Matematici Speciale M Marin

Contents

1 Functii complexe 51.1 Functii complexe de variabila reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Functii complexe de variabila complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Functii complexe elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Integrala complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Serii complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Functii speciale 572.1 Functiile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Functiile Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Polinoamele Cebasev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Polinoamele Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7 Polinoamele Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3 Calcul operational 913.1 Transformata Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Metode operationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . 1083.5 Ecuatii diferentiale cu coeficienti variabili . . . . . . . . . . . . . . . 1093.6 Ecuatii integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7 Ecuatii cu derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.8 Unele integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 Transformata Fourier 1134.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Formula integrala Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3 Transformata Fourier ın L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Transformata Fourier ın L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3

4 CONTENTS

5 Calcul variational 1475.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 Ecuatia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.3 Generalizari ale ecuatiei lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4 Conditii suficiente de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.5 Probleme izoperimetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6 Probleme cu capete mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6 Ecuatii cvasiliniare 2056.1 Forma canonica ın cazul n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2 Forma canonica pentru n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7 Ecuatii hiperbolice 2197.1 Problema coardei infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4 Problema coardei finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8 Ecuatii parabolice 2498.1 Problema finita a caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.2 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.3 Metoda functiei Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.4 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

9 Ecuatii eliptice 2899.1 Formule introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2899.2 Potentiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919.3 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2963.4 Functia Green pentru sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3003.5 Problema Dirichlet pentru cerc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.6 Problema Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Capitolul 1

Functii complexe

Acest capitol contine rezultatele de baza din teoria functiilor complexe de vari-abila reala si a functiilor complexe de variabila complexa. Pentru mai multe de-talii asupra rezultatelor expuse de noi cat si pentru alte rezultate, cititorul poateconsulta referintele bibliografice, alese dintre cele mai accesibile.

1.1 Functii complexe de variabila reala

Sa consideram un interval de pe axa reala (sau o reuniune de astfel de intervale),E ⊂ R. Orice functie definita pe E care are valorile complexe, f : E → C, senumeste functie complexa de variabila reala. Astfel, pentru ∀t ∈ R, avem f(t) ∈ C,adica f(t) = f1(t) + if2(t), unde f1(t) si f1(t) sunt functii reale de variabila reala.De asemenea, i este cunoscutul numar complex cu proprietatea i2 = −1.

Prin intermediul unui izomorfism evident ıntre R2 si C, ca spatii liniare, putemidentifica o functie complexa f(t) cu o functie vectoriala (f1, f2), sau cu o functieın spatiul clasic de vectori, V2 (daca ~v ∈ V2, atunci ~v = v1

~i+ v2~j).

In consecinta, rezultatele cunoscute din R2, cu privire la multimi deschise,multimi ınchise, vecinatati, etc., pot fi, cu usurinta, transpuse ın spatiul complexC. Mai mult, daca introducem distanta

d : C × C → R∗+, d(z1, z2) = |z1 − z2|, ∀z1, z2 ∈ C,

si ınlocuim z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, obtinem, evident,

d(z1, z2) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2,

5

6 CAPITOLUL 1. FUNCTII COMPLEXE

care coincide cu distanta euclidiana din R2 ceea ce ne permite sa identficam spatiilemetrice (C, d) si (R2, d).Fie a un numar complex fixat arbitrar, a ∈ C. Definim multimea

∆(a, %) = z ∈ C : d(z, a) < % = z ∈ C : |z − a| < % ,

pe care o numim discul deschis cu centrul ın a si avand raza %.Frontiera acestui disc o definim prin

Γ(a, %) = z ∈ C : |z − a| = % ,

astfel ca discul ınchis este

∆(a, %) = ∆(a, %) ∪ Γ(a, %)

Notiuni specifice analizei matematice ca limita, continuitate, derivabilitate, etc.ın punctul t0, sunt definite cu ajutorul unor intervale deschise, centrate ın t0, si,respectiv, relativ la multimea valorilor, f(t0), cu ajutorul discurilor deschise cen-trate ıntr-un punct fixat a ∈ C, cu raza %.

Definitia 1.1 Spunem ca functia f : E ⊂ R→ C este functie continua ın punctult daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2 sunt functii continue ın t,unde f(t) = f1(t) + if2(t).

Este usor de dovedit ca daca functia f este continua ın t0, atunci functia |f | estede easemenea continua ın t0.Daca t0 este un punct de acumulare al multimii E ⊂ R, atunci functia f are limitaın t0 daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2 au limite ın t0, si avem

limt→t0

f(t) = limt→t0

f1(t) + i limt→t0

f2(t).

Sa consideram intervalul real I ⊂ R si definim multimea J = I \ 0. Atunciputem defini raportul

%(t) =f(t)− f(t0)

t− t0, ∀t ∈ J.

Definitia 1.2 Spunem ca functia f este derivabila ın punctul t0 daca exista sieste finita limita

limt→t0

%(t) = limt→t0

f(t)− f(t0)

t− t0Notam valoarea acestei limite cu

f ′(t0) = limt→t0

f(t)− f(t0)

t− t0Functia f este derivabila ın punctul t0 daca si numai daca (prin definitie) functiilef1 si f2 sunt functii derivabile ın t0 si avem f ′(t0) = f ′1(t0) + if ′2(t0).

1.1. FUNCTII COMPLEXE DE VARIABILA REALA 7

Definitia 1.3 Spunem ca functia F este o primitiva a functiei f pe intervalulI = [a, b] ⊂ R daca F este derivabila si derivata sa coincide cu functia f peintervalul respectiv, adica:

F ′(t) = f(t), ∀t ∈ [a, b].

Este destul de evident ca daca F este o primitiva a functiei f pe intervalul [a, b]atunci functia F (t) + C, unde C este o constanta complexa arbitrara, este, deasemenea, o primitiva a functiei f deoarece

(F (t) + C)′ = F ′(t) + C ′ = F ′(t) = f(t).

Reciproc, daca functiile F si F1 sunt doua primitive ale functiei f pe intervalul[a, b] atunci diferenta celor doua functii este ın mod necesar egala cu o constantaC pe intervalul [a, b]:

F1(t) = F (t) + C.

Intr-adevar,

(F1(t)− F (t))′ = F ′1(t)− F ′(t) = f(t)− f(t) = 0.

Acum, reamintind ca (F1(t)− F (t))′ = 0 implica faptul ca exista o constanta Castfel ıncat F1(t)− F (t) = C pe [a, b] de unde deducem ca F1(t) = F (t) + C.

Astfel, putem deduce ca daca functia F este o primitiva pentru f pe un interval[a, b], atunci orice alta primitiva pentru f pe respectivul interval este de formaF (t) + C, unde C este o constanta arbitrara.

Teorema 1.1 Daca f : [a, b]→ C este functie continua, atunci f admite primitivepe intervalul [a, b].

Demonstratie. Definim functia

F : [a, b]→ C, F (t) =∫ t

af(τ)dτ.

Astfel, avem

F (t) =∫ t

a(f1(τ) + if2(τ)) dτ =

∫ t

af1(τ)dτ + i

∫ t

af2(τ)dτ.

Deoarece functia f a fost presupusa continua, deducem ca f1 si f2 sunt functiicontinue. Dar f1 si f2 sunt functii reale si pentru ele, din analiza reala, este binecunoscut un rezultat similar. De exemplu, daca notam cu

F1(t) =∫ t

af1(τ)dτ,


atunci

limt→t0

F1(t)− F1(t0)

t− t0= lim

t→t0

∫ ta f1(τ)dτ −

∫ t0a f1(τ)dτ

t− t0=

= limt→t0

∫ tt0f1(τ)dτ

t− t0= lim

t→t0

(t− t0)f1(c)

t− t0= f1(t0),

unde am folosit cunoscuta teorema de medie.Astfel deducem ca F1 este derivabila si F ′1(t0) = f1(t0). Este evident un rezultatsimilar pentru f2, astfel ca obtinem F (t) = F1(t) + iF2(t), adica F este deivabilasi

F ′(t) = F ′1(t) + iF ′2(t) = f1(t) + if2(t) = f(t),

si deci teorema este demonstrata.

Definitia 1.4 Sa consideram intervalul I = [a, b] ⊂ R si f : I → C. Spunem cafunctia f este integrabila pe I daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2

sunt integrabile pe I si avem∫ b

af(t)dt =

∫ b

af1(t)dt+ i

∫ b

af2(t)dt

Lasam pe seama cititorului demonstratia urmatoarelor proprietati ale integraleidefinite: ∫ b

a(αf(t) + βg(t)) dt = α

∫ b

af(t)dt+ β

∫ b

ag(t)dt,∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt, c ∈ (a, b),∣∣∣∣∣

∫ b

af(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(t)|dt.

Exemplu. Sa calculam integrala

I1 =∫ π

−πeαt cosntdt.

Consideram de asemenea si integrala

I2 =∫ π

−πeαt sinntdt,

si atunci putem scrie

I1 + iI2 =∫ π

−πeαt (cosnt+ i sinnt) dt =

∫ π

−πeαteintdt =

1.2. FUNCTII COMPLEXE DE VARIABILA COMPLEXA 9

=∫ π

−πet(α+in)dt =

et(α+in)

α + in

∣∣∣∣∣π

π

=1

α + in

(eπ(α+in) − e−π(α+in)

)=

=2

α + in

eπα − e−πα

2(−1)n = (−1)n

2

α + insinhαπ.

1.2 Functii complexe de variabila complexa

Consideram multimea C a tuturor numerelor complexe ca spatiu metric dotat cudistanta, pe care am introdus-o anterior,

d(z1, z2) = |z1 − z2|.

Fie E o submultime a spatiului C.

Definitia 2.1 Orice functie f : E → C se numeste functie complexa de variabilacomplexa.

Daca scriem functia f(z) ın forma f(z) = u(x, y)+iv(x, y), ∀z=x+iy ∈ E, atunciorice consideratie asupra functiei complexe f(z) se poate reduce la o consideratiesimilara asupra functiilor reale de variabile reale u(x, y) si v(x, y), dupa cumurmeaza:

i) daca z0 este un punct de acumulare al multimii E, atunci functia f(z) arelimita ın punctul z0 daca si numai daca functiile u(x, y) si v(x, y) au limite ınpunctul (x0, y0), unde z0 = x0 + iy0, si

limz→z0

f(z) = lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) + i lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y).

De asmenea, avem

limz→z0|f(z)| =

∣∣∣∣ limz→z0f(z)

∣∣∣∣ .ii) f(z) este continua ın punctul z0 daca si numai daca functiile u(x, y) si v(x, y)

sunt continue ın punctul (x0, y0)

Definitia 2.2 Functia f : E ⊂ C → C se numeste monogena ın punctul z0 dacaexista si este finita urmatoarea limita

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

.

Vom folosi notatia

f ′(z0) = limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

.


Propozitia 2.1 Daca f este functie monogena ın punctul z0 atunci f este functiecontinua ın z0.

Demonstratie. Putem sa scriem functia f(z) sub forma

f(z) = f(z0) +f(z)− f(z0)

z − z0

(z − z0)⇒

limz→z0

f(z)=f(z0)+ limz→z0

f(z)−f(z0)

z−z0

(z − z0)=f(z0)+f ′(z0) limz→z0

(z − z0)=f(z0),

si atunci propozitia este demonstrata.

Teorema 2.1 Consideram submultimea deschisa E ⊂ C, un punct fixat z0 ∈ Esi functia complexa f : E → C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Daca f este functiemonogena ın punctul z0, atunci functiile u si v admit derivate partiale si satisfacconditiile

∂u

∂x(z0) =

∂v

∂y(z0) ,

∂u

∂y(z0) = −∂v

∂x(z0) ,

Relatiile de mai sus se numesc conditiile Cauchy-Riemann de monogenitate.

Demonstratie. Sa consideram raportul

%(z) =f(z)− f(z0)

z − z0

.

Deoarece E este o multime deschisa si z0 ∈ E, deducem ca exista discul

∆(z0, r) = z ∈ C : |z − z0| < r ⊂ E.

In cele ce urmeaza folosim notatiile

∆0 = ∆ \ z0, A0 = z ∈ ∆0 : z = x+ iy0 , B0 = z ∈ ∆0 : z = x0 + iy

%A0(z) =f(x+ iy0)− f(x0 + iy0)

x− x0

, %B0(z) =f(x0 + iy)− f(x0 + iy0)

i(y − y0).

Deoarece functia f este monogena ın z0, deducem ca limitele ultimilor rapoartetrebuie sa fie egale si deci

%A0(z) =u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0

+ iv(x, y0)− v(x0, y0)

x− x0

, ∀z ∈ A0

%B0(z) =u(x0, y)− u(x0, y0)

i(y − y0)+ i

v(x0, y)− v(x0, y0)

i(y − y0), ∀z ∈ B0


Egaland limitele acestor rapoarte deducem urmatoarele relatii

∂u(x, y)

∂x(z0) =

∂v(x, y)

∂y(z0) ,

∂v(x, y)

∂x(z0) = −∂u(x, y)

∂y(z0) ,

adica tocmai conditiile Cauchy-Riemann si teorema este demonstrata.

Observatie. Este usor de vazut ca

f ′(z0) =∂u(x, y)

∂x(z0) + i

∂v(x, y)

∂x(z0) =

1

i

(∂u(x, y)

∂y(z0) + i

∂v(x, y)

∂y(z0)

).

Teorema 2.2 Consideram submultimea deschisa E ⊂ C, un punct fixat z0 ∈ E sifunctia complexa f : E → C, f(z) = u(x, y)+ iv(x, y). Daca functiile u si v admitderivate partiale ıntr-o vecinatate V a punctului z0, aceste derivate sunt continuesi satisfac conditiile Cauchy-Riemann atunci functia f este monogena ın z0.

Demonstratie. Folosind ipotezele teoremei, deducem ca functiile u si v suntdiferentiabile. Asadar, deducem ca exista functiile α(z) si β(z) astfel ıncat

limz→z0

α(z) = limz→z0

β(z) = 0,

si putem sa scriem

u(x, y)− u(x0, y0) =∂u(x, y)

∂x(x− x0) +

∂u(x, y)

∂y(y − y0) + |z − z0|α(z),

v(x, y)− v(x0, y0) =∂v(x, y)

∂x(x− x0) +

∂v(x, y)

∂y(y − y0) + |z − z0| β(z).

Evident, avem

f(z)− f(z0) = u(x, y) + iv(x, y)− u(x0, y0)− iv(x0, y0) =

u(x, y)− u(x0, y0) + i [v(x, y)− v(x0, y0)] =∂u

∂x(x− x0) +

∂u

∂y(y − y0) +

+i

[∂v

∂x(x− x0) +

∂v

∂y(y − y0)

]+ |z − z0| [α(z) + iβ(z)] =

=

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(x− x0) +

(∂u

∂y+ i

∂v

∂y

)(y − y0) + |z − z0| [α(z) + iβ(z)] =

=

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(x− x0) +

(−∂v∂x

+ i∂u

∂x

)(y − y0) + |z − z0| [α(z) + iβ(z)] =


=

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)[x− x0 + i (y − y0)] + |z − z0| [α(z) + iβ(z)] =

=

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(z − z0) + |z − z0| [α(z) + iβ(z)]

Asadar, putem ımparti prin (z − z0) si obtinem

f(z)− f(z0)

z − z0

=

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(z) +

|z − z0|z − z0

[α(z) + iβ(z)] .

Acum, prin trecere la limita, pentru z → z0, ın ultima relatie, deducem ca functiaf este monogena ın z0.Mai mult, constatam ca formula care da derivata functiei complexe f este:

f ′(z0) =

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x

)(z0) =

1

i

(∂u

∂y+ i

∂v

∂y

)(z0).

Teorema este demonstrata.

Aplicatii.

1. Sa demonstram ca functia f : C → C, definita prin f(z) = z nu are puncte demonogenitate.Intr-adevar, pentru z = x+ iy avem f(z) = x− iy ⇒ u(x, y) = x si v(x, y) = −y.Atunci derivatele acestor functii nu satisfac conditiile Cauchy-Riemann de mono-genitate, deoarece

∂u

∂x= 1,

∂v

∂y= −1⇒ ∂u

∂x6= ∂v

∂y.

2. Sa demonstram ca functia f : C → C, f(z) = ez este monogena ın ıntregplanul complex C.Intr-adevar, pentru z = x+ iy avem f(z) = ex(cos y+ i sin y)⇒ u(x, y) = ex cos ysi v(x, y) = ex sin y. Este exercitiu simplu sa se verifice ca u si v satisfac conditiileCauchy-Riemann de monogenitate, ∀(x, y) ∈ C.Mai mult, pentru formula de derivare a functiei f avem

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x= ex cos y + iex sin y = ex(cos y + i sin y) = ez.

3. Fie D multimea D = z ∈ C : z = x + iy, x > 0. Pentru z = x + iyconsideram functia

f(z) = ln√x2 + y2 + iarctg

y

x.


In urma unor calcule foarte simple deducem ca f satisface conditiile Cauchy-Riemann de monogenitate pe D si avem f ′(z) = 1/z.

Definitia 2.3 Fie o multime complexa deschisa E ⊂ C si functia f : E → C.Spunem ca functia f este functie olomorfa pe multimea E daca f este monogenaın orice punct al multimii E.

Teorema 2.3 Consideram un domeniu complex D si functia f : D ⊂ C → C ,f(z) = u(x, y) + iv(x, y) cu u, v ∈ C2(D). Daca f este o functie olomorfa pe D,atunci functiile u si v sunt functii armonice pe D.

Demonstratie. Reamintim ca functia u este numita armonica daca laplacianulsau este nul, adica

∆u(x, y) =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

Acum folosim derivata pentru functia f(z)

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

1

i

(∂u

∂y+ i

∂v

∂y

).

Este clar, ultima egalitate poate fi scrisa ın forma

∂u

∂x+ i

∂v

∂x= −∂u

∂yi+

∂v

∂y,

de unde, prin derivare ın raport cu x, apoi cu y, se obtin urmatoarele doua egalitati:

∂2u

∂x2+ i

∂2v

∂x2= − ∂2u

∂y∂xi+

∂2v

∂x∂y,

∂2u

∂x∂y+ i

∂2v

∂x∂y= −i∂

2u

∂y2+ i

∂2v

∂y2.

Folosind definitia egalitatii a doua numere complexe, deducem

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0,

relatii ce dovedesc ca functiile u si v sunt armonice. Teorema este demonstrata.

Definitia 2.4 Fie E multime complexa deschisa si functia f : E → C.-i) Un punct z0 ∈ E este un punct ordinar al functiei f daca exista un disc

∆(z0, %) = z ∈ E : |z − z0| < %,


astfel ıncat f este functie olomorfa pe ∆.-ii) Un punct z0 ∈ E este un punct singular al functiei f daca orice disc

∆(z0, %) contine atat puncte ın care f este monogena cat si puncte ın care f nuest monogena.

Definitia 2.5 In aceleasi conditii pentru multimea E si functia f , un punct sin-gular z0 ∈ E este numit punct singular izolat al functiei f daca exista un disc∆(z0, %) care nu contine alte puncte singulare ale functiei f , cu exceptia lui z0.

Definitia 2.6 Fie D un domeniu complex si functia f : D → C. Un puncta ∈ D este numit zerou pentru functia f daca exista un numar α ∈ N∗ si functiaϕ : D → C, ϕ olomorfa pe D, ϕ(a) 6= 0, astfel ıncat

f(z) = (z − a)α ϕ(z), ∀z ∈ D.

Numarul α este numit ordinul zeroului.

Propozitia 2.2 Ordinul unui zerou este unic.

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca exista un alt numarβ ∈ N∗ si functia ψ : D → C, ψ care este olomorfa pe D, ψ(a) 6= 0 astfel ıncat

f(z) = (z − a)β ψ(z), ∀z ∈ D.

Sa presupunem ca β > α. Atunci putem sa scriem

(z − a)α ϕ(z) = (z − a)β ψ(z)⇒ ϕ(z) = (z − a)β−α ψ(z).

Deoarece functiile ϕ si ψ sunt olomorfe, rezulta ca ele sunt continue si atuncilimz→a

ϕ(z) = ϕ(a) si limz→a

ψ(z) = ψ(a). Asadar, prin trecere la limita, cu z → a ın

relatia de mai sus deducem ca ϕ(a) = 0, ceea ce contrazice ipoteza impusa functieiϕ. Propozitia este demonstrata.

Teorema 2.4 Toate zerourile unei functii olomorfe sunt izolate.

Demonstratie. Fie a un zerou al functiei f . Atunci exista un numar α ∈ N∗ sifunctia ϕ : D → C, ϕ olomorfa pe D, ϕ(a) 6= 0, astfel ıncat

f(z) = (z − a)α ϕ(z), ∀z ∈ D.

Sa demonstram ca exista un disc ∆(a, %) care nu contine alte zerouri ale functieif , adica avem f(z) 6= 0, ∀z ∈ ∆(a, %) \ a. Sa presupunem, prin reducere la

1.3. FUNCTII COMPLEXE ELEMENTARE 15

absurd, ca ∃z1 ∈ ∆(a, %) \ a astfel ıncat f(z1) = 0 ⇔ (z1 − a)αϕ(z1) = 0⇒ ϕ(z1) = 0. Deoarece ϕ este olomorfa pe D deducem ca ϕ este continuape D. Deoarece ϕ(a) 6= 0 putem presupune ca |ϕ(a)| > 0. Folosind definitiacontinuitatii, obtinem: pentru un ε ales arbitrar, ε ∈ (0, |ϕ(a)|) ∃δ(ε) astfelıncat pentru |z − a| < δ(ε) ⇒ |ϕ(z) − ϕ(a)| < ε. Consideram discul ∆(a, %)unde % = δ(ε). Daca exista z1 ∈ ∆(a, δ(ε)) astfel ıncat ϕ(z1) = 0, atunci|z1 − a| < δ(ε)⇒ |ϕ(z1)− ϕ(a)| < ε⇒ |ϕ(a)| < ε si aceasta contrazice ipoteza caε ∈ (0, |ϕ(a)|). Teorema este demonstrata.

Definitia 2.7 Fie E o multime complexa deschisa si functia f : E → C. Unpunct singular a este numit pol pentru functia f daca exista un numar α ∈ N∗ sifunctia ϕ : E ∪ a → C, ϕ avand a ca punct ordinar, ϕ(a) 6= 0, astfel ıncat

f(z) =1

(z − a)αϕ(z), ∀z ∈ E.

Numarul α este numit ordinul polului.

Propozitia 2.3 Ordinul unui pol este unic.

Demonstratie. Demonstratia este analoaga cu cea folosita la propozitia 1.2.

Teorema 2.5 Toti polii unei functii complexe sunt izolati.

Demonstratie. Putem folosi aceiasi procedura ca ın demonstratia teoremei 1.5.

1.3 Functii complexe elementare

Inainte de toate, trebuie sa spunem ca regulile de derivare, ın cazul functiilorcomplexe, sunt aceiasi ca si ın cazul functiilor reale. Este un exercitiu simplu sademonstram urmatoarele reguli:

(c.f(z))′ = c.f ′(z),

(f(z).g(z))′ = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z),(f(z)

g(z)

)′=f ′(z)g(z)− f(z)g′(z)

g2(z),


(foϕ)′(z) = f ′(ϕ(z))ϕ′(z).

Vom numi functii elementare acele functii complexe, relativ simple, care suntfolosite la constructia functiilor uzuale, ıntalnite ın aplicatii concrete.

1. Functia polinom. Este functia P : C → C definita prin

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a1z + a0, ∀z ∈ C.

Folosind conditiile Cauchy-Riemann pentru monogenitate, este usor sa demon-stram ca functia f(z) = z = x + iy este olomorfa pe ıntreg spatiul complexC, si atunci, folosind inductia matematica, deducem ca functia f : C → C,f(z) = zn, n ∈ N∗ este, de asemenea, olomorfa pe ıntreg C. Asadar, deducem cafunctia polinomiala este olomorfa pe ıntreg planul complex C.

2. Functia rationala. Este functia definita prin

R(z) =P (z)

Q(z),

unde P (z) si Q(z) sunt functii polinomiale.Daca notam cu E = z ∈ C : Q(z) = 0, deducem ca R(z) este functie definita siolomorfa pe C \ E.

3. Functia exponentiala. Este functia definita prin

f : C → C, f(z) = ez.

