Matematika 9-12. évfolyam - arpadgimi.hu · matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel...

1

Matematika

9-12. évfolyam

Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról minttudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja aszemélyiséget, fejleszti az önálló rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudásthoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájánakkiteljesedését.

A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. Amatematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodásörömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője;önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze.

A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkábbki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedőmodelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikailogikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai,algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai neveléssokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellekérvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességekfejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotógondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvetőtevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek,transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet a matematika szerepénekmegértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában.Segít kialakítani a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét.Megmutathatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltöttszerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét.

A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belsőstruktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük atanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotása, az összefüggésekfelfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, akreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelőönbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztése, atöbbféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle nézőpont érvényesítését,a komplex problémakezelés képességét is fejleszti. A folyamat végén a tanulók eljutnak azönálló, rendszerezett, logikus gondolkodás bizonyos szintjére.

A műveltségi terület a különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánja feltárnia matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és amatematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol –az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, afejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi alassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását.

2

A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulókhatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. Amatematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad atermészettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve aválasztott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémákértelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal aképességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék,hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok,táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, éskülönösen a média közleményeiben való reális tájékozódásban. Mindehhez elengedhetetlenegyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelvéletkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban ésszóban egyaránt.

A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt atanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanuló képessé válhat apontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátunkétóleltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamában törekedni kell atanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás,-tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kaphat az önálló ismeretszerzés képességnekfejlesztése, az ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalomáltal. A matematika lehetőségekhez igazodva támogatni tudja az elektronikus eszközök(zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), Internet, oktatóprogramok stb. célszerűfelhasználását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia fejlődéséhez.

A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozása, a feladatmegoldásokmegbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, areális önértékelés kialakulásának fontos területei. Ugyancsak nagy gondot kell fordítani akommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainakmeghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészségfejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata,szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást issegíti.

Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet amindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnakkiemelt szerepe van a pénzügyi-gazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függőszinten, rendszeresen foglakozzunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen problémalegjobb megoldását keressük. Szánjunk kiemelt szerepet azoknak az optimumproblémáknak,amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhetőeredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan vezessük be matematikafeladatainkbana pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon, kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés,törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogymatematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, ill. hogy a matematika alkalmazása amindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több példát mutassunk arra,hogy milyen területeken tud segíteni a matematika. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy milyenmatematikai ismereteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, ill. a matematikát

3

csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyiszakember, biztosítási szakember, ill. pl. vegyész, grafikus, szociológus stb.), ezzel is segítvea tanulók pályaválasztását.

A matematikához való pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmújátékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok.

A matematika a kultúrtörténetnek is része. Segítheti a matematikához való pozitívhozzáállást, ha bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. Amotivációs bázis kialakításában komoly segítség lehet a matematikatörténet egy-egymozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikaisejtések megfogalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése. ANAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Euklidész, Pitagorasz,Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János, Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős,Neumann. A kerettanterv ezen kívül is sok helyen hívja fel a tananyag matematikatörténetiérdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelőenszabadon válogathatnak.

A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy atananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, smennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoportbefogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás irántiigény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ennek mikéntjét a helyitantervre támaszkodva mindig a szaktanárnak kell eldöntenie, ezért a tantervben a tételekmegnevezése mellett nem szerepel utalás a bizonyításra. A fejlesztési cél eléréseszempontjából - egy adott tanulói közösség számára - nem feltétlenül a tantervben szereplő(nevesített) tételek a legalkalmasabbak bizonyítás bemutatására, gyakorlására.

Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nem csak az egyéni igényekfigyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmódmegválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálásszükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetőségeigényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció isszerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató,kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen továbbtanulniszándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása,másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozottszaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetőségesegíthetik az esélyegyenlőség megvalósulását.

4

A tantárgy heti óraszáma A tantárgy éves óraszáma

9. évfolyam 4 144

10. évfolyam 4 144

11. évfolyam 3 108

12. évfolyam 4 124

5

9–10. évfolyam

Ez a matematika tanterv mindazon tanulóknak szól, akik a 9. osztályban még nemválasztottak matematikából emelt szintű képzést. Azoknak is, akik majd később, fakultációnakarnak felkészülni matematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek aközépiskola után nem lesz rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatnifog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemzőgondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdaságifejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikaipályáknak.

A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de azismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása,ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola első kétévfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy,hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén,kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért atanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel.(Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állításokmegfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdésekfelsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az általános iskolaimatematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogyváltozatos módszertani megoldásokkal tegyük könnyebbé az átmenetet.

A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikaialapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokonalapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerniakarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyankövetkeztetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományosfeladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekesmatematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témaköregyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyesterületeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítvevilágossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Azezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés,javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.)

Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet amindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájúfeladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekreoptimális megoldásokat keresni.

Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyenkövetelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, internetennézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájánaknöveléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is.

A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmigondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a

6

differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miattnagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát.Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat évfolyamonként a táblázatoktartalmazzák.

7

9. évfolyamTematikai egység címe órakeret

1. Gondolkodási és megismerési módszerek 11 óra

2. Számtan, algebra 49 óra

3. Összefüggések, függvények, sorozatok 17 óra

4. Geometria 46 óra

5. Valószínűség, statisztika 7 óra

Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt órakeret (akerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a)

7 óra

Ellenőrzés, számonkérés 7 óra

Az össz. óraszám 144 óra

Tematikai egység/Fejlesztési cél 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret

11 óra

Előzetes tudás

Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések.Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegekértelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthezilleszkedő ismerete.

A tematikaiegység nevelési-fejlesztési céljai

A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés.A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állításokmegkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás;ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés,önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készségfejlesztése.

Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

Véges és végtelen halmazok.Végtelen számosság szemléletes

Annak megértése, hogy csak avéges halmazok elemszáma

8

fogalma, halmazok számosságaMatematikatörténet: Cantor.

adható meg természetes számmal.

Részhalmaz. Halmazműveletek:unió, metszet, különbség.Halmazok közötti viszonyokmegjelenítése.

Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése.Szöveges megfogalmazásokmatematikai modellre fordítása.Elnevezések megtanulása,definíciókra való emlékezés.

Magyar nyelv ésirodalom: mondatok,szavak, hangokrendszerezése.

Biológia-egészségtan:halmazműveletekalkalmazása arendszertanban.

Kémia: anyagokcsoportosítása.

Alaphalmaz és komplementerhalmaz.

Annak tudatosítása, hogyalaphalmaz nélkül nincskomplementer halmaz.Halmaz közös elem nélkülihalmazokra bontásajelentőségének belátása.

Biológia-egészségtan:élőlényekosztályozása;besorolás közös résznélküli halmazokba.

A megismert számhalmazok:természetes számok, egészszámok, racionális számok.A számírás története.

A megismert számhalmazokáttekintése. Természetes számok,egész számok, racionális számokelhelyezése halmazábrában,számegyenesen.

Informatika:számábrázolás(problémamegoldástáblázatkezelővel).

Valós számok halmaza. Azintervallum fogalma, fajtái.Irracionális szám létezése.

Annak tudatosítása, hogy azintervallum végtelen halmaz.

Távolsággal megadottponthalmazok, adott tulajdonságúponthalmazok (kör, gömb, felezőmerőleges, szögfelező,középpárhuzamos).

Ponthalmazok megadása ábrával.Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése(például két feltétellel megadottponthalmaz).

Vizuális kultúra: a térábrázolása.

Informatika: tantárgyiszimulációsprogramok használata.

Logikai műveletek: „nem”, „és”,„vagy”, „ha…, akkor”.(Folyamatosan a 9–12.évfolyamon.)

Matematikai és más jellegűérvelésekben a logikai műveletekfelfedezése, megértése, önállóalkalmazása. A köznyelvikötőszavak és a matematikailogikában használt kifejezésekjelentéstartalmának összevetése.

9

A hétköznapi, nem tudományosszövegekben találhatómatematikai információkfelfedezése, rendezése a megadottcélnak megfelelően. Matematikaitartalmú (nem tudományosjellegű) szöveg értelmezése.

Szöveges feladatok.(Folyamatos feladat a 9–12.évfolyamon: a szöveg alapján amegfelelő matematikai modellmegalkotása.)

Szöveges feladatok értelmezése,megoldási terv készítése, afeladat megoldása és szövegalapján történő ellenőrzése.Modellek alkotása a matematikánbelül; matematikán kívüliproblémák modellezése.Gondolatmenet lejegyzése(megoldási terv).Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése(a szövegben előfordulóinformációk). Figyelemösszpontosítása.Problémamegoldó gondolkodásés szövegfeldolgozás: azindukció és dedukció, arendszerezés, a következtetés.

