MATEMATIKA EKONOMI

Dalam suatu perekonomian, hubungan antara variable-variabel ekonomi yang satu dengan lainnya sangat komplek. Untuk memudahkan hubungan antar variable ini, maka cara yang terbaik adalah memilih sekian banyak variable ekonomi yang sesuai dengan permasalahan ekonomi, kemudian menghubungkannya sedemikian rupa sehingga bentuk hubungan antar variabel ekonomi menjadi sederhana dan relevan dengan keadaan ekonomi yang ada.

Penyederhanakan hubungan antar variabel ini disebut model ekonomi. Model ekonomi ini dapat berbentuk model matematika. Model ekonomi berbentuk model matematika ini terdiri dari sejumlah variabel, konstanta, koefisien, dan/atau parameter.

A. VARIABEL, KONSTANTA, KOEFISIEN, DAN PARAMETER

Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Variabel dilambangkan dengan huruf. Variabel dalam model ekonomi terdiri dari dua jenis:

a. variabel endogen b. variabel eksogen.

Variabel endogen adalah suatu variabel yang nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model.

Variabel eksogen adalah suatu variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.

Untuk membedakannya penulisan variabel endogen tidak diberi simbol subscript 0, tetapi untuk variabel eksogen diberi simbol subscript 0.

Konstanta adalah suatu bilangan nyata yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu model tertentu.

Koefisien adalah angka pengali konstan terhadap variabelnya.

Parameter didefinisikan sebagai suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah lainnya.

B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANModel-model matematika sering mencakup satu pernyataan atau sekelompok pernyataan (statement) yang meliputi berbagai simbol dari variabel-variabel dan konstanta-konstanta.Pernyataan-pernyataan dalam bentuk matematika dianggap sebagai lambang (expresions). Jika suatu lambang mempunyai bagian-bagian yang dipisahkan tanda positif dan/atau negatif, maka bagian-bagian ini secara individu disebut suku (terms). Faktor-faktor sering disajikan dalam setiap suku. Suatu faktor adalah satu dari pengali-pengali yang dipisahkan dalam suatu hasil kali.

Persamaan adalah suatu pernyataan bahwa dua lambang adalah sama, sedangkan pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak sama. Persamaan disimbolkan dengan tanda = (sama dengan), sedangkan pertidaksamaan disimbolkan dengan tanda “<” (lebih kecil dari) atau “ >” (lebih besar dari).

C. SISTEM BILANGAN

BILANGAN

NYATA KHAYAL

IRASIONAL RASIONAL

BULAT PECAHAN

Bilangan nyata adalah bilangan yang mengandung salah satu sifat yaitu positif atau negatif, dan tidak kedua-duanya.

Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif, sehingga tidak jelas sifatnya, apakah positif ataukah negatif. (misal: (-4) = ±2).

Bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua, yang berupa bilangan bulat atau berupa pecahan dengan desimal terbatas, atau desimal berulang. (misal: 2; ½; 0,857142857142).

Bilangan irrasional adalah hasil bagi antara dua bilangan, berupa bilangan pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang, termasuk bilangan p dan bilangan e=2,718281828459... (misal: 0,1492525393993999.....).

Bilangan bulat mencakup semua bilangan bulat positif, negatif dan nol.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang terletak di antara bilangan di antara bilangan bulat baik bilangan positif maupun negatif (hanya desimal berakhir dan berulang).

Selain penggolongan di atas terdapat tiga jenis pembagian dalam bilangan bulat, yaitu : 1. Bilangan cacah

2. Bilangan asli3. Bilangan prima

OPERASI BILANGAN1. Penjumlahan2. Pengurangan3. Perkalian4. Pembagian5. Pemangkatan6. Pemfaktoran

D. PANGKATKaidah pemangkatan

1. x 0 = 1 ; bila (x ≠ 0)2. x 1 = x3. 0X = 04. x a = 1/xa 5. xa/b = b√xa

6. ( x/y )a = x a/y a

7. (x a)b = xab

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT

x a × x b = x a+b

x a × y a = (xy)a

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT

x a ÷ xb = xa-b

xa ÷ ya = ( x/y )a

AKARKaidah Pengakaran Bilangan

1. b√x = x(1/b)

2. b√x a = x(a/b)

3. b√(x / y) = b√x / b√y

Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Akar1. 5√3 + 2√3 = 7√3

Kaidah Perkalian Bilangan Berakar1. b√x × b√y = b√(xy)2. b√ c√x

a = bc√x

a

Kaidah Pembagian Bilangan Berakar1. b√x / b√y = b√(x/y)

LOGARITMA

Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

xa = m a = xLog m; dimana x adalah basis dan a adalah pangkat.

