Matematik sæt 11-12

Opgave 1

De fleste matematiske it-værktøjer kan tegne grafer for funktioner af to variable. Prøv om dit it værktøj kan

tegne grafen for funktionen i eksempel 3, og prøv desuden at tegne grafen for f ( x , y )=x2 y−2x y2

Da det ikke kunne lade sig gøre, at tegne graferne i programmet Graph, har vi benyttet Maple.

Vi starter med at definere f for funktionen

f ( x , y )=x2− y2 fra eksempel 3:

>

Derefter tegner vi grafen i 3D ved hjælp af with(plots):

>

Samme fremgangsmåde er brugt for funktionen f ( x , y )=x2 y−2x y2:

>

> >

1

Figur 1

Figur 2

Opgave 2 og 3

Vis, at for funktionen f ( x , y )=5− x2− y2 fra eksempel 4 er N(0) en cirkel med centrum i (0,0) og radius √5.

I visse tilfælde er niveaukurverne faktisk ikke rigtige kurver.

a) Opskriv ligninger for niveaukurverne N(3), N(5) og N(6) for funktionenf ( x , y )=5− x2− y2 fra eks. 4

b) Hvilke punktmængder beskriver de tre niveaukurver? Tegn dem

c) Tegn, om muligt, med dit IT-værktøj grafen for f sammen med de vandrette planer som på figur 3 og 4

d) Giv herefter en helt generel beskrivelse af N(z) for alle z∈ R

Cirklens ligning:

Det kan ses på figuren at O⃗P svarer til cirklens radius. O⃗P=( x−0y−0)=( xy)

Da vi har to punkter: O(0,0) og P(x,y), kan vi finde længden ved hjælp af

afstandsformlen: |AB|=|⃗AB|=√ (b1−a1 )2+(b2−a2 )2+(b¿¿3−a3)2¿

|OP|=¿ |⃗OP|=√( x−0 )2+ ( y−0 )2

⟺|⃗OP|=√x2+ y2=r⟺ x2+ y2=r2, hvilket svarer til en punktmængde på

cirklen med centrum i O(0,0) og radius r. Denne kaldes for cirklens ligning.

2

DefinitionLøsningsmængden til ligningen f (x, y) = k, hvor k er en opgivet konstant, betegnes N(k) og kaldes en niveaukurve for funktionen f.

Figur 3

Da vi skal tegne niveaukurven N(0), vil det sige at k=0 (definitionen) derfor sætter vi funktionen lig med 0:

f ( x , y )=5− x2− y2=0⟺5=x2+ y2

Da x2+ y2=r2 (cirklens ligning) vil det sige at N(0) viser en cirkel med radius √5og centrum i (0,0). Denne er

tegnet ind i Maple, se fig. 4:

>

>

>

>

>

> >

Ligninger for niveaukurverne:

.N (3 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=3⟺ 5−3=x2+ y2⟺2=x2+ y2Ligningen viser punktmængden på en cirkel medr=√2 og centrum i (0,0).

.N (5 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=5⟺ 5−5=x2+ y2⟺0=x2+ y2Ligningen viser punktetP=(0,0)

3

Figur 4

.N (6 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=6⟺ 5−6=x2+ y2⟺−1=x2+ y2Ligningen viser her en tommængde−kan ikke værenegativ . Se figur 4.Niveaukurverne N(z) for alle z∈R viser generelt planer, der skærer z-aksen ved z.Opgave 4

Bevis, at for en lineær funktion f ( x , y )=ax+by+c er niveaukurverne parallelle rette linjer med

normalvektor (ab).

Vi ved at ligningen for en linje i planen er: a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c=0

Da normalvektoren bare kan aflæses fra linjen er n⃗=(ab)Da f(x,y)=k betegnes N(k) (en niveaukurve), er

a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c=k⟺a (x−x0 )+b ( y− y0 )+( c−k )=0.Linjener derfor enret linie ., og

niveaukurverne er parallelle, da de har samme retningsvektor.

Da normalvektorenn⃗ skal være vinkelret på P⃗0 P, fås: n⃗∗P⃗0P=0

Vektoren P⃗0 P er så: ( x−x0y− y0), og derfor fås (ab)( x−x0y− y0)=0Opgave 5

Gennemfør alle detaljerne i beviset for sætningen nedenfor.

I det følgende vil vi møde uligheder af formen:

ax+by ≥c

hvor a,b og c er givne tal, og vi får brug for at bestemme de punkter (x, y) i

planen, som opfylder uligheden. Først ser vi på linjen ax+by=c, der er

skitseret på figur 5 sammen med vektoren n⃗=(ab), som er en

normalvektor til linjen.

