Matematik B interaktivt for hf · 2015-03-04 · Matematik B interaktivt for hf , version 8.1 side...

© PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf , version 8.1 side 1 / 60

Peter Sørensen

Matematik B interaktivt for hf

(Gult hæfte)

Version 8.1

Dette er en fortsættelse af matematik interaktivt hf C-niveau. Ved eksamen i matematik hf B-niveau skal C-niveauet også kunnes.


© PeterSoerensen.dk

Forord ........................................................................................................................................................................................................ 4

Lektion 19a Genopfriskning af Matematik C: Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes ......................................................... 5

Brøk ................................................................................................................................................................................................... 5 Ligninger ........................................................................................................................................................................................... 5 Eksponent og rod ............................................................................................................................................................................... 5 Parentes .............................................................................................................................................................................................. 5

Lektion 19b Genopfriskning af Matematik C: Procent , rente og indeks .......................................................................................... 6

Procent og rente ................................................................................................................................................................................. 6 Indeks ................................................................................................................................................................................................ 6

Lektion 19c Genopfriskning af Matematik C: Sammenhæng mellem variable og funktioner ........................................................ 7

Lektion 19d, modeller og regression ....................................................................................................................................................... 8

Absolut tilvækst ................................................................................................................................................................................. 8 Relativ tilvækst .................................................................................................................................................................................. 8 Matematisk modellering og regression .............................................................................................................................................. 9

Regression og CAS-værktøj .................................................................................................................................................................. 10 Excel regneark ................................................................................................................................................................................. 10 RegneRobot.dk ................................................................................................................................................................................ 10 CAS-lommeregneren TI-89 og Voyage 200 .................................................................................................................................... 11

Lektion 20a: Polynomier ........................................................................................................................................................................ 12

Parablens toppunkt .......................................................................................................................................................................... 12

Lektion 20b: Polynomier ........................................................................................................................................................................ 14

Gør følgende 5 punkter .................................................................................................................................................................... 14 2) Læs .............................................................................................................................................................................................. 14 Andengradsligningen ....................................................................................................................................................................... 14 Polynomier af n’te grad ................................................................................................................................................................... 15 Polynomiets rødder eller nulpunkter ................................................................................................................................................ 15 Faktorisering af polynomier ............................................................................................................................................................ 16

Lektion 21a, Differentialregning ........................................................................................................................................................... 17

Ikke alle grafpunkter har en hældning ............................................................................................................................................. 18 Betydningen af ordet differentialkvotient ....................................................................................................................................... 18 Differentiable funktioner ................................................................................................................................................................. 19

Lektion 21b, Differentialregning........................................................................................................................................................... 20

Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning. .................................................................................................. 20 Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj ....................................................................................................................................... 20 Tangent ............................................................................................................................................................................................ 20 Ligningen for tangenten ................................................................................................................................................................... 20 Linjeelement .................................................................................................................................................................................... 21 Beregning af differentialkvotienter .................................................................................................................................................. 21 Differentiation af udtryk .................................................................................................................................................................. 22

Lektion 22, Anvendelse af differentialregning ..................................................................................................................................... 23

Maksimum og minimum.................................................................................................................................................................. 23 Monotoni ......................................................................................................................................................................................... 24 Lokalt maksimum ............................................................................................................................................................................ 24 Lokal minimum ............................................................................................................................................................................... 24 Monotoni-interval for en funktion ................................................................................................................................................... 24 Voksende ......................................................................................................................................................................................... 24 Aftagende ........................................................................................................................................................................................ 24 Monotoniforhold .............................................................................................................................................................................. 25 Fortegnsvariation ............................................................................................................................................................................. 25 Optimering ....................................................................................................................................................................................... 26

http://petersoerensen.dk/


Lektion 23a Stamfunktion og integral .................................................................................................................................................. 27

Stamfunktion ................................................................................................................................................................................... 27 Integral (Ubestemt integral) ........................................................................................................................................................... 27 Det bestemte integral ....................................................................................................................................................................... 28

Lektion 23b Stamfunktion og integral .................................................................................................................................................. 29

Areal og integral .............................................................................................................................................................................. 29 Regneregler for bestemte integraler ................................................................................................................................................. 30 Integraler / stamfunktioner kan findes ved hjælp af CAS-værktøj .................................................................................................. 31

Lektion 24a Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e ............................................................................................................. 32

Tallet e ............................................................................................................................................................................................. 32 Den naturlige eksponentialfunktion ................................................................................................................................................. 32 Den naturlige logaritme ................................................................................................................................................................... 32 Logaritmeregler ............................................................................................................................................................................... 33 Eksponentielle funktioner ................................................................................................................................................................ 33 Differentialkvotient af eksponentielle funktioner ............................................................................................................................ 33 Se også link: .................................................................................................................................................................................... 33

Lektion 24b Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e ............................................................................................................ 34

Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1/x , ∫ dx ............................................................................................................ 34

Væksthastighed ................................................................................................................................................................................ 34

Lektion 25, Mere om regression og CAS-værktøj ............................................................................................................................... 35

Lektion 26, Statistik og sandsynlighed ................................................................................................................................................. 36

Normalfordeling .............................................................................................................................................................................. 36

Sandsynlighed ....................................................................................................................................................................................... 38 Stikprøver ........................................................................................................................................................................................ 38

Lektion 27a Trigonometri ..................................................................................................................................................................... 40

1) Repeter Lektion 9 og 17, Geometri . .......................................................................................................................................... 40 Se evt. links: Def. af Sin, Cos og Tan Sinus, Cosinus og Tangens i regneark ........................................................................ 40 Idiotformlen ..................................................................................................................................................................................... 40 Flere formler .................................................................................................................................................................................... 40 Areal af trekant ................................................................................................................................................................................ 41 Sinusrelationerne ............................................................................................................................................................................. 42

Lektion 27b Trigonometri ..................................................................................................................................................................... 43

2) Læs ............................................................................................................................................................................................. 43 Cosinusrelationen (Den udvidede Pyhagoras) .............................................................................................................................. 43

Lektion 27c: Mere om polynomier ......................................................................................................................................................... 45

b’s geometriske betydning ............................................................................................................................................................... 45 Parablens udseende .......................................................................................................................................................................... 45 Bevis for toppunktsformlen: ............................................................................................................................................................ 45 Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen ........................................................................................................................ 47

Lektion 28, Eksamen og repetition ..................................................................................................................................................... 48

Eksempel på undervisningsbeskrivelse ................................................................................................................................................. 48

Skriftlig eksamen .................................................................................................................................................................................. 48 Forberedelse af skriftlig eksamen .................................................................................................................................................... 49 Pc ..................................................................................................................................................................................................... 49

Mundtlig eksamen ................................................................................................................................................................................. 50

Eksempel på eksamens-spørgsmål........................................................................................................................................................ 51 Forberedelse af mundtlig eksamen .................................................................................................................................................. 52 Eksempler på dispositioner til eksamensspørgsmål ......................................................................................................................... 52

Facitliste ................................................................................................................................................................................................... 59

Supplement til formlerne i blåt hæfte .................................................................................................................................................. 60


Forord Dette hæfte er en del af et interaktivt læresystem i matematik hf, og beregnet til at blive brugt på

en pc med Explorer koblet på Internettet (mahf.dk). Herved bliver det muligt at benytte diverse

links til E-opgaver, interaktive opgaver og til videoer. Sideløbende hermed kan det være praktisk

at benytte en papirudgave, som kan printes direkte fra mahf.dk.

På mahf.dk findes dette hefte både i HTML-format med links og i et printvenligt PDF-format,

hvor de fleste links er inaktive.

Videoerne bør ses i brudstykker på kun nogle få minutter af gangen.

Besvarelser af E-opgaver sendes automatisk via Internettet til læreren.

Med denne matematik-pakke følger endvidere et elektronisk afleveringsark, RegneRobot med

matematik-editor og CAS , hvor elever/kursister kan besvare opgaver og også her automatisk få

sendt opgavebesvarelserne til læreren.

RegneRobot indeholder en række faciliteter, der gør det lettere at besvare opgaver.

Indholdsfortegnelsen kan benyttes som links.

Uanset hvor man er i dokumentet, kan man komme til indholdsfortegnelsen ved at taste

Ctrl+Home , PageDown , PageDown.

Søgning på bestemte ord (svarende til stikordsregister) foretages ved at taste Ctrl+f

Denne version, Matematik B interaktivt for hf, version 8.1 er næsten magen til version 8,

der adskiller sig en del fra de tidligere versioner. En del lektioner er med mere forklaring,

de store lektioner er blevet opdelt til flere mindre lektioner og behandlingen af regneark er

blevet neddroslet. Behandlingen af TI-interactive er helt fjernet. Tidligere versioner kan

fås via www.lyngbydata.dk/skriv

Denne undervisningspakke er under stadig udvikling. Forslag og eventuelle rettelser til denne

pakke modtages med tak på lyngbydata.dk/rettelser

Matematik-pakken kan bestilles via lyngbydata.dk/pakke

http://mahf.dk/

http://mahf.dk/

http://mahf.dk/

http://www.lyngbydata.dk/skriv

http://lyngbydata.dk/rettelser

http://lyngbydata.dk/pakke/


Lektion 19a Genopfriskning af Matematik C:

Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes

Gør følgende 3 punkter

1) Læs og genopfrisk matematik C ved hjælp af nedenstående link.

Hvis du opdager, du mangler at lære noget matematik fra C-niveau, så brug det grønne og blå

hæfte med links og videoer, især følgende link: www.lyngbydata.dk/matematik

Brøk

Se eventuelt link: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk brøkregning ved hjælp af dette link til interaktive øve-opgaver: Brøkstykker Hvis det kniber med de 4 regningsarter så benyt følgende link: Små opgaver i de 4 regningsarter

Ligninger

Se eventuelt link: Regler fra side 5 i grønt hæfte og fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk ligninger ved hjælp af dette link: Ligninger

Eksponent og rod

Se eventuelt link: Regler fra lektion 3 og fra formelsamling

Genopfrisk eksponent og rod ved hjælp dette link: Øvelse

Parentes


Genopfrisk parentes ved hjælp af dette link: Parentes

2) Løs E-opgaver Du afleverer elektronisk, når du klikker i Aflever .

Link: E-opgaver 19a Genopfriskning broek og parentes

3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet : 1.001 , 1.002 og 1.004

Benyt RegneRobot med link til opgavehæftet. Klik i opgavenummeret og se en demo-video. Også i RegneRobot afleveres elektronisk ved at klikke i Aflever .

Link til RegneRobot og opgavehæfte

http://www.lyngbydata.dk/matematik

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/broekregler.doc

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/BROEK-REGNING_progressivt.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/regn.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/regn.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/LigningRegler.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/ligninger.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Eksponent%20og%20rod.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/Oevelse%20i%20eksponent.doc

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Parenteser.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/parentes.htm

http://lyngbydata.dk/p/ee/E-opgaver_19a_genopfriskning_broek.parentes.htm

http://www.mahf.dk/sites/default/files/HfB_VejledendeOpgaver.pdf

http://mahf.dk/video/B1001.wmv



http://lyngbydata.dk/p/RegneRobot/Besvar4.htm


Lektion 19b Genopfriskning af Matematik C:

Procent , rente og indeks


1) Læs og genopfrisk matematik C ved hjælp af nedenstående link.

Procent og rente


Genopfrisk procent og rentesregning ved hjælp af dette link: Øvelse

Indeks

Man udvælger et år, som kaldes basisåret, og her sættes indeks til 100.

Indeks for de øvrige år findes ved at fremskrive 100 med samme fremskrivningsfaktor, som de

oprindelige tal fremskrives med. Man kan således beregne indekstal ved først at beregne disse

fremskrivningsfaktorer.

Man kan også beregne indekstal ved at udnytte proportionaliteten mellem de oprindelige tal og

indekstal. Proportionalitet er forklaret i Grønt hæfte, lektion 10, og ganske kort i den følgende

lektion 19c.

