141

ТЕМА 3

(Урок № 68 – Урок № 85)

СТЕПЕНУВАНЕ

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:• действие степенуване с естествен степенен показател;• действие степенуване с нулев и отрицателен показател;• свойства на степените;• стандартен запис на число;• питагорова теорема.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:• да представят произведение от равни множители като

степени и обратно;• да умножават и делят степени с равни основи;• да степенуват произведение, частно и степен;• да пресмятат числена стойност на изрази, съдържащи

степен;• да намират неизвестна страна на правоъгълен

триъгълник при дължини на страните питагорови тройки.

142

68. ДЕЙСТВИЕ СТЕПЕНУВАНЕ С ЕСТЕСТВЕН СТЕПЕНЕН ПОКАЗАТЕЛ

25

5 събираеми

5 множителя

Сборът от равни събираеми се записва по-кратко като произведение от даденото събираемо и числото, което показва техния брой:

2 2 2 2 2 2 5+ + + + =� ��� ��� . .

Произведението от равни множители също се записва по-кратко. Приет е записът

2 2 2 2 2 25. . . .� �� �� = ,

където 2 е числото, което умножаваме, а 5 е числото, което показва броя на равните множители и е

естествено число.

Четем „две на степен пета“ или „две на пета степен (две на пета)“.

Произведението от n равни множители а, където n е естествено число, се записва an и се нарича степен с основа а и естествен степенен показател n.

!

Записваме .n множителяa a a a n. …��� �� =

• Числото а се нарича основа на степента. Основата а може да бъде естествено число, нула или дробно число.• Числото n се нарича степенен показател. Понятието “степен” въвеждаме при степенен показател, който е естествено число.

Примери: 10 10 10 10 10 4. . . = ; 2 7 2 7 2 7 2 7 3, . , . , ,= ; 25

25

25

25

25

25

25

6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( )= .

• Степенният показател се записва с по-малки цифри, поставени вдясно и по-нагоре от основата.

• Ако основата на степента е обикновена дроб или израз, то тя се поставя в скоби.

!

При един множител а е прието да се записва а1.Примери: 5 5 10 10 0 2 0 21 1 1= = =; ; , , ;….

ЗАДАЧА 1 Запишете като степен произведението:а) 5 .5 .5 .5 .5 .5 .5; б) 3,5 .3,5 .3,5.

Решение: а) 5 5 5 5 5 5 5 57. . . . . .� ��� ��� = б) 3 5 3 5 3 5 3 53, . , . , ,� �� �� =7 множителя 3 множителя

143* Четем две седми, цялото на шеста.

ЗАДАЧА 2 Запишете във вид на произведение степените: а) 10 5; б) 0,23; в)* 27

6( ) . Решение: а) 10 10 10 10 10 105 = . . . . б) 0 2 0 2 0 2 0 23, , . , . ,= в) 2

727

27

27

27

27

27

6( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

0 01 1

n

n==

S a aS aSS

====

.2

2

210100 cm

V a a aV aVV

====

. .3

3

3101000 cm

ЗАДАЧА 3 Запишете, прочетете и пресметнете степента:а) с основа 1

2 и показател 4; б) с основа 1,2 и показател 2.

Решение: а) 12

4( ) , една втора, цялото на четвърта степен, 12

12

12

12

116

⋅ ⋅ ⋅ =

б) 1,22, едно цяло и две десети на втора степен, 1 2 1 2 1 44, . , ,=

Действие степенуване с естествен степенен показател Действието, при което се пресмята стойността на дадена степен, се нарича степенуване.

!

Да извършим действие степенуване означава да намерим произве-дението на n множители, равни на a. При n = 3, a = 2 23 = 2 .2 .2 = 8.

Ако основата на степента е 0, степента 0 n e равна на 0.Ако основата на степента е 1, степента 1 n е равна на 1.Степента а 2 (а на втора) се чете и а на квадрат; а 3 (а на трета) се чете и а на куб.

ЗАДАЧА 4 Пресметнете: а) лицето на квадрат със страна a =10 сm; б) обема на куб с ръб a =10 сm. Решение: а) б)

ЗАДАЧИ 3 Извършете степенуването: а) 83; б) 44; в) 0,23;

г) 0,82; д) 23

4( ) ; е) 27

3( ) .4 Напишете следващото число х, ако: а) 1, 4, 9, 16, х; б) 1 1

419

116, , , , x .

5 Дадени са числата:а) 48; б) 64; в) 252; г) 360; д) 4410.Всяко от тези числа представете като произведение от степени с осно-ви про стите множители на числото.

1 Запишете като степен произведени-ята:

а) 7.7.7.7; б) 3 3 3. …��� ;

в) 5 3 5 3 5 3, . , ,…� ��� ��� ; г) 57

57⋅ .

2 Запишете като произведение от равни множители и пресметнете степените:

а) 5 5; б) 64; в) 29;

г) 3,23; д) 15

5( ) ; е) 23

6( ) .

12 множителя

20 множителя

144

69. ЧИСЛОВИ ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ СТЕПЕНИ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете степените:а) 53; б) 52.3 − 4; в) 522

; г) 53 82 − . Решение:а) 5 1253 = б) 5 5 5 252 3 4 6 4 2. − −= = = в) 5 5 6252 42

= = г) 5 5 53 8 9 82− −= =

Когато степенният показател е числов израз (Задача 1-б), в), г)), не е прието показателят да се поставя в скоби.

Пресмятане на числови изразиКогато степенният показател е числов израз,

• първо се намира числената стойност на показателя и • след това се извършва действие степенуване.

Когато един израз съдържа степени, първо се извършва действието степенуване.Ако в израза има скоби, то първо се извършват действията в скобите.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете числената стойност на израза:а) 30 4 2− ; б) 1

4 20 2⋅ ; в) 2 5 32 2+ . ; г) 15 5 12: + . Решение:а) 30 4 30 16 142− = − = б) 1

4 20 14 400 1002⋅ = ⋅ =

в) 2 5 3 4 5 9 4 45 492 2+ = + = + =. . г) 15 5 1 15 25 1 1525 1 13

52: :+ = + = + =

ЗАДАЧА 3 Пресметнете числената стойност на израза:а) ( ) :6 2 8 22 4− − ; б) ( .( )) :208 3 3 5 103 2 2− − . Решение: а) ( ) : ( ) : : :6 2 8 2 6 4 8 2 2 8 2 16 8 2 2 2 02 4 4 4− − = − − = − = − = − = б) (208 – 33. (32 – 5)) : 102 = (208 – 27 . (9 – 5)) : 100 = (208 – 27 . 4) : 100 = = (208 – 108) : 100 = 100 : 100 = 1

ЗАДАЧА 4 Пресметнете рационално:а) 7 88 7 122 2. .+ ; б) 11 109 11 93 3. .− . Решение: а) 7 88 7 12 7 88 12 49 100 4 9002 2 2. . .( ) .+ = + = = б)

За рационално решение на Задача 4 използваме разпределителното (дистрибутивното) свойство: а . b + a . c = a . (b + c); а . b – a . c = a . (b – c); b > c.

145

ЗАДАЧИ 4 Пресметнете по два начина изразите: а) 2 3 8 35 5. .+ ; б) 2 18 2 84 4. .− ; в) 3 150 3 350 3 5002 2 2. . .+ + .5 Сравнете числените стойности на

двата израза: а) 7 22 2− и ( )7 2 2− ; б) 6 52 2+ и ( )6 5 2+ .6 Проверете верността на равенствата: а) 3 4 52 2 2+ = ; б) 5 12 132 2 2+ = ; в) 7 24 252 2 2+ = ; г) 8 15 172 2 2+ = ; д) ( )1 2 3 1 2 32 3 3 3+ + = + + ; е) ( ) .1 2 3 4 5 1 2 3 4 52 3 3 3 3 3+ + + + = + + + +

1 Пресметнете степените: а) 23 + 2; б) 74.2 − 7; в) 82 63− ; г) .2 Пресметнете числовите изрази: а) 2 2 73 2+ . ; б) 3 2 83 4− : ;

в) 5 125 103 : + ; г) 12

12

6 5 23 32

⋅ − : ( ) .3 Намерете числената стойност на

изразите:а) ( ) : .7 5 2 2 52 5+ + ;б) ( ).( )5 2 5 2 212 2 2 2− + + ;

в) 2 . (53 – (112 + 0,52)) – 2 53 112 0 52 112

2

.[ ( , )]− + − ( ) ;

г) ((32 – 1)2 + (32 + 1)2) : 2 – (23 + 1)2.

Сравняване на степени с равни основиЗАДАЧА 5 Дадени са две степени с равни основи. Поставете верния знак: > , < , =.

а) 22 и 23; б) 12

12

2 3( ) > ( ) и 12

12

2 3( ) > ( ) .Решение:а) От 4 < 8 следва, че 22 < 23.

б) От 14

18> следва, че 1

212

2 3( ) > ( ) .

Правило за сравняване на степени с равни основи:1. Ако основата а > 1, то a1 < a2 < a3 < ... Примери: a = > <2 2 1 2 22 3( ), → Задача 5-а) (4 < 8); a = > < < <5 5 1 5 5 51 2 3( ), …

2. Ако основата 0 < а < 1, то a1 > a2 > a3 > ...

Примери: a = < >12

12

12

12

12 3( ) ( ) ( ), → Задача 5-б) 1

418

>( ) ;

a = 2

323

23

23

23

11 2 3

<( ) ( ) > ( ) > ( ) >, ...

3. Ако две степени имат равни основи, различни от нула, и равни степенни показатели, то степените са равни.

Примери: 2 23 3= , защото 8 = 8; 1

212

116

116

4 4( ) ( )= → = .

ЗАДАЧА 6 Сравнете степените:

а) 512 и 513; б) 14

9( ) и 14

16( ) ; в) 0,018 и 0,018.

Решение: а) 5 512 13< б) 14

14

9 16( ) > ( ) в) 0 01 0 018 8, ,=

146

70. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНА КОМПОНЕНТА ПРИ ДЕЙСТВИЕ СТЕПЕНУВАНЕ

n множителя

3 множителяx множителя

Компонентите на действие степенуване са: • основата a; • степенният показател n (n – естествено число); • степента an = b.

an = b

При действие степенуване се решават три вида задачи:

I вид: 23 = x, x = ? По дадена основа и степенен показател да се намери степента.Този вид задачи се решават, като се използва определението на понятието “степен”: a xn = , x a a a= . …��� �� ;

23 = x , x = =2 2 2 8. . , x = 8 .

ЗАДАЧА 1Намерете x, ако: а) 2

727

27

449

449

2( ) = = ⋅ = =x x x; б) 0 34, = x ; в) (–2)5 = х.

