Matematik FP10Folkeskolens prøverTil dette opgavesæt hører regnearksfiler til opgave 2, 5 og 6.

Fredag den 4. december 2020kl. 9.00-13.00

Ved prøven må der anvendes alle de fagspecifikke hjælpemidler, som har været anvendt i den daglige undervisning. Fagspecifikke hjælpemidler, som ikke kan medbringes eller opbevares lokalt, kan efter skolelederens nærmere anvisninger tilgås via internettet.

Kære elev

Prøven består af 8 opgaver. Du har 4 timer til at løse dem. Ved hver opgave står der, hvor mange point den højst kan give. Prøven kan i alt højst give 72 point. Du bestemmer selv, hvilken rækkefølge du laver opgaverne i, og hvor lang tid du vil bruge på hver af dem.

Det er vigtigt, at du begrunder dine svar i alle opgaver.Det betyder, at du i hver opgave skal vise eller forklare, hvordan du er nået frem til dit svar. Du kan fx begrunde dit svar med tekst, beregninger og/eller tegninger.

En del af de point, du kan få i hver opgave, kommer fra dine begrundelser. I de fleste opgaver kan du ikke få det højeste antal point, hvis du ikke begrunder dit svar, selv om dine resultater er rigtige.

I nogle af opgaverne skal du beregne et antal eller en størrelse. I andre opgaver skal du vise, hvordan du finder frem til et bestemt resultat eller afgøre, om en påstand er sand eller falsk.

Der er også opgaver, hvor du skal løse et matematisk problem ved at undersøge. I disse opgaver forventer vi ikke, at du på forhånd kender en metode, du kan bruge til at løse problemet. Ordet ’undersøg’ signalerer, at du selv skal finde på en god måde at løse problemet på ved at bruge matematik, du kender.

God arbejdslyst.Styrelsen for Undervisning og Kvalitet

1 Folketinget Opgave 1 giver højst 7 point

Folketinget har eksisteret siden 5. juni 1849.

1.1 Hvor mange år har Folketinget eksisteret?

Et parti kommer i Folketinget, hvis det opnår mindst 2 % af stemmerne ved et folketingsvalg. Ved folketingsvalget i 2019 blev der afgivet 3.529.759 gyldige stemmer. Foto: Christoffer Regild, www.ft.dk

1.2 Hvor mange stemmer skulle et parti have i 2019 for at komme i Folketinget på denne måde?

Folketinget har 179 medlemmer. 175 af disse medlemmer skal vælges i forskellige dele af Danmark. Danmark er derfor delt op i 3 landsdele. Du kan bruge udtrykket i den blå boks til at beregne, hvor stor en del af medlemmerne der skal vælges i hver landsdel.

folketal i landsdelen + vælgertal i landsdelen + 20 · areal af landsdelen (km2)

folketal i Danmark + vælgertal i Danmark + 20 · areal af Danmark (km2)

Tabellen herunder viser de seneste oplysninger om de 3 landsdeles folketal, vælgertal og arealer.

Landsdel Folketal Vælgertal Areal (km2)

Hovedstaden 1.840.357 1.275.532 2.559

Sjælland-Syddanmark 2.061.236 1.531.340 19.486

Midtjylland-Nordjylland 1.912.868 1.412.665 20.892 Kilde: Danmarks Statistik

1.3 Hvor mange medlemmer skulle vælges i landsdelen Midtjylland-Nordjylland ud fra oplysningerne i tabellen, hvis der var valg i dag?

2 Fordelingen af antal kvinder og mænd Opgave 2 giver højst 8 point

I 2019 var 70 af Folketingets 179 medlemmer kvinder.

2.1 Hvad var forholdet mellem antallet af kvinder i Folketinget og antallet af medlemmer af Folketinget i 2019?

Tabellen herunder viser antallet af kvinder og antallet af mænd i de nordiske landes parlamenter i 2019.

