Matematicke metode u prometuzbirka zadatakaH.PasagicB.IvankovicN.Kapetanovic18.listopada2010.1UvodZbirkazadatakanastalajetijekomvisegodisnjegradasastudentimadrugegodine studija na Fakultetuprometnihznanosti. Upotpunosti se pratigradivoudzbenikaMatematickemetodeuprometu,dr. H.Pasagicauko-jemsenalazedetaljnaobjasnjenjapostupakakojimaserjesavajuproblemiizadaci.U zbirci su zadani problemi cije rjesavanje pretpostavlja vjestinu konstru-iranjamatematickihmodelainjihovorjesavanje.Zbirkazadatakanamijenjenajeucenjuuzupotrebuudzbenikairedovitopracenjepredavanjaivjezbi.Zbirkazadatakaizlaziprviputiusprkosdetaljnimpregledimaihtijenjudane bude pogresaka, bit cemozahvalni svimakoji ce namnapogreskeukazati.Listopad,2004.Autori2Sadrzaj1 Bazaibazicnorjesenje 51.1 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Sustavilinearnihjednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Bazicnarjesenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Geometrijskorjesavanjeproblemalinearnogprogramiranja 272.1 Linearnenejednadzbesdvijenepoznanice . . . . . . . . . . . 272.2 Maksimumi minimumlinearne funkcije dvije varijable nakonveksnomskupu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Problemskizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Numericko rjesavanje linearnog problema - simpleks metoda 373.1 Jedanprimjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Simpleksmetoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Rjesenje standardnog problema minimuma-Charnesova M pro-cedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Ispitnizadaciiznumerickogrjesavanjalinearnogproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Teorijalinearnogprogramiranja 584.1 Dualstandardnogproblema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Numerickorjesavanje dualauz ocitavanje rjesenjapocetnogproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Slozenijinumerickiprimjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 Problemitransportaidistribucije 695.1 Formulacijatransportnogproblema. . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Degeneracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Otvoreniproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Zadacisispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7736 Razlicitemodikacijetransportnogproblema 796.1 Promjenakoecijenatafunkcijecilja . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Nedopustivekomunikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Ogranicenikapacitetikomunikacija. . . . . . . . . . . . . . . 816.4 Minimizacijavremenatransporta. . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6 Raznizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 Transportnamreza 897.1 Ispitnizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 Primjeripismenihzadaca 9841 Bazaibazicnorjesenje1.1 Problemi1.Cep i boca zajedno kostaju 11 kuna. Boca je 10 kuna skuplja od cepa.Kolikokostaboca,akoliko cep?2. Kolikojeudvoristukoza,akolikokokosi,akoimajuukupno22nogei8glava?3. Test sadrzi 20 pitanja. Tocanodgovor donosi 4 pozitivna boda, anetocan3negativnaboda. Kandidat je skupio38bodova. Kolikojekandidatimaotocnihodgovora?4. Za dva kruha i tri litre mlijeka treba dati 18 kuna, a za tri kruha i polalitremlijeka11kuna. Kolikajecijenakruha,akolikamlijeka?5. Vinarijaraspolazedvijemavrstamavina: prvomjecijena27.5kn/l,drugom22.5kn/l. Kupaczelikupiti100hlvinapocijeniodprosjecno24kn/l. Kolikotrebauzetiprvog,akolikodrugogvina?6. Pasgoni zecakoji senalazi 100zecjihskokovaisprednjega. Dokpasskocicetiriskoka,zecskocipet. Ako7zecjihskokovaiznosikolikoi4pseca,kolikopasmoranacinitiskokovadabidostigaozeca?7. AutobusuodAndrijevadoBrankovatrebapovoznomredu,odredenovrijeme. Ako vozi prosjecno 50km/h, stize sat prije, a ako vozi 35km/h,kasni dvasata. Kolikojevrijemepredvidenozaputi kolikajeuda-ljenostdvajumjesta?8. Dvabiciklistavozekruznomstazomduljine900m. Prvi vozi brzeiprestizedrugogsvakih18minuta. Kadabi vozili usuprotnimsmje-rovima,susretalibisesvake2minute. Kolikimbrzinamavoze?9. Zajednimautomobilomkojijekrenuoizgradakrenenakonpolasatadrugi i stigne ga nakon 2.5 sata voznje. Oba vozila produzila su voznjuu istom smjeru i nakon jednog i po sata brzi je bio 24km ispred sporijeg.Kolikesubilesrednjebrzineovihautomobila?5Problem10. Pasgonilisicukojaima60skokovaprednosti. Lisicanapravitri skokadokpasnacini dva. Tri psecaskokaiznosekolikoi 7lisicjihskokova. Koliko ceskokovamoratinapravitipasdasustignelisicu?Rjesenje: odabirvarijabli:x. . . . . .brojskokovapsay . . . . . .brojskokovalisicepostavljanjeproblema:(60 + y) : x = 7 : 3zaistuduljinukojumjerimourazlicitimkoracimaiy: x = 3 : 2zabrojskokovakojisuuistomvremenuucinile zivotinje. Nakontogarijesimo zadatak kao sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepoznan-ice.Rjesenjaproblema. Tezi dio rjesavanja je postavljanje problema:- odabir nepoznanica- postavljanje jednadzbi.1. x-cijenaboce;y-cijena cepa;x + y= 11;x y= 1;x = 10.5kn, y= 0.5kn.2. x-brojkoza,y-brojkokosi. 4x + 2y= 22,x + y= 8,3kozei5kokosi.3. x-brojtocnih,y-brojnetocnih;4x 3y= 38; x + y= 20;14tocnih,6netocnih.4. x-cijenakruha,y-cijenamlijeka,2x + 3y= 18;3x +12y= 11;kruhkosta3kn,mlijeko4kn.5. x-brojlitarapo27.5kn, y-brojlitarapo22.5kn;27.5x+22.5y100=24;x + y= 100;x = 30l,y= 70l.6. x-broj koraka koje pretrci zec, a y-broj koraka koje pretrci pas dohvatanjazeca. (100 + x) : y=7: 4; x: y=5: 4; x=250,y= 200.67. t-vrijemepovoznomredu,l-udaljenost. 50km/h =lt1;35km/h =lt+2;t = 8h,l = 350km.8. v-brzinabrzeg,u-brzinasporijeg. 18 =900vu;2 =900v+u.v= 250m/min,u = 200m/min.9. v, u-brzinabrzeg,odnosnosporijeg: 2.5 =2.5hvu;1.5 =24vu,v= 32km/h,u = 16km/h.71.2 SustavilinearnihjednadzbiLinearnajednadzbaunepoznanicamax1, x2, . . . , xnjeizrazoblika1x1 + 2x2 + . . . + nxn= .Sustavodmlinearnihjednadzbisnnepoznanicaglasi:11x1 + . . . + 1nxn= 121x1 + . . . + 2nxn= 2... =...m1x1 + . . . + mnxn= mRjesenjemsustavasmatramosvakuuredenun-torku(1, 2, . . . , n),kojasupstitucijom:xk= k, k = 1, . . . , nusvejednadzbe,prevodijednadzbeunumerickeidentitete.Matricnizapissustavajematricnajednadzba:AX= Bgdje je A matrica sustava ciji su elementi koecijenati uz nepoznanice, atipa je mn, X je jednostupcana matrica tipa n1 i B je jednostupcanamatricatipam1.Egzistencijarjesenja: postavljasepitanjekojisunuzniidovoljniuvjetidabisustavimaobaremjednorjesenje. Takvisesustavizovurjesivi,moguci ili kompatibilni. Ako sustav ne dopusta ni jedno rjesenje,kazemodajenerjesiv,nemoguciliinkompatibilan.8Primjer1. Rijesiteslijedecisustav:3x + 2y = 4x 4y = 8Rjesavanje: pomnoziliseprvajednadzbas2,dobivasesustav:6x + 4y = 8x 4y = 8.Akoseprvajednadzbapribrojidrugoj,novisustavje:6x + 4y = 87x = 16.Dijeljenjemdrugejednadzbebrojem7sustavizgledaovako:6x + 4y = 8x =167.Mnozenjem druge jednadzbe s 6 i dodavanjem prvoj, sustav ima novizapis:4y =407x =167Dijeljenjemprvejednadzbes4,sustavy =107x =167imakonacanoblikizkojegseispisujerezultatuoblikujednostupcastematrice:_xy_=_167107_U naizgled mukotrpnom nacinu rjesavanja treba uociti da se izmjenjujudvazahvatanasustavu:9- mnozenjejednejednadzbebrojem = 0- dijeljenjejednadzbebrojem = 0- dodavanjejednejednadzbedrugoj.Nakon navedenih zahvata sistem jednadzbi ostaje ekvivalentan u smisludasenemijenjajurjesenjasistema.Primjer2. Rijesitesustav:2x 3y = 26x + 9y = 3Mnozenjemprvejednadzbes3idodavanjemdrugojdobivasesustav2x 3y = 20 = 3kojizbognemogucnostiispunjenjadrugejednakostinemarjesenja.Jedinstvenostrjesenja: postavljapitanjeuzkojeceuvjetesustavimatijednojedinorjesenje. Primjersustavakojiimaviserjesenja:3x 4y = 126x + 8y = 24Rjesenje: Pomnoziseprvajednadzbabrojem2idodadrugoj,dobivasesustav:3x 4y = 120 = 0koji ima beskonacno mnogo rjesenja. Nekoliko rjesenja mozemo zapisatiutablici:x 4 0 1 2y 0 3941.5Prakticnojezapisatirjesenjeumatricnomobliku:_xy_=_43y + 4y_=_40_+ y _431_,quady R.10Zapisivanjeskuparjesenjaizvodiseumatricnomobliku.Primjer3. Rjesitesustav:x 3y + 2z = 1x + 9y + 6z = 3x + 3y + 4z = 1Mnozenjem prve jednadzbe s 1 i dodavanjem drugoj i trecoj jednadzbidobivasesustav:x 3y + 2z = 112y + 4z = 46y + 2z = 2Dijeljenjemdrugejednadzbes 2idodavanjemtrecoj,dobivase:x 3y + 2z = 112y + 4z = 40 = 0Akodrugajednadzbapodijelis-2idodaprvoj:x 9y = 312y + 4z = 40 = 0Konacnosedijeljenjemdrugejednadzbebrojem4dobivasustavx 9y = 33y + z = 10 = 0iz kojeg se ispisuje postupak za dobivanje rjesenja u matricnom, odnosnovektorskomobliku:__xyz__ =__301__ + t __913__ ,gdjejet Rparametarkojigenerirarjesenja.11Pitanjaegzistencijeijedinstvenosti rjesenja sustava jednadzbi zadiru uteorijuLinearnealgebre. Pristupacnoizlaganjelinearnealgebrenalaziseu[4].Rjesavanjesustavaprovodi se Gauss-Jordanovommetodomeliminacije,aopisanoje preglednou[5]. Takvorjesavanjeje i ekonomicno, jeriskljucuje prepisivanje oznaka za nepoznanice i znakova jednakosti.ProsirenamatricasustavaizPrimjera3glasi:__1 3 2 11 9 6 31 3 4 1__ .Prvistupaccine koecijenti prve nepoznanice pojednadzbamasustava.Naziva se vektoromkoecijenata nepoznanice ili varijable x. Analognozadrugiitrecistupac.Cetvrtistupaccinekoecijenti koji seujednadzbamanalazenadesnimstranamajednakosti. Onisenazivajuslobodnimkoecijentima.Elementarnatransformacijanadretcimamatricejedan je od slijedecihzahvata:1. Zamjenaporetkadvijuredakamatrice2. Mnozenjenekogretkamatricebrojemrazlicitimodnule3. PribrajanjejednogretkamatricenekomdrugomretkumatriceGauss-Jordanovametodaeliminacijerjesava sustav elementarnim trans-formacijama nad retcima prosirene matrice sustava. Gauss-Jordanovommetodomrijesitesustaveizapisitenjihovarjesenja:Primjer4. Rijesitesustav:2x 3y + 5z = 1x + 2y 2z = 23x y z = 312Prosirenamatricasustava:__2 3 5 11 2 2 23 1 1 3__Mnozenjemdrugog retka s -2 i dodavanjemprvomretku, a zatimmnozenjemistogretkas-3i dodavanjemtrecem, novaprosirenama-tricasustavaglasi:__0 7 9 31 2 2 20 7 5 3__Prvi redak pomnozi se s -1 i doda trecem, dok se sam prvi redak podijelis-7. Nakontogasenovonastaliprviredakpomnozenbrojem-2dodadrugomidobivase__0 197371 2 2 20 0 4 0__Nakondijeljenjatrecegretkasa4, azatimmnozenjanovodobivenogretka s-2idodavanja drugomikonacno dijeljenjatreceg retka brojem4,prosirenamatricaimaizgled__0 197371 04720 0 1 0__Konacno, nakonmnozenjatrecegretkas 74i dodavanjadrugom, tenakon mnozenja treceg retka sa79i dodavanja prvom, dobiva se matrica:__0 1 0371 0 0 