Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD...

27
Matematika Diskrit 1 Himpunan Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma

Transcript of Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD...

Page 1: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1Himpunan

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Page 2: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Pendahuluan

Apakah Matematika Diskrit itu?

Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/strukturmatematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagainilai-nilai diskrit.

Page 3: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Himpunan

Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telahdidefinisikan sebelumnya.

Contoh

Himpunan mahasiswa UG.

Himpunan bilangan genap.

Himpunan untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol ‘1’.

dsb.

Page 4: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Himpunan

Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telahdidefinisikan sebelumnya.

Contoh

Himpunan mahasiswa UG.

Himpunan bilangan genap.

Himpunan untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol ‘1’.

dsb.

Page 5: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Notasi pada himpunan

Simbol himpunan dinyatakan dalam huruf besar miring,anggota-anggotanya ditulis di antara kurung kurawal {}, dansetiap anggotanya dipisahkan oleh koma. Urutan simbol tidakberpengaruh. Contoh A = {a, i, u, e, o} = {i, o, a, e, u}Relasi: ∈, 3, ⊂, ⊆, ⊃, ⊇.

Negasi dari relasi: /∈, 63, 6⊂, *, 6⊃, 6⊇.

Operasi: ∩, ∪

Page 6: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Contoh

A = {1, 3, 5, 7, . . .} dapat dinyatakan sebagaiA = {x|x bilangan ganjil}B = {x|x2 + 3x− 10 = 0}, C = { −5, 2},D = {−5, 2, 2,−5}. Maka, B = C = D.

Page 7: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Subhimpunan

Definisi

Diberikan dua himpunan A dan B. Jika untuk sebarangx ∈ A berlaku x ∈ B, maka dikatakan A adalah subhimpunandari B. Secara matematis, A ⊆ B, atau B ⊇ A.

A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.

Jika A ⊆ B dan A 6= B, maka A dikatakan sebagaisubhimpunan sejati (proper subset) dari B, dan dinotasikansebagai A ⊂ B.

Untuk seterusnya, istilah “subhimpunan” mengacu pada simbol ⊂.

Page 8: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Beberapa himpunan yang sering digunakan

N: himpunan bilangan natural (asli) 1, 2, 3, . . ..

Z: himpunan bilangan integer (bulat) . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..Q: himpunan bilangan rasional.

R: himpunan bilangan riil.

C: himpunan bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

U: himpunan semesta

∅ atau {}: himpunan kosong

Page 9: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Himpunan disjoin

Definisi

Himpunan A dan B dikatakan disjoin jika tidak terdapat elemenanggota A yang juga menjadi anggota B.

Contoh

Diberikan A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 16}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.A dan B tidak disjoin. Namun, A dan C disjoin, demikian pulahalnya denga B dan C.

Page 10: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Diagram Venn

Diagram Venn adalah representasi himpunan secara visual, di manareprsentasi himpunan tersebut berada dalam sua-tu daerah persegi panjang sebagai representasi himpunan semesta U.

Page 11: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Operasi pada himpunan

∪: operasi gabung. A ∪B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}∩: operasi iris. A ∩B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}

Page 12: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Jika A dan B disjoin, maka A ∩B = ∅.Jika S = A ∪B dan A ∩B = ∅, maka S dikatakan sebagaigabungan disjoin dari A dan B.

Page 13: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Teorema

Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku:

A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B, dan

A ∩B ⊆ B ⊆ A ∪B.

Teorema

Ketiga pernyataan berikut ekivalen:

A ⊆ B,

A ∩B = A,

A = B.

Page 14: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Teorema

Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku:

A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B, dan

A ∩B ⊆ B ⊆ A ∪B.

Teorema

Ketiga pernyataan berikut ekivalen:

A ⊆ B,

A ∩B = A,

A = B.

