Matematika felvételi levezetése 2014 (8. évfolyam)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése

2014

(8. osztályosoknak)

Készítette az Edemmester Gamer Blog

Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai

érvényesek.

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2014 (8. osztályosoknak)

2. oldal, összesen 15 Készítette az Edemmester Gamer Blog

1. feladat: Az alábbi ábrán mindegyik nyíl fölé egy-egy alapműveletet (összeadást,

kivonást, szorzást, osztást) írtunk. A nyíl fölé írt műveletet azzal a számmal kell

elvégezned, amelyiktől a nyíl elindul. Az elvégzett művelet eredménye az a szám lesz,

amelyre a nyíl mutat. Az első művelet esetén:

Végezd el a nyilakon jelölt műveleteket, és az eredményeket írd be a pontozott vonalakra!

→

→

→

→

→

Ezt a feladatot csak lépésenként lehet megoldani. Fontos, hogy elolvassuk a feladat leírását, amiből

egyértelműen kiderül, hogy minden esetben a nyíl irányában, lépésről lépésre kell haladnunk, azaz a

műveleti sorrend nem számít. Mivel a kettővel való szorzás már példaképp meg volt oldva, így

először az összeadás következik. Mivel hagyományos törthez tizedeset kell adnunk, ezért az egyiket

mindenképp át kell váltanunk. Jelen esetben javasolt a tizedes törtet vonalassá váltani. Bármelyik

számot önmagával osztva egyet kapunk, ebből a logikából kiindulva tehát:

Most hogy mindkét szám hagyományos tört, így megkezdhetjük a közös nevezőre hozást, valamint

az összeadást. Ránézésre is könnyen észrevehető, hogy ezt a számot lehet egyszerűsíteni, mivel 16 és

10 is osztható kettővel. Ha ezt elvégezzük, akkor már meg is történt a közös nevezőre hozás:

Mivel a két tört nevezője már azonos, ezért el is kezdhetjük a számlálók összeadását:

Ennek a számnak kell tehát az első üres vonalra kerülnie. A következő nyílon egy osztást találunk.

Tört osztásakor az osztandó törtet szorozzuk az osztó reciprok értékével. Először tehát meg kell

tudnunk a 3 reciprok értékét, ami nem egy bonyolult dolog, abból a tényből kiindulva, hogy bármely

számot 1-gyel osztva önmagát kapjuk. Evvel a logikával az egész számból vonalas törtet

készíthetünk, amelynek a reciprok értékét már könnyedén meghatározhatjuk:

Szorzás esetén engedélyezett a „keresztbe történő” egyszerűsítés, azaz az első tag számlálóját is

egyszerűsíthetjük a második tag nevezőjével. Ezt követően egyszerűen összeszorozhatjuk a két

törtet, számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel:

Ez a szám kerül tehát a következő vonalra.



Most pedig következzék a kivonás. Itt, a feladat első feléhez hasonlóan az egyel való osztáshoz

fogunk nyúlni:

Most pedig jöhet a közös nevezőre hozás. 1-nek és 5-nek a legkisebb közös többszöröse, azaz a

lehetséges legkisebb közös nevező 5 lesz. Bővítés során a tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal

a számmal kell megszoroznunk, ami valahogy így néz ki:

A műveletet most már el is végezhetjük, azaz kivonhatjuk a számlálót a számlálóból:

Ezt máris felírhatjuk a következő vonalra. Evvel el is érkeztünk az utolsó lépéshez, amelyben egy

törtet kell hozzáadnunk a számunkhoz:

Ennek a műveletnek az elvégzéséhez közös nevezőre kell hoznunk a két törtet. A legkisebb lehetséges

közös nevező a 10, ehhez pedig az első törtet 2-vel, a másodikat pedig 5-tel kell bővítenünk.

Most már csak össze kell adnunk a számlálókat, azonban FIGYELEM! Az első tört negatív, ami olyan,

mint ha a számlálójába -12 lenne írva! Az összeadás tehát:

Ennek a számnak kell tehát az utolsó helyre kerülnie.