20 0 1 0__neposrednosemozeispisatirjesenje:__xyz__ =__2370__13Zadatak5. Rijesiteizapisiterjesenjaumatricnomobliku:x1 + 2x2 +x3= 42x1x23x3= 2x18x29x3= 85x1 + 5x2= 14Rjesavanje. Prosirenamatricasustava:__1 2 1 42 1 3 21 8 9 85 5 0 14__Prviredakmnozitis-2idodatidrugom,zatimistiredakmnozitis-1i dodati trecemi konacno, pomnoziti ponovoprvi redaks-5i dodaticetvrtom,dabisedobilamatrica:__1 2 1 40 5 5 60 10 10 120 5 5 6__Nakonmnozenjadrugogretkas -2i dodavanjatrecem, zatimoduz-imanjadrugogretkaodtrecegretkai dijeljenjasamogdrugogretkabrojem-5,matricaglasi:__1 2 1 40 1 1650 0 0 00 0 0 0__Ako se drugi redak pomnozi s -1 i doda prvom retku, dobiva se matrica__1 1 01450 1 1650 0 0 00 0 0 0__14izkojeneposrednorjesenjeglasi:__x1x2x3__ =__14/5 x2x26/5 x2__=__14/506/5__ + x2__111__ ,gdjejex2 Rparametar.Zadatak6. Rijesitesustav:6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5= 13x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5= 33x1 + 2x22x3 + x4= 79x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5= 2Rjesenje:__x1x2x3x4x5__=__00131934__+ x1__10030__+ x2__01020__,gdjesux1, x2 Rparametri kojimasegenerirabeskonacnomnogorjesenja. Ovo rjesenje je, za razliku od rjesenja u prethodnom zadatku,imadvaparametra.Zadatak7. RijesiteGauss-Jordanovommetodomsustav2x1 + 7x2 + 3x3 + x4= 63x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4= 49x1 + 4x2 + x3 + 7x4= 2Rjesenje:__x1x2x3x4__=__2/1110/1100__+ t __1/115/1110__+ s __9/111/1101__,15gdjesut = x3is = x4parametrikojigenerirajurjesenja.Napomena: Sustave obavezno rijesite sami. Ispravnost dobivenih rjesenjaprovjeriteuvrstavanjem,jerseparametrikojestedobilinemorajupo-dudarati s navedenimparametrima. Akosustave rijesite, lakseceterazumijeti slijedece poglavlje. U njemu se navode razlozi nepodudaranjaoblikarjesenjainacinizboravarijablikojeimajuuloguparametara.161.3 BazicnarjesenjaUopcenitomzapisurjesenjasistemajavljajuseparametrikojigeneri-rajurjesenja.Bazicnarjesenjasustavajednadzbi suonarjesenja, zakojasuparametrijednaki nuli. Upetomzadatku, prosirenamatricasustavaimalajekonacanizgled:__1 1 01450 1 1650 0 0 00 0 0 0__izkojegjeispisanorjesenje:__x1x2x3__ =__14/5 x2x26/5 x2__=__14/506/5__ + x2__111__ ,Akosezavrijednostparametrax2uvrsti 0, dobivenorjesenjezovemobazicnim:__x1x2x3__ =__14/506/5__Varijable x1 i x3 nazivaju se bazicnim varijablama. Ponekad se bazicnimrjesenjimanazivajuipojedinacnevrijednosti:x1= 14/5x3= 6/5.Varijablax2jenebazicnavarijablai njenajevrijednost ubazicnomrjesenjujednakanuli.Koecijenti bazicne varijable u stupcu posljednje prosirene matrice sus-17tava, cine jedan od vektora baze vektorskog 4-dimenzionalnog prostora:x1x3__1000____0100__Opcenito, koecijenti bazicnih varijabli, tj. odgovarajuci stupci posljed-njetransformacijeprosirenematricesustavasuneki odvektorabazem-dimenzionalnog prostora Rm(za m-broj redaka, odnosno jedndzbi):_________10...00_________;_________01...00_________; . . ._________00...01_________Vaznanapomenajedabazicnorjesenjenijejednoznacno. AkoseuZa-datku 5, u posljednjo prosirenoj matrici, prvi redak pomnozi s -1 i dodadrugom,novamatricaje__1 1 01451 0 1 850 0 0 00 0 0 0__.Sadasuvrijednostibazicnihvarijablix2= 14/5x3= 8/5.Nebazicnavarijablajex1ionaubazicnomrjesenjuimavrijednost0.Ako se pak u posljednjoj matrici doda drugi redak prvom, a zatim isti,drugi,redakpodijelis-1:__0 1 1651 0 1850 0 0 00 0 0 0__,18dobivasematricaizkojeseispisujebazicnorjesenje:x1= 8/5x2= 6/5x3= 0.Brojbazicnihrjesenjauopcemslucajumanjijeilijednak:_nrangA_gdjejenbrojnepoznanica,arangArangmatricesustavaA,odnosnonajveci moguci broj stupacakoji izgledajukaogorenavedeni bazicnivektori,amogusedobitielementarnimtransformacijamanadretcimamatricesustavaA.1.4 ZadaciUsljedecimzadacimaodreditesvabazicnarjesenjasustavajednadzbi:1.10x1 + x2 + 10x3= 2015x1 + 3x2 + 5x3= 15Rjesenjezadatkasuslijedecabazicnarjesenja:__3100__ ;__029/5__ ;__1/203/2__ .Pozitivnabazicnarjesenjasustavasuuprometuodosobitogznacaja, jer su rjesenja prirodno nenegativne velicine. Zato seprvo navedeno bazicno rjesenje naziva nemogucim bazicnimrjesenjem.2.2x1 + 2x25x35x4= 3x13x2 + 6x3 + 3x4= 419Rjesenje. Mogucabazicnarjesenja:__290011__;__38/7011/70__,anemogucabazicnarjesenja:__17/411/400__;__038/317/30__;__029/9017/9__;__0029/1538/15__.3.x1 + 2x2 +x3= 72x1x2 + 2x3= 6x1 + x2 + 3x3= 12Rjesenje. Jednojedinomogucebazicnorjesenje:__1/233/108/5__ .4.2x13x2 + 5x3 + 7x4= 14x16x2 + 2x3 + 3x4= 22x13x211x315x4= 1Rjesenjeovogzadatka, radi njegovaoblika, navodi seucijelosti.Prosirenojmatricisustava__2 3 5 7 14 6 2 3 22 3 11 15 1__20prvi se redak mnozi s -2 i dodaje drugom retku, zatim se prvi redakoduzimaodtrecegi,konacno,samprviredaksedijelibrojem2idobivase:__2 3 5 7 10 0 8 11 00 0 16 22 0__ .Slijedi mnozenjedrugogretkabrojem-2i dodavanjetrecem, azatimdijeljenjedrugogretkabrojem-8. Nakontogaseumatrici__2 3/2 5/2 7/2 1/20 0 1 11/8 00 0 0 0 0__mnozidrugiredaks 5/2idodajeprvom:__1 3/2 0 1/16 1/20 0 1 11/8 00 0 0 0 0__ ,islijedibazicnorjesenje:__x1x2x3x4__=__1/2000__.Uocitidajex3bazicnavarijablaidajenjenavrijednostjednakanuli.Degeneriranabazicnavarijabla jeonabazicnavarijablakojaimavri-jednostnula. Bazicnorjesenjeukojemjebarjednavarijabladegene-rirananazivasedegeneriranimbazicnimrjesenjem.Zadatak5. Dali postojepozitivnabazicnarjesenjasustavalinearnihjed-nadzbi:3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4= 32x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4= 5x16x29x320x4= 114x1 + x2 + 4x3 + x4= 2 ?21Zelimoli dobiti pozitivnabazicnarjesenja, desnestrane jednakostimorajubiti pozitivne. Uzadanomsustavutrebatrecujednadzbupomnozitis 1. Takosedobivasustav, cijaprosirenamatricaizgleda:__3 2 5 4 32 3 6 8 51 6 9 20 114 1 4 1 2__Ako se zahtijeva da, primjerice, x1 bude bazicna varijabla, tada jedinicabuducegstupca- bazicnogvektoranesmijebiti namjestunakojemjesadanegativnibroj. Dasenakonelementarnihtransformacijanebipojavilenegativnevrijednosti ustupcuslobodnihkoecijenata, prijeodabirakljucnogelementatrebaanaliziratiomjereelemenatastupcab-slobodnihkoecijenataipozitivneelementestupcax1-koecijenatauznepoznanicux1:3 : 35 : 22 : 4Vodeci elementkoji ceodrediti jedinujednadzbuukojoj cesejavitix1bitceelementsnajmanjimomjerom. Namjestutogelementaunovoj,transformiranojmatricistajat ce 1,dok ce na ostalimmjestimaustupcubiti0.U ovom slucaju to je koecijent 4 iz cetvrtog retka, odnosno jednadzbe.Prvaelementarnatransformacijajedijeljenje cetvrtogretkabrojem4:__3 2 5 1 32 3 6 8 51 6 9 20 1111411412__Novonastaliredakdodajesetrecem,zatimsetajistiredakmnozis-2i pribraja drugom. Na kraju se cetvrti redak mnozi brojem -3 i dodaje22prvom. Takosedobivamatrica:__0542 2320524152402541081423211411412__Sada se analogno trazi pozitivna bazicna vrijednost za x2. Analizirajuciomjere slobodnih koecijenata i pozitivnih koecijenata uz nepoznanicux2,dobivase:min___32:54,4 :52,232:254 ,12:14___=32:54,pa je vodeci ili kljucni element koecijent54uz x2iz prvog retka,odnosnojednadzbe. Mnozeciprviredakrazlomkom45,dobivase:__0 18585650524152402541081423211411412__Prvi redaktrebaredommnoziti s 52, 254i 14i simultanododavatidrugom, trecem i cetvrtom retku. Nova prosirena matrica sustava glasi:__0 18585650 0 023210 0 0121441 035132015__Sada se bazicna varijabla trazi u x4. Izbjegavajuci negativnosti ustupcuslobodnihkoecijenata, analizirajuseomjeri slobodnihkoe-cijenatai odgovarajucihpozitivnihkoecijenatacetvrtogstupcakoji23pripadajuvarijablix4:min___1 :232 ,4 :1214,15:1320___= 1 :232Drugi redak treba mnoziti s232da se na cetvrtom mjestu dobije 1. Novonastali se drugi redak simultano sada mnozi redom brojevima:85, 1214i1320uzistovremenododavanjeprvom,trecemi cetvrtomretku. Izgledkonacnematrice:__0 18501541150 0 0 12230 0 0 063461 035033230__.Iz posljednje prosirene matrice sustava ispisuje se nenegativno bazicnorjesenje(bazicnomogucerjesenje):x1=33230x2=154115x3= 0x4=223241.5 Problemskizadaci1. Brzinahelikopteravecajeza70km/hodbrzineautomobila. Duljinaleta kojeg u punoj brzini preleti helikopter i duljina puta sto ga za istovrijeme moze prijeci automobilodnose se kao 15 : 8. Koliko brzo mozeicihelikopter,akolikoautomobil?2. Kupacjeplatiohlaceijaknuzagotovinu. Popustnahlacebioje5%,najaknu4%, pajekupacustedio160kuna. Dajepopustnahlacebio 6%, a na jaknu 8%, kupac bi ustedio 240 kuna. Koliko su kostalehlace,akolikojakna?3. Rijesite sustav Gauss - Jordanovom metodom i zapisite rjesenje u vek-torskomobliku:3x15x2 + 2x3 + 4x4= 27x14x2 + x3 + 3x4= 55x1 + 7x24x36x4= 34. Napisiterjesenjesustavaumatricnomobliku:2x1 + 5x28x3= 84x1 + 3x29x3= 92x1 + 3x25x3= 7x1 + 8x27x3= 125. Odreditemogucabazicnarjesenjasustava:(a)2x1 + x2 + 5x3= 5x1 + 2x2 + x3= 4(b)x1x3 + x4x5= 1x2 + x3 + 4x4 + 2x5= 47x4 + 3x5= 025Rjesenja problemskih zadataka:1. v-brzinahelikoptera, u-brzinaautomobila, v =u + 70, v : u=15: 8,v = 150km/h,u = 80km/h.2. h-cijena hlaca,j-cijena jakne, 5% h + 4% j = 160, 6% h + 8% j = 240,h = 2000kn,j = 1500kn.3.__x1x2x3x4__=__0513/221/2__+ t __1194__4. Sustav nema rjesenja.5. (a)___501___ je nemoguce bazicno rjesenje, a___210___,___05/32/3___ su mogucabazicna rjesenja.