Решение: а) 27

27

27

449

449

2( ) = = ⋅ = =x x x 27

27

27

449

449

2( ) = = ⋅ = =x x x

б) 0 34, = x x = =0 3 0 3 0 3 0 3 0 0081, . , . , . , , x = 0 0081,в) (–2)5 = х х = – 2 . (–2) . (–2) . (–2) . (–2) = –32 х = –32

II вид: 2x = 8, x = ? По дадена основа и степен да се намери степенният показател.

Тази задача може да се реши, защото числото 8 е произведение от множители, равни на 2: 2 8x = , 2 2…� = 2 2 2. .� , т.е. 2 23x = , x = 3 .

ЗАДАЧА 2Намерете x, ако: а) 3 243x = ; б) 0 7 0 49

0 7 0 72

2, ,, ,

x

x

x

===

; в) 35

81625

4

35

35

4

( )( ) ( )

x

x

x

=

=

=

.Решение: а) б) в)

3 2433 3

5

5

x

x

x

===

35

81625

4

35

35

4

( )( ) ( )

x

x

x

=

=

=

0 7 0 490 7 0 7

2

2, ,, ,

x

x

x

===

III вид: x3 = 8, x = ? По дадени степенен показател и степен да се намери основата.

Тази задача може да се реши, защото числото 8 е произведение от 3 равни множителя:

147

ЗАДАЧА 3 Намерете x, ако: a) x 5 243= ; б) x 3 1216

= .

Решение: а) б)

x

x

x

3

33

1216

16

16

=

=

=

( )xxx

5

5 524333

===

243 3 3 3 3 3 35= =. . . . 216 2 3 2 3 2 3 63= =. . . . .

Числото 216 е произведение от три прости множителя, равни на 2, и три прости множителя, равни на 3, т.е. на 3 множителя, равни на 2 . 3 = 6.

ЗАДАЧА 4 Намерете числото, което трябва да се постави в празните квадратчета

, , , , , на таблицата.

Решение: a an n= =5 1253,

2 32 2 2 55n n n= = =, ,

a a a6 6 6729 3 3= = =, ,

a a a7 771

12812

12

= = =, ,( ) 2

31681

23

23

4

4( ) ( ) ( )n n

n= = =, ,

a a an n n= = = =1 313

43

25681

1381

4 4( ) ( ), ,

? ?

? ?

? ?

Ако две степени са равни и имат равни основи, различни от нула, то степенните им показатели също са равни.

!

ЗАДАЧИ Намерете x, ако:

1 a) 34 = x; б) 12

3( ) = x; в) x = 0,24; г) x = 112

3( ) ; д) 123 = x.

2 а) 3x = 81; б) 625 = 5x; в) 12

132( )x = ; г) 0,2x = 0,008; д) 2

332243( )x = .

3 а) x3 = 125; б) 128 = x7; в) x5 = 243; г) х3 = 127; д) x 3 8

27= .4 Запишете като степен с основа,

която е просто число, следните числа:а) 1024; б) 3125; в) 2187; г) 2401.

5 Пречертайте таблицата в тетрадките си и попълнете празните квадратчета.

? ?

? ?

? ?

148

71. УМНОЖЕНИЕ НА СТЕПЕНИ С РАВНИ ОСНОВИ

Като използваме определението за степен, получаваме:

a a3 5. ?= a a a a a a a a a a3 5. . . . . . . .= =�� �� ��3 множителя 5 множителя

= = =+a a a a a a a a a a. . . . . . .�� �� ��3 5 8

(3 + 5) множителя

a a a a a a a a a a a a a a2 3 4 2 3 4 9. . . . . . . . . .= = =+ +�� ��� ��

(2 + 3 + 4) множителяa a a2 3 4. . ?=

Правило:При умножение на степени с равни основи се получава степен със същата основа и показател, равен на сбора от показателите на множителите. аn. am = an + m, аn. am. ap = an + m + p

!

Практическо правило:Степени с равни основи умножаваме, като пишем същата основа и съберем показателите.Например: 3 3 3 32 3 2 3 5. = =+ ;

13

13

13

13

13

4 5 3 4 5 3 12( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ +

⋅ ⋅ = = .

Правилото за умножение на степени с равни основи може да се използва и във вида am + n = аm. an, am + n + p = аm. an. ap

!

Пример: a a a a a a a a aa a a a a a a a

7 1 6 1 6 7 1 2 4 1 2 4

7 2 5 2 5 7 2 2 3 2= = = == = = =

+ + +

+ + +. . .. . 22 3

7 3 4 3 4 7 1 1 2 3 1 1 2 3.

. . . . ,a

a a a a a a a a a a= = = =+ + + + …

ЗАДАЧА 1 Напишете и изкажете като степен произведенията:

а) 2 5.22; б) 78

78

4( ) ⋅ ; в) 0,1 .0,12.0,1 7; г) 10.102.103.1059. Решение: а) 2 7, б) 7

8

5( ) , в) 0,110, г) 1065

ЗАДАЧА 2 Умножете степените:а) 104.1012; б) 0,1 .0,110.0,1100; в) 17.172.1713; г) 3

103

103

10

4 8( ) ( )⋅ ⋅ . Решение: а) 104.1012 = 104 + 12 = 1016 б) 0,1 .0,110.0,1100 = 0,11 + 10 + 100 = 0,1111

в) 17 .17 2.17 13 = 171 + 2 + 13 = 17 16 г) 310

310

4 8 1 4 8 1 13310

310

310( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ +

⋅ ⋅ = =

149

ЗАДАЧА 3 Запишете като степен:

а) 113.1115; б) x 2.x 5; в) a a2 2

7( ) ⋅ ; г) ( ) .( )x x+ +1 16 3 .

Решение: а) 113.1115 = 11 3 + 15 = 1118 б) x 2.x 5 = x 2 + 5 = x 7

в) a a a a2 2 2 2

7 7 1 8( ) ( ) ( )+

⋅ = = г) ( ) .( ) ( ) ( )x x x x+ + = + = ++1 1 1 16 3 6 3 9

ЗАДАЧА 4 Намерете x, ако (a≠0): а) x a a: 11 5= ; б) a a a ax2 5 11. . = . Решение: а) б)x a a

x a ax ax a

:.

11 5

5 11

5 11

16

====

+

a a a aa a

xxx

x

x

2 5 11

2 5 11

7 1111 74

. . ==

+ == −=

+ +

ЗАДАЧА 5 Запишете като степен с основа 2 изразите: а) 2 7 23 3+ . ; б) 6 2 2 3 25 7 6. .+ + . Решение: а) 2 7 2 2 1 7 2 8 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 6+ = + = = = =+. .( ) . .

б) 6 2 2 3 2 6 2 2 2 3 2 22 6 4 6 2 16 2 2 2

5 7 6 5 2 5 5

5 5 5 4 9. . . . . .

.( ) . . .+ + = + + =

= + + = = =

ЗАДАЧИ б) a 3.ax.a 4 = a 15;в) x : a 2 = a 3;г) x : a 3 = a 11;д) ax : a 3 = a 5.

4 Намерете x ( )a ≠ 0 , ако: а) a 3.ax.a 11 = a 5.a 20; б) ax.a 10.a 5 = a 3.a21; в) x : a 3 = a 2.a 4.a 6; г) x : a 8 = a 7.a .a 11; д) ax : a 3 = a 2.a 5; е) a 9 : a x = a 2.a 3.5 Запишете като степен с основа 2

изразите: а) 3 .29 − 210; б) 12.23 + 2 5; в) 5 .2 7 + 3 .2 7; г) 11.2 5 − 3 .2 5; д) 9 .2 8 + 7 .29 + 9 .26.22; е) 6 .2 5 + 24 + 3 .232− 5 .

1 Запишете като степен произведени-ята:

а) 5 7.5 9; б) a 7.a 22; в) 0,36.0,3 5.0,34; г) (a + x) 5. (a + x) 11. (a + x) 13; д) 2,33.2,34.2,3 7; е) 2 .a . (2 .a ) 8. (2 .a ) 11.2 Запишете като степен и пресметнете

произведенията: а) 22.23; б) 0,13.0,12;

в) 23

23

2 2( ) ( )⋅ ;

г) 12

12

3 4( ) ( )⋅ ;

д) 1 112

12

2( ) . .3 Намерете x ( )a ≠ 0 , ако:

а) ax.a 3 = a 18;

150

72. ДЕЛЕНИЕ НА СТЕПЕНИ С РАВНИ ОСНОВИ

Нека a ≠ 0. Като използваме определението за степен, получаваме:

a 5 : a 2 = ? aa

a a a a aa a

a5

2

1 1

1 1

3= =. . . ..

�

, т.е. aa

a a5

25 2 3= =− ;

a 2 : a 2 = ? aa

a aa a

2

2

1 1

1 1

1= =..

, или aa

2

2 1= ;

a 2 : a 5 = ? aa

a aa a a a a a

2

5

1 1

1 1

31= =.

. . . .�, т.е. a

a a a2

5 5 2 31 1= =− .

Правило:При a ≠ 0 an : am = ? • ако n > m,

an

am = an – m;

• ако n = m, an

an = 1;

• ако n < m, an

am = 1am – n ,

където m и n са естествени числа.

!

ЗАДАЧА 1 Пресметнете: а) 319 : 3 17; б) 13 7 : 13 7; в) 7 17 : 719. Решение:

а) 33

3 3 919

1719 17 2= = =− б) 13

137

7 1= в) 77

17

17

149

17

19 19 17 2= = =−

ЗАДАЧА 2 Представете като степен частното:

a) (5 .a) 13 : (5 .a) 8; б) x x7 7

14 9( ) ( ): ;

в) (3 .x .y) 23 : (3 .x .y) 20; г) (a + b) 18 : (a + b) 12.Решение:

а) (5 .a) 13 : (5 .a) 8 = (5 .a) 13 − 8 = (5 .a) 5 б) x x x x7 7 7 7

14 9 14 9 5( ) ( ) ( ) ( )−

: = =

в) (3 .x .y) 23 : (3 .x .y) 20 = (3 .x .y) 23 − 20 = г) (a + b) 18 : (a + b)12 = (a + b) 18 − 12 = (a + b)6

= (3 .x .y) 3

ЗАДАЧА 3 Представете като степен с основа x (x ≠ 0) изразите:

а) x xx

7 5

9. ; б) x x

x x x

31

3 8 10.

. ..

Решение:

а) x xx

xx

xx

x x7 5

9

7 5

9

12

912 9 3. = = = =

+− б)

x xx x x

xx

xx

x x31

3 8 10

31 1

3 8 10

32

2132 21 11.

. .= = = =

+

+ +−

151

ЗАДАЧА 4 Пресметнете:

а) 7 33 7

3 5

5 2..

; б) 3 33

3 8

12. ; в) 40 5

5 2

3

4.

.; г) 32 49

2 75 5..

.

Решение:

а) 7 33 7

33

7 1 7 73 5

5 2

5

53 2.

..= ⋅ = =− б) 3 3

333

13

13

3 8

12

11

12 12 11. = = =−

в) 40 55 2

2 5 55 2

52

1252 62

3

4

31

3

1

4

3

4 312

..

