Matematika 1

8 dalis

Skaičių seka ir jos riba. Funkcijos riba. Tolydumas. Funkcijos trūkio taškai.

2

Skaičių seka. Sekos riba.• Skaičių seka vadinama natūraliojo argumento funkcija • Funkcijos reikšmės vadinami sekos nariais. Pastarieji dažniausiai žymimi o pati seka užrašoma• Pvz.,

• Skaičius a vadinamas skaičių sekos riba, jei kiekvienam nors ir koks mažas jis būtų, galima rasti tokį natūralųjį skaičių kad visiems būtų teisinga nelygybė• Seka, kuri turi ribą, vadinama konverguojančiąją.• Sekos riba žymima arba kai

• Įrodykime, kad • Raskime kam lygus N, kai

f (n)∈Rf : N→R.

xn := f (n) , {xn}.

xn=n−12 n

.

{xn} ε>0,N=N (ε) ,

n>N (ε) |xn−a|<ε .

limn→∞

xn=a xn→a , n→∞ .

limn→∞

n−12n

=12.

ε=0,01.

3

Skaičių sekų savybės• Skaičių seka, kurios reikšmių aibė yra aprėžta, vadinama aprėžtąją. • Skaičių seka vadinama neaprėžtai didėjančia, jei bet kokiam skaičiui nors ir koks didelis jis būtų, galima rasti tokį natūralųjį skaičių kad visiems būtų teisinga nelygybė• Dar sakoma, kad tokia seka turi begalinę ribą ir žymima

• Neaprėžtai didėjančios sekos ir sekos, kurios neturi ribos, vadinamos diverguojančiomis.• Pagrindinės konverguojančių sekų savybės: Jei ir , tai:

{xn} L>0,N=N (ε) ,

n>N (ε) |xn|> L .limn→∞

xn=∞ .

limn→∞

xn=a limn→∞

yn=b

limn→∞

(xn± yn)=a±b ;

limn→∞

(xn⋅yn)=a⋅b ;

limn→∞

(xnyn

)=ab, kai b≠0 ;

Jei limn→∞

xn=0 ir |yn|⩽L , n=1,2,. .. , tai limn→∞

( xn⋅yn)=0.

4

Monotoninių sekų konvergavimas

• Skaičių seka vadinama nemažėjančia (nedidėjančia), jei su visais numeriais n teisinga nelygybė • Nemažėjančios ir nedidėjančios sekos vadinamos monotoninėmis.• Skaičių seka vadinama didėjančia (mažėjančia), jei su visais numeriais n teisinga nelygybė • Didėjančios ir mažėjančios sekos vadinamos griežtai monotoninėmis.• Teorema. Kiekviena aprėžta monotoninė seka turi ribą.• Naudodamiesi monotoninės sekos konvergavimo teorema, įrodykime, kad seka

konverguoja ir raskime jos ribą.

{xn}xn⩽xn+1 ( xn⩾ xn+1).

xn=2n

n!

{xn}xn< xn+1 (xn> xn+1).

5

Funkcijos ribos taške sąvoka

• Panagrinėkime funkciją

• Ši funkcija neapibrėžta taške x = 2.

• Imkime x reikšmes, artimas taškui 2, ir apskaičiuokime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

•

• Iš lentelės matome, kad kuo arčiau taško 2 yra x reikšmė, tuo funkcijos reikšmė yra artimesnė skaičiui 8.

• Kitaip tariant, kai x reikšmės pakankamai artimos skaičiui 2, funkcijos reikšmės kiek norima mažai skiriasi nuo skaičiaus 8.

• Tuomet sakome, kad skaičius 8 yra funkcijos riba, kai x artėja prie 2.

• Apibrėžimas. Skaičius A vadinamas funkcijos f(x) riba taške a (arba kai x artėja prie a), jei kiekvienam egzistuoja toks kad visoms x reikšmėms, priklausančioms taško a δ-aplinkai: tenkinama nelygybė

• Trumpai žymime arba kai

• Įrodykime pagal apibrėžimą, kad

y= f (x )=2 x2−8x−2

.

x 1,95 1,995 2,0005 2,001

y 7,9 7,99 8,001 8,002

2 x2−8

x−2

ε>0 δ>0,|x−a|<δ , x≠a ,

| f (x )−A|<ε.

limx→ a

f ( x)=A , f (x )→A , x→a .

limx→ 2

2 x2−8

x−2=8.

6

Vienpusės funkcijos ribos Apibrėždami funkcijos f(x) ribą taške a, tarėme, kad x įgyja reikšmes tiek iš

kairės, tiek iš dešinės to taško pusės.

• Dažnai funkcija gali būti apibrėžta tik vienoje taško pusėje arba turėti skirtingus apibrėžimus kairėje ir dešinėje taško a pusėje.

• Pvz., ar egzistuoja funkcijos riba taške 0?

• Apibrėžimas. Jeigu, ieškant ribos, kai apsiribojama tik x reikšmėmis, esančiomis į kairę nuo a, tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš kairės taške a ir žymima

Jeigu, ieškant ribos, kai apsiribojama tik x reikšmėmis, esančiomis į dešinę nuo a, tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš dešinės taške a ir žymima

Funkcijos ribos iš kairės ir iš dešinės vadinamos vienpusėmis ribomis.

• Dažnai naudojamas trumpesnis užrašas a+ arba a-.

• Kai tai funkcija f taške a turi ribą.

f (x )=|x|xx→a ,

limx→a−0

f (x )=limx→ ax <a

f (x)= f (a−0) .

x→a ,

limx→a+0

f ( x)=limx→ax>a

f (x )= f (a+0) .

limx→a−0

f (x )= limx→ a+0

f (x) ,

7

Funkcijos tolydumas

8

Funkcijos tolydumas