hhx122-MAT/A-17082012

Matematik AHøjere handelseksamen

1. Delprøve, uden hjælpemidlerkl. 9.00-10.00

Fredag den 17. august 2012kl. 9.00 - 14.00

112732.indd 1 10/07/12 07.06

Matematik A

Prøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

112732.indd 2 10/07/12 07.06

Side 1 af 1 side

Side 1 af 1 side

Opgave 1

Vektorerne a og b er givet ved ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

32t

a og ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

11

b .

a) Gør rede for, at a og b er parallelle for 23−=t .

Opgave 2

En cirkel med centrum i ),( 00 yx og radius r har ligningen

2202

0 )()( ryyxx =−+−

I koordinatsystemet til højre er cirklen C indtegnet.

a) Bestem en ligning for C .

Opgave 3

Funktionen F er den stamfunktion til funktionen xxxf 4)( 3 += , der opfylder at 5)0( =F . a) Bestem en forskrift for F .

Opgave 4

En funktion f er givet ved forskriften 2331)( xxxf −= .

a) Bestem monotoniforholdene for f .

Opgave 5

Egenkapitalen i en nystartet virksomhed vokser lineært over en tidsperiode. Udviklingen i egenkapitalen kan ses i tabellen nedenfor.

Lad )(xf angive egenkapitalen x år efter 2003.

a) Bestem en forskrift for f , og benyt denne til at bestemme egenkapitalen i år 2012.

Årstal 2007 2009 x 4 6 Egenkapital i 1000 kr. )(xf 2001 6001

x

y

f

1 2 3 4 5 6 7

-5

-4-3

-2

-1

1

2

3

x

y

C

-5

-4

-3

-2

-1

1

1 2 3 4 5 6 7

2

3 y

xC

y

x

f

112732.indd 3 10/07/12 07.06

hhx122-MAT/A-17082012Opga

ven

er p

rod

ucer

et m

ed a

nven

del

se a

f kva

litet

ssty

rings

syst

emet

ISO

900

1 og

milj

øled

else

ssys

tem

et IS

O 1

4001

112732.indd 4 10/07/12 07.06

hhx122-MAT/A-17082012

Matematik AHøjere handelseksamen

2. Delprøve

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

Fredag den 17. august 2012kl. 9.00 - 14.00

112732.indd 5 10/07/12 07.06

Matematik A Prøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Dette opgavesæt består af 9 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Af opgaverne 9A og 9B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

112732.indd 6 10/07/12 07.06

Side 1 af 7 sider

Side 1 af 7 sider

Opgave 1

Lægevagten på et hospital har i en periode på 100 dage observeret antallet af patienter i nattetimerne. Fordelingen af antal patienter er samlet i nedenstående tabel.

Antal patienter ] ]5;0 ] ]10;5 ] ]15;10 ] ]20;15 ] ]25;20 Antal dage 18 33 31 11 7

a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.

typeinterval kvartilsæt

median gennemsnit varians standardafvigelse

b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 2 statistiske deskriptorer.

Opgave 2

Trekant ABC er bestemt ved punkterne )4,2(−A , )1,3( −B og )5,6(C .

a) Bestem koordinaterne til AB og AC .

b) Bestem vinkel A i trekant ABC .

-2 2 4 6

-2

2

4

x

yA

B

C

4

2

-2

-2 2 4 6

y

A

C

x

B

112732.indd 7 10/07/12 07.06

Side 2 af 7 sider

Side 2 af 7 sider Opgave 3

Efterspørgselskurven D for en given vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den efterspurgte mængde af varen. Lad D være givet ved

2000,0001050100

3)( 2 ≤≤+−= xxxxD

hvor x er den efterspurgte mængde og )(xD er prisen.

Udbudskurven S for den samme vare beskriver sammenhængen mellem prisen på varen og den udbudte mængde af varen. Lad S være givet ved

2000,40047100

2)( 2 ≤≤++= xxxxS

hvor x er den udbudte mængde og )(xS er prisen.