. ..

= = = =− г) 32 492 7

2 72 7

22

17

17

13435 5

5 2

5 5

5

5 5 2 3..

.

.= = ⋅ = =−

ЗАДАЧА 5 Намерете x (a ≠ 0), ако:

а) a 5.x = a 11; б) a 10 : x = a 3; в) x : 7 17

1514= .

Решение: а) б) в)a x a

x aa

x ax a

5 11

11

5

11 5

6

. =

=

=

=

−

a x a

x aa

x ax a

10 3

10

3

10 3

7

: =

=

=

=

−

x

x

x

x

: 7 171

77

777

1514

1415

15

14

=

= ⋅

=

=

ЗАДАЧИ 5 Пресметнете стойността на частното: а) x 17 : x 12 за x = 2; б) x 23 : x 20 за x = 3; в) x 33 : x 30 за x = 11

2;

г) x 15 : x 18 за x = 0,1.6 Представете като степен частното

(x ≠ 0):

а) x xx

8 5

9. ;

б) 22

15 8

4 7.

. .xx x

;

в) x xx x x

20 7

3 5 13.

. .;

г) 27 23 2 2

6 7 8

3 4 2 5. . .. . .

x xx

.

7 Намерете x, ако: а) x .77 = 79; б) 1120 : x = 1118; в) x : 3 8 = 1

37 ;

г) 5 7.x = 5 9 . 5 2 .

Пресметнете:1 а) 7 15 : 713; б) 0,89 : 0,8 7;

в) 23

23

21 18( ) ( ): ;

г) 1 116

16

31 29( ) ( ): .

2 а) 3 7 : 39; б) 0,39 : 0,3 11;

в) 37

37

27 29( ) ( ): ;

г) 2 213

13

18 20( ) ( ): .

3 а) 2 22

7 5

10. ; б) 3 3

3 3

7 2

6 3..

;

в) 5 55 5

8 2

5 3..

; г) 7 77 7

26 3

20 8..

.

4 а) 2 52 5

7 8

5 7..

; б) 2 3 52 3 5

7 8 9

5 7 8. .. .

;

в) 2 3 32 3

8 11 7

6 16. .

.; г)

5 7 75 7 7

7 15 13

6 20 7. .. . .

152

73. НАМИРАНЕ НА ЧИСЛЕНА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗИ, СЪДЪРЖАЩИ СТЕПЕНИ

ЗАДАЧА 1Пресметнете: а) 160 2

5 2

7

9.

.; б)

128 5 5625 2 2

2 3

2 5. .. .

.

Решение:

а) 160 25 2

32 22

2 22

22

2 2 8

327

1

9

7

9

5 7

9

12

912 9 3.

.. .= = = = = =−

б) 128 5 5625 2 2

2 55 2

5 1 5 52 3

2 5

71

5

4 7

1

5 4. .. .

..

.= = = =−

В Задача 1-б) 27

27 = 1. Тогава можем да съкратим на 27.

ЗАДАЧА 2 Представете като степен с основа 2 израза:а) ( : ) :2 2 2 2 215 7 8 5 4+ + ; б) ( . : ) : :3 3 3 3 3 2 22 4 5 2 3 5 3+ + .

Решение: а) б) ( : ) :

( ) :( . ) :

:

2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2

15 7 8 5 4

8 8 5 4

8 5 4

9 5 4

+ + == + + == + == + == 22 2

2 22

4 4

4

5

+ == ==

.

( . : ) : :( ) :

: :

3 3 3 3 3 2 23 3 3 2

3 3 3 3 23

2 4 5 2 3 5 3

6 3 3 2

6 3 3 3 2

3

+ + == + + == + + == +11 4

27 1 43225

+ == + + == ==

При решаване на Задача 2-б) използваме правилото за деление на сбор:(a + b) : c = a : c + b : c (c ≠ 0). Задачата може да се реши и по други начини.

ЗАДАЧА 3Пресметнете стойността на израза A x x

x= +

15 17

30 1. , ако:

а) x = 6; б) x = 13

; в) x = 0,5; г) x =113

.

Решение: A x xx

xx

x= + = + = +15 17

30

32

3021 1 1. ⇒ A x= +2 1

а) За x = 6 A x= + = + =2 21 6 1 37 ,

б) за x = 13

A x= + = + =22

1 1 113

19( ) ,

в) за x = 0,5 A x= + = + = + =2 21 0 5 1 0 25 1 1 25, , , ,

г) за x =113

A x= + = + = + = + =22

1 1 1 1 1 243

169

79

79( ) .

153

ЗАДАЧА 4 Изразете x (a ≠ 0) като степен на а и намерете числената му стойност за a = 12 :

а) x : a 2 = a 11 : a 9; б) aax a a

9

315 7⋅ = : ; в) a

ax a a

25

127 3: .= .

Решение: а) x : a 2 = a 11 : a 9 б) в) x : a 2 = a 2 x = a 2.a 2

x = a 4

За a = 12 x = 1

16 . За a = 12 x = 1

4 . За a = 12 x = 1

8 .

aa

x a a

a x ax a ax a

9

315 7

6 8

8 6

2

⋅ =

===

:

.:

aa

x a a

a x ax a ax a

25

127 3

13 10

13 10

3

: .

::

=

===

ЗАДАЧА 5 Покажете, че числовият израз:а) A = + +2 2 217 16 15 се дели на 7; б) B = + +3 3 320 18 17 е кратно на 31.Решение: а) б)

А се дели на 7. B е кратно на 31.

A = + + == + + == + + ==

2 2 22 2 2 2 22 2 2 12 7

17 16 15

15 2 15 1 15

15 2 1

15

. .

.( )

.

B = + + == + + == + + ==

3 3 33 3 3 3 3 13 3 3 13 31

20 18 17

17 3 17 1 17

17 3 1

17

. . .

.( )

.

При решаване на Задача 5 използваме дистрибутивното (разпределител-ното) свойство: а . b + a . c + a . d = a . (b + c + d).

ЗАДАЧИ б) 57 : x = 55.53; в) x : 5 1

58

7= ; г) 5 11 : 52 = x .53.55.5 Пресметнете стойността на израза:

а) A x yx y

=13 25

12 23..

за x = 1,2; y = 5;

б) B x yx y

= 32

7 6

5 4. .. .

за x = 3; y = 23

;

в) C x x yx y y

= 23

5 3 8

6 2 9. . .. . .

за x = 3; y = 2;

г) D x y yx x y

= 35

8 4 5

7 3 7. . .. . .

за x = 12 ; y = 5.

6 Покажете, че: а) 217 + 215 се дели на 5; б) 3 18 + 3 16 се дели на 10; в) 540 + 538 + 537 се дели на 31; г) 330 + 3 29 + 3 28 се дели на 13.

Пресметнете:

1 а) 2 32 3

7 8

6 7..

; б) 3 581 5 5

5 11

4 7.

. .;

в) 64 7 72 7 7

3 11

7 6 7. .. .

; г) 125 11 115 11 11

3 8

2 4 6. .

. ..

2 а) 23 + 3 8 : 35; б) 3 11 : 3 8 − 23;

в) ;

г) 2 33

3 13

15. .

3 Представете като степен с основа 3 израза:

а) (5 6 + 5 4) : 5 4 + 7 8 : 7 8; б) (715 + 713) : 713 + 25 − 1; в) (2 8 + 2 9) : 25 − 3 .52 32− .4 Намерете x, ако: а) x .5 2.53 = 57;

154

74. СТЕПЕНУВАНЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Като използваме определението за степен и комутативното свойство на умножението, получаваме:

Забелязваме, че (a .b) 3 = a3.b3, (a .b) 4 = a4.b4, ...По този начин можем да обосновем следното правило.

Правило за степенуване на произведение (а . b)n = an . bn

!

Като използваме това правило, можем да степенуваме и произведение на повече от два множителя: ( a . b . c)n = (a . b)n . cn = an . bn . cn .

Следователно при решаване на задачи за степенуване на произведение можем да изкажем следното правило.

Практическо правилоПроизведение се степенува, като се степенува всеки от множителите: (a . b . c . d)n = an . bn . cn . dn.

!

Примери: (8 . 17)7 = 87 . 177; (0,9 . 0,018)5 = 0,95. 0,0185.

ЗАДАЧА 1 Представете като произведение на степени изразите:

а) (5 . a)2; б) (0,3 . b)3; в) 23

4

⋅( )c ;

г) (2 . c)5; д) (2 . a . b)3; е) (3 . a . b . c)2.

Решение: а) (5 . a)2 = 52 . a2 б) (0,3 . b)3 = 0,33 . b3

в) 23

23

4 44⋅ = ⋅c c( ) ( ) г) (2 . c)5 = 25 . c5

д) (2 . a . b)3 = 23 . a3 . b3 е) (3 . a . b . c)2 = 32 . a2 . b2 . c2

(a .b) 3 = ?

(a .b) 4 = ?

;

155

При пресмятане на произведение от степени с равни показатели е удоб-но правилото за степенуване на произведение да се използва и във видаan . bn = (a . b)n.Примери: 0,24 . 154 = (0,2 . 15)4 = 34 = 81; 222 . 0,52 = (22 . 0,5)2 = 112 = 121.

ЗАДАЧА 2 Представете като степен произведенията: а) 27 . x3; б) 64 . a3 . b3.Решение: а) 27 . x3 = 33 . x3 = (3 . x)3 б) 64 . a3 . b3 = 43 . a3 . b3 = (4 . a . b)3

ЗАДАЧА 3 Пресметнете по рационален начин:

а) 23 . 53; б) 0,2571 . 471; в) 515151

5⋅ ( ) ; г) 246

6112

⋅ ( ) .Решение: а) 23 . 53 = (2 . 5)3 = 103 = 1000 б) 0,2571 . 471 = (0,25 . 4)71 = 171 = 1

в) 5 5 1 11515 15

1515

15

⋅ = ⋅ = =( ) ( ) г) 24 24 2 6466 6

6112

112

⋅ = ⋅ = =( ) ( )ЗАДАЧА 4 Пресметнете:

а) 23

12

50 5031 2( ) ( )⋅ + ; б) 16

511748

2 2218( ) ( )⋅ ⋅ .

Решение:

а) 23

12

23

32

50 503

503 501 2 2 1 8 1 8 9( ) ( ) ( )⋅ + = ⋅ + = + = + =

б) 1651

1748

19

2 22

1

3

1

3

2

22

18 1651

1748

18 9 2( ) ( )

( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ( . ) 22

2

1

21

219

9 2 4= ⋅ =.

ЗАДАЧИ 4 Намерете x, ако: а) x . 103 = 45. 2,55; б) x . 27 . 57 = 0,49 . 259;

в) x .1955 7 31

3812

12

⋅ = ⋅( ) ( ) ( ) ;

г) x . .3 2 277

5 923

⋅ =( ) .