Hvis man kender indekstal svarende til et basisår, kan indekstal svarende til et andet basisår

beregnes.

Indeks er forklaret i Grønt hæfte, lektion 8.

Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.

Løs følgende interaktive øve-opgave, link: indeks-opgave

2) Løs E-opgaver Link: E-opgaver 19b Genopfrisk procent og indeks

3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet: 3.006 og 3.012

Klik i opgavenummeret og se en demo-video. Link til RegneRobot og opgavehæfte

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/ProcentOgRente.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/Ovelse_i_rentesregning.doc

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Indeksformler.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/Interaktiv_indeks-oevelse.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_19b_Genopfrisk_procent.indeks.htm






Lektion 19c Genopfriskning af Matematik C:

Sammenhæng mellem variable og funktioner Gør følgende 4 punkter

1) Læs Sammenhæng mellem variable og funktioner er udførligt forklaret i lektion 10, 11, 13, 14 og 15.

Her skal kort gentages de vigtigste ting.

Hvis nedenstående er besværlig læsning, så gå til lektion 10, 11, 13, 14 og 15.

En talstørrelse, der kan variere, fx temperaturen i grader kaldes en variabel.

Hvis man måler temperaturen et bestemt sted en bestemt dag, vil temperaturen normalt variere i

løbet af dagen.

Vi siger, temperaturen afhænger af tidspunktet eller, at temperaturen er en funktion af tiden.

Tidspunktet angives med et tal, der fx angiver, hvor mange timer, der er gået siden midnat.

En sådan funktion kan vi give et navn fx f, og temperaturen til tiden x betegnes f(x) og kaldes

funktionsværdien af x .

Hvis funktionsværdien betegnes med y fås y = f(x).

f(x) udtales ”f af x” .

Mængden af x-værdier, hvor f er defineret kaldes definitionsmængden for f eller Df.

Mængden af funktionsværdier kaldes værdimængden for f eller Vf.

Definitions- og værdimængden er ofte intervaller, fx [0; ∞[, (tallene fra og med nul til uendelig).

Ofte er en funktion fastlagt ved en såkaldt regneforskrift, fx: f(x) = 2x + 3, Dm = [0; ∞[

En funktion kan illustreres med en graf i et koordinatsystem.

Grafen er de punkter, der har x som x-værdi og f(x) som y-værdi

Hvis y = kx , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er ligefrem proportional med x eller blot

proportional med x,og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10x

Hvis y = k · 1/x eller x·y = k , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er omvendt proportional

med x, og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10 · 1/x eller x·y = 10.

En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er en linje eller en del af en linje.

En lineær funktion har en regneforskrift af formen f(x) = ax + b , hvor a og b er konstante tal.

10-talslogaritmen til et tal er den eksponent man skal sætte på 10 for at få tallet.

En eksponentiel funktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)=b·ax, a>0 og b>0.

En potensfunktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)= b·xa, b>0 og x>0.

Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.

2) Løs interaktive øve-opgaver: proportionalitet Lineær funktion Eksp. funktion Potensfunktion

3) Løs E-opgaver E-opgaver 19c Genopfrisk variab.sammenh.& funktion

4) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet : 1.005, 1.013, 1.014 og 1.015


http://lyngbydata.dk/p/B/noter/var-formler.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/proportionalitet.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/l1a.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/e5a.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/potensfunktion.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_19c_Genopfrisk.htm




Lektion 19d, modeller og regression

1) Læs Nogle matematiske ord

Ord: Forklaring: Eksempler/ illustration:

faktor En størrelse, der skal ganges med. 5·8 Både 5 og 8 er faktorer.

produkt Resultatet af et gangestykke 5·8 = 40

40 er produktet af 5 og 8

tæller Den størrelse i en brøk, der er over

brøkstregen 7

3

Brøkens tæller er 3.

nævner Den størrelse i en brøk, der er under

brøkstregen 7

3

Brøkens nævner er 7.

Første

kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor

både x og y er positive

Andet

kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor x

er nagativ og y er positiv

Tredje

kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor

både x og y er negative

Fjerde

kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor x

er positiv og y er negativ

Symboler:

I det følgende bruges x , y , og

x er en forkortelse for x-tilvækst.

y er en forkortelse for y-tilvækst.

Absolut tilvækst

Hvis man har en x-værdi, fx 5, og giver x en tilvækst på 2, så bliver den nye x-værdi 7,

og vi siger x = 2 . Nogfen gange siger vi, at den absolutte tilvækst er 2.

Tilsvarende med andre variable. Når en variabel fx y varierer fra en værdi til en anden værdi,

kaldes forskellen y den absolutte tilvækst.

Relativ tilvækst

Når en variabel fx y varierer fra en værdi y0 til en anden værdi kalder vi forskellen i forhold til

startværdien y0 for den relative tilvækst.

Den betegnes således:

og i procenter således:

· 100 %


er nærmest en forkortelse af ordet ”eller”.

betyder, at det til venstre for er sandt eller det til højre for er sandt.

Fx gælder følgende 3 udsagn:

(2+2 = 4) (2+2 = 5) Det til venstre er sandt

(2+2 = 4) (2+2 = 4) Det til højre er sandt

(2+2 = 4) (3+2 = 5) Både det til venstre og det til højre er sandt

er nærmest en forkortelse for ordet ”ensbetydende” og kaldes ofte dobbeltpil.

betyder at det som er før og efter er sandt for det eller de samme x.

Fx

x=5 x =-5 x² = 25

x = 7 2 x =14

I sidste tilfælde er der kun ét x, som gør hver ligning sand.

Matematisk modellering og regression

Nedenstående forklaring af regneark forudsætter et forhåndskendskab til regneark. Se eventuelt

lektion 6 og 12 i grønt hæfte.

Mange fænomener kan med god tilnærmelse beskrives ved en matematisk funktion.

Den matematiske funktion er en forenkling af virkeligheden. Vi kalder den matematiske

funktion en model af virkeligheden.

Fx kan en lineær funktion bruges som model for befolkningsudviklingen i USA, mens

befolkningsudviklingen i Indien bedre beskrives ved en eksponentiel model.

Funktionen f(x) = 12x + 25 en model for taxa-kørsel, idet x er antal km og f(x) er prisen, men i

virkeligheden er prisen også afhængig af hvor mange gange taxaen skal holde stille under vejs

bl.a. ved rødt lys. Den virkelige pris kan være ret besværlig at beskrive. Derfor er det praktisk

med modellen: f(x) = 12x + 25. Det kaldes en lineær model.

Funktionen f(x) = 12x + 25 kan imidlertid også være model for andre ting.

Lad os betragte et ur, der bliver stillet 25 sekunder forkert. Uret er 25 sekunder foran lige efter,

det er stillet. Derefter vinder uret ca 12 sekunder i døgnet nogen gange lidt mere og nogen gange

lidt mindre..

Urets fejlvisning kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen f(x) = 12x + 25, hvor x er

antal døgn efter uret blev stillet.

Det var et eksempel på, at vi kan bruge den samme matematiske model til at beskrive 2 helt

forskellige ting.

Hvis vi skal beregne, hvor meget uret er foran efter 10 døgn bliver det således præcis den samme

matematiske beregning som at beregne prisen for 10 km med taxa.

Hvis man vil undersøge om en udvikling bedst beskrives ved en lineær funktion, ved en

eksponentiel funktion eller ved en potensfunktion, kan man afsætte funktionsværdierne i mm-

papir, i enkelt logaritmisk papir og i dobbelt logaritmisk papir og vurdere, hvor punkterne bedst

flugter en linje.

Hvis man vil finde regneforskriften, kan man tegne linjen, den såkaldte tendenslinje, og

beregne regneforskriften ud fra 2 punkter, som aflæses på linjen. Det er imidlertid meget lettere

og bedre at bruge CAS-værktøj.


Regression og CAS-værktøj At finde den lineære funktion, som bedst flugter nogle støttepunkter kaldes lineær regression.

Tilsvarende med eksponentiel regression og potensregression.

Metoden i ovenstående kapitel med at tegne en linje på et stykke papir er gammeldags.

Regression bør foretages med såkaldt CAS-værktøj. Det er hurtigere, lettere og mere præcist.

Her vil blive gennemgået 4 slags CAS-værktøj: Excel regneark, RegneRobot, TI89/Voyage 200

og TI-Nspire.

Du kan selv vælge hvilken slags CAS-værktøj, du vil lære at bruge.

Excel regneark

I Grønt hæfte, lektion 12, er forklaret, hvordan man automatisk kan få tegnet grafer i Excel

regneark. Læs det.

I regneark Excel er det muligt at få tegnet tendesnlinjen automatisk ved først at få tegnet en graf

ud fra støttepunkterne og derefter højreklikke med musen i grafen og vælge tendenslinje og

funktionstype, fx ”eksponentiel” . Det er endog muligt at få vist regneforskriften ved at vælge

”Vis ligning i diagram”.

Hvis man ikke får valgt”Vis ligning i diagram” samtidigt med at tendenslinjen tegnes, kan man

højreklikke i tendenslinjen og vælge ”Formater tendenslinje” og derefter vælge vælge ”Vis

ligning i diagram”.

Hvis man ønsker en logaritmisk skala på y-aksen, skal man højreklikke i y-aksen og vælge

”Formater akse”. Herefter kan man vælge fx logaritmisk skala.

RegneRobot.dk

Regression kan foretages ganske enkelt i RegneRobot.

Klik i Guide og vælg ”Regression”. Derefter popper et lille vindue op for neden.

Vælg fx: Lineær regression.

Udfyld med x- og y-værdier.

Klik i ”Beregn”.

Sådan ser vinduet ud efter, der er klikket i ”Beregn”.

Se eventuelt Vejledning til RegneRobot.

http://www.lyngbydata.dk/p/RegneRobot/instruktion.htm


CAS-lommeregneren TI-89 og Voyage 200

Her kan a og b findes på flere måder.

Herunder vises én af disse måder:

Lommeregneren skal være i almindelig calculator-tilstand.

Tast eventuelt 2ND ESC H Enter eller CALC HOME .

Du starter med at cleare x mv. ved at taste: F6, 1 og Enter.

Derefter gør du følgende:

Indtast en liste med x-værdier, fx: {0, 1, 2, 3}.

Indtast en liste med de tilsvarende y-værdier, fx: {86, 300, 690, 1380}.

Vælg eksponentiel regression

Vælg ShowStat. Men Pas På ! Ved eksponentiel regression på TI-89 og Voyage 200kaldes

begyndelsesværdien ikke b, men a, og fremskrivningsfaktoren kaldes ikke a, men b.

Indtastningen kan være således:

{ 0 , 1 , 2 , 3 } STO> L 1 Enter

{ 86 , 300 , 690 , 1380 } STO> L 2 Enter

Math 6 3 2 L 1 , L 2 Enter

Math 6 9 Enter

TI-Nspire Hvis du er interesseret i TI-Nspire, så se denne video; men bemærk at videoen også orienterer

om matematik, du endnu ikke har lært.

2) Løs E-opgaver Link: E-opg. 19d regression

3) Regn fra 2006-opgavehæftet : 2.001, 2.005, 2.007, 2.008


https://www.youtube.com/watch?v=pCPFbGwTw3M

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_19d_regression.htm





Lektion 20a: Polynomier


1) Læs Et andengradspolynomium er en funktion med regneforskriften:

p(x) = ax² + bx + c , hvor a0. Eks.

p(x) = 2x² - 12x + 10 er et andengradspolynomium

Hvis a > 0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en glad graf):

Hvis a <0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en trist graf):

Disse grafer kaldes parabler

Jo tættere a er på nul, jo mindre stejl er parablen.

Parablens toppunkt

Det højeste eller laveste punkt på en parabel kaldes toppunkt.

