MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

MATEMATIKA DISKRIT

By :

SRI ESTI TRISNO SAMI

082334051324

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Bahan Bacaan / Refferensi :

1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit

Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba

Teknika.

2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,

Penerbit Andi Yogyakarta.

3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,

Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.

4. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, penerbit Informatika Bandung.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

PENDAHULUAN

Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas

segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan

(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit – seperti

bilangan bulat, graf, atau kalimat logika – tidak berubah secara kontinyu, namun

memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam

matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,

rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama

dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

BAB I

HIMPUNAN

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam

himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,

... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.

Notasi himpunan :

p Є A p adalah elemen dari A atau p anggota dari A

A ⊆ B atau B ⊇ A A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau

B mengandung A

A ⊂ B atau B ⊃ A A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau

sebaliknya;

∅ himpunan kosong

U / S himpunan semesta

1. Himpunan

a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple

of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika

mereka mempunyai anggota yang sama.

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian

dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

Contoh:

1. Jika A = {0, 1} dan B = {x│x(x-1) = 0}, maka A=B

2. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A=B

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

3. Jika A = (3, 5, 8, 5) dan B = {3, 8), maka A ≠ B

Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. Urutan elemen di dalam himpunana tidak penting.

Jadi, {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2}

2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah

himpunan.

Jadi, {1, 1, 1, 1} = {1, 1} = {1}

{1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3, 2, 1}

3. Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma (adalah suatu

pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti)

berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B= C, maka A = C

b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya (Prinsiple of

Abstraction) : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat

himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari

A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.

c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Himpunan kosong atau Ø atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan

{0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {Ø} juga memuat satu elemen

yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan

kosong merupakan subset dari himpunan manapun.

Contoh:

1. E = {x│x<x}, maka │E│ = 0 atau E = Ø

2. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka │P│= 0 atau P = {}

3. A = {x│x adalah akar-akar persamaan kuadrat x2+5x+10=0}, maka

│A│=0

Note: {Ø} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu Ø

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

d. A ⊆ B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga

anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.

Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

A ⊂ B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan

bagian dari B tetapi A ≠ B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada

di A

Contoh:

1. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}

2. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

3. Jika A = {(x,y)│x+y<4, x≥0, y≥0} dan B = {(x,y)│2x+y<4, x≥0, y≥0},

maka B ⊆ A

e. (i) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai Ø ⊆ A ⊆ U

(ii) Untuk sembarang himpunan A, kita mempunyai A ⊆ A

(iii) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

(iv) A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

Bukti :

(i) Setiap himpunan A adalah suatu subset dari himpunan U karena,

menurut definisi, semua anggota dari A adalah anggota dari U.

Demikian juga himpunan Ø adalah subset dari A

(ii) Setiap himpunan A adalah subset dari dirinya sendiri karena elemen

elemen dari A adalah anggota dari A.

(iii) Jika setiap elemen dari himpunan A anggota dari B, dan setiap elemen

dari B adalah anggta dari suatu himpunan C, maka jelas setiap elemen

dari A adalah anggota dari C. dengan kata lain, jika A ⊆ B dan B ⊆ C,

maka A ⊆ C.

(iv) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C maka A dan B mempunyai elemen-elemen yang

sama, sehingga A = B. Sebaliknya jika A = B maka A ⊆ B dan B ⊆ C

karena setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri.

f. Simbol-simbol Baku

P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}

Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Q = Himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan

b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)

R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari

bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional

adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,

atau bilangan yang bukan bilangan rasional.

Contohnya : √2, √3, √5

C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)

g. Notasi pembentuk Himpunan

Aturan yang harus digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:

1. Bagian di kiri tanda “│” melambangkan elemen himpunan.

2. Tanda “│” dibaca dimana atau sedemikian sehingga.

3. Bagian di kanan tanda “│” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

4. Setiap tanda “,” di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh :

1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan

notasi himpunan :

a. 1 bukan anggota dari himpunan A → 1∉ A

b. 5 adalah anggota dari himpunan B → 5 ∈ B

c. A adalah himpunan bagian/sama dengan (subset) C → A ⊆ C

d. A bukan himpunan bagian/sama dengan (subset) D → A⊈ D

e. F mengandung semua elemen dari G → G ⊆ F atau F ⊇ G

f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama → E = F

2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2,

3,…}

a. A = {x : x ∈ N, 3 ˂ x ˂12} → A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Notasi: {x│syarat yang harus dipenuhi oleh x}

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. B ={x : x ∈ N, x bilangan genap, x ˂ 15} → B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

c. C = {x : x ∈ N, 4 + x = 3} → C = Ø

Latihan Soal :

1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,

…)

a. A = {x : x Є N, 3 ˂ x < 9}

b. B = {x : x Є N, x2 + 1 = 10}

c. C = {x : x Є N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan

bulat)

a. A = {x : x Є Z, 3 ˂ x < 9}

b. B = {x : x Є Z, x2 + 1 = 10}

c. C = {x : x Є Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

3. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

elemennya

a. A = {x : x Є R, -5 ˂ x < 5}

b. B = {x : x Є N, x kelipatan 3}

c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}

4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2?

