IZVOD FUNKCIJE - ZADACI

1. Pod kojim uslovom je funkcija

f(x) =

{a x, x ≥ 0,b x, x < 0,

diferencijabilna u tacki x = 0.2. Neka je

f(x) =

{x2, x ≤ x0,a x + b, x > x0,

Odrediti koeficijente a i b tako da funkcija f(x) bude diferencijabilna u tacki x = x0.

Odrediti prvi izvod funkcija:

(1) f(x) = x · sin x (2) f(x) = (3x2 + 1) · tg x (3) f(x) = sin x− ex cos x

(4) f(x) =x3 − 2 ex

ln x(5) f(x) =

ln x + x2

ctg x(6) y =

cos x

4x + sin x

(7) y =sin x− x cos x

cos x + x sin x(8) y =

1

(2x + 5)3(9) y =

x3 − 4x2 + 5x

3x2 − 1

(10) y = (x5 + 3x3)√

3− 4x2 (11) y =(√

x− 1)2

2x + 3(12) y = x 4

√x− 3

5√

x2

(13) y =x2 + 3x + 5√

x2 − x(14) y = 5

√(x2 − 7x)4 (15) y =

√x2 + 2x

x2 − x + 1

(16) y =

√1− sin x

1 + sin x(17) y = (3− 5x2)4 + e−5x (18) y = x e

x3 + 4

√2x− 1

(19) y = ln(x3 + 3x− 6) (20) y = lnx + 1

1− x(21) y = ln cos 5x

(22) y = ln1

x2 − 4x(23) y = ln 3

√(4x− 1)2 (24) y = ln(x +

√x2 + 1)

(25) y =tg (3x + 2)

6x2 − 5x(26) y = tg

√x3 − 3 (27) y = sin2(3x3 − x)

(28) y = sin(x2 + 2x) · ex2(29) y = cos3 x +

√e4x + 1 (30) y = arcsin

2x

1 + x2

(31) y = arctgx√

1− x2(32) y = arcctg

x− 1

x + 1

(33) y =√

4x− x2 + 4 arcsin

√x

2(34) y = ex

√1− e2x + arcsin ex

(35) y = arcsin e2x + arccos1

x(36) y = ln(sin x +

√1 + sin2 x)

1

Primenom pravila za logaritamski izvod naci izvode sledecih funkcija:

(1) y = xsin x (2) y = (sin x)cos x (3) y = tg x√

x2 + 2x− 1

(4) y = (sin x + cos x)x2+x (5) y = (x sin x)tg x (6) y = (ln x + tg x)ln sin x

Odrediti izvod implicitno zadatih funkcija:

(1) 5x2 − 6y2 = 30 (2) (x− 3)2 + (y + 1)2 = 16

(3) 2x2y + y3x− sin(x y) + cos y = 0 (4) x2 − y2 + 6xy − 3x + y − 6 = 0

(5) x tg x + y tg x = 6 (6) x cos y − y sin x + x2y2 = 4

Geometrijska interpretacija izvoda

1. Odrediti jednacinu tangente krive y = 2x2 − 3x + 2 u tacki A(2, y).

2. Odrediti jednacinu tangente krive y = x3 + 3x2 − 5 u tacki A(1, y).

3. U kojoj tacki parabole y = x2 − 7x + 3 je tangenta paralelna sa pravom y = 5x + 2?

4. Odrediti teme parabole y = x2 − 4x + 1.

5. Iz tacke P (0,−2) konstruisane su tangente na krivu y = 2x2 + x − 1. Naci jednacinetangenata i dodirne tacke tangenata i date krive.

6. Odrediti dodirne tacke tangenti krive y = x3−x2+2x+3 koje su paralelne pravoj y = 3x−7.

7. Odrediti jednacine tangente i normale krive y = x4 − x2 + 3 u tacki M(1, y).

8. Odrediti jednacine tangente i normale krive y = cos2√

x u tacki M(0, y).

9. Odrediti jednacine tangente i normale krive y = (x+1) 3√

3− x u tackama A(−1, 0) i B(3, 0).

10. Odrediti jednacinu one tangente krive y = x3 + 3x2 − 5 koja je normalna na pravu

y =2x + 1

6.

11. Odrediti jednacinu tangente krive 7x2−2y2 = 14 koja je normalna na pravu 2x+4y−3 = 0.

12. Pod kojim uglom se seku prava y = 3x− 2 i kriva y = x2?

13. Data je funkcija f(x) =ax− x3

4. Odrediti realan broj a tako da grafik funkcije sece x-osu

pod uglom od α = π/4.

14. Pod kojim uglom se seku prava y = x i kriva definisana jednacinom x2 + xy + y2 = 12?

U sledecim zadacima odrediti ugao preseka krivih:

(15) y =1

xi y =

√x (16) y = x2 − 1 i y = 1− x2

(17) y2 = 4x i 2x2 + y2 = 6 (18) y = x2 i x = y2

(19) x2 + y2 = 8ax i y2 =x3

2a− x(20)

(x− p

2

)2

+ y2 = p2 i y2 = 2px

2

Diferencijal i izvodi viseg reda

1. Izracunati priblizno

(1)√

5 (2)3√

1.02 (3) cos 151◦ (4) tg 61◦ .