Az eredményt nem lehet tovább egyszerűsíteni. Ha valaki nagyobb nevezővel számolt, és az

eredménye is úgy van leírva, akkor a hivatalos javítókulcs szerint el kell fogadni az eredményt,

nem kötelező a legegyszerűbb alak, az eredmény tizedes törtként is megadható.

Pontozás:

Minden kipontozott vonal kitöltésére egy pont jár. Amennyiben valamelyik vonalra hibás

megoldás került, de a rossz számmal a további számítások helyesek, akkor a többi pont

megadható.



2. feladat: Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket a hiányzó adatok beírásával!

a) 13 liter + 14 dm3 = ………………… dm3

Egy liter az egy dm3-nek felel meg. A 13 liter tehát 13 dm3, ehhez hozzáadjuk a 14dm3-t, és így

27dm3-t kapunk, ennek kell tehát a vonalra kerülnie.

b) 3 nap + ………………… óra = 90 óra

Egy nap 24 órából áll, tehát 3 nap 3*24, azaz 72 óra. A kérdés tehát az, hogy mennyit kell adnunk a

72-höz hogy 90-et kapjunk. 90-72=18, a vonalra tehát ennek a számnak kell kerülnie.

c-d) 19821 m = 27 km ‒ ………………… m = 27 km ‒ ………………… dm

A feladat itt már kicsit összetettebb. Először célszerű átgondolni a feladatot. Mindkét pontozott

vonal 27 km – valamennyi, azaz ezt a valamennyit tulajdonképpen csak egyszer kell kiszámolni,

majd utána átváltani. Ahhoz hogy megtudjuk, hogy melyik szám kerüljön az első vonalra, először a

27 km-t át kell váltanunk méterbe. Mivel a váltószám 1000, ezért ez 27*1000, azaz 27000 méter. A

kérdés tehát az, hogy 27000 méterből hány métert kell kivonnunk ahhoz, hogy 19821 métert

kapjunk, a válasz pedig 27000 – 19821, azaz 7179 méter. Az utolsó vonalra ugyanez a mennyiség

kell hogy kerüljön, csak deciméterben. A váltószám 10, tehát 7179 méter = 7179*10, azaz 71790

deciméter, az utolsó vonalra tehát ennek kellett kerülnie.

Pontozás:

Item Kritérium

a Ha az A kifejezésben a vonalra helyes érték került, akkor jár a pont erre az itemre. b Ha a B kifejezésben a vonalra helyes érték került, akkor jár a pont erre az itemre.

c Ha a C-D kifejezésben az első vonalra helyes érték került, akkor jár a pont erre az itemre.

d Ha a C-D kifejezésben a második vonalra helyes érték került, akkor jár a pont erre az itemre. Ha a C-D kifejezés első vonalán hibás érték szerepel, de evvel a számítás jó, akkor is jár pont erre az itemre.

3. feladat: Luca (L), Krisztina (K), Angéla (A) és Nóra (N) 400 méteres futásban mérték

össze az erejüket. A verseny után a következőket mondták el a barátjuknak, Rékának (aki

nem látta a versenyt): Sem Luca, sem Angéla nem lett utolsó, sem Krisztina, sem Nóra nem

lett első. Milyen sorrendben érkezhettek a célba, ha nem volt holtverseny? Írd a táblázat

mezőibe a versenyzők nevének kezdőbetűit a feltételnek megfelelő valamennyi lehetséges

sorrend szerint! Egy lehetséges sorrendet előre beírtunk a megoldások táblázatába.

Megoldásaidat a vastag vonallal körülvett mező táblázataiba kell beleírnod, mivel csak

ezeket értékeljük. A többi táblázatban próbálkozhatsz, de azokat NEM értékeljük! Lehet,

hogy a bekeretezett részben több táblázat van, mint ahány megoldás lehetséges. Vigyázz!

Ha a megoldásaid között hibásan kitöltött táblázat is szerepel, azért pontlevonás jár.

