Matematika tau +. 6 klasė. DEMO. - · PDF fileSkaitmeninį vadovėlį „Matematika Tau...

VADOVĖLIŲ Matematika KOMPLEKTĄ SUDARO:

• Dvi vadovėlio dalys – visiems• Parsisiøsdinama Skaitmeninė vadovėlio versija – naudojantiems

kompiuterius • Pratybų sąsiuviniai – kuriems vadovėlio užduotys per sunkios• Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos• Kompiuterinės priemonės – visiems mėgstantiems naudotis

šiuolaikinėmis technologijomis• Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams• Mobili interaktyvi kompiuterinė (MIKO) knyga mokytojams –

informacijos kaupimui ir tvarkymui

tau

Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas.Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti

leidyklos specialistų.

9 7 8 6 0 9 4 3 3 2 2 2 7

ISBN 978-609-433-222-7

DEM

O

Skaitmeninį vadovėlį „Matematika Tau plius. 6 klasė“ kūrė:

Nijolė Drazdauskienė, Zita Manstavičienė, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigienė, Žydrūnė Stundžienė, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūtė, Valdas Vanagas, Elmundas Žalys.

Skaitmeniniame vadovėlyje panaudoti vadovėlio „Matematika Tau plius. 6 klasė“ PDF failai. Vadovėlio „Matematika Tau plius. 6 klasė“ komplektui medžiagą rengė:

Kornelija Intienė, Jolanta Gertrūda Knyvienė, Vida Meškauskaitė, Žydrūnė Stundžienė, Valdas Vanagas.

Technologijos © TEV, 2008–2015

DEM

O

3

TURINYS

1. NATŪRALIEJI SKAIČIAI IR NULIS 8

2. TRUPMENINIAI SKAIČIAI 28

3. PAPRASTOSIOS TRUPMENOS 50

4. REIŠKINIAI, LYGTYS, NELYGYBĖS 76

5. TARPUSAVYJE SUSIJĘ DYDŽIAI 94DEM

O

4

Apie vadovėlį

Vadovėlis parengtas pagal 2008 08 28 patvirtintą programą. Vadovėlis susideda iš dviejų dalių, kuriose yra po 5 skyrius.

Visų skyrių struktūra yra vienoda.

Skyrius prasideda įvadiniu atverstiniu

Kartojame

Kairiajame puslapyje yra uždaviniai, kuriuos spręsti buvo mokoma anksčiau. Spręsdami juos prisiminsite ir pakartosite

tai, ko prireiks nagrinėjant skyrių.

Turinys

Dešiniajame puslapyje yra skyriaus turinys. Kas skyriuje

yra svarbiausia, galima suprasti iš pagrindinių atverstinių

pavadinimų ir puslapio apačioje esančio aprašo.

Teorija

Kairiuosiuose puslapiuose yra teorija. Puslapio viršuje banguotomis

linijomis įrėminta tai, ko bus mokoma atverstinyje. Teorija

pateikiama užduotimis, kurias turėtų atlikti patys mokiniai.

Užduotis atlikti padės greta esantys pavyzdžiai ir paaiškinimai. Tai, kas

yra svarbiausia, surašyta lentoje. Žinoma, aiškinantis teoriją geriausias

pagalbininkas yra mokytojas!

Uždaviniai

Dešiniuosiuose puslapiuose yra su kairiųjų puslapių teorija susiję

uždaviniai. Jei uždavinys išskaidytas į a), b), c)... punktus, tai pradedama

nuo lengviausios užduoties ir baigiama sunkiausia. Jei uždavinyje

yra 1), 2), 3)... užduotys, tai jas reikia atlikti iš eilės. Spręsdami

šio puslapio uždavinius, ugdysite minimalius ir pagrindinius matematinius gebėjimus.

Toliau yra pagrindiniai atverstiniai

DEM

O

5

Skyrius baigiasi pasitikrinti skirtų uždavinių atverstiniu

Testas

Puslapis testinių uždavinių, apimančių pagrindinių atverstinių

tematiką. Sprendžiant juos, nebūtina rašyti sprendimų, pakanka gebėti

pasirinkti vienintelį teisingą atsakymą iš pateiktų penkių.

Besidomintiems

Čia pateikiami įrodymai faktų, kurie yra pagrindiniuose atverstiniuose. Nagrinėdami šį neprivalomą, smalsiems skirtą atverstinį,

praplėsite matematinį akiratį.

Sprendžiame

Šis uždavinių atverstinis skirtas mokiniams, kuriems pagrindiniuose atverstiniuose uždavinių buvo per mažai arba jie buvo per lengvi. Paskutiniai

uždaviniai yra netradiciniai ar galvosūkiai. Spręsdami šio atverstinio uždavinius, ugdysite aukštesniuosius matematinius gebėjimus.

Pasitikriname

Puslapis uždavinių, skirtų mokiniams pasitikrinti, o mokytojams –

patikrinti, kaip pavyko pasiekti pagrindinius skyriuje keliamus tikslus.

Galima sakyti, kad tai yra svarbiausi skyriaus uždaviniai. Jų atsakymus

rasite vadovėlio pabaigoje.

Prieš pradėdami nagrinėti pirmąjį skyrių išspręskite 6 ir 7 puslapiuose esančius uždavinius, kurie skirti prisiminti tai,

kas penktos klasės matematikos kurse buvo svarbiausia.

Apie vadovėlį

Apibendriname

Čia pateikiama pagrindiniuose atverstiniuose esančios teorijos santrauka. Greta apibrėžimo, savybės ar formulės už brūkšnio yra pavyzdžiai. Kai kurių

šiame atverstinyje surašytų faktų nėra pagrindiniuose atverstiniuose. Jie skirti stipresnių mokinių matematinėms žinioms gilinti ir plėsti.

Po pagrindinių yra stipresniems mokiniams skirti atverstiniai

Sėkmės!

DEM

O

6

Kartojame tai, ko mokėtės V klasėje

1. Skaičiaus 8 302 576 tūkstančių klasės dešimčių skyriuje yra skaitmuo:

A 5 B 7 C 8 D 2 E 0

2. Koks skaitmuo turėtų būti parašytas vietoj žvaigždutės, kad nelygybė591 002 < 5∗2 002 būtų teisinga?

A 9 B 8 C 7 D 6 E 5

3. Kuri lygybė yra neteisinga?

A 1 t = 10 cnt B 1 cnt = 1000 kg C 1 kg = 1000 g D 1 t = 1000 kgE 1 cnt = 100 kg

4. Kampas ABC yra smailus, kampas DEF –– bukas, kampas MNK ––status, o kampas POR –– ištiestinis. Kuri nelygybė yra neteisinga?

A ∠ABC < ∠MNK B ∠DEF > ∠MNK C ∠MNK < ∠PORD ∠DEF > ∠POR E ∠ABC < ∠DEF

5. Trikampio MNK kampas M lygus 45◦, o kampas N –– 98◦. Koks yrakampo K dydis?

A 32◦ B 37◦ C 45◦ D 90◦ E 180◦

6. Keturkampio trys kampai yra po 90◦. Koks yra ketvirto kampo dydis?

A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 180◦ E 360◦

7. 1 hektaras –– tai plotas kvadrato, kurio kraštinės ilgis lygus:

A 1 m B 10 m C 100 m D 1000 m E 10 000 m

8. Skaičius 333 yra sprendinys lygties:

A 3333 − x = 3300 B x + 3333 = 6663 C x · 333 = 333D 333 : x = 333 E x : 333 = 1

9. 7 % dydžio atitinka to dydžio:

A 71000 B 7

100 C 710 D 1

7 E 7 17

10. Skaičių 7,5 ir 3,7 skirtumą padaliję iš 0,2, gauname:

A 0,19 B 1,9 C 1,19 D 19 E 190

11. Kiek yra dviženklių skaičių, kurių dešimčių skaitmuo yra 9 arba 8, ovienetų skaitmuo –– 0, 1 arba 2?

A 2 B 3 C 4 D 5 E 6

12. Jei iš pavaizduotos išklotinės sulankstytumekubą, tai siena, priešinga nuspalvintai sienai,būtų:A K B L C A D S E Ė

K L

A S Ė

DEM

O

7


13. Atlikite veiksmus.a) 907 + 613 · (80 · 11 − 42 558 : 519);b) 4,76 + 3,24 : 0,8 + (0,623 + 1,12 · 3,8) : 4,1.

14. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.a) 1285 + x · 72, kai x = 25; b) 84,7 − 3,64 : y, kai y = 2,8.

15. Išspręskite lygtį.a) x + 3817 = 5002; b) x · 58 = 3596; c) x : 47 = 205;d) 23,8 − y = 10,1; e) 5,2 · y = 0,52; f) 8,4 : y = 21.

16. Parašykite visus natūraliuosius nelygybės 17 − x > 12 sprendinius.

17. Rokas išleido 0,7 turėtų pinigų. Kiek litų liko Rokui, jei jis turėjo 150 Lt?

18. Skalbimo mašina kainavo 1600 Lt. Milda ją pirko su 15 % nuolaida. Kieklitų sumokėjo Milda už skalbimo mašiną?

19. Kiek valandų sudaro 512 paros?

20. Iš ištiestinio kampo MON viršūnės O nubrėžti du spinduliai OA ir OBtaip, kad ∠NOA = ∠AOB = 55◦. Koks yra kampo MOB dydis?

21. Apskaičiuokite figūros perimetrą ir plotą.

37 cm

35 cm

12

cm

8,3 dm 12,4 m

7m

a) b) c)

22. Apskaičiuokite stačiakampio gretasienio visų briaunų ilgių sumą ir visopaviršiaus plotą.

a) b) c)

13 cm 13cm

13

cm

15,2 dm 10dm8

dm

30 dm

1m

4,5

m

23. Mokyklos valgykloje yra trijų rūšių bandelių: su obuoliais (O), su ci-namonu (C) ir su aguonomis (A). Taip pat yra dviejų rūšių gėrimo:arbatos (A) ir sulčių (S). Vaiva nori nusipirkti vieną bandelę ir vienąstiklinę gėrimo. Pavaizduokite jos pasirinkimo galimybių medį. Kiekskirtingų pasirinkimo galimybių turi Vaiva?

DEM

O

8

Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje

24. 1) Perskaitykite skaičius:2 308 047, 7 020 001, 9 300 250.

2) Pasakykite kiekvieno šio skaičiaus skaitmenis, sudarančius:a) vienetų klasę; b) tūkstančių klasę; c) milijonų klasę.

3) Kurioje skaičiaus skaitmenų klasėje ir kuriame skyriuje yra skait-muo 2?

Skaičiaus skaitmenys grupuojami iš dešinės po tris –– klasėmis:vienetų, tūkstančių, milijonų, ... .Kiekvieną klasę sudaro trys skyriai: vienetų, dešimčių, šimtų.Pavyzdžiui, 480 706

↑Tūkstančių klasės dešimčių skyriaus skaitmuo.

25. 1) Parašykite skaitmenimis skaičių:a) šimtas aštuoni tūkstančiai penkiasdešimt;b) septyni šimtai šešiasdešimt keturi tūkstančiai;c) du milijonai trys šimtai;d) devyni milijonai septyniolika tūkstančių.

2) Tą patį skaičių parašykite skaičiaus skaitmenų klasių santrumpomis.

Milijonai –– mln., tūkstančiai –– tūkst., vienetai –– vnt.

26. Palyginkite skaičius, parašydami tarp jų ženklą > arba <.a) 53 002 ir 6908; b) 47 205 ir 46 728; c) 508 332 ir 580 332.

27. Atlikite veiksmus.a) 1703 + 3898; b) 30 201 − 20 970; c) 306 · 153; d) 16 470 : 54.

28. Skaičių 64 užrašykite:a) suma dviejų skaičių, kurių vienas lygus 16;b) dviejų lygių skaičių suma;c) sandauga dviejų skaičių, kurių vienas lygus 16;d) dviejų lygių skaičių sandauga.

29. Dviejų skaičių dalmuo lygus 75. Kam lygus dalinys, jei daliklis lygus 18?

30. a) Dalinys ir daliklis yra lygūs. Kam lygus dalmuo?b) Dalinys ir dalmuo yra lygūs. Kam lygus daliklis, jei dalinys, daliklis ir

dalmuo yra natūralieji skaičiai?

DEM

O

9

1. NATŪRALIEJI SKAIČIAI IR NULIS

1.1. Skaitome ir rašome 101.2. Apvaliname 121.3. Dalijame iš 2, 3, 5, 9 ir 10 141.4. Ieškome daliklių ir kartotinių 161.5. Skaidome dauginamaisiais 18

Apibendriname 20Sprendžiame 22Besidomintiems 24

Testas 26Pasitikriname 27

DEM

O

1 skyrius

10

1.1. Skaitome ir rašome

Šiame atverstinyje prisiminsime natūraliuosius skaičius sudarančių skait-menų klases ir skyrius. Mokysimės skaityti bei rašyti natūraliuosius skai-čius, didesnius už 10 000 000, ir užrašyti skaičių jo skaitmenų skyrių suma.

Užduotis. 1) Perskaitykite lentelėje surašytus skaičius.

Milijard:ų

klasėsMilij

:onų

klasėsTūkstančių

klasės:

Vienetųklasės:

šim

tai

deš

imty

s

vie

net

ai

šim

tai

deš

imty

s

vie

net

ai

šim

tai

deš

imty

s

vie

net

ai

šim

tai

deš

imty

s

vie

net

ai

5

29

307

3

0

0

0

0

0

7

8

0

4

3

4

2

7

2

8

4

0

0

6

0

1

5

0

5

0

2

. . .

2) Pasakykite kiekvieno jų milijardų klasės vienetų skyriaus skaitmenį.3) Kurioje skaičiaus skaitmenų klasėje ir kuriame skyriuje yra skaitmuo 7?4) Panagrinėkite lentoje pateiktą pavyzdį, kaip skaičių galima užrašyti jo skait-

menų skyrių suma.

3248 = 3000 + 200 + 40 + 8 == 3 · 1000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 8 · 1.