2. Naci drugi izvod funkcija:

(1) f(x) =√

1 + x2 (2) f(x) = ln sin x (3) f(x) = e−3x2

(4) f(x) =2x− x2

1 + x.

3. Naci treci izvod funkcije y = cos2 x.

4. Tacka se krece pravolinijski po zakonu s = s(t) = 2t3 + t2 − 4. Odrediti brzinu i ubrzanje utrenutku t = 4.

5. Tacka se krece pravolinijski po zakonu s = s(t) = 2 − 3t + t2. U kom trenutku ce brzinatacke biti v = 6. U tom trenutku odrediti ubrzanje tacke.

6. Iz iste tacke dva tela pocinu kretanje. Zakoni po kojima se krecu su

s = s1(t) = t3 − 2t2 + 5 i s = s2(t) =t3

3− 2t + 1 .

Odrediti trenutak u kome se tela krecu istom brzinom, a zatim odrediti ubrzanje u tom trenutku.

7. Tacka se krece po zakonu s =√

t. Dokazati da je ubrzanje obrnuto proporcionalno kububrzine sa kojom se krece.

8. Odrediti n-ti izvod funkcija

(1) y = e−2x (2) y =1

1 + x(3) y = ln x (4) y = sin ax + cos bx (5) y = sin2 x .

9. Data je funkcija f(x) = ex sin x. Dokazati da je

f ′′(x)− 2f ′(x) + 2f(x) = 0 .

10. Data je funkcija y = 2x sin x−(x2−2) cos x. Dokazati da je data funkcija resenje jednacine

y′′′ + y′ = 2 sin x + 4x cos x .

11. Data je funkcija

f(x) =x3

3− 6− 3a

2x2 − 2(a + 4)x + 8 , a ∈ R .

Odrediti realan broj a tako da je tacna jednakost

f ′′(−2)− f ′(−1)

f(0)= −1

8.

3

Osnovne teoreme diferencijalnog racuna

1. Dokazati da polinom

P (x) = 6x5 − 5x4 + 4x3 − 3x2 + 2x− 1

ima bar jedno realno resenje na intervalu (0, 1).

2. Dokazati da za 0 < a < b vazi nejednakost

b− a

b< ln

b

a<

b− a

a

3. Dokazati nejednakost |arctg x1 − arctg x2| ≤ |x1 − x2| za svako x1, x2 ∈ R.

4. Dokazati da je arctg x = arcsinx√

1 + x2za svako x ∈ R.

5. Dokazati da je arcsin x = arctgx√

1− x2za svako x ∈ (−1, 1).

6. Dokazati sledece nejednakosti:

(a) x− x3

3< sin x za x > 0; (b) cos x > 1− x2

2za x > 0;

(c) ln x ≤ x− 1 za x > 0; (d) ex > 1 + x za x 6= 0.

4

Lopitalovo pravilo

Naci sledece granicne vrednosti:

(1) limx→0

tg x− x

x− sin x(2) lim

x→0

arctg 2x

arcsin 5x(3) lim

x→0

1− cos x2

x2 sin x2

(4) limx→∞

x2

ex(5) lim

x→0

2x + 2−x − 2

x2(6) lim

x→0

xex + x− 2ex + 2

x3

(7) limx→0

arcsin 2x− 2 arcsin x

x3(8) lim

x→0

ax − bx

x(9) lim

x→0

e−1/x2

xn, n ∈ N

(10) limx→π/2

ln sin x

(π − 2x)2(11) lim

x→a

xx − xa

x− a(12) lim

x→0

1− cos 3x√1− x2 − 1

(13) limx→1−

ln x · ln(1− x) (14) limx→0+

x ln x (15) limx→∞

x2e−x

(16) limx→0

x ctg 2x (17) limx→0

x2 ln x (18) limx→0

xsin x

(19) limx→0+

xx (20) limx→1

x1

x−1 (21) limx→+∞

x1/x

(22) limx→0

(1 + x2)1x (23) lim

x→π/2(tg x)sin 2x (24) lim

x→1(2− x)tg π x

2

(25) limx→0

(ctg x)sin x (26) limx→0+

(ln

1

x

)x

(27) limx→1+

(ln

1

x− 1

)x−1

(28) limx→0

(sin x

x

)1/x2

(29) limx→0

(1

x

)tg x

(30) limx→1

(1

ln x− 1

x− 1

)

(31) limx→0

(1

sin x− 1

x

)(32) lim

x→1

(5

x5 − 1− 7

x7 − 1

)(33) lim

x→0

(1

x− 1

ex − 1

)

(34) limx→π/2+

(x

ctg x− π

2 cos x

)(35) lim

x→∞(ln x−√x) (36) lim

x→∞(x2 − ln 5x)