Példa: [L|A|K|N]



Először mindig javaslom, hogy számoljuk ki fejben, hány lehetséges sorrend van. Ez egyszerű, csak

egy kis gondolkodás kell hozzá. Amit a feladat szövege alapján egyértelműen tudunk:

1. helyezett lehet: LUCA VAGY ANGÉLA (2 ember)

4. helyezett lehet: KRISZTINA VAGY NÓRA (2 ember)

Így kettő ember kimarad, ők fogják betölteni a 2. és a 3. helyet:

2. helyezett lehet: AKI NEM ELSŐ, ÉS NEM NEGYEDIK (2 ember)

3. helyezett lehet: AKI NEM ELSŐ, NEM MÁSODIK, ÉS NEM NEGYEDIK (1 ember)

Összesen tehát 2*2*2*1 azaz 8 lehetséges sorrend van. Ezek közül van előre megadva 1, tehát meg

kell még adni 7 darabot. Ilyen esetekben célszerű elkezdeni SORBAN behelyettesíteni. A legkötöttebb

az első és az utolsó hely, így javaslom, hogy ezek mentén haladjunk, valahogy ilyen logikával:

[L|A|N|K] [A|L|N|K]

[L|N|A|K] [A|N|L|K]

[L|A|K|N] [A|L|K|N]

[L|K|A|N] [A|K|L|N]

Az eredménymezőbe tehát ennek a nyolc értéknek kell kerülnie. (a dőlttel szedett mezők értéke

példaként már be volt írva, így ezt természetesen nem kell ismét megadni)

Pontozás:

A pontozás ennél a feladatnál nem osztható itemekre. Az értékelés alapvetően sávos:

Leírt jó megoldás Kapott pontszám

1-2 1 pont

3-4 2 pont

5-7 Az első 4 darabra összesen 2 pont, a négyen felüliekre pedig darabonként egy, azaz összesen elérhető 5 pont.

Ha a leírtak között hibás sorrend is szerepel, akkor azért a hibás sorrendek számától függetlenül 1

pontot kell levonni a jókért kapottból. Negatív pontszámot nem lehet elérni, a legkevesebb

kapható pont tehát nem -1, hanem 0. Ha egy sorrend kétszer is le van írva, vagy esetleg a

példaülésrend is leírásra került, azért nem jár pontlevonás.



4. feladat: 4. Az alábbi oszlopdiagramon hat bolygó holdjainak számát ábrázoltuk. A

kérdések erre a hat bolygóra vonatkoznak.

a−b) Hány holdja van összesen a hat bolygónak? Írd le a számolás menetét!

Először le kell olvasnunk, hogy melyik bolygónak hány holdja van. Mivel ez egy oszlopdiagram, ezért

a bolygók nevei fölötti oszlopok magassága mutatja meg a holdak számát. Leolvashatjuk tehát,

hogy…

A Földnek 1 holdja van.

A Marsnak 2 holdja van.

A Jupiternek 16 holdja van.

A Szaturnusznak 18 holdja van.

Az Uránusznak 15 holdja van.

A Neptunusznak 8 holdja van.

Összesen tehát 1+2+16+18+15+8 darab, azaz 60 holdjuk van.

c−d) A Szaturnusz holdjainak száma hány százaléka a hat bolygó holdjai számának?

A feladat előző része alapján tudjuk, hogy összesen 60 holdjuk van a bolygóknak, a Szaturnuszé ezek

közül 18. Meg is kezdhetjük a százalékszámítást.

Alap: 60 hold (mert ennyi van összesen)

Százalékérték: 18 hold (mert azt szeretnénk megtudni, hogy a 60-nak hány százaléka a 18)

Százalékláb: ?%



Most már csak be kell helyettesítenünk a százalékszámítás képletébe:

A feladatra a válasz tehát 30%.

e−f) Hány holdja van átlagosan egy bolygónak? Írd le a számolás menetét!

Az összes bolygónak együtt 60 holdja van, ahogy ezt megállapítottuk a feladat első részében. Az

átlagos holdszámot úgy tudhatjuk meg, hogy az összes hold számát elosztjuk a bolygók számával. A

grafikonról leolvasható, hogy összesen 6 bolygó van, most már csak el kell végeznünk a műveletet:

60/6=10

A feladat ezen részére a válasz tehát átlagosan 10 hold.