Rašoma: 3248 = 3 · 1000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 8 · 1.Sakoma: skaičius 3248 yra užrašytas jo skaitmenų skyrių suma.

5) Kiekvieną lentelėje nurodytą skaičių užrašykite jo skaitmenų skyrių suma.

DEM

O

1 skyrius

11

1.1. Uždaviniai

31. 1) Perskaitykite tekste pateiktus skaičius.a) Žemės amžius yra maždaug 4 570 000 000 metų.b) Pasaulyje 2013 metais gyveno maždaug 7 094 962 900 žmonių.c) Vidutinis atstumas nuo Saturno iki Saulės yra maždaug 1426 725 413

kilometrų.2) Pasakykite kiekvieno to skaičiaus skaitmenis, sudarančius milijardų

klasę.3) Pasakykite kiekvieno to skaičiaus didžiausią skaitmenį. Kurioje skai-

čiaus skaitmenų klasėje ir kuriame skyriuje jis yra?

32. Tekste paminėtą skaičių parašykite skaitmenimis.a) Vandenynai užima maždaug tris šimtus šešiasdešimt vieną milijoną

šešiasdešimt tūkstančių kvadratinių kilometrų Žemės paviršiaus.b) Kinijoje 2013 metais gyveno maždaug milijardas trys šimtai penkias-

dešimt penki milijonai šeši šimtai aštuoniasdešimt tūkstančių žmonių.c) Gyvybė Žemėje radosi maždaug prieš

4 mlrd. metų. Milijardai –– mlrd.

d) Vidutinis atstumas nuo Neptūno iki Saulėsyra 4 mlrd. 498 mln. 252 tūkst. 900 km.

33. Skaičių užrašykite skaičiaus skaitmenų klasių santrumpomis.a) 8 302 015; b) 27 020 000; c) 3 400 002 010; d) 58 407 138 509.

34. Skaičių, parašytą jo skaitmenų skyrių suma, užrašykite įprastine forma.a) 5 · 100 000 + 3 · 10 000 + 8 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 6 · 1;b) 7 · 1 000 000 + 1 · 100 000 + 6 · 1000 + 9 · 10 + 5 · 1;c) 8 · 100 000 000 + 4 · 1 000 000 + 7 · 10 000 + 2 · 100;d) 6 · 1 000 000 000 + 8 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 4 · 1000.

35. Skaičių užrašykite jo skaitmenų skyrių suma.a) 752 418; b) 2 503 420; c) 703 004 215;d) 1 450 700 328; e) 80 001 002 003; f) 72 000 000 400.

36. 1) Apskaičiuokite.a) 862 703 + 2 067 397; b) 4 305 001 − 87 391;c) 15 424 · 225; d) 6 753 000 : 18 008.

2) Gautą rezultatą užrašykite skaitmenų skyrių suma.

37. Didžiausios pasaulyje Pietų Kinijos jūros plotas lygus 2 mln. 974 tūkst.600 km2. Didžiausios pasaulyje Sachãros dykumos plotas lygus 8 mln.400 tūkst. km2. Užrašykite šiuos skaičius jų skaitmenų skyrių suma.

DEM

O

1 skyrius

12

1.2. Apvaliname

Gyvenime neretai tenka susidurti su apytikslėmis skaičių reikšmėmis. Pa-vyzdžiui, sakoma, kad Lietuvojè gyvena apie 3 000 000 žmonių.Šiame atverstinyje mokysimės apvalinti natūraliuosius skaičius, t. y. rastiapytiksles jų reikšmes. Nurodant skaičiaus apytikslę reikšmę, vartojamasapytikslės lygybės ženklas „≈“.

Užduotis. Pavaizduota skaičių spindulio dalis:

145 150140

141 146142 147143 148144 149

1) Arčiau kurio skaičiaus –– 140 ar 150 –– yra skaičiai:a) 141, 142, 143, 144? b) 146, 147, 148, 149?

2) Panagrinėkite lentoje pateiktą pavyzdį, kaip apvalinami skaičiai iki dešim-čių, o tada suapvalinkite iki dešimčių skaičius:141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149.

625 630620

621 626622 627623 628624 629

621 ≈ 620,

622 ≈ 620,

623 ≈ 620,

624 ≈ 620,

625 ≈ 630, 626 ≈ 630,

627 ≈ 630,

628 ≈ 630,

629 ≈ 630.

Apvalindami natūralųjį skaičių iki nurodyto skyriaus:1) pasižymime (pvz., pabraukiame) skaitmenį to skyriaus, iki kurio

apvaliname;2) pažymėtąjį skaitmenį:

• paliekame tokį pat, jei pirmas po jo esantis skaitmuo yra 0, 1, 2, 3arba 4;

• padidiname vienetu, jei pirmas po jo esantis skaitmuo yra 5, 6, 7, 8arba 9;

3) po pažymėto skaitmens esančius skaitmenis pakeičiame nuliais.

DEM

O

1 skyrius

13

1.2. Uždaviniai

38. Ar teisingai suapvalinta iki dešimčių? Paaiškinkite kodėl.a) 73 ≈ 70; b) 289 ≈ 290; c) 565 ≈ 560;d) 1052 ≈ 1060; e) 2995 ≈ 2900; f) 6999 ≈ 7000. 895 ≈ 900.

39. Lentelėje pateikti atstumai nuo Vilniaus iki kai kurių Lietuvõs miestų.

Anykščiai Drùskininkai Jùrbarkas Lazdijai Marijámpolė111 km 126 km 188 km 152 km 139 km

Mažeikiai Nidà Skuõdas Tauragė Telšiai291 km 358 km 337 km 239 km 297 km

Nurodytus skaičius suapvalinkite iki dešimčių.

40. Skaičius7365, 4281, 9159, 81 547, 69 909, 999 994suapvalinkite iki:a) dešimčių; b) šimtų; c) tūkstančių.

4735 ≈ 4700, nes po 7 yra 3; 5951 ≈ 6000, nes po 9 yra 5;3490 ≈ 3000, nes po 3 yra 4; 9901 ≈ 10 000, nes po 9 yra 9.

41. Suapvalinkite iki šimtų, o tada centus išreikškite litais.a) 128 ct; b) 503 ct; c) 869 ct; d) 450 ct; e) 996 ct.

42. Suapvalinkite iki tūkstančių, o tada kilogramusišreikškite tonomis.a) 1002 kg; b) 7019 kg; c) 4218 kg; d) 7500 kg;e) 9898 kg.

1 t = 1000 kg.

43. Iš skaičių302, 348, 280, 249, 352, 250, 339, 374, 209, 299išrinkite ir surašykite tuos, kuriuos suapvalinę iki šimtų, gausime 300.

44. Užrašykite keturis natūraliuosius skaičius, kuriuos suapvalinę iki:a) dešimčių, gausime 80; b) šimtų, gausime 800;c) tūkstančių, gausime 8000.

45. Užrašykite mažiausią ir didžiausią natūraliuosius skaičius, kuriuos suap-valinę iki tūkstančių, gauname:a) 5000; b) 10 000.

46. Skaičių A suapvalinę iki dešimčių gauname 350, o suapvalinę iki šimtų ––400. Koks galėtų būti skaičius A? Surašykite visus tuos skaičius.

DEM

O

1 skyrius

14

1.3. Dalijame iš 2, 3, 5, 9 ir 10

Anksčiau mokėmės dalyti natūraliuosius skaičius. Natūraliųjų skaičių dal-muo ne visada yra natūralusis skaičius, pavyzdžiui:24 : 2 = 12 (12 –– natūralusis skaičius), 24 : 10 = 2,4 (2,4 –– nėranatūralusis skaičius). Sakoma, kad 24 dalijasi iš 2, bet nesidalija iš 10.Šiame atverstinyje mokysimės nustatyti, ar natūralusis skaičius dalijasi iš 2,3, 5, 9 ir 10. Kitaip sakant, nagrinėsime dalumo požymius.

Užduotis. 1) Dalydami įsitikinkite, kad dalmuo yra natūralusis skaičius.a) 5074 : 2; b) 3021 : 3; c) 62 075 : 5; d) 2142 : 9; e) 6980 : 10.

2) Susipažinkite su lentoje pateikta informacija.

Iš 2 dalijasi tik tie skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0, 2,4, 6 arba 8.

Iš 5 dalijasi tik tie skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0arba 5.

Iš 10 dalijasi tik tie skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0.

Iš 3 dalijasi tik tie skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3.

Iš 9 dalijasi tik tie skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 9.

Skaičius 105 dalijasi iš 3, nes 1 + 0 + 5 = 6, o 6 dalijasi iš 3.Skaičius 234 dalijasi iš 9, nes 2 + 3 + 4 = 9, o 9 dalijasi iš 9.

3) Paaiškinkite, kaip nustatyti, kad:a) 5074 dalijasi iš 2; b) 3021 dalijasi iš 3; c) 62 075 dalijasi iš 5;d) 2142 dalijasi iš 9; e) 6980 dalijasi iš 10.

4) Kurie skaičių 5074, 3021, 62 075, 2142 ir 6980 yra lyginiai, o kurie –– nely-giniai?

Natūralieji skaičiai, kurie dalijasi iš 2, vadinami lýginiais, o kurie nesidalijaiš 2 –– nelýginiais.

DEM

O

1 skyrius

15

1.3. Uždaviniai

47. Užrašykite kokį nors triženklį natūralųjį skaičių, kuris dalytųsi iš:a) 2; b) 5; c) 10; d) 3; e) 9.

48. Iš skaičių3095, 4713, 8001, 50 134, 98 010, 20 202išrinkite ir surašykite tuos, kurie dalijasi iš:a) 2; b) 5; c) 10; d) 3; e) 9.

49. Ar pavyks išpilstyti 360 litrų sulčių į stiklainius taip, kad visi stiklainiaibūtų sklidini, jei sultis pilstysime į:a) 2 litrų talpos stiklainius? b) 3 litrų talpos stiklainius?c) 5 litrų talpos stiklainius? d) 10 litrų talpos stiklainius?

50. Mokiniai skirstomi į grupeles taip, kad kiekvienoje grupelėje jų būtų polygiai. Ar galima 612 mokinių suskirstyti į grupeles taip, kad kiekvienojegrupelėje būtų:a) 2 mokiniai? b) 3 mokiniai? c) 9 mokiniai?

51. Ar galima per labdaros akciją surinktus 650 262 Lt padalyti po lygiai:a) 2 globos namams? b) 3 globos namams? c) 9 globos namams?

52. Kokie skaitmenys gali būti parašyti skaičiuje 721∗ vietoj žvaigždutės, jeižinoma, kad tas skaičius dalijasi iš:a) 2? b) 5? c) 10? d) 3? e) 9?

53. Užrašykite kokį nors keturženklį natūralųjį lyginį skaičių, kuris dalytųsiiš:a) 5; b) 3; c) 9.

54. Užrašykite kokį nors keturženklį natūralųjį nelyginį skaičių, kuris daly-tųsi iš:a) 5; b) 3; c) 9.

55. Iš skaitmenų 0, 2, 3, 5 ir 9 sudarykite visus dviženklius natūraliuosiusskaičius, kurių skaitmenys nesikartotų ir kurie dalytųsi iš:a) 2; b) 5; c) 10; d) 3; e) 9.

56. Iš skaičių207, 4251, 5327, 6291, 6210, 7152išrinkite ir surašykite tuos, kurie:a) dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 9;b) dalijasi ir iš 3, ir iš 9;c) nesidalija nei iš 3, nei iš 9.

57. Kokie skaitmenys gali būti parašyti skaičiuje 364∗ vietoj žvaigždutės, jeižinoma, kad tas skaičius dalijasi:a) ir iš 2, ir iš 3? b) ir iš 2, ir iš 5? c) ir iš 3, ir iš 5? d) ir iš 5, ir iš 9?

DEM

O

1 skyrius

16

1.4. Ieškome daliklių ir kartotinių

Šiame atverstinyje sužinosime, kokie skaičiai vadinami natūraliojo skai-čiaus dalikliais ir kokie –– kartotiniais. Mokysimės rasti dviejų natūraliųjųskaičių bendruosius daliklius ir bendruosius kartotinius.

1 užduotis. 1) Surašykite visus natūraliuosius skaičius, iš kurių dalijasiskaičius 12, t. y. surašykite visus skaičiaus 12 daliklius.

Natūralusis skaičius n vadinamas natūrãliojo skaičiaus A dalikliù, jei A

dalijasi iš n. Skaičiai 1 ir A taip pat yra skaičiaus A dalikliai.

2) Surašykite visus skaičiaus 8 daliklius.3) Iš jų išrinkite ir surašykite bendruosius skaičių 12 ir 8 daliklius. Kuris jų

yra didžiausias?

2 užduotis. 1) Parašykite aštuonis mažiausius natūraliuosius skaičius, kuriedalijasi iš 12, t. y. parašykite aštuonis mažiausius skaičiaus 12 kartotinius.

Natūralusis skaičius n vadinamas natūrãliojo skaičiaus A kartótiniu, jei n

dalijasi iš A. Skaičius A taip pat yra A kartotinis.

2) Parašykite aštuonis mažiausius skaičiaus 8 kartotinius.3) Iš jų išrinkite ir surašykite bendruosius skaičių 12 ir 8 kartotinius. Kuris jų

yra mažiausias?

Skaičiaus 18:• dalikliai yra 1, 2, 3, 6, 9, 18;• kartotiniai yra 18, 36, 54, 72, ... .

Natūraliojo skaičiaus:• mažiausiasis daliklis yra 1, o didžiausiasis –– pats skaičius;• mažiausiasis kartotinis yra pats skaičius, o didžiausiojo kartotinio jis ne-

turi.

