Matematika Terapan Klp 4-Ok
-
Upload
sriwullandari-sb -
Category
Documents
-
view
317 -
download
3
description
Transcript of Matematika Terapan Klp 4-Ok
RELASI DAN FUNGSI
RELASI
1. Pengertian Relasi
Untuk mengetahui pengertian relasi, mari perhatikan ilustrasi berikut.
Sekumpulan anak yang terdiri dari Tino, Ayu, Togar, dan Nia berada di
sebuah toko alat tulis. Mereka berencana membeli buku dan alat tulis.
Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membeli penggaris dan
penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dan tempat pensil, sedangkan
Nia membeli pensil dan penggaris.
Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak = {Tino, Ayu, Togar,
Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis, pensil, penggaris, penghapus,
bolpoin, tempat pensil}. Himpunan anak dengan himpunan alat tulis
dihubungkan oleh kata membeli. Dalam hal ini, kata membeli merupakan
relasi yang menghubungkan himpunan anak dengan himpunan alat tulis.
Contoh :
Bagan berikut menunjukkan silsilah keluarga Bapak Sitorus dan Ibu Meri.
Tanda panah menunjukkan hubungan “mempunyai anak.”
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang
memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota
himpunan B.
Sitorus + Meri
2. Rangga + Nita 3. Aryo + Ayu1. Ali + Wulan
Lina 1. Lisa 2. Bowo 3. Adi1. Aditya 2. Niken
Dari bagan di atas tentukan salah satu relasi yang mungkin antara nama-nama
pada silsilah tsb !
Penyelesaian :
Salah satu relasi yang mungkin dari silsilah tersebut:
2. Cara Menyajikan Suatu Relasi
Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah,
diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Untuk memahami hal
tersebut, perhatikan uraian berikut ini.
Pengambilan data mengenai pelajaran yang disukai pada empat siswa di kelas
VI diperoleh seperti pada tabel berikut.
Tabel 2.1.
Nama Siswa Pelajran yang disukai
Buyung IPS, Kesenian
Doni Keterampilan, Olahraga
Vita IPA
Putri Matematika, Bahasa Inggris
Tabel 2.1. di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius,
dan himpunan pasangan berurutan seperti di bawah ini.
Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, Kesenian,
Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris}, dan “pelajaran
Ali+ Wulan
Rangga+ Nita
Aryo + Ayu
AdityaLinaNikenLisaBowoAdi
Mempunyai anak
Ali+ Wulan
Rangga+ Nita
Aryo + Ayu
AdityaLinaNikenLisaBowoAdi
Mempunyai anak
yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan
B.
a. Dengan diagram panah
Gambar 2.2. di bawah ini menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari
himpunan A ke himpunan B. Arah panah menunjukkan anggota-anggota
himpuna A yang berelasi dengan anggota-anggota pada himpunan B.
A B
b. Diagram Cartesius
Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram
Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan
anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap anggota
himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah. Gambar 2.3.
menunjukkan diagram Cartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari
data pada tabel 2.1.
Buyung •
Doni •
Vita •
Putri •
IPS
Kesennian
Keterampilan
Olahraga
Matematika
IPA
Bahasa Inggris
pelajaran yang disukai
Bahasa Inggris
IPA
Matematika
Olahraga
Keterampilan
Kesenian
IPS
b d v p
u o i u
y n t t
u i a r
n i
g
c. Dengan himpunan pasangan berurutan
Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1. sebagai berikut.
{(Buyung, IPS), (Buyung , Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni,
Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}.
Gambar 2.3. Diagram Cartesius
FUNGSI ATAU PEMETAAN
1. Pengertian Fungsi
Perhatikan uraian berikut.
Pengmabilan data mengenai berat badan dari enam siswa kelas V disajikan pada
tabel berikut.
Nama Siswa Berat Badan (kg)
Anik 35
Andre 34
Gita 30
Bayu 35
Asep 33
Dewi 32
Gambar di atas merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi berat
badan dari data pada tabel.
Dari diagram panah di tersebut, dapat diketahui hal-hal sebagai berikut :
a. Setiap siswa memiliki berat badan.
Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan atau pasangan dengan
anggota B.
Anik •Andre •Gita •Bayu •Asep •Dewi •
30
31
32
33
34
35
Berat badan
b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.
Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau
pasangan dengan anggota B.
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi
himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap
anggota A ke himpunan B. Relasi yang demikian dinamakan fungsi
(pemetaan). Jadi, fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah
relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B.
Contoh :
Di antara relasi yang disajikan pada diagram panah berikut manakah yang
merupakan fungsi ? Berilah alasannya.