Basis logaritma yang paling lazim digunakan karena pertimbangan praktis dalam perhitungan adalah bilangan 10.

Kaidah – kaidah Logaritma

1. xLog x = 1

2. xLog 1 = 0

3. xLog xa = a

4. xLog ma = a xLog m

5. x x Log m = m

6. xLog mn = xLog m + xLog n

7. xLog (m/n) = xlog m – xLog n

8. xLog m × mLog x = 19. 10Log x = x

A. PEMFAKTORANSuatu faktor adalah satu di antara pengali-pengali yang terpisah

dalam suatu hasil kali. Proses pemfaktoran dimulai dengan cara mencari nilai-nilai bersama pada suatu pernyataan matematika kemudian menuliskannya kembali sebagai suatu hasil kali dari faktor-faktornya. Pemfaktoran ini adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan pernyataan-pernyataan matematika dan pemecahan masalah lainnya dalam operasi matematika.

Misal:1. ab + ac = a( b + c )2. 2y3 – 3xy2 + 4y = y( 2y2 – 3xy + 4 )3. y = x2 – 25 = ( x - 5 )( x + 5 )4. y = x2– 9x + 20 = ( x - 4 )( x - 5 )Latihan:1. Sederhanakanlah pernyataan matematika berikut ini:

a. ( x4) (x½) (x-3)b. ( 1/x 3) × (x2/3x ⅓)

FUNGSIPenerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel.

A. FUNGSI

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubunganketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi.

Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor (data) tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf latin. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas (independent variable) dan variabel terikat (dependent variable).

Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.

Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu).

y = bx + ay : variabel terikatx : variabel bebasb : koefisien variabel xa : konstanta

Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x)

B. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat).Misal:

y = 3 + 2xx 1 2 3 4

y 5 7 9 11

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

Jenis-jenis fungsi aljabar antara lain:1. Fungsi linier : y = a + bx2. Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c3. Fungsi kubik : y = ax3 + bx2 + cx + d

Latihan1. Jika diketahui f(x) = x2 – 2x + 3, tentukan: f(-2); f(0); f(3); f(4); dan f(8)

FUNGSI LINIERFungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b ≠ 0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut:

Ax + By + C = 0A. KEMIRINGAN DAN PENGGAL GARISSesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y = a + bx.Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y). Penggal a mencermin-kan nilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m.

Jadi :Kemiringan = m = ∆y / ∆x

= (y2 – y1) / (x2 - x1)

Sebagai contoh y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

a. Kemiringan positip b. Kemiringan negatip

c. Kemiringan nol d. Kemiringan tak tentu

B. MENENTUKAN PERSAMAAN GARISSebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain:

(1) metode dua titik; dan(2) metode satu titik dan satu kemiringan.

Metode Dua TitikApabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:

(y - y1) (y2 - y1)

(x - x1) (x2 - x1)

misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:

(y – 3) (5 – 3)(x – 2) (6 – 2)

=

=

(y – 3) 2(x - 2) 44y – 12 = 2x – 4 4y = 2x + 8 y = 0,5x + 2

Metode Satu Titik dan Satu KemiringanDari sebuah titik A (x1 , y1) dan suatu kemiringan (m) dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut:

y – y1 = m( x – x1)

Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m = 0,5 maka persamaan liniernya adalah:

y – y1 = m( x – x1)

y – 3 = 0,5 (x – 2) y – 3 = 0,5x – 1 y = 0,5x + 2

=

C. HUBUNGAN DUA GARIS LURUSDua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus.

a. Berimpit a. Sejajar

a. Berpotongan a. Tegak Lurus

Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 = m2). Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 ≠ m2). Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan adalah:

(m1 = -(1 / m2))

Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan –1 (m1 x m2 = -1).

Latihan:1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y pada persamaan garis

berikut ini:a. 3x – 2y + 12 = 0b. 2x – 5y – 10 = 0c. 4x – 6y = 10

2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya:

a. (3,5) dan (10,2)b. (-6,-4) dan (10,8)

3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garis lurusnya:

a. (2,6), m = 0,4b. (5,8), m = -1,6

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu:

(1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan.

