Matematika bisnis7

5. Differential Partial 5. Differential Partial (Turunan Parsil)(Turunan Parsil)

5.1 Fungsi Beberapa Variabel5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas

Parsil 5.3 Perbandingan Statik (Comparative

Static)5.4 Optimisasi Tanpa Kendala

(Unconstrained Optimization)5.5 Optimisasi Terkendala/Terbatas5.6 Pengganda Lagrange

5.1 Fungsi Beberapa Variabel5.1 Fungsi Beberapa Variabel

Suatu Model Ekonomi atau Bisnis, sering membutuhkan beberapa variabel bebas akibat banyak hal yang mempengaruhi variabel terikat tersebut,

Z = f (X1, X2, ..., Xn) Jika variabel terikat Z, berubah yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu variabel bebas (misalnya X1) sedangkan variabel lainnya tidak berubah atau konstan, maka disebut Turunan Parsial dari Z terhadap X1 , dan seterusnya.

5.1 Fungsi Beberapa 5.1 Fungsi Beberapa VariabelVariabel

Notasinya adalah,

atau dapat juga ditulis sebagai z1 , f 1 jika terhadap turunan X2 ditulis sebagai,

1xz

∂∂

222

fZxz ==∂

∂


atau turunan kedua Z terhadap y, ditulis,

Jika turunan fx terhadap y, ditulis,

atau

xxfxxZx

z2

2

==∂∂

yyfyyZy

z2

2

==∂∂

yxfyxZyx

z2

==∂∂


xyfxyZxy

z2

==∂∂

Contoh :Carilah turunan parsial kedua dari fungsi berikut

(lihat buku 1., hal. 349 & 350) :(a). f(x,y)=5x4 – y2

(b). f(x,y)= x2y3 – 10xCarilah turunan Parsil f1, f11, f12 dan f32 dari

(c). f(x1,x2,x3) = x1x2 + x13 –x2

2x3


Hubungan antara turunan Parsial dengan turunan total (dz), dapat dirumuskan sebagai,

atau Contoh (lihat buku 1, hal. 352) :

Jika z = xy – 5x + 2yPeriksalah dan di titik (2, 6)

ΔyyzΔx

xzzΔ ∂

∂+∂∂=

dyyzdx

xzdz ∂

∂+∂∂=

xz

∂∂

yz

∂∂


(a) Gunakan rumus taksiran perubahan dalam z, dengan penurunan x dari 2 ke 1.9 dan y naik dari 6 ke 6.1.

(b) Periksa taksiran pada bagian (1) dengan mengevaluasi pada (2, 6) dan (1.9, 6.1)Jika sebuah fungsi dengan z = f(x, y) = konstan maka

Disebut turunan implisit.yfxf

dxdy −=


Contoh (lihat buku 1, hal. 353) :Gunakan turunan implisit untuk mencari dy/dx dari fungsi,

y3 + 2xy2 – x =5

JawabDiketahui f(x, y) = y3 + 2xy2

– x,fx = 2y2 – 1 dan fy = 3y2 +4xy

Jadi 4xy3y

12y

4xy23y

122yf

fdxdy

2

2

y

x

++−=

+−−=−=

5.2 Fungsi Marginal dan 5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas ParsialElastisitas Parsial

Elastisitas Permintaaan :Andaikan kuantitas barang (Q) dipengaruhi oleh P, dan alternatif harga PA dan pendapatan Konsumen Y,

Q = f (P,PA ,Y)Maka Elastisitas harga Permintaan didefinisikan sebagai,

P dalam persentasePerubahanQ dalam persentasePerubahan

pE −=


PQx

QP

pE∂∂−=

Sementara Elastisitas harga alternatif Permintaan didefinisikan sebagai,

Jika (∂Q/∂PA) > 0, maka |EpA |> 0, dimana permintaan Elastis terhadap harga.

A

Ap

pQx

Q

pE

A ∂∂=


Jika (∂Q/∂PA) < 0, maka |EpA |< 0, dimana permintaan tidak Elastis terhadap harga.

Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan, dapat dirumuskan sebagai,

Dengan,

Y dalam persentasePerubahanQ dalam persentasePerubahan

YE −=

YQx

QYEY ∂

∂=


Jika (∂Q/∂Y) > 0, maka |EY |> 0, dimana pendapatan Elastis terhadap harga.