Idet vi indfører d = b² - 4ac gælder:

Koordinatsættet for toppunktet er:

( xo , yo ) = (

,

)

Denne formel vil blive bevist i lektion 27a

d kaldes diskriminanten.

Toppunktets y-værdi er andengradspolynomiets mindsteværdi eller størsteværdi.


Hvis toppunktet er til venstre for y-aksen, er

negativ og a og b har samme fortegn.

Hvis toppunktet/ er til højre for y-aksen, er

positiv og a og b har forskelligt fortegn.

Hvis toppunktet ligger på y-aksen, er

= 0 b = 0.

c er parablens skæring med y-aksen. Det ses ved at indsætte x=0 i: y=ax² +bx+ c

a,b,c og d’s betydning for parablen

a

Grafens

stejlhed

a<0:

Trist graf

a=0:

Det er ikke et

2.gradspolynomium

a>0:

Glad graf

b

Grafens

hældning

ved 2.aksen

b<0:

Grafen går nedad

ved 2.aksen

b=0:

Grafen er vandret

ved 2.aksen

(Toppunkt er på 2.aksen)

b>0:

Grafen går opad

ved 2.aksen

Du vil senere i lektion 27c få forklaret, hvorfor b’s fortegn kan aflæses af grafens hældning ved 2.aksen

c

Skæring

med 2.

aksen

c<0:

Grafen skærer

2.aksens negative del

c=0:

Grafen skærer 2.aksen i

nul, koordinatsystemets

begyndelsespunkt

c>0:

Grafen skærer 2.aksens

positive del

d

=b² - 4ac

d<0:

Grafen skærer ikke

1. aksen

d=0:

Grafen har ét punkt fælles

med 1.aksen.

Dvs toppunkt er på x-

aksen

d>0:

Grafen skærer 1. Aksen

to steder

2) Løs E-opgaver

E-opgaver 20a Polynomier

3) Regn fra 2006-opgavehæftet :

1.006, 1.008, 1.010 og 1.011 Link til RegneRobot og opgavehæfte

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_20_2.gr.pol.htm



http://www.emu.dk/sites/default/files/HfB_VejledendeOpgaver.pdf





Lektion 20b: Polynomier


1) Se video, link: Andengradspolynomier ved skriftlig eksamen

2) Læs

Andengradsligningen

Hvis parablen skærer x-aksen i to punkter

kaldes de to steder nulpunkter eller rødder.

Hvis parablen har netop ét punkt fælles med

x-aksen kaldes det punkt/tal for nulpunkt,

rod eller dobbeltrod.

Hvis parablen ikke har nogen punkter fælles

med x-aksen, er der ingen rødder.

Vi vil nu se på hvordan man finder eventuelle rødder for et andengradspolynomium.

Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:

ax² + bx + c = 0 hvor a0

Der gælder:

Hvis d <0 bliver der 0 løsninger. Parablen rører ikke x-aksen.

Hvis d =0 bliver der 1 løsning. Parablen rører x-aksen 1 sted.

Hvis d >0 bliver der 2 løsninger. Parablen skærer x-aksen 2 steder.

Hvis d ≥ 0, kan ligningen løses ved hjælp af formlen: x =

Dette vil blive bevist i lektion 27a

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Andengradspolynomier_ved_skr_matematikrewq.wmv


Eksempel

Grafen for p(x) = 2x² - 12x + 10 ser således ud

Rødderne kan aflæses hvor parablen skærer x-aksen.

Løs ligningen 2x² - 12x + 10 = 0 ved hjælp af CAS-værktøj eller følgende link til en

skabelon i regneark: 2.gradspolynomiet.xls

Polynomier af n’te grad

Et polynomium er en funktion med regneforskriften:

p(x) = anxn + an-1x

n-1 + …… + a2x² + a1x + a0 , hvor an0 og n er et positivt helt tal.

Polynomiets grad er n.

Eks.

2x3 –x

2 – 7x + 17 er et 3.-gradspolynomium

Polynomiets rødder eller nulpunkter er de eventuelle x-værdier, hvor p(x) = 0.

http://lyngbydata.dk/p/B/Skabeloner/2.gradspolynomiet.xls


Faktorisering af polynomier

Lad os starte med at se et eksempel på et andengradspolynomium: p(x )= 2x²-25x+30

Polynomiet kan omskrives til p(x) = (x-3)·(5x-10), hvilket kan kontrolleres ved at gange

parenteserne sammen. (Man ganger 2 parenteser med inanden ved at gange vhert led i den nene med hvert led i den anden.)

Det at omskrive 2x²-25x+30 til (x-3)·(5x-10) kaldes at faktorisere polynomiet.

En størrelse, man ganger med, kaldes en faktor, og (x-3)·(5x-10) består af 2 faktorer,

nemlig (x-3) og (5x-10) .

Hvis tælleren og nævneren i en brøk er et polynomium, kan det være praktisk at faktorisere

polynomiet. Derved vil man nogle gange kunne forkorte brøken.

Altså til et produkt af to faktorer.

Vi bemærker, at (x-3)·(5x-10) = 0 hvis x=3. Dvs 3 er rod i polynomiet. (2 er i øvrigt også rod.)

Generelt kan man faktorisere er polynomium, hvis man kender en rod, og

polynomiet kan faktoriseres til (x minus roden) gange en størrelse fx (5x-10)

Det vil vi ikke bevise.

(5x-10) kan også faktoriseres, idet (5x-10) = 5·(x-2)

Alt ialt kan 2x²-25x+30 faktoriseres til 5·(x-3)·(x-2)

Altså til et produkt af 3 fakotrer, nemlig 5, (x-3) og (x-2)

Hvis man skal faktorisere et polynomium er metoden aft finde polynomiets rødder.

Flere eksempler:

2x²-6x-8, -1 og 4 er rødder. Faktorisering: 2x²-6x-8 = 2(x+1)(x-4)

x² -2x+1, 1 er dobbeltrod. Faktorisering: x² -2x+1 = (x-1)(x-1) = (x-1)²

Et n’te-gradspolynomium kan højst have n rødder (nulpunkter).

Det vil vi ikke bevise.

3) Løs interaktive øve-opgaver:

2.gradsligninger.htm

4) Løs E-opgaver

E-opgaver 20b Polynomier


1.003, 1.007, 1.009 og 1.012


http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/andengradsligning.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_20b_pol.htm








Lektion 21a, Differentialregning


1) Se videoer. Links: Diff 1 og Def

2) Læs Et firma sælger en vare og vil gerne tjene så

meget som muligt. Firmaet kan højst bruge

5 mio kr på reklamer. Jo mere firmaet

investerer i reklamer, jo mere sælges, men

hvis firmaet investerer alle 5 mio i reklamer,

så bliver reklameomkostningerne så store, at

den samlede fortjeneste bliver negativ.

Hvis firmaet slet ikke reklamerer, bliver

salget så lille, at fortjenesten også bliver

negativ.

Det handler om at finde hvilken

reklameomkostning, der vil give maksimal

fortjeneste.

Til højre herfor ses en graf, der fortæller

fortjenesten som funktion af

reklameinvesteringen.

Grafen svarer til funktionen

f(x) = -2x² + 8x – 1, Dm(f) = [0;5] , både x og f(x) er kroner i mio

Ved hjælp af grafen kan man aflæse at en rekaleminvestering på 2 mio kr vil være optimal.

Vi skal nu se, hvordan man kan regne sig frem til den mest optimale størrelse af

reklameinvesteringen.

Der gælder, at funktionens mindsteværdi og størsteværdi enten er ved et grafendepunkt eller

hvor grafen er vandret, og det er de steder, der skal checkes.

For at kunne beregne, hvornår grafen er vandret, vil vi interessere os for grafens hældning.

Til enhver x-værdi i definitionsmængden vil ovenstående graf have en hældning, der

betegnes f ’(x).

Vi har således en ny funktion med samme definitionsmængde. Denne funktion betegnes f ’ og

kaldes den afledede funktion, eller med et fint ord differentialkvotienten af f . At finde differentialkvotienten kaldes at differentiere.

Man kan også tale om den afledede af en regneforskrift.

Fx betegnes den afledede af 8x-1 såedes: (8x-1)’

Vi vil ikke her præcist definere ordet hældning/differentialkvotient, men lige nævne, at

hældningen 0 betyder, at grafen er vandret. Ved Positiv hældning er funktionen voksende og ved

negativ hældning aftagende.

Hvis man skal finde en x-værdi, hvor hældningen er 0, skal man således løse ligningen f ’(x) = 0

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff1.wmv

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_Definitionrewq.wmv


Ikke alle grafpunkter har en hældning

Til højre ses to grafer, der ikke

overalt har en hældning.

Den blå graf her ingen hældning i

punkterne (3, 2) og (7, 2.)

Den røde graf har ingen hældning i

Grafpunktet (2,4).

De to tilsvarende funktioner er ikke

differentiable i hele deres

definitionsmængder.

Betydningen af ordet differentialkvotient

Her ser vi grafen for en funktion f, hvor grafen har en

hældning overalt..

Vi er interesseret i grafens hældning i punktet (xo , yo) og

beragter et punkt (x, y) tæt på ( xo , yo ).

Linjestykket fra punktet ( xo , yo ) til ( x , y ) er næsten

sammenfaldende med grafen.

Et linjestykke, der forbinder 2 punkter på en graf kaldes

en sekant.

Jo tættere x er på x0 , jo bede vil sekanten flugte grafen,

Sekanten har hældningen: a =

(Se lektion 11 i Grønt hæfte)

Lidt løst sagt defineres f´(x0) eller grafens hældning i x0 således:

Hvis

nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x0 , så er f´(x0) lig denne værdi.

Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod xo og betegnes f´(xo).

Hvad det helt eksakt vil sige at

nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x0 , vil vi

ikke uddybe her.

Det skrives således:

går mod f´(xo) når x går mod xo.

Det kan også skrives sålees:

f´(xo) når x xo.

eller således:

Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse.

Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers hældninger.

Generelt kan man tale om, at et udtryk, hvor dets værdi afhænger af en variabel, kan have en

grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal.

f ´ (xo) kaldes også differentialkvotienten af f i xo eller blot differentialkvotienten i xo.


Ordet differentialkvotient har noget at gøre med, at

er en kvotient af differenser.

Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke.

kaldes ofte differens-kvotienten.

I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, hvis differenserne var ekstremt små, og

derved opstod navnet differential-kvotient.

Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) – f(x0) og x eller h for (x – x0)

Med disse forkortelser kan vi skrive:

f er differentiabel i xo hvis f

x har en grænseværdi for x xo

eller

f er differentiabel i xo hvis f

h har en grænseværdi for h 0

Differentiable funktioner

Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel,

og den funktion, der til hvert xo knytter f´(xo) betegnes f ’.

f ’ kaldes differentialkvotienten af f eller den afledede af f.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver 21a Differentialregning

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:

1.018, 1.023, 2.002 og 2.012 Link til RegneRobot og opgavehæfte

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_21_Differentialregning.htm





Lektion 21b, Differentialregning


1) Se videoer. Links: Tangent 3-trinsregel x² & xn ax+b

+ reglen

2) Læs

Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning.

Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften

for den afledede funktion f ´ . Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere

bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne:

( k )' = 0 Eksempel: f(x)=7 Grafen er vandret og f '(x)=0

( k x )' = k Eksempel: f(x)=3x Grafen har overalt hældningen 3 og f '(x)=3

(xn)´ = n·x

n-1 , n≠0 Eksempler: (x

3)´ = 3·x

3-1 = 3·x

2 og (x

2)´ = 2·x

2-1 = 2x

(k·f(x))' = k·(f(x))' = k·f´(x) Eksempel: (2x3)´ = 2·3·x

2 2 = 6x

2

(k·xn) = k·n·x

n-1 , n≠1 Eksempel: (2x

3)´ = 2·3·x

2 = 6x

2

(f(x)+g(x))´ = f ´(x) + g´(x). Eksempel: (x³ + x²)' = 3x2

+ 2x Plusreglen

(f(x)-g(x))´ = f ´(x) - g´(x). Eksempel: (x³ - x²)' = 3x2

- 2x Minusreglen

Når man anvender de 2 sidste regler kaldes det ledvis differentiation.