Metode SubstitusiMisal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 !Jawab:Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.

x = 23-4y ; 2x + 3y = 212(23-4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 2146 – 5y = 2125 = 5yy = 5

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.

y = 5 2x + 3y = 212x + 3(5) = 212x + 15 = 212x = 21 – 15x = 6/2x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

Metode Eliminasi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 !Jawab:Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y

3x - 2y = 7 (x 2) 6x – 4y = 142x + 4y = 10 (x 1) 2x + 4y = 10 +

8x + 0 = 24 x = 3

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan.x = 3 3(3) - 2y = 7

-2y = 7 – 9 2y = 2 y = 1

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

Metode Determinanax + by = cdx + ey = f

c b Dx f e ce - fb D a b ae - db

d e

a c Dy d f af - dc D a b ae - db

d e

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x - 2y = 7 dan 2x + 4y = 10 akan diselesaikan dengan cara determinan:

= =Nilai x adalah ; x =

Nilai y adalah ; y = ==

7 -2 Dx 10 4 7.4 - 10.(-2) 48 D 3 -2 3.4 - 2.(-2) 16

2 4

3 7 Dy 2 10 3.10 - 2.7 16 D 3 -2 3.4 - 2.(-2) 16

2 4

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1).

Nilai x adalah ; x = == = = 3

Nilai y adalah ; y = = 1= = =

Latihan Soal1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut

dengan metode eliminasi:a. 2x – 3y = 5 dan 3x – 2y = -4b. 4x + 3y = 16 dan x – 2y = 4

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode substitusi:

a. x – y = 2 dan 2x + 3y = 9b. x – y = -1 dan 3x + 2y = 12

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode determinan:

a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12b. 2x – 3y = 13 dan 4x + y = 15

FUNGSI TAK LINIER

Polinom atau suku banyak dalam x atau f(x) adalah ungkapan yang mengandung suku k.xn, dimana k = konstanta dan n = bilangan bulat. Derajat polinom adalah nilai tertinggi dari n dalam f(x).

Fungsi polinom mempunyai bentuk umum sebagai berikut;y = a0 + a1x + a2x

2 + ................... + anxn

Fungsi polinom berderajat dua atau fungsi kuadrat adalah fungsi tak linier yang grafiknya berbetuk parabola. Fungsi polinom berderajat tiga adalah fungsi tak linier yang variabel bebasnya berpangkat paling tinggi = 3. Demikian pula polinom berderajat empat, lima, enam dan seterusnya.

FUNGSI KUADRAT

Bentuk umumnya adalah : y = ax2 + bx + ca, b dan c adalah konstanta;y = variabel tak bebas;x = variabel bebas.

1. Jika a > 0 ; maka parabola terbuka ke arah y positip (terbuka ke atas) Jika a < 0 ; maka parabola terbuka ke arah y negatip (terbuka ke bawah)

2. Titik potong dengan sumbu y x = 0 y = c (0,c), maka titik potongnya = c. Hanya ada satu titik potong.

3. Titik potong dengan sumbu x y = 0, maka ax2 + bx + c = 0, sehingga diperoleh rumus a b c adalah sebagai berikut:

x1,2 = - b ± √ (b2 – 4ac)

2a

Bentuk ( b2 – 4ac ) disebut diskriminan, maka D = b2 – 4ac.Dari rumus di atas ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu sebagai berikut:a. Jika D = b2 – 4ac > 0, terdapat 2 harga x atau ada dua titik potong dengan

sumbu x, yaitu di ( , 0) dan ( , 0).

b. Jika D = 0 terdapat x1 = x2 = -b/2a, satu titik potong yaitu di (-b/2a,0) artinya parabola menyinggung pada sumbu x.

c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu x, sebab harga-harga x-nya adalah imajiner.

- b + √(b2 – 4ac)2a

- b - √(b2 – 4ac)2a

4. Mencari sumbu parabola adalah sebagai berikut;

x = = - substitusikan ke dalam persamaan

Parabola y = ax2 + bx + c diperoleh hasil sebagai berikut;

y = a ( - )2 - + c = - + c =

y = = - , maka didapat titik ekstrim sbb:

( - , - ).

