301 Matematik för elever med läs- och skrivsvårigheter

Efter omfattande litteraturstudier och med lång erfarenhet av undervisning med elever som har läs- och skrivsvårigheter har vi hittat ett antal grundläggande problem eller ”varningsklockor”. Läs- och skrivsvårigheter eller dyslexi ger stora effekter på elevens matematikinlärning. Vilka svårigheter man kan befara, hur man upptäcker dem samt kompensatoriska vägar man kan hitta ges exempel på under denna föreläsning. Per Berggren och Maria Lindroth arbetar som matematiklärare på Trädgårdsstadsskolan i Tullinge. De skriver också läromedel och pedagogisk litteratur samt bedriver lärarfortbildning. Föreläsning Alla Dokumentation I samband med att LPO94 och tillhörande kursplaner infördes startade vi ett förändringsarbete i matematik. Den ursprungliga tanken med detta var egentligen mycket enkel. Vi ville att vår matematikundervisning skulle vara mer spännande och intressant istället för förutsägbar och tråkig som både vi och eleverna upplevde den. Vårt credo blev att vi skulle arbeta med laborativ matematik. Av en tillfällighet startade samtidigt projektet ”Läs- och skrivutveckling i Botkyrka” som hade sin bas på vår dåvarande skola. Ganska snart insåg både vi att dessa två saker hade flera gemensamma beröringspunkter. Det blev en start för oss i vårt arbete att försöka hitta vägar för att göra matematiken roligare, mer utmanande och lättare att tillägna sig för elever med läs- och skrivsvårigheter. Något som vi under resans gång kommit att förstå att det ger samma fördelar även till resten av eleverna. Vi vill redan här göra klart att vi inte använder oss av begreppet dyskalkyli. För oss är det ett begrepp som inte är klart definierat. Beroende på vem man pratar med så verkar andelen med denna ”diagnos” variera mellan några få procent till mer eller mindre alla som har någon form av matematiksvårigheter, vilket kan vara en ansenlig andel. Vår utgångspunkt är istället att de bakomliggande faktorer som orsakar dyslexi har en direkt inverkan även på matematikinlärningen. Från början hade vi en tanke om att ifall eleverna har svårt att läsa (och skriva) är det självklart att de får svårt att lösa lästal i matematik. Givetvis finns det en viss sanning i detta. Lästalen är ofta mycket faktaintensiva och fulla med matematiska begrepp som behöver förstås för att kunna se sammanhanget och förstå problemet. Dessutom har de ofta karaktären av att försöka beskriva en verklig situation på bara ett par rader och för att kunna lösa uppgiften bör man kunna måla upp en inre bild av situationen för att därigenom förstå vad som är givet och vad som söks. Här behövs såklart en bra och aktiv lässtrategi.

”Eva arbetade extra på helgerna för att få pengar till en resa på sommarlovet. Hon tjänade 45 kr i timmen, resan skulle kosta 2.100 kr. Hur många timmar måste hon arbeta för att få ihop så mycket pengar?”

I den här uppgiften saknar vi uppgifter om ifall Eva arbetar varje helg, arbetar hon både lördag och söndag och har hon i så fall samma lön på lördag och söndag? Hur länge jobbar hon varje dag? Vem är Eva, hur gammal är hon, var bor hon, ska hon resa själv, var ska hon resa? Utan dessa, eller åtminstone en del av dessa uppgifter blir det inte mycket till inre bild av uppgiften

ovan. För det kan väl inte vara så att det enda som är väsentligt är att eleverna beräknar 45

2100 ? I

så fall tycker vi att man borde ta bort både Eva, resan och helgarbetet och bara fråga hur många timmar man behöver arbeta för att tjäna 2100 kr om man tjänar 45 kr i timmen. Är det förresten före eller efter skatt, en inte helt oviktig detalj. Som en parentes kan vi väl tillägga att denna uppgift förmodligen inte skulle sett ut på detta sätt då svaret blir 46,666… timmar, det är troligare att priset skulle varit 2125 kr eller liknande så att svaret blir ett heltal eller möjligen ett tal som slutar med ,5. Det vi har kommit fram till är dock att detta är en mindre del av förklaringen till att elever med läs- och skrivsvårigheter också har svårigheter i matematik. Efter 10 års studier och arbete kring dessa svårigheter har det utkristalliserats ett antal ”varningsklockor” som vi anser förklarar många av de svårigheter som dessa elever kan ha i matematik. En av ”svårigheterna” är att elever med läs- och skrivsvårigheter behöver mer tid för att lösa samma uppgifter. Nicholson och Fawsett har gjort undersökningar som tyder på att elever med läs- och skrivsvårigheter behöver 50% mer tid för att lösa samma uppgifter. Ett annat sätt att säga det på är att de endast får 2/3 av den undervisningstid som andra elever få, resten behövs för att göra klart det som resten hinner på den vanliga tiden. I ett större perspektiv innebär det att elever med läs- och skrivsvårigheter har 6 års undervisningstid på samma tid som andra har 9 års undervisningstid! I det perspektivet är det lätt att förstå att det uppstår problem. Tyvärr så är dessa undervisningen under dessa 6 år inte sammanhållen, vid varje undervisningstillfälle finns det risk att elever med läs- och skrivsvårigheter endast får med sig delar av undervisningen av den enkla anledningen att de inte hinner göra klart. Det är svårt att hitta en lätt genomförbar praktisk lösning till detta men det är viktigt att man har detta i åtanke t ex då eleverna skriver prov. Förutom detta finns det en lista över ”varningsklockor” eller kognitiva funktioner som kan göra att elever med läs- och skrivsvårigheter kan få problem då de arbetar med matematik. Det är inte så att alla elever med läs- och skrivsvårigheter har svårigheter med alla funktioner, det är därför viktigt att läraren har en kunskap om dessa funktioner så att hon/han är uppmärksam på vilket eller vilka områden eleven får problem inom.

• Omkastningar • Sekvensering • Symbolosäkerhet • Spatial förmåga • Långtidsminnet • Korttidsminnet • Begreppsbildning

Omkastningar Omkastning, både av typen b-d och omkastningar där bokstäver byter plats, förekommer även inom matematik. Problemet är dock att effekterna i matematik blir dramatiskt mycket större än inom läsning och skrivning. Om man skriver: ”Jag ska spela på mitt nya datrospel när jag kommer hem.” Är det inte svårt att gissa vad det skulle stå, kanske är det till och med så att man missar felstavningen eftersom vi med hjälp av sammanhanget redan vet vilket ord det skulle vara redan innan vi läst ordet eller hela ordet. Då blir det svårare att veta vad det felstavade ”ordet” skulle ha varit i denna mening: ”Peter kände sig rik, han hade 10015 kronor.” Skulle det egentligen ha varit 10051, 10105 eller kanske 151 kronor? Det är nästan omöjligt att avgöra, även om man har meningen i ett sammanhang. Bokstäver kan inte kombineras i godtyckliga kombinationer för att skapa ord, vissa kombination är omöjliga eller snarare det är bara några som är giltiga för att bilda ord. Med siffror finns inte detta ramverk. Varje möjlig kombination av siffror är ett riktigt tal. Kanske har vi för lite matematisk diktamen för att upptäcka dessa svårigheter. Sekvensering Årstider, månader, veckodagar, alfabetet och talserien är exempel på sekvenser. Att ha svårigheter med att t ex kunna räkna upp årets månader framlänges och baklänges kan vara en indikation på en bristande sekvensering. I matematik kan det få allvarliga konsekvenser. Den som inte kan ”se” tallinjen som en sekvens och på den kunna hoppa framåt och bakåt, kanske i steg om 3, kommer att bli tvungen att hitta kompensatoriska vägar runt detta. Det vanligaste är då att ta till fingerräkning, en strategi som tyvärr inte är särskilt framgångsrik eller utvecklingsbar. Förvånansvärt många elever i grundskolans senare del har svårigheter att räkna baklänges från t ex 35 i steg om 4. För den som inte ser tallinjen som en sekvens blir varje hopp en beräkning, ibland med de besvärliga 10-talsövergångarna, men för den som ser tallinjen framför sig är det enkla förflyttningar i steg om 4. Tallinjen som är ett mycket kraftfullt verktyg försvinner enligt vår uppfattning alldeles för tidigt. Om en tallinje fanns i alla klassrum där man undervisar i matematik är vi övertygade om att många problem med decimaltal och negativa tal skulle bli betydligt mindre. Symbolosäkerhet Det finns mycket som pekar på att det formella symbolspråket ofta införs för tidigt. Symboler som införs innan det finns en ordentlig förståelse riskerar att göra matematik till ett ämne som handlar om att lära sig regler och hur man ska flytta runt siffror för att få fram rätt svar. I det sammanhanget vill vi slå ett slag för likhetstecknets betydelse.

”Likhetstecknet är troligen den mest missbrukade symbolen inom matematiken.” (G Malmer, 1999).

Att säga 12+3=15 som tolv plus tre blir femton är logiskt men hur säger man då 12+3=7+8? Blir känns inte naturlig här. Det kan verka som ett trivialt problem men när eleverna kommer upp i skolår 6-9 så kommer de få en hel del problem inom olika områden om de har en uppfattning om

att = innebär blir. Ett mycket vanligt fel som vi ser är när eleverna skriver 12+3=15/5=3 vilket i princip innebär att eleverna säger att 12+3=3! Som lärare måste man vara väldigt försiktig med vad man säger till eleverna, det finns en risk att man tar till förenklade, men kanske inte helt sanna regler, som ska hjälpa dem i en speciell situation men som kan ge stora problem senare. Om en yngre elev frågar om man kan räkna 2-13, eller en något äldre elev undrar vad )1(− blir får man inte säga att det inte går att räkna. Vår erfarenhet säger att det finns många som har regler typ ”störst först” (subtraktion), ”stora talet överst” (division), ”det lilla talet står uppe” (bråk), ”man kan inte dra roten ur ett negativt tal” osv. Att detta inte är sant vet vi men ändå möter vi elever som har dessa uppfattningar och det tar mycket längre tid att först ”avinlära” för att sedan lära in nytt, och de som oftast har tagit till sig dessa förrädiska regler är de elever som har haft svårigheter i matematik. Ett mycket bra kompensatoriskt hjälpmedel för elever med läs- och skrivsvårigheter är miniräknaren. Den kan dock lägga hinder i vägen om inte eleven lär sig att hantera symbolerna på miniräknaren, och här finns det en hel del intressanta fallgropar. Tecknet som på miniräknaren symboliserar multiplikation används normalt inte av eleverna när de skriver, det tecken de skriver är istället det som på miniräknaren ger ett decimaltecken. Tecknet för division används inte heller när man skriver en division och det är lätt att förväxla med additions- och multiplikationstecknet, framför allt för de som ser bokstäver, siffror och tecken som genom ett glas med vatten, vilket är fallet för en del elever med läs- och skrivsvårigheter. Spatial förmåga Den spatiala förmågan handlar om rums- och tidsuppfattning. Elever med nedsatt spatial förmåga kan ha mycket svårt att planera sitt arbete, att veta hur lång tid det tar att utföra en uppgift eller att rumsligt se hur saker hänger ihop. De kan ha stora svårigheter att till exempel rita en lägenhet. Det kan bli en rektangel som motsvarar ytterväggarna med rummen ritade som ”lösa rektanglar” innanför dessa, dvs rummen hänger inte ihop. Eleven har inte en bild av en vägg i ena rummet också är en vägg i intilliggande rum eller att taket i ett rum är golvet i ett annat. De kan också ha stora svårigheter att utifrån en bild eller verklig situation kunna tala om hur detta skulle se ut från ett annat perspektiv. En annan osäkerhet som de kan visa upp är riktningsorsäkerhet då de det gäller höger och vänster. Detta kan ge allvarliga konsekvenser då de ska identifiera räkneriktningar. Räkneriktningar förresten, finns det? Läsning är enkel så till vida att man vet var man börjar åt vilket håll man går, det är alltid samma. Men hur ser det ut med matematik, åt vilket håll går man när man har en additionsalgoritm, en divisionsalgoritm (beroende på vilken man använder förstås) eller om man har uttryck som innehåller parenteser och flera räknesätt. Det finns ingen enhetlig räkneriktning utan det beror på vad som ska räknas! Detta är något som vi funnit att många elever har svårt för. Långtidsminnet Ibland vill vi att eleverna ska lära sig saker utantill, att de ska kunna det som ett rinnande vatten, det ska sitta i ryggmärgen, vi ska kunna väcka dem mitt i natten…omskrivningarna eller beskrivningarna är många för det som kallas automatiserad kunskap. Kunskap som är automatiserad är sådan som vi lagt in i långtidsminnet och som vi har lätt åtkomligt. Ett av det tydligaste exemplen i matematik är multiplikationstabellerna. Dessa vill vi att eleverna ska kunna utantill utan att behöva räkna ut vad olika multiplikationer blir.

Elever med läs- och skrivsvårigheter har inte ett sämre eller mer begränsat långtidsminne än andra. Deras problem är att de har svårare att lägga in saker i långtidsminnet, och en mycket viktig sak är att de är inte hjälpta av det som på engelska heter rote-learning eller traggel. Fler uppgifter av samma sort hjälper dem inte de behöver få uppgifter på så många olika sätt som möjligt. Här betonar vi åter vikten av att arbeta med multisensorisk inlärning. Korttidsminnet Förmågan att ta emot instruktioner och att arbeta med huvudräkning bestäms till stor del av korttidsminnet eller arbetsminnet. För att få en bild av korttidsminnet kan man arbeta med en enkel övning där den man vill ”testa” får upprepa sifferkombinationer. Börja med serier med fyra siffror och fortsätt sedan med fem, sex…tills eleven känner att den inte kommer ihåg alla. Om man har ett begränsat korttidsminne är det viktigt att veta om det så att man kan kompensera för detta. Ett mycket enkelt, men kraftfullt sätt, är att helt enkelt använda sig av penna och papper och skriva ner mellanled, stödord mm. Begreppsbildning Begrepp är en kombination av ord, ordförståelse och erfarenheter. Om en elev har läs- och skrivsvårigheter kan det ofta vara lättare att lägga tyngdpunkten på erfarenhet och återigen ser man styrkan i att arbeta mycket med laborativt material för att ge eleverna upplevelser och erfarenheter som nya begrepp kan byggas runt. Som vi nämnde tidigare så är det inte så att alla elever har problem inom alla dessa områden men det är viktigt att du som lärare är observant på vilka problem eleven visar så att ni tillsamman kan kartlägga vilka starka och svaga sidor eleven har. Detta för att kunna hitta kompensatoriska vägar runt de problem som kan uppstå. Vår erfarenhet säger oss att när både läraren och eleven är medvetna om vilka svårigheter som kan dyka upp och hur man ska hantera dessa så blir problemen mycket mindre och eleven slipper därigenom uppleva upprepade misslyckande. Tillsamman kan man vända en neråtgående spiral till något positivt som går att bygga vidare på och som kan leda till spännande utmaningar och lustfyllt lärande. Litteratur Berggren, P. & Lindroth, M. (2004). Positiv matematik. Ekelunds förlag. Berggren, P. & Lindroth, M. (2001). Räkna, Läsa, Skriva – Test enligt Bangormodellen.

Ekelunds förlag. Berggren, P. & Lindroth, M. (1997). Kul matematik för alla. Ekelunds förlag. Chinn, S. & Ashcroft, R. (1999). Mathematics for Dyslexics – A Teaching handbook. Whurr

Publishers Ltd. Fawcett, A. (editor) (2001). Dyslexia – Theory & Good Pratice. Whurr Publishers Ltd. Henderson, A. (1998). Maths for the Dyslexic – A Practical Guide. David Fulton Publishers. Henderson, A. & Miles, E. (2001). Basic topics in mathematics for dyslexics. Whurr Publishers

Ltd. Høien, T. & Lundberg, I. (1990). Läsning och lässvårigheter. Natur och Kultur. Høien, T. & Lundberg, I. (2001). Dyslexi – Från teori till praktik. Natur och Kultur.

Johnsen Høines, M. (1990). Matematik som språk – verksamhetsteoretiska perspektiv. Liber. Kaldo, M. & Högberg, C. (1997). Ordrike – reportage från ett möjligt Sverige. Johansson /

Skyttmo Förlag. Kimhag, K. m.fl. (1995) Dyslexi och dyskalkyli. Pedagogiska institutionen, Uppsala universitet Ljungblad, A-L. (1999). Att räkna med barn med specifika matematiksvårigheter. Argument

förlag Ljungblad, A-L. (2001). Matematisk medvetenhet. Argument förlag Ljungblad, A-L. (2003). Att möra barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik. Argument

förlag Lundberg, I. (1994). Nu ska vi prata matematik. Lärarhögskolan i Stockholm institutionen för

specialpedagogik. Magne, O. (1994). Dysmatematik – den framtida skolans matematik för elever med särskilda

utbildningsbehov. Lunds universitet, institutionen för pedagogik och specialmetodik. Malmer, G. & Adler, B. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Studentlitteratur. Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla – Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter.

Studentlitteratur. Miles, E. (1998). The Bangor dyslexia teaching system. Whurr Publishers Ltd. Miles, T.R. & Miles, E. (editors) (1997). Dyslexia and mathematics. Routledge. Miles, T.R. & Miles, E. (1998). Help for dyslexic children. Routledge. Miles, T.R. (1997). Dyslexia – the pattern of difficulties. Routledge. Miles, T.R. & Westcomb, J. (2001) Music and dyslexia – opening new doors. Whurr Publishers

Ltd. Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik – en studie av påverkansfaktorer i årskurserna

4-9. Lärarhögskolan i Malmö – Institutionen för pedagogik. Persson, B. & Ödman, M. (1997). Bli vän med orden. Johansson & Skyttmo Förlag Persson, B. (1999). Botkyrkaprojektet – en dyslexipedagogisk handlingsplan för alla skolor.

Johansson & Skyttmo Förlag. Skolverket. (2000). Grundskolan – kursplaner och betygskriterier. Fritzes. Skolverket. (2001). Bedömning och betygssättning. Liber. Skolverket – rapport 114. (1996). TIMSS – Third International Mathematics and Science Study.

Liber. Skolverket – rapport 209. (2001). PISA 2000 – Program for International Student Assessment.

Liber. Stadler, E. (1994). Dyslexi – en introduktion. Studentlitteratur Sterner, G. & Lundberg, I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. NCM

rapport 2002:2. Svärdemo-Åberg, E. (1999). Datorstödd undervisning för elever med läs- och

skrivsvårigheter/dyslexi. HLS Förlag. Utbildningsdepartementet. (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet. Skolverket,

Fritzes.