Magyar nyelv ésirodalom:szövegértés;információkazonosítása ésösszekapcsolása, aszöveg egységeiközötti tartalmimegfelelésfelismerése; a szövegtartalmi elemei közöttikijelentés-érv, ok-okozati viszonyfelismerése ésmagyarázata.

Technika, életvitel ésgyakorlat: egészségeséletmódra és a családiéletre nevelés.

A „minden” és a „van olyan”helyes használata.Nyitott mondatokigazsághalmaza, szemléltetésmódjai.

A „minden” és a „van olyan”helyes használata.Halmazok eszközjellegűhasználata.

A matematikai bizonyítás.Kísérletezés, módszerespróbálkozás, sejtés, cáfolás(folyamatos feladat a 9–12.évfolyamokon).Matematikatörténet: Euklideszszerepe a tudományosságkialakításában. Nevezetessejtések (pl. ikerprím sejtés);hosszan „élt”, de megoldott

Kísérletezés, módszerespróbálkozás, sejtés, cáfolásmegkülönböztetése.Érvelés, vita. Érvek ésellenérvek. Ellenpélda szerepe.Mások gondolataival való vitábaszállás és a kulturált vitatkozás.Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont (pl. a saját és avitapartner szempontjának)

Magyar nyelv ésirodalom: másokérvelésénekösszefoglalása ésfigyelembevétele.

10

sejtések (pl.Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

egyidejű követése.

Állítás és megfordítása.„Akkor és csak akkor” típusúállítások.

Az „akkor és csak akkor”használata. Feltétel éskövetkezmény felismerése a„Ha …, akkor …” típusúállítások esetében.Korábbi, illetve újabb (saját)állítások, tételek jelentésénekelemzése.

Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása.Rendszerezés (érvek logikussorrendje).Következtetés megítélésehelyessége szerint. A bizonyításgondolatmenetére, bizonyításimódszerekre való emlékezés.Kidolgozott bizonyításgondolatmenetének követése,megértése.Példák a hétköznapokból helyesés helytelenül megfogalmazottkövetkeztetésekre.

Etika: a következtetés,érvelés, bizonyítás éscáfolat szabályainakalkalmazása.

Egyszerű kombinatorikaifeladatok: leszámlálás,sorbarendezés, gyakorlatiproblémák.Kombinatorika amindennapokban. Logikai szita.

Rendszerezés: az esetekösszeszámlálásánál minden esetetmeg kell találni, de minden esetetcsak egyszer lehet számításbavenni. Megosztott figyelem; két,illetve több szempont egyidejűkövetése. Esetfelsorolások,diszkusszió (pl. van-eismétlődés).Sikertelen megoldási kísérlet utánújjal való próbálkozás; asikertelenség okának feltárása (pl.minden feltételre figyelt-e).

Informatika:problémamegoldástáblázatkezelővel.

Technika, életvitel ésgyakorlat: hétköznapiproblémák megoldásaa kombinatorikaeszközeivel.

Magyar nyelv ésirodalom:periodicitás,ismétlődés éskombinatorika mintszervezőelv poetizáltszövegekben.

A gráffal kapcsolatosalapfogalmak (csúcs, él,

Gráfok alkalmazásaproblémamegoldásban.

Kémia: molekuláktérszerkezete.

11

fokszám).Egyszerű hálózat szemléltetése.

Számítógépek egy munkahelyen,elektromos hálózat a lakásban,település úthálózata stb.szemléltetése gráffal.Gondolatmenet megjelenítésegráffal.

Informatika:problémamegoldásinformatikaieszközökkel ésmódszerekkel,hálózatok.

Történelem,társadalmi ésállampolgáriismeretek: pl.családfa.

Technika, életvitel ésgyakorlat: közlekedés.

Kulcsfogalmak/fogalmak

Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Gráf csúcsa, éle, csúcsfokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. „Ha …., akkor …”).Feltétel és következmény. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás.

Tematikaiegység/

Fejlesztési cél2. Számtan, algebra Órakeret

49 óra

Előzetes tudás

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatóságiszabályok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete,zárójel használata. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség.Egyszerű szöveg alapján elsőfokú egyismeretlenes egyenlet felírása(modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés.Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságosismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokúegyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldásimódszer önálló kiválasztási képességének kialakítása.Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modellhatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal;ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása,eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően.Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknekmegfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.

12


Számelmélet elemei.A tanult oszthatóságiszabályok. Prímtényezősfelbontás, legnagyobb közösosztó, legkisebb közöstöbbszörös. Relatív prímek.Matematikatörténeti ésszámelméleti érdekességek:(pl. végtelen sok prímszámlétezik, tökéletes számok,barátságos számok,Eukleidész. Mersenne,Euler, Fermat)

A tanult oszthatósági szabályokrendszerezése. Prímtényezősfelbontás, legnagyobb közös osztó,legkisebb közös többszörösmeghatározása a felbontássegítségével.Egyszerű oszthatósági feladatok,szöveges feladatok megoldása.Gondolatmenet követése, egyszerűgondolatmenet megfordítása.Érvelés.

Hatványozás 0 és negatívegész kitevőre.Permanencia-elv.

Fogalmi általánosítás: a korábbidefiníció kiterjesztése.

A hatványozás azonosságai. Korábbi ismeretekre valóemlékezés.

Számok abszolút értéke. Egyenértékű definíció (távolsággaladott definícióval).

Fizika: hőmérséklet,elektromos töltés, áram,feszültség előjelesértelmezése.

Különböző számrendszerek.A helyiértékes írásmódlényege. Kettesszámrendszer.Matematikatörténet:Neumann János.

A különböző számrendszerekegyenértékűségének belátása.

Informatika:kommunikáció ember ésgép között, adattárolásegységei.

Számok normálalakja. Az egyes fogalmak (távolság, idő,terület, tömeg, népesség, pénz,adat stb.) mennyiségi jellemzőinekkifejezése számokkal, mennyiségikövetkeztetések. Számolásnormálalakkal írásban ésszámológép segítségével.A természettudományokban és atársadalomban előforduló nagy és

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő,nagyságrendek – méretekés nagyságrendekbecslése és számítása azatomok méreteitől azismert világ méretéig;szennyezés,környezetvédelem.

13

kis mennyiségekkel történőszámolás

Nevezetes azonosságok:kommutativitás,asszociativitás,disztributivitás.Számolási szabályok,zárójelek használata.

Régebbi ismeretek mozgósítása,összeillesztése, felhasználása.

(a ± b)2, (a ± b)3 polinomalakja, 22 ba szorzat(a+b+c)2

alakja. Azonosság fogalma.

Ismeretek tudatos memorizálása(azonosságok).

Geometria és algebraösszekapcsolása az azonosságokigazolásánál.

Fizika: számításifeladatok megoldása (pl.munkatétel).

Egyszerű feladatokpolinomok, illetve algebraitörtek közötti műveletekre.Tanult azonosságokalkalmazása. Algebrai törtértelmezési tartománya.Algebrai kifejezésekegyszerűbb alakra hozása.

Ismeretek felidézése, mozgósítása(pl. szorzattá alakítás, törtegyszerűsítése, bővítése,műveletek törtekkel).

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számításifeladatok.

Elsőfokú egyenletek ésegyenlőtlenségek megoldásakülönböző módszerekkel(lebontogatás, mérlegelv,szorzattá alakítás,értelmezési tartomány ésértékkészlet vizsgálata,grafikus módszer). Egyszerűegyenletek paraméterrel.

Régebbi ismeretek mozgósítása,összeillesztése, felhasználása,kiegészítése. Módszerek tudatoskiválasztása és alkalmazása.

Elsőfokú kétismeretlenesegyenletrendszer megoldása.

Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése.

Különböző módszerek alkalmazásaugyanarra a problémára(behelyettesítő módszer, egyenlőilletve ellentett együtthatókmódszere, grafikus módszer).

Fizika: kinematika,dinamika.

Elsőfokú egyenletre,egyenletrendszerre vezetőszöveges számítási feladatoka természettudományokból,

Szöveges számítási feladatokmegoldása atermészettudományokból, a

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számításifeladatok.

14

a mindennapokból. mindennapokból (pl.százalékszámítás: megtakarítás,kölcsön, áremelés, árleszállítás,bruttó ár és nettó ár, ÁFA,jövedelemadó, járulékok,élelmiszerek százalékosösszetétele).A növekedés és csökkenéskifejezése százalékkal („mihezviszonyítunk?”). Gondolatmenetlejegyzése (megoldási terv).Számológép használata. Azértelmes kerekítés megtalálása.A mindennapokhoz kapcsolódóproblémák matematikaimodelljének elkészítése (egyenlet,illetve egyenletrendszer felírása); amegoldás ellenőrzése, a gyakorlatifeladat megoldásának összevetésea valósággal (lehetséges-e?).