Intr-o aplicatie anterioara am demonstrat deja ca aceasta functie este olomorfa peıntreg planul complex C.

Propozitia 3.1 Functia exponentiala este o functie periodica cu perioada princi-pala T0 = 2πi si perioada generala Tk = 2kπi, k ∈ Z \ 0, 1.

Demonstratie. Consideram un numar complex T = T1 + iT2 care este perioadapentru functia f , deci astfel ıncat f(z + T ) = f(z), ∀z ∈ C. Deoarece pentruz = x+ iy avem f(z) = ez = ex (cos y + i sin y), rezulta

ex+T1 [cos(y + T2) + i sin(y + T2)] = ex (cos y + i sin y) , ∀x, y ∈ R.

Daca trecem la modul ın aceasta egalitate , deducem ex+T1 = ex si atunci T1 = 0.Atunci egalitatea precedenta conduce la cos(y + T2) = cos y si sin(y + T2) = sin y⇒ y + T2 = y + 2kπ ⇒ T2 = 2kπ. Propozitia este demonstrata.


4. Functii trigonometrice si hiperbolice. Acestea sunt functii definite dupacum urmeaza

cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i, cosh z =

ez + e−z

2, sinh z =

ez − e−z

2.

Principalele proprietati ale acestor functii sunt continute ın urmatoarea propozitie.

Propozitia 3.2 Functiile trigonometrice si hiperbolice au urmatoarele proprietati:-1) (cos z)′ = − sin z, (sin z)′ = cos z, (cosh z)′ = sinh z, (sinh z)′ = cosh z;-2) cos z si sin z sunt functii periodice cu perioada Tk = 2kπ;-3) cosh z si sinh z sunt functii periodice cu perioada Tk = 2kπi;-4) Relatiile care dau legatura ıntre functiile trigonometrice si functiile hiper-

bolice sunt: cos iz = cosh z si sin iz = i sinh z;-5) Functiile trigonometrice au aceleasi zerouri ca si functiile reale corespunzatoare

iar functiile hiperbolice au urmatoarele zerouri:

cosh z = 0⇔ zk = i(π

2+ kπ

), sinh z = 0⇔ zk = kπi.

Demonstratie.-1) Prin calcul direct:

(cos z)′ =

(eiz + e−iz

2

)′=

1

2

(ieiz − ie−iz

)′=i

2

(eiz − e−iz

)′= − sin z.

-2) Folosind definitia unei functii periodice, avem

cos(z + T ) = cos z ⇔ ei(z+T ) + e−i(z+T ) = eiz + e−iz.

Inmultim acum ambii membri ai ultimei egalitati cu eiT :

ei(z+T )eiT + e−iz = ei(z+T ) + e−izeiT ⇒(eiT − 1

)ei(z+T ) −

(eiT − 1

)e−iz = 0⇒

⇒(eiT − 1

) (ei(z+T ) − e−iz

)= 0⇒ ei(z+T ) = e−iz sau eiT = 1.

Daca prima concluzie ar fi adevarata, atunci deducem ca e2iz = e−iT , ∀z ∈ C, adicafunctia exponentiala ar fi constanta, ceea ce este fals. Folosind a doua concluziededucem ca cosT + i sinT = 1, si atunci Tk = 2kπ.

-3) Folosind definitia unei functii periodice, avem

cosh(z + T ) = cos z ⇔ ez+T + e−(z+T ) = ez + e−z.


Inmultim acum ambii membri ai ultimei egalitati cu eT :

ez+T eT + e−z = ez+T + e−zeT ⇒(eT − 1

)ez+T −

(eiT − 1

)e−z = 0⇒

⇒(eT − 1

) (ez+T − e−z

)= 0⇒ ez+T = e−z or eT = 1.

Daca prima concluzie ar fi adevarata atunci am deduce ca e2z = e−T , ∀z ∈ C, adicafunctia exponentiala ar fi constanta, ceea ce este fals. Folosind a doua concluziededucem ca

eT1 (cosT2 + i sinT2) = 1,

pentru T = T1 + iT2. Prin trecere la modul ın egalitatea precedenta, obtinemeT1 = 1 astfel ıncat T1 = 0. De asemenea, din relatia de mai sus, folosind faptulca T1 = 0, rezulta cosT + i sinT = 1, astfel ıncat cosT2 = 1 si sinT2 = 0, adicaT2 = 2kπ. In final, T = 2kπi.

-4) Avem

cos iz =ei

2z + e−i2z

2=e−z + ez

2= cosh z,

sin iz =ei

2z − e−i2z

2i=e−z − ez

2i= i

ez − e−z

2= i sinh z.

-5) Zerourile functiei cos z sunt solutiile ecuatiei cos z = 0. Avem

eiz + e−iz = 0⇒ e2iz = −1⇒ e2i(x+iy) = −1⇒ e−2y(cos 2x+ i sin 2x) = −1

Prin trecere la modul obtinem

e−2y = 1⇒ y = 0,

si atunci, din ultima egalitate , rezulta

cos 2x+ i sin 2x = −1⇒ cos 2x = −1, sin 2x = 0⇒

⇒ 2x = (2k + 1)π ⇒ x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

In mod asemanator obtinem ca pentru zerourile functiei sin z avem y = 0 si x =kπ, k ∈ Z, adica zk = kπ, k ∈ Z. Analog,

cosh z = 0⇔ zk = i(π

2+ kπ

), sinh z = 0⇔ zk = kπi, k ∈ Z,

si propozitia este demonstrata.Este un exercitiu simplu sa demonstram urmatoarele relatii:

cos (z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2,


sin (z1 ± z2) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2,

sin 2z = 2 sin z cos z, cos 2z = cosz − sin2 z, sin2 z + cos2 z = 1,

cosh (z1 ± z2) = cosh z1 cos z2 ± sinh z1 sinh z2,

sinh (z1 ± z2) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z2,

sinh 2z = 2 sinh z cosh z, cosh 2z = cosz + sin2 z, cosh2 z − sinh2 z = 1.

5. Functia radical. Consideram functia f(z) =√z. Daca scriem z cu ajutorul

formulei lui Euler, z = % (cos θ + i sin θ) = %eiθ, atunci

√z = ±%1/2eiθ/2.

Asadar, pentru un z gasim doua valori pentru functia radical si avem functiile

f1(z) = %1/2eiθ/2, f2(z) = −%1/2eiθ/2

Definitia 3.1 Functia f este numita multiforma daca pentru un singur z functiaare cel putin doua valori.

Daca z este situat pe o curba care nu contine originea, atunci functiile f1 si f2 auvalorile de mai sus. Dar, daca z este situat pe o curba ınchisa ce contine originea,atunci argz creste cu 2π cand z se misca de-a lungul acestei curbe, pornind dintr-unpunct M , care apartine acestei curbe, si ajunge din nou ın M . De aceea,

f1(z) = %1/2ei(θ+2π)/2 = %1/2eiθ/2eiπ = −%1/2%iθ/2 = f2.

In aceiasi maniera obtinem f2(z) = f1(z). De aceea, cele doua ramuri alefunctiei radical trec una ın alta cand z se misca de-a lungul curbei ınchise cecontine originea.

Spunem ca z = 0 este punct critic sau punct de ramificatie pentru functiaradical. Pentru a face ramurile f1 si f2 sa fie functii uniforme, trebuie sa facemo taietura ın planul complex ın lungul unei semiaxe pornind din origine. Atuncipunctul z nu se mai poate misca pe o curba ınchisa care sa contina originea.

O alta procedura pentru a face ramurile f1 si f2 sa fie functii uniforme constaın suprapunerea a doua plane complexe identice, facand o taietura de-a lungulunei semiaxe pornind din origine. Aceasta maniera este cunoscuta ca metodasuprafetelor riemaniene. Consideratii analoage se pot face ın cazul mai general alfunctiei radical f(z) = m

√z, dar ın acest caz sunt necesare m suprafete riemaniene.

6. Functia logaritmica. Este functia notata cu Lnz si definita ca solutie aecuatiei:

ef(z) = z.


Daca notam cu f(z) = u+ iv si z = %(cos θ + i sin θ) atunci

eu (cos v + i sin v) = %(cos θ + i sin θ)⇒ eu = %, v = θ + 2kπ, k ∈ Z

u = ln %, v = θ + 2kπ, k ∈ Z ⇒ Lnz = ln |z|+ i(θ + 2kπ), k ∈ Z,unde θ este argumentul principal al lui z si este notat cu θ =argz. Asadar, putemsa scriem functia logaritmica ın forma

Lnz = ln |z|+ i(argz + 2kπ).

Daca notam cu ln z = ln |z|+ iargz, care este numita valoarea principala a functieilogaritmice, putem sa scriem

Lnz = ln z + 2kπi, k ∈ Z.

Asadar, este usor de vazut ca functia logaritmica este o functie multiforma cu unnumar infinit de ramuri:

f0(z) = ln z,

f1(z) = ln z + 2πi,

f2(z) = ln z − πi,...

Daca z este situat pe o curba ınchisa cu originea ın interior, functia f0(z) devinef1(z), f1(z) devine f2(z), si asa mai departe. Asadar, ramurile functiei logaritmicesunt functii multiforme, care devin functii uniforme cu ajutorul unei taieturi ınplanul complex de-a lungul unei semiaxe care pleaca din origine.Punctul z = 0 este numit punct de ramificatie pentru functia logaritmica.Principalele proprietati ale functiei logaritmice sunt incluse ın propozitia urmatoare.

Propozitia 3.3 Pentru valoarea principala a functiei logaritmice avem:

ln (z1z2) = ln z1 + ln z2,

lnz1

z2

= ln z1 − ln z2,

ln zn = n ln z,

ln n√z =

1

nln z.

Demonstratie Toate aceste relatii pot fi usor demonstrate folosind formula functieilogaritmice. De exemplu,

ln (z1z2) = ln |z1z2|+ iarg (z1z2) = ln |z1|+ ln |z2|+ i (argz1 + argz2) .


Aceiasi procedura poate fi folosita pentru demostrarea celorlalte proprietati.Observatie. Proprietatile de mai sus nu sunt valabile pentru Lnz. De exemplu,

Ln (z1z2) = ln z1 + Lnz2 = Lnz1 + ln z2.

7. Functia putere. Functia putere este definita prin formula

f(z) = zα = eαLnz.

Este clar ca din cauza functiei logaritmice, functia putere este si ea functie multi-forma.

Propozitia 3.4 Daca α /∈ Q atunci functia f(z) = zα are un numar infinit deramuri si daca α ∈ Q atunci functia putere are un numar finit de ramuri.

Demonstratie Este evident faptul ca putem sa scriem functia putere ın forma

f(z) = zα = eαLnz = eα[ln %+i(θ+2kπ)], k ∈ Z.

Pentru ca sa aiba un numt finit de ramuri, trebuie sa existe doua valori diferiteale lui k care sa dea aceiasi valoare pentru zα.

eα[ln %+i(θ+2k1π)] = eα[ln %+i(θ+2k2π)] ⇒ e2k1πα = e2k2πα ⇒ e2παi(k1−k2) = 1⇒

⇒ 2παi(k1 − k2) = 2mπ ⇒ (k1 − k2)α = m⇒ α =m

k1 − k2

, m, k1, k2 ∈ Z,

si propozitia este demonstrata.Aplicatie. Vrem sa demonstram ca expresia ii are numai valori reale. Intr-adevar,

ii = eiLni = ei(ln |i|+i(arg(i)+2kπ) = e−(π/2+2kπ), k ∈ Z.

8. Functiile trigonometrice inverse. Prin definitie, functia inversa a functieicos z este solutia ecuatiei cos f(z) = z si este notata cu Arccosz. In urmatoareleevaluari, vrem sa gasim forma explicita pentru functia Arccosz.

eif + e−if = 2z ⇒ e2if − 2zeif + 1 = 0; ∆ = z2 − 1 = i2(1− z2)⇒

⇒ eif = z ± i√

1− z2 ⇒ if = Ln(z ± i

√1− z2

)⇒

⇒ Arccosz =1

iLn

(z ± i

√1− z2

).

Expresia1

iln(z + i

√1− z2

)


este numita partea principala o functiei Arccosz si este notata cu arccos z. Pentrucealalta parte, avem

ln(z − i

√1− z2

)= ln

z2 − i2(1− z2)

z + i√

1− z2= ln

1

z + i√

1− z2= − ln(z + i

√1− z2).

De aceea,

Arccosz =1

i

[ln(z ± i

√1− z2

)+ 2kπ

]=

= 2kπ +1

iln(z ± i

√1− z2

)= 2kπ ± arccos z.

Prin definitie, functia inversa a functiei sin z este solutia ecuatiei sin f(z) = z sieste notata cu Arcsinz. In cele ce urmeaza vrem sa obtinem forma explicita afunctiei Arcsinz.

eif − e−if = 2iz ⇒ e2if − 2izeif − 1 = 0; ∆ = i2z2 + 1 = 1− z2 ⇒

⇒ eif = iz ±√

1− z2 ⇒ if = Ln(iz ±

√1− z2

)⇒

⇒ Arcsinz =1

iLn

(iz ±

√1− z2

).

Expresia1

iln(iz +

√1− z2

)este numita partea principala a functiei Arcsinz si este notata cu arcsin z. Pentrucealalta parte, avem

ln(iz −

√1− z2

)= ln

i2z2 − 1 + z2

iz +√

1− z2= ln

−1

iz +√

1− z2

= ln(−1)− ln(iz +√

1− z2) = ln(| − 1|) + iarg(−1)− ln(iz +√

1− z2) =

= πi− ln(iz +√

1− z2).

De aceea,

Arcsinz =1

i

[ln(iz +

√1− z2

)+ 2kπ

]= 2kπ +

1

iln(iz +

√1− z2

)⇒

⇒ Arcsinz = 2kπ + arcsin z.

Arcsinz=1

i

[ln(iz −

√1− z2

)+ 2kπ

]=2kπ +

1

i

[πi− ln

(iz +

√1− z2

)]=

= 2kπ + π − 1

iln(iz +

√1− z2

)⇒

⇒ Arcsinz = (2k + 1)π − arcsin z.

1.4. INTEGRALA COMPLEXA 23

1.4 Integrala complexa

Consideram γ : [a, b] → C, [a, b] ⊂ R o curba parametrizata si neteda (adicaγ ∈ C1[a, b]). Fie f o functie continua f : E → C, unde E este submultimedeschisa din C. Atunci (foγ)(t)γ′(t) este de asemenea o functie continua, si, ınconsecinta, exista integrala

b∫a

(foγ)(t)γ′(t)dt.

Definitia 4.1 In conditiile de mai sus impuse curbei γ si functiei f , definim in-tegrala complexa a functiei f pe curba γ prin

∫γ

f(z)dz =

b∫a

(foγ)(t)γ′(t)dt.

Observatii.-1) daca scriem z = x+ iy si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) atunci dz = dx+ idy si

f(z)dz = (u+ iv)(dx+ idy) = udx− vdy + i(udy + vdx),

De aceea,∫γ

f(z)dz =∫γ

[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i∫γ

[u(x, y)dy + v(x, y)dx].

-2) daca scriem γ(t) = α(t) + iβ(t) atunci γ′(t) = α′(t) + iβ′(t). Asadar,

f(γ(t))γ′(t) = [u(α, β) + iv(α, β)] (α′ + iβ′) =

= u(α, β)α′ − v(α, β)β′ + i [u(α, β)β′ + v(α, β)α′] .

atunci integrala complexa devine∫γ

f(z)dz =∫γ

f(γ(t))γ′(t)dt =

=∫γ

[u(α, β)α′ − v(α, β)β′] dt+ i∫γ

[u(α, β)β′ + v(α, β)α′] dt.

Principalele proprietati ale integralei complexe sunt continute ın propozitia urmatoare.


Propozitia 4.1 Principalele proprietati ale integralei complexe sunt:-i) pentru orice doua curbe parametrizate, netede si echivalente, γ1 si γ2, avem∫

γ1

f(z)dz =∫γ2

f(z)dz.

-ii) pentru orice doua functii complexe continue f si g si orice doua constantecomplexe α si β avem∫

γ

(αf(z) + βg(z))dz = α∫γ

f(z)dz + β∫γ

g(z)dz.

-iii) cand un punct se misca pe curba γ ın sens opus sensului pozitiv (stabilitprin conventie) atunci ∫

γ−

f(z)dz = −∫γ

f(z)dz.

Demonstratie Este usor sa demonstram aceste afirmatii prin intermediul pro-prietatilor similare ale integralei reale.

Aplicatie. Sa calculam integrala

In =∫γ

(z − a)ndz,

unde γ este cercul avand originea ca centru si raza egala cu r. Putem sa scriemγ(t) = a+ reit, t ∈ [0, 2π], γ′(t) = rieit,

∫γ

f(z)dz =

2π∫0

rneintrieitdt = rn+1i

2π∫0

eit(n+1)dt.

Atunci, pentru n = −1⇒ I−1 = 2πi, si pentru n 6= −1 avem

In = rn+1ieit(n+1)

i(n+ 1)

∣∣∣∣∣2π

0

=rn+1

n+ 1

[e2i(n+1)π − 1

]= 0.

Definitia 4.2 Daca γ : [a, b] → E ⊂ C este o curba neteda pe portiuni (adica γeste o reuniune a unui numar finit, m, de curbe netede), atunci integrala complexaa functiei f pe γ este definita dupa cum urmeaza∫

γ

f(z)dz =m∑k=1

∫γk

f(z)dz.



I =∫γ

zndz, n ∈ N.

Aici γ = γ1 ∪ γ2, unde γ2 este semicercul avand originea ca centru si raza egalacu a iar γ1 este intervalul [−a, a]. Putem sa scriem γ1(t) = t, t ∈ [−a, a] siγ2(t) = aeit, t ∈ [0, π]. Atunci

I =∫γ

f(z)dz =

a∫−a

tndt+

π∫0

eitnanaieitdt.

In urma unor calcule foarte simple obtinem ca I = 0.In teorema urmatoare demonstram un rezultat foarte important al teoriei functiilorcomplexe. Rezultatul este datorat lui Cauchy.

Teorema 4.1 Fie ∆ un domeniu marginit ın planul complex C avand frontieraΓ, unde Γ este o reuniune a unui numar finit de curbe simple, ınchise si netede.Daca f este o functie olomorfa pe ∆ = ∆ ∪ Γ atunci∫

Γ

f(z)dz = 0.

Demonstratie. Fara sa restrangem generalitatea, presupunem ca f ∈ C1(∆)ceea ce este echivalent cu a presupune ca u, v ∈ C1(∆).Reamintim acum formula Riemann-Green.Daca P (x, y) si Q(x, y) sunt functii de clasa C1(∆) atunci∫

∂∆

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =∫∆

∫ (∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy.

In baza ipotezei, deducem ca f este o functie olomorfa si deci sunt satisfacuterelatiile Cauchy-Riemann:

∂u

∂x=∂v

∂x,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

In baza acestor relatii si folosind formula Riemann-Green, avem∫Γ

f(z)dz =∫∆

∫ (−∂v∂x− ∂u

∂y

)dxdy +

∫∆

∫ (∂v

∂y− ∂u

∂x

)dxdy = 0.



Corolarul 4.1 Fie D un domeniu simplu conex si γ o curba simpla, ınchisa sineteda inclusa ın D, γ ⊂ D. Daca f este o functie olomorfa pe D, atunci∫

γ

f(z)dz = 0.

Demonstratie. Deoarece γ ⊂ D deducem ca ∆ = domeniul ınchis de curba γeste inclus ın D. In baza teoremei 4.1 deducem ca integrala pe frontiera lui ∆ estenula. Dar frontiera lui ∆ este γ astfel ıncat∫

γ

f(z)dz = 0.

Corolarul 4.2 Fie D un domeniu multiplu-conex avand m goluri, ∆1, ∆2,..., ∆m,marginite de curbele Γ1, Γ2,...,Γm care sunt curbe simple, ınchise si incluse ın D.Daca Γ0 este frontiera exterioara a lui D, atunci

∫Γ0

f(z)dz =m∑k=1

∫Γk

f(z)dz.

Demonstratie. Consideram

∆ = D \(∆1 ∪∆2 ∪ ... ∪∆m

).

Frontiera lui ∆ este Γ0 ∪ Γ1 ∪ ... ∪ Γm = Γ. Deoarece golurile au fost evitate,deducem ca f este olomorfa pe ∆ si atunci, ın baza teoremei 4.1 deducem∫

∂∆

f(z)dz =∫Γ

f(z)dz = 0.

Dar sensul pe curbele Γk este negativ si atunci∫Γ0

f(z)dz +∫

Γ−1

f(z)dz +∫

Γ−2

f(z)dz + ...+∫

Γ−m

f(z)dz = 0.

Deoarece ∫Γ−k

f(z)dz = −∫Γk

f(z)dz,

deducem ∫Γ0

f(z)dz =m∑k=1

∫Γk

f(z)dz.


Aplicatie. Sa calculam integrala ∫Γ

z

z2 − 1dz,

unde Γ este un cerc avand originea ca centru si raza egala cu a 6= 1.-1) Daca a < 1 domeniul marginit de Γ este simplu conex si f este functie

olomorfa astfel ıncat ∫Γ

z

z2 − 1dz = 0,

ın baza teoremei 4.1-2) Daca a > 1 domeniul ∆ marginit de Γ este dublu conex. Consideram

domeniul

∆0 = ∆ \(∆1 ∪∆2

),

unde punctele −1 si 1 au fost izolate de doua cercuri Γ1 si Γ2, respectiv.Deoarece f este functie olomorfa pe ∆0 deducem ca∫

∂∆0

f(z)dz = 0.

Dar frontiera lui ∆0 este

∂∆0 = Γ ∪ Γ−1 ∪ Γ−2 .

Folosind corolarul 4.2 obtinem∫Γ

z

z2 − 1dz =

∫Γ1

z

z2 − 1dz +

∫Γ2

z

z2 − 1dz = I1 + I2

Daca scriemz

z2 − 1=

1

2

(1

z − 1+

1

z + 1

),

atunci

I1 =1

2

∫Γ1

1

z − 1dz +

∫Γ1

1

z + 1dz

=1

2(0 + 2πi) = π,

I2 =1

2

∫Γ2

1

z − 1dz +

∫Γ2

1

z + 1dz

=1

2(2πi+ 0) = π.

In final, pentru a > 1 avem I = 2πi.


Teorema 4.2 Fie D un domeniu simplu conex ın planul complex C si f : D → Co functie olomorfa. Consideram L1 si L2 doua curbe simple si netede incluse ınD si avand aceleasi extremitati. Atunci∫

L1

f(z)dz =∫L2

f(z)dz.

Demonstratie. Mai ıntai, consideram cazul cand curbele L1 si L2 nu au altepuncte comune, cu exceptia extremitatilor. Atunci L1 ∪ L2 este o curba ınchisa,simpla si neteda care ınchide domeniul ∆ ⊂ D. Daca sensul pe L1 este pozitiv,atunci pe L2 sensul este negativ. In baza corolarului 4.2 avem∫

∂∆

f(z)dz = 0.

Dar ∂∆ = L1 ∪ L−2 si atunci∫∂∆

f(z)dz =∫L1

f(z)dz +∫L−2

f(z)dz = 0⇒

⇒∫L1

f(z)dz =∫L2

f(z)dz.

Consideram acum cazul cand curbele L1 si L2 au si alte puncte comune. Putemlua o alta curba L3 care sa nu aiba alte puncte comune nici cu curba L1 si nici cucurba L2. Folosind prima parte a demonstratiei, deducem ca∫

L1

f(z)dz =∫L3

f(z)dz,∫L2

f(z)dz =∫L3

f(z)dz ⇒

⇒∫L1

f(z)dz =∫L2

f(z)dz.

Teorema este demonstrata.Observatie. Teorema precedenta afirma ca ıntr-un domeniu simplu conex inte-grala unei functii olomorfe este independenta de curba care uneste doua punctecomplexe z0 si z1.

Teorema 4.3 Fie D un domeniu simplu conex ın planul complex C si f : D → Co functie olomorfa. Pentru un punct fixat z0 ∈ D definim functia

F (z) =

z∫z0

f(t)dt, ∀t ∈ D.

Atunci functia F este olomorfa pe D si F ′(z) = f(z), ∀z ∈ D.


