Din istoria MATEMATICII

…Corlan Izabela

“Originar din Samos, un om, un muritor, Enunţă în Cretona perceptul uimitor, Înscris pe veci în templul Pitagorician Că numărul e lege, e unic suveran” Ion Grigore

Pitagora - matematician şi filozof grec – “un gigant al înţelepciunii”, a fost unul dintre primii deschizători de drumuri în matematica elină şi europeană;

A studiat cu Thales din Milet şi Anaximandru, a călătorit şi s-a instruit în Egipt şi Chaldeea;

S-a căsătorit şi a avut 3 urmaşi: o fată şi doi băieţi. Pitagora nu a lăsat nimic scris, de aceea este greu de delimitat concepţiile şi

contribuţiile ştiinţifice şi filozofice proprii de ale discipolilor săi, mai ales că prima descriere a operei şi a şcolii sale a fost întocmită cu 13 decenii mai tîrziu.

Cu toate că Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei sale, el a realizat legătura dintre mărimi şi numere, dintre aritmetică şi geometrie, făcînd pentru matematică un pas gigantic şi covîrşitor.

PITAGORA (570 - 495î.Hr.)

S-a stabilit în Cretona, în sudul Italiei, unde a înfiinţat o şcoală filozofică pe al cărei frontispiciu era scris:

“ Numerele guvernează lumea” .

“Şcoala pitagoreică” reunea peste 300 de pitagorieni. Din studiul numerelor, pitagorienii au conceput numerele figurative, numerele perfecte, imperfecte, supraperfecte, numerele amiabile, au definit numere pare şi impare, au studiat media aritmetică, geometrică şi armonică, au descoperit iraţionalitatea – utilizînd teorema ce-i poartă numele, cunoşteau cele cinci poliedre regulate şi sistemul zecimal. În astronomie, ideea că Pămîntul se învârte în jurul unui ”foc central” apare pentru prima dată în cadrul şcolii pitagoriene. Cu toate că poate ar fi fost mai corect ca alături de teorema catetei, şi a înălţimii să se numească eventual teorema ipotenuzei, Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei sale, deşi a fost descoperită cu mult înaintea lui Pitagora şi se presupune că doar a extins-o la triunghiuri dreptunghice.

▪ Pitagora a întocmit de asemenea şi Tabela înmulţirii, cunoscută şi sub numele de Tabela lui Pitagora sau Tabla înmulţirii, piatra de încercare a oricărui şcolar care vrea să pătrundă în tainele socotitului. ▪ În geometrie i se atribuie propoziţia din care rezultă că: “un plan poate fi acoperit cu poligoane regulate identice dacă folosim triunghiuri echilaterale, pătrate sau hexagoane”.

▪ Teoria cosmogonică a lui Pitagora presupune că toate corpurile cereşti erau situate pe zece sfere şi se roteau pe nişte traiectorii circulare în jurul unui foc sacru. Apare pentru prima dată ideea că pămîntul nu se află în centrul lumii.

▪ Pitagora a avut contribuţii şi în teoria muzicală, prin enunţarea următoarelor legi fundamentale: 1. Lungimea corzilor este invers proporţională cu frecvenţele sunetelor emise. 2. Legea consonanţei: Sunetele muzicale (consonanţele) se obţin numai atunci cînd lungimile corzilor ce le emit, se află într-un raport exprimat prin numere întregi.

După o legendă, Pitagora ar fi murit în flăcările şcolii sale de la Crotona, şcoală incendiată de fanatici religioşi, duşmani ai învăţăturii pitagoreice.  Nu departe, la nord de antica Crotona, există o regiune mică cunoscută sub numele ei latin de

Terra Imaginalionis. În această regiune, nu departe de autostrada care şerpuieşte de-a lungul coastei, se află micul cătun San Mathesis. Aici, în afara satului, se găseşte o capelă gotică cunoscută sub numele de Capela Pitagora. În această capelă, pe podea, în faţa altarului, se află o lespede de marmură albă ştearsă de veacuri şi de miile de pelerini ce au trecut pe aici. Din inscripţia de pe ea numai cîteva litere mai pot fi desluşite:

HI…C. T…OS…T…G…S…S care arată cu siguranţă că în timpurile de demult, legenda spunea că:

“ AICI SE ODIHNESC OASELE LUI PITAGORA DIN SAMOS”

Singurul locuitor al capelei este un preot cu o sutană lungă, care ţine aprinse, zi şi noapte, cinci candele aşezate în cinci firide în jurul altarului, ca o dovadă că Pentagrama (pentagonul stelat) era semnul de unire al pitagoreicilor. Acest preot povesteşte oricărui călător care vizitează capela – semnificaţia acestor cinci candele. PRIMA din aceste candele este Lampas Utilitatis. Ea ne arată că nu putem împărtăşi matematica marii mulţimi a poporului, decît dacă ne oprim mai întîi asupra utilităţii ei şi ne putem imagina uşor ce s-ar întîmpla omenirii, dacă ar înceta să existe orice urmă de ştiinţă matematică. A DOUA candelă este Lampas decoris, candela frumuseţii. Adevăratul succes în predarea matematicii este posibil, numai dacă ştim că această disciplină este tot atît de frumoasă pe cît de utilă.A TREIA este Lampas Imaginationis - un nume care pare întotdeauna potrivit cu o capelă medievală în care ard candele sfinte, căci ce-ar fi matematica fără imaginaţia devotaţilor ei, uriaşilor şi învăţăceilor ei. A PATRA candelă este Lampas poesis, candela poeziei.Ea ne arată că acei care n-au simţit poezia matematicii, ar fi mai bine să înceteze a mai profesa această ştiinţă, căci altfel eforturile lor sunt zădarnice. A CINCEA este Lampas misteri – pentru că ea descoperă lumii unul din marile farmece ale ştiinţei, fiind – nu de puţine ori – misterioasă şi provocătoare.

Euclid-matematician grec, autorul celebrei cărţi întitulată simplu “Elemente”. La Muzeul din Alexandria, care poate fi considerat cea mai veche universitate din lume, Euclid a înfiinţat o celebră şcoală de geometrie. “Elementele” lui Euclid a fost timp de mai mult de 2000 de ani, principala carte după care s-a învăţat geometria. Ea sintetizează şi lucrările altor matematicieni dinaintea lui sau contemporani cu el.Ea cuprinde 13 capitole (întitulate cărţi).Strobaeus povesteşte următoarele despre Euclid: Cineva care a început să studieze geometria de la Euclid, după ce a învăţat întîia teoremă, l-a întrebat: "Dar ce folos voi avea eu învăţînd aceste lucruri? ". Euclid îşi chemă sclavul şi-i zice: "Dă-i acestuia trei oboli, fiindcă el vrea să cîştige din ceea ce învaţă." 

EUCLID (325 – 265î.Hr.)  

Dacă pentru mărimile geometrice folosim pentru simplificarea expunerii notaţia algebrică, primele 6 axiome din prima carte se pot scrie într-o formă concisă astfel:

1. Daca A=C si B=C, atunci A=B; 4. Daca A=B, atunci A-C=B-C;2. Daca A=B, atunci A+C=B+C; 5. Daca A=B, atunci 2A=2B;3. Daca A=B, atunci A C=B C; 6 .Daca A=B, atunci B = A.

Pintre axiome enumerăm:”Şi cele congruente sunt egale între ele”,”Şi întregul este mai mare decît părţile”,”Şi două drepte nu inchid un spaţiu între ele”,

iar postulate:”De la un punct pînă la orice punct se poate duce o linie dreaptă”,”Din orice centru şi orice rază poate fi descris un cerc”,”Toate unghiurile drepte sunt egale”,”Punctul este ceva care nu are părţi”,”Capetele liniei sunt puncte” şi altele.

”Elementele” lui a fost una din cele mai răspîndite carţi, reeditată de nenumărate ori de-a lungul a mai mult de două milenii, tradusă în numeroase limbi.

S-au mai păstrat şi alte lucrări ale sale: ”Datele” şi “Despre împărţirea figurile”. După Euclid , cercetările în domeniul geometriei au fost continuate de matematicienii greci

Arhimede şi Apollonius.

”Răspunde-mi Arhimede, cel plin de poveţie Doar tu eşti capabil a spune Care sunt corpurile a căror suprafeţe Au acelaşi raport cu-a lor volume.”

Arhimede a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei şi al antichităţii, dar şi unul al tuturor ţărilor şi al tuturor timpurilor.Pliniu l-a numit “zeul matematicii”. Leibniz a scris că, dacă cunoşti opera lui Arhimede nu mai poţi admira descoperirile noi, iar Felix Klein, contemporanul nostru, consideră că cei mai mari matematicieni ai lumii au fost 3: Arhimede, Newton şi Gauss.

ARHIMEDE (287 – 212 î.Hr.)

• Geniul multilateral, Arhimede a inventat catapulta cu bătaie reglabilă, masina de aruncat sub forma de grindină a pietrelor, grinzi cu care reuşa să ridice corăbiile duşmane şi apoi să le scufunde. A construit oglinzi care, concentrînd razele solare aprindeau corăbiile inamice, maşina de irigat (şurubul lui Arhimede) capabilă să aducă apa la înălţime.

• Legendele şi anecdotele care au împodobit invenţiile sale sunt aproape singurele izvoare de unde s-a putut afla oarecare amănunte despre opera sa matematică şi inginerească.

• Pus de Hieron, să descopere dacă aurarul nu a folosit mai mult argint decît i s-a poruncit în coroana regală, fără ca să o distrugă. Arhimede a găsit soluţia, observînd într-o zi că din cada plină se revarsă atîta apă, cîtă a dizlocat capul său. Încîntat peste măsură de descoperirea principiului ce avea să îi etaleze numele, a alergat gol prin casă strigînd cuvintele “EVRIKA, EVRIKA!”de atunci atît de celebre.

Folosind o macara formată din mai mulţi scripeti, i-a demonstrat lui Hieron cum poate trage singur o corabie, pînă în acel moment trasă cu o mare greutate de o mulţime de marinari.

“Daţi-mi un punct de sprijin şi vă voi ridica Pămîntul” rostise atunci Arhimede, sintetizînd astfel puterea pîrghiilor. Apoi, pe cale matematică a stabilit legea echilibrului pîrghiilor, numind-o “legea de aur a matematicii”.

Printre lucrările lui în domeniul determinării ariilor şi volumelor mărginite de suprafeţe curbe, devansează cu 2000 de ani apariţia calculul integral, descoperit de Newton şi Leibniz şi precedaţi de eforturile lui Kepler, Cavalieri şi Fermat.

Spirala lui Arhimede

Construirea numerelor

iraţionale se poate face uşor

cu rigla şi compasul ,

folosind Teorema lui Pitagora,

teorema catetei sau teorema

înălţimii.

Moartea lui Arhimede...•

• Arhimede îşi desena figurile pe nisipul plajei, pe pămînt bătut sau în cenusă pusă pe o pardoseală ori pe propriul său corp, uns în prealabil cu untdelemn; pe corp trasa figurile cu ajutorul unghiei.

• Şi legenda mai povesteşte, că atunci cînd romanii au cucerit Siracuza, după un asediu îndelungat, Arhimede ar fi fost surprins de un soldat roman al lui Marcellus la jerfuirea orasului, desenînd linistit pe nisip.

• "Nolite turbare circulos meos!“ “Nu te atinge de cercurile mele!” l-ar fi rugat Arhimede înainte să fie ucis.

• Ca semn de preţuire, pe piatra tombală a lui Arhimede au fost gravate sfera şi cilindrul circumscris, a căror proprietăţi au fost exprimate cu atîta eleganţă în lucrarea sa favorită:”Despre sferă şi cilindru”.

Mormîntul lui Arhimede

A fost un matematician şi jurist francez.

Studiile superioare le-a făcut la Universitatea din Poitiers, după care a practicat avocatura. A fost consilier în  parlamentul din Bregagne şi la cel din Rennes.

 

Absorbit de muncile oficiale, Viète n-a avut în viaţa sa decît două perioade de răgaz relativ cînd a făcut marile sale descoperiri matematice: 1564-1568 şi 1584-1589.

Contribuţiile ştiinţifice au fost iniţiate prin lucrări de astronomie şi trigonometrie: Harmonicum coelesta (netipărită) şi Canon mathematicus seu ad triangula (publicată între 1571/79); aici, aplicînd procedeul lui Arhimede la un poligon, a stabilit valoarea numărului Pi cu 9 zecimale exacte.

Lui i se datorează formulele sumei şi diferenţei a două sinusuri sau cosinusuri, precum şi formulele care leagă sin(nx) şi cos(nx) de sin x şi cos x (pînă la n = 10); e de menţionat că Viète a întrodus prima dată funcţiile trigonometrice în algebră.

François Viète (1540 – 13.02.1603)

În 1592 a purtat un discurs la Tours susţinînd că cercul poate fi pătrat şi cubul dublat utilizînd doar rigla şi compasul.

Viéte a urmat exemplul regelui său şi s-a convertit şi el la romano-catolicism. De-a lungul acestei perioade, Viéte a venit din nou în ajutorul regelui rezolvîndu-i o altă problemă de matematică. În 1593 Roomen a propus o problemă care necesita rezolvarea unei ecuaţii de grad 45. Ambasadorul Olandei i-a reproşat lui Henry al IV-lea de calitatea slabă a matematicienilor francezi spunînd că nici un francez n-ar putea rezolva o problemă de-a lui Roomen. Henry i-a trimis problema lui Viéte care a rezolvat-o bazîndu-se pe o relaţie trigonometrică. Ca rezultat al acestui lucru prietenia dintre Viéte şi Roomen a crescut. Viéte publicînd răspunsul său la problema lui Roomen în 1595, spunea în întroducere: “Eu, care nu sunt un matematician profesionist, dar care, oricînd am avut timp liber, am studiat matematica...”

Cîteva dintre primele lucrări ale lui Viéte au fost îndreptate spre astronomie: “Ad harmonicom coeleste”. Reprezintă o muncă nepublicată, doar patru manuscripte, dintre care şi un autograf, supravieţuind şi fiind redescoperite de Libri. Conţinutul acestor manuscripte dovedesc o reală atracţie a lui Viéte către un interes pur în teoria geometriei planetei ale lui Ptolemeu şi Copernicus.

Viéte a făcut multe îmbunătăţiri în teoria ecuaţiilor. El a prezentat metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad doi, trei şi patru. El ştia legăturile dintre rădăcinile pozitive ale ecuaţiei şi coeficienţii diferitelor puteri ale cantităţilor necunoscute. Trebuie remarcat că cuvîntul “coeficient” este atribuit lui Viéte.

Viéte a mai scris cărţi de trigonometrie şi geometrie cum ar fi “Supplementum geometriae” (1593). El a dat soluţii pe cale geometrică la problema dublării unui cub şi împărţirii în trei părţi a unui unghi.În sfîrşit putem menţiona că Viéte este adesea numit “părintele algebrei”. Printre contribuțiile sale în algebră se numără Formulele lui Viete pentru rădăcinile unui polinom și Formula lui Viete pentru numărul pi.

A fost un matematician, fizician şi astronom elvetian,care a adus contribuţii fundamentale în teoria numerelor, analiza matematică, geometrie, mecanica raţională şi mecanica cerească. Nu exista ramură a matematicii pure sau aplicate în care mintea sa inventivă să nu fi lăsat urme. Euler este considerat a fi fost forța dominantă a matematicii secolului al XVIII-lea și unul dintre cei mai remarcabili matematicieni și savanți multilaterali ai omenirii. Alături de influența considerabilă pe care a exercitat-o asupra matematicii și matematizării științelor stau atît calitatea și profunzimea, cît și prolificitatea extraordinară a scrierilor sale, opera sa putînd cu ușurință umple 70 - 80 de volume de dimensiuni standard (dacă ar fi publicată vreodată integral).

Leonhard Euler (15.04.1707-18.09.1783)

La 26 ani, a devenit membru al Academieid e Stiinte din Petersburg. Situaţia precară ce domnea în Rusia îl determină pe Euler să primească (în 1741) invitaţia lui Frederic al II-lea de a veni profesor la Academia de Ştiinte din Berlin, unde şi-a continuat prodigioasa sa activitate timp de 25 ani, dupa care revine ca director al Academiei din Petersburg, la stăruinţa Elisabetei a II-a; aici va rămîne pînă la sfîrşitul vieţii sale. Viaţa lui L.Euler – aureolata de distinse şi binemeritate onoruri, dar şi umbrită de cumplite nenorociri – constituie un exemplu minunat de muncă dedicată ştiinţei şi progresului omenirii. A fost ales membru la 8 academii; s-a bucurat de stima multor personalităţi: P.Laplace il considera “invatatorul nostru al tuturora” iar F.Arago afirma : “Euler calculează aşa cum oamenii respiră şi vulturii planează în văzduh “. Într-adevăr, L.Euler a scris ( în afara celor peste 2800 scrisori importante prin informaţiile lor ştiinţifice şi istorice) aproximativ 1200 memorii – operele sale cuprinzînd 80 volume mari – fiind primul în lume ca productivitate ştiinţifică. Din cauza muncii excessive, la 28 ani, Euler a suferit o congestie cerebrală, pierzîndu-şi ochiul drept; “ voi avea mai puţine distracţii “ a spus şi a continuat să muncească cu aceeaşi pasiune. La vîrsta de 59 ani şi-a pierdut cu desăvîrşire vederea, însă orbirea nu l-a impiedicat să-şi continuie rodnica activitate, dictînd rezultatele cercetarilor sale unui fiu . L.Euler putea lucra oricum şi oriunde; avea darul de a calcula mintal, fără a comite greşeli nici la calculele lungi. Era un matematician de o aleasă cultură: cunoştea istoria popoarelor, a lucrat mulţi ani la alcătuirea hărtii geografice a Rusiei, a publicat o lucrare asupra muzicii, etc.

În domeniul matematicii, zeci de teoreme, formule şi noţiuni îi poartă numele său; a adus contribuţii de valoare în toate ramurile matematicii : în algebră – definirea logaritmului unui număr prin considerarea operaţiei inverse a ridicării la putere, întroducerea ecuaţiilor reciproce, studierea ( 17 ani ) a problemei rezolvabilităţii prin radicali a ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decît patru, crearea teoriei fracţiilor continue, întroducerea notaţiilor e , i, f(x); în geometrie – dreapta, cercul care îi poartă numele; redescoperirea formulei privind numărul feţelor, vîrfurilor şi muchiilor unui poliedru convex, etc.; în trigonometrie, pe care o tratează analitic ( nefiind precedat de altcineva ), în teoria numerelor – legea reciprocităţii cuadratice; în analiza matematică – dezvoltări în serie, metode pentru integrarea anumitor tipuri de integrale remarcabile, etc.

L.Euler are cercetări importante în mecanică, în optică, în astronomie.

A fost un matematician, fizician si astronom german.Gauss a fost un copil precoce. Întrebînd cînd pe unul, cînd pe altul, cîte o literă, cîte o cifră, a învăţat singur să citească şi să socotească, înainte de a merge la şcoală. După ce a împlinit 7 ani, a fost dat la şcoala elementară o oraşului Braunschweig. Aici l-a avut învăţător pe Hans Buttner, cunoscut pentru asprimea cu care se purta cu elevii săi. Acesta a fost surprins de uşurinţa extraordinară a micului elev Gauss de a face mintal calcule aritmetice complicate, pe care alţi copii de vîrsta lui nu le puteau face nici pe hîrtie.

Astfel, într-o zi, făcînd o şotie a fost pedepsit să stea în genunchi la vestitul colţ cu grăunţe, pînă cînd va aduna mintal toate numerele de la 1 la 100 inclusiv. Înainte de a ajunge la colţul cu pricina pentru a-şi executa pedeapsa, copilul i-a dat rezultatul: 5050. Surprins, învăţătorul l-a întrebat cum a făcut calculul. El a răspus că, lăsînd la o parte ultimul număr, 100, numerele rămase se pot grupa astfel: 1+99=100; 2+98=100; …; 49+51=100, deci în total de 49 de ori 100, la care se adaugă numărul 100 lăsat iniţial deoparte şi 50 termenul rămas izolat, fac în total 5050.Uimit de inteligenţa copilului, învăţătorul l-a iertat de pedeapsă. „Este mult mai tare decît mine” avea să recunoască în cele din urmă învăţătorul, şi avea dreptate.

Karl Friedrich Gauss (30.04.1777-1855)

În 1801 a apărut lucrarea sa “Disquisiti ones Arithmeticae” (Cercetări de aritmetică),care l-a facut celebru, conţinînd teoria congruentelor, teoria resturilor pătratice, formele pătratice binare şi ternare şi aplicaţii. A pus bazele calculului cu numere complexe, tot lui datorîndu-i-se şi denumirea acestor numere, a dat interpretarea geometrică a acestora, stabilind corespondenţa biunivocă dintre numerele complexe şi punctele planului, a întrodus seria hipergeometrică ce are un rol important în teoria ecuaţiilor diferenţiale. În geometria diferenţială a găsit formulele fundamentale ale suprafeţelor, a elaborat o teorie a liniilor geodezice. El s-a ocupat de asemenea de geometria neeuclidiană, dar n-a publicat nimic în această privinţă.

Karl Friedrich Gauss, în foarte scurtă vreme, avea să devină cel mai mare matematician al timpului său şi alături de Arhimede şi Newton unul din cele mai mari genii matematice pe care le-a avut omenirea. Acest „princeps mathematicorum”, cum l-au numit contemporanii săi, a fost într-adevăr un grădinar, aşa cum şi-a dorit tatăl său, dar un grădinar într-o lume care se cheamă matematica. A muncit toată viaţa cinstit şi a reuşit să crească cele mai rare flori ce au crescut vreodată; acestea i-au dat dreptul la nemurire. 

„Regina ştiinţelor este matematica, iar aritmetica este regina matematicii”

Karl GAUSS