Når der i et udtryk er 2 eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation.

Der er flere regler i formelsamlingen.

Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj

I RegneRobot differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot

På TI-89 og Voyage 200 kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) = 3x² , ved at taste F3 og vælge d(

Derefter skrives 3x^2,x) , så der kommer til at stå: d(3x^2,x) (x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x).

F6 Enter Enter F3 1 3 x ^ 2 , x ) Enter

Der er mere om cas-væktøj i lektion 19, 23 og 25

Tangent

En linje, der går gennem et grafpunkt og har samme hældning som grafen i punktet, kaldes

tangent til grafen.

Ligningen for tangenten gennem et grafpunkt (xo, yo) er: (y – yo) = f ’ (xo) (x – xo)

Hvis x ≠ xo , kan ligningen også skrives:

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_Tangentrewq.wmv

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_3-trinsreglenrewq.wmv

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_Potensrewq.wmv

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_ax+brewq.wmv

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/diff_+Reglenrewq.wmv

http://lyngbydata.dk/p/RegneRobot/instruktion.htm


Til højre er tegnet funktionen f(x) = -2x² + 8x – 1 og en tangent.

Man kan se af tegningen, at hældningen er -4.

Hældningen kan også beregnes:

f ’(x) = -4x + 8

f ’(3) = -4·3 + 8 = -12 + 8 = -4

Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3 , 5)

Tangentens ligning bliver: (y – 5) = –4(x – 3)

Linjeelement

Lad ( xo , yo ) være et punkt på grafen.

De tre tal [xo , yo , f '(xo) ] kaldes et linjeelement for grafen.

Til højre illustreres linjeelementet: [-1, 3, 2]

og tangenten: y - 3 = 2(x - (-1)) y - 3 = 2(x + 1)

Beregning af differentialkvotienter

Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den

såkaldte tretrinsregel.

1. Opskriv

eller

Husk h = x = (x-xo) og x= x0+h

2. Omskriv f så der kan forkortes med x eller h

3. Bestem grænseværdien.

Eksempel 1 f(x) = ax +b

x

f

=

h

0yy

=

h

b)ax(b)(ax 0

=

=

=

=

=

= a

Da

= a gælder også

a for x xo

Altså: f’(xo) = a. Da det gælder for ethvert xo kan vi skrive f’(x) = a eller (ax+b)’ = a

Eksempel 2 f(x) = x²

Vi bemærker at x = xo + h , og vi får:

x

f

= h

0yy

= h

2

0

2

0 x-h)(x

= h

xhxhx2

00

22

0 2

= h

hxh 0

2 2

= 02xh

02xh 02x for x xo

Altså: f’(xo) = 2xo eller f’(x) = 2x eller (x²)’ = 2x


Vi vil bevise plus-reglen:

x

gf

)(

=

0

00 ) )g(x )(f(x ( - ) g(x) (f(x)

xx

=

0

00 )g(x -g(x) )f(x - f(x)

xx

= 0

0 )()(

xx

xfxf

+

0

0 )()(

xx

xgxg

f '(x

0) + g '(x

0) for x x

0

Hvilket beviser (f+g)'(x) = f '(x) + g'(x)

Differentiation af udtryk

skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + 2x)’ = 2x + 2.

Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log´x , som betyder (Log x)’ .

Formlen (xn)' = n·x

n-1 , n≠0 vil vi ikke bevise, men uddybe.

(x0)’ = (1)’ = (0x + 1)’ = 0. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=0 og b=1. Altså (x0)’ = 0

(x1)’ = (x)’ = (1x + 0)’ = 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=1 og b=0. Altså (x1)’ = 1 = x0

(x²)’ = (x·x)’ = 1·x + x·1 = 2x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.)

(x3)’ = (x²·x)’ = 2x·x + x² ·1 = 3x²

(x4)’ = 4x

3

(Se eventuelt lektion 3)

(Se eventuelt lektion 3)

3) Løs interaktive øve-opgaver Differentialregning

4) Løs E-opgaver

E-opgaver_21b_Differentialregning


1.021


6) Skriv og aflever en rapport

1. Skriv om sammenhæng mellem graf for en funktion og differentialkvotient.

2. Skriv plus-reglen.

3. Skriv et eksempel, du selv har digtet, på anvendelse af plus-reglen

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/Differentialregning.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_21b_Differentialregning.htm





Lektion 22, Anvendelse af differentialregning


1) Se video. Link: dif 2, anvendelse af differentialregning

2) Læs

Maksimum og minimum

Hvis en funktion er kontinuert på et lukket interval, har den både et maksimum og et minimum.

Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger:

Bemærk:

Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes henholdsvis

maksimumpunkt og minimumspunkt.

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Diff2-anvendelse.wmv


Monotoni

Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder:

f er voksende i intervallet

f er aftagende i intervallet

f er konstant i intervallet

hvis f ’(x) er positiv eller punktvis nul.

hvis f ’(x) er negativ eller punktvis nul.

hvis f ‘(x) = 0 overalt i intervallet.

I intervallet I1 er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)

f er voksende i intervallet I1

I intervallet I2 er f ’(x) ≤ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)

f er aftagende i intervallet I2.

I intervallet I3 er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (1 sted)

f er voksende i intervallet I3

Bemærk: I1 og I2 har 1 punkt fælles. Det gælder også I2 og I3.

Lokalt maksimum er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen.

Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.

Lokal minimum

er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen.

Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.

Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema.

Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul

andre steder.

Monotoni-interval for en funktion er et interval hvor funktionen er monoton, dvs

voksende, aftagende eller eventuelt konstant.

Om den afbillede funktion gælder:

Voksende i ] - ∞; -3 ] og [ 1; ∞ [

Aftagende i [ -3; 1 ]

Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34

Lokalt minimum i 1 med y-værdi 2

Bemærk: Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et

aftagende interval.


Bemærk også: Grafen er sammenhængende.

Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen

uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen har y-værdien nul. En funktion med en

sammenhængende graf, kaldes kontinuert.

Monotoniforhold At redegøre for monotoniforhold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre hvor

voksende, hvor aftagende og hvor konstant.

Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforhold og ekstrema.

Eks.

f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 7

f’(x) = 3x2 + 6x - 9

For at finde ud af fortegnet for f ’ vil vi finde nulpunkter for f ’:

Dvs vi skal løse ligningen: 3x2 + 6x – 9 = 0

d = 36 – 4·3·(-9) = 144

Rødder:

dvs. -3 og 1

Grafen for f ’ er ”glad” og derfor negativ mellem rødderne.

Fortegnsvariation

f er voksende i ] -∞ ; -3 ] og [ 1 ; ∞ [

f er aftagende i [-3 ; 1 ]

Der hvor f skifter fra voksende til aftagende har f lokalt maksimum,

altså ved x-værdien -3.

Selve maksimumsværdien er f(-3) = 34

Tilsvarende bliver minimum = 2 der antages for x =1

Ofte har man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion.


Optimering

Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering.

Eks.

Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste.

Se begyndelsen af foregående lektion.

x er reklameinvesteringen i mio kr.

Den samlede fortjeneste ved salg af varen afhænger af reklameinvesteringen.

f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen.

For den pågældende vare gælder:

f(x) = -2x² + 8x - 1 , Dm(f) = [0 ; 5]. Dvs der kan højst investeres 5 mio i

reklamer

Det handler om af få maksimum fortjeneste.

f ’(x) = -4x + 8 f ’(x) = 0 -4x + 8 = 0 x = 2 f ’(0) = 8 (positivt) f ’(3) = -4 (negativt)

På grundlag heraf fås

Fortegnsvariation:

Resultat: Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på 2 mio. Maksimumfortjenesten er f(2) mio = 7 mio kr.

Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f(0) og f(5)

f(0) = -1 mio

f(5) = -11 mio

Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, hvilket er et tab på 11 mio.

Bemærk, vi har stiltiende udnyttet at f´ er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f´(0) er

positiv, så er f´(x) positv overalt til venstre for 2.

Tilsvarende kunnevi konkludere, at når f´(3) er negativ,så er f´(x) negativ overalt til højre for 2.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver 22 Anvendelse af diff.regning


1.017, 2016, 2.022 og 2.024


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_22_Anvendelse_af_diff.regning.htm




Lektion 23a Stamfunktion og integral


1) Læs Stamfunktion En funktion F kaldes stamfunktion til en funktion f hvis F’ = f.

Fx: F(x) = x² og f(x) = 2x .

Der findes uendelig mange stamfunktioner til 2x , bl.a. også (x²+7) idet (x²+7)’ = 2x

Der gælder, at alle stamfunktioner til 2x er (x²+k) hvor k er et tal, der med et fint ord kaldes en

arbitrær konstant. Arbitrær betyder tilfældig eller vilkårlig.

Enhver af disse stamfunktioner kan betegnes med den særlige skrivemåde: ∫2x dx , som udtales

integralet af 2x med hensyn til x. Nogen gange siger man det ubestemte integral. Det er ubestemt hvilken stamfunktion, der menes, når man skriver ∫2x dx

Der gælder således ∫2x dx = x² + k , hvor k er en arbitrær konstant At integrere en funktion vil sige at finde stamfunktionerne.

Eksempler:

F(x) = x² er en stamfunktion til f(x) = 2x , fordi (x²)’ = 2x

G(x) = x² +5 er en stamfunktion til g(x) = 2x , fordi (x² + 5)’ = 2x

Bemærk G(x) = F(x) + 5

Generelt kan man sige:

Hvis der til en funktion f findes en stamfunktion F, så gælder:

1. G(x)=F(X)+k er også stamfunktion for f, idet k er et tilfældigt tal, kaldet en arbitrær konstant.

2. Enhver stamfunktion til f kan skrives på formen G(x) =F(X)+k, hvor k er et konstant tal.

Dvs. alle stamfunktioner til f udgøres af dem, der kan skrives på formen G(x)=F(X) + k

Bevis: 1. G’(x) = (F(x)+k )’ = f(x) + 0 = f(x). hvorfor G er stamfunktion til f.

2. Vi betragter stamfunktion til f : G.

(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.

Grafen for (G(x) – F(x)) er derfor vandret overalt og (G(x) – F(x)) = et konstant tal k.

Altså G(x)=F(X)+k.

Integral (Ubestemt integral)

En stamfunktion til f kaldes også det ubestemte integral

til f og betegnes ∫ f(x) dx

Ofte siges blot integralet til f

Eksempler på integraler ses til højre, hvor k er en

arbitrær konstant og Ln er en særlig funktion, vi skal

lære om senere.

Løs interaktive øve-opgaver

Se regler for integration

f(x) ∫ f(x) dx 4x 2 x² + k

4x + 3 2 x² + 3 x + k 3 3 x + k x² ⅓ x³ + k

3x² x³ + k 6x² 2 x³ + k x³ ¼ x4 + k

5x³ 5/4 x4 + k xⁿ (n ikke lig -1) 1/n+1 xn+1 + k

x-1 (x>0) Ln(x) x-1 (x<0) Ln(-x)

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/Integral-regning.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Regler_for_integration.pdf


Det bestemte integral

Lad F være en stamfunktion til f.

Det bestemte integral af f fra a til b defineres som F(b) – F(a) og betegnes

F(b) – F(a) kan kortfattet skrives således:

Altså: Det bestemte integral af f fra a til b =

b

a

dxxf )(

= b

axF )]([

= F(b) – F(a).

b

a

dxxf )(

har samme værdi uanset hvilken stamfunktion til f , man betragter.