Pontozás:

Item Kritérium

a Ha a grafikonról jól vannak leolvasva az értékek, akkor jár a pont erre az itemre.

b Ha a leolvasott értékekből helyesen lett kiszámolva az összes hold száma, akkor jár a pont erre az itemre, akkor is, ha a leolvasott értékek hibásak.

c Ha az a-b részben leolvasott és kiszámolt értékekkel a c-d részbe a behelyettesítés jó, akkor megadható ez a pont. (függetlenül attól, hogy az a-b rész jól lett-e leolvasva és kiszámolva)

d Ha a c-d feladat megoldása jó, akkor jár rá a pont.

e Ha az a-b részben leolvasott és kiszámolt értékekkel az e-f részbe a behelyettesítés jó, akkor megadható ez a pont. (függetlenül attól, hogy az a-b rész jól lett-e leolvasva és kiszámolva)

f Ha az e-f feladat megoldása jó, akkor jár rá a pont.

5. feladat: 5. Az ábrán vázolt ABC háromszögben

a B csúcsnál lévő belső szög nagysága 50°. Az A

csúcsból induló belső szögfelező egyenes a BC

oldalt a P pontban metszi úgy, hogy δ =80°. Az e

egyenes a δ szög szögfelezője. Határozd meg az

ábrán szereplő α/2, γ és ε

szög nagyságát, majd

egészítsd ki a CPQ

háromszögre vonatkozó

állítást! (Az ábra csak

tájékoztató jellegű vázlat,

nem pontos méretű.) (A zöld

színű ábrán szereplő

betűket ÉN írtam rá utólag, a

magyarázás megkönnyítése

érdekében. Azok az eredetin NEM szerepeltek.)

C B β



a) Mekkora az α/2 szög nagysága?

Szokásos feladat, nagyjából minden felvételin és versenyen előfordul szögkiszámítással kapcsolatos

síkgeometria feladat. Először át kell gondolnunk, hogy vannak-e esetleg olyan háromszögek,

amelyekről több információt is tudunk. Ha vetünk egy pillantást az ábrára, akkor észrevehetjük,

hogy van rajta egy olyan szög, aminek tudjuk a méretét, azonban nincs bejelölve az ábrán. Ez az

általam β-val jelölt szög. Ahhoz hogy egy szög teljesen egyenes legyen, (azaz tulajdonképpen ne is

létezzen) 180°-osnak kell lennie. Egy ilyen szög található a P pontnál. A β és a δ szög együtt 180°-os.

A δ szögről tudjuk, hogy 80°-os, tehát a δ pedig 180-80, azaz 100°-os. Evvel az ABP háromszögnek

már két szögét ismerjük. A háromszög belső szögeinek összege 180°. Ebből megtudhatjuk, hogy a

harmadik szöge, azaz az α/2 szög 180-100-50 azaz 30°-os.

b) Mekkora a γ szög nagysága?

Most hogy az α/2 szög nagyságát már ismerjük, az ACP háromszögnek is két szögét tudjuk. Az egyik,

azaz az α/2 30°-os, a másik pedig az δ pedig 80. A háromszögek belső szögeinek összegéről minden

esetben elmondhatjuk, hogy 180°, tehát a γ szög mérete 180-80-30 azaz 70°-os.

c) Mekkora a ε szög nagysága?

Ismételten egy olyan háromszögre kell támaszkodnunk, aminek már legalább két adatát ismerjük.

Pontosan ilyen a PQC. Az egyik szöge a δ/2, ami a δ szög fele, azaz 80/2 tehát 40°-os. A másik ismert

szöge az γ, ami az előbbi számításaink szerint 70°-os. Innentől már könnyedén ki is számíthatjuk a

hiányzó szöget, ami 180-40-70=40 fokos lesz.

d) Számításaid alapján egészítsd ki az alábbi mondatot úgy, hogy igaz legyen!