(b) degenerirana moguca bazicna rjesenja su:_______14000_______,_______50400_______i_______10400_______, anedegenerirano je_______21/13006/1314/13_______.262 Geometrijsko rjesavanje problema linearnogprogramiranja2.1 LinearnenejednadzbesdvijenepoznaniceRjesavanje nejednadzbe s dvije nepoznanice opisano je u [5] prilikom odredivanjadomene funkcije dvije varijable. Tehnika rjesavanja linearne jednadzbe s dvijenepoznanice jednostavnija je jer zahtijeva znanje o crtanju pravca u ravnini ielementarnom odredivanju poluravnine cije tocke zadovoljavaju nejednadzbu.1. Skicirajterjesenjenejednadzbe:2x 3y 6.2. Skicirajteukoordinatnojravniniskuprjesenjasustavanejednadzbi:(a) x 3, x 2, y 2, x y 4 0(b) 2x 3y 2 0, 2x 3y 2 0, y 2(c) 4x 3y + 5 0, x + y 4 0, 2x 5y 1 02.2 Maksimum i minimum linearne funkcije dvije var-ijablenakonveksnomskupu.1. Odreditemaksimumfunkcijef(x, y)nakonveksnomskupu:(a) f(x, y) = x + 2y; 3x 2y 6, 3x +y 3, x 3(b) f(x, y) = x + 3y 2; x + y 7 0, 2x + 3y 18 0,x 5, x, y 02. Odrediteminimumfunkcijef(x, y)uzslijedecaogranicenja:(a) f(x, y) = 6x + 4y; x +y 2, x 12, y 4, x y 0(b) f(x, y) = 3x 2y + 10; x 2y + 4 0, x + y 5 0,x 3 0, x, y 03. Potrebnojeprevesti teret nadvijerelacije. Vrijemeobrtanaprvojrelaciji je 1.4sata, anadrugoj 1.1sat. Radnovrijeme je 6.5sati.Odredite broj obrta na svakoj relaciji tako da radno vrijeme bude mak-simalnoiskoristeno.27Rjesenje:x1. . .brojobrtanaprvojrelaciji,x2. . .brojobrtanadrugojrelacijimax(1.4x1 + 1.1x2)1.4x1 + 1.1x2 6.5x1, x2 0Traze li se cjelobrojna rjesenja, treba ispitati funkciju cilja na tockamaunutartrokuta,akojeimajucjelobrojnekoordinate.Nije tesko prepoznati da je tocka maksimuma (3, 2) a maksimumzmax=6, 4sata.4. NasvakukolonuodstovozilakojakreceizgradaAdolazi upratnjijednaradionica, dvavozilatehnickepomoci i dvamotocikla. NaistotakvukolonukojakreceizgradaBupratnjisudvijeradionice,jednovozilotehnicke pomoci, nonemamotocikla. JednakolonakojaideizgradaApreveze3000ttereta,dokkolonaizgradaBpreveze2500t.Na raspolaganju je 1000 vozila, 16 radionica i isto toliko vozila tehnickepomoci, te 14 motocikala. Koliko je kolona potrebno formirati u svakomgradu,takodaprijevozteretabudemaksimalan?Rjesenje:GRAD GRAD resursiA Bvozila 100 100 1000radionice 1 2 16teh. pom. 2 1 16motori 2 14teretkolone 3000 2500brojkolona x1x2Iztablicezapisujemomodel:max(3000x1 + 2500x2)100x1 + 100x2 1000x1 + 2x2 16282x1 + x2 162x1 14x1, x2 0.Rjesenje: zmax= 28000t,kojisepostizezax1= 6, x2= 4.5. Grackom metodom rijesite problem maksimalnog koristenja kapacitetaupoduzecukojeizradjujedvaproizvoda:P1, P2koji prolazekroztrigrupestrojeva: S1, S2, S3. Vrijemeusatimaikapacitetistrojevadanisutablicno:STROJEV I V RIJEMEP1V RIJEMEP2KAPACITETIS110 10 8000S210 30 18000S320 10 14000UKUPNO 40 50 40000Rjesenje:Ako je x1 broj komada proizvoda P1, a x2 broj proizvoda P2,matematickimodelproblemaje:max(40x1 + 50x2)10x1 + 10x2 800010x1 + 30x2 1800020x1 + 10x2 14000x1, x2 0Rjesenje je zmax(300, 500) = 37000h, sto predstavlja 92.5% iskoristenogvremena.6. Rijesiteproblemgrackommetodom:min(20x1 + 40x2)6x1 + x2 1829x1 + 4x2 122x1 + x2 10x1, x2 0(rjesenjeproblema: zmin(4, 2) = 160.)7. Rijesitelinearniproblem:max(x1 + 2x2)x1 + x2= 1x1, x2 0(nemaoptimalnogrjesenjajerfunkcijaciljaneogranicenoraste.)8. Napisiterjesenjaslijedecegproblema:max(12x1 + 18x2)2x1 + 3x2 33x1 + x2 15x1 + 3x2 27x1, x2 0(problemimabeskonacnomnogorjesenja,atosutockespojniceT3T4,gdjejeT3= (12, 3),aT4= (6, 7).)9. Rijesiteproblem:max(x1 + 3x2)x1 + x2 20x1 + x2 302x1 + 2x2 0x1x2 10x1, x2 0(rjesenje: zmax(5, 25) = 80)3010. Dvaproizvoda,P1iP2prolazeuprocesuproizvodnjekrozdvastroja,S1iS2. UjedinicivremenanastrojuS1moguseobraditi20komadaproizvoda P1i 40 komada P2. Na stroju S2mogu se u jedinici vremenaobraditi po 30 komada bilo proizvoda P1, bilo P2.U proces proizvodnjeugradjene su i dvije linije montaze. U jedinici vremena mogu montiratinajvise15komadaP1i 25komadaP2. DobitakpoproizvoduP1je5, apoP210kuna. Sastaviteprogramproizvodnjekoji ceudanimuvjetimamaksimaliziratidobitak.(Rjesenje:Zadatak se svodi na problem:max(5x1 + 10x2)x120 +x240 1x130 +x230 1x1 15x2 25x1, x2 0cije je rjesenje: max(5, 25) = 275.)11. Iz dvije vrste namirnica treba, uz minimalne troskove, sastaviti dnevniobrokkojisadrzibar3000kalorijai100gbjelancevina. Poznatojeda1kgnamirnicaprvevrstesadrzi 2000cal i 100gbjelancevina, dok1kgdrugenamirnicesadrzi 4000cal i 200gbjelancevina. Sastavitenajjef-tiniji obrok uzevsi u obzir da jedan kilogram prve namirnice kosta 6kn,adruge9kn.( Rjesenje: uzeti samo 0.75kgnamirnica druge vrste, sto kosta 6.75kn.Napomena: Od1980. godine, umjesto kalorija uupotrebi je dzul(1cal = 4190J).)12. Tvornicastocnehraneproizvodi dvijevrstesmjesakukuruza, zobi ipsenicepremaovojtablici:kukuruz zob psenica1.smjesa 90% 10% nema2.smjesa 70% 20% 10%31Pretpostavimo da tvornica ostvaruje dobit od 27 dolara po toni prve i 21dolar po toni druge smjese. Neka tvornica raspolaze s 1800t kukuruza,1000t zobi i 600t psenice. Koliko tona svake smjese treba proizvesti dase maksimalizira ukupna dobit, ako sva proizvodnja moze biti prodana,aprocesmijesanjajednakostojizasvakusmjesu.(Rjesenje: svakatockasegmentakojispaja(0,180007)i(2000, 0). Mak-simalnadobitje54000dolara.)13. Neko poduzece ima dva skladista smjestena u dva razlicita grada. Robaseiztihskladistatransportirautri robnekucekojesusmjesteneudrugatri grada. Troskovi prijevozapojedinici vremena, kapacitetiskladistaizahtjevirobnihkucadanisupreglednoutablici:R1R2R3kapacitetiS14 2 1 15S21 3 5 25zahtjevi 10 20 10(Rjesenje:Neka je x kolicina robe koju vozimo iz S1 u R1, a y neka je kolicina robekojuvozimoizS1uR2. Ostalesuvrijednosti odredene. Zahtjevamoli pozitivnost svihprevezenihkolicina, dobivamouvjete i dobivaseminimalnitrosakod75novcanihjedinica.)14. Velika gradska prijevoznicka tvrtka zeli nabaviti 300 kamiona nosivostipo3600i 1200kilograma, takodaoni zajednousamojednoj voznjimogu natovariti barem 432t robe. Kamioni se kupuje na kredit. Mjesecnarata za svaki veci kamoncic iznosi 3300, dok za manji 2800 Eura. Za ot-platu poduzece ne moze mjesecno izdvojiti vise od 924000 Eura. Jedanprijevozvecimvozilomdonosi oko320, amanjim360Eura. Kolikobitvrtkatrebalakupitivecih, akolikomanjihkamiona, padaostvarinajvecudobitzajednuvoznjudnevno?(rjesenje: 30vecihi270manjih,dobitpodanuje106800Eura.)15. Poduzeceproizvodiskijezatrcanjeizaslalom. Proizvodiseuodjeluzaproizvodnju, kapaciteta216sati i odjeluzanalizacijukapaciteta48sati. Skijezatrcanjetreba12sati raditi i 2satasastavljati, dokskije za slalom treba 8 sati raditi i 2 sata sastavljati. Koliko kojih raditi32udanimuvjetima, akoskijezatrcanjedonoseprotod40$, aslalomskije30$. Podskijamapodrazumijevaseparskija.(rjesenje: trebaproizvesti 6pari skijazatrcanje i 18pari skijazaslalom, sto cedonijeti780$prota.)16. Potrebnojeuvestitrajektnulinijukojabidnevnouobasmjeramoglaprevesti barem 2500 automobila, a ne bi potrosila dnevnu zalihu od 800litaragoriva. Naraspolaganjusudvatipatrajekata. Veci ujednomsmjeruvozi200automobila, potrosipritom30litaragoriva, aukupnitrosakjednevoznjeje800kn. Manjiujednomsmjerupotrosi40litaragorva, mozeprevesti 160automobila, atrosaktakvevoznjeje650kn.Ako veci u jednom danu napravi ukupno 10 voznji, a manji 8, koliko bi ikojih plovila trebalo nabaviti, pa da roskovi budu sto manji?Obaveznoizracunajteminimalnidnevnitrosak.(Rjesenje:varijable:- varijable:- x1 brojvecihtrajekata- x2 brojmanjihtrajekata- funkcijacilja: min(10 800x1 + 8 650x2)- uvjeti:10 200x1 + 8 160x2 250010 30x1 + 8 40x2 800x1, x2 0U domeni se promatraju samo tocke s cjelobrojnim koordinatamai nalazi se daje najbolje uzeti 2manjatrajektauz minimalnidnevnitrosakod104000kn.)17. Planira se tjedna proizvodnja dva proizvoda P1i P2. Do nalnogproizvodamaterijal prolazi tri fazeobrade: F1, Fi F3. Tjedni ka-pacitetzasvakufazuje840radnihsati. ZaprviproizvodP1potrebnoje1satzafazuF1, 2satazafazuF2i1/2satazatrecufazu, F3. Zadrugi proizvodP2potrebnoje2sataradauprvoj fazi, 36minutaudrugojfazii20minutaradautrecojfazi.33Kako treba planirati proizvodnju, odnosno koliko treba izraditi komadaprvog proizvoda P1, a koliko komada drugog proizvoda P2da bi zaradabilamaksimalna, akojecijenaprvogproizvodapokomadu200kuna,adrugog300kn.Napisatimatematickimodeliproblemrijesitigracki.(Rjesenje:Matematickimodelkojiseispisujeiztablice:F1F2F3P11 2 1/2P22 3/5 1/3840 840 840iglasi:max(200x1 + 300x2)x1 + 2x2 8402x1 + 0.6x2 8400.5x1 + 0.33x2 840x1, x2 0ikonacnodajemaksimalnuzaraduod33600knza168proizvodaP1.342.3 Problemskizadaci1. Odredite minimum i maksimum linearnih funkcija uz navedene uvjete:(a)f(x1, x2) = 3x1 + 2x2x1 + x2 6x12x2 2x1 1x2 4x1, x2 0(b)f(x1, x2) = 2x1 + 2x2x1 + x2 3x1 +x2 2x2 4x1, x2 02. Jednopoduzeceproizvodi dvaproizvodai zanjihovuobradukoristicetiri stroja. Raspolozivovrijemenastrojevimajeredom: 16, 10, 16i12sati. Zaobradusvakogproizvodaprvogtipanastrojevimatrebaraditi redom: 2,2,4 i 0 sati, dok za obradu svakog proizvoda drugog tipatrebapo4,1,0i4sata. Akojezaradaposvakomproizvoduprvogtipadvije kune, a po svakom proizvodu drugog tipa tri kune, kako planiratiproizvodnjudapoduzeceostvarimaksimalnudobit?3. U okviru jednog poduzeca rade dvije tvornice a proizvodi se prodaju utri skladista. Prva tvornica radi 10000 artikala, a druga 5000. Skladistaprodajupo4000, 8000i 3000komada. Cijeneprijevozapokomadudanasutablicno. Odrediteplantransportasminimalnimtroskovimaiizracunajtetetroskove.S1S2S3T13kn 3kn 2knT26kn 5kn 1kn35Rijesenjaproblemskihzadataka:1. zadataka) x1= 4.67 x1= 1 b) x1= 3x2= 1.33 x2= 0 x2= 0fmax= 16.67 fmin= 3 fmin= 6 fmax 2. Treba proizvoditi 4 proizvoda prvog i 2 drugog tipa, uz zaradu od 14kn.3. Minimalni trosaktransportaje43000novcanihjedinica. IzT1uS1slati4000,auS26000komada,dokizT2uS2slati2000auS33000komada.363 Numericko rjesavanje linearnog problema -simpleksmetodaBazicnomogucerjesenjesustava linearnih jednadzbi u ovom je poglavljujedanodkljucnihpojmova.3.1 JedanprimjerPrimjer pokazuje vezu mogucih bazicnih rjesenja linearnog sustava i mogucihrjesenjalinearnogproblema.Primjer1:max(2x1 + 3x2)4x1 + 5x2 162x1 + 3x2 3x1, x2 0Grackorjesavanjevodinamogucarjesenjalinearnogproblema:O(0, 0); A(0, 1); B(32, 2); C(4, 0).Numerickorjesavanjedajebazicnamogucarjesenjasustava:4x1 + 5x2 + u1= 162x1 + 3x2 + u2= 3Prvomogucebazicnorjesenjeje_____x1x2u1u2_____=_____00163_____Drugomogucebazicnorjesenjeje_____x1x2u1u2_____=_____40011_____37Trecemogucebazicnorjesenjeje:_____x1x2u1u2_____=_____01110_____Cetvrtomogucebazicnorjesenje:_____x1x2u1u2_____=_____32200_____.Akoseuzmuuobzirsamoprvedvijekomponente, onepredstavljajukoordinatetocakakojesumogucarjesenjagrackogproblema.Simpleksmetodaneanalizirasvabazicnarjesenja, vecpostoji algoritamkojidovodidobazicnogmogucegoptimalnogrjesenjauznajkracibrojkoraka. Algoritamjepreglednoopisanusljedecempoglavlju.3.2 SimpleksmetodaProblemmax(2x1 + 3x2)4x1 + 5x2 162x1 + 3x2 3x1, x2 0,dodavanjemvarijabliu1iu2,prevodiseukanonskioblik:max(2x1 + 3x2 + 0u1 + 0u2)4x1 + 5x2 + u1= 162x1 + 3x2 + u2= 3x1, x2, u1, u2 0.38Simplekstablica:cj2 3 0 0cBx1x2u1u2b0 u14 5 1 0 160 u2-2 3 0 1 3zjcj-2 -3 0 0 0Pocetnobazicnomogucerjesenjesistemaje:__x1x2u1u2__=__00163__,avrijednostfunkcijeciljajenula.Najnegativnijavrijednost zj cjdajenovubazicnuvarijablu, takodaceutomstupcubiti bazicni vektor. Radi zahtjevapozitivnosti varijablex2, komponenta1novogbazicnogvektorabit ce uonomretkukoji imanajmanji nenegativni omjer komponente iz stupca b i odgovarajuce pozitivnevrijednostiustupcuodx2:b : x2.Tajredakjeuovomprimjeru2.redak,buducije3 : 3 < 16 : 5.Dakle,vodeci elementustupcuispodx2je3. Elementarnimtransforma-cijamanadretcimadolazisedonovetablice:cj2 3 0 0cBx1x2u1u2b0 u12230 153110 x2231 0131zjcj-4 0 0 1 3Bazicnomogucerjesenjesadaje:__x1x2u1u2__=__01110__.39Funkcijaciljajednakaje3.Iz ove tablice negativna vrijednost z1c1= 4 pokazuje da nova bazicnavarijablamorabiti x1, akomponenta1novogbazicnogvektorabit ce ustupcu ispod varijable x1. Alternative za vodeci element nema, jer radi svojenegativnosti tonemozebiti element udrugomretku. Novatablicatakoizgleda:cj2 3 0 0cBx1x2u1u2b2 x11 0322522323 x20 11112112zjcj0 06111119Ovojekonacnatablica,jernemavisenegativnihzjcj.Citamooptimalnorjesenje:x1=32x2= 2fmax= 9Zadatak. Linearniproblemmax(3x1 + 2x2)x1x2 3x1 + 2x2 8x1 4x1 + 2x2 12x1, x2 0rijesitegracki,azatimracunski. Ucrtajteputkojimsimplekspro-ceduraputujedorjesenja.