Bevis

Hvis man betragter 2 forskellige stamfunktioner til f , F1 og F2 , vil de kun adskille sig fra

hinanden ved en arbitrær konstant. Dvs F2 (x) - F1( x) vil altid give den samme værdi uanset x.

Den værdi kan vi kalde k.

Det kan udtrykkes således: F2 (x) - F1( x) = k F2 (x) = F1( x) + k

Herefter ses det let at F2(b) – F2(a) har samme værdi som F1(b) – F1(a),

idet F2(b) – F2(a) = (F1(b) + k) – (F1(a) + k) = F1(b) – F1(a).

Bemærk

Det bestemte integral er et bestemt tal, nemlig

= 6²-3² = 36 - 9 = 27

Det bestemte integral er en bestemt funktion med regneforskrift:

= x²-3² = x²-9

Vi skal i øvrigt snart se, at er arealet af det område i koordinatsystemet, der ligger

mellem intervallet [3; 6] på x-aksen og grafen for 2x. Bemærk 2x>0 når x er i intervallet [3; 6].

2) Løs E-opgave

E-opgaver 23a Integralregning


1.022, 1.026 og 2.035


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_23a_Integralregning.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_23a_Integralregning.htm




Lektion 23b Stamfunktion og integral


1) Se video. Link: Stamfunktion og integral

2) Læs

Areal og integral

Ved integralregning kan man finde areal af mange forskellige figurer. Vi vil nu betragte en

funktion, som er positiv eller eventuelt nul og kontinuert i et lukket interval [a; b].

x er et tal i intervallet.

I tegningen til højre betragtes det skraverede

areal, der afgrænses af grafen, x-aksen og de

lodrette linjer gennem a og x.

Dette areal afhænger af, hvor i intervallet x placeres.

Arealet er således en funktion af x, og kaldes

arealfunktionen., Den vil vi betegne således: A

A(x) er således lig det skraverede areal.

Der gælder:

A er en stamfunktion til f, og A er den stamfunktion, hvor A(a) = 0.

Det vil vi ikke bevise, men anskueliggøre.

At A(a) = 0 virker temmelig indlysende.

At A er en stamfunktion til f er også temmelig indlysende.

Det ses således:

Lad os betragte x

A

=

h

xAhxA )()(

I tegningen her til højre vises situationen ved en

lille positiv h-værdi. Det virker troværdigt, at

tælleren er lig, eller næsten lig arealet af det

mørkt markerede rektangel.

Dvs brøken er for små værdier af h næsten lig

rektanglets areal divideret med rektanglets

grundlinje h og det er rektanglets højde f(x).

Dermed har vi anskueliggjort, at

f(x) for h 0 (brøken nærmer sig f(x). når h nærmer sig nul)

Altså, at A’(x) = f(x), som betyder, at A en stamfunktion til f.

Bemærk

= A(b) - A(a) = A(b) – 0 = A(b) .

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Stamfunktion_og_integralrewq.wmv


Dvs. hvis en graf for en funktion f ligger over x-aksen på stykket fra a til b,

kan man beregne arealet af det område, der ligge mellem x-aksen og grafen

fra a til b således:

Arealet af området af fra a til b mellem 2 grafer for funktionerne f og g,

hvor f(x)>g(x) kan beregnes således:

Eksempel:

f(x) = 2x , F(x) = x2

g(x)= x² , G(x) =

Arealet mellem de to grafer er

Regneregler for bestemte integraler

b

a

dxxgxf )()(

= b

a

dxxf )(

b

a

dxxg )(

b

a

dxxfc )(·

= c ·

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

=

c

a

dxxf )(

+

b

c

dxxf )(

Den sidste regel kaldes Indskudsreglen

Eksempler:

=

–

= ( 3/2 · 5² -

3/2 · 2² ) – (2·5 – 2·2) =

25½

7

4

·5 xdx

= 5 · 7

4

xdx

= 5 · 7

4²][½x = 5 · ( ½ · 7² - ½ · 4² ) = 5 · 16½ = 82½

5

1

2xdx

= 5²][x = 5² - 1² = 24

5

1

2xdx

= 3

1

2xdx

+ 5

3

2xdx

=

3

1²][x + 5

3²][x = (3² - 1²) + (5² - 3²) = 5² - 1² = 24

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 0 2 4


Integraler / stamfunktioner kan findes ved hjælp af CAS-værktøj

På TI89 findes f. eks. xdx2

ved at taste:

F6 Enter Enter F3 2 2 x , x ) Enter

3

1

2xdx

fås ved at taste:

F6 Enter Enter F3 2 2 x , x , 1 , 3 ) Enter

I RegneRobot skal du klikke i ”Guide & CAS” og vælge ”Differential- og integralregning”.


3) Løs E-opgaver

E-opgaver 23b Integralregning


1.024, 1.025, 2.027 og 2.036



http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_23b_Integralregning.htm




Lektion 24a Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e


1) Læs

Fra Matematik C kender vi:

Sammenhæng mellem variable og funktion

Proportionalitet

Lineær funktion

Eksponerntiel Funktion

Logaitmefunktion (10-talslogaritmen)

Potensfunktion

Disse ting skal vi nu arbejde videre med.

Tallet e

Vi skal møde et helt specielt tal, som spiller en ganske stor rolle i matematikken.

Tallet kaldes e og er lig ca. 2,718.

Tallet kan ikke skrives som en endelig decimalbrøk. Det er et irrationalt tal, altså et ikke

rationalt tal, hvilket vil sige, det ikke kan skrives som en brøk med helt tal for oven og helt tal

for neden.

Den naturlige eksponentialfunktion

Tallet er især interessant når det optræder i den eksponentialfunktion, som har regneforskriften:

f(x) = ex

Denne funktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion og er karakteristisk ved at have sig

selv som differentialkvotient. Dvs f’(x) = ex eller (e

x)’ = e

x

e kan benyttes i RegneRobot. I nogle CAS-værktøjer skrives #e

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritmefunktion betegnes Ln, og er bestemt ved:

Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal sætte på e for at få tallet.

DVS. eLn(x)

= x .

Eksempler:

Ln(e3) = 3 Ln(e7) = 7 Ln(ex) = x Ln(ea) = a

Ln(1) = 0 fordi e0 = 1

Ln(e) = 1 fordi e1

= e


Logaritmeregler

Ln(a·b) = Ln(a) + Ln(b)

Ln(

) = Ln(a) - Ln(b)

Ln(ax) = x· Ln(a)

Disse regler er magen til reglerne for 10-talslogaritmen.

Nogen gange betegnes den naturlige logaritme med lille l således: ln Fx: ln(1) = 0

Eksponentielle funktioner

Vi vil nu omskrive b·ax, så e indgår.

Her får vi brug for en regel om eksponenter: (ap)q = a

p·q , fx (5

3)

2 = 5·5·5 · 5·5·5 = 5

3·2

Vi har tidligere set at x = eln(x)

, idet ln(x) er den eksponent, man skal putte på e for at få x.

Ved at skrive a i stedet for x fås: a = eln(a)

og ax = (e

ln(a))x = e

ln(a)·x

og b·ax = b·e

ln(a)·x

Derfor kan en eksponentiel funktion skrives på følgende form: f(x) = b·eln(a)·x

Differentialkvotient af eksponentielle funktioner

Der gælder: (b·ax)’ = ln(a) · b·a

x (Det vil vi ikke bevise)

Specielt gælder: (ax)’ = ln(a)·a

x

Vi lægger mærke til, at differentialkvotienten af en eksponentiel funktion er proportional med

funktionsværdien.

Endvidere gælder: (b·enx

)’ = b·n·enx og (b·a

nx)’ = ln(a) · n·b·a

nx

Det vil vi heller ikke bevise.

Eksempler:

(2·3x)’ = ln(3)·2·3

x og (3

x)’ = ln(3)·3

x

Se også link: Regler for differentiation Bemærk især: (enx

)’ = nenx

På lommeregner Texas TI 89 og Voyage 200 kan (2·3x)’ findes ved at taste:

F3 1 2 * 3 ^ x , x ) Enter

2) Løs E-opgaver

E-opgaver 24a vækstmodeller


1.016, 1.020 og 2.018 Link til RegneRobot og opgavehæfte

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Regler_for_differentiation.pdf

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_24a_vaekstmodeller.htm






Lektion 24b Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e


1) Se video med stof fra både C- og B-niveau. Link: Vaekstmodeller-funktionsteori

2) Læs

Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1/x , ∫

dx

Der gælder: (ln(x) )’ =

, x > 0. (Det vil vi ikke bevise.)

Tilsvarende: ∫

dx = ln(x) +k , x > 0. k er en abitrær konstant, dvs et vilkårligt tal .

For x<0 : ∫

dx = ln(-x) +k , x < 0. (De 2 sidste formler vil vi heller ikke bevise.)

De 2 sidste formler kan under ét skrives ∫

dx = ln(|x|) +k , x 0 (x forskellig fra nul) ,

idet |x| betyder –x hvis x<0 og ellers x. Fx: |-7|=7 og |7|=7.

(Bemærk, vi bruger også den lodrette streg i geometri. Afstanden mellem fx punkterne A og B betegnes: |AB| )


Se også formlerne på sidste side: Naturlig logaritme & eksponentialfunktion

Væksthastighed

Væksthastighed betyder det samme som differentialkvotient.

Pakistans befolkning var i 2000 på 147 mio.

og er siden vokset med en væksthastighed på 1,71% pr. år.

Dvs: Væksthastigheden = 0,0171 · befolkningens størrelse.

Væksthastigheden er således proportional med befolkningens størrelse og

proportionalitetsfaktoren er 0,0171.

Det kan skrives: f ’(x) = 0,0171· f(x),

hvor x er antal år efter år 2000 og f(x) er befolkningstallet, mens f ’(x) er væksthastigheden.

4) Løs E-opgaver

E-opgaver 24b vækstmodeller


1.019, 2.019, 2.020, 2.021


http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/vaekst.wmv


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_24b_vaekstmodeller.htm




Lektion 25, Mere om regression og CAS-værktøj


1) Læs

I denne lektion skal vi repetere regression og CAS-værktøj.

Se eventuelt lektion 19d.

Se eventuelt også Vejledning til RegneRobot.

3) Løs E-opgaver E-opgaver_25_Model_og_CAS


2.013, 2.014, 2.015, 3.015



http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_25_Model_og_CAS.htm






Lektion 26, Statistik og sandsynlighed


1) Se lektion 16 om bl.a. sumkurve og histogram.

2) Se video: Statistik og sandsynlighed

3) Læs

Normalfordeling

Når man skal beskrive et statistisk talmateriale, kan man nogle gange sige, at observationerne er

normalfordelt, og allerede ved det er der sagt noget om, hvordan observationerne fordeler sig.

Der findes en lidt indviklet definition på normalfordeling.

Her vil vi nøjes med at nævne nogle egenskaber ved normalfordelinger:

Histogrammet ved en normalfordelinger er symmetrisk omkring middeltallet, der således også er

median.

Histogrammet ligner en klokke

Her ses et par klokkeformede histogrammer for normalfordelinger med middelværdien 7 og

ekstremt mange bitte små intervaller.

Man har lavet noget teknisk papir, som kaldes normalfordelingspapir. Det er indrettet således, at

netop normalfordelinger vil få lineære sumkurver i dette papir. Sådant papir kan benyttes til at

afgøre om en fordeling er en normalfordeling. På næste side ses sumkurven for en

normalfordeling indtegnet i normalfordelingspapir. Medianen kan her aflæses til 4. Da det er en

normalfordeling, er også middeltallet = 4

Tilsvarende kan nedre kvartil aflæses til 3,1 og øvre kvartil til 4,9

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Statistik_og_sandsynlighed.wmv


Opgave

Højden på danske soldater er normalfordelt. 5% af

soldaterne har en højde på under 170 cm og 70 % af

soldaterne har en højde på under 185 cm. Udfyld skemaet

til højre og indtegn sumkurven i normalfordelingspapir.