Page 15: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Generalisasi operasi himpunan

Diberikan sejumlah hingga himpunan A1, A2, . . . , Am. Operasigabung dan iris untuk semua himpunan tersebut didefinisikansebagai berikut:

A1∪A2∪. . .∪Am =⋃m

i=1Ai = {x|x ∈ Ai untuk beberapa i}A1 ∪A2 ∩ . . . ∪Am =

⋂mi=1Ai = {x|x ∈ Ai untuk semua i}

Page 16: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Komplemen mutlak

Definisi

Komplemen mutlak (selanjutnya disebut komplemen) darihimpunan A, dinotasikan sebagai AC atau A′, adalah himpunanelemen semesta yang bukan merupakan elemen himpunan A.Secara matematis, A′ = {x|x ∈ U, x /∈ A}.

Page 17: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Komplemen relatif

Definisi

Komplemen relatif dari himpunan B terhadap himpunan A,dinotasikan sebagai A \B (dibaca A kurang B), adalah himpunanelemen anggota A yang bukan merupakan elemen anggota B.Secara matematis, A′ = {x|x ∈ A, x /∈ B}.

Page 18: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Konsep-konsep dasar

Perbedaan simetris

Definisi

Perbedaan simetris (symmetric difference) dari himpunan A danB, dinotasikan sebagai A⊕B, terdiri dari elemen-elemen anggotaA atau anggota B, namun tidak keduanya. Secara matematis:

A⊕B = (A ∪B) \ (A ∩B),

atauA⊕B = (A \B) ∪ (B \A).

Page 19: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Aljabar himpunan

Aljabar himpunan

Page 20: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Himpunan hingga dan prinsip pencacahan

Himpunan hingga

Himpunan A dikatakan hingga jika A adalah ∅ atau|A| = c > 0, c integer (A memuat tepat sejumlah hinggaelemen). Dalam kasus lain, A dikatakan tak-hingga.

Himpunan A dikatakan terhitung (countable) jika A hingga,atau jika elemen-elemen pada A dapat disusun dalam polabarisan. Dalam kasus yang terakhir ini A dikatakan terhitungtak-hingga (countably infinite). Dalam hal yang lainnya, Adikatakan tak terhitung (uncountable).

Page 21: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Himpunan hingga dan prinsip pencacahan

Prinsip pencacahan

Kardinalitas (banyak elemen) dari himpunan A dinotasikan sebagain(A), |A|, #(A), atau card(A).Jika A dan B himpunan hingga dan disjoin, maka:

n(A ∪B) = n(A) + n(B).

n(A \B) = n(A)− n(A ∩B).

n(A′) = n(U)− n(A).

Page 22: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Himpunan hingga dan prinsip pencacahan

Prinsip pencacahan

Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka:

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).

Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.

Page 23: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Himpunan hingga dan prinsip pencacahan

Prinsip pencacahan

Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka:

n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).

Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.

Page 24: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Kelas, partisi, dan himpunan kuasa

Kelas himpunan

Himpunan-himpunan yang memiliki beberapa kesamaankarakteristik objek membentuk sebuah kelas himpunan.

Kelas himpunan pada dasarnya adalah himpunan yangberanggotakan himpunan.

Page 25: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Kelas, partisi, dan himpunan kuasa

Himpunan pangkat

Definisi

Diberikan sebuah himpunan hingga A. Himpunan pangkat dari A,dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yangberanggotakan semua subhimpunan dari A.

Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2A, dan diberikan oleh2n(A).

Page 26: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Kelas, partisi, dan himpunan kuasa

Himpunan pangkat

Definisi

Diberikan sebuah himpunan hingga A. Himpunan pangkat dari A,dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yangberanggotakan semua subhimpunan dari A.

Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2A, dan diberikan oleh2n(A).

Page 27: Matematika Diskrit 1 - Himpunan - Official Site of AHMAD ...sabri.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50593/1...Matematika Diskrit 1 Himpunan Konsep-konsep dasar Himpunan De nisi

Matematika Diskrit 1

Himpunan

Kelas, partisi, dan himpunan kuasa

Himpunan partisi

Sebuah k-partisi dari himpunan S adalah himpunan{A1, A2, . . . , Ak} di mana:

Ai ∩Aj = ∅, untuk i 6= j (Ai dan Aj disjoin).⋃ki=1Ai = S