Földrajz: a pénzvilágműködése.

Technika, életvitel ésgyakorlat: tudatosélelmiszer-választás,becslések, mérések,számítások.

Társadalmi, állampolgáriés gazdasági ismeretek: acsalád pénzügyei ésgazdálkodása,vállalkozások.

Fizika: kinematika,dinamika.

Kémia: százalékoskeverési feladatok.

Egyes változók kifejezésefizikai, kémiai képletekből.

A képlet értelmének,jelentőségének belátása.Helyettesítési érték kiszámításaképlet alapján.

Fizika; kémia: képletekértelmezése..

Egy abszolútértékettartalmazó egyenletek.

baxcx .

Definíciókra való emlékezés.


Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány.Azonosság. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú egyenlet. Elsőfokúegyenletrendszer. Egyenlőtlenség.

15

Tematikai egység/Fejlesztési cél 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Órakeret

17 óra

Előzetes tudásHalmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása.Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben.


Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában(függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálatszempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai ésgeometriai megjelenítése.


A függvény megadása, elemitulajdonságai.

Ismeretek tudatos memorizálása(függvénytani alapfogalmak).Alapfogalmak megértése, konkrétfüggvények elemzése agrafikonjuk alapján.Időben lejátszódó valósfolyamatok elemzése grafikonalapján. Számítógép használata afüggvények vizsgálatára.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: időbenlejátszódó folyamatokleírása, elemzése.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata, adatkezeléstáblázatkezelővel.

A lineáris függvény, lineáriskapcsolatok. A lineárisfüggvények tulajdonságai. Azegyenes arányosságot leírófüggvény. A lineárisfüggvény grafikonjánakmeredeksége, ennek jelentéselineáris kapcsolatokban.

Táblázatok készítése adottszabálynak, összefüggésnekmegfelelően.Időben lejátszódó történésekmegfigyelése, a változásmegfogalmazása. Modellekalkotása: lineáris kapcsolatokfelfedezése a hétköznapokban (pl.egységár, a változás sebessége).Lineáris függvény ábrázolásaparaméterei alapján.Számítógép használata a lineárisfolyamat megjelenítésében.

Fizika: időben lineárisfolyamatok vizsgálata, aváltozás sebessége.

Kémia: egyenesarányosság.

Informatika:táblázatkezelés.

Az abszolútérték-függvény.Az baxx függvény

grafikonja, tulajdonságai( 0a ).

Ismeretek felidézése(függvénytulajdonságok).

A négyzetgyökfüggvény. Azxx ( 0x ) függvény


16

grafikonja, tulajdonságai.

A fordított arányosság

függvénye.xax ( 0ax )

grafikonja, tulajdonságai.


Fizika: ideális gáz,izoterma.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata.

Függvények alkalmazása. Valós folyamatokfüggvénymodelljének megalkotása.A folyamat elemzése a függvényvizsgálatával, az eredményösszevetése a valósággal. A modellérvényességének vizsgálata.Számítógép alkalmazása (pl.függvényrajzoló program).Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése.

Fizika: kinematika.


Egyenlet, egyenletrendszergrafikus megoldása.

Egy adott probléma megoldása kétkülönböző módszerrel.Az algebrai és a grafikus módszerösszevetése.Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése.Számítógépes program használata.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz:számítási feladatok.

Az cbxaxx 2 (a 0)másodfokú függvényábrázolása és tulajdonságai.Függvénytranszformációkáttekintése az

vuxax 2)( alaksegítségével.

Ismeretek felidézése (algebraiismeretek ésfüggvénytulajdonságok ismerete).Számítógép használata.

Fizika: egyenletesengyorsuló mozgáskinematikája.



Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet,zérushely, növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény.Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikusmegoldás.

17

Tematikaiegység/

Fejlesztési cél4. Geometria Órakeret

46 óra

Előzetes tudás

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai,négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögekelnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések,háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírtkör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok,hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tételismerete.


Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. Az egybevágóságitranszformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetriaszerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges ésaz elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokróltérkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása,számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, arészletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós problémageometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, azeredmények összevetése a valósággal. Korábbi ismeretek mozgósítása.Számológép, számítógép használata.


Geometriai alapfogalmak.Térelemek, távolságok ésszögek értelmezése.(Folyamatosan a 9-10.évfolyamon.)

Idealizáló absztrakció: pont,egyenes, sík, síkidomok,testek. Vázlat készítése.

A háromszög nevezetesvonalai, körei. Oldalfelezőmerőlegesek, belsőszögfelezők,magasságvonalak,súlyvonalak,középvonalaktulajdonságai. Körülírtkör, beírt kör.Matematikatörténet:Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív

A definíciók és tételek pontosismerete, alkalmazása.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata (geometriaiszerkesztőprogram).

18

szerkesztőprogrammal,bizonyítás nélkül).

Konvex sokszögekáltalános tulajdonságai.Átlók száma, belső szögekösszege. Szabályossokszög belső szöge.

Fogalmak alkotásaspecializálással: konvexsokszög, szabályos sokszög.

Kör és részei, kör ésegyenes. Ív, húr, körcikk,körszelet. Szelő, érintő.

Fogalmak pontos ismerete. Fizika: körmozgás, a körpályánmozgó test sebessége.

Vizuális kultúra: építészetistílusok.

A körív hossza. Egyenesarányosság a középpontiszög és a hozzá tartozókörív hossza között(szemlélet alapján).

Együttváltozó mennyiségekösszetartozó adatpárjainakvizsgálata.

Fizika: körmozgás sebessége,szögsebessége.

Földrajz: távolság a Föld kétpontja között.

A körcikk területe.Egyenes arányosság aközépponti szög és ahozzá tartozó körcikkterülete között (szemléletalapján).

Együttváltozó mennyiségekösszetartozó adatpárjainakvizsgálata.

A szög mérése. A szögívmértéke.

Mérés, mérési elvekmegismerése. Mértékegység-választás, mérőszám.

Fizika: szögsebesség,körmozgás, rezgőmozgás.

Földrajz: tájékozódás aföldgömbön; hosszúsági ésszélességi körök,helymeghatározás.

Thalész tétele, ésalkalmazásai.A matematika mintkulturális örökség.

Ismeretek tudatosmemorizálása. Állítás ésmegfordításának gyakorlása.

Pitagorasz-tételalkalmazásai.(Koordináta-geometriaelőkészítése.)

Ismeretek mozgósítása,rendszerezéseproblémamegoldás érdekében.Állítás és megfordításánakgyakorlása.

Fizika: vektor felbontásamerőleges összetevőkre.

A tengelyes és a A megmaradó és a változó Fizika: elmozdulásvektor,

19

középpontos tükrözés, azeltolás, a pont körülielforgatás. Atranszformációktulajdonságai.A geometriaivektorfogalom.

tulajdonságok tudatosítása. forgások.

Földrajz: bolygók tengely körüliforgása, keringés a Nap körül.

Egybevágóság,szimmetria.

Szimmetria felismerése amatematikában, aművészetekben, akörnyezetünkben találhatótárgyakban, részvételszimmetrián alapulójátékokban.


Vizuális kultúra: kifejezés,képzőművészet;művészettörténetistíluskorszakok.

Biológia-egészségtan: az emberitest síkjai, szimmetriája.

Szimmetrikusnégyszögek. Négyszögekcsoportosításaszimmetriáik szerint.Szabályos sokszögek.

Fogalmak alkotásaspecializálással.

Vizuális kultúra: kifejezés,képzőművészet;művészettörténetistíluskorszakok.

Egyszerű szerkesztésifeladatok.

Szerkesztési eljárásokgyakorlása. Szerkesztési tervkészítése, ellenőrzés.Megosztott figyelem; két,illetve több szempont egyidejűkövetése. Pontos, esztétikusmunkára nevelés.


Vektorok összege, kétvektor különbsége.

Műveleti analógiák(összeadás, kivonás).

Fizika: erők összege, két erőkülönbsége, vektormennyiségváltozása (pl. sebesség-változás).

Vektor szorzása valósszámmal.

Új műveletfogalom kialakításaés gyakorlása.

Fizika: Newton II. törvénye.


Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciálisháromszög, speciális négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület,terület. Egybevágó. Szimmetria. Vektor, vektorművelet.

20

Tematikai egység/Fejlesztési cél 5. Valószínűség, statisztika

Órakeret7 óra

Előzetes tudásValószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramokolvasása. Százalékszámítás.


Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése,olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata azadatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.


Statisztikai adatok ésábrázolásuk (gyakoriság, relatívgyakoriság, eloszlás,kördiagram, oszlopdiagram,vonaldiagram).