DEM

O

1 skyrius

17

1.4. Uždaviniai

58. Surašykite visus skaičiaus daliklius.a) 6; b) 15; c) 20; d) 100.

59. Surašykite visus dviženklius skaičiaus kartotinius.a) 6; b) 11; c) 15; d) 20.

60. Kurie skaičių 1, 2, 3, 4, 5, 16, 20, 30, 32, 40, 48 yra skaičiaus 16:a) dalikliai? b) kartotiniai?

61. Užrašykite penkis pirmuosius skaičiaus 17 kartotinius.

62. 1) Surašykite visus kiekvieno skaičiaus daliklius.3, 7, 8, 14, 17, 21, 29, 33.

2) Kurie jų turi tik du daliklius?

Natūralieji skaičiai, kurie turi tik du daliklius –– vienetą ir save patį,vadinami pirminiais. Pirminiai yra skaičiai: 2, 3, 5, 7, 11, ... .Natūralieji skaičiai, kurie turi daugiau negu du daliklius, vadinamisudėt iniais. Sudėtiniai yra skaičiai: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... .Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis.

3) Kurie jų yra sudėtiniai?

63. Surašykite visus pirminius skaičius, esančius tarp skaičių:a) 1 ir 10; b) 10 ir 20; c) 20 ir 30.

64. Naudodamiesi pirminių skaičių lentele (žr. p. 25), nustatykite, ar skaičiusyra pirminis, ar –– sudėtinis.a) 347; b) 413; c) 507; d) 659; e) 821; f) 961.

65. Raskite didžiausiąjį bendrąjį daliklį ir mažiausiąjį bendrąjį kartotinįskaičių:a) 4 ir 6; b) 5 ir 7; c) 10 ir 15; d) 24 ir 36; e) 11 ir 10.

66. 18 mergaičių ir 27 berniukus reikia suskirstyti į grupes taip, kad kiekvie-noje jų būtų po lygiai mergaičių ir po lygiai berniukų.1) Kiek daugiausia tokių grupių galima sudaryti?2) Po kiek mergaičių ir po kiek berniukų bus kiekvienoje tokioje grupėje?

67. Kiek mažiausiai metrų audinio turi būti rietime, kad audinį būtų galimasukarpyti į gabalus ir po 5 m, ir po 6 m ir jo nė kiek neliktų?

68. Linas į baseiną eina kas trečią dieną, o Rūta –– kas ketvirtą. Šiandienyra penktadienis, o abu jaunuoliai susitiko baseine. Po kiek mažiausiaidienų jie abu vėl susitiks baseine? Kokia tai bus savaitės diena?

DEM

O

1 skyrius

18

1.5. Skaidome dauginamaisiais

Šiame atverstinyje mokysimės sudėtinį natūralųjį skaičių n skaidyti daugi-namaisiais, t. y. užrašyti jį dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių (nelygių 1ir n) sandauga, pavyzdžiui:100 = 2 · 50, 100 = 4 · 25, 100 = 2 · 5 · 10, 100 = 2 · 2 · 5 · 5.

1 užduotis. Skaičių 24 užrašykite sandauga dviejų natūraliųjų skaičių, kuriųvienas būtų lygus:a) 2; b) 3; c) 4.

2 užduotis. 1) Panagrinėkite lentoje pateiktus pavyzdžius, kaip sudėtinįskaičių galima išskaidyti dauginamaisiais, kurių kiekvienas būtų pirminisskaičius.

30 = 3 · 10 = 3 · 2 · 5; 30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5.

2 5◊

3 10◊

30

2 15◊

3 5◊

30

Kiekvieną sudėtinį skaičių galima užrašyti pirminių skaičių sandauga,t. y. išskáidyti pirminiais dauginamaisiais.

2) Skaičių 60 išskaidykite pirminiais dauginamaisiais.3) Skaičių skaidymą pirminiais dauginamaisiais

galima pavaizduoti ir tokia schema (žr. deši-nėje). Braižydami tokią schemą, atlikite 2)punkto užduotį.

30∣∣2

15∣∣3

5∣∣5

1∣∣

30 = 2 · 3 · 5.

DEM

O

1 skyrius

19

1.5. Uždaviniai

69. Sudėtinį skaičių užrašykite sandauga dviejų natūraliųjų skaičių, kurių nėvienas nebūtų lygus 1.a) 6; b) 12; c) 21; d) 32; e) 45; f) 50.

70. Sudėtinį skaičių užrašykite sandauga dviejų skaičių, kurių vienas būtųpirminis.a) 8; b) 18; c) 27; d) 36; e) 40; f) 42.

71. Užbaikite sudėtinį skaičių skaidyti pirminiais dauginamaisiais, vietoj de-besėlių įrašydami trūkstamus skaičius.

a) 20 = 2 · 10 = 2 · 2 · ;

b) 45 = 5 · 9 = 5 · · ;

c) 50 = 5 · = · · ;

d) 63 = · = · · .

72. Užbaikite sudėtinį skaičių skaidyti pirminiais dauginamaisiais, vietojžvaigždučių parašydami trūkstamus skaičius.

2 ◊ *7 ◊ *3 ◊ *3 ◊ * 3 ◊ *

2 ◊ ** *◊3 ◊ * * *◊

2 ◊ * * *◊

24702721 225d)c)b)a) e)

73. Užbaikite sudėtinį skaičių skaidyti pirminiais dauginamaisiais, vietojžvaigždučių parašydami trūkstamus skaičius.

a) 42∣∣2

21∣∣3

7∣∣∗

∗∣∣

b) 90∣∣2

45∣∣3

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣

c) 125∣∣5

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣

d) 81∣∣3

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣

e) 375∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣∗

∗∣∣

74. Skaičių išskaidykite pirminiais dauginamaisiais.a) 72; b) 145; c) 256; d) 495; e) 999; f) 2079; g) 1715.

75. Vaiva skaičių A išskaidė pirminiais dauginamaisiais:A = 2 · 3 · 5 · 7.1) Kokį skaičių Vaiva išskaidė?2) Nedalydami nustatykite, ar skaičius A dalijasi iš:

a) 10; b) 6; c) 15; d) 20.3) Užrašykite dar du skaičiaus A daliklius, nelygius 1 ir A.

DEM

O

1 skyrius

20

Apibendriname

Natūralieji skaičiaiSkaičiai 1, 2, 3, . . . vadinami natūraliaisiais.Skaičius 0 nevadinamas natūraliuoju.

28 340, 5 680 003 –– natūra-lieji skaičiai.

Natūralųjį skaičių galima užrašyti jo skait-menų skyrių suma, pavyzdžiui:ab = a · 10 + b · 1,abc = a · 100 + b · 10 + c · 1.

23 = 2 · 10 + 3 · 1,453 = 4 ·100+5 ·10+3 ·1.

Skaičių apvalinimasApvalindami skaičių iki nurodyto skyriaus:1) pasižymime skaitmenį to skyriaus, iki ku-

rio apvaliname;

29 572 –– iki dešimčių,29 572 –– iki šimtų,29572 –– iki tūkstančių;

2) pažymėtąjį skaitmenį:• paliekame tokį pat, jei pirmas po jo

esantis skaitmuo yra 0, 1, 2, 3 arba 4;29 572 ≈ 29 570, nes po 7yra 2;

• padidiname vienetu, jei pirmas po joesantis skaitmuo yra 5, 6, 7, 8 arba 9;

29 572 ≈ 29 600, nes po 5yra 7;

3) po pažymėtojo skaitmens esančius skait-menis pakeičiame nuliais.

29 572 ≈ 30 000.

Dalumo požymiai• Iš 2 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kurių

paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6 arba 8.20, 72, 134, 9686, 10 008 da-lijasi iš 2.

• Iš 5 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kuriųpaskutinis skaitmuo yra 0 arba 5.

20, 375, 6805 dalijasi iš 5.

• Iš 10 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kuriųpaskutinis skaitmuo yra 0.

20, 390, 5680 dalijasi iš 10.

• Iš 3 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kuriųskaitmenų suma dalijasi iš 3.

708 dalijasi iš 3, nes7 + 0 + 8 = 15 –– dalijasi iš 3.

• Iš 9 dalijasi tik tie natūralieji skaičiai, kuriųskaitmenų suma dalijasi iš 9.

792 dalijasi iš 9, nes7 + 9 + 2 = 18 –– dalijasi iš 9.

Dalikliai ir kartotiniaiNatūralusis skaičius n vadinamas natūrãlio-jo skaičiaus A dalikliù, jei A dalijasi iš n (dal-muo A : n yra natūralusis skaičius).

Skaičiaus 12 dalikliai yra skai-čiai 1, 2, 3, 4, 6 ir 12.

DEM

O

1 skyrius

21

Apibendriname

Didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio da-lijasi kiekvienas duotasis skaičius, vadina-mas tų skaičių didžiáusiuoju bendrúoju da-likliù. Jį galima rasti taip:1) surašyti kiekvieno duotojo skaičiaus da-

liklius;2) iš bendrųjų daliklių išrinkti didžiausiąjį.

6 yra skaičių 12 ir 18 didžiau-siasis bendrasis daliklis, nes 6yra didžiausias skaičius, iš ku-rio dalijasi ir 12, ir 18.12 dalikliai: 1, 2, 3, 4, 6, 12;18 dalikliai: 1, 2, 3, 6, 9, 18;bendrieji dalikliai: 1, 2, 3, 6;didžiausiasis bendrasis dalik-lis yra 6.

Natūralusis skaičius n vadinamas natūrãlio-jo skaičiaus A kartótiniu, jei n dalijasi iš A

(dalmuo n : A yra natūralusis skaičius).

Skaičiai 10, 20, ..., 1000, ... yraskaičiaus 10 kartotiniai, nes jiedalijasi iš 10.

Mažiausias natūralusis skaičius, kuris dali-jasi iš kiekvieno duotojo natūraliojo skai-čiaus, vadinamas tų skaičių mažiáusiuojubendrúoju kartótiniu. Jį galima rasti taip:1) surašyti kelis iš eilės einančius (pradedant

mažiausiu) kiekvieno duotojo skaičiauskartotinius;

2) iš bendrųjų kartotinių išrinkti mažiausią-jį.

36 yra skaičių 12 ir 18 mažiau-siasis bendrasis kartotinis, nes36 yra mažiausias skaičius, ku-ris dalijasi ir iš 12, ir iš 18.12 kartotiniai:12, 24, 36, 48, 60, 72, ...;18 kartotiniai:18, 36, 54, 72, ...;bendrieji kartotiniai: 36, 72, ...;mažiausiasis bendrasis kartoti-nis yra 36.

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiaiNatūralieji skaičiai, kurie turi tik du dalik-lius –– vienetą ir save patį, vadinami pirmi-niais.

17 yra pirminis skaičius, nesjis turi tik du daliklius: 1, 17.

Natūralieji skaičiai, kurie turi daugiau kaipdu daliklius, vadinami sudėt iniais.

Skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis.

18 yra sudėtinis skaičius, nesjis turi daugiau kaip du dalik-lius: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Kiekvieną sudėtinį skaičių galima užrašy-ti pirminių skaičių sandauga, t. y. išskaidytipirminiais dauginamaisiais.Skaidymą pirminiais dauginamaisiais gali-ma pavaizduoti schemomis.

18 = 2 · 3 · 3.

2 9◊

3 3◊

18 18∣∣2

9∣∣3

3∣∣3

1∣∣

DEM

O

1 skyrius

22

Sprendžiame

76. Kiekvieną dieną žmogaus kraujuje atsiranda per šimtą septyniasdešimtdu milijardus aštuonis šimtus milijonų naujų raudonųjų kraujo kūnelių.1) Užrašykite šį skaičių:

a) skaitmenimis;b) skaitmenų klasių santrumpomis;c) skaitmenų skyrių suma.

2) Suapvalinkite šį skaičių iki:a) milijardų; b) dešimčių milijardų; c) šimtų milijardų.

77. Ant svarstyklių, kurių skalės mažiausiosiospadalos vertė yra 1 g, Vincas padėjo arbūzą.Svarstyklių parodytą skaičių jis suapvalinoiki šimtų ir gavo 4700 g. Kokį mažiausiąir kokį didžiausią skaičius galėjo parodytisvarstyklės?

78. Apskaičiuokite, o tada gautą skaičių suapvalinkite iki tūkstančių.a) 53 098 + 7 954 002; b) 83 000 021 − 127 909;c) 7409 · 13 002; d) 42 296 912 : 5002.

79. Ar galima iš skaitmenų 0, 1, 2 ir 3 sudaryti tokį keturženklį natūralųjįskaičių, kurio visi skaitmenys būtų skirtingi ir kuris dalytųsi iš:a) 2? b) 5? c) 10? d) 3? e) 9?Jei taip, tai užrašykite bent vieną tokį skaičių.

80. Parašykite mažiausią ir didžiausią:a) dviženklius natūraliuosius skaičius, kurie dalytųsi iš 9 ir abu būtų

lyginiai;b) triženklius natūraliuosius skaičius, kurie dalytųsi iš 9 ir abu būtų ne-

lyginiai.

81. Kokį skaičių –– lyginį ar nelyginį –– gausime:a) sudėję du lyginius skaičius? b) sudėję du nelyginius skaičius?c) sudauginę du lyginius skaičius? d) sudauginę du nelyginius skaičius?

82. Ar skaičius dalijasi iš 2? 3? 5? 9? Atsakymą pagrįskite.a) 1111...1︸︷︷︸

102 vienetai

; b) 222...2︸︷︷︸90 dvejetų

; c) 111...1︸︷︷︸30 vienetų

222...2︸︷︷︸15 dvejetų

.

83. 1) Raskite skaičių 80 ir 48 didžiausiąjį bendrąjį daliklį.2) Užrašykite to daliklio penkis mažiausiuosius kartotinius.

84. Surašykite keturženklius skaičiaus 363 kartotinius, kurie dalijasi iš 5.

DEM

O

1 skyrius

23

Sprendžiame

85. Stačiakampį popieriaus lapą, kurio matmenys yra 24 cm × 18 cm, reikiasukarpyti be atliekų į didžiausio ploto lygius kvadratus.1) Kiek tokių kvadratų gausime?2) Kam lygi tokio kvadrato kraštinė?3) Koks yra tokio kvadrato plotas?