4

Figur 5

Linjen deler planen i to halvplaner, og på figuren er den halvplan, som normalvektoren n⃗ peger ind i tegnet

gråtonet. Vi betegner denne halvplan – linjen medregnet – den positive halvplan. Lad P (x0 , y0 ) være et

punkt på linjen og Q ( x , y ) et punkt i den positive halvplan. Vi kan se, at vinklen mellem n⃗ og P⃗Q ligger i

intervallet [ – π2 ; π2 ]. Dette skyldes at hvis n⃗ skal holde sig inde for den positive halvplan, må den bevæge

sig 90 ° til højre eller venstre, deraf –π2

eller + π2

.

Dette betyder, at punkterne Q i den positive halvplan lige præcis er de punkter, der opfylder uligheden

n⃗ ∙ P⃗Q ≥0. Da P⃗Q=( x−x0y− y0) kan vi regne prikproduktet på venstre side af uligheden ud, så vi får

(ab) ∙( x−x0y− y0) ≥0⟺a (x−x0 )+b ( y− y0 )≥0. Hvis vi ganger parentesen ud, fås:

ax−ax0+by−by0≥0. Lægges ax0+b y0 til på begge sider af ulighedstegnet, fås:

ax−a x0+ax0+by−by0+by 0≥ax0+by0⟺ax+by≥ax0+by 0. Da P ligger på linjen, gælder ax0+by0=c,

og vi får hermed ax+by ≥c, som er den ulighed, vi er interesseret i.

Vi har altså bevist:

Sætning

Punkterne (x, y), som opfylder uligheden ax+by ≥c, udgør den positive halvplan for linjen

ax+by=c. Denne linje kaldes begrænsningslinjen for halvplanen.

Opgave 6

Tegn selv de tre halvplaner hørende til kravene til fiber, A- og C-vitamin, og kontroller herved, at

polygonområdet på figur 10 er korrekt.

En fastfoodkæde vil gerne kunne reklamere med, at den serverer sund mad, og overvejer derfor at servere

en salat bestående af gulerødder og hvidkål som en del af alle menuer. Fastfoodkæden ønsker, at salaten

lever op til Fødevarestyrelsens anbefalinger med hensyn til indhold af fibre samt vitamin A og C.

Skema nedenfor viser forskellige oplysninger om henholdsvis gulerødder, hvidkål og appelsiner:

Tabel 1. Gulerødder (x) Hvidkål (y) Anbefalet mindste Appelsiner

5

indhold pr. portion

Fiberindhold (g/kg) 30 20 4 23

Vitamin A (mg/kg) 35 0,5 0,5 0,6

Vitamin C (mg/kg) 60 300 15 524

Pris (kr./kg) 4 3,5 6

Vi lader nu x betegne hvor mange kg gulerødder og y hvor mange kg hvidkål, der er i en portion salat.

Spørgsmålet er, hvordan fastfoodkæden kan sammensætte salaten, altså vælge x og y, så den opfylder

Fødevarestyrelsens anbefalinger og samtidig er så billig som muligt.

For at portionen opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger, skal den indeholde mindst 4g fiber.

Dette kan udtrykkes ved uligheden:

30 x+20 y≥4

Uligheden definerer en halvplan, som vi finder ved at tegne begrænsningslinjen: 30 x+20 y=4 og

en normalvektor parallel med n⃗=(30 ;20). Vi kræver altså, at salatportionen er sammensat således,

at (x, y) ligger i det gråtonede område. På samme måde giver kravene til A-vitaminindholdet uligheden:

35 x+0,5 y≥0,5, som har begrænsningslinjen 35 x+0,5 y=0,5. For C-vitaminerne får vi: 60 x+300 y≥15

, og dermed begrænsningslinjen: 60 x+300 y=15

Hver af de tre uligheder definerer en halvplan, og de punkter, der opfylder alle ulighederne, er

fællesmængden af de tre halvplaner. Dette område betegnes et polygonområde og vises ved tredobbelt

skravering i figur 6. Bemærk, at vi desuden kun ser på første kvadrant. Der må nemlig yderligere gælde

ulighederne x ≥ 0 og y ≥ 0, for man kan ikke fremstille en salat med en negativ mængde gulerødder eller en

negativ mængde hvidkål.

6

Figur 6

For at illustrerer de tre begrænsningslinjer isolerer vi y, i de tre ligninger:

30 x+20 y=4⟺20 y=−30 x+4⟺ y=−30 x20

+ 420

⟺y=−32x+ 15

35 x+0,5 y=0,5⟺0,5 y=−35x+0,5⟺ y=−35 x0,5

+ 0,50,5

⟺y=−70x+1

60 x+300 y=15⟺300 y=−60 x+15⟺ y=−60 x300

+ 15300

⟺y=−15x+ 120

Disse tre funktioner kan så tegnes ind i Graph, og vi får så polygonområdet, se fig. 6.