5 Как се изменя лицето на квадрат, ако страната му се увеличи:

а) 3 пъти; б) 7 пъти?

6 Как се изменя лицето на квадрат, ако страната му се намали:

а) 2 пъти; б) 3 пъти?

1 Представете като произведение на степени изразите:

а) (7 . a)3; б) (0,5 . b)4;

в) 25

5

⋅m( ) ; г) (5 . n)7;

д) (a . b . c)5; е) (3 . a . b2)6.2 Представете като степен произве-

денията: а) 32 . x5; б) 27 . x3; в) 243 . с5; г) 125 . b3.3 Пресметнете по рационален начин:

а) 43 . 253; б) 17 551

34⋅ ( ) ;

в) 0,56 . 26; г) 0,253 . 163.

156

75. СТЕПЕНУВАНЕ НА ЧАСТНО

Нека b ≠ 0. Като използваме определението за степен и правилото за умножаване на дроби, получаваме:

ab( )3

= ? ab

ababab

a a ab b b

ab( )3 3

3= ⋅ ⋅ = =. .. . ;

ab( )4

= ? ab

abababab

a a a ab b b b

ab( ) 4 4

4= ⋅ ⋅ ⋅ = =. . .. . . и т.н.

Забелязваме, че abab

ab

ab( ) ( )3 3

3

4 4

4= =, ,...

По този начин можем да обосновем следното правило.

Правило за степенуване на частно

( аb )n

= аn

bn , b ≠ 0.!

Следователно при решаване на задачи за степенуване на частно можем да изкажем следното правило.

Практическо правилоЧастно се степенува, като се степенуват делимото и делителя.

!

Примери: 1213

1213

34

34

17

17

5 5

5

7 7

7

10 10

10( ) = ( ) = ( ) =; ; ; ....

ЗАДАЧА 1 Представете като частно на степени изразите:

а) 25

3( ) ; б) 78

2( ) ; в) 23

5.a( ) ; г) 12 0

7

. ,m m

≠ .

Решение:

а) 25

25

8125

3 3

3( ) = = б) 78

78

4964

2 2

2( ) = =

в) 23

23

23

32243

5 5

5

5 5

5

5. ( . ) . .a a a a( ) = = = г) 12

12

12

1128

7 7

7 7 7 7. ( . ) . .m m m m

= = =

При пресмятане на частни от степени с равни показатели в някои случаи е удобно да се използва правилото за степенуване на частно и във видаab

ab b

n

n

n

= ( ) ≠, 0 .

Примери: 2754

2754

12

18

3

3

3 3

= ( ) = ( ) = ; 0 5 510

12

164

66 6

, = ( ) = ( ) = .

157

ЗАДАЧА 2 Представете като степен:

а) a 3

27 ; б) 32

3125

5.x .

Решение:

а) a a a3 3

3

3

27 3 3= = ( ) б) 323125

25

25

25

5 5 5

5

5

5

5. . ( . ) .x x x x= = = ( )

ЗАДАЧА 3 Пресметнете по рационален начин:

а) 4515

4

4 ; б) 16

323

3 ; в) 0 120 024

3

3,

, ; г) 0,1252.

Решение:

а) 4515

4515 3 81

4

4

44= ( ) = = б) 16

321632

12

12

18

3

3

3 3

3= ( ) = ( ) = =

в) 0 120 024

0 120 024

12024 5 125

3

3

3 33,

,,

,=

= ( ) = = г) 0 125 125

100018

18

164

22 2

2, = ( ) = ( ) = =

ЗАДАЧА 4 Намерете х, ако:

а) x : 3 23

55

= ( ) ; б) x .3 34

23

= ( ) ; в) х · (34)5

= (34)6

.

Решение:

а) б) в) х · (34)5

= (34)6

х = 36

46 : 35

45

х = 36

46 · 45

35

х = 34

x

x

x

x

:

:

.

3 23

3 232 3

332

55

55

5

5 5

5

= ( )=

=

=

x

x

x

x

.

:

.

3 34

34

3

34 33

64

23

3

32

3

3 2

= ( )=

=

=

ЗАДАЧИ 4 Пресметнете по рационален начин:

а) 816

4

4 ; б) 0,254;

в) 0 15

0 015

5,,

; г) 5 5

5

2 6

7

3.

.

5 Намерете x, ако:

а) x: .25 5 5

73 4( ) = ;

б) x : 23

34

5 5( ) = ( ) ;

в) x ⋅ =105

2613

23

23

27

27 ;

г) 0 750 25

186

9

9

7

7,,

: x = .

1 Представете като частно от степени изразите:

а) 1719

20( ) ; б) 1213

8( ) ;

в) 119

11( ) ; г) 35

12.m( ) .

2 Представете като степен:

а) 1681 ; б) 256

6561 ; в) x5

243 ; г) 16625

4.x .3 Извършете степенуването (a ≠ 0,

b ≠ 0):

а) 34

3( ) ; б) 6 2

a( ) ;

в) 2 5.ab( ) ; г) 3

5

3..ab

.

158

76. СТЕПЕНУВАНЕ НА СТЕПЕН

Като използваме определението за степен и правилото за умножаване на степени с равни основи, получаваме:

( ) ?a 2 3 = ( ) . . . .a a a a a a a a2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 6= = = = =+ + ;

( ) ?a 5 4 = ( ) . . . . .a a a a a a a a a5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 4 20= = = = =+ + + и т.н.

Забелязваме, че ( ) , ( ) ,. .a a a a2 3 2 3 5 4 5 4= = …По този начин можем да обосновем следното правило.

Правило за степенуване на степен (аm)n = am . n, m, n – естествени числа

!

Следователно при решаване на задачи за степенуване на степен можем да изкажем следното правило.

Практическо правилоСтепен се степенува, като се пише същата основа и се умножат показателите.

!

( ) ( ) .a a am n n m m n= =

ЗАДАЧА 1 (Устно) Извършете степенуването: а) ( )25 6 ; б) ( )512 3 ; в) ( )a 7 8 ; г) ( )a 6 10 .Отговор: а) 230, б) 5 36, в) a 56, г) a 60

ЗАДАЧА 2 Представете 236 във вид на степен с основа: а) 22; б) 23; в) 26; г) 29.Решение: а) 2 236 2 18= ( ) б) 2 236 3 12= ( ) в) 2 236 6 6= ( ) г) 2 236 9 4= ( )

При пресмятане на степени в някои случаи е удобно правилото за степенуване на степен да се използва и във вида

a a am n m n n m. ( ) ( )= = Пример: 23

23

23

6 2 3 2 3 349

64729( ) = ( ) = ( )

= ( ) =

. или

23

23

23

6 3 2 3 2 2827

64729( ) = ( ) = ( )

= ( ) =

.

.

ЗАДАЧА 3 Като използвате правилото за степенуване на степен, пресметнете: а) 34; б) 2 8; в) 36; г) 56.Решение: а) 3 3 3 9 814 2 2 2 2 2= = = =. ( ) б) 2 2 2 16 2568 4 2 4 2 2= = = =. ( ) в) 3 3 3 27 7296 3 2 3 2 2= = = =. ( ) г)

.

159

ЗАДАЧА 4 Представете 530 във вид на степен с основа: а) 5 5; б) 25.

Решение: а) 5 5 530 5 6 5 6= =. ( ) б) 5 5 5 2530 2 15 2 15 15= = =. ( )

ЗАДАЧА 5 Намерете x, ако: а) ( ) ( )2 23 6 5x = ; б) ( ) ( )5 53 7 9x = .

Решение: а) б) ( ) ( )

.

.2 22 23 30

10

3 6 5

3 30

x

x

xx

====

( ) ( )

.

.5 55 53 63

21

3 7 9

3 63

x

x

xx

====

ЗАДАЧА 6 Намерете x, ако: а) ( ) . . .2 2 4 8 162x = ; б) 3 3 3 27 812 3x.( ) . .= ; в) 5 5 125 625 22x x: . ( )= > .

Решение: а) б) в)

ЗАДАЧА 7 Намерете x, ако: а) ( ) . ( )7 73 5 4 4x = ; б) x .( ) ( )2 26 7 11 4= ; в) ( ) : ( )5 58 9 7 10x = .

Решение: а) б) в) ( ) . ( )

.7 7

7 777777

3 5 4 4

15 16

16

15

16 15

1

xx

x

xxx

==

=

===

−

xx

x

xxx

.( ) ( ).2 2

2 222224

6 7 11 4

42 44

44

42

44 42

2

==

=

===

−

( ) : ( ):

5 55 5

555525

8 9 7 10

72 70

72

70

72 70

2

xx

x

xxx

==

=

===

−

( ) . . .. . .

.

.

.

.

2 2 4 8 162 2 2 2 22 22 22 10

2

2 1 2 3 4

2 1 2 3 4

2 10

x

x

x

x

xx

=====

+ + +

== 5

3 3 3 27 813 3 3 3 33 33 3

6 82

2 3

6 3 4

6 1 3 4

6 8

x

x

x

x

xx

.( ) . .. . .

====

+ ==

+ + +

+

5 5 125 6255 5 55 5

2 79

2

2 3 4

2 3 4

x

x

x

xx

: ..

===

− ==

−

− +

ЗАДАЧИ 5 Намерете x, ако: а) ( ) . ( )2 25 9 6 8x = ; б) ( ) : ( )3 37 8 11 5x = ;

в) ;

г) x .( ) ( )7 78 9 14 5= .6 Намерете x, ако: а) ( ) ( )5 53 6 2x = ;

б) ( ) ( )7 72 5 8x = ;

в) ( ) ( )11 113 15 5= x ;

г) .

1 Запишете като степен:

а) ( )7 2 5 ; б) ( , )0 68 3 ;

в) ; г) .

2 Като използвате правилото за степе-нуване на степен, пресметнете:

а) 54; б) 36; в) 210; г) 13

8( ) .3 Представете 740 като степен с основа: а) 72; б) 74; в) 7 8; г) 710.4 Представете 248 като степен с основа:

а) 4; б) 8; в) 16; г) 64.

160

77. ДЕЙСТВИЯ СЪС СТЕПЕНИ. УПРАЖНЕНИЕ

A ab

ab

ab

ab

=

= =24

24

23

4

25

3

3 3 2

4 2

5 3

3 3

2. :.

( . )( )

: ( )( . )

..( ) .( ) .( )( ) .( )

. . ..

.

a bb a

a bb a

b

3 2 2 3 3 3

4 2 5 3

2 6 6 9

8 15

2 6 9

2

2 2 2

=

= =+ −88

15 6

8

92

ab

a− = .

ЗАДАЧА 1 Пресметнете:

а) ( ) .3 29

2 3 2

2; б) ( . ) .( )

( )2 2 3

6

3 2 2 3 4

2 5 ; в) 14 3

21 2

3 5

2 2 2.

.( ) .

