Matematika 1 - prezentacija
-
Upload
maturant37 -
Category
Documents
-
view
239 -
download
0
Transcript of Matematika 1 - prezentacija
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 1/36
1
Teorem (poučak)
Teorem (poučak) = matematički sud (u nekojmatematičkoj teoriji) čija se istinitostutvrđuje dokazom, odnosno logičkim
zaključivanjem iz aksioma, definicija i većdokazanih teorema (te teorije)
!a"no ### $od teoremom se uvijek podrazumijeva istiniti sud ###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 2/36
%
Teoremi pro&iruju i produ'ljuju znanje o nekompodručju matematike i njegovim o'jektima
$ose'na imena za neke teoreme propozicija = teorem za kojeg postoji kratak i
jednostavan dokaz (propozicija je često tehničkatvrdnja)*
lema = teorem koji (o'ično) sam za se'e nije od
pose'nog značaja nego slu"i kao etapa udokazu nekog va"nijeg i slo"enijeg teorema*
korolar = neposredna i jednostavna posljedicanekog prethodno dokazanog teorema (dokazkorolara često je toliko očit da ga ni ne pi&emo)
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 3/36
+
teoremu mora 'iti jasno istaknuto
1 uz koje se uvjete u njemu razmatra
određeni o'jekt
% &to se o tome o'jektu tvrdi
formulaciji teorema razlikuju se dva dijela
1 pretpostavka (uvjet, hipoteza) $ % tvrdnja (zaključak, posljedica, teza) -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 4/36
.
$retpostavka teorema ($) = jedan ili vi&esudova koji se smatraju istinitima
Tvrdnja teorema (-) = sud kojeg tre'adokazati
/ogički zapis teorema $⇒ -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 5/36
0
ljučne riječi u iskazu teorema Ako $, onda -
!a"no ###
2itno je u teoremu naučiti
razlikovati pretpostavku i tvrdnju ###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 6/36
3
$rimjeri teorema (1)
mno"ak dvaju uzastopnih parnih prirodnih'rojeva a i b djeljiv je s 4
$ = a i b su uzastopni parni prirodni brojevi.
- = Umnožak ab djeljiv je s 4
5ijagonale rom'a međuso'no su okomite
$ = 6etverokut je rom'- = 5ijagonale rom'a su međuso'no okomite
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 7/36
7
svakom trokutu nasuprot dviju stranica jednakih duljina le"e jednaki kutovi
$ = Dan je trokut čije su dvije stranice jednakih
duljina.
- = Kutovi nasuprot tih stranica su jednaki.
(Talesov teorem o kutu nad promjerom)8vaki o'odni kut nad promjerom kru"nice
je pravi kut
$ = Dan je obodni kut nad promjerom kružnice.
- = Taj kut je pravi kut.
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 8/36
4
($itagorin teorem) 9'roj kvadrata duljina
kateta svakog pravokutnog trokuta jednak je kvadratu duljine njegove hipotenuze
$ = Dan je pravokutni trokut.
- = Zbroj kvadrata duljina njeovih kateta
jednak je kvadratu duljine njeovehipotenuze.
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 9/36
:
$rimjeri teorema (%)
;ko su a i b dva uzastopna parna prirodna'roja, onda je umno"ak ab djeljiv s 4
;ko je dani četverokut rom', onda su njegove dijagonale međuso'no okomite
;ko su u nekom trokutu dvije stranice jednakih duljina, onda su njima nasuprotnikutovi jednaki
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 10/36
1<
(Talesov teorem o kutu nad promjerom) ;ko je dan o'odni kut nad promjeromkru"nice, onda je taj kut pravi
($itagorin teorem) ;ko su a i b duljinekateta, a c duljina hipotenuze pravokutnogtrokuta, onda vrijedi jednakost a%b%=c %
;ko je niz realnih 'rojeva konvergentan,onda je on >auch?jev
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 11/36
11
$rirodni 'roj djeljiv je s 1< ako mu je znamenka jedinica jednaka <
$ = Znamenka jedinica neko prirodno broja je <- = Taj broj je djeljiv s 1<
( @ 8 @ sukladnost) 5va su trokuta sukladnaako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu
$ = Dva se trokuta podudaraju u jednoj stranici idva kuta uz tu stranicu.
- = Ti su trokuti sukladni.
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 12/36
1%
Teorem se mo"e iskazati
(formulirati) i tako da sepretpostavka i tvrdnja odvoje u
pose'ne rečenice ###
ljučne riječi u tom slučaju
!eka $ Tada -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 13/36
1+
$rimjeri teorema (+)
Aeka su a i b dva uzastopna parna prirodna'roja Tada je njihov umno"ak ab djeljiv s 4
Aeka je dani četverokut rom' Tada su njegovedijagonale međuso'no okomite
($itagorin teorem) Aeka su a i b duljine kateta,a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta Tadavrijedi jednakost a%b%=c %
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 14/36
1.