Folketinget (Danmark)

Riksdagen (Sverige)

Stortinget (Norge)

Riksdagen (Finland)

Altinget (Island)

Antal kvinder 70 154 69 93 24

Antal mænd 109 195 169 107 39

2.2 I hvilket af de nordiske landes parlamenter var forholdet mellem antal kvinder og antal mænd tættest på 1 : 1?

Nogle politikere mener, at der er for få kvinder i forhold til antallet af mænd i Folketinget. De har som mål, at der i 2030 skal være cirka lige mange kvinder og mænd. I filen KVINDER_DEC_2020 kan du se, hvor mange af de 179 medlemmer i Folketinget der var kvinder i perioden 1979 til 2019.

2.3 Undersøg, om det ser ud til, at der i 2030 vil være cirka lige mange kvinder og mænd i Folketinget, hvis udviklingen i antallet af kvinder fortsætter som i perioden 1979 til 2019.

3 Fejl i tallene? Opgave 3 giver højst 8 point

På et politisk møde diskuterer deltagerne, hvor populært det er at gå i 10. klasse.

De bruger oplysningerne i tabellen herunder.

Foto: Kasper Luffe

Antal elever, der afsluttede

9. klasse i 2018

Antal elever, der begyndte i

10. klasse i 2018

Antal elever, der begyndte i 10. klasse på en folkeskole i 2018

Piger 32.374 17.928 4.583

Drenge 34.212 18.917 5.180 Kilde: Danmarks Statistik

En af deltagerne siger:

’I runde tal var der kun 35.000 elever, som begyndte i 10. klasse i 2018. Det er under halvdelen af det antal elever, der afsluttede 9. klasse i 2018. Desuden er det tydeligt, at 10. klasse er mere populært blandt drenge end blandt piger, for der var cirka 1000 flere drenge end piger, der begyndte i 10. klasse. Cirka 26 % af de piger og 28 % af de drenge, der begyndte i 10. klasse, valgte 10. klasse i en folkeskole. Det vil sige, at i alt 54 % af eleverne valgte 10. klasse i en folkeskole.’

3.1 Tallene i tabellen er korrekte, men der er nogle matematiske fejl i det, deltageren siger. Din opgave er at rette fejlene ved at ændre på nogle af tallene og ordene i teksten.

4 Beslutninger om en ny skole Opgave 4 giver højst 10 point

Politikerne i en kommune har besluttet, at kommunen skal bygge en ny skole. Politikerne diskuterer bl.a., hvor store klasselokalerne på skolen skal være. De har læst, at foreningen Danske Skoleelever anbefaler, at arealet af klasselokaler skal være mindst 2,7 m2 pr. elev.

4.1 Hvor stort skal et klasselokale være, ifølge Danske Skoleelever, hvis der skal være plads til 24 elever?

4.2 Hvor stort skal et klasselokale være, ifølge Danske Skoleelever, hvis der skal være plads til n elever?

Et byggefirma har sendt kommunen et forslag til, hvordan klasselokalerne på den nye skole kan se ud. Tegningerne herunder er lavet ud fra byggefirmaets forslag.

9,0 m

8,0 m Fra oven

8,0 m

Fra siden 2,5 m

9,0 m

Forfra 2,5 m

På nye skoler skal klasselokalerne have en loftshøjde på mindst 2,5 m og et rumfang på mindst 6 m3 pr. person, der skal være i klassen.

4.3 Overholder byggefirmaets forslag kravene til loftshøjde og rumfang, hvis der skal være plads til 28 elever og 2 lærere i klassen?

Kommunen vil gerne have klasselokaler, der hver har et areal på 80 m2 og en grundplan med form som en polygon, der ikke er et rektangel.

4.4 Tegn en skitse, der viser, hvordan en grundplan af et af disse klasselokaler kan se ud. Skriv mål på din skitse.

5 En meningsmåling Opgave 5 giver højst 11 point

En avis har fået gennemført en meningsmåling. 800 personer har svaret ’ja’ eller ’nej’ på et bestemt spørgsmål. 384 svarede ’ja’, og 416 svarede ’nej’.