302 MATEMAtakkTIKK, matematikksatsing i Osloskolen, organisering og aktiviteter

Utdanningsetaten i Oslo har iverksatt en forsterket innsats for matematikkopplæringen. Det legges opp til et planmessig arbeid over tid med oppfølging og tiltak rettet mot skolene ( 175 skoler) for å forbedre elevenes læringsutbytte. For å bidra skolene i dette arbeidet legger Utdanningsadministrasjonen til rette for kompetanseutvikling, erfaringsutveksling og samarbeid med ulike fagmiljøer. Utvikling av nettverk for hvert skoleområde er en sentral del av satsingen sammen med flere andre konkrete tiltak. Det er utarbeidet en håndbok som presenterer fokus for satsingen. Randi Schiøll Heneide, fagkonsulent i matematikk ved Utdanningsetaten i Oslo, Norge. Föreläsning Alla Dokumentation

Styrking av matematikkopplæringen i Osloskolen 2003 – 2006 I tråd med Oslo bystyrets føringer i budsjettet og Utdannings- og forskningsdepartementets strategiplan for styrking av realfagene, ”Realfag, naturligvis”, har Utdanningsetaten i Oslo iverksatt forsterket innsats for matematikkopplæringen i Osloskolen 2003 – 2006. Målet er å forbedre elevenes læringsutbytte ved å utvikle motivasjon, engasjement og interesse for faget. Innsatsen rettes mot å heve lærernes kompetanse som grunnlag for faglig trygghet og kvalitetssikring i opplæringen. Det viktigste leddet er engasjerte lærere som deltar aktivt i nettverksgrupper. Arbeid i nettverkene fremmer varierte læringsstrategier, læringsarenaer og arbeidsmåter i matematikkfaget. Videreutvikling av samarbeidsformer mellom skole og hjem står sentralt i det videre arbeid. Det er utarbeidet en Håndbok som presenterer mål og fokus for satsingen i grunnskolen og synliggjør tilbud og aktiviteter tilrettelagt av Utdanningsetaten i Oslo. Den skal bidra til å inspirere og motivere den enkelte skole til arbeid med tilpasset og variert opplæring i matematikk Det er lagt opp til et planmessig arbeid over tid med oppfølging og tiltak rettet mot skolene for å forbedre elevenes læringsutbytte. For å bidra skolene i dette arbeidet legges

Utdanningsadministrasjonen i Oslo til rette for kompetanseutvikling, erfaringsutveksling og samarbeid med ulike fagmiljøer. Utvikling av nettverk for hvert skoleområde er en sentral del av satsingen og utvikling av nettsider skaper inspirasjon til å ta IKT i bruk i opplæringen. Nettverksmodellen

Det er etablert 12 matematikknettverk i grunnskolen med en leder i hver gruppe. Disse har fått og får kontinuerlig spesial skolering i matematiske emner og i ledelsesopplæring. De blir i tillegg fulgt opp av et Matematikkteam i Utdanningsadministrasjonen. 260 matematikklærere til sammen deltar aktivt i nettverk, 2 fra hver grunnskole møter fast. Det er de samme lærene som møter hver gang. Disse er utnevnt av skolen rektor til å delta som nettverksdeltagere/ressurspersoner fra sin skole. I hvert nettverk deltar ca 25 lærere. Disse har faste møter med 3 - 4 ganger pr halvår. Møtene skaper samarbeidsarena for matematikklærere og det foregår god kunnskaps- og erfaringsutveksling i nettverkene. Ved at de samme lærere møter hver gang blir lærerne godt kjent med hverandre noe som bidrar til at mange kommer med bidrag og innspill i møtene. Dette fører til god kompetanseutvikling både rent faglig og didaktisk. Erfaringene fra nettverksgruppene videreutvikles i samarbeidsgrupper ved den enkelte skole. Nettverksdeltagere sammen med skolens ledelse utvikler samarbeidsgrupper ved egen skole. Ved at lærere i matematikk ved samme skole får anledning til å møtes til faste tider, spres erfaringene fra nettverkene til alle lærere som underviser i matematikk. Et eget nettverk, Overganger’n utvikler modeller for samarbeid mellom grunnskolens ungdomstrinn og videregående opplæring. Kompetanseutvikling Samarbeid med universiteter og høyskoler sikrer kvaliteten i kompetanseutviklingen for det pedagogiske personalet i grunnopplæringen. Det er nå i satsingsperioden et omfattende tilbud om kompetanseutvikling med faglige og didaktiske kurs. Det er videre tilbud om konferanser og seminarer for skoleledere og lærere. Matematek - Matematikkverksted Det lanseres årlig en matematekkonkurranse der den enkelte skole kan delta. Konkurransen går ut på å bygge opp et matematek, et konkretiseringsverksted, på egen skole og etter visse kriterier kan skolen vinne et betydelig beløp Nettsider http://www.utdanningsetaten.oslo.kommune.no/ Det er opprettet egne nettsider for matematikksatsingen i Oslo med løpende informasjon. Det legges ut nyhetsbrev, synliggjøring av aktiviteter sentralt og på den enkelte skole samt linker til nyttige sider til bruk i matematikkopplæringen. Her er en direktelink: http://www.utdanningsetaten.oslo.kommune.no/satsingsomrader/leseskrivesprak_og_matematikk/matematikk/ Dokumentasjon Som grunnlag for systematisk vurdering og dokumentasjon står resultater fra prøver, kartlegginger og eksamener i matematikk sentralt. Kompetansekartlegging ble foretatt høsten 2003 av alle lærere i grunnskolen som underviser i matematikk. Kartleggingen avdekket et stort kompetansebehov.

For å kartlegge elevenes ferdigheter er en kartleggingsprøve på 3. årstrinn gjennomført i to år. Prøven gjennomføres av ca. 5000 elever, er læringsstøttende og den favner i stor grad det å kunne avkode matematiske symboler, men omfatter også forståelse av tall og tallbegrep. Videre utvikles det hvert år en Osloprøve for 8. årstrinn. Dette er en mer omfattende prøve som er utviklet for å finne ut om læreplanmålene for dette årstrinnet er nådd. Videre er det nasjonale avgangsprøver på 10. årstrinn, da elevene i Norge avslutter grunnskolen. I videregående skole er det sentralgitte og lokalgitte eksamener i matematikk. Årlig rapportering fra skolene Skolene sender inn års planer for matematikksatsingen og plan for bruk av tid og ressurser. Videre sender de inn rapportering på gjennomført satsing på egen skole. Samarbeidspartnere For å sikre faglig kvalitet har satsisingen følgende samarbeidspartnere: Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen, Norge Nationellt Centrum för matematik, Sverige Universitetet i Oslo Høyskolen i Oslo, Avdeling for lærerutdanning Norsk Teknisk Museum Næringslivets Hovedorganisasjon

303 How do Students and Teachers Deal with Demanding Modelling Tasks? The Example “Sugarloaf” task

In this lecture, I will report on some of the work that has been and is being done in the DISUM project. First, I shall describe the context of our investigations, that is the attempt to improve the quality of teaching, and give a working definition of “quality mathematics teaching”. Then, I shall briefly describe the DISUM project itself, and present one of our modelling examples: the “Sugarloaf” task. By means of this example, I shall remind the audience of why such tasks are relevant for teaching, present our version of the modelling cycle and analyse the example accordingly. In the following, I shall report into some detail on how students and teachers dealt with this task in the lab and in the classroom. I shall close by discussing some implications of our findings on teaching and on further research. Werner Blum är professor i matematikdidaktik vid universitetet i Kassel Föreläsning Gr Gy Högsk Lärutb

304 Små barns matematik - vad behöver lärare kunna?

Här beskrivs bakgrunden till Pilotprojektet och hur vi arbetat med att utmana barns och lärares kunnande i och om matematik. Under föreläsningen ges exempel på aktiviteter där barn och lärare har utforskat och reflekterat över den matematik som förekommer i förskolan. - Kompetensutvecklingens innehåll och genomförande - Lärares betydelse för barns lärande - Dokumentations betydelse för både barn och lärares lärande Elisabet Doverborg är förskollärare, forskare och projektledare vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM Föreläsning Fö Dokumentation Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM:s redovisning av Pilotprojektet för förskolan (se referenser nedan). Kompetensutvecklingens innehåll och genomförande Projektet hade som mål att fördjupa och vidga det kunnande och den didaktik som lärare behöver för att kunna fördjupa barns intresse för och lärande i matematik enligt Lpfö 98. Ett 30-tal förskoleavdelningar fördelade över landet från Övertorneå till Vetlanda har deltagit. Bland dessa fanns det lärare som medvetet arbetade med matematik men det ingick också en grupp lärare som hade mindre erfarenheter av att utmana barns matematiklärande i förskolan. Pilotprojektets uppläggning förutsatte att samtliga i arbetslaget deltog aktivt både vid och mellan träffarna. På varje avdelning har det funnits en kontaktperson och förskolecheferna har deltagit i varierande grad. Under maj 2003 startades Pilotprojektet ute på förskolorna. Samtliga fem handledare besökte sina förskoleavdelningar och mötte de lärare som skulle deltaga i projektet. Under en halvdag eller kväll introducerades projektet för lärarna och de berörda förskolecheferna. Vid denna gruppträff gjordes en lägesbeskrivning med hjälp av att alla besvarade en enkät, beskrev matematiken i en bild och dokumenterade den matematik som var och en mött under just denna dag. Under hösten 2003 träffades grupperna vid tre tillfällen tillsammans med sina handledare och vid ytterligare tre tillfällen träffades gruppen utan handledare. Samma antal träffar ägde rum under våren 2004 och träffarna omfattade tre timmar. Gruppträffarna hade ett i förväg planerat innehåll som NCM:s handledare hade huvudansvaret för. Projektet följde en tydlig arbetsgång vilken kommer att presenteras. Innehållet som bearbetades var taluppfattning, rumsuppfattning, sortering, tabeller och diagram samt matematiken i lek, vardagsarbete och tema. Lärarens betydelse för barns lärande Detta var ett innehåll som diskuterades under hela projekttiden. Läroplanen betonar bl a att alla som arbetar i förskolan skall utmana barns nyfikenhet och begynnande förståelse för matematik. Vad innebär matematik för förskolebarn? Svaret på den frågan är till en del avhängigt av hur lärare i förskolan ser på matematik. Olika forskningsstudier visar på lärares stora betydelse för barns lärande i och om matematik. Under projekttiden har lärarna fått ett fördjupat ämnes- och

didaktiskt kunnande. Vi vet att lärares kunskaper och sätt att tänka om matematik har betydelse för vad de faktiskt gör. Därför har lärarna i projektet fått utmana sina sätt att tänka om matematik i allmänhet och om matematik för förskolebarn i synnerhet. Dokumentationens betydelse för både barn och lärares lärande Under hela projekttiden arbetade vi både med lärarnas och barnens dokumentation med hjälp av observationer, intervjuer, videofilmning och fotografering. Barnen har med olika uttrycks-medel dokumenterat vad de varit involverade i med fokus på matematik. Det har bidragit till att både lärarna och barnen kunnat ”se” lärandet och minnas vad de gjort, vad de tänkt och vad de talat om. Lärarna har kontinuerligt dokumenterat både barnens och eget lärande i sina loggböcker. En del av kompetensutvecklingen innebar att lärarna skulle reflektera över sitt eget lärande och på vilket sätt barnens tankar och föreställningar kunde tas som utgångspunkt för vidare reflektion och dialog. Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red). (2006). Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg:NCM. Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red). (2006). Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA).Under tryckning. Göteborg:NCM.

305 Kommunikation: muntlig matematik

Människan har fått den unika gåvan att tänka och reflektera. Det är i samspelet människor emellan som begreppsutveckling äger rum och eleverna måste därför träna sig i att kommunicera, men även att lyssna på andra. Birgitta Kuijl, låg- och speciallärare, fortbildare, läromedelsförfattare. Föreläsning Fö Gt

306 Matematikfortbildning i Vetlandas förskolor

Under läsåret 2004/2005 har Vetlanda kommun satsat på en uppföljning av Pilotprojektet Matematik från början som under läsåret 2003/2004 drevs av NCM i några kommuner i Sverige. Här har lärare från förskolor i Vetlanda själva hållit i kompetensutvecklingen för sina kollegor på andra förskolor med mycket lyckat resultat. Under föreläsningen redovisas erfarenheter och exempel på aktiviteter inom taluppfattning, rumsuppfattning och mönster från kursdagarna, samt utdrag ur barnens och lärarnas dokumentation. Margareta Forsbäck, lärararutbildare Saltsjö-Boo Maria Axelsson, förskollärare Vetlanda Anne-Liese Haugan, förskollärare Vetlanda Maria Klaesén, förskollärare Vetlanda Lill-Marie Karlsson, förskollärare Vetlanda Föreläsning Fö Dokumentation Under 2003-2004 var några förskolor i Vetlanda med i NCM:s pilotprojekt för fortbildning av förskolepersonal i matematik. I Pilotprojektet var totalt 16 deltagare - förskollärare, barnskötare och förskolechefer – från fyra förskoleavdelningar med. Intresset för den här fortbildningen spred sig bland övriga förskolor i kommunen och när projektet avslutades bestämde Vetlanda kommun att driva liknande fortbildning i egen regi med dem som deltagit i Pilotprojektet som Utbildare för den övriga förskolepersonalen i kommunen. Följande läsår ledde tre Utbildargrupper varsin grupp med 12 – 15 deltagare och under innevarande läsår leder två Utbildargrupper två nya grupper med 15 deltagare i varje grupp. Vetlanda kommuns egen fortbildning följer samma modell som Pilotprojektet. Det ställs samma krav på deltagarna att göra aktiviteter mellan träffarna och att skriva loggbok minst en gång i veckan. Det ges också samma förmåner, fri litteratur och tidskompensation för att läsa litteratur och skriva i loggboken. Från att ha varit deltagare i fortbildningen till att istället bli utbildare är steget längre än man kan tro. Även om vi följer samma struktur som under den första omgången fortbildningsdagar, blir varje nytt tillfälle både en form av kompetensutveckling för egen del och en utmaning att kunna ge de nya deltagarna inspiration att utveckla den matematik de redan använder i vardagen och att synliggöra den för sig själva och barnen samt att reflektera över vad de har gjort, tänkt och lärt sig Det första tillfället var en allmän introduktion till matematik i allmänhet och till matematik i förskolan och vad det kan vara för olika åldrar.

Nästa träff ägnades åt sortering. Förskolebarn sorterar gärna och sortering kan också vara en bra grund för att hjälpa dem att utveckla matematisk medvetenhet, eftersom sortering förekommer på många olika sätt inom matematiken. Vid följande träff pratade vi om att taluppfattning för små barn innebär att uppfatta antal och inte alltid räkna dem, att se skillnaden i hur många barn som är flickor resp pojkar genom att jämföra och bilda par, att leka lekar där det ingår att uppfatta olika antal föremål, att lära sig räkna upp talen i räkneramsan på ett lekfullt sätt både framlänges och baklänges och att göra uppgifter där olika sätt att bestämma antal blir tydliga. Rumsuppfattningstillfället ägnades åt läges- och riktningsord, samt åt att tydliggöra vad som är rimliga begrepp och ord för de minsta barnen när det gäller geometri och mätning. Kaplastavarna fungerade utmärkt som mätredskap och barnen fick uppleva vad mätning egentligen handlar om inte bara hur man gör nä man mäter. Vid detta tillfälle undersökte deltagarna också vilka mönster och former som fanns utomhus i närmiljön och dokumenterade detta på olika sätt. Samma övningar som deltagarna fick göra vid utbildningstillfällens gjorde de sedan med barnen, med ett innehåll som var relevant för den åldersgrupp de arbetade med. Vid de övriga kursträffarna arbetade vi med olika teman. Ett tema som blev väldigt lyckat och som både barnen och deltagarna engagerade sig extra mycket i var Matematik i en barnbok. Detta var också något som var lätt att visa för föräldrarna och på så sätt göra dem delaktiga i matematiksatsningen på förskolorna. Loggboken, som många upplevde som lite jobbig i början, blev under året en källa till idéer och kunskap och många av deltagarna reflekterade över hur mycket de själva hade utvecklats när de tittade tillbaka i sina loggböcker.

307 Gladmatte i förskolan

Matematik i en grupp med 16 ett- och tvååringar eller 18 tre- och fyraåringar; hur går det till och hur kan det se ut? Erfarenheter och praktiska tips. Vi berättar ckså om hur vi pedagoger inom ett projekt i matematik 1-16 år fortbildar varandra och på ett bra och billigt sätt ökar allas kompetens. Marlene Allsten, förskollärare och särskilt ansvarig för förskolans kompetensutveckling inom ett matematikprojekt i Järfälla kommun. Arbetar på Mjölnarens förskola i Jakobsberg. Eva Wedlund, förskollärare och särskilt ansvarig för förskolans kompetensutveckling inom ett matematikprojekt i Järfälla kommun. Arbetar på Fastebol förskola i Viksjö. Föreläsning Fö Gr Lärutb Dokumentation Inledning Vad är matematik i förskolan?

• Informell matematik • I för barnen meningsfulla sammanhang. Uppdraget enligt Lpfö98 • Lyssna på barnens tankar, ge utmaningar för att få pröva sina hypoteser och lösa problem • Lära med hela kroppen

Matematik i en grupp med 16 1-2 åringar Hur går det till? Hur kan det se ut? 18 3-4 åringar ” ” ” Projektet Höja Nivån

• Matematikutvecklare på varje arbetsplats – i varje grupp eller på varje avd. på många ställen

• Mandat att driva utveckling • Projektform med mål • Referensgrupp • Nätverksgrupp • Hemmaträffar

Fortbildning Forskningscirkel om matematiska begrepp. Det forskande barnet och den medforskande pedagogen 2 förstklassiga föreläsningar med Karl-Åke Kronkvist och Ann Åberg Coaching av matematikutvecklarna Projektets hemsida www.jarfalla.se Idébanken De aktiva pedagogernas möjlighet att fortbilda sig själva och fortbilda varandra.

308 Matematisk beskrivning av loopar i berg- och dalbanor

Moderna berg- och dalbanor innehåller ofta loopar. Även om textböckernas loopar oftast är cirkulära gäller detta inte verkliga loopar, där krökningsradien är större närmare marken för att minska belastningen på den som åker. Olika former kan genereras numeriskt t.ex i kalkylprogram eller matlab och jämföras med foton av verkliga berg- och dalbanor. Loopen i Lisebergs nya berg- och dalbana, Kanonen, innehåller t.ex. en klotoid, som är en del av en Cornu-spiral. Att spåret kan beskrivas med en funktion som har kontinuerliga högre ordnings derivator visar sig ha stor betydelse för att minska skaderisken för den som åker. Ann-Marie Pendrill är professor i fysik vid Göteborgs universitet Ann-Marie.Pendrill@physics.gu.se Föreläsning Gy Högsk Dokumentation

Loopar i berg- och dalbanor

Figur 1: Exampel på olika loopformer. Den röda Loopen till vänster finns på Tusenfryd i Norge (Vekoma, Corkscrew, 1988). Den gula loopen i mitten var en del av HangOver på Liseberg (Vekoma, Invertigo, 1996), som numera finns på Sommerland Syd in södra Danmark. Loopen till höger är från Kanonen som öppnade 2005på Liseberg (Accelerator Coaster, Intamin/Stengel). övning för läsaren: Kanonens tåg är 9.5m långt och passerar loopens högsta punkt på ungefär 1.3s. Använd bilden för att uppskatta "g-kraften" i högsta punkten för den som åker. Spelar det någon roll var i tåget man sitter? Hur mycket?

1. Introduktion Har du någon gång tittar närmare på en loop i en berg- och dalbana? Har du sett hur överdelen kan likna en halvcirkel, medan nederdelen ser helt annorlunda ut, men ökande krökningsradie

närmare marken. När du har observerat det är skälen troligen uppenbara. Vi behandlar först cirkulära loopar som inledning till en beskrivning av andra former, och tar upp de formler som behövs för att beräkna hastighet och acceleration i en given punkt. "Roller coaster data base" [1] innehåller många foton på loopar att jämföra med.

2. Cirkulär vertikal loop Den matematiska beskrivningen av en cirkulär loop är enkel och friktionsfria cirkulära loopar med försumbar tåglängd är populära problem i fysikböcker. Tågets fart erhålles direkt genom att använda energiprincipen, dvs mv2/2=mg∆h.Vid en given punkt i berg- och dalbanan kan centripetalaccelerationen då uttryckas som ac= v2/r = 2gh/r där h är höjdskillnaden jämfört med berg- och dalbanans högsta punkt och r är den lokala krökningsradien. Om tåget skulle röra sig långsamt över toppen skulle det falla av spåret om det inte vore för de extra hjulen på andra sidan spåret. På samma sätt skulle de som åker falla ut om de inte hölls fast av byglarna. Även om tåget nästan vore i vila i högsta punkten, och de som åkte skulle hänga upp och ned och uppleva "-1g", så skulle de ändå utsättas för 5g i lägsta punkten (och 2g på sidan) om loopen vore cirkulär. Med högre fart blir accelerationerna och krafterna naturligtvis större. Åkattraktioner för mindre barn är ofta begränsade till omkring 2g, attraktioner som vänder sig till familjer kommer ofta upp i 3g, ibland mer, medan många av dagens större berg- och dalbanor överskrider 4g. Problemen med cirkulära loopar är inte bara den maximala g-kraften i botten: På väg in i en cirkulär loop från ett horisontellt spår skulle innebära att man på mycket kort tid skulle gå från 1g till den maximal g-kraft. Dessutom skulle kroppens vinkelhastighet plötsligt öka. När denna typ av loopar användes under 1900-talets början ledde det till ett antal whiplash-skador [2]. En funktion med kontinuerliga högre ordnings derivator skulle naturligtvis vara att föredra. Fotografierna i figur 1 visar exempel på olika sätt att uppnå en mjuk övergång från en liten krökningsradie högst upp till en större radie längst ned. Vi fortsätter nu att diskutera några olika loop-former med denna egenskap.

