MATEMATIKA DISKRIT - fileMatematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta. 4. Rinaldi Munir,...

Click here to load reader

  • date post

    20-Aug-2018
  • Category

    Documents

  • view

    312
  • download

    19

Embed Size (px)

Transcript of MATEMATIKA DISKRIT - fileMatematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta. 4. Rinaldi Munir,...

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    MATEMATIKA DISKRIT

    By :

    SRI ESTI TRISNO SAMI

    082334051324

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    Bahan Bacaan / Refferensi :

    1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit

    Shcaums Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company, Penerbit Salemba

    Teknika.

    2. Drs. Jong Jek Siang, M. Sc, Matematika Diskrit dan Aplikasinya,

    Penerbit Andi Yogyakarta.

    3. Heri Purwanto, ST., MM., MT, Gina Indriani, Ssi, dan Erlina Dayanti, ST,

    Matematika Diskrit, Penerbit contara Rajawali Jakarta.

    4. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, penerbit Informatika Bandung.

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    PENDAHULUAN

    Matematika diskrit atau diskret adalah cabang matematika yang membahas

    segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan

    (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit seperti

    bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara kontinyu, namun

    memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam

    matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi,

    rekursif, teori graf, dan lain-lain. Matematika diskrit merupakan mata kuliah utama

    dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    BAB I

    HIMPUNAN

    Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam

    himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

    Huruf-huruf besar A, B, C, ... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,

    ... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan.

    Notasi himpunan :

    p A p adalah elemen dari A atau p anggota dari A

    A B atau B A A adalah himpunan bagian/samadengan (subset) B atau

    B mengandung A

    A B atau B A A adalah himpunan bagian (proper subset) dari B atau

    sebaliknya;

    himpunan kosong

    U / S himpunan semesta

    1. Himpunan

    a. Suatu himpunan ditunjukkan oleh anggota-anggota himpunannya (Prinsiple

    of Extension) : Dua himpunan A dan B adalah sama jika dan hanya jika

    mereka mempunyai anggota yang sama.

    A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

    sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

    A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian

    dari A. Jika tidak demikian, maka A B.

    Contoh:

    1. Jika A = {0, 1} dan B = {xx(x-1) = 0}, maka A=B

    2. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A=B

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    3. Jika A = (3, 5, 8, 5) dan B = {3, 8), maka A B

    Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

    1. Urutan elemen di dalam himpunana tidak penting.

    Jadi, {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2}

    2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah

    himpunan.

    Jadi, {1, 1, 1, 1} = {1, 1} = {1}

    {1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3, 2, 1}

    3. Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma (adalah suatu

    pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti)

    berikut:

    (a) A = A, B = B, dan C = C

    (b) Jika A = B, maka B = A

    (c) Jika A = B dan B= C, maka A = C

    b. Suatu himpunan dapat digambarkan dalam hal sifatnya (Prinsiple of

    Abstraction) : Diberikan sembarang himpunan U dan mempunyai sifat

    himpunan P, ada suatu himpunan A sedemikian hingga elemen-elemen dari

    A merupakan anggota dari himpunan U yang mempunyai sifat himpunan P.

    c. Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

    Himpunan kosong atau atau {} tidak memuat satu elemenpun. Himpunan

    {0} memuat satu elemen yaitu 0. Himpunan {} juga memuat satu elemen

    yaitu himpunan kosong (ini adalah himpunan dari himpunan). Himpunan

    kosong merupakan subset dari himpunan manapun.

    Contoh:

    1. E = {xx

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    d. A B (A adalah subset dari B) menyatakan bahwa setiap elemen dari A juga

    anggota dari B, yang memungkinkan bahwa A = B.

    Notasi : A = B A B dan B A

    A B (A adalah proper subset dari B) menyatakan bahwa A adalah himpuan

    bagian dari B tetapi A B; atau setidaknya satu elemen di B yang tidak ada

    di A

    Contoh:

    1. {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}

    2. {1, 2, 3} {1, 2, 3}

    3. Jika A = {(x,y)x+y

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, }

    Z = Himpunan bilangan bulat = {, -2, -1, 0, 1, 2, }

    Q = Himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan

    b anggota bilangan bulat dan b 0)

    R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari

    bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional

    adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,

    atau bilangan yang bukan bilangan rasional.