Решение:

а) ( ) . .( )

. . . .3 29

3 23

3 23

3 2 3 2 9 4 362 3 2

2

6 2

2 2

6 2

46 4 2 2 2= = = = = =−

б) ( . ) .( )( )

( ) . .( . )

.2 2 36

2 36

2 32 3

2 32

3 2 2 3 4

2 5

5 2 12

10

10 12

10

10 12

10= = =

..33 3 9

1012 10 2= = =−

в) 14 321 2

2 7 33 7 2

2 7 33 7 2

7 33 5

2 2 2

3 5

2 4

3 3 5

2 2 4

3 2..( )

( . ) .( . ) .

. .. .

.= = =− 55 2

4 3

3

27 3

27 27

2 94 5−

− = = =. . ,

ЗАДАЧА 2Пресметнете стойността на израза A x y

x y=

13 25

12 23..

за x y= = −1 2 2 33, ; .

Решение:

1. A x yx y

x y x y= = =− −13 25

12 2313 12 25 23 2.

.. .

2. y = − = − =2 3 8 3 53

3. А = х . у2 = 1,2 . 52 = 1,2 . 25 = 30.

ЗАДАЧА 3 Съкратете дробите (a ≠ 0):

а) 2 3 258 9 5

15 14 6

4 7 14. .. .

; б) 2 39 4

19 2 15

8 3 9.( . ).( . )

aa .

Решение:

а) 2 3 258 9 5

2 3 52 3 5

2 315 14 6

4 7 14

15 14 2 6

3 4 2 7 14

15 14. .. .

. .( )( ) .( ) .

. .= = 552 3 5

25

25

825

12

12 14 14

15 12

14 12

3

2. .= = =

−

−

б) 2 39 4

2 33 2

219 2 15

8 3 9

19 15 2 15

2 8 2 9 3 9

19.( . ).( . )

. .( )( ) .( ) .( )

aa

aa

= = .. .. .

. .33 2

23

23

15 30

16 18 27

19 18 30 27

16 15

3aa

a a= =− −

−

ЗАДАЧА 4Опростете израза A a

bab

=

24

3

4

25

3

3. :.

(a ≠ 0, b ≠ 0).

Решение:

161

ЗАДАЧА 5Пресметнете по два начина числената стойност на израза A = +5 4 5

5 5

7 6

2 4.

..

Решение:

I начин: A = + = + = + = + =+

+

5 4 55 5

5 4 55

5 5 4 55

5 5 45

97 6

2 4

6 1 6

2 4

6 6

6

6

6.

.. . . .( )

II начин: A = + = + = + = + = + =−5 4 55 5

5 4 55

55

4 55

5 4 5 4 97 6

2 4

7 6

6

7

6

6

67 6.

.. .

ЗАДАЧА 6 Пресметнете числената стойност на израза:

а) A = +−

7 2 29 2 2

9 8

8 10..

; б) B = + −+

3 3 4 33 3

7 6 5

6 5.

.

Решение:

ЗАДАЧИ 5 Опростете изразите:

а) 34

23

2 2 3.. . .

.xy

yx

, x ≠ 0, y ≠ 0;

б) 89

2716

3

2

3 3

4

2..

. ..

ab

ba

, a ≠ 0, b ≠ 0.

6 Пресметнете по два начина:

а) ; б) ;

в) ; г) .

7 Пресметнете:

a) 2 2 22 2

8 9 10

10 9+ +

−; б) 7 2 2

9 2 2

9 8

9 10..

+−

.

8 По дадената схема съставете израз и пресметнете стойността му:

a) б)

1 Извършете степенуването: а) ( )58 10 ; б) ( )63 7 ; в) ( )a 4 5 ; г) ( . )2 3 7a ;

д) ( . . )53 4 5 3a b ; е) 3

5

7 2

4

5. .a b

.

2 Представете като степен (b ≠ 0): а) m 2.n 4; б) 64.a 12; в) 125.a 6.b 12; г) a 5 : b 10;

д) 3

5

2 4 4

2. .a b

; е) xb8

416. .

3 Пресметнете:

а) 2 2 2

2 2

6 11 4

7 12. .

.; б) 7 7 7

7 7 7

15 3 7

4 18 6. .. .

;

в) 9 327 3

6 3

2 8..

; г) 5 255

4 3

3 3.

( ).

4 Пресметнете:

а) 9 363 6

7 5

13 10..

; б) 15 255 3

6 4

13 3..

;

в) 49 621 2 3

5 11

9 10 2.

. . ; г) 12 9 58 15

3 2 4

2 4. ..

.

? ?

? ?

а) б) A = +−

=

= +−

=

= +−

+

+

7 2 29 2 27 2 29 2 27 2 2 29 2 2 2

9 8

8 10

8 1 8

8 8 2

8 8

8 8 2

..... .

. .==

= +

−= =2 14 1

2 9 4155 3

8

8

.( )

.( ).

B = + −+

=

= + −+

=

= + −+

3 3 4 33 3

3 3 3 3 4 33 3 3

3 3 3 43 3

7 6 5

6 5

5 2 5 5

5 5

5 2

5

.

. . ..

( )( 11

12 44 3

)=

= − =

162

78. СТЕПЕНУВАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА

Произведението (−2) . (−2) . (−2) . (−2) може да се запише като степен (−2)4. Основата на степента е отрицателно число и се поставя в скоби, защото(−2)4 ≠ −24 (−2)4 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = 16; −24 = − 2 . 2 . 2 . 2 = −16.

ЗАДАЧА 1 Извършете степенуването: а) (−3)2; б) (−2)4; в) (−3)3; г) (−2)5.

Решение: а) (−3)2 = (−3) . (−3) = 9 (−3)2 = +9

б) (−2)4 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = 4 . 4 = 16 (−2)4 = +16

в) (−3)3 = (−3) . (−3) . (−3) = 9 . (−3) = −27 (−3)3 = −27

г) (−2)5 = (−2) . (−2) . (−2) . (−2) . (−2) = 4 . 4 . (−2) = −32 (−2)5 = −32

Степен с основа отрицателно число и показател n, който е четно число, е положително число (Задача 1-а, б));n, който е нечетно число, е отрицателно число (Задача 1-в, г)).

!

ЗАДАЧА 2 (Устно) Определете знака на степента:

а) (−21)5; б) ; в) (−1,5)15; г) .

Отговор: а) (−), б) (+), в) (−), г) (+)

Познатите правила за степените с показател n – естествено число, са в сила както при положителна основа, така и при отрицателна основа.

Свойства на степените с показател естествено число!a a aaa

a m n a

aa a

n m a

m n m n

m

nm n

n

m m n

.

, ,

, ,

=

≠

= < ≠

+

−

−

0

1 0aa

an

n = ≠1 0,

( . ) .

,

( ) .

a b a bab

ab

b

a a

n n n

n n

n

m n m n

=

( ) = ≠

=

0( . ) .

,

( ) .

a b a bab

ab

b

a a

n n n

n n

n

m n m n

=

( ) = ≠

=

0

Свойствата на степените са равенства, които могат да се прилагат и така: am + n = am . an, am . n = (am)n = (an)m и т.н.

ЗАДАЧА 3 Запишете като степен произведенията:а) (−1)2 . (−1)3 . (−1)5; б) −64 . a3 . b3; в) −16 . (a2)2 . b . b3.

163

Решение: а) (−1)2 . (−1)3 . (−1)5 = (−1)2 + 3 + 5 = (−1)10

б) −64 . a3 . b3 = (−4)3 . a3 . b3 = (−4 . a . b)3

в) −16 . (a2)2 . b . b3 = −24 . a4 . b4 = −(2 . a . b)4

ЗАДАЧА 4 Пресметнете:

а) −( ) ⋅34 2

23 ; б) ( ) .− −( ) + ( )2 1

212

36 3

; в) ( ) .( ) .( )( ) . .( )

− − −− −

3 2 12 9 1

2 5 2

3 3 .

Решение:

а) −( ) ⋅ = − ⋅ = = =34 2 3

42 9 2

292 4 5

23

2

23

3

4( ) . ,

б) ( ) .− −( ) + ( ) = − ⋅ + = − + =2 12

12 2 1

212

12

12

036 3

36 3 3 3

в) ( ) .( ) .( )( ) . .( )

.( ).. .( )

.− − −− −

= −− −

= −3 2 12 9 1

3 2 12 3 1

3 22 5 2

3 3

2 5

3 2

2 55

3 22

2 32 4

.= − = −

При пресмятане на изрази (Задача 4-б)) следваме реда на действията: степенуване, умножение (деление) и събиране (изваждане).

ЗАДАЧА 5 Намерете числената стойност на израза A = x3 − 3x + 2, ако:а) x = 2; б) x = −2.Решение: A = x3 − 3x + 2 а) За x = 2 A = 23 − 3 . 2 + 2 = 8 − 6 + 2 = 4. б) За x = −2 A = (−2)3 − 3 . (−2) + 2 = −8 + 6 + 2 = 0.

ЗАДАЧА 6 Разстоянието от Слънцето до Земята е приблизително 1,5 . 108 km, а от Слънцето до планетата Уран е около 2,9 . 109 km. Колко пъти това разстояние е по-голямо от разстоянието Земя – Слънце?

Решение: 2 9 101 5 10

2 9 101 5 1 9 10 19

9

8, ., .

, ., , .= ≈ =

Разстоянието Уран – Слънце е приблизително 19 пъти по-голямо от разстоянието Земя – Слънце.

ЗАДАЧИ 3 Намерете числената стойност на израза A = 5 − x3, ако:

а) x = 1; б) x = 2; в) x = −2; г) x = −3.4 Намерете числената стойност на

израза A = −x3 − 2x2, ако: а) x = 2; б) x = −2; в) x = 1

2 ; г) x = − 12 .

5 Намерете числената стойност на израза A = x4 − x3 + 2, ако:

а) x = 2; б) x = −2; в) x = −3; г) x = −1.

Пресметнете:

1 а) (−2)3 − (−3)2; б) −( ) − −( )12

12

3 2

;

в) (−3)2 − (−3)3; г) 23

23

2 3( ) − −( ) .

2 а) −( ) ⋅23 3

34 ;

б) ( ) .( )( )

− −−

2 84

3 2

5;

в) − − − −( ) ⋅3 2 12 23 2

53: ( ) ;

г) ( ) ( )( )

− + −−

2 22

5 3

3.

164

79. СТЕПЕН С НУЛЕВ ПОКАЗАТЕЛ И СТЕПЕН С ЦЯЛ ПОКАЗАТЕЛ

При n = 1 по определение a1 = a. Това равенство е вярно и когато основата на степента е отрицателно число.Примери: (−2)1 = −2; (−0,3)1 = −0,3.

Степен с нулев показателЗнаем, че a

a5

5 1= . От друга страна, aa

a a5

55 5 0= =− .

Знаем, че aa

21

21 1= . От друга страна, aa

a a21

2121 21 0= =− .