Adatok jegyzése, rendezése,ábrázolása. Együttváltozómennyiségek összetartozóadatpárjainak jegyzése.Diagramok, táblázatok olvasása,készítése.Grafikai szervezők összevetésemás formátumúdokumentumokkal,következtetések levonása írott,ábrázolt és számszerűinformáció összekapcsolásával.Számítógép használata.

Informatika:adatkezelés,adatfeldolgozás,információmegjelenítés.

Történelem, társadalmiés állampolgáriismeretek: történelmi,társadalmi témákvizuális ábrázolása(táblázat, diagram).

Földrajz: időjárási,éghajlati és gazdaságistatisztikák.

Adatsokaságok jellemzői: átlag,medián, módusz, terjedelem.

A statisztikai mutatók nyújtottainformációk helyes értelmezése.Nagy adathalmaz vizsgálatakevés statisztikai jellemzővel:előnyök és hátrányok.

Informatika: statisztikaiadatelemzés.


Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag., terjedelem.Gyakoriság, relatív gyakoriság.

Összefoglalás, gyakorlás, ismétlés 7 óra


21

A továbbhaladásfeltételei a

9. évfolyamvégén

Gondolkodási és megismerési módszerek

– Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazokszemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete.

– Értsék és jól használják a matematika logikában megtanultszakkifejezéseket a hétköznapi életben.

– Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításánakfelismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.

– Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldásgondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.

Számtan, algebra– Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai

kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémákmegoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletekmegoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok,azonosságok.

– Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletrevezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása ésazok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.

– Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyenegyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz azegyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önállóellenőrzése.

– A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek,keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényegkiemelésére.

Összefüggések, függvények, sorozatok– A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési

tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainakismerete.

– A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon).– Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása.– Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény

grafikonja alapján.– Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség.– A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-

rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokatmeghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományostárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetekleírásának érdekében is.

22

Geometria– Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése.– Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük.– A tanult egybevágósági transzformációk és ezek tulajdonságainak

ismerete.– Egybevágó alakzatok; két egybevágó alakzat több szempont szerinti

összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület).– Szimmetria ismerete, használata.– Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok,

nevezetes vonalak, pontok, körök).– Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások

elvégzése Pitagorasz-tétellel.– Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete.– Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok

összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal.– Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának

kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységekismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriaimodelljének megalkotása.

– A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriaitranszformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulókdinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége.

– A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesekszámítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémákmegoldásánál alkalmazni.

– A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontosmunkavégzésre.

Valószínűség, statisztika– Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat

gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.– Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.– Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése,

meghatározása.– A statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező

képessége fejlődik. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni,ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni.

23

10. évfolyam

Tematikai egység címe órakeret







7 óra



Tematikai egység/Fejlesztési cél 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret

16 óra

Előzetes tudásGyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezésekadott szinthez illeszkedő ismerete.


Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinekbemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete. Igaz és hamisállítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezésiképességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése,absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.


24

A matematikai bizonyítás.Kísérletezés, módszerespróbálkozás, sejtés, cáfolás(folyamatos feladat a 9–12.évfolyamokon).

Matematikatörténet: Euklideszszerepe a tudományosságkialakításában. Nevezetessejtések (pl. ikerprím sejtés);hosszan „élt”, de megoldottsejtések (pl.Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

Kísérletezés, módszerespróbálkozás, sejtés, cáfolásmegkülönböztetése.Érvelés, vita. Érvek ésellenérvek. Ellenpélda szerepe.Mások gondolataival való vitábaszállás és a kulturált vitatkozás.

Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont (pl. a saját és avitapartner szempontjának)egyidejű követése.

Magyar nyelv ésirodalom: másokérvelésénekösszefoglalása ésfigyelembevétele.

Állítás, tétel és megfordítása.Szükséges feltétel, elegendőfeltétel. „Akkor és csak akkor”típusú állítások.

Az „akkor és csak akkor”használata. Feltétel éskövetkezmény felismerése a„Ha …, akkor …” típusúállítások esetében.

Korábbi, illetve újabb (saját)állítások, tételek jelentésénekelemzése.

Bizonyítás. Bizonyításimódszerek, jellegzetesgondolatmenetek (indirektmódszer, skatulya-elv) konkrétpéldákon keresztül.

Gondolatmenet tagolása.Rendszerezés (érvek logikussorrendje).Következtetés megítélésehelyessége szerint. A bizonyításgondolatmenetére, bizonyításimódszerekre való emlékezés.Kidolgozott bizonyításgondolatmenetének követése,megértése.

Példák a hétköznapokból helyesés helytelenül megfogalmazottkövetkeztetésekre.

Etika: a következtetés,érvelés, bizonyítás éscáfolat szabályainakalkalmazása.

Logikai műveletek: „nem”, „és”,„vagy”, „ha…, akkor”.(Folyamatosan a 9–12.évfolyamon.)

Matematikai és más jellegűérvelésekben a logikai műveletekfelfedezése, megértése, önállóalkalmazása. A köznyelvikötőszavak és a matematikailogikában használt kifejezésekjelentéstartalmának összevetése.A hétköznapi, nem tudományos

25

szövegekben találhatómatematikai információkfelfedezése, rendezése a megadottcélnak megfelelően. Matematikaitartalmú (nem tudományosjellegű) szöveg értelmezése.

Szöveges feladatok.(Folyamatos feladat a 9–12.évfolyamon: a szöveg alapján amegfelelő matematikai modellmegalkotása.)

Szöveges feladatok értelmezése,megoldási terv készítése, afeladat megoldása és szövegalapján történő ellenőrzése.Modellek alkotása a matematikánbelül; matematikán kívüliproblémák modellezése.Gondolatmenet lejegyzése(megoldási terv).Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejű követése(a szövegben előfordulóinformációk). Figyelemösszpontosítása.Problémamegoldó gondolkodásés szövegfeldolgozás: azindukció és dedukció, arendszerezés, a következtetés.

Magyar nyelv ésirodalom:szövegértés;információkazonosítása ésösszekapcsolása, aszöveg egységeiközötti tartalmimegfelelésfelismerése; a szövegtartalmi elemei közöttikijelentés-érv, ok-okozati viszonyfelismerése ésmagyarázata.

Technika, életvitel ésgyakorlat: egészségeséletmódra és a családiéletre nevelés.

Egyszerű kombinatorikaifeladatok: leszámlálás,sorbarendezés, gyakorlatiproblémák.Kombinatorika amindennapokban.

Rendszerezés: az esetekösszeszámlálásánál minden esetetmeg kell találni, de minden esetetcsak egyszer lehet számításbavenni. Megosztott figyelem; két,illetve több szempont egyidejűkövetése. Esetfelsorolások,diszkusszió (pl. van-eismétlődés).Sikertelen megoldási kísérlet utánújjal való próbálkozás; asikertelenség okának feltárása (pl.minden feltételre figyelt-e).


Technika, életvitel ésgyakorlat: hétköznapiproblémák megoldásaa kombinatorikaeszközeivel.

Magyar nyelv ésirodalom:periodicitás,ismétlődés éskombinatorika mintszervezőelv poetizáltszövegekben.

26

A gráffal kapcsolatosalapfogalmak (csúcs, él,fokszám).Egyszerű hálózat szemléltetése.

Gráfok alkalmazásaproblémamegoldásban.Számítógépek egy munkahelyen,elektromos hálózat a lakásban,település úthálózata stb.szemléltetése gráffal.Gondolatmenet megjelenítésegráffal.

Kémia: molekuláktérszerkezete.

Informatika:problémamegoldásinformatikaieszközökkel ésmódszerekkel,hálózatok.

Történelem,társadalmi ésállampolgáriismeretek: pl.családfa.

Technika, életvitel ésgyakorlat: közlekedés.


Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Feltétel és következmény. Szükségesfeltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás.Faktoriális.

Tematikaiegység/

Fejlesztési cél2. Számtan, algebra Órakeret

50 óra

Előzetes tudásEgész kitevőjű hatványozás. Számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet,egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenletfelírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés.Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságosismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokúegyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldásimódszer önálló kiválasztási képességének kialakítása.Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modellhatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal;ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása,eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően.Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek

27

megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.


A négyzetgyökdefiníciója. Anégyzetgyökazonosságai.

A négyzetgyök azonosságainakhasználata konkrét esetekben.Gyökjel alól kihozatal, nevezőgyöktelenítése. Számológéphasználata.

Fizika: fonálinga lengésideje,rezgésidő számítása.

A másodfokú egyenletmegoldása, amegoldóképlet.

Diszkrimináns

Különböző algebrai módszerekalkalmazása ugyanarra aproblémára (szorzattá alakítás,teljes négyzetté kiegészítés).Ismeretek tudatos memorizálása(rendezett másodfokú egyenletés megoldóképletösszekapcsolódása).A megoldóképlet biztoshasználata.

Fizika: egyenletesen gyorsulómozgás kinematikája.