Jika a > 0 terdapat titik ekstrim bentuk minimumJika a < 0 terdapat titik ekstrim bentuk maksimum.

x1 + x2

2b

2a

b2a

b2

2ab2

2a-b2 + 4ac

4a

-(b2- 4ac)

4aD4a

b2

2aD4a

sb y

a < 0D = 0

sb xx1 = x2

a < 0D > 0

sb x

Tidak ada harga x

sb y sb y

a < 0D > 0

sb xx1 x2

0 0 00

a > 0D > 0

sb xx1 x20

sb y

a > 0D = 0

sb x0

a > 0D < 0

sb x0x1 = x2

Tidak ada harga x

sb ysb y

Contoh

1. Gambar grafik fungsi y = x2 – 5x + 6Jawab:

Memotong sumbu y x = 0, y = 6 A(0,6)Memotong sumbu x y = 0, 0 = x2 – 5x + 6

X1,2 =

x1 = 2 B1 (2,0)

x2 = 3 B2 (3,0)

Titik ekstrim P ( - , - )A = +1 > 0D = -(b2 – 4ac) = 0,25 Terdapat titik ekstrim di P(2,5 ; 0,25)

5 ± √(25-24)

2

b2

2aD4a

sb x0

sb y

2

P(2,5 ; -0,25)

3

A(0,6)

Y =

x2 - 5

x +

6

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal: a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya. b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri. Misal: a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya. b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............. dikalikan ½ dari suku di depannya.

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

- Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30- Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan AritmatikaMisal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

an = a1 + (n - 1)b atau Sn = a1 + (n - 1)b

dimana:Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku n = banyaknya suku

Latihan:1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya !3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-11 = 23.

Deret Matematika deret hitung

Misal Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ..............+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn

Dn = Sn + (Sn – b) + (Sn – 2b) ..............+ (s + 2b) + (a + b) + a

2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) .............. Sebanyak n

2 Dn = n (a + Sn)

Dn = + (a + Sn) atau

Dn = + (a + a + (n – 1)b)

Dn = + (2a + (n – 1)b) dimana

Dimana Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)Latihan:1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

+

n2n2n2

BARISAN DAN DERET GEOMETRIBarisan GeometriMisal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3

an = arn-1

Jadi rumus ke-n dari barisan geometri adalah :

an = arn-1

Dimana : an = adalah suku ke-n a = adalah suku pertama r = adalah rasio antar suku berurutan n = banyaknya suku

Latihan:1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2.2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768

Deret Geometri (Deret Ukur)Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1

r Dn = ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1 + arn

Dn - rDn = a - arn

(1-r)Dn = a(1 – rn)

Dn = = dimana:

Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

a(1 – rn)(1 – r)

PENERAPAN BARISAN DAN DERET

A. MODEL PERKEMBANGAN USAHAJika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya: produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal) berpola seperti barisan aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti barisan aritmetika maksudnya bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.Contoh soal:1. Perusahaan genteng nglames menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

2. Besar penerimaan PT ABC dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan hasil penjualan tersebut berpola seperti barisan aritmetika, Berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta ?

3. Pabrik sepatu “Bagus” memproduksi 10.000 pasang sepatu pada tahun pertama operasinya. Namun karena situasi perekonomian yang tidak menguntungkan, produksinya terus menyusut 500 pasang setiap tahun. Berapa produksinya:

a. pada tahun keempat ?b. pada tahun ke - lima belas ?c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan tahun kesepuluh ?

4. Pabrik kecap XYZ memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.

a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun ?b. Pada tahun keberapa pabrik kecap XYZ ini tidak berproduksi lagi (tutup) ?c. Berapa botol kecap yang dihasilkan selama operasinya ?

5. Seorang pedagang memperoleh laba sebesar Rp 700 ribu pada bulan kelima kegiatan usahanya. Sedangkan jumlah seluruh laba yang diperoleh selama tujuh bulan pertama sebanyak sebanyak Rp 4.620 ribu. Hitunglah:

a. Laba yang diperoleh pada bulan pertama dan peningkatan labanya per bulan.

b. Laba pada bulan kesepuluh.c. Jumlah laba selama setahun pertama dari kegiatan usahanya ?

6. Jumlah hasil produksi sebuah perusahaan selama 5 tahun pertama operasinya sebanyak 3.000 unit, pada tahun ke-6 perusahaan tersebut tutup. Hitunglah produksi pada tahun pertama dan prosentase kenaikan atau penurunan produksinya.