5.1 Du skal vise med beregning, at 48 % af deltagerne i meningsmålingen svarede ’ja’.

5.2 Fremstil et diagram, der viser resultatet af meningsmålingen.

Foto: Opgavekommissionen i matematik

Politikere kan bruge en meningsmåling til at få en ide om, hvad Danmarks befolkning mener om en bestemt sag. Det er dog usikkert, om meningsmålingen viser netop den fordeling mellem ’ja’ og ’nej’, der er blandt hele befolkningen.

I opgave 5.3 og 5.4 skal du bruge filen USIKKERHED_DEC_2020 til at simulere en meningsmåling i en befolkning, hvor 50 % vil svare ’ja’.

5.3 Undersøg, om der i en meningsmåling med 800 tilfældigt udvalgte personer kan være 384 eller færre, der svarer ’ja’, selv om der i hele befolkningen er 50 %, der vil svare ’ja’.

5.4 Undersøg, hvor stor en procentdel af deltagerne i en meningsmåling med 1200 deltagere, man kan forvente vil svare ’ja’, når der i hele befolkningen er 50 %, der vil svare ’ja’.

6 En beslutning om pensionsalder Opgave 6 giver højst 11 point

Folketinget har planlagt, at pensionsalderen grad-vist skal stige, fordi danskernes middellevetid ser ud til at stige. Tabellen og diagrammet i regnearket LEVETID_DEC_2020 viser udviklingen i danskernes middellevetid i perioden 2000 til 2018. Du skal åbne regnearket for at kunne løse opgave 6.1-6.4.

Foto: Colourbox

6.1 Hvornår i perioden 2000 til 2018 er danskernes middellevetid ikke steget?

6.2 Hvor mange år er danskernes middellevetid i gennemsnit steget pr. år i perioden 2000 til 2018?

6.3 Du skal vise med beregning eller med grafer i et koordinatsystem, at modellen i den gule boks herunder tilnærmelsesvist beskriver udviklingen i danskernes middellevetid i perioden 2000 til 2018.

f (x) = 0,2647x - 452,99

f (x) er middellevetiden i årstallet x.

I 2018 var middellevetiden 80,9 år, og pensionsalderen var 65,5 år. Det er allerede besluttet, at pensionsalderen skal være 68 år i 2030. Nogle politikere mener, at pensionsalderen derefter hvert 5. år skal stige med 1 år, så den i 2035 er 69 år, i 2040 er 70 år osv.

6.4 Undersøg, om det ser ud til, at pensionsalderen vil følge udviklingen i danskernes middellevetid, hvis pensionsalderen stiger, som disse politikere foreslår.

7 Mønstre i regneudtryk Opgave 7 giver højst 8 point

I tabellen er der regneudtryk i række 1, 2 og 3. Regneudtrykkene er opbygget efter et bestemt mønster. Tabellen skal fortsætte med flere regneudtryk, der er opbygget efter samme mønster.

Række Regneudtryk

1 1 · 2 – 0 · 3

2 2 · 3 – 1 · 4

3 3 · 4 – 2 · 5

4

5

7.1 Hvilket regneudtryk skal der stå i række 5?

7.2 Forklar, hvorfor regneudtrykket i række n skal være n · (n + 1) – (n – 1) · (n + 2).

Hvis man reducerer udtrykket n · (n + 1) – (n – 1) · (n + 2) med et CAS-værktøj, får man svaret 2.

7.3 Du skal vise, hvilke regneregler der gør, at ethvert regneudtryk i tabellen har værdien 2, ved at omskrive n · (n + 1) – (n – 1) · (n + 2).

8 En trekant i en cirkel Opgave 8 giver højst 9 point

Tegningen herunder viser en cirkel, der er opdelt i fire figurer: en ligebenet trekant (blå), en halvcirkel (rød) og to cirkelafsnit (gule).

1045°A B

C

Trekanten har en vinkel, der er 45°, og en side, der har længden 10. Denne side går igennem cirklens centrum.

8.1 Du skal bruge oplysningerne og din viden om geometri til at undersøge, hvad du kan sige om størrelsen af

- trekantens øvrige vinkler

- de fire figurers omkredse

- de fire figurers arealer.

Du skal begrunde dine resultater med viden om geometri og ikke kun med mål fra et geometriprogram eller en tegning.