5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},

{w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama

dengan himpunan A = {w, y, z}?

6. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

elemennya:

a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu}

b. P = {x l x2 – 4 = 0}

c. N = { x l x bilangan asli}

d. A = {x l x2 = 9, x genap}

7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut:

a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka …

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. P = {x l x2 – 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka …

c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka …

d. G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka …

2. Diagram Venn

a. Himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable) jika A ⊆ B atau

B⊆A; sedangkan A dan B tidak dapat diperbandingkan

(noncomparable) jika A ⊈ B dan B ⊈ A.

b. Himpunan A dan B adalah saling asing (disjoint) jika mereka tidak

mempunyai elemen yang sama, yaitu bila tidak ada elemen di A yang

menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.

Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-

himpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh

bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh

cakram-cakram dalam persegi. Jika A ⊆ B, maka perwakilan cakram A

seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B

disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A

akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa

objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan

tidak di kedua-duanya.

(a) A ⊆ B (b) A & B saling asing (c)

Latihan soal :

1. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A dan B

mempunyai elemen bersama, B dan C mempunyai elemen bersama, tetapi

himpunan A dan C disjoint.

U

A

B

A

U

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

2. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A ⊆ B,

himpunan A dan C saling asing, tetapi himpunan B dan C mempunyai

elemen bersama

3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga

himpunan tersebut saling asing.

4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana akan

membagi himpunan semesta U kedalam 23 = 8 bagian. Mengapa terdapat 8?

5. Perhatikan suatu diagram Venn umum dari 4 himpunan A, B, C,dan D.Dalam

berapa daerah bagiankah himpunan semesta U dapat dibagi?

3. Operasi antar Himpunan

a. Gabungan (union)

Gabungan dari dua himpunan A dan B , dinyatakan dengan A U B, adalah

himpunan semua elemen A atau B :

A U B = {x : x Є A atau x Є B}

Contoh:

1. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A U B = {2, 5, 7, 8, 22}

2. A U ∅ = A

b. Irisan (intersection)

Irisan dua buah himpunan A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, adalah

himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan juga B.

A ∩ B = {x : x Є A atau x Є B}

Jika A ∩ B = ∅ berarti A dan B tidak mempunyai elemen bersama, yaitu ,

bahwa A dan B adalah himpunan yang saling asing (disjoint).

Contoh:

1. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10}

2. Jika A = {(x, y)│x + y = 7, x, y Є R} dan B = {x, y)│x - y = 3, x, y Є R}

maka A ∩ B = {(5, 2)}, yang merupakan titik potong garis x + y = 7 dan

x - y = 3

3. Jika A = {3, 5, 9} dan B = {-2, 6}, maka A ∩ B = ∅.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

c. Komplemen suatu Himpunan (Absolute Complement)

Komplemen himpunan dinyatakan dengan Ac, adalah himpunan dari elemen-

elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A :

Ac = {x : x Є U, x∉ A}

Contoh:

Misalkan S = {1, 2, 3, …, 9}

1. Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ac = {2, 4, 5, 6, 8}

2. Jika A = {x│x/2 Є P, x < 9}, maka Ac = {1, 3, 5, 7, 9}

d. Selisih dari Dua Himpunan (The Relative Complement)

Selisih dari A dan B dinyatakan dengan A\B, adalah himpunan dari elemen-

elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B :

A\B = {x : x Є A, x ∉ B}

Contoh:

1. Jika A = {1, 2, 3, …, 10} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka A\B = {1, 3, 5,

7, 9} dan B\A = ∅

2. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3}, maka A\B = {5} dan B\A = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang

elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

A ⊕ B = (A U B)\(A ∩ B) = (A\B) U B\A

Contoh:

1. Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5}, maka A ⊕ B = {3, 4, 5, 6}

2. Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ⊕ B = {2, 6, 8,

14, 18}

A U B A ∩ B Ac

A A A B A B

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

A\B A ⊕ B

Latihan soal :

1. Diketahui: S ={1,2,3,...,8,9}, A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8}, C ={3,4,5,6}

Tentukan :

1) A U B 14) Bc 27. A ⊕ B

2) A U C 15) Cc 28. A ⊕ C

3) B U C 16) A\B 29. B ⊕ C

4) B U B 17) C\A

5) (A U B) U C 18) B\C

6) A U (B U C) 19) B\A

7) A ∩ B 20) B\B

8) A ∩ C 21) A ∩ (B U C)