Másodfokú egyenletrevezető gyakorlatiproblémák, szövegesfeladatok.

Matematikai modell (másodfokúegyenlet) megalkotása a szövegalapján. A megoldás ellenőrzése,gyakorlati feladat megoldásánakösszevetése a valósággal(lehetséges-e?).

Fizika; kémia: számításifeladatok.

Gyöktényezős alak.Másodfokú polinomszorzattá alakítása.

Algebrai ismeretek alkalmazása.

Gyökök és együtthatókösszefüggései.

Önellenőrzés: egyenletmegoldásának ellenőrzése.

Néhány egyszerűmagasabb fokúegyenlet megoldása.

Annak belátása, hogy vannak amatematikában megoldhatatlanproblémák.

Egyszerűnégyzetgyökösegyenletek.

dcxbax .

Megoldások ellenőrzése. Fizika: például egyenletesengyorsuló mozgással kapcsolatoskinematikai feladat.

Másodfokúegyenletrendszer.

Egyszerű másodfokúegyenletrendszer megoldása. A

28

A behelyettesítőmódszer.

behelyettesítő módszerrel ismegoldható feladatok.Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejűkövetése.

Egyszerű másodfokúegyenlőtlenségek.

02 cbxax (vagy> 0) alakravisszavezethetőegyenlőtlenségek( 0a ).

Egyszerű másodfokúegyenlőtlenség megoldása.Másodfokú függvényeszközjellegű használata.


Példák adottalaphalmazonekvivalens és nemekvivalensegyenletekre,átalakításokra.Alaphalmaz,értelmezési tartomány,megoldáshalmaz.Hamis gyök,gyökvesztés. Egyszerűparaméteresmásodfokú egyenletek.

Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejűkövetése.Halmazok eszközjellegűhasználata.

Összefüggés kétpozitív szám számtaniés mértani közepeközött. Gyakorlatipélda minimum ésmaximum problémamegoldására.

Geometria és algebraösszekapcsolása az azonosságigazolásánál.Gondolatmenet megfordítása.

Fizika: minimum- ésmaximumproblémák.


Másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Gyöktényezős alak.Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép.Szélsőérték.

29


7 óra

Előzetes tudás Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása.Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben.


Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában(függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálatszempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai ésgeometriai megjelenítése.


Függvények alkalmazásamásodfokú és gyökösegyenletek, egyenlőtlenségekmegoldására; másodfokúfüggvényre vezetőszélsőérték-feladatok

Függvénytulajdonságok tudatosalkalmazása


Grafikus megoldás.

Tematikaiegység/

Fejlesztési cél4. Geometria Órakeret

44 óra

Előzetes tudás

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai,négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögekelnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések,háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírtkör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok,hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tételismerete.


Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriaitranszformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és azelégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térképés egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása,számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, arészletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma

30

geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, azeredmények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának ésa tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb,kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép,számítógép használata.


A körrel kapcsolatosismeretek bővítése:kerületi és középpontiszög fogalma, kerületiszögek tétele;húrnégyszög fogalma,húrnégyszögek tétele.Látószög; látószögkörívmint speciálisponthalmaz (Thalésztételének általánosítása).

Korábbi ismeretekfelelevenítése, új ismeretekbeillesztése a korábbi ismeretekrendszerébe.


Párhuzamos szelők ésszelőszakaszok tétele

Szögfelezőtétel

Középpontoshasonlóság, hasonlóság.Arányos osztás.A hasonlóságitranszformáció.

A megmaradó és a változótulajdonságok tudatosítása.


Hasonló alakzatok. A megmaradó és a változótulajdonságok tudatosítása: amegfelelő szakaszok hosszánakaránya állandó, a megfelelőszögek egyenlők, a kerület, aterület, a felszín és a térfogatváltozik.

A háromszögekhasonlóságánakalapesetei.

Szükséges és elégséges feltételmegkülönböztetése. Ismeretektudatos memorizálása.

A hasonlóságalkalmazásai.Háromszög súlyvonalai,

Új ismeretek matematikaialkalmazása.

Fizika: súlypont,tömegközéppont.

31

súlypontja, hasonlósíkidomok kerületének,területének aránya.

Vizuális kultúra: összetettarányviszonyok érzékeltetése,formarend, az aranymetszésmegjelenése a természetben,alkalmazása a művészetekben.

Magasságtétel,befogótétel a derékszögűháromszögben. Kétpozitív szám mértaniközepe.

Ismeretek tudatosmemorizálása, alkalmazásaszakaszok hosszánakszámolásánál, szakaszokszerkesztésénél.

A hasonlóság gyakorlatialkalmazásai. Távolság,szög, terület atervrajzon, térképen.

Modellek alkotása amatematikán belül;matematikán kívüli problémákmodellezése: geometriai modell.

Földrajz: térképkészítés,térképolvasás.

Hasonló testekfelszínének, térfogatánakaránya.

Annak tudatosítása, hogy nemegyformán változik egy testfelszíne és térfogata, hakicsinyítjük vagy nagyítjuk.

Biológia-egészségtan: példákarra, amikor adott térfogathoznagy felület (pl. fák levelei)tartozik.

Vektorok felbontásaösszetevőkre.

Ismeretek mozgósítása újhelyzetben. Emlékezés korábbiinformációkra.

Fizika: eredő erő, eredőösszetevőkre bontása.

Vektorok a koordináta-rendszerben.Bázisvektorok,vektorkoordináták.

Elnevezések, jelek és egyébmegállapodások megjegyzése.Emlékezés definíciókra.

Fizika: helymeghatározás,erővektor felbontásaösszetevőkre.

Hegyesszög szinusza,koszinusza, tangense éskotangense.

Fizika: erővektor felbontásaderékszögű összetevőkre.

A Pitagorasz-tétel és ahegyesszögszögfüggvényeinekalkalmazása aderékszögű háromszöghiányzó adatainakkiszámítására.Távolságok és szögekszámítása gyakorlatifeladatokban, síkban éstérben.

A valós problémák matematikai(geometriai) modelljénekmegalkotása, a problémákönálló megoldása.

Fizika: erővektor felbontásaderékszögű összetevőkre.

Kulcsfogalmak/ Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszög. Hasonló. Arány.

32

fogalmak Vektor, vektorművelet, vektorkoordináták. Szinusz, koszinusz, tangens,kotangens.

Tematikai egység/Fejlesztési cél 5. Valószínűség, statisztika Órakeret

13 óra

Előzetes tudásValószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramokolvasása. Összeszámlálási alapfeladatok. Százalékszámítás.


A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése,tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatívgyakoriság, eloszlás), következtetések. Táblázat értelmezése, készítése.Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében,ábrázolásában.


Valószínűségi kísérletek, azadatok rendszerezése, avalószínűség becslése.

A rendelkezésre álló adatokalapján jóslás a bekövetkezésesélyére.

Eseményekkel végzettműveletek. Példák eseményekösszegére, szorzatára,komplementer eseményre,egymást kizáró eseményekre.

Elemi események. Eseményekelőállítása elemi eseményekösszegeként. Példák független ésnem független eseményekre.

A matematika különbözőterületei közötti kapcsolatoktudatosítása. Halmazműveletekés események közötti műveletekösszekapcsolása.

Véletlen esemény ésbekövetkezésének esélye,valószínűsége.

A véletlen esemény szimmetriaalapján, logikai úton vagykísérleti úton megadható,megbecsülhető esélye,valószínűsége.Kísérletek, játékok csoportban.

Biológia-egészségtan:öröklés, mutáció.

A valószínűség matematikaidefiníciójának bemutatásapéldákon keresztül.

A véletlen kísérletekbőlszámított relatív gyakoriság és avalószínűség kapcsolata.

33

A valószínűség klasszikusmodelljének előkészítéseegyszerű példákon keresztül.

A modell és a valóságkapcsolata.


Véletlen (valószínűségi) kísérlet. Véletlen esemény, elemi esemény,biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény.Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség.

Összefoglalás, gyakorlás, ismétlés 7 óraEllenőrzés, számonkérés 7 óra


10. évfolyamvégén

Gondolkodási és megismerési módszerek– Értsék, és jól használják a matematika logikában megtanult

szakkifejezéseket a hétköznapi életben.– Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának

felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.– Egyszerű összeszámlálási feladatok megoldása, a megoldás

gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.– Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról

tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, problémamegoldására.

Számtan, algebra– Másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre

vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása ésazok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.

– Másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása;ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhozaz egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önállóellenőrzése.

– Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása.– Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e

számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabbfeladatokban való alkalmazása.

– A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek,keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényegkiemelésére.

Összefüggések, függvények, sorozatok– A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon).– Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása– Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény

grafikonja alapján.