De to kurver er tegnet i koordinatsystemet herunder. Skæringspunktet A mellem graferne for D og S giver ligevægtsmængden og ligevægtsprisen på markedet. Punktet A har koordinaterne )3005,100( . Den gevinst forbrugerne opnår ved den gældende ligevægtsmængde og ligevægtspris kaldes forbrugeroverskuddet FO . Den tilsvarende gevinst producenterne opnår, kaldes producentoverskuddet PO . Disse to størrelser bestemmes som arealet af de to grå områder på figuren.

a) Gør rede for, at størrelsen af forbrugeroverskuddet FO er 000230 kr. og bestem størrelsen af producentoverskuddet PO .

50 100 150 200

2000

4000

6000

8000

10000

mængde

pris

D

S

FO

PO

)5300,100(A

10000

8000

6000

4000

2000

50

mængde

pris

(100 , 5300)

100 150 200

S

D

A

PO

FO

112732.indd 8 10/07/12 07.06

Side 3 af 7 sider

Side 3 af 7 sider Den samlede velfærdseffekt VE kan bestemmes som

POFOVE +=

Efterspørgslen ændres til 1D givet ved

2000000940100

3)( 21 ≤≤+−= xxxxD

b) Gør rede for, at graferne for 1D og S skærer hinanden i punktet A .

c) Bestem størrelsen af den samlede velfærdseffekt VE som følge af ændringen i efterspørgslen.

Opgave 4 En lille virksomhed producerer og afsætter to typer græsslåmaskiner, BIO og FORCE.

Det samlede dækningsbidrag pr. uge kan beskrives ved funktionen

0og0,10010000250),( 22 ≥≥+−+−= yxyyxxyxDB

hvor x er antal BIO, og y er antal FORCE.

Niveaukurven )( tN er defineret ved tyxDB =),( . a) Gør rede for, at niveaukurven )00020(N er en ellipse med centrum i )5,20( . Produktionen er begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 27 maskiner pr. uge, hvilket betyder at 27≤+ yx .

b) Indtegn polygonområdet bestemt af begrænsningerne samt to niveaukurver for DB .

c) Bestem det antal BIO og det antal FORCE, der skal produceres pr. uge for at det ugentlige dækningsbidrag bliver størst muligt og bestem dette dækningsbidrag.

112732.indd 9 10/07/12 07.06

Side 4 af 7 sider

Side 4 af 7 sider Opgave 5

En større virksomhed opretter en fond med et beløb på 2,5 mio. kr. Renten tilskrevet fondens beløb de tre følgende år er vist i tabellen.

Rente p.a. 6,5 % 4,0 % 2,0 %

a) Gør rede for, at størrelsen af beløbet efter de tre rentetilskrivninger er 00,3808242 kr. b) Gør rede for, at den gennemsnitlige rente i de tre år er 15,4 %. Opgave 6

Grafen for en differentiabel funktion f og grafen for den afledede funktion 'f er vist til højre. a) Gør rede for hvilken af de to

grafer Graf 1 eller Graf 2, der viser grafen for funktionen f .

Opgave 7

En funktion f er bestemt ved forskriften

xxxxf 16122)( 23 −+−=

Funktionen kan blandt andet beskrives ved følgende analysepunkter:

Nulpunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Ekstrema Vendetangent

a) Beskriv funktionen f ved hjælp af 2 af ovenstående analysepunkter.

1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

yGraf 1

Graf 2

y

x

Graf 1

Graf 2

-11 2 3 4 5 6

-2

-3

-4

1

2

3

4

112732.indd 10 10/07/12 07.06

Side 5 af 7 sider

side 5 af 7 sider Opgave 8

Arealet under grafen for aaxxf +=)( er bestemt til at være 30 i intervallet [ ]3;1 for et positivt tal a . Nedenfor er tallet a bestemt. a) Forklaring til nedenstående linjer skal gives. Benyt evt. bilag 1.