Demonstratie. Dupa cum deja stim

z∫z0

f(t)dt =

z∫z0

udx− vdy + i

z∫z0

udy + vdx.

In baza teoremei precedente, ultimele doua integrale sunt independente de curbelecare unesc punctele z0 si z si atunci ∃U(x, y), V (x, y) astfel ıncat dU = udx− vdysi dV = udy + vdx. Asadar,

F (z) =

z∫z0

dU + i

z∫z0

dV = U + iV.

Dar∂U

∂x= u,

∂U

∂y= −v, ∂V

∂x= v,

∂V

∂x= u,⇒

⇒ ∂U

∂x=∂V

∂x,∂U

∂y= −∂V

∂x,

adica U si V satisfac conditiile Cauchy-Riemann. Asadar, deducem ca functia Feste olomorfa pe D si

F ′(z) =∂U

∂x+ i

∂V

∂x= u+ iv = f(z).


Definitia 4.3 Fie D un domeniu simplu conex ın planul complex C si functiaf : D → C. O functie F : D → C este o primitiva a functiei f daca:

-1) F este o functie olomorfa pe D;-2) F ′(z) = f(z), ∀z ∈ D.

Observatie. Functia F definita ın teorema 4.3 este o primitiva a functiei f .Este usor sa demonstram urmatoarele doua proprietati ale primitivelor, incluse ınpropozitia urmatoare.

Propozitia 4.2 Pentru o functie complexa data f avem :-1) daca F este o primitiva al functiei f atunci F + K este de asemenea o

primitiva, pentru orice constanta complexa K.-2) daca F1 si F2 sunt doua primitive ale functiei f atunci F1−F2 =constanta.


Teorema 4.4 (Formula lui Cauchy) Fie D un domeniu marginit ın planul com-plex C cu frontiera Γ care este o reuniune a unui numar finit de curbe ınchise,simple si netede. Daca f este o functie olomorfa si sunt cunoscute valorile functieif pe frontiera, atunci se pot calcula valorile functiei f ın orice punct din interioruldomeniului D folosind formula

f(a) =1

2πi

∫Γ

f(z)

z − adz, ∀a ∈ D.

Demonstratie. Fie a un punct fixat arbitrar, a ∈ D. Definim functia

g(z) =f(z)

z − a,

care este olomorfa pe D \ a.Consideram un disc ω avand a ca centru si raza suficient de mica astfel ıncat ω ⊂ D.Notam cu γ frontiera discului ω si ∆ = D \ (ω ∪ γ). Este clar ca g este olomorfape ∆ si, ın baza teoremei lui Cauchy, avem

∫∂∆g(z) = 0, unde ∂∆ = Γ ∪ γ−. De

aceea, avem ∫Γ

g(z)dz +∫γ−

g(z)dz = 0⇒∫Γ

g(z)dz =∫γ

g(z)dz ⇒

⇒∫Γ

f(z)

z − adz =

∫γ

f(z)

z − adz =

∫γ

f(z)− f(a) + f(a)

z − adz ⇒

⇒∫Γ

f(z)

z − adz =

∫γ

f(z)− f(a)

z − adz + f(a)

∫γ

1

z − adz. (4.1)

In baza aplicatiei precedente, stim ca

∫γ

1

z − adz = 2πi,

deoarece γ este un cerc avand a ca centru.Pentru a ajunge la rezultatul dorit trebuie sa demonstram ca

∫γ

f(z)− f(a)

z − adz = 0.


Deoarece f este olomorfa, deducem ca f este continua si atunci ∀ε > 0 ∃δ(ε) astfelıncat ∀z ∈ ∆, |z−a| < δ(ε) avem |f(z)−f(a)| < ε. Dar putem alege raza cerculuiγ astfel ıncat % < δ(ε) si atunci∣∣∣∣∣f(z)− f(a)

z − a

∣∣∣∣∣ =|f(z)− f(a)||z − a|

=|f(z)− f(a)|

%<ε

%.

De aceea,∣∣∣∣∣∣∫γ

f(z)− f(a)

z − adz

∣∣∣∣∣∣ ≤∫γ

∣∣∣∣∣f(z)− f(a)

z − a

∣∣∣∣∣ dz <∫γ

ε

%dz =

ε

%2π% = 2πε.

Atunci formula (4.1) devine ∫Γ

f(z)

z − adz = 2πf(a),

si teorema este demonstrata.

Observatie. In cazul cand domeniul este multi-conex, frontiera lui este datade

Γ = Γ0 ∪ Γ1 ∪ Γ2 ∪ ... ∪ Γm,

si formula lui Cauchy devine

f(a) =1

2πi

∫Γ0

f(z)

z − adz − 1

2πi

m∑k=1

∫Γk

f(z)

z − adz, ∀a ∈ D.


I =∫γ

cos πz

z2 + 1dz,

unde γ este o curba simpla, ınchisa si neteda care nu trece prin punctele −i si i.Notam cu D domeniul ınchis de curba γ.

-1) daca −i, i /∈ D, deoarece f este o functie olomorfa obtinem ca I = 0.-2) daca −i ∈ D putem sa scriem

I =∫γ

ϕ(z)

z + idz, ϕ(z) =

cosπz

z − i,

astfel ıncat, ın baza formulei lui Cauchy, avem

I = 2πiϕ(−i) = −π cos πi = −π cosh π.


-3) daca i ∈ D putem sa scriem

I =∫γ

ϕ(z)

z − idz, ϕ(z) =

cosπz

z + i,

astfel ıncat, ın baza formulei lui Cauchy, avem

I = 2πiϕ(i) = π cos πi = π cosh π.

-4) daca −i, i ∈ D luam doua cercuri γ1, γ2 avand centrele −i si i, respectiv siatunci putem sa scriem

I =∫γ

f(z)dz = I =∫γ1

ϕ(z)

z + idz +

∫γ2

ψ(z)

z − idz, ϕ(z) =

cos πz

z − i, ψ(z) =

cos πz

z + i.

Teorema 4.5 Fie E o multime complexa deschisa. Consideram ϕ o functie con-tinua, ϕ : E → C si Γ o curba simpla si neteda continuta ın E. Atunci functia

fn(z) =∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)ndz,

este o functie olomorfa pe C \ Γ si derivata sa este data de formula

f ′n(z) = n∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)n+1dz.

Demonstratie. Pentru a simplifica demonstratia, consideram numai cazul n = 1.Este evident faptul ca functia ϕ(τ)/(τ − z) este definita si continua pentru oriceτ ∈ E \ z. Consideram un disc ω marginit de cercul γ avand z ca centru si raza% suficient de mica astfel ıncat ω ∪ γ ⊂ E \ Γ. Trebuie sa demonstram ca exista sieste finita limita urmatoare

limh→0

f(z + h)− f(z)

h= lim

h→0

1

h

∫Γ

ϕ(τ)(

1

τ − z − h− 1

τ − z

)dτ =

= limh→0

1

h

∫Γ

ϕ(τ)h

(τ − z − h)(τ − z)dτ = lim

h→0

∫Γ

ϕ(τ)1

(τ − z − h)(τ − z)dτ.

Putem sa scriem

1

(τ − z − h)(τ − z)=

1

(τ − z)2+

h

(τ − z − h)(τ − z)2,


si limita anterioara devine

limh→0

∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)2dτ + h

∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)2(τ − z − h)dτ

.Deoarece ϕ este o functie continua avem

∃M = supτ∈Γ|ϕ(τ)|.

De asemenea,

|τ − z| > %, |τ − z − h| > |τ − z| − |h| > %− |h|.

Atunci∣∣∣∣∣∣∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)2(τ − z − h)dτ

∣∣∣∣∣∣ ≤∫Γ

∣∣∣∣∣ ϕ(τ)

(τ − z)2(τ − z − h)

∣∣∣∣∣ dτ < M

%2(%− |h|)L(Γ).

De aceea, ultima integrala este finita. Aici L(Γ) este masura arcului Γ. In final,obtinem

f ′(z) = limh→0

f(z + h)− f(z)

h=∫Γ

ϕ(τ)

(τ − z)2dτ.

si deci teorema este demonstrata.

Teorema 4.6 Fie D un domeniu complex si f o functie olomorfa, f : D → C.Consideram Γ o curba simpla, ınchisa si neteda care ınchide domeniul ∆ astfelıncat ∆ = ∆ ∪ Γ ⊂ D. Atunci

f (n)(z) =n!

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z)n+1dτ, ∀z ∈ ∆.

Demonstratie. In baza formulei lui Cauchy avem

f(z) =1

2πi

∫Γ

f(τ)

τ − zdτ, ∀z ∈ ∆.

In conformitate cu teorema precedenta, avem

f ′(z) =1

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z)2dτ, ∀z ∈ ∆.


Deoarece f ′ este functie monogena, obtinem

f ′′(z) =2!

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z)3dτ, ∀z ∈ ∆.

Rezultatul general poate fi obtinut folosind inductia matematica. Demonstratiateoremei este ıncheiata.

1.5. SERII COMPLEXE 35

1.5 Serii complexe

Definitia 5.1 O expresie de forma∑n≥0

cn(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + ...

unde numerele cn sunt constante complexe, este numita serie complexa (mai ex-plicit, serie complexa de puteri), numerele cn fiind denumite coeficientii seriei.

In cazul particular cand z0 = 0 avem seria de puteri centrata ın origine.Ca si ın cazul seriilor reale, definim multimea de convergentaA, raza de convergenta% si discul convergenta prin

A =

z ∈ C :∑n≥0

cnzn este convergent

,% = sup

|z|∈RA,

∆(0, %) = z ∈ C : |z| < %.

Folosind aceiasi procedura ca ın cazul seiilor reale de puteri, se poate demonstraurmatoarea teorema.

Teorema 5.1 Daca notam cu l urmatoarea limita

l = limn→∞

n

√|cn|,

atunci-1) daca l ∈ (0,∞)⇒ % = 1/l;-2) daca l = 0⇒ % =∞;-3) daca l =∞⇒ % = 0.

Definitia 5.2 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa, f : D → C siz0 ∈ D. O serie de puteri de forma

∑n≥0

cn(z − z0)n, unde cn =1

n!f (n)(z0),

este numita seria lui Taylor relativa la punctul z0.


Teorema 5.2 Fie domeniul D, functia f si punctul z0 ca ın definitia anterioara.Consideram discul avand z0 ca centru si raza a, ∆ = z ∈ D : |z − z0| < a, cufrontiera Γ. Daca ∆ = ∆ ∪ Γ ⊂ D atunci seria Taylor atasata functiei f relativala punctul z0 este convergenta si avem

f(z) =∑n≥0

cn(z − z0)n, unde cn =1

n!f (n)(z0).

Demonstratie. Dupa cum deja stim, deoarece f este olomorfa, ea admite derivatede orice ordin si avem

f (n)(z) =n!

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z)n+1dτ.

De asemenea, folosind formula lui Cauchy, avem

f(z) =1

2πi

∫Γ

f(τ)

τ − zdτ. (5.1)

Putem sa scriem

1

τ − z=

1

τ − z0 − (z − z0)=

1

τ − z0

1

1− q,

unde

q =z − z0

τ − z0

.

Deoarece,

|q| =∣∣∣∣z − z0

τ − z0

∣∣∣∣ =|z − z0||τ − z0|

=|z − z0|

a< 1,

putem sa scriem

1

1− q=

1− qn+1 + qn+1

1− q=

1− qn+1

1− q+qn+1

1− q=

n∑k=0

qk +1

1− qqn+1.

De aceea

1

τ − z=

1

τ − z0

n∑k=0

(z − z0)

τ − z0

)k+

1

1− z−z0)τ−z0

(z − z0)

τ − z0

)n+1 =

=n∑k=0

(z − z0)k

(τ − z0)k+1+

1

τ − z

(z − z0)

τ − z0

)n+1


Introducand aceste estimari ın (5.1) obtinem

f(z) =1

2πi

∫Γ

f(τ)

n∑k=0

(z − z0)k

(τ − z0)k+1+

1

τ − z

(z − z0)

τ − z0

)n+1 dτ =

=n∑k=0

(z − z0)k1

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z0)k+1dτ +Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2πi(z − z0)n+1

∫Γ

f(τ)

(τ − z)(τ − z0)n+1dτ.

Trecem aici la limita pentru n→∞ astfel ca obtinem Rn(z)→ 0 si f(z) devine

f(z) =∞∑n=0

cn(z − z0)n,

unde

cn =1

n!f (n)(z0).

Cu aceasta teorema este demonstrata.

Aplicatii. 1. Consideram functia f(z) = ez si un punct fixat arbitrar z0 ∈ C.Deoarece f (n)(z0) = ez0 , ∀n ∈ N , avem

ez =∞∑n=0

ez01

n!(z − z0)n = ez0

(1 +

z − z0

1!+

(z − z0)2

2!+ ...+

(z − z0)n

n!+ ...

).

In cazul particular cand z0 = 0 avem

ez = 1 +z

1!+z2

2!+ ...+

zn

n!+ ...

2. Vrem sa dezvoltam functia f(z) = sin z ın jurul originii. Este usor sa demon-stram ca

fn(z) = sin(z + n

π

2

)⇒ fn(0) = sin

(nπ

2

)=

(−1)k, pentru n = 2k + 10, pentru n = 2k

Atunci seria lui Taylor pentru functia f(z) = sin z este

sin z =∞∑n=0

z2n+1 (−1)n

(2n+ 1)!=z

1!− z3

3!+z5

5!− ...+ +(−1)n

z2n+1

(2n+ 1)!+ ...


Folosind o procedura similara, obtinem

cos z =∞∑n=0

z2n (−1)n

(2n)!= 1− z2

2!+z4

4!− ...+ +(−1)n

z2n

(2n)!+ ...

1

1− z= 1 + z + z2 + ...+ zn + ...

1

1 + z= 1− z + z2 − z3 + ...+ (−1)nzn + ...

Definitia 5.3 Daca functia f este olomorfa pe ıntreg planul complex C atunci feste numita functie ıntreaga.

Observatii.-1) Este usor sa demonstram ca coeficientii seriei Taylor satisfac inegalitatea

|cn| ≤M(a)

an, ∀n ∈ N, unde M(a) = sup

τ∈Γ|f(τ)|, Γ = z ∈ D : |z − τ | = a.

-2) In baza inegalitatii anterioare. Liouville a demonstrat ca o functie ıntreagacare este marginita, se reduce la o constanta.

Definitia 5.4 O serie de forma

∞∑n=−∞

cn (z − z0)n ,

este numita serie Laurent, centrata ın punctul z0.Numim parte principala a seriei Laurent, urmatoarea serie

−1∑n=−∞

cn (z − z0)n ,

si partea regulata (sau partea tayloriana) a seriei Laurent, urmatoarea serie

∞∑n=0

cn (z − z0)n .

Teorema 5.3 Consideram domeniu complex D, functia f care este olomorfa peD si coroana

∆ = z ∈ D : R1 < |z − z0| < R2,


avand cercurile Γ1 si Γ2 ca frontiere.Daca ∆ = ∆∪Γ1 ∪Γ2 ⊂ D, atunci functia f admite o dezvoltare ın serie Laurentın jurul lui z0

f(z) =∞∑

n=−∞cn (z − z0)n , cn =

1

2πi

∫Γ

f(τ)

(τ − z0)n+1dτ,

unde Γ este un cerc avand z0 ca centru si raza R ∈ [R1, R2].

Demonstratie. Folosind formula lui Cauchy, avem

f(z) =1

2πi

∫Γ−1 ∪Γ2

f(τ)

τ − z0

dτ =1

2πi

∫Γ2

f(τ)

τ − z0

dτ −∫Γ1

f(τ)

τ − z0

dτ

, ∀z ∈ ∆. (5.2)

Consider, separat, raportul 1/(τ − z):

1

τ − z=

1

τ − z0 − (z−z0)=

1

τ − z0

1

1− q,

unde

q =z − z0

τ − z0

⇒ |q| = |z − z0||τ − z0|

=|z − z0|R2

< 1.

Atunci

1

τ − z=

1

τ − z0

[n∑k=0

(z − z0

τ − z0

)k+

1

1− z−z0τ−z0

(z − z0

τ − z0

)n+1]

=

=n∑k=0

(z − z0)k

(τ − z0)k+1+

1

τ − z

(z − z0

τ − z0

)n+1

.

De aceea,

1

2πi

∫Γ2

f(τ)

τ − zdτ =

n∑k=0

1

2πi(z − z0)k

∫Γ2

f(τ)

(τ − z0)k+1dz +Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2πi

∫Γ2

f(τ)

τ − z

(z − z0

τ − z0

)n+1

dτ.

Trecand la limita pentru n→∞, rezulta Rn(z)→ 0. De aceea

1

2πi

∫Γ2

f(τ)

τ − zdτ =

∞∑k=0

(z − z0)kck,


unde

ck =1

k!f (k)(z0).

Sa consideram ultimul termen din (5.2)

− 1

2πi

∫Γ1

f(τ)

τ − zdτ.

Consideram, separat, raportul −1/(τ − z):

− 1

τ − z=

1

z − τ=

1

z − z0 − (τ − z0)=

1

z − z0

1

1− q,

unde

q =τ − z0

z − z0

⇒ |q| = |τ − z0||z − z0|

=R1

z − z0

< 1.

Atunci

− 1

τ − z=

1

z − z0

[n∑k=1

(τ − z0

z − z0

)k−1

+(τ − z0

z − z0

)n]=

=n∑k=1

(τ − z0)k−1

(z − z0)k+

1

z − z0

(τ − z0

z − z0

)n.

De aceea,

− 1

2πi

∫Γ1

f(τ)

τ − zdτ =

n∑k=1

1

2πi

1

(z − z0)k

∫Γ1

f(τ)(τ − z0)k−1dz +Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2πi

∫Γ1

f(τ)

z − τ

(τ − z0

z − z0

)ndτ.

Trecand la limita pentru n→∞, rezulta Rn(z)→ 0. De aceea

− 1

2πi

∫Γ1

f(τ)

τ − zdτ =

∞∑k=1

1

(z − z0)k1

2πi

∫Γ1

f(τ)(τ − z0)k−1dz.

Asadar, scriem

− 1

2πi

∫Γ1

f(τ)

τ − zdτ =

−∞∑k=−1

(z − z0)kck,

unde

ck =1

2πi

∫Γ1

f(τ)

(τ − z0)k+1dτ.


Cu aceasta demonstratia teoremei este ınchisa.

Aplicatii. 1. Sa gasim seria Laurent pentru functia e1/z ın jurul punctuluiz0 = 0. Este un lucru bine stiut ca

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ ...+

xn

n!+ ...

astfel ıncat, substitutind x cu 1/z gasim

e1z = 1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ...+

1

n!

1

zn+ ...

Aceasta serie are un numar infinit de termeni ın partea sa principala si numai untermen ın partea sa regulata.2. Consideram functia

f(z) =z

(z − 2)(z + 1)3,

si intetionam sa rezolvam urmatoarele doua probleme:-i) Seria Laurent a functiei ın jurul punctului z0 = −1.-ii) Seria Laurent a functiei ın coroana |z + 1| > 3.

i). Putem sa scriem functia ın forma

f(z) =1

(z + 1)3g(z),

unde

g(z) =z

z − 2=z − 2 + 2

z − 2= 1 +

2

z − 2= 1 +

2

z + 1− 3= 1 +

2

3( z+13− 1)

=

= 1− 2

3

1

1− z+13

= 1− 2

3

[1 +

z + 1

3+(z + 1

3

)2

+(z + 1

3

)n+ ...

].

De aceea,

f(z) =1

(z + 1)3

[1− 2

3

(1 +

z + 1

3+

(z + 1)2

32+ ...+

(z + 1)n

3n+ ...

)]=

=1

3

1

(z + 1)3− 2

32

1

(z + 1)2− 2

33

1

z + 1− 2

34− 2

35(z + 1)− 2

36(z + 1)2 − ...

Este usor de vazut ca seria are un numar infinit de termeni in partea sa regulatasi un numar finit (trei) ın partea sa principala.ii). Putem sa scriem functia ın forma

f(z) =1

(z + 1)3g(z),


unde

g(z) =z

z − 2=z − 2 + 2

z − 2= 1 +

2

z + 1− 3== 1 +

2

(z + 1)(1− 3z+1

)=

= 1 +2

z + 1

1

1− 3z+1

= 1 +2

z + 1

[1 +

3

z + 1+(

3

z + 1

)2

+(

3

z + 1

)n+ ...

].

De aceea,

f(z) =1

(z + 1)3+

2

(z + 1)4+

2.3

(z + 1)5+

2.33

(z + 1)6+ ...

Se observa ca seria are un numar infinit de termeni in partea sa principala si niciun termen ın partea sa regulata.

Definitia 5.5 Daca o functie complexa are un punct singular si aceasta nu esteun pol atunci el este numit punct singular esential.

Teorema 5.4 Punctul z0 este un pol de ordinul p pentru functia complexa f dacasi numai daca seria Laurent a functiei f ın jurul punctului z0 are forma

f(z) =c−p

(z − z0)p+

c−p+1

(z − z0)p−1+ ...+ c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + ... (5.3)

unde cp 6= 0.

Demonstratie. Suficienta. Daca presupunem ca seria Laurent a functiei f ınjurul lui z0 are forma (5.3), atunci va trebui sa demonstram ca z0 este un pol deordinul p. De aceea, va trebui sa gasim o functie complexa olomorfa ϕ, ϕ(z0) 6= 0astfel ıncat

f(z) =1

(z − z0)pϕ(z).

Pentru aceasta, definim functia ϕ prin

ϕ(z) = cp + c−p+1 (z − z0) + c−p+2 (z − z0)2 + ...+ c0 (z − z0)p + c1 (z − z0)p+1 .

Este clar, fiind un polinom, ϕ este o functie olomorfa. De asemenea, este usor devazut ca ϕ(z0) = cp 6= 0. Prin calcul direct obtinem ca

1

(z − z0)pϕ(z) = f(z).


Necesitatea. Presupunem ca z0 este un pol de ordinul p. Atunci exista o functieolomorfa ϕ astfel ıncat ϕ(z0) 6= 0 si

f(z) =1

(z − z0)pϕ(z).

Fiind o functie olomorfa, ϕ poate fi dezvoltata ın serie Taylor ın jurul lui z0:

ϕ(z) = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + ...+ an(z − z0)n + ...

unde ϕ(z0) = a0 6= 0. Inmultind ambii membri din egalitatea precedenta cu

1/(z − z0)p

obtinem

f(z) =a0

(z − z0)p+

a1

(z − z0)p−1+ ...+ ap + ap+1(z − z0) + ap+2 + (z − z0)2 + ...


Observatie. Folosind aceasta teorema putem spune ca un punct singular esteun pol pentru o functie f daca seria Laurent pentru f are un numar finit de ter-meni ın partea sa principala.Este clar , daca seria Laurent a functiei f , ın jurul lui z0, are un numar infinitde termeni ın partea sa principala, deducem ca z0 este un punct singular esentialpentru f . De exemplu, ıntr-o aplicatie anterioara, am demonstrat ca seria Laurenta functiei f(z) = e1/z, ın jurul lui z0 = 0, are un numar infinit de termeni, astfelıncat z0 = 0 este punct singular esential pentru f .

Definitia 5.6 Daca toate punctele singulare ale unei functii f sunt poli atuncifunctia f este numita functie meromofa.

Folosind definitia unei functii meromorfe, cititorul poate demonstra proprietatileincluse ın urmatoarea propozitie.

Propozitia 5.1 Sunt adevarate urmatoarele afirmatii:-1) O functie meromorfa pe un domeniu marginit are numai un numar finit de

poli.-2) Suma, produsul si catul a doua functii meromore sunt de asemenea functii

meromorfe.

In urmatoarele doua teoreme se demonstreaza doua rezultate cu privire la o functieıntreaga si punctul z0 =∞.


Teorema 5.5 O functie ıntreaga f are ın punctul z0 = ∞ un punct singularesential daca si numai daca functia f nu este un polinom.

Demonstratie. Scriem seria Taylor ın jurul originii z0 = 0, pentru |z| < R, underaza R este mare:

f(z) = c0 + c1z + c2z2 + ...+ cnz

n + ...

Definim functia ϕ prin

ϕ(τ) = f(1

τ= c0 +

c1

τ+c2

τ 2+ ...+

cnτn

+ ...

