Matematika 1 Me Goje

7/22/2019 Matematika 1 Me Goje

1/45

Ushtrime nga Matematika

Studente:Lule Veselaj


2/45

Matricat

A =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

a23Tregon rreshtin

Tregon kolonn

A

B

X

K

J

I

H

G

F

E

DC

Y

Z

Rreshtat e matrics

Kolonat e matrics

Matrica sht nj bashksi e elementevet renditura n rreshta dhe shtylla

(kolona)


3/45

Mbledhja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

2 -1

3 4

-3 -2

3 0A + B= =

=-1 -3

6 4

+

2+(-3) -1+(-2)

3+3 4+0

Kujdes!Mund timbledhim vetm

matricat e rendit t

njjt!

I mbledhim numrat mengjyr t njejt!


4/45

Zbritja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A - B=2 -1

3 4-

-3 -2

3 0=

2-(-3) -1-(-2)

3-3 4-0=

5 1

0 4=

Kujdes!Mund tizbresim vetm

matricat e rendit t

njjt!

I zbresim numrat me

ngjyr t njjt


5/45

Trego se cilat shumzimejan t mundshme

1 3 4

1 5 6 *

1 -4 12

2 7 4

3 0 -5

= A mund t shumzohenkto dy matrica? Le ti

analizojm!

Nse elementet e nj

rreshti nga matrica e parjan t barabarta me me numrin eelementeve tnj kolone ngamatrica e dyt!

Numrojm sa elemente ika marica e par n

rresht.

Numrojm sa elementei ka matrica e dyt ne

kolon.

Mund ti shumzojmato dy matrica!


6/45

Trego se cilat shumzimejan t mundshme

1 3 4

1 5 6 *

1 -4 12

2 7 4 = A mund t shumzohenkto dy matrica? Le ti

analizojm!

Nse numri i elementeve t

nj rreshti nga matrica epar jan t ndryshm me me numrin eelementeve tnj kolone ngamatrica e dyt!

Numrojm sa elemente ika marica e par n

rresht.

Numrojm sa elementei ka matrica e dyt ne

kolon.

Smund tishumzojm ato dy

matrica!


7/45

Shumzimi i dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A * B=2 -1

3 4*

-3 -2

3 0=

2*(-3)+ (-1)*3 2*(-2)+ (-1)*0

3*(-3)+ 4*3 3*(-2)+ 4*0=

=- 6- 3 - 4- 0

- 9+12 - 6+0=

-9 -4

3 -6

I shumzojm numrat mengjyr t njjt


8/45

Shumzimi i matrics me njskalar

A=2 -1

3 4Si skalar le t jet numri 5

5*A=2 -1

3 4=5* =

10 -5

15 20

5*(-1)5*2

5*3 5*4A* 5=

sht njsoj!

D.m.th., numri 5 ishumzzon t gjithantart e matrics!


9/45

Plotsimi i matrics meantar

A=

a21=a12=

a13=

a11=

a22=

a23=

a31=a32=

a33=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

A=

6 3 0

1 8 -2

-1 10 2

Nga ne krkohet q ti plotsojm menumra hapsirat e zbrazta, t

ngjyrosura me t verdh!

Forma e prgjithshme ematrics s rendit t tret!

Shembull:


10/45

Njehsoni katrorin e matrics

A=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

2

=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

* =

= =-2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1)

1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1)

5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1)

=

7 6 6

12 19 6

-15 15 1

2


11/45


12/45

Gjeni t panjohurat!

Duke u nisur nga kushti q dy matricat emposhtme t jen t barabarta, t gjendent panjohurat xdhe a.

x -2-1 2a

= 3 -2-1 2

Pr t qen matricat e barabartaduhet q numrat me ngjyra t

njjta t jen t barabart

x=3

2a=2 a=2/2 a=1

2=2

-1=-1


13/45

Definimi i prcaktorve

2 -1 3

5 6 11A=

Matrica ssht katrore.Ska prcaktor.