3. Att generera olika loopformer Kurvor med olika form kan beskrivas med ett system av differentialekvationer som anger derivatan av läget med avseende på en sträcka, s, utmed kurvan. Skillnaden mellan olika loopformer avspeglas då i uttrycket för krökningsradien, r. Banans form kan erhållas genom att utnyttja matlabs program för att lösa system av ordinära differentialekvationer (t.ex. "ode45"). Man kan också utnyttja kalkylprogram och dela upp loopen i små vinkelsteg. I en given punkt beräknas krökningsradien. Den multipliceras sedan med vinkelsteget för att få fram avståndet utmed spåret till nästa punkt. Läget för nästa punkt approximeras med en förflyttning med denna sträcka i spårets riktning; spåret approximeras med en rät linje eftersom vinkeländringen är liten.

3.1 Konstant centripetalacceleration En av de loopformer som är enklast att generera leder till en konstant centripetalacceleration, som föreslås i den klassiska ingenjörs-mekanikboken av Meriam and Craige [3]. Krökningsradien varierar då linjärt med höjden. Detta villkor kan tillämpas för hela loopen, eller endast för nederdelen som sedan matchas till ett cirkulärt spår för överdelen. En loop som kan ge 3g centripetalacceleration genom hela loopen är mycket lik Hangoverloopen i Fig. 1. Villkoret att centripetalaccelerationen skall vara konstant resulterar i en loop som är symmetrisk kring lägsta punkten och denna form kan utvidgas till en sekvens av loopar, som t.ex. i The Great American Scream Machine [1] från 1989. Som ett alternativ till konstant centripetalacceleration kan man tillämpa ett villkor att "g-kraften" på den som åker skall vara

konstant i hela loopen. Dessa loopar blir något smalare. Exempel på olika loopformer med konstant centripetalacceleration och konstant g-kraft presenteras i ref. [4]

3.3 Klotoid-loopar Kanonens loop är ett exempel på en klotoid-loop, som innehåller en del av en Cornu-spiral. Klotoidformen för loopar introducerades av Werner Stengel och implementerades första gången 1976 [2]. Cornu-spiralen har egenskapen att krökningsradien är omvänt proportionell mot avståndet till spiralens centrum. Denna egenskap används för att förbinda delar av spår med olika krökningsradier och används även vid järnvägs- och vägbyggen, t.ex. vid motorvägsavfarter [5]. Om man kör med kosntant fart på en vägsträcka som kan beskrivas som en klotoid, så kan man följa vägen genom att vrida ratten med konstant fart. Krökningsradiens variation kan enkelt uttryckas som dθ /ds=as. För att erhålla ett yttryck på parametern s i relation till läget i loopen kan man integrera över vinkeln, vilket ger θ = θ 0+ a s2. Om Cornuspiralen orienteras med ett centrum som lutar nedåt kommer spåret att passera en lägsta punkt som ligger mellan loopen och klotoidens centrum. I denna punkt blir krökningsradien större än i toppen eller sidan av loopen. Kvoten mellan dessa radier kan vara ett sätt att specifiera den önskade formen.

Figur 2. Exempel på klotoidloopar där spåret kommer in horisontellt. I den vänstra

figuren upptar klotoiden hela loopen, medan figuren till höger visar en loop dör en cirkelbåge på toppen har matchats till en klotoid där spåret är vertikalt. För dessa fall blir vinkeln i skärningspunkten 127o respektive 141o. De streckade linjerna markerar dels spiralens fortsättning, dels en cirkel som svarar mot krökningsradien i högsta punkten.

4. Diskussion Att konstruera program som ritar loopar av olika slag och jämföra med verkliga loopar kan vara givande projektarbete. För att undersöka hur god approximationen är kan man jämföra den beräknade loopen på datorskärmen med ett foto utskrivet på OH-blad (eller i ett lämplig ritprogram). Mindre beräkningsprojekt kan erhållas genom att tillhandahålla koordinater för en given loopform och be studenter beräkna t.ex. hur krökningsradien varierar som funktion av höjden, hur lång tid det tar att åka igenom loopen och hur krafterna på kroppen varierar under

turen. Vill man öka svårighetsgraden kan man ta hänsyn till skillnaden mellan "hjärtlinje" och spår, och illustrera skillnaden mellan en vanlig och inverterad berg- och dalbana. Tågets längd innebär en förskjutning av tyngdpunkten som innebär att man utsätts för olika krafter beroende på var man sitter i tåget. Tågets längd sammanhänger också med spårets form, vilket spegas i figur 1. (Fler exempel finns i ref. [1]). För ett längre tåg ligger masscentrum längre ned, vilket möjliggör en högre och smalare loop [6]. De loopformer som diskuterats i denna artikel speglar "det systematiska överförenklandets konst". Samtidigt illustrerar tidiga erfarenheter att kontinuerliga högre ordnings derivator i den matematiska beskrivningen av spårets form är viktiga för en säker tur! Att beräkna olika former kan förändra sättet att se på loopar i berg- och dalbanor. Duane Marden uppmärksammade mig på skillnaden mellan klotoidloopen som introducerats av Stengel och de mera droppformade loopar som används t.ex. av Arrow. Clarence Bakken gav mig tillgång till accelerometer data för Invertigo. Ulf Johansson på Liseberg and Werner Stengel lät mig få ana något om de komplikationer som gäller verkliga loopar. Delfinansiering för detta arbete erhållits från CSELT (Chalmers Strategic Effort in Learning and Teaching) och från RHU (Rådet för Högre Utbildning).

1. The Roller Coaster Data Base, http://www.rcdb.com, av Duane Marden innehåller bl.a. många loopfoton som illustrerar olika former.

2. Roller Coaster - The Achterbahn-Designer Werner Stengel, Klaus Schützmannsky (Kehler Verlag, Heidelberg, 2001) Werner Stengel utnämndes 2005 till hedersdoktor av Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet. Mer Information om hans arbete finns också på http://www.rcstengel.com. och på http://fy.chalmers.se/LISEBERG/

3. Engineering Mechanics: Dynamics (5th ed), J. L. Meriam och L. G. Kraige, problem 3-153 (s180)

4. Roller Coaster Loop Shapes, Ann-Marie Pendrill, Physics Education 40, 517 (2005) 5. Vejgeometri, Erik Vestergaard, http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html. 6. Werner Stengel, private communication, 2005.

309 Introduktion till integraler, genom lärarstyrd upptäcktsinlärning

Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindra aktiva/passiva lyssnare/betraktare. Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar till sig ny kunskap. "Läraren är inte längre en ensam skådespelare utan eleverna är skådespelare med läraren som regissör, tillika administrativ och teknisk ledare vid den teater vi kallar skola". Krister Larsson är lärarutbildare vid Linköpings universitet. Workshop Gy Vux Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindre aktiva/passiva lyssnare/betraktare. Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar till sig ny kunskap. “Don´t teach me, let me learn!” låter ju förödande vackert, men ”allt som glimmar är inte guld”. Den av Piaget inspirerade amerikanske psykologen David Ausubel hävdar att fri upptäcktsundervisning kan vara en ineffektiv undervisningsmetod som tar lång tid och det finns ingen garanti för att eleven upptäcker något! Verbal inlärning, när läraren berättar och förklarar i en strukturerad sekvens kan vara väl så effektiv! Nu är emellertid elevernas förkunskaper och färdigheter av högst varierande kvalite´ och det är enligt min mening det som är ”haken”. En del lärare försöker lösa problemet genom mer självständigt arbete, men det tror jag är en återvändsgränd. Att elever självständigt kan erövra komplexa matematiska begrepp genom idogt räknande i en lärobok är bevisligen möjligt, men gäller endast för ett fåtal elever och i allt mindre utstäckning nu än förr. För att en elev ska kunna assimilera nytt stoff krävs att hon kan förankra det i den kunskap hon redan har- i befintliga strukturer. Vi lärare förutsätter ibland/ofta att eleven redan har den kunskapen och vi underskattar också den tid det tar för eleven att hinna med i tankegången. Tappar eleven tråden i någon sekvens så mister eleven helhetssynen och hänger bara med på triviala manipulationer eller lägger av helt. Signaler som – ”Vi behöver väl inte ha så lång genomgång!” – ”När ska vi få börja räkna!” – ”Det är bättre att vi jobbar själva i boken!” kan tolkas som situationer som beskrivs ovan. Jag har tagit för vana att efter en genomgång på en lektion som en lärarstuderande har hållit och som jag har observerat, i min roll som lärarutbildare, sätta mig ner och prata med någon elev: Det kan t.ex. låta så här: ”I den här genomgången är det många moment som är svåra att förstå om

man inte redan vet vad det handlar om. Dessutom använder läraren ord och beteckningar som jag ifrågasätter om du och dina kamrater vet innebörden av, men ändå är det sällan som ni protesterar och säger att nu hänger vi inte med - eller vad betyder det! – Varför är det så?” Man får många intressanta svar och kommentarer men Karins (elev i åk2 Gy kurs C) kommentar får stå som en sammanfattning på det som är en vanlig elevreflektion. Karin svarar: ” Det är alltid så – det är mycket man inte förstår – man blir van - men man vet att man nog kommer att fatta när man äntligen får räkna i boken – det brukar klarna då – ibland – men inte alltid – då tycker man matte är hopplöst …(ett leende) - ”Men du verkar vara duktig i matematik – hur tror du det är för kamrater som inte är så framgångsrika? ” - Karin: ”Ja -jag har Vg” – men det är många i klassen som tycker matten är jättesvår” – dom förstår egentligen inte vad dom gör och varför …..

För att bearbeta denna didaktiska problemställning vill på min workshop presentera en ide´som jag prövat på gymnasieelever och på studenter som läser tekniskt natruvetenskapligt basår. Den didaktiska modellen beskrivs bäst genom en mix av två omarbetade strukturscheman, ett från den engelska didaktikern Richard Duschl (New trends in designing learning environments) och ett andra från David Ausubel (Styrd upptäcktsinlärning, fritt översatt från ”Att studera fysik” B.Ekstig) Duschls´forskning visar att då läraren presenterar/löser ett begrepp/uppgift så hinner de flesta elever inte med och rekommenderar då en ”trestegsraket”: steg 1 läraren samtalar kring begreppet/uppgiften, steg 2 elever i grupp arbetar med en instruktion, steg 3 lärare tillsammans med eleverna diskuterar/förklarar utfallet, allt enligt schemat nedan.

Ett Begrepp! Förståelse - Färdighet ⇒

⇒

⇓ samtal ⇑ diskussion

⇒

Matematik i handling – Elevgruppens arbete med uppgiften ****************************************************************************************

”Styrd upptäcktsinlärning”. Enligt Ausubel Ausubels två dimension i ett diagram: Mekanisk inlärning - utantillinlärning Meningsfull inlärning – att se samband – att förstå

Data - Observationer Det man: ser, hör, känner,

mäter, vet, anar, varseblir

Förklaringar på flera olika nivåer

Tydliggöra, välja ut, välja bort,

sortera, tolka ”bygga ställning”

Resultat och lösningsförslag

(ibland ofullständiga)

Meningsfull Klargörande Väl strukturerad Fria laborationer inlärning av relationer lärarinstruktion projekt, veten- mellan begrepp skaplig forskning Strukturerad Laborativt arbete Rutinforskning genomgång efter instruktion

References:

Ausubel, D. (1963). The Psychology of Meaningful Verbal Learning. New York: Grune & Stratton.

Ausubels två principer:

Ausubels två principer

1. The most general ideas of a subject should be presented first and then progressively differentiated in terms of detail and specificity.

2. Instructional materials should attempt to integrate new material with previously presented information through comparisons and cross-referencing of new and old ideas.

Skiss av en tänkt lärogång: Läraren presenterar Bilder I (bilaga 1) för eleverna och gruppen löser uppgiften och tillsammans diskuteras resultatet. Därefter har läraren en genomgång då lärare och elever tillsammans ritar och samtalar kring medelhastighet, momentan-hastighet, v/t diagram för att så småningom efter några djärva manipuleringar komma fram till ett uttryck för sträckan (bilaga 2). Nu står det klart att vi måste söka ett uttryck för ”generationen ovanför!!!” funktionen v(t). Här är det lämpligt att eleverna i grupp själva får rita den grafen Bilder II (bilaga 3). Efter ett kort samtal kring graferna på Bilder II så får eleverna i grupp självständigt bearbeta Bilder III (bilaga 4). Någon elevgrupp redovisar sin lösning på OH-film och hela proceduren bearbetas och diskuteras i helklass.

Proceduren appliceras lämpligen på andra problemtyper som inte har fysikalisk anknytning för att påvisa teorins allmängiltighet.

Vidare finns många andra saker att ta in som att det finns många primitiva funktioner, trappstegsfunktioner, jämföra integralens värde med medelvärde av över- och underfunktion etc.

Det är min övertygelse att den här ovan i skissform beskrivna undervisningsmodellen kan tillämpas på många olika matematiska begrepp och leder till större elevengagemang och fördjupade kunskaper.

Referenser: Mer om D.Ausubel hittar du på nätet adress: http://tip.psychology.org/ausubel.html Mer om R.Duschl hittar du på nätet adress: http://www.klc.ac.uk/depsta/education/hpage/rduschl.html Bilagor. Finns på sid 5

310 Sinne för proportioner

Matematikkurserna för ingenjörsstudenter börjar ofta med repetition av gymnasiekursen. För en student som behärskar denna kurs kan detta vara slöseri med tid. Jag har prövat att i stället börja med dels nytt stoff från linjär algebra (som inte kräver repetition), dels gymnasie- och grundskolestoff men presenterat på ett för de flesta nytt sätt. Det som främst kommer att diskuteras är begreppet proportionalitet. Peter Mogensen har en bakgrund som komvuxlärare i matematik. Sedan 12 år är han universitetsadjunkt vid Karlstads universitet där han undervisat på de flesta grundkurserna inom de olika fristående samt lärar- och ingenjörsprogrammen. Föreläsning Gr Gy Vux Högsk Lärutb Sammanfattning av föredraget. Jag kommer ta upp två punkter från min erfarenhet av grundläggande matematikundervisning på ingenjörsprogrammen vid Karlstads universitet. —Ett försök med att flytta stoff mellan de inledande kurserna. —Ett försök att ge studenterna en alternativ metod för att lösa problem rörande proportionalitet. 1. Försök med att flytta stoff mellan kurser. Vid Karlstads universitet har det första året på ingenjörsprogrammen traditionellt omfattat två 5-poängskurser: Kurs 1 har tagit upp områden som förenkling av algebraiska uttryck, ekvationslösning, olikheter, komplexa tal, de elementära funktionerna, gränsvärden och derivator med tillämpningar. Kurs 2 har främst omfattat linjär algebra (vektorer, ekvationssystem och matriser), integraler och differentialekvationer. (Det är viss variation mellan programmen men den går jag inte in på.) Konsekvensen har varit att studenter med goda gymnasiekunskaper har upplevt nästan hela den första kursen som repetition, och att matematiken inte blivit den utmaning som några kanske hoppats. Då jag under våren 2004 fick en liten byggingenjörsgrupp ville jag därför provflyga ett nytt upplägg: Ny kurs 1: Derivator ersattes med linjär algebra. Ny kurs 2: Linjär algebra ersattes med derivator.

Syftet med förändringen var att studenterna skulle känna att universitetet innebar något nytt. Vektorgeometri med linjer och plan i det tredimensionella rummet, linjära ekvationssystem utan unik lösning och matrisalgebra hade de ej mött tidigare så alla började från samma nivå. Vi tror att förändringen varit lyckad och har skrivit om kursplanerna efter denna modell. 2. En alternativ metod för problem rörande proportionalitet. En ingenjör möter inte sällan formuleringar som ”proportionell mot roten ur”, ”exponentiellt växande (avtagande)”, ”logaritmiskt beroende” och liknande. Den vanliga metoden är i så fall att man skriver upp en ekvation y = kz där z är ett rotuttryck, en exponentialfunktion eller vad situationen påkallar. Det normala är sedan att k bestäms ur givna indata vilket ger en färdig formel för att få fram den sökta storheten. Denna modell är mycket användbar, men i många fall är konstanten k inte intressant för problemets lösning. Ex 1. Från A till B tar det 7 minuter om man åker med farten 100 km/h. Hur lång tid tar det att åka tillbaks om man då har farten 70 km/h? Denna uppgift gavs för tio år sedan till en internationell grupp av blivande lärare. Den dominerande lösningsmetoden kan beskrivas enligt följande modell: (i) Gör om 7 minuter till 0,117 timmar (ii) Formeln s = vt ger s = 11,7 km (iii) Formeln s = vt ger det sökta värdet för t = 0,167 h = 10,02 min ≈ 10 minuter. I detta fall är alltså sträckan proportionalitetskonstanten. I detta fall är det dock en omväg att bestämma s, en omväg som dessutom innebär att man får hantera ett avrundningsfel i mellanledet. Jag föreslog en alternativ metod som utnyttjade att tid och hastighet var omvänt proportionella mot varandra: ” andra tiden : första tiden = första hastigheten : andra hastigheten”. Denna metod är enklare. Vi slipper göra omvägen att bestämma sträckan. Avrundningsproblemet försvinner eftersom man kan göra en förkortning i det bråkuttryck som uppstår. En ytterligare fördel med denna metod är att man slipper göra omvandlingen mellan hastighetens per timme och tidangivelsens minuter. I följande exempel kan proportionalitetskonstanten inte bestämmas: Ex. 2a) Hållfastheten hos en balk är proportionell mot bredden b och mot höjden h i kvadrat. Om en balk görs 44 % bredare, hur många procent kan man minska på höjden utan att hållfastheten försämras? Avrunda till heltal.

b) Hållfastheten antas även omvänt proportionell mot balkens längd i kvadrat. Om en balk görs fyra gånger så lång och fyra gånger så bred, hur mycket högre behöver den göras för att orka samma belastning? Här ger givna data ingen ledning beträffande proportionalitetskonstantens storlek. Likafullt kan man relativt enkelt lösa uppgiften genom att ställa upp ett lämpligt bråk som man sedan förkortar. Min metod är minst av allt ny. Det är realskolans Regula de tri som fått uppstå på nytt, en metod som bokstavligen kan betraktas som klassisk. Det visade sig dock förbluffande svårt att få gehör hos studenterna för detta sätt att tänka. Under den nämnda byggingenjörskursen gjorde jag stora ansträngningar men lyckades bara delvis. En av svårigheterna är studenternas otillräckliga erfarenheter av att ”räkna med bråk”. En annan tycks vara att de har ett visst motstånd mot att överge metoder som är baserade på tekniska räknehjälpmedel. Problemet är att räknaren är så effektiv att det går fortare att genomföra en klumpig lösning än att lista ut en elegant genväg. Detta hämmar utvecklingen av kognitiva redskap. Trots att det alltså inte är så enkelt att lansera nya tankebanor tror jag att det kan vara värt ett försök. Även bortsett från att ”min” metod i många fall förenklar beräkningarna kan man ibland ställas inför problem där det är nödvändigt att resultatet är korrekt. Om man i sådana situationer kan jämföra olika lösningsmodeller minskar man risken för misstag. I mitt föredrag kommer jag ge exempel på uppgifter där synsättet ”A förhåller sig till B som C till D” är fruktbart. En liknande modell för att lösa problem rörande exponentiell tillväxt kommer också att diskuteras. Peter Mogensen matematik universitetet 651 88 KARLSTAD 054 700 11 63 peter.mogensen@kau.se

311 Rosengård kan - hinder och möjligheter

”Svagt utvecklat språk” och ”olika kulturers syn på” var faktorer som antogs bidra till att så många rosengårdselever inte nådde de nationella målen. Ett gemensamt projekt, F-9, satte igång för att göra alla pedagoger medvetna om de hinder och möjligheter som fanns. Vi berättar om våra elevers kunnande i och syn på matte 1-9, och om upplägget i vårt projekt. Johanna Edvinsson, lärare 4-9, T4-skolan i Hässleholm Petra Svensson, lärare 4-9, Rosegårdsskolan i Malmö Bo Sjöström, undervisar i Matematik och lärande på Malmö högskola Föreläsning Gr

Dokumentation

1. Bakgrund och mål Enligt en Åtgärdsplan för matematikprojekt på Herrgårdens delområde, daterat 2001-11-07, kännetecknas området av en befolkning som till 98 % har utländsk bakgrund. Förvärvs-frekvensen hos den vuxna befolkningen är så låg som 8 %. Vårterminen 2001 hade 58 elever av 111 i år 9 och 71 av 98 i år 8 inte nått upp till målet godkänt i matematik. Dessa siffror är oerhört alarmerande och därför är det av största vikt att arbeta för ökad måluppfyllelse i matematik.