Resenja: (1) 2 (2) 2/5 (3) 1 (4) 0 (5) ln2 2 (6) 1/6 (7) 1 (8) lna

b(9) 0

(10) −1/8 (11) aa ln a (12) −9 (13) 0 (14) 0 (15) 0 (16) 1/2 (17) 0 (18) 1

(19) 1 (20) e (21) 1 (22) 1 (23) 1 (24) e (25) 1 (26) 1 (27) 1 (28) 1/ 6√

e

(29) 1 (30) 1/2 (31) 0 (32) 1 (33) 1/2 (34) −1 (35) −∞ (36) +∞

5

Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije

1. Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstremume sledecih funkcija:

(1) f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 4 (2) f(x) = x3 − 4x2 + 4x (3) f(x) =2x

1 + x2

(4) f(x) =x2 + 3x

x + 4(5) f(x) =

x2 − 2x− 3

2x− x2(6) f(x) =

4x− x2 − 4

x− 1

(7) f(x) =x− 1

x2(x− 2)(8) f(x) =

x3

(x− 1)2(9) f(x) =

x3 + x

1− x2

(10) f(x) =

√1 + x2

1 + x(11) f(x) = (x− 4)

√x + 2 (12) f(x) = (x2 − 3)

√x2 + 1

(13) f(x) = xe−x (14) f(x) = ex(x− 3)2 (15) f(x) = e3x

x2−1

(16) f(x) = x ln x (17) f(x) = x2 ln x (18) f(x) = x ln2 x

(19) f(x) =1− ln x

x2(20) f(x) =

ln√

x + 1√x + 1

(21) f(x) = x− arctg x

2. Odrediti oblast definisanosti i intervale monotonosti i lokalne ekstremume sledecih funkcija:

(1) f(x) = ln√

4− x2 (2) f(x) = ln1−√1− x2

1 +√

1 + x2

(3) f(x) = arctgx√

1− x2(4) f(x) =

x

2+ arcsin

2x

1 + x2

(5) f(x) = arccos1− x

1 + x(6) f(x) =

√4x− x2 + 4 arcsin

√x

2

3. Odrediti koeficijente a, b, c polinoma y = x3 + ax2 + bx + c tako da za x = −1 funkcija imamaksimum, za x = 4 minimum, a za x = −2 ima vrednost y = 1.

4. Data je funkcija f(x) = Ax2 + x + B ln x. Odrediti realne brojeve A i B tako da za x = 1 ix = 2 data funkcija ima ekstremne vrednosti.

5. Data je funkcija f(x) = x2 −(

m− 2

3

)x3 −mx + 1. Odrediti vrednosti realnog parametra

m za koje funkcija nema ekstremnih vrednosti.

6. Za koje vrednosti realnog parametra a je funkcija

(a) f(x) = (a + 2) x3 − 3 a x2 + 9 a x− 2 opadajuca u celoj svojoj oblasti definisanosti;

(b) f(x) = (a− 12) x3 + 3(a− 12)x2 + 6x + 7 rastuca u celoj svojoj oblasti definisanosti.

6

7. Neka su x1 i x2 apscise ekstremnih vrednosti funkcije

f(x) = 2x3 + 3(a− 2)x2 − 6(a + 1)x + 2, a ∈ R .

Za koje vrednosti realnog broja a izraz x21 + x2

2 ima maksimalnu vrednost?

8. Razloziti broj 36 na dva sabirka tako da njihov proizvod bude maksimalan.

9. Duz a podeliti na dve duzi tako da suma kvadrata prve duzi i dvostrukog kvadrata drugeduzi bude minimalna.

10. Podeliti odsecka duzine 12cm na dva dela, tako da je zbir povrsina jednokostranicnihtrouglova, cije su stranice delovi podele, bude minimalan.

11. U kruznicu poluprecnika r upisan je pravougaonik maksimalne povrsine. Odrediti stranicepravogaonika i maksimalnu povrsinu.

12. U loptu datog poluprecnika R upisati prav kruzni valjak:(a) maksimalne zapremine(b) maksimalne povrsine omotaca

13. U pravu kruznu kupu datog polurecnika R i visine H upisati prav kruzni valjak:(a) maksimalne zapremine(b) maksimalne povrsine omotaca

14. Odrediti poluprecnik osnove i visinu prave kruzne kupe maksimalne zapremine koja semoze upisati u loptu datog poluprecnika R.

15. Medu svim pravim kupama opisanim oko lopte poluprecnika R, odrediti onu cija je za-premina minimalna.

16. Jednakokraki trougao datog obima p rotira oko osnovice. Odrediti duzinu osnovice i krakatrougla, tako da zapremina nastalog tela bude maksimalna.

17. Date su tacke A(0, a), B(0, b), 0 < a < b. Odrediti tacku na pozitivnom delu x-ose iz kojese duz AB vidi pod najvecim uglom.

18. Od kartona oblika kvadrata stranice a napraviti otvorenu kutiju maksimalne zapremine.Odrediti dimenzije kutije i maksimalnu zapreminu.

7