Aflæs kvartilsættet: (177, 182, 187)

Du kan eventuelt printe denne side og tegne oven i.

Højde i cm 170 185

Kumuleret

frekvens


Sandsynlighed

Vi betragter et eksperiment med forskellige udfald.

Fx kast med terning

Vi vil ikke nødvendigvis udføre eksperimentet,

men vi vil forestille os, at eksperimentet udføres mange gange.

Ved sandsynlighed for et bestemt udfald forstås

den brøkdel af gange, man forventer udfaldet.

Eksempel

Hvis man kaster en terning, er sandsynligheden for 6: 1/6 , og det er den fordi, hvis man

forestiller sig kastet gentaget mange gange, så forventer vi, at frekvensen for 6 bliver 1/6 .

Opgave 0

Hvad er sandsynligheden for ikke at slå en sekser?

Svar: 1 - 1/6 =

5/6 , da det at slå ”en sekser” eller ”ikke en sekser” er udtømmende.

Opgave 1

Hvad er sandsynligheden for at slå en sekser to gange i træk?

Svar: 1/6 ∙

1/6 =

1/36

Opgave 2

Hvad er sandsynligheden for at slå 3 seksere i træk?

Svar: (1/6)

3 =

1/216

Opgave 3

Jeg kaster først en mønt og så en terning. Hvad er sandsynligheden for, at det lykkes mig både at

få krone og en sekser.

Svar: 1/2 ∙

1/6 =

1/12

Vi bemærker, at sandsynligheden for nogle bestemte udfald ved flere forskellige eksperimenter

kan beregnes som produktet af de enkelte sandsynligheder.

Stikprøver

Man kan formode, at 10% af alle danskere vil sige ja til fri heroin.

En sådan formodning kaldes en hypotese.

For at vurdere hypotesen vil vi foretage en stikprøve. Vi vil spørge 20 tilfældige danskere, og er

indstillet på at forkaste hypotesen, hvis ingen af de 20 svarer ja.

Vi ved godt, at selv om hypotesen skulle være sand, kan vi ikke udelukke, at der i vores

stikprøve slet ikke er nogen, der går ind for fri heroin, men vi antager, at sandsynligheden for det

er meget lille.


Lad os beregne den sandsynlighed. Altså sandsynligheden for, at alle 20 svarer noget andet end

ja, sunder forudsætning af at hypotesen er sand.

For hver af de 20 tilfældige danskere er sandsynligheden at få et ja: 10% = 0,10 og

sandsynligheden for ikke at få ja: 90 % = 0,90.

Sandsynligheden for at alle 20 ikke svarer ja er 0,9020

= 0,121… = 12%

Det er således 12 % sandsynligt, at vi kommer til at forkaste en sand hypotese.

12 % er i den forbindelse temmelig meget og spørgsmålet er, om det var en rimelig beslutning at

forkaste hypotesen på baggrund af en sådan stikprøve.

Vi vil nu spørge 100 tilfældige danskere, og hvis ingen af dem siger ja, må vi vel kunne forkaste

hypotesen.

Under forudsætning af at hypotesen er sand, kan vi beregne sandsynligheden for, at vi alligevel

forkaster hypotesen og får 0,90100

= 0,000026… = 0,003%.

Denne sandsynlighed er ekstrem lille, så hvis resultatet af stikprøven bliver, at nul svarer ja, så

tør vi godt forkaste hypotesen. Det vil være næsten usandsynligt, at nul svarer ja ud af 100, hvis

10% af befolkningen skulle gå ind for fri heroin.

Måske ville det også være rimeligt at forkaste hypotesen, hvis resultatet blev et enkelt ja.

Det at foretage en stikprøveundersøgelse af 100 personer er et eksempel på en såkaldt

eksperimentserie bestående af 100 såkaldte basiseksperimenter.

Hvert basiseksperiment består i at undersøge om pågældende person vil svare ja.

Hvis hypotesen er rigtig, er sandsynligheden for ja 10% , og det kalder vi basissandsynligheden,

forkortet lille p. Sandsynligheden for nej er 100% - p = 90%.

Udfaldet af stikprøven kaldes ofte χ

(χ er et græsk bogstav, der udtales noget i retning af ksi, men vi kan bare sige store X)

Vi har beregnet sandsynligheden for (χ =0). Denne sandsynlighed betegnes P(χ =0).

Sandsynligheden for et enkelt ja betegnes P(χ =1).

Sandsynligheden for netop 2 svar med JA betegnes P(χ =2) osv.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver 26 Statistik og sandsynlighed.htm


3.001, 3.002, 3.004


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_26_Statistik_og_sandsynlighed.htm






Lektion 27a Trigonometri Gør følgende 4 punkter

1) Repeter Lektion 9 og 17, Geometri .

Se evt. links: Def. af Sin, Cos og Tan Sinus, Cosinus og Tangens i regneark

2) Læs Nogle funktioner kaldes trigonometriske. Vi skal arbejde med Sinus, Cosinus og Tangens.

Bemærk: Vores definition af sinus og cosinus forudsætter ikke at vinklen skal være spids.

Vinklen kan være større end 360° og vinklen kan være negativ.

I definitionen af Sinus og Cosinus indgår en trekant med grundlinjen på x-aksen. Det er en

såkaldt standardtrekant. Dvs. hypotenusen er 1.

Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten er Cos v og den modstående er Sin v.

Idiotformlen

Ofte benyttes den forkortede skrivemåde Cos2 v i stedet for (Cos(v))2 og ligeledes Sin2v i

stedet for (Sin(v))2 .

Ved hjælp af Pythagoras ses Cos2 v + Sin2 v = 12 = 1.

eller

Cos2 v + Sin2 v = 1

Denne formel kaldes populært idiotformlen.

Flere formler

Ved at betragte tegningen til højre ses

Cos(-v) = Cos v Sin(-v) = -Sin(v)

Cos (180°- v) = - Cos(v) Sin(180°- v) = Sin(v)

To vinkler, som tilsammen er 180º kaldes

supplementvinkler og den sidste formel kan

udtrykkes: Sinus til supplementvinkler er lige store.

På C-niveau blev gennemgået, hvordan man kan beregne vinkler og sider i retvinklede trekanter.

Her vil vi se hvordan, man gør hvis en trekant ikke er retvinklet .

Først vil vi se på arrealet af en trekant.

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Definition%20af%20Sinus%20og%20Cosinus.htm

http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Sinus%20Cosinus%20og%20Tangens%20i%20regneark.htm


Areal af trekant

Vi betragter en ΔABC , der ikke nødvendigvis er retvinklet.

Vinkel C kan være spids, ret eller stump. (Spids betyder under 90° og stump betyder over 90°)

Bemærk: I figuren helt til venstre bliver vinkel BCH = 180°- vinkel C

og derfor er Sin(vinkel BCH) = Sin(C)

Vi ved, at i enhver Δ ABC gælder: Arealet T = ½ højde · grundlinje

Altså: T = ½ h·b

Hvis man ikke kender h , men kender siderne a og b samt vinkel A, så kan man beregne h.

Ved at betragte tegningen længst til højre og den lille retvinklede trekant, der afgrænses af h, a og

x, ses at h kan erstattes af a·Sin(C), idet Sin(C) = a/b

Det gælder også i den midterste tegning, da C her er 90° og Sin(C) derfor er 1. Ved at betragte tegningen længst til venstre og den lille retvinklede trekant, hvor h er katete, ses at h også her kan erstattes af a·Sin(C), fordi Sin(vinkel BCH) = Sin(C)

Således gælder i alle 3 situationer:

T = ½ h · b = ½ · a Sin C · b = ½ ab Sin C

Tilsvarende fås

T = ½ ac Sin B og T = ½ bc Sin A

Arealet = ½ · sinus til en vinkel · den ene hosliggende side · den anden hosliggende side

Endvidere gælder Herons formel: T= hvor

Den vil vi ikke bvise.


Sinusrelationerne

Vi skal nu se på hvordan man ud fra vinklerne og en side i en trekant kan beregne de øvrige

sider.

Regel:

I enhver trekant ABC gælder:

Bevis:

Vi betragter en vilkårlig ΔABC

Arealet T = ½ bc Sin A = ½ ac Sin B = ½ ab Sin C

2T = bc Sin A = ac Sin B = ab Sin C

Hermed er reglen bevist.

Forholdet mellem sinus til en vinkel og modstående side er ens for alle 3 vinkler

Sinusrelationerne kan betragtes som ligninger, hvor den ubekendte er en trekantside, der kan

findes ved ligningsløsning.

Hvis man kender 2 sider og en vinkel i en trekant, kan man også bruge sinusrelationerne og

beregne sinus til en af de andre vinkler i trekanten.

Men PAS PÅ! Det betyder ikke altid, at man kan finde selve vinklen, idet 2 forskellige vinkler

kan have samme sinus. Fx: Sin 30° = 0,5 og Sin 120° = 0,5.

Mange gange kan man imidlertid udelukke den ene af vinklerne, hvis den giver anledning til en

vinkelsum på over 180°.

3) Løs E-opgaver E-opgaver 27a geometri

5) Rapport Skriv og aflever en rapport, hvor du betragter en trekant ABC og ved hjælp af den gammel-

kendte formel ” T = ½ hB · b ” beviser eller anskueliggører ” T = ½ ab Sin C ” .

http://lyngbydata.dk/p/ee/E-opgaver_27a_Trigonometri.htm


Lektion 27b Trigonometri Gør følgende 4 punkter

1) Se video: Trigonometri

2) Læs

Cosinusrelationen (Den udvidede Pyhagoras)

Her skal vi se, hvordan man finder en side i en trekant ud fra de andre sider og en vinkel..

Formel:

I enhver trekant ABC gælder: c² = a2 + b

2 – 2ab·Cos C .

Bevis:

Vi betragter en vilkårlig ΔABC

Der er 3 muligheder.

1) Vinkel C = 90°

2) Vinkel C < 90°

3) Vinkel C > 90°

1)

Højden fra B er sammenfaldende med siden BC

Da vinkel C = 90°, er Cos(C) = 0 og formlens

sidste led får værdien nul.

Formlen gælder således på grund af Pythagoras

sætning for retvinklede trekanter.

2)

Højden fra B er inde i trekanten.

Ved Pythagoras fås:

c2 = (b - x)2 + h2

Men x og h skal væk.

Derfor erstatter vi x med a ·Cos C og h med a ·Sin C.

c2 = (b – a·Cos C)2 + (a·Sin C)2

= b2 + a2·Cos2C – 2ba·Cos C + a2·Sin2C

a2 kan sættes uden for parentes

c2 = b2 + a2(Cos2 C + Sin2C) – 2ab·Cos2C

Ved hjælp af idiotformlen fås:

c2 = a2 + b2 – 2ab·Cos C

Hvilket skulle vises.

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Trigonometri.wmv


3)

Højden fra B er uden for trekanten.

Ved Pythagoras fås:

c2 = (b + x)2 + h2

Men x og h skal væk.

Derfor erstatter vi x med a ·Cos(180°- C) = – a ·Cos C og h med a ·Sin(180°– C) = a·Sin C.

c2 = (b – a ·Cos C)2 + (a Sin C)2

= b2 + a2·Cos2C – 2ba·Cos C + a2·Sin2C

a2 kan sættes uden for parentes

c2 = b2 + a2(Cos2 C + Sin2C) – 2ab·Cos2C Ved hjælp af idiotformlen fås:

c2 = a2 + b2 – 2ab·Cos C

Hvilket skulle vises.

Herved er formlen bevist i alle tilfælde.

Kvadratet på en side er lig summen af de to andre siders kvadrater minus

2 · produktet af de to andre sider og cosinus til modstående vinkel.

