MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

MATEMATIKA DISKRIT

By :

SRI ESTI TRISNO SAMI

082334051324

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Bahan Bacaan / Refferensi :

1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit

Shcaums Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba

Teknika.

2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,

Penerbit Andi Yogyakarta.

3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,

Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.

4. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, penerbit Informatika Bandung.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

PENDAHULUAN

Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas

segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan

(lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit seperti

bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara kontinyu, namun

memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam

matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,

rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama

dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

BAB I

HIMPUNAN

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam

himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,

... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.

Notasi himpunan :

p A p adalah elemen dari A atau p anggota dari A

A B atau B A A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau

B mengandung A

A B atau B A A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau

sebaliknya;

himpunan kosong

U / S himpunan semesta

1. Himpunan

a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple

of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika

mereka mempunyai anggota yang sama.

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian

dari A. Jika tidak demikian, maka A B.

Contoh:

1. Jika A = {0, 1} dan B = {xx(x-1) = 0}, maka A=B

2. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A=B

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

3. Jika A = (3, 5, 8, 5) dan B = {3, 8), maka A B

Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. Urutan elemen di dalam himpunana tidak penting.

Jadi, {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2}

2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah

himpunan.

Jadi, {1, 1, 1, 1} = {1, 1} = {1}

{1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3, 2, 1}

3. Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma (adalah suatu

pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti)

berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B= C, maka A = C

b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya (Prinsiple of

Abstraction) : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat

himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari

A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.

c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Himpunan kosong atau atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan

{0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {} juga memuat satu elemen

yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan

kosong merupakan subset dari himpunan manapun.

Contoh:

1. E = {xx

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

d. A B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga

anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.

Notasi : A = B A B dan B A

A B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan

bagian dari B tetapi A B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada

di A

Contoh:

1. {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

2. {1, 2, 3} {1, 2, 3}

3. Jika A = {(x,y)x+y

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, }

Z = Himpunan bilangan bulat = {, -2, -1, 0, 1, 2, }

Q = Himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan

b anggota bilangan bulat dan b 0)

R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari

bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional

adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,

atau bilangan yang bukan bilangan rasional.

Contohnya : 2, 3, 5

C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)

g. Notasi pembentuk Himpunan

Aturan yang harus digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:

1. Bagian di kiri tanda melambangkan elemen himpunan.

2. Tanda dibaca dimana atau sedemikian sehingga.

3. Bagian di kanan tanda menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

4. Setiap tanda , di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh :

1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan

notasi himpunan :

a. 1 bukan anggota dari himpunan A 1 A

b. 5 adalah anggota dari himpunan B 5 B

c. A adalah himpunan bagian/sama dengan (subset) C A C

d. A bukan himpunan bagian/sama dengan (subset) D A D

e. F mengandung semua elemen dari G G F atau F G

f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama E = F

2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2,

3,}

a. A = {x : x N, 3 x 12} A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Notasi: {xsyarat yang harus dipenuhi oleh x}

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. B ={x : x N, x bilangan genap, x 15} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

c. C = {x : x N, 4 + x = 3} C =

Latihan Soal :

1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,

)

a. A = {x : x N, 3 x < 9}

b. B = {x : x N, x2 + 1 = 10}

c. C = {x : x N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan

bulat)

a. A = {x : x Z, 3 x < 9}

b. B = {x : x Z, x2 + 1 = 10}

c. C = {x : x Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

3. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

elemennya

a. A = {x : x R, -5 x < 5}

b. B = {x : x N, x kelipatan 3}

c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}

4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2?

5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},

{w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama

dengan himpunan A = {w, y, z}?

6. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

elemennya:

a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu}

b. P = {x l x2 4 = 0}

c. N = { x l x bilangan asli}

d. A = {x l x2 = 9, x genap}

7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut:

a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. P = {x l x2 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka

c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka

d. G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka

2. Diagram Venn

a. Himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable) jika A B atau

BA; sedangkan A dan B tidak dapat diperbandingkan

(noncomparable) jika A B dan B A.

b. Himpunan A dan B adalah saling asing (disjoint) jika mereka tidak

mempunyai elemen yang sama, yaitu bila tidak ada elemen di A yang

menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.

Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-

himpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh

bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh

cakram-cakram dalam persegi. Jika A B, maka perwakilan cakram A

seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B

disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A

akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa

objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan

tidak di kedua-duanya.

(a) A B (b) A & B saling asing (c)

Latihan soal :

1. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A dan B

mempunyai elemen bersama, B dan C mempunyai elemen bersama, tetapi

himpunan A dan C disjoint.

U

A

B

A

U

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

2. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A B,

himpunan A dan C saling asing, tetapi himpunan B dan C mempunyai

elemen bersama

3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga

himpunan tersebut saling asing.

4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B d