(i)
(ii)
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah :
a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;
b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
p •
q •
r •
1
2
3
4
p •
q •
r •
1
2
3
4
(i) Diagram panah pada (i) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai satu pasangan di B.
(ii) Diagram panah pada (ii) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu p mempunyai empat pasangan di B dan anggota A yaitu q dan r tidak mempunyao pasangan di B.
2. Notasi dan Nilai Fungsi
Diagram di atas menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota
himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsinya dapat ditulis sebagai
berikut :
dibaca : fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B
Atau dapat digambarkan seperti berikut.
A B
f
Dalam hal ini, y = f(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsi f. Variabel x
dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan A dan disebut variabel
bebas. Adapun variabel . Adapun variabel y anggota himpunan B yang
merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan (bergantung pada) oleh aturan
yang didefinisikan, dan disebut variabel bergantung.
Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai fungsi untuk x
tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi
f(x) = ax + b.
f : x y atau f : x f(x)
x •
C
y=f(x)
Himpunan A disebut domain (daerah asal).
Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).
Himpunan C ϲ B yang memuat y disebut range (daerah hasil).
Contoh :
A B
f
a. Perhatikan diagram panah di atas. Tentukan :
(i) domain;
(ii) kodomain;
(iii) range;
(iv) bayangan dari 1, 2, 3, 4, dan 5 oleh fungsi f.
b. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x2 – 3x + 1. Tentukan
nilai fungsi f(x) untuk :
(i) x = 2;
(ii) x = - 3.
Penyelesaian :
a. (i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) Kodomain = B = {a, b, c, d, e}
(iii) Range = {a, c, e}
(iv) Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = a.
Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = b.
Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = c.
Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = d.
Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.
b. (i) Substitusikan nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1, sehingga :
f(x) = 2x2 – 3x + 1
f(2) = 2x2 – 3x + 1
= 8 – 6 + 1 = 3
1 •2 •3 •4 •5 •
a
b
c
d
e
(ii) Substitusikan nilai x = - 3 ke fungsi f(x) = 2x2 – 3x + 1, sehingga :
f(x) = 2x2 – 3x + 1
f(- 3) = 2x2 – 3x + 1
= 18 + 9 + 1 = 28.
3. Menentukan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan
Himpunan Pasangan Berurutan
Fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, maka fungsi juga dapat
dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan
berurutan.
Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f : A B
ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka :
f(1) = 1 – 2 = -1
f(3) = 3 – 2 = 1
f(5) = 5 – 2 = 3
a. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sbg berikut :
A f B
1 •
3 •
5 •
-2-10123
b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut .
3
2
1
1 2 3 4 5
-1
-2
c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(1, -1),
(3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali
pada komponen pertama pada pasangan berurutan.
4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan
Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan,
perhatikan uraian berikut.
a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.
Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyai diagram
panah seperti berikut.
A B
1 • a
b. Jika A = {1, 2} dan B = {a}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 1.
Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampaknya seperti
diagram panah berikut.
A B
c. Jika A = {1} dan B = {a, b}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 2.
Banyaknya pemetaan yanhg mungkin dari A ke B ada dua, seperti
tampak pada diagram panah berikut.
A B A B
d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada satu seperti tampak
pada diagram berikut.
A B
1 •2 •
a
1 • a
b
1 • a
b
1 •2 •3 •
a
e. Jika A = {1} dan B = {a, b, c}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 3.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, seperti tampak
pada diagram panah berikut.
A B A B
A B
f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat seperti
tampak pada diagram panah berikut.
A B A B
A B A B
1 •
a
b
c
1 •
a
b
c
1 •
a
b
c
1 •2 •
a
b
1 •2 •
a
b
1 •2 •
a
b
1 •2 •
a
b
g. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat seperti
tampak pada diagram panah berikut.
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
1 •2 •3 •
a
b
Dengan mengamati uraian tersebut, untuk menentukan banyaknya
pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapat dilihat pada tabel
berikut.
Banyaknya Anggota Banyaknya
Pemetaan yang
Mungki dari A
ke B
Banyaknya
Pemetaan yang
Mungkin dari B
ke A
Himpunan A Himpunan B
1 1 1 = 11 1 = 11
2 1 1 = 12 2 = 21
1 2 2 = 21 1 = 12
3 1 1 = 13 3 = 31
1 3 3 = 31 1 = 13
2 2 4 = 22 4 = 22
3 2 8 = 23 9 = 32
Berdasarkan pengamatan tabel di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut.
Contoh :
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal},
hitunglah banyak pemetaan
a. dari A ke B
b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya.