Cosinusrelationen kan også bruges, hvis man kender siderne i en trekant og vil finde en vinkel.

Så benyttes følgende omskrivning af cosinusrelationen

)(·2²²² CCosabbac

ab

cbaCCos

2

²²²)(

Mens sinus til en trekantvinkel desværre ikke altid entydigt bestemmer vinklen, så er det mere

behageligt med cosinus. Når man kender cosinus til en trekantvinkel, så er vinklen entydigt

bestemt.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_27b_Trigonometri

4) Regn fra 2006-opgavehæftet: Bemærk: mc i opgave 3.003 er linjestykket fra C til midten af c

3.003, 3.013 og 3.014


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_27b_Trigonometri.htm





Lektion 27c: Mere om polynomier


1) Se video, link: Andengradspolynomier

I lektion 20 arbejdede vi med polynomier. Her i denne lektion vil vi se nærmere på grafen for

andengradspolynomier, vi vil se b’s geometriske betydning, og vi vil bevise toppunktsformlen

og løsningsformlen for en andengradsligning.

b’s geometriske betydning

Vi differentierer p(x)=ax²+bx+c, og får p’(x) =2ax+b

Ved at sætte x=0, ser vi at b er parablens hældning ved 2.aksen.

b’s fortegn kan således direkte aflæses af parablen

Parablens udseende

Grafen for x² ser således ud:

(0,0) er toppunkt

Grafen for (x-3)² ser således ud:

(3,0) er toppunkt

Grafen for (x-3)²+2 ser således ud:

(3,2) er toppunkt

Generelt gælder at ethvert andengradspolynomie kan skrives a(x-x0)²+y0

hvor (x0 , y0) er toppunktet.

Det vil vi ikke bevise, men nøjes med ovenstående anskueliggørelse.

Bevis for toppunktsformlen:

( xo , yo ) = (

,

)

Vi vil nu betragte et vilkårligt andengradspolynomium ax² + bx + c.

Toppumnktet kan karakteriseres ved at differentialkvotienten er nul.

Vi kan således finde x-værdien for toppunktet ved at løse lignignen:

http://lyngbydata.dk/p/B/videoer/Andengradspolynomier_ved_mundtlig_eksamenrewq.wmv


(ax² + bx + c)’ = 0

2ax+b = 0

x =

y-værdien for toppunktet findes ved i polynomiet at erstatte x med

og vi får:

y = a·(

)2 + b ·

+ c

I lektion 20 indførte vi betegnelsen d for: b² - 4ac

- b² + 4ac bliver derfor lig -d og vi får

.

Koordinatsættet for toppunktet bliver således:

( xo , yo ) = (

)

hvilket skulle bevises.


Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen

Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:

ax² + bx + c = 0 hvor a0

Men det er meget lettere at løse ligningen, når vi omskriver den ved hjælp af toppunktets

koordinater til formen:

a(x - xo )² + yo = 0

a(x - xo )² = - yo

(x - xo )² =

Venstresiden kan ikke være negativ.

Hvis højresiden er negativ, er der således ingen løsninger.

Vi vil derfor vurdere højresiden og indsætter

i stedet for yo . (Se toppunktsformlen)

Højresiden bliver

=

er ikke negativ, så højresiden er kun negativ hvis d er negativ.

Der er således ingen løsninger, hvis d er negativ.

Hvis d ≥ 0 fås (x - xo )² =

(x - xo ) =

x - xo =

x = xo +

Vi indsætter

i stedet for xo og får x =

x =

Vi har hermed bevist løsningsformlen. Hvis d=0 bliver der kun én løsning.

3) Løs interaktive øve-opgaver:

2.gradsligninger

4) Løs E-opgaver

E-opgaver 27c olynomier


2.025, 2.037, 2027, 2040, 2041 og 2042


6) Løs endvidere E-opgaver

27d, 27e , 27f , 27g ,

http://lyngbydata.dk/p/B/opgaver/andengradsligning.htm

http://lyngbydata.dk/p/ee/E-opgaver_27c_Repetition.htm





http://lyngbydata.dk/p/ee/index.htm





Lektion 28, Eksamen og repetition


1) Løs disse E-opgaver, der meget vigtige ved forberedelsen af

mundtlig eksamen: 28a, 28b , 28c , 28d og 28e

2) Se eksamens-videoer

3) regn flere opgaver fra 2006-opgavehæftet samt gamle eksamensopgaver.

Link til RegneRobot og opgaverne

4) Læs

Pensum til eksamen er skrevet i en undervisningsbeskrivelse. Både undervisningsbeskrivelsen

og eksamensspørgsmål offentliggøres i god tid før eksamen på kursets/skolens hjemmeside.

Eksempel på undervisningsbeskrivelse svarende til denne undervisningspakke:

Link: Undervisningsbeskrivelse

Der afholdes både en skriftlig og en mundtlig eksamen

Skriftlig eksamen

Mødetid er typisk kl 8:30 og selve prøven starter kl 9:00.

Der bliver normalt udleveret papir før, selve eksamen starter, og man kan under eksamen ved

håndsoprækning bede om mere papir.

Man kan bruge tiden, før selve eksamen starter til at udfylde nogen stykker papir med navn,

kursistnummer osv. .

Hvert stykke papir skal være udfyldt med

Navn,

Kursistnummer,

Holdnummer,

Sidenummer (nogen gange kaldet ark-nummer) og antal sider/ark i alt (fx 3 af 5),

Prøve/Eksamen (Her skrives: HF),

Fag/niveau (her skrives: Mat. B).

Bemærk: antal sider/ark i alt er lig antal stykker papir, som afleveres .

Der er ét sidenummer/arknummer til hvert stykke papir.

Sidenummerering er vigtig og fortæller censor i hvilken rækkefølge opgavebesvarelserne skal læses og sikrer, at censor ser alle sider.






http://lyngbydata.dk/p/RegneRobot/videoer/index.htm



http://lyngbydata.dk/p/B/noter/Undervisningsbeskrivelse.doc


Hvis der også afleveres bilag på hvert sit selvstændige stykke papir, så har hvert bilag sit eget

sidenummer. Det kan være hensigtsmæssigt at give bilagene de højeste sidenumre og tillige

navngive hvert bilag med et bogstav, fx bilag A, bilag B osv.

Husk at henvise til bilag fra de respektive opgavebesvarelser, fx: ”Se bilag A”.

Klokken 9 udleveres to prøver. Den ene skal løses uden hjælpemidler og afleveres kl 10:00. Der

må ikke bruges pc før kl 10, men gerne almindelige skriveredskaber, kuglepen, blyant, lineal

osv.

Til den anden prøve må alle hjælpemidler anvendes, også pc. Det er tilladt at gå på Internettet i

begrænset omfang. De hjemmesider, som skolen/kurset har benyttet i undervisningen må du

gerne benytte til skriftlig og mundtlig eksamen.

Det er således tilladt at benytte RegneRobot til eksamen.

Man behøver ikke at lave kladde. Evt. kladde og de trykte opgaver afleveres ikke og kan tages

med hjem efter kl 13.

Nogen gange er de trykte opgaver suppleret med et trykt bilag. Det er meningen, at man skal

skrive eller tegne på bilaget (fx aflæsninger og streger/markeringer). Bilag afleveres sammen

med den øvrige besvarelse.

Som ovenfor nævnt skal også bilag have sidenummer mm.

Den skriftlige eksamen slutter normalt kl 13. Kursister med problemer af forskellig art kan i god

tid før eksamen søge om forlænget tid.

Ca. en måned efter skriftlig eksamen, vil kursisten kunne få sin skriftlige karakter.

Forberedelse af skriftlig eksamen

Man forbereder sig ved at regne opgaver og ved at regne nogle hele prøvesæt på 4 timer uden

forstyrrelser.

Pc

Det anbefales at anvende pc. Ofte vil man foretrække at løse nogle opgaver, eller dele af

opgaver, på pc og resten manuelt. Fx kan det være praktisk at lave en graf ved hjælp af en pc og

derefter med kuglepen tegne markeringer.

Opgavebesvarelser, der er lavet på pc, skal printes på papir og kun papiret skal afleveres.

Det anbefales at printe siderne efterhånden. Det vil også være ærgerligt, hvis man regner med at

printe til sidst og ikke når det. Desuden bliver besvarelserne på print ofte anderledes end

forventet, og der er brug for tid til at foretage ændringer.

Hvis pc’en bryder sammen kan man benytte de sider, som allerede er printet, og resten skrives

med håndkraft.

Ofte kan man benytte skolens printer via et USB-stik, idet opgavebesvarelsern gemmes i PDF-

format på USB-stikket, som så flyttes over i Skolens printer. Hvis du benytter browseren

Google Chrome, kan du gemme i PDF-fomat fra RegneRobot ved at klikke i Print og skifte

printer til ”Gem i PDF-format”


Mundtlig eksamen Kursisten kommer ind i eksamenslokalet og får ved lodtrækning udleveret et stykke papir med et

eksamensspørgsmål.

Lodtrækningen vil typisk foregå ved at kursisten vælger en seddel. På bagsiden af sedlen står et

nummer, der henviser til eksamensspørgsmålet.

Kursisten skal sikre sig at spørgsmålet er forstået og kan spørge.

Kursisten får derefter lejlighed til at forberede sig i sit eget lokale i ca 20 minutter. I særlige

tilfælde kan kursisten i god tid før eksamen søge om forlænget tid. Alle hjælpemidler er tilladte,

herunder egne og andres notater, dog er kommunikation med omverden ikke tilladt.

Disse hjælpemidler må også benyttes under selve fremlæggelsen af eksamensspørgsmålet, dog

bør man ikke kigge for meget i notaterne. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater eller

lignende vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen, altså give en dårligere karakter.

Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund

mens man kigger.

Mundtlig eksamen er todelt.

Første del er kursistens fremlæggelse (se nedenstående dispositioner og videoer)

Anden del er samtale

Første del vil typisk vare over halvdelen af tiden 12 20 min. Det er vigtigt, at kursisten i sin

fremlæggelse kommer ind på alle underpunkter i eksamensspørgsmålet. Derfor bør man starte

med disse underpunkter. Derefter fortsætter kursisten med andre ting, der hører under

hovedoverskriften. Hvis der er noget kursisten ikke kan, fx et bevis, bør kursisten i sin

fremlæggelse ikke bruge tid på det. Karakteren bliver noget lavere, når kursisten springer noget

over, men karakteren bliver endnu lavere, hvis kursisten direkte demonstrerer sin manglende

kunnen.

Anden del vil typisk vare 5 10 min og tage udgangspunkt i kursistens fremlæggelse.

Samtalen kan ikke bevæge sig uden for hovedoverskriften.

Ca 5 minutter efter den mundtlige eksamen, vil kursisten få sin mundtlige karakter.


Eksempel på eksamens-spørgsmål

1 Andngradspolynomiet Definition af andengradspolynomiet.

Gør rede for andengradspolynomiets graf.

Bevis toppunktdformlen.

2. Differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient , gerne med udgangspunkt i din rapport.

Udled differentialkvotienten for f(x) = x².

3. Differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient.

Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.

Inddrag gerne din rapport.

4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion

Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.

Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.

Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.

5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.

Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en

differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .

6. Vækstmodeller og funktionsteori Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion.

Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion.

7. Stamfunktion og integral

Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

8. Trigonometri Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.

Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.


9. Trigonometri Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.

Bevis cosinusrelationen.

10. Statistik og sandsynlighed

Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).

Gør rede for sandsynlighedsbegrebet.

Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.

Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.


Forberedelse af mundtlig eksamen

Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde et foredrag

og en disposition.

Nogen af spørgsmålene ligner hinanden og foredragene vil være næsten ens.

Man kan således nøjes med at forberede ét foredrag til spørgsmål 2 og 3, og ét foredrag

til spørgsmål 4, 5 og 6, osv.

Der skal således forberedes 7 foredrag.