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

A=

Matrica sht katrore.Mund tia gjejm prcaktorin.

|A| =

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

=

Dmth. Ekziston nj

numr q e prcaktontr matricn katrore.

|A| Ose detA

Jan dy mnyrat e shnimit tprcaktorit/determinants

2X3

3X3


14/45

Prcaktort e rendit t dyt

|A|=- 2 1

0 - 3

+

-

= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6

Ky sht numri q e prcakton apodeterminon matricn katrore

|B|=x a

2 - 3

+

-

= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a


15/45

Prcaktort e rendit t tret

|A|= =

Duke zbatuar metodn e plotsve algjerbrik dhe sipas reshtit tdyt t zgjidhet prcaktori

-2*0 -1

5 2

a21Meq 2+1=3 dmth numrtek ather para 2 e kemi

(minus)

+(-1)*1 -1

7 2+0*

1 -1

7 2=

=

a22 a23

-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5

1 0 -1

2 -1 0

7 5 2


16/45

Metoda e Sarusit dhe etrekndshit

A=2 3 0

3 -1 7

0 1 4

2 3

3 -1

0 1

=

+

-


17/45

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6+

x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

-3x2+9x3 - 5x4 = 15x3 - 6x4 = 6

I/(-3)

3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

x2 + 7x3- x4 = -3

-2x1- 2x2+ 4x3- 2x4= -4

2x1 - x2+ 5x3 - 3x4 = 5

I/(-2)

-3x2+9x3 - 5x4 = 1

-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6I/(-3)3x1 +3x2 - x3 - 3x4 = 0

5x3 - 6x4 = 6

Ekuacionin e par e shumzojm me njnumr n mnyr q kur ta mbledhim meekuacionin e dyt mu eliminu variabla x1

Ekuacionin e par eprshkruajm

Ekuacionin e par e shumzojm me njnumr n mnyr q kur ta mbledhim meekuacionin e tret mu eliminu variabla x1

Ekuacionin e par e shumzojm me njnumr n mnyr q kur ta mbledhim me

ekuacionin e katrt mu eliminu variabla x1

I

II

IIIIV

Metoda e Gaussit


18/45

3x2 +21x3- 3x4 = -9II/ 3-3x2+9x3 - 5x4 = 1

30x3 - 8x4 = -8

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

-3x2+9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6x1+ x2- 2x3+ x4= 2

x2 +7x3- x4 = -330x3 -8x4 = -8

Ekuacionin e par eprshkruajmEkuacionin e dyt eprshkruajm

Ekuacionin e dyt e shumzojm me njnumr n mnyr q kur ta mbledhim meekuacionin e tret mu eliminu variabla x2

Ekuacionin e katrt nuk kafare variabl x2 prandaj ve e

prshkruajm

5x3 - 6x4 = 6


19/45

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

-3x2+9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6x1+ x2- 2x3+ x4= 2

x2 +7x3- x4 = -330x3 -8x4 = -8

5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e par e

prshkruajmEkuacionin e dyt eprshkruajmEkuacionin e tret eprshkruajm

Ekuacionin e tret ose t katrt eshumzojm me nj numr n mnyr q

kur ti mbledhim n mes vete mu eliminuvariabla x3

30x3 - 8x4 = -8

-30x3 +36x4 = 36IV/(- 6)

28x4 = 28x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

30x3 -8x4 = -828x4 = 28


20/45

x1+ x2- 2x3+ x4= 23x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3

3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 02x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5

x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

-3x2+9x3 - 5x4 = 1

5x3 - 6x4 = 6x1+ x2- 2x3+ x4= 2

x2 +7x3- x4 = -330x3 -8x4 = -8

5x3 - 6x4 = 6

x1+ x2- 2x3+ x4= 2x2 +7x3- x4 = -3

30x3 -8x4 = -828x4 = 28

28x4 = 28IVx4= 28/28 = 1x4= 1

III 30x3 -8x4 = -830x3 = -8 + 8x430x3 = -8 + 8*130x3 = -8 + 830x3 = 0

x3 = 0/30=0

II x2 = -3 -7x3+ x4x2 = -3 -7*0+ 1x2 = -2

I x1= 2 - x2+ 2x3 - x4

x1= 2(-2)+ 2*0- 1x1= 2 +2- 1x1= 3

x3 = 0

I

II

IIIIV

Fillojm prej ekuacionitt IV


21/45

Sistemet homogjene

T zgjidhet sistemi homogjen

x + 2y + z = 03x - 5y + 3z = 0

2x + 7yz = 0

Meq t gjitha kufizat e lira t sistemit (dmth,pjesa pas barazimit) jan t barabarta me 0

(zero), pr kt arsye sistemi quhet homogjen!