Прието е под a0, a ≠ 0, да разбираме числото едно. ! a0 = 1, a ≠ 0

ЗАДАЧА 1 Като използвате степените на числото 10, запишете като сбор число то 2507.Решение: 2507 = 2 . 1000 + 5 . 100 + 0 . 10 + 7 = 2 . 103 + 5 . 102 + 0 . 101 + 7 . 100

ЗАДАЧА 2 Запишете с едно число сбора3 . 103 + 0 . 102 + 4 . 101 + 5 . 100.

Отг.: 3 045

За да представим едно число като сбор чрез степените на 10, цифрата на единиците умножаваме с 100 (= 1).

Степен с цял отрицателен показателЗнаем, че a

a a a3

5 5 3 21 1= =− . От друга страна, a

aa a

3

53 5 2= =− − .

Знаем, че aa a a

7

10 10 7 31 1= =− . От друга страна, a

aa a

7

107 10 3= =− − .

Прието е под a−n да разбираме числото 1an (a ≠ 0),

където n е цяло число.

!

ЗАДАЧА 3 Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите:

а) 12

173 5, ; б) 3

31111

2

2

5

5, ; в) 22

3

2− ; г) 44

8

2

−.

Решение: а) 2−3, 7−5 б) 30, 110 в) 23 − (−2) = 25 г) 4−8 − 2 = 4−10

ЗАДАЧА 4 Запишете като степен с основа 10 числата: а) 110 ; б) 1

100; в) 1

1000.

Решение: а) 110 10 1= − б) 1

1001

10102

2= = − в) 11000

110

1033= = −

a−n = 1an , a ≠ 0

165

ЗАДАЧА 5 Като използвате степените на числото 10, запишете като сбор число то 36,28.

Решение: 36 28 3 10 6 1 2 110 8 1

100 3 10 6 10 2 10 8 101 0 1 2, . . . . . .= + + ⋅ + ⋅ = + + +− −

ЗАДАЧА 6 Запишете като степен:

а) с положителен показател 3−4, 5−1, 32 . 3−5, 35

2

2

−

− ;

б) с отрицателен показател 123 , 1

59 , 13

7( ) , 23

32

32

5

5

5

5

5

= = ( )−

−

−

.

Решение:

а) 3 13

13

44

4− = = ( ) 5 1

515

11

− = = ( ) 3 3 3 13

2 5 33

. − −= = ( ) 35

53

53

2

2

2

2

2−

− = = ( )б) 1

223

3= − 15

599= − 1

313

37

77( ) = = − 2

332

32

5

5

5

5

5

= = ( )−

−

−

ЗАДАЧА 7 Запишете като обикновена дроб числата:

а) 2−1; б) 3−1; в) 15

1( ) − ; г) 23

1( ) − .Решение: а) 2 1

21− = б) 3 1

31− = в) 1

5115

51 5

1( ) = = =−

г) 23

32

1( ) =−

Когато степенният показател е −1 (Задача 7), при степенуването се получава реципрочното число на основата на степента.

Свойства на степените с цял показател!a a aaa

a a

m n m n

m

nm n

.

,

=

= ≠

+

− 0

( . ) .

,

( ) .

a b a bab

ab

b

a a

n n n

n n

n

m n m n

=

( ) = ≠

=

0 a aa

aan

n

0 1 01 0

= ≠= ≠−

,,

ЗАДАЧИ 4 Запишете като степен:а) с положителен показател 2-5, 3−4,

5−8;

б) с отрицателен показател 12

13

124 7

5

, , ( ) 12

13

124 7

5

, , ( ) .5 Запишете като обикновена дроб: а) 4−3, 2−1; б) 5−1, 5−2;

в) 12

12

3 3( ) −( )−

, ; г) 34

23

1 2( ) ( )− −

, .

6 Запишете като степен с показател −1: а) 17

111, ; б) 4, 8.

1 Запишете чрез степените на числото 10 числата:а) 285; б) 3004; в) 12560; г) 135,627.

2 Запишете с едно число сборовете:а) 9.104 + 2.103 + 0.102 + 4.101 + 7.100;б) 1.105 + 1.104 + 1.103 + 0.102 + + 0.101 + 0.100;в) 5.102 + 0.101 + 4.100 + 5.10−1 + 3.10−2;г) 7.103 + 4.102 + 0.101 + 7.100 + 8.10−1.

3 Запишете като степен на цяло число:

а) 13

152 8, ; б) 8

877

3

1

2

3− , .

а1 = а

166

80. СТЕПЕН С ЦЯЛ ПОКАЗАТЕЛ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Опростете и запишете като степен с основа цяло число изразите:

а) 3 3 981

1 3 33

3 33

3 30 3

2

2 3

4 2

6

87 8 1. .

( ). .( )( )

.−

= = = =− −; б) 5 255 5 125

5 1 255 5 5

5 51 5 5

2 3

0 4 2

2 3 3

0 4 3 2

2 6

4 6.( ). .

.( ) .. .( )

.. .

− = − = − = −− = −− −5 52 4 2 ; в) .

Решение:

а) 3 3 981

1 3 33

3 33

3 30 3

2

2 3

4 2

6

87 8 1. .

( ). .( )( )

.−

= = = =− −

б) 5 255 5 125

5 1 255 5 5

5 51 5 5

2 3

0 4 2

2 3 3

0 4 3 2

2 6

4 6.( ). .

.( ) .. .( )

.. .

− = − = − = −− = −− −5 52 4 2

в) ( ) . .( )

. .( ). .( )

.− −

−= − − = = =−

−2 8 162 2 2

2 2 21 2

22

2 23

4 4 4

3 3 4

4

10

410 4 6

В Задача 1-в) 2 22 2 12 1

21

4 44 4 0

44

.( )

−

+ −

== =

⋅ =

ЗАДАЧА 2 Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите:

а) 77

7 7 71

5

21 5 2 6 2 12

−− − − −

= = =( ) ( ); б) 5

55 5 5

2

5

72 5 7 3 7 21

−

−− − −

= = =( ) ( )( ); в) 3

33 3 3

6

7

26 7 2 6 7 2 26

−

−− − − + − −

= = =( ) ( )( ); г) 2

22 2 2

5

4

25 4 2 1 2 2

−

−

−− − − − − −

= = =( ) ( )( ).

Решение:

а) 77

7 7 71

5

21 5 2 6 2 12

−− − − −

= = =( ) ( ) б) 5

55 5 5

2

5

72 5 7 3 7 21

−

−− − −

= = =( ) ( )( )

в) 33

3 3 36

7

26 7 2 6 7 2 26

−

−− − − + − −

= = =( ) ( )( ) г) 2

22 2 2

5

4

25 4 2 1 2 2

−

−

−− − − − − −

= = =( ) ( )( )

ЗАДАЧА 3 Пресметнете:

а) 34

34

34

43

34

916

3 1 3

3

2

2( ) ⋅ ( ) = ⋅ = =−

; б) 23

14 3 3

22 1

33 22 3

3 2 183 2

13

34

3 4

32( ) ⋅ −( ) ⋅ = ⋅ ⋅ = = =

− −− .

..; в) (0,1−1)3 . (2−3)2 . 5−2.

Решение:

а) 34

34

34

43

34

916

3 1 3

3

2

2( ) ⋅ ( ) = ⋅ = =−

б) 23

14 3 3

22 1

33 22 3

3 2 183 2

13

34

3 4

32( ) ⋅ −( ) ⋅ = ⋅ ⋅ = = =

− −− .

..

в) ( , ) .( ) . . . ..

0 1 2 5 10 2 5 2 52 5

52

58

1 3 3 2 2 3 6 23 3

6 2 3− − − − −= = = =

167

ЗАДАЧА 4Опростете израза A x x y

yx y= − −

−≠ ≠

−

−

( ) . ( )( )

( , )2 63

0 03 3 4 9 2

5 4 и пресметнете

стойността му, ако х = 27 . 3–4 и у = (–8)3. (–4)–4.Решение:

1. A x x yy

x yx y

= − −−

= − −−

=

= −

−

−

( ) . ( )( )

( ) . ( )( )

2 63

2 36

2

3 3 4 9 2

5 4

3 9 5 4

4 9 2

3.. . .. .

. . ..

x yx y

x y xy9 4 20

2 8 18

3 4 9 8 20 18

2 223

62 3

2 318= − = −

− −

2. x = = = = =− − − −27 3 3 3 3 3 13

4 3 4 3 4 1. .

3. y = − − = −−

= − = − = −−( ) . ( )( )

8 4 84

24

22

23 43

4

9

4

9

8

4. A xy= − = − ⋅ ⋅ − = − = −18 18 13 2 6 4 242 2( ) .

ЗАДАЧА 5 Запишете като десетични дроби числата:а) 2 . 10−3; б) 3 . 10−5; в) 1,4 . 10−4; г) 2,35 . 10−6.Решение: а) 2 . 10−3 = б) 3 . 10−5 = в) 1,4 . 10−4 = г) 2,35 . 10−6 = = 0,002 = 0,00003 = 0,00014 = 0,00000235

4 63 5

ЗАДАЧИ 3 Запишете като степен с цял показател и основа цяло число дробите:

а) 22

3

3

5− −

; б) 3

32

5

3−

−

−

;

в) 55

3

4

2

−

−

; г) 24

5

3

1−

−

−

.

4 Опростете израза

A x xx

= − −−

−

−

( ) . ( )( )

2 84

5 7 12 4

3 5 (х ≠ 0)

и пресметнете стойността му при: а) х = (–4)–1; б) х = 5 . (–2)3;

в) х = –7 . 2–2; г) x = −( )−25

1

.

5 Запишете като десетични дроби числата:а) 3 . 10−2; б) 5 . 10−3;в) 2,7 . 10−4; г) 3,12 . 10−5.

1 Запишете като степен с основа – цяло число изразите:

а) ( ) .( )− −2 48

5 3

2;

б) 3 93 27

7 3

2 3.( )

( ) .( )−

− −;

в) ( ) .( )( ) .− −−5 25125 5

5 2

4 0 ;

г) ( ) .. .( )−

−7 49

7 7 49

5 2

0 3 .

2 Пресметнете:

а) −( ) ⋅( ) ⋅ −( )−23

23

23

3 2 0;

б) 37

949 7

5 32( ) ⋅ −( ) ⋅ −

−

( ) ;

в) (−0,25)3 . (−0,5)−4 . 8;

г) (2−3)2 . (−3)−3 . (−6)3.