Mål Arbetet med matematik i ett utvecklingsprojekt ska leda till: att de pedagoger som undervisar i matematik utvecklar en pedagogisk medvetenhet i hur elever med annan kulturell och språklig bakgrund tillägnar sig kunskaper i matematik på ett optimalt sätt att ge elever en positiv syn på matematik att måluppfyllelsen genom detta ökar så att fler elever får möjligheter att nå de nationella målen i matematik. att detta arbete på lång sikt ska skapa en utvecklingsplan för ämnet matematik

2. Upplägg. Föreläsnings- och seminarieserie Det är mot dessa mål vi arbetat under projektets gång. Efter ett par remissomgångar med referensgruppen kunde jag lägga fram ett förslag till upplägg, som åtminstone till en början följdes ganska väl. Som synes nedan, utgick jag från Rönnbergs rapport: Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikutbildning. En litterturöversikt. Stockholm: Liber distribution. Ett 20-tal lärare (klassrumsforskarna) hade tillgång till hela rapporten, och kunde vid varje föreläsning följa upp med väl valda sidor från denna. Dessa lärare träffades regelbundet och arbetade med Seminarieuppgifter, se nedan.

F 1. Taluppfattning och positionssystem Om man kan beskriva och förstå olika tankeformer kan man lättare se samband i matematik. Flera elever missar denna möjlighet därför att de inte tror att deras tanke duger. Vilka uppgifter är lämpliga att börja med för att få flera elever med i samtal kring tankeformer och samband? Vi

börjar i några enkla huvudräkningsuppgifter där den ena tankeformen är lika bra som den andra och där det är lätt att förstå samband mellan de olika sätten att tänka. Vi studerar också hur elever i 7-års och 14 årsåldern uppfattar tal, räkning med tal och positionssystemet. Vi uppmärksammar olika kulturers sätt att se på tal och uppbyggnad av tal. Rönnberg sid 11-14, 34-46, … Övrig litteratur: Tal och räkning 1. Johnsen Hoines, M. Matematik som språk. Taluppfattningstest år 4 o 8. Matte hemma matte i skolan. F 2. ”De ska väl åtminstone kunna De fyra räknesätten.” Rapportering från seminariet med uppgifterna S1. Hur fungerar räknesätten egentligen? Vilka samband finns? Kulturella skillnader och likheter. Hur ser elever på multiplikation, division … Flera elever kan räkna i olika räknesätt men betydligt färre är säkra på när man ska använda dem. Vad ger det elever och lärare att elever skriver räknehändelser? Hur ser elever på algoritmer? Hur ser kursplaner och läroboks-författare på algoritmers vara eller icke vara? Vilken roll spelar miniräknaren? Vi studerar också hur några elever i 11-årsåldern hanterar räknesätt och miniräknare. Rönnberg sid 15-34, … Övrig litteratur: Tal och räkning 1 och 2. Nämnaren Tema Matematik – ett kommunikationsämne. Paulsson, K.A Hur räknar du människa.

F 4. Mönsteruppgifter och mönsterlektioner Rapportering från seminariet …

Uppgifter som handlar om mönster och talföljder förekommer alltmer i nationella prov och

matematikdidaktisk litteratur. Varför ska vi arbeta med sådana uppgifter och vad kan dessa

tillföra andra områden inom matematikundervisningen? Hur ska vi presentera sådana uppgifter i

en vettig utvecklingsgång och så att eleverna har möjlighet att utveckla tilltro till sin förmåga att

lösa problem? Varför och hur förekommer mönsteruppgifter i nationella prov och diagnoser samt

i läromedel?

Rönnbergs sid 59-68, …

Övrig litteratur: Dahl, Kristin: Matte med mening Alfabeta 1995. Dahl, Kristin: Den fantastiska matematiken. Stockholm Fisher 1991. Enzenberger Hans Magnus Sifferdjävulen Förslag till arbetssätt vid seminarierna S1, S2 …

En del av följande S 1-uppgifter, S 2-uppgifter o s v kommer att behandlas under föreläsningen F 1, F 2 o s v. Dels utifrån hur vi vuxna ser på respektive uppgift, dels hur elever ser på uppgifterna och hur de behandlar dem individuellt och i grupp. Prova gärna någon av dessa uppgifter med någon elev eller grupp av elever före respektive föreläsning. Kanske får du då ut (ännu) mer av föreläsningarna F 1, F 2 … Seminarierna utmynnade också i att vi i grupper skrev och diskuterade rapporter med t ex följande rubriker: Taluppfattning och tankemönster samt Mönster och algebra. Dessa diskuteras i biennalprogram 408 och 618 samt 412 och 918.

3. Gruppdiskussioner Min ambition var att klassrumsforskarnas undersökningar, inspirerade av mina seminarieuppgifter, skulle rapporteras även när vi träffade hela lärarkåren på storföreläsningarna. Detta för att göra innehållet på föreläsningarna förankrat i klassrummen på Rosengård. Inspelade elevintervjuer om hur elever tänker när de löser uppgifter av typ S1 brukar vara intresseväckande. Likaså hur elever tänker kring sitt lärande, se exempel ovan. När elever löser större uppgifter (liknande problem i nationella prov), framgår deras tänkande tydligare om de får arbeta tillsammans i grupp. Om man dessutom kan spela in sådana samtal på video och få tillstånd till och till stånd en visning för sina kolleger, så växer möjligheterna till gemensamma didaktiska samtal. Jag visar ett exempel på vad som hände när vi i samband med föreläsningarna satte oss i tvärgrupper för att diskutera dagens innehåll, av mig givna uppgifter, eller av grupperna självpåtagna uppgifter. Varje grupps minnesanteckningar mejlades i allmänhet till mig, så att jag kunde följa upp och kommentera senare. Nedan ett par hopslagna exempel, för jämförelse i tid. Ur anteckningar från gruppdiskussionen 28/10 och 27/11:

C1. Mångkulturaliteten, 28/10 … innebär att det finns ett enormt spektrum ... Ämnets status varierar i olika länder. Olika syn på matte hemma och i skolan kan försvåra för eleven. … prata med föräldrarna ... Vi borde vara mer insatta i hur man arbetar med matematik i elevernas hemländer. Nationella prov på hemspråk? Våra elever har inte skolspråket/begreppen på sitt modersmål och då är detta ingen hjälp. Begreppen behövs och då är svenskan närmast. C2. Mångkulturaliteten, 27/11 Många av våra elever behöver hela tiden bekräftelse på vad de har gjort. De vill hela tiden visa läraren vad de åstadkommit. Detta gör det svårt att arbeta i grupp. Våra elever är väldigt styrda hemma i familjen och har ingen vana att resonera och diskutera. E2. Läge, hinder och möjligheter, 27/11 Många av våra elever behöver hela tiden bekräftelse på vad de har gjort. De vill hela tiden visa läraren vad de åstadkommit. Detta gör det svårt att arbeta i grupp. Våra elever är väldigt styrda hemma i familjen och har ingen vana att resonera och diskutera. Börja tidigt med grupparbete så

att eleverna får vana och rutin på det hela! Ansvarsfördelningen i en grupp är avgörande för elevernas utveckling av social kompetens.Vi måste jobba mycket med den sociala kompetensen för att uppnå de demokratiska målen, alltså göra eleverna medvetna om sitt lärande, genom t ex diskussioner och samtal, arbete med öppna frågeställningar, utgå från elevernas föreställningsvärld och kunskaper och utifrån detta bygga vidare. Vikten av att eleverna lär sig att fungera tillsammans, en förmåga som följer dem livet igenom, under utbildning, arbete. Att det inte är en självklarhet för många, beror på invanda organisations-mönster hemifrån. Resultatsfixering kan hämma, ”varför ska jag dela med mig ” Under projektets gång märkte jag hur inställningen till samlärande svängde från ”går ej” till ”bör provas” och att man måste ”börja tidigt”. Med andra ord blev man varse att detta måste få ta tid och att det är en angelägenhet för hela grundskolan. Här såg man en fördel i att det inte bara var mattelärare som diskuterade sin syn på samlärande, mångkulturalitet mm. 4. Elevers utveckling i 1-9 perspektiv En kort sammanfattning av en rapport med samma titel, författad av Ysanne Bengtsson, John Persson och Bo Sjöström. 1. Inledning och syfte I Åtgärdsplan för matematikprojektet på Herrgårdens delområde, daterat 2001-11-07 står det så här: ”För att få en fördjupad förståelse för vad som händer med en elevs matematik- utveckling behövs en mindre forskningsinsats på skolan. Denna ska ha som syfte att följa elevers utveckling i matematik.” Uppdraget att genomföra denna insats gavs till författarna av denna rapport. Syftet uppfattar vi så att vi på något sätt ska följa elevers utveckling i matematik på Rosengårdsskolan. Vi anser att man inom projektets ram omöjligt kan göra en longitudinell studie där vi under flera år följer ett antal elever. Detta skulle ta lång tid, och vi skulle få vänta många år på att få svar på våra frågor. Den metod vi till slut valde gick ut på att ”följa elevers utveckling” genom att studera hur elever i år 1, 5, 7 och 9 hanterar och tänker kring en gemensam uppgift, först parvis och därefter enskilt, med individuella åtföljande intervjuer. 2. Några frågeställningar och svar Våra utvalda elever presenteras några matematiska uppgifter att diskutera och lösa. Vi tror att vi i inspelningar av diskussioner och intervjuer ska kunna finna svar på frågeställningarna: 1. Vilket kunnande visar eleverna i olika åldrar, 2. och hur utvecklas det år 1-9 3. Vilka sätt att tänka visar eleverna? Vilket språk tänker de på? Vilka erfarenhets - och

referensramar har de? 4. och hur utvecklas detta år 1-9 5. Får eleven någon hjälp med matten i hemmet. Vilket intresse finns där? (Vilka matematik-

förebilder finns i hemmet?) 6. och hur förändras detta år 1-9 7. Vilken syn på och vilken attityd till matematik (matematikundervisning) och lärande visar

eleven

8. och hur förändras den år 1-9 1-2) Kunnandet på vår skola måste kunna utvecklas mer under 9 år än vad vi sett hos de elever vi intervjuat. Uppskattningar och rimlighetsbedömningar måste vara en återkommande aktivitet under lektionerna. Någon årskurs 6-elev hade laborerat med kvadrater och rektanglar och lärt sig att en triangel är hälften av motsvarande rektangel. Man kanske behöver arbeta med detta under många tillfällen och även låta eleverna arbeta mer praktiskt. Detta stärker teorin att praktiska handlingar befäster kunskap. Flera förståelsebitar behövs för att utveckla ett kreativt tänkande med olika strategier. 3-4) Som vuxen måste man inse att en elev som har t ex varit 4 år i Sverige och är i 15-års-åldern inte har utvecklat sina begrepp mer än en 10-åring som har varit i Sverige lika länge. Begreppsutvecklingen tar tid oavsett i vilken ålder man är. 5-6) Begreppsutvecklingen skulle kunna stimuleras om eleven fick hjälp hemma i samband med läxor och uppföljning av skolarbetet. Tyvärr känns det som att hemmiljön inte har någon större positiv inverkan här. Ju längre föräldrarna lever sina liv i arbetslöshet desto svagare blir intresset för barnens skolgång och resultat i skolan. 7-8) Eleverna kanske behöver mer tid och ro för att förklara och sätta ord på sitt tänkande och kunnande. Som lärare måste man därför vara medveten om att samtal om matematik sätter i gång en process där eleven får möjlighet att utveckla sin förståelse, sätta ord på sina tankar och utveckla sitt mattespråk. Det är viktigt att eleverna inte tappar lusten vid för mycket mekaniskt räknande i böcker, utan att det varvas med andra aktiviteter t ex problemlösning i grupp, laborationer m m. Det är viktigt att stärka elevernas medvetenhet t ex genom noggranna genomgångar av kunskapsmål och betygskriterier. Deras medvetenhet om var kravgränsen ligger, behöver utvecklas. Det är bra att våra elever lyckas bevara sin tilltro till sitt kunnande, men vi vill också att de ska kombinera detta med en större medvetenhet om vad de kan och borde kunna. Eleverna har kanske den viktigaste av alla förutsättningar för lärande och vi måste hjälpa dem så att den blir relevant och till nytta genom att utveckla deras medvetenhet. Eleverna har förutsättningarna och vi har tillsammans möjligheterna.

312 Problem med Kängurun

Varje år i mars arrangeras Kängurutävlingen – Matematikens Hopp, som vänder sig till alla elever i åk 3 – gymnasiets kurs E. Men problemen kan användas i undervisningen under hela året och med elever i alla åldrar. Under detta pass presenteras ett urval av problem hämtade från de klasser som vänder sig till grundskolans elever. Vi löser dem och diskuterar hur de kan användas, varieras och utvecklas. • Motsvarande pass finns också för äldre elever, (se Susanne Gennows bidrag, nr 119) Karin Wallby arbetar på NCM, bl a med Kängurun och tidskriften Nämnaren. Föreläsning Gr Dokumentation ”Kangourou sans Frontières” är en internationell organisation som varje år den tredje torsdagen i mars genomför en tävling för elever i olika åldrar. Nästan alla länder i Europa är med och flera utomeuropeiska och mer än 2 miljoner elever deltar. En del av tanken bakom Kängurun är att elever i många länder samtidigt ska fundera på samma problem. Organisationens franska namn betyder också Känguru utan gränser. Sverige har varit med sedan 1999. Då deltog endast elever på mellanstadiet, i klassen Benjamin, men nu finns klasser för alla elever från åk 3: Ecolier, åk 3 – 4, Benjamin åk 5 – 7 och Cadet åk 8 – 9, Cadet för gymnasiet, för elever som läser kurs A, Junior för kurs B och C samt Student för elever på kurs D och E. Kängurun – Matematikens hopp har initierats i Sverige av SKM, Svenska kommittén för matematikutbildning. Den arrangeras i samarbete med NCM, Nationellt Centrum för Matematikutbildning.

Syftet med Kängurun Avsikten med Kängurun är att stimulera intresset för matematik genom bra problem som är tänkta att väcka nyfikenhet och en lust hos eleverna att få ta reda på mer. Ett annat syfte är att sätta matematiken i centrum en speciell dag, att engagera många samtidigt. Det är inte ett prov eller ett test på vad eleverna kan och problemen är inte relaterade till några tänkta kravnivåer för olika åldrar. Vi räknar med att alla elever ska klara några lösningar utan större problem, kunna arbeta sig fram till några och kanske med lite tur klara något, men att endast enstaka elever ska klara allt. Det första mötet med problemen ska för de flesta mest ses som en intresseväckare. Att man inte hinner alla uppgifter och inte kan allt är alltså inte något som ska bekymra vare sig elever eller lärare. Det viktiga arbetet är det som kommer sen. Tävlingsdelen fyller ändå en funktion. Det finns en hel del elever som tycker att det är roligt att tävla och det finns mycket duktiga elever som sällan får visa vad de egentligen kan som här har en chans att visa det. Den är också ett sätt att göra något särskilt i samband med matematik, en möjlighet att uppmärksamma matematikämnet. Vår uppmaning till lärarna är att låta alla elever vara med, detta är inte en

elittävling. Det är viktigt inte minst med tanke på det vidare arbetet att alla elever fått erfarenhet av problemen. Att eleverna informeras om att det inte handlar om ett prov som de förväntas klara av är avgörande för hur de ska uppfatta Kängurun. Tävlingsdelen görs individuellt, under begränsad tid. Att det är individuell innebär att en del elever får möjlighet att visa en annan sida än den förväntade. Varje år rapporterar lärare om oväntat bra resultat från några elever som man inte förväntat sig det av. Vi hoppas förstås att Känguruproblemen ska vara ett sätt att möta dessa elever och att det ska gå att bygga vidare på sådana positiva erfarenheter. På flera håll gör skolorna något särskilt av den här dagen. Elever som lyckas speciellt bra uppmärksammas också på olika sätt, t ex i samband med skolavslutning eller i lokalpressen. Detta bestämma den lokala skolan helt över. Ett diplomunderlag finns att dela ut till eleverna.

Arbeta vidare med Känguruproblemen Tävlingsdelen av Kängurun är dock bara en del av helheten. Meningen är att eleverna sedan gemensamt ska arbeta vidare med problemen och lära sig av dem. Då kan olika lösningsmetoder jämföras och diskuteras, problemen varieras och fördjupas och de ingående matematiska idéerna behandlas. Utifrån några frågor som vi får och med hjälp av problem från tidigare omgångar av Kängurun ska jag illustrera några idéer. Varför får man inte ha miniräknare? Beräkningarna i sig utgör inte innehållet i problemen. Där beräkningar ska utföras är de ingående talen valda så att elever inte ska behöva stupa på bristande räknefärdighet. I stället ska de kunna använda andra metoder, t.ex se efter strukturer och mönster, för att finna svaret. Vissa problem skulle också bli tämligen ointressanta om de löstes med miniräknare. Se på nedanstående två exempel: 1: Vilket av alternativen är inte lika med 671 – 389?

a: 771 – 489 b: 681 – 399

c: 669 – 391 d: 1871 – 1589 e: 600 – 318

2: 2003 + 2003 + 2003 + 2003 + 20032003 + 2003

=

a: 2003 b: 13

c: 3 d: 52

e: 6006

Vilka skillnader i angreppssätt tror du det blir om eleverna använder miniräknare jämfört med om de inte gör det?

En del problem skulle vara lättare utan text En del av matematisk problemlösning är just att kunna gå mellan konkret situationer, som kan vara mer eller mindre verkliga, och matematikens abstrakta värld, att kunna matematisera en händelse och att efter att ha löst problemet skilt från situationen kunna tolka och använda lösningen för att svara på den konkreta frågan. Eleverna behöver också lära sig hantera text så att de kan lösa skriftligt formulerade problem. Texten behöver redas ut, ord kanske förklaras och nödvändig information ska skiljas från oväsentlig. Enkla skisser kan vara stöd för tankarna. Lös följande exempel och fundera på hur du själv angriper dem. Fundera på hur du skulle kunna hjälpa dina elever att angripa liknande problem. 3: Molly, Dolly, Sally, Polly och Kelly sitter på en parkbänk. Molly sitter inte längst till höger.

Dolly sitter inte längst till vänster. Sally sitter varken längst till höger eller längst till vänster. Kelly sitter inte bredvid Sally. Sally sitter inte bredvid Dolly. Polly sitter till höger om Dolly, men inte nödvändigtvis intill henne. Vem sitter längst till höger?

A: Polly B: Dolly C: Sally D: Kelly E: det går inte att avgöra

4: Fyra pojkar köpte en present till sin far. Ett av barnen gömde presenten. Modern frågade dem

vem som hade gömt presenten. De fyra pojkarna kom med följande påståenden: Alfred: ”Det var inte jag! ”; Benjamin: ”Det var inte jag! ”; Christian: ”Det var Daniel! ”; Daniel: ”Det var Benjamin! ” Precis en av pojkarna lurades. Vem hade gömt presenten? A: Alfred B: Benjamin C: Christian D: Daniel E: Det går inte att avgöra

Måste man inte ha linjal? Varje år finns det flera geometriproblem. Inga av dessa löser man genom att mäta med verktyg, det finns alltid möjlighet att resonera sig fram till en lösning. Ibland kan lösningen ge en ahaupplevelse. 5: Kvadraten KLMN är sammansatt av en vit inre kvadrat och fyra likadana färgade rektanglar.