A CPQ háromszög … háromszög, mert …

Végignézve az eddigi számításainkat, két dolgot is írhatunk a vonalakra. Hogy ezek közül melyiket

írjuk, az teljesen mindegy, mindkettő elfogadott. Ha megnézzük a szögek nagyságát, akkor két

dologra lehetünk figyelmesek. A háromszög hegyesszögű, mert minden szöge kisebb, mint 90°,

valamint egyenlőszárú, mert két szöge egyenlő, és ennek következtében két oldala (azaz a szárai)

is.

Pontozás:

Item Kritérium

a Ha az a részben a számítás eredménye helyes, akkor jár rá a pont.

b Ha a b számítás eredménye megfelelő, akkor jár rá a pont. Amennyiben az a részben hibás eredmény szerepel, de avval a további számítások helyesek, akkor is jár rá a pont.

c Ha a c számítás eredménye megfelelő, akkor jár rá a pont. Amennyiben az a vagy a b részben hibás eredmény szerepel, de avval a további számítások helyesek, akkor is jár rá a pont.

d Ha bármilyen helyes megállapítás kerül a vonalra, akkor jár rá a pont, akkor is, ha nem az itt leírt kettő állítás egyike van oda írva.



6. feladat: Adott a következő öt szám: 4; 7; 20; 25; 28. Ezek közül írd be a pontozott

helyekre a feltételnek megfelelő összes számot!

a) Páros szám: ………………………………………………..

Minden olyan szám páros, amelyik maradék nélkül osztható kettővel:

4/2=2 PÁROS

7/2=3,5 PÁRATLAN

20/2=10 PÁROS

25/2 = 12,5 PÁRATLAN

28/2 = 14 PÁROS

b) Prímszám: …………………………………………………

Prím számnak nevezzük azokat a számokat, amelyeknek pontosan két darab osztójuk van. A

legkönnyebb út tehát, hogy amennyiben nem tudjuk fejből a prímszámokat, akkor el kell kezdeni

osztókat keresni. Amelyik számnak van olyan osztója, ami nem egy, és nem önmaga, az a szám nem

lehet prím.

4: Osztható 2-vel, nem lehet prím.

7: Csak 1-gyel és 7-tel osztható, azaz PRÍM.

20: Osztható 2-vel (és sok más számmal is), nem lehet prím.

25: Osztható 5-tel (és sok más számmal is), nem lehet prím.

28: Osztható 2-tel (és sok más számmal is), nem lehet prím.

c) 7-tel osztható szám: ………………………………………..

Itt is a legegyszerűbb mód, ha elkezdünk próbálkozni, ugyanis ez az egyetlen olyan út, amit

elrontani sem nagyon lehet, és egyértelműen jó megoldáshoz vezet.

4: Nem osztható

7: Osztható

20: Nem osztható

25: Nem osztható

28: Osztható

d) Négyzetszám: ………………………………………………

Ez már egy érdekesebb kérdés. Először át kell gondolni, hogy mi az a négyzetszám. Azokat a

számokat, amiknek a négyzetgyökük egész, négyzetszámoknak nevezzük. Ilyen számokat úgy

hozhatunk létre, hogy egész számokat négyzetre emelünk. A számsor legnagyobb eleme a 28, így a

gyökvonás helyett javaslom, hogy számoljuk ki inkább az összes 28 alatti négyzetszámot, majd

nézzük meg, hogy melyik szerepel a listán.

1*1=1 2*2=4 3*3=9

4*4=16 5*5=25 6*6=36



Pontozás:

Item Kritérium

a Ha az a részben az összes helyes megoldás le van írva, és egy hibás sem szerepel, akkor jár rá az 1 pont, ellenkező esetben nem.

b Ha a b részben minden helyes megoldás le van írva, és egy hibás szám sem szerepel ott, akkor jár rá az 1 pont, ellenkező esetben nem.

c Ha a c részben az összes helyes megoldás le van írva, és egy hibás sem szerepel, akkor jár rá az 1 pont, ellenkező esetben nem.

d Ha a d részben minden helyes megoldás le van írva, és egy hibás szám sem szerepel ott, akkor jár rá az 1 pont, ellenkező esetben nem.