86. Gėlininkė turi 128 tulpes ir 160 narcizų. Iš visų šių gėlių ji turi padarytipuokštes, kurių kiekvienoje būtų po lygiai tulpių ir po lygiai narcizų.1) Kiek daugiausia tokių puokščių gali padaryti gėlininkė?2) Kiek tulpių ir kiek narcizų bus vienoje tokioje puokštėje?

87. 36 ėjikus ir 40 bėgikų reikia suskirstyti į grupes, kurių kiekvienoje būtųpo lygiai ėjikų ir po lygiai bėgikų.1) Kiek daugiausia tokių grupių galima sudaryti?2) Kiek ėjikų ir kiek bėgikų bus vienoje tokioje grupėje?

88. Iš „Bangos“ uosto tuo pačiu metu išplaukė du keltai. Pirmasis jų plauk-damas į „Žuvėdros“ uostą ir atgal sugaišta 5 paras, o antrasis –– 7. Pokiek mažiausiai parų abu keltai vėl bus kartu „Bangos“ uoste?

89. Kokio trumpiausio ilgio gali būti virvė, kad ją būtų galima sukarpyti įgabalus ir po 8 metrus, ir po 9 metrus ir jos nė kiek neliktų?

90. Ilgoje popieriaus juostoje nuo pat pradžios kas 60 cm pažymimas raudo-nas taškas, o kas 50 cm –– mėlynas.

1) Kas kiek metrų abu taškai sutaps?2) Kiek juostoje bus pažymėta raudonų taškų ir kiek –– mėlynų, kai jie

sutaps pirmą kartą?

91. Ūkininkas atvežė į turgų daugiau kaip 300, bet mažiau kaip 400 pomi-dorų. Kai juos skaičiavo dešimtimis, tai iki sveikojo dešimčių skaičiaustrūko 2 pomidorų, o kai skaičiavo po 12, tai liko 8 pomidorai. Kiekpomidorų atvežė ūkininkas?

92. a) Kurių iš skaičių 28, 44, 54, 68, 82 ir 100 negalima užrašyti dviejų išeilės einančių nelyginių skaičių suma?

b) Kurių iš skaičių 34, 48, 58, 72, 90 ir 200 negalima užrašyti dviejų išeilės einančių lyginių skaičių suma?

DEM

O

1 skyrius

24

Besidomintiems

Eratosteno rėtis

Kiek yra pirminių skaičių? Kaip juos rasti? Senovės graikų matematikas Era-tostènas (276 m. pr. Kr.–194 m. pr. Kr.) pirmasis sugalvojo būdą pirminiamsskaičiams rasti. Jis darė taip: iš eilės surašė visus natūraliuosius skaičius nuovieneto iki tūkstančio ir užbraukė vienetą (jis nėra pirminis). Tada apibraukėskaičių 2 (jis yra pirminis) ir perbraukė visus skaičius, dalius iš 2, t. y. kas antrąskaičių –– 4, 6, 8 ir t. t. Gavo tokią lentelę:

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toliau apibraukė pirmą likusį neperbrauktą skaičių –– tai skaičius 3 (jis yrapirminis) ir perbraukė visus skaičius, dalius iš 3. Gavo tokią lentelę:

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tada apibraukė 5 ir perbraukė visus skaičius, dalius iš 5 ir t. t. Gavo tokiąlentelę:

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taip tęsdamas jis išbraukė visus sudėtinius skaičius, o likę neišbraukti (api-braukti) skaičiai buvo pirminiai.Iš tikrųjų Eratostenas skaičius rašė ant papiruso lapo. Sudėtinius skaičiusjis ne užbraukdavo, o pradurdavo. Taip subadytas papiruso lapas priminėrėtį, pro kurį išsisijodavo visi sudėtiniai skaičiai, o pirminiai likdavo. Todėlpirminių skaičių lentelė iki šiol vadinama Eratostèno rėčiù.

1 užduotis. Naudodamiesi Eratosteno rėčiu, pabandykite sudaryti pirminiųskaičių lentelę iki 100.

DEM

O

1 skyrius

25

Besidomintiems

Skaičiai dvyniai

Parašykime dešimt pirmųjų pirminių skaičių:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Skaičiai

3 ir 5, 5 ir 7, 11 ir 13, 17 ir 19

yra gretimi nelyginiai pirminiai skaičiai. Jų skirtumas lygus 2, t. y.

5 − 3 = 2, 7 − 5 = 2, 13 − 11 = 2, 19 − 17 = 2.

Tokie skaičiai vadinami skaičiais dvyniais.

2 užduotis. 1) Naudodamiesi pirminių skaičių lentele, raskite visas skaičiųdvynių poras iki 500.

2) Patikrinkite, ar kiekvienas tarp skaičių dvynių esantis skaičius (išskyrusporą 3 ir 5) yra skaičiaus 6 kartotinis.

Pirminių skaičių iki 1000 lentelė

2 67 157 257 367 467 599 709 829 9673 71 163 263 373 479 601 719 839 9715 73 167 269 379 487 607 727 853 9777 79 173 271 383 491 613 733 857 983

11 83 179 277 389 499 617 739 859 99113 89 181 281 397 503 619 743 863 99717 97 191 283 401 509 631 751 87719 101 193 293 409 521 641 757 88123 103 197 307 419 523 643 761 88329 107 199 311 421 541 647 769 88731 109 211 313 431 547 653 773 90737 113 223 317 433 557 659 787 91141 127 227 331 439 563 661 797 91943 131 229 337 443 569 673 809 92947 137 233 347 449 571 677 811 93753 139 239 349 457 577 683 821 94159 149 241 353 461 587 691 823 94761 151 251 359 463 593 701 827 953

DEM

O

1 skyrius

26

Testas

93. Skaičius5 · 10 000 000 000 + 4 · 1 000 000 000 + 3 · 1000 + 2 · 100 + 1 · 10,užrašytas įprastine forma, yra:A 54 321 B 54 003 210 C 5 400 003 210 D 54 000 003 210E 504 000 003 210

94. Kokį skaičių gausime skaičių 59 395 suapvalinę:a) iki dešimčių? A 59 390 B 59 400 C 59 490 D 59 000 E 60 000b) iki šimtų? A 59 390 B 59 400 C 59 490 D 59 000 E 60 000c) iki tūkstančių? A 59 390 B 59 400 C 59 490 D 59 000 E 60 000

95. Mažiausias natūralusis skaičius, kurį suapvalinę iki šimtų gausime 200,yra:A 149 B 150 C 190 D 249 E Nustatyti neįmanoma

96. Koks skaitmuo turėtų būti parašytas skaičiuje 1594∗ vietoj žvaigždutės,kad skaičius dalytųsi ir iš 2, ir iš 5, ir iš 10?A 0 B 1 C 2 D 3 E 5

97. Kuris skaičius yra lyginis ir dalijasi tiek iš 3, tiek ir iš 9?A 19 002 B 10 290 C 10 089 D 10 809 E 10 908

98. Kuris skaičius nėra skaičiaus 120 daliklis?A 1 B 24 C 30 D 120 E 240

99. Kuris skaičius nėra skaičiaus 180 kartotinis?A 180 B 240 C 360 D 540 E 720

100. Kuris skaičius yra pirminis?A 129 B 111 C 100 D 97 E 92

101. Kuris teiginys yra teisingas?A Visi pirminiai skaičiai yra nelyginiaiB Visi nelyginiai skaičiai yra pirminiaiC Visi pirminiai skaičiai, didesni už 2, yra nelyginiaiD Visi nelyginiai skaičiai, didesni už 2, yra sudėtiniaiE Visi lyginiai skaičiai yra sudėtiniai

102. Dviejų pirminių skaičių didžiausiasis bendrasis daliklis yra:A 0 B 1 C 2 D Priklauso nuo skaičių E Nustatyti neįmanoma

103. Skaičių 12 ir 15 mažiausiasis bendrasis kartotinis yra:A 3 B 12 C 15 D 60 E 120

104. Skaičius 300, išskaidytas pirminiais dauginamaisiais, yra:A 3 · 4 · 5 · 5 B 2 · 2 · 5 · 15 C 2 · 2 · 3 · 5 · 5 D 2 · 3 · 5 · 10 E 3 · 4 · 25

DEM

O

1 skyrius

27

Pasitikriname

105. 1) Užrašykite skaitmenimis skaičių du milijardai septyniasdešimt du mi-lijonai penki šimtai tūkstančių.

2) Koks yra jo milijonų klasės dešimčių skyriaus skaitmuo?

106. Skaičių užrašykite jo skaitmenų skyrių suma.a) 47 032; b) 104 001; c) 9 530 400; d) 8 000 000 005.

107. Kiekvieną skaičių suapvalinkite iki tūkstančių:6340, 15 006, 849 500, 9 999 504.

108. Iš skaičių57, 115, 1110, 21 348, 705 060

išrinkite ir surašykite tuos, kurie dalijasi iš:a) 2; b) 3; c) 5; d) 10; e) 9.

109. Iš skaitmenų 0, 1, 4, 5 ir 8 sudarykite visus dviženklius natūraliuosiusskaičius, kurių skaitmenys nesikartoja, ir kurie dalijasi iš:a) 2; b) 5; c) 10; d) 3; e) 9.

110. Taupyklėje yra 105 Lt 30 ct. Ar gali ši pinigų suma būti tik iš:a) 5 ct monetų? b) 10 ct monetų? c) 2 ct monetų?

111. Užrašykite skaičiaus 32:a) visus daliklius; b) visus dviženklius kartotinius.

112. Surašykite skaičiaus 72 visus nelyginius daliklius.

113. Užrašykite pirmuosius keturis skaičiaus 13 lyginius kartotinius.

114. Raskite skaičių 18 ir 30:a) didžiausiąjį bendrąjį daliklį; b) mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.

115. 24 mandarinus ir 36 obuolius reikia sudėti į vazas, kurių kiekvienojebūtų po lygiai mandarinų ir po lygiai obuolių.1) Kiek daugiausia vazų gali prireikti šiems vaisiams išdėlioti?2) Po kiek kiekvienos rūšies vaisių bus vienoje vazoje?

116. Kiek mažiausiai pieštukų reikia paimti, kad juos visus būtų galima su-pakuoti į dėžutes ir po 12, ir po 15?

117. Kurie skaičių 2, 7, 13, 21, 93, 117 yra pirminiai? Paaiškinkite kodėl.

118. Rūta sudaugino du pirminius skaičius. Kokį skaičių –– pirminį ar sudė-tinį –– ji gavo? Atsakymą pagrįskite.

119. Skaičių užrašykite sandauga dviejų natūraliųjų skaičių, kurių nė vienasnelygus 1.a) 56; b) 108; c) 243.

120. Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais.a) 87; b) 126; c) 294.

DEM

O

116

Atsakymai


1. E.

2. A.

3. B.

4. D.

5. B.

6. C.

7. C.

8. E.

9. B.

10. D.

11. E.

12. D.

DEM

O

117

Atsakymai


13. a) 490 081; b) 10.

14. a) 3085; b) 83,4.

15. a) x = 1185; b) x = 62; c) x = 9635; d) y = 13,7; e) y = 0,1;f) y = 0,4.

16. 1, 2, 3, 4.

17. 45 Lt.

18. 1360 Lt.

19. 10 valandų.

20. 70◦.

21. a) P = 84 cm, S = 210 cm2; b) P = 33,2 dm, S = 68,89 dm2;c) P = 38,8 m, S = 86,8 m2.

22. a) 156 cm; 1014 cm2; b) 132,8 dm; 707,2 dm2; c) 34 m; 42 m2.

23.

CA AAOA CS ASOS

A AA S SS

CO ABandelė

G rimasė

Pasirinkimas

6 skirtingas galimybes.

DEM

O

118

Atsakymai


24. 1) 2 308 047 –– du milijonai trys šimtai aštuoni tūkstančiai keturiasde-šimt septyni;7 020 001 –– septyni milijonai dvidešimt tūkstančių vienas;9 300 250 –– devyni milijonai trys šimtai tūkstančių du šimtai penkias-dešimt;

2) a) 2 308 047 –– 0, 4, 7; 7 020 001 –– 0, 0, 1; 9 300 250 –– 2, 5, 0;b) 2 308 047 –– 3, 0, 8; 7 020 001 –– 0, 2, 0; 9 300 250 –– 3, 0, 0;c) 2 308 047 –– 2; 7 020 001 –– 7; 9 300 250 –– 9;

3) 2 308 047 –– milijonų klasės vienetų skyriuje;7 020 001 –– tūkstančių klasės dešimčių skyriuje;9 300 250 –– vienetų klasės šimtų skyriuje.

25. 1) a) 108 050; b) 764 000; c) 2 000 300; d) 9 017 000;2) a) 108 tūkst. 50 vnt.; b) 764 tūkst.; c) 2 mln. 300 vnt.;

d) 9 mln. 17 tūkst.

26. a) 53 002 > 6908; b) 47 205 > 46 728; c) 508 332 < 580 332.

27. a) 5601; b) 9231; c) 46 818; d) 305.

28. a) 64 = 16 + 48; b) 64 = 32 + 32; c) 64 = 16 · 4; d) 64 = 8 · 8.

29. 1350.

30. a) 1; b) 1.

DEM

O

119

Atsakymai

1.1. Skaitome ir rašome

31. 1) a) 4 570 000 000 –– keturi milijardai penki šimtai septyniasdešimt mi-lijonų;

b) 2013 –– du tūkstančiai trylika;7 094 962 900 –– septyni milijardai devyniasdešimt keturi milijonaidevyni šimtai šešiasdešimt du tūkstančiai devyni šimtai;

c) 1 426 725 413 –– vienas milijardas keturi šimtai dvidešimt šeši mili-jonai septyni šimtai dvidešimt penki tūkstančiai keturi šimtai try-lika;

2) a) 4; b) 2013 –– milijardų klasės nėra, 7 094 962 900 –– 7; c) 1;3) a) 7 –– milijonų klasės dešimčių skyriuje;

b) 3 –– vienetų klasės vienetų skyriuje;9 –– vienetų klasės šimtų skyriuje, tūkstančių klasės šimtų skyriuje irmilijonų klasės dešimčių skyriuje;

c) 7 –– tūkstančių klasės šimtų skyriuje.