9) B ∩ C 22) (A ∩ B) U (A ∩ C)

10) B ∩ B 23) (A U B)c

11) (A ∩ B) ∩ C 24) Ac ∩ Bc

12) A ∩ (B ∩ C) 25) (A ∩ B)\C

13) Ac 26) (A\B)c

2. Diketahui: S ={a,b,c,d,e}, A ={a,b,d}, B ={b,d,e}. Tentukan :

1) A U B 6) A U Bc 11. A ⊕ B

2) B ∩ A 7) AC U Bc

3) Bc 8) (A ∩ B)C

4) B\A 9) BC\AC

5) Ac ∩ B 10) (A U B)C

3. Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang

memepelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari fisika dan

biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut.

A B A B

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

1) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang

tersebut.

2) Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu di antara

ketiga bidang tersebut.

4. Aljabar Himpunan

Hukum atau sifat dari aljabar himpunan

Hukum Idempotent

1a. A U A = A 1b. A ∩ A = A

Hukum Assosiatif

2a. (A U B) U C = A U (B U C) 2b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Hukum Komutatif

3a. A U B = B U A 3b. A ∩ B = B ∩ A

Hukum Distributif

4a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 4b. A ∩ (B U C)= (A∩B) U (A ∩ C)

Hukum Identitas

5a. A U Ø = A 5b. A ∩ S = A

6a. A U S = S 6b. A ∩ Ø = Ø

Hukum Involusi

7. (Ac)c = A

Hukum Komplemen

8a. A U Ac = S 8b. A ∩ Ac = Ø

9a. Sc = Ø 9b. Ø = S

Dalil de Morgan

10a. (A U B)c = Ac ∩ Bc 10b. (A ∩ B)c = Ac U Bc

Contoh :

Gunakan hukum-hukum pada tabel diatas untuk membuktikan identitas berikut:

(S ∩ A) U (B ∩ A) = A

(S ∩ A) U (B ∩ A) = (A ∩ S) U (A ∩ B) sifat komutatif 3b

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

= A ∩ (S U B) sifat distributif 4b

= A ∩ (B U S) sifat komutatif 3a

= A ∩ S sifat identitas 6a

= A sifat identitas 5b

Latihan soal :

Buktikan identitas-identitas berikut :

1. (B U C) ∩ A = (B ∩ A) U (C ∩ A)

2. (B ∩ C) U A = (B U A) ∩ (C U A)

3. (A U B) ∩ (A U Bc) = A

4. A U (A ∩ B) = A

5. (Bc ∩ S) ∩ (Ac U Ø) = (A U B)c

6. (A U B)c = Ac ∩ Bc

5. Argumen dan Diagram Venn

Pada bagian ini diagram venn digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari

suatu argumen.

Contoh :

1. Terjemahkan setiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn :

a. Semua mahasiswa adalah malas

b. Beberapa mahasiswa adalah malas

c. Tidak ada mahasiswa yang malas

d. Tidak semua mahasiswa adalah malas

Jawab :

(a) (b) dan (d) (c)

mahasiswa

orang malas

Orang

malas mahasiswa

Orang

malas mahasiswa

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

(a) Himpunan mahasiswa tercakup dalam himpunan orang malas seperti

ditunjukkan gambar a

(b) Himpunan mahasiswa dan orang malas mempunyai suatu elemen

bersama seperti gambar b

(c) Himpunan mahasiswa dan orang malas adalah saling asing seperti

gambar c.

(d) Dalam hal ini himpunan mahasiwa tidak tercakup dalam himpunan orang-

orang malas. Ini menunjuk pada gambar b (dengan kemungkinan bahwa

irisan himpunannya kosong)

2. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah benar :

S1 : Panci adalah sesuatu yang saya punya, terbuat dari timah

S2 : Saya mendapatkan semua pemberian kamu yang sangat berguna

S3 : Tak satupun dari panci saya yang berguna

S : Pemberian kamu pada saya bukan terbuat dari timah

Menurut S1 barang dari timah tercakup dalam himpunan panci dan

menurut S3 himpunan panci dan barang berguna adalah saling asing;

seperti digambarkan dalam diagram venn berikut :

Menurut S2 himpunan “hadiah anda” adalah subset dari himpunan barang

berguna seperti gambar berikut :

Kesimpulannya dengan jelas cocok oleh diagram venn di atas karena

himpunan “hadiah anda” adalah disjoint dari himpunan barang yang tebal

panci dr timah

panci

Barang yg berguna

panci dr timah

ygdatttimah panci

Hadiah anda

Barang yg berguna

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Latihan soal :