(rjesenje: fmax= 20; (x1, x2) = 4, 4)Zadatak. Rijesitelinearniproblem:max(2x1 + x2 + x3)2x1 + x2 + x3 206x1 + 3x2 + 2x3 502x1 + x2 + 2x3 30x1, x2, x3 040(rjesenje: fmax= 20; x1= 5; x2= 0; x3= 10.CharnesovomMproceduromrjesavajuseproblemicijiuvjetinisutipamanjeilijednako.413.3 Rjesenje standardnog problema minimuma-CharnesovaMproceduraZadatak1Grackommetodomrijesitelinearniproblem:max(3x1 + 2x2)x1x2 3x1 + 2x2 8x1 4x1 + 2x2= 12x1, x2 0Zadatak2Numerickirijesitelinearniproblemprvogzadatka.Rjesavanjezadatkapocinjekonstrukcijomkanonskogoblikaprob-lema:Zadatak3Rijesiteproblemgrackommetodom:min(x1 + 2x2)x1x2 42x1 + 3x2 18x1, x2 0Zadatak4Rijesiteproblemiztrecegzadatkanumericki.Rjesenje seizvodi CharnesovomMprocedurom. Problemizprvogzadatkaprelaziuproblem:min(x1 + 2x2 + 0u1 + 0v1 +Mw1)x1x2 + +u1= 42x1 + 3x2v1 +w1= 18x1, x2, u1, v1, w1 0Simplekstablicaimaslijedeciizgled:cj1 2 0 0 McBx1x2u1v1w1b0 u11 -1 1 0 0 4M w12 3 0 -1 1 18zjcj2M 1 3M 2 0 M 0 18M42Analizazjcjide u smjeru nalazenja najpozitivnije vrijednosti. Onapokazujenovubazicnuvarijabluistupacukojemtrebakonstru-irati bazicni vektor. Kljucni element trebatraziti napotpunoidenticannacinradizahtjevazanenegativnostivarijabli. Novajetablica:cj1 2 0 0 McBx1x2u1v1w1b0 u1530 11313102 x2231 013136zjcj130 023M 12Novabazicnavarijabla biti ce x1, a u stupcu ispod x1treba konstru-iratinovibazicnivektor. Novatablicasadajecj1 2 0 0 McBx1x2u1v1w1b1 x11 035151562 x20 12515152zjcj0 01523M 10Ovojekonacnatablicaioptimalnorjesenjeje:x1= 6x2= 2,fmin= 10Zadatak5. Numerickirijesitelinearniproblem:max(12x1 + 10x2 + 12x3)x1 + x2 + x3= 20x1 + x3 10x2 5x1, x2, x3 0(Rjesenjeproblemaje:x1= 10; x2= 10; x3= 0; fmax= 220.)43Zadatak6. Rijesitelinearniproblem:min(8x1 + 12x2 + 2x3 + 6x4)4x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 803x1 + x2 + 5x3 + x4 602x1 + 5x2 + 3x4= 40x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: x1= x2= 0; x3= 9.33; x4= 13.33; fmin= 98.67)(ilirjesenjeproblemaje:x1= x2= 0; x3= 913; x4= 1313; fmin= 9823.)Zadatak7. Rijesiteproblem:max(8x1 + 5x2 + x3)2x1 + x2 + 2x3 10x1 +x2x3 54x1 + x22x3 7x1, x2, x3 0(Rjesenje: fmax .)3.4 Ispitnizadaciiznumerickogrjesavanjalinearnogproblema1. Rijesitelinearniproblem:max(9x1 + 24x2 + 9x3)x1 + 8x2 + 2x3 103x1 + 16x2 +x3 25x1 + 16x2 + 2x3 30x1, x2, x3 0(rjesenje: x = 8; x2= 0; x3= 1; fmax= 81)442. Rijesitenumericki:max(2x1 + 4x2 + x3 +x4)x1 + 3x2 + x4 42x1 + x2 3x2 + 4x3 + x4 3x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: x1= 1; x2= 1; x3= 0.5; x4= 0; fmax= 6.5)3. Rijesite linearni problem simpleks metodom i provjerite rjesenje gracki:max(3x1 + 5x2)3x1 +x2 33x1 +x2 135x1 + 8x2 80x1, x2 0(rjesenje: x1= 0; x2= 10; fmax= 50)4. Rijesitelinearniproblem:max(2x1 + 3x2 + 5x3)x1 + 3x2 + 4x3 52x1 + x23x3 42x1x2 + 3x3 4x1, x2, x3 0(rjesenje: x1=2.818; x2=0; x3=0.545; fmax=7.1818) uputa:posljednju nejednadzbu potrebno je pomnoziti s 1, radi nenegativnostibazicnogrjesenja)5. Rijesitenumerickilinearniproblem:max(x1 + 3x2 + x3)x1 + 2x2x3 64x1x2 + x3 12x1 + 3x22x3 6x1, x2, x3 045(rjesenje: x1= 0; x2= 30; x3= 42; fmax= 132)6. Rijesitilinearniproblem:min(x1 + 2x2 + 4x3)x1 + x2 +x3 54x12x2x3 12x1x3= 02x1 + x2 + 3x3= 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 1.2; x2= 0; x3= 1.2; fmin= 6)7. Rijesitelinearniproblem:max(12x1 + 10x2 + 12x3)x1 + x2 + x3= 204x1 + 4x3 40x2 5x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 10; x2= 10; x3= 0; fmax= 220)8. Numerickirijesitelinearniproblem:min(8x1 + 12x2 + 14x3)2x13x22x3 0x1x2 + 2x3 12x1 + 3x27x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0.667; x3= 0; fmin= 8)9. Rijesite:min(x1 + 2x2 +x3)x1x2 +x3 2x1 + x2 +x3= 4x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 3; x2= 1; x3= 0; fmin= 5)4610. Rijesitelinearniproblem:max(4x110x2 + 8x3 + 2x4)x15x29x3 + 6x4 23x1 + x2x33x4 102x16x2 + 7x38x4 100x1, x2, x3, x4 0(rjesenja: x1= 0; x2= 30; x3= 40; x4= 0; fmax= 20)11. Rijesitelinearniproblem:max(2x1 + x2 + x3)x1 + x2 + 2x3 9x2 + x3 9x1 + x2 + x3 10x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 10; x2= x3= 0; fmax= 20)12. Rijesitilinearniproblem:min(2x1 + 4x2 + 6x3)x1 + x2 + x3 144x12x2x3 10x1 + x3 0x1 + 2x2 + 3x3= 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= x2= 0; x3= 2; fmin= 12)13. Odrediterjesenjeslijedeceglinearnogproblema:max(0.5x1 + 0.3x2 + 0.6x3)x1 + x2 + x3 20x1 + x3 8x2 + x3 18x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 2; x2= 0; x3= 18; fmax= 11.8)4714. Numerickirijesitelinearniproblem:min(2x1 + 3x2 + 5x3)x1 + 3x2 + 4x3 52x1 + x23x3 42x1x2 + 3x3 4x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 2; x2= 0; x3= 0; fmin= 4)15. Naditerjesenjeproblema:max(2x1 + 4x2 + x3 +x4)x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 7x1 + 8x2 + 3x4 92x1 + 2x2 + 4x3 + x4 6x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: x1= 1.67; x2= 1.33; x3= 0; x4= 0; fmax= 8.67)16. Rijesitenaznacenilinearniproblem:max(2x1 + 4x22x3)x1 + 2x2x3 65x1 +x2 18x1 + 3x22x3 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 18; x3= 24; fmax= 24)17. Rijesitelinearniproblem:max(8x1 + 12x2 + 2x3 + 6x4)4x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 803x1 + x2 + 5x3 + x4 602x1 + 5x2 + 3x4= 40x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: x1=20; x2=0; x3=0; x4=0; fmax=160, x4jedegeneri-ranabazicnavarijabla)4818. Rijesitenumericki:max(6x1 + 12x2 + 3x3 + 3x3)x1 + 3x2 + x4 42x1 + x2 3x 2 + 4x3 + x4 3x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: x1= 1; x2= 1; x3= 0.5; x4= 0; fmax= 19.5)19. Rijesitilinearniproblem:max(2x1 + 6x2 + x3)2x1 + 4x22x3 124x1x2 + x3 12x1 + 3x22x3 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 30; x3= 42; fmax= 222)20. Brodogradiliste gradi brodove od500,600 i 800 Brt. Za izgradnjubrodovatreba6,9i 15mjeseci. Brodogradilisteimanaraspolaganjujedanslobodandok. Doslajenarudzbaza10brodovakoji zajednotrebaju imati preko 5600Brt. Napravite plan izgradnje brodova koji ceimatinajkracevrijemegradnje.(rjesenje: matematickimodel:x1. . .brojbrodovaod500Brtx2. . .brojbrodovaod600Brtx3. . .brojbrodovaod800Brtmin(6x1 + 9x2 + 15x3)x1 + x2 +x3= 10500x1 + 600x2 + 800x3 5600x1, x2, x3 0rjesenje: x1= 8; x2= 0; x3= 2; min = 78mjeseci.)4921. Potrebno je nabaviti zrakoplove za gasenje pozara. Na trzistu su zrako-plovi nosivosti 25t po cijeni od 4 milijuna kuna,zatim oni nosivosti od20t po3milijunai od40t sacijenomod5milijuna. Ocekujesedace odjednomtrebati bar 240t vode, ali je ubazi moguce imati na-jvise 8 zrakoplova. Napravite plan kupnje koji ce zahtijevati sto manjetroskove.Rjesenje:x1, . . .brojzrakoplovanosivosti25tx2, . . .brojzrakoplovanosivosti20tx3, . . .brojzrakoplovanosivosti40tmatematickimodel:min(4x1 + 3x2 + 5x3)25x1 + 20x2 + 40x3 240x1 + x2 +x3 8x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0; x3= 6; fmin= 30milijunakuna.)22. Urestoranujemoguceimati stoloveza4,6i 8ljudi. Stol zacetverokosta800kn, stol zasestero900kn, astol zaosmerokosta1000kn.Ocekujeseodjednomnajmanje240gostiju. Ustolovesenamjeravainvestiratinajvise45000kn. Ocekujesedaodjednommorabitibar20stolovazacetiri osobe. Kolikokojihstolovanabaviti dabi restoranmogaoodjednomprimiti stojemogucevisegostiju.(Model:Neka sux1, x2, x3redombrojevi stolova za 4, 6 i 8 ljudi. Tada jematematickiproblem:max(4x1 + 6x2 + 8x3)x1 20800x1 + 900x2 + 1000x3 45000x1, x2, x3 0rjesenje: x1= 20; x2= 0; x3= 29; max = 312gostiju.)23. Kompozicijanocnogvlakaimabarjednaspavacakola,bardvojakolaprvograzreda,doksuostalivagonidrugograzreda. Spavacakolapri-maju30putnika,vagonprvograzreda60,avagonidrugograzredapo5090. Morasesloziti kompozicijazabar600putnika. Trosakspavacihkolaje400knnanoc, vagonprvograzredakosta250knnanoc, dokvagon drugog razreda kosta 100kn po jednoj noci. Kako sastaviti kom-pozicijukojamozeprimitiocekivanibrojputnika, adaimanajmanjetroskove?(Rjesenje:- nepoznanice koje treba odrediti su: broj spavacihkola x1, tevagonaprvogidrugograzreda: x2ix3.- ciljjeminimiziratifunkciju400x1 + 250x2 + 100x3- uzuvjete:30x1 + 60x2 + 90x3 600x1 1x2 2x1, x2, x3 0rjesenje: x1= 1; x2= 2; x3= 5; fmin= 1400kuna)24. Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m2prihod iznosi 5kn/m2,apartman od 50m2donosi zaradu od 4kn/m2, dok pri najmu apartmanaod80m2prihodje3kn/m2,svezajedandaniznajmljivanja. Istotakosvjesnismomogucnostinajmazanajvise10najmanjihapartmana,18srednjih i samo 5 najvecih apartmana dnevno. Gradjevinski je izvedivonapraviti tocno 14 apartmana korisne povrsine od najvise 1000m2. Ko-liko je kojih apartmana tada najisplativije graditi?Kolika ce biti dobitodnajmaujednojsezoni,akoonatraje80dana?(Rjesenje:- x1. . .brojapartmanaod40m2- x2. . .brojapartmanaod50m2- x3. . .brojapartmanaod80m251- model:max(200x1 + 200x2 + 240x3)x1 + x2 + x3= 1440x1 + 50x2 + 80x3 1000x1 10x2 18x3 5x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 9; x2= 0; x3= 5; fmax= 3000kuna;ukupnoposezoni:240000kuna.)25. Zaprehranuunekomperioduraspolozivesutrivrstekonzervi,cijijeosnovnisastav:tip konzerve kalorija vitaminaC(mg)1 2000 502 1500 1003 1000 60Utomperiodutrebakonzumirati barem600mgvitaminaC. Kojihdeset konzervi odabrati da bi se, poreddovoljne kolicine vitamina,konzumiralai maksimalnakolicinakalorija, akonijeraspolozivoviseod6konzervitipa1. Problemrijesitenumericki.