32. a) 361 060 000; b) 1 355 680 000; c) 4 000 000 000; d) 4 498 252 900.

33. a) 8 mln. 302 tūkst. 15; b) 27 mln. 20 tūkst.;c) 3 mlrd. 400 mln. 2 tūkst. 10; d) 58 mlrd. 407 mln. 138 tūkst. 509.

34. a) 538 726; b) 7 106 095; c) 804 070 200; d) 6 008 504 000.

35. a) 7 · 100 000 + 5 · 10 000 + 2 · 1000 + 4 · 100 + 1 · 10 + 8 · 1;b) 2 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 3 · 1000 + 4 · 100 + 2 · 10;c) 7 · 100 000 000 + 3 · 1 000 000 + 4 · 1000 + 2 · 100 + 1 · 10 + 5;d) 1 · 1 000 000 000 + 4 · 100 000 000 + 5 · 10 000 000 + 7 · 100 000 +

+3 · 100 + 2 · 10 + 8;e) 8 · 10 000 000 000 + 1 · 1 000 000 + 2 · 1000 + 3;f) 7 · 10 000 000 000 + 2 · 1 000 000 000 + 4 · 100.

36. 1) a) 2 930 100; b) 4 217 610; c) 3 470 400; d) 375;2) a) 2 · 1 000 000 + 9 · 100 000 + 3 · 10 000 + 1 · 100;

b) 4 · 1 000 000 + 2 · 100 000 + 1 · 10 000 + 7 · 1000 + 6 · 100 + 1 · 10;c) 3 · 1 000 000 + 4 · 100 000 + 7 · 10 000 + 4 · 100;d) 3 · 100 + 7 · 10 + 5 · 1.

37. 2 mln. 974 tūkst. 600 == 2 · 1 000 000 + 9 · 100 000 + 7 · 10 000 + 4 · 1000 + 6 · 100;8 mln. 400 tūkst. = 8 · 1 000 000 + 4 · 100 000.

DEM

O

120

Atsakymai

1.2. Apvaliname

38. a) Teisingai, nes po 7 yra 3;b) teisingai, nes po 8 yra 9;c) neteisingai, nes po 6 yra 5; turėtų būti 565 ≈ 570;d) neteisingai, nes po 5 yra 2; turėtų būti 1052 ≈ 1050;e) neteisingai, nes po 9 yra 5; turėtų būti 2995 ≈ 3000;f) teisingai, nes po 9 yra 9.

39. 111 ≈ 110, 126 ≈ 130, 188 ≈ 190, 152 ≈ 150, 139 ≈ 140,291 ≈ 290, 358 ≈ 360, 337 ≈ 340, 239 ≈ 240, 297 ≈ 300.

40. a) 7365 ≈ 7370, 4281 ≈ 4280, 9159 ≈ 9160, 81 547 ≈ 81 550,69 909 ≈ 69 910, 999 994 ≈ 999 990;

b) 7365 ≈ 7400, 4281 ≈ 4300, 9159 ≈ 9200, 81 547 ≈ 81 500,69 909 ≈ 69 900, 999 994 ≈ 1 000 000;

c) 7365 ≈ 7000, 4281 ≈ 4000, 9159 ≈ 9000, 81 547 ≈ 82 000,69 909 ≈ 70 000, 999 994 ≈ 1 000 000.

41. a) 128 ct ≈ 100 ct = 1 Lt; b) 503 ct ≈ 500 ct = 5 Lt;c) 869 ct ≈ 900 ct = 9 Lt; d) 450 ct ≈ 500 ct = 5 Lt;e) 996 ct ≈ 1000 ct = 10 Lt.

42. a) 1002 kg ≈ 1000 kg = 1 t; b) 7019 kg ≈ 7000 kg = 7 t;c) 4218 kg ≈ 4000 kg = 4 t; d) 7500 kg ≈ 8000 kg = 8 t;e) 9898 kg ≈ 10 000 kg = 10 t.

43. 302, 348, 280, 250, 339, 299.

44. Pavyzdžiui:a) 75, 79, 81, 84; b) 750, 791, 802, 810; c) 7600, 7909, 8002, 8499.

45. a) 4500, 5499; b) 9500, 10 499.

46. 351, 352, 353, 354. DEM

O

121

Atsakymai

1.3. Dalijame iš 2, 3, 5, 9 ir 10

47. Pavyzdžiui:a) 300; b) 205; c) 100; d) 111; e) 999.

48. a) 50 134, 98 010, 20 202; b) 3095, 98 010; c) 98 010;d) 4713, 8001, 98 010, 20 202; e) 8001, 98 010.

49. a) Taip; b) taip; c) taip; d) taip.

50. a) Taip; b) taip; c) taip.

51. a) Taip; b) taip; c) ne.

52. a) 0, 2, 4, 6, 8; b) 0, 5; c) 0; d) 2, 5, 8; e) 8.

53. Pavyzdžiui:a) 4320; b) 2304; c) 3006.

54. Pavyzdžiui:a) 4325; b) 2403; c) 6003.

55. a) 20, 30, 32, 50, 52, 90, 92; b) 20, 25, 30, 35, 50, 90, 95;c) 20, 30, 50, 90; d) 30, 39, 90, 93; e) 90.

56. a) 4251, 7152; b) 207, 6291, 6210; c) 5327.

57. a) 2, 8; b) 0; c) 5; d) 5.

DEM

O

122

Atsakymai

1.4. Ieškome daliklių ir kartotinių

58. a) 1, 2, 3, 6; b) 1, 3, 5, 15; c) 1, 2, 4, 5, 10, 20;d) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

59. a) 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96;b) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99;c) 15, 30, 45, 60, 75, 90;d) 20, 40, 60, 80.

60. a) 1, 2, 4, 16; b) 16, 32, 48.

61. 17, 34, 51, 68, 85.

62. 1) 3 –– 1, 3; 7 –– 1, 7; 8 –– 1, 2, 4, 8; 14 –– 1, 2, 7, 14; 17 –– 1, 17;21 –– 1, 3, 7, 21; 29 –– 1, 29; 33 –– 1, 3, 11, 33;

2) 3, 7, 17, 29;3) 8, 14, 21, 33.

63. a) 2, 3, 5, 7; b) 11, 13, 17, 19; c) 23, 29.

64. a) Pirminis; b) sudėtinis; c) sudėtinis; d) pirminis; e) pirminis;f) sudėtinis.

65. Didžiausiasis bendrasis daliklis yra:a) 2; b) 1; c) 5; d) 12; e) 1.Mažiausiasis bendrasis kartotinis yra:a) 12; b) 35; c) 30; d) 72; e) 110.

66. 1) 9 grupes;2) po 2 mergaites ir po 3 berniukus.

67. 30 m.

68. Po 12 dienų; trečiadienis.DEM

O

123

Atsakymai

1.5. Skaidome dauginamaisiais

69. a) 6 = 2 ·3; b) 12 = 2 ·6 = 3 ·4; c) 21 = 3 ·7; d) 32 = 2 ·16 = 4 ·8;e) 45 = 3 · 15 = 5 · 9; f) 50 = 2 · 25 = 5 · 10.

70. a) 8 = 2 ·4; b) 18 = 2 ·9 = 3 ·6; c) 27 = 3 ·9; d) 36 = 2 ·18 = 3 ·12;e) 40 = 2 · 20 = 5 · 8; f) 42 = 2 · 21 = 3 · 14 = 7 · 6.

71. a) 20 = 2 · 10 = 2 · 2 · 5; b) 45 = 5 · 9 = 5 · 3 · 3;c) 50 = 5 · 10 = 5 · 2 · 5; d) 63 = 3 · 21 = 3 · 3 · 7.

72.

2 ◊ 127 ◊ 103 ◊ 93 ◊ 7 3 75◊

2 6◊2 ◊ 53 ◊ 3 3 25◊

2 3◊ 5 5◊

24702721 225d)c)b)a) e)

73. 42

21

7

1

90

45

15

5

1

125

25

5

1

81

27

9

3

1

375

125

25

5

1

2

3

7

2

3

3

5

5

5

5

3

3

3

3

3

5

5

5

d)c)b)a) e)

74. a) 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3; b) 145 = 5 · 29; c) 256 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2;d) 495 = 3 · 3 · 5 · 11; e) 999 = 3 · 3 · 3 · 37; f) 2079 = 3 · 3 · 3 · 7 · 11;g) 1715 = 5 · 7 · 7 · 7.

75. 1) 210;2) a) taip; b) taip; c) taip; d) ne;3) pavyzdžiui: 14, 21.DE

MO

124

Atsakymai

Sprendžiame

76. 1) a) 172 800 000 000;b) 172 mlrd. 800 mln.;c) 172 800 000 000 = 1 · 100 000 000 000 + 7 · 10 000 000 000+

+2 · 1 000 000 000 + 8 · 100 000 000;2) a) 172 800 000 000 ≈ 173 000 000 000;

b) 172 800 000 000 ≈ 170 000 000 000;c) 172 800 000 000 ≈ 200 000 000 000.

77. 4650, 4749.

78. a) 8 007 100 ≈ 8 007 000; b) 82 872 112 ≈ 82 872 000;c) 96 331 818 ≈ 96 332; d) 8456 ≈ 8000.

79. a)–d) –– galima, pavyzdžiui: a) 1032; b) 2130; c) 2130; d) 3021;e) negalima.

80. a) 18, 90; b) 117, 999.

81. a) Lyginį; b) lyginį; c) lyginį; d) nelyginį.

82. a) Skaičius 1111...1︸︷︷︸102 vienetai

nesidalija nei iš 2, nei iš 5, nes paskutinis skaitmuo

yra 1 (kad dalytųsi iš 2, tai paskutinis skaitmuo turi būti 0, 2, 4, 6 arba8, o kad dalytųsi iš 5 –– 0 arba 5). Šio skaičiaus skaitmenų suma lygi1 · 102 = 102 –– dalijasi iš 3, o iš 9 nesidalija.

b) Skaičius 222...2︸︷︷︸90 dvejetų

dalijasi iš 2, nes paskutinis skaitmuo yra 2, bet nesi-

dalija iš 5. Šio skaičiaus skaitmenų suma lygi 2 · 90 = 180 –– dalijasiir iš 3, ir iš 9.

c) Skaičius 111...1︸︷︷︸30 vienetų

222...2︸︷︷︸15 dvejetų

dalijasi iš 2, nes paskutinis skaitmuo yra

2, ir iš 3, nes skaitmenų suma lygi 1 · 30 + 2 · 15 = 60 –– dalijasi iš 3.Iš 5 ir iš 9 šis skaičius nesidalija.

83. 1) 16;2) 16, 32, 48, 64, 80.

84. 1815, 3630, 5445, 7260, 9075.

DEM

O

125

Atsakymai

Sprendžiame

85. 1) 12 kvadratų;2) 6 cm;3) 36 cm2.

86. 1) 32 puokštes;2) 4 tulpės ir 5 narcizai.

87. 1) 4 grupes;2) 9 ėjikai ir 10 bėgikų.

88. Po 35 parų.

89. 72 m.

90. 1) Kas 3 m;2) 5 raudoni taškai ir 6 mėlyni.

91. 368 pomidorus.

92. a) 54, 82; b) 48, 72, 200.

DEM

O

126

Atsakymai

Testas

93. D.

94. a) B; b) B; c) D.

95. B.

96. A.

97. E.

98. E.

99. B.

100. D.

101. C.

102. B.

103. D.

104. C.

DEM

O

127

Atsakymai

Pasitikriname

105. 1) 2 072 500 000;2) 7.

106. a) 47 032 = 4 · 10 000 + 7 · 1000 + 3 · 10 + 2 · 1;b) 104 001 = 1 · 100 000 + 4 · 1000 + 1 · 1;c) 9 530 400 = 9 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 3 · 10 000 + 4 · 100;d) 8 000 000 005 = 8 · 1 000 000 000 + 5 · 1.

107. 6340 ≈ 6000, 15 006 ≈ 15 000, 849 500 ≈ 850 000,9 999 504 ≈ 10 000 000.

108. a) 1110, 21 348, 705 060; b) 57, 1110, 21 348, 705 060;c) 115, 1110, 705 060; d) 1110, 705 060; e) 21 348, 705 060.

109. a) 10, 14, 18, 40, 48, 50, 54, 58, 80, 84; b) 10, 15, 40, 45, 50, 80, 85;c) 10, 40, 50, 80; d) 15, 18, 45, 48, 51, 54, 81, 84; e) 18, 45, 54, 81.

110. a) Taip; b) taip; c) taip.

111. a) 1, 2, 4, 8, 16, 32; b) 32, 64, 96.

112. 1, 3, 9.

113. 26, 52, 78, 104.

114. a) 6; b) 90.

115. 1) 12 vazų;2) po 2 mandarinus ir 3 obuolius.

116. 60 pieštukų.

117. Skaičiai 2, 7 ir 13 yra pirminiai, nes jie turi lygiai du daliklius (vienetą irsave patį).

118. Sudėtinį, nes gautasis skaičius turi daugiau negu du daliklius (gautasisskaičius dalysis iš vieneto, iš savęs ir iš kiekvieno sudauginto pirminioskaičiaus).

119. Pavyzdžiui:a) 56 = 7 · 8; b) 108 = 2 · 54; c) 243 = 3 · 81.

120. a) 87 = 3 · 29; b) 126 = 2 · 3 · 3 · 7; c) 294 = 2 · 3 · 7 · 7.