Var och en av de färgade rektanglarna har omkretsen 40 cm. Hur stor area har kvadraten KLMN?

N M K L

A: 440 cm2 B: 400 cm2 C : 160 cm2 D: 80 cm2 E: Går inte att avgöra Det här kan inte mina elever. Vi har inte gått igenom det än. Så är det troligen beträffande flera problem. Men eftersom Kängurun inte är ett prov är det i det här sammanhanget inget bekymmer. Låt eleverna prova och använd problemet som introduktion till nya områden. Följande problem fanns, med lite olika text, i alla tävlingsklasser för grundskolan för ett par år sen. För de yngsta eleverna var det förstås en stor utmaning och deras lösningsmetoder skiljer sig från de äldres, men visst kan 9-åringar lösa nedanstående problem även om de ännu inte arbetar speciellt med ekvationer. 6: I leksaksaffären finns mjuka djur att köpa. En hund och tre björnar kostar tillsammans lika mycket som fyra kängurur. Tre hundar och två björnar kostar också lika mycket som fyra kängurur. Vad vet vi om priset på hunden och björnen? a: En björn kostar lika mycket som två hundar. b: En björn kostar lika mycket som tre hundar. c: En hund kostar lika mycket som en björn. d: En hund kostar lika mycket som två björnar e: Det går inte att avgöra. Använd problem i undervisningen Att lösa problem är ett sätt att lära sig matematik. Genom att lösa och undersöka problemen kan man få kunskaper inte bara i problemlösning utan också bygga upp förståelse för matematiska begrepp. De problem som finns med i Kängurun är oftast mycket bra och utvecklingsbara och innehåller väsentlig matematik. De finns tillgängliga på Nämnarens webbplats: namnaren.ncm.gu.se under Kängurusidan. Där finns också lösningar med kommentarer och förslag på hur de kan användas i undervisningen. I varje nummer av Nämnaren finns också Kängurusidan med kommentarer kring aktuella Känguruproblem. För den som vill läsa mer om problemlösning som ett sätt att undervisa i matematik rekommenderas: Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Stockholm: Liber. Anmäl din klass till Kängurun 2006 Information om Kängurun finns på namnaren.ncm.gu.se , där också anmälan görs.

314 Det gyllene snittet

Jag har ett föredrag som visar var det gyllene snittet finns i naturen, matematiken, arkitekturen och konsten. Carl-Olof Fägerlind, matematiker och fysiker. Har jobbat på lärarhögskolan i Stockholm i tio år och på Fysikum, Stockholms universitet i fem år. Föreläsning Gr Gy Vux Högsk Lärutb Dokumentation

Detta arbete är inte enbart riktat till naturvetare utan lika mycket till humanister och sam-

hällsvetare. Vissa små avsnitt är dock matematiska. När jag som femtonåring i slöjden gjorde en spegel, vars sidor jag svarvade, så stötte jag

först på det gyllene snittet. Jag svarvade spegelns ram och skulle pryda den med vissa märken. Då valde jag just detta snitt. Det var första gången och sen dess har jag alltid funderat på dess innebörd. Den hänger fortfarande i mitt hem. Ofta händer det att folk säger: ”Vilken vacker spegel.” Varför säger de så? Jag avslutar föredraget med en förklaring.

Detta arbete handlar om den gudomliga proportionen, snittet eller det gyllene snittet. Om

man delar en sida så att den mindre förhåller sig till den större som den större förhåller sig till

hela sidan, så får man det gyllene snittet. ≈−

215 0,6180. Det betecknas ofta Φ.

Pythagoréerna 500 f. Kr. hade den femuddiga stjärnan, pentagrammet som sitt ordenstecken.

Detta pentagram är inristat på doktor Fausts tröskel i Goethes Faust. Det ställer till förtret för Mefistofeles. Sidan delat med en diagonal = det gyllene snittet.

Pythagoréerna ansåg att i begynnelsen så rådde kaos. Sen kom talen till världen och bringade ordning. Allt är tal. Världen kunde förklaras med hjälp av tal.

Leonardo da Vinci har satt upp proportioner för den vackra kroppen. Han menade att på den harmoniskt vackra människan skall naveln dela längden enligt det gyllene snittet. Föredraget berättar om det gyllene snittets förekomst i naturen, konsten, arkitekturen och matematiken. Carl-Olof Fägerlind c-o.fagerlind@tele2.se

315 Statistik, DNA och växtarters släktträd: ett exempel på tvärvetenskaplig matematisk forskning

Det senaste decenniets största landvinning inom naturvetenskap får nog sägas vara tekniken att avläsa organismers DNA-kod. Inom den systematiska botaniken används denna teknik till att lära sig mer om hur olika växtfamiljer har utvecklats under evolutionens lopp och för att bestämma växternas släktrelationer. Denna mycket aktiva forskningsverksamhet involverar såväl botaniker/biologer som matematiker/statistiker/datavetare. På föreläsningen kommer jag ge en kort biologisk bakgrund följt av intuitiva beskrivningar till hur man matematiskt modellerar evolution/mutation, och slutligen hur man utifrån observerade data, dvs sekvenserade växter, drar slutsatser om troliga släktrelationer mellan växterna. Tom Britton är professor i matematisk statistik vid Stockholms Universitet. Hans forskning rör tillämpad sannolikhetsteori och statistik, huvudsakligen med inriktning mot medicin och biologi. Föreläsning Gy Vux Högsk Lärutb

316 Räknelappar i användning

Ur Anna Kruses bok "Åskådningsmatematik" (N o K 1909) -"Materialet i den första undervisningen spelar en stor roll...Kulramen brukar spela rollen av tuktumästare. Andra begagnar talbilder till vilka barnen hänvisas till kvistiga frågor. Eller räknelådor som lärarinnan demonstrerar. Men allt detta är inte nog. Ett material, som jag funnit förträffligt utgöres helt enkelt av kvadratiska papperslappar av 9 kvadratcentimeters yta och 3 millimeter tjocka. Varje barn bör äga tre buntar. Till detta kommer en räkneplatta, två gånger fem lappars storlek. Med hjälp av lapparna kom jag i samarbete med mina elever och några kolleger att uppbygga det system som ligger till grund för denna bok." Räknelapparna ger barn möjligheter att bygga upp inre bilder av tals egenskaper innan symbolspråket börjar användas. Lapparna finns redan i många skåp i skolorna. Det är annars enkelt att tillverka sina egna lappar och ta med till föreläsningen: klistra ihop ett tjockt rött och ett blått papper, plasta in, ruta in i kvadrater och skär upp. Sen kan expeditionen i talens värld påbörjas. Karl-Åke Kronqvist är lågstadielärare (1974) och universitetsadjunkt. Har tillsammans med Gudrun Malmer skrivit "Räkna med barn" (Ekelunds AB 1993) och "Matematik på väg" i Malmö lärarutbildnings rapportserie 12/2003. Workshop Fö Gt Lärutb Dokumentation Ur Anna Kruses bok Åskådningsmatematik (N o K 1909) -"Materialet i den första undervisningen spelar en stor roll...Kulramen brukar spela rollen av tuktumästare. Andra begagnar talbilder till vilka barnen hänvisas till kvistiga frågor. Eller räknelådor som lärarinnan demonstrerar. Men allt detta är inte nog. Ett material, som jag funnit förträffligt utgöres helt enkelt av kvadratiska papperslappar av 9 kvadratcentimeters yta och 3 millimeter tjocka. Varje barn bör äga tre buntar. Till detta kommer en räkneplatta, två gånger fem lappars storlek. Med hjälp av lapparna kom jag i samarbete med mina elever och några kolleger att uppbygga det system som ligger till grund för denna bok." Ofta diskuteras hur barnen ska kunna utveckla en god taluppfattning. Räknefärdigheterna meningsfulla först när de ingående talen förstås av barnen. Det är onödigt att hitta på egna formuleringar när det år 1909 sagts något som är tillräckligt bra i denna fråga. Citatet är hämtat från Anna Kruses bok Åskådningsmatematik. ”Många anser den första matematikundervisningen så enkel, att det icke bör vara någon svårighet för vem det vara må att lägga grunden till detta ämne. Men här är det icke fråga om att kunna utföra en enkel räkneoperation; här är det fråga om att sköta det ämne – jag vill kalla det den brynsten – på vilken förståndet ska skärpas, här är det fråga om det kanske viktigaste medlet för utvecklande av det logiska tänkandet.

De, som arbetar med matematik inom skolans högre avdelningar, förundrar sig ofta över att så många elever har svårt för detta ämne. Månne orsaken icke ligga i det sätt, varpå ämnet grundlägges! Sker det kanske av därtill inkompetenta personer, som anser att envar kunde sköta det lilla talområdet? Men är icke just detta lilla talområde likt knoppen, som i sin tur innesluter utvecklingsmöjligheterna? Om den fördärvas, vad sker då med frukten? Jag fruktar, att den kunskap som i allmänhet skänkes barnet mest består i ord, vilka endast tränga till minnet men lämnar förståndet oberört.” Räknelapparna ger barn möjligheter att bygga upp inre bilder av tals egenskaper innan symbolspråket börjar användas. Lapparna finns redan i många skåp i skolorna. Det är annars enkelt att tillverka sina egna lappar och ta med till föreläsningen: klistra ihop ett tjockt rött och ett blått papper, ruta in i kvadrater och skär upp. Sen kan expeditionen i talens värld påbörjas....

317 Hvordan undersøge voksnes matematik i arbejdet? Præsentation af et værktøj

I alle kursusplaner for matematik peger formålet med undervisningen ud over skolen, ud i samfunds-, familie- og arbejdslivet. Matematiklæreren er ofte gået direkte fra skole til læreruddannelse tilbage i skolen igen og har ikke erfaring med matematik på almindelige arbejdspladser. Hvordan kan han eller hun undersøge voksnes matematik i arbejdet? I denne workshop vil jeg berette fra min og andres forsknings om matematik i og for arbejdet og præsentere et værktøj som matematiklæreren kan bruge ved besøg og observationer på arbejdspladser. Tine Wedege er universitetslektor ved Lärarutbildningen, Malmö Högskola, og gæsteprofessor ved Institut for Matematiske Fag, Norges Teknisk Naturvitenskaplige Universitet i Trondheim. Workshop Alla Vux Dokumentation Introduktion 1 Det almendannende mål med skolens matematikundervisning findes uden for skolen. I samfundslivet, familielivet og arbejdslivet. Det står i de officielle læreplaner og bekendtgørelser, og det kommer frem hos de fleste matematiklærere, når de skal argumentere for matematikundervisningen. For nylig bad jeg et hold studerende på sidste semester i matematiklæreruddannelsen ved Malmö Högskola om at skrive max fem linjer om hvorfor de mente at der skulle undervises i matematik i den svenske skole i dag. I alle besvarelser var der reference til matematik i samfundet, f.eks. udtrykt på denne måde: ”Matematiken behövs för att klara sig i vårat samhälle. Du behöver kunna handla, betala räkninger, läsa tidtabeller, förstå statistik i media m.m.” Kun i en enkelt besvarelse var der en direkte reference til arbejdslivet: ”Det ingår någon sorts matematik i alla yrkeskategorier t ex bilmekaniker, städerska, sjuksköterska m.m.” Men hvad er det for noget matematik som indgår overalt i arbejdet? Hvad er matematik i arbejdet i det hele taget for noget? Det kan vi ikke bare gætte os til. Det bliver i hvert fald ikke noget kvalificeret gæt. Problemet er at matematiklærere ikke altid er klædt på til at svare på spørgsmålet. De fleste af os er gået direkte fra skolen til læreruddannelsen og tilbage til skolen igen. Resultatet er at almindelige arbejdspladser er som et lukket land. Måske er det en af årsagerne til at kun en enkelt studerende nævner arbejdslivet direkte. En anden årsag kan være at matematikken i arbejdet ikke genkendes som matematik.

Nej, jeg anvender ikke matematik i arbejdet Traditionelle spørgeskemaer og interviews kan ikke afdække matematik i arbejdet, fordi den er skjult i værktøj/maskiner eller procedurer og organisation på arbejdspladsen). Den kan også være

1 Teksten er en forkortet og redigeret version af artiklen Wedege, Tine (2005). Matematik i arbejdet hvad er det for noget? Nämnaren, 4/2005, 8-11. Observationsskemaet sidst i teksten er tilføjet.

skjult for de voksne på grund af deres matematikopfattelse eller deres selvopfattelse, som en der ikke kan eller anvender matematik (Wedege, 2004). Hvis man spørger voksne mennesker generelt om de anvender matematik i arbejdet, så er det mest almindelige svar et nej. Men svaret kan blive ja og samtalen mere interessant, hvis den spørgende ved noget om arbejdet på forhånd og kan gå tættere på. I tre artikler under temaet ”Gäst i verkligheten” i Nämnaren 1-3, 2005, møder vi eksempler på matematiklæreres fortolkning af det han/hun ser og hører ved besøg på arbejdspladsen. Med matematikbrillerne på næsen kan læreren se matematik overalt. Men er det den samme matematik som skolen underviser i? Når eleverne har lært formlerne for cirklens areal og omkreds, anvender de så automatisk disse formler hvor det er hensigtsmæssigt i hverdagen. Forskningen siger nej.

Matematik i og for arbejdet Matematik i arbejdet interesserer os som matematiklærere og -didaktikere fordi vi også uddanner mennesker til arbejdslivet. Et tilbagevendende og omdiskuteret spørgsmål drejer sig om transfer, transmission eller transformation af matematikken fra skole til hverdag og omvendt. Et særligt matematikdidaktisk forskningsområde har simpelthen overskriften ”Matematik i og for arbejdet” (se f.eks. Topic Study Group 7, Mathematics education in and for work, på www.ICME-10.dk – Programme). Rudolf Strässer var blandt de første som engagerede sig i dette forskningsområde. På ICME-8 i Sevilla, 1996, gjorde han op med en række slogans om matematikkens rolle i arbejdet, blandt andet de to udsagn: ”Arbejdslivet er fuld af matematik”, og ”Den gennemsnitlige arbejder behøver (ikke) at lære matematik til hans/hendes arbejde.” Om det første slogan konkluderede han sådan:

Indeed, the world of work is full of mathematics, but vocational mathematics is different from disciplinary mathematics – insofar as it is interested in solving the workplace problems, not disciplinary mathematical problems.

Vocational mathematic is also different from “school mathematics” in general education – insofar as it is always specific to the workplace in question, hardly interested in links to other mathematics and sometimes far more complicated than school mathematics.” (Strässer, 1996:439)

Tidligere var udgangspunktet for forskningen inden for området at matematikken på arbejdspladsen var let at få øje på, og at den først og fremmest bestod af beregninger. Det forudsattes også at matematik lært i skolen, uproblematisk blev overført til arbejdet (transfer). Fra midten af 1980’erne begyndte forskerne at studere bestemte typer arbejde i detaljer og undersøge hvordan medarbejdere griber matematiske opgaver an. De undersøgte også hvordan opgaver og metoder formes af formålet og arbejdsredskaberne. Fra denne forskning stammer opfattelsen af at den matematiske aktivitet er indfiltret i arbejdets kompleksitet.

Lægemiddelregning i praksis For at studere viden-i-brug [kunskap-i-bruk] har matematikdidaktikerne Celia Hoyles, Richard Noss og Stefano Pozzi (2001) studeret en række arbejdsfunktioner bl.a. sygeplejerskers dosering af medicin. De har udvalgt brøker og forholdsregning som vidensområde, fordi det er centralt i arbejdsfunktionen, og fordi præcision og korrekthed er af største vigtighed. Som det blev fremhævet i Nämnarens artikel ”En dos matematik”, drejer det sig om liv eller død. Hovedparten af den tidligere forskning i lægemiddelregning har fokuseret på de fejl og misforståelser som sygeplejestuderende har begået i skriftlige, de-kontekstualiserede tests. I stedet for at studere beregningsfejl, undersøgte Hoyles, Noss og Pozzi sygeplejerskernes

strategier i sammenhæng med deres kulturelle praksis. De skyggede og interviewede dem, efter først at have interviewet sygeplejelærerne, der fortalte om den såkaldte ”sygepleje-reglen” til beregning af medicin som de underviste i på uddannelsen:

Den foreskrevne dosis --------------------------- x Antal mål [mått] Dosis pr. ”mål”

Hvis en patient skal have 300 mg af en medicin, som er pakket i portioner med 120 mg pr. 2 ml, så kan den nødvendige dosis efter denne regel beregnes sådan: 300 mg --------- x 2 ml 120 mg Under interviews med de ældre sygeplejersker dukkede den samme algoritme op igen og igen, men i en lidt anden form: ”Hvad du skal have - over hvad du har – gange med det volumen den leveres i.” Umiddelbart skulle man så tro at sygeplejerskerne brugte den beregningsstrategi. Men ved de 26 forskellige kombinationer af brøker som var involveret i de observerede episoder med dosering af medicin, anvendte sygeplejerskerne 12 forskellige strategier. Kun i tre tilfælde brugte de ”syge-pleje-reglen”, der ellers var reglen, hvis man skulle man tro lærernes ord. Strategierne var altid tilpasset efter situationen og det enkelte lægemiddel. Sygeplejerskerne behandlede alle beregninger som rutine, og de lavede ingen fejl.

Ligesom anden forskning bekræfter denne undersøgelse forskellen mellem den eksplicitte matematik i skolen, og matematikken i hverdagens praksis. Den engelske forskning dokumenterer at matematik i arbejdet aldrig er ren, men altid indfiltret i andre aktiviteter og overvejelser. Det svarer til resultaterne fra mine egne undersøgelser af almindelige jobfunktioner i metalindustrien, bygge-anlæg, transport og servicesektoren.

Opgavestyret matematik versus matematik i jobbet Med baggrund i min og andres forskning har jeg sammenfattet en række principielle forskelle mellem skolematematik og hverdagsmatematik. Mit fokus har været opgavestyret matematikundervisning, hvormed jeg mener en undervisning der primært sigter mod at deltagerne tilegner sig algoritmer, formler og begreber gennem lærerens gennemgang af teori, lærebogens gennemregnede eksempler og løsning af opgaver stillet af lærer eller lærebog. I den opgavestyrede matematikundervisning er ”opgaven” et centralt element som strukturerer forløbet. Den anvendes til at træne færdigheder (brug af algoritmer, teori og begreber) samt teste færdigheder og forståelser. Derfor løses opgaven ofte af den enkelte elev, og han/hun kan opfatte det som snyd [fusk] at aflevere en fælles løsning. Opgaven er formuleret af læreren, lærebogen, programmet. Opgaven har én rigtig løsning og mange mulige forkerte. Løsning af opgaven har ingen praktisk betydning: resultaterne skal ikke anvendes til noget, udover måske til løsning af flere opgaver. Når der løses såkaldte ”problemregningsopgaver” hvor opgave-konteksten er praktiske problemer, så handler løsningen stadig om facit og brug af den rigtige algoritme, ikke om løsning af det praktiske problem. På arbejdspladsen er der også opgaver (eller problemer), men de opstår ved løsning af arbejdsopgaver hvor tallene skal findes/konstrueres med de relevante måleenheder (stk.; timer; kg; kr; m. osv). Det er arbejdsopgaver og -funktioner i en bestemt teknologisk sammenhæng der styrer og strukturerer processen, ikke ”opgaven”. Nogle af disse opgaver ligner ganske vist en skoleopgave (en bestemt algoritme er givet i arbejdsinstruktionen), men den erfarne arbejder har sine egne rutiner, opmålings- og beregningsmetoder. Desuden kan forhold i produktionen gøre at der dispenseres i forhold til instruktionen, eller at antallet af stikprøver i kvalitetskontrollen øges eller sænkes. Det er karakteristik at mange opgaver/problemer kan løses på forskellige måder, og at forskellige resultater (løsninger på det praktiske problem) kan være OK. På arbejdspladsen er opgaveløsningen en fælles sag: der skal samarbejdes, ikke konkurreres. Løsning af opgaven har

altid praktiske konsekvenser i form af et produkt, en arbejdsplan, distribution af varer, en pris o.s.v. (se Wedege, 2000). De principielle forskelle mellem matematik på jobbet og i den opgavestyrede matematik-undervisning, som mange voksne har mødt i grundskolen, betyder noget for menneskers opfattelser af dem selv og matematik. I løbet af de sidste 10 år har meget ændret sig i grundskolens matematikundervisning, bl.a. med indførelse af projektarbejde, og forhåbentlig vil det afspejle sig i ændrede holdninger til matematik hos fremtidens voksne.