Atunci punctul z0 =∞ este un punct singular esential al functiei f daca punctulτ = 0 este un punct singular esential al functiei ϕ si acest fapt este posibil daca sinumai daca seria Laurent a functiei ϕ are ın partea sa principala un numar finitde termeni, adica f nu este un polinom si teorema este demonstrata.

Teorema 5.6 Daca o functie ıntreaga f are punctul z0 = ∞ ca punct ordinar,atunci functia f este o constanta.

Demonstratie. Daca functia f are punctul z0 = ∞ ca punct ordinar, atuncifunctia ϕ(τ) = f(1/τ) are punctul τ0 = 0 ca punct ordinar. Atunci partea princi-pala a seriei Laurent pentru ϕ nu are nici un termen. Dar

ϕ(τ) = c0 +c1

τ+c2

τ 2+ ...+

c1

τ+ ...

Atuncicn = 0, ∀n > 1⇒ ϕ(τ) = c0 ⇒ f(z) = c0.

si teorema este demonstrata.Rezultatul care urmeaza este numit Teorema fundamentala a Algebrei si este da-torat lui D′Alembert si Gauss.

Teorema 5.7 (D′Alembert-Gauss) Orice polinom de gradul n ≥ 1 are cel putin oradacina complexa.

Demonstratie. Daca presupunem, prin reducere la absurd, ca P (z) 6= 0, ∀z ∈ C,atunci functia

f(z) =1

P (z)


este o functie ıntreaga care are punctul z0 = ∞ ca un punct ordinar. De aceea,funtia f se reduce la o constanta si, ca o consecinta, polinomul P se reduce lao constanta, ceea ce contrazice presupunerea ca gradul lui P este n ≥ 1. Astfelteorema este demonstrata.

Definitia 5.7 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa f : D → C sia ∈ C un pol sau un punct singular esential al functiei f . Consideram discul∆(a,R) avand ca frontiera cercul Γ(a,R), cu raza R astfel ıncat ∆ \ a ⊂ D,unde ∆ = ∆ ∪ Γ.Atunci valoarea integralei

1

2πi

∫Γ

f(z)dz

este numita reziduul functiei f ın punctul a si este notat cu

rez(f, a) =1

2πi

∫Γ

f(z)dz

Teorema 5.8 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa f : D → C sia ∈ C un punct singular izolat al functiei f . Pentru a calcula reziduul functiei fın punctul a avem urmatoarele trei posibilitati:

-1) daca scriem seria Laurent a functiei f ın jurul lui a

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − a)n,

atunci rez(f, a) = c−1.-2) daca a este un pol de ordinul p al functiei f , atunci

rez(f, a) =1

(p− 1)!ϕ(p−1)(a), ϕ(z) =

(z − a)pf(z), daca z ∈ D \ alimz→a

(z − a)pf(z), daca z = a

-3) daca a este un pol de ordinul ıntai (numit pol simplu) al functiei f careeste catul a doua functii f = g/h, cu alte cuvinte, a este un punct ordinar pentrug si h si, ın plus, h(a) 6= 0. Atunci reziduul poate fi calculat cu formula

rez(f, a) =g(a)

h′(a).

Demonstratie 1. Este evident faptul ca formula propusa la punctul 1 este val-abila atat ın cazul cand a este un pol cat si ın cazul cand a este punct singularesential. Scriem seria Laurent a functiei f ın jurul punctului a

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − a)n, cn =

1

2πi

∫Γ

f(z)

(z − a)n+1dz


In baza definitiei 5.7, obtinem

rez(f, a) = c−1 =1

2πi

∫Γ

f(z)dz.

2. Daca a este un pol de ordinul p, atunci exista functia olomorfa ϕ cu ϕ(a) 6= 0astfel ıncat

f(z) =1

(z − a)pϕ(z)⇒ 1

2πi

∫Γ

f(z)dz =1

2πi

∫Γ

1

(z − a)pϕ(z)dz.

Acum folosim formula lui Cauchy pentru derivata

1

2πi

∫Γ

ϕ(z)

(z − a)pdz =

1

(p− 1)!

(p− 1)!

2πi

∫Γ

ϕ(z)

(z − a)pdz =

1

(p− 1)!ϕ(p−1)(a).

3. Deoarece g si h sunt functii olomorfe, putem sa scriem seria Taylor ın jurul luia astfel ıncat

f(z) =c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2 + ...

d0 + d1(z − a) + d2(z − a)2 + ...

Deoarece a este un pol pentru f avem h(a) = 0 si atunci d0 = 0. Astfel

f(z) =c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2 + ...

d1(z − a) + d2(z − a)2 + ...⇒

⇒ limz→a

(z − a)f(z) = limz→a

c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2 + ...

d1 + d2(z − a) + d3(z − a)2 + ...=c0

d1

=g(a)

h′(a).

astfel ıncat demonstratia teoremei este ıncheiata.

Aplicatii. 1. Sa calculam reziduurile ın punctele a = 2 si a = −1 pentrufunctia

f(z) =z

(z − 2)(z + 1)3.

Deoarece a = 2 este pol simplu, avem

rez(f, 2) = limz→2

(z − 2)f(z) = limz→2

z

(z + 1)3=

2

27.

Deoarece a = −1 este un pol de ordinul trei, avem

rez(f,−1) = limz→−1

1

2!

((z − 1)3f(z)

)′′= lim

z→−1

1

2!

(z

z − 2

)′′= − 2

27


2. Sa calculam reziduu ın punctul a = 0 pentru functia

f(z) = zke1z

Deoarece a = 0 este un punct singular esential pentru functia data, trebuie sascriem seria sa Laurent:

e1z = 1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ...+

1

k!

1

zk+

1

(k + 1)!

1

zk+1+ ...

f(z) = zk +1

1!zk−1 +

1

2!zk−2 + ...+

1

k!+

1

(k + 1)!

1

z+ ...

Atunci pentru reziduu obtinem

rez(f, 0) = c−1 =1

(k + 1)!.

Urmatorul rezultat, numit teorema reziduurilor, este un rezultat fundamental ınteoria functiilor complexe.

Teorema 5.9 Fie ∆ un domeniu marginit de frontiera Γ care este o curba simpla,ınchisa si neteda. Consideram o functie f care are un numar finit de punctesingulare (poli sau puncte singulare esentiale) S = a1, a2, ..., an. Daca functia feste olomorfa pe un domeniu D astfel ıncat ∆ \ S ⊂ D, ∆ = ∆ ∪ Γ, atunci

∫Γ

f(z)dz = 2πin∑k=1

rez(f, ak).

Demonstratie. In jurul punctelor ak, consideram discurile δk avand ca frontierecercurile γk astfel ıncat δk ∪ γk = δk sunt disjuncte. Deoarece f este o functieolomorfa pe

∆ \n⋃k=1

δk

avem ∫Γ

f(z)dz +n∑k=1

∫γ−k

f(z)dz = 0⇒∫Γ

f(z)dz =n∑k=1

∫γk

f(z)dz.

Dar, prin definitie, avem

rez(f, ak) =1

2πi

∫Γ

f(z)dz.


De aceea, ∫Γ

f(z)dz = 2πin∑k=1

rez(f, ak)

si teorema este demonstrata.Este posibil ca o functie f sa aiba un numar mare de puncte singulare si atunci vatrebui sa calculam un numar mare de reziduuri. Pentru a evita aceasta introducemreziduul functiei f ın punctul de la infinit, z0 =∞.

Definitia 5.8 Fie f o functie monogena ın toate punctele situate ın exterioruldiscului ∆(0, R0) astfel ıncat punctul z0 = ∞ este un punct ordinar al lui f , saupol izolat sau punct singular esential. Numarul notat cu rez(f,∞) si definit prin

rez(f,∞) = − 1

2πi

∫Γ

f(z)dz

este numit reziduul functiei f ın punctul de la infinit. Aici Γ este un cerc avandoriginea ca centru si raza R astfel ıncat R > R0.

Daca scriem seria Laurent a functiei f ın coroana R0 < |z| < R1, unde R1 estesuficient de mare

f(z) =∞∑−∞

cnzn, cn =

1

2πi

∫Γ

f(z)

zn+1dz,

atunci reziduul functiei f la infinit este rez(f,∞) = −c−1.

Teorema 5.10 Fie E o multime complexa si functia f : E → C care are unnumar finit de puncte singulare. Atunci suma tuturor reziduurilor functiei f esteegala cu zero:

rez(f,∞) +n∑k=1

rez(f, ak) = 0

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f .

Demonstratie. Consideram discul ∆ avand originea ca centru si razaR0, suficientde mare astfel ıncat ∆ sa includa toate punctele singulare ale functiei f . Dacacercul Γ este frontiera lui ∆, folosind teorema reziduurilor, avem

1

2πi

∫Γ

f(z)dz =n∑k=1

rez(f, ak).

Dar

− 1

2πi

∫Γ

f(z)dz = rez(f,∞).


De aceea,

−rez(f,∞) =n∑k=1

rez(f, ak)⇒ rez(f,∞) +n∑k=1

rez(f, ak) = 0.

si teorema este demonstrata.In cele ce urmeza, vom folosi unele proceduri pentru a calcula unele integrale realeimproprii cu ajutorul reziduurilor.Mai ıntai, demonstram doua rezultate auxiliare, incluse ın urmatoarele propozitiidatorate lui Jordan.

Propozitia 5.2 (Jordan) Fie AB un arc de cerc situat pe cercul |z| = R astfelıncat α ≤ argz ≤ β. Daca

lim|z|→∞

zf(z) = k, k = constanta,

atuncilim|z|→∞

∫AB

f(z)dz = i(β − α)k.

Demonstratie. Putem sa scriem zf(z) = k + ϕ(z), unde ϕ are proprietatea ca∀ε > 0. Avem |ϕ(z)| < ε, pentru |z| → ∞, adica ϕ(z)→ 0, pentru |z| → ∞. Dacascriem

f(z) =k

z+ϕ(z)

z,

atunci ∫AB

f(z)dz =∫AB

k

zdz +

∫AB

ϕ(z)

zdz.

Folosind coordonatele polare, obtinem

∫AB

f(z)dz =

β∫α

k

ReiθiReiθdθ +

β∫α

ϕ(Reiθ)

ReiθiReiθdθ =

= ik(β − α) + i

β∫α

ϕ(Reiθ)dθ.

De aceea,∣∣∣∣∣∣∫AB

f(z)dz − ik(β − α)

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣β∫α

ϕ(Reiθ)dθ

∣∣∣∣∣∣∣ ≤β∫α

ϕ(Reiθ)dθ < ε(β − α),

si astfel propozitia este demonstrata.


Propozitia 5.3 (Jordan) Fie AB un arc de cerc situat pe cercul |z−a| = r astfelıncat α ≤ argz ≤ β. Daca

lim|z|→a

(z − a)f(z) = k, k = constanta,

atuncilim|z|→a

∫AB

f(z)dz = i(β − α)k.

Demonstratie. Putem sa scriem zf(z) = k + ϕ(z), unde functia ϕ are propri-etatea ca ∀ε > 0. Avem |ϕ(z)| < ε, pentru |z| → a, adica ϕ(z) → 0, pentru|z| → a. Daca scriem

f(z) =k

z − a+ϕ(z)

z − a,

atunci ∫AB

f(z)dz =∫AB

k

z − adz +

∫AB

ϕ(z)

z − adz.

Folosind coordonatele polare, z = a+ reiθ, obtinem

∫AB

f(z)dz =

β∫α

k

reiθireiθdθ +

β∫α

ϕ(r + aeiθ)

reiθireiθdθ =

= ik(β − α) + i

β∫α

ϕ(a+ reiθ)dθ.

De aceea,∣∣∣∣∣∣∫AB

f(z)dz − ik(β − α)

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣β∫α

ϕ(a+ reiθ)dθ

∣∣∣∣∣∣∣ ≤β∫α

ϕ(a+ reiθ)dθ < ε(β − α).

Astfel, propozitia este demonstrata.

In ultima parte a acestui capitol vom aborda cateva integrale reale impropriicare pot fi calculate folosind rezultatele din cele doua propozitii anterioare si teo-rema reziduurilor.

I. Consideram o integrala de forma

α+2π∫α

R(cos θ, sin θ)dθ.


Folosind substitutia

z = eiθ, θ ∈ [α, α + 2π]

deducem ca z apartine cercului Γ avand originea ca centru. De asemenea,

cos θ =1

2

(z +

1

z

), sin θ =

1

2i

(z − 1

z

), dz = ieiθdθ ⇒ dθ =

dz

iz.

Integrala data devine∫Γ

1

izR[1

2

(z +

1

z

),

1

2i

(z +

1

z

)]dz = 2πi

∑k

rez(R1, ak),

unde functia R1 este

R1(z) =1

izR(z)

si ak sunt punctele singulare ale aceastei functi.


I1 =

π∫−π

1 + 2 cos θ

5 + 4 sin θdθ.

Folosind procedura expusa mai sus, avem

I1 =∫γ

1

iz

1 + z + 1/z

5 + (z − 1/z)2/i=∫γ

(z2 + z + 1) iz

iz2(5iz + 2z2 − 2)dz =

=∫γ

z2 + z + 1

z(2z2 + 5iz − 2)dz = 2πi

[rez(f, 0) + rez(f,− i

2)].

II. Consideram o integrala de forma

I2 =

∞∫−∞

R(x)dx, R(x) =P (x)

Q(x),

unde P (x) si Q(x) sunt polinoame astfel ıncat Q(x) 6= 0, ∀x ∈ R si1+grad(P ) <grad(Q). Cu scopul de a gasi valoarea lui I2, scriem

I2 = limR→∞

R∫−R

R(x)dx.


Folosim domeniul marginit de curba determinata de semi-cercul superior Γ avandoriginea ca centru si raza egala cu R ımpreuna cu segmentul [−R,R] si integrampe aceasta curba functia f(z) = R(z):

∫Γ

R(z)dz +

R∫−R

R(x)dx = 2πi∑k

rez(f, ak), (5.4)

unde ak sunt punctele singulare al functiei f situate ın semi-planul superior y =Im(z) > 0.Folosind ipotezele si prima propozitie a lui Jordan, obtinem

zf(z) =zP (z)

Q(z)⇒ lim

R→∞zf(z) = lim

R→∞

zP (z)

Q(z)= 0.

Trecand la limita ın (5.4) pentru R→∞, obtinem∫ΓR(z)dz → 0 astfel ıncat (5.4)

se reduce la

I2 =

∞∫−∞

R(x)dx = 2πi∑k

rez(f, ak)


I2 =

∞∫−∞

x2

1 + x4dx.

Folosind rezultatul teoretic de mai sus, deducem ca

∞∫−∞

x2

1 + x4dx = 2πi [rez(f, z1) + rez(f, z2)] ,

unde z1 si z2 sunt radacinile ecuatiei

z4 + 1 = 0

avand Im(z) > 0, adica

z1 = eiπ/4, z2 = ei(π/4+π/2).

III. Consideram o integrala de forma

I3 =

∞∫0

xαR(x)dx, α ∈ (−1) ∪ (0, 1), R(x) =P (x)

Q(x),


unde P (x) si Q(x) sunt doua polinoame care satisfac conditiile

Q(x) 6= 0, ∀x ∈ [0,∞) si 1 + α + grad(P ) < grad(Q).

Pentru a gasi valoarea integralei I3 scriem

I2 = limr→0R→∞

R∫r

xαR(x)dx.

Vom folosi coroana marginita de cercul Γ avand originea ca centru si raza egalacu R si cercul γ avand originea ca centru si raza egala cu r. Facem o taietura ınaceasta coroana de-a lungul axei Ox si integram pe acest domeniu functia

f(z) = zαR(z) :

R∫r

xαR(x)dx+∫Γ

zαR(z)dz + e2πiα

r∫R

xαR(x)dx+

+∫γ

zαR(z)dz = 2πi∑k

rez(f, ak), (5.5)

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f .Folosind ipotezele si propozitiile lui Jordan, obtinem

limR→∞

zf(z) = limR→∞

z1+αP (z)

Q(z)= 0⇒ lim

R→∞

∫Γ

zαR(z)dz = 0,

limr→0

zf(z) = limr→0

z1+αP (z)

Q(z)= 0⇒ lim

r→0

∫γ

zαR(z)dz = 0.

Luand ın consideratie aceste rezultate, prin trecere la limita ın (5.5) pentru R→∞si r → 0 deducem ca (5.5) se reduce la

(1− e2πiα

) ∞∫0

xαR(x)dx = 2πi∑k

rez(f, ak).


I3 =

∞∫0

√x

1 + x3dx.


Aici α = 1/2 si, folosind rezultatul expus mai sus, deducem ca

I3 =2πi

1− eπi[rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] ,

unde z1, z2 si z3 sunt radacinile ecuatiei z3 + 1 = 0.

IV. Consideram o integrala de forma

I4 =

∞∫0

xαR(x) ln(x)dx, α ∈ (−1) ∪ (0, 1), R(x) =P (x)

Q(x),

unde P (x) si Q(x) sunt doua polinoame care satisfac conditiile

Q(x) 6= 0 ,∀x ∈ [0,∞) si 1 + α + grad(P ) < grad(Q).

Pentru a gasi valoarea lui I4 scriem

I4 = limr→0R→∞

R∫r

xαR(x) ln(x)dx.

Vom folosi coroana marginita de cercul Γ avand originea ca centru si raza egalacu R si cercul γ avand originea ca centru si raza egala cu r. Facem o taietura ınaceasta coroana de-a lungul axei Ox si integram pe acest domeniu functia

f(z) = zαR(z) ln(z) :

R∫r

xαR(x) ln(x)dx+∫Γ

zαR(z) ln(z)dz + e2πiα

r∫R

xαR(x)[ln(x) + 2πi]dx+

+∫γ

zαR(z) ln(z)dz = 2πi∑k

rez(f, ak), (5.6)

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f .Folosind ipotezele si rezultatele lui Jordan, obtinem

limR→∞

zf(z) = limR→∞

z1+αP (z)

Q(z)ln(z) = 0⇒ lim

R→∞

∫Γ

zαR(z) ln(z)dz = 0,

limr→0

zf(z) = limr→0

z1+αP (z)

Q(z)ln(z) = 0⇒ lim

r→0

∫γ

zαR(z) ln(z)dz = 0.


Luand ın consideratie aceste rezultate, prin trecere la limita ın (5.6) pentru R→∞si r → 0, deducem ca (5.6) se reduce la

(1− e2πiα

) ∞∫0

xαR(x) ln(x)dx− 2πi

∞∫0

xαR(x)dx = 2πi∑k

rez(f, ak),

unde f(z) = zαR(z) ln(z).


I4 =

∞∫0

lnx√x(x2 + a2)

dx, a > 0

Aici α = −1/2 si f este functia

f(z) =ln z√

z(z2 + a2).

Folosind rezultatul teoretic de mai sus, deducem ca

(1− e−πi

) ∞∫0

lnx√x(x2 + a2)

dx− 2πie−πi∞∫0

1√x(x2 + a2)

dx =

= 2πi [rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] .

Integrala

J =

∞∫0

1√x(x2 + a2)

dx

poate fi calculata utilizand procedura expusa ın cazul integralei I3 de mai sus,folosind functia

g(z) =1√

z(z2 + a2)

astfel ıncat obtinem

J =2πi

1− e−πi[rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] .

Capitolul 2

Functii speciale

2.1 Functiile lui Euler

Functia lui Euler de speta ıntai Γ

Definitia 1.1 Consideram semiplanul ∆0 = z ∈ C, z = x+ iy : x > 0.Functia complexa Γ : ∆0 → C definita prin

Γ(z) =

∞∫0

tz−1e−tdt,

este numita functia lui Euler de speta ıntai.

Observatie. Deoarece functia lui Euler de speta ıntai este definita prin inter-mediul unei integrale impropri, va trebui, ınainte de toate, sa demonstram caacesta functie este bine definita. Asta ınseamna ca integrala improprie prin carese defineste functia lui Euler, este convergenta. Acest rezultat si principalele pro-prietati ale functiei Γ sunt incluse ın teorema urmatoare.

Teorema 1.1 Functia Γ satisface urmatoarele proprietati:-1) Γ este bine definita, adica∣∣∣∣∣∣

∞∫0

tz−1e−tdt

∣∣∣∣∣∣ <∞;

-2) Γ este o functie olomorfa pe semi-planul ∆0;-3) Γ(z + 1)=zΓ(z),∀z ∈ ∆0. Ca o consecinta, avem Γ(n+ 1)=n!,∀n ∈ N .

57

58 CAPITOLUL 2. FUNCTII SPECIALE

Demonstratie.1) Vom folosi bine cunoscuta formula

uv = ev lnu.

De aceea,tz−1 = e(z−1) ln t = e(x−1) ln t+iy ln t =

= e(x−1) ln t [cos(y ln t) + i sin(y ln t)] .

Atunci obtinem ∣∣∣tz−1∣∣∣ = e(x−1) ln t = tx−1.

De aceea ∣∣∣∣∣∣∞∫0

tz−1e−tdt

∣∣∣∣∣∣ ≤∞∫0

∣∣∣tz−1∣∣∣ ∣∣∣e−t∣∣∣ dt =

=

∞∫0

tx−1e−tdt =

1∫0

tx−1e−tdt+

∞∫1

tx−1e−tdt = I1 + I2.

Pentru integrala I1 avem:

0 < t < 1⇒ 0 > −t > −1⇒ e−t < 1⇒ tx−1e−t < tx−1 ⇒

⇒ I1 ≤∫ 1

0tx−1dt =

tx

x

∣∣∣∣10

=1

x<∞.

Facem acum unele estimari pentru integrala I2. Dupa cum stim

et = 1 +t

1!+t2

2!+ ...+

tm

m!+ ...

Daca alegem m > x, obtinem:

et ≥ tm

m!⇒ e−t ≤ m!

tm,

astfel incat deducem:

I2 ≤∞∫1

tx−1m!

tmdt = m!

∞∫1

tx−m−1dt =

= m!tx−m

x−m

∣∣∣∣∣∞

1

=m!

m− x<∞.

In final, obtinem

|Γ(z)| ≤ I1 + I2 ≤1

x+

m!

m− x<∞.

2.1. FUNCTIILE LUI EULER 59

-2) Scriem Γ ın forma uzuala a unei functi complexe Γ(z) = u(x, y) + iv(x, y)si verificam conditiile Cauchy-Riemann

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x,

Folosind formula lui Euler pentru ez, adica:

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y),

vom deduce ca:

Γ(z) =

∞∫0

tx−1e−t [cos(y ln t) + i sin(y ln t)] dt =

=

∞∫0

tx−1e−t cos(y ln t)dt+ i

∞∫0

tx−1e−t sin(y ln t)dt = u(x, y) + iv(x, y).

Atunci

∂u

∂x=

∞∫0

tx−1 ln te−t cos(y ln t)dt,∂v

∂y=

∞∫0

tx−1 ln te−t cos(y ln t)dt,

astfel ıncat∂u

∂x=∂v

∂y.

In aceiasi maniera putem verifica a doua conditie Cauchy-Riemann.-3) Substituind z prin z + 1 obtinem

Γ(z + 1) =

∞∫0

tze−tdt,

astfel ıncat, integrand prin parti, rezulta

Γ(z + 1) = −tze−t∣∣∣∞0

+

∞∫0

ztz−1e−tdt = z

∞∫0

tz−1e−tdt = zΓ(z),

deoarece limt→∞

tz/et = 0.

In cazul particular z = n ∈ N avem

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = ... = n!Γ(1).


Folosind definitia, avem

Γ(1) =

∞∫0

t0e−tdt =

∞∫0

e−tdt = −e−t∣∣∣∞0

= 1


Functia lui Euler de speta a doua β

Definitia 1.2 Fie p, q doua numere complexe astfel ıncat Re(p) > 0 si Re(q) > 0,adica p, q ∈ ∆0 (vezi definitia anterioara a lui ∆0). Functia β : ∆0 × ∆0 → Cdefinita prin

β(p, q) =

1∫0

tp−1(1− t)q−1dt,

este numita functia lui Euler de speta a doua.

In teorema urmatoare demonstram principalele proprietati ale functiei β precumsi legatura dintre functiile β si Γ.

Teorema 1.2 Functia β satisface urmatoarele proprietati:-1) β(p, q) = β(q, p);-2) pβ(p, q + 1) = qβ(p+ 1, q);-3) β(p, q)Γ(p+ q) = Γ(p)Γ(q).