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan
banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka :
a. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba.
b. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.
Penyelesaian :
a. A = {2,3}, n(A) = 2
B = {a, i, u, e, o}, n(B) = 5
Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52 = 25
b. Banyaknya pemetaan yang munkgin dari B ke A = ab = 25 = 32
5. Jenis-jenis Fungsi
a. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan
sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
Artinya untuk semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan
dengan sebuah nilai dalam daerah hasil Df . Dalam bentuk pemetaan,
fungsi konstan ditulis sebagai: f : x f(x) = k, dengan x R dan k adalah
sebuah konstanta atau nilai tetapan.
Suatu fungsi f : A -> B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi
konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) =
C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh
soal berikut ini.
Contoh 1
Diketahui f : R -> R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3
≤ x < 2}.
Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian
X -3 -2 -1 0 1f(x) 3 3 3 3 3
Grafik :
Contoh 2
Bu Sinta pergi ke toko alat tulis untuk membeli perlengkapan sekolah
ketiga anak asuhnya yang baru masuk SD. Di toko tersebut Bu Sinta
membeli buku tulis, pensil, penghapus, dan penggaris yang masing-masing
dibeli sebanyak 3 buah. Tentukanlah:
a. Pemetaan jenis barang dan jumlah barang yang dibeli Bu Sinta.
b. Buatlah grafiknya
Penyelesaian:
a. Daftar barang dan jumlah barang yang dibeli Bu Sinta di toko alat tulis.
b. Grafiknya:
b. Fungsi Identitas
Jenis Barang Jumlah Barang
Buku tulis 3
Pensil 3
Penghapus 3
Penggaris 3
Buku tulis
Pensil
Penghapus
Penggaris
3
Banyaknya barang yang di beli
Bukutulis
pensil penghapus penggaris
12
3f(x) = 3
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x
dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df
berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam daerah hasil Wf. Fungsi
identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan
identitas).
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain
fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada
dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik
asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas
ditentukan oleh f(x) = x. Agar kamu lebih memahami tentang fungsi
identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh 1:
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a) Carilah f(–2), f(-1), f(0), f(1), f(3).
b) Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian
a) f(x) = x b) Grafiknya:
f(–2) = –2
f(–1) = –1
f(0) = 0
f(1) = 1
c. Fungsi Modulus
Fungsi seperti y = | x |,
y = | ax + bx |
disebut fungsi modulus yaitu fungsi yang memasangkan setiap bilangan
real dengan nilai mutlaknya. Nilai mutlak untuk bilangan real x dinyatakan
dengan | x |, misalnya y = | x |, bentuk umum ini dapat diubah menjadi y2 =
x2, dengan perubahan ini tanda (notasi) nilai mutlaknya dihilangkan,
sehingga diperoleh:
y2 = x2 y2 – x2 = 0
(y + x) (y – x) = 0
y = - x untuk x ≤ 0
y = x untuk x ≥ 0
grafiknya seperti gambar di bawah ini.
Contoh:
y = x
y = - x
x
y
-2-1012
0 1 2
d. Fungsi linear
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R,
a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal
sebagai fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam
variable x.
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya
berupa garis lurus.
Pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian
2x + 3
X 0 -1
f(x) 3 0
Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x
ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel makan rumus
fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m makan nilai f(m) =
am + b. Dengan demikian kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika
diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b
ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.
Perhatikan contoh berikut.
Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = -5 dan f(-2) = -9. Tentukan f(x).
Penyelesaian :
Karena f fungsi linear, maka f(x) = ax + b
Grafik:
Dengan demikian diperoleh
f(0) = -5
f(0) = a(0) + b = -5
0 + b = -5
b = -5
Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut.
f(-2) = -9
f(-2) = a(-2) + b = -9
-2a -5 = -9
-2a = -9 + 5
-2a = -4
a =
a = 2
Jadi fungsi yang dimamksud adalah f(x) = ax + b = 2x – 5.
Contoh
Diketahui fungsi linear f : x f(x) = ax + b dengan nilai f(0) = 4 dan nilai
f(4) = 4.
a) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f(x).
b) Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun dengan
sumbu Y.
c) Gambarlah grafik fungsi f pada bidang cartesius untuk daerah asal Df
= .