DEM

O






tau



9 7 8 6 0 9 4 3 3 2 2 2 7

ISBN 978-609-433-222-7

DEM

O

jûSø PAGALBININKAI

Puikus būdas lavinti ir stiprinti sprendimo įgūdžius, ypač kai kompiuteris patvirtina teisingą atsakymą ar nurodo klaidas. Ideali priemonė linkusiems problemas spręsti kompiuteriu, o ne ant popieriaus. Svarbiausia – uždavinių šiose sprendyklėse yra be galo daug ir kiekvieno skoniui.

Jei reikia spręsti, bet neaišku, nuo ko pradėti, atsiverskite pratybų sąsiuvinį. Jame galite skaičiuoti, braižyti, piešti, spalvinti. O sėkmingai žengę pirmąjį žingsnį, galėsite imtis ir sunkesnių užduočių.

Ši knygelė yra labai naudinga tiems, kurie užsidegę ir užsispyrę sprendžia įvairius uždavinius bei nori patirti naujų pergalių skonį. Pirmoje knygelės dalyje yra 227 uždaviniai su atsakymais ir sprendimais, antroje – 161. Jei nepavyks iš karto išspręsti vieno ar kito uždavinio – nenusiminkite. Dar sykį atidžiai perskaitykite sąlygą, įsigilinkite ir įsijauskite į užduoties situaciją. Jei vis tiek nepavyks – žvilgtelėkite į atsakymą arba į uždavinio sprendimą. Nemažas laimėjimas bus vien tai, jei gebėsite savais žodžiais motyvuoti autoriaus pateiktą sprendimą.

Savarankiški ir kontroliniai darbai (visų po 2 variantus) – visoms 6 klasės matematikos temoms! Daug uždavinių!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta turėti mokytojai ☺

Manome, kad mūsų vadovėliuose uždavinių pakanka. Bet jeigu pritrūksite arba jie pasirodys per paprasti, išbandykite uždavinyną. Jame rasite daug uždavinių su atsakymais.

DEM

O

http://www.tevukas.lt/matematika/6/MTP061P

http://www.tevukas.lt/matematika/6/978-609-433-230-2








tau



9 7 8 6 0 9 4 3 3 2 2 9 6

ISBN 978-609-433-229-6

DEM

O

3

TURINYS

6. PLOKŠTUMOS FIGŪROS 4

7. ERDVINIAI KŪNAI 24

8. TŪRIAI 44

9. DUOMENYS. RINKINIAI 64

10. TEIGIAMIEJI IR NEIGIAMIEJI SKAIČIAI 84DE

MO

4


1. Pavaizduoti keturi kampai.

A B C D

a) Nurodykite kiekvieno jų rūšį.b) Surašykite kampus nuo mažiausio iki didžiausio.c) Koks yra kampo B dydis? kampo C dydis?d) Iš akies nustatykite, koks galėtų būti kampo A dydis; kampo D dydis.

Savo spėjimą pasitikrinkite matuodami šių kampų dydžius matlankiu.

2. Iš kampo AOB viršūnės O nubrėžtas spindulys OC. Apskaičiuokitekampo BOC dydį, jei ∠AOB = 87◦, o ∠AOC = 15◦ (du atvejai).

3. Apskaičiuokite kampo MON dydį, jei jis sudaro:

a) 13 stačiojo kampo dydžio; b) 3

5 ištiestinio kampo dydžio;

c) 0,1 stačiojo kampo dydžio; d) 0,8 ištiestinio kampo dydžio;e) 40 % stačiojo kampo dydžio; f) 95 % ištiestinio kampo dydžio.

4. Apskaičiuokite pavaizduotos figūros kampo, pažymėto klaustuku, dydį.

a) b) c)? ?

?80∞

105∞ 132∞

79∞

100∞

120∞42∞A

B

C A A

B B

C C

D D

Trikampio kampų dydžių suma lygi 180◦.Keturkampio kampų dydžių suma lygi 360◦.

5. Apskaičiuokite pavaizduotos figūros perimetrą ir plotą.

a) b) c)

12 dm 2– m14

5–dm

34

5,5 cm

4,8cm7,3

cm

DEM

O

5

6. PLOKŠTUMOS FIGŪROS6.1. Kampai 66.2. Trikampiai 86.3. Keturkampiai 106.4. Daugiakampiai 126.5. Apskritimai ir skrituliai 14

Apibendriname 16Sprendžiame 18Besidomintiems 20

Testas 22Pasitikriname 23

DEM

O

6 skyrius

6

6.1. Kampai

Jūs jau esate susipažinę su kampais, žinote kai kurias jų rūšis:

180∞

– = ∞JKL 180 .– < ∞ABC 90 ; – = ∞DEF 90 ;

J K LB

A

C

D

E F

G

H I

90 180∞ < – < ∞GHI ;

Smailusis Statusis Bukasis I tiestinisš

Šiame atverstinyje gilinsime žinias apie kampus, susipažinsime su pilnuojukampu. Tai toks kampas, kurį sudaro bendrą pradžią turintys du sutam-pantys spinduliai.

M

N

Pilnasis

O

Pilnasis kampas yra dvigubai didesnis už ištiestinį.Pilnojo kampo dydis lygus 360◦, t. y.∠MON = 360◦.

Užduotis. 1) Susipažinkite su pateikta informacija.

Du nesutampantys spinduliai, turintys bendrą pradžią, plokštumą padalijaį dvi dalis, kurios vadinamos kampais. Tų kampų dydžių suma lygi pilnojokampo dydžiui, t. y. 360◦.Kampas, didesnis už ištiestinį, bet mažesnis už pilnąjį, kartais vadinamasišvirkštiniù.Kampus galima žymėti ir skaičiais, pavyzdžiui: ∠1, ∠2, ∠3, ... .

12

∠1 + ∠2 = 360◦.

2) Sąsiuvinyje pažymėkite tašką O ir iš jo nubrėžkite du spindulius OA irOB , nesančius vienoje tiesėje.

3) Mažesnį kampą AOB pažymėkite skaičiumi 1, o didesnįjį –– skaičiumi 2.4) Išmatuokite ∠1 dydį, o tada apskaičiuokite ∠2 dydį.

DEM

O

6 skyrius

7

6.1. Uždaviniai

6. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite ∠1 dydį.

40∞1

1

1a) b) c)

138∞

7. Du lygūs bukieji kampai (∠1 = ∠2) sudėti taip,kaip pavaizduota dešinėje. Apskaičiuokite kam-pų 1 ir 2 dydžius, jei ∠3 = 80◦.

1

23

8. Raskite klaustuku pažymėto kampo, esančio tarp valandinės ir minutinėslaikrodžio rodyklių, dydį.

12

3

45

12

678

9

1011

?

12

3

45

12

678

9

1011

?

12

3

45

12

678

9

1011

?

12

3

45

12

678

9

1011

?

a) b) c) d)

9. Spindulys OM išvirkštinį kampą AOB dalija į du kampus. Ar galisusidarę kampai būti:a) abu statieji? b) abu bukieji? c) vienas statusis, o kitas –– bukasis?d) vienas smailusis, o kitas –– bukasis? e) abu išvirkštiniai?

10. Apskaičiuokite kampo KOM dydį, jei jis sudaro:

a) 16 stačiojo kampo dydžio; b) 5

12 pilnojo kampo dydžio;

c) 0,2 ištiestinio kampo dydžio; d) 0,9 stačiojo kampo dydžio;e) 5 % pilnojo kampo dydžio; f) 60 % ištiestinio kampo dydžio.

11. Iš ištiestinio kampo ACE viršūnės C nu-brėžti spinduliai CB ir CD. Kampo DCEdydis sudaro 30 % ištiestinio kampo dy-džio, o kampo BCD dydis sudaro 5

9 kam-po DCE dydžio. Apskaičiuokite kampųDCE, BCD ir ACB dydžius.

A

B

C

D

E

12. Nubraižykite kampą, kuris sudaro:a) 5

6 pilnojo kampo; b) 0,9 pilnojo kampo; c) 75 % pilnojo kampo.

DEM

O

6 skyrius

8

6.2. Trikampiai

Žemesnėse klasėse nagrinėjote trikampius: skaičiavote jų perimetrus, su-žinojote, kad trikampio kampų dydžių suma lygi 180◦.Šiame atverstinyje sužinosime, kokios yra trikampių rūšys (jie rūšiuojamipagal kraštinių ilgius ir pagal kampų dydžius).

Užduotis. 1) Susipažinkite su lentoje pateiktomis trikampių rūšimis.

Trikampių rūšys pagal kraštinių ilgius

a

a a

a

a ab

b

c

Į štisvairiakra Lygiašonis Lygiakraštis

Trikampių rūšys pagal kampų dydžius

Smailusis Statusis Bukasis

A A A

B B BC C C

– < ∞ < ∞< ∞

A B

C

90 , 90 ,

90 ;

––

– = ∞C 90 ; – > ∞ – < ∞C C90 , 180 .

Trikampis, kurio:• visos kraštinės yra skirtingo ilgio, vadinamas įvairiakraščiù;• dvi kraštinės yra vienodo ilgio, vadinamas lygiašoniù;• visos kraštinės yra vienodo ilgio, vadinamas lygiakraščiù;• visi kampai yra smailieji, vadinamas smailiúoju;• vienas kampas yra status, vadinamas stačiúoju;• vienas kampas yra bukas, vadinamas bukúoju.

2) Nubraižykite trikampį, jo viršūnes pažymėkite raidėmis.3) Išmatuokite trikampio kraštinių ilgius. Kokia jo rūšis pagal kraštinių ilgius?4) Išmatuokite trikampio kampų dydžius. Kokia jo rūšis pagal kampų dy-

džius?

DEM

O

6 skyrius

9

6.2. Uždaviniai

13. Nurodykite pavaizduoto trikampio rūšį pagal kraštinių ilgius ir apskai-čiuokite jo perimetrą.a) b) c)

5– dm14

7–dm

12

16,8

m

18 cm

23cm

34 cm

Trikampio perimetras (žymima P ) lygus trikampio visų kraštiniųilgių sumai.

aa a a

a

P a a a a.+ + 3= = ◊P a a b a + b;+ + 2= = ◊P a c+ + ;= bba

bc

14. Apskaičiuokite lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį, jei trikampio peri-metras lygus: a) 171 cm; b) 47,4 dm; c) 33

4 m.

15. a) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 48 cm,o pagrindo ilgis –– 14,4 cm. Apskaičiuokitetrikampio šoninės kraštinės ilgį.

b) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 1615 m,

o šoninės kraštinės ilgis –– 625 m. Apskaičiuo-

kite trikampio pagrindo ilgį. A

B

CPagrindas

Šoni

nėkr

aštin

ė

Šoninė

kraštinė

16. Apskaičiuokite trikampio ABC kampo A dydį ir pasakykite, kokios rū-šies pagal kampų dydžius yra trikampis ABC.

A

A

A

B

B BC C

Ca) b) c)

62∞

82∞

70∞ 28∞ 36∞

27∞

17. a) Apskaičiuokite smailiojo trikampio CDE kampų dydžius, jei∠C = ∠D = ∠E.

b) Apskaičiuokite bukojo trikampio KLM kampų K ir M dydžius, jei∠L = 118◦, o ∠K = ∠M .

c) Apskaičiuokite stačiojo trikampio DEF kampų D ir F dydžius, jei∠D = ∠F .

DEM

O

6 skyrius

10

6.3. Keturkampiai

Šiame atverstinyje prisiminsime keturkampius. Daugiausia dėmesio skir-sime stačiakampiui ir jo savybėms pakartoti.

Užduotis. Pavaizduoti trys keturkampiai.

75∞

68∞

A

B C

DE

F G

H K

L M

N

1) Apskaičiuokite keturkampio ABCD kampo D dydį.

Keturkampio kampų dydžių suma lygi 360◦.

2) Kurie pavaizduotų keturkampių yra stačiakampiai?

Keturkampis, kurio visi kampai yra statūs, vadinamas stačiãkampiu.

3) Kuris pavaizduotas keturkampis yra kvadratas?

Keturkampis, kurio visi kampai yra statūs, o kraštinės lygios, vadinamaskvadratù.

4) Prisiminkite stačiakampio savybes (jos surašytos lentoje) ir nusakykite jasžodžiais.

A

B C

D

O

AB = DC, AD = BC;AC = BD;AO = OC = BO = OD.

5) Kokias savybes turi kvadratas? Surašykite jas. (Kvadrato savybes galiterasti atverstinyje „Apibendriname“, p. 17.)

DEM

O

6 skyrius

11

6.3. Uždaviniai

18. Apskaičiuokite keturkampio perimetrą.

a) b) c)

25 mm 14m

m

29 mm20

mm

3,5 cm

2,2

cm

5–dm

23

Keturkampio perimetras (žymima P ) lygus keturkampio visų krašti-nių ilgių sumai.

aa a

bb

P a b a b a b+ + + 2 + 2 ;= = ◊ ◊P a b c d+ + + ;= P a a a a a.+ + + 4= = ◊

c

d

19. Stačiakampio ABCD įstrižainė AC yra dvi-gubai ilgesnė už kraštinę AB.1) Kokia yra trikampio AOB rūšis pagal kraš-

tinių ilgius?2) Apskaičiuokite trikampio AOB perimetrą,

jei AC = 4,2 cm.A

B C

D

O

20. Stačiakampio DEFG įstrižainės kertasi taš-ke O. Naudodamiesi brėžinio duomenimis,apskaičiuokite:a) ∠DGE; b) ∠FGO; c) ∠DFG+∠EFD.

D

E F

G

O

58∞

21. a) Apskaičiuokite stačiakampio, kurio ilgis yra 54 cm, o plotis –– 48,5 cm,plotą.

b) Apskaičiuokite kvadrato, kurio kraštinės ilgis yra 6,7 dm, plotą.

b

a a

S a b= ◊ S a= 2

22. Kambario grindys yra stačiakampio, kurio matmenys 5,2 m×3,5 m, for-mos. Kambario viduryje patiestas kvadratinis kilimas, kurio perimetraslygus 10 m. Koks grindų plotas neuždengtas kilimu?

23. Kvadrato formos sienos matmenys yra 2,5 m × 2,5 m. Penktadalis šiossienos išklijuota plytelėmis. Koks sienos plotas neišklijuotas plytelėmis?