34

Geometria– A körrel kapcsolatos ismeretek bővülésének hatása elméleti és

gyakorlati számításokban.– A hasonlósági transzformáció és tulajdonságainak ismerete.– Hasonló alakzatok; két hasonló alakzat több szempont szerinti

összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat).– Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások

elvégzése Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel;magasságtétel és befogótétel ismerete.

– Vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adottbázisrendszerben.

– A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriaitranszformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulókdinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége.

– A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesekszámítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémákmegoldásánál alkalmazni.

– A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontosmunkavégzésre.

Valószínűség, statisztika– Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat

gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.– Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.– Véletlen esemény, elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen

esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete,használata.

– Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt”esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése.

– A valószínűségszámítási, statisztikai feladatok megoldása során adiákok rendszerező képessége fejlődik. A tanulók képesekadatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni.Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adottesemény bekövetkezésének esélyét a klasszikus modell alapján.

36

11–12. évfolyam

Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontostényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintésétadjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellettsok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat,amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldásátis lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. Asík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodásfejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával amatematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjukmeg.

Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, azismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és azinformációk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárula vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakranalkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségekvizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjainkgyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas apénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra.

Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációkelkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása példáulalkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók setekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát.

Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Ezenkívül számonkérésre 12 órát terveztünk.

37








5óra


Az össz óraszám 108 óra

Tematikai egység/

Fejlesztési cél1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret

10 óra

Előzetes tudásSorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatosalapfogalmak.


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelménekmegértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése,konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állításokmegfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képességfejlesztése.


Vegyes kombinatorikai feladatok,kiválasztási feladatok. Akombinatorika alkalmazásaegyszerű geometriai

Modell alkotása valósproblémához: kombinatorikaimodell.Megosztott figyelem; két, illetve

Földrajz:előrejelzések,tendenciákmegfogalmazása

38

feladatokban.Mintavétel visszatevés nélkül ésvisszatevéssel.Matematikatörténet: Erdős Pál.

több szempont egyidejű követése.Biológia-egészségtan:genetika

Binomiális együtthatók. Jelek szerepe, alkotása,használata: célszerű jelölésmegválasztásának jelentősége amatematikában.

Gráfelméleti alapfogalmak,alkalmazásuk. Fokszám összeg ésaz élek száma közöttiösszefüggés.Matematikatörténet: Euler.

Modell alkotása valósproblémához: gráfmodell.Megfelelő, a problémát jóltükröző ábra készítése.


Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül.

Tematikai egység/Fejlesztési cél

2. Számtan, algebra Órakeret29 óra

Előzetes tudásHatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai.Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenségmegoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémákmegoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazásamás tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Amatematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése,kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése.Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorúmonotonitás).


n-edik gyök fogalma,azonosságai.A négyzetgyök fogalmánakáltalánosítása.

A matematika belső fejlődésénekfelismerése, új fogalmak alkotása.

Hatványozás pozitív alap és Fogalmak módosítása újabb

39

racionális kitevő esetén. tapasztalatok, ismeretek alapján.A hatványfogalom célszerűkiterjesztése, permanenciaelvalkalmazása.

Hatványozás azonosságainakalkalmazása. Példák azazonosságok érvénybenmaradására.

Ismeretek tudatos memorizálása.Ismeretek mozgósítása.

A definíciók és a hatványozásazonosságainak közvetlenalkalmazásával megoldhatóexponenciális egyenletek.

Modellek alkotása (algebraimodell): exponenciális egyenletrevezető valós problémák (például:befektetés, hitel, értékcsökkenés,népesség alakulása,radioaktivitás).

Fizika; kémia:radioaktivitás.

Földrajz; biológia-egészségtan: globálisproblémák –demográfiai mutatók, aFöld eltartó képességeés az élelmezési válság,betegségek,világjárványok,túltermelés éstúlfogyasztás.

A logaritmus értelmezése.

Matematikatörténet:A logaritmussal való számolásszerepe a Kepler-törvényekfelfedezésében.

Korábbi ismeretek felidézése(hatvány fogalma).Ismeretek tudatos memorizálása.

Technika, életvitel ésgyakorlat:zajszennyezés.

Kémia: pH-számítás.

Fizika: Kepler-törvények.

Zsebszámológép használata,táblázat használata.

Annak felismerése, hogy atechnika fejlődésének alapja amatematikai tudás.

Fizika; kémia:számítási feladatok.

A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmuskapcsolatának felismerése.

A definíciók és a logaritmusazonosságainak közvetlenalkalmazásával megoldhatólogaritmusos egyenletek.

Modellek alkotása (algebraimodell): logaritmusalkalmazásával megoldhatóegyszerű exponenciálisegyenletek; ilyen egyenletrevezető valós problémák (például:befektetés, hitel, értékcsökkenés,

Életvitel és gyakorlat:zajszennyezés.

Kémia: pH-számítás.

Biológia-egészségtan:érzékelés, az inger és az

40

népesség alakulása,radioaktivitás).

érzet.


n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés,csökkenés. Logaritmus.

Tematikai egység/Fejlesztési cél 3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret15 óra

Előzetes tudásFüggvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök.Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinekértelmezése.

A tematikai egységnevelési-fejlesztési

céljai

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódásaz időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika ésa valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotásöntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknekmegfelelően. Ismerethordozók használata.


Szögfüggvényekkiterjesztése,trigonometrikusalapfüggvények (sin, cos,tg).

A kiterjesztés szükségességének,alapgondolatának megértése.Időtől függő periodikusjelenségek kezelése.

Fizika: periodikus mozgás,hullámmozgás, váltakozófeszültség és áram.

Földrajz: térábrázolás éstérmegismerés eszközei,GPS.

A trigonometrikusfüggvényektranszformációi: cxf )( ,

)( cxf ; )(xcf ; )(cxf .

Tudatos megfigyelés a változószempontok és feltételek szerint.


Az exponenciálisfüggvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok atermészetben és atársadalomban.

Modellek alkotása (függvénymodell): a lineáris és azexponenciálisnövekedés/csökkenés


Földrajz: a társadalmi-

41

matematikai modelljénekösszevetése konkrét, valósproblémákban (például: népesség,energiafelhasználás, járványokstb.).

gazdasági tér szerveződéseés folyamatai.

Történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek;földrajz: globális kérdések:- erőforrások kimerülése,fenntarthatóság,demográfiai robbanás aharmadik világban,népességcsökkenés azöregedő Európában.

A logaritmusfüggvényekvizsgálata. Logaritmusalapfüggvények grafikonja,jellemzésük.

A logaritmusfüggvény mintaz exponenciális függvényinverze. Függvénynek ésinverzének a grafikonja akoordináta-rendszerben.



Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciálisfüggvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat.


4. Geometria Órakeret32 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetesponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek.Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei.Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenesegyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerűszerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok,vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín,térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép(számítógép) használata.

A tematikaiegység nevelési-

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban:távolságok, szögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A

42

fejlesztési céljai matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása:koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése,alkalmazása.


Szinusztétel,koszinusztétel.

Általános eset, különleges esetviszonya (a derékszögűháromszög és a két tétel).

Fizika: vektor felbontása adottállású összetevőkre.

Földrajz: térábrázolás éstérmegismerés eszközei, GPS.

Pitagoraszi összefüggésegy szög szinusza éskoszinusza között.Összefüggés a szög és amellékszöge szinusza,illetve koszinusza között.A tangens kifejezése aszinusz és a koszinuszhányadosaként.

A trigonometrikus azonosságokmegértése, használata.Függvénytáblázat alkalmazásafeladatok megoldásában.

Egyszerűtrigonometrikusegyenletek.Trigonometrikusegyenletre vezető,háromszöggelkapcsolatos valósproblémák. Azonosságalkalmazását igénylőegyszerű trigonometrikusegyenlet.

A problémához hasonlóegyszerű probléma keresése.

Fizika: rezgőmozgás, adottkitéréshez, sebességhez,gyorsuláshoz tartozóidőpillanatok meghatározása.

Két vektor skalárisszorzata. A skalárisszorzat tulajdonságai.Két vektormerőlegességénekszükséges és elégségesfeltétele.

A művelet újszerűségénekfelfedezése.A szükséges és az elégségesfeltétel felismerése,megkülönböztetése.

Fizika: mechanikai munka,mágneses fluxus.

Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések,megállapodások.

Fizika: vonatkoztatási rendszer,hely megadása.

43

Műveletekkoordinátáikkal adottvektorokkal. Vektorok ésrendezett számpárokközötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése(algebrai vektorfogalom). Sík éstér: a dimenzió szemléletesfogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadásakomponensek segítségével,háromdimenziós képalkotás(hologram).

A helyvektorkoordinátái.Szakasz felezőpontjának,harmadoló pontjának, aháromszögsúlypontjánakkoordinátái.

Képletek értelmezése,alkalmazása.