7. Perusahaan X memulai produksinya dengan 1.000 unit, dan berkurang 100 unit setiap bulannya. Sedangkan perusahaan Y mengawali produksinya dengan 500 unit, meningkat 25 unit setiap tahun.

a. Pada tahun keberapa produksi mereka sama jumlahnya ?b. Kapan perusahaan X akan memproduksi sebanyak 0 ?c. Berapa produksi perusahaan Y pada tahun tersebut ?

B. MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUKPenerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penghitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

Pn = Prn-1

Dimana : P : populasi penduduk pada tahun basis (tahun pertama / ke-1)

Pn : populasi penduduk pada tahun ke-n

r : (1+ persentase pertumbuhan penduduk per tahun) n : jumlah penduduk

Contoh soal:1.Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2004 dan tahun 2010 !

2. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun 2000. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun ?

3. Penduduk sebuah kota tercatat 2,5 juta jiwa pada tahun 1992, dan diperkirakan menjadi 3 juta jiwa pada tahun 1996. Jika tahun 1990 dianggap merupakan tahun basis

a. Berapa persen tingkat pertumbuhannya ?b. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1980 ?c. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1991 ?d. pada tahun berapa penduduknya berjumlah 5 juta jiwa ?

C. BUNGA MAJEMUKPenghitungan bunga majemuk merupakan penerapan dari barisan geometri (barisan ukur).Misal suatu modal sebesar Rp 1.000,- (P) dibungakan secara majemuk dengan suku bunga 10% per tahun (i) , maka besarnya modal tersebut di masa datang (F) dapat dihitung sebagai berikut:setelah 1 tahun: F1 = 1000 + (1000 X 0,10) = 1100

F1 = P + Pi = P(1 + i)

setelah 2 tahun: F2 = 1100 + (1100 X 0,10) = 1210

F2 = (P + Pi) + (P + Pi) i = P + Pi + Pi + Pi2

= P + 2 Pi + Pi2 = P (1 + 2i + i2) = P (1 + i)2

setelah 3 tahun: F3 = P (1 + i)3

setelah n tahun: Fn = P (1 + i)n

dengan demikian nilai nilai di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah:

Fn = P(1+ i )n

Dimana:Fn = nilai di masa depan

P = jumlah sekarangi = suku bunga per tahunn = jumlah tahun

Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali (misalkan m kali) dalam satu tahun maka rumus nilai di masa depan menjadi:

Fn = P(1+ )nmim

m: frekwensi pembayaran dalam 1 tahun

Secara matematis rumus di atas dapat dimanipulasi untuk menentukan nilai sekarang dari nilai di masa datang.

P = F(1 + i)n

atau P = F

(1 + )mnim

Latihan:1. Nona Fina menabung uangnya Rp 1.500.000 di Bank dengan tingkat bunga 15% per tahun. Berapakah nilai uangnya di masa datang setelah 10 tahun kemudian jika dibunga-majemukkan secara: a). Semesteran, b). Kuartalan, dan c). Bulanan.

2. Seorang pengusaha berharap lima tahun mendatang memperoleh laba sebesar Rp 25.000.000. Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan secara kuarta, berapakah jumlah laba pengusaha tersebut saat ini ?

D. NILAI MASA DATANG DARI ANUITASAnuitas adalah serangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam jumlah uang yang tetap atau sama. Dalam anuitas diasumsikan bahwa semua pembayaran dibuat pada akhir periode dengan bunga majemuk.Ilustrasi:Nina menabung uangnya sebanyak 1 juta setiap permulaan tahun, dimana bunga 12% per tahun secara majemuk. Berapa jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun (akhir tahun ke-3 atau awal tahun ke-4) ?