30)(3

1=∫ dxxf Arealet under grafen er givet som det bestemte integral

af f i intervallet [ ]3;1 .

30)(3

1=+∫ dxaax _________________________________________________________

[ ] 3031221 =+ axax _________________________________________________________

30)5,0(35,4 =+−+ aaaa _________________________________________________________

5=a _________________________________________________________ Forskriften for funktionen f ændres til aaxxf += 2)( . b) Bestem værdien af a , så arealet under grafen for f i intervallet [ ]3;1 fortsat er 30.

1 2 3 4

x

y

aaxxf +=)(

Areal = 30Areal = 30

f (x) = ax + a

y

x

1 2 3 4

112732.indd 11 10/07/12 07.06

Side 6 af 7 sider

Side 6 af 7 sider

Af opgaverne 9A og 9B må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 9A.

Opgave 9A

Herunder ses grafen for funktionen 22)( 23 +−−= xxxxf , samt tangenten t til grafen for f gennem punktet ( ))1(,1 −− f .

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

10

15

x

y

ft

a) Gør rede for, at ligningen for tangenten er 53 += xy . Tangenten t skærer grafen for f i 1x = − og 3=x . b) Bestem arealet af det grå område, der afgrænses af grafen for f og tangenten t .

y

x

ft

-5

-1 1 2 3-2-3

5

10

15

112732.indd 12 10/07/12 07.06

Side 7 af 7 sider

Side 7 af 7 sider

Opgave 9B

Et uddannelsessted ønsker at reklamere for sine uddannelser med annoncer i lokalavisen og reklamespots i den lokale biograf.

Lad x angive antal annoncer i lokalavisen og lad y angive antal reklamespots i den lokale biograf.

Budgetkrav samt øvrige økonomiske begrænsninger er givet ved følgende betingelser

3242424845

≥+≤+≥+

yxyxyx

Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren. Figuren er gengivet i bilag 2.

.

Prisen for en annonce i lokalavisen er 5007 kr., og prisen for et reklamespot i den lokale biograf er 00010 kr.

De samlede reklameomkostninger er givet ved funktionen yxyxf 000105007),( += .

a) Bestem, det antal annoncer i lokalavisen samt det antal reklamespots i den lokale biograf uddannelsesstedet skal vælge, for at de samlede reklameomkostninger bliver mindst mulige.

b) Bestem, indenfor hvilket interval prisen for reklameomkostningerne for annoncer i

lokalavisen kan variere, således at f stadig antager sin mindsteværdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2

4

6

8

10

12

x

y

1225,1 +−= xy

125,0 +−= xy

825,0 +−= xy

y

x

y = –1,25x + 12

y = –0,25x + 8

y = –0,5x + 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

12

10

8

6

4

2

12

112732.indd 13 10/07/12 07.07

112732.indd 14 10/07/12 07.07

112732.indd 15 10/07/12 07.07

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

112732.indd 16 10/07/12 07.07

Bilag 1 til opgave 8 (med hjælpemidler).

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

30)(3

1=∫ dxxf Arealet under grafen er givet som det bestemte integral

af f i intervallet [ ]3;1 .

30)(3

1=+∫ dxaax _________________________________________________________

[ ] 3031221 =+ axax _________________________________________________________

30)5,0(35,4 =+−+ aaaa _________________________________________________________

5=a _________________________________________________________

112732.indd 17 10/07/12 07.07

112732.indd 18 10/07/12 07.07

Bilag 2 til opgave 9B (med hjælpemidler).

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

2 4 6 8 10 12 14 16 18

2

4

6

8

10

12

x

y

1225,1 +−= xy

125,0 +−= xy

825,0 +−= xy

y

x

y = –1,25x + 12

y = –0,25x + 8

y = –0,5x + 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

12

10

8

6

4

2

12

112732.indd 19 10/07/12 07.07