Rasti kur D 0

D=

1 2 1

3 -5 3

2 7 -1

1 2

3 -5

2 7

=

+

-

5+12+21+10-21+6= 33

D = 33 0Meq

Sistemi ka vetm zgjidhje triviale x=0, y=0 dhe z=0.


22/45

Rasti kur D =0

3x + y + 2z = 0x + 2y + 3z = 04x + 3y + 5z = 0

D=

3 1 2

1 2 3

4 3 5

3 1

1 2

4 3

=

+

-

30+12+6-16-27-5=0

D = 0Meq

Sistemi ka edhe zgjidhje tjera prve zgjidhjestriviale x=0, y=0 dhe z=0.

x + 2y = -3z3x + y = - 2z

D=3 1

1 2= 5 Dx=

-2z 1

-3z 2= -z

Dy=3 -2z

1 -3z

= -7z

X=Dx

D

-z

5= Y=

Dy

D

-7z

5=

E gjejm determinanten esistemit dhe e shqyrtojm

se me sa sht baraz!


23/45

Ekuacionet matricoreT zgjidhet ekuacioni matricor, dmth t gjendet matrica X: 2X+5E = 3A

A=3 2 0

0 1 -2

1 4 -1

E=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2X = 3A - 5E =

3*

3 2 0

0 1 -2

2 4 -1

- 5*1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

9 4 0

0 3 -6

612 -3

-5 0 0

0 5 0

0 0 5

=

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=

I zbresim numrat mengjyr t njjt nga t

dy matricat.

2X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

Duhet ta gjejm vematricn Xsa sht.

X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=

4/2 4/2 0/2

0/2 -2/2 -6/2

6/2 12/2 -8/2

=

2 2 0

0 -1 -3

3 6 -4

1

2


24/45

T zgjidhet ekuacioni matricor

x -2 2

1 -1 14 2 1

= 2

x -2 21 -1 1

4 2 1

=x -21 -1

4 22

Prcaktorin e zgjedhim duke prdorurmetodn e Sarusit ( duke i shtuar dykolonat e para

- x - 8 + 4 + 8 - 2x+ 2 = 2

-3x+ 6 = 2

-3x = 2 - 6

- 3x = - 3

x = 1

x =1x = 1

Katrori kur t del n ann tjetr t barazimit

bhet rrnj katrore!


25/45


26/45

N qoft se f(x)= 2x - 34 + x

t njehsohet f(-2), f(0) dhe f(3).

f(-2)= 2(-2)- 34 + (-2) =

- 4 - 34 - 2 =

-72

f(0)= 2*0- 34 + 0 =

0 - 34 + 0 =

-34

f(3)= 2*3- 34 + 3 =

6 - 34 + 3 =

37

Zgjidhje: 2x- 34 + xf(x)=Ku kemi x

zvendsojm -2Ku kemi xzvendsojm 0

Ku kemi xzvendsojm 3


27/45

Funksionet

Te paraqitet grafikisht funksionit linear: f(x)=

2x+3

Si ta gjej grafikun e

ktij funksioni se?E kam nj ide!S pari e bjm

paraqitjen tabelare

x - 2 -1 0 1 2

y

f(-2)= 2(-2) +3 = -4+3= -1

f(x)= 2x+3

-1

f(-1)= 2(-1) +3 = -2+3= 1 1

Vlerat e x-it i marrim t

fardoshme!

f(0)= 2(0) +3 = 0+3= 33

f(1)= 2 *1 +3 = 2+3= 55f(2)= 2*2 +3 = 4+3= 7 7

Ehh, tash e bjmparaqitjen grafike


28/45

Funksionet

Te paraqitet grafikisht funksioni: f(x)= 2x+3

Ehh, tash e bjmparaqitjen grafike

x - 2 -1 0 1 2

y -1 1 3 5 7

I bashkojm pikat e gjetura ntabel dhe lakorja qe i lidh atopika sht grafiku i funksionit

Funksioni linear eka grafikun drejtz!