(rjesenje: 6tipa1i4tipa2,donosi18000cal)Napomenuti treba ponovo da su cal medjunarodno zabranjena jedinicazaenergiju.26. Tvornicaautomobilaizradujetri vrstevozilautri pogona. Tehnickotehnoloskiuvjetiproizvodnjekaoidobitposvakompojedinomvoziludanisuutablici:koristenje resursapo jediniciproizvodapogon automobili kombivozila kamioni ResursiI 2 2 1 100II 0 1 2 100III 3 1 0 90dobitutisucama 15 20 25Odrediteoptimalniplanproizvodnjeiizracunajtedobittogplana.52(najbolje je napraviti 25 automobila i 50 kamiona, sto ce donijeti 1, 525.000kuna.)27. Uautoparkuimamosljedecevrstekamiona:NOSIVOST UKUPNATEZINA brojkamiona5t 7.5t 53t 4.5t 68t 12t 4Dobit pojednoj prevezenoj toni nakamionuod5t nosivosti iznosi100kn, na kamionu nosivosti 3t dobit po toni je 70kn, dok 1t prevezenananajvecemkamionudonosi 120kn. Trebanapraviti konvoj od12kamiona tako da ukupna dobit koju ce transport donijeti bude najveca.Kakavcebitisastavkonvoja,akonjegovaukupnatezinanesmijebitivecaod120t?Kolikajenajvecamogucadobit?(rjesenje: 5 5t; 3 3t; 4 8t;maksimalnadobitje6970kuna.)28. Zaocuvanjecovjekovazdravljai radne sposobnosti u24satatrebauzeti najmanje400g masti, 480g bjelancevina, 640g ugljikohidratai12gvitamina. U100gsalameima25gbjelancevinai 50gmasti. U100g kukuruznogkruhaima5g bjelancevina, 2g masti, 45g ugljiko-hidrata i 0.4gvitamina. 100gjetrica imaju 20gbjelancevina, 4gmasti,3gugljikohidratai0.8gvitamina. Jabukeimaju1gmasti,14gugljiko-hidrata i 0.5g vitamina. Ako 1kg kruha kosta 5kn, salame 30kn, jetrica20kni jabuka10kn, napravitenajjeftiniji jelovnikzajednogcovjeka,takodaudiokruhabudenajvise1kg(Rjesenje:matematickimodel:- x1-salamaukg- x2-kukuruznikruhukg- x3-jetricaukg- x4-jabukeukgmin(30x1 + 5x2 + 20x3 + 10x4)250x1 + 50x2 + 200x3 48053500x1 + 20x2 + 40x3 + 10x4 400450x2 + 30x3 + 140x4 6404x2 + 8x3 + 5x4 12x2 1x1, x2, x3, x4 0.Nakon5 iteracija najuporniji rjesavaci trebali bi dobiti jelovnik za61.79kn,kolikokostaju63dagsalame,kilogramkruha,1.36kgjetricai1.07kgjabuka. Postoje programi koji iteracije prepustaju racunalima.)543.5 Problemskizadaci1. Rijesiteproblem:max(4x1 + 6x2 + 2x3)2x1 +x2x3 1x1 + x2 +x3= 6x1, x2, x3 02. Rijesitelinearniproblem:min(x1 + 2x2 +x3)x1x2 +x3 2x1 + x2 +x3= 4x1, x2, x3 03. Linearniproblemrijesitenumericki:max(x1 +x2 + x3)10x1 + 5x2 + 6x3 3014x1 + 7x2 + 8x3= 566x1 + 3x2 + 4x3 36x1, x2, x3 04. Rijesitiproblemlinearnogprogramiranja:min(x1 + 2x2x3 + 4x4x5 + 6x6)2x1x2 + x3 2x2x3x4 3x3 +x4x5 4x5 + x6= 7x1, x2, x3, x4, x5, x6 0555. Rijesitilinearniproblem:min(8x2 + 14x3)x1 + x2 + x3 44x12x2x3 10x1x3= 10x1 + 2x2 + 3x3= 6x1, x2, x3 06. U avionu postoje sjedala I, IIi IIIklase. Ukupan broj sjedala je 120.Ispitivanjasupokazaladapojednomletuimabarem10putnikazaIklasu,barem30zaIIklasuibarem40kojisuzadovoljniIIIklasom.Akokartekostaju100, 50i 20dolara, kolikokojihsjedalabi trebalopostojati,padasepoletuzaradinajvise?7. Dva proizvoda, P1 i P2, kad se izradjuju, prolaze kroz tri stroja: S1, S2 iS3. Vrijeme obrade u satima po jedinici proizvoda i kapaciteti strojevadanisuutablici:strojS1strojS2strojS3proizvodP112 13 10proizvodP214 7 11kapaciteti 240 210 90ProizvodP1prodajesepocijeni od15novcanihjedinica, aproizvodP2pocijeniod6novcanihjedinica. Kakotrebaplaniratiproizvodnjudaseostvarimaksimalnadobit?Problemrijesitenumericki.56Rjesenjaproblemskihzadataka1. max = 26,zax1= 0; x2= 3.5; x3= 2.52. min = 5,zax1= 3; x2= 1; x3= 03. max = 8,zax2= 8; x1= x3= 04. min = 0,zax2= 9; x3= 11; x5= 75. skupmogucihrjesenjajeprazanskup.6. dobrobibilopostojati50mjestaIklase,30drugei40trece,amaksi-malnadobitbibila7300$,iakotakvarazdiobanijerealna.7. 9komadaP1dajemaksimalnudobitod135novcanihjedinica.574 Teorijalinearnogprogramiranja4.1 DualstandardnogproblemaStandardniproblemmaksimumaimaoblikmax(n

i=1cixi)n

i=1ajixi bj, j= 1, . . . kn

i=1alixi= bl, l = k + 1, . . . mxi 0, i = 1, . . . p,gdje j= 1, . . . ki l = k, . . . m znaci da opcenito u standardnom modelumaksimumamozebiti zadanoknejednadzbi,aostalihn ksujed-nadzbe. Istotako,opcenitonemorajubitisvevarijablerestringirane:x1, . . . xp 0znaci dajesamoprvihpvarijabli restringirano. Dobrojeznati dasesimpleks proceduromnemogu rjesavati problemi ukojimapostojenerestringiranevarijable.Dualniproblemzadanogstandardnogproblemamaksimumaglasi:min(m

i=1biyi)m

i=1aijyi cj, j= 1, . . . pm

i=1aijyi= cj, j= p + 1, . . . nyi 0, i = 1, . . . kDobrojeuocitidabrojnejednadzbikodpocetnogproblemaodgovarabrojurestringiranihvarijabli dualnogproblema. Dual dualnogprob-lema ponovo je pocetni problem. Dualni problemi imaju iste vrijednostiekstremafunkcijecilja.58Zadaci:1. Rijesitelinearni problemgracki prekoduala, takodaodreditesamominimalnuvrijednost:min(20x1 + x2 + 5x3)10x1 + x2 + 10x3 2015x1 + 3x2 + 5x3 15x1, x2, x3 0.(rjesenje: fmin= 11)2. Napisatiduallinearnogproblema:min(4y12y2 + 2y3)y1y2 + y3 3y1y2 2y1, y2, y3 0.Rijesite gracki dualni problem, i istaknite minimalnu vrijednost funkcijeciljapocetnogproblema.(rjesenje: fmin= 10)3. Grackommetodomodrediteminimumlinearnogproblemaprekodu-ala:min(18x1 + 12x2 + 84x36x4)2x1 + 2x2 + 4x32x4= 103x13x2 + 9x33x4 15x1, x2, x3, x4 0.(rjesenje: fmin= 180)4. Zadanjeproblem:max(21x1 + 24x2 + 16x3)x1 + 2x2 + 2x3 53x1 + 3x2 + x3 4x1, x2, x3 0.59Za zadani problem napisite dualni i gracki rijesite taj dualni problem.(dualniproblem:min(5y1 + 4y2)y1 + 3y2 212y1 + 3y2 242y1 + y2 16y1, y2 0,cijejerjesenje: fmin= 47.8,zay1= 5.4,y2= 5.2.)5. Postavitedualniproblem,pagrackommetodomodreditemaksimumfunkcije:max(x1 + 3x2 + 2x33x5x6)2x1 + 2x2 + x3 + x4 + 2x5 + x6= 14x1 + 3x2x32x4x5 + 2x6= 1x1, x2, x3, x4, x5, x6 0(rjesenje: dualniproblemmin(y1 + y2)2y1 + 4y2 12y1 + 3y2 3y1y2 2y12y2 02y1y2 3y1 + 2y2 1nema restringirane varijable radi jednakosti u uvjetima pocetnog prob-lema: fmax= 1.6)606. Grackommetodom,prekoduala,odrediteminimumfunkcije6x1 + 12x2 + 14x3uzuvjete:x1 + 2x2 + 3x3 105x1 + 7x2 + 6x3 30x1, x2, x3 0.(rjesenje: fmin= 51.11)7. Grackommetodom,prekoduala,odrediteminimumfunkcije10x1 + 7x2 + 12x3uzuvjete:x1 + x2 + x3 72x1 + x2 + x3 4x1, x2, x3 0.(rjesenje: fmin= 49)8. Odreditegrackimaksimumfunkcijeprekoduala:max(40x118x216x372x4)5x1x2 + 7x39x4 208x1x28x316x4= 30x1, x2, x3, x4 0.(rjesenje: fmax= 160)9. Rijesitidualproblemamin(6x1 + 5x215x3)x1 + x22x3 63x1 + 2x25x3 9x1, x2, x3 0.(rjesenje: fmax )6110. Odredite minimalnu vrijednost funkcije 4x1+2x2+18x3+3x4 uz uvjete:2x1 + 2x25x35x4 3x13x2 + 6x3 + 3x4 4x1, x2, x3, x4 0,rjesavanjemdualnogproblema.(rjesenje: fmin= 50)11. Napisitedualproblemamin(20x1 + x2 + 5x3)10x1 + x2 + 10x3= 2015x1 + 3x2 + 5x3= 15x1, x2, x3 0iodrediteminimumgrackommetodom.(rjesenje: fmin= 11)12. Zalinearniproblem:min(4y1 + 7y27y3 + 17y4 + 23y5)y1 + 3y23y33y4 + 5y5 22y14y2y3 + 5y4y5 3y1, y2, y3, y4, y5 0minimumnaditerjesavajucidualniproblemgrackommetodom.(rjesenje: fmin= 33)624.2 NumerickorjesavanjedualauzocitavanjerjesenjapocetnogproblemaRijesitepomocudualnogproblemai napisite optimalno rjesenje zadanogproblema.1. Rijesitelinearniproblemmin(3x1 + x2 + 2x3)3x12x2 + 4x3 18x1 + 2x2 +x3 92x1 +x22x3 6x1, x2, x3 0(rjesenje: minimum funkcije podudara se s maksimumom dualnog prob-lema, a vrijednosti bazicnih varijabli ocitavamo u retku zjcjzavrsnetablicedualnogproblemapodu1,u2iu3: x1= 4.826; x2= 1.371; x3=1.971; fmin= 18.17;)2. Rijesitelinearniproblem:min(x1 + 3x2 + 5x3)2x13x22x3 0x1x2 + 2x3 12x1 + 3x27x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0.5; x2= 0.33; x3= 0; fmin= 1.5)3. RijesitiLPmin(8x1 + 6x2 + x3)2x1 + 2x2 + x3 64x2 + x3 82x2 + x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0; x3= 8; fmin= 8;)634. Rijesiteproblemlinearnogprogramiranja:min(3x1 + x2 + 2x3)7x1 + 2x2x3 74x3 54x1x2 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 1.5; x2= 0; x3= 1.25; fmin= 7)5. Rijesitelinearniproblem:min(3x1 + 5x2 +x3)x1 + x2x3 52x1x2 6x1 + x2 + 3x3 9x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 6; x2= 0; x3= 1; fmin= 19)6. Simpleksproceduromrijesitelinearniproblem:min(2x1 + 3x2 + x3)x1 + 3x2 + 4x3 3x1x2 + 3x3 13x1 + 2x2x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0.856; x2= 0; x3= 0.538; fmin= 2.23;)7. Rijesiteproblemlinearnogprogramiranja:min(x1 + 2x2 + 3x3)6x1 + x22x3 5x1 + x2 + x3 2x1x2 + 3x3 3x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 1.313; x2= 0; x3= 1.438; fmin= 5.625)648. Rijesitedualomlinearniproblem:min(8x1 + 12x2 + 14x3)2x13x22x3 0x1x2 + 2x3 12x1 + 3x27x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0.666; x3= 0; fmin= 8)9. RijesitiLPmin(10x1 + 5x2 +x3)2x1 + 2x2 + x3 64x2 + x3 82x2 + x3 2x1, x2x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0; x3= 8; fmin= 8)10. Rijesiteproblemlinearnogprogramiranja:min(3x1x2 + 7x3)3x12x2 + 4x3 183x1 + 2x2 + x3 92x1 + x22x3 6x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 6; x2= 0; x3= 0; fmin= 18)11. Rijesiteproblemmin(2x1 + 3x24x3)2x13x22x3 0x1x2 + 2x3 12x1 + 3x27x3 2x1, x2, x3 0(rjesenje: x1= 0; x2= 0.666; x3= 0; fmin= 2)654.3 Slozenijinumerickiprimjeri1. Simpleksmetodomrijesiteproblem:max(10x1x2 + 42x352x4)2x1x2x33x4= 23x12x2 + 3x3= 73x1x24x3x4 13x1 + 2x22x3 + 2x4 9x1, x2, x3, x4 0(rjesenje: fmax= 188,zax1= 13; x2= 26; x3= 2; x4= 0;).2. Odreditemin(x23x3 + 2x5)uzuvjete:x1 + 3x2x3 + 2x5= 72x2 + 4x3 +x4= 124x2 + 3x3 + 8x5 +x6= 10xi 0, i = 1, . . . , 6(rjesenje: fmin= 11; x1= 0; x2= 4; x3= 5; x4= 0; x5= 0; x6= 11).3. Simpleksmetodomnaditemaksimumfunkcijex1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + x7uzuvjete:x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 + 3x6 + x7= 72x1 + 3x2 + x3 + x4 + 3x5 + 2x6 + 2x7= 8x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + 0.5x5 + x6 + 2x7= 62x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + 2x7= 7xi 0, i = 1, . . . , 7(rjesenje: fmax=137/16, x1=0, x2=25/16, x3=3/8, x4=3/16,x5= 0,x6= 11/8,x7= 0)664.4 Problemskizadaci1. Prekodualagrackiodrediterjesenjeproblema:max(18x1 + 12x220x3)6x1 + x2x3 1x1 + 4x2x3 1x1, x2, x3 02. Rijesitelinearniproblem:min(2x13x2 + x3)x12x23x3 123x1x2 + 2x3 15x1 + x2x3 10x1, x2, x3 03. Dvoristeprodajnogsalonazaautomobilemozeprimitido40automo-bila. NabavnacijenaFIATUnaje5000, Tempre6000, aBrave7500Eura. Akosalonnaruci barem40automobila, dobivarabati to: naUna6%,Tempru8%inaBravu10%. Salonraspolazesa225000Eurazanabavkuautomobila. Planirajtenabavukojadonosinajvecirabat.4. U voznom parku imamo veliki broj vozila nosivosti deset, pet i tri tone.Za transport moramo odabrati deset vozila koja ce biti u stanju prevestiukupno70trobe. Kakotoucinitiuzminimalnupotrosnju,akoznamodanajveci kamioni trose20l/100km, srednji 16l/100km, anajmanji10l/100km.5. Rijesitenumerickilinearniproblem:max(x1 + 3x2 +x3)2x1 + 3x2x3 1x1 +x3 5x2= x3x1, x2, x3 