Workshop på biennalen Når underviseren ved noget om hvordan det faktisk forholder med matematik i dagliglivet, så er chancen større for at matematik i skolen kan sigte ud af skolen. På biennalen 2006 vil jeg i workshoppen ”Hvordan undersøge voksnes matematik i arbejdet?” berette fra min og andres forsknings om matematik i og for arbejdet. Desuden vil jeg præsentere et værktøj (se observationsskema nedenfor) som matematiklæreren kan have glæde af ved besøg og observationer på almindelige arbejdspladser.

Referencer Hoyles, C.; Noss, R. og Pozzi, S. (2001). Proportional reasoning in nursing practice. Journal for Research

in Mathematics Education, 32(1), 4-27. Strässer, Rudolf (1996). Mathematics for Work - a Didactical Perspective (pp. 427-422). In Alsina, C. et

al. (eds.) Proceedings of the 8th International Congress on Mathematical Education. Selected Lectures. Sevilla.

Observationsschema

Del 1 (Kontekst) Bransch – Arbetsfunktion – AMU-kurs Verksamhet – Adress – Kontaktperson (namn, tel.) Datum och tidpunkt för observationen Forskarens namn – Medarbetaren (namn, tel.) Del 2 (Data och medie) Tal, figurer, formler o.s.v. observerat på arbetsplatsen +/- (används eller används inte i arbetsfunktionen) * (materialet är insamlat) Typ av materiale Del 3 Kronologiska anteckningar från observationen i tre dimensioner: 1) Medie (skriftligt/muntligt material och information; konkreta material eller processer) 2) Personlig intention (få/ge information; insamla data; kontrollera, värdera, koordinera) 3) Färdigheter och förståelser (hantering av och känsla för tal och storlek; form och dimension; mönster och relationer; data och chans; förändring och matematisk modellering)

Wedege, Tine (2000). Matematikviden og teknologiske kompetencer hos kortuddannede voksne. - Rekognosceringer og konstruktioner i grænselandet mellem matematikkens didaktik og forskning i voksenuddannelse. Roskilde Universitetscenter, IMFUFA tekst nr. 381.

Wedege, Tine (2004). Mathematics at work: researching adults’ mathematics-containing competences. Nordic Studies in Mathematics Education, 9 (2), 101-122.

318 "Terningpyramiden" – et terningspil med ubegrænsede muligheder i undervisningen

Hvordan bliver leg til læring? Hvordan kan underholdning blive til matematisk eksperimenteren? En workshop med mange ideer til den daglige undervisning. Terningpyramiden er et multiredskab til skolens matematik:

- anvendelse på alle klassetrin - vægtning mellem leg og læring tilpasses individuelle forhold - undring og eksperimenterende arbejdsformer - mange forskellige spil og mange forskellige matematiske undersøgelser

Med udgangspunkt i korte afprøvninger af udvalgte spil skal deltagerne på vandring i Terningpyramidens didaktiske muligheder. Der gives inspiration til hvordan spillet og dens unikke spilleplade kan flytte opmærksomheden til matematiske undersøgelser om talbehandling, rummelighed, sandsynlighed, udfaldsrum, talsystemer og Pascals trekant. ”Terningpyramiden" har i 2001 modtaget "Uddannelsesprisen" i Danmark: "Terningpyramiden, er et materiale, som er særdeles gennemtænkt, kreativt og stimulerende for børns interesse for matematik og logisk tænkning." (priskomiteen) Volker Berthold, 44 år, skolelærer, Haslev i Danmark, beskæftiger mig med didaktiske spørgsmål ud fra en praktisk vinkel. Mine erfaringer ligger specielt indenfor "spil i undervisningen", "konkret materiale i undervisning", "aktiv matematik". Workshop Gs Gy Dokumentation Missionen med denne workshop er at pege på behovet for en elevrelateret matematikundervisning på alle klassetrin. Eleverne skal opleve at de matematiske systemer af tal og streger ikke er et formål i sig selv, men et redskab til at opdage og beskrive hverdagen, som man møder den. Anvendelse af spil i undervisningen er en måde at synliggør, hvordan vi bruger matematik i det daglige liv. Her kan det være former for sortering, regelmæssighed, genkendelse, mønstre, antal eller de strategiske tanker, som inddrager flere elementer i overvejelsen. Arbejde med spil synliggør hvordan børn arbejder med hypoteser (strategier) og prøver dem af i praksis (spillet). Efter hvert omgang tilpasses hypotesen de erfaringer man lige har gjort og læringsspiralen arbejder uden yderligere bevidstgørelse.

Et af de bedste spil, som hører hjemme i matematiktimen er ”Terningpyramiden”, som i og for sig er et ganske alm. terningspil. Men når man først har nævnt ordet ”matematik” til dette materiale, så vil de matematiske briller være konstant på opdagelsesrejse. Der er beskrevet 6 forskellige spil i regelhæftet og hvert spil har sin egen strategi, sin egen udformning og sin egen didaktiske mulighed. Men med den unikke spilleplade og de 140 terninger skabes der samtidig en ramme for at arbejde med egne spilleregler og finde på helt nye aktiviteter. Workshoppen er en guidet undervisningstur til et af spillene. Turen går fra indskolingens første år, hvor optælling og sammenlægning af små tal er basisstof. Og den slutter med overvejelser om den talmæssige og geometrisk løsning af (a+b+c)6. I forløbet bliver vist, hvordan materialet ændrer karakter fra at være et underholdende spil til at være et laborativt materiale, som til sidst skal være den visuelle holdepunkt for den abstrakte struktur, de store elever arbejder med. Undervejs er deltagerne stødt på geometriske overvejelser under spillet, talfølger og deres beregninger, Pascals trekant og den tredimensionelle version af den. Disse eksempler viser anvendeligheden på alle klassetrin og på mange forskellige matematiske fagområder. Det siger sig selv at differentiering er et nøgleord i denne sammenhæng. Og her ligger den grundlæggende styrke i Terningpyramiden (– lige som i mange andre spil). Inddragelsen af dette terningspil spænder over en række overvejelser og fokuspunkter:

- spillet som legeredskab og ubeviste læringsimpulser - faglig gennemgang med præsentation af anvendelse i dagligdagen. - klasseundervisning, gruppearbejde, værksteder eller den enkelt elev - faglig præsentation eller elevernes egen eksperimenteren. - Opstart af et fagemne med spillet eller inddragelse af spillet under forløbet. - Tidsforbrug kan strække sig fra en enkelt time til flere ugers arbejde. - Inddragelse af intelligenstænkning og læringsstile.

319 En tävling i matematik för lärare i grundskolans senare år

I somras hade jag förmånen att delta på vandrarkonferensen "Rátz László" för ungerska matematiklärare i staden Salgótarján, Ungern. Där organiserades bland annat en tävling för lärare. 30 flervalsuppgifter skulle lösas på 90 minuter. Tillåtna hjälpmedel var bara använda papper, penna och suddgummi. Många deltagare tog chansen att få en rolig upplevelse, nyttig hjärngympa och trettio bra uppgifter som man kan använda efteråt på många olika sätt. Katalin Földesi, universitetsadjunkt på Mälardalens högskola i Eskilstuna. Deltar och medverkar gärna på matematikdidaktiska konferenser. Lever i två matematikdidaktiska kulturer. Workshop Gs Dokumentation Lärartävling – 2005. För grundskollärare Tävlingstid: 90 minuter. Varje rätt svar ger 5 poäng; fel svar ger 0 poäng; en fråga utan svar ger 1 poäng. Du får använda penna, papper, linjal och passare. Du behöver bara lämna in svarsblanketten när du är klar. Tack för att du deltar i Lärartävlingen!

1. Om n är ett heltal och större än 5, vilka av nedanstående uttryck är de minsta? (A) 5/n (B) 5/(n+1) (C) 5/ (n-1) (D) n/5 (E) (n+1)/5

2. För talen a, b, c gäller att c – 2a = 50 och b + 3a = 10. Bestäm medelvärdet av a, b, c ! (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 60 (E) Man har inte tillräckligt med information för att kunna svara på frågan.

3. Ett av nedanstående tal har ett annat värde än de övriga. Vilket tal är det ?

(A) 5/12 (B) )

4/113(

1

+

(C) 14425 (D) 22

22

8956

−− (E) ½ - 1/3 + ¼

4. Om

cb

a1

11

++

= 163 , hur mycket är a + b + c ?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 11

5. Hur många nollor slutar följande produkt på: 25 ⋅ 30 ⋅ 35 ⋅ 40 ⋅ 45 ⋅ 50 ⋅ 55 ? (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) 5

6. Vilket tal är den minsta primtalsdelaren till talet 120! + 91 ?

(A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 91 (E) Inget av ovanstående svar är rätt.

7. Vilka av följande tal kan man inte skriva upp som summan av två kvadrattal? (A) 13 (B) 25 (C) 61 (D) 83 (E) 101

8. Vilket av dessa tal är summan av de övriga? (A) 2 (B) 0.5 (C) –1 (D) –3.5 (E) 3

9. Hur många delare har talet 22 ⋅ 33 ⋅ 44 ? (A) 9 (B) 24 (C) 30 (D) 44 (E) 60

10. ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 31 ) ⋅ 216 ⋅ 16 ! = (A) 30! (B) 31! (C) 32! (D) (30!)2 (E) 36!

11. Hur många motexempel finns till följande påstående? ”Om N är ett udda positivt heltal, ingen av siffrorna är noll och siffrornas summa är 4, då är N ett primtal.” (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

12. Vilken tiotalssiffra har talet 2100 ? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) Inget av ovanstående svar är rätt.

13. Rk betecknar ett tal i tiotalssystemet som består av k stycken 1. Till exempel, R3 = 111, R5 = 11111 osv. Om man delar R24 med R4, består kvoten i tiotalssystemet av siffrorna 1 och 0. Antalet 0-siffror är (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 15

14. M( x, y ) betecknar det största talet av två olika reella tal x och y, m(x, y) det minsta. Om a < b < c < d < e, då M(M( a, m( b, c )), m(d, m( a, e))) =

(A) a (B) b (C) c (D) d (E) e

15. Det finns ett fantasidjur som består av ett huvud, en stam och en svans. Huvudet är 9 cm långt. Svansen är lika lång som huvudet och halva stammen tillsammans. Stammen är lika lång som huvudet och svansen tillsammans. Hur långt är djuret?

(A) 27 cm (B) 54 cm (C) 63 cm (D) 72 cm (E) 81 cm

16. På en avlägsen ö bor några kvinnor och män som lever i äktenskap. 2/3 av männen och 3/5 av kvinnorna är gifta. Hur stor andel av öborna lever i äktenskap?

(A) 2/5 (B) 6/19 (C) 13/19 (D) 7/19 (E) 12/19

17. En dag kommer en okänd man in i en affär i en småstad och handlar för 6 peng. Han betalar med en 10-pengssedel, men i affären kan de inte växla just då. Därför går ägaren till närmaste affären och växlar sedeln där, och efteråt ger ägaren den okända mannen 4

peng i växel. Nästa dag går ägaren till närmaste affären: 10-pengssedeln var falsk! Ägaren är tvungen att ge kollegan en riktig 10-pengssedel. Hur stor är hans förlust?

(A) 4 peng (B) 6 peng (C) 10 peng (D) 14 peng (E) 16 peng

18. Man har en pizza vars diameter är 32 cm. Hur många pizzor vars diameter är 16 centimeter kan man göra av den?

(A) 2 (B) 2.5 (C) 3.75 (D) 4 (E) Inget av ovanstående svar är rätt. 19. Hur stor är vinkeln BCD om ∧BAC = ∧CAD = 360 och ∧ABC = ∧CBD = 300 ? (A) 1100 (B) 1150 (C) 1200 (D) 1260 (E) 1300

A C B D

20. Hur många sådana punkter P finns i planet av kvadraten ABCD att trianglarna PAB, PBC,

PCD och PDA alla är likbenta? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9 21. Man har en regelbunden n-hörning. Alla vinklar är 1750. Hur stor är n?

(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 56 (E) 72 22. I en cirkel skriver man in en liksidig triangel och en regelbunden sexhörning. Vad är förhållandet mellan deras areor? (A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:3 (D) 3:4 (E) Inget av ovanstående svar är rätt.

23. C1 och C2 är två enhetscirklar som ligger i samma plan och tangerar varandra. Hur många cirklar med en radie på 3 cm finns i samma plan som tangerar båda cirklarna?

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8

24. Triangeln ABC är rätvinklig. Höjden DC tillhör hypotenusan AB. Om AD = 4 och DB = 5, hur stor är kateten BC?

(A) 6 (B) 3 (C) 41 (D) 7 (E) 3 5

25. På en linje finns fyra punkter i den här ordningen: A, B, C och D. Om AB : BC = 1 : 2 och BC : CD = 8 : 5, då är AB : BD = (A) 4:13 (B) 1:13 (C) 1:7 (D) 3:13 (E) 4:17

26. Man betecknar riktningarna nord, öster, söder och väster med N, Ö, S, V. Om man startar från en punkt 3N2S1Ö betyder det att man tar 3 steg till nord, 2 steg till söder och 1 steg till öster. Vilka av nedanstående promenader slutar i samma punkt? (A) 2N1S3V2Ö (B) 3S3Ö2N2V (C) 1N2V3Ö (D) 2S1N1V (E) Inget av ovanstående svar är rätt. 27. 20 barn ställs på en cirkellinje, och alla får ett nummer från 1 till 20 i tur och ordning. Barn 1 pekar på grannen till vänster (barn 2) som genast lämnar cirkeln. Nu är det nästa barns tur: barn 3 pekar på grannen till vänster (barn 4) som genast lämnar cirkeln osv. Vilket nummer har det sista barnet som är kvar i cirkeln? (A) 1 (B) 5 (C) 9 (D) 13 (E) 17 28. I ett litet land är det endast fyra lag som deltar i fotbollsmästerskapet. Alla lag spelar med alla lag exakt en gång. Efter en match får vinnaren 3 poäng och förloraren 0 poäng. Om resultatet är oavgjort får båda lagen 1 poäng. Efter mästerskapet finns det inte två lag som har samma poängtal. Hur många poäng kan laget som slutar på plats två ha? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 29. En morfar säger till sitt barnbarn:

- Efter ett visst antal år, som uttrycker hur många gånger jag nu är äldre än du, kommer jag att vara så många gånger äldre än vad du är.

Hur gammal är morfadern nu ? (A) 60 (B) 64 (C) 72 (D) 80 (E) 81) 30. I ett sagoland regerade kung Pomadé II. Han förbjöd siffran 1 i sitt land. I hans land var 2 det första positiva heltalet, och när man räknade i landet hoppade man över varje heltal som innehöll 1. Det här är början av deras talremsa: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 22, 23, … Vilket nummer används i det här landet i stället för 2005? (A) 257 (B) 2864 (C) 3778 (D) 3902 (E) 4222 Först ska jag berätta om den här matematiktävlingen, och sedan diskuterar vi några av uppgifterna ur matematisk och didaktisk synvinkel. Naturligtvis får ni också alla rätta svar på frågorna.

320 Bilden i matematikundervisningen på gymnasiet

Utgångspunkten har varit att flera representationsformer i matematik ger en hjälp och en ökad förståelse till fler elever att klara godkänt. Här beskrivs hur bilden kan användas för att förklara olika matematiska begrepp. Anna Stenkvist är verksam som gymnasielärare i matematik och filosofi i Stockholm. Föreläsning Gy

Dokumentation

Är bildkommunikation ett språk? Vad gäller för matematiken? Föredraget rör sig kring dessa frågor och tar upp bilden som ett sätt att förklara matematiska begrepp. Vi tänker oss bildplanet som en representation, d.v.s. en konceptuell modell av verkligheten. Det ligger mellan oss och den del av verkligheten som vi väljer att betrakta. Då en bild konstrueras förs bildplanet över till ett fysiskt plan: ett papper, en duk, ett fotografi, en bildskärm eller liknande. Denna process sker av en uttolkare av verkligheten, t.ex. en konstnär. Bilden kan kodas matematiskt och motsvara begrepp inom matematiken som t.ex. likformighet, symmetri, parallellitet, oändlighet, gränsvärde, derivata, gradienter, perspektiv, djup, projektion etc. Föredraget tar upp några synsätt, kopplat till laborativa övningar, som kan användas för att klargöra begreppen. I någon mening är all kunskap, som säger någonting om den yttre verkligheten, en tolkning. Matematik tjänar ofta som en modell för någon aspekt av verkligheten och blir på så sätt en tolkning. Det kan finnas tveksamheter kring att tolka bilder, speciellt konstnärliga, som kompositioner och form, frigjorda från mening och innehåll. Tolkningen kan uppfattas som alltför steril. Att använda bilden i matematikundervisningen har inte primärt konstnärligt eller konsthistoriskt syfte, utan pedagogiskt eller didaktiskt. En tolkningsmetod skulle dock kunna ha konstnärliga sidoeffekter. Att tolka betyder enligt Paul Ricœur (1913-) både att förstå och att förklara. Där förståelsen upphör måste förklaringen ta vid. Tolkningsprocessen liknas vid en spiral, den hermeneutiska spiralen, och pendlar mellan del och helhet, förklaring och förståelse, i en uppåtgående spiral som illustrerar förståelsetillväxt. Med stöd av Ricœur, är det matematiska betraktelsesättet bara en aspekt av bilden, en förklaring, som kanske kan bidra till förståelse av hela verket, dess mening. Matematik kan används som modell för flera aspekter av verkligheten än just de visuella. Varför har då bilden valts? Bilder kan sägas vara viktiga i pedagogiskt syfte av flera skäl:

1. Seendet kommer före orden i människans utveckling Vi borde alltså ha lättare att ta till oss matematiska begrepp via bilden än via det naturliga språket.

2. Man når fler elever om det finns flera sätt att närma sig matematikämnet t.ex. genom bilden.

3. Västvärlden kommunicerar i allt högre grad med bilder. Detta gäller även i skolan. 4. Genom att använda bilder i matematikundervisningen, öppnas nya perspektiv och

ingångar till t.ex. visuell konst i en diskurs som annars bara är öppen för en utbildad publik som förstår konst.

321 2000-talets undervisningsteorier i skolmatematik

De tre à fyra senaste decennierna har genererat nya impulser om undervisningsteorier i skolmatematik, bl.a. i USA och Tyskland. Så ock i Sverige. Alla vet att matematik rankas högt bland vetenskaperna. Vetenskapen om undervisning i matematik är däremot osäker och kan svårligen användas i prediktionssyfte. Följden är att skolmatematik kritiserats. Exempel: Ca var tredje lågpresterande sexåring och var fjärde högpresterande sexåring behåller samma rang ännu i åk 9. Framtida FoU-modeller föreslås minska betoningen på undervisningens organiserande och öka insatser om undervisningens administration och undervisningens kommunikation lärare–elever. Olof Magne, forskare, högskolelärare och läromedelsförfattare. Pensionär från tidigare tjänst vid fd Malmö Lärarhögskola Föreläsning Alla Dokumentation Matematikundervisningen Undervisning definieras indirekt enligt skolförfattningarna som något läraren gör. I skollagsförslaget i SOU 2002:121, kap. 1 2§ uttrycker man sig tydligare: ”Sådana målstyrda processer som under lärarens ledning syftar till inhämtande av kunskaper och värden”.