29/45

T konstruktohet grafiku i funksionit kuadratik:

Vmendje! S pari i gjejm zerot e funksionitkuadratik e pastaj edhe pikn e kulmit.

Zgjidhje:

Zerot e funksion-it jan pikat kulakorja e prek boshtin x. I gjejm me

an t formuls x1/2

x =-b

2a Me an t ksaj e gjejm pikne kulmit t funksionit!

=-(-3)

2*1

=3

2Tash e gjejm sa sht vlera efunksionit n x=3/2

Prej nga e formojm tabeln:

x 2 1 3/2

y 0 0 -1/4

Jan zerot efunksionit!

sht kulmii lakores

Tash e vizatojm lakoren e funksionit kuadratik

e cila sht parabol

0232 xx

a

acbbx

2

42

2/1

12214)3()3(

2

2/1

x

2

13

2

13

2

8932/1

x

22

4

2

13

2/1

x

12

2

2

132/1

x

22

33

2

3)(

2

xf

4

1

4

818922

9

4

9)(

xf

23)( 2 xxxf


30/45

x 2 1 3/2

y 0 0 -1/4

Ja se si duket grafiku i funksionit kuadratik

3/2

-1/4

Kulmi iparabols

Vlerat nga tabela i paraqesimme radh n sistem

koordinativ!

23)( 2 xxxf


31/45

Dika pr funksionin kuadratik

Kur a>0 funksioni ka formn:

Kur a


32/45

T gjendet zona e prkufizimit t funksionit:

Zgjidhje:

Duhet ti gjejm vlerat e x-it pr tcilat vlera, emruesi i thyss bhet

zero!

Pra,

0 1 2 3-1-2

x=0Pr x=0 funksioni ska kuptim!

Prej nga; zona e prkufizimit t funksionit sht:

- +

Dmth pika 0 nuk prfshihet!

x

xxf

2

3)(

)0,(x ),0(

02 x

02

0x


33/45


34/45

T njehsohet limiti i funksionit )573(lim 22

xxx

Zgjidhje:

)573(lim 22

xx

x


52723 2 351412 Pra, 3 sht limiti ifunksionit n pikn x=2

T njehsohet limiti i funksionit2

57lim

2

3

1

x

xx

x

Zgjidhje:

2

57lim

2

3

1

x

xx

x 21

51712

3

3

1


Pra, -1/3 sht limiti ifunksionit n pikn x=1


35/45

T gjenden asimptotat e funksionit:2

)(2

x

xxf

Zgj idhje:

Asimptotahorizonatale:Lxf

x

)(lim

2

lim2

x

x

x

xx

xx

x

x 2lim

2

x

x

x 2

1

lim

101 Meq limiti sht , kjo do

t thot se funksioni nukka asimptot horizontale!

Asimptotavertikale:

)(lim0

xfxx

2

lim2

0 xx

xx

2lim

2

2 xx

x

04

222

2

Meq limiti sht , kjo do tthot se funksioni ka

asimptot vertikale n piknx=2

L sht numr!

Pjestojm me fuqin m tmadhe t x-it n emrues

X0sht pika ku funksionissht i prkufizuar!