    Contohnya : 2, 3, 5

    C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)

    g. Notasi pembentuk Himpunan

    Aturan yang harus digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:

    1. Bagian di kiri tanda melambangkan elemen himpunan.

    2. Tanda dibaca dimana atau sedemikian sehingga.

    3. Bagian di kanan tanda menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

    4. Setiap tanda , di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

    Contoh :

    1. Tulislah kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan

    notasi himpunan :

    a. 1 bukan anggota dari himpunan A 1 A

    b. 5 adalah anggota dari himpunan B 5 B

    c. A adalah himpunan bagian/sama dengan (subset) C A C

    d. A bukan himpunan bagian/sama dengan (subset) D A D

    e. F mengandung semua elemen dari G G F atau F G

    f. E dan F mengandung elemen-elemen yang sama E = F

    2. Tuliskan elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2,

    3,}

    a. A = {x : x N, 3 x 12} A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

    Notasi: {xsyarat yang harus dipenuhi oleh x}

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    b. B ={x : x N, x bilangan genap, x 15} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

    c. C = {x : x N, 4 + x = 3} C =

    Latihan Soal :

    1. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini N = {1, 2, 3,

    )

    a. A = {x : x N, 3 x < 9}

    b. B = {x : x N, x2 + 1 = 10}

    c. C = {x : x N, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

    2. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan berikut; dalam hal ini Z = {bilangan

    bulat)

    a. A = {x : x Z, 3 x < 9}

    b. B = {x : x Z, x2 + 1 = 10}

    c. C = {x : x Z, x bilangan ganjil, -5 < x < 5}

    3. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

    elemennya

    a. A = {x : x R, -5 x < 5}

    b. B = {x : x N, x kelipatan 3}

    c. C = {x : x warga negara Indonesia, x adalah remaja}

    4. Misalkan A = {x : 3x = 6}. Apakah A = 2?

    5. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : {w}, {y, w, z}, {w, y, x}, {y, z, w},

    {w, x, y, z}, {z, w}. Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama

    dengan himpunan A = {w, y, z}?

    6. Tentukan himpunan-himpunan berikut dengan menuliskan elemen-

    elemennya:

    a. M= {x l x adalah nama hari dalam satu minggu}

    b. P = {x l x2 4 = 0}

    c. N = { x l x bilangan asli}

    d. A = {x l x2 = 9, x genap}

    7. Tulislah notasi yang tepat untuk himpunan berikut:

    a. A = {2,1,4} dan B = {4,1,3}, maka

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    b. P = {x l x2 3x = -2}, dan Q = {2,1}, maka

    c. P = {1,2,4} dan Q = {1,4,5,2}, maka

    d. G = {x l x bilangan genap} dan H = {x l x blangan bulat}, maka

    2. Diagram Venn

    a. Himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable) jika A B atau

    BA; sedangkan A dan B tidak dapat diperbandingkan

    (noncomparable) jika A B dan B A.

    b. Himpunan A dan B adalah saling asing (disjoint) jika mereka tidak

    mempunyai elemen yang sama, yaitu bila tidak ada elemen di A yang

    menjadi anggota di B dan tidak ada elemen di B yang menjadi anggota di A.

    Sebuah diagram Venn adalah suatu perwakilan gambar dari himpunan-

    himpunan berupa titik-titik dalam bidang. Himpunan semesta U diwakili oleh

    bagian dalam suatu persegi, dan himpunan-himpunan yang lain diwakili oleh

    cakram-cakram dalam persegi. Jika A B, maka perwakilan cakram A

    seluruhnya akan berada di dalam cakram B seperti gambar (a). Jika A dan B

    disjoint, yaitu tidak mempuyai elemen bersama. Maka perwakilan cakram A

    akan terpisah dari cakram B seperti gambar (b). Gambar (c) adalah beberapa

    objek ada di A tetapi tidak di B, ada di B tetapi tidak di A, ada di A dan B, dan

    tidak di kedua-duanya.

    (a) A B (b) A & B saling asing (c)

    Latihan soal :

    1. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A dan B

    mempunyai elemen bersama, B dan C mempunyai elemen bersama, tetapi

    himpunan A dan C disjoint.

    U

    A

    B

    A

    U

  • MATEMATIKA DISKRIT

    BY : SRI ESTI

    2. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana A B,

    himpunan A dan C saling asing, tetapi himpunan B dan C mempunyai

    elemen bersama

    3. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B dan C dimana ketiga

    himpunan tersebut saling asing.

    4. Gambarkan sebuah diagram venn dari himpunan A, B d