DEM

O

6 skyrius

12

6.4. Daugiakampiai

Praeituose atverstiniuose nagrinėjome plokštumos figūras, turinčias 3 ir 4kampus. Šiame atverstinyje susipažinsime su plokštumos figūromis, kuriosturi 5, 6, 7 ir daugiau kampų. Visų jų bendras pavadinimas –– daugiãkam-pis, arba n-kampis (skaitoma: enkampis).Kai n = 3, turime trikampį, kai n = 4 –– keturkampį, kai n = 5 ––penkiakampį ir t. t. Pavyzdžiui:

penkiakampis šešiakampis septyniakampis

Užduotis. 1) Kiek kampų turi lentoje pavaizduotas daugiakampis?Kaip jis vadinamas (penkiakampiu, šešiakampiu, ...)?

A

F

ED

C

BKra tinš ė AB Viršūnė B

Kampas

B

AB + BC + CD + DE + EF + FA = P .

Daugiakampio kraštinių ilgių suma vadinama jo perimetru (žymima P ).

2) Išvardykite jo viršūnes, kraštines ir kampus.3) Išmatuokite daugiakampio ABCDEF kraštinių ilgius milimetrais ir ap-

skaičiuokite jo perimetrą. Atsakymą parašykite milimetrais; centimetrais;decimetrais.

DEM

O

6 skyrius

13

6.4. Uždaviniai

24. Apskaičiuokite daugiakampio perimetrą.

a) b) c)

23 mm

18 mm

21 mm

16 mm

20m

m 2,1 cm

1,2

cm

1,7 cm

1–dm

34

25. 1) Nubraižykite šešiakampį ABCDEF .2) Nubrėžkite visas jo įstrižaines, išeinančias iš viršūnės A. Kiek yra

įstrižainių, išeinančių iš vienos šešiakampio viršūnės?

Atkarpa, jungianti bet kurias dvi ne-gretimas daugiakampio viršūnes, va-dinama jo įstrižainè. ĮstrižainėĮstrižainė

3) Kiek iš viso įstrižainių turi šešiakampis?

26. 1) Nubraižykite n-kampį, jei:a) n = 4; b) n = 5; c) n = 6; d) n = 7.

2) Vieną jo viršūnę pažymėkite raide M .3) Nubrėžkite visas n-kampio įstrižaines, išeinančias iš viršūnės M . Kiek

susidarė trikampių?4) Prisiminę, kam lygi trikampio kampų dydžių suma, apskaičiuokite

n-kampio kampų dydžių sumą.

27. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite pavaizduoto dau-giakampio plotą.

A

B

C D

E

16m

12 m

10 m

a) b)

M

N

L

T

K

U

3,2 cm

6 cm

3cm35

m

DEM

O

6 skyrius

14

6.5. Apskritimai ir skrituliai

Šiame atverstinyje prisiminsime apskritimą ir skritulį. Plokštumos figūra,kurią sudaro taškai, vienodai nutolę nuo vieno taško, vadinamo apskritimocentru, vadinama apskritimù. Apskritimą paprastai brėžiame skriestuvu.Apskritimas ir jo viduje esanti plokštumos dalis sudaro skritulį.

Skritulys

Apskritimas

Užduotis. 1) Naudodamiesi skriestuvu, nubrėžkite apskritimą.2) Panagrinėkite žemiau pateiktą informaciją.

Atkarpa, jungianti bet kurį apskritimo tašką su apskritimo centru, vadina-ma apskrit imo spiñduliu (žymima r).Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama apskrit imo stygà.Styga, einanti per apskritimo centrą, vadinama apskrit imo skersmeniu (žy-mima d).

A

B

C

D

O

E

OA = OB = OC = r,

AB = d,

d = 2 · r.

O –– centras; OA, OB , OC –– spinduliai; AB, DE –– stygos;AB –– skersmuo.

3) Pažymėkite apskritimo centrą O ir nubrėžkite apskritimo spindulį OM .4) Išmatuokite apskritimo spindulio ilgį milimetrais, o tada apskaičiuokite

apskritimo skersmens ilgį milimetrais.5) Koks yra šiuo apskritimu apriboto skritulio skersmens ilgis?6) Nubrėžkite apskritimo stygą AB , neinančią per apskritimo centrą.

DEM

O

6 skyrius

15

6.5. Uždaviniai

28. Pavaizduotas apskritimas, kurio centras yrataškas O, ir nubrėžtos atkarpos. Surašykiteatkarpas, kurios yra šio apskritimo:a) spinduliai; b) stygos; c) skersmenys.

A

B

C

D

O

EF

29. 1) Nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra O, o spindulys lygus 4 cm.2) Pažymėkite taškus A, B , C, D, E ir F taip, kad būtų:

OA < 4 cm, OB < 4 cm, OC = 4 cm, OD = 4 cm, OE > 4 cm,OF > 4 cm.

3) Kurie taškų O, A, B , C, D, E ir F priklauso apskritimui, o kurie ––nepriklauso?

4) Kurie šių taškų priklauso jūsų nubrėžtu apskritimu apribotam skritu-liui, o kurie –– nepriklauso?

30. Skritulio spindulys lygus r , o skersmuo –– d . Apskaičiuokite:a) d , jei r = 23 mm; b) d , jei r = 8,9 cm; c) d , jei r = 21

6 dm;

d) r , jei d = 41 mm; e) r , jei d = 5,8 cm; f) r , jei d = 313 dm.

31. Koordinatiniame kampe, kurio vienetinių atkarpų ilgiai yra po 5 mm,nubrėžti du susikertantys apskritimai (I ir II), kurių centrai yra O1 ir O2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X

123456789

YI

II

O1 O2

D

CA B

O

1) Užrašykite apskritimų centrų O1 ir O2 koordinates.2) Koks yra I apskritimo spindulio ilgis ir koks –– skersmens ilgis?3) Koks yra II apskritimo spindulio ilgis ir koks –– skersmens ilgis?4) Kam lygus atstumas tarp apskritimų centrų?5) Kokie yra stygų AB ir CD ilgiai?

DEM

O

6 skyrius

16

Apibendriname

Kampų rūšys:• ištiest inis –– jo kraštinės sudaro tiesę;

A∠A = 180◦;

• statùsis –– pusė ištiestinio kampo;B

∠B = 90◦;

• smailùsis –– mažesnis už statųjį;C

∠C < 90◦;

• bukàsis –– didesnis už statųjį, bet ma-žesnis už ištiestinį; D

∠D > 90◦,∠D < 180◦;

• pilnàsis –– jo kraštinės sutampa. E ∠E = 360◦.

Du nesutampantys spinduliai, turintysbendrą pradžią, plokštumą padalija į dukampus, kurių dydžių suma lygi 360◦.Kampas, didesnis už ištiestinį, bet ma-žesnis už pilnąjį, kartais vadinamas iš-virkštiniù.

2 1

∠1 + ∠2 = 360◦,180◦ < ∠2 < 360◦.

Trikampių rūšys pagal kraštinių ilgius:• įvairiakrãštis –– visos kraštinės yra skir-

tingo ilgio; a

bc

P = a + b + c;

• lygiašõnis –– dvi kraštinės yra vienodoilgio;

a a

b

P = a + a + b == 2 · a + b;

• lygiakrãštis –– visos kraštinės yra vie-nodo ilgio; a

a a P = a + a + a == 3 · a.

Trikampių rūšys pagal kampų dydžius:• smailùsis –– visi kampai yra smailūs;

A

B

C

∠A < 90◦,∠B < 90◦,∠C < 90◦;

• statùsis –– vienas kampas yra status;

F

D

E

∠F = 90◦;

• bukàsis –– vienas kampas yra bukas.H

G

I

∠H > 90◦,∠H < 180◦.

DEM

O

6 skyrius

17

Apibendriname

StačiakampisKeturkampis, kurio visi kampai yra sta-tūs, vadinamas stačiãkampiu.Stačiakampio savybės:• stačiakampio priešingosios kraštinės yra

lygios;

A

B C

D

O

AD = BC, AB = DC;

• stačiakampio įstrižainės yra lygios; AC = BD;

• stačiakampio įstrižainių susikirtimotaškas jas dalija pusiau.

AO = OC = BO = OD.

KvadratasStačiakampis, kurio visos kraštinės yra ly-gios, vadinamas kvadratù.Kvadratas turi tas pačias savybes, kaip irstačiakampis. Be to, kvadrato:

• įstrižainės susikerta stačiu kampu;• įstrižainės jo kampus dalija pusiau.

O

A

B C

D

1

23 4

5

678

∠O = 90◦;∠1 = ∠2 = · · · = ∠8 = 45◦.

Daugiakampis, arba n-kampisDaugiakampio (n-kampio) kraštinių il-gių suma vadinama jo perimetru (žymi-ma P ).n-kampio kampų dydžių suma lygi180◦ · (n − 2).

ab

cd

e

P = a + b + c + d + e.

Apskritimas ir skritulysApskrit imas yra plokštumos figūra, kuriąsudaro taškai, vienodai nutolę nuo vienotaško –– apskritimo centro.Atkarpa, jungianti apskritimo centrą suapskritimo tašku, vadinama apskrit imospiñduliu (žymima r).Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus,vadinama apskrit imo stygà.Styga, einanti per apskritimo centrą, vadi-nama apskrit imo skersmeniu (žymima d).

A

B

C

D

180∞O

E

O –– centras,OA, OB , OC –– spinduliai,AB, DE –– stygos,AB –– skersmuo,

Apskritimo skersmuo yra dvigubai il-gesnis už apskritimo spindulį.

d = 2 · r .

Apskritimas ir jo viduje esanti plokštu-mos dalis sudaro skritulį. O

DEM

O

6 skyrius

18

Sprendžiame

32. Iš ištiestinio kampo MON viršūnės O nu-brėžtas spindulys OA taip, kad smailusis kam-pas AON sudaro 2

15 pilnojo kampo. Koks yraišvirkštinio kampo AON dydis? M O

A

N

33. Koks yra dydis kampo D, kuris sudaro 80 % trečdalio pilnojo kampo?

34. 1) Kokio dydžio kampus sudaro valandinė ir minutinė laikrodžio rodyk-lės, kai jis rodo 20 valandų?

2) Kurią dalį pilnojo kampo sudaro kiekvienas tų kampų? Atsakymusparašykite paprastosiomis trupmenomis; dešimtainėmis trupmeno-mis (vienos dešimtosios tikslumu).

35. Trikampio ABC kraštinės AC ilgis yra13,7 cm. Iš viršūnės B nubrėžtos atkar-pos BD ir BE taip, kad trikampiai ADB

ir BEC yra lygiašoniai. Naudodamie-si brėžinio duomenimis, apskaičiuokitetrikampio BDE perimetrą.

A

B

CD E

36. Lygiašonio trikampio perimetras lygus 56 cm, o pagrindas sudaro 25 %perimetro. Apskaičiuokite trikampio šoninės kraštinės ilgį.

37. Apskaičiuokite lygiašonio trikampio pagrindo ilgį, jei trikampio peri-metras lygus 90 dm, o šoninės kraštinės ilgis sudaro 30 % perimetro.

38. Lygiašonis trikampis ABC sudarytas išdviejų lygiašonių trikampių ABD ir BCD.Apskaičiuokite trikampio ABC perimet-rą, jei DC = 15 cm, o trikampio ABDperimetras lygus 65 cm. A D C

B

15 cm

39. Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis lygus kvadrato, kurio plotas yra144 cm2, kraštinės ilgiui. Koks yra trikampio perimetras?

40. Apskaičiuokite stačiakampioMNKL perimet-rą, jei stačiakampio MROT perimetras lygus36,8 dm.

K

LM

N

T

R O

DEM

O

6 skyrius

19

Sprendžiame

41. Apskaičiuokite stačiakampio ABCD plotą, jeistačiakampio BFOE perimetras lygus 54 cm,o kraštinė EO yra dvigubai ilgesnė už krašti-nę OF .

A

B C

D

E

F

O

42. Stačiakampio formos grindų matmenys yra 5,25 m × 4 m. Per kiekminučių dažytojas nudažys grindis, jei per minutę jis nudažo 1,5 m2

grindų?

43. Plane, kurio mastelis yra 1 : 2000, pavaizduoto stačiakampio formossklypo ilgis lygus 8 cm, o plotis –– 6 cm.a) Kiek metrų ilgio tvoros reikia šiam sklypui aptverti?b) Koks yra šio sklypo plotas arais?

Kvadrato, kurio kraštinės ilgis yra 10 m, plotas lygus1 arui.

1 a = 100 m2.10 m

S 1 a=

44. Iš vienos n-kampio viršūnės nubrėžtos visos įstrižainės. Kiek mažiausiaitrikampių galėjo susidaryti?

45. Nubrėžtos visos daugiakampio įstrižainės, išeinančios iš vienos viršūnės.Į kiek trikampių padalytas daugiakampis, jei jis turi:a) 5 kraštines? b) 6 kraštines? c) 7 kraštines? d) n kraštinių?

46. Kam lygi daugiakampio kampų dydžių suma, jei jis turi:a) 3 kraštines? b) 4 kraštines? c) 5 kraštines? d) 6 kraštines?e) 10 kraštinių? f) n kraštinių?

47. Ar apskritimo styga gali būti:a) lygi apskritimo spinduliui? b) lygi apskritimo skersmeniui?c) didesnė už apskritimo skersmenį?

48. 1) Nubrėžkite apskritimą, kurio centras yra O, o spindulys OA = 5 cm.2) Nubrėžkite kitą apskritimą, kurio centras yra O1 ir kuris eina per

tašką A. Spindulys O1A = 2 cm, o taškai O, A ir O1 yra vienojetiesėje.

3) Koks yra atstumas tarp apskritimų centrų O ir O1?