7. feladat: Az alábbi koordináta-rendszerben adott három pont: A (3; 7), B (5; 3) és C (11;

4). Keress olyan D pontot, hogy az A, a B, a C és a D pont valamilyen sorrendben egy

paralelogramma négy csúcsa legyen! Rajzold be az összes ilyen D pontot az ábrába, és add

meg a koordinátáikat!

A feladat megoldásához először értelmezzük a kérdést. Paralelogrammának nevezünk minden olyan

négyszöget, aminek szemközti oldalai párhuzamosak. Ebből adódóan a szemközti oldalainak a

hossza megegyezik. Végiggondolva tehát ezt, három lehetséges megoldás van, ugyanis azt nem adta

meg a feladat, hogy milyen sorrendben kell összekötni a pontokat. Lehetséges tehát: ABCD, ABDC, és

ACBD sorrend is. Hogy melyek ezek a pontok, azt a legegyszerűbben szerkesztéssel mondhatjuk meg.

Nézzük először az ABCD sorrendet. Ebben az esetben az A és a C pont közé fog bekerülni a D pont.

Mivel a paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak, ebből következni, hogy AB = CD és

BC = AD. Evvel már nagyon közel járunk a megoldáshoz. Az előbbi két egyenlőség alapján egy körző

segítségével egyszerűen meghatározhatjuk a pontok helyét. Először körzőnyílásba vesszük a BC

távolságot, majd beszúrjuk a körzőt az A pontba, és készítünk egy kört. Ezt követően vegyük

körzőnyílásba az AB szakaszt, majd szúrjuk be a körzőt a C pontba, és ismételten készítsünk egy

kört. A két kör metszéspontja megadja az egyik lehetséges helyét a D pontnak. Evvel a logikával

haladva megkereshetjük a másik két pontot is. Az ABDC esetben a D pont a B és a C pont közé lesz

bekötve, azaz ezekből kell majd elindítani a köröket. Ne feledjük el a megszerkesztés után leolvasni a

pontok koordinátáit. Ha teljesen pontos munkát sikerült végeznünk, akkor mind a három pont

koordinátái egész számok lesznek.

Ilyen feladatok esetén általában egész koordináták szoktak kijönni, tehát ha egészhez közeli

értéket kapunk, akkor nyugodtan kerekítsük. Ha távolabbi értéket kapunk, akkor viszont

megeshet persze, hogy az érték éppen tört, de egy felvételiben ez nem valószínű. Egy versenyen

persze már bármilyen eredmény előfordulhat, szóval ott már kicsit más a helyzet, ott nem szabad

erre az ötletre alapozni, azonban amikor szerkesztünk, akkor mindig számolni kell az esetleges

pontatlanságokkal, amiket az eszközök okoznak, vagy éppen a kézügyességünk.

(a megoldást tartalmazó koordinátarendszer a következő oldal tetején)



Pontozás:

Minden helyesen berajzolt pontra egy pont jár, és minden helyesen leírt koordinátapárra is, azaz a

feladatra adható maximális pontszám a 6. Amennyiben egy pontnak az egyik koordinátája jó, de a

másik hibás, akkor arra a koordinátapárra nem jár pont.

8. feladat: A nekeresdi piacon 12 kg első osztályú és 8 kg másodosztályú almát

vásároltunk. A másodosztályú alma kilogrammonkénti ára az első osztályú alma

kilogrammonkénti árának 75%-a volt. Összesen 4176 tallért fizettünk. Hány tallér az első

osztályú és a másodosztályú alma kilogrammonkénti ára? Írd le a számolás menetét is!

Ismételten célszerű először gondolkodni. Kezdjük el kijegyzetelni az ismert adatokat. A tömeg oszlop

egyértelmű. Az ár/kg oszlopban az egyik alma árát jelöljük X-szel, a másik almáét pedig

viszonyítsuk ehhez. Valaminek a 75%-a, az valaminek a 0,75-tel való szorzása, jelen esetben tehát

0,75X tallér kerül tehát az ár/kg oszlopba. A teljes ár természetesen a tömeg kilogrammban,

szorozva a kilónkénti árral.