Demonstratie.

-1) Este usor sa demonstram aceasta proprietate de comutativitate cu ajutorulsubstitutiei 1− t = τ .

-2) Prin calcul direct obtinem

pβ(p, q + 1) = p

1∫0

tp−1(1− t)qdt =

1∫0

(tp)′ (1− t)qdt =

= tp (1− t)q|10 +

1∫0

qtp(1− t)q−1dt = qβ(p+ 1, q).

-3) Incepem folosind termenul din membrul drept

Γ(p)Γ(q) =

∞∫0

yp−1e−ydy

∞∫0

xq−1e−xdx =


=

∞∫0

∞∫0

yp−1e−yxq−1e−xdxdy.

In ultima integrala schimbam variabilele:x = u2 ⇒ dx = 2udu. Pentru x = 0⇒ u = 0 si pentru x =∞⇒ u =∞y = v2 ⇒ dx = 2vdv. Pentru y = 0⇒ v = 0 si pentru y =∞⇒ v =∞.Asadar, ultima integrala devine

Γ(p)Γ(q) =

∞∫0

(u2)p−1

e−u2

2udu

∞∫0

(v2)q−1

e−v2

2vdv =

= 4

∞∫0

∞∫0

e−(u2+v2)u2p−1v2q−1dudv.

Acum, folosim coordonatele polareu = % cos θ, 0 ≤ θ ≤ π

2

v = % sin θ, 0 ≤ % <∞ ⇒ D(u, v)

D(%, θ)= %.

Atunci integrala devine

Γ(p)Γ(q) == 4

∞∫0

π/2∫0

e−%2

%2p−1(cos θ)2p−1%2q−1(sin θ)2q−1%dθd% = 4 (I1.I2) .

Folosind noua variabila a definita prin a = %2 ⇒ da = 2%d%, integrala I1 devine

I1 =1

2

∞∫0

e−aap+q−1da =1

2Γ(p+ q).

Introducem o noua variabila b definita prin b = cos2 θ ⇒ db = −2 sin θ cos θdθ.Asadar, pentru θ = 0 ⇒ b = 1 si pentru θ = π/2 ⇒ b = 0. Atunci integrala I2

devine

I2 =

0∫1

bp

cos θ

(1− b)q

sin θ

db

−2 cos θ sin θ=

1

2

1∫0

bp(1− b)q

cos2 θ sin2 θdb =

=1

2

1∫0

bp(1− b)q

b(1− b)db =

1

2

1∫0

bp−1(1− b)q−1db =1

2β(p, q).

Inmultind integralele I1 si I1 obtinem

Γ(p)Γ(q) = 41

2Γ(p+ q)

1

2β(p, q)⇒


⇒ β(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q),

astfel ıncat teorema este demonstrata.Aplicatie. Sa calculam integrala

I =

b∫a

1√(b− x)(x− a)

dx

Introducem o variabila noua t prin

b− x|ba = (b− a)t|01 ⇒ dx = (a− b)dt, x− a = (b− a)(1− t).

Atunci integrala devine

I =

0∫1

a− b√t(1− t)(b− a)

dt =

1∫0

1√t(1− t)

dt = β(

1

2,1

2

)= π.

Demonstram acum un rezultat foarte important care este cunoscut ca formulacomplementelor si care este foarte util ın multe aplicatii.

Teorema 1.3 Pentru p 6∈ Z, functia Γ(p) satisface urmatoarea relatie:

Γ(p)Γ(1− p) =π

sin pπ.

Demonstratie. Folosind al treilea punct teorema 1.2, obtinem

Γ(p)Γ(1− p) = Γ(p+ 1− p)β(p, 1− p) = Γ(1)β(p, 1− p) =

=

1∫0

xp−1(1− x)−pdx =

1∫0

xp−1

(1− x)pdx =

1∫0

(x

1− x

)p 1

xdx.

Introducem acum variabila y prin

x

1− x

∣∣∣∣10

= y|∞0 ⇒ x =y

1 + y⇒ dx =

y

(1 + y)2dy.

Atunci pentru produsul Γ(p)Γ(1− p) gasim forma

Γ(p)Γ(1− p) =

∞∫0

yp1 + y

y

1

(1 + y)2dy =

∞∫0

yp−1

1 + ydy.


Acum, folosim teorema reziduurilor pentru a calcula aceasta integrala. Dupa cumdeja stim,

I =

∞∫0

yp−1

1 + ydy =

2πi

1− e2pπirez(f,−1), unde f(z) =

zp−1

1 + z⇒

⇒ rez(f,−1) = (−1)p−1 ⇒ I =(−1)p−12πi

1− e2pπi=

(−1)p2πi

e2pπi − 1.

Dar, folosind formula pentru uv si definitia functiei logaritmice complexe, avem

(−1)p = ep ln(−1) = ep(ln 1+πi) = epπi.

In final, obtinem

Γ(p)Γ(1− p) =epπi2πi

e2pπi − 1=

2πi

epπi − e−pπi=

2πi

2i sin pπ=

π

sin pπ.

Demonstratia teoremei este ınchisa.Aplicatie. Folosind formula complementelor, putem calcula Γ(1/2). Intr-adevar,

z =1

2⇒ Γ2

(1

2

)= π ⇒ Γ

(1

2

)=√π.

Pe de alta parte, daca extindem proprietatea Γ(1 + n) = n!, obtinem(1

2

)! = Γ

(1 +

1

2

)=

1

2Γ(

1

2

)=

1

2

√π ⇒

(1

2

)! =

√π

2.

In finalul acestui paragraf indicam o noua forma pentru functia lui Euler de spetaa doua.

Teorema 1.4 Functia β(p, q) poate fi scrisa ın forma

β(p, q) =

∞∫0

xp−1

(1 + x)p+qdx =

∞∫0

xq−1

(1 + x)p+qdx.

Demonstratie. Vom folosi definitia functiei β(p, q)

β(p, q) =

1∫0

tp−1(1− t)q−1dt,

si introducem o variabila noua x prin

t

1− t

∣∣∣∣10

= x|∞0 ⇒ t =x

1 + x⇒ dt =

1

(1 + x)2dx.


Atunci functia β(p, q) devine

β(p, q) =

∞∫0

(x

1 + x

)p−1 (1− x

1 + x

)q−1 1

(1 + x)2dx =

=

∞∫0

xp−1

(1 + x)p−1

1

(1 + x)q−1

1

(1 + x)2dx =

∞∫0

xp−1

(1 + x)p+qdx.

In felul acesta, teorema este demonstrata.Aplicatie. Ca o aplicatie a ultimei teoreme, calculam urmatoare integrala

I =

∞∫0

4√x

(1 + x)2dx.

Este usor de vazut ca putem sa scriem integrala ın forma

I =

∞∫0

x1/4

(1 + x)2dx =

∞∫0

x5/4−1

(1 + x)5/4+3/4dx = β

(5

4,3

4

).

Acum, folosim legatura dintre functiile Γ si β, apoi formula complementelor

β(

5

4,3

4

)=

Γ(54)Γ(3

4)

Γ(2)= Γ(

1

4+ 1)Γ(1− 1

4) =

=1

4Γ(

1

4)Γ(1− 1

4) =

1

4

π

sin π/4=π√

2

4.

2.2 Functiile Bessel

Consideram ecuatia diferentiala

x2y′′ + xy′ +(x2 − p2

)y = 0, (2.1)

unde functia necunoscuta este y de variabila x, y = y(x). De asemenea, p este unparametru complex. Aceasta ecuatie este numita ecuatia lui Bessel.

2.2. FUNCTIILE BESSEL 65

Definitia 2.1 Prin definitie, solutiile ecuatiei diferentiale (2.1) se numesc functiileBessel si sunt notate cu Jp(x) si J−p(x).

Intentionam, ın teorema urmatoare, sa dam o forma explicita solutiilor ecuatiei(2.1), adica functiilor Bessel.

Teorema 2.1 Functiile Jp(x) si J−p(x) au urmatoarele forme polinomiale:

Jp(x) =(x

2

)p ∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m+ p+ 1)

(x

2

)2m

,

J−p(x) =(x

2

)−p ∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m− p+ 1)

(x

2

)2m

,

unde Γ este functia lui Euler de speta ıntai.

Demonstratie. Cautam solutia ecuatiei (2.1) ın forma unui polinom infinit

y(x) = xr∞∑k=0

Ckxk (2.2)

Trebuie sa gasim constanta r si coeficientii Ck astfel ıncat functia y(x) din (2.2)sa verifice ecuatia (2.1). Prin calcul direct, obtinem

y(x) =∞∑k=0

Ckxk+r ⇒ y′(x) =

∞∑k=0

(k + r)Ckxk+r−1 ⇒

⇒ y′′(x) =∞∑k=0

(k + r)(k + r − 1)Ckxk+r−2.

Daca introducem aceste derivate ın ecuatia Bessel, rezulta

xr[ ∞∑k=0

(k+r)(k+r−1)Ckxk+

∞∑k=0

(k+r)Ckxk+

∞∑k=0

Ckxk+2−p2

∞∑k=0

Ckxk+1

]=0.

Asadar, putem sa scriem∞∑k=0

[(k + r)(k + r − 1) + (k + r)− p2

]Ckx

k = −∞∑k=0

Ckxk+2.

Prin identificarea coeficientilor, rezulta

k = 0⇒[r(r − 1)− p2

]C0 = 0⇒ r = ±p

k = 1⇒[(r + 1)r + r + 1− p2

]C1 = 0⇒

[(r + 1)2 − p2

]C1 = 0⇒ C1 = 0

k = 2⇒[(r + 2)(r + 1) + r + 2− p2

]C2 = −C0 ⇒

⇒[(r + 2)2 − p2

]C2 = −C0 ⇒ 1.4(r + 1)C2 = −C0

k = 3⇒[(r + 3)(r + 2) + r + 3− p2

]C3 = −C1 ⇒ C3 = 0 (deoarece C1 = 0).


Atunci, deducem ca C2k+1 = 0, ∀k ∈ N si

1.4(p+ 1)C2 = −C0

2.4(p+ 2)C4 = −C2

3.4(p+ 3)C6 = −C4

−−−−−−−−−m.4(p+m)C2m = −C2m−2.

Daca ınmultim aceste relatii, rezulta

C2m =(−1)mC0

m!22m(p+ 1)(p+ 2)...(p+m).

Ecuatia Bessel este o ecuatie diferentiala omogena si, de aceea, solutia sa estedeterminata pana la o constanta. Astfel putem alege termenul liber C0 sub forma

C0 =1

2pΓ(p+ 1),

si, atunci, C2m devine

C2m =(−1)m

m!22m+p(p+ 1)(p+ 2)...(p+m)Γ(p+ 1)=

(−1)m

m!22m+pΓ(m+ p+ 1).

In calculele anterioare am folosit valoarea r = p si solutia devine

y(x) =∞∑m=0

C2mxp+2m =

∞∑m=0

(−1)m

m!22m+pΓ(m+ p+ 1)

(x

2

)2m+p

.

De aceea, pentru r = p functia Bessel este

Jp(x) =(x

2

)p ∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m+ p+ 1)

(x

2

)2m

.

Daca luam r = −p, dupa calcule similare cu cele de mai sus, obtinem expresiaceleilalte functii Bessel, J−p(x), si anume :

J−p(x) =(x

2

)−p ∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m− p+ 1)

(x

2

)2m

.

Cu aceasta teorema este demonstrata.


Aplicatie. Sa calculam functia J1/2(x). Folosind forma polinomiala a functieiBessel, obtinem

J1/2(x) =(x

2

)1/2 ∞∑n=0

(−1)n

n!Γ(n+ 3/2)

(x

2

)2n

.

Folosind relatia de recurenta a functiei Γ, rezulta

Γ(n+3

2) =

3

2

5

2

7

2...

2n+ 1

2Γ(

3

2), Γ(

3

2) =

√π

2.

Atunci J1/2(x) devine

J1/2(x) =

√π√2

∞∑n=0

(−1)n

n!2n3.5.7...(2n+ 1)Γ(n+ 3/2)x2n =

=

√2√πx

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1.

Astfel obtinem

J1/2(x) =

√2

πxsinx.

Ecuatia Bessel este de ordinul al doilea. Cele doua solutii gasite pentru aceastaecuatie, si anume functiile Bessel Jp(x) si J−p(x), determina solutia generala aecuatiei Bessel daca sunt liniar independente.

In urmatoarea teorema demonstram ca ın cazul ın care n 6∈ N functiile Besselsunt liniar independente.

Teorema 2.2 Daca parametrul p nu este natural n 6∈ N , atunci functiile Jp(x) siJ−p(x) sunt liniar independente.

Demonstratie. Este bine cunoscut faptul ca un sistem de functii este liniarindependent daca wronskianul atasat sistemului respectiv este nenul. In cazulnostru, trebuie sa demonstram ca

W (x) = W (Jp(x), J−p(x)) =

∣∣∣∣∣ Jp(x) J−p(x)J ′p(x) J ′−p(x)

∣∣∣∣∣ = Jp(x)J ′−p(x)− J ′p(x)J−p(x).

Sa folosim faptul ca functiile Jp(x) si J−p(x) satisfac ecuatia Bessel:

x2J ′′p (x) + xJ ′p(x) +(x2 − p2

)Jp(x) = 0

x2J ′′−p(x) + xJ ′−p(x) +(x2 − p2

)J−p(x) = 0


Inmultim prima relatie prin J−p(x) si a doua prin Jp(x) si scadem relatiile care seobtin. Rezulta

x2(J ′′p (x)J−p(x)− J ′′−p(x)Jp(x)

)+(J ′p(x)J−p(x)− J ′−p(x)Jp(x)

)= 0.

Asadar, obtinem urmatoarea ecuatie diferentiala de ordinul ıntai

xW ′(x) +W (x) = 0⇒ dW

W= −dx

x⇒ W (x) =

C

x.

Daca demonstram ca C 6= 0, rezulta ca wronskianul functiilor Jp(x) si J−p(x)este nenul, astfel ıncat Jp(x) si J−p(x) sunt liniar independente. Folosind formapolinomiala a functiilor Bessel, obtinem

Jp(x) =(x

2

)p 1

Γ(p+ 1)+ ...⇒ J ′p(x) =

p

2

(x

2

)p−1 1

Γ(p+ 1)+ ...

J−p(x) =(x

2

)−p 1

Γ(1− p)+ ...⇒ J ′−p(x) =

−p2

(x

2

)−p−1 1

Γ(1− p)+ ...

Atunci, wronskianul devine

W (x) =−p2

(x

2

)−1 1

Γ(p+ 1)Γ(1− p)+ ...+

−p2

(x

2

)−1 1

Γ(p+ 1)Γ(1− p)+ ... =

= − 2p

pΓ(p)Γ(1− p)1

x+ ... = − 2

Γ(p)Γ(1− p)1

x+ ...

Comparam cu prima forma a lui W si deducem

C = − 2

Γ(p)Γ(1− p)= −2 sin pπ

π6= 0 deoarece p 6∈ N.

astfel ıncat teorema este demonstrata.Observatie. Deoarece functiile Jp(x) si J−p(x) sunt solutii ale ecuatiei Bessel sisunt liniar independente, deducem ca solutia generala a ecuatiei lui Bessel este

y(x) = C1Jp(x) + C2J−p(x), C1, C2 = constante.

Aplicatie. Sa rezolvam ecuatia

x2y′′ + xy′ +(x2 − 1

4

)y = 0.

Deoarece p = 1/2 /∈ N , deducem ca aceasta ecuatie are doua solutii liniar inde-pendente, si anume J1/2(x) si J−1/2(x). Folosind aceiasi procedura ca ın cazul luiJ1/2(x), obtinem ca

J− 12(x) =

√2

πxcosx.


Atunci solutia generala a ecuatiei date este

y(x) = C1J 12(x) + C2J− 1

2(x) = C1

√2

πxsinx+ C2

√2

πxcosx,

unde C1 si C2 sunt constante.Este usor sa demonstram, prin calcul direct, ca ın cazul n ∈ N functiile Bessel

Jp(x) si J−p(x) nu sunt liniar independente. In fapt se obtine relatia:

Jp(x) = (−1)nJ−p(x).

In aceast caz, nu putem defini solutia generala a ecuatiei Bessel. Pentru a rezolvaaceasta problema, introducem o noua functie

Np(x) =cos pπJp(x)− J−p(x)

sin pπ, p 6∈ N,

care este numita functia lui Neumann.Este clar ca functiile Jp(x) si Np(x) sunt liniar independente deoarece p 6∈ N

si ın acest caz functiile Jp(x) si J−p(x) sunt liniar independente.

In cazul cand p = n ∈ N functiile lui Neumann sunt definite prin limitaurmatoare

Nn(x) = limp→n

Np(x) = limp→n

cos pπJp(x)− J−p(x)

sin pπ.

Folosind regula lui l′Hospital, obtinem

Nn(x) = limp→n

−π sin pπJp(x) + cos pπJ ′p(x)− J ′−p(x)

p cos pπ=

=1

π

[∂Jp(x)

∂p− (−1)n

∂J−p(x)

∂p

]p=n

.

Prin calcul direct obtinem ca

W (Jn(x), Nn(x)) =2

πx6= 0,

adica, aceste functii sunt liniar independente si atunci solutia generala a ecuatieiBessel este

y(x) = C1Jn(x) + C2Nn(x), C1, C2 = constante.

Observatie. Este clar, functia lui Neumann este o solutie a ecuatiei Besseldeoarece ea este o combinatie liniara a doua solutii ale ecuatiei Bessel si, ecuatiaBessel este liniara!

Alte proprietati ale functiilor Bessel sunt continute ın teorema urmatoare.


Teorema 2.3 Functiile Bessel satisfac urmatoarele proprietati:-i)

d

dx[xpJp(x)] = xpJp−1(x),

d

dx

[x−pJp(x)

]= −xpJp+1(x).

-ii)

xJ ′p(x) + pJp(x) = xJp−1(x), xJ ′p(x)− pJp(x) = −xJp+1(x).

-iii)

Jp−1(x)− Jp+1(x) = 2J ′p(x), Jp−1(x) + Jp+1(x) =2p

xJp(x).

Demonstratie i) Este usor sa demonstram aceste relatii folosind forma polino-miala a functiilor Bessel.

ii) Scriem i)1 ın detaliu

pxp−1Jp(x) + xpJ ′p(x) = xpJp−1(x)∣∣∣ : xp−1 ⇒

⇒ pJp(x) + xJ ′p(x) = xJp−1(x)

adica, ii)1 este demonstrata. Daca scriem i)2 ın detaliu

−px−p−1Jp(x) + x−pJ ′p(x) = −x−pJp+1(x)∣∣∣ .xp−1 ⇒

⇒ −pJp(x) + xJ ′p(x) = −xJp+1(x),

adica, ii)2 este demonstrata.

iii) Adunam ii)1 cu ii)2 si obtinem

2xJ ′p(x) = x (Jp−1(x)− Jp+1(x))⇒

⇒ Jp−1(x)− Jp+1(x) = 2J ′p(x),

adica iii)1 este demonstrata. Scadem ii)2 din ii)1 si rezulta

2pJp(x) = x (Jp−1(x) + Jp+1(x))⇒

⇒ Jp−1(x) + Jp+1(x) =2p

xJp(x),

adica tocmai iii)2 si teorema este demonstrata.


Aplicatie. Sa calculam functiile Bessel J3/2(x) si J−3/2(x).Mai ıntai, reamintim ca

J1/2(x) =

√2

πxsinx, J−1/2(x) =

√2

πxcosx.

Atunci

J ′1/2(x) =

√ 2

πxsinx

′ =√

2

πxcosx− 1

2x

√2

πxsinx⇒

⇒ J ′1/2(x) = J−1/2(x)− 1

2xJ1/2(x).

Acum, scriem iii)1 din teorema 2.3 pentru p = 1/2:

J−1/2(x)− J3/2(x) = 2J ′1/2(x)⇒

⇒ J3/2(x) =1

x

√2

πxsinx−

√2

πxcosx.

Pentru a obtine J−3/2(x), scriem iii)2 din teorema 2.3 pentru p = −1/2:

J−3/2(x)− J1/2(x) = −1

xJ−1/2(x)

de unde rezulta

J−3/2(x) = J1/2(x)− 1

xJ−1/2(x).

Atunci

J−3/2(x) =

√2

πxsinx− 1

x

√2

πxcosx.


2.3 Polinoame ortogonale

Consideram un sir de functii fnn∈N astfel ıncat

fn : [a, b]→ R, fn ∈ C0[a, b], ∀n ∈ N,

si functia

p = p(x), p : [a, b]→ R+, p ∈ L[a, b],

numita functia pondere.

Definitia 3.1 Numarul real notat cu (fn, fm) si definit prin

(fn, fm) =

b∫a

p(x)fn(x)fm(x)dx, (3.1)

este numit produsul scalar al functiilor fn si fm.

Este usor sa demonstram proprietatile uzuale ale unui produs scalar.

Propozitia 3.1 Produsul scalar real definit ın (3.1) are urmatoarele proprietati:-i) (fn, fm) = (fm, fn);-ii) (λfn, fm) = λ (fm, fn);-iii) (fn, fm + fk) = (fn, fm) + (fn, fk).

Demonstratie Toate aceste proprietati sunt obtinute ın baza proprietatilor analoageale integralei. De exemplu,

(fn, fm + fk) =

b∫a

p(x)fn(x) [fm(x) + fk(x)] dx =

=

b∫a

p(x)fn(x)fm(x)dx+

b∫a

p(x)fn(x)fk(x)dx = (fn, fm) + (fn, fk) .

Cititorii pot, usor, demonstra celelalte proprietati.Observatie. In baza proprietatilor de mai sus ale produsului scalar, deducem caau loc si urmatoarele proprietati:

-iv) (fn, λfm) = λ (fm, fn);-v) (fn + fm, fk) = (fn, fk) + (fm, fk).

2.3. POLINOAME ORTOGONALE 73

Definitia 3.2 Un sir de functii fnn∈N este numit ortogonal daca

(fn, fm) =

0, pentru n 6= mcn > 0, pentru n = m

Daca ın definitia produsului scalar luam fm = fn atunci

(fn, fm) =

b∫a

p(x)f 2n(x)dx = ‖fn‖2 ⇒ ‖fn‖ =

√(fn, fn).

Asadar, ın definitia unui sir ortogonal, putem lua cn = ‖fn‖2

Definitia 3.3 Un sir de functii fnn∈N este numit ortonormat daca

(fn, fm) =

0, pentru n 6= m1, pentru n = m

Cu alte cuvinte, un sir ortonormat este un sir ortogonal ale carui elemente aunorma unitara, adica ‖fn‖ = 1, ∀n ∈ N .

Urmatoarele doua propozitii stabilesc legatura dintre un sistem ortogonal defunctii si un sistem liniar independent de functii.

Propozitia 3.2 Orice sistem ortogonal de functii este un sistem liniar indepen-dent de functii.

Demonstratie. Consideram urmatorul sistem ortogonal de functii

f1, f2, ..., fn ,

si o combinatie liniara care este nula:

α1f1 + α2f2 + ...+ αnfn = 0.

Pentru ca sa demonstram ca sistemul nostru este liniar independent, trebuie sademonstram ca αk = 0, k = 1, 2, ..., n. Inmultim (scalar) ambii membri aicombinatiei de mai sus cu fk si folosind liniaritatea produsului scalar obtinem

(fk, α1f1 + α2f2 + ...+ αnfn) = 0⇒

⇒ α1 (fk, f1) + α2 (fk, f2) + ...+ αk (fk, fk) + ...+ αn (fk, fn) = 0.

Deoarece (fk, fn) = 0,∀n 6= k si (fk, fk) > 0, deducem ca αk = 0 si propozitia estedemonstrata.

Propozitia 3.3 Din fiecare sistem liniar independent de functii se extrage un sis-tem ortogonal de functii.


Demonstratie. Consideram urmatorul sistem liniar independent de functii

f1, f2, ..., fn ,

si construim sistemul g1, g2, ..., gn dupa cum urmeaza:-1) definim g1 = f1;-2) definim g2 = f2 + λ1g1 astfel ıncat (g2, g1) = 0. Astfel gasim

λ1 = −(f2, g1)

(g1, g1).