1jt 1jt (1,12)1+ 1jt (1,12)2+ 1jt (1,12)3+ 1jt 1jt (1,12)1+ 1jt (1,12)2+ = 2.120.000,- 1 jt 1jt (1,12)1+

= 3.374.400,- 1jt = 4.779.328,-

1 2 3 4

Ingat rumus Deret Geometri:

Dn =

r < 1 r > 1Maka jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun dapat dihitung sbb:

Sn =

S4 =

S4 = 4.783.333

a (1 – rn)

(1 – r)Dapat ditulis sebagai Dn =

a (rn - 1)

(r – 1)

a (rn – 1)

(r – 1)

1jt((1,12)4 – 1)

(1,12 – 1)

1 jt × 0,574

0,12

Sehingga di dapat rumus nilai masa datang dari anuitas adalah:

Sn =

Dana CadanganDana cadangan disebut juga sebagai sinking fund yaitu dana yang disisihkan (dicadangkan) untuk pembayaran nilai tertentu dimasa yang akan datang. Misalkan perusahaan menyisihkan sebagian labanya untuk membayar utang sejumlah tertentu setelah sekian tahun di masa datang. Rumus dana cadangan diperoleh dari rekayasa rumus nilai masa datang dari anuitas di atas, yaitu:

P((1 + i) – 1) i

P = atau P = Sn

Sn

(1 + i)n - 1

i

i

(1 + i)n - 1

Latihan:1. Nona Debby menabung uangnya di Bank setiap awal bulan sebesar Rp

500.000 selama 8 tahun. Jika tingkat bunga yang berlaku sebesar 18% per tahun, berapakah jumlah uang nona Debby di masa datang bila bunga dibayarkan (diperhitungkan)secara bulanan ?

2. Suatu perusahaan ingin menyisihkan dananya setiap bulan selama 5 tahun untuk pembayaran pinjaman perusahaan. Jumlah nilai pinjaman perusahaan tersebut diperkirakan 5 tahun mendatang sebesar Rp 75.000.000. Bunga dibayarkan secara majemuk sebesar 15% per tahun. Berapa jumlah dana yang harus disisihkan atau dicadangkan setiap bulan oleh perusahaan agar dapat melunasi pinjaman tersebut ?

E. NILAI SEKARANG DARI ANUITASNilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai- nilai sekarang dari setiapperiode pembayaran atau penerimaan uang tertentu.

An = P(1+i )-1 +P(1+i )-2 +............+P(1+i )-n

Jika difaktorkan dengan (1+i)-n, maka persamaan di atas menjadi: An = P(1 + i )-n (1+i)n-1 + (1+i)n-2 ........... (1+i )2 + (1+i )1 + (1+i ) +1

Karena Sn = 1+(1+i)+(1+i)1+(1+i)2 +.........(1+i)n-1 persamaan diatas menjadi:

An = P (1+i)-n Sn

An = P (1+i)-n

An = P

(1+i)n - 1

i

1 -(1+i)-n

i

Jadi rumus nilai sekarang dari anuitas adalah:

An = P

Dimana:An = Nilai sekarang dari anuitasP = Jumlah pembayaran per periodei = Tingkat bunga tahunann = Jumlah periode pembayaran

Penyisihan Pinjaman

Konsep penyisihan pinjaman (loan amortization) hampir sama dengan dana cadangan (sinking fund). Untuk dana cadangan pembayaran cicilan hutang secara periodik dilakukan saat ini, agar di masa mendatang akan terlunasi jumlah tertentu utang atau pinjaman; sedangkan penyisihan pinjaman jumlah tertentu utang atau pinjaman sudah diterima saat ini, kemudian dilakukan pembayaran cicilan atau angsuran utang secara periodik.

1 -(1+i)-n

i

Rekayasa rumus nilai sekarang dari anuitas akan diperoleh rumus penyisihanpinjaman (loan amortization) yaitu:

P = P = An

Dimana: An = Nilai sekarang dari anuitasP = Jumlah pembayaran per periodei = Tingkat bunga tahunann = Jumlah periode pembayaran

An

1 -(1+i)-n

i

atau1 -(1+i)-n

i

Latihan:1. Nancy ingin menabung setiap bulan sebanyak Rp 2.500.000 setiap

permulaan tahun, selama 4 tahun di suatu Bank. Jika tingkat bunga yang berlaku adalah 12% per tahun yang dibayar secara majemuk. Berapakah jumlah nilai sekarang dari tabungan Nancy selama 4 tahun tersebut ?

2. Shinta berkeinginan membeli rumah dengan pembelian secara kredit seharga Rp 80.000.000. Sesuai perjanjian dari pihak pengembangan (developer) waktu pembayaran rumah tersebut adalah 5 tahun, dimana pembayaran dilakukan secara cicilan setiap bulan. Tingkat bunga yang dikenakan dalam pembayaran cicilan iniadalah 15% per tahun. Berapakah jumlah pembayaran yang harus dicicil setiap bulannya ?