067Rjesenjaproblemskihzadataka:1. fmax= 202. fmin= 24za: x1= 12; x2= x3= 03. Pametno je naruciti 30 Una i 10 Brava, sto donosi rabat od 16500 Eura.Ukolikorabat tvornicadajeodmah, pri prodaji automobila, tadasedobivadajeboljeuzeti22Unai18Brava, stodonosirabatod20122Eura.4. Uputiti6desetotonacai4trotonca. Oni cena100kmtrositiminimal-nih160lgorivaukupno.5. fmax .685 Problemitransportaidistribucije5.1 FormulacijatransportnogproblemaZadatak. Rijesite grackom metodom problem prijevoza kave iz dvije przioniceP1i P2u diskonte D1, D2i D3, ako su troskovi, ponuda i potraznja kaoutablici:D1D2D3aiP13 7 4 40P23 5 9 56bj22 38 36(rjesenje: T= 400)Rjesavanjetransportnogproblemamozeserazdijelitiutrietape:- odredivanjepocetnogbazicnogrjesenja- ocjenaoptimalnostidobivenogrjesenja- promjenaplanaMetodeodredivanjapocetnog bazicnogmogucegrjesenjasu:- dijagonalnametodailimetodasjeverozapadnogkornera- metodanajmanjecijene- VAM-metodailiVogelovametodaMetodeocjenjivanjaoptimalnosti rjesenjatransportnogproblemasu:- Stepping-stonemetoda- MODIilimodiciranaStepping-stonemetodaPromjenaplanakoji nijeoptimalan, provodi sejedinoStepping- stonemetodom.695.2 Zadaci1. Odredite plantransporta tako da ukupni troskovi buduminimalni.Ponuda,potraznjaijedinicnitroskovidanisuutablici:O1O2O3O4O5aiI15 7 8 3 1 300I22 4 9 5 9 600I39 11 4 7 9 400I46 7 9 9 11 700bj150 350 350 500 650(rjesenje: T= 9650)2. Zrno psenice sa cetiri lokacije treba transportirati u tri silosa. Na prvojlokaciji ubrano je 400t, na drugoj 500t, na trecoj 800t i na cetvrtoj 500tpsenicnogzrna. Kapaciteti silosasu: 700tprvog, 800tdrugogi 700ttreceg. Odredite minimalne troskove transporta psenicnog zrna ako sutablicomdanitroskovitransportajednetonezrnasi-telokacijeuj-tisilos.S1S2S3L11 4 3L27 1 5L34 8 3L44 2 8(rjesenje: T= 4200)3. Transportnijeproblemzadantablicno:O1O2O3O4aiI13 15 6 4 90I21 8 10 5 75I34 3 6 10 35bj50 50 85 15Zadanjeplan:x11= 25, x13= 50, x14= 15, x21= 25, x22= 50, x33= 3570Poboljsavajte zadani plan do optimalnog Steping-stone metodom. Odre-diteplantransportasaminimalnimtroskomiizracunajtetrosak(rjesenje: T= 855)4. NadjiteoptimalniplaniizracunajteminimalnitrosakP1P2P3P4P5S16 12 14 8 11 95S210 12 10 3 15 55S312 15 7 14 4 8035 50 40 70 35(rjesenje: T= 1530)5.3 DegeneracijaPocetno bazicno moguce rjesenje je degenerirano radi postojanja zatvorenogpotproblema. Akojekodkonstrukcijepocetnogbazicnogrjesenjajednombazicnomvarijablommoguceistovremenozadovoljiti i ponudui potraznju,ostaviti jedno, ili ponudu ili potraznju, i to ono kod kojeg su jedinicne cijenenepopunjenihpoljapojedinacnomanjeoddrugog.1. Rijesititransportniproblem:O1O2O3aiI13 1 4 50I25 8 3 40I32 1 6 85I44 5 0 15bj90 75 25(rjesenje: T= 375)2. Rijesitetransportni problemi izracunajteminimalnetroskovetrans-porta71O1O2O3O4I11 1 6 4 90I21 8 10 5 75I34 3 6 2 3550 50 85 15(rjesenje: T= 725)3. Rijesiteproblemtransporta,naditeoptimalniplaniizracunajtemini-malnitrosaktogaplanaai4 3 6 15 902 8 7 3 704 5 1 10 30bj50 40 85 15(rjesenje: T= 630)4. Rijesitetransportniproblem:O1O2O3aiI110 12 0 10I28 4 3 15I36 9 4 10I47 8 5 5bj20 5 15(rjesenje: T= 170)5. Rijesitetransportniproblemzadantablicom:O1O2O3O4aiI18 1 2 9 50I25 7 5 3 50I32 3 9 4 75bj40 55 60 20(rjesenje: T= 475)726. Iztrirudnikakapacitetaredom300,250i450tonaiskopanihdnevno,vozi seugljenutri prodajnaskladistaogrijeva: S1, S2i S3. Dnevnepotrebe tih skladista su redom 300, 400 i 300 tona dnevno. Izracunajtenajmanjucijenuprijevoza. Cijeneprijevozapojednoj toni izprvogrudnikauskladistaredomiznose: 1, 3i2novcanejedinice. Cijenapotonizaprijevozizdrugogrudnikauskladistaje5, 7i10,dokiztrecegredom3, 1,i4novaca.(rjesenje: T= 2400)7. Zadan je transportni problem s cetiri ishodista i tri odredista. Pocetnobazicno rjesenje odredite metodom sjeverozapadnog kuta, a zatim STEP-PING STONE metodom odredite optimalno rjesanje. Izracunajte min-imalnetroskove.O1O2O3aiI110 12 0 20I28 4 3 30I36 9 4 20I47 8 5 10bj40 10 30(rjesenje: T= 340)8. Odrediti plan transporta sa minimalnim troskovima i izracunati trosak:P1P2P3P4P5S18 18 16 9 10 90S210 12 10 3 15 50S312 15 7 14 4 8030 50 40 70 30(rjesenje: T= 1840)735.4 OtvoreniproblemOtvorenjeproblemukojemje

iai =

jbjProblemzatvaramododavanjemretkaili stupca. Jedinicnesucijeneudo-danomretkuili stupcujednakenuli. Ukolikojeponudavecaodpotraznje,dodajesestupaci bazicnorjesenjeutomstupcupredstavljakolicinukojanecebiti distribuirana. Usuprotnom, dodajeseredaki bazicnorjesenjeutomretkupredstavljakolicinurobekojanecebitidostavljena.1. Rijesititransportniproblem,izracunatiukupnetroskovetransporta,asvezaprijevozrobeiz cetiriskladistautripotrosackacentraP1P2P3aiS112 14 2 35S210 6 5 45S38 11 6 30S49 8 7 2540 40 20(rjesenje: T= 610)2. Rijesititransportniproblem:P1P2P3ponudaS10 12 10 30S28 4 3 40S36 9 4 25S47 8 5 20potraznja 35 35 15(rjesenje: T= 610)3. Gradevinskopoduzeceimapetgradilistaicetiri naseljazasvojedje-latnike. Kapacitet prvog naselja je 200 radnika, drugog 100, treceg 150i cetvrtog50radnika. Zaprvogradilistepotrebnoje150, zadrugoistotoliko, zatrece50,cetvrto60i zapeto90radnika. Akojecijena74prijevozajednogradnikaodi-tognaseljadoj-toggradilistazadanatablicom, nadite optimalni planprijevozaradnikai izracunati mini-malnetroskoveprijevoza:G1G2G3G4G5N14 1 2 5 3N22 1 8 3 5N34 8 7 1 2N46 2 5 7 4(rjesenje: T= 940)4. Rijesite transportni problem i izracunajte minimalni trosak transporta:O1O2O3O4aiI111 21 13 8 1210I24 7 10 13 1100I38 6 11 4 730bj95 325 415 800(rjesenje: T= 10285)5. Treba naci optimalni program transporta iz tri ishodista u cetiri odredistana temelju podataka o jedinicnim troskovima, ponudi i potraznji. Izracunatiminimalnetroskovetransporta.O1O2O3O4I12 5 9 6 50I21 7 3 8 60I35 9 4 4 6015 40 65 50(rjesenje: T= 630)6. Na skladistima je redom po 60,70 i 55 tona robe mjesecno.Sest robnihkucamjesecnopotrazujuredompo20,40,30,55,15i 35tonarobe. Je-dinicni troskovi prijevozaizprvogskladistausvakuodprodavaonicaiznose redom: 3,2,2,3,3 i 1 kunu. Iz drugog skladista: 2,0,1,1,0 i 1 kunu.Iz treceg:1,4,3,4,2 i 0 kuna. Odredite optimalni plan prijevoza i ukupnitrosak. (rjesenje: T= 185).755.5 Problemskizadaci1. Nacetiri kolodvoraimaredom28, 22, 36i 14vagona.Sest stanicatreba redom: 20, 15, 17, 12, 8 i 28 vagona. Udaljenosti kolodvora i stan-ica dane su tablicom. Napravite plan prijevoza tako da umnozak brojavagonaikilometarabudenajmanji.S1S2S3S4S5S6K120 27 30 35 40 45K218 35 40 42 50 20K340 30 35 25 48 40K421 45 28 32 40 442. Transportniproblemzadanjetablicom:O1O2O3O4aiI13 1 0 2 8000I22 3 4 0 7000I37 5 6 3 10000I41 1 0 1 3000bj6500 7800 2500 9700Odrediteminimalnetroskovetransporta.3. Nadjiteoptimalniplanprijevozaiizracunajteminimalnitrosaktrans-portnogproblemazadanogtablicomukojojsunavedeni ponuda, po-traznjaijedinicnitroskovitransporta.O1O2O3aiI13 1 5 150I23 1 2 200I32 2 1 250I44 4 6 350I52 0 3 400bj900 200 40076Rjesenjaproblemskihzadataka:1. 2647vagonskihkilometara2. T= 45600novcanihjedinica3. T= 2950novcanihjedinica.5.6 Zadacisispita1. Naci optimalni plantransportaiztri skladistaucetiri odredista. Je-dinicni troskovi, kapaciteti skladistai potraznjaodredistadani suutablici:O1O2O3O4I13 15 6 4 50I210 8 10 5 75I34 3 6 10 3550 50 85 15(rjesenje: problemzatvoriti dodavanjemretka I4kapaciteta 40, je-dinicnihcijena0,minimalniT= 900)2. Rijesite transportni problem prijevoza koji ce minimizirati iznos tonskihkilometara, akosukilometrazeizmedjutvornicai opskrbnihcentara,kaoponudatvornicaipotraznjacentarautonamadaniutablici:C1C2C3PonudaT125 35 30 160T230 40 40 160T335 55 45 160T415 50 30 240Potraznja 160 280 320(rjesenje: Tmin= 23600)3. Transportnijeproblemzadantablicom:O1O2O3O4aiI115 15 40 40 80I29 8 10 15 125I323 3 6 42 45bj50 60 95 1077Pocetnobazicnorjesenjeodreditemetodomsjeverozapadnogkornera.PoboljsavajtepocetniplandooptimalnogMODImetodom.(rjesenje: Tmin= 2075).4. Rijesite transportni problem, ako svaki neisporuceni transformator donosistetuod10novcanihjedinica. Kolicineproizvedenihtransformatorapotraznjazanjimaijedinicnecijenetransportadanisutablicno:C1C2C3C4aiP13 4 2 0 240P24 3 5 1 280P32 3 2 4 250bj180 160 220 180(rjesenje: T= 1670,30transformatoraostajeuP2).5. Rijesite transportni problem: nadjite optimalni plan transporta i izracunajteminimalni trosak ako se drugomracunskomcentrutreba isporucitibar50%trazenihracunala. Troskovi transporta, kolicineracunalanaraspolaganjuipotrebezaracunalimadanisutablicom:R1R2R3R4aiI12 5 9 6 80I21 7 3 8 120I35 9 4 4 160bj100 40 150 110(rjesenje: nakonktivnogretkauvodi sestupacR

2ukojemjepotraznja20, stvarnejedinicnecijenepodudarnesuscijenamaustupcuR2, dokjektivnacijenaM 3 max(cij). PonudaustupcuR2mijenjasena20.Nakon uobicajene procedure, minimalni trosak je 1140.)6. Rijesitetransportni problem, takodase iz svakogsilosaotkupi barpolovicazita. Kolicinazitausilosima, potraznjaotkupnihstanicaicijenepotoni zitadanisutablicno:O1O2O3O4aiS14 3 4 4 200S24 3 6 2 180S34 2 4 3 150bj80 60 120 80(rjesenje: T= 1080,trecijesilosispraznjen).786 Razlicite modikacije transportnog prob-lema6.1 PromjenakoecijenatafunkcijeciljaKoecijenti funkcije cilja u transportnom problemu su jedinicni trskovi trans-porta. Velike vrijednosti jedinicnih troskova nespretne su za rucno racunanje.Dokazanojedaseplantransportanemijenja, akoseuretku, odnosnostupcu,svakojjedinicnojcijenioduzmeistavrijednost.Akoseotvoreni problemzatvaradodavanjemstupca, jedinicnecijeneudodanomstupcumorajubitimedusobnojednakeitojednake:maxi{cij},gdjejesvakapojedinacijminimalnajedinicnacijenausvakomodredakapocetnog,otvorenogproblema.Akoseotvoreni problemzatvaradodavanjemretka, jedinicnecijeneudodanomretkuopetmorajubitimedusobnojednakeitomaxj{cij},gdjejesvakapojedinacijminimalnajedinicnacijenausvakomodstupacapocetnog,otvorenogproblema.Zadaci:1. Nazeljeznickimkolodvorimanalazi seredom: 12, 24, 30i 18vagona.Zeljeznickestanicetrebajuunekomperiodupo24, 20, 30i20vagona.Prvijekolodvorudaljenodsvakestaniceredompo120, 200, 150i145kilometara. Drugi jekolodvorudaljenodstanica95, 80, 160i 220km.Od treceg je 180, 130, 50 i 60 kilometara do svake od stanica i cetvrtog:200, 180, 190 i 100. Napravite takav plantransporta vagona da jeumnozakvagonaikilometaraminimalan.