LIMIT FUNGSI

Pengertian Secara Intuisi

1. ( ) 1, pada [0,2].f x x 2 1

2. ( ) pada [0,2] dan 1.1

xg x x

x

1, 0 13. ( ) .

1, 1 2

x xh x

x x

Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.

1. Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? .

2. Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ?

3. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.

4. Berdasarkan tabel dan grafik yang telah kamu peroleh, maka dapat kita simpulkan untuk ketiga fungsi di atas mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan semakin dekat dengan , sebagai berikut.

a. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 (baik dari kiri maupun dari kanan) maka nilai f(x) …………….........

b. Untuk fungsi g. ............................................................... .............................. ..............................................................

c. Untuk fungsi h. ................................................................ ............................................................................................

Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai , dibaca " limit f(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2". Dalam hal ini 2 dikatakan sebagai nilai limit f(x) di x = 1.Untuk b) dituliskan sebagai ...................................................Untuk c) dituliskan sebagai ...................................................

1lim ( ) 2x

f x

Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu tadi, sekarang coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu .

Definisi 1 (Pengertian limit fungsi secara intuisi)

berarti ........................................................... ...................................................................................... ....... .............................................................................. ..........................................................................................................................................................................

Lxfcx

)(lim

Lxfcx

)(lim

Soal Pemantapan 1Dari definisi yang kamu buat, sekarang periksalah tentang keberadaan (ada tidaknya) nilai limit fungsi berikut.

1. ( ) 2 1 di 2.f x x x 22. ( ) 5 1 di 0.f x x x x

. 2 13. ( ) di 2.

1x

f x xx

2 2 84. ( ) di 2.

1x x

f x xx

2 2 85. ( ) di 2.

2x x

f x xx

2

2 1, 16. ( ) di 1.

1, 1

x xf x x

x x

7. diberikan seperti gambar berikut di 1.f x

Limit Satu Sisi (Sepihak) Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut, kemudian selidikilah limit

fungsi di x = 0.

1, 01. ( ) .

1, 0

x xf x

x x

1, 02. ( ) .1

, 0

x xg x

xx

1, 0

3. ( ) .1, 0

xh x x

x x

Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai nilai limit ketiga fungsi di atas?

1. Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) pada sebelah kiri , dengan melengkapi tabel berikut?

Dari tabel dan grafik disimpulkan untuk ketiga fungsi di atas mengenai nilai fungsi di titik-titik yang dekat dan semakin dekat dengan dari sebelah kiri, sebagai berikut.a. Untuk fungsi f. Apabila x mendekati 1 dari sebelah kiri

maka nilai f(x) …………b. Untuk fungsi

g............................................................................c. Untuk fungsi

h............................................................................

Dalam lambang matematik, kesimpulan a) dituliskan sebagai ,

dibaca " limit kiri untuk x mendekati 1 sama dengan 0".

Dalam hal ini 0 dikatakan sebagai nilai limit kiri f(x) di x = 1.

Tuliskan dalam lambang matematik masing-masing untuk kesimpulan b) dan kesimpulan c).

1lim ( ) 0x

f x

( )f x

Dengan menggunakan hasil pekerjaan kamu di atas, sekarang coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit kiri fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu

Definisi 2 (Pengertian limit kiri fungsi secara intuisi)

berarti ................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................

Analog dengan cara pendefinisian limit kiri di atas, coba kamu definisikan dengan kalimat sendiri tentang pengertian limit kanan fungsi f untuk x mendekati c sama dengan L, yaitu

Definisi 3 (Pengertian limit kanan fungsi secara intuisi)

berarti ................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................

lim ( )x c

f x L

lim ( )x c

f x L

lim ( )x c

f x L

lim ( )x c

f x L

Setelah kamu memahami konsep limit, limit kiri dan limit kanan, berikan komentar kamu tentang hubungan antara limit, limit kiri, dan limit kanan berikut.

Jika limit suatu fungsi f(x) ada untuk x mendekati c, maka limit kiri dan limit kanan dari f(x) untuk x mendekati c ada dan sama dengan nilai limit tersebut. Demikian sebaliknya, jika limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x mendekati c ada dan bernilai sama, maka limit f(x) untuk x mendekati c ada dan sama dengan niliai limit sepihak tadi.

Selanjutnya tulislah dengan kalimat sendiri pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas.

Bandingkan pernyataan kamu dengan teorema berikut.Teorema 1 jika dan hanya jika dan

RefleksiSetelah mempelajari konsep limit, limit kiri, dan limit kanan,

bagaimana cara kamu mengetahui keberadaan limit suatu fungsi di suatu titik, kemudian berikan contoh cara kamu tersebut?

……………………………………………………………………………………………..……………………. ………………… … ………………………………………………………..…… ………………………………. ……….....................................

Lxfcx

)(lim Lxfcx

)(lim lim ( ) .x c

f x L

Teknik Menghitung LimitSekarang bagaimana kita menghitung nilai limit suatu fungsi satu

persamaan di suatu titik . Coba kamu hitung limit fungsi berikut di titik x = 1 , kemudian di titik x = 2.

• Fungsi Konstan • Fungsi Linear • Fungsi Kuadrat • Fungsi Suku Banyak (Polinom) • Fungsi Rasional

• Fungsi Irrasional

Dari hasil perhitungan kamu, apa yang dapat kamu simpulkan tentang cara/teknik menghitung limit fungsi satu persamaan?

( ) 2f x ( ) 2 3f x x

2( ) 2 3f x x x 4 3 2( ) 2 3f x x x x x

2

2

2 3( )

1x x

f xx

2 3( )

1x

f xx