1. Perhatikan asumsi-asumsi berikut :

S1 : Penyair adalah orang yang bahagia

S2 : Setiap dokter adalah orang kaya

S3 : Tak satupun orang yang bahagia adalah orang kaya

Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :

a. Tak ada penyair yang kaya

b. Dokter adalah orang yang bahagia

c. Tak ada satupun yang menjadi penyair dan dokter

2. Perhatikan argumen-argumen berikut :

S1 : Semua ahli matematik adalah orang-orang yang menarik

S2 : Beberapa guru menjual asuransi

S3 : Beberapa ahli filsafat adalah ahli matematik

S4 : Hanya orang yang tidak menarik menjadi penjual asuransi

Tunjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut :

a. S : Penjual asuransi bukan ahli matematik

b. S : Beberapa orang yang menarik adalah bukan guru

c. S : Beberapa guru bukan ahli filsafat

3. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar :

S1 : Semua mahasiswa adalah pemalas

S2 : Tak seorangpun yang kaya adalah seorang mahasiswa

S : Orang pemalas adalah tidak kaya

4. Tunjukkan bahwa argumen berikut benar

S1 : Tidak ada mahasiswa yang pemalas

S2 : John adalah seorang artis

S3 : Semua artis adalah pemalas

S : John bukan seorang mahasiswa

5. Tunjukkan bahwa arguman berikut adalah benar :

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

S1 : Semua pengacara adalah orang kaya

S2 : Penyair adalah orang temperamental

S3 : Audrey adalah seorang pengacara

S4 : Tidak ada orang temperamental adalah orang kaya

S : Audrey bukan seorang penyair

6. Tunjukkan bahwa argumen berikut adalah tidak benar (mekipun setiap

pernyataannya benar):

S1 : Beberapa binatang dapat berpikir

S2 : Man adalah seekor binatang

S : Man dapat berpikir

7. Tunjukan bahwa argumen berikut adalah benar :

S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya

S2 : Setiap raja merupakan orang kaya

S3 : Tidak ada orang kaya yang tenteram hidupnya

S : Tidak ada seorang pun guru yang juga raja

8. Induksi Lengkap

Prinsip bentuk induksi matematika yang ekuivalen :

1. Bentuk I : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang didefinisikan pada

bilangan bulat positif N; P(n) bisa benar atau salah utuk setiap n dalam N.

anggap P mempunyai dua sifat berikut :

(i) P(1) adalah benar

(ii) P(n + 1) bernilai benar bilamana P(n) benar

Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.

2. Bentuk II (induksi lengkap) : Misalkan P adalah sebuah proporsisi yang

didefinisikan pada bilangan bulat positif N, sedemikian hingga :

(i) P(1) adalah benar

(ii) P(n) bernilai benar bilaman P(k) benar untuk setiap 1 ≤ k ≤ n.

Maka P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Prinsip induksi matematika dimulai dengan n0 = 1 dan membuktikanbahwa P(n)

berlaku untuk setiap n ≥ 1. Atau dapat dimulai dengan sembarang n0 = m dan

membuktikan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n ≥ m.

Contoh :

1. Misalkan P adalah proposisi bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah

n2, yaitu,

P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

(Bilangan ganjil ke-n adalah 2n – 1, dan bilangan ganjil berikutnya adalah 2n

+ 1). Buktikan P berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n Є N.

Penyelesaian :

Karena 1 = 12, maka P(1) benar. Asumsikan P(n) benar. kita tambahkan 2n

+ 1 pada kedua sisi P(n), di dapat :

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

yang mana adalah P(n + 1). Sehingga P(n + 1) benar bilamana P(n) benar.

Menurut prinsip induksi matematika, P berlaku untuk setiap n

2. Buktikan proposisi P, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah ½ n(n

+ 1); yaitu

P(n) : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)

Penyelesaian :

Proposisi berlaku untuk n = 1 karena 1 = ½ (1) (1 + 1), sehingga P(1)

benar. Asumsikan P(n) benar, kita tambahkan n + 1 pada kedua sisi P(n),

didapat :

1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1)

= ½ [(n (n + 1) + 2(n + 1)]

= ½ [(n + 1)(n + 2)]

Yang mana adalah P(n + 1) benar bilamana P(n) benar. Menurut prinsip

induksi, P berlaku untuk setiap n.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Latihan soal :

Buktikan proposisi berikut :

1. P(n) : 12 + 22 + … + n2 =

2. P(n) : 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) =

3. P(n) : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =

4. P(n) : 1(1!) + 2 (2!) + … + n(n!) = (n + 1)! - 1

5. P(n) : 12 - 22 - 32 + (-1)n+1 n2 =

6. P(n) : 13 + 23 + 33 + … + n3 = [

]

7. P(n) : 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1

8. P(n) :