Jika (∂Q/∂Y) < 0, maka |EY |< 0, dimana pendapatan tidak Elastis terhadap harga. (lihat Contoh buku 1 hal. 358),Contoh :

Diberikan fungsi permintaan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y

dimana P =10, PA = 12 dan Y = 1000 carilah


(a) Elastisitas Harga Permintaan(b) Elastisitas Harga silang Permintaan(c) Elastisitas Pendapatan terhadap Permintaan

Apakah subtitusi alternatif terbaik atau komplementer?Jawab :

Kita mulai menghitung nilai dari Q dimana, P=10, PA= 12 dan Y = 1000, maka persamaannya Q= 100 – 2(10)+12+0.1(1000) = 192.


(a) Elastisitas harga permintaan, turunan parsial persamaan Q terhadap P, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka

dimana,

2PQ −=

∂∂

0.102)x(19210

PQx

QP

pE =−−=∂∂−=


(b) Elastisitas harga silang permintaan, yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap PA, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka

dimana,

1=∂∂

APQ

0.06x119212

PQx

Q

PpE

A

A

A

==∂∂=


(c) Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan, yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap Y, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka

dimana,

Lihat buku 1, hal. 359 coba kerjakan soalnya!

0.1YQ =

∂∂

0.520.1x1921000

YQx

QY

YE ==

∂∂=


Util i ty (Kegunaan) Untuk mengetahui perilaku konsumen terhadap suatu barang, dapat dianalisis menggunakan konsep Utility, seberapa perlu konsumen terhadap suatu barang. Andaikan ada dua barang G1 dan G2, konsumen memilih x1 pada G1 dan x2

pada G2, maka variabel U sebagai fungsi dari x1

dan x2 dapat ditulis sebagaiU = U(x1, x2)

Contoh :


U(3, 7) = 20 dan U(4, 5) = 25,Ada Empat pilihan yaitu memilih 3 di G1 dan 7 di G2 atau dapat juga memilih 4 di G1 dan 5 di G2.Turunan Parsial pertama dari fungsi utility, dapat ditulis sebagai,

Laju perubahan U akibat xi disebut Uti l i tas Maginal dari x i.

21xU

xU

∂∂

∂∂ dan


Jika xi berubah sekecil apapun, dan mempengaruhi U, maka berlaku,

Jika x1 dan x2 keduanya berubah mengakibatkan,Perubahan Utilitas menjadi

iΔx

xUΔU

i∂∂≈

i

2

1

1

ΔxxUΔx

xUΔU ∂

∂+∂∂≈


Contoh : (Lihat buku 1, contoh hal. 360 - 361)Diberikan fungsi utility,

U = x11/4 x2

3/4,Tentukan nilai utilitas marginal dari,

Dimana x1 = 100, dan x2 = 200. Taksirlah perubahan utilitas menurun xi dari 100 ke 99 dan utilitas naik dari 200 ke 201.

21xU

xU

∂∂

∂∂ dan


Jawab : Fungsi utility,

U = x11/4 x2

3/4,

Dengan x1 = 100, dan x2 = 200.

1/4-

2

1/4

1

2

3/4

2

3/4-

1

1

xxxU xx

xU

43

41 =∂

∂=∂∂ dan

( ) ( ) 0.42 xU 3/43/4-

1

20010041 ==∂

∂


Dimana x1 berkurang sebesar 1 unit, ∆x1= – 1Dan x2 bertambah sebesar 1 unit ∆x2= 1,Sehingga,

( ) ( ) 0.63 xU 1/4-1/4

2

20010043 ==∂

∂

i

2

1

1

ΔxxUΔx

xUΔU ∂

∂+∂∂≈

0.2110.631-0.42ΔU =+≈

Jadi, perubahan utilitasnya adalah :


2

1

1

2

xUxU

xx MRCS

∂∂∂∂

=−=dd

Kurva Indefferens dapat ditentukan dari persamaan implicit terhadap fungsi utilitas berikut : U(x1, x2) = U0

Turunan Implisit dapat ditentukan denganRumus :

yfxf

dxdy −=

Sehingga,


Contoh (lihat buku 1, hal. 364) :Diberikan fungsi U = x1

1/2 x21/2 , Carilah MRCS dalam bentuk

variabel x1 dan x2, dititik (300, 500), dimana x1

turun 3 unit, dan x2 beriringan naik.Jawab :

1/2-

2

1/2

1

2

1/2

2

1/2-

1

1

xxxU xx

xU

21

21 =∂

∂=∂∂ dan

1

221

22

21

x

xxx

xx

xx MRCS

2121

==−= −

−

−11

2/12/1

2/12/1


35==

300500MRCS

Sehingga, U(300, 500) = (300)1/2(500)1/2=387.3

Jika x1 turun 3 unit maka x2 naik 5 unit.

53x35 =

Jadi, U(297, 505) = (297)1/2(505)1/2=387.28

Matematika bisnis7

Documents

Transcript of Matematika bisnis7