Matematičke metode u prometu - zbirka zadataka

download Matematičke metode u prometu - zbirka zadataka

of 101

  • date post

    11-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.601
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Matematičke metode u prometu - zbirka zadataka

Matematicke metode u prometuzbirka zadatakaH.PasagicB.IvankovicN.Kapetanovic18.listopada2010.1UvodZbirkazadatakanastalajetijekomvisegodisnjegradasastudentimadrugegodine studija na Fakultetuprometnihznanosti. Upotpunosti se pratigradivoudzbenikaMatematickemetodeuprometu,dr. H.Pasagicauko-jemsenalazedetaljnaobjasnjenjapostupakakojimaserjesavajuproblemiizadaci.U zbirci su zadani problemi cije rjesavanje pretpostavlja vjestinu konstru-iranjamatematickihmodelainjihovorjesavanje.Zbirkazadatakanamijenjenajeucenjuuzupotrebuudzbenikairedovitopracenjepredavanjaivjezbi.Zbirkazadatakaizlaziprviputiusprkosdetaljnimpregledimaihtijenjudane bude pogresaka, bit cemozahvalni svimakoji ce namnapogreskeukazati.Listopad,2004.Autori2Sadrzaj1 Bazaibazicnorjesenje 51.1 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Sustavilinearnihjednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Bazicnarjesenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Geometrijskorjesavanjeproblemalinearnogprogramiranja 272.1 Linearnenejednadzbesdvijenepoznanice . . . . . . . . . . . 272.2 Maksimumi minimumlinearne funkcije dvije varijable nakonveksnomskupu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Problemskizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Numericko rjesavanje linearnog problema - simpleks metoda 373.1 Jedanprimjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Simpleksmetoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Rjesenje standardnog problema minimuma-Charnesova M pro-cedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Ispitnizadaciiznumerickogrjesavanjalinearnogproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Teorijalinearnogprogramiranja 584.1 Dualstandardnogproblema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Numerickorjesavanje dualauz ocitavanje rjesenjapocetnogproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Slozenijinumerickiprimjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 Problemitransportaidistribucije 695.1 Formulacijatransportnogproblema. . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Degeneracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Otvoreniproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Zadacisispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7736 Razlicitemodikacijetransportnogproblema 796.1 Promjenakoecijenatafunkcijecilja . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Nedopustivekomunikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Ogranicenikapacitetikomunikacija. . . . . . . . . . . . . . . 816.4 Minimizacijavremenatransporta. . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6 Raznizadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 Transportnamreza 897.1 Ispitnizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Problemskizadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 Primjeripismenihzadaca 9841 Bazaibazicnorjesenje1.1 Problemi1.Cep i boca zajedno kostaju 11 kuna. Boca je 10 kuna skuplja od cepa.Kolikokostaboca,akoliko cep?2. Kolikojeudvoristukoza,akolikokokosi,akoimajuukupno22nogei8glava?3. Test sadrzi 20 pitanja. Tocanodgovor donosi 4 pozitivna boda, anetocan3negativnaboda. Kandidat je skupio38bodova. Kolikojekandidatimaotocnihodgovora?4. Za dva kruha i tri litre mlijeka treba dati 18 kuna, a za tri kruha i polalitremlijeka11kuna. Kolikajecijenakruha,akolikamlijeka?5. Vinarijaraspolazedvijemavrstamavina: prvomjecijena27.5kn/l,drugom22.5kn/l. Kupaczelikupiti100hlvinapocijeniodprosjecno24kn/l. Kolikotrebauzetiprvog,akolikodrugogvina?6. Pasgoni zecakoji senalazi 100zecjihskokovaisprednjega. Dokpasskocicetiriskoka,zecskocipet. Ako7zecjihskokovaiznosikolikoi4pseca,kolikopasmoranacinitiskokovadabidostigaozeca?7. AutobusuodAndrijevadoBrankovatrebapovoznomredu,odredenovrijeme. Ako vozi prosjecno 50km/h, stize sat prije, a ako vozi 35km/h,kasni dvasata. Kolikojevrijemepredvidenozaputi kolikajeuda-ljenostdvajumjesta?8. Dvabiciklistavozekruznomstazomduljine900m. Prvi vozi brzeiprestizedrugogsvakih18minuta. Kadabi vozili usuprotnimsmje-rovima,susretalibisesvake2minute. Kolikimbrzinamavoze?9. Zajednimautomobilomkojijekrenuoizgradakrenenakonpolasatadrugi i stigne ga nakon 2.5 sata voznje. Oba vozila produzila su voznjuu istom smjeru i nakon jednog i po sata brzi je bio 24km ispred sporijeg.Kolikesubilesrednjebrzineovihautomobila?5Problem10. Pasgonilisicukojaima60skokovaprednosti. Lisicanapravitri skokadokpasnacini dva. Tri psecaskokaiznosekolikoi 7lisicjihskokova. Koliko ceskokovamoratinapravitipasdasustignelisicu?Rjesenje: odabirvarijabli:x. . . . . .brojskokovapsay . . . . . .brojskokovalisicepostavljanjeproblema:(60 + y) : x = 7 : 3zaistuduljinukojumjerimourazlicitimkoracimaiy: x = 3 : 2zabrojskokovakojisuuistomvremenuucinile zivotinje. Nakontogarijesimo zadatak kao sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepoznan-ice.Rjesenjaproblema. Tezi dio rjesavanja je postavljanje problema:- odabir nepoznanica- postavljanje jednadzbi.1. x-cijenaboce;y-cijena cepa;x + y= 11;x y= 1;x = 10.5kn, y= 0.5kn.2. x-brojkoza,y-brojkokosi. 4x + 2y= 22,x + y= 8,3kozei5kokosi.3. x-brojtocnih,y-brojnetocnih;4x 3y= 38; x + y= 20;14tocnih,6netocnih.4. x-cijenakruha,y-cijenamlijeka,2x + 3y= 18;3x +12y= 11;kruhkosta3kn,mlijeko4kn.5. x-brojlitarapo27.5kn, y-brojlitarapo22.5kn;27.5x+22.5y100=24;x + y= 100;x = 30l,y= 70l.6. x-broj koraka koje pretrci zec, a y-broj koraka koje pretrci pas dohvatanjazeca. (100 + x) : y=7: 4; x: y=5: 4; x=250,y= 200.67. t-vrijemepovoznomredu,l-udaljenost. 50km/h =lt1;35km/h =lt+2;t = 8h,l = 350km.8. v-brzinabrzeg,u-brzinasporijeg. 18 =900vu;2 =900v+u.v= 250m/min,u = 200m/min.9. v, u-brzinabrzeg,odnosnosporijeg: 2.5 =2.5hvu;1.5 =24vu,v= 32km/h,u = 16km/h.71.2 SustavilinearnihjednadzbiLinearnajednadzbaunepoznanicamax1, x2, . . . , xnjeizrazoblika1x1 + 2x2 + . . . + nxn= .Sustavodmlinearnihjednadzbisnnepoznanicaglasi:11x1 + . . . + 1nxn= 121x1 + . . . + 2nxn= 2... =...m1x1 + . . . + mnxn= mRjesenjemsustavasmatramosvakuuredenun-torku(1, 2, . . . , n),kojasupstitucijom:xk= k, k = 1, . . . , nusvejednadzbe,prevodijednadzbeunumerickeidentitete.Matricnizapissustavajematricnajednadzba:AX= Bgdje je A matrica sustava