Fizika: hely megadása.

Két pont távolsága, aszakasz hossza.

Képletek értelmezése,alkalmazása.

A kör egyenlete. Geometria és algebraösszekapcsolása.

Informatika: ponthalmazmegjelenítése képernyőn(geometriaiszerkesztőprogram).

Az egyenes különbözőmegadási módjai. Azirányvektor, anormálvektor, aziránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetvetöbb szempont egyidejűkövetése.


Iránytangens és azegyenes meredeksége.

Fizika: út-idő grafikon és asebesség kapcsolata.

A merőlegességmegfogalmazása skalárisszorzattal.

Geometriai ismeretekfelelevenítése, megfogalmazásaalgebrai alakban.

Az egyenes egyenlete.Két egyenespárhuzamosságának,merőlegességénekfeltétele.

Az egyenest jellemző adatok, aközöttük felfedezhetőösszefüggések értése, használata.


Két egyenesmetszéspontja.Kör és egyeneskölcsönös helyzete.

Geometriai probléma megoldásaalgebrai eszközökkel. Ismeretekmozgósítása, alkalmazása(elsőfokú, illetve másodfokúkétismeretlenes egyenletrendszermegoldása).


44

A kör adott pontjábanhúzott érintője.

A geometriai fogalmakmegjelenítése algebraiformában. Geometriai ismeretekmozgósítása.


A koordinátageometriaiismeretek alkalmazásaegyszerű síkgeometriaifeladatok megoldásában.

Geometriai problémákmegoldása algebrai eszközökkel.Geometriai problémákszámítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata (geometriaiszerkesztőprogram használata).

Fizika: égitestek pályája.


Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor.Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnekmegfelelő ponthalmaz.


12 óra

Előzetes tudás

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői,adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen eseményfogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény,lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatívgyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma.Kombinatorikai ismeretek.


céljai

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek azesemények között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűségmatematikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszereijelentőségének megértése.


Ismétlés, rendszerezés:eseményekkel végzettműveletek; példák eseményekösszegére, szorzatára,komplementer eseményre,egymást kizáró eseményekre;elemi események. Események

A matematika különböző területeiközötti kapcsolatok tudatosítása.Halmazműveletek és eseményekközötti műveletekösszekapcsolása.

Informatika:folyamatok,kapcsolatok leírásalogikai áramkörökkel.

45

előállítása elemi eseményekösszegeként. Példák függetlenés nem független eseményekre.

A valószínűség klasszikusmodellje.Matematikatörténet: Rényi:Levelek a valószínűségről.

A modell és a valóság kapcsolata.

Egyszerű valószínűség-számítási problémák.

Ismeretek mozgósítása, tanultkombinatorikai módszerekalkalmazása.

Fizika: az űrkutatáshatásamindennapjainkra, atalálkozásvalószínűsége.

Statisztikai mintavétel.Valószínűségek visszatevésesmintavétel esetén, a binomiáliseloszlás. Visszatevés nélkülimintavétel.

Modell alkotása (valószínűségimodell): a mintavételi eljáráslényege.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata (binomiáliseloszlás).


Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számításimodell.



Gondolkodási és megismerési módszerek– A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.– A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában.– Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.– Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.– A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése,

rendezése problémamegoldás céljából.– A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.– A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek

segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani,.– A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek

tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is.

Számtan, algebra– A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.– A logaritmus fogalmának ismerete.– A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása

konkrét esetekben probléma megoldása céljából.

46

– Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szövegalapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése.

– A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valósszámkörben tanult új műveletek felhasználásával.

– Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.

Összefüggések, függvények, sorozatok– Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.– Függvénytranszformációk végrehajtása.– Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete.– Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése.– Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak

legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azokfelhasználhatóságáról.

Geometria– Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló

kezelésében.– A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk

feladatmegoldásokban.– A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.– Hosszúság és szög kiszámítása.– Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.– Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták

ismerete, alkalmazása.– A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás

elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebraimegoldása.

Valószínűség, statisztika– A valószínűség matematikai fogalma.– A valószínűség klasszikus kiszámítási módja.– Mintavétel és valószínűség.– A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat

tudják értelmezni, kezelni.

47



2. Számtan, algebra –




Rendszerező összefoglalás 52 óra




1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret8 óra

Előzetes tudásAz „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor”szemléletes jelentése.


A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és amatematikában.


Logikai műveletek: „nem”, „és”,„vagy”, „ha…, akkor”, „akkor éscsak akkor” .

Matematikai és más jellegűérvelésekben a logikai műveletekfelfedezése, megértése, önállóalkalmazása. A köznyelvikötőszavak és a matematikailogikában használt kifejezésekjelentéstartalmának összevetése.A hétköznapi, nem tudományos

48

szövegekben találhatómatematikai információkfelfedezése, rendezése a megadottcélnak megfelelően. Matematikaitartalmú (nem tudományosjellegű) szöveg értelmezése.

Kijelentés fogalma, műveletekkijelentésekkel: konjunkció,diszjunkció, negáció, implikáció,ekvivalencia. Logikai műveletekigazságtáblázatai, egyszerűazonosságok.

Az ismeretek rendszerezése: amatematika különböző területeiközötti kapcsolatok tudatosítása(halmazok – kijelentések –események).

Fizika: logikaiáramkörök, kapcsolásirajzok

A logikai műveletek változatosalkalmazásai feladatokban.


Logikai művelet. Igazságtáblázat.

Tematikai egység/Fejlesztési cél 2. Számtan, algebra Órakeret

0 óra

Előzetes tudás



Lásd a Rendszerezőösszefoglalásnál.



20 óra

49

Előzetes tudás Függvénytani alapfogalmak.


Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és avalóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozókhasználata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adottfeltételeknek megfelelően.


A számsorozat fogalma.A függvény értelmezésitartománya a pozitívegész számok halmaza.Matematikatörténet:Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval ésképlettel.

Informatika:problémamegoldásinformatikai eszközökkel ésmódszerekkel: algoritmusokmegfogalmazása, tervezése.

Számtani sorozat, az n.tag, az első n tagösszege.Matematikatörténet:Gauss.

A sorozat felismerése, amegfelelő képletek használataproblémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n.tag, az első n tagösszege.

A sorozat felismerése, amegfelelő képletek használataproblémamegoldás során.A számtani sorozat mint lineárisfüggvény és a mértani sorozatmint exponenciális függvényösszehasonlítása.

Fizika; kémia, biológia-egészségtan; földrajz;történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek:exponenciális folyamatokvizsgálata.

Kamatoskamat-számítás. Modellek alkotása: befektetés éshitel; különböző feltételekkelmeghirdetett befektetések éshitelek vizsgálata; a hitelköltségei, a törlesztés módjai.Az egyéni döntés felelőssége: azeladósodás veszélye.Korábbi ismeretek mozgósítása(pl. százalékszámítás).A szövegbe többszörösen mélyenbeágyazott, közvetett módonmegfogalmazott információk éskategóriák azonosítása.

Földrajz: a világgazdaságszerveződése és működése, apénztőke működése, amonetáris világ jellemzőfolyamatai, hitelezés, adósság,eladósodás.

Történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek: acsalád pénzügyei ésgazdálkodása, vállalkozások.

Magyar nyelv és irodalom:szövegértés.

50


Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.

Tematikai egység/Fejlesztési cél 4. Geometria Órakeret

26 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetesponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek.Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp,gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéderfelszíne. Számológép (számítógép) használata.


Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása.


Síkidomok kerületének ésterületének számítása.

Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás.

Mértani testekcsoportosítása.Hengerszerű testek(hasábok és hengerek),kúpszerű testek (gúlák éskúpok), csonka testek(csonka gúla, csonka kúp).Gömb.

A problémához illeszkedővázlatos ábra alkotása;síkmetszet elképzelése,ábrázolása. Fogalomalkotásközös tulajdonság szerint(hengerszerű, kúpszerű testek,poliéderek).

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata (térgeometriaiszimulációs program).

Kémia: kristályok.

A tanult testekfelszínének, térfogatánakkiszámítása. Gyakorlatifeladatok.

A valós problémákhoz modellalkotása: geometriai modell.Ismeretek megfelelőcsoportosítása.

Informatika: tantárgyiszimulációs programokhasználata (térgeometriaiszimulációs program).


Terület, felszín, térfogat.

51


13 óra

Előzetes tudásA statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői,adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűségklasszikus modellje.


céljai

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikaimérőszámok. Következtetések a statisztikai mutatók alapján. Avalószínűség geometriai modellje.


Egyszerű példák avalószínűség kiszámításánakgeometriai modelljére.

Modellalkotás; megfelelővalószínűségi modell hétköznapiproblémákra, jelenségekre.

