk le egy-egy pakliba 2,3,4,5 vagy 6 kártyát!3 Keverjük meg a megmaradt lapokat!4 A legfels® lapot nézzük meg, jegyezzük meg és tegyük vissza a helyére!5 A két "kis" pakli egyikét helyezzük a "nagy" pakli tetejére, a másik

"kis" paklit tegyük el szem el®l!

6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.7 A keresett lap: ?




"kis" paklit tegyük el szem el®l!6 A pakli lapjait egyesével letesszük, valaki "STOP"-pol.

7 A keresett lap: ?


Hangsúly az El®készületen

II.


Hangsúly az El®készületenPACÁK

1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!

2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!3 A gondolt szám...



1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!

3 A gondolt szám...



1 Gondolj egy pozitív egész számra 1 és 25 között!2 Keresd meg, melyik pacák tartalmazzák a gondolt számot!3 A gondolt szám...


Hangsúly az El®készületenPACÁK - Megoldás

A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.

Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD



A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!

Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD



A gondolt szám legalább 1, legfeljebb 5 pacában lehet.Összesen 25 − 1 = 31 különböz® adatot kaphatunk, mindegyikhezszámhoz különböz®nek kell tartoznia -OK!Trükk: Kódoljunk kettes számrendszer segítségével!7=KÉK+CIÁN+ZÖLD



Következmény

Az els® n szám kódolásához legalább dlog2 ne pacára van szükség. Ennyielegend®, a bináris kódolás egy lehetséges megoldás.

Megjegyzés

Az közölt megoldás mellett számos további csoportosítás is elképzelhet®,pl. bináris eltoltja és/vagy komplementere.


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: PAKLIK

A b¶vész az {1, 2, . . . , 99, 100} lapokból álló paklit három kisebb paklirabontja. Egy önkéntes két tetsz®les lapot húz, a b¶vésznek megmondja ahúzott számot összegét. A b¶vész rámutat a választott paklikra.



A b¶vész az {1, 2 . . . , 100} lapokból álló paklit három kisebb paklirabontja. Egy önkéntes két tetsz®les lapot húz, a b¶vésznek megmondja ahúzott számot összegét. A b¶vész rámutat a választott paklikra.

Megoldás:

Szortírozás 3-as maradék alapján. 0+ 1 = 1, 0+ 2 = 2, 1+ 2 = 0, akódolás egyértelm¶.

Matematikai Diákolimpia, 2000./4.(Dobos Sándor)

Összesen két olyan csoportosítás létezik, mellyel a trükkelvégezhet®!

1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}




Megoldás:




1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}

2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}




Megoldás:




1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}






1 {1, 4, 7, . . . , 100} {2, 5, 8, . . . , 98} {3, 6, 9, . . . , 99}2 {1} {2, 3, 4, . . . , 98, 99} {100}

Kérdés:Kivitelezhet®-e a trükk, ha 4 blokkba szeretnénk szétrakni a kártyákat?


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: AZ ÖTÖDIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 5 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd az ötb®l négy lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja az ötödik lapot.




Ötlet 1.Az 52 lapot rendezzük, négy lappal kódoljuk az 5. sorszámát.

ROSSZ!A 4 lap sorrendje 4! = 24 féle lehet, nekünk legalább 52− 4 = 48 kódralenne szükségünk.




Ötlet 2.A segéd az els® lappal az 5. lap színét kódolja, a további három lappal asorszámot.

ROSSZ!A 3 lap sorrendje 3! = 6 féle lehet, nekünk legalább 11 kódra lenneszükségünk.



Megoldás

A segéd az els® lappal az 5. lap színét kódolja, a további három lappal az1. és 5. lapok ciklikus távolságát. Skatulya elv miatt az 5 lap közül 2azonos szín¶. válasszunk két ilyen lapot, tartsuk meg azt, melynek ciklikustávolsága társától legfeljebb 6. A 2.,3. és 4. lapok sorrendjével kódoljuk atávolságot.


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: A HARMADIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 3 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a háromból két lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

A kályhától...

A maradék két lap 2! = 2 sorrendet kódolhat.

A három lap színe lehet páronként különböz®.

...


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: A HARMADIK KÁRTYA � trükk segéddel

A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 3 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a háromból két lapot átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

A kályhától...

A maradék két lap 2! = 2 sorrendet kódolhat.