Foredraget til differentialregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og

spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er som

tidligere nævnt vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man

har trukket. Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.

Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har

rigeligt at fortælle om.

Sørg for at kunne alle 7 foredrag lige godt.

Man bør på forhånd have afprøvet alle 7 foredrag som en slags generalprøve. Det er en

god idé at være nogen stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde

foredrag for hinanden.

Eksempler på dispositioner til eksamensspørgsmål

Du kan muligvis udbygge disse dispositioner eller helt lave dine egne.

1 Andengradspolynomiet Definition af andengradspolynomiet.

Gør rede for andengradspolynomiets graf.

Bevis toppunktdformlen.

Disposition:

Definition af polynomier.

Parablen y=x² og forskydning af parablen mv. (Se video)

Toppunkt,

Rødder

Koefficienten til x², lille a, og a’s betydning for parablens udseende (glad eller trist).

Andengradsligningen

Udvikling af løsningsformlen og betydningen af fortegnet for d.

Anvendelse af formlen på et konkret eksempel fx 3x²+9x-12=0

.

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer , Adgangskode: rewq


2. Differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.


Disposition

Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)

Tangent til en graf


Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b

Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt

Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)

Bevis plusreglen.

Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan

man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af

differentialkvotient (lektion 22) eller du kan tale om differentiation af ex og a

x.

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

3. Differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient.

Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.


Disposition


Tangent til en graf

Bevis plusreglen.

Du kan evt. bevise minusreglen


Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b

Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt

Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)

Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan

man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af

differentialregning (Lektion22) eller du kan tale om differentiation af ex og a

x.

Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).



4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.

Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.

Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.

Disposition


Tangent til en graf

Tallet e


Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion

Grafen for t= ex. Definitionsmængde og værdimængde

Den naturlige logaritme:

ln(x) defineret som det tal t, hvor et = x. Dvs. ln(x)=t et=x. Altså: eln(x) = x eller x =eln(x). Bemærk at

x>0 fordi et>0

ax = eln(a) · x, (Det kan fx ses ved, at tage den naturlige logaritme på begge sider)

(Det fremgår også af, at x =eln(x) og dermed, at a = e

ln(a) .

Derved fås ax = (e

ln(a))

x = e

ln(a) · x . Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)

(ax)’ = ln(a) · ax

(bax)’ =b · ln(a) · ax

(5 · 3x)’ = 5 · ln(3) · 3x

Differentialkvotient af ln(x) er

x > 0

Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj, eller du kan fortælle

om differentialregning med regneregler osv.

Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).



5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.

Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en

differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .

Disposition


Tangent til en graf

Maksimum og minimum (lektion 22)

Monotoni og fortegn for f ’

Lokalt maksimum, lokalt minimum

Monotoni-interval

Fortegnsvariation, demonstreret på et eksempel: f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 (lektion 22)

Eksempel, hvor fortjeneste afhænger af reklameinvestering: -2x3+8x-1, Dm=[0;5] (lektion 22).

Du kan evt. også vælge at tale om væksthastighed side 31, lektion 24.

Du kan evt. også betragte et tog, der fjerner sig fra en station.

f(x) betegner er afstanden i meter efter x sekunder,

f ’(x) er hastigheden (meter/sekund)

Vi har ikke beskæftiget os med at differentiere differentialkvotienten;

men den betegnes f ’’ og kaldes den dobbelt afledede.

f ’’(x) kaldes accelerationen, nemlig hastighedsændring pr sekund (meter/sekund²)



6. Vækstmodeller og funktionsteori Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion

Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion

Disposition

Variable (lektion 10, video)

Funktion

Grafen for en funktion

Definitionsmængde og værdimængde

Lineær funktion og definition (lektion 11, video)

Eksponentiel funktion og definition (lektion 14, video)

Potensfunktion og definition (lektion 15, video)

Sig at disse funktioner bruges som modeller af virkeligheden til at beskrive virkeligheden.

Differentialregning og vækstmodeller. (Lektion 24)

Tallet e


Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion

Grafen for t= ex. Definitionsmængde og værdimængde

Den naturlige logaritme:

ln(x) defineret som det tal t, hvor et = x. Dvs. eln(x)

=x eller eln(a)

=a

ax = eln(a) · x

, (Det fremgår af, at a = eln(a)

.

Derved fås ax = (e

ln(a))

x = e

ln(a) · x . Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)

(ax)’ = ln(a) · ax

(bax)’ =b · ln(a) · ax

(5 · 3x)’ = 5 · ln(3) · 3x

Differentialkvotient af ln(x) er

x > 0

Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj eller du kan fortælle

om differentialregning med regneregler osv.

Du kan også vælge tale om væksthastighed (lektion 24).



7. Stamfunktion og integral Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

Definition af stamfunktion (lektion 23)

Eksempel: Stamfunktion til 2x: x2 + k , hvor k er en arbitrær konstant, dvs vilkårlig konstant.

Areal og integral (lektion 23)

Tegn en tegning som den første af tegningerne i lektion 23.

Indfør A(x) som det markerede areal

Bemærk A(a) = 0 Udbyg din tegning til at være som den sidste af tegningerne i lektion 23

Gør rede for at differentialkvotienten af A(x) er lig f(x) Konkluder: A(x) er den stamfunktion til f, hvor funktionsværdien af a er 0

Areal af et område mellem to grafer

Det bestemte integral b

adxxf )(

Regneregler for bestemte integraler og eksempler

Eventuelt demonstration af anvendelse af CAS-værktøj.


8. Trigonometri Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.

Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.


Disposition

Definition af Sinus og Cosinus (lektion 27, video)

Areal & Sinusrelationerne: (lektion 27, video)

Tegn 3 trekanter, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump. (lektion 27, video)

hA= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.

Areal af trekant T = ½·ab·sin C (lektion 27, video)

c

SinC

b

SinB

a

SinA

Eksempel:

a=2, b=4, B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25. A=14,5° eller (A=165,5° Forkastet)

(Den sidste løsning blev forkastet fordi A+B skal være mindre end 180°)

Cosinusrelationerne: (lektion27, video)

Tegn de 2 situationer

Brug Pythagoras

Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C og h = a· Sin C

Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) =

a · Cos C

a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1

Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A

Eksempel: Samme , c2=2

2+4

2 – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66.. c=5,9



9. Trigonometri Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.

Bevis cosinusrelationen.

Disposition

Definition af Sinus og Cosinus (side 36, lektion 27, video)

Cosinusrelationerne: (Side 42, lektion27, video)

Tegn de 2 situationer

Brug Pythagoras

Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C og h = a· Sin C

Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) =

a · Cos C

a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1

Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A

Eksempel: Samme , c2=2

2+4

2 – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66.. c=5,9

Areal & Sinusrelationerne: (Side40, lektion 27, video)

Tegn 3 trekanter som på side 40, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump.

hA= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.

Areal af trekant T = ½·ab·sin C (side 40, lektion 27, video)

c

SinC

b

SinB

a

SinA

Eksempel:

a=2, b=4, B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25. A=14,5° eller (A=165,5° Forkastet)

(Den sidste løsning blev forkastet fordi A+B skal være mindre end 180°)



10. Statistik og sandsynlighed Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).

Gør rede for sandsynlighedsbegrebet. (lektion 26)

Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.

Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.

Disposition

Betragt følgende observationssæt over højden på danske soldater ved en bestemt kasserne

Højde i cm 160 170 170 180 180 190 190 200

Frekvens 5 % 38 % 52 % 5 %

Kumuleret

frekvens 5 % 43 % 95 % 100 %

Vis hvordan du tegner histogram og sumkurve i sædvanligt koordinatsystem (lektion 16)

Sig, at observationerne kan være normalfordelte. (lektion 26)

Sig, at ved en normalfordeling er histogrammet klokkeformet.

Sig, at der findes normalfordelingspapir.

Tegn sumkurven i normalfordelingspapir og konkluder, at der er tale om en normalfordeling

Sandsynlighed, dvs den frekvens, man forventer et bestemt udfald ved mange gentagelser.

Sandsynlighed for 3 seksere i træk ved kast med terning: 1/6 ·

1/6 ·

1/6 = (

1/6)

3 (Der ganges).

Hypotese: 10 % af alle danskere vil sige ja til fri heroin.

Stikprøve på 20.

Hvis hypotesen er sand fås:

Sandsynlighed for at stikprøven giver et udfald med ingen ja: 0,9020

= 0,121… = 12 %.

Dette udfald kan således let forekomme, og man vil næppe forkaste hypotesen på baggrund af

stikprøven.

Sandsynlighed for, at en stikprøve på 100 giver et udfald med ingen ja. 0,90100

= 0,003 %

Hvis hypotesen er sand, så er stikprøvens udfald næsten umuligt. Vi vælger at forkaste

hypotesen.

X betegner stikprøvens udfald

P(X=0) betegner sandsynligheden for, at udfaldet = 0.


Facitliste

Hermed link til facitliste.

Link: Facitliste til Eksamensopgaver


Supplement til formlerne i blåt hæfte

Andengradspolynomiet

p(x) =ax2 + bx + c

Diskriminanten d = b²-4ac

Toppunkt: (xo , yo) = a

b

2(

, )

4a

d

d < 0, c > 0, glad graf: a > 0

xo>o: b har fortegn modsat a

d > 0, c > 0, trist graf: a < 0

xo<0: b har samme fortegn som a

c er skæring med y-aksen b er hældning ved y-aksen

Rødder / nulpunkter a

db

2

Differentialregning

( f + g )'(x) = )(')(' xgxf

( f – g )'(x) = )(')(' xgxf

(k·f(x))' = k·(f(x))'=k·f´(x) fx: (5x³)´=15x²

(k·x)' = k fx: (3x)´= 3

n ≠ 0: (xn)' = n·x

n-1 fx: (x³)´= 3x²

n ≠ 0: (k xn)' = k·n·x

n-1 fx: (5x³)´=15x²

(x2 - 3x +

1/x)' = 2x - 3

-

x

-2

Ligning for linje

gennem (xo , yo ) med

hældning a y - yo = a(x – xo)

Ligning for tangent

gennem (xo , yo ) y - yo = f '(xo)(x – xo)

Tangent til f(x)=x²

gennem (3,9)

f '(x)=2x og f '(3)=6

Ligning: y - 9 = 6(x- 3)

Integral / stamfunktion

f(x) ∫ f(x) dx

4x 2 x² + k

4x + 3 2 x² + 3 x + k

3 3 x + k

6x² 2 x³ + k

x³ ¼ x4 + k

5x³ 5/4 x

4 + k

xⁿ , n ≠ -1 1/n+1 x

n+1 + k

x-1

= 1/x , x>0 Ln(x) + k

ex e

x + k

bax

+ k

Det bestemte integral

Ln & ex

Ln(a·b) = Ln(a) + Ln(b)

= Ln(a) - Ln(b)

Ln(ax) = x· Ln(a)

eLn(a)

= a

eLn(a)· x

= ax

b·Ln(a)·eLn(a)· x

= b·Ln(a)·ax

(ax)’ = Ln(a)·a

x

(ex)’ = e

x

(k enx

)’ = k·n·enx

Ln’x =

, x > 0

For x>0: ∫1/x dx = ln(x) +k

For x<0: ∫1/x dx = ln(-x) +k

Trigonometri

Cos2 C + Sin

2C = 1

Cos(-v) = Cos v

Sin (180-v) = Sin (v)

Radiantallet = Gradtallet · π/180

Gradtallet = Radiantallet · 180

/π

Sin(π-x) = Sin(x)

Sin A = a ·

a = Sin A ·

Areal: T = ½ aha = ½ ab Sin C

Herons formel: T=

²c )(·2²² CCosabba

Matematik B interaktivt for hf · 2015-03-04 · Matematik B interaktivt for hf , version 8.1 side...

Documents

Transcript of Matematik B interaktivt for hf · 2015-03-04 · Matematik B interaktivt for hf , version 8.1 side...