Ku kemi x zvendsojm 2

=0


36/45

Asimptota e pjerrt:lkxy

xxfk

x)(lim

kxxfl

x

)(lim

x

x

x

kx

2lim

2

xx

x

x 2lim

2

2

22

2

2

2

2lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x 21

1lim 1

1

1 k=1

]12

[lim2

xx

xl

x

2

2lim

22

x

xxx

x

2

2lim

x

x

x

xx

xx

x

x 2

2

lim 21

2 l=2

lkxy 2x

Pjestojm me fuqin m tmadhe t x-it n emrues

=0

Pjestojm me fuqin m t

madhe t x-it n emrues

=0

sht asimptot e pjerrt

Paraqitja grafike e asimptotave:

0x


37/45

Njehsoni asimptotat e grafikut t funksionit:

4

1)(

x

xf

Asimptotahorizonatale:

Asimptotavertikale:

Lxfx

)(lim

)(lim0

xfxx

4

1lim

xx

xx

xx

x

xx

xx 4

1

lim4

1

lim 01

0

41

1

lim

x

xx

0x sht pika ku funksioni ssht i prkufizuar

Konkretisht:4

0

x

040 x

4

1lim

4 xx

0

1

44

1

d.m.th., y=0sht asimptot

horizontale

Pra, vrtetuam sedrejtza x=4 shtasimptot vertikale

Asimptota e pjerrt: Nuk ka asimptot tpjerrt meq ka

asimptot horizontale!


38/45

Asimptota horizontale: Ska!

Asimptota vertikale: x=2

Asimptota e pjerrt: y=x-2

x=2

x - 2 -1 0 1 2

y = x -2 -4 -3 -2 -1 0


39/45

Njehsoni derivatin e funksionit 3257)( 23 xxxxf

)(xf

322537 111213 xxx

)3257( 23 xxx

021021 2 xx

Gjithmon fuqin pr 1 ezbresim!

Derivati shnohet me presje ()

21021 2 xx

X n fuqin 0sht =1

Derivati i donumri sht 0

=0


40/45

Njehsoni derivatin e funksionit )57)(32()( 2 xxxf

vuvuvu Kur kemi shumzim t dy funksioneve,derivatin e njehsojm me an t ksaj formule

)(xf )32[( x )32( x )57( 2x )57( 2 x)32( x

xxx 14)32()57(2 2 xxx 42281014 22

104242 2

xx

])57( 2 x

=0 =0


41/45

2v

vuvu

v

u

Njehsoni derivatin e funksionit43

32)(

x

xxf

2)42(

)43)(32()43(32

x

xxxx

43

32)(

x

xxf

2)42(

3)32()43(2

x

xx

2)42(

9686

x

xx2)42(

17

x

=0 =0


42/45

T gjenden intervalet e monotonis s funksionitx

xy

12

S pari gjejm derivatin e par

x

xy

12

2

22 11

x

xxxx

2

212

x

xxx 2

2212

x

xx

2

2 1

x

x

Gjejm zerot e derivatit t par

0y

01

2

2

x

x

012 x

12 x

1x

u v u v-

v

=0=1

Kur vetm A=0!0B

A


43/45

Formojm tabeln me zero t f(x) dhe pika kussht i prkufizuar funksioni

x

f(x)f(x)

+43

414

)2(1)2()2(

2

2

f

-

-313

4

14

41

4

1

1

4

1

)2

1(

1)

2

1(

)21(

2

2

f

31

3

4

14

41

4

1

14

1

)2

1(

1)2

1(

)2

1(

2

2

f

4

3

4

14

)2(

1)2()2(

2

2

f +

E shqyrtojm shenjn e derivatit t par!

0)( xf

0)( xf

0)( xf

212

111

11)1()1(

2

f

21

2

1

11

1

11)1(

2

f

-2

2

Funksioni ssht iprkufizuar pr x=0

(-, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +)

Funksioni shtrrits

Funksioni shtzvoglues

Funksioni shtkonstant

0 0

x= -1 sht zero e f(x)x=1 sht zero e f(x)


44/45

Pikat ekstreme t funksionit

x (-, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +)

f(x)

+ 0 - - 0 +f(x) -2 2

Jan pikat ekstreme t funksionit!Max (-1, -2) Min (1, 2)

Le ti paraqesim grafikisht!

Max

Min

x=0 dhe y=xjan asimptota!


45/45

Matematika 1 Me Goje

Documents

Transcript of Matematika 1 Me Goje