Opgave 7

Hen på foråret bliver der problemer med forsyninger af hvidkål, og dette tvinger fastfoodkæden til at vælge

en anden ingrediens til salaten. Man vælger at bruge appelsiner, der har et indhold af kostfibre på 23 g/kg,

A-vitamin på 0,6mg/kg samt C-vitamin 524 mg/kg. Prisen på appelsiner er 6 kr./kg.

a) Opskriv kriteriefunktionen for den nye salatsammensætning

b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygonområdet

c) Hvilken sammensætning af appelsin og gulerod skal fastfoodkæden vælge for at servere den billigst

mulige salat, som opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger?

Af skemaet kan vi desuden se, at prisen for en portion salat kan udtrykkes ved funktionen

f ( x , y )=4 x+3,5 y . Denne funktion kaldes kriteriefunktionen. Det er denne funktion, vi ønsker antager en

optimal værdi, i dette tilfælde et minimum. Opgaven med at finde ud af hvor meget gulerod og hvidkål, der

skal bruges til en portion salat, der indeholder nok A- og C-vitamin samt kostfibre, samtidig med, at salaten

skal være billigst mulig, er altså reduceret til at finde det punkt (x, y) i planen, som både ligger indenfor

polygonområdet, og på den lavest mulige niveaulinje for kriteriefunktionen. Vi indtegner derfor niveaulinjer

N(z) for kriteriefunktionen for forskellige værdier af z. På denne måde kan man se, i hvilken retning linjen

bevæger sig, når z, dvs. prisen, vokser. Figur 6 viser, at niveaulinjerne bevæger sig opad mod højre, når z

vokser, og at man kommer ind i polygonområdet ved punktet P, der er skæringen mellem den blå linje 60x

+ 300 y = 15 og den grønne linje 30x + 20y = 4. Da vi skal bestemme den lavest mulige pris, er det derfor det

7

nkt i polygonområdet, hvor niveaulinjen for kriteriefunktionen kommer ind i området, vi er interesseret i.

Løses ligningerne finder man P(0,115; 0,027). Det betyder at salaten skal indeholde 115 g gulerod og 27 g

hvidkål. Udgiften til en salatportion er f (0,115;0,027) = 0,56, altså 56 øre pr. portion.

Kriteriefunktionen: f ( x , y )=4 x+6 y. Dette kan ses på tabel 1, ovenfor. Selvom vi bruger appelsiner nu, er

problemets begrænsninger de samme, derfor fås ulighederne: 30 x+23 y≥4, 35 x+0,6 y≥0,5 og

30 x+524 y ≥15.

Af dem kan vi udlede begrænsningslinjerne og derefter isolere y for at illustrere halvplanerne:

30 x+23 y=4⟺23 y=−30 x+4⟺ y=−30 x23

+ 423

35 x+0,6 y=0,5⟺0,6 y=−35x+0,5⟺ y=−35 x0,6

+ 0,50,6

30 x+524 y=15⟺524 y=−60 x+15⟺ y=−60 x524

+ 15524

Vi har valgt at farve linjerne hhv. rød, grøn og blå.

8

Figur 7

Vi vil gerne finde minimumsværdien for kriteriefunktionen, da den bestemmer prisen for én portion salat.

Dette kan gøres ved at finde skæringspunktet for den røde og grønne linje. Kriteriefunktionen vokser

nemlig, samtidig med, at niveaukurverne stiger opad mod højre, og de vil derfor ramme netop dét punkt i

polygonområdet først. Skæringspunktet kan findes ved at sætte funktionen for den røde linje lig med

funktionen for den grønne. Dette kan gøres ved hjælp af solve på lommeregner Ti-89:

solve(−30 x23+ 423

=−35x0,6

+ 0,50,6

, x)x=0,011573≈0,0116Vi kan så sætte x ind i en af funktionerne, fx

y=−30 x23

+ 423

⟺ y=−30∗0,011623

+ 423

=0,154955≈0,1550

Det vil sige, at den rigtige sammensætning af appelsiner og gulerødder er ca. 12 g gulerod og 155 g

appelsin. Det søgte punkt er så: P(0,012 ;0,155). Og prisen for én portion salat bliver:

4 ∙0,012+6∙0,155=0,978 , dvs .97,8 ører .

Opgave 8

Bestem maksimum og minimum for funktionenf ( x , y )=3 x+2 y inden for polygonområdet givet ved

x≥0 y ≥0−x+ y ≥13 x+ y≤6−2 x+ y≤4

Når ulighedstegnet er ≤, vil det sige mindre eller lig med, og man er derfor interesseret i det negative

halvplan. Normal vektoren vender dog stadig mod det positive halvplan.

Begrænsningslinjerne for de tre uligheder er:

−x+ y=1⟺ y=x+1

3 x+ y=6⟺ y=−3x+6

−2 x+ y=4⟺y=2x+4

9

y=x+1 er illustreret på figur 8, med blå farve, y=−3x+6 med rød farve og y=2x+4 med gul farve.