168

81. СТАНДАРТЕН ЗАПИС НА ЧИСЛО

ЗАДАЧА 1 Като използвате степените на 10, запишете като сбор числото 291 587.Решение:

291 587 = 200 000 + 90 000 + 1 000 + 500 + 80 + 7 = = 2 . 100 000 + 9 . 10 000 + 1 . 1 000 + 5 . 100 + 8 . 10 + 7 = = 2 . 10 5 + 9 . 104 + 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 10 1 + 7

Записът 2.10 5, 9 .104, 1.103, ... се използва за по-кратко записване на големи числа. Множителите пред степените на 10 (2, 9, 1, ...) са естествени числа, по-големи или равни на 1 и по-малки от 10, или числото нула.Когато множителят пред 10 n (n – естествено число) е число (k), което е по-голямо или равно на 1 и по-малко от 10, т.е. 1 ≤ k < 10, казваме, че числото е записано в стандартен запис.

Стандартен запис на естествено числоСтандартен запис на естествено число А се нарича произведение от вида A = k . 10n, където 1 ≤ k < 10 и n – естествено число.Степенният показател n се нарича порядък на числото.

!

Примери: 23000 = 2,3 . 10000 = 2,3 . 104; 3 580000 = 3,58 . 1000000 = 3,58 . 106; ...4 знака 4 нули

6 знака

6 нули

ЗАДАЧА 2 Запишете със стандартен запис: разстоянието от Слънцето до планетата:а) Венера е приблизително сто и осем милиона километра;б) Земя е приблизително сто и петдесет милиона километра;в) Нептун е приблизително четири милиарда и петстотин милиона километра.Решение: а) 108 000 000 = б) 150 000 000 = в) 4 500 000 000 =

= 1,08 . 10 8 = 1,5 . 10 8 = 4,5 . 109

4 знака

6 знака

5 знака

8 знака

ЗАДАЧА 3 Запишете със стандартен запис и определете порядъка на числата:а) 53 . 10 8; б) 0,258 . 106.Решение: а) 53 . 10 8 = 5,3 . 10 . 10 8 = 5,3 . 109 – девети порядък

б) 0,258 . 106 = 0,258 . 10 . 10 5 = 2,58 . 10 5 – пети порядък

ЗАДАЧА 4 Запишете в десетична бройна система числата:а) 2 . 10 5; б) 5,6 . 104; в) 3,21 . 106; г) 1,205 . 10 8.Решение: а) 2 . 10 5 = 200000 б) 5,6 . 104 = 56000

в) 3,21 . 106 = 3210000 г) 1,205 . 10 8 = 120500000

169

291 587 = 200 000 + 90 000 + 1 000 + 500 + 80 + 7 = = 2 . 100 000 + 9 . 10 000 + 1 . 1 000 + 5 . 100 + 8 . 10 + 7 = = 2 . 10 5 + 9 . 104 + 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 10 1 + 7

ЗАДАЧА 5 Светлината се разпространява със скорост 300 000 km/s. Известно е, че разстоя нието от Слънцето до Земята е 1,5 . 10 8 km. За колко секунди светлината идва от Слънцето до Земята?Решение: От зависимостта S = v . t намираме

300 000 . t = 1,5 . 10 8, t =1 5 103 10

8

5, .

., t = 0,5 . 103, t = 500.

Светлината идва от Слънцето до Земята за 500 s.

Стандартен запис на крайна десетична дробЗнаем, че големите числа се записват със стандартен запис като произведение на число k, 1 ≤ k < 10, и степен на числото 10 с цял положителен показател.Примери: 8 000 000 = 8 . 106; 24 000 000 = 2,4 . 107; 12 800 000 000 = 1,28 . 1010.

И за крайните десетични дроби се използва стандартен запис, като те се записват като произведение на число k, 1 ≤ k < 10, и степен на числото 10 с цял отрицателен показател.

Примери: 0 3 310 3 10 1, .= = − ; 0 002 2

102 103

3, .= = − ;

0 08 8100

810

8 1022, .= = = − ; 0 00000025 25

102 510

2 5 108 77, , , .= = = − .

ЗАДАЧА 6 Запишете със стандартен запис числата:а) 0,0005; б) 0,000006; в) 0,00038; г) 0,0000000473.

Решение: а) 0,0005 = б) 0,000006 = в) 0,00038 = г) 0,0000000473 =

= 5 . 10−4 = 6 . 10−6 = 3,8 . 10−4 = 4,73 . 10−8

ЗАДАЧИ Запишете в десетична бройна система числата:

6 а) 5 . 103; б) 2,3 . 10 5; в) 8 . 106; г) 9,2 . 10 7.7 а) 4,25 . 104; б) 3,81 . 10 7; в) 1,03 . 10 5; г) 5,042 . 104.8 Запишете със стандартен запис

числата:а) 0,00034; б) 0,0023;в) 0,00000378; г) 0,00000056.

Запишете със стандартен запис числата: 1 а) 10 000; б) 10 000 000; в) 100; г) 100 000 000.2 а) 4 000; б) 50 000; в) 900 000; г) 8 000 000.3 а) 340; б) 28 000; в) 35 000 000; г) 420 000.4 а) 25 600; б) 387 000; в) 13 750 000; г) 310 800 000.5 а) 53 . 105; б) 0,27 . 104; в) 0,125 . 108; г) 258 . 104.

170

82. ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА – ПРИЛОЖЕНИЕ НА СТЕПЕНИТЕ

Питагорова теоремаВ правоъгълния триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.

!

Тройката цели числа, които са дължини на страните на правоъгълен триъгълник, се нарича питагорова тройка числа.В следващата таблица са дадени най-често срещаните основни пита-горови тройки.

3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15 12, 16, 20 15, 20, 255, 12, 13 10, 24, 26 15, 36, 39 20, 48, 52 25, 60, 657, 24, 25 14, 48, 50 21, 72, 75 28, 96, 100 35, 120, 1258, 15, 17 16, 30, 34 24, 45, 51 32, 60, 68 40, 75, 85

Даден е правоъгълен триъгълник с катети а и b и хипотенуза с. Ще покажем, че сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата, т.е. а2 + b2 = c2.Начертаваме два квадрата със страна, равна на а + b. Всеки от квадра-тите разделяме на части, както е показано на фигурите.

Фигурата се състои от четири правоъгълни триъгълника с катети а и b, квадрат със страна а и квадрат със страна b.Сборът от лицата на двата квадрата е

(1) a2 + b2 = (a + b)2 − 4 2⋅ ab .

Фигурата се състои от четири правоъгълни триъгълника с катети а и b и квадрат със страна с*.Лицeтo на квадрата със страна с е

(2) с2 = (a + b)2 − 4 2⋅ ab .

* Строго доказателство, че фигурата е квадрат, ще направим в 7. клас.

От (1) и (2) следва, че a2 + b2 = с2.

Тази зависимост между квадратите на страните в правоъгълен триъ-гълник е известна като питагорова теорема.

Питагоровата теорема се онагледява с т.нар. „Гащи на Питагор“.

Сборът от лицата на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на лицето на квадрата със страна хипотенузата.

171

ЗАДАЧА 1 Правоъгълният VАВС (SС = 90°) има катет а = 6 cm и лице В = 24 cm2. Намерете: а) дължината на катета b в сантиметри; б) дължината на хипотенузата с в сантиметри; в) обиколката Р на триъгълника.Решение:

a) B a b

b

bb

=

=

==

.

.

.

26

2 243 24

8 cm

б) Прилагаме питагоровата теорема. а2 + b2 = c2

62 + 82 = c2

36 + 64 = c2

c2 = 100 = 102

c = 10 cm

в) Р = a + b + c P = 6 + 8 + 10 P = 24 cm

ЗАДАЧИ 3 В правоъгълна координатна систе-ма Оху постройте точките А(–5; 0), В(6; 0), С(0; 8) и D(–5; 8). Намерете:а) ВАВСD в кв. м. ед.;б) РАВСD

в м. ед.4 В правоъгълна координатна систе-

ма Оху постройте точките А(–7; 0), В(7; 0), С(3; 3) и D(–3; 3). Намерете:а) ВАВСD в кв. м. ед.;б) РАВСD

в м. ед.

1 Правоъгълен VАВС (SС = 90°) има катет b = 16 cm и лице В = 96 cm2. Намерете дължината на:

а) катета а; б) хипотенузата с; в) височината към хипотенузата hc.2 В правоъгълна координатна систе-

ма Оху постройте точките А(–6; 0), В(6; 0) и С(0; 8). Намерете:

а) ВVАВС в кв. м. ед.; б) РVАВС в м. ед.; в) разстоянието от А до ВС в м. ед.

ЗАДАЧА 2 В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А(–5; 0), В(5; 0) и С(0; 12). Намерете: а) лицето В на VАВС в квадратни мерни единици; б) дължината на АС и ВС в мерни единици; в) обиколката Р на VАВС в мерни единици.Решение:

а) АВ = с = 10 м. ед. CO = hc = 12 м. ед.

B c h

B

c=

=

.

.2

10 122

В = 60 кв. м. ед.

б) За VАОС (SО = 90°) прилагаме питагоровата теорема.АС2 = АО2 + СО2

АС2 = 52 + 122

АС2 = 25 + 144АС2 = 169 = 132

АС = 13 м. ед.Аналогично намираме ВС = 13 м. ед.

в) РVАВС = АВ + АС + ВС PVАВС = 10 + 13 + 13 PVАВС = 36 м. ед.

hc

172

83. ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 2 В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А(–5; 0), В(–3; 0), С(0; –4), D(3; 0), E(5; 0) и F(0, 12). Намерете:

Решение: а) Вф = ВVВСD + ВVAEF =

6 42

10 122

. .+

Вф = 12 + 60 = 72 кв. м. ед.б) 1. За VАОF прилагаме питагоровата теорема: АF2 = АО2 + ОF2

АF2 = 52 + 122

АF2 = 132

АF = 13 м. ед. 2. От VЕОF аналогично намираме EF = 13 м. ед. 3. За VBОC прилагаме питагоровата теорема: BC2 = BО2 + ОC2

BC2 = 32 + 42

BC2 = 25 BC = 5 м. ед. 4. От VОCD аналогично намираме CD = 5 м. ед. 5. Pф = AB + BC + CD + DE + EF + FA

а) лицето на фигурата ABCDEF в квадратни мерни единици;в) обиколката на фигурата ABCDEF в мерни единици.

ЗАДАЧА 3 В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А(–6; –6), В(0; –6), С(8; 0), D(8; 3), E(4; 6) и F(–1, 6). Намерете:а) лицето на фигурата ABCDEF в квадратни мерни единици;в) обиколката на фигурата ABCDEF в мерни единици.Решение: Построяваме точките A, B, C, D, E и F и “опаковаме” фигурата ABCDEF с правоъгълник AMNL по показания начин.

Pф = 2 + 5 + 5 + 2 + 13 + 13 = 40 м. ед.

ЗАДАЧА 1 Oт точка А до точка В може да се стигне направо или през точка С. Намерете с колко метра се скъсява пътят, ако се мине направо.

Решение: 1. През т. С SAB = SAC + SCB = 56 + 42 = 98 m.2. За VАВС (SС = 90°) прилагаме питагоровата теорема. AB2 = AC2 + CB2

AB2 = 562 + 422 AB2 = 3 136 + 1 764 AB2 = 4 900 = 702

AB = 70 m 3. Разстоянието се скъсява с 98 – 70 = 28 m.

