Matematika Diskrit - · PDF file4.4 Matriks Ketetanggaan ... D = himpunan mahasiswa yang...

Click here to load reader

  • date post

    03-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    265
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of Matematika Diskrit - · PDF file4.4 Matriks Ketetanggaan ... D = himpunan mahasiswa yang...

  • Matematika Diskrit

    POLITEKNIK TELKOM

    BANDUNG

    2009

  • Penyusun dan Editor Adi Wijaya M.Si

    Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik

    sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

    Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009

    No part of this document may be copied, reproduced, printed, distributed, modified,

    removed and amended in any form by any means without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

  • Politeknik Telkom Matematika Diskrit

    Matematika Diskrit iii PAGE 10

    Kata Pengantar

    Assalamualaikum Wr. Wb

    Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya courseware ini

    dapat diselesaikan.

    Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin

    menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan

    penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu sehingga

    courseware ini dapat tersusun.

    Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang sempurna,

    oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku ini dapat

    memberikan masukan perbaikan demi pengembangan selanjutnya.

    Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan membantu

    seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam memahami dan

    mengikuti materi perkuliahan di Politeknik Telkom.

    Amin.

    Wassalamualaikum Wr. Wb.

    Bandung, Mei 2009

    Christanto Triwibisono

    Wakil Direktur I

    Bidang Akademik & Pengembangan

  • Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

    iv Matematika Diskrit PAGE 10

    Daftar Isi

    Kata Pengantar.................................................................................... iii Daftar Isi ............................................................................................... iv 1 HIMPUNAN ............................................................................... 5 1.1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan ........................................... 6 1.2 Operasi Himpunan .......................................................................................... 11 1.3 Prinsip Dualitas ................................................................................................. 17 1.4 Multi Set ............................................................................................................ 20 2 RELASI DAN FUNGSI ............................................................ 28 2.1 Definisi Relasi dan Cara Penyajian ............................................................... 29 2.2 Beberapa Sifat Relasi....................................................................................... 32 2.3 Operasi pada Relasi ......................................................................................... 37 2.4 Relasi Ekivalen dan Relasi Terurut................................................................. 40 2.5 Fungsi ................................................................................................................. 43 3 KOMBINATORIK .................................................................... 55 Prinsip Dasar Menghitung ........................................................................................... 56 Permutasi dan Kombinasi ............................................................................................ 60 4 TEORI GRAF ............................................................................ 70 4.1 Definisi Graf ...................................................................................................... 71 4.2 Terminologi Graf .............................................................................................. 75 4.3 Keterhubungan dan Sub Graf ........................................................................ 84 4.4 Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) dan Matriks Bersisian

    (incidency matrix) dari Suatu Graf .............................................................. 86 4.5 Eulerian dan Hamiltonian ............................................................................... 88 4.5.2 Sirkuit Hamilton ................................................................................................ 89 4.6 Graf Isomorfik................................................................................................... 91 4.7 Beberapa Aplikasi Graf ................................................................................... 93 5 POHON DAN PEWARNAAN GRAF ................................ 103 5.1 Pohon Merentang Minimum (Minimun Spanning Tree) ...................... 105 5.2 Pohon Berakar ............................................................................................... 108 5.3 Penelusuran Pohon Biner.............................................................................. 112 5.4 Pewarnaan Graf ............................................................................................ 114 Pewarnaan Peta (Map Coloring) ........................................................................... 116 Daftar Pustaka ........................................................................................

  • Politeknik Telkom Matematika Diskrit

    Relasi dan Fungsi 5 PAGE 10

    1 HIMPUNAN

    Overview

    Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data ini

    merupakan representasi dari suatu kondisi, baik secara statistika maupun secara ekonomi. Kumpulan data inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada bab awal ini akan dibahas tentang definisi dan keanggotaan

    suatu himpunan, operasi himpunan dari beberapa jenis himpunan.

    Tujuan

    1. Mahasiswa memahami konsep dasar tentang himpunan. 2. Mahasiswa memahami berbagai macam operasi dan sifat himpunan. 3. Mahasiswa dapat meyelesaikan berbagai persoalan dan fenomena yang

    terkait dengan teori himpunan.

  • Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

    6 Relasi dan Fungsi PAGE 10

    1.1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan

    Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda

    yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan

    dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan

    dinyatakan oleh notasi . Contoh 1 :

    A = {x, y, z}

    x A : x merupakan anggota himpunan A.

    w A : w bukan merupakan anggota himpunan A. Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu :

    a. Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua

    anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.

    Contoh 2 :

    - Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}. - Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}.

    - Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50}

    - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }.

    b. Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku)

    yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah). Contoh 3 :

    N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil

    C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

    Contoh 4 :

    Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan

    bagian dari U.

  • Politeknik Telkom Matematika Diskrit

    Relasi dan Fungsi 7 PAGE 10

    3. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan

    Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut :

    { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

    Contoh 5 :

    (i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10

    A = { x | x 10 dan x N }

    atau

    A = { x N | x 10 }

    yang ekivalen dengan : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

    (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika

    diskrit}

    atau

    M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

    4. Menggunakan Diagram Venn

    Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.

    Contoh 6 : Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

    Diagram Venn:

    U

    1 2

    53 6

    8

    4

    7A B

  • Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

    8 Relasi dan Fungsi PAGE 10

    Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat

    dinyatakan sebagai anggota himpunan lain. Contoh 7 :

    a. Misalkan, M = { mahasiswa Politeknik Telkom } M1 = { mahasiswa p