På figur 8 ses at når kriteriefunktionen vokser så stiger niveaukurvene opad mod højre. Dvs. at minimum for

funktionen f ( x , y )=3 x+2 y svarer til skæringspunktet mellem y-aksen og den blå funktion, mens

maksimum svarer til skæringspunktet mellem den røde og gule funktion.

Da den blå funktion er y=x+1, og y-aksen er x=0, fås:y=0+1⟺ y=1, punktet er så: P (0,1 ) .

Maksimum findes ved hjælp af ti-89:solve(−3 x+6=2x+4 , x), x=25

, x kan derefter indsættes i fx

y=2x+4⟺ y=2∗25

+4⟺ y=4 45

, punktet er så Q( 25; 445)

Mindste værdien er så: f ( x , y )=3 x+2 y⟺ f ( x , y )=3∗0+2∗1=2

Største værdien er så: f ( x , y )=3 x+2 y⟺ f ( x , y )=3∗25

+2∗4 45=10 4

5

10

Figur 8

Opgave 9

Hansens Havecenter producerer to blandinger af græsfrø, PlænePryd og GardenGreen. En pakke PlænePryd

indeholder 600 g rajgræs, 200 g rødsvingel og 200 g engrapgræs. En pakke GardenGreen indeholder 400 g

rajgræs, 400 g rødsvingel og 200 g engrapgræs. Firmaet har 240 kg rajgræs, 160 kg rødsvingel og 90 kg

engrapgræs på lager. Fortjenesten på en pakke PlænePryd er 20 kr. og 30 kr. på en pakke GardenGreen.

a) Opstil først de givne oplysninger i et skema som i eksempel 7. Dette giver et meget bedre overblik

b) Opskriv kriteriefunktionen for fortjenesten

c) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygonområdet

d) Hvor mange pakker PlænePryd og GardenGreen skal der produceres for at fortjenesten bliver størst

mulig?

Plænepryd GardenGreen Firmaets lager

Rajgræs 600g 400g 240kg

Rødsvingel 200g 400g 160kg

Engrapgræs 200g 200g 90kg

Fortjeneste 20kr 30kr

Kriteriefunktion, som viser fortjenesten: f ( x , y )=20 x+30 y

0,600 x+0,400 y≤240kg0,600 x+0,400 y=240kg⟺0,4 y=−0,6 x+240⟺

y=2,5∗−0,6 x+2,5∗240⟺ y=−1,5x+600

0,2 x+0,4 y ≤160kg0,2 x+0,4 y=160kg⟺0,4 y=−0,2 x+160⟺ y=2,5∗−0,2 x+2,5∗160⟺y=−0,5 x+400

0,2 x+0,2 y ≤90kg0,2 x+0,2 y=90kg⟺0,2 y=−0,2 x+90⟺ y=5∗−0,2 x+5∗90⟺y=− x+450

På figur 9, kan vi se at når kriteriefunktionen stiger bevæger niveaukurvene opad mod højre. Derfor skal vi

finde skæringspunktet for den grønne og lilla funktion, for at finde den størst mulige fortjeneste.

Dette kan gøres på lommeregner Ti-89:

11

solve (−0,5 x+400=−x+450 , x )

x=50,5

Vi indsætter x, i den ”røde” funktion:

y=−1,5x+600⟺ y=−1,5∗50,5+600⟺ y=524,25

P (50,5 ;524,25 ), hvilket vil sige 50,5kg og 524,25kg

Opgave 10

Prisen på gulerødder kan naturligvis også falde. Vis, at hvis prisen kommer under 0,70 kr./kg, flytter den

optimale salatsammensætning til et andet punkt R. Bestem dette punkt.

Se eksempel 9 for baggrund.

12

Figur 9

Hvis prisen på gulerødder falder, vokser hældningen af niveaukurven. På et tidspunkt vil niveaukurven blive

parallel med den pink linje. Når niveaukurvens hældning bliver større, end den pink linjes hældning, vil den

optimale løsning være der, hvor den pink linje skærer x-aksen. (se. Fig. 6)

Fra eksempel 9, ved vi at en niveaukurven N(z) har hældningskoefficienten –a3,5

. Da:

60 x+300 y=15⟺300 y=−60 x+15⟺ y=−630x+ 15300

Er hældningskoefficienten for den pink linje: −630

Den optimale løsning skifter altså til det nye punkt R, hvis –a3,5

>−630

⟺ a← 630

∗−3,5⟺a<0,7kr .

Da x-aksen er y=0 og den pink linje er: 60 x+300 y=15, kan vi bare indsætte y=0:

60 x+300∗0=15⟺60 x=15⟺ x=1560⟺ x=1

4

Punktet er derfor: R( 14;0)

13