173

а) Вфиг = BAMNL – (ВVВMС + ВVDNE + ВVALF) =

= − + +( ) == − + +( ) ==

AM AL BM CM DN EN AL FL. . . .

. . . .2 2 2

14 12 8 62

3 42

12 52

1688 24 6 30108

− + + ==

( )кв. м. ед.

б) Прилагаме питагоровата теорема за: VВМС BC2 = BM2 + CM2 BC = 10 м. ед. VDNE DE2 = DN2 + NE2 DE = 5 м. ед. VАLF AF2 = AL2 + LF2 AF = 13 м. ед. Pфиг = AB + BC + CD + DE + EF + FA Pфиг = 6 + 10 + 3 + 5 + 5 + 13 = 42 м. ед.

ЗАДАЧА 4 Права триъгълна призма ABCA1B1C1 има за основа правоъгълен VАВС (SС = 90°) с катет a = 4 cm. Призмата има обем V = 48 cm3 и височина h = 8 cm. Намерете: a) дължината на катета b и на хипотенузата с на VАВС; б) сбора от всички ръбове на призмата.Решение:

2. B a b

b

b

=

=

=

.

.2

6 42

3 cm

3. За VАВС прилагаме питагоровата теорема.

c2 = a2 + b2

c2 = 42 + 32

c = 5 cmб) S = 2 . P + 3 . h = 2 . (a + b + c) + 3 . h = = 2 . (4 + 3 + 5) + 3 . 8 = 2 . 12 + 24 = 48 cm

ЗАДАЧА 5 Правоъгълният VАВС (SС = 90°) с катет АС = 6 cm е завъртян около катета ВС. Повърхнината на полученото тяло е 96p cm2. Намерете обема V на полученото тяло.

Решение: Полученото тяло е конус с r = AC = 6 cm, h = BC и l = AB.1. В = pr2 2. S1 = S + B 3. S = prl B = p . 62 96p = S + 36p 60p = p . 6 . l B = 36p cm2 S = 60p cm2 l = 10 cm4. За VАВС (SС = 90°) 5. V B h

V

V

=

=

=

.

.3

36 83

96 3

π

π cm

l2 = r2 + h2

100 = 36 + h2

h2 = 64 h = 8 cm.

ЗАДАЧИ 1 В правоъгълна координатна систе-ма Оху са дадени точките А(–4; 0), В(4; 6), С(0; 9) и D(–4; 9). Намерете:

а) ВАВСD в кв. м. ед.; б) дължините на АВ и ВС в м. ед.; в) РАВСD

в м. ед.

2 В правоъгълна координатна система Оху постройте точките А(–12; 0), В(–6; 0), С(0; –8), D(6; 0), E(12; 0) и F(0; 5). Намерете:а) ВАВСDEF в кв. м. ед.; б) РАВСDEF

в м. ед.

a) 1. V = B . h 48 = B . 8 B = 48 : 8 B = 6 cm2

174

84. ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “СТЕПЕНУВАНЕ”

ЗАПОМНЕТЕ! Степен с основа a и степенен показател n, който е естествено число,се записва an и означава произведение от n равни на a множители: an = a . a . a ... a , a 1 = a , 0n = 0, 1n = 1 .

Действието, при което се пресмята стойността на дадена степен, се нарича степенуване.Свойства на степените:

n множителя

Въз основа на тези свойства се изказват правила за действия със степени.

, п – цяло число

ЗАДАЧА 1 Проверете правилно ли е попълнена таблицата за степента an.

Отг.: Таблицата е попълнена правилно.

ЗАДАЧА 2Пресметнете: а) ( . . )

( . )2 3 56 125

7 6 4 2

4 3; б) 5 4 5

5 2 5

7 6

7 6+−

.

..

Решение:

а) ( . . )( . )

. ..

. .( . ) .

2 3 56 125

2 3 56 125

2 3 52 3

7 6 4 2

4 3

14 12 8

12 3

14 12 8

12= =(( )

. .

. .52 3 52 3 5

25

453 3

14 12 8

12 12 9

2= = =

б) 5 4 55 2 5

5 5 4 55 5 2 5

5 5 45 5 2

5 95

7 6

7 6

6 6

6 6

6

6

6

6

+−

= +−

= +−

=..

. .

. ..( ).( )

.

.3393 3= =

ЗАДАЧА 3 Опростете изразите (x ≠ 0, y ≠ 0):

а) A x y yx y

= ⋅217

62

4. .. .

; б) B x xx

xx

=

83

2

5

4: : .

Решение: а) A x y yx y

x yx y

y= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= =217

217

362

4

8

44. .

. .

б) B x xx

xx

x xx

xx

x xx

x x=

= ⋅

= = =8

3

2

5

48

3

2

4

58

7

78 81: : : : :

a a am n m n. = +

aa

an

n = ≠1 0,

aa

a a m nm

nm n= ≠ >− , ,0

aa a

a n mn

m m n= ≠ <−1 0, ,

a a0 1 0= ≠,

aa

ann

− = ≠1 0,

( . ) .a b a bn n n=

ab

ab

bn n

n( ) = ≠, 0

( ) ( ) .a a am n n m m n= =

175

ЗАДАЧА 4 Подредете по големина числата, като започнете от най-малкото:211; 47; 83; 165; 323; 642.Решение: Записваме числата като степени с основа 2: 211; (22)7; (23)3; (24)5; (25)3; (26)2, т.е. 211; 214; 29; 220; 215; 212.Получаваме 29 < 211 < 212 < 214 < 215 < 220 , т.е. 83 < 211 < 642 < 47 < 323 < 165.

ЗАДАЧА 5 Намерете число, което е представено с израза: а) 4 . 105 + 6 . 104 + 103 + 8 . 102 + 9 . 10 + 5; б) 2 . 104 + 3 . 102 + 5 . 10 + 7;в) 3 . 102 + 5 . 101 + 4 . 100 + 8 . 10–1 + 7 . 10–2.Решение: а) 4 . 105 + 6 . 104 + 1 . 103 + 8 . 102 + 9 . 10 + 5 = = 4 . 100 000 + 6 . 10 000 + 1 . 1 000 + 8 . 100 + 9 .10 + 5 = 461895 б) 2 . 104 + 0 . 103 + 3 . 102 + 5 . 10 + 7 = = 2 . 10 000 + 0 . 1 000 + 3 . 100 + 5 . 10 + 7 = 20 357в) 3 10 5 10 4 10 8 10 7 10

3 100 5 10 4 1 8 110 7 1

1

2 1 0 1 2. . . . .. . .

+ + + + =

= + + + ⋅ + ⋅

− −

000 354 87= ,

ЗАДАЧИ 7 а) x : .3 12 14

8 33

= ( ) ;

б) x ⋅ =84

2211

28

28

27

27 ;

в) 0 360 09 8 1

2

35

5,,

⋅ = ⋅( )x ;

г) 13 3

5 62 10( )

⋅ =x ( ) .

8 Намерете числената стойност на израза:

а) A = 16.a4.b : ( . )2 3

5ab

за a = 8, b = 0,5;

б) B a b ab

ab

= ⋅

2 2 3

2

4

3

2. . : за

a = 23 − 3, b = 0,1;

в) C a ba b

= ( . . )( . . )32

2 3 3

3 4 2 за b = ( )23

2

;

г) D ab

ab

=

−6 6 2 5

5

4

3 8

7

2. : . ,

за a = 13

, b = 0,5.9 Запишете с числов израз:

а) сбора от квадратите на числата 2 и x;б) квадрата на сбора на числата 2 и x;в) сбора от кубовете на числата 3 и a;г) куба от сбора на числата 3 и a.

Пресметнете: 1 а) 32 154− ; б) 26 : 4 – 16; в) (22 – 1) . 2 – 1;

г) 23

13

29 11

2

2( ) −

+: .

2 а) 2 33 2

1008 5

2 1006.

. ; б) 1 2 3

1 2 3

1021 1021 1021

1018 1020 1022

2. .. .

.

3 а) 5 5 55 5

3 5 8

10 4. .

. ; б) 25 85 2

3 5

5 10.

. ;

в) 9 36 73 6 7

7 5 7

14 9 6. .. . ; г)

49 15 621 10 3

5 7 8

10 8 5. .. . .

4 а) 7 77

5 6

5+ ; б) 5 5 5

5 510 9 8

5 3+ +

. ;

в) 7 2 29 2 2

9 8

8 10..

+− ; г) 5 2 4

7 8 2

8 5

2 7..

++

.

5 Запишете със стандартен запис числата:

а) 70000000; б) 25000; в) 521000000; г) 632000000000.

Намерете x, ако:6 а) x3 = 3375; б) 4x = 1024;

в) 25 . 2x = 83 : 23;

г) 25 2 5

26 6( )

=

x

: .

176

85. ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “СТЕПЕНУВАНЕ”

1. Стойността на израза 2 . 32 + 3 . 23 е:А) 30;Б) 42;В) 36;Г) 60.

2. Стойността на израза (32 − 7)4 : 23 + 0,52 е: А) 0,25; Б) 1,25; В) 2,25; Г) 4,25.

3. Стойността на израза 5 5

5 5

17 6 2

19.( )

. е: А) 510; Б) 529; В) 520; Г) 59.4. Ако 3x . 36 = 94, то x е:

А) 2;Б) 3;В) 1;Г) 4.

5. Не е вярно, че: А) 37 . 35 > 38 . 33; Б) 56 : 52 < 57 : 54; В) (25)2 > (23)3;

Г) 12

12

12

7 3 5( ) > ( ) ⋅( ) .

6. Стандартният запис на числото 2 300 000 000 е:

А) 2,3 . 1010; Б) 2,3 . 108; В) 2,3 . 109; Г) 2,3 . 1011.

7. При a ≠ 0 изразът ( . )

( . ) .2

4

2 4

3 2 5a

a a− е равен на:

А) a7; Б) a5; В) a8; Г) a6.8. Намерете числената стойност на

израза А = 2х3 – 3х2 + 5, ако: а) х = 3;

б) x = − 12 .

9. В лявата колона на таблицата за отго-вори е написана буквата на числовия израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на израза със съща-та стойност.

(А) 27 – 3 . 25 (1) 72 – 24

(Б) 3 3 33

5 4 3

3− −

(2) (52 – 32) . 2–1

(3) (–6)2 – (–2)2

(В) 4 28

5 4

3

−

−

−. ( ) (4) 7 12

02

+ ( )−

10. Опростете израза

A x xyx y

x y= − −−

≠ ≠( ) . ( )( )

( , )2 312

0 03 4 3 3

7 4 2 и намерете числената му стойност

при x = + −−

2 4 82 16

8 5 3

9 2 и y = −−

3 33 3

7 6

8 9 .