A három lap színe lehet páronként különböz®.

...

Nincs Megoldás (?)

A Segéd 3-féle módon választhatja ki a rejtett kártyát. A megmaradt kétlapot 2 sorrendben, mindegyiket két féle módon forgatva adhatja át ⇒legfeljebb 3× 2!× 22 = 24 lapot tudunk kódolni.


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: VARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA

4+1A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 4 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése után további 1 lapotválaszt. A közönség az 5 lapból 4-et átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész azátnyújtott lapok alapján kitalálja az ötödik lapot.

2+1A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 2 lapját és átnyújtja ab¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése után további 1 lapotválaszt. A közönség a 3 lapból 2-t átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész azátnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

a+bA közönség a lapot, a segéd b lapot választ. A közönség az a+b lapbóla+b-1-t átnyújt a b¶vésznek. A b¶vész kitalálja a hiányzó lapot.


Hangsúly az El®készületenEsettanulmány: VARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA

2+1: A közönség kiválasztja az 52 lapos francia kártya 2 lapját ésátnyújtja a b¶vész segédjének. A segéd a kártyák megtekintése utántovábbi 1 lapot választ. A közönség a 3 lapból 2-t átnyújt a b¶vésznek. Ab¶vész az átnyújtott lapok alapján kitalálja a harmadik lapot.

Egyértelm¶ feladat

Olyan három elem¶ halmazokat kell képeznünk, hogy bármely 2 elemetpontosan egy hármas tartalmazzon. Lehet ilyet?


BlokkrendszerekVARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA � matematikai háttér

De�nícióEgy n elem¶ H halmazon megadott részhalmazok családja 2− (n, b, k, r , λ)blokkrendszer, ha:

minden részhalmaz k elem¶,

H minden x elemét pontosan r halmaz tartalmazza,

H bármely két elemét pontosan λ halmaz tartalmazza.

Fano-sík � példa 2-(7,3,1) blokkrendszerre


BlokkrendszerekVARIÁCIÓK EGY TÉMÁRA � matematikai háttér

Nekünk egy 2− (52, 3, 1) blokkrendszerre lenne szükségünk. Vannak-e aFano-síknál nagyobb blokkrendszerek?


BlokkrendszerekSET � egy másik kártyajáték


BlokkrendszerekSET � egy másik kártyajáték

Azok a hármasok formálnak halmazokat ("egyeneseket"), melyeknél akártyák mindegyik tulajdonságra nézve

vagy páronként különböz®ek,

vagy páronként azonosak.


BlokkrendszerekSET példa "egyenesre"


BlokkrendszerekSET

Állítás

A SET 34 = 81 kártyát tartalmaz, melyek összesen (812)

3= 1080 halmazt

tartalmaznak.

Állítás

Egy 2− (n, k , λ) blokkrendszer összesen b =(n2)

(k2)× λ halmazt tartalmaz.

?Miért egyenes?


BlokkrendszerekSET

De�nícióEgy 2− (n, k , 1) blokkrendszer véges projektív sík, ha bármely két halmazmetszete pontosan 1 elem¶.

PéldaA Fano sík projektív sík, a SET nem.


Hangsúly az El®készületenA HARMADIK KÁRTYA matematikai háttere

NADE AKKOR MEG TUDJUKCSINÁLNI A TRÜKKÖT???Tények

Máig nyitott kérdés, milyen elemszámokra léteznek véges projektívsíkok.

Nem létezik 52 elem¶ projektív sík.

Tudomásom szerint nem ismert 52 elem¶ blokkrendszer. (BOCS')

Már blokkrendszerek konstruálása is nehéz, t ≥ 3 esetén t − (n, k , λ)rendszerekre csak véges sok példa ismert.


Ott, ahol elkezdtük

Válaszd ki az alább feltüntetett 6 lap egyikét!

Gondolj er®sen a kiválasztott lapra!

Most eltüntetem a kiválasztott lapot a sorból!






Huss!






Huss!

Most pedig a többit is!






Huss!

Most pedig a többit is!

Huss!


KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!


(huss)


Matematikai B¶vésztrükkök · 2013-03-26 · Bevezetés B¶vész? "A b¶vész nem varázsló,...

Documents

Transcript of Matematikai B¶vésztrükkök · 2013-03-26 · Bevezetés B¶vész? "A b¶vész nem varázsló,...