-3) definim g3 = f3 + λ2g2 + λ1g1 astfel ıncat (g3, g1) = 0 si (g3, g2) = 0. Astfelgasim

λ1 = −(f3, g1)

(g1, g1), λ2 = −(f3, f2)

(g2, g2).

-4) ın cazul general definim gn = fn + λ1g1 + λ2g2 + ... + λn−1gn−1 astfel ıncat(gn, g1) = 0, (gn, g2) = 0,...,(gn, gn−1) = 0. Astfel gasim

λ1 = −(fn, g1)

(g1, g1), λ2 = −(fn, g2)

(g2, g2), ..., λn−1 = − (fn, gn−1)

(gn−1, gn−1).

Demonstratia propozitiei este astfel ıncheiata.Observatie. Este usor de vazut ca aceasta este algoritmul Gramm-Schmidt deortogonalizare.In urmatoarea propozitie indicam, fara demonstratie, doua proprietati ale unuisistem ortogonal de polinoame.

Propozitia 3.4 In cazul unui sistem ortogonal de polinoame, avem:-i) pentru orice polinom ortogonal toate radacinile sale sunt reale, distincte si

apartin intervalului de definitie.-ii) pentru orice polinom ortogonal avem urmatoarea relatie de recurenta

Pn(x) = (Anx+Bn)Pn−1(x) + CnPn−2(x),

unde An, Bn si Cn sunt constante.

Observatie. Daca ın definitia unui polinom ortogonal particularizam functiapondere si intervalul de definitie, obtinem diferite tipuri de polinoame, dupa cumurmeaza

-1) [a, b]→ [−1, 1], p(x) = 1⇒ Polinomul Legendre, Pn(x);-2) [a, b]→ (−1, 1), p(x) = 1/

√1− x2 ⇒ Polinomul Cebasev, Tn(x);

-3) [a, b]→ (−∞,∞), p(x) = e−x2 ⇒ Polinomul Hermite, Hn(x);

-4) [a, b]→ [0,∞), p(x) = e−x ⇒ Polinomul Laguerre, Ln(x).

2.4. POLINOAME LEGENDRE 75

2.4 Polinoame Legendre

Mai ıntai, reamintim doua bine cunoscute serii binomiale

(1 + x)α = 1 +α

1!x+

α(α− 1)

2!x2 + ...+

α(α− 1)(α− 2)...(α− n+ 1)

n!xn + ...

(1− x)α=1− α1!x+

α(α− 1)

2!x2−...+(−1)n

α(α− 1)(α− 2)...(α− n+ 1)

n!xn+...

Consideram functia

f(x, r) =1√

1− 2xr + r2, |r| < 1,

numita functia generatoare a polinoamelor Legendre.Dezvoltam aceasta functie ın serie de puteri, dupa variabila r, avand coeficientiica functii de x. Prin definitie, coeficientii acestei serii sunt polinoamele Legendre.Ne propunem sa obtinem forma explicita a polinoamelor Legendre.

Teorema 4.1 Expresia polinoamelor Legendre este

Pn(x) =[n/2]∑k=0

(−1)kCkn−k

1.3.5....(2n− 2k − 1)

(n− k)!2kxn−2k. (4.1)

Demonstratie. Mai ıntai, scriem seria de puteri a functiei generatoare

1√1− 2xr + r2

=∞∑n=0

Pn(x)rn.

Notam 2xr − r2 = u si atunci seria binomiala anterioara devine

1√1− u

= (1− u)−1/2 = 1− −1/2

1!u+−1/2(−1/2− 1)

2!u2 − ... =

= 1 +1

2.1!u+

1.3

22.2!u2 +

1.3.5

23.3!u3 + ...+

1.3.5...(2k − 1)

2k.k!uk + ...

Atunci

1√1− 2xr + r2

= 1 +1

2.1!

(2xr − r2

)+

1.3

22.2!

(2xr − r2

)2+ ...+

+1.3.5...(2k − 1)

2k.k!

(2xr − r2

)k+ ...


Identificand coeficientii, obtinem, din aproape ın aproape urmatoarele polinoame

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3

2x2 − 1

2, P3(x) =

5

2x3 − 3

2x, ...,

si, ın cazul general,

Pn(x) =[n/2]∑k=0

(−1)kCkn−k

1.3.5....(2n− 2k − 1)

(n− k)!2kxn−2k,

ceea ce ıncheie demonstratia.

Teorema 4.2 Polinoamele Legendre satisfac urmatoarea relatie, numita formulaOlinde-Rodrigues:

Pn(x) =1

n!2ndn

dxn

(x2 − 1

)n.

Demonstratie. Pornim de la egalitatea evidenta

(x2 − 1

)n=

n∑k=0

(−1)kCknx

2n−2k,

de unde, prin derivare,

dn

dxn

(x2 − 1

)n=

[n/2]∑k=0

(−1)kCkn(2n− 2k)(2n− 2k − 1)...(n− 2k + 1)xn−2k.

Sa facem acum unele estimari asupra coeficientului lui xn−2k:

n!

k!(n− k)!

(2n− 2k)!

(n− 2k)!=n!(2n− 2k)!

[(n− k)!]2(n− k)!

k!(n− 2k)!=

= n!Ckn−k

1.3.5...(2n− 2k − 1).2.4...2(n− k)

[(n− k)!]2= n!2nCk

n−k1.3.5...(2n− 2k − 1)

(n− k)!2k,

de unde deducemdn

dxn

(x2 − 1

)n= n!2nPn(x),

adica, tocmai formula Olinde-Rodrigues si teorema este demonstrata.

Teorema 4.3 Polinoamele Legendre satisfac urmatoarea relatie de recurenta

(n+ 1)Pn+1(x)− (2n+ 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0, n = 1, 2, ...


Demonstratie. Folosim egalitatea

1√1− 2xr + r2

=∞∑n=0

Pn(x)rn.

din care, prin derivare ın raport cu r, rezulta

x− r√1− 2xr + r2

=(1− 2xr + r2

) ∞∑n=0

nPn(x)rn−1 ⇒

⇒ (x− r)∞∑n=0

Pn(x)rn =(1− 2xr + r2

) ∞∑n=0

nPn(x)rn−1.

In ultima egalitate identificam coeficient lui rn din ambii membri ai egalitatii:

xPn(x)− Pn−1(x) = (n+ 1)Pn+1(x)− 2nxPn(x) + (n− 1)Pn−1(x)⇒

⇒ (n+ 1)Pn+1(x)− (2n+ 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0.

Demonstratia teoremei este ıncheiata.Observatie. Folosind relatia de recurenta, pot fi determinate, pas cu pas, poli-noamele Legendre, ıncepand cu P0, P1, si asa mai departe.

Teorema 4.4 Polinoamele Legendre satisfac urmatoarea ecuatie diferentiala:(x2 − 1

)y′′(x) + 2xy′(x)− n(n+ 1)y(x) = 0.

Demonstratie. Vom ıncepe cu agalitate

(x2 − 1

) d

dx

(x2 − 1

)n= 2nx

(x2 − 1

).

Folosind regula lui Leibniz pentru derivata de ordin superior a unui produs defunctii, obtinem[(

x2 − 1) d

dx

(x2 − 1

)n](n+1)

= 2n[x(x2 − 1

)](n+1).

Prin calcul direct deducem

(x2−1

) dn+2

dxn+2

(x2−1

)n+2(n+1)x

dn+1

dxn+1

(x2−1

)n+n(n+1)

dn

dxn

(x2−1

)n=

= 2n

[xdn+1

dxn+1

(x2 − 1

)n+ (n+ 1)

dn

dxn

(x2 − 1

)n]⇒


⇒(x2 − 1

) dn+2

dxn+2

(x2 − 1

)n+ 2x

dn+1

dxn+1

(x2 − 1

)n− n(n+ 1)

dn

dxn

(x2 − 1

)n= 0.

Putem sa scriem aceasta relatie ın forma

(x2−1

) d2

dx2

[dn

dxn

(x2−1

)n]+2x

d

dx

[dn

dxn

(x2−1

)n]−n(n+1)

dn

dxn

(x2−1

)n=0.

Inmultim ambii membri ai ultimei egalitati cu 1/2nn!:

(x2−1

) d2

dx2

[1

2nn!

dn

dxn

(x2−1

)n]+2x

d

dx

[1

2nn!

dn

dxn

(x2−1

)n]−

−n(n+ 1)1

2nn!

dn

dxn

(x2 − 1

)n= 0,

astfel ıncat, folosind folosind formula Olinde-Rodrigues, obtinem(x2 − 1

)P ′′n (x) + 2xP ′n(x)− n(n+ 1)Pn(x) = 0


Teorema 4.5 Polinoamele Legendre satisfac urmatoarea relatie de ortogonalitate:

1∫−1

Pn(x)Pm(x)dx =

0, daca n 6= m

22n+1

, daca n = m

Demonstratie. Vom folosi faptul ca polinoamele Legendre Pn si Pm satisfacpropria lor ecuatie diferentiala:(

x2 − 1)P ′′n (x) + 2xP ′n(x)− n(n+ 1)Pn(x) = 0,(

x2 − 1)P ′′m(x) + 2xP ′m(x)−m(m+ 1)Pm(x) = 0.

Acum, ınmultim prima ecuatie cu Pm si a doua cu Pn si apoi scadem relatiile carerezulta. Se obtine(

x2 − 1)

(P ′′n (x)Pm(x)− P ′′m(x)Pn(x)) + 2x (P ′n(x)Pm(x)− P ′m(x)Pn(x))−

−(n2 + n−m2 −m

)Pn(x)Pm(x) = 0,

si aceasta relatie poate fi scrisa sub forma(x2 − 1

)(P ′n(x)Pm(x)− P ′m(x)Pn(x))

′+(x2 − 1

)′(P ′n(x)Pm(x)− P ′m(x)Pn(x)) =

= (n−m)(n+m+ 1)Pn(x)Pm(x),


sau,[(x2 − 1


]′= (n−m)(n+m+ 1)Pn(x)Pm(x).

Acum, integram aceasta egalitate pe intervalul pe care sunt definite polinoameleLegendre, si anume [−1, 1]:

1∫−1

[(x2 − 1


]′dx =

= (n−m)(n+m+ 1)

1∫−1

Pn(x)Pm(x)dx.

Termenul din stanga ultimei egalitati este nul astfel ıncat obtinem

(n−m)(n+m+ 1)

1∫−1

Pn(x)Pm(x)dx = 0.

Daca presupunem ca n 6= m rezulta

1∫−1

Pn(x)Pm(x)dx = 0,

adica, prima relatie din teorema.In cazul n = m folosim relatia de recurenta a polinoamelor Legendre, scrisa pentruPn si Pn−1. Apoi ınmultim prima relatie cu Pn−1 si a doua cu Pn:

(n+ 1)Pn+1(x)− (2n+ 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0| .Pn−1,

nPn(x)− (2n− 1)xPn−1(x) + (n− 1)Pn−2(x) = 0| .Pn ⇒

⇒ nP 2n−1(x) = (2n+ 1)xPn(x)Pn−1(x)− (n+ 1)Pn+1(x)Pn−1(x),

nP 2n(x) = (2n− 1)xPn(x)Pn−1(x)− (n− 1)Pn(x)Pn−2(x).

Sa integram aceste relatii. Folosind prima parte a demonstratiei, deducem

1∫−1

Pn+1(x)Pn−1(x)dx = 0,

1∫−1

Pn(x)Pn−2(x)dx = 0,


astfel ıncat obtinem

n

1∫−1

P 2n−1(x)dx = (2n+ 1)

1∫−1

xPn(x)Pn−1(x)dx,

n

1∫−1

P 2n(x)dx = (2n− 1)

1∫−1

xPn(x)Pn−1(x)dx,⇒

⇒1∫−1

P 2n(x)dx =

2n− 1

2n+ 1

1∫−1

P 2n−1(x)dx.

Daca folosim notatia

In =

1∫−1

P 2n(x)dx,

atunci

In =2n− 1

2n+ 1In−1.

Scriem aceasta relatie pentru n = 1, 2, 3, ..., ınmultim relatiile care rezulta, astfelıncat dupa simplificari, rezulta

In =3

2n+ 1I1.

Dar, pentru n = 1 polinomul Legendre este P1(x) = x astfel ıncat

I1 =

1∫−1

x2dx =2

3,

si atunci

In =3

2n+ 1

2

3=

2

2n+ 1.

In final,1∫−1

P 2n(x)dx =

2

2n+ 1,


2.5. POLINOAMELE CEBASEV 81

2.5 Polinoamele Cebasev

Definitia 5.1 Functiile de forma

Tn(x) = cos(n arccosx),

se numesc polinoame Cebasev.

Teorema 5.1 Polinoamele Cebasev au urmatoarele expresii

Tn(x) =[n/2]∑k=0

(−1)kC2kn x

n−2k(1− x2

)k.

Demonstratie. Pornim de la binomul

(cos θ + i sin θ)n

pe care ıl calculam ın doua moduri: o data, folosind formula lui Moivre, apoi cuajutorul formulei binomului lui Newton:

cosnθ + i sinnθ = (cos θ + i sin θ)n = C0n cosn θ + iC1

n cosn−1 θ sin θ−

−C2n cosn−2 θ sin2 θ − iC3

n cosn−3 θ sin3 θ + C4n cosn−4 θ sin4 θ + ...

Acum egalam partile reale din ambii membri ai acestei relatii:

cosnθ = C0n cosn θ − C2

n cosn−2 θ sin2 θ + C4n cosn−4 θ sin4 θ + ...⇒

⇒ cosnθ =n∑k=0

(−1)kC2kn cosn−2k θ sin2k θ.

Cu ajutorul substitutieix = cos θ ⇒ θ = arccosx

obtinem

cos(n arccosx) =[n/2]∑k=0

(−1)kC2kn x

n−2k(1− x2

)k,

de unde deducem ca:

Tn(x) =[n/2]∑k=0

(−1)kC2kn x

n−2k(1− x2

)k,

astfel ıncat demonstratia este ıncheiata.


Teorema 5.2 Polinoamele Cebasev au functia

f(x) =1− rx

1− 2xr + r2,

ca functie generatoare.

Demonstratie. Dezvoltam aceasta functie ın serie de puteri ale lui r si demon-stram ca coeficientii acestei serii sunt polinoamele Cebasev, adica

1− rx1− 2xr + r2

=∞∑n=0

Tn(x)rn.

Daca folosim substitutia x = cos θ rezulta

1− rx1− 2xr + r2

=1− r cos θ

1− 2r cos θ + cos2 θ=

=1− r cos θ

(r − cos θ − i sin θ)(r − cos θ + i sin θ)=

1− r cos θ

(r − eiθ)(r − e−iθ)=

=1− r cos θ

(1− reiθ)(1− re−iθ)=

1

2

(1

1− reiθ+

1

1− re−iθ)

=

=1

2

(1+reiθ+r2e2iθ+...+rneniθ+...+1+re−iθ+r2e−2iθ+...+rne−niθ+...

)=

= 1 + reiθ + e−iθ

2+ r2 e

2iθ + e−2iθ

2+ ...+ rn

eniθ + e−niθ

2+ ... =

= 1 + r cos θ + r2 cos 2θ + ...+ rn cosnθ + ... =∞∑n=0

rn cosnθ.

Acum folosim substitutia θ = arccosx si atunci coeficientii seriei devin

cosnθ = cos(n arccosx) = Tn(x).

Cu aceasta teorema este demonstrata.Observatie. Polinoamele Cebasev nu satisfac o relatie de tipul Olinde-Rodrigues.

Teorema 5.3 Polinoamele Cebasev satisfac urmatoarea relatie de recurenta

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x).

2.5. POLINOAMELE CEBASEV 83

Demonstratie. Incepem cu formula elementara

cos(n+ 1)θ + cos(n− 1)θ = 2 cos θ cosnθ.

Daca substituim aici θ prin arccosx rezulta

cos((n+ 1) arccosx) + cos((n− 1) arccosx) = 2x cos(n arccosx),

adica,

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x).

si demonstratia teoremei este ıncheiata.Observatie. Folosind relatia de recurenta, pot fi determinate, pas cu pas, poli-noamele Cebasev, ıncepand cu P0, P1, si asa mai departe.

Teorema 5.4 Polinoamele Cebasev satisfac urmatoarea ecuatie diferentiala:(1− x2

)y′′(x)− xy′(x) + n2y(x) = 0.

Demonstratie. Derivam ın raport cu x relatia din definitia polinoamelor Cebasev:

Tn′(x) = cos(n arccosx)|′x ⇒

⇒ T ′n(x) = −n sin(n arccosx)−1√

1− x2.

Aceasta relatie poate fi scrisa ın forma

√1− x2T ′n(x) = n sin(n arccosx)

Derivam aici ambii membri ın raport cu x

−x√1− x2

T ′n(x) +√

1− x2T ′′n (x) = n2 cos(n arccosx)−1√

1− x2.

Acum ınmultim ambii membri ai acestei egalitati cu −√

1− x2 si atunci rezulta

xT ′n(x)−(1− x2

)T ′′n (x) = n2Tn(x)⇒

⇒(1− x2

)T ′′n (x)− xT ′n(x) + n2Tn(x) = 0.



Teorema 5.5 Polinoamele Cebasev satisfac urmatoarea relatie de ortogonalitate:

(Tn, Tm) =

1∫−1

1√1− x2

Tn(x)Tm(x)dx =

0, daca n 6= mπ2, daca n = m 6= 0π, daca n = m = 0

deoarece functia pondere si intervalul din definitia polinoamelor Cebasev sunt

p(x) =1√

1− x2, [a, b]→ (−1, 1).

Demonstratie. Substituim expresiile lui Tn si Tm ın definitia produsului scalar

(Tn, Tm) =

1∫−1

1√1− x2

Tn(x)Tm(x)dx =

=

1∫−1

1√1− x2

cos(n arccosx) cos(m arccosx)dx.

Aici, substituim x prin cos θ

x = cos θ ⇒ dx = − sin θdθ;x ∈ (−1, 1)⇒ θ ∈ (π, 0),

si atunci, obtinem

(Tn, Tm) =

0∫π

1

sin θcosnθ cosmθ(−dθ) sin θ =

=

π∫0

cosnθ cosmθdθ =1

2

π∫0

[cos(n+m)θ + cos(n−m)θdθ.

-i) Daca n 6= m atunci

(Tn, Tm) =1

2

[sin(n+m)θ

n+m

∣∣∣∣∣π

0

+sin(n−m)θ

n−m

∣∣∣∣∣π

0

]= 0.

-ii) Daca n = m 6= 0 atunci

(Tn, Tm) =1

2

π∫0

(cos 2nθ + 1)dθ =1

2

[sin 2nθ

2n

∣∣∣∣∣π

0

+ θ|π0 =π

2

].

-iii) Daca n = m = 0 atunci

(Tn, Tm) =1

2

π∫0

2dθ =

π∫0

dθ = θ

∣∣∣∣∣∣π

0

= π.

Asadar, teorema este demonstrata.

2.6. POLINOAMELE HERMITE 85

2.6 Polinoamele Hermite

Definitia 6.1 Functiile definite prin

Hn(x) = ex2 dn

dxn

(e−x

2), (6.1)

se numesc polinoame Hermite.

Observatie. Dupa cum este usor de vazut, polinoamele Hermite sunt definitedirect printr-o relatie de tip Olinde-Rodriguess.Primele polinoame Hermite sunt

H0(x) = ex2(e−x

2)(0)

= ex2

e−x2

= 1,

H1(x) = ex2(e−x

2)′

= ex2(−2xe−x

2)

= −2x,

H2(x) = ex2(ex

2)′′

= ex2(−2xe−x

2)′

= −2xex2(e−x

2 − 2x2e−x2)

= 4x2 − 2, ...

Functia generatoare a polinoamelor Hermite este functia

h(r, x) = e−(r2+2xr),

adica, daca dezvoltam ın serie de puteri ale lui r aceasta functie, coeficientii serieisunt tocmai polinoamele Hermite:

e−(r2+2xr) =∞∑n=0

Hn(x)1

n!rn

Teorema 6.1 Polinoamele Hermite satisfac urmatoarea ecuatie diferentiala:

y′′(x)− 2xy′(x) + 2ny(x) = 0.

Demonstratie. Derivam ın raport cu x ambii membri ai relatiei (6.1)

H ′n(x) =

[ex

2 dn

dxn

(e−x

2)]′

= 2xex2 dn

dxn

(e−x

2)

+ ex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2),

H ′′n(x) = 2ex2 dn

dxn

(e−x

2)

+ 2x2ex2 dn

dxn

(e−x

2)

+ xex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)

+

+2xex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)

+ ex2 dn+2

dxn+2

(e−x

2).


Atunci

H ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = 2ex2 dn

dxn

(e−x

2)

+

+4x2ex2 dn

dxn

(e−x

2)

+ 4xex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)− 4x2ex

2 dn

dxn

(e−x

2)−

−2xex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)

+ 2nex2 dn

dxn

(e−x

2)

+ ex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)

=

= ex2

[2dn

dxn

(e−x

2)

+ 2xdn+1

dxn+1

(e−x

2)

+dn+2

dxn+2

(e−x

2)

+ 2ndn

dxn

(e−x

2)].

Dardn+2

dxn+2

(e−x

2)

=dn+1

dxn+1

(−2xe−x

2)

=

= −2

[2x

dn+1

dxn+1

(e−x

2)

+ (n+ 1)dn

dxn

(e−x

2)],

astfel ıncat, obtinem

H ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = ex2

[2dn

dxn

(e−x

2)

+ 2xdn+1

dxn+1

(e−x

2)−

−2xdn+1

dxn+1

(e−x

2)− 2(n+ 1)

dn

dxn

(e−x

2)

+ 2ndn

dxn

(e−x

2)]

= 0.

In concluzie, obtinem ecuatia

H ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = 0,

care este tocmai ecuatia din enunt si teorema este demonstrata.

Teorema 6.2 Polinoamele Hermite satisfac urmatoarea relatie de recurenta

Hn+1(x) + 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0.

Demonstratie. Pornim de la formula evidenta

dn+1

dxn+1

(e−x

2)

=dn

dxn

(−2xe−x

2)

= −2dn

dxn

(xe−x

2).

Acum, aplicam regula lui Leibniz pentru derivata de ordin superior a unui produsde doua functii:

dn

dxn

(xe−x

2)

= xdn

dxn

(e−x

2)

+ ndn−1

dxn−1

(e−x

2),

2.6. POLINOAMELE HERMITE 87

dn+1

dxn+1

(e−x

2)

= −2xdn

dxn

(e−x

2)− 2n

dn−1

dxn−1

(e−x

2)⇒

⇒ ex2 dn+1

dxn+1

(e−x

2)

= −2xex2 dn

dxn

(e−x

2)− 2nex

2 dn−1

dxn−1

(e−x

2).

Folosind relatia Olinde-Rodrigues, rezulta

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x),

astfel ıncat teorema este demonstrata.

Teorema 6.3 Polinoamele Hermite satisfac urmatoarea relatie de ortogonalitate:

(Hn, Hm) =

∞∫−∞

e−x2

Hn(x)Hm(x)dx =

0, daca n 6= m2nn!√π, daca n = m

deoarece functia pondere si intervalul de definitie pentru polinoamele Hermite sunt

p(x) = e−x2

, [a, b]→ (−∞,∞).

Demonstratie. Folosind relatia Olinde-Rodrigues, avem

(Hn, Hm) =

∞∫−∞

e−x2

Hm(x)dn

dxn

(e−x

2)dx =

∞∫−∞

Hm(x)dn

dxn

(e−x

2)dx =

= Hm(x)dn−1

dxn−1

(e−x

2)∣∣∣∣∣∞

−∞−

∞∫−∞

H ′m(x)dn−1

dxn−1

(e−x

2)dx =

= −∞∫−∞

H ′m(x)dn−1

dxn−1

(e−x

2)dx,

deoarece avem

limx→±∞

P (x)e−x2

= limx→±∞

P (x)

ex2= 0,

pentru orice polinom P (x).Pe de alta parte, avem

H ′m(x) =

[dm

dxm

(e−x

2)]′

= 2xex2 dm

dxm

(e−x

2)

+

+ex2 dm+1

dxm+1

(e−x

2)

= 2xHm(x) +Hm+1(x),


astfel ıncat, folosind relatia de recurenta, obtinem

H ′m(x) = −2mHm−1(x).

Atunci

(Hn, Hm) = 2m

∞∫−∞

Hm−1(x)dn−1

dxn−1

(e−x

2)dx.

Daca integram ınca o data prin parti, suntem condusi la

(Hn, Hm) = 22(m− 1)m

∞∫−∞

Hm−2(x)dn−2

dxn−2

(e−x

2)dx,

si, dupa m pasi,

(Hn, Hm) = 2mm!

∞∫−∞

dn−m

dxn−m

(e−x

2)dx.

Daca m 6= n avem

∞∫−∞

dn−m

dxn−m

(e−x

2)dx =

dn−m−1

dxn−m−1

(e−x

2)∣∣∣∣∣∞

−∞= 0,

adica(Hn, Hm) = 0.

Daca m = n avem

(Hn, Hm) = 2mm!

∞∫−∞

e−x2

dx = 2mm!√π,

unde am folosit valoarea cunoscuta a integralei lui Gauss:

∞∫−∞

e−x2

dx =√π.

Astfel teorema este demonstrata.

2.7. POLINOAMELE LAGUERRE 89

2.7 Polinoamele Laguerre

Definitia 7.1 Functiile definite prin

Ln(x) =n∑k=0

(−1)kCkn

1

k!xk,

se numesc polinoame Laguerre.

Observatie. Reamintim ca functia pondere si intervalul de definitie pentru poli-noame Laguerre sunt

p(x) = e−x, [a, b]→ [0,∞).

In urmatoarele teoreme indicam (fara demonstratie) principalele proprietati alepolinoamelor Laguerre. Credem ca cititorii pot demonstra aceste rezultate ıntr-omaniera similara cu cea folosita ın cazul celorlalte polinoame ortogonale.

Teorema 7.1 Polinoamele Laguerre satisfac urmatoarea relatie de tip Olinde-Rodrigues

Ln(x) =1

n!

dn

dxn

(xne−x

).

Teorema 7.2 Functia generatoare pentru polinoamele Laguerre este

f(x, r) =1

1− re−rx/(1−r),

adica,1

1− re−rx/(1−r) =

∞∑n=0

Ln(x)rn.

Teorema 7.3 Polinoamele Laguerre sunt solutiile urmatoarei ecuatii diferentiale

xy′′(x) + (1− x)y′(x) + ny(x) = 0.

Teorema 7.4 Polinoamele Laguerre satisfac urmatoarea relatie de recurenta

(n+ 1)Ln+1(x)− (2n+ 1− x)Ln(x) + nLn−1(x) = 0, ∀n ∈ N.

Teorema 7.5 Pentru polinoamele Laguerre relatia de ortogonalitate are urmatoareaforma:

(Ln, Lm) =

∞∫0

e−xLn(x)Lm(x)dx =

0, daca n 6= m(n!)2, daca n = m


Unul din principalele motive pentru care se face studiul functiilor speciale estede a rezolva unele ecuatii diferentiale cu coeficienti variabili. In acest sens, vomconsidera cateva aplicatii.

Aplicatii 1. Sa gasim solutiile ecuatiei

x2y′′ + 2xy′ +(x3 − 1

)y = 0, y = y(x).

Indicatii. Mai ıntai, facem schimbarea de variabila

x3 = t2.

Apoi trecem la o noua functie neunoscuta u cu transformarea

y(t) = u(t)tα,

si determinam α astfel ıncat coeficientul lui u′ sa fie t ca ın forma standard a uneiecuatii Bessel. In final, facem o noua schimbare de variabila:

2

3t = τ,

astfel ıncat ecuatia capata forma standard a unei ecuatii Bessel.2. Sa gasim o solutie a ecuatiei(

x2 − 1)y′′ + 2xy′ − 6y = 0, y = y(x).

Solutie. Este usor de observat ca avem o ecuatie Legendre ın cazul particularn = 2 astfel ıncat solutia este

P2(x) =3

2x2 − 1

2.

3. Sa gasim o solutie a ecuatiei(1− x2

)y′′ − xy′ + 9y = 0, y = y(x).

Solutie. Este clar ca avem o ecuatie Cebasev ın cazul particular n = 3 astfel cao solutie este

T3(x) = cos(3arccos x).

4. Sa gasim o solutie a ecuatiei

y′′ − 2xy′ = 4y = 0, y = y(x).

Solutie. Este usor de observat ca avem o ecuatie Hermite ın cazul particularn = 2 astfel ca o solutie este

H2(x) = ex2 d2

dx2

(e−x

2)

= −2x.

Capitolul 3

Calcul operational

3.1 Transformata Laplace

Un instrument util ın abordarea ecuatiilor diferentiale si a ecuatiilor diferentialecu derivate partiale (si nu numai) s-a dovedit a fi transformata Laplace pe careo studiem ın acest paragraf. Transformata Laplace face o corespondenta dintredoua multimi de functii, una avand operatii dificile ıntre elementele sale, si oa doua multime ın care operatiile sunt mai accesible. De exemplu, o ecuatiediferentiala ın prima multime de functii este transformata ıntr-o ecuatie algebricaın a doua multime de functii. Aceasta corepondenta se face prin intermediulunei transformate. Vom expune numai doua tipuri de transformate, si anumetransformata Laplace si transformata Fourier.

Definitia 1.1 O functie f : IR→ IR se numeste functie original pentru transfor-mata Laplace daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

(i). f(t) = 0, ∀t < 0;(ii). Functiile f(t) si f ′(t) exista si sunt continue pe toata axa reala, posibil, cu

exceptia un sir de puncte tnn≥1 ın care pot apare discontinuitati de speta ıntai;(iii). Exista constantele M > 0, s0 ≥ 0, astfel ıncat

|f(t)| ≤Mes0t, ∀t ∈ IR.

Constanta s0 este numita indicele de crestere al functiei original. Un exemplulclasic de functie original este functia lui Heaviside (functia treapta) θ, definitaprin

θ(t) =

0, daca t < 0,1, daca t ≥ 0.

91

92 CAPITOLUL 3. CALCUL OPERATIONAL

Intr-adevar, se vede imediat ca

|θ(t)| ≤ 1 = 1.e0,

adica M = 1 si indicele de crestere este s0 = 0.Prima conditie din definitia functiei original este foarte restrictiva. Cele mai multedintre functiile elementare nu satisfac aceasta conditie si atunci multimea funtiilororiginal ar fi foarte saraca. Ca atare, transformata Laplace ar deveni ineficienta.Daca o functie f satisface conditiile (ii) si (iii), dar nu satisface conditia (i), dindefinitia functiei original, atunci vom face conventia ca functia f este ınmultita cufunctia lui Heaviside θ:

f(t) = f(t)θ(t) =

0, daca t < 0,f(t), daca t ≥ 0.

Aceasta conventie este facuta pentru a ımbogati multimea functiilor original. Vomnota cu O multimea functiilor original.In urmatoarea teorema vom demonstra care este structura multimii O.Mai exact, vom demonstra ca multimea O are o structura de spatiu liniar si chiaro structura de algebra, ın raport cu operatiile uzuale de adunare si ınmultire.

Teorema 1.1 Consideram O multimea functiilor original. Atunci:

1o. f + g ∈ O, ∀f, g ∈ O;2o. λf ∈ O, ∀f ∈ O, ∀λ ∈ IR;3o. f.g ∈ O, ∀f, g ∈ O.

Demonstratie. 1o. Deoarece f, g ∈ O, vom deduce ca f + g satisface evidentproprietatile (i) si (ii) ale functiilor original. Sa demonstram conditia (iii). Daca

|f(t)| ≤M1es1t, |g(t)| ≤M2e

s2t, ∀t ∈ IR,

atunci

|f(t) + g(t)| ≤ |f(t)|+ |g(t)| ≤M1es1t +M2e

s2t ≤M3es3t, ∀t ∈ IR,

unde s3 = maxs1, s2 si M3 = maxM1,M2.

2o. λf satisface evident proprietatile (i) si (ii) ale functiilor original. Sa verificamconditia (iii). Deoarece

|f(t)| ≤M1es1t, ∀t ∈ IR

vom deduce ca|λf(t)| = |λ||f(t)| ≤ |λ|M1e

s1t, ∀t ∈ IR,

3.1. TRANSFORMATA LAPLACE 93

adica λf are acelasi indice de crestere ca f .

3o. In privinta conditiei (iii) pentru produsul f.g, avem

|f(t).g(t)| = |f(t)|.|g(t)| ≤M1M2e(s1+s2)t, ∀t ∈ IR,

si demonstratia este ıncheiata, deoarece proprietatile (i) si (ii) sunt evidente.

Observatii.1o. Din demonstratia teoremei 1.1 rezulta ca

ind(f + g) = maxind(f), ind(g),ind(f.g) = ind(f) + ind(g)

2o. Daca fi ∈ O, i = 1, 2, ..., n, atunci

n∑i=1

λifi ∈ O, ∀λi ∈ IR, or λi ∈ IC, i = 1, 2, ..., n.

Afirmatia se bazeaza pe primele doua puncte ale teoremei 1.1.

3o. Daca fi ∈ O, i = 1, 2, ..., n, atunci

n∏i=1

fi ∈ O,

Afirmatia este imediata, ın baza punctului 3o al teoremei 1.1.Ca un caz particular, daca f ∈ O atunci fn ∈ O, ∀n ∈ IN∗.

4o. Functia f(t) = eλt este o functie original, ∀λ ∈ IC, λ = α + iβ, avandindicele de crestere

s0 =

0, daca α < 0,α, daca α ≥ 0.

Ca o consecinta, urmatoarele functiile sunt de asemenea functii original:

sinλt, cosλt, sinhλt, coshλt.

Daca dezvoltam functia eλt ca serie de puteri

eλt = 1 +λt

1!+λ2t2

2!+ ...+

λntn

n!+ ..., t ≥ 0

si luam ın consideratie faptul ca

λntn

n!< eλt, ∀t ≥ 0,


vom deduce imediat ca

tn <n!

λntneλt, ∀t ≥ 0,

si atunci obtinem ca functiaf(t) = tn, t ≥ 0

este o functie original.In baza observatiilor anterioare, rezulta ca functia

f(t) = eλt [P (t) cosαt+Q(t) sinαt]

este o functie original, pentru orice doua polinoame P si Q.

Definitia 1.2 Daca f(t) este o functie original, cu indicele de crestere s0, atuncinumim transformata Laplace a functiei f , sau imaginea prin transformata Laplace,functia F definita prin

F (p) =∫ ∞

0f(t)e−ptdt, ∀p ∈ IC, Re(p) ≥ s0. (1.1)

Sa demonstram ca functiea imagine F din (1.1) este definita pe ıntreg semiplanul[s0,∞) si, mai mult, F este o functie analitica ın acest semiplan.

Teorema 1.2 Daca f este o functie original cu indicele de crestere s0, atuncifunctia F : [s0,∞) → IC are sens pentru orice numar complex p pentru careRe(p) ≥ s0 si F este functie analitica ın acest semiplan.

Demonstratie. Pornind de la (1.1) putem sa scriem

|F (p)| ≤∫ ∞

0

∣∣∣f(t)e−pt∣∣∣ dt ≤

≤ M∫ ∞

0es0te−ptdt =

M

s− s0

e(s0−p)t∣∣∣∣∞0

=M

s− s0

.

Aceasta inegalitate demonstreaza ca functia F este bine definita.Daca Re(p) ≥ s1 ≥ s0, atunci putem deriva sub integrala ın (1.1):

F ′(p) =∫ ∞

0−te−ptdt,

si atunci gasim evaluarile

|F ′(p)| ≤∫ ∞

0|tf(t)|e−ptdt ≤

≤M∫ ∞

0te(s0−p)tdt ≤M

∫ ∞0

te(s0−s1)tdt =

= Mte(s0−s1)t

s0 − s1

∣∣∣∣∣∞

0

+M

s0 − s1

∫ ∞0

e(s0−s1)tdt =M

(s0 − s1)2,


dupa ce am integrat prin parti. Deoarece derivata este marginita, vom deduce caF este o functie analitica ın semiplanul deschis (s0,∞).

Ca o consecinta a teoremei 1.2, se poate demonstra ca

lim|p|→∞

|F (p)| = 0.

Este natural sa ne punem problema urmatoare: daca cunoastem o transformataF , care este functia original a carui transformata Laplace este chiar F ?Raspunsul este dat ın urmatoarea teorema.

Teorema 1.3 Data fiind o transformata Laplace F , functia original poate fi obtinutaın fiecare punct de continuitate t cu ajutorul inversei transformatei Laplace, dataprin

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp, (1.2)

unde a ∈ IR, a ≥ s0.

Vom renunta la demonstratia teoremei, deoarece aceata este foarte tehnica si destulde laborioasa. Eventual, cititorul poate consulta bibliografia.Teorema 1.3 afirma ca daca transformata Laplace a unei functii original este data,atunci ea este transformata Laplace a unei singure functii original, adica transfor-mata Laplace este o corespondenta biunivoca ıntre multimea functiilor original simultimea functiilor imagine.Integrala din stanga relatiei (1.2) este o integrala improprie ın sens Cauchy:∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp = lim

b→∞

∫ a+ib

a−ibF (p)eptdp.

Pentru a sublinia faptul ca, pentru o transformata Laplace data, functia originaleste unic determinata, demonstram teorema urmatoare.

Teorema 1.4 Presupunem data o transformata Laplace F cu proprietatile:

1o. F (p) este o functie analitica ın semiplanul Re(p) ≥ a > s0;2o.

lim|p|→∞

|F (p)| = 0, pentru Re(p) ≥ a > s0,

limita fiind uniforma ın raport cu p;3o. Integrala ∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp


este absolut convergenta.

Atunci functia f(t), definita prin

f(t) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp, (1.3)

are ca transformata Laplace chiar functia F (p).

Demonstratie. Mai ıntai, facem observatia ca transformata Laplace F (p) va finotata, de asemenea, si cu L(f(t)) sau, mai simplu, L(f), luand ın consideratieca se subıntelege ca argumentul functiei original este notat cu t iar argumentultransformatei Laplace este notat cu p.Aplicam transformata Laplace ın (1.3):

L(f) =∫ ∞

0

1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p)eptdp

e−p0tdt. (1.4)

Sa demonstram ca L(f) este chiar F (p0) unde p0 = a+ iσ este un punct complexfixat arbitrar ın semiplanul [s0,∞).Deoarece ∣∣∣∣∫ a+i∞

a−i∞F (p)ep0tdp

∣∣∣∣ ≤ ∫ a+i∞

a−i∞|F (p)|

∣∣∣ep0t∣∣∣ dp =

=∫ a+i∞

a−i∞|F (p)|

∣∣∣eat∣∣∣ | ∣∣∣eiσt∣∣∣ dp =∫ a+i∞

a−i∞|F (p)| eatdp,

si ultima integrala este convergenta (vezi 30), vom deduce ca ın (1.4) putem inversaintegrarea:

L(f) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞F (p)

∫ ∞0

e(p−p0)tdtdp.

Deoarece Re(p− p0) = a− s < 0 si e(p−p0)t∣∣∣∞0

= −1, obtinem

L(f) =1

2πi

∫ a−i∞

a+i∞

F (p)

p− p0

dp.

Fie cercul avand originea ca centru si raza R si consideram segmentul verticaldintre a − ib si a + ib si arcul cercului CR determinat de acest segment pe cerculconsiderat. Aplicam formula lui Cauchy (din teoria functiilor complexe), luand ınconsideratie ca p = p0 este pol simplu. Rezulta:

F (p0) =1

2πi

∫ a−ib

a+ib

F (p)

p− p0

dp+1

2πi

∫CR

F (p)

p− p0

dp. (1.5)


Pentru ultima integrala din (1.5) avem urmatoarea evaluare∣∣∣∣∣ 1

2πi

∫CR

F (p)

p− p0

dp

∣∣∣∣∣ ≤ 1

2π2πR

MR

|R| − |p0|,

unde

MR = supp∈CR

|F (p)|.

In baza ipotezei 2o vom deduce ca MR → 0, pentru R → ∞. Astfel deducem caultima integrala din (1.5) converge la zero, pentru R→∞.De aceea, daca luam limita ın (1.5) pentru R→∞, obtinem

F (p0) =1

2πi

∫ a−i∞

a+i∞

F (p)

p− p0

dp = − 1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞

F (p)

p− p0

dp,

adica F (p0) = L(f).

In urmatoarea propozitie vom demonstra principalele proprietati ale transfor-matei Laplace.

Propozitia 1.1 . Daca f si g sunt functii original, avand imaginile F si, respec-tiv, G, iar α, β ∈ IR, atunci

L(αf(t) + βg(t)) = αF (p) + βG(p).

Demonstratie. Acest rezultat poate fi obtinut imediat, ın baza liniaritatii inte-gralei Riemann.

Propozitia 1.2 Daca f este o functie original, avand imaginea F , si α ∈ IC∗,atunci

L(f(αt)) =1

αF(p

α

).

Demonstratie. Folosind schimbarea de variabila αt = τ , obtinem

L(f(αt)) =∫ ∞

0f(αt)e−ptdt =

=∫ ∞

0f(τ)e−

pατ 1

αdτ =

1

α

∫ ∞0

f(τ)e−pατdτ,

astfel ıncat rezultatul este demonstrat.


Propozitia 1.3 Daca f este o functie original, avand imaginea F , atunci ıntr-unpunct t ın care f este derivabila, avem:

L(f ′(t)) = pF (p)− f(0).

Demonstratie. Pornind de la definitia transformatei Laplace, prin calcul directrezulta:

L(f ′(t)) =∫ ∞

0f ′(t)e−ptdt = e−ptf(t)

∣∣∣∞0−

−∫ ∞

0(−p)f(t)e−ptdt = −f(0) + p

∫ ∞0

f(t)e−ptdt = pF (p)− f(0)

astfel ıncat rezultatul este demonstrat.

Corolarul 1.1 In privinta derivatei, putem demonstra un rezultat mai general,dupa cum urmeaza:

L(f (n)(t)) = pnF (p)− pn−1f(0)− pn−2f ′(0)− ...− f (n−1)(0).

Demonstratie. Folosind propozitia 1.3, avem

L(f ′(t)) = pL(f(t))− f(0),

L(f ′(t)) = pL(f ′(t))− f ′(0),

...........................................

L(f (n)(t)) = pL(f (n−1)(t))− f (n−1)(0).

Acum, ınmultim prima relatie cu pn−1, a doua cu pn−2, ..., ultima cu p0. Apoiadunam relatiile care rezulta si obtinem rezultatul dorit.

Propozitia 1.4 Daca f este o functie original, avand imaginea F , atunci:

F ′(p) = L(−tf(t)).

Demonstratie. Am demonstrat deja ca integrala din definitia transformateiLaplace este convergenta. Atunci putem deriva sub integrala ın raport cu p:

F (p) =∫ ∞

0f(t)e−ptdt⇒ F ′(p) =

∫ ∞0

f(t)(−t)e−ptdt,

si ajungem la rezultatul dorit.

Corolarul 1.2 In privinta derivatei transformatei Laplace, putem demonstra unrezultat mai general, dupa cum urmeaza

F (n)(p) = L((−t)nf(t)).


Demonstratie. Acest rezultat pot fi usor obtinut derivand succesiv sub integralasi apoi folosind inductia matematica.

Ca o consecinta a acestei proprietati, deducem imediat ca

L(tn) =n!

pn+1.

Propozitia 1.5 Fie f o functie original a carei transformata Laplace este F .Atunci integrala ∫ t

0f(τ)dτ

este de asemenea o functie original, avand acelasi indice de crestere ca si f . Maimult, are loc urmatoarea formula:

L(∫ t

0f(τ)dτ

)=

1

pF (p).

Demonstratie. Este usor sa demonstram conditiile (i) si (ii) din definitia uneifunctii original ın cazul integralei ∫ t

0f(τ)dτ,

daca luam ın consideratie faptul ca f satisface aceste conditii. Notam cu g aceastaintegrala

g(t) =∫ t

0f(τ)dτ.

Intentionam sa demonstram ca g satisface conditia (iii) din definitia functiei orig-inal:

|g(t)| ≤∫ t

0|f(τ)|dτ ≤M

∫ t

0es0τdτ =

=M

s0

(es0t − 1

)≤ M

s0

es0t,

si este usor de vazut ca g are acelasi indice de crestere ca si f .Pe de alta parte, deoarece

g(t) =∫ t

0f(τ)dτ,

obtinem imediat ca g(0) = 0 si g′(t) = f(t). De aceea,

L(f(t)) = L(g′(t)) = pG(p)− g(0) = pG(p),


unde am folosit transformata Laplace a derivatei si am notat cu G transformataLaplace a functiei g, care este

G(p) = L(g(t)) = L(∫ t

0f(τ)dτ

),


Propozitia 1.6 Fie f o functie original a carei transformata Laplace este F .Daca presupunem ca integrala improprie∫ ∞

pF (q)dq

este convergenta, atunci ∫ ∞p

F (q)dq = L(f(t)

t

).

Demonstratie. Luand ın consideratie expresia lui F , obtinem∫ ∞p

F (q)dq =∫ ∞p

∫ ∞0

f(t)e−qtdtdq =

=∫ ∞

0

∫ ∞p

e−qtdqf(t)dt =

∫ ∞0

e−qtt

∣∣∣∣∣∞

p

f(t)dt =

=∫ ∞

0

f(t)

te−ptdt = L

(f(t)

t

).

adica am obtinut rezultatul dorit.

Propozitia 1.7 Daca argumentul functiei original f este ”ıntarziat”, atunci areloc urmatoarea formula

L(f(t− τ)) = e−pτF (p), ∀τ > 0,

unde, ca de obicei, cu F am notat transformata Laplace a functiei original f .

Demonstratie. Pornind de la definitia transformatei Laplace, obtinem

L(f(t− τ)) =∫ ∞

0f(t− τ)e−ptdt,

astfel ıncat daca folosim schimbarea de variabila t− τ = u, rezulta

L(f(t− τ)) =∫ ∞−τ

f(u)e−pue−pτdu =

=∫ 0

−τf(u)e−pue−pτdu+ e−pτ

∫ ∞0

f(u)e−pudu =

= e−pτ∫ ∞

0f(u)e−pudu = e−pτF (p),


deoarece functia f este un original si atunci f(u) = 0, ∀u < 0.Am demonstrat deja ca produsul obisnuit a doua functii original este o functieoriginal. Totusi nu se poate calcula transformata Laplace pentru produs. Dar,daca produsul obisnuit este substituit prin produsul de convolutie, pentru acestprodus se poate calcula transformata Laplace. Este cunoscut cadrul general ıncare se defineste produsul de convolutie pentru doua functii. In cazul functiilororiginal produsul de convolutie se defineste dupa cum urmeaza:

(f ∗ g)(t) =∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ. (1.6)

Observatie. Se pot verifica fara dificultate urmatoarele proprietati ale produsuluide convolutie:

- f ∗ g = g ∗ f ;- f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h = f ∗ g ∗ h;- f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h;- daca f ∗ g = 0 atunci f ≡ 0 sau g ≡ 0.

Propozitia 1.8 Daca f si g sunt functii original, atunci produsul lor de convolutie(1.6) este o functie original.

Demonstratie. Conditiile (i) si (ii) din definitia unei functii original sunt imediatsatisfacute, luand ın consideratie ca f si g satisfac aceste conditii. Deoarece f si gsatisfac conditia (iii), avem

|f(t)| ≤M1es1t, |g(t)| ≤M2e

s2t,

astfel ıncat

|(f ∗ g)(t)| ≤∫ t

0|f(τ)||g(t− τ)|dτ ≤M1M2

∫ t

0es1τes2(t−τ)dτ.

Daca s2 ≤ s1 atunci

|(f ∗ g)(t)| ≤M1M2

∫ t

0es1τes1(t−τ)dτ = M1M2

∫ t

0es1tdτ = M1M2te

s1t.

Este evident faptul ca t+ 1 ≤ et ⇒ t ≤ et − 1 ≤ et. Atunci

|(f ∗ g)(t)| ≤M1M2e(s1+1)t.

daca s1 < s2, atunci schimbam rolul functiilor f si g, folosind comutativitateaprodusului de convolutie.


Propozitia 1.9 Daca f si g sunt functii original, atunci transformata Laplace aprodusului lor de convolutie este egala cu produsul obisnuit al transformatelor.

L(f ∗ g) = F (p).G(p).

