BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika diskrit adalah merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang

mempelajari dan mengkaji objek-objek diskrit. Suatu objek disebut diskrit jika:

terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau

elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected). Contohnya: himpunan

bilangan bulat (integer).

Lawan kata diskrit adalah kontinyu (continuous) atau terus-menerus. Contohnya:

himpunan bilangan riil (real).

Kompuer digital bekerja secara diskrit dengan unit terkecil yang disebut bit. Informasi

yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Matematika

diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer. Matematika

diskrit adalah matematika-nya orang Informatika.

Contoh-contoh persoalan di dalam matematika diskrit:

Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter?

Bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?

Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?

Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota A ke kota B?

Buktikan bahwa perangko senilai n (n >=8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3

rupiah dan 5 rupiah saja.

Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaikan sebuah persoalan, algoritma mana

yang terbaik?

”Makanan murah tidak enak”, ”makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan

tersebut menyatakan hal yang sama? Dan sebagainya.

Materi matematika diskrit dimulai dari pokok bahasan logika. Logika merupakan

studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi

penalaran, yaitu cara berfikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan

1

bukan dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara

pernyataan-pernyataan (statements). Perhatikan argumen berikut:

Setiap orang yang memakai dasi adalah pejabat.

Semua pejabat adalah koruptor.

Jadi, semua orang yang memakai dasi adalah koruptor.

Meskipun logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan-pernyataan tersebut

benar atau salah, tetapi jika kedua pernyataan tersebut benar, maka penalaran dengan

menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa pernyataan semua orang yang

memakai dasi adalah koruptor juga benar.

Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari

pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita untuk membedakan

antara argumen yang valid dan tidak valid. Logika juga digunakan untuk membuktikan

teorema-teorema di dalam matematika.

Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300

tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer,

misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan

(artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Logika dan penalaran

1.2.2 Proposisi dan tabel kebenaran

1.2.3 Penerapan logika dalam ilmu komputer

1.3 Tujuan

1.3.1 Memahami konsep logika dan penalaran

13.2 Dapat menerapkan logika matematika di berbagai bidang terutama ilmu komputer

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Logika

Logika merupakan bagian filsafat yang membicarakan hakekat ketepatan, cara

menyusun pikiran yang dapat menggambarkan ketepatan berpengetahuan. Jadi tepat belum

tentu benar, sedangkan benar selalu mempunyai dasar yang tepat, hingga logika tidak

mempersoalkan kebenaran sesuatu yang dipikirkan akan tetapi membatasi diri pada ketepatan

susunan berpikir yang menyangkut pengetahuan dan mempersyaratkan kebenaran, bukan

wacana kebenarannya.

Secara etimologis, logika berasal dari bahasa Yunani kuno, logos yang berarti hasil

pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Kata

logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal. Namun pengertian

dasarnya sering disebut sebagai ilmu berkata-kata atau ilmu berfikir benar, bukan tepat

melainkan benar, hal ini sesuai pendapat Thomas Maunter (1999), logika merupakan

penyelidikan yang memiliki objek berupa prinsip-prinsip bernalar yang benar.

2.2 Penalaran

Penalaran adalah proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera (observasi

empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Berdasarkan pengamatan yang

sejenis juga akan terbentuk proposisi – proposisi yang sejenis, berdasarkan sejumlah

proposisi yang diketahui atau dianggap benar, orang menyimpulkan sebuah proposisi baru

yang sebelumnya tidak diketahui. Proses inilah yang disebut menalar.

Dalam penalaran, proposisi yang dijadikan dasar penyimpulan disebut dengan premis

(antesedens) dan hasil kesimpulannya disebut dengan konklusi (consequence). Hubungan

antara premis dan konklusi disebut konsekuensi. Penalaran juga merupakan aktifitas pikiran

yang abstrak, untuk mewujudkannya diperlukan lambang. Lambang yang digunakan dalam

penalaran berbentuk bahasa, sehingga wujud penalaran akan akan berupa argumen.

Kesimpulannya adalah pernyataan atau konsep adalah abstrak dan lambangnya adalah kata,

untuk proposisi lambangnya adalah kalimat (kalimat berita) dan untuk penalaran lambangnya

adalah argumen. Argumenlah yang dapat menentukan kebenaran konklusi dari premis.

3

2.3 Proposisi

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi

tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai

kebenarannya (truth value).

Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertutup

dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa

dipastikan nilai benar-salahnya. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum

bisa dipastikan nilai benar salahnya. Proposisi juga terbagi dua yaitu proposisi majemuk dan

proposisi atomik. Proposisi atomik merupakan proposisi yang bukan merupakan kombinasi

proposisi lain. Sedangkan proposisi majemuk merupakan proposisi yang disusun atau

dikombinasikan dari beberapa proposisi atomik.

Penghubung Kalimat dan Tabel Kebenaran

Di dalam dikenal lima buah penghubung yang akan dijelaskan dalam table berikut

SIMBOL ARTI BENTUK

¬ Negasi … tidak …

∧ Konjungsi/AND …. dan ….

∨ Disjungsi/OR … atau …

Implikasi Jika...maka…

Biimplikasi …jika dan hanya jika…

4