Adathalmazok jellemzői:átlag, medián, módusz,terjedelem, szórás. Nagyadathalmazok jellemzésestatisztikai mutatókkal.

A statisztikai kimutatások és avalóság: az információk kritikusértelmezése, az esetlegesmanipulációs szándékfelfedeztetése.Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlatialkalmazások elemzése.Számológép/számítógép használatastatisztikai mutatók kiszámítására.


Szórás.

Tematikai egység/Fejlesztési cél Rendszerező összefoglalás Órakeret

52 óra

Előzetes tudás A középiskolai matematika anyaga.


céljai

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése,alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés,reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotásöntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek

52

megfelelően; átstrukturálás.Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.


Gondolkodási és megismerési módszerek

Halmazok. Ponthalmazok ésszámhalmazok. Valós számokhalmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelőszemléltetés kiválasztása(Venn-diagram, számegyenes,koordináta-rendszer).

Állítások logikai értéke.Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegbentalálható információkösszegyűjtése, rendszerezése.

Filozófia: logika - akövetkezetes és rendezettgondolkodás elmélete, alogika kapcsolódása amatematikához és anyelvészethez.

Informatika: Egybizonyos, nemrég történtesemény információinakbegyűjtése többpárhuzamos forrásból,ezek összehasonlítása,elemzése, azigazságtartalom keresése, amanipulált információfelfedése.Navigációs eszközökhasználata: hierarchizált éslegördülő menükhasználata.

A halmazelméleti és a logikaiismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegűhasználata.

Definíció és tétel. A tételbizonyítása. A tételmegfordítása.

Emlékezés a tanultdefiníciókra és tételekre,alkalmazásuk önállóproblémamegoldás során.

Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyításközötti különbség megértése.Néhány tipikusan hibás

Filozófia: szillogizmusok.

53

következtetés bemutatása,elemzése.

Kombinatorika: leszámlálásifeladatok. Egyszerű feladatokmegoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztásiproblémák felismerése.Gondolatmenet szemléltetésegráffal.

Műveletek értelmezése ésműveleti tulajdonságok.

Absztrakt fogalom és annakkonkrét megjelenései: valósszámok halmazán értelmezettműveletek, halmazműveletek,logikai műveletek, műveletekvektorokkal, műveletekvektorral és valós számmal,műveletek eseményekkel.

Számtan, algebra

Gyakorlati számítások. Kerekítés, közelítő érték,becslés. Számológéphasználata, értelmes kerekítés.

Technika, életvitel ésgyakorlat: alapvetőadózási, biztosítási,egészség-, nyugdíj- éstársadalombiztosítási,pénzügyi ismeretek.

Egyenletek ésegyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz,értelmezési tartomány,megoldáshalmaz megfelelőkezelésével.

Algebrai azonosságok,hatványozás azonosságai,logaritmus azonosságai,trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepénekismerete, használatuk.Matematikai fogalmakfejlődésének bemutatása pl. ahatvány, illetve aszögfüggvények példáján.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz;történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek:képletek használata

Egyenletek ésegyenlőtlenségek megoldása.Algebrai megoldás, grafikusmegoldás. Ekvivalensegyenletek, ekvivalensátalakítások. A megoldásokellenőrzése.

Adott egyenlethez illőmegoldási módszer önállókiválasztása.Az önellenőrzésre valóképesség. Önfegyelemfejlesztése: sikertelenmegoldási kísérlet után újjalvaló próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és Tanult egyenlettípusok és

54

egyenlőtlenség.Négyzetgyökös egyenletek.Abszolút értéket tartalmazóegyenletek. Egyszerűexponenciális, logaritmikus éstrigonometrikus egyenletek.

egyenlőtlenségtípusok önállómegoldása.

Elsőfokú és egyszerűmásodfokú kétismeretlenesegyenletrendszer megoldása.

A tanult megoldási módszerekbiztos alkalmazása.

Egyenletekre,egyenlőtlenségekre vezetőgyakorlati életből vett ésszöveges feladatok.

Matematikai modell (egyenlet,egyenlőtlenség) megalkotása,vizsgálatok a modellben,ellenőrzés.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz;történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek:matematikai modellek.

Összefüggések, függvények, sorozatok

A függvény megadása. Afüggvények tulajdonságai.

Emlékezés: a fogalmak pontosfelidézése, ismerete.Értelmezési tartomány,értékkészlet, zérushely,szélsőérték, monotonitás,periodicitás, paritás fogalmakalkalmazása konkrétfeladatokban.Az alapfüggvények ábrázolásaés tulajdonságai.

A tanult alapfüggvényekismerete.

Képi emlékezés statikushelyzetekben (grafikonokfelidézése).

Függvénytranszformációk:cxf )( , )( cxf ; )(xcf ; )(cxf .

Eltolás, nyújtás ésösszenyomás a tengelyremerőlegesen.

Kapcsolat a matematika kétterülete között:függvénytranszformációk ésgeometriai transzformációk.

Függvényvizsgálat a tanultszempontok szerint.

Emlékezés, ismeretekmozgósítása.

Függvények használata valósfolyamatok elemzésében.Függvény alkalmazásamatematikai modellkészítésében.

Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz;történelem, társadalmi ésállampolgári ismeretek:matematikai modellek.

55

Geometria

Geometriai alapfogalmak,ponthalmazok.

Térelemek kölcsönös helyzete,távolsága, szöge.Távolságok és szögekkiszámítása.

Valós problémában amegfelelő geometriai fogalomfelismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk.Távolságok és szögekvizsgálata atranszformációknál.

Egybevágóság, hasonlóság.Szimmetriák.

Szerepük felfedezéseművészetekben, játékokban,gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozótételek és alkalmazásuk.A háromszög nevezetesvonalai, pontjai és körei.Összefüggések a háromszögoldalai, oldalai és szögeiközött.A derékszögű háromszögoldalai, oldalai és szögeiközötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésérevaló emlékezés.A problémának megfelelőösszefüggések felismerése,alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozótételek és alkalmazásuk.Négyszögek csoportosításakülönböző szempontok szerint.Szimmetrikus négyszögektulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésérevaló emlékezés.

Körre vonatkozó tételek ésalkalmazásuk.

Számítási feladatok.

Vektorok, vektorokkoordinátái. Bázisrendszer.Matematikatörténet:a vektor fogalmának fejlődésea fizikai vektorfogalomtól arendezett szám n-esig.

56

Vektorok alkalmazásai.

Egyenes egyenlete. Köregyenlete. Két alakzat közöspontja.

Matematikatörténet: nevezetesszerkeszthetőségi problémák.

Geometria és algebraösszekapcsolása.

Valószínűség-számítás, statisztika

Diagramok. Statisztikaimutatók: módusz, medián, átlag,szórás.

Adathalmazok jellemzése önállóanválasztott mutatók segítségével. Areprezentatív minta jelentőségénekmegértése.

Magyar nyelv ésirodalom: a tartalomértékelése hihetőségszempontjából; aszöveg hitelességévelkapcsolatos tartalmielemek magyarázata; akétértelmű,többjelentésű tartalmielemek feloldása; egykövetkeztetés alapjátjelentő tartalmi elemfelismerése; az olvasóelőismereteire alapozófigyelemfelhívójellegű címadásfelismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság.Véletlen eseményvalószínűsége.A valószínűség kiszámítása aklasszikus modell alapján.A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztikatörvényei érvényesülésénekfelfedezése a termelésben, apénzügyi folyamatokban, atársadalmi folyamatokban.A szerencsejátékokigazságtalanságának és ajátékszenvedély veszélyeinekfelismerése.

Technika, életvitel ésgyakorlat; biológia-egészségtan:szenvedélybetegségekés rizikófaktor.


Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz,igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezésitartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság,egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen,valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző(távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

57



Gondolkodási és megismerési módszerek– A logikai műveletek megfelelő alkalmazása a matematikában és a

hétköznapi életben.– Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.– Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.– A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése,

rendezése problémamegoldás céljából.– A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.

Számtan, algebra

Összefüggések, függvények, sorozatok– A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete,

gyakorlati alkalmazások.

Geometria– A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk

feladatmegoldásokban.– A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.– Kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása

Valószínűség, statisztika– Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.– A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat

tudják értelmezni, kezelni.– Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit,

lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét.

Összességében– A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével

önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.– Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek

képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat.– Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az

érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.– Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet,

elektronikus eszközöket.– Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok

megoldásához célszerű ábrákat készíteni.– A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai

szakkifejezéseket, jelöléseket.

58

– A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára,törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várhatóeredmények becslésére.

– A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációskészsége.

– A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek amatematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék alegnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyarmatematikusok eredményeire.

Matematika 9-12. évfolyam - arpadgimi.hu · matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel...

Documents

Transcript of Matematika 9-12. évfolyam - arpadgimi.hu · matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel...