Analýza kvantitativních dat II. Míry variability : variační koeficient a další indexy
Matematická analýza II
-
Upload
harry-smoke -
Category
Documents
-
view
234 -
download
0
description
Transcript of Matematická analýza II
�
� w��������� ������������������ !"#$%&'()*+,-./0yA1
V�t�zslav Nov�k
Matematick� anal�za
Z�pisy z p�edn��ky zpracoval�
Jan �er�k
��� kv�tna ����
Obsah
I Diferenci�ln� po�et zobrazen� mezi euklidovsk�mi prostory �
� Zobrazen� mezi euklidovsk�mi prostory ���� Zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Zobrazen� a parci�ln� derivace � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Zobrazen� a sm�rov� derivace � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Zobrazen� a G�teaux�v diferenci�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Pozn�mka o line�rn�ch zobrazen�ch � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Derivace zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Zobrazen� a tot�ln� diferenci�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Zobecn�n� pojmu derivace zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Derivov�n� slo�en�ch zobrazen� a funkc� ����� Tot�ln� diferenci�l slo�en�ho zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Derivace slo�en�ho zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Sm�rov� a parci�ln� derivace slo�en�ho zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� T��dy slo�en�ch zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Slo�en� zobrazen� a funkce v�ce prom�nn�ch � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Praktick� u�it� slo�en�ch zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Transformace diferencovan�ho v�razu do jin�ch sou�adnic � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Funkce a zobrazen� dan implicitn ����� Z�kladn� pojmy � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Existence implicitn�ho zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� T��dy implicitn�ch zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Jin� existence implicitn�ho zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Pravidla pro praktick� v�po�ty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Regul�rn� zobrazen� a difeomor�smy ���� Regul�rn� zobrazen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Difeomor�smus � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Skl�d�n� regul�rn�ch zobrazen� a difeomor�sm� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�
OBSAH �
� Variety v euklidovsk�ch prostorech � ��� Pojem variety � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Te�ny� Te�n� prostory � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Norm�ly� Norm�lov� prostory � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Obecn� zad�n� variet � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Je�t� o difeomor�smu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Extrmy funkc� na variet�ch ����� Extr�my a stacion�rn� bod � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Metoda Lagrangeov�ch multiplik�tor� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Posta�uj�c� podm�nka pro extr�my na variet�ch � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
II Rieman�v integr�l v En ��
� Dvojn� integr�l ���� D�len�� Doln� a horn� sou�et � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Doln� a horn� integr�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Roz���en� pojmu integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Po��t�n� dvojn�ho integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Alternativa konstrukce dvojn�ho integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Trojn� integr�l �� �� D�len�� Doln� a horn� sou�et � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Doln� a horn� integr�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Roz���en� pojmu integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Po��t�n� trojn�ho integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Substituce ve dvojnm a trojnm integr�lu ����� Opakov�n� jednorozm�rn� situace � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Dvojrozm�rn� p��pad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Trojrozm�rn� p��pad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� Aplikace dvojnho a trojnho integr�lu ����� M�ra obd�ln�ka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Hmotnost obd�ln�ka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� T��i�t� obd�ln�ka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� M�ra kv�dru� Hmotnost a t��i�t� kv�dru � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� K�ivkov� integr�l ����� Pojem oblouku a k�ivky � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Integr�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Vlastnosti k�ivkov�ho integr�lu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
III Element�rn� metody een� diferenci�ln�ch rovnic ��
�� Z�kladn� pojmy ��
�� Nkter speci�ln� typy explicitn�ch rovnic �� ��du ������ Rovnice se separovan�mi prom�nn�mi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Homogenn� rovnice �� ��du � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Rovnice typu �racion�ln� polynom� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Line�rn� rovnice �� ��du � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Bernoulliho rovnice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
SEZNAM OBR�ZK�
�� Rovnice �� ��du neroz�e�en vzhledem k derivaci ������ Metoda zaveden� parametr� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Rovnice Clairantova � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Lagrangeova rovnice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Line�rn� rovnice �� ��du ������� Podp�rn� tvrzen� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Homogenn� rovnice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Nehomogenn� rovnice � Lagrangeova metoda � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� Polynom n�t�ho stupn� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Roz���en� polynomu n�t�ho stupn� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Dal�� roz���en� polynomu n�t�ho stupn� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Line�rn� rovnice ��du n ������� Obecn� rovnice � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Homogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Nehomogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Seznam obr�zk�
� Geometrick� v�znam implicitn� zadan� funkce � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� P��klad d�len� obd�ln�ku R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose y � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Roz���en� norm�ln� mno�iny na obd�ln�k � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Ilustrativn� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ilustrativn� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Ilustrativn� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Ilustrativn� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Ilustrativn� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Mno�ina bod� P � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Mno�ina bod� Q � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Princip p�evodu do cylindrick�ch sou�adnic � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Konstrukce sf�rick�ch sou�adnic � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Ilustra�n� obr�zek k p��kladu � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� P��klad orientovan�ho oblouku � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Situace z Greenovy v�ty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� V�se� elipsy � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�
��st I
Diferenci�ln� po�et zobrazen� mezi euklidovsk�mi
prostory
� Zobrazen� mezi euklidovsk�mi prostory
� Zobrazen�
V p�edchoz� ��sti jsme prob�rali pro funkci f � Rn �� R pojmy parci�ln� derivace� sm�rov� derivace� G�teaux�vdiferenci�l� derivace a tot�ln� diferenci�l� V t�to ��sti si probereme tyto pojmy a jejich vlastnosti pro zobrazen�f � Rn �� Rk a slo�en�ch zobrazen��
f � Rn �� Rk budeme naz�vat zobrazen� �nikoli funkce� a budeme je zna�it F � Rn �� Rk� p�esn�ji F � A ��Rk� kde A � Rn�
Nech� A � Rn a F � A �� Rk a x � A� Pak F �x� � Rk� F �x� � �y�� � � � � yk�� tak�e yi � fi�x� pro i � �� � � � � k� kdef�� � � � � fk � A �� R� F �x� � �f��x�� � � � � fk�x��� F tedy ur�uje uspo��danou k�tici funkc� n�prom�nn�ch de�novan�chna A � Rn�
Naopak je�li �f�� � � � � fk� uspo��dan� k�tice funkc� de�novan�ch na A � Rn� pak ur�uje zobrazen� F � A �� Rk�F �x� � �f��x�� � � � � fk�x���
f�� � � � � fk nazveme souadnice zobrazen� F � F � �f�� � � � � fk�� ozna��me fi�x� � pri F �x��
Ozna�en� Ozna�me En mno�inu Rn s euklidovskou metrikou� D�le ozna�me Vn mno�inu Rn jako vektorov� prostor�S p�edchoz�m ozna�en�m m�me tyto varianty zobrazen�
� En �� Ek
� En �� Vk
� Vn �� Ek
� Vn �� Vk
Line�rn� zobrazen� m��e b�t jedin� zobrazen� F � Vn �� Vk�Sou�et zobrazen� a n�sobek re�lnou funkc�
�F �G��x� � F �x� �G�x� ���
�g � F ��x� � g�x� � F �x�� ���
kde F a G je nutno bu! En �� Vk nebo Vn �� Vk�
�� Zobrazen� a parci�ln� derivace
De�nice ��� Parci�ln� derivace
Bu! F � En �� Ek zobrazen�� x� � �x��� � � � � x�n� � �F � i � f�� � � � � ng� Existuje�li
limt���
F ��x��� x��� � � � � x
�i��� x
�i � t� x�i��� � � � � x
�n��� F �x��
t�
naz�v�me ji parci�ln� derivac� zobrazen� F v bod� x� podle i�t� prom�nn� a zna��me ji
�F
�xi�x��
�� F �xi�x�� � Fxi�x�� � F �ji�x��
�Jde o limitu vektoru ve Vk� tj� tato limita je rovna�
limt���
f���x��� x
��� � � � � x
�i��� x
�i � t� x�i��� � � � � x
�n��� f��x��
t� � � �
� � � � limt���
fk��x��� x
��� � � � � x
�i��� x
�i � t� x�i��� � � � � x
�n��� fk�x��
t
��
��f��xi
�x��� � � � � �fk�xi
�x��
��
� � ZOBRAZEN� MEZI EUKLIDOVSK MI PROSTORY
Vta ���Zobrazen� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek m� v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn�� pr�v� kdy� v�echny
sou�adnice tohoto zobrazen� maj� v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn��
D�kaz� Podle "vahy v de�nici ��� plat�
�F
�xi�
��f��xi
�x��� � � � � �fk�xi
�x��
��
�
Ozna�en�
�� x � �x�� � � � � xn� � � � je bod�
�� u � �u�� � � � � un� � � � je vektor�
�� F � �f�� � � � � fk� � � � je zobrazen��
Parci�ln� derivace �F�xi
je zobrazen� En �� Vk� p�i�em� � �F�xi
je mno�ina takov�ch bod� x� ve kter�ch existujeparci�ln� derivace zobrazen� F podle i�t� prom�nn�� Parci�ln� derivace tohoto zobrazen� podle j�t� prom�nn� budemezna�it
��F
�xi �xj�
Obecn� lze uva�ovat �mF
�xi� � � ��xim�
Vta ���Zobrazen� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek m� v bod� x� parci�ln� derivaci ��du m podle prom�nn�ch s indexy
i�� � � � � im� pr�v� kdy� v�echny jeho sou�adnice maj� tuto parci�ln� derivaci� V tomto p��pad� plat�
�mF
�xi� � � � �xim�x�� �
��mf�
�xi� � � � �xim�x��� � � � � �mfk
�xi� � � ��xim�x��
��
D�kaz� Je z�ejm�� �
De�nice ���Bu! G � En otev�en� mno�ina a F � En �� Ek� #�k�me� �e F je t�dy Cm na mno�in� G �p��eme F � Cm�G���
m��li F na G spojit� v�echny parci�ln� derivace ��du m�
Vta ���Zobrazen� F je t��dy Cm na otev�en� mno�in� G� pr�v� kdy� v�echny sou�adnice F jsou t��e t��dy�
D�kaz� Plyne ihned z v�ty ���� �
Z�m�nnost parci�ln�ch derivac� ��du m v bod� x� nez�vis� na po�ad�� v jak�m se derivuje
�mF
�xi� � � � �xim�x�� �
�mF
�xj� � � � �xjm�x���
kdykoli� kdy pro �k � �� � � � �m plat� jk � ��ik�� kde � � Sm��
Vta ���Nech� F � En �� Ek� m � N� G � En otev�en� a F � Cm�G�� Pak jsou parci�ln� derivace ��du m zobrazen� F
z�m�nn� na G�
D�kaz� D�kaz je samoz�ejm� op�t z�ejm� �s odvol�n�m na v�tu ����� �
�Sm je samoz�ejm� symetrick� grupa permutac� ��du m�
�� Zobrazen� a sm�rov� derivace
�� Zobrazen� a sm�rov� derivace
De�nice ��� Sm�rov� derivace
Bu! F � En �� Ek zobrazen�� x� � �F � u � Vn� Jestli�e existuje limita
limt���
F �x� � tu�� F �x��
t�
naz�v�me ji sm�rovou derivac� zobrazen� F ve sm�ru u v bod� x� a zna��me ji
F �u�x���
Ozna�en� Ozna��me �e�� � � � � en� kanonickou ortonorm�ln� b�zi Vn� Pak samoz�ejm� plat� rovnost
F �ei�x�� � F �ji�x���
Vta �� Zobrazen� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek m� v bod� x� derivaci ve sm�ru u� pr�v� kdy� v�echny sou�adnice
zobrazen� F maj� v bod� x� derivaci ve sm�ru u�
D�kaz� Rozeps�n�m vektoru x� � tu z de�nice �� do sou�adnic obdr��me ihned tvrzen� v�ty
F �u�x�� � ��f���u�x��� � � � � �fk�
�u�x��� �
�
Nech� u � Vn� Pak F �u � En �� Vk je zobrazen�� lze tedy uva�ovat jeho sm�rovou derivaci ve sm�ru v� kteroubudeme zna�it
F ��u�v � �F �u��v �
obecn�
F �m�u������um
��F �m���u������um��
��um
�
Vta ���Nech� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek� m � N� u�� � � � �um � Vn a x� � �F � Pak sm�rov� derivace
F �m�u������um
�x��
existuje� pr�v� kdy� existuj� sm�rov� derivace�fi�
�m�u������um
�x��
pro �i � �� � � � � k� V tomto p��pad� plat�
F �m�u������um
�x�� �h�f��
�m�u������um
�x��� � � � � �fk��m�u������um
�x��i�
D�kaz� Je z�ejm�� �
�� Zobrazen� a G�teaux�v diferenci�l
De�nice ���� G�teaux�v diferenci�l
#�k�me� �e zobrazen� F � En �� Ek m� v bod� x� G�teaux�v diferenci�l� jestli�e sm�rov� derivace F �u�x��existuje pro �u � Vn� V tom p��pad� zobrazen� �F �x�� � Vn �� Vk dan� p�edpisem
�F �x���u� � F �u�x��
se naz�v� G�teaux�v diferenci�l zobrazen� F v bod� x��
Vta ����Zobrazen� F � En �� Ek m� v bod� x� G�teaux�v diferenci�l� pr�v� kdy� sou�adnice F maj� v bod� x� G�teaux�v
diferenci�l� V tomto p��pad� plat� �F �x�� � ��f��x��� � � � � �fk�x��� �
D�kaz� Plyne bezprost�edn� z de�nice ���� a z v�ty �� � �
� ZOBRAZEN� MEZI EUKLIDOVSK MI PROSTORY
Z p�edchoz� ��sti v�me
f �cu�x�� � cf �u�x��
�f�x���cu� � c�f�x���u�
f �u�v�x�� � f �u�x�� � f �v�x��
Tedy m��eme dedukovat
F �cu�x�� � cF �u�x��
�F �x���cu� � c�F �x���u�
F �u�v�x�� � F �u�x�� � F �v�x��
�F �x���u� v� � �F �x���u� � �F �x���v�
�� Pozn�mka o line�rn�ch zobrazen�ch
Bu! � Vn �� Vk � je line�rn� zobrazen�� jestli�e je aditivn� a homogenn�� tj� spl$uje rovnice
�u� v� � �u� � �v�
�cu� � c�u�
pro �u�v � Vn a �c � R�Rozep��eme�li do sou�adnic � ���� � � � � �k�
�u� v� � ����u� v�� � � � � �k�u� v��
�cu� � ����cu�� � � � � �k�cu��
tedy
� je aditivn�� pr�v� kdy� ��i jsou aditivn�� i � �� � � � � k�
� je homogenn�� pr�v� kdy� ��i jsou homogenn�� i � �� � � � � k�
Tvrzen� Zobrazen� � Vn �� Vk je line�rn�� pr�v� kdy� v�echny sou�adnice jsou line�rn�mi formami�Nech� � ���� � � � � �k� je line�rn�� Ozna�me �i�ej� � aij � A � �aij� matice typu �k� n�� Nech� u � �u�� � � � � un� je
libovoln� vektor ve Vn�Nyn� po��tejme
�u� � ����u�� � � � � �k�u�� �
����
�� nX
j��
ujej
A � � � � � �k
�� nX
j��
ujej
A� �
�
�� nXj��
uj���ej�� � � � �nXj��
uj�k�ej�
� �
�
�� nXj��
a�juj � � � � �nXj��
akjuj
�
De�nujme skal�rn� sou�in matice A � �aij� typu �k� n� a n�rozm�rn�ho vektoru u takto
Au �
�� nXj��
a�juj � � � � �nXj��
akjuj
� �
neboli �BBB�
a�� a�� � � � a�na�� a�� � � � a�n���
���� � �
���ak� ak� � � � akn
CCCA � �u�� � � � � un� � �a��u� � � � �� a�nun� � � � � ak�u� � � � �� aknun��
�� Derivace zobrazen� �
Tuto operaci lze ch�pat jako maticov� sou�in
Au ��A � uT T �
Tvrzen� Plat�
A�u � v� � Au�Av
�A�B�u � Au�Bu
A�Bu� � �A � B�u
Je�li A matice typu �k� n�� � Vn �� Vk a pro �u �u� � Au� pak je line�rn�� Je�li � ���� � � � � �k�� pak proprvky aij matice A plat� aij � �i�ej��
� ���� � � � � �k� � Vn �� Vk je line�rn�� pr�v� kdy� existuje matice A � aij typu �k� n� takov�� �e �u� � Au prolibovoln� u � Vn� pak plat� aij � �i�ej�� Ozna��me A � ���
�� Derivace zobrazen�
Nech� F � En �� Ek� nech� existuje G�teaux�v diferenci�l �F �x�� � Vn �� Vk a p�edpokl�dejme� �e je line�rn��podle p�edchoz�ho odstavce�� Pak existuje matice A � �aij� typu �k� n�� �e �F �x���u� � Au pro �u � Vn� P�itom
aij � �fi�x���ej� � �fi��ej�x�� �
�fi�xj
�x���
Matici
A �
�BBBB�
�f��x�
�x���f��x�
�x�� � � � �f��xn
�x���f��x�
�x���f��x�
�x�� � � � �f��xn
�x�����
���� � �
����fk�x�
�x���fk�x�
�x�� � � � �fk�xn
�x��
CCCCA
nazveme Jacobiova matice zobrazen� F v bod� x� nebo Jacobiova matice syst�mu funkc� �f�� � � � � fk��
De�nice ���� Derivace
Zobrazen� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek m� derivaci v bod� x�� m��li v tomto bod� G�teaux�v diferenci�l�F � Vn �� Vk� kter� line�rn� zobrazuje Vn �� Vk�
Derivac� zobrazen� F v bod� x� rozum�me Jacobiovu matici zobrazen� F v bod� x�� tj
F ��x�� ���fi�x��
�xj
���i�k���j�n
� ��F �x����
Pro k � n naz�v�me determinant detF ��x�� Jakobi�v determinant�
Vta ����Zobrazen� F m� v bod� x� derivaci� pr�v� kdy� v�echny jeho sou�adnice maj� v bod� x� derivaci�
Zejm�na je�li F � C��G�� G � En otev�en�� pak existuje F ��x� pro libovoln� x � G�
D�kaz� Bezprost�edn� plyne z platnosti n�sleduj�c�ho tvrzen� M�jme F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek� �F �x�� � ��f��x��� � � � � �fk�x��� � Vn �� Vk je line�rn�� pr�v� kdy� pro
i � �� � � � � k jsou �fi�x�� jsou line�rn� formy� �
P�edpokl�dejme� �e F � �f�� � � � � fk� m� derivaci v bod� x�� Pak
F �u�x�� � �F �x���u� � F ��x��u �
�B�
�f��x�
�x���f��x�
�x�� � � � �f��xn
�x�����
���� � �
����fk�x�
�x���fk�x�
�x�� � � � �fk�xn
�x��
CA �u�� � � � � un� �
�
��f��x�
�x�� � u� � � � �� �f��xn
�x�� � un� � � � � �fk�x�
�x�� � u� � � � �� �fk�xn
�x�� � un��
�� � ZOBRAZEN� MEZI EUKLIDOVSK MI PROSTORY
Nech� F � �f�� � � � � fk� m� derivaci v bod� x�� Pak �u � �u�� � � � � un� plat�
F �u�x�� � F ��x��u �
��f��x�
�x�� � u� � � � �� �f��xn
�x�� � un� � � � � �fk�x�
�x�� � u� � � � �� �fk�xn
�x�� � un��
�
�� nXj��
�f��xj
�x�� � uj � � � � �nXj��
�fk�xj
�x�� � uj� �
P��klad ���M�jme F � E� �� E�� F �x� y� z� �
�x� � y� � z�� xyz� ex
��z��
� Vypo�t�te F ��x�� y�� z�� a F �u�x�� y�� z��� kde
�x�� y�� z�� � E� je libovoln� a u � �u�� u�� u�� � V� libovoln��
� F � existuje� nebo� F � C��E���
�
F ��x�� y�� z�� �
�� x� y� z�
y�z� x�z� x�y�ex
��z� � x� � ex��z� � z�
A �
�F �u�x�� y�� z�� �
hx�u� � y�u� � z�u�� y�z�u� � x�z�u� � x�y�u�� e
x��z� � x�u� � ex��z� � z�u�
i�
�h�x�u� � y�u� � z�u��� y�z�u� � x�z�u� � x�y�u�� e
x��z� � �x�u� � z�u��i�
�� Zobrazen� a tot�ln� diferenci�l
De�nice ���� Tot�ln� diferenci�l
Zobrazen� F � En �� Ek se naz�v� diferencovateln� v bod� x� � En� je�li de�nov�no na n�jak�m okol� bodu x�a existuje�li line�rn� zobrazen� � Vn �� Vk takov�� �e plat�
limu���
F �x� � u�� F �x��� �u�
jjujj � ��
Pak zobrazen� se naz�v� tot�ln� diferenci�l zobrazen� F v bod� x� a zna�� se dF �x�� � �
Vta ����F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek je v bod� x� diferencovateln�� pr�v� kdy� v�echny jeho sou�adnice jsou diferencova�
teln� v bod� x�� V tomto p��pad� plat�
dF �x�� � �df��x��� � � � � dfk�x����
D�kaz� Rozep��eme�li jak zobrazen� F tak zobrazen� do sou�adnic� vid�me� �e v�ta plat�� �
D�sledek ����
�� Je�li F diferencovateln� v bod� x�� je spojit� v tomto bod��
�� Existuje�li dF �x��� pak existuje �F �x�� a jsou si rovny�
�� Existuje�li dF �x��� pak existuje F ��x�� a pro libovoln� u � Vn plat� dF �x���u� � F ��x��u�
� Jestli�e G � En otev�en� a F � C��G�� pak existuje dF �x� pro �x � G�
Tento d�sledek ��k� toto Nech� F � En �� Ek a G � En otev�en�� Pak plat� F � C��G� � �x � G�dF �x� � F je spojit�� Mimo to
tak� �x � G�dF �x� � �x � G�F ��x� � �x � G��F �x� � �x � G a i � f�� � � � � ng � �F�xi
�x��
De�nice ����#�k�me� �e F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek m� v bod� x� tot�ln� diferenci�l �du m � N� jestli�e v�echny sou�adnice
f�� � � � � fk maj� v bod� x� tot�ln� diferenci�l ��du m� V tomto p��pad� rozum�me pod tot�ln�m diferenci�lem dmF �x��zobrazen� Vn �� Vk dan� p�edpisem
dmF �x�� � �dmf��x��� � � � � dmfk�x����
�� Zobecn�n� pojmu derivace zobrazen� ��
�� Zobecn�n� pojmu derivace zobrazen�
Nech� F � �f�� � � � � fk� � En �� Ek � �i�� � � � � im� je n�jak� posloupnost navz�jem r�zn�ch ��sel z f�� � � � � ng� Ozna�me�i�� � � � � im� � i� Uva�ujme F jako funkci sou�adnic xi� � � � � � xim � ostatn� sou�adnice nech� jsou libovoln�� ale pevn��M��li toto zobrazen� derivaci v bod� �xi� � � � � � xim�� nazveme ji Jacobiovou matic� F v bod� x � �xi� � � � � � xim� vzhledemk i�t�m sou�adnic�m� zna��me ji F �ji�x� a je rovna
F �ji�x� �
�BB�
�f��xi�
�x� � � � �f��xim
�x�
���� � �
����fk�xi�
�x� � � � �fk�xim
�x�
CCA
a je typu �k�m��Je�li k � m� pak detF �ji�x� nazveme Jacobiov�m determinantem zobrazen� F vzhledem k i�t�m prom�nn�m�
Je�li i � �i�� pak F �ji�x� ��F �x��xi
�
Je�li i � ��� � � � � n�� pak F �ji�x� � F ��x��O zobrazen� F �ekneme� �e je t��dy C� vzhledem k i�t�m prom�nn�m na G otev�en� mno�in�� m��li F na G spojit�
parci�ln� derivace podle i�t�ch prom�nn�ch�M�jme f � En �� R� Pak plat�
f�x� � u� � f�x�� � f ��x� ��u�u
M�me�li F � En �� Ek� pak tvrzen�
F �x� � u� � F �x�� � F ��x� ��u�u
neplat��M�jme zobrazen� F � �f�� � � � � fk�� pak m�me
f��x� � u� � f��x�� � f ���x� ���u�u
f��x� � u� � f��x�� � f ���x� ���u�u
���
fk�x� � u� � fk�x�� � f �k�x� ��ku�u
Nech� je G otev�en� mno�ina v En� F � C��G�� x� � G� u � Vn a x� x� � u � G� Nyn� po��tejme�
f��x� � u� � f��x�� � f ���x� ��u�u �
� f��x�� � f ���x��u� f ���x� ��u�u� f ���x��u�
Ozna�me r��u� � f ���x� ��u�u� f ���x��u�
tak�e r� � Vn �� Vn alim
u���r��u� � ��
Tedy f��x� � u� � f��x�� � f ���x��u� r��u�u�
kde r� � Vn �� Vn a limu��� r��u� � ��Analogicky plat� rovnice
f��x� � u� � f��x�� � f ���x��u� r��u�u�
������
���
fk�x� � u� � fk�x�� � f �k�x��u� rk�u�u�
�� � ZOBRAZEN� MEZI EUKLIDOVSK MI PROSTORY
kde r�� � � � � rk � Vn �� Vn a plat�
limu���
r��u� � ��
������
���
limu���
rk�u� � �
Ozna�me R �
�B� r�
���rk
CA nebo podrobn�ji� je�li ri � �ri�� � � � � rin�� i � �� � � � � k� pak
R �
�B� r�� � � � r�n
���� � �
���rk� � � � rkn
CA �
Tedy je R � Vn �� Mat�k�n� a je de�nov�n skal�rn� sou�in R�u�v pro libovoln� dva vektory u�v � Vn� R�u�v � Vk�Plat� tedy v�ta
Vta ��� Nech� F � En �� Ek� G � En otev�en� mno�ina� F � C��G�� x� � G� u � Vn a x� x� � u � G� Pak existuje
zobrazen� R � Vn �� Mat�k�n�� limu���R�u� � �k�n� �e plat�
F �x� � u� � F �x�� � F ��x��u�R�u�u�
��
� Derivov�n� slo�en�ch zobrazen� a funkc�
�� Tot�ln� diferenci�l slo�en�ho zobrazen�
M�jme F � En �� Ek a G � Ek �� El� p�i�em� A � �F a F �A� � �G� Pak na A existuje slo�en� zobrazen� G � F �kde
�G � F ��x� � �G�F �x���
pro x � A�Speci�ln� pro l � � je g � Ek �� R funkc� k prom�nn�ch a g � F je rovn�� funkc� �a to n prom�nn�ch�� p�i�em�
je�li F � �f�� � � � � fk�� pak pro x � A je
�g � F ��x� � g�f��x�� � � � � fk�x���
Vta ���Nech� n� l� k � N� F � En �� Ek� G � Ek �� El jsou zobrazen� a nech� F je diferencovateln� v bod� x� � En a
G je diferencovateln� v bod� y� � F �x��� Pak G � F je diferencovateln� v bod� x� a plat�
d�G � F ��x�� � dG�y�� � dF �x�� � dG�F �x��� � dF �x���D�kaz� Ozna�me dF �x�� � � dG�y�� � � tak�e � Vn �� Vk je line�rn� zobrazen�� � Vk �� Vl je line�rn�zobrazen� a plat�
limu���
F �x� � u�� F �x��� �u�
jjujj � ��
Ozna�me
��u� �F �x� � u�� F �x����u�
jjujj �
tak�e limu��� ��u� � �� Vyn�soben�m jjujj dost�v�me rovnici
F �x� � u�� F �x�� � �u� � jjujj��u��co� lze vz�t za de�ni�n� vztah pro tot�ln� diferenci�l� Plat� tedy rovnice
F �x� � u�� F �x�� � �u� � jjujj��u��G�y� � v� �G�y�� � �v� � jjvjj��v��
kde limu��� ��u� � limv��� ��v� � �� kde u � Vn a v � Vk�Zvolme libovoln� vektor u � Vn� u � � a ozna�me
F �x� � u�� F �x�� � v�
Pak F �x� � u� � F �x�� � v a d�le v � �u� � jjujj��u�� p�i�em� limu��� ��u� � ��Odtud
�G � F ��x� � u�� �G � F ��x�� � G�F �x� � u���G�F �x��� � G�y� � v��G�y�� � �v� � jjvjj��v� �� ��u� � jjujj��u�� � �����u� � jjujj��u����� � ���u� � jjujj��u�� �� ��u�� � jjujj ���u�� �
�����u� � jjujj��u����� � ���u� � jjujj��u�� �
� � ���u� � jjujj � � ���u�� �
�����u� � jjujj��u�����jjujj � ���u� � jjujj��u�� �
� � ���u� � jjujj � �u��kde
�u� � ���u�� �
�����u� � jjujj��u�����jjujj � ���u� � jjujj��u���
Sta�� uk�zat� �e limu��� �u� � �� Proto�e je line�rn�� tedy spojit� a ��� � �� z rovnosti limu��� ��u� � �
plyne rovnost limu��� ���u�� � ��
� �� DERIVOV�N� SLO�EN CH ZOBRAZEN� A FUNKC�
D�le z nerovnosti �����u� � jjujj��u����� jj�u�jj� jjujj � jj��u�jjplyne nerovnost �����u� � jjujj��u�����
jjujj ���������
u
jjujj���������� jj��u�jj�
je line�rn�� tedy spojit� zobrazen� a mno�ina v�ech jednotkov�ch vektor� je kompaktn� ve Vn a z Weierstrassovy
v�ty plyne� �e �
ujjujj
�je omezen�� D�le v�me� �e limu��� ��u� � �� tak�e v jist�m okol� nulov�ho vektoru je jj��u�jj
omezen�� Tedy funkce �����u� � jjujj��u�����jjujj
je omezen� na n�jak�m okol� nulov�ho vektoru�D�le je limu����u� � � a limu��� jjujj��u� � �� Odtud tedy limu��� ���u� � jjujj��u�� � ��Celkem tedy m�me limu��� �u� � �� tak�e G � F je diferencovateln� zobrazen� v bod� x� a plat� rovnost
d�G � F ��x�� � � � dG�y�� � dF �x���
�
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x� � y�� xy��
G � E� �� E�� G�x� y� �
�x� � y��
x
y
��
Vypo�t�te d�G � F ���� ���Ob� zobrazen� jsou t��dy C� na sv�m de�ni�n�m oboru� tedy dF i dG existuj��F ��� �� � �� ��� tak�e podle v�ty ��� m��eme po��tat
d�G � F ���� �� � dG�� �� � dF ��� ��
Derivace
F ��x� y� ��
x yy x
�� F ���� �� �
� � �
��
G��x� y� ��
x �y�y
� xy�
�� G��� �� �
�� �� �
��
a tedy tot�ln� diferenci�ly vypadaj� takto
dF ��� ���u� �
� � �
��u�� u�� � �u� � u�� u� � u���
dG�� ���u� �
�� �� �
��u�� u�� � ��u� � u�� u� � u���
Tot�ln� diferenci�l slo�en�ho zobrazen� je tedy
d�G � F ���� ���u� � ���u� � u��� �u� � u��� u� � u� � �u� � u��� � ��u� � �u�� ���
P��klad lze v�ak �e�it p��mo
�G � F ��x� y� ���x� � y��� � �xy���
x� � y�
xy
��
�x � x�y� � y�
x
y�y
x
��
��� Derivace slo�en�ho zobrazen� ��
Derivace G � F je
�G � F ���x� y� ��
�x� � xy� x�y � �y��y� y
x�� x
y�� �
x
��
dosazen�m
�G � F ����� �� ��
� �� �
�a tot�ln� diferenci�l
d�G � F ���� ���u� ��
� �� �
��u�� u�� � ��u� � �u�� ���
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x� y� x� � y�� x� � y���
G � E� �� E�
je diferencovateln� v bod� �� � �� p�i�em�
dG�� � ��v� � �v� � v� � �v�� v� � v� � v���
Vypo�t�te d�G � F ���� ���F ��� �� � �� � � a F � C��E��� tedy d�G � F ���� �� existuje a je
d�G � F ���� �� � dG�� � � � dF ��� ���Zobrazen� F
F ��x� y� �
�� � �
x y�x� �y�
A � F ���� �� �
�� � �
� �
A �
dF ��� ���u� �
�� � �
� �
A �u�� u�� � �u� � u�� u� � u�� �u� � �u���
Zb�v� vypo��tat tot�ln� diferenci�l �G � F � d�G �F ���� ���u� � ��u� � u��� u�� u�����u���u��� u�� u� �u� �u���u���u�� � ��u���u�� �u���u���
��� Derivace slo�en�ho zobrazen�
Vta ���Nech� F � En �� Ek� G � Ek �� El� x� � En� d�le nech� F je diferencovateln� v bod� x� a G je diferencovateln�
v bod� y� � F �x��� Pak �G � F ���x�� � G��y�� � F ��x���Speci�ln� je�li A � �F otev�en�� F � C��A� a G � C��F �A��� pak G �F � C��A� a pro �x � A plat� �G �F ���x� �
G��F �x�� � F ��x��D�kaz� Ob� derivace G��y�� a F ��x�� existuj� �tvrzen� � d�sledku ������
Ozna�me H � G � F � Podle v�ty ��� m� H v bod� x� tot�ln� diferenci�l dH�x�� a tedy i H ��x��� p�i�em�
dH�x���u� � �H ��x���u�
D�le podle v�ty ��� dH�x�� � dG�y�� � dF �x��� tak�e pro libovoln� vektor u � Vn plat�
H ��x��u � dH�x���u� � �dG�y�� � dF �x����u� �� dG�y���dF �x���u�� � dG�y���F
��x��u� �
� G��y���F ��x��u� � �G��y�� � F ��x���upodle pozn�mky o line�rn�m zobrazen� �odstavec ����� Proto�e to v�ak plat� pro libovoln� vektor u � Vn� plyne odtudtvrzen� v�ty� �e
H ��x�� � G��y�� � F ��x���Druh� tvrzen� plyne z prvn�ho� nebo� je�li F � C��A� a G � C��F �A��� je F diferencovateln� v libovoln�m bod�
x � A a G je diferencovateln� v libovoln�m bod� y � F �A�� �
�� �� DERIVOV�N� SLO�EN CH ZOBRAZEN� A FUNKC�
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x� � y�� xy��
G � E� �� E�� G�x� y� �
�x� � y��
x
y
��
Vypo�t�te H ���� ���V�po�et tohoto p��kladu p�enech�v�me na �ten��i� Pro kontrolu uv�d�me v�sledek
H ���� �� ��
� �� �
�
a tak� malou n�pov�du� I tento p��klad lze �e�it u�it�m v�ty ���� ale i p��mo�
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x�y�� x� � y���
G � E� �� E�
je diferencovateln� v bod� ��� �� adG��� ���v� � �v� � v�� v� � v���
Vypo�t�te H �������� kde H � G � F �F ������ � ��� ��� tedy H ������� � G���� �� � F ��������
F ��x� y� ��
xy� x�yx �y
�� F ������� �
� �
��
D�le
G���� �� ��
a�� a��a�� a��
��
kde A�v�� v�� � �v� � v�� v� � v��� Tedy
A �
� �� ��
�� G���� �� �
� �� ��
��
Kone�n� tedy
H ������� ��
�� ��
���
�
��
�� �� ��
��
��� Sm�rov� a parci�ln� derivace slo�en�ho zobrazen�
Vta ���Nech� F � En �� Ek� G � Ek �� El� u � Vn� Nech� existuje F �u�x�� a nech� G je diferencovateln� v bod�
y� � F �x��� Pak H � G � F m� derivaci ve sm�ru u a plat�
H �u�x�� � G��y��F �u�x���
Zejm�na m��li F v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn� a je�li G diferencovateln� v bod� y� � F �x���m� H v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn� a plat�
H �ji�x�� � G��y��F �ji�x���
��� T�dy slo�en�ch zobrazen� �
D�kaz� Polo�me K�t� � F �x� � tu�� K � R �� Ek� K��� � F �x�� � y�� Existuje oby�ejn� derivace K ���� � F �u�x��a proto�e K je zobrazen� z R� z existence K ���� plyne existence dK���� p�i�em� plat� dK����t� � K ����t� speci�ln�K ���� � dK�������
Podle v�ty ��� zobrazen� L � G �K je diferencovateln� v bod� � a dL��� � dG�y�� � dK���� speci�ln� dL������ ��dG�y�� � dK��������
Av�ak L�t� � G�F �x� � tu�� � H�x� � tu�� tak�e dL������ � L���� � H �u�x���
Celkem tedy
H �u�x�� � dL������ � �dG�y�� � dK������� � dG�y���dK������� �
� dG�y���F�u�x��� � G��y��F �u�x���
�
��� T�dy slo�en�ch zobrazen�
Vta ���Nech� F � En �� Ek� G � Ek �� El� A � En otev�en� mno�ina� F � Cm�A� a G � Cm�F �A��� Pak
G � F � Cm�A��
D�kaz� Indukc� Pro m � � v�ta plat�� Nech� plat� pro m� � a nech� jsou spln�ny p�edpoklady indukce� Pro libovoln�x � A a libovoln� i � f�� � � � � ng plat� pro H � G � F
H �ji�x� � G��F �x��F �ji�x��
Podle p�edpoklad� F �ji m� spojit� parci�ln� derivace a� do ��du m � � a G� je matice� jeji� prvky maj� spojit�parci�ln� derivace ��du m � �� Tedy H �
ji m� spojit� parci�ln� derivace ��du m � � pro i � �� � � � � n a x � A� z �eho�
plyne� �e H m� spojit� parci�ln� derivace ��du m� �
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x� � y�� xy��
G � E� �� E�� G�x� y� �
�x� � y��
x
y
��
H � G � F�Vypo�t�te �H
�x��� ���
F ��� �� � �� ��� F m� parci�ln� derivaci podle x a G je diferencovateln� v bod� �� ��� To znamen�� �e
�H
�x��� �� � G��� ��
�F
�x��� ���
Z p��kladu ��� v�me� �e
G��� �� ��
� �� �
��
Po��tejme �F
�x� �x� y��
�F
�x��� �� � �� ���
Celkem tedy�H
�x��� �� �
�� �� �
��� �� � ��� ���
I tento p��klad lze �e�it p��m�m v�po�tem H�x� y� ��x � x�y� � y�� x
y� y
x
�� Pak
�H
�x�
��x� � xy��
�
y� y
x�
��
�H
�x��� �� � ��� ���
� �� DERIVOV�N� SLO�EN CH ZOBRAZEN� A FUNKC�
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x�y�� x� � y���
G � E� �� E�
je diferencovateln� v bod� ��� �� adG��� ���v� � �v� � v�� v� � v���
Vypo�t�te �H�x
������� je�li H � G � F �F ������ � ��� ��� tak�e
�H
�x������ � G���� ��
�F
�x�������
Z p��kladu �� v�me� �e
G���� �� ��
�� ��
��
Po��t�me �F
�x� �xy�� x��
�F
�x������ � �� ��
Kone�n� �H
�x������ �
� �� ��
��� � � ��� ���
��� Slo�en� zobrazen� a funkce v�ce prom�nn�ch
Pro praxi je nejd�le�it�j�� skl�d�n� zobrazen� a funkce v�ce prom�nn�ch �tedy skl�d�n� zobrazen�� kde l � ��� proto�eje�li g � Ek �� R� pak h � g � F � En �� R je tak� funkce�
Vta ���Nech� F � En �� Ek� g je funkce k prom�nn�ch� x� � �F a g je diferencovateln� v bod� y� � F �x��� Pak pro
funkci h � g � F plat�
�� je�li F diferencovateln� v bod� x�� je h diferencovateln� v bod� x� a plat� dh�x�� � dg�y�� � dF �x����� je�li F � C��A�� g � C��F �A��� pak h � C��A� a pro x � A je h��x� � g��F �x�� � F ��x���� m��li F v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn�� m� h v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn�
a plat� h�ji�x�� � g��y��F �ji�x����
� je�li F � Cm�A� a g � Cm�F �A��� pak h � Cm�A��
D�kaz� V�echna tvrzen� jsou specializac� p�ede�l�ch v�t pro l � �� �
P��klad ���M�me zad�no
F � E� �� E�� F �x� y� � �x� � y�� xy��
g � E� �� R� g�x� y� � x� � y��
h � g � F�Vypo�t�te �h
�x��� ���
Po��tejme
�F
�x� �x� y��
�F
�x��� �� � �� ���
g��x� y� � �x��y�� F ��� �� � �� ��� g��� �� � ������Celkem tedy
�h
�x� ������� �� � ��
I zde lze po��tat p��mo a parci�ln� derivovat funkci h�x� y� � x � x�y� � y��Zde se jedn� o oby�ejn� skal�rn� sou�in dvou vektor��
��� Praktick� u�it� slo�en�ch zobrazen� ��
��� Praktick� u�it� slo�en�ch zobrazen�
V praxi se nej�ast�ji pou��v� tvrzen� � v�ty ���� kter� vyjad�uje parci�ln� derivaci funkce� Proto se na ni pod�vejmepodrobn�ji�
Nech� zobrazen� F � �f�� � � � � fk�� P�edpokl�dejme� �e F m� v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn�� tj�f�� � � � � fk maj� v bod� x� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn�� D�le nech� y� � F �x��� tj�
y� � �y�� � � � � � y�k� � �f��x��� � � � � fk�x���
a nech� funkce g�y�� � � � � yk� je diferencovateln� v bod� y�� Pak h � g � F � tj�
h�x�� � � � � xn� � g�f��x�� � � � � xn�� � � � � fk�x�� � � � � xn��
m� parci�ln� derivaci podle i�t� prom�nn� v bod� x� a plat�
�h
�xi�x�� � g��y��
�F
�xi�x�� �
��g
�y��y��� � � � �
�g
�yk�y��
� ��f��xi
�x��� � � � ��fk�xi
�x��
��
��g
�y��y�� � �f�
�xi�x�� �
�g
�y��y�� � �f�
�xi�x�� � � � �� �g
�yk�y�� � �fk
�xi�x���
Tento vzorec se l�pe pamatuje v tomto tvaru
�z
�xi�
�z
�y�� �y��xi
��z
�y�� �y��xi
� � � �� �z
�yk� �yk�xi
�
kde�z
�xi�
�h
�xi�x���
�z
�yj�
�g
�yj�y���
�yj�xi
��fj�xi
�x���
Speci�ln� pro k � n � ozna��me�li z � z�u� v�� u � u�x� y� a v � v�x� y�� pak parci�ln� derivace z jsou
�z
�x�
�z
�u� �u�x
��z
�v� �v�x
�
�z
�y�
�z
�u� �u�y
��z
�v� �v�y
�
��� Transformace diferencovan�ho v�razu do jin�ch souadnic
Velmi �astou "lohou je transformace diferencovan�ho v�razu do jin�ch sou�adnic� M�me nap��klad za "kol transfor�movat v�raz �
�z
�x
��
�
��z
�y
��
do pol�rn�ch sou�adnic v A � f�x� y� � E� j x �� y �g�Transforma�n� rovnice m�me
x � cos��
y � sin��
p�i�em�
�px� � y��
� � arctgy
x�
M�me tedy funkci z � z�� ��� �px� � y� a � � arctg y
x�
A u� m��eme po��tat
�z
�x�
�z
�
�
�x�
�z
��
��
�x�
�z
�
xpx� � y�
��z
��
�yx� � y�
�
��z
�cos�� �z
��
sin�
�
�� �� DERIVOV�N� SLO�EN CH ZOBRAZEN� A FUNKC�
Podobn�
�z
�y�
�z
�
�
�y�
�z
��
��
�y�
�z
�
ypx� � y�
��z
��
x
x� � y��
��z
�sin��
�z
��
cos�
�
A po��t�me ji� dan� zobrazen� ��z
�x
��
�
��z
�y
��
�
��z
�
��
cos� �� �z
�
�z
��
cos� sin�
�
��z
��
��sin� �
�
�
��z
�
��
sin� �� �z
�
�z
��
cos� sin�
�
��z
��
��cos� �
��
�
��z
�
��
��
�
��z
��
��
Podle tvrzen� v�ty ��� m� slo�en� zobrazen� respektive slo�en� funkce spojit� parci�ln� derivace ��du n� pokudvnit�n� a vn�j�� slo�ka maj� spojit� derivace ��du n� K v�po�tu t�chto derivac� sta�� znalost vzorc� pro v�po�et parci�ln�derivace �� ��du� Uk��eme na p��klad� parci�ln� derivaci druh�ho ��du funkce dvou prom�nn�ch�
P��klad �� Nech� z � z�u� v�� u � u�x� y� a v � v�x� y� t��dy C� na otev�en� mno�in�� Vypo�t�te parci�ln� derivace druh�ho
��du slo�en� funkce z�u�x� y�� v�x� y���V�me� �e parci�ln� derivace prvn�ho ��du jsou
�z
�x�
�z
�u� �u�x
��z
�v� �v�x
�
�z
�y�
�z
�u� �u�y
��z
�v� �v�y
�
A p�esn� podle t�chto vzorc� po��t�me derivace �� ��du
��z
�x��
�
�x
��z
�u
�u
�x
��
�
�x
��z
�v
�v
�x
��
��
�x
��z
�u
��u
�x��z
�u
�
�x
��u
�x
��
�
�x
��z
�v
��v
�x��z
�v
�
�x
��v
�x
��
�
���z
�u��u
�x�
��z
�u�v
�v
�x
��u
�x��z
�u
��u
�x��
���z
�u�v
�u
�x���z
�v��v
�x
��v
�x��z
�v
��v
�x��
���z
�u�
��u
�x
��
� ��z
�u�v
�u
�x
�v
�x���z
�v�
��v
�x
��
��z
�u
��u
�x���z
�v
��v
�x��
Parci�ln� derivace ��z�y�
se vypo��t� zcela symetricky k derivaci podle x�Posledn� derivace je
��z
�x�y�
�
�y
��z
�x
��
�
���z
�u��u
�y�
��z
�u�v
�v
�y
��u
�x��z
�u
��u
�x�y�
���z
�u�v
�u
�y���z
�v��v
�y
��v
�x��z
�v
��v
�x�y�
���z
�u��u
�x
�u
�y�
��z
�u�v
��u
�x
�v
�y��u
�y
�v
�x
����z
�v��v
�x
�v
�y��z
�u
��u
�x�y��z
�v
��v
�x�y�
��
Funkce a zobrazen� dan implicitn�
�� Z�kladn� pojmy
M�jme spojitou funkci f�x� y� dvou prom�nn�ch� Nech� M � f�x� y� � E� j f�x� y� � �g� Abychom si mno�inu M l�pep�edstavili� pod�vejme se na p�r zaj�mav�ch p��klad� funkc� f a mno�in M �
�� f�x� y� � x� � y� � �� M � ���� f�x� y� � x� � y�� M � f��� ��g��� f�x� y� � x� � y� � �� M je jednotkov� kru�nice�
� f�x� y� � x� � x� y � �� M je parabola y � x� � y � ��
�� f�x� y� � sin�x� � y��� M je syst�m kru�nic x� � y� � k�� kde k � N��
�� f�x� y� � jxyj � xy� M je mno�ina v�ech bod� �� a �� kvadrantu�
Pod�vejme se na funkci z p��kladu � Vid�me� �e existuje funkce g � R �� R takov�� �e
f�x� y� � � � y � g�x��
tj� plat� tyto dv� podm�nky
�� f�x� g�x�� � ��
�� pro libovoln� x je g�x� jedin� y � R� pro n�� plat� f�x� y� � ��
Pak f�x� y� � � je implicitn�m vyj�den�m funkce y � g�x���M�me�li funkci g�x�� pak jej� implicitn� vyj�d�en� m��e nap��klad vypadat takto
g�x�� y � ��
eg�x��y � � � �
a podobn��Naopak m�me�li spojitou funkci f�x� y�� chceme v�d�t� jak� jej� vlastnosti zaru��� �e f�x� y� � � implicitn� vyjad�uj�
n�jakou funkci y � g�x��Geometricky lze implicitn� funkci f�x� y� � � ch�pat jako pr�sek grafu funkce f rovinou z � � �proto�e f�x� y� � �
je tot�� co z � f�x� y� a sou�asn� z � ��� Pro ilustraci je situace zn�zorn�na obr�zkem ��Nyn� se je�t� pod�vejme na p��klad � z "vodu tohoto odstavce� Zvol�me�li libovoln� bod �x�� y�� pro n�j� plat�
rovnostx�� � y�� � � � �
a p�itom y� � �� pak existuje okol� tohoto bodu� v n�m� x� � y� � � � � vyjad�uje implicitn� funkci g
� je�li y� �� pak g je y �p�� x��
� je�li y� � �� pak g je y � �p�� x��
V tomto p��pad� ��k�me� �e f�x� y� � � vyjad�uje implicitn� y � g�x� lok�ln� s v�jimkou bod� ��� �� a ���� ���Poj!me d�le� M�sto f�x� y� � � lze vz�t obecn�j�� funkci f�x�� � � � � xn� y� � �� Zaj�m� n�s� kdy je jednozna�n� �e�ena
vzhledem k y� tj� kdy implicitn� vyjad�uje funkci y � g�x�� � � � � xn� lok�ln�� tj� v okol� libovoln�ho bodu �x��� � � � � x�n� y���
pro n�j� plat� f�x��� � � � � x�n� y�� � ��
Nejobecn�j�� p��pad Jsou d�ny rovnice
f��x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � ��
������
���
fm�x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � �
�y � g�x� ozna�ujeme jako explicitn� vyj�d�en� funkce�
�� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
z=f(x,y)
y=g(x)
Obr�zek � Geometrick� v�znam implicitn� zadan� funkce
N�s bude zaj�mat� kdy jsou tyto rovnice jednozna�n� �e�eny vzhledem k prom�nn�m y�� � � � � ym� tj� kdy implicitn�vyjad�uj� funkce
y� � g��x�� � � � � xn��
������
���
ym � gm�x�� � � � � xn��
Pod�vejme se na tento p��pad p�es zobrazen�� Ozna�me zobrazen� F � �f�� � � � � fm� � En�m �� Em� ozna�me�x�� � � � � xn� � x � En a �y�� � � � � ym� � y � Em� tak�e �x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � �x� y� � En�m� Je�t� ozna�meF � F �x� y�� D�le bu! G � �g�� � � � � gm� � En �� Em a G � G�x�� N�s tedy bude zaj�mat� jak� vlastnosti zobrazen� Fzaru��� �e rovnice F �x� y� � � je jednozna�n� �e�ena vzhledem k y� tj� kdy implicitn� ur�uje zobrazen� G�x� � En ��Em�
�mluva pro body �x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � En�m zna��
i � ��� � � � � n�
j � �n� �� � � � � n�m��
Z odstavce �� v�me� �e F je t��dy C� vzhledem k j�t�m prom�nn�m na otev�en� mno�in� A� m��li spojit� parci�ln�derivace �� ��du podle j�t�ch prom�nn�ch� D�le v�me� �e
F �jj�x� y� �
�BB�
�f��y�
�x� y� � � � �f��ym
�x� y����
� � ����
�fm�y�
�x� y� � � � �fm�ym
�x� y�
CCA �
Ozna�en� M�me�li zobrazen� F � A� B �� C a nech� x � A je pevn�� Pak ozna��me
f�x� �� � B �� C
zobrazen� � takov�� �e ��y� � f�x� y�� Podobn� pro pevn� y � B ozna��me
f��� y� � A �� C
zobrazen� � takov�� �e ��x� � f�x� y��
��� Existence implicitn�ho zobrazen� ��
Ozna�en� Nech� �P� � je metrick� prostor� x� � P a � �� Pak ozna��me
��x�� �� � fx � P j �x� x�� � �g��x�� �� � fx � P j �x� x�� �g
V�echna tvrzen�� kter� si uvedeme v n�sleduj�c�ch odstavc�ch� budou ryze existen�n�ho charakteru� tj� nedaj� n�mn�vod� jak funkce a zobrazen� dan� implicitn� konstruovat�
��� Existence implicitn�ho zobrazen�
Vta ���Nech� F �x� y� � En�m �� Em je spojit� zobrazen� na otev�en� mno�in� A� kter� je ze t��dy C� vzhledem k j�t�m
sou�adnic�m� Nech� existuje bod �x�� y�� � A� pro kter� je F �x�� y�� � � a sou�asn� detF �jj�x�� y�� � ��Pak existuj� takov� ��sla h� k � R� h �� k � takov�� �e ��x�� h� � ��y�� k� � A a takov� spojit� zobrazen�
G � ��x�� h� �� ��y�� k�� �e F �x� y� � � je na mno�in� ��x�� h����y�� k� ekvivalentn� rovnosti y � G�x��
D�kaz� Jacobiova matice F �jj�x�� y�� je typu �m�m� a podle p�edpoklad� je regul�rn�� tj� existuje k n� inverzn� matice�F �jj�x�� y��
���� Zobrazen� F lze interpretovat jako zobrazen� do Vm� Pak F �x� y� � � je ekvivalentn� rovnosti
y ��F �jj�x�� y��
���F �x� y� � y�
Ozna�me H�x� y� � y ��F �jj�x�� y��
���F �x� y�� Pak H � En�m �� Vm a rovnost F �x� y� � � je ekvivalentn�
rovnosti H�x� y� � y� Z p�edpoklad� v�ty plyne� �e H je t��dy C� vzhledem k j�t�m prom�nn�m na A a
H �jj�x� y� � I �
�F �jj�x�� y��
���� F �jj�x� y� �
�F �jj�x�� y��
�����F �jj�x�� y��� F �jj�x� y�
��
kde I je jednotkov� matice ��du m�Proto�e A je otev�en�� existuje h � R� h � tak� �e ��x�� h�� ��y�� k� � A� Zvolme libovoln� pevn� x � ��x�� h��
zobrazen� H�x� �� � Em �� Vm je funkc� j�t�ch prom�nn�ch a je tedy prvkem t��dy C� na A� tedy i na ��y�� k�� Podlev�ty o st�edn� hodnot� ��� pro libovoln� y�� y� � ��y�� k� plat�
H�x� y���H�x� y�� � H �jj�x� y���y� � y�� �R�y� � y���y� � y���
kde limy���y� R�y� � y�� � ��Odtud
jjH�x� y���H�x� y��jj jjH �jj�x� y��jj � jjy� � y�jj� jjR�y� � y��jj � jjy� � y�jj �
��������H �
jj�x� y��������� jjR�y� � y��jj
�� jjy� � y�jj�
Ozna�meq�k� � max
n������H �jj�x� y��
������� jjR�y� � y��jj j x � ��x�� h�� y�� y� � ��y�� k�o�
Toto maximum existuje� nebo� jde o spojitou funkci na kompaktn� mno�in�� Odvodili jsme tedy� �e
jjH�x� y���H�x� y��jj q�k� � jjy� � y�jj�
D�le H�x� y��� y� � ��F �jj�x�� y��
���F �x� y�� a odtud
jjH�x� y��� y�jj ���������F �jj�x�� y�����
�������� � jjF �x� y��jj�
�Tato nula samoz�ejm� znamen� nulovou matici�
� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
Ozna�me
p�h� � max
����������F �jj�x�� y�����
�������� � jjF �x� y��jj j x � ��x�� h�
�a plat� limh��� p�h� � � vzhledem ke spojitosti F a k faktu F �x�� y�� � ��
D�le je rovn�� limk��� q�k� � ��Zvolme k � pevn�� aby q�k� � q � �� D�le nech� h �� h k pevn� tak� aby p�h� � p � �� � q�k� Pro
x � ��x�� h�� y � ��x�� k� plat�
jjH�x� y�� y�jj jjH�x� y��H�x� y��jj� jjH�x� y��� y�jj q � jjy � y�jj� p q � k � p � q � k � ��� q�k � k�
Tedy zobrazen� H�x� �� zobrazuje ��y�� k� do sebe� D�le plat� jjH�x� y���H�x� y��jj qjjy� � y�jj� p�i�em� q � ��tak�e H je kontrakce� proto�e ��y�� k� je "pln� metrick� prostor�� podle Banachovy v�ty� existuje jedin� y � ��y�� k�tak� �e H�x� y� � y�
Zvol�me�li tedy pevn� x � ��x�� h�� existuje jedin� y � ��y�� k�� pro n�� H�x� y� � y� tj� F �x� y� � �� Ozna��me�litoto y jako G�x�� je tedy G � ��x�� h� �� ��y�� k� a na ��x�� h����y�� k� je F �x� y� � � ekvivalentn� rovnici y � G�x��
Zb�v� pouze dok�zat� �e G je spojit�� Z d�kazu Banachovy v�ty je zn�mo� �e je�li � kontrakce "pln�ho metrick�hoprostoru do sebe� pak jedin� pevn� bod y zobrazen� � lze hledat metodou postupn� aproximace zvol�me libovoln�bod y� a konstruujeme posloupnost bod� yi�� � ��yi� �i � ��� kter� po kone�n�m po�tu krok� za�ne b�t stacion�rn��
V na�em p��pad� lze G�x� hledat tou�e metodou� Polo��me G��x� � y� a indukc�
Gn�x� � H�x�Gn���x�� � Gn���x���F �jj�x�� y��
���F �x�Gn���x���
Sou�asn� se v d�kazu Banachovy v�ty odvozuje nerovnost
�yn� y� qn��
�� q� �y�� y���
V na�em p��pad� je tato nerovnost
jjGn�x� �G�x�jj qn��
�� qjjG��x��G��x�jj qn��
�� qp�
Odtud plyne� �e posloupnost Gn���� G na mno�in� ��x�� h�� proto�e v�echny Gn jsou spojit�� je G spojit� na
��x�� h�� �
A po tomto ukrutn�m d�kazu jsou pro osv��en� na �ad� p��klady�
�� n � �� m � � Tedy uva�ujeme funkce f�x� y� � �� j � ��� Tedy
F �jj�x�� y�� ���f�x�� y��
�y
�
a podm�nka regularity t�to matice �nenulovosti jej�ho determinantu� zna��� �e
�f�x�� y��
�y� ��
Nech� f�x� y� je spojit� funkce se spojitou parci�ln� derivac� �f�x��y���y
na otev�en� mno�in� A � E� a nech�
existuje �x�� y�� � A takov�� �e f�x�� y�� � � a �f�x��y���y
� �� Pak existuj� h� k � R� h � � k takov�� �e��x�� h� � ��y�� k� � A a tak� spojit� funkce g � ��x�� h� �� ��y�� k� takov�� �e na mno�in� ��x�� h� � ��y�� k�je f�x� y� � � ekvivalentn� y � g�x��
�Tento fakt plyne ze spojitosti parci�ln�ch derivac� F a z toho e limy���y� R�y� � y�� � � �nulov� matice�����y�� k� je pln� metrick� prostor jakoto uzav�en� podmnoina pln�ho metrick�ho prostoru��Zn�n� Banachovy v�ty je zcela jist� uvedeno v literatu�e ����
��� Existence implicitn�ho zobrazen� ��
P��klad ���
f�x� y� � x� � y� � � je spojit� v E� a �f�y
� y je spojit� v E�� Proto�e �f�y� � zna�� y � �� jsou p�edpoklady
spln�ny v ka�d�m bod� krom� ��� ��� ���� ���
�� m � � Tedy m�me rovnici f�x�� � � � � xn� y� � � a j � �n���� Determinant derivace f podle j�t�ch prom�nn�ch
detF �jj�x�� y�� ��f
�y�x�� y���
Nech� f�x� y� je spojit� funkce se spojitou parci�ln� derivac� �f�y
�x�� y�� na otev�en� mno�in� A � En�� a nech�
existuje bod �x��� � � � � x�n� y� � �x�� y�� � A takov�� �e f�x�� y�� � � a �f
�y�x�� y�� � �� Pak existuj� h� k � R�
h � � k takov�� �e ��x�� h� � ��y�� k� � A a spojit� funkce g � ��x�� h� �� ��y�� k� n prom�nn�ch� �e na��x�� h����y�� k� je f�x�� � � � � xn� y� � � ekvivalentn� rovnici y � g�x�� � � � � xn��
P��klad ���
M�me f�x� y� z� � x�
a�� y�
b�� z�
c�� �� f�x� y� z� � � je trojos� elipsoid v E�� f je spojit� v E� a �f
�z� �z
c�je
spojit� v E�� Proto�e �f�z
� � � z � �� p�edpoklady v�ty o implicitn� funkci jsou spln�ny v ka�d�m bod�tohoto elipsoidu krom� bod� v rovin� z � �� Ke ka�d�mu takov�mu bodu existuje jeho okol�� v n�m� rovnicex�
a�� y�
b�� z�
c�� � � � vyjad�uje funkci z � z�x� y��
�� Obecn� p��pad je pops�n v�tou ���� Rozep��eme�li F � G do sou�adnic m��eme v�tu formulovat takto Nech�f��x�� � � � � xn� y�� � � � � ym�� � � � � fm�x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� jsou spojit� funkce se spojit�mi parci�ln�mi derivacemi�fi�yj
� � i m a � j m na otev�en� mno�in� A � En�m� nech� existuje bod �x��� � � � � x�n� y
�� � � � � � y
�m� �
�x�� y�� � A pro n�j� plat� f��x�� y�� � �� � � � � fm�x�� y�� � � a���������f��y�
�x�� y�� � � � �f��ym
�x�� y�����
� � ����
�fm�y�
�x�� y�� � � � �fm�ym
�x�� y��
�������� � ��
Pak existuj� h� k � R� h � � k� ��x�� h����y�� k� � A a spojit� funkce g��x�� � � � � xn�� � � � � gm�x�� � � � � xn� de��novan� na ��x�� h� takov�� �e pro libovoln� bod �x�� � � � � xn� � ��x�� h� je �g��x�� � � � � xn�� � � � � gm�x�� � � � � xn�� ���y�� k� tak� �e na ��x�� h�� ��y�� k� je syst�m
f��x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � ��
���
fm�x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � �
je ekvivalentn� se syst�mem
y� � g��x�� � � � � xn��
���
ym � gm�x�� � � � � xn��
P��klad ���
Uva�me rovnice
x� � y� � u� � v� �
xu� yv � euv �
�� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
Ozna�me F �x� y� u� v� � �x� � y�� u� � v�� xu� yv� euv �� tak�e F � E �� E� a je t��dy C� vzhledem ke v�emprom�nn�m na E� i � ��� �� j � ��� ���
F �jj�x� y� u� v� ��
u vx� veuv y � ueuv
��
Poda���li se n�m nal�zt bod �x�� y�� u�� v��� kter� dan� rovnice spl$uje a detF �jj�x�� y�� u�� v�� � �� pak existuj�h� k � R� h � � k tak� �e na ���x�� y��� h�� ���u�� v��� k� rovnice
x� � y� � u� � v� �
xu� yv � euv �
implicitn� vyjad�uj� funkce
u � u�x� y��
v � v�x� y��
Tuto vlastnost m� nap�� bod ��� �� �� ��� nebo� rovnice spl$uje a
detF �jj��� �� �� �� ����� �� �
���� � �
��� T�dy implicitn�ch zobrazen�
Vta ���Nech� F �x� y� � En�m �� Em je zobrazen�� A � En� B � Em otev�en� mno�iny� A � B � �F � F � C��A � B��
detF �jj�x� y� � � na A�B� D�le nech� G�x� � A �� B je spojit� zobrazen�� kter� spl$uje podm�nku� �e F �x�G�x�� � �
pro �x � A� Pak G je t��dy C��A� a plat� pro x � A
G��x� � ��F �jj�x�G�x��
���� F �ji�x�G�x���
Je�li F � Ck�A�B�� pak je G � Ck�A��
D�kaz� Zvolme bod �x�� y�� � A � B libovoln�� ale pevn�� Proto�e A� B jsou otev�en�� pak existuj� ��sla h� k � R�h � � k takov�� �e ��x�� h� � A a ��y�� k� � B� Pro libovoln� bod �x� y� � ��x�� h� � ��y�� k� plat� podle v�tyo st�edn� hodnot� ���
F �x� y�� F �x�� y�� � F �x� y�� F �x�� y�� �z ��F �x�� y�� F �x�� y��� �z � �� F �ji�x�� y���x � x�� �R�x� x���x� x�� � F �jj�x�� y���y � y�� � S�y � y���y � y�� �
��F �ji�x�� y�� �R�x� x��
��x� x�� �
�F �jj�x�� y�� � S�y � y��
��y � y���
Zde R a S jsou maticov� funkce �viz odstavec �� � s vlastnost�� �e jsou spojit� a
limx��x�
R�x� x�� � �� limy��y�
S�y � y�� � ��
Bu! nyn� u � Vn pevn� libovoln� vektor� t � R libovoln�� t � � a dosad�me do odvozen�ho vztahu x � x� � tu�y� � G�x��� y � G�x� � G�x� � tu�� x� x� � tu a y � y� � G�x� � tu��G�x��� tak�e
F �x� � tu� G�x� � tu��� F �x�� G�x��� ��Fji�x�� G�x� � tu�� �R�t�
tu�
��Fjj�x�� G�x��� � S�t�
�G�x� � tu��G�x����
zde jsme ozna�ili R�tu� jako R�t�� S�G�x� � tu��G�x��� � S�t�� tak�e
limt���
R�t� � �� limt���
S�t� � ��
��� Jin� existence implicitn�ho zobrazen� �
Podle p�edpoklad� v�ak F �x�� G�x��� � � a F �x� � tu� G�x� � tu�� � �� tak�e z uveden� rovnosti po vyd�len� tplyne �
F �ji�x�� G�x� � tu�� �R�t��u�
�F �jj�x�� G�x��� � S�t�
�� G�x� � tu��G�x��
t� ��
Podle p�edpoklad� je detF �jj�x�� G�x��� � � a limt��� S�t� � �� tak�e pro dostate�n� mal� t je matice
F �jj�x�� G�x��� � S�t�
rovn�� regul�rn� a existuje matice inverzn�� Vyn�soben�m posledn� rovnosti zleva touto inverzn� matic� vyjde
G�x� � tu��G�x��
t� �
��F �jj�x�� G�x��� � S�t�
�����F �ji�x�� G�x� � tu�� �R�t�
��u
a limitn�m p�echodem t �� �
limt���
G�x� � tu��G�x��
t� G�u�x�� � �
��F �jj�x�� G�x���
�����F �ji�x�� G�x���
��u�
Sm�rov� derivace G�u�x�� existuje pro libovoln� vektor u � Vn� Tedy G m� G�teaux�v diferenci�l �G�x�� a z jej�hotvaru plyne� �e �G�x�� je line�rn� a tedy G m� v x� derivaci� p�i�em�
G��x�� � ��F �jj�x�� G�x���
�����F �ji�x�� G�x���
��
Proto�e x� � A byl libovoln�� tedy G m� derivaci na A a pro �x � A plat�
G��x� � ��F �jj�x�G�x��
�����F �ji�x�G�x��
��
Proto�e F � C��A�B�� z tvaru G��x� plyne� �e G � C��A��Posledn� tvrzen� v�ty se dok��e indukc� Pro k � � tvrzen� plat� �viz v��e�� Nech� tvrzen� plat� pro k � � a
F � Ck�A � B�� Pak F �jj a F �ji jsou t��dy Ck��� Podle induk�n�ho p�edpokladu G � Ck���A�� Tak�e prvky G� jsou
z Ck�� a G je tedy t��dy Ck�A�� �
��� Jin� existence implicitn�ho zobrazen�
Vta ���Nech� F �x� y� � En�m �� Em je zobrazen�� A � �F je otev�en�� F � C��A�� Nech� existuje �x�� y�� � A takov�� �e
F �x�� y�� � � a detF �jj�x�� y�� � �� Pak existuj� h� k � R� k � � h� ��x�� h����y�� k� � A a G � ��x�� h� �� ��y�� k�
t��dy C� na ��x�� h�� �e na ��x�� h����y�� k� je rovnost F �x� y� � � ekvivalentn� rovnosti y � G�x�� P�itom
G��x� � ��F �jj�x�G�x��
���� F �ji�x�G�x��
pro x � ��x�� h��Je�li F � Ck�A�� je G � Ck���x�� h���
D�kaz� Proto�e F spl$uje p�edpoklady v�ty ���� tj� existuj� ��sla h� k� � R� h � � k� takov�� �e ��x�� h����y�� k�� � A�a spojit� zobrazen� G � ��x�� h� �� ��y�� k
�� takov�� �e na ��x�� h� � ��y�� k�� je F �x� y� � � ekvivalentn� rovnosti
y � G�x��Proto�e je A otev�en� mno�ina� existuje k � R� k k� takov�� �e ��x�� h����y�� k� � A a zobrazen� G lze ch�pat
jako G � ��x�� h� �� ��y�� k� a tedy i jako G � ��x�� h� �� ��y�� k��D�le� vzhledem ke spojitosti parci�ln�ch derivac� zobrazen� F lze h a k zvolit dostate�n� mal�� aby detF �jj�x� y� � �
pro �x� y� � ��x�� h����y�� k��Proto�e F �x�G�x�� � �� jsou spln�ny p�edpoklady v�ty ���� kde A � ��x�� h� a B � ��y�� k�� �
� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
��� Pravidla pro praktick� v�po�ty
P�i praktick�m v�po�tu �parci�ln�ch� derivac� funkc� �zobrazen�� dan�ch implicitn� nepostupujeme podle vzorce z v�ty���� nebo� v�po�et inverzn� matice �
F �jj�x�G�x�����
by byl obt��n�� K tomuto v�po�tu m��eme pou��t pravidla pro derivov�n� slo�en�ch funkc� �zobrazen���V tomto odstavci si uvedeme n�kolik p��klad�� jak to uskute�nit�
�� n � m � �� f�x� y� � � Jsou�li spln�ny p�edpoklady v�ty ��� vyjad�uje tato rovnice v okol� �x�� y�� implicitn�funkci y � y�x�� Plat� tedy f�x� y�x�� � �� Derivov�n�m dostaneme
f �x�x� y�x�� � f �y�x� y�x�� � y��x� � ��
po "prav�
y��x� � �f �x�x� y�x��f �y�x� y�x��
�
Je�li f � C�� pak existuje druh� derivace y���x�� kterou lze z�skat dal��m derivov�n�m v�razu f �x�x� y�x�� �f �y�x� y�x�� � y��x� � � nebo �co� je pr� lep��� p��m�m derivov�n�m vztahu y��x� � � f �x�x�y�x��
f �y�x�y�x��
y�� � � �f ��xx � f ��xyy�� � f �y � f �x�f
��xy � f ��yy � y��
�f �y���
dvakr�t dosad�me za y�
y�� � ��f ��xx � f ��xy
f �xf �y
�f �y � f �x
�f ��xy � f ��yy � f
�
x
f �y
��f �y��
�
Podobn� pro vy��� derivace�
P��klad ���
Najd�te bod� jeho� okol� vyjad�uje rovnice x � xy � y � � implicitn� funkci y � y�x�� Vypo�t�te prvn� adruhou derivaci y�x� v tomto bod��
Z�ejm� f�x� y� � x�xy�y�� � C��E��� Proto�e f �y�x� y� � x��y�� sta�� nal�zt libovoln� bod �x�� y�� � E��kter� zadanou rovnici spl$uje a z�rove$ f �y�x�� y�� � ��
Bod ���� �� ob� tyto podm�nky spl$uje a f �y���� �� � �� Derivujeme�li f � z�sk�me �x� � y � xy� � �y�y� � ��tedy
y� � ��x� � y
x� �y��
tedy y����� � ��� � ��
Druh� derivace
y�� ���x� � y���x � �y��� ��x� � y��� � �y�y��
�x� �y���
a tedy y������ � � ��� �
�� m � �� f�x�� � � � � xn� y� � � Jsou�li spln�ny p�edpoklady v�ty ���� vyjad�uje tato rovinice v okol� n�jak�ho bodu�x�� y�� implicitn� funkci y � y�x�� � � � � xn��
Derivujme tedy funkci f�x�� � � � � xn� y�x�� � � � � xn�� podle i�t� prom�nn�
f �xi�x�� � � � � xn� y�x�� � � � � xn�� � f �y�x�� � � � � xn� y�x�� � � � � xn�� � y�xi�x�� � � � � xn� � ��
tedy
y�xi�x�� � � � � xn� � �f �xi�x�� � � � � xn� y�x�� � � � � xn��f �y�x�� � � � � xn� y�x�� � � � � xn��
�
��� Pravidla pro praktick� v�po�ty ��
zkr�cen� y�xi � � f �xif �y
�
Dal�� parci�ln� derivace
y��xixj � � �f ��xixj � f ��xiy � y�xj �f �y � f �xi�f��xjy
� f ��yyy�xj�
�f �y���
� �
�f ��xixj � f ��xiy �
f �xjf �y
�f �y � f �xi
�f ��xjy � f ��yy �
f �xjf �y
��f �y��
�
P��klad ���
Najd�te bod� v jeho� okol� vyjad�uje rovnice x� � y� � z� � xyz � � implicitn� funkci z � z�x� y�� najd�tetot�ln� diferenci�l �� a �� ��du funkce z�x� y� v tomto bod��
f�x� y� z� � x��y��z��xyz � C��E��� pak f �z � z�xy� a bod� kter� spl$uje p�edpoklady v�ty je nap��klad��� �� ���
Parci�ln� derivace podle x a y
x� z�z
�x� yz � xy
�z
�x� � � �z
�x�
yz � x
z � xy
�z
�x��� �� �
���� � �
�y � z�z
�y� xz � xy
�z
�y� � � �z
�y�y � xz
z � xy
�z
�y��� �� �
�
�� � ��
Tot�ln� diferenci�l je tedy dz��� ���u� � u� � u�� kde u � �u�� u���
A nyn� parci�ln� derivace �� ��du
��z
�x��
��� y �z
�x
�xy � z�� �x � yz�
�y � �z
�x
�xy � z��
��z
�x���� �� �
��� ����� ��� ��� ����� ��
�� �
��z
�y��
�� � x �z
�y
��z � xy�� �y � xz�
��z�y� x
��xy � z��
��z
�y���� �� �
��� ����� ��� �� � ������ ��
��
��z
�x�y�
��z � y �z
�y
��xy � z�� �x� yz�
�x� �z
�y
��xy � z��
��z
�x�y��� �� �
� � �� ��� � ��
�� ���
Tot�ln� diferenci�l �� ��du tedy je
d�z��� ���u� ���z
�x���� �� � u�� �
��z
�x�y��� �� � u�u� � ��z
�y���� �� � u�� � �u�u� � u���
�� Obecn� p��pad Je d�no m rovnic
f��x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � �
���
fm�x�� � � � � xn� y�� � � � � ym� � �
�� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
a nech� pro n�jak� bod �x�� y�� jsou spln�ny p�edpoklady v�ty ���� Pak v n�jak�m okol� tohoto bodu dan� syst�mimplicitn� vyjad�uje syst�m
y� � y��x�� � � � � xn�
���
ym � ym�x�� � � � � xn��
Plat� tedy
f��x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� � �
���
fm�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� � �
Parci�ln�m derivov�n�m podle xi vyjde
�f��xi
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� ��f��y�
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� �
��y��xi
�x�� � � � � xn� � � � �� �f��ym
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� � �ym�xi
�x�� � � � � xn�
����fm�xi
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� ��fm�y�
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� �
��y��xi
�x�� � � � � xn� � � � �� �fm�ym
�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn�� � �ym�xi
�x�� � � � � xn��
To je syst�m m line�rn�ch rovnic o m nezn�m�ch� Matice t�to soustavy je
F �ji�x�� � � � � xn� y��x�� � � � � xn�� � � � � ym�x�� � � � � xn��
a je tedy regul�rn�� Soustava m� jedin� �e�en��
P��klad ���
Najd�te parci�ln� derivace �u�x
� �v�x
� �u�y
� �v�y
� kde u�x� y� a v�x� y� jsou d�ny rovnicemi
x� � y� � u� � v� �
xy � yv � euv � �
V p��klad� ��� jsme zjistili� �e v okol� bodu ��� �� �� �� tyto rovnice vyjad�uj� implicitn� funkce u � u�x� y� av � v�x� y��
Parci�ln� derivujme podle x
x� u�u
�x� v
�v
�x� �
u� x�u
�x� y
�v
�x� euv
�v�u
�x� u
�v
�x
�� �
u�u
�x� v
�v
�x� �x
�x � euvv��u
�x� �y � euvu�
�v
�x� �u
�u
�x�
���� �x v�u y � ueuv
�������� u vx� euvv y � euvu
����
��� Pravidla pro praktick� v�po�ty ��
�v
�x�
���� u �xx� euvv �u
�������� u vx� euvv y � euvu
����Jmenovatel t�chto parci�ln�ch derivac� je tvo�en Jacobiov�m determinantem podle j�t�ch prom�nn�ch� Nyn�parci�ln� derivujme podle y
y � u�u
�y� v
�v
�y� �
x�u
�y� v � y
�v
�y� euv
�v�u
�y� u
�v
�y
�� �
u�u
�y� v
�v
�y� �y
�x� euvv��u
�y� �y � euvu�
�v
�y� �v
�u
�y�
���� �y v�v y � ueuv
�������� u vx� euvv y � euvu
�����v
�y�
���� u �yx� euvv �v
�������� u vx� euvv y � euvu
����P��klad ���
M�me zad�no� �e rovnice
x� y � z � u � a
x� � y� � z� � u� � b�
x� � y� � z� � u� � c�
vyjad�uj� implicitn� v okol� n�jak�ho bodu �x�� y�� z�� u�� prom�nn� y� z� u jako funkce prom�nn� x� Vypo�t�tederivace t�chto funkc��
Derivujeme
� � y� � z� � u� � �
x� yy� � zz� � uu� � �
�x� � �y�y� � �z�z� � �u�u� � �
y� � z� � u� � ��yy� � zz� � uu� � �x
y�y� � z�z� � u�u� � �x��
Jacobi�v determinant podle j�t�ch prom�nn�ch
������� � �y z u�y� �z� �u�
������ �������
� � �y z uy� z� u�
������ �
�� �� FUNKCE A ZOBRAZEN� DAN� IMPLICITN�
Tedy hledan� derivace vypadaj� takto
y� �
�������� � ��x z u�x� z� u�
������������� � �y z uy� z� u�
������� z� �
������� �� �y �x uy� �x� u�
������������� � �y z uy� z� u�
������� u� �
������� � ��y z �xy� z� �x�
������������� � �y z uy� z� u�
�������
��
� Regul�rn� zobrazen� a difeomor smy
Ne� si za�neme pov�dat o regul�rn�ch zobrazen�ch� zavedeme si pomocn� pojem� kter� n�m roz���� pojem regularitymatice ze �tvercov�ch matic na obecn� matice�
Bu! A matice typu �k� n�� #ekneme� �e A je regul�rn� matice� plat��li h�A� � min�k� n�� kde h�A� je hodnostmatice�
Tedy v t�to nov� regularit� nast�vaj� tyto p��pady
� k � n obvykl� pojem regularity �tvercov� matice�
� k � n ��dky matice A tvo�� line�rn� nez�visl� vektory z Vn�
� k n sloupce matice A tvo�� line�rn� nez�visl� vektory z Vk�
�� Regul�rn� zobrazen�
De�nice ���Bu! F � En �� Ek zobrazen�� #�k�me� �e zobrazen� F je regul�rn�� kdy� plat� n�sleduj�c� podm�nky
�� �F je otev�en� mno�ina�
�� F je t��dy C� na �F �
�� F ��x�� je regul�rn� matic� pro �x� � �F �
Terminologie nen� ve sv�tov� literatu�e jednotn�� jednotliv� body de�nice �� se mohou li�it
� M�sto podm�nky � je podm�nka �% �zobrazen� F je diferencovateln���
� Nav�c je podm�nka� �e F je injektivn��
� M�sto podm�nky � je podm�nka �% �Tot�ln� diferenci�l dF �x�� � Vn �� Vk je injektivn� pro �x� � �F��
P��klad ���Nech� F � E� �� E�� F �x� y� � �x�� xy�� Zjist�te� zda je regul�rn��
�� Prvn� podm�nka je spln�na trivi�ln�� cel� rovina E� je otev�en��
�� F � C��E��� T�m jsme splnili podm�nku ��
�� Derivace F ��x� y� ��
x �y x
�a jej� determinant je detF ��x� y� � x�� tedy podm�nka � je spln�na na mno�in�
A � E� � f��� y� j y � Rg�Tedy zobrazen� F A je regul�rn��V�imn�me si� �e nen� injektivn�� nebo� F ��x��y� � F �x� y� a F �x��y� � F ��x� y��
P��klad ���Nech� F � E� �� E� je projekce� tj� F �x� y� z� �� �x� y�� F je regul�rn�� proto�e
�� F � C��E���
�� F ��x� y� z� ��
� � �� � �
�m� hodnost �� tj� je regul�rn��
Tedy F je regul�rn��V�imn�me si op�t� �e dF �x� y� z� � V� �� V��
dF �x� y� z��u� �
�� � �� � �
��u�� u�� u�� � �u�� u��
nen� injektivn��
� �� REGUL�RN� ZOBRAZEN� A DIFEOMORFISMY
Vta ���Nech� n� k � N� n k� F � En �� Ek� �F je otev�en� mno�ina a F � C�� Zobrazen� F je regul�rn�� pr�v� kdy�
dF �x�� je injektivn� line�rn� zobrazen� Vn �� Vk pro �x� � �F �
D�kaz� Nech� F � �f�� � � � � fk�� tak�e
F ��x� �
�B�
�f��x�
�x� � � � �f��xn
�x����
� � ����
�fk�x�
�x� � � � �fk�xn
�x�
CA �
D�kaz mus�me v�st ob�ma sm�ry
� Nech� F je regul�rn� a x� � �F je libovoln�� Pak sloupce v F ��x�� jsou line�rn� nez�visl� vektory ve Vk�P�edpokl�dejme� �e dF �x�� � Vn �� Vk nen� injektivn�� tj� existuj� u a v � Vn� u � v� pro kter� je dF �x���u� �dF �x���v�� tedy dF �x���u� v� � �� p�i�em� u� v � ��
Ozna�me u� v � a � �a�� � � � � an�� tak�e ai � � pro n�jak� i a dF �x���a� � �� tj��B�
�f��x�
�x�� � � � �f��xn
�x�����
� � ����
�fk�x�
�x�� � � � �fk�xn
�x��
CA �a�� � � � � an� � ��� � � � � ���
neboli
a��f��x�
�x�� � � � �� an�f��xn
�x�� � �
���
a��fk�x�
�x�� � � � �� an�fk�xn
�x�� � ��
co� lze zapsat
a�
��f��x�
�x��� � � � ��fk�x�
�x��
�� � � �� an
��f��xn
�x��� � � � ��fk�xn
�x��
�� ��
Z toho plyne� �e tyto vektory jsou line�rn� z�visl�� co� znamen� spor�
�� Nech� dF �x�� � Vn �� Vk je injektivn� pro �x� � �F a p�edpokl�dejme� �e F nen� regul�rn�� Tedy existujex� � �F takov�� �e sloupce v F ��x�� tvo�� line�rn� z�vislou soustavu vektor� ve Vk � Tedy existuj� a�� � � � � an � R�z nich� aspo$ jedno ai � � tak� �e
a�
��f��x�
�x��� � � � ��fk�x�
�x��
�� � � �� an
��f��xn
�x��� � � � ��fk�xn
�x��
�� ��
Odtud opa�n�m sledem krok� z d�kazu ��� vyjde dF �x���a� � �� kde a � �a�� � � � � an� � �� Pak
dF �x���a� � � � dF �x������
co� je spor s injektivitou dF �x���
�
��� Difeomor�smus
De�nice ���Zobrazen� F � En �� Ek se naz�v� difeomor�smus� je�li regul�rn� a homeomorfn�� Je�li tedy A � En a B � Ek a
F � A �� B� pak F je difeomor�smus� plat��li
�� A je otev�en� v En�
��� Difeomor�smus ��
�� F je t��dy C��A��
�� Derivace F ��x� je regul�rn� pro �x � A�
� F � A �� B je bijekce�
�� F�� � B �� A je spojit��
P��klad ���Nech� A � B � f�x� y� j x� y �g � E�� F �x� y� � �x�� xy�� Uk��eme� �e F � A �� B je difeomor�smus�
V p��kladu �� jsme zjistili� �e F � A �� B je regul�rn�� D�le F je surjektivn�� nebo� u� v � B je
�u� v� � F
�pu�
vpu
��
Odtud plyne� �e F�� � �u� v� ���p
u� vpu
�je inverzn� zobrazen� k F a tedy F je bijekce a F�� spojit� na B�
V kapitole � uvid�me� �e neexistuje difeomor�smus F � En �� Ek� je�li n k� Proto v dal��m budeme v�dyv p��pad� difeomor�smu uva�ovat n k� P�itom nejd��ve studujme situaci n � k� P�itom ve shod� s "vahamiv topologii budeme okol�m bodu x� � En rozum�t libovolnou otev�enou mno�inu U � En takovou� �e x� � U �
Vta ��� O lok�ln�m difeomorfismu
Ka�d� regul�rn� zobrazen� F � En �� En je lok�ln� difeomor�smus� tj� pro �x� � �F existuje okol� U bodu x� aokol� V bodu y� � F �x�� a to tak� �e F U � U �� V je difeomor�smus U na V �
D�kaz� Nech� x � �x�� � � � � xn� � En a y � �y�� � � � � yn� � En budeme ps�t �x� y� � �x�� � � � � xn� y�� � � � � yn� � E�n�De�nujme zobrazen� G � E�n �� En tak� �e G�x� y� � F �x� � y� �G � f�x� y� � E�n j x � �Fg je otev�en�
mno�ina v E�n a G je t��dy C�� Ozna�me j � ��� � � � � n�� Tedy G je t��dy C� vzhledem k j�t�m prom�nn�m a plat�G�j�x� y� � F ��x�� tak�e detG�j�x� y� � detF ��x� � � pro ��x� y� � �G� Kone�n� G�x�� y�� � ��
Podle v�ty ��� existuj� h� k � R� h � � k takov�� �e ��x�� h� � ��y�� k� � �G� tj� ��x�� h� � �F a spojit�zobrazen� H � ��y�� k� �� ��x�� h� takov�� �e na sou�inu ��x�� h� � ��y�� k� je rovnost G�x� y� � �� tj� F �x� � yekvivalentn� rovnici x � H�y�� Ozna�me V � ��y�� k�� U � ��x�� h� � F���V ��
Proto�e F���V � je otev�en� �nebo� F je spojit��� je U otev�en� a x� je prvkem U � nebo� x� � ��x�� h� a x� �F���V � �nebo� F �x�� � y� � V �� Je tedy U okol�m x�� V okol�m y� a plat�� �e F � U �� V � H � V �� U p�i�em��x � U � �y � V plat� F �x� � y � x � H�y�� To v�ak znamen�� �e H �
�F�� U
a jako takov� existuje� pr�v�
kdy� F U je bijekce U �� V � Sou�asn� �F U��� � H je spojit� a tedy F U � U �� V je homeomor�smus a tud��difeomor�smus� �
D�sledek ���Je�li F � En �� En regul�rn� zobrazen�� pak F je otev�en� zobrazen��
D�kaz� Nech� A � �F je otev�en� mno�ina a y� � F �A�� Z�ejm� je F A � A �� F �A� regul�rn�� Nech� x� � A jebod a y� � F �x��� Podle v�ty � existuje okol� U bodu x�� U � A a okol� V bodu y� takov�� �e F U � U �� Vje difeomor�smus� Tedy F �U� � V � tak�e V � F �A�� Libovoln� bod mno�iny F �A� je tedy jej�m vnit�n�m bodem aF �A� je otev�en� mno�ina� Tedy F je otev�en� zobrazen�� �
Vta ���Nech� F � En �� En je regul�rn� a injektivn�� Pak F je difeomor�smem�
D�kaz� Nech� �F � A a �F � B� Podle de�nice je A � En otev�en�� podle d�sledku �� je B � En otev�en� a podlep�edpokladu je F � A �� B je bijekc��
Zb�v� ov��it� �e F�� � B �� A je spojit�� Nech� y� � B libovoln�� x� � F���y��� tj� F �x�� � y�� Podle v�ty� existuje okol� U bodu x� a okol� V bodu y� takov�� �e F � U �� V je difeomor�smus� Speci�ln� F � U �� Vje homeomor�smus� tak�e F�� � V �� U je spojit� a tedy F�� je spojit� i v bod� y�� Vzhledem k libovoln� volb�y� � B je tedy F�� spojit� na B� �
�� �� REGUL�RN� ZOBRAZEN� A DIFEOMORFISMY
Vta ���Bu!te A � En a B � En otev�en� mno�iny a F � A �� B difeomor�smus� Pak F�� � B �� A je difeomor�smus
a pro libovoln� y � F �x� � B plat��F��
��y� � �F ��x�����
Je�li F � Cm�A�� pak je i F�� � Cm�B��
D�kaz� K d�kazu prvn�ho tvrzen� je t�eb� ov��it� �e F�� je t��dy C��B� a�F��
�je regul�rn� matic� pro �y � B
�nebo� inverzn� zobrazen� k homeomor�smu je homeomor�smus��Ozna�me �analogicky k d�kazu v�ty �� x � �x�� � � � � xn� a y � �y�� � � � � yn�� Tedy �x� y� � �x�� � � � � xn� y�� � � � � yn� �
E�n a G�x� y� � F �x�� y� tedy G � E�n �� Vn� D�le nech� j � ��� � � � � n� a i � �n� �� � � � � n��Tedy je G � C��A�B� a pro libovoln� bod �x� y� � A�B je G�j�x� y� � F ��x�� G�i�x� y� � �I �kde I je jednotkov�
matice ��du n��Tak�e G�j�x� y� je regul�rn� pro �x� y� � A�B libovoln�� Je�li y � B libovoln�� pak G
�F���y�� y
� F
�F���y�
�y �
y � y � � a sou�asn� F�� � B �� A je spojit� �nebo� je homeomor�smus��Podle v�ty ��� je F�� � C��B� a pro libovoln� bod y � F �x� � B plat� �
F�� ��y� � � �G�j�F ��y�� y� �� �G�i �F���y�� y � �
G�j�F���y�� y
��� F �
�F���y�
��� �F ��x�����
Sou�asn� je�F��
��y� regul�rn� matic�� nebo� je inverzn� matic� k regul�rn� matici F ��x�� Je tedy F�� � B �� A
difeomor�smus a je�li F � Cm�A�� pak F�� � Cm�B� podle v�ty ���� �
Proto�e pro determinant inverzn� matice plat� rovnost��A���� � jAj��� plyne z v�ty � za uveden�ch p�edpoklad�
n�sleduj�c� vztah
det�F��
��y� �
�
detF ��x��
kde y � F �x��Ozna��me�li F � �f�� � � � � fn� a F�� � �g�� � � � � gn�� pak rovnost y � F �x� znamen� rovnice
y� � f��x�� � � � � xn�
���
yn � fn�x�� � � � � xn�
a rovnost x � F���y� rovnice
x� � g��y�� � � � � yn�
���
xn � gn�y�� � � � � yn�
p�i�em� druh� soustava rovnic se z prvn� soustavy z�sk� �e�en�m vzhledem k x�� � � � � xn a naopak� Potom tvrzen� oJacobiov� determinantu zobrazen� F a F�� lze zapsat
D�g�� � � � � gn�
D�y�� � � � � yn��
�D�f������fn�D�x������xn�
neboD�f�� � � � � fn�
D�x�� � � � � xn��
�D�g������gn�D�y������yn�
Vta �� Nech� A � En a B � En jsou otev�en� mno�iny a F � A �� B je bijekce� K tomu� aby F bylo difeomor�smem
je nutno a sta��� aby ob� zobrazen� F � A �� B a F�� � B �� A byla t��dy C��
D�kaz�
Nutnost� plyne z de�nice difeomor�smu a v�ty ��
��� Skl�d�n� regul�rn�ch zobrazen� a difeomor�sm� �
Dostate�nost� Je�li podm�nka spln�n�� pak F je homeomor�smus a zb�v� ov��it� �e F ��x� je regul�rn� matic� pro�x � A�
Proto�e F�� � F � idA� je i�F�� � F � �x� � I pro �x � A� Podle v�ty ��� m�me� �e
�F�� � F � �x� � �
F�� ��F �x�� � F ��x� � I�
tedy k matici F ��x� existuje matice inverzn�� a tud�� F ��x� je regul�rn� pro �x � A�
�
Vta ���Bu! F � En �� En difeomor�smus a nech� x � �F � y � F �x�� Pak dF���y� � �dF �x�����
D�kaz� Nech� u � Vn je libovoln� vektor� Pak�dF���y� � dF �x� �u� � dF���y��dF �x��u�� � dF���y��F ��x�u� �
��F��
��y��F ��x�u� �
��F��
��y� � F ��x�
�u � Iu � u�
Tedy dF���y� � dF �x� � idVn � Analogicky lze ov��it� �e dF �x� � dF���y� � idVn � Celkem tedy dF �x� a dF���y� jsouvz�jemn� inverzn� zobrazen�� �
��� Skl�d�n� regul�rn�ch zobrazen� a difeomor�sm�
Vta ����
D�kaz� �
Vta ����
D�kaz� �
Vta ����
� �� VARIETY V EUKLIDOVSK CH PROSTORECH
� Variety v euklidovsk�ch prostorech
k�rozm�rn� varieta v euklidovsk�m prostoru je zobecn�n�m pojmu kivka v E� �rovin�� a v E� a pojmu plochy v E�� Zdem�me na mysli jednoduch� k�ivky a plochy� tj� takov�� �e existuje homeomorfn� zobrazen� jejich otev�en� podmno�inyna otev�en� interval v p��pad� E�� resp� na otev�enou podmno�inu n�jak� rovniny v p��pad� E�� Lidov� �e�eno� �ejednoduch� k�ivka resp� plocha lze narovnat do p��mky resp� roviny� Jednoduch� uzav�en� k�ivka resp� plocha tutovlastnost m��e m�t jen lok�ln��
�� Pojem variety
De�nice ���Nech� n� k � N� k n� nech� H � En� H � �� Mno�ina H se naz�v� k�rozm�rn� varieta v En� jestli�e ka�d� bod
y� � H m� okol� na H � kter� je homeomorfn� s n�jakou otev�enou podmno�inou prostoru Ek�M��li mno�ina H vlastnost uvedenou v de�nici� pak ��k�me� �e je lok�ln� homeomorfn� prostoru Ek�
Je�li H k�rozm�rn� varieta v En� pak existuje y� � H a tedy i okol� U bodu y� na H a tak� otev�en� mno�inaA � Ek a homeomor�smus U na A�
Proto�e inverzn� zobrazen� homeomor�smu je homeomor�smus� existuje homeomor�smus F � A �� U �
De�nice ���Tento homeomor�smus F � A �� U naz�v�me lok�ln� parametrizace variety H v x� nebo parametrick�m popisem
okol� U �Jin�mi slovy k�rozm�rn� varieta H v En je lok�ln� homeomorfn� s otev�enou mno�inou A � Ek�
P��klad ���Sf�ra v E� S � f�x� y� z� � E� j x� � y� � z� � r�g m� glob�ln� parametrizaci
x � r cosu cos v u � h��� �i�y � r sinu cos v v �
D��
��
E�
z � r sin v�
co� nen� homeomor�smus�
Existuje�li homeomor�smus F � A �� H � kde A je otev�en� mno�ina v Ek� A � Ek� H � En �p�i�em� k n��pak H je k�rozm�rn� varieta v En� F je jej� glob�ln� parametrizace�
Z de�nice ��� je libovoln� nepr�zdn� otev�en� podmno�ina v En je sama k�rozm�rnou varietou� Jednorozm�rn�variety naz�v�me k�ivky� dvojrozm�rn� variety naz�v�me plochy a k�rozm�rn� variety naz�v�me k�rozm�rn�mi nad�plochami�
��rozm�rnou varietou v En rozum�me libovolnou nepr�zdnou izolovanou mno�inu v En� proto�e je�li H � � izolovan�v En� y� � H � pak jednobodov� mno�ina fy�g je okol�m y� na H � Zobrazen� F � f�g �� fy�g je homeomor�smus natoto okol� �E� � f�g��
De�nice ���Bu!te n� k � N� k n a H k�rozm�rn� varieta v En� #�k�me� �e H je regul�rn�� jestli�e ka�d� y� � H m� takov�
okol� U na H � kter� je difeomorfn�m obrazem n�jak� otev�en� mno�iny A prostoru Ek� Tento difeomor�smus se naz�v�regul�rn� lok�ln� parametrizace�
Je�li F t��dy Cm pro v�echny body y� � H � pak varieta H je t�dy Cm�
De�nice ���Nech� n� k � N� k � n� F � Ek �� En�k � Pak grafem zobrazen� F rozum�me mno�inu GrF � f�x� F �x�� j x �
�Fg � En�Podrobn�ji
GrF � f�x�� � � � � xk� xk��� � � � � xn� j �x�� � � � � xk� � �F � �xk��� � � � � xn� � F �x�� � � � � xk�g�
�� Pojem variety ��
P��klad ���F � �f�� f�� � h�� �i �� E�� F je spojit�� Pak
GrF � f�x� y� z� � E� j x � h�� �i� y � f��x�� z � f��x�gneboli
x � t
y � f��t�
z � f��t��
kde t � h�� �i� je k�ivka v E��
Vta ���Nech� n� k � N� k � n� A � Ek je otev�en� a F � A �� En�k spojit�� Pak GrF je k�rozm�rn� varieta v En�
Je�li F � C��A�� pak GrF je regul�rn� k�rozm�rn� varieta� Je�li F � Cm�A�� je varieta GrF � Cm�
D�kaz� De�nujme zobrazen� G � A �� GrF p�edpisem G�x� � �x� F �x��� Pak G je injektivn�� nebo� pro x� y � A�x � y je G�x� � �x� F �x�� � �y� F �y�� � G�y�� Z de�nice grafu plyne� �e G je surrjektivn�� Tedy G je bijekce A naGrF �
Proto�e F je spojit�� je i G spojit�� Proto�e G�� � pr�������k� GrF a projekce je spojit� zobrazen�� je i G�� spojit��co� znamen�� �e G je homeomor�smus�
Tedy GrF je k�rozm�rnou varietou v En a G je jej� glob�ln� parametrizac��Je�li zobrazen� F t��dy C� na A� je G rovn�� t��dy C� na A a matice G��x� m� v libovoln�m bod� x � A hodnost
k� nebo� je�li F � �f�� � � � � fn�k�� pak G�x�� � � � � xk� � �x�� � � � � xk� f��x�� � � � � xk�� � � � � fn�k�x�� � � � � xk��� tak�e
G��x� �
�BBBBBBBBBBB�
� � � � � �� � � � � ����
���� � �
���� � � � � �
�f��x�
�x� �f��x�
�x� � � � �f��xk
�x����
���� � �
����fn�k�x�
�x� �fn�k�x�
�x� � � � �fn�k�xk
�x�
CCCCCCCCCCCA
a tedy jej� submatice tvo�en� prvn�mi k ��dky je I � G je tedy regul�rn�� a t�m p�dem difeomor�smus A na GrF avarieta GrF je regul�rn� varietou�
Je�li F � Cm�A�� je i G � Cm�A� a varieta GrF je t��dy Cm� �
Pozn�mka ���Ka�d� varieta ov�em nemus� b�t je�t� grafem� nap��klad kru�nice�
Vta ���Nech� n� k � N� k � n a H je regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En� Pak H je lok�ln� grafem� tj� pro ka�d� bod
y� � H je okol� U na H takov�� �e U je grafem�Je�li H t��dy Cm� je U grafem zobrazen� t��dy Cm�
D�kaz� Bu! y� � H � Pak existuje regul�rn� lok�ln� parametrizace H v bod� y�� tj� okol� U bodu y� na H � otev�en�mno�ina A � Ek a difeomor�smus F � A �� U � Nech� y� � F �x�� a F � �f�� � � � � fn�� Podle p�edpokladu m� maticeF ��x�� hodnost k� tak�e v n� lze vybrat regul�rn� �tvercovou submatici ��du k� P�edpokl�dejme pro jednoduchost � �eje to submatice tvo�en� prvn�mi k ��dky� tj� submatice�
B��f��x�
�x�� � � � �f��xk
�x�����
� � ����
�fk�x�
�x�� � � � �fk�xk
�x��
CA �
Samoz�ejm� je to bez jmy na obecnosti�
� �� VARIETY V EUKLIDOVSK CH PROSTORECH
Ozna�me i � ��� � � � � k� a Pi projekci v En do i�t�ch sou�adnic� Nech� P � Pi �F � Pak P � Ek �� Ek� Podrobn�jiP � A �� Ek� P � �f�� � � � � fk� a detP ��x�� � �� Ze spojitosti parci�ln�ch derivac� funkc� f�� � � � � fk plyne� �edetP ��x� � � v jist�m okol� bodu x�� Tedy P � Ek �� Ek je regul�rn�m zobrazen�m na tomto okol��
Podle v�ty o lok�ln�m difeomor�smu �v�ta �� existuje okol� V bodu x� tak� �e P je difeomor�smem mno�inyV na n�jakou otev�enou mno�inu v Ek� Nahrad�me�li mno�inu A mno�inou V � okol� U bodu y� na H okol�m F �V �a difeomor�smus F jeho restrikc� F V � lze tedy p�edpokl�dat� �e A � V � tak�e F � A �� H je difeomor�smus�F �A� � U a P je difeomor�smus Ek �� Ek�
Ozna�me P �A� � B� Proto�e P je otev�en� zobrazen�� je B � Ek otev�en� mno�ina a podle v�ty � je P�� �B �� A difeomor�smus� Ozna�me G � F �P��� tak�e G � B �� U je difeomor�smus jako slo�en� dvou difeomor�sm�a
Pi �G � Pi � �F � P��� � �Pi � F � � P�� � P � P�� � idB �
Zobrazen� G m� tedy nutn� tvar G�x� � �x�Q�x��� kde Q � B �� En�k� Varieta U je tedy grafem zobrazen� Q�Je�li H varieta t��dy Cm� jsou v�echna zobrazen� t��dy Cm� tedy Q je t��dy Cm� �
P��klad ���Sf�ra Sn���r�� Nech� n � N� n � a r � R� r �� Polo�me Sn���r� � f�x�� � � � � xn� � En j x��� � � ��x�n � r�g �
fx � En j �x� �� � rg� kde je euklidovsk� vzd�lenost v En� Sn���r� je tedy �n � ���rozm�rn� sf�ra v En o st�eduv po��tku a polom�ru r�
Sn���r� je regul�rn� �n � ���rozm�rn� varieta v En t��dy C�� Podle v�ty ��� sta�� dok�zat� �e je lok�ln� grafemzobrazen� F � En�� �� E�� tj� funkce f o �n� �� prom�nn�ch t��dy C��
Bu! �x��� � � � � x�n� � Sn���r�� pak �x���
� � � � � � �x�n�� � r�� tak�e existuje i � f�� � � � � ng� �e x�i � �� Pro ur�itost
vezm�me x�n ��Zvolme � � R� � � � � x�n a polo�me U � Sn���r����x�� ��� Pak U je okol�m x� na Sn���r� a z�ejm� U je grafem
funkce f�x�� � � � � xn��� �qr� � x�� � � � � � x�n��� kde �f � pr�������n��� U a f � C� na �f �
Sf�ra Sn���r� nen� grafem funkce n� � prom�nn�ch� Je v�ak sjednocen�m dvou graf�� nap�� Sn���r� � Sn��� �r� �Sn��� �r�� kde
Sn��� �r� �
��x�� � � � � xn���
qr� � x�� � � � � � x�n��
�j x�� � � � �� x�n�� � r�
��
Sn��� �r� �
��x�� � � � � xn����
qr� � x�� � � � � � x�n��
�j x�� � � � �� x�n�� � r�
��
Obecn�ji Sn���x�� r� � fx � En j �x� x�� � rg � f�x�� � � � � xn� � En j �x��x����� � � ���xn�x�n�
� � r�g� V�echnatvrzen�� kter� plat� o Sn���r�� plat� i o Sn���x�� r��
P��klad ���Anuloid v E�� Nech� r�� r� � R� � � r� � r�� nech� K je kru�nice v sou�adn� rovin� �y� z� se st�edem na ose y
v bod� ��� r�� �� a polom�rem r�� Rotac� kru�nice K kolem osy z vznikne v E� plocha T zvan� anuloid� T je regul�rn�dvojrozm�rn� varieta v E� t��dy C��
Libovoln� bod �y� z� kru�nice K je tvaru
y � r� � r� cosu u � h�� �i�z � r� sinu�
nebo u � R�P�i rotaci kolem osy z se z nem�n� a pr�m�t do roviny �x� y� opisuje kru�nici o st�edu v po��tku a polom�ru
r� � r� cosu� tedy
x � �r� � r� cosu� cos v
y � �r� � r� cosu� sin v�
Celkem tedy
x � �r� � r� cosu� cos v
y � �r� � r� cosu� sin v
z � r� sinu�
��� Te�ny� Te�n� prostory �
kde u� v jsou parametry glob�ln� parametrizace plochy T �Ozna�me
f��u� v� � �r� � r� cosu� cos v
f��u� v� � �r� � r� cosu� sin v
f��u� v� � r� sinu
a F � �f�� f�� f��� pak F � E� �� T je glob�ln� parametrizace T � F je t��dy C� a lze ov��it� �e je regul�rn�� nen� v�akinjektivn�� Je�li y� � T � x� � E� a F �x�� � y�� pak podle v�ty ��� existuje okol� bodu x� v E�� tj� otev�en� mno�inaA � E�� x� � A takov�� �e F A je difeomor�smus�
Ozna�me U � F �A�� pak U je otev�en� mno�ina na T obsahuj�c� y�� tj� okol� bodu y� na T �F je otev�en� zobrazen���T je tedy regul�rn� varieta�
P��klad ���M�bi�v list� Nech� h� r � R� � � h � r� P je otev�en� "se�ka d�lky h le��c� v ose x se st�edem v bod� ��� r� ���
Nech� sou�adn� rovina �x� z� rotuje kolem osy z po "hel �� p�i�em� rotuje sou�asn� "se�ka P kolem sv�ho st�eduv t�to rovin� o "hel �� Nech� mno�ina M v E� v�ech bod�� jimi� p�i t�to rotaci projdou body "se�ky P �
Libovoln� bod "se�ky P m� tvar �r � u� �� ��� u � ��h� h�� p�i rotaci kolem bodu �r� �� �� v sou�adn� rovin� �xz�opisuje polokru�nici o st�edu �r� �� a polom�ru u� tedy
x � r � u cosv
z � u sin v�
kde v � h�� �i�P�i rotaci kolem osy z se sou�adnice z nem�n� a pr�m�t do sou�adn� roviny �xy� opisuje dvojn�sobnou rychlost�
plnou kru�nici o st�edu v po��tku a polom�ru r � u cos v� Tedy
x � �r � u cos v� cos v
y � �r � u cos v� sin v
z � u sin v�
kde u � ��h� h� a v � h�� �i� Glob�ln� parametrizace M je d�na t�mito rovnicemi�Polo�me
f��u� v� � �r � u cosv� cos v
f��u� v� � �r � u cosv� sin v
f��u� v� � u sin v�
F � �f�� f�� f��� je F � C��E�� a F ���h� h�� h�� �i� � M � Rovn�� v�ak F ���h� h��R� � M �Snadno se je�t� ov���� �e F je regul�rn�� ale nen� bijektivn� a tud�� to nen� homeomor�smus� Podobn� jako v p��kladu
�� plat�� �e ke ka�d�mu bodu �x�� y�� z�� � M existuje �u�� v�� � ��h� h� �R� otev�en� mno�ina A � ��h� h� �R
obsahuj�c� �u�� v�� a okol� U bodu �x�� y�� z�� � M tak� �e F � A �� U je difeomor�smus� Tedy M je regul�rn��rozm�rn� varieta v E� t��dy C��
��� Te�ny� Te�n� prostory
De�nice �� Bu! M � En� M � �� y� �M � u � Vn� #�k�me� �e u je te�n� vektor mno�iny M v y�� jestli�e existuje zobrazen�
G � E� ��M t��dy C� a bod t� � �G takov�� �e G�t�� � y�� G��t�� � u�
Pozn�mka ���Proto�e G � E� �� M je G�t� � �g��t�� � � � � gn�t��� kde gi jsou funkce jedn� prom�nn� a derivace G��t�� je pak
matice typu �n� �� �B� g���t��
���g�n�t��
CA �
� �g���t��� � � � � g�n�t����
� �� VARIETY V EUKLIDOVSK CH PROSTORECH
Tedy u je te�n� vektor v bod� y� k M � pr�v� kdy� existuj� funkce g�� � � � � gn jedn� re�ln� prom�nn�� de�novan�na �t� � �� t� � �� tak� �e pro libovoln� t � �t� � �� t� � �� je �g��t�� � � � � gn�t�� � M � d�le �g��t��� � � � � gn�t��� � y� a�g���t��� � � � � g
�n�t��� � u�
Speci�ln� p��pady�
�� Lze volit t� � � v�dy� sta�� v obecn�m p��pad� m�sto G uv��it G�t� � t��
�� Nulov� vektor je te�n� vektor k libovoln� nepr�zdn� mno�in� M v libovoln�m bod� y� �M � Sta�� volit G�t� � y��t � R a t� � ��
�� Je�li M � En nepr�zdn� a otev�en�� je libovoln� vektor u � Vn te�n� k M v libovoln�m jej�m bod� y� � M �Je�li u � Vn libovoln�� ale pevn�� pak existuje � � takov�� �e y�� tu �M pro �t � ���� ���� Nyn� sta�� polo�itG�t� � y� � tu� t � ���� ��� t� � ��
Ozna�en� Nech� V je vektorov� prostor� M � V � M � � generuje podprostor tohoto prostoru V �je tvo�en v�emiline�rn�mi kombinacemi kone�n�ch mno�in vektor� vybran�ch z M�� Zna��me jej LinM �naz�v�me line�rn� obal��
Vta ����Bu! n� k � N� k n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a F jej� regul�rn� lok�ln� parametrizace v y� � F �x���
Pak u � Vn je te�n� vektor k H v bod� y�� pr�v� kdy� u � LinfF �j��x��� � � � � F �jk�x��g�
D�kaz�
�� Nech� u � LinfF �j��x��� � � � � F �jk�x��g� pak existuj� c�� � � � � ck � R takov�� �e u � c�F�j��x�� � � � � � ckF
�jk�x���
Ozna��me�li c � Vk� pak u � F ��x��c�
Nech� � � takov�� �e x� � tc � �F pro �t � ���� ��� Takov� � existuje� nebo� �F je otev�en� mno�inav Ek� De�nujme G � E� �� H � konkr�tn� G � ���� �� �� H takov�� �e t �� F �x� � tc�� Pak G je t��dy C��G��� � F �x�� � y� a podle de�nice sm�rov� derivace G���� � F �c�x�� � F ��x��c � u� Tedy u je te�n� vektork H v bod� y��
� Nech� u je te�n� k H v bod� y�� Pak existuje G � E� �� H t��dy C� a t� � �G takov�� �e G�t�� � y� aG��t�� � u� Podle p�edpokladu existuje otev�en� mno�ina A � Ek � x� � A a okol� U bodu y� na variet� Htakov�� �e F � A �� U je difeomor�smus� Bu! V � G���U� � ft � E� j G�t� � Ug� Pak V je otev�en�mno�ina� nebo� G je spojit� a G V � V �� U � Nahrad�me�li G zobrazen�m G V � lze p�edpokl�dat� �e �G � V �
Polo�me Q � F�� �G � E� �� Ek� tedy m� k sou�adnic & funkc� jedn� re�ln� prom�nn�� Q�t�� � F���G�t��� �F���y�� � x�� Podle v�ty ��� je toto zobrazen� t��dy C� a plat� G � F � Q� Podle pravidla pro derivov�n�superpozice plat�
G��t�� � �F �Q���t�� � F ��Q�t��� �Q��t�� � F ��x�� �Q��t�� � F ��x�� �
�B�
q���t�����
q�k�t��
CA �
� F �j��x�� � q���t�� � � � �� F �jk�x�� � q�k�t���
tak�e u � LinfF �j��x��� � � � � Fjkg�Je�li F � �f�� � � � � fn�� podrobn�ji
y� � f��x�� � � � � xk� � � � yn � fn�x�� � � � � xk�
regul�rn� lok�ln� parametrizace variety H v bod� y� � F �x��� pak u � Vn je te�n� k variet� H v bod� y�� pr�v�kdy�
u � c�
��f��x�
�x��� � � � ��fn�x�
�x��
�� � � �� ck
��f��xk
�x��� � � � ��fn�xk
�x��
��
�
Je to proto e mnoina M je otev�en��
��� Norm�ly� Norm�lov� prostory �
D�sledek ����Nech� n� k � N� k n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a y� � H � Pak mno�ina v�ech te�n�ch vektor� variety
H v bod� y� je k�rozm�rn�m podprostorem ve Vn�
D�kaz� k rozm�r� tohoto podprostoru plyne z regularity F ��x��� �
De�nice ����Nech� n� k � N� k � n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a y� � H � Mno�ina v�ech te�n�ch vektor� variety H
v bod� y� se naz�v� te�n� prostor variety H v bod� y�� Zna��me jej TH�y���k�rozm�rn� nadrovina v En jdouc� bodem y� a jej�m� zam��en�m je pr�v� TH�y�� se naz�v� te�n� nadrovina variety
H v bod� y��
P��klad ���Nech� k � �� n � � jde o regul�rn� k�ivku v E�� Nech� k � � n � �� jde o regul�rn� plochu v E��
Te�n� nadrovina variety H p�i lok�ln� parametrizaci F je tedy mno�ina v�ech bod� tvaru y� � u� kde u � TH�y���neboli y � y� � t�F
�j��x�� � � � �� tkF
�jk�x��� kde t�� � � � � tk � R�
Vta ����Bu!te n� k � N� k n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a F jej� regul�rn� lok�ln� parametrizace v bod�
y� � F �x��� Pak TH�y�� � �dF �x�� � dF �x���Vk��
D�kaz� Podle v�ty ���� je TH�y�� � LinfF �j��x��� � � � � F �jk�x��g� Av�ak pro u � Vn plat� u � LinfF �j��x��� � � � � F �jk�x��g�pr�v� kdy� existuj� c�� � � � � ck � R takov�� �e u � c�F
�j��x�� � � � �� ckF
�jk�x�� � F ��x��c� kde c � �c�� � � � � ck��
Tak� v�me� �e F ��x��c � dF �x���c�� Tedy m�me tvrzen� v�ty� �e TH�y�� � �dF �x�� � dF �x���Vk�� �
��� Norm�ly� Norm�lov� prostory
De�nice ����Bu! n� k � N� k � n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a y� � H � Vektor v � Vn se naz�v� norm�lov� vektor
variety H v bod� y�� je�li v ortogon�ln� k podprostoru TH�y���
Pozn�mka ����Z line�rn� algebry zn�me tento fakt Je�li F regul�rn� parametrizaceH v bod� y� � F �x��� pak v � Vn je norm�lov��
pr�v� kdy� v�F �j��x��� � � � �v�F �jk�x�� a to je� pr�v� kdy� �v� F �j��x��� � �v� F �j��x��� � � � � � �v� F �jk�x��� � ��
Pozn�mka ����D�le z line�rn� algebry zn�me tento pojem Nech� V je vektorov� prostor se skal�rn�m sou�inem a U jeho pod�
prostor� Ortogon�ln� dopln�k U� je mno�ina v�ech vektor� v � V ortogon�ln�ch k podprostoru U � U� je line�rn�podprostor prostoru V a plat� dimU � dimU� � dimV � Je�li V kone�n�dimenzion�ln�� dimV � n a dimU � k� pakdimU� � n� k�
D�sledek ����Bu!te n� k � N� k n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a y� � H � Pak mno�ina v�ech norm�lov�ch vektor�
variety H v bod� y� je rovna �TH�y���� a je �n� k��rozm�rn�m podprostorem prostoru Vn�
De�nice ��� Bu!te n� k � N� k n� H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En a y� � H � Mno�ina v�ech norm�loov�ch vektor�
k variet� H v bod� y� se naz�v� norm�lov� prostor variety H v bod� y� a zna�� se NH�y����n� k��rozm�rn� nadrovina v En jdouc� bodem y� a jej�m� zam��en�m je NH�y�� se naz�v� norm�lov� nadrovina
v bod� y��P�itom NH�y�� � �TH�y���
� a TH�y�� � �NH�y����� tedy TH�y�� a NH�y�� jsou vz�jemn� ortogon�ln� dopl$ky
v En�
�� VARIETY V EUKLIDOVSK CH PROSTORECH
P��klad ���Nech� k � �� Nech� F � ��� �� �� En je difeomor�smus� tj� F je homeomor�smus� je�li F � �f�� � � � � fn�� speci�ln�
F �t� � �f��t�� � � � � fn�t��� pak f�� � � � � fn � C����� ��� a Jacobiho matice
F ��t� �
�B�
f ���t����
f �n�t�
CA � �f ���t�� � � � � f
�n�t��
je nenulov� vektor pro �t � ��� ��� Mno�ina C � F ���� ��� je regul�rn� k�ivka v En� Pro libovoln� bod y� � F �t�� � Cje TC�y�� � LinfF ��t��g � fk � F ��t�� j k � Rg�
Te�na C v bod� y� je p��mka y � y� � t � F ��t��� kde t � R� NC�y�� � �TC�y����� fu � Vn j u�F ��t��g�
P��klad �� 'roubovice v E� je k�ivka C o parametrizaci
x � a cos t� y � a sin t� z � at�
kde a � R� a � konstantn�� t � R� Uka�te� �e C je regul�rn� a najd�te jej� te�n� prostor� te�nu� norm�lov� prostora norm�lovou rovinu v bod� y �
��� a� a��
�
Nech� F �t� � �a cos t� a sin t� at�� F � C���������� F ��t� � ��a sin t� a cos t� a� � � pro v�echna t� F je injektivn� apro �x� y� z� � C je F���x� y� z� � �
az� co� je spojit� funkce� Tedy F je difeomor�smus a C � F ������ je regul�rn�
k�ivka v E��Bod
��� a� a��
� F
���
� derivace v tomto bod� F �
���
� ��a� �� a� � �a��� ������ vektor ��� ����� je te�n� vektor
k C v bod���� a� a��
a TC
��� a� a��
� Linf��� �����g � f�k� ���k� j k � Rg�
Te�na k C v bod� y� ���� a� a��
m� parametrick� rovnice
x � t� y � a� z � a�
� t�
kde t � R�NC
��� a� a��
��TC
��� a� a��
�� fu � V� j u��� ����� � �g� Je�li u � �u�� u�� u��� pak u� � u� � �� Odtud
NC
��� a� a��
� f�u�� u�� u�� j u�� u� � Rg� B�zi NC
��� a� a��
tvo�� nap��klad vektory ��� �� ��� ��� �� ���
Norm�lov� rovina k C v bod���� a� a��
m� parametrizaci
x � r� y � a� s� z � a�
� r�
kde r� s � R nebo obecnou rovnici
x� z � a�
� �
x� z � a�
� �
P��klad ���k � Nech� A � E� je otev�en� mno�ina� n p�irozen� ��slo a F � A �� En difeomor�smus� Tedy F je
homeomor�smus a je�li F � �f�� � � � � fn�� tedy F �u� v� � �f��u� v�� � � � � fn�u� v��� pak f�� � � � � fn � C��A� a
F ��u�� v�� �
�B�
�f��u
�u�� v���f��v
�u�� v�����
����fn�u
�u�� v���fn�v
�u�� v��
CA
m� hodnost pro ��u� v� � A� Pak S � F �A� je regul�rn� plocha v En�Vektory
F �j��u�� v�� �
��f��u
�u�� v��� � � � ��fn�u
�u�� v��
��
F �j��u�� v�� �
��f��v
�u�� v��� � � � ��fn�v
�u�� v��
�
��� Obecn� zad�n� variet �
jsou te�n� k S v bod� y� � �y�� � � � � � y�n� � �f��u�� v��� � � � � fn�u�� v���� TS�y�� � LinfF �j��u�� v��� F �j��u�� v��g �
fk�F �j��u�� v�� � k�F�j��u�� v�� j k�� k� � Rg� NS�y�� � �TS�y���
��Te�n� rovina k S v bod� y� m� parametrizaci
y � y� � rF �j��u�� v�� � sF �j��u�� v���
P��klad ����Najd�te te�n� a norm�lov� prostory a nadroviny k anuloidu
x � �r� � r� cosu� cos v
y � �r� � r� cosu� sin v
z � r� sinu�
kde � � r� � r� a u� v � ������� v jeho bod� �r�� �� r���Jeliko� F �u� v� � ��r� � r� cosu� cos v� �r� � r� cosu� sin v� r� sinu�� proto �r�� �� r�� � F
��� � �
�
F �j��u� v� � ��r� sinu cosv��r� sinu sin v� r� cosu�� F �j���� ��� ��r�� �� �� � �r���� �� ��
F �j��u� v� � ���r� � r� cosu� sin v� �r� � r� cosu� cos v� ��� F �j���� ��� ��� r�� �� � r���� �� ��
Te�n� prostor TS�r�� �� r�� � Linf��� �� ��� ��� �� ��g� f�k�� k�� �� j k�� k� � Rg a te�n� rovina tedy m� parametrickourovnici
x � r� � r� y � s� z � r��
kde r� s � R� nebo obecnou rovnici z � r� � ��Norm�lov� prostor NS�r�� �� r�� � Linf��� �� ��g � f��� �� k� j k � Rg a norm�la m� parametrickou rovnici
x � r�� y � �� z � r� � t�
kde t � R�
��� Obecn� zad�n� variet
Variety b�vaj� zad�ny rovnicemi� nap��klad sf�ra S�n��r�
x�� � � � �� x�n � r��
Toto zad�n� naz�v�me obecn� popis variety�Nech� n� k � N� k � n� Ozna�me m � n � k� tj� k �m � n� Nech� g�� � � � � gm jsou funkce n prom�nn�ch� Nech�
H � En je mno�ina v�ech bod� En� kter� spl$uj� podm�nky
g��x�� � � � � xn� � �� � � � � gm�x�� � � � � xn� � ��
Za jist�ch p�edpoklad� je H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En� Ozna�me G � �g�� � � � � gm�� tak�e G � En �� Em aH � fx � En j G�x� � �g�
Z line�rn� algebry zn�me pojem j�dra Nech� V a W jsou vektorov� prostory� � � V �� W je line�rn� zobrazen��Pak symbolem Ker� zna��me j�dro zobrazen� � a de�nujeme jej Ker� � fu � V j ��u� � �g� V�me� �e Ker� jevektorov� podprostor vektorov�ho prostoru V �
Vta ����Nech� n� k � N� k � n� m � n � k a G � �g�� � � � � gm� � En �� Em� Nech� je G regul�rn� zobrazen�� Je�li
H � fx � �G j G�x� � �g � �� pak je regul�rn� k�rozm�rnou varietou ve Vn�Pro x� � H je norm�lov� prostor NH�x�� � Linfg���x��� � � � � g�m�x��g a te�n� prostor TH�x�� � �NH�x���
� �KerdG�x���
Je�li G � Cp� pak je i varieta H t��dy Cp�
D�kaz� D�kaz t�to v�ty je uveden ve skriptu (�) na stran�ch � a ��� �
� �� VARIETY V EUKLIDOVSK CH PROSTORECH
P��klad ����H � E� je mno�ina v�ech bod� �x� y� z� � E� spl$uj�c�ch rovnice
x� � y� � z� � �� x� y � z � ��
Doka�te� �e H je regul�rn� k�ivka v E� a najd�te jej� te�nu v bod��p
�� ��
p�� � �
��
Ozna�meg��x� y� z� � x� � y� � z� � �� g��x� y� z� � x� y � z� G � �g�� g���
tak�e G � E� �� E� a H � f�x� y� z� � E� j G�x� y� z� � � � ��� ��g�K d�kazu prvn�ho tvrzen� sta�� podle v�ty ���� ov��it� �e G je regul�rn� zobrzen� a H � �� Z�ejm� G � C��E���
tedy
G��x� y� z� ��
x y z� � �
��
Tato matice nen� regul�rn� pro ty body v E�� pro n�� plat� x � y � z� ale ��dn� takov� bod nele�� na H � Polo�me
tedy A � E� � f�x� x� x� j x � Rg a uva�me G � A �� E�� Pak G je regul�rn�� Proto�e�p
�� ��
p�� � �
�� H � je H � �
a podle v�ty ���� je regul�rn� k�ivkou v E��
Podle v�ty ���� je TH�p
�� ��
p�� � �
�� KerdG
�p�� ��
p�� � �
�� P�itom
dG�x� y� z��u� �
�x y z� � �
�u � �xu� � yu� � zu�� u� � u� � u��
a tedy dG�p
�� ��
p�� � �
��u� �
�pu� �
pu�� u� � u� � u�
�� J�dro KerdG
�p�� ��
p�� � �
�je tvo�eno t�mi vektory
u � �u�� u�� u�� � V�� pro n�� plat�u� � u�� u� � �u� � u� � �u��
tedy KerdG�p
�� ��
p�� � �
�� f�x� x��x� j x � Rg� Vektor ��� ���� je b�ze TH
�p�� ��
p�� � �
�� tak�e te�na v bod��p
�� ��
p�� � �
�m� parametrizaci
x � t�
p
� y � t�
p
� z � �t�
Jin� metoda� Podle v�ty ���� je
NH
�p
��p
� �
�� Lin
�g��
�p
��p
� �
�� g��
�p
��p
� �
���
� Linnhp
��p� �i� ��� �� ��
o� Linf������ ��� ��� �� ��g�
Proto�e TH�x� � �NH�x���� sta�� ve V� naj�t�� nenulov� vektor u� pro kter� bude plat�t u������� �� a u���� �� ���Jin� mo�nost� jak tento vektor nal�zt spo��v� ve vypo��t�n� vektorov�ho sou�inu vektor� ������ �� a ��� �� ��� kter�
je de�nov�n
�u�� u�� u��� �v�� v�� v�� �
����� u� u�v� v�
���� ����� u� u�v� v�
���� ����� u� u�v� v�
������
��� Jet� o difeomor�smu
Vta ����Nech� n� k � N� k � n� Pak neexistuje difeomor�smus zobrazuj�c� otev�enou nepr�zdnou mno�inu v En na
otev�enou nepr�zdnou mno�inu v Ek�
D�kaz� P�edpokl�djme� �e existuj� otev�en� mno�iny A � En a B � Ek � A � � � B a difeomor�smus F � A �� B�Zvolme libovoln� bod x� � A a polo�me G�x� � F �x��F �x��� Pak G je zobrazen� G � En �� Vk a G��x� � F ��x�
pro x � A� Tedy G je regul�rn�m zobrazen�m� Ozna�me H � fx � A j G�x� � �g� Pak H � �� proto�e x� � H � Podlev�ty ���� je H regul�rn� �n� k��rozm�rn� varieta v En� tak�e H je nespo�etn�� Av�ak H � fx � A j F �x� � F �x��g�Tedy pro nekone�n� mnoho bod� x � A plat� F �x� � F �x��� co� je spor s p�edpokladem� �e F je difeomor�smus�
�
��Tento vektor se naleze pomoc� homogenn� soustavy rovnic �viz Line�rn� algebra��
� Extrmy funkc� na variet�ch
�� Extr�my a stacion�rn� bod
De�nice ���Nech� n� k � N� k n� H je k�rozm�rn� varieta v En a f funkce n prom�nn�ch� #�k�me� �e f m� v bod�
y� � H lok�ln� maximum �resp� minimum vzhledem k H � jestli�e existuje okol� U bodu y� na H takov�� �e U � �fa f�y� f�y�� �resp� f�y� � f�y��� pro �y � U �
Pozn�mka ���Extr�m na variet� se tak� naz�v� v�zan� extr�m�
Vta ���Bu!te n� k � N� k n� H je k�rozm�rn� varieta v En a f funkce n prom�nn�ch� Nech� y� � H a F je lok�ln�
parametrizace H v bod� y� � F �x��� Funkce f m� v bod� y� lok�ln� maximum �resp� minimum� vzhledem k variet�H � pr�v� kdy� funkce f � F m� v bod� x� lok�ln� maximum �resp� minimum��
D�kaz� Podle p�edpokladu existuje otev�en� mno�ina A � Ek� okol� U bodu y� na H tak� �e F � A �� U jehomeomor�smus�
� Nech� f m� v bod� y� lok�ln� maximum vzhledem k H � Pak existuje okol� V bodu y� na H tak� �e plat�f�y� f�y�� pro �y � V � Bez "jmy na obecnosti p�edpokl�dejme� �e V � U � Bu! W � F���V �� Pak W � Aje otev�en�� nebo� F je spojit�� a obsahuje x�� tj� je okol�m x� v Ek � Pro x � W plat� �f � F ��x� � f�F �x�� f�y�� � f�F �x��� � �f � F ��x��� nebo� F �x� � V �
Funkce f � F m� tedy lok�ln� maximum v bod� x��
�� Nech� funkce f �F m� lok�ln� maximum v bod� x�� Existuje tedy okol� W bodu x� v Ek tak� �e W � ��f �F � a�f �F ��x� �f �F ��x�� pro x �W � Pak W � �F � A� Ozna�me F �W � � V � Pak V � U je otev�en� mno�ina�nebo� F jako�to homeomor�smus je otev�en� zobrazen� a obsahuje y�� V je tedy okol�m y� na H � Bu! y � V �Pak existuje x � W takov�� �e F �x� � y� Plat� �f � F ��x� � f�F �x�� � f�y� �f � F ��x�� � f�F �x��� � f�y���f tedy m� v bod� y� lok�ln� maximum vzhledem k variet� H �
D�kaz pro lok�ln� minimum se provede zcela analogicky� pouze nahrazen�m znam�nek na �� �
Hled�n� extr�mu vzhledem k variet� H je tedy tot��� jako hled�n� extr�mu slo�en� funkce f � F � kde F je glob�ln�parametrizac� variety H � nebo alespo$ lok�ln� parametrizac� v bod� o�ek�van�ho extr�mu�
P��klad ���Najd�te lok�ln� extr�my funkce f�x� y� z� � x� y � z na �roubovici
x � a cos t� y � a sin t� z � at�
kde t � R� a ��Tedy F �t� � �a cos t� a sin t� at�� Slo�en� funkce �f � F ��t� � g�t� � a cos t� a sin t� at� kde t � R� Hled�me takov�
t� �e g��t� � �
a�� sin t� cos t� �� � �
�� sin t� cos t � �
sin t � � � cos t
sin� t � � � cos t� cos� t
�� cos� t � � � cos t� cos� t
cos� t� cos t � �
Pokud cos t � �� znamen� to� �e t � �� � k�� av�ak vyhovuje jen t � �
� � k�� Pokud cos t � ��� pak t � � � k��Nyn� je�t� druhou derivaci g���t� � a�� cos t� sin t� � �a�sin t� cos t�
� g����� � k�
� �a� tedy v bodech tk � �
� � k� je ostr� lok�ln� maximum�
�� EXTR�MY FUNKC� NA VARIET�CH
� g����k � ���� � a� tedy v bodech t�k � �k � ��� je ostr� lok�ln� minimum�
f � F je t��dy C�� tedy podm�nka nutn� pro extr�m v bod� x� je �f � F ���x� � �� f � F je t��dy C�� pokud f je t��dyC� a F je difeomor�smus� tj� H je regul�rn� varieta�
De�nice ���Nech� n� k � N� k n� H je regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En� y� � H a f je funkce n prom�nn�ch� #ekneme� �e
y� je stacion�rn� bod funkce f vzhledem k variet� H � jestli�e existuje regul�rn� lok�ln� parametrizace F � A �� U � kdeA je otev�en� mno�ina� U okol� bodu y� na H � variety H v bod� y� � F �x�� takov�� �e U � ��f �F �� �f �F ���x�� � ��
Pozn�mka ���De�nice stacion�rn�ho bodu f vzhledem k variet� H nez�vis� na volb� regul�rn� lok�ln� parametrizace F � D�kaz
tohoto tvrzen� je uveden ve skriptu (�) na stran� ����
��� Metoda Lagrangeov�ch multiplik�tor�
V tomto odstavci uvedeme zcela z�sadn� v�tu� kter� m� zcela z�sadn� v�znam pro celou tuto kapitolu�
Pozn�mka ���Na tomto m�st� si op�t p�ipome$me� �e H b�v� zad�na rovnicemi� Je�li G � En �� Em regul�rn� zobrazen� a
H � fx � �G j G�x� � �g � �� pak podle v�ty ���� je H regul�rn� k�rozm�rn� varieta v En� kde k � n�m�
Vta ��� Metoda Lagrangeov�ch multiplik�tor�
Nech� n� k � N� k � n� m � n � k a G � �g�� � � � � gm� � En �� Em regul�rn� zobrazen�� Nech� H � fx �En j G�x� � �g � �� Nech� f je funkce n prom�nn�ch t��dy C���G�� Bod x� � H je stacion�rn�m bodem funkce fvzhledem k variet� H � pr�v� kdy� f ��x�� � Linfg���x��� � � � � g�m�x��g�
D�kaz� Existuje regul�rn� lok�ln� parametrizace H v bod� x�� tj� difeomor�smus F � A �� U � kde A � Ek�k � n �m� je otev�en�� U okol� bodu x� na H � nech� x� � F �t��� Bod x� je stacion�rn� pro f vzhledem k variet�H � pr�v� kdy� �f � F ���t�� � �� tj� �f � F ��ji�t�� � � pro i � �� � � � � k� Podle pravidla pro derivov�ln� slo�en� funkceplat� �f � F ��ji�t�� � f ��F �t���F �ji�t�� � f ��x��F �ji�t��� Tedy x� je stacion�rn� bod funkce f vzhledem k variet� H �pr�v� kdy� f ��x��F �ji�t�� � � pro i � �� � � � � k a to je pr�v� kdy� f ��x�� je ortogon�ln� ke v�em vektor�m F �ji�t�� pro
i � �� � � � � k a to je pr�v� kdy� f ��x�� � NH�x�� a to je pr�v� kdy� f ��x�� � Linfg���x��� � � � � g�m�x��g podle v�ty ������
Pozn�mka �� Podm�nka f ��x�� � Linfg���x��� � � � � g�m�x��g znamen�� �e existuj� c�� � � � � cm � R takov�� �e f ��x�� � c�g
���x�� �
� � �� cmg�m�x��� *�sla c�� � � � � cm naz�v�me Lagrangeovy multiplik�tory� Rovnost f ��x�� � c�g
���x�� � � � �� cmg
�m�x��
lze zapsat �f � c�g�� � � � � cmgm���x�� � �� tj� ozna��me�li � � f � c�g�� � � � � cmgm� plat� ��
�xi�x�� � � pro libovoln�
i � �� � � � � n�Odtud plyne algoritmus nalezen� stacion�rn�ch bod� funkce f vzhledem k variet� H dan� funkcemi g� � �� � � � � gm �
�
�� Sestav�me tzv� Lagrangeovu funkci � � f � c�g� � � � � � cmgm s neur�it�mi hodnotami ��sel c�� � � � � cm�
�� Parci�ln� derivace funkce � polo��me rovny nule
��
�x�� �� � � � �
��
�xn� �
a p�id�me g� � �� � � � � gm � ��
�� #e��me vznikl� syst�m n�m rovnic pro n�m nezn�m�ch x�� � � � � xn� c�� � � � � cm�
��� Posta�uj�c� podm�nka pro extr�my na variet�ch �
��� Posta�uj�c� podm�nka pro extr�my na variet�ch
Nyn� vyslov�me posta�uj�c� podm�nku pro existenci extr�mu�
Vta ���Nech� n�m � N� m � n� G � En �� Em je regul�rn� zobrazen� t��dy C�� H � fx � En j G�x� � �g � �� nech� f
je funkce n prom�nn�ch t��dy C���G�� x� � H je stacion�rn� bod f vzhledem k variet� H � Nech� � je Lagrangeovafunkce f pro x�� � � d���x�� TH�x��� Je�li kvadratick� forma � kladn� de�nitn�� m� funkce f v bod� x� ostr� lok�ln�minimum� Je�li z�porn� de�nitn�� m� funkce f v bod� x� ostr� lok�ln� maximum� Je�li inde�nitn�� pak v tomto bod�nen� extr�m�
D�kaz� Nech� G � �g�� � � � � gm� a bu!te c�� � � � � cm Lagrangeovy multiplik�tory funkce f pro bod x�� Tedy � � f�c�g��� � ��cmgm� speci�ln� ��x�� � f�x���c�g��x���� � ��cmgm�x�� � f�x��� nebo� x� � H � tj� g��x�� � �� � � � � gm�x�� � ��Funkce f m� v bod� x� lok�ln� maximum vzhledem k H � pr�v� kdy� existuje okol� U bodu x� na variet� H tak� �eplat� x � U � f�x� f�x��� Av�ak pro x � U plat� ��x� � f�x� � c�g��x� � � � � � cmgm�x� � f�x�� nebo�g��x� � �� � � � � gm�x� � �� Tedy implikace x � U � f�x� f�x�� je ekvivalentn� implikaci x � U � ��x� ��x���
Tedy f m� v bod� x� lok�ln� maximum �resp� minimum� vzhledem k H � pr�v� kdy� Lagrangeova funkce � m�v bod� x� lok�ln� maximum �resp� minimum� vzhledem k H � Analogicky f nem� v x� extr�m k H � pr�v� kdy� � nem�v x� extr�m vzhledem k H �
Bu! F regul�rn� lok�ln� parametrizace variety H t��dy C� v bod� x� � F �t��� Podle v�ty ��� m� f v bod� x� lok�ln�maximum �resp� minimum� vzhledem k variet� H � p��padn� � nem� v x� extr�m vzhledem k variet� H � pr�v� kdy�superpozice � � F m� v bod� t� voln� lok�ln� maximum �resp� minimum�� resp� � � F nem� v bod� t� voln� extr�m�K tomu sta��� aby d��� � F ��t�� byl z�porn� �resp� kladn�� de�nitn� kvadratickou formou� resp� aby d��� � F ��t�� bylinde�nitn� kvadratickou formou�
Lze dok�zat� �e je�li F t��dy C� v bod� x�� g t��dy C� v bod� y � F �x��� pak
d��g � F ��x�� � d�g�F �x�� � dF �x�� � dg�F �x��� � d�F �x�� �� d�g�y�� � dF �x�� � dg�y�� � d�F �x���
Plat�� �ed��� � F ��t�� � d���x�� � dF �t�� � d��x�� � d�F �t�� � d���x�� � dF �t���
nebo� d��x�� � �� proto�e x� je stacion�rn� bod �� ���xi
�x�� � � pro �i � �� � � � � n�
Podle v�ty ���� plat� �dF �t�� � TH�x��� tak�e d���x���dF �t�� � d���x�� TH�x�� � �� Je�li tedy � kladn� �resp�z�porn�� de�nitn�� m� � �F v bod� t� ostr� �voln�� lok�ln� minimum �resp� maximum� a f m� v bod� x� ostr� lok�ln�minimum �resp� maximum� vzhledem k H � Je�li � inde�nitn�� nem� ��F v bod� t� extr�m a f nem� v bod� x� extr�mvzhledem k H � �
Pozn�mka ����Podle v�ty ���� je te�n� prostor TH�x�� � Ker dG�x�� � fu � Vn j dG�x���u� � �g� Proto�e
dG�x���u� � G��x��u �
�B�
�g��x�
�x�� � � � �g��xn
�x�����
� � ����
�gm�x�
�x�� � � � �gm�xn
�x��
CA �u�� � � � � un� �
�
��g��x�
�x��u� � � � �� �g��xn
�x��un� � � � ��gm�x�
�x��u� � � � �� �gm�xn
�x��un
��
Tedy KerdG�x�� je mno�ina v�ech vektor� u � �u�� � � � � un� � Vn� jejich� sou�adnice spl$uj� syst�m rovnic
�g��x�
�x��u� � � � �� �g��xn
�x��un � �
����gm�x�
�x��u� � � � �� �gm�xn
�x��un � ��
�� �� EXTR�MY FUNKC� NA VARIET�CH
kter� dostaneme derivov�n�m rovnicg� � �� � � � � gm � �
variety H �Proto�e G je regul�rn�� m� matice syst�mu hodnost m� tak�e existuj� indexy i�� � � � � im � f�� � � � � ng takov�� �e
detG�ji������im�x�� � �� Lze tedy ui� � � � � � uim z tohoto syst�mu vyj�d�it jako line�rn� formy zb�vaj�c�ch prom�nn�ch�
Dosazen�m do d���x�� dostaneme d���x�� TH�x�� � �� co� je kvadratick� forma v n�m prom�nn�ch�Z v��e uveden�ho plyne algoritmus pro hled�n� extr�m� funkce f�x�� � � � � xn� na variet� H dan� rovnicemi G �
�g�� � � � � gm� � �
�� Vypo��t�me stacion�rn� body a Lagrangeovu funkci ��
�� Pro ka�d� stacion�rn� bod x� a p��slu�nou funkci � sestroj�me d���x���u��
�� Zkonstruujeme syst�m line�rn�ch rovnic
�g��x�
�x��u� � � � �� �g��xn
�x��un � �
����gm�x�
�x��u� � � � �� �gm�xn
�x��un � ��
a pomoc� ui� � � � � � uim j�d��me zb�vaj�c� prom�nn��
� Dosad�me vypo�ten� line�rn� formy pro ui� � � � � � uim do d���x��u� Dostaneme d���x�� TH�x�� � � a zjist�mepro � jak� je a jej� extr�m�
P��klad ���Najd�te extr�mn� hodnoty vzd�lenosti po��tku od k�ivky �x� � �xy � �y� � � � �� kde pro vzd�lenost plat�
��x� y� � x� � y��Tedy po��tejme podle p�ede�l�ho algoritmu
��
��x� y� � x� � y� � c��x� � �xy � �y� � ��
��
�x� x� c���x� �y� � � c �
x
�x� �y
��
�y� y � c��x� ��y� � � c �
y
�x� �y
�x� � �xy � �y� � �
Tedy �e��me rovnici
x
�x� �y�
y
�x� �y
�x� � �xy � �xy � �y�
x� � y�
y � �x
M�me tedy dv� mo�nosti
� Je�li y � x� pak ��x� � � a tedy x � �p�� a y � �
p�� � Tedy m�me
x� �
�p
�
p
�� x� �
��p
��p
�� c �
�
��
��� Posta�uj�c� podm�nka pro extr�my na variet�ch ��
� Je�li y � �x� pak �x� � � a tedy x � �p a y � �p� Tedy m�me
x� ��p
��p�� x �
��p�
p�� c �
�
�
�����
�x�� � ��c�
���
�y�� � ��c�
���
�xy� ��c�
Tedy d���x��u� � �� ��c�u�� � �cu�u� � �� ��c�u��� V na�ich bodech to �in�
� d���x�����u� ��u
�� � �
�u�u� ��u
�� �
� �u� � u��
� je semide�nitn� forma�
� d���x����u� � ��u�� � �u�u� � �u�� � ���u� � u��� je tak� semide�nitn� forma�
�� ���x� �y�u� � ��x� ��y�u� � �� tedy u� � � x��y�x�yu��
� Pro body x�� x� je y � x� tedy u� � �u�� tak�e
d���x���� TH�x���� ��
��u��
� � �u��
je kladn� de�nitn� a tedy v bodech x�� x� je lok�ln� minimum�
Pro body x�� x je y � �x� tedy u� � u�� tak�e
d���x��� TH�x��� � ���u��� � ��u��je z�porn� de�nitn� a tedy v bodech x�� x je ostr� lok�ln� maximum�
Tedy
� minf�x� y� j �x� y� � Hg � �x�� � �x�� � ��
� maxf�x� y� j �x� y� � Hg � �x�� � �x� � �
P��klad ���Najd�te lok�ln� extr�my funkce f�x� y� z� � xyz na variet� H
x� y � z � � xy � xz � yz � ��
�� Lagrangeova funkce � � xyz � c��x� y � z � ��� c��xy � xz � yz � ��� derivacemi
��
�x� yz � c� � c��y � z� � �
��
�y� xz � c� � c��x� z� � �
��
�z� xy � c� � c��x� y� � ��
K soustav� p�id�me je�t�
x� y � z � �
xy � xz � yz � �
a �e��me�
Zbytek v�po�tu nech�v�me na �ten��i�
�� !� DVOJN INTEGR�L
��st II
Rieman�v integr�l v En
� Dvojn� integr�l
�� D�len�� Doln� a horn� sou�et
De�nice ���Nech� a� b� c� d � R� a � b� c � d� Symbolem R � ha� bi � hc� di � E� budeme rozum�t obd�ln�k v rovin�� D�le
nech� D�x� � fx�� x�� � � � � xmg je d�len� intervalu ha� bi a D�y� � fy�� y�� � � � � yng je d�len� intervalu hc� di� Ozna�meRik � hxi��� xii � hyk��� yki� Syst�m obd�ln�k�
fRik j i � �� � � � � �m� k � �� � � � � � ngnazveme d�len� obd�ln�ku R a ozna��me je D � D�x� �D�y��
P��klad d�len� ukazuje obr�zek ��
a b
c
d
Obr�zek � P��klad d�len� obd�ln�ku R
Ozna�en�� D�R� � D budeme ch�pat jako mno�inu v�ech d�len� obd�ln�ku R�
De�nice ���D� � D
�x�� �D
�y�� je zjem�n� D � D�x� �D�y�� je�li D�x�
� zjem�n� D�x� a sou�asn� D�y�� je zjem�n�m D�y��
Obd�ln�ky Rik budeme naz�vat d�lky� D� je zjem�n�m D pr�v� kdy� ka�d� d�lek D je rozd�len na n�kolik d�lk�d�len� D��
De�nice ���Bu! f � f�x� y� funkce omezen� na R� D � D�x� �D�y� � fRik j i � �� � � � � �m� k � �� � � � � � ng � D� Polo�me
mik � infff�x� y� j �x� y� � RikgMik � supff�x� y� j �x� y� � Rikg
a de�nujme ��slo
s�D� f� �
mXi��
nXk��
mik�xi � xi����yk � yk���
jako doln� sou�et a ��slo
S�D� f� �
mXi��
nXk��
Mik�xi � xi����yk � yk���
!�� Doln� a horn� integr�l ��
jako horn� sou�et�Nazv�me �b� a��d� c� m�rou �obsahem obd�ln�ka R a ozna�me mR� D�le nech� I � f�i� k� j i � �� � � � � �m� k �
�� � � � � � ng� M��eme tedy ps�t
s�D� f� �X
�i�k��Imik �mRik
S�D� f� �X
�i�k��IMik �mRik
Lemma ���Vlastnosti doln�ho a horn�ho sou�tu jsou podobn� jako u R�
�� s�D� f� S�D� f� pro v�echna D � D�
�� D�� D� � D� D� je zjem�n� D�� Pak s�D�� f� s�D�� f� a S�D�� f� � S�D�� f��
�� D�� D� � D libovoln�� Pak s�D�� f� S�D�� f��
D�kaz�
�� mik Mik pro libovolnou dvojici �i� k� � I � PmikmRik
PMikmRik � s�D� f� S�D� f��
�� Libovoln� d�lek Rik d�len� D� je v D� rozd�len na kone�n� po�et d�lk� D�� tj� Rik �S
�p�q��JR�pq � p�i�em� plat�
mRik �P
�p�q��JmR�pq �
P��sp�vek Rik do s�D�� f� je mikmRik� p��sp�vek do s�D�� f� jeP
�p�q��Jm�pqmRpq � kde
m�pq � infff�x� y� j �x� y� � R�pqg
Z�ejm� mik m�pq pro libovolnou dvojici �p� q� � J � Odtud
mikmRik � mik
X�p�q��J
mRpq �X
�p�q��JmikmRpq
X�p�q��J
m�pqmRpq
Libovoln� d�lek Rik p�isp�v� do s�D�� f� ��slem men��m ne� do s�D�� f�� se�ten�m z�sk�me po�adovan� tvrzen��
Pro horn� sou�et se d�kaz provede zcela analogicky�
�� Bu! D� spole�n� zjem�n� D� a D� �tj� D� je zjem�n�m D� a sou�asn� D� je zjem�n�m D��� Pak podle p�edchoz�chdvou tvrzen�
s�D�� f� s�D�� f� S�D�� f� S�D�� f�
�
��� Doln� a horn� integr�l
Bu! D� � D pevn� d�len�� Pak s�D� f� S�D�� f� pro v�echna D � D� Tedy mno�ina fs�D� f� j D � Dg je shoraomezen� a nepr�zdn� � existuje supr�mum t�to mno�iny a toto supr�mum nazveme doln� dvojn� integr�l� Podobn�existuje in�mum mno�iny fS�D� f� j D � Dg �kter� je nepr�zdn� a zdola omezen� doln�m integr�lem� a to nazvemehorn� integr�l�
De�nice ���Bu! f omezen� funkce na R� Pak existujeZZ
R
f�x� y� dx dy � supfs�D� f� j D � Dg
� !� DVOJN INTEGR�L
kter� nazveme doln� integr�l funkce f p�es R a
ZZR
f�x� y� dx dy � inffS�D� f� j D � Dg
kter� nazveme horn� integr�l funkce f p�es R�
Sou�asn� jsme v "vodn�m odstavci dok�zali v�tu
Vta ���Bu! f funkce omezen� na R� Pak plat�
ZZ
R
f�x� y� dx dy ZZR
f�x� y� dx dy
De�nice ���Bu! f omezen� funkce na R� Plat��li
ZZ
R
f�x� y� dx dy �
ZZR
f�x� y� dx dy
��k�me� �e f je integrovateln� na R �v Riemanov� smyslu��ZZR
f�x� y� dx dy �
ZZ
R
f�x� y� dx dy � inttwohighRf�x� y� dx dy
nazveme integr�lem funkce f p�es R�
P��klad ���f je konstantn� na R� f�x� y� � c pro �x� y � R� Pak f je integrovateln� na R aZZ
R
f�x� y� dx dy � c �mR
D�kaz� Bu! D � fRikg � D libovoln�� pak mik � Mik � c pro v�echna �i� k� � I � Pak
s�D� f� �XI
c �mRik � cmR
S�D� f� �XI
c �mRik � cmR
ZZ
R
f�x� y� dx dy � supfcmRg
ZZR
f�x� y� dx dy � inffcmRg
!�� Doln� a horn� integr�l ��
tedy ZZR
f�x� y� dx dy � cmR
�
P��klad ���Bu! f�x� y� de�nov�na na R takto
f�x� y� �
�� x � Q� y � Q� jinak
Pak f nen� integrabiln� na R�D�kaz� Bu! D � fRikg � D libovoln�� Pak mik � �� Mik � � pro libovoln� �i� k� � I � Odtud s�D� f� � ��
S�D� f� �P
mRik � mR� Tedy ZZ
R
f�x� y� dx dy � �
ZZR
f�x� y� dx dy � mR
�
Lemma �� Bu! f omezen� na R� Pak f je integrabiln� pr�v� kdy�
��� ����D � D� � S�D� f�� s�D� f� � �
D�kaz�
�� Nech� f je integrabiln� a bu! � �� Podle de�nice existuje D� � D tak� �e
S�D�� f� �
ZZR
f�x� y� dx dy ��
�
ZZR
f�x� y� dx dy ��
a D� � D tak� �e
s�D�� f�
ZZ
R
f�x� y� dx dy � �
�
ZZR
f�x� y� dx dy � �
Bu! D spole�n� zjem�n� D�� D�� Dle lemmatu � je S�D� f� S�D�� f�� s�D� f� � s�D�� f�� Odtud
S�D� f�� s�D� f� S�D�� f�� s�D�� f� �
�
ZZR
f�x� y� dx dy ��
���ZZ
R
f�x� y� dx dy � �
A �
� �
�� !� DVOJN INTEGR�L
�� Nech� plat� podm�nka v�ty� Proto�e
ZZR
f�x� y� dx dy S�D� f�
ZZ
R
f�x� y� dx dy � s�D� f��
plat� ZZR
f�x� y� dx dy �ZZ
R
f�x� y� dx dy � �
pro libovoln� � �� co� je mo�n� jen tak� �e
ZZR
f�x� y� dx dy �ZZ
R
f�x� y� dx dy ��
tj� ZZR
f�x� y� dx dy ZZ
R
f�x� y� dx dy�
Podle v�ty �� plat� opa�n� nerovnost� tedy f je integrabiln� na R�
�
Vta ���Bu! f spojit� funkce na obd�ln�ku R� Pak f je integrabiln� na R�
D�kaz� Podle �� Weierstrassovy v�ty je f omezen� �obd�ln�k je kompaktn��� D�le je f na R stejnom�rn� spojit��Bu! � � libovoln�� K ��slu �
mR � existuje � � takov�� �e pro dva libovoln� body �x�� y��� �x�� y�� � R� kde
��x�� y��� �x�� y��� � � plat� jf�x�� y��� f�x�� y��j � �mR
�Sestroj�me d�len� D � fRikg � D tak� aby diagon�la ka�d�ho Rik byla krat�� ne� �� Podle �� Weierstrassovy v�ty
v ka�d�m Rik existuj� body �uik� vik�� �wik � tik� tak� �e
f�uik� vik� � minff�x� y� j �x� y� � Rikg � mik
f�wik � tik� � maxff�x� y� j �x� y� � Rikg � Mik
a sou�asn� f�wik� tik��f�uik� vik� � �mR
� Odtud S�D� f��s�D� f� �P�Mik�mik� �mRik �
mR
PmRik � �
mRmR �
��Podle lemmatu � je ji� f integrabiln� na R� �
Vta ����Bu!te f� g integrovateln� na R a c � R�
�� �cf� je integrabiln� na R a ZZR
cf�x� y� dx dy � c
ZZR
f�x� y� dx dy
!�� Roz"�en� pojmu integr�lu �
�� jf j je integrabiln� na R a ������ZZR
f�x� y� dx dy
������ ZZR
jf�x� y�j dx dy
�� f � g je integrabiln� na R aZZR
�f�x� y� � g�x� y�� dx dy �
ZZR
f�x� y� dx dy �
ZZR
g�x� y� dx dy
� Je�li R � R� � R�� kde R��� jsou obd�ln�ky s disjunktn�mi vnit�ky� pakZZR
f�x� y� dx dy �
ZZR�
f�x� y� dx dy �
ZZR�
f�x� y� dx dy
D�kaz� D�kaz t�chto �ty� tvrzen� se prov�d� podobn� jako v E�� Proto si pro ilustraci uvedeme pouze d�kaz prvn�hotvrzen��
Je�li c � �� je tvrzen� v�ty z�ejm�� Nech� tedy c �� Bu! d�len� fRikg � D� Z�ejm� plat�
inffc � f�x� y� j �x� y� � Rikg � c � infff�x� y� j �x� y� � Rikg � c �mik
supfc � f�x� y� j �x� y� � Rikg � c � supff�x� y� j �x� y� � Rikg � c �Mik
Odtud
s�D� c � f� � c � s�D� f�S�D� c � f� � c � S�D� f�
P�echodem k in�mu a supr�mu p�es mno�inu v�ech d�len� vyjdeZZ
R
c � f�x� y� dx dy � c �ZZR
f�x� y� dx dy
ZZR
c � f�x� y� dx dy � c �ZZR
f�x� y� dx dy
A odtud hned tvrzen�� �
��� Roz�en� pojmu integr�lu
V p�edchoz�m odstavci jsme integrovali nad obd�ln�kem� Nyn� si �ekneme� jak integrovat nad obecn�j��mi mno�inami�ne� jsou obd�ln�ky�
Nech� a� b � R� a � b a nech� �� � jsou spojit� funkce na ha� bi takov�� �e ��x� � ��x� pro x � �a� b�� Nech�A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g� #ekneme� �e A je norm�ln� mno�ina v E� vzhledem k ose y� P��kladtakov� mno�iny ukazuje obr�zek ��
Analogicky se de�nuje norm�ln� mno�ina v E� vzhledem k ose x �viz obr�zek ��Nech� A je norm�ln� mno�ina v E�� nap��klad vzhledem k ose y� tj� A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g
a f je omezen� funkce na A� Zvolme libovoln� c� d � R tak� �e c minf��x� j x � ha� big a d � maxf��x� j x � ha� biga polo�me R � ha� bi � hc� di� Roz����me de�nici f na cel� obd�ln�k R tak� �e polo��me f�x� y� � � pro �x� y� � R�A�viz obr�zek ���
#ekneme� �e f je integrabiln� na A� je�li integrabiln� na R� V tomto p��pad� klademe ZZA
f�x� y� dx dy �
ZZR
f�x� y� dx dy
� !� DVOJN INTEGR�L
x
y
a b
A
Obr�zek � P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose y
x
y
A
d
c
Obr�zek P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose x
x
y
a b
A
Obr�zek � Roz���en� norm�ln� mno�iny na obd�ln�k
!�� Roz"�en� pojmu integr�lu ��
Vta ����Nech� f je spojit� na norm�ln� mno�in� A� Pak je integrabiln� na A�
D�kaz� Nech� f je omezen� na A� nebo� A je kompaktn�� tak�e existuje K � R� K � takov�� �e jf�x� y�j Kpro �x� y� � A� Nech� A je norm�ln� vzhledem k ose y� tj� A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g� Bu!c minf��x� j x � ha� big� d � maxf��x� j x � ha� big a R � ha� bi � hc� di� Bu! � � libovoln�� Funkce f je na Aspojit� stejnom�rn�� k �
�mR � existuje �� takov�� �e pro �x�� y��� �x�� y�� � A� ��x�� y��� �x�� y��� � �� plat�
jf�x�� y��� f�x�� y��j � �
�mR
Funkce �� � jsou spojit� stejnom�rn� na ha� bi� tak�e k �� K�b�a� � existuje �� � takov�� �e pro x�� x� � ha� bi�
jx� � x�j � �� plat�
j��x��� ��x��j � �
��K�b� a�
j��x��� ��x��j � �
��K�b� a�
Sestrojme d�len� D�x� intervalu ha� bi takov�� �e ha� bi se rozd�l� na m interval� t��e d�lky � � b�am
s d�l�c�mi bodyfx�� x�� � � � � xmg� kde m � N je zvoleno tak� aby � � ��� � � ���
D�le sestroj�me d�len� D�y� intervalu hc� di tak� �e je rozd�len na n interval� t��e d�lky d�cn
� kde n je voleno tak�aby d�c
n� �
� K�b�a� a aby diagon�la obd�ln�ku Rik � hxi��� xii � hyk��� yki byla men�� ne� ���Odhadem
S�D� f�� s�D� f� �X
�i�k��I�Mik �mik�mRik �
kde I � f�i� k� j i � �� � � � �m� k � �� � � � � ng� Rozd�lme I na t�i disjunktn� mno�iny
� �i� k� � I�� je�li Rik � A � ��� �i� k� � I�� je�li Rik � A�
� �i� k� � I� v ostatn�ch p��padech�
Pak I � I� � I� � I� s disjunktn�mi s��tanci� tak�e
S�D� f�� s�D� f� �X
�i�k��I��Mik �mik�mRik �
X�i�k��I�
�Mik �mik�mRik �X
�i�k��I��Mik �mik�mRik
Pro �i� k� � I� je mik �Mik � �� tak�e X�i�k��I�
�Mik �mik� �mRik � �
Pro �i� k� � I� m��eme aplikovat �� Weierstrassovu v�tu ��uik� vik�� �wik � tik� � Rik tak� �e
f�uik� vik� � minff�x� y� j �x� y� � Rikg � mik
f�wik� tik� � maxff�x� y� j �x� y� � Rikg � Mik�
sou�asn� Mik �mik � f�wik� tik�� f�uik� vik� ��
�mR� Odtud X
�i�k��I��Mik �mik� �mRik �
�
�mR�X
�i�k��I�mRik �
�mR�
Tedy X�i�k��I�
mRik ��
�mR�mR �
�
�
Pro �i� k� � I� je Rik �Gr� � ��� nebo Rik �Gr� � �� Rozd�lme I� na dv� mno�iny
��Z�pis Gr� znamen� graf funkce ��
�� !� DVOJN INTEGR�L
� �i� k� � I ��� je�li Rik �Gr� � �� �i� k� � I ��� � je�li Rik �Gr� � �
Pak I� � I �� � I ��� � co� nemus� b�t nutn� disjunktn� sjednocen�� Z�ejm� v�akX�i�k��I�
�Mik �mik� �mRik X
�i�k��I��
�Mik �mik� �mRik �X
�i�k��I���
�Mik �mik� �mRik�
Nech� �i�� k�� � I ��� D�lky Ri�k� pro n�� �i�� k� � I �� vytvo�� svisl� p�s & obd�ln�k� jeho� z�kladna je � � b�am
�Vzd�lenost krajn�ch d�lk� v tomto p�su je men�� ne� �
� K�b�a� �stejnom�rn� spojitost �� ��� V��ka cel�ho p�su je
men�� ne� �� K�b�a� � �
� K�b�a� � ��K�b�a� a jeho m�ra je men�� ne� �
�K�b�a� � b�am � ��Km
� T�chto p�s� je v�ak m�Odtud X
�i�k��I��
�Mik �mik� �mRik KX
�i�k��I��
mRik � K � �
�Km�m �
�
��
Analogicky X�i�k��I��
�
�Mik �mik� �mRik ��
�
Celkem tedy
S�D� f�� s�D� f� � ���z�I�
��
���z�I�
��
���z�I��
��
���z�I���
� �
Podle lemmatu � je integrabiln� na R tedy i na A� �
��� Po��t�n� dvojn�ho integr�lu
P�i po��t�n� jednoduch�ho integr�lu v�me� �e plat� vztah Z b
a
f�x� dx � F �b�� F �a��
kde F je primitivn� funkce k funkci f � Probl�m� p�ed kter�m nyn� stoj�me je� jak spo��tat nap�� integr�lZZR
�x� � y�� dx dy
v�me�li� �e R � h�� i � h�� �i�Jak na to� n�m prozrad� n�sleduj�c� v�ta�
Vta ���� Fubiniova
Bu! f�x� y� spojit� funkce na R � ha� bi � hc� di� Pak plat� rovnost
ZZR
f�x� y� dx dy �
Z b
a
�Z d
c
f�x� y� dy
�dx �
Z d
c
�Z b
a
f�x� y� dx
�dy
D�kaz� Ozna�me F �x� �R dcf�x� y� dy� Funkce f�x� �� je spojit� na hc� di� tedy je integrabiln� a de�nice F je korektn��
Bu!te D�x� � fx�� x�� � � � � xmg libovoln� d�len� ha� bi a D�y� � fy�� y�� � � � � yng libovoln� d�len� hc� di a D �D�x� �D�y� � fRikg jimi indukovan� d�len� obd�ln�ku R�
Nech� Mik � maxff�x� y� j �x� y� � Rikg� Zvolme libovoln� x � ha� bi a najd�me i � f�� � � � �mg takov�� �ex � hxi��� xii�
Pak
F �x� �
Z d
c
f�x� y� dy �
nXk��
Z yk
yk��
f�x� y� dy nX
k��
Z yk
yk��
Mik dy �
nXk��
Mik � �yk � yk���
!�� Po��t�n� dvojn�ho integr�lu ��
Odtud plyne
bZa
F �x� dx �
mXi��
xiZxi��
F �x� dx mXi��
xiZxi��
�nX
k��
Mik�yk � yk���
�dx �
�
mXi��
nXk��
Mik�yk � yk��� � �xi � xi��� �X
�i�k��IMikmRik �
� S�D� f��
Tedy bZa
F �x� dx S�D� f�
pro libovoln� d�len� D � D� Odtud bZa
F �x� dx ZZR
f�x� y� dx dy�
Zcela analogicky se odvod� vztahbZ
a
F �x� dx �ZZ
R
f�x� y� dx dy�
Celkem tedy m�me
ZZ
R
f�x� y� dx dy bZ
a
F �x� dx bZa
F �x� dx ZZR
f�x� y� dx dy�
Proto�e v�ak f je integrabiln� na R� nast�v� v t�to nerovnosti v�ude rovnost� tak�e F je integrabiln� na ha� bi aplat� ZZ
R
f�x� y� dx dy �
Z b
a
F �x� dx �
Z b
a
�Z d
c
f�x� y� dy
�dx�
Naprosto analogick�m zp�sobem se dok��eZZR
f�x� y� dx dy �
Z d
c
G�y� dy �
Z d
c
�Z b
a
f�x� y� dx
�dy�
kde G�y� �R baf�x� y� dx� �
P��klad ���Nech� R � h�� i � h�� �i� ZZ
R
�x� � y�� dx dy �
Z �
�
�Z �
�
�x� � y�� dy
�dx �
�
Z �
�
�x�y �
�
�y����
dx �
�� !� DVOJN INTEGR�L
�
Z �
�
�x� �
�
�
�dx �
�
��
�x� �
�
�x
���
���
��
Pozn�mka ����Fubiniova v�ta �v�ta ���� plat� obecn�ji pro funkce integrabiln� na R� Pak m� tvar
ZZR
f�x� y� dx dy �
Z b
a
�BBBBBBBB�
dZ
c
f�x� y� dy
CCCCCCCCA
dx �
Z b
a
�B�
dZc
f�x� y� dy
CA dx�
Vta ����Bu! A norm�ln� mno�ina v E� vzhledem k ose y� tj� A le�� mezi grafy funkc� � a � v intervalu ha� bi� f�x� y� je
spojit� na A� Pak plat� ZZA
f�x� y� dx dy �
Z b
a
�Z ��x�
��x�
f�x� y� dy
�dx�
D�kaz� Bu!te
c minf��x� j x � ha� bigd � maxf��x� j x � ha� big�
bu! R � ha� bi � hc� di a f�x� y� � � pro v�echna �x� y� � R�A�Podle de�nice m�me vztah ZZ
A
f�x� y� dx dy �
ZZR
f�x� y� dx dy �
Z b
a
�Z d
c
f�x� y� dy
�dx�
Pro �x � ha� bi je v�ak hc� di � hc� ��x�i � h��x�� ��x�i � h��x�� di� tedy Z d
c
f�x� y� dy �
Z ��x�
c
f�x� y� dy �
Z ��x�
��x�
f�x� y� dy �
Z d
��x�
f�x� y� dy �
Z ��x�
��x�
f�x� y� dy�
nebo� pro y � hc� ��x�i � h��x�� di je f�x� y� � ��T�m dost�v�me vztah z tvrzen� v�ty� �
Pozn�mka ����Je�li A norm�ln� vzhledem k ose x� �ili A � f�x� y� � E� j y � hc� di� ��y� x ��y�g� a f spojit� na A� pak
ZZA
f�x� y� dx dy �
Z d
c
�Z ��y�
��y�
f�x� y� dx
�dy�
P��klad ���Vypo�t�te ZZ
A
�x� y� dx dy�
kde A � E� je omezena k�ivkami y � x� a y � x�Jak vypad� mno�ina A n�m ukazuje obr�zek ��
!�� Po��t�n� dvojn�ho integr�lu ��
x
y
0 1
A
Obr�zek � Ilustrativn� obr�zek k p��kladu
Tedy mno�ina A je d�na rovnicemi
� x �
x� y x
A nyn� ji� vlastn� v�po�et ZZA
�x� y� dx dy �
Z �
�
�Z x
x��x� y� dy
�dx �
�
Z �
�
�xy �
�
y��xx�
dx �
�
Z �
�
�x� �
�
x� � x� � �
x�dx �
�
��
x� � �
�x � �
��x���
�
��
� �
�� �
���
�
�
P��klad ���Vypo�t�te ZZ
A
xy dx dy�
kde A je troj"heln�k o vrcholech ��� ��� ��� ��� �� ���Jak vypad� mno�ina A n�m ukazuje obr�zek �Mno�ina A je tedy ur�ena takto
� y �
y x � y
A nyn� ji� vlastn� v�po�et� ZZA
xy dx dy �
Z �
�
�Z ��y
y
xy dx
�dy �
� !� DVOJN INTEGR�L
Obr�zek Ilustrativn� obr�zek k p��kladu
x
y
0 1 2
1
2
A
�
Z �
�
�y � �
x����yy
dy �
��
Z �
�
y��� �y � y� � y�
dy �
��
Z �
�
��y � �y�� dy �
��
�y� � �
�y����
�
��
�� �
�
��
�
�
��� Alternativa konstrukce dvojn�ho integr�lu
Tento odstavec by m�l b�t zasv�cen jin�mu p��stupu ke konstrukci dvojn�ho integr�lu na z�klad� teorie Jordanovym�ry� Pro na�e pot�eby tento postup nen� nijak v�znamn�� proto se o n�m nebudeme na tomto m�st� v�bec zmi$ovat�Na p�edn��ce V�t�zslava Nov�ka bylo tomuto p��stupu v�nov�no n�kolik des�tek minut� av�ak cel� tato problematikabyla zahrnuta do jedin� objemn�j�� pozn�mky� Z�jemce o tento v�klad m��eme odk�zat na dostupnou literaturu�pop��pad� na ��dn� pozn�mky pe�liv�ho studenta�
��
� Trojn� integr�l
�� D�len�� Doln� a horn� sou�et
De�nice ��Nech� a� b� c� d� e� f � R� a � b� c � d� e � f � Symbolem R � ha� bi � hc� di � he� fi � E� budeme rozum�t kv�dr
v E�� D�le nech� D�x� � fx�� x�� � � � � xmg je d�len� intervalu ha� bi a D�y� � fy�� y�� � � � � yng je d�len� intervalu hc� di aD�z� � fz�� z�� � � � � zng je d�len� intervalu he� fi� Ozna�me Rijk � hxi��� xii � hyj��� yji � hzk��� zki� Syst�m kv�dr�
fRijk j i � �� � � � � �m� j � �� � � � � � n k � �� � � � � pg
nazveme d�len� kv�dru R a ozna��me je D � D�x� �D�y� �D�z��
Ozna�en�� D�R� � D budeme ch�pat jako mno�inu v�ech d�len� kv�dru R�
De�nice ��Bu! f � f�x� y� z� funkce omezen� na R� D � fRijkg � D�R�� Polo�me
mijk � infff�x� y� z� j �x� y� z� � RikgMijk � supff�x� y� z� j �x� y� z� � Rikg
a de�nujme ��slo
s�D� f� �
mXi��
nXj��
pXk��
mijk�xi � xi����yj � yj����zk � zk���
jako doln� sou�et a ��slo
S�D� f� �mXi��
nXj��
pXk��
Mijk�xi � xi����yj � yj����zk � zk���
jako horn� sou�et�Nazv�me �b�a��d�c��f�e�m�rou �obsahem kv�dru R a ozna�memR� D�le nech� I � f�� � � � � �mg�f�� � � � � � ng�
f�� � � � � � pg� M��eme tedy ps�t
s�D� f� �X
�i�j�k��Imijk �mRijk
S�D� f� �X
�i�j�k��IMijk �mRijk
Lemma ��
�� s�D� f� S�D� f� pro v�echna D � D�
�� D�� D� � D� D� je zjem�n� D�� Pak s�D�� f� s�D�� f� a S�D�� f� � S�D�� f��
�� D�� D� � D libovoln�� Pak s�D�� f� S�D�� f��
D�kaz� Analogicky jako ve dvojrozm�rn�m p��pad�� �
��� Doln� a horn� integr�l
Bu! D� � D pevn� d�len�� Pak s�D� f� S�D�� f� pro v�echna D � D� Tedy mno�ina fs�D� f� j D � Dg je shoraomezen� a nepr�zdn� � existuje supr�mum t�to mno�iny a toto supr�mum nazveme doln� trojn� integr�l� Podobn�existuje in�mum mno�iny fS�D� f� j D � Dg �kter� je nepr�zdn� a zdola omezen� doln�m integr�lem� a to nazvemehorn� trojn� integr�l�
�� �� TROJN INTEGR�L
De�nice ��Bu! f omezen� funkce na R� Pak existujeZZZ
R
f�x� y� z� dx dy dz � supfs�D� f� j D � Dg
kter� nazveme doln� trojn� integr�l funkce f p�es R a
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz � inffS�D� f� j D � Dg
kter� nazveme horn� trojn� integr�l funkce f p�es R�
Sou�asn� jsme v "vodn�m odstavci dok�zali v�tu
Vta ��Bu! f funkce omezen� na R� Pak plat�
ZZZ
R
f�x� y� z� dx dy dz ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz�
De�nice ��Bu! f omezen� funkce na R� Plat��li
ZZZ
R
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz�
��k�me� �e f je integrovateln� na R �v Riemanov� smyslu��
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZ
R
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz
nazveme trojn�m integr�lem funkce f p�es R�
Lemma ��Bu! f omezen� na R� Pak f je integrabiln� pr�v� kdy�
��� ����D � D�R�� � S�D� f�� s�D� f� � ��
D�kaz� Je veden zcela analogicky jako d�kaz ve dvojrozm�rn�m p��pad�� �
Vta � Bu! f spojit� funkce na obd�ln�ku R� Pak f je integrabiln� na R�
D�kaz� Op�t zcela analogick� d�kaz jako ve dvojrozm�rn�m p��pad�� �
��� Roz"�en� pojmu integr�lu �
Vta ��Bu!te f� g integrovateln� na R a c � R� Pak plat�
�� �cf� je integrabiln� na R a ZZZR
cf�x� y� z� dx dy dz � c
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz
�� jf j je integrabiln� na R a ������ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz
������ ZZZR
jf�x� y� z�j dx dy dz
�� f � g je integrabiln� na R aZZZR
�f�x� y� z� � g�x� y� z�� dx dy dz �
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR
g�x� y� z� dx dy dz
� Je�li R � R� � R�� kde R��� jsou kv�dry s disjunktn�mi vnit�ky� pakZZZR
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR�
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR�
f�x� y� z� dx dy dz
D�kaz� A dal�� d�kaz� kter� odbudeme odkazem na dvojrozm�rn� p��pad� �
��� Roz�en� pojmu integr�lu
V p�edchoz�m odstavci jsme integrovali nad kv�drem� Nyn� si �ekneme� jak integrovat nad obecn�j��mi mno�inami�ne� jsou kv�dry�
Bu! A norm�ln� mno�ina v E�� �x� y� a �x� y� spojit� funkce na A takov�� �e �x� y� � �x� y� pro ka�d� vnit�n�bod mno�iny A� Nech� V � f�x� y� z� � E� j �x� y� � A� �x� y� z �x� y�g� Pak V je norm�ln� mno�ina v E�
vzhledem k ose z� Analogicky se de�nuje norm�ln� mno�ina vzhledem k os�m x a y�Bu! V norm�ln� mno�ina v E� vzhledem k ose z� tj� V � f�x� y� z� � E� j �x� y� � A� �x� y� z �x� y�g a
A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g� Nech� f je omezen� na V � Zvolme c� d� e� f � R tak� �e
c minf��x� j x � ha� bigd � maxf��x� j x � ha� bige minf�x� y� j �x� y� � Agf � maxf �x� y� j �x� y� � Ag
Polo�me R � ha� bi � hc� di � he� fi�Nyn� dopl$me de�nici funkce f na R tak� �e f�x� y� z� � � pro �x� y� z� � R�V � #ekneme� �e f je integrabiln� p�es
V � je�li integrabiln� p�es R a v tom p��pad� polo��me ZZZV
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz�
Vta ���Nech� f je spojit� na norm�ln� mno�in� V � E�� Pak je integrabiln� na V �
D�kaz� A je�t� jeden d�kaz s odkazem na dvojrozm�rn� p��pad� �
� �� TROJN INTEGR�L
A
Obr�zek P��klad norm�ln� mno�iny v E� vzhledem k ose z
��� Po��t�n� trojn�ho integr�lu
U po��t�n� dvojrozm�rn�ho integr�lu n�m Fubiniova v�ta prozradila� jak tyto integr�ly po��tat� Pozorn� �ten�� ji�ur�it� tu��� �e pro trojrozm�rn� p��pad existuje podobn� Fubiniova v�ta�
Vta ��� Fubiniova
Bu! f�x� y� z� spojit� funkce na R � ha� bi � hc� di � he� fi� Pak plat� rovnost
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz �
Z b
a
�Z d
c
�Z f
e
f�x� y� z� dz
�dy
�dx�
p�i�em� po�ad� integrace lze volit libovoln� ���faktori�ln���
D�kaz� A toto je jeden z posledn�ch �odvol�vkov�ch� d�kaz�� �
P��klad ��Vypo�t�te ZZZ
V
�xy � xz � yz� dx dy dz�
kde V je jednotkov� krychle� �ili V � h�� �i � h�� �i � h�� �i�ZZZV
�xy � xz � yz� dx dy dz �
Z �
�
�Z �
�
�Z �
�
�xy � xz � yz� dz
�dy
�dx �
�
Z �
�
�Z �
�
�xyz �
�
xz� �
�
yz�
���
dy
�dx �
�
Z �
�
�Z �
�
�xy �
�
x�
�
y
�dy
�dx �
��� Po��t�n� trojn�ho integr�lu ��
�
Z �
�
��
xy� �
�
�y� �
�
x
���
dx �
�
Z �
�
��
x�
�
x�
�
�
�dx �
�
��
x� �
�
�x
���
�
��
�
�
��
�
�
Vta ���Bu! V � f�x� y� z� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�� �x� y� z �x� y�g norm�ln� mno�ina v E� a f spojit�
na V � Pak ZZZV
f�x� y� z� dx dy dz �
Z b
a
�Z ��x�
��x�
�Z ��x�y�
��x�y�
f�x� y� z� dz
�dy
�dx�
D�kaz� Ozna�me A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g� Nech�
c minf��x� j x � ha� bigd � maxf��x� j x � ha� bige minf�x� y� j �x� y� � Agf � maxf �x� y� j �x� y� � Ag
a nech� R � ha� bi � hc� di � he� fi���x� y� z� � R� V polo�me f�x� y� z� � �� Pak podle de�nice
ZZZV
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZR
f�x� y� z� dx dy dz ���z�V� ���
Z b
a
�Z d
c
�Z f
e
f�x� y� z� dz
�dy
�dx�
Pro libovoln� x � ha� bi je interval hc� di � hc� ��x�i � h��x�� ��x�i � h��x�� di a jeliko� f�x� y� z� � � pro y �hc� ��x�i � h��x�� di plat�
Z d
c
�Z f
e
f�x� y� z� dz
�dy �
Z ��x�
��x�
�Z f
e
f�x� y� z� dz
�dy�
Podobn� pro libovoln� bod �x� y� � A je v�ak analogicky he� fi � he��x� y�i � h�x�� �x�i � h �x� y�� di� Protopro z � he��x� y�i � h �x� y�� fi je f�x� y� z� � �� T�m dost�v�me
Z f
e
f�x� y� z� dz �
Z ��x�y�
��x�y�
f�x� y� z� dz�
Dosazen�m dost�v�me tvrzen� v�ty� �
P��klad ��Vypo�t�te ZZZ
V
x� dx dy dz�
kde V � E� je omezena rovinami x � �� y � �� z � � a x� y � z � ��Jak vypad� mno�ina V n�m ukazuje obr�zek ��
Obr�zek � Ilustrativn� obr�zek k p��kladu
� �� TROJN INTEGR�L
Tedy mno�ina V je d�na rovnicemi
� x �
� y �� x
� z �� x� y
A nyn� ji� vlastn� v�po�et ZZZV
x� dx dy dz �
Z �
�
�Z ��x
�
�Z ��x�y
�
x� dz
�dy
�dx �
�
Z �
�
�Z ��x
�
�x�z
���x�y�
dy
�dx �
�
Z �
�
�x�Z ��x
�
��� x� y� dy
�dx �
�
Z �
�
x��y � xy � �
y����x�
dx �
�
Z �
�
x���� x� x� x� � �
� ��� x� x��
�dx �
�
Z �
�
�
x� � x� �
�
x dx �
�
��
�x� � �
�x �
�
��x���
�
��
�� �
��
�
���
�
��
P��klad ��Vypo�t�te ZZZ
V
y cos �z � x� dx dy dz�
kde V � E� je omezen� plochami y �px� y � �� z � � a x� z � �
� �Jak vypad� mno�ina V n�m ukazuje obr�zek ���
Obr�zek �� Ilustrativn� obr�zek k p��kladu
Mno�ina V je tedy ur�ena takto
x �D���
Ey � �
��px�
z �D���
� x
EA nyn� ji� vlastn� v�po�et�ZZZ
V
y cos �z � x� dx dy dz �
Z ��
�
�Z px
�
y
�Z ���x
�
cos �z � x� dz
�dy
�dx �
�
Z ��
�
�Z px
�
y �sin �z � x�����x
� dy
�dx �
�
Z ��
�
�Z px
�
y��� sinx� dy
�dx �
��� Po��t�n� trojn�ho integr�lu �
�
Z ��
�
�
�y����
�� ��� sinx� dx �
��
Z ��
�
x��� sinx� dx �
� � � �per partes�
���
��� �
P��klad ��Vypo�t�te ZZZ
V
dx dy dz�
kde V � E� je omezen� z � xy� y �px� x� y � � y � � a z � ��
Jak vypad� mno�ina V n�m ukazuje obr�zek ���
Obr�zek �� Ilustrativn� obr�zek k p��kladu
Pozorov�n�m obr�zku �� si odvod�me
x � y�
y� � y � � �
�y � ��y � �� � � � y � �
Mno�ina V je tedy ur�ena takto
� y �
y� x � y
� z xy
A nyn� ji� vlastn� v�po�et� ZZZV
dx dy dz �
Z �
�
�Z ��y
y�
�Z xy
�
dz
�dx
�dy �
�
Z �
�
�Z ��y
y�xy dx
�dy �
�
Z �
�
y � �
�x����yy�
dy �
��
Z �
�
y��� �y � �y� � y
dy �
��
�y� � �
�y� �
�
�y � �
�y����
�
��
��� �
��
�
�� �
�
��
�
�
� #� SUBSTITUCE VE DVOJN�M A TROJN�M INTEGR�LU
� Substituce ve dvojnm a trojnm integr�lu
�� Opakov�n� jednorozm�rn� situace
Na za��tku t�to kapitoly si p�ipome$me v�tu o substituci pro jednoduch� Rieman�v integr�l
Vta� Nech� f�x� je spojit� na hA�Bi a ��t� m� spojitou derivaci na h�� �i a ��h�� �i� � hA�Bi� Pak
Z b
a
f�x� dx �
Z �
f���t�� � ���t� dt�
kde a � ���� a b � �����P�edpokl�dejme nyn� nav�c� �e � m� nenulovou derivaci na �c� d� � h�� �i� Pak � � E� �� E� je difeomor�smus� Je
z�ejm� regul�rn� a z Darbouxovy v�ty plyne� �e je bu! ���t� � na intervalu �c� d� nebo ���t� � � na �c� d�� V prvn�mp��pad� je � rostouc� a ve druh�m p��pad� klesaj�c��
Je�li ���t� � na h�� �i� je ���� � a a ���� � b� tj� ��h�� �i� � ha� bi� a tedy plat�Z��h��i�
f�x� dx �
Zh��i
f���t�� � ���t� dt�
Je�li ���t� � � na h�� �i� je ���� � a ���� � b� tj� ��h�� �i� � hb� ai� a tedy plat�Z��h��i�
f�x� dx � �Zh��i
f���t�� � ���t� dt�
Pak tedy dohromady Z��h��i�
f�x� dx �
Zh��i
f���t�� � j���t�j dt�
�i jinak zaps�no Zha�bi
f�x� dx �
Z����h��i�
f���t�� � j���t�j dt�
��� Dvojrozm�rn� p�pad
V�ta pro dvojrozm�rn� p��pad m� zcela podobn� tvar jako v�ta pro jednorozm�rn� p��pad�
Vta ���Nech� F � E� �� E� je difeomor�smus� nech� A � ��F � je norm�ln� mno�ina v E� a nech� jej� vzor F���A� je
norm�ln�� Pak ZZA
f dx dy �
ZZF���A�
�f � F � � j detF �j du dv�
Podrobn�ji nech� F � �g�� g��� tj� F �u� v� � �g��u� v�� g��u� v��� Pak ZZA
f�x� y� dx dy �
ZZF���A�
f�g��u� v�� g��u� v�� � j detF ��u� v�j du dv�
D�kaz� neuveden� Z�jemce odkazujeme na literaturu� �
Pozn�mka ���Nej�ast�j�� substituce v E� je do pol�rn�ch sou�adnic� kterou si nyn� uvedeme
x � u cos v
y � u sin v�
#�� Dvojrozm�rn� p�pad �
kde u je vzd�lenost bodu �x� y� od po��tku sou�adn�ho syst�mu a v je sm�rov� "hel� Tedy
u � �
v � h��� �i�
Uva�me zobrazen� F � E� �� E� o sou�adnic�ch F �u� v� � �u cos v� u sin v�� Jist� F � C��E��� Derivac�
F ��u� v� ��
cos v �u sin vsin v u cos v
�
a jej� determinant je jF ��u� v�j � u�cos� v � sin� v� � u�
Ozna�me symbolem P mno�inu bod� v rovin�� pro n�� u � a v � ���� ��� Mno�inu P ukazuje obr�zek ���
P
u
v
Obr�zek �� Mno�ina bod� P
D�le ozna�me symbolem Q mno�inu bod� Q � E� � f�x� �� j x �g� Mno�inu Q zn�zor$uje obr�zek ���
v
u
Q
Obr�zek �� Mno�ina bod� Q
Pak F � P �� Q je difeomor�smus�Je�li A � Q norm�ln� a f spojit� na A� pakZZ
A
f�x� y� dx dy �
ZZF���A�
f�u cosv� u sin v�u du dv ���
#� SUBSTITUCE VE DVOJN�M A TROJN�M INTEGR�LU
A � Q znamen�� �e A neobsahuje body z�porn� vodorovn� poloosy� ale tyto body maj� Jordanovu m�ru �� p�i�em�plat���� �e p�id�me�li k funkci� kterou integrujeme� mno�inu bod� Jordanovy m�ry �� tak neovlivn� integrovatelnostfunkce a jej� integr�l nem�n� svoji hodnotu� Je�li tedy A obecn�� �ili m��e obsahovat body �x� ��� x � a tedy F���A�m��e obsahovat body z hranice mno�iny P �zna��me h�P ��� tedy mno�ina t�chto bod� m� Jordanovu m�ru ��
Je�li tedy A � E� norm�ln� a F���A� � uz�P ���� pak vztah � plat� bez omezen��
P��klad ���Vypo�t�te ZZ
A
px� � y� dx dy�
kde A � E� je mno�ina dan� nerovnostmi �� x� � y� ���
Budeme substituovat do pol�rn�ch sou�adnic� tedy
F � x � u cos vy � u sin v
detF � � u�
Mno�ina F���A� je omezena nerovnostmi
�� v �
� u ��
A nyn� ji� p�istupme k v�po�tu ZZA
px� � y� dx dy �
ZZF���A�
u� du dv �
�
Z �
��
�Z ��
�
u� du
�dv �
� � � � � � � ��
�u�����
�
���
��
P��klad ���Vypo�t�te ZZ
A
dx dy�
kde A � E� je mno�ina omezen� kru�nicemi
x� � y� � x�
x� � y� � x
a p��mkami
y � x�
y � xp��
Op�t budeme transformovat do pol�rn�ch sou�adnic� tedy
F � x � u cos vy � u sin v
detF � � u�
��Toto tvrzen� nech�me na �ten��i k v��en� pedantick�mu �ten��i k ov��en����Symbol uz�P � zna�� uz�v�r mnoiny P �
#�� Dvojrozm�rn� p�pad �
Mno�ina F���A� je omezena nerovnostmi
�
� v �
�cos v u cos v�
A po��t�me ZZA
dx dy �
ZZF���A�
u du dv �
�
Z ��
��
�Z � cos v
cos v
u du
�dv �
��
Z ��
��
�u��� cos vcos v
dv �
��
Z ��
��
cos� v dv �
��
�
Z ��
��
�� � cos v� dv �
��
�
�v �
�
sin v
���
��
�
��
�
��
��
�
�p�
� �
���
P��klad ���Vypo�t�te ZZ
A
dx dy�
kde A � E� omezen� hyperbolami xy � a a xy � b� kde � � a � b� a parabolami y� � cx a y� � dx� kde � � c � d�
Polo��me�li u � xy a v � y�
x� pak hrani�n� k�ivky maj� rovnice u � a� u � b� v � c a v � d� Uveden� p�edpis
reprezentuje zobrazen� F��� Z t�chto rovnic
y� � uv � y � u�
� v�
�
x �u
y� x � u
�
� v��
� �
Zobrazen�
F �u� v� ��u
�
� v��
� � u�
� v�
�
�je difeomor�smem mno�iny f�u� v� j u �� v �g na mno�inu f�x� y� j x �� y �g�
Derivace zobrazen� F je
F ��u� v� ��
��u
� �
� v��
� � ��u
�
� v��
�
��u
� �
� v�
���u
�
� v��
�
�
a determinant t�to derivace je detF ��u� v� � ��v�� � �
�v�� � �
�v �Tedy shr$me si informace� kter� jsme v��e vyz�skali
F � x � u�
� v��
�
y � u�
� v�
�
detF � � ��v �
F���A� � a u bc v d�
� #� SUBSTITUCE VE DVOJN�M A TROJN�M INTEGR�LU
A u� m��eme po��tat ZZA
dx dy �
ZZF���A�
�
�vdu dv �
��
�
Z b
a
�Z d
c
�
vdv
�du �
��
��b� a� � ln d
c�
��� Trojrozm�rn� p�pad
Vta ���Nech� F � E� �� E� je difeomor�smus� nech� V � �F je norm�ln� mno�ina� nech� f je spojit� na V a nech�
F���V � je norm�ln�� Pak plat� ZZZV
f dx dy dz �
ZZZF���V �
�f � F �j detF �j du dv dw�
Pozn�mka ���Substituce v E� do cylindrick�ch �v�lcov�ch souadnic� kter� jsou d�ny pol�rn�mi sou�adnicemi jeho projekce do
roviny �xy� a jeho z�sou�adnic�� Tato substituce je zobrazena na obr�zku ��
u
v
x
y
z
w
Obr�zek � Princip p�evodu do cylindrick�ch sou�adnic
Tato substituce je tedy de�nov�na rovnicemi
x � u cos v
y � u sin v
z � w
Zobrazen� F � E� �� E�� F �u� v� w� � �u cos v� u sin v� w� � C��E�� a je bijekc� mno�in P � E� na Q� E�� kdeP � E� a Q � E� jsou mno�iny z pozn�mky ����
Derivace F
F ��u� v� w� �
�� cos v �u sin v �
sin v u cosv �� � �
A
#�� Trojrozm�rn� p�pad
a jej� determinant je detF ��u� v� w� � u� tak�e F � P �E� �� Q�E� je difeomor�smus�Mno�iny E� � �Q� E�� a h�P � E�� maj� Jordanovu m�ru� �� Je�li tedy V � E� libovoln� norm�ln� mno�ina a
F���V � � uz�P ��E� tak� norm�ln� mno�ina a f spojit� funkce na V � pakZZZV
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZF���V �
f�u cos v� u sin v� w� � u du dv dw�
P��klad ���
Vypo�t�te ZZZV
dx dy dz�
kde V � E� je mno�ina omezen� v�lcem x� � y� � y� rovinou z � � a paraboloidem z � x� � y��
F � x � u cos vy � u sin vz � w
detF � � u
F���V � � � v �� u sin v� w u�
Vlastn� v�po�et ZZZV
dx dy dz �
ZZZF���V �
u du dv dw �
�
Z �
�
�Z � sin v
�
�Z u�
�
u dw
�du
�dv �
�
Z �
�
�Z � sin v
�
u� du
�dv �
��
�
Z �
�
�u�� sin v�
dv �
� �
Z �
�
sin v dv �
�
Z �
�
��� cos v � cos� v� dv �
� �v � sin v��� �
�
Z �
�
�� � cos �v� dv �
� � ��
�v �
�
�sin �v
���
���
�
P��klad ���
Vypo�t�te ZZZV
x dx dy dz�
kde V � E� je omezen� v�lcem y� � z� � � a rovinami x � � a x� z � �
F � y � u cosvz � u sin vx � w
detF � � u
F���V � � �� v �� u �� w � u sin v
��Samoz�ejm� t��rozm�rnou Jordanovu m�ru�
#� SUBSTITUCE VE DVOJN�M A TROJN�M INTEGR�LU
Vlastn� v�po�et ZZZV
x dx dy dz �
ZZZF���V �
wudu dv dw �
�
Z �
��
�Z �
�
�Z ��u sin v
�
wudw
�du
�dv �
�
Z �
��
�Z �
�
u � �
�w����u sin v�
du
�dv �
��
Z �
��
�Z �
�
��u� �u� sin v � u� sin� v� du
�dv � � � � �
���
��
Pozn�mka ���
Substituce v E� do sf�rick�ch souadnic� tj� vzd�lenost u od po��tku sou�adn�ho syst�mu a geogra�ck�ch sou�adnicv �d�lka� a w ����ka� na sf��e o polom�ru u� Jak sf�rick� sou�adnice vypadaj�� vid�me na obr�zku ���
v
x
y
z
w
u
Obr�zek �� Konstrukce sf�rick�ch sou�adnic
Transforma�n� rovnice
z � u sin v
x � u cosv cosw
y � u sin v cosw
Tedy zobrazen� F je de�nov�no
x � u cosv cosw
y � u sin v cosw
z � u sinw
Uva�ujme
u � �
#�� Trojrozm�rn� p�pad �
�� v �
��
w �
a zobrazen� F � E� �� E�� F �u� v� w� � �u cosv cosw� u sin v cosw� u sinw�� pak z�ejm� F � C��E��� Derivac�
F ��u� v� w� �
�� cos v cosw �u sin v cosw �u cosv sinw
sin v cosw u cos v cosw �u sin v sinwsinw � u cosw
A
a determinant detF ��u� v� w� � u� cosw�Ozna�me S � f�u� v� w� � E� j u �� �� � v � �� ��
� � w � �� g a T � E��f�x� �� z� j x �g� Pak F � S �� T
je difeomor�smus�Stejn� jako v p�edchoz�m E��T a h�S� maj� Jordanovu m�ru �� Je�li tedy V � E� norm�ln� mno�ina a F���V � �
uz�S� tak� norm�ln� a f spojit� na V � pakZZZV
f�x� y� z� dx dy dz �
ZZZF���V �
f�u cosv cosw� u sin v cosw� u sinw�u� cosw du dv dw�
P��klad ���
Vypo�t�te ZZZV
x dx dy dz�
kde V � E� je omezena sf�rami x� � y� � z� � � a x� � y� � z� � � a rovinami x � � a z � � v prvn�m kvadrantu�
F � x � u cosv coswy � u sin v coswz � u sinw
detF � � u� cosw
F���V � � � w ��
� v ��
� u
A vlastn� v�po�et ZZZV
x dx dy dz �
ZZZF���V �
u� cos v cos� w du dv dw �
�
Z ��
�
cos� w
�Z ��
�
cos v
�Z �
�
u� du
�dv
�dw �
��
�w �
�
sin w
���
�
� �sin v���� ��
�
�u����
��
�� ��� �� � ��
���
P��klad ���Vypo�t�te ZZZ
V
dx dy dz�
kde V � E� je omezena sf�rou x� � y� � z� � z a ku�elem x� � y� � z��
F � x � u cosv coswy � u sin v coswz � u sinw
detF � � u� cosw
F���V � � � w �
��� v �� u sinw
� #� SUBSTITUCE VE DVOJN�M A TROJN�M INTEGR�LU
A vlastn� v�po�et ZZZV
dx dy dz �
ZZZF���V �
u� cosw du dv dw �
�
Z ��
��
cosw
�Z �
��
�Z � sinw
�
u� du
�dv
�dw �
�
Z ��
��
cosw
�Z �
��
�
�
�u��� sinw�
dv
�dw �
��
�
Z ��
��
cosw
�Z �
��� sin� w dv
�dw � � � � � �
�
�� Aplikace dvojnho a trojnho integr�lu
�� M�ra obd�ln�ka
Bu! A � E� norm�ln� mno�ina� tj� A � f�x� y� � E� j x � ha� bi� ��x� y ��x�g� P��klad takov� mno�iny je uvedenna obr�zku ��
Z�ejm� m�ra mno�iny A je rozd�l m�r podgrafu funkce � a podgrafu funkce �� tj�
m�A� �
Z b
a
��x� dx �Z b
a
��x� dx �
Z b
a
���x� � ��x�� dx �
Z b
a
�y���x���x� dx �
Z b
a
�Z ��x�
��x�
dy
�dx �
ZZA
dx dy�
Pou�ka ���� �Bu! A norm�ln� mno�ina v E�� Pak pro jej� m�ru plat�
m�A� �
ZZA
dx dy�
P��klad ����
Vypo�t�te m�A�� A � E� je pr�nikem kruh�
x� � y� ax�
x� � y� ay�
p�i�em� a �� Mno�inu A reprezentuje obr�zek ���
Aa/2
a/2
Obr�zek �� Ilustra�n� obr�zek k p��kladu
� $� APLIKACE DVOJN�HO A TROJN�HO INTEGR�LU
Z obr�zku vypl�v�� �e bude v�hodn� tuto mno�inu rozd�lit na poloviny p��mkou y � x� tak�e m�A� � m�B��Nyn� u� m��eme postupovat standardn�m v�po�tem� nejprve v�ak p�evedeme mno�inu do pol�rn�ch sou�adnic�
F � x � u cos vy � u sin v
detF � � u
F���B� � � v �
� u a sin v
Tedy
m�A� � m�B� �
ZZF���B�
u du dv �
�
Z ��
�
�Z a sin v
�
u du
�dv �
Z ��
�
a� sin� v dv �
�a�
Z ��
�
��� cos v� dv �a�
�v � �
sin v
���
�
�
�a�
��
�� �
��
��� Hmotnost obd�ln�ka
Bu! R obd�ln�k v E� pokryt� hmotou tak� �e speci�ck� hmotnost v bod� �x� y� � R je s�x� y�� P�edpokl�dejme��e funkce s�x� y� je spojit� na R� Bu! D � fRik j �i� k� � Ig d�len�m R� nech� �xik � yik� je st�ed Rik� Vzhledemke spojitosti lze funkci s�x� y� pova�ovat na Rik za konstantn�� rovnu s�xik � yik�� Pak hmotnost Rik je p�ibli�n�s�xik � yik� �m�Rik� a hmotnost cel�ho R p�ibli�n�X
�i�k��Is�xik � yik� �m�Rik��
Ozna�me
mik � minfs�x� y� j �x� y� � Rikg�Mik � maxfs�x� y� j �x� y� � Rikg�
Pak mik s�xik � yik� Mik� OdtudX�i�k��I
mik �m�Rik� X
�i�k��Is�xik � yik� �m�Rik�
X�i�k��I
Mik �m�Rik��
tj� s�D� s� H�R� S�D� s�� kde H�R� je hmotnost R�Odtud
supfs�D� s� j D � Dg �ZZ
R
s�x� y� dx dy H�R� inffS�D� s� j D � Dg �ZZR
s�x� y� dx dy�
Funkce s je v�ak spojit� � s je integrabiln� a tedy
H�R� �
ZZR
s�x� y� dx dy�
$�� T��i"t� obd�ln�ka �
��� T��it� obd�ln�ka
Soust�e!me v�echnu hmotu rozprost�enou na Rik do jeho st�edu �xik � yik�� Pak statick� moment takto vznikl�hohmotn�ho bodu vzhledem k ose x je yik � s�xik � yik� �m�Rik� a statick� moment R vzhledem k ose x jeX
�i�k��Iyik � s�xik � yik� �m�Rik��
Ozna�me
mik � minfy � s�x� y� j �x� y� � RikgMik � maxfy � s�x� y� j �x� y� � Rikg�
V�me� �e plat� Xmik �m�Rik�
Xyik � s�xik � yik� �m�Rik�
XMik �m�Rik��
tj� s�D� y � s� Sx�R� S�D� y � s�� kde Sx�R� je statick� moment R vzhledem k ose x� Tedy plat�
Sx�R� �
ZZR
y � s�x� y� dx dy�
Podobn� statick� moment R vzhledem k ose y je
Sy�R� �
ZZR
x � s�x� y� dx dy�
T��i"t� obd�ln�ka R je bod �xT � yT � s touto vlastnost� Soust�ed�me�li do n�j ve�kerou hmotu z R� pak vznikl�hmotn� bod m� stejn� statick� momenty vzhledem k sou�adn�m os�m� Tedy
yTH�R� � Sx�R� � yT �Sx�R�
H�R�
xTH�R� � Sy�R� � xT �Sy�R�
H�R�
Tyto "vahy byly provedeny pro obd�ln�k� plat� v�ak pro libovolnou norm�ln� mno�inu�
Pou�ka ���� �Bu! A � E� norm�ln� mno�ina a nech� je pokryta hmotou tak� �e speci�ck� hmotnost v bod� �x� y� � A je s�x� y��
Nech� s�x� y� je spojit� funkce na A� Pak pro hmotnost A plat�
H�A� �
ZZA
s�x� y� dx dy
a pro statick� momenty A plat�
Sx�A� �
ZZA
y � s�x� y� dx dy
Sy�A� �
ZZA
x � s�x� y� dx dy
a pro t��i�t� A �bod �xT � yT �� plat�
xT �Sy�A�
H�A�
yT �Sx�A�
H�A�
$� APLIKACE DVOJN�HO A TROJN�HO INTEGR�LU
P��klad ����Najd�te t��i�t� parabolick� "se�e A � E� omezen� parabolou y � x� a p��mkou y � �� Speci�ck� hmotnost� je
s�x� y� � � pro ��x� y� � A�Mno�ina A je symetrick�� tj� xT � ��Hmotnost A
H�A� � m�A� �
ZZA
dx dy �
Z �
��
�Z �
x�dy
�dx �
�
Z �
��
��� x�
dx �
�
�x� �
�x�����
�
�
��� �
�
�� �
�
��
Statick� moment vzhledem k ose x
Sx�A� �
ZZA
y dx dy �
Z �
��
�Z �
x�y dy
�dx �
��
Z �
��
�y���x�
dx �
��
Z �
����� x� dx �
��
�x� �
�x����
�
��
��� �
�
�� � �
��
Tedy
yT ��
��
��
T��i�t� mno�iny A je tedy T ���� �
��
��� M�ra kv�dru� Hmotnost a t��it� kv�dru
Pou�ka ���� �Bu! V norm�ln� v E�� Pak
m�V � �
ZZZV
dx dy dz�
Pou�ka ���� �Bu! V � E� norm�ln� mno�ina pokryt� hmotou tak� �e speci�ck� hmotnost v bod� �x� y� z� � V je s�x� y� z�� Nech�
s�x� y� z� je spojit� funkce na V � Pak pro hmotnost mno�iny V plat�
H�V � �
ZZZV
s�x� y� z� dx dy dz�
��Od nyn� budeme uvaovat speci�ckou hmotnost jedni�kovou tj� s�x� y� � � pokud nebude zad�na jinak�
$�� M�ra kv�dru� Hmotnost a t��i"t� kv�dru �
Pro statick� momenty vzhledem k sou�adn�m rovin�m plat�
Sxy�V � �
ZZZV
z � s�x� y� z� dx dy dz�
Sxz�V � �
ZZZV
y � s�x� y� z� dx dy dz�
Syz�V � �
ZZZV
x � s�x� y� z� dx dy dz�
Pro t��i�t� mno�iny V T � �xT � yT � zT � plat�
xT �Syz�V �
H�V ��
yT �Sxz�V �
H�V ��
zT �Sxy�V �
H�V ��
P��klad ����Vypo�t�te hmotnost t�lesa omezen�ho soust�edn�mi kulov�mi plochami o polom�rech r a R� speci�ck� hmotnost
je nep��mo "m�rn� vzd�lenosti od st�edu a ve vzd�lenosti � od st�edu je rovna s�Tedy
s�x� y� z� �kp
x� � y� � z�
a propx� � y� � z� � � je s�x� y� z� � s� Tedy k � s a speci�ck� hmotnost je
s�x� y� z� �sp
x� � y� � z��
Hmotnost V je
H�V � �
ZZZV
spx� � y� � z�
dx dy dz � �s�R� � r���
Pro �ten��e� kter� si to chce s�m spo��tat uv�d�me jako n�pov�du� �e je vhodn� substituovat integr�l do sf�rick�chsou�adnic�
P��klad ����Najd�te t��i�t� osminy koule o polom�ru r v �� oktantu� p�i�em� s�x� y� z� � ��H�v� � m�V � � �
� ��r� � ���r
��Ze symetrie plyne� �e Sxy�V � � Sxz�V � � Syz�V �� V�po�et statick�ho momentu nech�me na �ten��i� Zde si uve!me
v�sledek
Sxy�V � �
ZZZV
z dx dy dz � � � � � �
���r�
Tedy
xT � yT � zT �����r
���r
�
a t��i�t� T ��� r�
� r�
� r��
� � K%IVKOV INTEGR�L
�� K�ivkov� integr�l
� Pojem oblouku a kivky
De�nice ����Oblouk v En je homeomorfn� obraz uzav�en�ho intervalu h�� �i na p��mce F � h�� �i �� C� Funkce F je
parametrizace oblouku C�
De�nice ����Jednoduch� uzaven� kivka v En je homeomorfn� obraz kru�nice F � h�� �i �� C� Funkce F je parametrizace
jednoduch� uzav�en� k�ivky C�
De�nice ����Bu! C oblouk v En a F � h�� �i �� C jeho parametrizace� Orientac� oblouku C rozum�me line�rn� uspo��danou
mno�inu �C��� takovou� �e plat� jeden z n�sleduj�c�ch bod�
� t�� t� � h�� �i� t� � t� � F �t�� � F �t��
� t�� t� � h�� �i� t� � t� � F �t�� � F �t��
V prvn�m p��pad� je C orientov�n souhlasn� s parametry F � ve druh�m p��pad� nesouhlasn�� Oblouk C se naz�v�orientovan�� je�li na n�m zvolena jedna z mo�n�ch orientac��
P��klad ����Oblouk paraboly v E� o parametrizaci F � �t� t��� t � h�� �i m� souhlasnou orientaci� proto�e
�t�� t��� � �t�� t
��� � t� � t�
Jak to vypad� v praxi ukazuje obr�zek ��
0 1
Obr�zek � P��klad orientovan�ho oblouku
De�nice ����Bu! G mno�ina� card�G� � �� Cyklick�m uspo��d�n�m na G rozum�me tern�rn� relaci t � G�� kter� spl$uje
podm�nky
�� �x� y� z� � t � �z� y� x� � t � � � asymetrie�
�� Integr�l
�� �x� y� z� � t � �y� z� x� � t � � � cykli�nost�
�� �x� y� z� � t� �x� z� u� � t � �x� y� u� � t � � � tranzitivnost�
� x� y� z � G� x � y � z � x � ��x� y� z� � t � �z� y� x� � t� � � � "plnost
P��klad ����Pro �ten��e nyn� m�me cvi�en� Nech� � je line�rn� uspo��d�n� na G� card�G� � �� Nech� t � G� je defnov�no
tak� �e �x� y� z� � t pr�v� kdy� x � y � z nebo y � z � x nebo z � x � y� Doka�te� �e t je cyklick� uspo��d�n� na G�
De�nice ����Bu! C jednoduch� uzav�en� k�ivka v En� F � h�� �i �� C jej� parametrizace� Orientace k�ivky C je cyklick�
uspo��d�n� t na C takov�� �e spl$uje jednu ze dvou podm�nek
� t�� t�� t� � h�� �i� t� � t� � t� � �F �t��� F �t��� F �t��� � t � � � souhlasn� orientace�
� t�� t�� t� � h�� �i� t� � t� � t� � �F �t��� F �t��� F �t��� � t � � � nesouhlasn� orientace�
K�ivka se naz�v� orientovan�� je�li d�na jedna ze dvou uveden�ch orientac��
P��klad ����Kru�nice v E� o parametrizaci
x � r cos t
y � r sin t
m� souhlasnou orientaci danou p�edpisem
��r cos t�� r sin t��� �r cos t�� r sin t��� �r cos t�� r sin t��� � t� � t� � t� � t� � ��
De�nice ����Regul�rn� oblouk je oblouk s parametrizac� F � h�� �i �� C� kde F � ��� �� �� C je difeomor�smus�Hladk� jednoduch� uzaven� kivka je jednoduch� uzav�en� k�ivka s parametrizac� F � h�� �i �� C� kde F �
��� �� �� C je difeomor�smus�
�� Integr�l
De�nice ����Bu! C regul�rn� oblouk nebo hladk� uzav�en� k�ivka v En a F � h�� �i �� C jej� parametrizace� f budi� spojit�
funkce v oblasti� v n�� le�� C� Pak de�nujeme
ZC
f ds �
Z �
�f � F � � jjF �jj�
De�nice ��� K�ivkov� integr�l druhu
Nech� F � �f�� � � � � fn�� pak de�nujeme kivkov� integr�l � druhu takto
ZC
f�x�� � � � � xn� ds �
Z �
f�f��t�� � � � � fn�t�� �q�f �����t� � � � �� �f �n���t� dt�
Speci�ln� pro n � a F � ��� �� je
ZC
f�x� y� ds �
Z �
f���t�� ��t�� �p������t� � ������t� dt�
� K%IVKOV INTEGR�L
De�nice ���� K�ivkov� integr�l � druhu
Bu! C orientovan� regul�rn� oblouk nebo orientovan� hladk� uzav�en� k�ivka v En s parametrizac�
F � �f�� � � � � fn� � h�� �i �� C
a nech� g�� � � � � gn jsou spojit� funkce v n�jak� oblasti� v n�� le�� C� Pak de�nujeme kivkov� integr�l �� druhu takto ZC
g� dx� � � � �� gn dxn � �Z �
�g� � F �f �� � � � �� �gn � F �f �n�
kde � plat� pro souhlasnou a � pro nesouhlasnou orientaci�Podrobn�ji Z
C
g��x�� � � � � xn� dx� � � � �� gn�x�� � � � � xn� dxn � �Z �
�g��f��t�� � � � � fn�t�� � f ���t� � � � �� gn�f��t�� � � � � fn�t�� � f �n�t� dt
Speci�ln� pro n � a F � ��� �� je
ZC
f�x� y� dx� g�x� y� dy � �Z �
�f���t�� ��t�� � ���t� � g���t�� ��t�� � ���t�� dt�
De�nice �����Je�li k�ivka C �
Smi�� Ci� kde Ci jsou regul�rn� oblouky� pak pro k�ivkov� integr�ly plat�
ZC
f ds �
mXi��
ZCi
f ds
ZC
g� dx� � � � �� gn dxn �
mXi��
ZCi
g� dx� � � � �� gn dxn
P��klad ����Vypo�t�te Z
C
�x� y� ds�
kde C je kru�nice x� � y� � ax� kde a ��Tedy tato kru�nice m� st�ed na kladn� poloose x a dot�k� se osy y� Jej� parametrizace je
x �a
�a
cos t
y �a
sin t�
kde t � h�� �i� A ji� m��eme po��tat
ZC
�x� y� ds �
Z ��
�
a
�� � cos t� sin t�
ra�
�cos� t�
a�
�sin� t dt �
�a�
�
Z ��
�
�� � cos t� sin t� dt �
�a�
��t� sin t� cos t���� �
�a�
P��klad ����Vypo�t�te Z
C
x dx� y dy�
�� Vlastnosti kivkov�ho integr�lu �
kde C je oblouk paraboly y � x� s po��te�n�m bodem ��� �� a koncov�m bodem ��� ��� Tento oblouk je zobrazen naobr� �� Parametrizace tohoto oblouku je
x � t
y � t��
kde t � h�� �i� Z�ejm� je tento oblouk souhlasn� orientov�n�A nyn� ji� v�po�et
ZC
x dx � y dy �
Z �
�
�t� t� � t� dt �
�
��
t� �
�
t���
��
�
�
� �
P��klad ����Vypo�t�te Z
C
x dy�
kde C je lomen� ��ra spojuj�c� ��� ��� ��� ��� ��� �� s po��te�n�m bodem ��� �� a koncov�m bodem ��� ���Tedy C � C� � C�� kde parametrizece C� je
x � �
y � t�
kde t � h�� �i a parametrizace C� je
x � t
y � ��
kde t � h�� �i� Ob� k�ivky jsou tedy souhlasn� orientovan��Tedy po��t�me R
C�
x dy �R ��� dt � �R
C�
x dy �R �� t � � dt � �
�ZC
x dy � ��
�� Vlastnosti kivkov�ho integr�lu
V tomto odstavci si uvedeme bez d�kaz� n�kter� vlastnosti k�ivkov�ho integr�lu� Tak� si je ilustrujeme na p��kladech�
�� ZC
�f � g� ds �
ZC
f ds�
ZC
g dsZC
�g� � h�� dx� � � � �� �gn � hn� dxn �
ZC
g� dx� � � � �� gn dxn �
ZC
h� dx� � � � �� hn dxn
�� Ozna�me C� jako opa�n� orientovan� ne� C� PakZC�
f ds �
ZC
f dsZC�
g� dx� � � � �� gn dxn � �ZC
g� dx� � � � �� gn dxn
�� � K%IVKOV INTEGR�L
�� Nech� l�C� je d�lka C a nech� jf j k na C a jg�j k� � � � � jgnj k na C� Pak����ZC
f ds
���� k � l�C�����ZC
g� dx�
���� k � l�C��� � �����
ZC
gn dxn
���� k � l�C��
� Vta ����� Greenova v�ta
Bu! G oblast v En� v n�� jsou d�ny spojit� funkce f�x� y�� g�x� y� se spojit�mi parci�ln�mi derivacemi fx� gx�Nech� C je po ��stech hladk� jednoduch� uzav�en� k�ivka le��c� i se sv�m vnit�kem v G a orientovan� protism�ru hodinov�ch ru�i�ek� Nech� A je mno�ina v�ech bod� uvnit� a na C� Pak plat� Z
C
f�x� y� dx� g�x� y� dy �
ZZA
�gx�x� y� � fx�x� y�� dx dy�
Situaci vykresluje obr�zek � �
A C
G
Obr�zek � Situace z Greenovy v�ty
�� D�sledek �����
Za p�edpoklad� z Greenovy v�ty ����� o k�ivce C a mno�in� A plat�
m�A� ��
ZC
x dy � y dx�
P��klad ����Vypo�t�te Z
C
�xy � x� y� dx� �xy � x� y� dy�
kde C je kru�nice x� � y� � ax �a �� orientovan� proti hodinov�m ru�i�k�m�Parametrizace F kru�nice C je
x � u cos v
y � u sin v
detF � � u
�� Vlastnosti kivkov�ho integr�lu ��
Tedy ZC
�xy � x� y� dx� �xy � x� y� dy �
ZZA
�y � �� x� �� dx dy�
P�itom F���A� je
��
v �
� u a cos v
a substituc� do sou�adnic u� v pokra�ujeme ve v�po�tu ZZA
�y � �� x� �� dx dy �
ZZF���A�
u��sin v � cos v� du dv �
�
Z ��
���
�Z a cos v
�
u��sin v � cos v� du
�dv �
� � � �
a v�po�et nech� si dokon�� �ten�� jako cvi�en��
P��klad ��� Vypo�t�te m�ru v�se�e elipsy� kter� je zobrazena na obr�zku ���
A
C1
C2C3
Obr�zek �� V�se� elipsy
Podle tohoto obr�zku je z�ejm�� �e
m�A� ��
ZC
x dy � y dx ��
�ZC�
x dy � y dx�
ZC�
x dy � y dx�
ZC�
x dy � y dx
��
proto�e mno�ina A je ohrani�ena k�ivkou C �S�i�� Ci�
Parametrizace k�ivky C� je
x � t
y � kt�
kde t � h�� �i� K�ivka C je s touto parametrizac� orientovan� souhlasn��
�� � K%IVKOV INTEGR�L
Tedy ZC�
x dy � y dx �
Z �
�kt� kt� dt � ��
Analogicky ZC�
x dy � y dx � ��
Parametrizace k�ivky C� je
x � a cos t
y � b sin t�
kde t � ht�� t�i�Tedy
m�A� ��
ZC�
x dy � y dx ��
Z t�
t�
�ab cos� t� ab sin� t
dt �
��
ab
Z t�
t�
dt ��
ab�t� � t��
Speci�ln� m�ra cel� elipsy je �ab�
��
��st III
Element�rn� metody �e�en� diferenci�ln�ch rovnic
�� Z�kladn� pojmy
Diferenci�ln� rovnice je rovnice� v n�� se krom� nez�visl�ch prom�nn�ch vyskytuj� jejich derivace� Naz�v� se oby�ejn�diferenci�ln� rovnice� je�li nezn�m� funkce funkc� jedn� prom�nn�� Naz�v� se parci�ln� diferenci�ln� rovnice� kdy�hledan� funkce je funkc� v�ce prom�nn�ch�
P��klad ����Rovnice
y� � x� � y�
y��� � y�� � y� � y � �
jsou oby�ejn� diferenci�ln� rovnice� rovnice
x�z
�x� y
�z
�y� �
��n
�x����n
�y����n
�z�� �
jsou parci�ln� diferenci�ln� rovnice�
Ozna�en�� V n�sleduj�c�m textu budeme pod pojmem diferenci�ln� rovnice rozum�t oby�ejn� diferenci�ln� rovnice�
De�nice ����%�dem diferenci�ln� rovnice rozum�me ��d nejvy��� derivace nezn�m� funkce� je� se v rovnici vyskytuje�
P��klad ����
y�� � y� � y � x ��
y � y��� � y�� � � ���
Rovnice je prvn�ho ��du� rovnice � je t�et�ho ��du�
De�nice ����%e"en�m �integr�lem� integr�ln� kivkou diferenci�ln� rovnice rozum�me ka�dou funkci de�novanou na n�jak�m
intervalu� je� na tomto intervalu rovnici vyhovuje� tedy m� derivaci t�ho� ��du jako rovnice a dosazen� do rovnice z n��in� identitu�
P��klad ����Rovnice y� � y m� �e�en�
� y � ex� kde x � �������
� y � cex� kde c � R a x � �������
Rovnice y�� � y � � m� �e�en� y � c� cosx� c� sinx� kde c�� c� � R a x � �������
De�nice ����Pod pojmem obecn� e"en� rovnice ��du n rozum�me �e�en� obsahuj�c� n libovoln�ch konstant a to tak� �e ka�d�
�e�en� obdr��me vhodnou volbou t�chto konstant� #e�en� neobsahuj�c� v�echny konstanty se naz�v� partikul�rn� e"en��
� �� Z�KLADN� POJMY
P��klad ����Rovnice y� � y m� obecn� �e�en� y � c � ex� y � c � ex�c nen� obecn� �e�en� rovnice y� � y�
K dosa�en� toho� aby �e�en� rovnice bylo jedine�n�� je nutno dodat tzv� po��te�n� podm�nky� K rovnici �� ��du sep�id�v� po��te�n� �Cauchyova podm�nka y�x�� � y�� k rovnici ��du n
y�x�� � y�
y��x�� � y�
� � �y�n����x�� � yn��
V obou p��padech pak �e��me tzv� Cauchy�v po��te�n� probl�m�Diferenci�ln� rovnice �� ��du budeme zapisovat bu! v obecn�m tvaru F �x� y� y�� � � nebo ve tvaru rovnice roze"en�
vzhledem k derivaci �explicitn� rovnice � �du y� � f�x� y��
��
� N�kter speci�ln� typy explicitn�ch rovnic �� ��du
�� Rovnice se separovan�mi prom�nn�mi
Rovnice se separovan�mi prom�nn�mi je tvaru
y� � f�x� � g�y�
kde f je de�nov�na na I a g je de�nov�na na J � kde I � J jsou intervaly�
Vta ����Nech� je f funkce spojit� na I a funkce g spojit� na J � x� � I � y� � J a g�y�� � �� Pak bodem �x�� y�� proch�z�
jedin� �e�en� y � y�x� rovnice y� � f�x� � g�y�� kter� je d�no implicitn� vztahem
yZy�
dt
g�t��
xZx�
f�t� dt
D�kaz� Ozna�me
F �x� y� �
yZy�
dt
g�t��
xZx�
f�t� dt
Pak Fx � �f�x� a Fy � �g�y� � F �x� y� je t��dy C� na jist�m okol� bodu �x�� y��� F �x�� y�� � � a Fy�x�� y�� �
�g�y��
� �� Podle v�ty o implicitn� funkci rovnost F �x� y� � �� tj�
yZy�
dt
g�t��
xZx�
f�t� dt
vyjad�uje v n�jak�m okol� bodu �x�� y�� implicitn� funkci y � y�x�� kter� m� derivaci
y��x� � �Fx�x� y�x��
Fy�x� y�x��
����f�x��
�g�y�x��
� f�x� � g�y�x��
�
Pozn�mka ����Je�li g�y�� � �� pak bodem �x�� y�� proch�z� �e�en� y � y�� Lze dok�zat tvrzen�
Je�liy���Zy�
dt
g�t�� ��
pak y � y� je jedin�m �e�en�m jdouc�m bodem �x�� y���
Jestli�e je integr�ly���Zy�
dt
g�t�
konvergentn�� pak bodem �x�� y�� proch�z� alespo$ dv� �e�en� a to y � y� a �e�en� dan� v�tou �����
�� �� N�KTER� SPECI�LN� TYPY EXPLICITN�CH ROVNIC � %�DU
Pozn�mka ����P�i praktick�m v�po�tu postupujeme zpravidla takto
dy
dx� f�x� � g�y�
dy
g�y�� f�x� dxZ
dy
g�y��
Zf�x� dx� c
P��klad ����Vypo�t�te diferenci�ln� rovnici y� � y� Z
dy
y��
Zdx
��
y� x� c
y � � �
x� c
kde x � �����c� � ��c���� y � � je rovn�� �e�en� �tzv� singul�rn���
P��klad ����x�y� � �� � y�x� � ��y� � �� t�j� y� � �x�y����
y�x����Zx
y� � �dy �
Z �xx� �
dx
�
ln �y� � �� � ��
�x� � �� �
�
ln c
y� � � �c
x� � �event�
�x� � ���y� � �� � c
kde c � R a c ��
P��klad ����y� � cotgx� y � � y��� � ���
� podle v�ty ����
y� � �� y� � tg xyZ
��
dt
� t�
xZ�
tg t dt
�ln j� tj�y�� � �ln j cos tj�x�V okol� bodu ������ je cos t � a � t �� tedy
�ln �� t��y�� � �ln cos t�x�
ln �� y�� ln � � ln cosx
ln �� y� � ln � � ln cosx
� y � � cosx
y � � � cosx
��� Homogenn� rovnice � �du �
� pomoc� obecn�ho �e�en� Zdy
� y�
Ztg x dx
� ln j� yj � � ln j cosxj � ln c
ln �� y� � ln cosx� ln c
� y � c cosx
y � � c cosx
Polo��me�li po��te�n� podm�nku y��� � ��� dostaneme po dosazen� do obecn�ho �e�en� �� � � c� tedy c � ��Hledan� �e�en� je y � � � cosx�
Pozn�mka ����Na rovnici se separovan�mi prom�nn�mi lze p�ev�st rovnici y� � f�ax � by � c�� kde a� b� c � R a f je spojit�
funkce�Provedeme to zaveden�m substituce ax�by�c � u� zderivov�n�m podle y dostaneme a�by� � u� a tedy y� � u��a
b�
Po dosazen�
u� � a
b� f�u�
u� � a� bf�u�
P��klad ����y� � �x� y � ��
x� y � � u � � � y� � u�
u� � � � u�
u� � u� � �
Po dosazen� �e��me diferenci�ln� rovnici� hled�me �e�en� u Zdu
u� � ��
Zdx
arctgu � x� c
u � tg �x � c�
Zp�t dosad�me a vypo�teme y
x� y � � tg �x� c�
y � tg �x� c�� x�
��� Homogenn� rovnice � �du
Homogenn�mi rovnicemi � �du rozum�me rovnice tvaru y� � f�yx
� kde f je spojit� na n�jak�m intervalu I �
#e��me je tak� �e zavedeme substituci yx� u� po "prav� y � x � u a po derivaci y� � u � xu�� Po dosazen� do
homogenn� rovnice dostaneme u� xu� � f�u� a po "prav� u� � f�u��ux
� co� je rovnice se separovan�mi prom�nn�mi�
P��klad ����M�me za "kol naj�t �e�en� x�y� � x� � xy � y�� Nejprve uprav�me na y� � �� y
x� y�
x�� Provedeme v��e zm�n�nou
substituci yx� u� y� � u� xu�� ��m� dostaneme rovnici u� xu� � �� u� u�� kterou uprav�me na xu� � �� u� a d�le
�e��me jako rovnici se separovan�mi prom�nn�mi Zdu
�� u��
Zdx
x�
ln j� � uj � �
ln j�� uj � ln jxj� �
ln c
� �� N�KTER� SPECI�LN� TYPY EXPLICITN�CH ROVNIC � %�DU
� � ������ � u
�� u
���� � c � x�
� � u
�� u� c � x�
� � yx
�� yx
� c � x�
x� y
x� y� c � x�
y �cx� � x
cx� � �
��� Rovnice typu �racion�ln� polynom�
N�zev �racion�ln� polynom� je pon�kud nep�esn� a zav�d�j�c�� kter� je zde uveden z technick�ho d�vodu� aby nebylmatematick� v�raz v nadpisu� Napravme tedy tento proh�e�ek a uve!me nadpis na pravou m�ru
Rovnice typu y� � f�a�x�b�y�c�a�x�b�y�c�
��
V�nujme se tedy rovnici y� � f�a�x�b�y�c�a�x�b�y�c�
�� V�imn�me si� �e c� � c� � � vede na homogenn� rovnici� Tedy
p�edpokl�dejme� �e c� � � nebo c� � �� Pokud plat� rovnost ���� a� b�a� b�
���� � �
je a� � ka� a b� � kb� pro n�jak� k� Pak na�e rovnice vypad� takto
y� � f
�a�x� b�y � c�
k�a�x� b�y� � c�
�� g�a�x� b�y�
a vede na rovnici z pozn�mky ����Pokud je v��e zm�n�n� determinant nenulov�� pak zvol�me substituci
x � � � h
y � � � k
z �eho� plyne� �e dx � d� a dy � d� a tedy y� � dydx
� dd�
� ��� Po dosazen�
� � f
�a�� � b�� � a�h� b�k � c�a�� � b�� � a�h� b�k � c�
�
*�sla h� k vol�me tak� aby byl spln�n syst�m
a�h� b�k � c� � �
a�h� b�k � c� � �
tedy existuje jedno jeho �e�en�� Potom obdr��me rovnici
�� � f
�a�� � b��
a�� � b��
�
v n�� pozn�v�me homogenn� rovnici�
P��klad ����M�me naj�t �e�en� rovnice y� � x�y��
x��y�� �
��� Line�rn� rovnice � �du ��
Nejprve tedy vy�e��me syst�m rovnic
h� k � � �
h� k � � � �
#e�en�m jsou h � �� k � ��� tedy provedeme substituci x � � � �� y � � � �� Po dosazen� do rovnice dostaneme
�� �� � �
� � ��
�� �
� � �
Provedeme dal�� substituci �� u� tedy � � �u� �� � u � �u�� Po dosazen� u � �u� � ��u
���u � Dal��m v�po�tem adosazen�m zp�t dostaneme
�x � ��� � �x� ���y � ��� �y � ��� � c
a z tohoto vztahu dostaneme hledanou funkci y�
��� Line�rn� rovnice � �du
Rovnice F �x� y� y�� � � je line�rn�� je�li F line�rn� vzhledem k y� y�� tj� a��x�y� � a��x�y � a��x� � �� kde ai�x� jsouspojit� na intervalu I a a��x� � ��
Ozna��me�li a��x�a��x�
� f�x� a �a��x�a��x�
� g�x�� pak p�vodn� line�rn� rovnice p�ejde do tvaru y��f�x�y � g�x�� Ozna�meRf�x� dx libovolnou primitivn� funkci k f�x� a vyn�sobme rovnici e
Rf�x�dx
y� � eRf�x�dx � f�x�ye
Rf�x� dx � e
Rf�x� dxg�x��
y � eRf�x� dx
��� e
Rf�x� dxg�x�
Integrac� potom
y � eRf�x� dx �
ZeRf�x� dx � g�x� dx � C
a tedy hledan� funkce je
y � e�Rf�x� dx �
�C �
ZeRf�x�dx � g�x� dx
�
P��klad ����M�me vy�e�it rovnici y� � y cosx � sinx cosx� Podle v��e uveden�ho vzorce ji uprav�me do n�sleduj�c� podoby
y � e� sinx � �C �Resinx � sinx cosx dx
Vy�e�en�m integr�luResinx � sinx cosx dx dostaneme v�sledek esinx � �sinx � �� a ten dosad�me a z�sk�me tak
hledanou funkci y � e� sinx�C � esinx�sinx� ��
� C � e� sinx � sinx� �
P��klad ��� y� � y tg x � �
cosx s po��te�n� podm�nkou y��� � �� Po dosazen� do vzorce
y � e� ln j cosxj�C �
Zeln j cosxj � �
cosxdx
��
�
j cosxj ��C �
Z j cosxjcosx
dx
�
V okol� bodu � je cosx �� tedy �e�en� je y � �cos x ��C�x�� Dosad�me po��te�n� podm�nku C � � a m�me partikul�rn�
�e�en� y � xcos x �
��� Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice je tvaru y� � f�x�y � g�x�yn� kde f � g je spojit� na I a n � R�
� P��pad n � � vede na line�rn� rovnici�
��� �� N�KTER� SPECI�LN� TYPY EXPLICITN�CH ROVNIC � %�DU
� V p��pad� n � � bude m�sto f�x�y �len �f�x� � g�x��y a tento p��pad tedy vede na rovnici se separovan�miprom�nn�mi�
P�edpokl�dejme tedy� �e n � �� n � �� Vyd�len�m rovnice funkc� yn m�me y�
yn� f�x�
yn� g�x�� Ozna�me funkci
�yn�� � y��n � u� tedy ���u�y�ny� � u�� po "prav� y�
yn� u�
��u � Dosazen�m do rovnice dostaneme u�
��u �f�x�u � g�x��co� je line�rn� rovnice�
P��klad ����
xy� � y � y� lnx x � �����
y� ��
xy � y� � lnx
x � y�
y�
y��
�
xy�
lnx
x
Substituc� �y� u� p�i�em� � y�
y�� u� a dal��mi "pravami dost�v�me
�u� � �
xu �
lnx
x
u� � �
xu � � lnx
x
Po vy�e�en� t�to rovnice dostaneme
u � elnx�c�
Ze� lnx lnx
xdx
�� x �
�c�
Zlnx
x�dx
��
�
����Z
lnx
x�dx � � �
x�lnx� ��
���� � x ��c�
�
x�lnx� ��
�� cx� lnx� �
Tedy y � �cx�lnx�� �
���
�� Rovnice �� ��du neroz�e�en vzhledem k derivaci
�� Metoda zaveden� parametr�
M�jme rovnici F �x� y� y�� � �� Ozna��me�li si y� � p� pak F �x� y� p� � � vyjad�uje za jist�ch p�edpoklad� regul�rn�plochu v E�� Tuto plochu lze parametrizovat
x � ��u� v�
y � ��u� v�
p � ��u� v�
kde �u� v� �M � E� a �� �� � � C��M��Pak p � dy
dx� � a plat�
dy � �u du� �v dv
dx � �u du� �v dv
tedy n�sleduj�c�mi "pravami z�sk�me
� ��u du� �v dv
�u du� �v dv� ���u � �u� du � ��v � ��v� dv �
� dv
du�
��u � �u�v � ��v
kde �v � ��v � �� co� je rovnice roz�e�en� vzhledem k derivaci� Je�li v � ��u� c� jej� obecn� �e�en�� je obecn� �e�en�p�vodn� rovnice d�no parametricky
x � ��u� ��u� c��
y � ��u� ��u� c��
Metoda zaveden� parametr� je v�dy pou�iteln�� zejm�na je�li rovnice F �x� y� p� � � roz�e�ena vzhledem k y nabo k x�tj� je�li tvaru y � f�x� p� nebo x � f�y� p��
V rovnici y � f�x� p� lze za parametry zvolit x� p
dy � fx dx� fp dp
dy
dx� fx � fp � dp
dxdp
dx�
p� fxfp
Rovnici p � fx � fp � dpdx lze obdr�et z y � f�x� p� prost�m derivov�n�m podle x�Rovnici x � f�y� p� lze �e�it metodou derivov�n� �derivujeme podle y�
dx
dy� fy � fp � dp
dy
�
p� fy � fp � dp
dy
dp
dy�
�p� fy
fp
Pravidlo� kter� si proto zapamatujme zn�
� y � f�x� p� derivujeme podle x�
� x � f�y� p� derivujeme podle y�
��� �� ROVNICE � %�DU NEROZ%E&EN� VZHLEDEM K DERIVACI
P��klad ����
y � y�� � xy� ��
x�� y� � p
y � p� � xp��
x�
derivac� podle x z�sk�me
p � pdp
dx� p� x
dp
dx� x
�p� x� � dpdx
� p� x
p� x � � � dp
dx� �
p � x� c
Dosazen�m
y � �x� c�� � x�x � c� ��
x�
y ��
x� � cx� c�
Je obecn� �e�en�� Pro p��pad p� x � � je rovnice taky spln�na p � x� a tedy y � x�
je singul�rn� �e�en��
P��klad ����
y�� � xy� � � � � y� � p
p� � xp� � � �
x �p� � �
p�
�
�p�
�
p
�
derivac� podle y
�
p�
�
��� �
p�
�dp
dy
dy
dp�
�
�p� �
p
�
a zp�t integrac�
y ��
�p�
� ln jpj
�� c
Obecn� �e�en� je tedy
x ��
�p�
�
p
�
y ��
�p�
� ln jpj
�� c
��� Rovnice Clairantova ���
��� Rovnice Clairantova
Clairantovou rovnic� rozum�me rovnici tvaru y � xy� � f�y��
kde f � C��I�� kde I je n�jak� interval�Substituc� y� � p obdr��me
y � xp� f�p�
a derivac� potom
p � p� xdp
dx� f ��p�
dp
dxdp
dx�x � f ��p�� � �
Za p�edpokladu� �e x� f ��p� � � je pak dpdx
� � a tedy p � c a y � cx� f�c��Obecn� �e�en� Clairantovy rovnice obdr��me tak� �e v t�to rovnici p��eme c m�sto y��Pokud x� f ��p� � �� pak
x � �f ��p�y � �pf ��p� � f�p�
M��li f na I druhou derivaci r�znou od �� pak k�ivka vyj�d�en� uvedenou parametrizac� p�edstavuje singul�rn��e�en�
dx � �f ���p� dpdy � ��f ��p� � pf ���p� � f ��p�� dp
� �pf ���p� dpa tedy
dy
dx� y� � p
Dosazen�m do rovnice dostaneme �pf ��p� � f�p� � �f ��p�p� f�p�
co� je identita�K�ivku vyj�d�enou
x � �f ��p�y � �pf ��p� � f�p�
lze ch�pat tak� jako k�ivku z�skanou eliminac� parametru p z rovnic
y � xp� f�p�
� � x� f ��p�
nebo eliminac� parametru c z rovnic
y � cx� f�c�
� � x� f ��c�
Druh� rovnice se dostane z prvn� derivov�n�m podle c� tedy singul�rn� �e�en� je ob�lkou soustavy p��mek y � cx�f�c��Toto tvrzen� vych�z� z faktu
F �x� y� c� � �
�
�cF �x� y� c� � �
� G�x� y� � � je ob�lkou soustavy F �x� y� c� � ��
�� �� ROVNICE � %�DU NEROZ%E&EN� VZHLEDEM K DERIVACI
Pou�ka� Je�li f ���p� � �� pak existuje singul�rn� �e�en� Clairantovy rovnice� je� je ob�lkou soustavy p��mek� tvo��c�chobecn� �e�en�� Nalezneme je eliminac� parametru c z rovnice� vyjad�uj�c� obecn� �e�en� a z rovnice z�skan� odtud derivac�v bod� c�
P��klad ����
y � xy� � y��
y � cx� c�
je obecn� �e�en�� Derivac�
� � x� c � c �x
Dosad�me do obecn�ho �e�en� a z�sk�me singul�rn� �e�en�
y �x
x� x�
��
x�
�
P��klad ����
y � xy� � y� � �
y � cx� c� �
je obecn� �e�en�� Singul�rn� �e�en� neexistuje� proto�e f ���p� � ��
��� Lagrangeova rovnice
Lagrangeova rovnice je tvaru y � xf�y�� � g�y��� kde f� g � C��I� pro n�jak� interval I � Je�li f�y�� � y�� pak se jedn�o Clairantovu rovnici�
Substituc� y� � p� derivov�n�m a dal��mi "pravami z�sk�me
y � xf�p� � g�p�
p � f�p� � xf ��p�dp
dx� g��p�
dp
dxdp
dx�xf ��p� � g��p�� � p� f�p�
dx
dp�
xf ��p� � g��p�p� f�p�
� p� f�p� � �
dx
dp� f ��p�p� f�p�
x �g��p�
p� f�p�
co� je line�rn� rovnice� jej� parametricky dan� obecn� �e�en� je
x � ��p� c�
y � ��p� c� � f�p� � g�p�
Je�li � � R �e�en�m rovnice p� f�p� � �� pak
y � xf��� � g���
je singul�rn� �e�en�� pokud se neobdr�� ��dnou volbou c�
P��klad ����
��� Lagrangeova rovnice ���
y � y���x� �� y� � p
y � xp� � p� �
p � p� � xpdp
dx� p
dp
dxdp
dx�
p� p�
xp� p
dx
dp�
xp� p
p� p��
x�
�� p
dx
dp�
p� �x � �
p� �
Tedy
x � e�� ln jp��j�c�
Ze� ln jp��j
p� �dp
��
��
�p� �����c�
Z�p� �� dp
��
��
�p� ���� �c� p� p��
Obecn� �e�en� tedy je
x ��
�p� ���� �c� p� p��
y �p�
�p� ���� �c� p� p�� � p�
ov�em za p�edpokladu� �e p� p� � �� Pokud v�ak p� p� � �� pak nast�vaj� dv� mo�nosti
�� p � � � y � � je obsa�eno v obecn�m �e�en� c � ���
�� p � � � y � x� � je singul�rn� �e�en��
��� �� LINE�RN� ROVNICE �� %�DU
�� Line�rn� rovnice � ��du
�� Podp�rn� tvrzen�
De�nice ����Line�rn� rovnice �� �du je tvaru
a��x�y�� � a��x�y
� � a��x�y � a��x� � �
kde ai � C�I� pro i � �� �� � � a nav�c a��x� � �� Tato rovnice m��e b�t tak� v normovan�m tvaru
y�� � p�x�y� � q�x�y � f�x� ���
Pokud f�x� � � naz�v� se homogenn�� jinak nehomogenn�� Pokud je rovnice � nehomogenn�� pak p��slu�n� zhomo�genizovan� rovnice se naz�v� pidru�en� rovnice k t�to rovnici�
Bez d�kazu si zde uvedeme n�kolik tvrzen��
Vta ����Bu!te x� � I � y�� y� � R� Pak existuje pr�v� jedno �e�en� y�x� rovnice � spl$uj�c� po��te�n� podm�nky y�x�� � y�
a y��x�� � y��
Vta ����Mno�ina v�ech �e�en� homogenn� rovnice � tvo�� vektorov� prostor dimenze nad polem re�ln�ch ��sel� Mno�ina
v�ech �e�en� nehomogenn� rovnice � tvo�� a�nn� prostor odvozen� z vektorov�ho prostoru p�idru�en� rovnice�
De�nice ����B�ze �e�en� homogenn�ch rovnice se naz�v� fundament�ln� soustava t�to rovnice� �ili f���x�� ���x�g jsou line�rn�
nez�visl��
D�sledek ����Je�li ��� �� fundament�ln� soustava homogenn� rovnice �� pak y � c����x�� c����x� je obecn� �e�en� t�to rovnice�
Je�li Y �x� libovoln� partikul�rn� �e�en� nehomogenn� rovnice � a ��� �� je fundament�ln� soustava rovnice p�idru�e�n�� pak y � c����x� � c����x� � Y �x� je obecn� �e�en� t�to rovnice�
��� Homogenn� rovnice
U homogenn� rovnice m�me nal�zt fundament�ln� soustavu� co� je snadn� pro rovnice s konstantn�mi koe�cienty
y�� � a�y� � a�y � � ��
kde a�� a� � R� P�edpokl�dan� �e�en� je y � ex� y� � �ex� y�� � ��ex� Dosad�me�li do rovnice
��ex � a��ex � a�e
x � � ex �
�� � a��� a� � �
Kvadratick� rovnice s ko�enem � se naz�v� charakteristick� rovnice k rovnici � P�i �e�en� t�to charakteristick� rovnicenastanou tyto p��pady
�� Pokud D �� pak charakteristick� rovnice m� dva navz�jem r�zn� ko�eny ��� ��� Pak e�x� e�x jsou �e�en�mrovnice � Proto�e jsou line�rn� nez�visl�� je fe�x� e�xg fundament�ln� soustava t�to rovnice�
Obecn� �e�en� je tedy tvaru y � c�e�x � c�e
�x�
�� Pokud D � �� pak charakteristick� rovnice m� jeden dvojn�sobn� ko�en �re�ln��� tj� �� � �� � �� Pak ex je�e�en�m rovnice � Uk��eme� �e xex je �e�en�m rovnice �
Pozn�mka ����
M�me rovnici �� � �a� � a� � �� Proto�e D � �� je � � �a�� a tedy �� a� � ��
��� Homogenn� rovnice ��
A nyn� zp�t k anoncovan�mu d�kazu� �e xex je �e�en�m rovnice � Nech� tedy y � xex� Pak
y� � ex � �xex
y�� � �ex � �ex � x��ex �
� �ex � x��ex
Po dosazen� do rovnice
y�� � a�y� � a�y � �ex � x��ex � a�e
x � a��xex � a�xe
x �
� ��� a��� �z ��
ex � ��� � a��� a��� �z ��
xex �
� �
co� samoz�ejm� rovnici vyhovuje� Tedy fex� xexg je fundament�ln� soustava rovnice �
Obecn� �e�en� je v tomto p��pad� y � c�ex � c�xe
x�
�� Pokud D � �� pak charakteristick� rovnice m� dva komplexn� konjugovan� �sdru�en�� ko�eny ���� � a � bi�Z toho plyne� �e funkce
���x� � e�a�bi�x � eax � eibx���x� � e�a�bi�x � eax � e�ibx
jsou �e�en�m� p�ipust�me�li za �e�en� komplexn� funkce re�ln� prom�nn�� K ov��en� n�m poslou�� n�sleduj�c�formulka o derivov�n� takov�ch funkc�
y�x� � y��x� � iy��x�
y��x� � y���x� � iy���x�
To v�ak my nechceme� Proto si p�ipome$me tyto vztahy a souvislosti Pro t � R plat�
eit � � �it
���i�t�
��i�t�
���it
��� � � � �
� � ��t��
�t
����t���
� � � �� i
�t
��� t�
���t
��� t�
��� � � �
��
� cos t� i sin t
Pro "plnost si uve!me� �e rovnice eit � cos t� i sin t se naz�v� Eulerova rovnice�
Tedy podle t�to rovnice upravme na�e �e�en� ��� ��
���x� � eax�cos bx� i sin bx�
���x� � eax�cos bx� i sin bx�
Z t�chto funkc� dost�v�me jednoduchou "vahou jin� funkce� kter� jsou u� re�ln� funkce re�ln� prom�nn�
�
����x� � ���x�� � eax cos bx
�
i����x� � ���x�� � eax sin bx
a jsou tak� line�rn� nez�visl�� Tedy feax cos bx� eax sin bxg je fundament�ln� soustava�
Obecn� �e�en� na�� rovnice tedy je y � eax�c� cos bx� c� sin bx�
�� �� LINE�RN� ROVNICE �� %�DU
P��klad ����
y�� � y� � y � �
�� � �� � �
���� �
���
Obecn� �e�en� tedy je y � c�ex � c�e
��x�
P��klad ����
y�� � �y� � �y � �
�� � ��� � � �
��� �� � �
���� � �y � c�e
��x � c�xe��x
P��klad ����
y�� � �y� � ��y � �
�� � ��� �� � �
���� � �� ip� � �� i
y � c�e�x cos x� c�e
�x sin x
��� Nehomogenn� rovnice � Lagrangeova metoda
Nyn� si uk��eme �e�en� nehomogenn� rovnice y���p�x�y��q�x�y � f�x�� Je�li ��� �� fundament�ln� soustava p�idru�en�rovnice k t�to rovnici� pak sta�� naj�t jedno partikul�rn� �e�en� Y �x� t�to rovnice� To lze prov�st Lagrangeovou metodouvariace konstant� kterou si nyn� pop��eme�
Je�li Y �x� � c��x����x��c��x����x�� pak Y ��x� � c�����c�����c��
���c��
��� P�edpokl�dejme� �e plat� c�����c
���� �
�� Pak je Y ��x� � c���� � c��
�� a tedy Y ���x� � c���
�� � c���
�� � c��
��� � c��
��� �
Dosazen�m dostaneme
c����� � c���
�� � c��
��� � c��
��� � p�c��
�� � c��
��� � q�c��� � c���� � f
c����� � c���
�� � c���
��� � p��� � q��� �z �
�
� � c������ � p��� � q��� �z �
�
� � f
c����� � c���
�� � f
Celkem tedy
c���� � c���� � �
c����� � c���
�� � f
Wronskiho determinant je determinant
D �
���� ���x� ���x�����x� ����x�
���� � W �x� � �
pro �x � I � Pak ji� m��eme spo��tat �konstanty� c�� c�
c�� �
���� � ���x�f�x� ����x�
����W �x�
��f�x����x�
W �x�� c��x� � �
Zf�x����x�
W �x�dx
c�� �
���� ���x� �����x� f�x�
����W �x�
�f�x����x�
W �x�� c��x� �
Zf�x����x�
W �x�dx
��� Polynom n�t�ho stupn� ���
V p��pad� rovnice s konstantn�mi koe�cienty
y�� � a�y� � a�y � f�x� � �
kde f je speci�ln�ho typu� lze pou��t k nalezen� Y metodu neur�it�ch koe�cient�� kterou si uvedeme v n�sleduj�c�chodstavc�ch�
��� Polynom n�t�ho stupn�
Nech� f�x� � Pn�x�� kde Pn je polynom n�t�ho stupn�� Pak Y � Qn�x�� a� � � �charakteristick� rovnice nem� ko�en ��Y � xQn�x�� a� � �� a� � � �charakteristick� rovnice m� jednoduch� ko�en ��Y � x�Qn�x�� a� � a� � � �charakteristick� rovnice m� dvojn�sobn� ko�en �� V�ce pozn�me na p��kladech
P��klad ����M�me rovnici y�� � y� � y � x�� Pak
Y � ax� � bx� c
Y � � ax� b
Y �� � a
Dosazen�m do rovnice m�me a� ax� b� ax� � bx� c � x�
a porovn�n�m jednotliv�ch �len� z�sk�me soustavu
a � �
a� b � �
a� b� c � �
Po vy�e�en� t�to soustavy z�sk�me partikul�rn� �e�en� Y � x� � x�Vy�e�en�m charakteristick� rovnice �� � �� � � � z�sk�me
���� � ��
�r
�
�� � � ��
� i
p�
Tedy obecn� �e�en� je
y � e��
�x
�c� cos
p�
x� c� sin
p�
x
�� x� � x
P��klad ����Te! ji� budeme m�sto dlouh�ch �e�� jen po��tat
y�� � y� � x� �
Y � x�ax� b� � ax� � bx
Y � � ax� b
Y �� � a
Dosad�me
a� ax� b � x� �
a � � a � �
a� b � � � b � ��Y � x� � x
Zde z�staneme jen u partikul�rn�ho �e�en�� V�po�et obecn�ho �e�en� ji� p�enech�me laskav�mu �ten��i�
��� �� LINE�RN� ROVNICE �� %�DU
��� Roz�en� polynomu n�t�ho stupn�
M�jme rovnici tvaru f�x� � eax � Pn�x�� Pak substituc� y � eax � u p�ejde rovnice dan� na rovnici s pravou stranouPn�x�� Dal�� �e�en� je u� z�le�itost uveden� v p�edchoz�m odstavci ����
P��klad ����
y�� � y� � exx
Substituc�
y � exu
y� � exu� exu�
y�� � exu� exu� � exu� � exu��
dostaneme rovnici
exu� exu� � exu�� � exu� exu� � exx
ex�u�� � u�� � exx
u�� � u� � x
U � ax� � bx
U � � ax� b
U �� � a
a� ax� b � x
a � � � a ��
a� b � � � b � ��
U ��
x� � x
Y � ex��
x� � x�
��� Dal� roz�en� polynomu n�t�ho stupn�
M�jme rovnici tvaruf�x� � Pn�x� � eax � cos bx
nebof�x� � Pn�x� � eax � sin bx
Je�li Y �x� � Y��x� � iY��x� �e�en�m rovnice
y�� � a�y� � a�y � Pn�x�e
�a�bi�x
pak Y��x� je �e�en� rovnicey�� � a�y
� � a�y � Pn�x�eax cos bx
a Y��x� je �e�en� rovnicey�� � a�y
� � a�y � Pn�x�eax sin bx
Pravou stranu tedy nahrad�me funkc� e na n�jak� komplexn� ��slo a po��t�me standardn�m zp�sobem� V�ce pozn�mez p��kladu�
P��klad ����
y�� � �y � � sin xy�� � �y � �e�ix
��� Dal"� roz"�en� polynomu n�t�ho stupn� ���
Substituc�
y � e�ixu
y� � ie�ixu� e�ix � u�y�� � ��e�ixu� �ie�ixu� � e�ixu��
dostaneme
e�ixu�� � �ie�ixu� � �e�ixu� �e�ixu � �e�ixu�� � �iu� � �
U � ax
U � � a
U �� � �
�ia � � � a � � �
i�
i
U �i
x
Y �i
x � e�ix �
�i
x � �cos x� i sin x� �
�x
�i cos x� sin x�
Jeliko� �e��m rovnici se sinem� pak obecn� �e�en� je
Y��x� ��
x cos x
��� �� LINE�RN� ROVNICE %�DU N
�� Line�rn� rovnice ��du n
�� Obecn� rovnice
Line�rn� rovnice �du n je tvaru
y�n� � a��x�y�n��� � � � �� an���x�y� � an�x�y � f�x� ���
kde ai�x�� f�x� � C�I��
Vta ����Nech� x� � I � y�� � � � � yn�� � R� Pak existuje pr�v� jedno �e�en� y�x� rovnice � spl$uj�c� y�x�� � y�� y��x�� � y��� � � �
y�n����x�� � yn���
Vta ����Obecn� �e�en� homogenn� rovnice � tvo�� vektorov� prostor dimenze n� mno�ina �e�en� nehomogenn� rovnice �
tvo�� a�nn� prostor�
Fundament�ln� soustava � b�ze vektorov�ho prostoru f��� ��� � � � � �ng� pak
y � c����x� � � � �� cn�n�x�
je obecn� �e�en� homogenn� rovnice ��Je�li Y �x� partikul�rn� �e�en� nehomogenn� rovnice �� pak
y � Y �x� � c����x� � � � �� cn�n�x�
je obecn� �e�en� rovnice ��
��� Homogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty
Line�rn� rovnice �du n s konstantn�mi koe�cienty �nehomogenn�� je tvaru
y�n� � a�y�n��� � � � �� an��y� � any � � ����
P�edpokl�dan� �e�en� je tvaru y � ex� � � C� Dosad�me do rovnice a vykr�cen�m ex � � vyjde charakteristick�rovnice
�n � a��n�� � � � �� an���� an � �
Nyn� plat�
�� � � R je ko�en charakteristick� rovnice � ex je �e�en�m ���
�� � � R je k�n�sobn�m ko�enem charakteristick� rovnice � ex� xex�� � � �xk��ex je k line�rn� nez�visl�ch�e�en� ���
�� a � bi je dvojice k�n�sobn�ch ko�en� charakteristick� rovnice � eax cos bx� eax sin bx� xeax cos bx� xeax sin bx�� � � �xk��eax cos bx� xk��eax sin bx je k line�rn� nez�visl�ch �e�en� rovnice ���
P��klad ����
y��� � y�� � y� � y � �
�� � �� � �� � �
�� � � ��� � �� � �� � � ��� �� � �� � ��
�� � �� �� �
Tedy fex� e�x� e�xg je fundament�ln� soustava �e�en�� tedy obecn� �e�en� je
y � c�ex � c�e
�x � c�e�x
��� Nehomogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty ���
P��klad ����
y���� � �y��� � �y�� � y� � �
�� � � ��� ��� � �
����� � �
Obecn� �e�en� tedy je y � c� � �c� � c�x� cx
�� � e�x
P��klad ����
y���� � ��y � �
� � �� � �
���� � � ��� � �iTedy fundament�ln� soustava je fe�x� e��x� cos x� sin xg a obecn� �e�en� rovnice
y � c�e�x � c�e
��x � c� cos x� c sin x
P��klad ����
y���� � y��� � �y�� � y� � y � �
� � �� � ��� � �� � � �
��� � �� ��� � �
���� ��
� i
p�
a oba ko�eny charakteristick� charakteristick� rovnice jsou ��n�sobn��Tedy obecn� �e�en� je
y � ex�
��c� � c�x� cos
p�
x� �c� � c� sin
p�
x
�
��� Nehomogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty
Nehomogenn� rovnice s koe�cienty je tvaru
y�n� � a�y�n��� � � � �� an��y� � any � f�x� ����
Partikul�rn� �e�en� hled�me v obecn�m p��pad� metodou variace konstant �ta je pou�iteln� pro obecn� line�rn�rovnice ��du n��
M�me vztahY �x� � c��x����x� � c��x����x� � � � �� cn�x��n�x�
kde Y je hledan� partikul�rn� �e�en� a ��� � � � � �n je fundament�ln� soustava homogenn� rovnice k rovnici ���Jestli�e c�� � � � � cn spl$uj� soustavu rovnic
c���� � � � �� c�n�n � �
c����� � � � �� c�n�
�n � �
� � �c���
�n���� � � � �� c�n�
�n���n � �
c����n���� � � � �� c�n�
�n���n � f�x�
pak Y � c��� � � � �� cn�n je partikul�rn� �e�en� rovnice ���Je�li f�x� speci�ln�ho typu� pou��v�me pro rovnice s konstantn�mi koe�cienty metodu neur�it�ch koe�cient��
�� �� LINE�RN� ROVNICE %�DU N
Polynom� Je�li f�x� � Pm�x�� kde Pm je polynom stupn� m� Pak partikul�rn� �e�en� Y je
Y �x�+Qm�x� jestli�e an � �Y �x�+xQm�x� jestli�e an � � a an�� � �
���
neboli Y �x� � xk �Qm�x�� kde k je n�sobnost ko�ene � v charakteristick� rovnici�
P��klad ����
y�� � y��� � �x� �
Y �x� � x��ax� b�
Y ��x� � �ax� � �bx�
Y ���x� � �ax� � �bx
Y ����x� � �ax� �b
Y ���x� � �a
Y ���x� � �
Tedy �ax� �b � �x� �
a m�me a � � a b � �
� a partikul�rn� �e�en� je
Y �x� �x
��
�
�x�
Zb�v� ji� jen spo��tat fundament�ln� soustavu � obecn� �e�en��
Sou�in polynomu a exponenci�ly� Je�li f�x� � eaxPm�x�� zavedeme substituci y � eaxu�
P��klad ����
y��� � y�� � xex
y � exu
y� � exu� exu�
y�� � exu� exu� � exu��
y��� � exu� �exu� � �exu�� � exu���
exu� �exu� � �exu�� � exu��� � �exu� exu� � exu��� � xex
Tedy hled�me partikul�rn� �e�en� U
u��� � u�� � u� � x
U � ax� � bx
U � � ax� b
U �� � a
U ��� � �
�a� ax� b � x
Tedy a � �� a b � �� Partikul�rn� �e�en� U je
U �x�
� x
po substituci
Y � ex�x�
� x
�Zb�v� ji� jen spo��tat fundament�ln� soustavu � obecn� �e�en��
��� Nehomogenn� rovnice s konstantn�mi koe�cienty ���
Sou�in polynomu� exponenci�ly a sinu�kosinu� tedy bu! f�x� � Pm�x� � eax � cos bx nebo f�x� � Pm�x� � eax �sin bx
P��klad ����
y�� � y�� � y � sinx
y�� � y�� � y � eix
Tedy zavedeme substituci y � eixu
y � eixu
y� � ieixu� eixu�
y�� � �eixu� �ieixu�� � eixu��
y��� � �ieixu� �eixu� � �ieixu�� � eixu���
y�� � eixu� �ieixu� � �eixu�� � �ieixu��� � eixu��
D�le pak po��t�me n�m ji� zn�m�m zp�sobem� Proto dopo��t�n� partikul�rn�ho �e�en� U �po substituci Y � a nalezen�fundament�ln� soustavy p�enech�me jako z�v�re�n� cvi�en� z matematick� anal�zy�
��� LITERATURA
Literatura
(�) V�t�zslav Nov�k� Diferenci�ln� po�et funkc� v�ce prom�nn�ch� skriptum P�F MU Brno
(�) R� Sikorski� Diferenci�ln� a integr�ln� po�et �funkce v�ce prom�nn�ch
(�) V� Jarn�k� Diferenci�ln� po�et II�
() J� Dieudonn,� Osnovanija covremennogo analiza� rusk� p�eklad
(�) G� M� Ficht�ngolz� Kurs di'erencialjnogo i int�graljnogo uz�islenija I�� II�
(�) Milo� R�b� Rieman�v integr�l v En� skriptum P�F MU Brno
() Jarn�k� Integr�ln� po�et II�
( ) V�t�zslav Nov�k� Diferenci�ln� rovnice� skriptum P�F MU Brno
(�) Milo� R�b� Metody e"en� diferenci�ln�ch rovnic I� �element�rn� metody e"en� diferenci�ln�ch rovnic
(��) Eduard Fuchs� Metrick� prostory� skriptum P�F UJEP Brno