Aeka su a1,a%,,an,an=1 različiti prirodni'rojevi manji od %n Tada među njimapostoje 'arem tri 'roja, takva da je jedanod njih jednak z'roju druga dva
Aeka su a, b, c i d redom ostaci pridijeljenju prirodnog 'roja n s %, +, 0 i 11
Tada je 'roj 10a1<b3c +<d Bn djeljiv s+<
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 15/36
10
9ampamtimo do'ro ###
ljučne riječi u iskazivanju teorema su Ako , onda
ili
!eka Tada
očimo ###
iskazu teorema nema mjesta frazi
kažemo da je
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 16/36
13
C'rat teorema
z teorem $⇒ - va"an je i
o'rat tog teorema, -⇒ $
!eć znamo ###
Dako teorem $⇒ - vrijedi,
njegov o'rat -⇒ $
ne mora (ali mo"e#) 'iti istinit
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 17/36
17
$rimjeri o'rata teorema (1) Aeka su a,b,c ∈N ;ko c dijeli a, onda c dijeli i
umno"ak ab
$ = c dijeli a.
- = c dijeli umnožak ab.
C'rat (-⇒ $)Aeka su a,b,c ∈N ;ko c dijeli umno"ak ab, onda c
dijeli a
C'rat nije istinit ### Apr a=0, b=%7, c =+
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 18/36
14
;ko je u ravnini pravac p okomit na pravac ",onda se pravci p i " sijeku
$ = U ravnini je pravac p okomit na pravac ".
- = #ravci p i " se sijeku.
C'rat (-⇒ $)
;ko se pravci p i " u ravnini sijeku, onda su oni
međuso'no okomiti
C'rat nije istinit ### Apr
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 19/36
1:
$rimijetimo ###
o'a prethodna primjera
konstruirali smo kontraprimjer(protuprimjer) kojim smoopovrgli o'rat teorema ###
(negacija univerzalnog kvantifikatora#)
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 20/36
%<
$rimjeri o'rata teorema (%)
(Talesov teorem o kutu nad promjerom)Aeka je A$ dijametar kru"nice, a T 'ilokoja točka te kru"nice, različita od A i $
Tada je kut ∡ AT$ pravi.
C'rat ;ko je ∡ AT$ pravi kut, onda točka Tle"i na kru"nici s dijametrom A$.
C'rat je istinit ###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 21/36
%1
($itagorin teorem) Aeka su aEbEc duljine
stranica nekog trokuta ;ko je taj trokutpravokutan, onda je a%b%=c %
C'rat Aeka su aEbEc duljine stranica nekogtrokuta ;ko je a%b%=c %, onda je taj trokutpravokutan
C'rat je istinit ###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 22/36
%%
2roj a je nultočka polinoma % ako je % djeljivpolinomom ( & )=& Ba
$ = #olinom % djeljiv je polinomom ( & )=&'a.
- = $roj a je nultočka polinoma %.
C'rat Ako je broj a nultočka polinoma %(onda je polinom % djeljiv polinomom
( & )=&'a.
C'rat je istinit ###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 23/36
%+
9namo ###
(($⇒ - ) F (-⇒ $)) ≡ ($⇔ -)
⇒ !a"no ### slučaju kad su istiniti i teorem $⇒ - i
njegov o'rat -⇒ $, o'a ta istinita sudamo"emo zapisati zajedno kao jedan teorem,
$⇔ -
6itamo $ ako i samo ako -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 24/36
%.
Gako va"no ###
5okazati ekvivalenciju $⇔ - značidokazati o'je implikacije
$⇒ - i -⇒ $
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 25/36
%0
$rimjeri teorema i o'rata
(Talesov teorem o kutu na promjerom injegov o'rat) ut ∡ AT$ je pravi kut ako isamo ako točka T le"i na kru"nici s
dijametrom A$.
($itagorin teorem i njegov o'rat) Aeka su
aEbEc duljine stranica nekog trokutaTajtrokut je pravokutan ako i samo ako vrijedi jednakost a%b%=c %
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 26/36
%3
Cd pojma do teorema B primjeri
$ojam nultočka polinoma
5efinicijaAultočka polinoma % s kompleksnim koeficijentima
je svaki kompleksni 'roj a takav da je % (a)=<
arakterizacija (teorem B nu"an i dovoljan uvjet da 'i 'roj a
'io nultočka polinoma % )(2Hzoutov teorem) 2roj a je nultočka polinoma % akoi samo ako je % djeljiv polinomom ( & )=&'a
Aapomena Ae mije&ati definiciju i karakterizaciju###
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 27/36
%7
$ojam tanencijalni četverokut
5efinicija 9a četverokut ka"emo da je tangencijalan ako su mu svečetiri stranice tangente iste kru"nice
arakterizacija (teorem B nu"an i dovoljan uvjet da 'ičetverokut 'io tangencijalan)6etverokut je tangencijalan ako i samo ako su mu z'rojeviduljina nasuprotnih stranica jednaki
Aapomena Ae mije&ati definiciju i karakterizaciju### (karakterizacija se dokazuje)
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 28/36
%4
$ravila zaključivanja (pravilaizvoda)
dokazivanju teorema $⇒ - koristit ćemoosnovna pravila zaključivanja (pravila izvoda)
pravilo otkidanja (modus ponens)
zakon silogizma
pravilo generalizacije princip isključenja trećeg (tertium non datur)
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 29/36
%:
1 $ravilo otkidanja (modus ponens)
(($ F ($⇒ -))⇒ -) ≡ 1
$ - $⇒ - ($ F ($⇒ -) ($ F ($⇒ -))⇒ -
< < 1 < 1< 1 1 < 1
1 < < < 1
1 1 1 1 1
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 30/36
+<
Dz zadnjeg retka ta'lice čitamo
;ko je istinita pretpostavka teorema, $, iako je istinita implikacija $⇒ -, onda
je istinita i tvrdnja teorema, -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 31/36
+1
% 9akon silogizma
(((;⇒ 2) F (2⇒ >))⇒ (;⇒ >)) ≡ 1
Domaća zadaća: Uvjerite se sami u ovu
tautologiju!
Ovaj zakon tumačimo ovako:
Ako su istinite obje implikaije A ⇒ i ⇒ "#
onda je istinita i implikaija A ⇒ "$%tj$ ako iz A slijedi # a iz slijedi "# onda iz A
slijedi "&
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 32/36
+%
+ $ravilo generalizacije (∀ & ) $( & )
Cvo pravilo tumačimo ovako Aeka je $( & ) izjavna funkcija ;ko je sud $(a) istinit
za po volji oda'ran (proizvoljan) a koji dolazi uo'zir, onda je istinit i sud(∀ & ) $( & )
. $rincip isključenja trećeg (tertium non datur) ; ' (B;) ≡ 1
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 33/36
++
5okaz teorema $ovijesno
začetnik postupka dokazivanja je Tales, a umatematiku ga uvodi $itagora
5okaz teorema $⇒ - u nekoj teoriji je konačanniz istinitih tvrdnji -1, -%, ,-n te teorije u kojem
(a) svaka tvrdnja niza je ili aksiom ili definicija ili
je do'ivena iz prethodno dokazanih teorema toga niza po nekom pravilu zaključivanja*
(') posljednja tvrdnja niza je -
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 34/36
+.
5okazati teorem $⇒ - znači pronaći konačan niz tvrdnji
-1, -%, , -n teorije i logičkim zaključivanjem prijeći od
pretpostavke $, preko tvrdnji -1, -%, , -nB1, do tvrdnje-n=-
8hematski prikaz dokaza
$⇒ -1⇒ -%⇒ ⇒ -nB1⇒ -n=-
$ri tome oznaka ;⇒ 2⇒ > znači kraći zapis suda
(;⇒
2) F (2⇒
>)
5okazana tvrdnja - nakon toga postaje sastavni diosvakog daljnjeg postupka dokazivanja#
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 35/36
+0
Csnovne vrste dokaza
Csnovne vrste dokaza
1 direktni dokaz
% indirektni dokaz
1 5irektni dokaz teorema $⇒ - = dokaz
teorema $⇒ - na već opisani način
7/23/2019 Matematika 1 - prezentacija
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-prezentacija 36/36
+3
% Dndirektni dokaz teorema $⇒ - = direktni dokazekvivalentne tvrdnje teoremu $⇒ - (koja nije taj teorem)
Aajva"niji o'lici indirektnog dokaza teorema $⇒ -(a) o'rat po kontrapoziciji
B -⇒ B $(znamo (B - ⇒ B $) ≡ %$⇒ -))
(') dokaz svođenjem na kontradikciju (reductio ad a'surdum) $ F (B-)⇒ /,
/ = očigledno la"an sud Tada je @ ($⇒ -) ≡ $ F (B/) la"an sud pa je sud
$⇒ - istinit (princip isključenja trećeg) 9ato je - istinit (modus ponens) ljučne riječi
#retpostavimo suprotno( tj. da tvrdnja teorema ne vrijedi.