Matematika Diskrit

POLITEKNIK TELKOM

BANDUNG

2009

Penyusun dan Editor Adi Wijaya M.Si

Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik

sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009

No part of this document may be copied, reproduced, printed, distributed, modified,

removed and amended in any form by any means without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

Politeknik Telkom Matematika Diskrit

Matematika Diskrit iii PAGE 10

Kata Pengantar

Assalamualaikum Wr. Wb

Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya courseware ini

dapat diselesaikan.

Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin

menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan

penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu sehingga

courseware ini dapat tersusun.

Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang sempurna,

oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku ini dapat

memberikan masukan perbaikan demi pengembangan selanjutnya.

Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan membantu

seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam memahami dan

mengikuti materi perkuliahan di Politeknik Telkom.

Amin.

Wassalamualaikum Wr. Wb.

Bandung, Mei 2009

Christanto Triwibisono

Wakil Direktur I

Bidang Akademik & Pengembangan

Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

iv Matematika Diskrit PAGE 10

Daftar Isi

Kata Pengantar.................................................................................... iii Daftar Isi ............................................................................................... iv 1 HIMPUNAN ............................................................................... 5 1.1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan ........................................... 6 1.2 Operasi Himpunan .......................................................................................... 11 1.3 Prinsip Dualitas ................................................................................................. 17 1.4 Multi Set ............................................................................................................ 20 2 RELASI DAN FUNGSI ............................................................ 28 2.1 Definisi Relasi dan Cara Penyajian ............................................................... 29 2.2 Beberapa Sifat Relasi....................................................................................... 32 2.3 Operasi pada Relasi ......................................................................................... 37 2.4 Relasi Ekivalen dan Relasi Terurut................................................................. 40 2.5 Fungsi ................................................................................................................. 43 3 KOMBINATORIK .................................................................... 55 Prinsip Dasar Menghitung ........................................................................................... 56 Permutasi dan Kombinasi ............................................................................................ 60 4 TEORI GRAF ............................................................................ 70 4.1 Definisi Graf ...................................................................................................... 71 4.2 Terminologi Graf .............................................................................................. 75 4.3 Keterhubungan dan Sub Graf ........................................................................ 84 4.4 Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) dan Matriks Bersisian

(incidency matrix) dari Suatu Graf .............................................................. 86 4.5 Eulerian dan Hamiltonian ............................................................................... 88 4.5.2 Sirkuit Hamilton ................................................................................................ 89 4.6 Graf Isomorfik................................................................................................... 91 4.7 Beberapa Aplikasi Graf ................................................................................... 93 5 POHON DAN PEWARNAAN GRAF ................................ 103 5.1 Pohon Merentang Minimum (Minimun Spanning Tree) ...................... 105 5.2 Pohon Berakar ............................................................................................... 108 5.3 Penelusuran Pohon Biner.............................................................................. 112 5.4 Pewarnaan Graf ............................................................................................ 114 Pewarnaan Peta (Map Coloring) ........................................................................... 116 Daftar Pustaka ........................................................................................

Politeknik Telkom Matematika Diskrit

Relasi dan Fungsi 5 PAGE 10

1 HIMPUNAN

Overview

Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data ini

merupakan representasi dari suatu kondisi, baik secara statistika maupun secara ekonomi. Kumpulan data inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada bab awal ini akan dibahas tentang definisi dan keanggotaan

suatu himpunan, operasi himpunan dari beberapa jenis himpunan.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami konsep dasar tentang himpunan. 2. Mahasiswa memahami berbagai macam operasi dan sifat himpunan. 3. Mahasiswa dapat meyelesaikan berbagai persoalan dan fenomena yang

terkait dengan teori himpunan.

Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

6 Relasi dan Fungsi PAGE 10

1.1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan

Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda

yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan

dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan

dinyatakan oleh notasi . Contoh 1 :

A = {x, y, z}

x A : x merupakan anggota himpunan A.

w A : w bukan merupakan anggota himpunan A. Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu :

a. Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua

anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.

Contoh 2 :

- Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}. - Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}.

- Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50}

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }.

b. Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku)

yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah). Contoh 3 :

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

Contoh 4 :

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan

bagian dari U.

Politeknik Telkom Matematika Diskrit

Relasi dan Fungsi 7 PAGE 10

3. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut :

{ x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 5 :

(i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10

A = { x | x 10 dan x N }

atau

A = { x N | x 10 }

yang ekivalen dengan : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika

diskrit}

atau

M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

4. Menggunakan Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.

Contoh 6 : Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

Telkom Polytechnic Discrete Mathematics

8 Relasi dan Fungsi PAGE 10

Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat

dinyatakan sebagai anggota himpunan lain. Contoh 7 :

a. Misalkan, M = { mahasiswa Politeknik Telkom } M1 = { mahasiswa p