Penyelesaian
a) f(x) = ax + b
Untuk f(0) = 4, maka diperoleh
f(x) = ax + b
f(0) = a(0) + b
(0) + b = 4
b = 4
Untuk f(4) = 4, maka diperoleh
f(x) = ax + b
f(4) = a(4) + b
4a + 4 = 4
4a = 8
a = 2
Jadi, nilai a = 2, b = 4, dan rumus untuk f(x) adalah f(x) = 2x + 4
b) y = f(x) = 2x + 4
Titik potong dengan sumbu X diperoleh bila y = 0
2x + 4 = y
2x + 4 = 0
x = 2 (2, 0)
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh bila x = 0
y = 2(0) + 4
y = 4 (0, 4)
Jadi, fungsi y = f(x) = 2x + 4 memotong di sumbu X di titik (2, 0)
dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).
c) Grafik fungsi y = f(x) = 2x + 4 untuk x R pada bidang Cartesius.
Y
4 (0, 4)
3
2
1 (2, 0)
0 1 2 3 4 5 6 X
-1
-2
-3
-4 (4, -4)
e. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c € R
dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga
disebut fungsi parabola. Jika a > 0, parabola terbuka keatas sehingga
mempunyai titik balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka kebawah
sehingga mempunyai titik balik maksimum.
Langkah-langkah dan gambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c.
1. Tentukan pembuatan nol fungsi y = 0 atau f(x) = 0
Pembuatan nol fungsi di persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c
diperoleh jika y = ax2 + bx + c. Sehingga diperoleh nilai x yang
memenuhi ax2 + bx + c = 0.
Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu-x,
sedangkan untuk menentukan titik potong dengan sumbu-y, dapat
dilakukan dengan mensubtitusikan nilai x tadi pada persamaan
kuadrat semula.
2. Tentukan sumbu simetri x =
3. Tentukan titik puncak P (x,y) dengan x = dan y = dengan nilai
diskriminan D = b2 – 4ac.
Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai
berikut
Catatan:
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akarnya dengan
:
- Pemfaktoran
- Melengkapi bentuk kuadrat sempurna
- Rumus abc: =
Contoh:
Gambarlah sketsa grafik fungsi y = x2 – 6x + 5
Penyelesaian:
a. Menentukan pembuatan nol fungsi, dengan pemfaktoran diperoleh
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1) (x – 5) = 0
x = 1 atau x = 5
b. Menentukan sumbu simetri x = = = = 3
c. Menentukan titik puncak P(x,y)
Karena nilai x sudah diperoleh maka cari nilai y dengan substitusi x
= 3 pada fungsi semula.
y = x2 – 6x + 5
= 32 – 6 (3) + 5
= 9 – 18 + 8
= – 4
Jadi puncak parabola adalah titik
(3, –4) sehingga sketsa grafik
seperti gambar di samping.
4 532 10
-1
-3
-2
-4
y
x
PENERAPAN FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT
1. Fungsi Linear
Fungsi linear dalam ekonomi
a. Fungsi Permintaan
Domain: Jumlah barang atau jasa (quantity) dilambangkan dengan Q
Kodomain: Harga (price) dilambangkan dengan P
Fungsi permintaan menyatakan hubungan antara banyaknya suatu barang
yang diminta dengan variabel harga.
Fungsi permintaan berasal dari hukum permintaan bahwa:
- Jika harga suatu barang naik maka permintaan akan turun
- Jika harga suatu barang turun maka permintaan akan naik
P
(0, b)
P = aq + b, a > 0
Q
( , 0)
b. Fungsi penawaran
Fungsi penawaran menyatakan hubungan antara banyaknya suatu barang
yang ditawarkan dengan variabel harga.
Fungsi penawaran berasal dari hukum penawaran bahwa:
- Jika harga suatu barang naik maka jumlah barang yang ditawarkan
akan meningkat
- Jika harga suatu barang turun maka jumlah barang yang ditawarkan
akan menurun
P
(0, b) P = aq + b, a > 0
Q
c. Keseimbangan pasar
Keseimbangan pasar terjadi jika harga yang diminta sama dengan harga
yang ditawarkan, atau jumlah barang yang diminta pasar sama dengan
jumlah barang yang ditawarkan.
P
S D: fungsi permintaan (demand)
E S: fungsi penawaran (supply)
D
Q
Titik keseimbangan pasar (E) merupakan titik perpotongan antara fungsi
permintaan (D) dan fungsi penawaran (S).
Contoh:
• Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P =
15 – Q, sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Berapa harga
keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
Penyelesaian:
Permintaan : P = 15 – Q
Penawaran : P = 3 + 0,5Q
Qd = Qs
15 – Q = 3 + 0,5Q
15 – 3 = Q + 0,5Q
12 = 1,5 Q
Q = 8
P = 15 – Q
P = 15 – 8
P = 7
P
15
Qs
E
7
Qd
8 15 Q
d. Model biaya linear
Biaya total = biaya tetap + biaya variabel
atau yc = mx + b
Contoh
Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp 50.000.000,00 diperkirakan
mengalami tingkat kenaikan konstan Rp 200.000,00 per tahun dalam
kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan
nilai tanah setelah 5 tahun!