(rjesenje:x1,1=12, x2,1=4, x2,2=20, x3,3=30, x4,4=18, x5,1=8, x5,4= 2,(vag km)min= 6720).2. Rijesite transportni problem prijevoza nafte iz tri ranerije u pet gradova,takodaukupnitonskikilometribudunajmanji. Ponudaipotraznjautonama,kaoikilometrazadanisutablicno:79G1G2G3G4G5aiR185 100 75 80 70 100R265 75 85 90 95 105R390 90 70 65 50 80bj35 55 60 50 45(rjesenje: minimalno16625tkm).6.2 NedopustivekomunikacijeNedopustivakomunikacijaiz i-togishodistauj-toodrediste elegantnoserjesevasupstitucijomcij= M, M> 3max(cij)i MODImetodomizbjegavasebazicnorjesenjeukojembi xijbilabazicnavarijabla.Zadaci:1. Tri kolodvora A,Bi Cimajuna raspolaganju60, 80 i 100 vagona.Izracunajte optimalni plan transporta, ako prva stanica treba 40, druga60,treca 80 i cetvrta 50 vagona. Troskovi transfera iz prvog kolodvoradoodgovarajucihstanicasu1, 2, 3i4,izdrugog4, 3, 2i0,aiztreceg0, 2, 2i jednunovcanujedinicu. Koliki jenajmanji trosaktransporta,akolikojepovecanjetroskovauslucajudadodjedoprekidaprugeodkolodvoraCdostanicebroj3.(T=280,akoseuzmec3,3=M 3 max(cij)dobivaseT=330ipovecanjeod50novcanihjedinica.)2. Tri solane proizvode dnevno redom 60,80 i 90 tona soli. Gradovi A,B,CiDpotrazujudnevnopo50,60,40i30tonasoli. Transportnitroskovipojednomkilogramusoli izprvesolanedosvakogodgradovaiznoseredom2,1,0i3kune. Troskoviprijevozaizdrugepokilogramuiznoseredom: 4,1,3i3kune,aprijevozpokilisoliiztrecesolaneusvakiodgradovaiznosi2,3,0i1kunu. Odrediteonajplanprijevozakoji cebitinajjeftiniji. Izracunajteminimalni trosaktransportai izracunajtezakoliko se poveca trosak ako se ukinu prodavaonice prve i trece solane ugraduC?(rjesenje: T= 190000kn,trosaksepovecazaT= 120000kn)806.3 OgranicenikapacitetikomunikacijaOgraniceni kapaciteti komunikacija slozen je zahtjev na transportni problem.Postupakjedetaljnoobjasnjenu[1],pasecitateljmolidaobaveznoproucitajdiouudzbeniku.Zadaci:1. Iz tri rudnikaR1, R2i R3kapacitetaredompo300, 250i 450tonadnevno, vozi se ugljenutri prodajna skladista ogrjeva: S1, S2, S3.Dnevnepotrebetihskladistasuredom300, 400i 300tona. Nasvakurelacijusmijemo poslati najvise do 200t. Cijene prijevoza po toniugljena iz R1su: 1, 3, 2, iz R2: 5, 7, 10, a iz R3: 3, 1, 4 novcane jedinice.(rjesenje: T= 3250novcanihjedinica)2. Mljekara sa cetiri svoja pogona snabdijeva mlijekom tri naselja. Dnevnikapaciteti pogona, potrebe naselja i jedinicne cijene transporta u odnosunahektolitredanisuutablici:N1N2N3P115 6 7 100P27 4 11 55P311 12 5 49P44 8 10 9640 120 50Napravitetakavplantransportadatroskovibuduminimalni. Akonasvakurelacijumozeteposlatinajvise50hl mlijeka, izracunajterazlikuutroskovimatakvogplanaiplanabezzahtjeva.(rjesenje: Togr= 1072,Tnorm= 1022,razlikaje50novcanihjedinica)816.4 MinimizacijavremenatransportaKoecijentiufunkcijiciljasadaseinterpretirajukaoduljinaputovanja. Za-htjevsesastojiutomeda stomanjakolicinarobebudenanajduljemputu.Zadaci1. Izuzetnoopasanplintrebaprevesti zeljeznicom. Proizvodnjaplina,potraznjaivremenatransportausatimazadanasutablicno:O1O2O3O4proizvodnjaP13 15 6 4 55P210 8 10 5 80P34 3 6 10 40potrebe 55 55 90 20(rjesenje: Najbolje stosemozeposticijeda5tputujeizP2uO310h).2. U Republici Hrvatskoj iznenada je donesen zakon da se kamioni morajutransportirati zeljeznicom. URijeci,Zadru,SibenikuiSplitutrebamoredom 180, 160, 90 i 100 vagona za prijevoz kamiona. Kotoriba, Dobova,Ploce i Vinkovci imaju na raspolaganju redom:120, 160, 80 i 150 vagona.UdaljenostikolodvorauRijecidospomenutihodredistaiznosiredom:280, 170, 300i 500km. Udaljenost kolodorauZadrudospomenutihodredistasuredom: 450, 360, 280i 600km.Sibenikjeudaljenredomdospomenutihodredista560, 420, 180i 680km, dokje iz Splitadoodredistapo600, 500, 100i 780kilometara. Napraviteplanprijevozapokojemnajmanjevagonaputujenajvecomkilometrazom.(rjesenje: 130vagonaipakceputovati600kmodVinkovacadoZadraito cebitivagonikoji cenajdaljeputovati.)3. Zadan je transportni problem gdje velicine cij= tij oznacavaju vremenatransportausatima. Nadjiteminimalnovrijemesvihdostava,akoonepocinjuistovremeno:O1O2O3O4aiI16 4 3 5 80I27 4 3 5 70I38 7 4 3 50bj60 60 60 20(rjesenje: 60jedinicaputuje6satiitosenemozepopraviti.)824. RibaseizlovljavauuzgajalistimaI1, I2, I3. SvakojutroribakreceputribarnicakojesenalazeumjestimaR1, R2, R3i R4. IzuzgajalistaI1doribarnicaprijevoztrajeredom: 2,5,9i6sati. DabiizI2ribadoslauspomenuteribarnicetrebapo1,7,3i8sati. Konacno,prijevoziizI3traju 5,9, te po 4 sata do ribarnica R3i R4. Treba napraviti takav planda je sto je moguce manje ribe na najduljem putu. Na uzgajalistima jenaraspolaganju: 80t, 120t, 160tdnevno, aribarnicepotrazujuredom:100t, 40t, 150ti110tdnevno.(rjesenje: 110tribeputovat ce4h,dok ceostalaribaputovatikrace. )836.5 Problemskizadaci1. Ponuda izvora i potraznja odredista transportnog problema zadana je tabli-com. Interpretiramoli cijkaovremenapotrebnazaizvrsenjesvakogpo-jedinog transporta, odredite takav plan da ukupno vrijeme transporta budenajkrace i da sto je moguce manje tereta putuje najdulje.O1O2O3O4aiI12 5 9 6 10I24 7 3 8 80I35 3 5 0 60bj40 10 15 1002. Rijesite transportni problem zadan tablicom:O1O2O3aiI115 40 40 160I29 15 15 250I323 42 42 90bj19 42 42Za koliko bi se povecao trosak, kada bi trazili da potpuno ispraznimo treciizvor?3. Korporacija ima 4 secerane mjesecnog kapaciteta 50, 60, 80 i 100 tona. Gradovikoji potrazuju secer trebaju redom 75, 80, 90 i 45 tona mjesecno. Udaljenostsecerana i gradova dani su tablicno,a vi napravite plan u kojem ce tonskikilometri biti minimalni. Za koliko ce se povecati mjesecni tonski kilometri,ako zbog vremenskih neprilika budu odsjeceni druga secerana i prvi grad?G1G2G3G4S145 45 60 100S240 55 55 90S355 65 65 85S465 60 70 754. Ribarnica ima cetiri ribarske luke u kojima se dnevno izlovi po 7t robe. Iztih luka riba se dostavlja u pet gradova, koji dnevno potrazuju 4, 5, 6, 8 i 9tona ribe. Ako se iz prve luke do gradova riba dostavi za 3, 4, 2, 5 i 6 sati, izdruge za 4, 2, 3, 1 i 5 sati, iz trece za 1, 2, 3, 3 i 4h, te iz cetvrte treba 5, 2, 1, 3i 4 sata. Zadatak je napraviti plan po kojem ce riba najkrace biti na cesti.84Rjesenjaproblemskihzadataka1. 15jedinicarobeputuje8vremenskihjedinica, dokostalarobaputujekrace.2. T0= 1431;Tprazan tre ci= 3614;T= 2183novcanihjedinica.3. T0= 16625;Todsje ceno= 16925;T= 300novcanihjedinica.4. 5t ceputovati4h,dok ceostalarobaputovatikrace.6.6 Raznizadaci1. Nakolodvorima A, B, Ci Dnalazi se redom45,55,30i 45praznihvagona. Onisuuodredjenomperiodupotrebniustanicama1,2,3,i4,redompo50,40,30i 20vagona. Akosujedinicni troskovi prijevozavagona iz kolodvora A u stanice 2,1,3,4 novcane jedinice; iz B: 3,1,1,2;izkolodvoraC: 4,2,3,3, aizkolodvoraD: 1,4,2i 3novcanejedinice,nadjite optimalni plantransportapraznihvagonai izracunajte naj-manjimogucitrosaktogtransporta.(rjesenje: T= 165novcanihjedinica)2. Nadjiteoptimalnorjesenjetransportnogproblema: izcetiri tvorniceobuce kapaciteta 8, 9, 12 i 16 tisuca pari mjesecno treba cipele dostavitido cetiri grada koji mjesecno potrazuju 7, 10, 6 i 15 tisuca pari. Prijevozpo jednom paru cipela iz prve tvornice u gradove redom iznosi: 1,2,3,4kn; izdrugetvornice: 3,2,5,6kuna, iztrece: 0,5,1,4kunei izcetvrte:0,2,0i1kunu. Izracunajtenajmanjimogucitrosak.(rjesenje: T= 40000kn)3. Iztricementarecementseprevozidotrigradilista. Dnevnikapaciteticementa, potrebe gradilista i jedinicni troskovi prijevoza dani su tablicno:G1G2G3aiC13 4 2 120C27 1 4 80C32 3 5 150bj70 180 50Nadjite plan transporta koji ce imati minimalni trosak i izracunajte tajtrosak. (rjesenje: T= 640)854. Tri przionice ispeku mjesecno redom po: 10,15 i 25 tona kave. Kava se izprzionica transportira u cetiri prodajna sredista i to: prvo trazi 5 tona,drugo10, trece20icetvrto15. Troskovi transportapojednojtoni izprve przionice u svako od prodajnih sredista redom iznose: 800,300,500i200kuna. Zadruguprzionicuonisuredom: 400,100,600i700kuna.Trecaprzionicaimapotonitrosakdoprodajnihmjesta: 100,900,400i300kuna. Trebaizracunatiminimalnitrosakinaciodgovarajuciplan.(rjesenje: T= 14000 kuna).5. Tablicnoje zadantransportni problems jedinicnimtroskovimapri-jevoza:O1O2O3O4O5aiI120 9 24 21 19 12I226 22 13 1 8 14I316 13 25 2 3 7I411 25 4 5 6 10bj8 11 9 7 8Odrediteoptimalni planprijevozaizzadanihishodistauodredistaiizracunajteminimalnitrosakprijevoza.(rjesenje: T= 322)6. Rijesitetransportni problemi izracunajteukupni trosaktransporta,postujuci ogranicenje od 100 jedinica koje se mogu poslati na svaku odrelacija.O1O2O3aiI16 14 8 100I26 10 18 140I33 1 4 150bj130 180 90Zakolikosepovecatrosak,akojeonemogucenakomunikacijaI3O2.(rjesenje: T0= 1850;T1= 2780;T= 830novcanihjedinicavise)866.7 Problemskizadaci1. Rijesite transportni problem i izracunajte minimalni trosak transporta.ZakolikosepovecatrosakakododedoprekidakomunikacijeI2O4?O1O2O3O4aiI110 15 11 8 1200I25 8 12 3 850I39 4 10 20 1030bj1610 240 450 7802. Rijesite transportni problemakoje maksimalnomoguce opterecenjekomunikacije50. Izracunajteminimalnitrosak.O1O2O3O4aiI18 1 2 9 50I25 7 5 3 50I32 3 9 4 75bj40 55 60 203. Zadanjetransportni problemtablicomukojoj sunavedenavremenaprijevoza:O1O2O3O4O5aiI115 20 25 15 15 50I210 25 20 40 30 100I312 18 24 30 36 150bj75 35 45 85 60Odrediteplantransportadavrijemenajvecedostavebudeminimalno.4. Naci optimalni plan transporta iz dva skladista u sest centara potrosnje.Jedinicni troskovi, kapaciteti skladistai potraznjecentaradani suutablici:C1C2C3C4C5C62 4 7 1 3 8 405 6 12 9 1 2 5010 7 20 50 5 887Rjesenjaproblemskihzadataka1. T0= 23210; Tprekid= 23210,papovecanjanema.2. T= 475iuvjetjeodmahpostignut.3. 95 jedinica robe putuje 30 vremenskih jedinica i to se ne moze popraviti.4. T= 363novcanihjedinica.887 TransportnamrezaTransportnamrezajeorijentirani grafbezpetlje, sjednimulaznimcvoromi jednimizlaznimcvorom. Prakticnojemrezuzadati matricomincidencije.Akojeelementmatricejednaknuli,znacidanepostojilukizi-togcvorauj-ti. Elemente matrice razlicite od nule mozemo interpretirati na dva nacina:- udaljenostjednosmjernekomunikacijeizi-toguj-ti cvor- kapacitetjednosmjernekomunikacijeizi-toguj-ti cvorNemaalgoritmazacrtanjetransportnemrezei samounekimslucajevimatransportna mreza ispada planarna: komunikacije se sijeku samo u cvorovima.Ako se komunikacije sijeku izvan cvorova, sjecista se interpretiraju kao da sudenivelirana.7.1 Ispitnizadaci1. Zadanajematricatransportnemreze__0 40 24 40 0 0 00 0 16 0 18 0 00 0 0 0 14 36 00 0 50 0 0 0 380 0 0 0 0 44 600 0 0 0 42 0 800 0 0 0 0 0 0__Ako elemente matrice interpretiramo kao udaljenosti cvorova, odreditenajkraci put kroz mrezu. Zatim elemente interpretirajte kao kapacitetelukova, paodreditemaksimalni tokkrozmrezu. Provjeritevrijednostmaksimalnosttokanalazenjemrezaminimalnogkapaciteta.