Det är märkligt att varken den nuvarande skollagen eller exempelvis skolstadgan för grundskolan erbjuder definition på undervisning. Ett vanligt, men tvivelaktigt betraktelsesätt är att undervisning innebär ”meddelande av kunskaper, i allmänhet under skolmässiga former” (Nationalencyklopedin) eller ”meddelande av kunskaper” (Svensk uppslagsbok). Svenska skolutredningar lutar ofta åt denna uppfattning, nämligen att undervisning är en förmedling av vetande från skola till elev.

Allmänt sett menar jag att undervisning (också uppfostran) kan definieras på följande sätt: Undervisning ska vara en normativ interaktion mellan människor där det gäller för den undervisade individen att genom självstudier aktivt lära sig specificerade undervisningsstoff i överensstämmelse med undervisarens mål och medel.

Åtminstone sedan 1600-talet kan man i svenska skolförfattningar urskilja två grundaspekter i undervisning. Jag betecknar den första som en verksamhets-modell (V-modellen) och den andra som en process-modell (P-modellen). Flera faktorgrupper inom och mellan undervisningens delar antas påverka skeendena inom den totala helheten.

1. Verksamhet (V). Första grundaspekten är att behandla undervisning med utgångspunkt i organisation, målsättning, kapital och finansiering, yttre och inre administrativa betingelser, lärarkompetens samt undervisningsmetodik. Jag ser den som karakteriserad av tre huvuddelar: organisation, management och kommunikation.

Denna indelning innebär att tre betingelser är betydelsefulla i undervisningen. Första huvuddelen (organisation, ram: R): organisation (ram) innehåller målangivelser, bestämmelser och normer i omgivningen samt personer, lokaler och fysiska och finansiella villkor. Organisation (ram) avser de rättsliga och fysiska betingelserna, såsom finansiering, lokaler, skolplikt, timtal, elevantal per klass, läroplan, personal, social omvårdnad, relationer till övriga

samhällsfunktioner. Undervisningens organisation handlar om förelägganden som är fastställda i skolbestämmelser och handlar om faktorer som begränsar lärarens och elevernas verksamhet (determinerande faktorer). Staten kräver exempelvis en oåterkallelig miniminivå för kunskaper med kriterier som alla elever ska hundraprocentigt uppnå i årskurserna 5 och 9. I övrigt anger staten inga krav på läraren angående arbetssätt, organisation eller metoder i kommunikationen med eleverna.

Den andra huvuddelen Lärarens management (L) består i att ordna, samordna och planera undervisningsstoffet. Management hänför jag till den enskilda lärarens (eller lärarlags) administration, ledningsfunktioner, arbetsplaner i samråd med personalen, regler för eleverna. Den tredje huvuddelen är kommunikation (K) genom vilken den undervisade individen lär sig undervisningsstoffet. Med kommunikation åsyftar jag relationer mellan den undervisade och undervisningsstoffet. Undervisningens kommunikation kan beskrivas som det ömsesidiga samspelet mellan lärare och elev, i vilket läraren syftar till att stimulera eleven till att uppnå givna strävansmål, och eleven strävar efter att lära in det åsyftade stoffet. Dessa båda senare huvuddelar ger lärare och elever fritt spelrum inom gränserna för de deltagande aktörernas fria vilja (indeterminerande faktorer).

2. Processer i undervisningen (P). Låt mig nu betrakta matematikundervisningen. I den andra grundaspekten mobiliseras dynamiska krafter som verkar i inlärningsprocesser

ledande till att individen konstruerar matematisk kunskap enligt föreskrivna mål i matematik (M), dvs. att individen (I) ska lära sig vissa givna undervisningstoff, mestadels påverkade av omgivningen (O). Det betecknar jag som ett fler-faktor-samspel.

I denna huvuddel ska undervisningen specificera mål och åstadkomma mer eller mindre bestående följdeffekter. Till följd av undervisningen (O) utför individen (I) ett arbete. Inlärningsresultatet brukar sammanfattas under termer som matematisk kunskap och matematiska färdigheter. Implikationen är att det matematiska undervisningsstoffet assimilerats i individens intrikata receptorsystem, adapterats till individens handlingssystem (behållning) och att individen senare kan minnas matematik och använda den i nya sammanhang (problemlösning).

Sammantaget beskriver jag matematikundervisningen som bestående av (V) Verksamhetssystemet, tre successiva, inbördes interaktiva verksamhetsdelar: organisation, management och kommunikation i vilka (P) Process-systemet gestaltas som ett fler-faktor-samspel där undervisningsstoff, individ och omgivning samspelar.

En teorimodell för matematikundervisningen Jag menar att vi kan anta detta resonemang som en teorimodell för matematikundervisning. Fig. 01 illustrerar tankegången. Modellen utgår från två förutsättningar, dels variabler som representerar undervisning i ett verksamhetssystem, dels undervisning som en påverkbar dynamisk process med intra- och interaktivt samspel hos systemen mellan faktorer och faktorgrupper.

(P) Undervisningsprocesser i ett faktor-samspel: Undervisnings- Individ (I) Omgivning (O) stoff (M)

(V) Undervisningens verksamhet: Organisation (R) X X X Management (L) X X X

Kommunikation (K) X X X Figur 01. Fler-faktorsamspels-modell av undervisning.

I fortsättningen ska jag försöka att följa båda dessa tankelinjer för att beskriva matematikundervisningen i svenskt skolsystem. Några aktuella doktorsavhandlingar och andra arbeten har kastat ljus över både verksamhetsproblem och processfaktorer, såsom publikationer av Per-Olof Bentley, Arne Engström och Olof Magne, Lisen Häggblom, Karin Linnanmäki samt Madeleine Löwing. Statliga utredningar och centrala skolmyndigheter har behandlat undervisningsfrågor ur politisk synvinkel. Forskningen är klart snedvriden. Det övervägande flertalet studier och utredningar har behandlat undervisningens organisation. Management är mycket lite studerad. Kommunikation är tyvärr mera ett tema för anekdotiskt författarskap än för vetenskap.

Utredningar liksom F&U-arbete gäller oftast frågor om undervisningens organisation, exempelvis matematikstoffets prioritering, undervisningsformer, skolfinansiering, timtalet i matematik, elevantalet i klassen, alternativkurser och differentiering, matematikkursernas omfattning och resultat (bl.a. i internationell belysning), effekten av lärares skiftande kompetens och utbildning m.m.

Utfallet av all organisatorisk försöksverksamhet är magert trots allt. Ändå är undervisningens organisation föremål för statsmakternas huvudsakliga utredarintresse. Det finns få klart belagda resultat av värde för lärarens undervisning. Ett undantag är det tämligen klarlagda faktum att matematiklärarens ämnes- och undervisningskompetens leder till goda elevkunskaper. I övrigt är det betydligt fler frågetecken än utropstecken. Varken matematikens timtal, differentiering eller elevantal spelar avgörande roll för studieresultaten. Finansiering är inom vida gränser rätt betydelselös. Flera statligt ledda projekt om matematikundervisningen har varit resultatlösa eller plötsligt övergivits. Bland ofullbordade utredningar kan man nämna IMU-projektet, ”den nya matematiken”, MUT-projektet, baskunskaperna, SIA-projektet, Läromedelsutredningen och undervisningsmaskinerna. Det nyligen ändrade betygssystemet är knappast någon succé för matematikens vidkommande.

Trots hård kritik är den traditionella klassundervisningen helt ledande som organisationsform. Den används kanske i 85 procent av klassrummen. Varför är den så vanlig? Man kan uttrycka saken så här: Slentrian, enligt kritikerna. Finns inget bättre, säger traditionalisterna. Den enda effektiva metoden i klassrummet, tror pessimisterna.

Klassrumsundervisningen förutsätter i princip att kunskap överförs från läraren till eleverna. Det är enkelriktad kommunikation. Och den inställningen återfinns ofta i skolutredningar med uttryck som kunskaps-förmedling, träning och övning.

Skolverket har på senaste tiden gjort påståendet att lärare numera tenderar att låta eleverna mera självständigt undersöka och lösa matematikproblem. Påståendet är inte närmare prövat men är intressant.

Management (eng. i betydelsen ledning, förvaltning) omfattar lärarens frivilliga, självständiga planering och förberedelser inför mötet med eleverna (en av de indeterminerande faktorgrupperna). Det finns inte mycket skrivet om behovet av forskning om lärarens management. Kanhända intresserar sig staten mer för management på skolledarnivå. Skolförfattningarna tar upp varken undervisningens management eller kommunikation. Management av undervisningen är ett administrativt moment i undervisningen där staten och skolans huvudmän i stort sett frånsagt sig allt ansvar. Det är lärarens territorium. Läroplanerna betonar lärarens frihet att välja arbetssätt, metodik och organisation för klassens inlärning.

Management är absolut grundläggande, för att inte säga nödvändig för en effektiv och stimulerande verksamhet i klassrummet. Om undervisningen är framgångsrik eller inte sammanhänger i hög grad med hur den av läraren valda modellen och de efterföljande förberedelserna fungerar på alla punkter. Bara läraren själv kan finna hur lärarens planläggning av klassens verksamhet ska bedrivas.

Kommunikation (latin: ömsesidigt utbyte) kan ges betydelsen gemensamt samspel på kontaktområdet lärare–elev. Forskningen har visat sig vara synnerligen besvärlig på grund av de komplexa informationsmängderna. Man har försökt studera hur lärandet sker i olika kommunikationsformer, t.ex. med olika metoder att leda och genomföra lektioner. Att jämföra olika undervisningsmetoder experimentellt var vanligt ett tag vid mitten av förra århundradet. Utfallet av dessa försök visar nästan aldrig stora dramatiska effektskillnader mellan olika slag av undervisningsmetoder. Detta har gjort att intresset för sådana experiment minskat. I stället har statsmakterna engagerat sig i försök med att jämföra kunskapsresultat mellan länder.

Naturligtvis skulle det vara högst värdefullt om staten ville stödja realistiska och långsiktiga F&U-projekt om lärare–elev-kommunikation i klassrums-miljöer av skilda slag. Troligen borde man då bygga på direkta lärarerfarenheter och utgå från det praktiska planet i stället för centralstyrda ideologier.

Låt oss övergå till undervisningsprocessen. Traditionell undervisning var förmedling. Metoden är ärvd från medeltidens skolastik. Denna förutskickade att elevernas inlärning vilade på läraren som föreläsare /instruktör. Metoden brukar betecknas som förmedling av kunskap eller kunskapsöverföring från lärare till elev.

Alltså teori nr 1: Innehållsmodellen. Matematik är ett abstrakt ämne, eleverna förvärvar rationellt tänkande. Att kunna matematik hänger samman med matematikens abstrakta natur. Matematikundervisning = matematik, en naturlig följd av att matematiken är abstrakt. Denna uppfattning luckrades upp och under 1800-talet utkom metodiska handböcker om matematikundervisning.

Teori nr 2: Beteendemodellen. Senare började man förflytta intresset från ämne till elev. Inlärningssvårigheter blev ett nytt skolbegrepp. Man började säga: Lärandet beror dels på matematikens abstrakta natur, dels på om och hur eleven kan arbeta med detta abstrakta tankematerial. Elevens inlärningsförutsättningar ansågs styra förmågan att kunna matematik. Madeleine Löwing har gett exempel på uppfattningen att matematikundervisning ≠ matematik.

Teori nr 3: Faktorsamspelsmodellen (MIO). På ett seminarium i Nyiregyháza i Ungern 1977 kom ytterligare ett teoritillskott, och det blev också huvudresultatet av konferensens arbete, nämligen modellen, att utöver matematiken och eleven betyder också ”omgivningen” mycket för att kunna matematik. Man skapade begreppet didaktogena betingelser (de tyska makarna Ellrott och Ellrott). Didaktogena faktorer är summan av samhällsåtgärder som beslutats av myndigheterna för att fastställa innehållet för hela undervisningssystemet. Negativa didaktogena faktorer i matematikundervisningen innebär definitionsmässigt: disharmoni mellan elevens matematiska ”evne” och ”samhällets” undervisning.

Modellen ser matematikundervisning som ett samspel mellan matematisk teori, biologisk växt och social påverkning. Låt oss förutsätta att det bara är den aktivt undersökande individen som lär sig matematik. ”Lära ut” kan ingen. Vi har alltså tänkt ut en fler-faktor-modell eller faktor-samspels-modell och vi kallar den ibland MIO-modellen. M+I+O bildas av initialerna i Matematiken, Individen och Omgivningen. Vi lånar ordet från Astrid Lindgrens barnbok med samma namn. Att kunna eller inte kunna matematik beror på samspelet mellan flera faktorer.

Ingen isolerad faktor gör att individen kan eller inte kan matematik. Snarare får vi visionen av ett flerdimensionellt landskap. Som i astronomins världsbild.

Vi vill uppfatta matematiken som ett delvis självreglerande system av abstrakta strukturer styrt med hjälp av det matematiska språket.

Vi vill uppfatta individen som ett självständigt, omdömesgillt biologiskt subjekt styrt genom rationellt tänkande, behov, motivation och känslor.

Vi vill uppfatta naturlig omgivning som det ekologiska system, vilket eleven (individen) tillhör och utvecklas i. Här finns familjemiljö och skolmiljö med normer, skollagar, läroplaner, organisationsformer, undervisningsmetoder. Detta nätverk omfattar livsbetingelser som utvecklar och stöder eleven i hans eller hennes ansträngningar att undersöka och lära matematiken.

Sammanfattning

För att sammanfatta modellen går vi tillbaka till fig. 1. Undervisning kan avbildas med ett komplicerat fler-faktor-mönster. Troligen förhåller det sig så, att vi besitter en god kunskap om undervisningens organisatoriska grundförutsättningar, och att grunden för svensk matematikundervisning är såväl matematisk, individualpsykologisk som sociologisk. Jag har ställt den hypotesen att nästan allt forskande och utredande har gällt organisation. Bara ensiffriga procentandelar tycks handla om lärarens management och lärare–elev-kommunikation. Ändå kan väl management och kommunikation på klassrumsnivå fattas som centrala moment i undervisningen? Borde vi inte entusiasmera folk att med försöksverksamheter tränga in på dessa två områden?

322 Action-Research: a professional approach to more effective practice

Action research in classroom acitivity is research carried out byt teachers themselves to address challenges they, and their students, experience within the classroom with the purpose of improving the effectiveness of teaching and learning. In this session I want to explore the potential of action-research as a means of developing the quality of teaching and learning mathematics in our own classrooms. The session is intended especially for those who have limited experience of action-research as a means of developing their own knowledge, understanding and competencies. Simon Goodchild has worked as mathematics teacher in secondary schools in Africa and the UK, and in teacher education in the UK. Currently he has the position of Associate Professor at Agder University College as researcher within a developmental research project, Learning Communities in Mathematics Föreläsning Alla Dokumentation

• I believe every student in school or university has a right to high quality education and high quality teaching.

• I want teachers to be recognised and respected for their professional knowledge, skill, and ability to confront complex challenges and make a difference for good.

Educational Action Research Educational action research (EAR) is an approach to professional practice that puts teachers in control of developments in teaching and learning in their own classrooms. EAR does not make the teacher or students2 the subjects of another, outsider’s, research project; rather, it empowers teachers and students to work on problems that matter most to them. Traditional research, in which researchers come ‘in’ to explore what is happening in schools and classrooms and then go ‘out’ again to analyse their data and report their findings have made only limited impact on the people and practices researched (see for example Pring, 2000). Wilfred Carr and Stephen Kemmis (1986), and others refer to these researchers who ‘come in’ to investigate as ‘outsider’ researchers. EAR is about teachers inquiring into their own practice, they are ‘insider’ researchers. EAR is, I want to assert, a central part of every teacher’s practice; most teachers engage in reflective activity with the intention of developing their practice and so, to some extent most teachers are action researchers. I want to address three basic questions relating to action research.

• In what ways does educational action research differ from a teacher’s regular reflective practice?

• How is educational action research structured?

2 I use ’student’ to refer to pupils at all levels of schooling as well as those studying at university.

• Why should any teacher consider engaging in educational action research?

Educational action research builds on regular reflective practice. How does educational action research differ from a teacher’s regular reflective practice? By, regular reflective practice I refer to the active engagement in a cycle of planning, acting, observing, reviewing, evaluating and then back into planning another cycle. Most teachers will engage in cycles of action similar to this in their regular work with students and classes. This takes place in our daily cycle of planning in which we observe students responding to our planned classroom activities, and then we review what happened before planning the next lesson. It also occurs over much longer periods when we review an approach to a particular topic, say the solution of simultaneous equations, and then, the next time we teach the topic we modify the approach to take account of what has happened in the past. These are routine activities of all teachers who are engaging in a professionally reflective and responsive way in their practice.

Educational action research includes cycles of planning, acting, observing and reviewing but raises them to a new level. First, through collaborative activity, EAR is social and mutually supportive. Second, by gathering evidence and recording observations systematically, EAR is a knowledge creating activity. Third, through sharing the results of the research with the professional community; it is an activity in which teachers contribute to the development of their own profession.

When engaged in EAR we need to share what we are doing with other interested professionals; it is not an isolated activity. We need at least one critical friend who will listen, support, encourage and, importantly, respond in a critical way to what is proposed in the research so that there can be some shared responsibility for the activity. We also need a wider group of interested people who will be able to evaluate and test the validity of our claims arising from our research activity. This need not be as heavy as it sounds, the ‘critical friend’ could be a close colleague, and the ‘wider group’ could be our ‘team’ within our own school or college. However, with modern communications technology the ‘critical friend’ could be on the opposite side of the globe and the wider group spread around the world.

Any research activity can result in claims about new knowledge gained; this is no different for EAR. Action research does not make claims about cause and effect but it does make claims about change. The purpose of action research is to make changes in social settings. Any claims about change need to be accompanied by evidence that will support the claims. This entails systematic gathering of evidence before implementing a planned action, the careful recording and documenting of the action taken, and the subsequent evaluation of what happened and the changes observed. Action researchers do not look for cause and effect type explanations of changes in behaviour or the social settings because they are aware that such changes are too complex to be described in simple terms. However, any changes observed will lead to developments in practice. Thus, in EAR there is a direct link between the research activity and practice, an important link that is missing in much of what would be recognised as traditional research activity.

Lawrence Stenhouse, who was a great advocate of the teacher-researcher, coined a much quoted definition of research as ‘systematic enquiry made public’. He outlines his opinion regarding ‘The critical characteristics of [teachers’] extended professionalism which is essential for well-founded curriculum research and development’ as being:

The commitment to systematic questioning of one’s own teaching as a basis for development;

The commitment and the skills to study one’s own teaching; The concern to question and to test theory in practice by the use of those skills. To these may be added as highly desirable, though perhaps not essential, a readiness to allow other teachers to observe one’s work – directly or through recordings – and to discuss it with them on an open and honest basis (Stenhouse, 1975, p. 144)

Writing as a teacher, with over 30 years experience of teaching mathematics and proud to belong to the profession, I want to say that I believe any failure to acknowledge this extended professionalism is a failure to understand the full significance of our work with respect to the education of our students and our professional status.

The last point that Lawrence Stenhouse makes in the quotation above refers to teachers’ readiness to share their work, either in actual practice or through reporting. I will go further and state that in my opinion such sharing is essential. If we are to make claims to knowledge through our research activity then we need to test them in our professional community and we have a responsibility to share what we have learned so that the profession as a whole may develop.

Characteristics of educational action research The second main question that I want to address concerns the structure of educational action research. At the core is the plan, act, observe, review, cycle. It is important not to become frightened away by making EAR too complex or too closely attached to a particular research design that closes down productive possibilities. Democratic values lie at the heart of EAR, which is concerned with the empowerment of all participants, both teacher-researchers and the students in their classes. The starting point then is to become aware of one’s own personal set of values and beliefs regarding education, teaching and learning. If one identifies something that could be improved there needs to be a sense of why it needs to be improved, what might be recognised as improvement, the types of measure that might be taken to achieve improvement, and the ethical issues that surround any research activity. All teachers will experience things that they want to improve. It might be as commonplace as managing a challenging class on a Friday afternoon or as esoteric as developing students’ understanding of variable or function. The one stipulation is that one should believe that it is possible to achieve change by taking action in the area identified.