49. Vilma paėmė stačiakampio formos popieriaus lapą ir tiesia linija perkir-po jį į du daugiakampius. Tada vieną jų vėl tiesia linija perkirpo į dudaugiakampius ir t. t. Iš viso ji kirpo 100 kartų. Baigusi karpyti Vilmasuskaičiavo, kad visi gauti daugiakampiai kartu turi 302 kampus. Argalėjo būti tiek kampų? Atsakymą pagrįskite.

DEM

O

6 skyrius

20

Besidomintiems

Braižome trikampius

Nubraižykime trikampį, kurioAB = 4 cm, BC = 3 cm, o AC = 2 cm.

1) Naudodamiesi liniuote, nubrėžiamevieną trikampio kraštinę, pavyzdžiui,AB = 4 cm. 1 2 3 40 cm

A B

2) Skriestuvu išmatuojame atkarpą, ku-rios ilgis lygus kurios nors vienos išlikusių dviejų trikampio kraštinių il-giui, pavyzdžiui, 3 cm.

1 2 3 40 cm

3) Skriestuvu iš taško B brėžiame lanką,kurio spindulys lygus 3 cm.

A B

4) Analogiškai kaip 2) punkte skriestuvuišmatuojame atkarpą, kurios ilgis ly-gus likusios trečios trikampio kraštinėsilgiui, t. y. 2 cm. Tada iš taško A brėžia-me 2 cm spindulio lanką. Lankų susi-kirtimo tašką pažymime raide C.

C

A B

5) Naudodamiesi liniuote, nubrėžiametrikampio kraštines AC ir BC.

A B

C

2cm

3 cm

4 cm

Nubraižėme trikampį ABC, kurio AB = 4 cm, BC = 3 cm, o AC = 2 cm.

1 užduotis. Nubraižykite:a) trikampį ABC, kurio AB = 4 cm, BC = 5 cm, o AC = 3 cm;b) lygiašonį trikampį DEF , kurio DE = EF = 3 cm, o DF = 4 cm;c) lygiakraštį trikampį MNK , kurio kraštinės ilgis yra 5 cm.

DEM

O

6 skyrius

21

Besidomintiems

Nubraižykime trikampį, kurioAB = 4 cm, AC = 3 cm, o ∠A = 40◦.

1) Naudodamiesi liniuote, nubrėžiamevieną trikampio kraštinę, pavyzdžiui,AB = 4 cm. 1 2 3 40 cm

A B

2) Naudodamiesi matlankiu ir liniuote,iš taško A nubrėžiame spindulį, kurissu atkarpa AB sudaro 40◦ dydžiokampą, t. y. ∠A = 40◦.

A B

40∞

3) Nubrėžtame spindulyje pažymime taš-ką C taip, kad AC = 3 cm.

A B

40∞

C

3 cm

4) Naudodamiesi liniuote, nubrėžiametrikampio kraštinę BC.

A B

40∞

C

3 cm

4 cm

Nubraižėme trikampį, kurio AB = 4 cm, AC = 3 cm, o ∠A = 40◦.

2 užduotis. Nubraižykite trikampį:a) ABC, kurio AB = 5 cm, BC = 4 cm, o ∠B = 70◦;b) DEF , kurio DF = DE = 4 cm, o ∠D = 100◦;c) MNK , kurio MN = MK = 35 mm, o ∠M = 60◦.

3 užduotis. Naudodamiesi liniuote, matlankiu ir skriestuvu, pabandykitenubraižyti trikampį ABC, kurio:a) AC = 4 cm, ∠A = 50◦, o ∠C = 60◦;b) AC = 5 cm, ∠A = ∠C = 40◦;c) AC = 4 cm, ∠A = ∠C = 60◦.

DEM

O

6 skyrius

22

Testas

50. Kampas, lygus 50 % pusės pilnojo kampo, yra:A Smailusis B Statusis C Bukasis D Ištiestinis E Bet kokios rūšies

51. Trikampis, kurio dviejų kampų dydžių suma lygi 85◦, yra:A Smailusis B Statusis C Bukasis D Smailusis arba statusisE Statusis arba bukasis

52. Jei lygiakraščio trikampio perimetras lygus P , tai trikampio kraštinėsilgis yra:A P ·3 B P : 3 C P +3 D (P ·3) : 2 E Apskaičiuoti neįmanoma

53. Kuriuo atveju apskaičiuotume pavaizduoto tri-kampio ABC perimetrą?A (AC · BC) : 2 B 3 · AC C 2 · AB + ACD 2 · AC + AB E Nė vienu nurodytu A B

C

54. Jei stačiakampio DEFG perimetras yra 24,1 cm,tai DE + EF =A 12,05 cm B 12,5 cm C 12,005 cmD 6,025 cm E 1,205 cm

E F

GD

55. Stačiakampio ABCD perimetras yra 100 cm, oAB = 20 cm. Kam lygus trikampio ABC plo-tas?

A 30 cm2 B 60 cm2 C 300 cm2 D 600 cm2

E Apskaičiuoti neįmanoma

B C

DA

56. Kvadrato, kurio plotas yra 16 dm2, perimetras lygus:A 4 dm B 8 dm C 12 dm D 16 dm E Kitas atsakymas

57. Keturkampio trijų kampų dydžių suma lygi 260◦. Ketvirto kampo dydisyra:A 90◦ B 100◦ C 110◦ D 180◦ E 360◦

58. Kiek iš viso įstrižainių turi penkiakampis?A 1 B 2 C 3 D 4 E 5

59. Šešiakampio, kurio kiekviena kraštinė yra lygi a cm, perimetras yra:

A 2 · a cm B 3 · a cm C 6 · a cm D a · a cm2 E 6 · a · a cm2

60. Apskritimo, kurio skersmens ilgis yra d , spindulio ilgis r lygus:A d · 2 B d : 2 C d + 2 D d : 4 E Kitas atsakymas

61. Iš apskritimo centro O nubrėžta atkarpa OA = 1,8 cm. Apskritimoskersmuo lygus 3,6 cm. Taškas A yra:A Apskritimo viduje B Apskritimo išorėje C Ant apskritimoD Apskritimo centre E Nustatyti neįmanoma

DEM

O

6 skyrius

23

Pasitikriname

62. Kampas AOB yra keturgubai didesnis už statųjį kampą.1) Koks yra kampo AOB dydis? 2) Kokia yra šio kampo rūšis?

63. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskai-čiuokite kampo, pažymėto klaustuku, dydį. ? 325∞

64. a) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 52,3 cm, o pagrindo ilgis yra18,7 cm. Apskaičiuokite trikampio šoninės kraštinės ilgį.

b) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 8 dm, o šoninės kraštinės il-gis –– 21

3 dm. Apskaičiuokite trikampio pagrindo ilgį.

65. Apskaičiuokite lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį, jei trikampio peri-metras lygus 121

2 dm.

66. Stačiakampio ilgis lygus 18 cm, o plotis sudaro 56 ilgio. Apskaičiuokite

stačiakampio perimetrą ir plotą.

67. Stačiakampio plotas lygus 144 cm2, o plotis –– 9 cm. Apskaičiuokitekvadrato plotą, jei jo perimetras lygus stačiakampio perimetrui.

68. Nuo stačiakampio lapo nukirptas stačiojo ly-giašonio trikampio formos gabalas. Koks yralikusios lapo dalies plotas?

30 cm18

cm

13cm

69. Apskaičiuokite daugiakampio perimetrą.

a) b) c) d)

6,4 cm 15,3 dm

10,2

dm

14 m

13,4

m

8,7 m

7,8

m

70. Apskritimo spindulio ilgis lygus 0,25 m. Koks yra apskritimo skersmensilgis centimetrais?

71. Pavaizduoti du apskritimai, kurių centrai su-tampa. Vieno apskritimo spindulio ilgis yra5,2 cm, o kito –– 31

5 cm. Koks yra žiedo tarpapskritimų plotis?

?

DEM

O

DEM

O

109

Atsakymai


1. a) ∠A –– bukasis, ∠B –– statusis, ∠C –– ištiestinis, ∠D –– smailusis;b) ∠D, ∠B , ∠A, ∠C;c) ∠B = 90◦, ∠C = 180◦;d) ∠A = 135◦, ∠D = 27◦.

2. ∠BOC = 72◦ arba ∠BOC = 102◦.

3. a) 30◦; b) 108◦; c) 9◦; d) 144◦; e) 36◦; f) 171◦.

4. a) 58◦; b) 45◦; c) 49◦.

5. a) P = 3512 dm, S = 69 dm2;

b) P = 9 m, S = 5 116 m2;

c) P = 17,6 cm, S = 13,2 cm2.

DEM

O

110

Atsakymai

6.1. Kampai

6. a) 320◦; b) 270◦; c) 222◦.

7. ∠1 = ∠2 = 140◦.

8. a) 270◦; b) 180◦; c) 360◦; d) 210◦.

9. a) Ne; b) taip; c) taip; d) taip; e) ne.

10. a) 15◦; b) 150◦; c) 35◦; d) 81◦; e) 18◦; f) 108◦.

11. ∠DCE = 54◦, ∠BCD = 30◦, ∠ACB = 96◦.

12.

300∞ 324∞ 270∞

a) b) c)

DEM

O

111

Atsakymai

6.2. Trikampiai

13. a) Įvairiakraštis, P = 75 cm;b) lygiašonis, P = 18 dm;c) lygiakraštis, P = 50,4 m.

14. a) 57 cm; b) 15,8 dm; c) 114 m.

15. a) 16,8 cm; b) 325 m.

16. a) ∠A = 28◦, smailusis;b) ∠A = 90◦, statusis;c) ∠A = 117◦, bukasis.

17. a) ∠C = ∠D = ∠E = 60◦;b) ∠K = ∠M = 31◦;c) ∠D = ∠F = 45◦.

DEM

O

112

Atsakymai

6.3. Keturkampiai

18. a) 88 mm; b) 11,4 cm; c) 2223 dm.

19. 1) Lygiakraštis; 2) 6,3 cm.

20. a) 32◦; b) 58◦; c) 90◦.

21. a) 2619 cm2; b) 44,89 dm2.

22. 11,95 m2

23. 5 m2.DE

MO

113

Atsakymai

6.4. Daugiakampiai

24. a) 98 mm; b) 10 cm; c) 14 dm.

25. 1), 2)

A

B

C

D

E

F

3 įstrižainės;3) 9 įstrižaines.

26. 1)–3) a) b) c) d)

M M M M

2 trikampiai; 3 trikampiai; 4 trikampiai; 5 trikampiai;4) a) 360◦; b) 540◦; c) 720◦; d) 900◦.

27. a) 816 m2; b) 55,2 cm2.

DEM

O

114

Atsakymai

6.5. Apskritimai ir skrituliai

28. a) OA, OB , OC, OD, OE; b) BE, CD, AB; c) BE, CD.

29. 1), 2)

A

O

B

C

D

F

E

3) Taškai C ir D priklauso apskritimui, o taškai O, A, B , E ir F ––nepriklauso.

4) Taškai O, A, B , C ir D priklauso skrituliui, o taškai E ir F –– nepri-klauso.

30. a) 46 mm; b) 17,8 cm; c) 4 13 dm; d) 20,5 mm; e) 2,9 cm; f) 12

3 dm.

31. 1) O1(5; 5), O2(11; 5);2) r = 20 mm = 2 cm, d = 40 mm = 4 cm;3) r = 15 mm = 1,5 cm, d = 30 mm = 3 cm;4) 30 mm = 3 cm;5) AB = 30 mm = 3 cm, CD = 20 mm = 2 cm.DE

MO

115

Atsakymai

Sprendžiame

32. 312◦.

33. 96◦.

34. 1) 120◦ ir 240◦;2) mažesnysis kampas sudaro 1

3 = 0,333... ≈ 0,3 pilnojo kampo, o

didesnysis –– 23 = 0,666... ≈ 0,7.

35. 13,7 cm.

36. 21 cm.

37. 36 dm.

38. 90 cm.

39. 36 cm.

40. 73,6 dm.

41. 648 cm2.

42. Per 14 minučių.

43. a) 560 m; b) 192 a.

44. 2 trikampiai.

45. a) Į 3 trikampius; b) į 4 trikampius;c) į 5 trikampius d) į (n − 2) trikampius.

46. a) 180◦; b) 360◦; c) 540◦; d) 720◦; e) 1440◦; f) 180◦ · (n − 2).

47. a) Taip; b) taip; c) ne.DEM

O

116

Atsakymai

Sprendžiame

48. 1), 2)

O A O1

3) 7 cm.

49. Negalėjo. Po kiekvieno kirpimo, daugiakampių skaičius padidėdavo 1,t. y.po pirmo kirpimo buvo 2 daugiakampiai,po antrojo –– 3,po trečiojo –– 4,...po šimtojo –– 101.Mažiausiai kampų turi trikampis. Jei kiekvienas atkirptas daugiakampisbūtų trikampis, tai visi 101 trikampiai turėtų 303 kampus. Taigi visi gautidaugiakampiai mažiausiai galėjo turėti 303 kampus ir negalėjo turėti 302kampų.

DEM

O

117

Atsakymai

Testas

50. B.

51. C.

52. B.

53. D.

54. A.

55. C.

56. D.

57. B.

58. E.

59. C.

60. B.

61. C.

DEM

O

118

Atsakymai

Pasitikriname

62. 1) 360◦; 2) pilnasis.

63. 35◦.

64. a) 16,8 cm; b) 313 dm.

65. 4 16 dm.

66. P = 66 cm, S = 270 cm2.

67. 156,25 cm2.

68. 455,5 cm2.

69. a) 25,6 cm; b) 51 dm; c) 67,6 m; d) 50,4 m.

70. 50 cm.

71. 2 cm.

DEM

O






tau



9 7 8 6 0 9 4 3 3 2 2 9 6

ISBN 978-609-433-229-6

DEM

O

Matematika tau +. 6 klasė. DEMO. - · PDF fileSkaitmeninį vadovėlį „Matematika Tau...

Documents

Transcript of Matematika tau +. 6 klasė. DEMO. - · PDF fileSkaitmeninį vadovėlį „Matematika Tau...