Tömeg Ár/kg Ár (teljes)

Első osztályú 12 kg X tallér 12*X tallér Másodosztályú 8 kg 0,75X tallér 8*0,75X tallér

Most itt az ideje felírni az egyenletet. Az egyenlet egyik oldalán a teljes ár lesz számmal megadva, a

másik oldalán pedig le lesz írva a kétféle alma teljes árának az összege.

x

x

x



4176 = 12*X + 8*0,75X

4176 = 12*X + 6*X

4176 = 18*X

232 = X

Az első osztályú alma árát jelöltük X-szel, ennek az ára tehát 232 tallér / kg. A másodosztályú alma

ára 0,75*X azaz 0,75*232 azaz 174 tallér. Evvel meg is született a megoldás.

Pontozás:

Erre a feladatra hat pont adható. Mivel az eredeti javítókulcs szégyenletes módon nem írja le

kellően részletesen a pontozás menetét, ezért ezt nem tudom teljesen kirészletezni. A

maximálisan elérhető pontszám a 6. Ebből 1 pont mindenképpen a megoldás. Ha a megoldás

helyes, de nem a kijelölt helyre van leírva, akkor is jár rá a pont. Hogy a javítókulcsot idézzem, a

feladat többi részének értékelése „a pontozási gyakorlatnak megfelelően történjen”.

9. feladat: A nekeresdi strandon új medencét építettek. Az alábbi ábra ennek a

medencének a vázlatos rajza. A medence mélysége egyenletesen növekszik 0,8 métertől

2,2 méterig. A szürke oldallapok kivételével a medence oldallapjai, alaplapja és a nyitott

része is téglalap alakú.

Hány m3 víz szükséges a medence teljes feltöltéséhez? Írd le a számolás menetét is!



Ez a feladat sokak számára nehezebbnek tűnhet, mint amilyen valójában. Eleinte célszerű

elgondolkodni azon, hogy egészen pontosan milyen testtel is állunk szemben. Esetleg segíthet a

gondolkodásban az, ha elforgatjuk a testet a térben, egészen pontosan úgy, hogy az egyik szürke

lapja legyen lefelé. Ekkor máris könnyedén megállapíthatjuk, hogy ez a medence tulajdonképpen egy

négyszög alapú hasáb. A hasábok térfogatának a kiszámításához az alapjának a területét, valamint

a magasságát kell tudnunk. Ha úgy nézzük a testet, hogy a szürke oldala van alul, akkor a

magassága a 20 méteres oldal lesz. Innentől kezdve csak az alapot kell kiszámolnunk. Nézzünk csak

rá:

Rendben. Ez tehát a térbeli ábrán szürkével jelölt lap VÁZLATA. A rajz nem arányos, csak a

szemléltetést szolgálja. Ennek a négyszögnek a felületét a legegyszerűbben úgy számíthatjuk ki,

hogy ha az ábrán látható módon egy egyenes vonallal kettéosztjuk egy téglalapra és egy derékszögű

háromszögre. A téglalap területe 50 * 0,8 azaz 40 m2, a háromszög területe pedig 1,4 * 50 /2 azaz

35 m2. Ha ezt a kettőt összeadjuk, akkor máris megkapjuk az egész négyszög területét, ami 40 + 35

azaz 75 m2. Innentől már egyenes az út a test térfogatának a kiderítéséhez, mindössze meg kell

szoroznunk ezt a hasáb magasságával. Mivel az előbb fejben elfordítottuk a testet az oldalára, így a

magassága most a 20 m, a térfogata tehát 75*20 azaz 1500 m3.