ciji su elementi koecijenati uz nepoznanice, atipa je mn, X je jednostupcana matrica tipa n1 i B je jednostupcanamatricatipam1.Egzistencijarjesenja: postavljasepitanjekojisunuzniidovoljniuvjetidabisustavimaobaremjednorjesenje. Takvisesustavizovurjesivi,moguci ili kompatibilni. Ako sustav ne dopusta ni jedno rjesenje,kazemodajenerjesiv,nemoguciliinkompatibilan.8Primjer1. Rijesiteslijedecisustav:3x + 2y = 4x 4y = 8Rjesavanje: pomnoziliseprvajednadzbas2,dobivasesustav:6x + 4y = 8x 4y = 8.Akoseprvajednadzbapribrojidrugoj,novisustavje:6x + 4y = 87x = 16.Dijeljenjemdrugejednadzbebrojem7sustavizgledaovako:6x + 4y = 8x =167.Mnozenjem druge jednadzbe s 6 i dodavanjem prvoj, sustav ima novizapis:4y =407x =167Dijeljenjemprvejednadzbes4,sustavy =107x =167imakonacanoblikizkojegseispisujerezultatuoblikujednostupcastematrice:_xy_=_167107_U naizgled mukotrpnom nacinu rjesavanja treba uociti da se izmjenjujudvazahvatanasustavu:9- mnozenjejednejednadzbebrojem = 0- dijeljenjejednadzbebrojem = 0- dodavanjejednejednadzbedrugoj.Nakon navedenih zahvata sistem jednadzbi ostaje ekvivalentan u smisludasenemijenjajurjesenjasistema.Primjer2. Rijesitesustav:2x 3y = 26x + 9y = 3Mnozenjemprvejednadzbes3idodavanjemdrugojdobivasesustav2x 3y = 20 = 3kojizbognemogucnostiispunjenjadrugejednakostinemarjesenja.Jedinstvenostrjesenja: postavljapitanjeuzkojeceuvjetesustavimatijednojedinorjesenje. Primjersustavakojiimaviserjesenja:3x 4y = 126x + 8y = 24Rjesenje: Pomnoziseprvajednadzbabrojem2idodadrugoj,dobivasesustav:3x 4y = 120 = 0koji ima beskonacno mnogo rjesenja. Nekoliko rjesenja mozemo zapisatiutablici:x 4 0 1 2y 0 3941.5Prakticnojezapisatirjesenjeumatricnomobliku:_xy_=_43y + 4y_=_40_+ y _431_,quady R.10Zapisivanjeskuparjesenjaizvodiseumatricnomobliku.Primjer3. Rjesitesustav:x 3y + 2z = 1x + 9y + 6z = 3x + 3y + 4z = 1Mnozenjem prve jednadzbe s 1 i dodavanjem drugoj i trecoj jednadzbidobivasesustav:x 3y + 2z = 112y + 4z = 46y + 2z = 2Dijeljenjemdrugejednadzbes 2idodavanjemtrecoj,dobivase:x 3y + 2z = 112y + 4z = 40 = 0Akodrugajednadzbapodijelis-2idodaprvoj:x 9y = 312y + 4z = 40 = 0Konacnosedijeljenjemdrugejednadzbebrojem4dobivasustavx 9y = 33y + z = 10 = 0iz kojeg se ispisuje postupak za dobivanje rjesenja u matricnom, odnosnovektorskomobliku:__xyz__ =__301__ + t __913__ ,gdjejet Rparametarkojigenerirarjesenja.11Pitanjaegzistencijeijedinstvenosti rjesenja sustava jednadzbi zadiru uteorijuLinearnealgebre. Pristupacnoizlaganjelinearnealgebrenalaziseu[4].Rjesavanjesustavaprovodi se Gauss-Jordanovommetodomeliminacije,aopisanoje preglednou[5]. Takvorjesavanjeje i ekonomicno, jeriskljucuje prepisivanje oznaka za nepoznanice i znakova jednakosti.ProsirenamatricasustavaizPrimjera3glasi:__1 3 2 11 9 6 31 3 4 1__ .Prvistupaccine koecijenti prve nepoznanice pojednadzbamasustava.Naziva se vektoromkoecijenata nepoznanice ili varijable x. Analognozadrugiitrecistupac.Cetvrtistupaccinekoecijenti koji seujednadzbamanalazenadesnimstranamajednakosti. Onisenazivajuslobodnimkoecijentima.Elementarnatransformacijanadretcimamatricejedan je od slijedecihzahvata:1. Zamjenaporetkadvijuredakamatrice2. Mnozenjenekogretkamatricebrojemrazlicitimodnule3. PribrajanjejednogretkamatricenekomdrugomretkumatriceGauss-Jordanovametodaelimin