(rjesenje: l =78; T =98, rez minimalnogkapacitetaje {1, 2} {3, . . . , 7}).892. Nacrtajte transportnu mrezu zadanu matricom. Odredite najkraci put,nadjitemaksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.A =__0 30 12 80 0 0 0 00 0 30 25 30 0 0 00 18 0 30 50 0 0 00 0 0 0 25 0 50 00 0 0 25 0 20 25 00 0 0 0 0 0 28 350 0 0 0 0 25 0 500 0 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l =115; 1 2 5 6 8; T =85, rezminimalnogkapacitetaje {1, . . . , 7} {8}.)3. Naci maksimalni tok i minimalni put transportne mreze zadane matri-com:M=__0 25 30 50 0 0 0 0 00 0 16 0 18 0 0 0 00 0 0 0 14 36 0 0 00 0 50 0 0 38 0 0 00 0 0 0 0 0 44 60 00 0 0 0 42 0 0 80 00 0 0 0 0 0 0 36 500 0 0 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 0 0__(najkraci put je137: 1 2 5 7 9, amaksimalni tok105, rezminimalnogkapaciteta: {1} {2, . . . , 9}).904. Transportnajemrezazadanamatricom cijielementipredstavljajuka-pacitetelukovatransportnemreze:M=__0 40 35 0 0 15 0 0 00 0 0 15 20 0 0 0 00 0 0 0 0 10 25 0 00 0 0 0 10 0 0 10 250 0 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 15 0 15 35 00 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0__Odrediterezminimalnogkapacitetaitajkapacitet.(rjesenje: rez {1, 2, 3, 5, 7, 8} {4, 9}imaminimalnikapacitetT= 50)5. Transportnajemrezazadanamatricom.M=__0 45 55 60 0 0 0 00 0 0 15 0 60 30 00 0 0 0 45 0 0 00 0 0 0 5 0 40 00 0 0 0 0 0 10 500 0 0 0 0 0 0 300 0 0 0 0 5 0 650 0 0 0 0 0 0 0__Elemente matrice interpretirajte kao kapacitete komunikacija i odrediterezminimalnogkapaciteta. Kolikijetajkapacitet? Odreditenajkraciput.(rjesenje:T= 135; rez minimalnog kapaciteta je {1, 3, 4}{2, 5, 6, 7, 8},najkraciputje110: 1 2 7 6 8)916. Zadanajematricatransportnemreze:M=__0 30 40 50 0 0 0 0 0 00 0 0 0 20 0 60 0 0 00 40 0 0 0 50 0 0 0 00 0 30 0 0 20 0 0 30 00 0 0 0 0 10 10 30 0 00 0 0 0 0 0 0 20 0 00 0 0 0 0 0 0 30 0 100 0 0 0 0 0 0 0 10 400 0 0 0 0 0 0 0 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0__Nacrtajtetransportnumrezuodreditenajkraciputkrozmrezuimak-simalnitok.(rjesenje: najkraciputl=70: 1 2 5 7 10,maksimalnitok:T= 70;rezminimalnogkapaciteta: {1, . . . , 9} {10}.)7. Utransportnojmrezizadanojmatricnoodreditenajkraciput,najvecimogucitokirezminimalnogkapaciteta.T =__0 50 60 0 0 0 0 0 00 0 40 30 20 0 0 0 00 0 0 0 10 10 0 0 00 0 0 0 0 0 40 0 00 0 0 30 0 15 25 10 00 0 0 0 0 0 0 45 00 0 0 0 0 0 0 10 350 0 0 0 0 0 5 0 450 0 0 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l = 120 : 1 2 5 8 7 9, T= 70,rez: {1, 2, 3} {4, 5, 6, 7, 8, 9})928. ZadanajematricaAtransportnemreze. Nacrtajtemrezu. Odreditenajkraciput,naditemaksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.A =__0 20 40 60 0 0 00 0 50 20 30 0 00 0 0 70 20 0 00 0 0 0 15 20 00 0 0 30 0 50 00 0 0 0 0 0 1200 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l = 180, 1 2 4 6 7; T= 60,rez: {1, 2, 3, 4, 5} {6, 7})9. ZadanajematricaAtransportnemreze. Nacrtajtemrezui odreditenajkraciput,maksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.A =__0 30 12 80 0 0 0 00 0 30 25 30 0 0 00 18 0 30 50 0 0 00 0 0 0 25 0 50 00 0 0 25 0 20 25 00 0 0 0 0 0 28 350 0 0 0 0 25 0 500 0 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l = 115, 12568; T= 85, rez: {1, . . . , 7}{8})10. MatricatransportnemrezezadanajesA. Odrediterezminimalnogkapaciteta,maksimalnitokinajkraciputkrozmrezu.A =__0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 350 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0__(rjesenje: rezminimalnogkapaciteta: {1, 2, 3, 4} {5, 6},tok: T= 50,najkraciputl = 85,1 2 4 6.)9311. Interpretirajuci elemente matrice kao duljine lukova transportne mreze,odredite najkraci put. Zatim, tumaceci clanove matrice Akao ka-pacitetelukova,odreditemaksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.Matricajezadana:A =__0 30 45 0 0 00 0 0 10 35 00 25 0 0 10 00 0 0 0 20 400 0 0 0 0 450 0 0 0 0 0__(rjesenje: l = 80, 1 2 4 6; T= 55,rez: {1, 2, 3} {4, 5, 6})12. Utransportnojmrezizadanojmatricomodreditenajkraciput,maksi-malnitokirezminimalnogkapaciteta.M=__0 25 30 0 0 0 0 0 00 0 30 15 10 0 0 0 00 0 0 0 15 5 0 0 00 0 0 0 0 0 30 0 00 0 0 25 0 5 15 10 00 0 0 0 0 0 0 35 00 0 0 0 0 0 0 10 350 0 0 0 0 0 15 0 450 0 0 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l =85, 1 2 5 7 9; T =45, rez: {1, 2, 3} {4, . . . , 9})9413. Matricomjezadanatransportnamreza. Nacrtajtemrezu. Odreditenajkraci put, a zatim i maksimalan tok, tako da elemente matrice pois-tovjetitesudaljenostimamedjucvorovima, azatimihinterpretirajtekaokapaciteteprometnicaujedinicivremena.T =__0 50 85 65 0 0 0 0 0 00 0 20 0 35 0 10 0 0 00 0 0 20 45 0 0 60 0 00 0 0 0 0 30 0 0 35 00 0 0 0 0 0 0 45 0 00 0 20 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 25 0 0 45 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 60 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0__(rjesenje: l = 100, 12710; T= 90, rez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}{7, 10})957.2 Problemskizadaci1. ZadanajematricaAtransportnemreze. Nacrtajtemrezu. Odreditenajkraciput,naditemaksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.A =__0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 350 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0__2. Zadanajematricatransportnemreze. Nacimaksimalnitokinajkraciput.T=__0 12 14 22 0 0 0 0 00 0 10 0 11 0 0 0 00 0 0 0 9 20 0 0 00 0 27 0 0 21 0 0 00 0 0 0 0 0 24 32 00 0 0 0 23 0 0 42 00 0 0 0 0 0 0 20 270 0 0 0 0 0 0 0 370 0 0 0 0 0 0 0 0__3. ZadanajematricaAtransportnemreze. Nacrtajtemrezu. Odreditenajkraciput,nadjitemaksimalnitokirezminimalnogkapaciteta.A =__0 30 45 0 0 00 0 0 10 35 00 25 0 0 10 00 0 0 0 20 400 0 0 0 0 450 0 0 0 0 0__96Rjesenjaproblemskihzadataka1. Najkraci put iznosi 85 duljinskih jedinica, maksimalni tok je 45, dok jerezminimalnogkapaciteta {1, 2, 3} {4, 5, 6}.2. Maksimalnitokje48,najkraciput74.3. Najkraci putje80, maksimalni tok55, arezminimalnogkapaciteta:{1, 2, 3} {4, 5, 6}.978 PrimjeripismenihzadacaNajvaznija stvar za vecinu studenata su ispiti. Ispit iz Matematickih metodauprometusastojiseodpismenogiusmenogdijela.Zaizlazaknausmeni,potrebnojezadovoljitinapismenomdijeluispita.Pismeni dioispitasastoji seodcetiri zadatka. Prvi zadatakvezanjeuzgrackorjesavanjelinearnogproblema. Drugi zadataklinearnogprogrami-ranjarjesavasenumericki. Treci jetransportni problem, acetvrti jevezanuztransportnumrezu.Buduciseradioracunanju,inzistirasenatocnosti,pasegledajusamozadacikojiimajutocnarjesenja.Prvizadatakdonosijedanbod, drugii trecipodvaicetvrtijedanbod.Student koji je skupio barem tri boda zadovoljio je na pismenom dijelu ispita.98Matematickemetodeuprometu1. Rijesiteproblemlinearnogprogramiranjagrackommetodom:max(4x + 10y)x + 4y 246x + 2y 42x + y 9x, y 02. Rijesitelinearniproblemnumericki:max(6x + 12y + 3z)x + 3y 42x + y 3y + 4z 3x, y, z 03. Rijesitetransportniproblemiizracunajteukupnitrosaktransporta:O1O2O3aiI16 14 8 100I26 10 18 140I33 1 4 150bj130 180 904. Zadanajematricatransportnemreze:M=__0 40 24 40 0 0 00 0 16 0 18 0 00 0 0 0 14 36 00 0 50 0 0 0 380 0 0 0 0 44 600 0 0 0 42 0 800 0 0 0 0 0 0__.Elementematriceinterpretirajtekaoudaljenosticvorovai izracunajtenajkraci putkrozmrezu. Zatimelementematriceinterpretirajtekaokapacitetelukovainadjitemaksimalnitokkrozmrezu.99Matematicke metode u prometu1. Poduzece izraduje dva tipa proizvoda od tri sirovine. Od prve sirovine imana raspolaganju 15, od druge 7 i od trece 5 jedinica. Pri izradi jedinice prvogproizvoda potrosi po jednu jedinicu svake sirovine, pri izradi jedinice drugogproizvoda potrosi tri jedinice prve i jednu jedinicu druge sirovine. Prodajvacijenaprvogproizvodajedvije, adrugogajednunovcanujedinicu. Kakoplanirati proizvodnju, da bi utrzak od prodaje proizvoda bio najveci?2. Na trzistu imamo tri vrste teretnih zrakoplova razlicitih nosivosti:40t, 50t, 10t.Prijevozjednetoneteretadonosidobitod7500kn. Teretaimauizobilju,ali je ogranicen broj strucnjaka za dnevno servisiranje letjelica.Od 130 raspolozivih mehanicara po tri su potrebna za pregled najvecih let-jelica, dok je po jedan potreban za svaku manju letjelicu.Od 100 elektricara, dvojica trebaju za svaki zrakoplov od 50t, a po trojicaza svaki zrakoplov od 40t.Strucnjaka za pregled navigacionih uredjaja ima 110, od kojih za letjelice od40t treba po jedan, a za 50-tonce trebaju po cetvorica.Koliko kojih trakoplova kupiti,ako svi imaju istu cijenu,a zelimo zaraditisto je moguce vise?Svaki zrakoplov dnevno napravi po jedan let.3. Na skladistima se nalazi redom po 60, 70 i 55 tona robe mjesecno.Sest robnihkuca mjesecno potrazuju redom po 20, 40, 30, 55, 15 i 35 tona robe. Jedinicnitroskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od prodavaonica iznose redom3, 2, 2, 3, 3i 1kunu. Izdrugogskladista2, 0, 1, 1, 0i 1kunu. Iztreceg:1, 4, 3, 4, 2 i 0 kuna. Odredite optimalni plan prijevoza i ukupni trosak.4. Zadana je matrica kapaciteta lukova transportne mreze.T=__0 25 26 34 0 0 0 0 00 0 13 0 14 0 0 0 00 0 0 0 10 23 0 0 00 0 38 0 0 28 0 0 00 0 0 0 0 0 27 40 00 0 0 0 26 0 0 45 00 0 0 0 0 0 0 23 300 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0__.Nadjite rez minimalnog kapaciteta.100Rjesenjaprvogoglednogprimjeraispita:1. x = 4; y= 5; max = 662. x = y= 1; z=123. T= 1850novcanihjedinica.4. l = 78; T= 98;rez: {1, 2} {3, 4, 5, 6, 7}.Rjesenjadrugogoglednogprimjera:1. Mudrojeproizvesti5komadaprvogidvadrugogproizvoda, uzmak-simalniutrzakod12novcanihjedinica.2. Ako se nabavi 18 letjelica od 40t, 23 od 50t i 43 od 10t, tada oni moguprevest2300timaksimalnozaraditi17, 250.000kn.3. T= 1854. Rez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} {7, 9}.Literatura[1] PasagicH.:Matematickemetodeuprometu,FPZ,Zagreb,2003.[2] ProskurjakovI.V.: Sbornikzadacpolineinoi algebre, Nauka, Moskva,1984.[3] Stosic V.:Matematicka natjecanja ucenika osnovnih skola, HMD, Zagreb,1994.[4] Horvatic K.:Linearna Algebra I, II, III, Matematicki odjel PMF-aSveucilistauZagrebuiHMD,Zagreb,1995.[5] KovacStrikoE.: MatematikaII,Fakultetprometnihznanosti, Zagreb,1999.[6] Pavkovic-Svrtan-Veljan: Matematika-zbirka zadataka s uputama irjesenjima,Skolskaknjiga,Zagreb,1983.101