Jean McNiff (2002b, p.11) offers the following ‘basic steps of an action research process’

• We review our current practice, • identify an aspect that we want to investigate, • imagine a way forward, • try it out, and • take stock of what happens. • We modify what we are doing in the light of what we have found, and

continue working in this new way (try another option if the new way of working is not right)

• monitor what we do, • review and evaluate the modified action, • and so on …

John Elliott (1991) considers a number of factors, ‘dilemmas and temptations,’ that prevent or discourage teachers from engaging in EAR. Not least amongst these is the availability of time. He argues that giving in to such pressures reinforces an inappropriate set of values about teaching and interferes with the development of reflective practice.

A key issue concerns the gathering of evidence that will support any claims that changes have occurred. Evidence is collected at the start of the EAR cycle, to substantiate the basis from which the desire for improvement arises. It can also include a review of literature to see what others have done when confronted by the same issue, thanks to the internet it is much easier to initiate such a search than when I started out as a researcher 20 years ago, for example – I conducted a quick search using Google.com and the words: ‘disruptive class Friday afternoon’ and found some interesting reports that would give a reasonable starting point for the ‘commonplace issue’ above. Evidence is collected throughout the action phase and if changes occur it will be necessary to collect evidence which can be set alongside that collected at the beginning so that the claims can be validated. Jean McNiff (2002a) lists a range of the types of data that might be collected to be used as evidence these include: field notes, diaries and logs, reports, questionnaires, interviews and discussions, audio and video recordings, and others. As in any research activity the data collected should have the potential to hold the evidence necessary to justify any claims to change that the researcher might want to make. A rationale for engaging in educational research. I hope that given the personal values that I have expressed above it should not be necessary to explain why I believe every teacher should engage in educational action research. No matter what schemes and ideas might be proposed for transforming the quality of learning and teaching in classes, it will be the teacher who implements them. We know from our experience that no two classes are the same and what might seem to be the perfect solution to a challenging problem in your class is not necessarily going to transfer into mine. Teaching is a deeply personal process and we have to work things out for ourselves.

Faced with a challenging situation there are several possible responses. We could do nothing – this is not an option if we take our work seriously. We could implement a range of strategies, but if this is done in an ad hoc manner we might be misled into thinking that changes have occurred, which have not, or that a particular approach was effective, when, in reality, it made no significant impact on the situation. If our regular reflective practice is going to generate knowledge that will inform our own practice and have the chance to inform others then the reflective practice needs to be set into a framework of systematic inquiry – it then becomes educational action research.

Finally, as John Mason (2002) observes ‘I cannot change others; I can work at changing myself’

References Carr, W. & Kemmis, S. (1986) Becoming critical: education, knowledge and action research.

London, RoutledgeFalmer Elliott, J. (1991) Action research for educational change. Milton Keynes, Open University Press. Mason, J. Researching your own practice: The discipline of noticing. London, RoutledgeFalmer McNiff, J. (2002a) Action Research: principles and practices. London, RoutledgeFalmer

McNiff, J. (2002b) Action research for professional development: concise advice for new action researchers. [On-line] Available: http//www.jeanmcniff.com/booklet1.html. accessed 02.12.05

Pring, R. (2000) Philosophy of educational research. London, Continuum. Stenhouse, L. (1975) An introduction to curriculum research and development. London,

Heinemann.

323 Att utveckla språket i matematik med hjälp av bilder

Med hjälp av konst och verklighetsanknutna bilder och lärarens utmanande frågor utvecklar eleverna förmågan att använda relevanta matematiska ord och uttryck. Eleverna försätts i situationer där de är aktiva och kommunicerar med varandra. Jämförelseord, lägesord samt geometriska ord och uttryck införlivas naturligt i ordförrådet. Marianne Rönnbom är universitetsadjunkt vid Lärarutbildningen vid Malmö Högskola. och undervisar i huvudämnet Matematik och lärande samt i sidoämnet Matematik från början. Workshop Fö Gr

Dokumentation Orden är nödvändiga, för att människor ska utveckla begrepp. För att det matematiska symbolspråket skall få en innebörd för barn, måste symbolerna kopplas till barnens eget språk. Det är nödvändigt att kontinuerligt och målmedvetet arbeta för att utöka elevernas ordförråd i matematik. Detta bör ske i aktiverande och konkreta situationer, så att orden sätts in i meningsskapande sammanhang. Sagt om språket: - Det är när vi använder språket, som vi utvecklar tankar och begrepp. - Barnet kan bara utvecklas framåt, där det finns ett samspel med vuxna, där det hela tiden introduceras nya krav, förhoppningar och nya medel så att barnet får möjlighet att ta ett steg framåt i utvecklingen. (Lev Vygotskij) ..med vägledning av en vuxen/pedagog, som ställer frågor som gör att barnet vågar sig på en uppgift. - Språket spelar en mycket stor roll för begreppsbildningen i matematik. Det är därför viktigt, att barnen tidigt får språklig stimulans.

- Språket är nyckeln, och det måste vi öva på många olika sätt. Eleverna har kanske en massa ord, men det är inte säkert att de har den rätta sortens ord. (Gudrun Malmer) - Det finns många sätt att utnyttja bilder för att lära matematik. När barnen observerar färdiga bilder, får de tillfälle att träna olika matematiska begrepp , t ex storlek och antal. Samtal om bilder erbjuder rika tillfällen för barnen att använda sig av matematikens språk och uttrycksformer för att beskriva sin omvärld. (Ann Ahlberg) Skolan är en arena som stimulerar och väcker intresse för matematiken på ett naturligt sätt. Barn tar till sig kunskap bäst under naturliga former. Barn lär sig fler nya ord inom områden där de har erfarenhet än inom områden de saknar erfarenhet av. Hur kan vi arbeta så att eleverna gör orden till sina?

Att arbeta med att beskriva bilder är ett sätt att organisera för lärande där alla elever är aktiva. Eleverna arbetar två och två. I denna workshop får deltagarna möjlighet att sätta sig in i detta

arbetssätt. I första hand används diabilder med konst. Som lärare väljer man bilder efter vilka ord man vill att eleverna ska införliva i sitt ordförråd. Exempel är lägesord, jämförelseord och geometriska ord och uttryck i bilder med t ex stilleben samt linjer, kurvor och grafer hos Klee.

Vad står i våra styrdokument? Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att

kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer.

Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. (Kursplanen i matematik 2000, Ämnets syfte) Matematiken finns överallt omkring oss, till exempel i konst, byggnadsverk och bild. Vi omges av geometriska objekt, former och mönster. Att utveckla barns uppfattning om ordens innebörd är viktigt. Barn behöver utveckla sitt abstrakta tänkande. Abstrakt tänkande innebär en förmåga att göra överföringar mellan olika uttrycksformer som t ex rörelse, bild, talat språk och skrivet språk. (Skolverket. Kommentarer till grundskolans kursplan i matematik.) I denna workshop bearbetas frågeställningar som Vilket begreppsinnehåll har eleverna ”i sina huvuden”? Vad har de att associera till? Hur kan vi bygga begrepp relaterat till adekvata ord? Hur kan vi skapa förståelse med hjälp av bilder? Hur kan vi utveckla språket i matematik med hjälp av konst? Hur kan vi kommunicera matematik i olika situationer och lära adekvata ord? Hur kan vi arbeta konkret och få behov av de "rätta" orden i matematik?

325 Passar matematik bättre för flickor eller pojkar? En studie om attityder bland elever i grundskolan och på gymnasiet

Åttahundra grundskolelever och över femhundra gymnasieelever har deltagit i en studie där vi undersökt attityder till matematik ur ett genusperspektiv. Det visar sig att matematik inte ses som könsneutralt av alla. En del elever ger uttryck för att matematik passar bättre för pojkar eller att pojkar passar bättre för matematik. Den omvända föreställningen - att matematik är ett ”flickämne” - finns också, men är betydligt mindre vanlig. Vilka konsekvenser kan detta få för flickors val av fortsatta studier i matematik? Vilken betydelse kan det ha i matematikundervisningen? GeMa-projektet är ett samarbete mellan forskare och doktorander vid fyra universitet/högskolor. Gerd Brandell är universitetslektor i matematik vid Lunds universitet och koordinator för en nationell forskarskola i matematikdidaktik. Hon har mångårig erfarenhet av matematikutbildning vid tekniska högskolor och har genomfört en rad pedagogiska utvecklingsprojekt. Hon har i sin forskning studerat frågor om kön och matematikutbildning. Föreläsning Gr Gy Högsk Lärutb Dokumentation

Bakgrund Pojkar läser mer matematik på gymnasienivå än flickor och fler män än kvinnor studerar matematik på högskolenivå. Andelen kvinnor som läser till exempel gymnasiets D-kurs är 40%, i grundutbildningen i matematik vid högskolan är omkring en tredjedel kvinnor, inom forskarutbildningen en fjärdedel och bland dem som avlagt doktorsexamen mellan 10% och 15% (statistik från år 2004). Andelen kvinnor minskar ju högre upp i systemet man kommer.

Bortval av matematik på gymnasienivå och på högskolan kan bli ett hinder för senare studieval och yrkesmöjligheter. Kunskap om orsakerna till val och bortval av matematik är väsentlig om man vill rekrytera fler kvinnor till naturvetenskap, teknik och andra matematikintensiva områden.

En rad internationella undersökningar har visat att matematik av många (både kvinnor och män) betraktas som manlig eller som en manlig domän – vad som menas med detta diskuteras i nästa avsnitt. Detta har använts som en möjlig förklaring till varför en del flickor/kvinnor väljer bort matematiken vid fortsatta studier. I GeMaprojektet riktar vi in oss på denna faktor. GeMa står för ”Gender and Mathematics”, på svenska kallar vi projektet ”Matematik – en manlig domän?”.

Matematik – en manlig domän Ett citat från våra intervjuer belyser att man kan uppfatta matematik som en manlig domän. Så här säger en av våra intervjupersoner, en kvinnlig gymnasist på NV-programmet:

”Tänker man på en matematiker så tänker i alla fall jag på en man.” Vad eleven tänkte på vet vi inte säkert, men rent allmänt kan man förstå påståendet

matematiken är en manlig domän på flera sätt. För det första handlar det om att andelen kvinnor i matematikrelaterade yrken är så låg. Männen dominerar rent numerärt bland de professionella matematikerna och det kan vara en förklaring till vad som sägs i citatet ovan. Men det kan ligga annat bakom. Ämnet matematik har också en manlig laddning, genom att egenskaper som behövs för att vara en matematiker associeras med män. Att män är logiska och objektiva medan kvinnor har en tendens att resonera mer känslomässigt och subjektivt (och därmed ologiskt) är vanliga stereotypa föreställningar. Samtidigt uppfattas matematiken som rationell och logisk. Männen och matematiken skulle därmed passa ihop. Själva föreställningarna om kvinnors och mäns tänkande saknar grund i forskning. Idéerna hänger ihop med kvinnors historiska underordning och är seglivade uppfattningar som inte lätt påverkas.

Läroböcker, undervisningssätt och värderingar inom matematikundervisning för budskapet om matematikens inneboende maskulinitet vidare om inte lärare och författare aktivt motverkar detta.

Men föreställningarna kan förändras. Det är inte givet att dagens skolungdomar betraktar matematik som manlig. Kvinnor har högre betygsgenomsnitt än män och de små skillnaderna mellan kvinnor och män i matematikbetyg rör nu för tiden mer betygsfördelningen än nivån.

I GeMaprojektet har vi undersökt om matematiken betraktas som en manlig, könsneutral eller kanske rentav kvinnlig domän av svenska skolungdomar. Liknande studier har genomförts i andra länder och vi ger en kort orientering om tidigare resultat innan vi beskriver vår studie.

Attityder till matematik De mest kända och använda attitydskalorna som gäller matematik och matematikstudier utvecklades av Elizabeth Fennema och Janet Sherman 1976. En av dessa rör matematik som manlig domän (MD-skalan). Enligt mätningar med hjälp av MD-skalan uppfattar både män och kvinnor att matematik är viktigare, intressantare och lämpligare för män än för kvinnor. Män uppfattar matematik som en manlig domän i högre grad än kvinnor gör. Det är visat i mängder av undersökningar i framförallt USA men också i andra länder.

Gilah Leder vid La Trobe universitetet i Melbourne har tillsammans med Helen Forgasz omarbetat Fennema-Sherman-skalan och gjort den könsneutral. I GeMa-undersökningen använder vi den omarbetade skalan.

GeMaprojektet Projektets frågeställning De övergripande frågeställningar vi vill undersöka är följande:

• Betraktar svenska elever matematik som en kvinnlig, manlig eller könsneutral domän? • Finns det könsskillnader i synen på matematiken som kvinnlig, manlig eller könsneutral

domän? • Finns det något samband mellan flickors bortval av matematik och en eventuell

föreställning om matematiken som en manlig domän? Uppläggning Projektet var tvåårigt med två faser, inriktade mot grundskolan respektive gymnasieskolan. Attitydundersökningen gjordes med enkäter till ett stort antal elever. Närmare 800 elever i grundskolans årskurs nio och 550 i årskurs två i gymnasiets NV- och SP-program har deltagit i enkätundersökningarna under år 2002 respektive 2003. Frågeformulären kompletterades med

intervjuer av elever som besvarat enkäten, 24 elever i vardera grundskolan och gymnasiet. Intervjuerna genomfördes efter en preliminär analys av enkätsvaren. Enkäten I den enkät som används ska de svarande ta ställning till olika påståenden, som till exempel Har matematik som favoritämne. Svaret ska fånga om eleven uppfattar att påståendet gäller mer för flickor eller pojkar eller om det inte är någon könsskillnad. Det finns fem svarsalternativ till vart och ett av dessa påståenden i enkäten:

• Flickor mer än pojkar– absolut • Flickor mer än pojkar – kanske • Ingen skillnad på flickor och pojkar • Pojkar mer än män – kanske • Pojkar mer än flickor – absolut

I gymnasiestudien använde vi ”kvinnor och män” i stället för ”flickor och pojkar”. Analys av enkäten Majoriteten av eleverna, både kvinnor/flickor och män/pojkar svarar på de flesta frågor att det inte är någon skillnad mellan könen. Det gäller för alla frågor med ett par undantag. Vi har sett närmare på frågor där det finns relativt starka åsikter om könsskillnader. Det är frågor där en majoritet eller en betydande minoritet anser att det är skillnad mellan könen. Vi har också tittat närmare på frågor där svarsmönstren skiljer mellan flickor och pojkar eller mellan elever på olika gymnasieprogram.

Resultat från grundskolestudien Flickor och pojkar har samma uppfattning Flickorna arbetar bra på lektionerna och de oroar sig om de inte klarar sig i matematik anser både flickor och pojkar. De är således flitiga och anstränger sig. Detta överensstämmer med andra forskningsresultat. Flickor inskolas och inskolar sig själva till att sköta sina plikter och vara till lags, att vara duktiga skolflickor. Ur den synvinkeln är matematik ett flickämne.

Pojkarna, menar både flickor och pojkar, stör på lektionerna och de retar framför allt pojkar, men även de duktiga flickorna.

Men både flickor och pojkar tror att det framför allt är pojkar som gillar utmanade matematikproblem. Detta tyder på en relativt utbredd föreställning om pojkar som de mer lämpade för matematik. Både flickor och pojkar – i högre grad pojkar – tror att pojkar mer än flickor behöver matematik för att få jobb i framtiden. Pojkars föreställningar Samtidigt som ämnet ses som manligt i vissa avseenden tror många pojkar att det är vanligare att pojkar tycker matematik är tråkigt än att flickor gör det. Likaså skulle pojkar behöva hjälp mer än flickor och ge upp vid svårigheter oftare än flickor. Vid en första anblick är åsikterna om matematik som manligt, och matematik som ett ämne pojkar inte gillar, motsägande. Men det handlar troligen om skillnader inom pojkgruppen.

Många pojkar ger också uttryck för att de anser att lärarna oftare uppmuntrar flickorna och ägnar mer tid åt flickorna. Flickors föreställningar Ett speciellt intressant resultat är att en betydande andel av flickorna anser att det övervägande är flickor som vill förstå den matematik de arbetar med. Detta faktum skall även ställas i samband med den tidigare redovisade fliten och ansträngningen. Fliten och ansträngningen anses enligt

andra forskningsresultat stå i motsats till egenskaperna förnuft och logik, som tillskrivs männen. Flickornas uppfattning motsäger denna föreställning.

Resultat från gymnasiestudien I kort sammanfattning visar gymnasieenkäten att matematik uppfattas som en manlig domän i många avseenden – matematiken är utmanande, intressant, lustfylld för männen. På liknande sätt förknippas negativa aspekter av matematiken – matematiken som tråkig, svår – med kvinnor. Könsmärkningen av matematiken som manlig förstärks i jämförelse med grundskolan genom att positiva aspekter uppfattas som vanligare för män, samtidigt som negativa aspekter anses gälla oftare för kvinnor. Den grupp som starkast könsmärker matematiken som manlig är männen på NV. Männen på SP är den grupp som är mest könsneutral och kvinnorna både på NV och SP ligger mellan dessa ytterligheter.

I analysen har vi också jämfört grupper av elever på grundskolan och i gymnasiet. Det visar sig att flickorna är de som förändrar sin uppfattning mest och går från att ha visat en relativt könsneutral uppfattning på grundskolan till att könsmärka matematiken som manlig i gymnasiet.

Diskussion GeMaprojektet visar utan tvekan att en ny attitydskala med ett alternativ att matematiken kan ses som kvinnlig är nödvändig idag. Kombinationen av enkäter och intervjuer är utmärkt för att fördjupa förståelsen av enkätsvaren, som ibland kan tyckas motsägelsefulla.

En del av eleverna hade invändningar mot vår enkät i sina kommentarer och menar att könsuppdelningen riskerar att förstärka fördomar. De avvisar tanken på biologiskt grundade könsskillnader i matematisk förmåga. Samtidigt visar svaren att föreställningar om matematiken som mer tillhörigt det ena könet finns bland eleverna. Vi menar att man behöver exponera sådana föreställningar för att kunna undergräva dem. GeMa har visat att föreställningen om ”matematik som en manlig domän” är vanligast bland vissa män. En inte alltför djärv gissning är att detta förhållande negativt påverkar kvinnors val av högre studier i matematik.

För en lärare som är intresserad av de egna elevernas attityder finns enkäten att använda. Den är enkel för eleverna att fylla i och resultatet kan bilda en bra grund för diskussion med eleverna om synen på matematiken som ”manlig”, ”kvinnlig” eller ”könsneutral”.

Hemsida: www.maths.lth.se/GeMa På hemsidan finns fyra rapporter om projektet. De två första rapporterna nedan är kortare och mer populärvetenskapligt hållna, medan de senare är vetenskapliga rapporter. På hemsidan finns också fler rekommenderad litteratur. Du kan också beställa rapporterna. Brandell, Gerd, Nyström, Peter & Staberg, Else-Marie. (2002). Matematik i grundskolan -

könsneutralt ämne eller inte? Lund: Matematikcentrum, Lunds universitet. Brandell, Gerd, Nyström, Peter & Staberg, Else-Marie. (2004). Matematik i gymnasieskolan -

könsneutralt ämne eller inte? Lund: Matematikcentrum, Lunds universitet. Brandell, Gerd, Nyström, Peter Staberg, Else-Marie, & Sundqvist, Christina. (2003). Kön och

matematik. GeMaprojektet. Grundskolerapport (Nr. 2003:19). Lund: Matematikcentrum, Lunds universitet

Brandell, Gerd, Larsson, Sara, Nyström, Peter, Palbom, Anna, Staberg, Else-Marie & Sundqvist, Christina. (2005). Kön och matematik. GeMaprojektet. Gymnasierapport (Nr 2005:20). Lund: Matematikcentrum.