Pontozás:

Ez itt sem teljesen egyértelmű. Alapvetően jár egy pont arra a megállapításra, (még ha ez nincs is

szavakkal leírva), hogy ez egy trapéz alapú hasáb. Jár továbbá egy pont biztosan az eredményre. A

maximálisan kapható pontszám az 5, ebből a többi pont pedig a levezetéstől függ. Ha

matematikailag helyesen le van vezetve a feladat, akkor biztosan jár ár a maximum pontszám.

10. feladat: A különböző országokban többféle hőmérsékleti skálát használnak. A

leggyakoribb a Celsius (ºC), a Fahrenheit (ºF) és a Réaumur (ºR). A Celsius-skálához

hasonlóan a másik két skála is egyenletes beosztású (lineáris). A két alább, Celsius-

fokokban mért hőmérséklet az egyes skálákon a következő értékeket veszi fel:

0 ºC = 32 ºF 0 ºC = 0 ºR

100 ºC = 212ºF 100 ºC = 80 ºR

50 m

2,2 m 0,8 m

1,4 m



Határozd meg a hiányzó értékeket! Írd le a számolás menetét is!

a−b) 40 ºC = ……………………. ºR

Ez egy érdekes feladat. Ez a mértékegység még kicsit egyszerűbb, mint a feladat második része,

ugyanis jelen esetben ahol az egyik mértékegység nulla, ott a másik is, tehát egyszerűen csak egy

váltószámra van szükségünk, amit egyszerűen meghatározhatunk. Mivel tudjuk, hogy a két

mértékegység zérushelye megegyezik, így felírhatunk egy egyszerű egyenletet:

Célmértékegység = forrásmértékegység * váltószám

80 = 100X / /100

0,8 = X

A váltószám tehát 0,8 lesz. Innentől egyszerű megoldani a feladatot. 40°C * 0,8 = 32°R

c−e) 140 ºF = ……………………. ºC

Ennél a résznél két dologra kell kifejezetten figyelni. Az egyik az, hogy most a másik irányba váltunk,

a másik pedig hogy a két mértékegység ún. zérushelye nem ugyanott van, azaz amikor az egyik

mértékegység 0, ugyan azon a hőfokon a másik nem. Először erre vessünk egy pillantást. 0°C = 32°F.

Vegyük alapul a múltkori képletet, azaz a célmértékegység = forrásmértékegység * váltószám

megoldást. Esetünkben mindez annyiban módosul, hogy a forrásmennyiségből előbb ki kell vonnunk

32-t, hogy a zéruspontok megegyezzenek:


100 = (212-32)X /műveletek elvégzése

100 = 180X / /180

= X

A váltószámot most már meghatároztuk, azonban most javaslom, hogy ismételten helyettesítsünk be

a képletbe az átváltás elvégzésekor is, ugyanis most több lépésből áll az átváltás.


X = (140-32) * 100/180 /műveletek elvégzése

X = 108 * 100/180 / * 100/180

X=60

Most hogy megoldottuk az egyenletet, máris megkaptuk a feladat megoldását.

Pontozás:

Item Kritérium

a Ha az a-b részben a számítás helyes, akkor jár a pont erre az itemre.

b Ha az a-b részben helyesen lett megállapítva a váltószám, akkor jár erre az itemre az egy pont.

c Ha a c-e részben a számítás eredménye helyes, akkor jár a pont erre az itemre.

d Ha a c-e részből láthatóan kiderül a váltószám azaz a 100/180, akkor jár rá a pont. e Ha a feladat c-e szakaszában egyértelműen látható, hogy a Fahrenheit-értékből 32-t ki

kell vonni, akkor jár a pont erre az itemre.



Alapvetően a felvételi egyetlen nehézsége talán az idő. Ha valaki kellően gyorsan tud gondolkodni,

az maga írhatja a sorsát. A szerkesztőség nevében sok szerencsét kívánok minden felvételizőnek.

Kérdésed van? Valami nem érthető? Ne habozz! Vedd fel velünk a kapcsolatot

az [email protected] címen, és mi megválaszoljuk a kérdésedet!

mailto:[email protected]

Matematika felvételi levezetése 2014 (8. évfolyam)

Documents

Transcript of Matematika felvételi levezetése 2014 (8. évfolyam)