Penyelesaian
Misalkan x (tahun) sebagai kurun waktu dan y (Rp) sebagai nilai harga.
Dari data diketahui bahwa:
y = Rp 50.000.000,00 jika x = 0
Gradien = m = Rp 200.000,00 (karena tiap tahun bertambah Rp
200.000,00) dengan demikian diperoleh persamaan garis harga:
y = mx + b
y = 200.000x + 50.000.000
Lima tahun sejak perolehan, nilai tanah dapat diperoleh dengan
y = 200.000 (5) + 50.000.000
y = 1.000.000 + 50.000.000
y = 51.000.000
Jadi, harga keseimbangannya adalah 7, dan jumlah keseimbangan adalah 8.
e. Titik pulang pokok (balik modal)
Jika yc adalah biaya produksi dan yr adalah biaya diperoleh dari penjualan,
maka nilai titik pulang pokok (break event point) diperoleh jika yc = yr.
Contoh
Sebuah pabrik memproduksi mainan anak-anak dengan biaya variabel Rp
4.000,00 per buah dan biaya tetap tiap bulannya Rp 12.000.000,00. Jika
mainan itu dijual seharga Rp 10.000,00 per buah, tentukan titik pulang
pokok!
Penyelesaian
Misalkan mainan yang diproduksi tiap bulan x buah. Jadi total biaya model
biaya linear yr = 4.000x + 12.000.000. Mainan yang terjual tiap bulan
sebanyak x buah juga. Dengan denikian dipenuhi yc = 10.000x sehingga
titik pulang pokok diperoleh dari:
yr = yc
4.000x + 12.000.000 = 10.000x
12.000.000 = 10.000x – 4.000x
12.000.000 = 6.000x
x = 2.000
Dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam yc = 10.000x, didapat
yc = 10.000 2.000 = 20.000.000
2. Fungsi Kuadrat
Contoh:
Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan memagari kandang ayam
seperti gambar di bawah ini!
Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya
adalah tembok.
Tentukan ukuran kandang tersebut agar luas kandang maksimum dan berikan
penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya!
Penyelesaian:
Buat sketsa kandang ayam seperti gambar berikut:
Berdasarkan gambar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram.
y + x + y = 100
x + 2y = 100
x = 100 – 2y
Luas kandang ayam = panjang lebar
L = x. y
L = (100 – 2y) . y
L = 100y – 2y2
L = -2y + 100y
L merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu:
L(y) = -2y2 +100y
Berarti a = -2, b = 100, c = 0.
Agar L maksimum maka y =
y =
y =
y = 25
Untuk y = 25 maka:
x = 100 – 2y
x = 100 – 2(25)
x = 100 – 50
x = 50
jadi, Agar diperoleh luas kandang maksimum maka kawat ram tersebut harus
digunakan untuk memagari kandang ayam yang berbentuk persegi panjang
dengan salah satu sisinya tembok dengan ukuran panjang = 50 meter dan
lebar = 25 meter.
Contoh penerapan fungsi kuadrat dalam ekonomi:
Sebuah pabrik menjual produknya Rp 1.000,00 per unit. Biaya pembuatan x
unit didapat menurut persamaan C = 10.000 + 100x + x2 .
Berapa banyak unit yang harus dibuat dan dijual untuk menerima laba Rp
192.500,00?
Penyelesaian:
Misalkan penerimaan dari penjualan x unit = 1.000x
Biaya pembuatan x unit = 10.000 +100x + x2
Laba dari penjualan x unit = 1.000x – (10.000 + 100x + x2)
Dengan demikian dipenuhi persamaan
1.000x – (10.000 + 100x + x2) = 192.500
Penyelesaian secara aljabar diperoleh
900x – 10.000 - x2 = 192.500
x2 – 900x + 202.500 = 0
(x – 450)2 = 0
x1 = x2 = 450
jadi untuk menerima laba Rp 192.500,00 perlu dibuat 450 unit.
DAFTAR PUSTAKA
Adiwijaya. Tanpa Tahun. Matematika Diskrit. Tanpa Kota: Sekolah
Tinggi Teknologi Telkom.
Nuharini, Dewi, Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya.
Jakarta: Pusat Perbukuan, Depdiknas.
Ruseffendi.1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru.
Bandung: Tarsito.
Soeyarto, Nugroho. 2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI
Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan, Depdiknas.
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta:
Penerbit Erlangga.