Demonstratie. Luand ın consideratie definitia (1.6), obtinem

L ((f ∗ g)(t)) = L(∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ

)=

=∫ ∞

0

∫ t

0f(τ)g(t−τ)dτe−ptdt=

∫ ∞0

∫ ∞τ

g(t−τ)e−ptdtf(τ)dτ=

=∫ ∞

0

∫ ∞0

g(u)e−p(τ+u)duf(τ)dτ=∫ ∞

0f(τ)e−pτ

∫ ∞0g(u)e−pududτ=

=∫ ∞

0f(τ)e−pτG(p)dτ = G(p)

∫ ∞0

f(τ)e−pτdτ = G(p).F (p).

Am folosit aici schimbarea de variabila t− τ = u. Propozitia este demonstrata.

Corolarul 1.3 In tehnica este utila urmatoarea formula numita formula lui Duhamel

pF (p)G(p) = L(f(t)g(0) +

∫ t

0f(τ)g′(t− τ)dτ

).

Demonstratie. Notam cu h produsul de convolutie al functiilor f si g, care este

h(t) = (f ∗ g)(t) =∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ.

Atunci deducem ca h(0) = 0 si

h′(t) = f(t)g(0) +∫ t

0f(τ)g′(t− τ)dτ.

Aplicam transformata Laplace produsului de convolutie apoi transformata Laplacea derivatei. In final folosim faptul ca h(0) = 0 si obtinem formula lui Duhamel.

3.2. METODE OPERATIONALE 103

3.2 Metode operationale

Transformata Laplace este un instrument util pentru a reduce operatii matem-atice mai dificile, specifice analizei matematice, ın operatii mai accesibile, speci-fice algebrei. De exemplu, folosind transformata Laplace, rezolvarea unei ecuatiidiferentiale (sau a unei ecuatii integrale) se reduce la rezolvarea unei ecuati alge-brice. Asadar, daca aplicam transformata Laplace, o problema devine mai acce-sibila, dar solutia va fi obtinuta ın multimea imaginilor, desi problema initiala afost formulata ın multimea originalelor. De aceea, va trebui sa transpunem solutiaproblemei respective din multimea imaginilor ın multimea originalelor. Acesta estesubiectul asa numitelor ”formule operationale”, sau, ”metode operationale”.

In cele ce urmeaza vom formula si demonstra doua dintre cele mai cunoscuterezultate ın acest sens.

Teorema 2.1 Daca seria

∞∑k=1

ckpk

(2.1)

este convergenta pentru |p| ≥ R, atunci functia

θ(t)∞∑k=1

ck(k − 1)!

tk−1, (2.2)

este o functie original si transformata sa Laplace este seria (2.1). Aici, am notatcu θ functia lui Heaviside.

Demonstratie. In conformitate cu criteriul lui Cauchy de convergenta, avem

ck ≤MRk ⇒∣∣∣∣∣θ(t)

∞∑k=1

ck(k − 1)!

tk−1

∣∣∣∣∣ ≤≤M

∞∑k=1

Rk|t|k−1

(k − 1)!≤MReR|t|,

de unde vom deduce ca functia (2.2) este o functie original.Pentru a doua afirmatie a teoremei, folosim formula care da transformata functieif(t) = tk:

L(θ(t)tk−1

)=

(k − 1)!

pk.


Atunci, ın baza liniaritatii transformatei Laplace, avem

L(θ(t)

∞∑k=1

ck(k − 1)!

tk−1

)=∫ ∞

0θ(t)

∞∑k=1

ck(k − 1)!

tk−1e−ptdt =

=∞∑k=1

∫ ∞0

e−ptθ(t)tk−1

(k − 1)!ckdt =

∞∑k=1

ckpk,

adica, chiar rezultatul dorit.

Teorema 2.2 Fie P si Q doua polinoame astfel ıncat grad P < grad Q si Q arenumai radacinile simple p0, p1, ..., pn. Atunci functia

F (p) =P (p)

Q(p)

este transformata Laplace a functiei f data prin

f(t) =n∑k=0

P (pk)

Q′(pk)epkt.

Demonstratie. Luand ın consideratie ipoteza impusa polinomululi Q, putem sascriem

Q(p) = c(p− p0)(p− p1)...(p− pn)

si atunci descompunem functia F ın fractii simple

F (p) =a0

p− p0

+a1

p− p1

+ ...+an

p− pn. (2.3)

Este usor de vazut ca functia F are polii simpli p0, p1, ..., pn. Consideram cercurilecj(pj, rj) cu centrele ın punctele pj si razele rj, suficient de mici astfel ıncat ınfiecare disc ınchis nu se mai afla alt pol, cu exceptia centrului cercului respectiv.Coeficientul aj va fi determinat integrand egalitate a (2.3) pe cercul cj:

∫cjF (p)dp =

n∑k=0

ak

∫cj

1

p− pkdp. (2.4)

In conformitate cu teorema lui Cauchy, integralele din membrul drept al relatiei(2.4) sunt nule, cu exceptia integralei corespunzatoare lui k = j, pentru care avem

∫cj

1

p− pjdp = 2πi.


Atunci relatia (2.4) devine ∫cjF (p)dp = 2πiaj. (2.5)

Pe de alta parte, integrala din membrul drept al relatiei (2.4) se poate calcula cuajutorul teorema reziduurilor:∫

cjF (p)dp = 2πi rez(F, pj) = 2πi

P (pj)

Q′(pj),

astfel ıncat substituind ın (2.5), obtinem

aj =P (pj)

Q′(pj)

Atunci formula (2.3) devine

F (p) =n∑k=0

P (pk)

Q′(pk)

1

p− pk=

n∑k=0

P (pk)

Q′(pk)L(epkt

).

In final, folosind liniaritatea transformatei Laplace, vom deduce

F (p) = L(

n∑k=0

P (pk)

Q′(pk)epkt

),

ceea ce conduce la rezultatul dorit.

Corolarul 2.1 Daca una din radacinile polinomului Q este nula, atunci functiaoriginal devine

f(t) =P (0)

Q(0)+

n∑k=1

P (pk)

R′(pk)epkt (2.6)

unde R este polinomul definit astfel ıncat Q(p) = pR(p).

Demonstratie. Presupunem ca radacina nula este p0 = 0. Atunci scriemQ(p) = pR(p). De aceea, Q′(p) = R(p) +R′(p). pentru celelalte radacini ale lui Qavem ca Q(pk) = 0⇔ R(pk) = 0. Asadar, Q′(pk) = R(pk) + pkQ

′(pk) = pkQ′(pk).

De aceea, rezultatul dorit rezulta cu ajutorul teoremei 2.2.

Formula (2.6) este cunoscuta ca formula lui Heaviside.In finalul acestui paragraf, vrem sa gasim imaginea prin transformata Laplace adoua functii, ıntalnite ın multe aplicatii. Consider, mai ıntai, functia f(t) = tα,


unde α este un numar complex astfel ıncat Re(α) > −1. Daca Re(α) ≥ 0, atuncif este o functie original si transformata sa Laplace este:

L(tα) =∫ ∞

0tαe−ptdt. (2.7)

Daca Re(α) ∈ (−1, 0), atuncilimt0

f(t) =∞

si f nu este un original, dar integrala (2.7) este convergenta, astfel ıncat se poatestudia integrala (2.7) pentru Re(α) > −1. Luand ın consideratie definitia functieiΓ a lui Euler, din (2.7) obtinem ca

L(tα) =Γ(α + 1)

pα+1. (2.8)

Trebuie sa subliniem faptul ca formula (2.8) ne da posibilitatea sa demonstram,folosind o noua procedura, legatura dintre functiile lui Euler, Γ si β:

β(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y), Re(x) > −1, Re(y) > −1.

Intr-adevar, daca pornim de la egalitatile

L(tx−1) =Γ(x)

px, L(ty−1) =

Γ(y)

py,

si luam ın consideratie propozitia 1.9, pentru produsul de convolutie, avem

Γ(x)Γ(y)

px+y= L

(tx+y+1

∫ ∞0

θx−1(1− θ)y−1dθ),

ın care am folosit schimbarea de variabila τ = tθ. ultima integrala este egala cuβ(x, y) si

L(tx+y+1) =Γ(x+ y)

px+y,

si atunciΓ(x)Γ(y) = β(x, y)Γ(x+ y).

Acum, consideram functia lui Bessel de speta ıntai si de ordinul n ∈ IN, Jn. Estebine cunoscut faptul ca functia Jn admite reprezentarea integrala

Jn(t) =1

2π

∫ 2π

0ei(t sin θ−nθ)dθ.


Jn este o functie de clasa C1 pe IR si, mai mult,

|Jn(t)| ≤ 1, ∀t ∈ IR, ∀n ∈ IN.

vom deduce astfel ca Jn este o functie original cu indicile de crestere s0 = 0.Imaginea prin transformata Laplace a functiei Jn este:

L(Jn(t)) =1

2π

∫ 2π

0e−inθdθ

∫ ∞0

e(i sin θ−p)tdt.

Daca Re(p) > s0 = 0, atunci

∫ ∞0

e(i sin θ−p)tdt =1

p− i sin θ, ⇒ L(Jn(t)) =

1

2π

∫ ∞0

e−inθ

p− i sin θdθ.

Folosind substitutia e−iθ = z, integrala din membrul drept devine o integralacomplexa care poate fi calculata cu ajutorul teoremei reziduurilor, astfel ıncat, ınfinal, obtinem

L(Jn(t)) =1√

p2 + 1(p+√p2 + 1)n

.

In cazul particular cand n = 0, obtinem un rezultat foarte util ın aplicatii:

L(J0(2√t) =

1

pe−

1p .


3.3 Aplicatii

In finalul acestui capitol, vom expune pe scurt cateva aplicatii concrete, dintre celemai utile ale transformatei Laplace si procedura de abordare a lor.

3.4 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti

Consideram problema Cauchy

anx(n) + an−1x

(n−1) + ...+ a1x(1) + a0x = f(t),

x(0) = x0, x′(0) = x1, ..., x

(n−1)(0) = xn−1,

unde functia f(t), constantele a0, a1, ..., an si x0, x1, ..., xn−1 sunt date.Daca aplicam transformata Laplace ın ambii membri ai ecuatiei, obtinem

anL(x(n)

)+ an−1L

(x(n−1)

)+ ...+ a0L (x)) = L (f(t)) .

Folosind notatiile

L (x(t)) = X(p), L (f(t)) = F (p),

si transformata Laplace pentru derivata unui original, obtinem relatiile

L(x(n)

)= pnX(p)−

[pn−1x0 + pn−2x1 + ...+ xn−1

],

L(x(n−1)

)= pn−1X(p)−

[pn−2x0 + pn−3x1 + ...+ xn−2

],

...

L(x) = X(p)

Inmultim prima ecuatie cu an, a doua cuan−1,..., ultima cu a0 si apoi adunamrelatiile care rezulta, Astfel obtinem urmatoarea relatie:

anL(x(n)

)+ an−1L

(x(n−1)

)+ ...+ a0L (x)) = X(p)

[anp

n + an−1pn−1 + ...+ a0

]−

−x0

[anp

n−1 + an−1pn−2 + ...+ a1

]− x1

[anp

n−2 + an−1pn−3 + ...+ a2

]− ...

adica, o ecuatie de forma

F (p) = X(p)ϕ(p)−G(p)

3.5. ECUATII DIFERENTIALE CU COEFICIENTI VARIABILI 109

cu solutia

X(p) =X(p) +G(p)

ϕ(p).

Solutia ecuatiei initiale devine

x(t) = L−1 (X(p)) .

O procedura similara este folosita ın cazul unui sistem de ecuatii diferentiale.Se aplica transformata Laplace pentru fiecare ecuatie din sistem. Se obtine unsistem algebric de ecuatii avand ca functii necunoscute transformatele Laplaceale functiilor necunoscute initiale. Dupa ce gasim actualele functii necunoscute,aplicam transformata Laplace inversa si gasim solutiile sistemului initial.

3.5 Ecuatii diferentiale cu coeficienti variabili

Exista unele ecuatii diferentiale avand coeficientii variabili care poate fi rezol-vate prin metode operationale. De exemplu, ecuatiile diferentiale pentru carecoeficientii sunt polinoame ın t pot fi abordate ın aceasta maniera deoarece astfelde ecuatii contin expresii de forma

x, tx, t2x, ..., x′, tx′, t2x′, ..., x(n), tx(n), t2x(n), ...

si putem folosi derivata transformatei Laplace

L ((−t)nf(t)) = F (n)(p), unde F (p) = L (f(t)) .

Exemplu. Sa rezolvam ecuatia

tx′′ + x′ + x = 0, unde x(0) = 0, x′(0) = 1.

Folosind transformata Laplace a derivatei unui original si derivata transformateiLaplace, obtinem

L (x′) = pX(p)− x(0) = pX(p),

L (x′′) = p2X(p)− 1,

L (tx′′) = − [L (x′′)]′= −

(p2X(p)− 1

)′= −2pX(p)− p2X ′(p).

In final, rezulta urmatoarea ecuatie diferentiala:

−p2X ′(p)− 2pX(p) + pX(p) +X(p) = 0⇒ p2X ′(p) + (p− 1)X(p) = 0.


Dupa ce facem cateva calcule simple, obtinem

dX

X=

1− pp2

dp⇒ lnX = −1

p− ln p = ln

1

pe1/p

X(p) =1

pe1/p=

1

p

(1− 1

1!

1

p+

1

2!

1

p2− 1

3!

1

p3+ ...

).

Aceasta ecuatie pot fi rescrisa ın forma

L (x(t)) =1

p− 1

1!

1

p2+

1

2!

1

p3+ ... = L(1)− 1

1!L (t) +

1

2!L(t2)− ...

3.6 Ecuatii integrale

Exista unele ecuatii integrale care poate fi rezolvate prin metode operationale. Deexemplu, sa consideram ecuatia integro-diferentiala

x′(t) =

t∫0

x(τ) cos(t− τ)dτ, x(0) = 1.

Folosind transformata Laplace, rezulta

pX(p)− 1 = X(p)p

p2 + 1⇒ X(p)

(p− p

p2 + 1

)= 1⇒

⇒ X(p) =p

p2 + 1=

1

p+

1

p3⇒ L (x(t)) = L(1) +

1

2L(t2)

= L(

1 +t2

2

),

astfel ıncat solutia ecuatiei initiale este

x(t) = 1 +t2

2.

3.7. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE 111

3.7 Ecuatii cu derivate partiale

Consideram urmatoarea problema mixta cu date initiale si la limita:

a11∂2f

∂x2+ a12

∂f

∂x+ b11

∂2f

∂t2+ b12

∂f

∂x+ cf = g(x, t)

f(x, 0) = h1(x), x ∈ [a, b]

∂f

∂x(x, 0) = h1(x)

A1∂f

∂x(0, t) +B1

∂f

∂t(0, t) + C1f(0, t) = k1(t)

A2∂f

∂x(l, t) +B2

∂f

∂t(l, t) + C2f(l, t) = k2(t), t ∈ [0,∞)

Folosind transformata Laplace, obtinem

L(∂f

∂t

)= pF (x, p)− f(x, 0) = pF (x, p)− h1(x)

L(∂2f

∂t2

)= p2F (x, p)− pf(x, 0)− f ′(x, 0) =

= p2F (x, p)− ph1(x)− h2(x).

In felul acesta, precedenta problema mixta devine

a11d2F

dx2(0, p) + a12

dF

dx(0, p) + b11

[p2F (0, p)− ph1 − h2

]+

+b12 [pF (0, p)− h1] + cF = Φ

A1dF

dx(0, p) +B1

[p2F (0, p)− h1(0)

]+ C1F (0, p) = K1(p)

A2dF

dx(l, p) +B2

[p2F (l, p)− h1(l)

]+ C2F (l, p) = K2(p),

adica, o problema mixta pentru o ecuatie diferentiala ordinara.

3.8 Unele integrale improprii

Consideram, direct, unele integrale improprii care sunt calculabile destul de facilfolosind transformata Laplace.


Sa calculam urmatoarea integrala, bine cunoscuta ca integrala lui Gauss

I =

∞∫0

e−x2

dx

Ca un instrument auxiliar, consideram integrala

J(t) =

∞∫0

e−tx2

dx,

astfel ıncat integrala noastra initiala este

I = J(1).

Folosind transformata Laplace, obtinem

L (J(t)) == L

∞∫0

e−tx2

dx

e−ptdt =

∞∫0

∞∫0

e−tx2

e−ptdt

dx =

=

∞∫0

L(e−tx

2)dx =

∞∫0

1

p+ x2dx =

1√p

arctgx√p|∞0 =

1√p

π

2.

Dupa cum se stie, avem

L(

1√πt

)=

1√p

astfel ıncat se obtine

L (J(t)) =π

2L(

1√πt

)= L

(π

2√πt

).

Atunci deducem caJ(t) =

π

2√πt,

si, ca urmare,

I = J(1) =

√π

2.

Capitolul 4

Transformata Fourier

4.1 Serii Fourier

Consideram seria trigonometrica de forma urmatoare

a0

2+∞∑n=1

(an cosnωx+ bn sinnωx) . (1.1)

Deoarece functiile trigonometrice cosnωx si sinnωx sunt functii periodice avandperioada T = 2π/ω spunem ca seria (1.1) este o serie perioadica.Sa presupunem ca seria (1.1) este convergenta. Daca notam cu f(x) suma acesteiserii, putem sa scriem

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnωx+ bn sinnωx) . (1.2)

Este clar, functia f este perioadica cu aceiasi perioada, T = 2π/ω. De asemenea,daca coeficientii seriei sunt schimbati, fara a afecta convergenta, se va obtine oalta suma pentru serie. Acum ne intereseaza problema reciproca, si anume, dacasuma f(x) este fixata, cum putem determina coeficientii seriei cu ajutorul functieif . Asadar, ın cele ce urmeaza ne propunem sa gasim coeficientii seriei astfel ıncatsuma seriei este f .

Teorema 1.1 Coeficientii seriei (1.2) au urmatoarele expresii

a0 =2

T

∫ α+T

αf(x)dx,

an =2

T

∫ α+T

αf(x) cosnωxdx, (1.3)

bn =2

T

∫ α+T

αf(x) sinnωxdx.

113

114 CAPITOLUL 4. TRANSFORMATA FOURIER

Demonstratie. Incepem prin integrarea egalitatii (1.2) pe un interval de lungimeT , sa spunem [α, α + T ]:∫ α+T

αf(x)dx =

∫ α+T

α

a0

2dx+

∞∑n=1

∫ α+T

α(an cosnωx+ bn sinnωx) dx⇒

⇒∫ α+T

αf(x)dx =

a0

2T +

∞∑n=1

(annω

sinnωx|α+Tα − bn

nωcosnωx|α+T

α

).

Deoarece

sinnω(α + T )− sinnωα = 0, cosnω(α + T )− cosnωα = 0,

obtinem ∫ α+T

αf(x)dx =

a0

2T ⇒ a0 =

2

T

∫ α+T

αf(x)dx.

De asemenea, este usor de observat din calculele de mai sus ca nu este importantavaloarea lui α. Este importanta numai lungimea T a intervalului, astfel ıncat ınurmatoarele calcule folosim intervalul [0, T ], adica luam cazul particular α = 0.Inmultim acum egalitatea (1.2) cu cos kωx si apoi integram egalitatea care rezultape intervalul [0, T ]. Obtinem∫ T

0f(x) cos kωxdx =

∫ T

0

a0

2cos kωxdx+

+∞∑n=1

∫ T

0(an cosnωx cos kωx+ bn sinnωx cos kωx) dx⇒

∫ T

0f(x) cos kωxdx =

a0

2

∫ T

0cos kωxdx+ (1.4)

+∞∑n=1

[an

∫ T

0cosnωx cos kωxdx+ bn

∫ T

0sinnωx cos kωxdx

].

Prima integrala din membrul drept devine∫ T

0cos kωxdx =

1

kωsin kωx|T0 = 0.

Pentru a evalua ultimele doua integrale din egalitate a (1.4), trebuie sa consideramdoua cazuri.

1. n 6= k. Este usor de vazut ca∫ T

0cosnωx cos kωxdx =

1

2

∫ T

0[cos(n+ k)ωx+ cos(n− k)ωx]dx =

4.1. SERII FOURIER 115

=1

2(n+ k)sin(n+ k)ωx|T0 +

1

2(n− k)sin(n− k)ωx|T0 = 0.

De asemenea,∫ T

0sinnωx cos kωxdx =

1

2

∫ T

0[sin(n+ k)ωx+ sin(n− k)ωx]dx =

= − 1

2(n+ k)cos(n+ k)ωx|T0 −

1

2(n− k)sin(n− k)ωx|T0 = 0 =

= − 1

2(n+ k)(cos(n+ k)2π − 1)− 1

2(n− k)(cos(n− k)2π − 1) = 0.

2. n = k. In acest caz integrala devine∫ T

0f(x) cosnωxdx =

= an

∫ T

0cos2 nωxdx+ bn

∫ T

0sinnωx cosnωxdx =

=an2

∫ T

0(1 + cos 2nωx)dx+

bn2

∫ T

0sin 2nωx)dx =

=an2T +

an4nω

sin 2nωx|T0 −bn

4nωcos 2nωx|T0 =

an2T.

De aceea, deducem ca

an =2

T

∫ T

0f(x) cosnωxdx.

Pentru ca sa obtinem coeficientii bn ınmultim ambii membri ai egalitatii (1.4) cusin kωx. Apoi egalitatea care rezultata este integrata pe intervalul [0, T ], mai ıntaiın cazul n 6= k, apoi ın cazul n = k. Folosind aceleasi consideratii ca ın cazulcoeficientilor an, vom obtine

bn =2

T

∫ T

0f(x) sinnωxdx,


Observatii.1. Coeficientii determinati mai sus se numesc coeficientii Fourier atasati functiei

periodice f avand perioada T .2. Coeficientii Fourier raman valabili chiar ın cazul ın care seria (1.2) nu este

convergenta. Intr-adevar, ın calculele pe care le-am facut pentru a obtine expresiilecoeficientilor Fourier, egalitatea (1.2) a fost considerata ca o relatie formala.


3. Coeficientii Fourier capata aceiasi expresie daca luam un alt interval, daravand aceiasi lungime T .

Aplicatie.

Sa calculam coeficientii Fourier pentru functia periodica f cu perioada T = 2πdata prin

f : [π, π]→ R, f(x) = x.

Avem

ω =2π

T=

2π

2π= 1, α = −π ⇒ [α, α + T ] = [−π, π].

Folosind formulele din teorema 1.1 pentru coeficientii Fourier, obtinem

a0 =1

2π

∫ π

−πxdx =

1

π

x2

2|π−π = 0,

an =2

2π

∫ π

−πx cosnxdx =

1

π

[x

nsinnx|π−π −

1

n

∫ π

−πsinnxdx

]=

=1

πn2cosnx|π−π = 0,

bn =2

2π

∫ π

−πx sinnxdx =

1

π

[−xn

cosnx|π−π +1

n

∫ π

−πcosnxdx

]=

=1

π

[−πn

(−1)n − π

n(−1)n +

1

n2sinnx|π−π

]= −2

(−1)n

n=

2

n(−1)n+1.

atunci, seria Fourier a functiei f(x) = x este

x =∞∑n=1

2

n(−1)n+1 sinnx.

Conditiile care asigura convergenta seriei (1.2) sunt continute ın teorema careurmeaza si care este datorata lui Dirichlet.

Teorema 1.2 Consideram o functie periodica f : R → R, cu perioada T , caresatisface conditiile urmatoare:

i) f este marginita;ii) f are un numar finit de puncte de discontinuitate de prima speta ın orice

interval de lungime T ;iii) f este functie monotona pe un numar finit de subintervale ale oricarui

interval de lungime T .


Atunci seria (1.2) este convergenta ın orice punct x0 ∈ R, si anume, tinde la f(x0)daca x0 este punct de continuitate pentru f si, respectiv, tinde la

f(x0 + 0) + f(x0 − 0)

2,

daca x0 este un punct de discontinuitate de prima speta.

Observatie. Cu o formula simplificata, scopul seriei Fourier este de a atasa uneifunctii neperiodice, o aproximare periodica. In sensul acestei aproximari, se con-sidera urmatorul polinomul trigonometric

Sm(x) =a0

2+

m∑n=1

(an cosnωx+ bn sinnωx) .

adica, suma partiala de ordinul m a seriei.Pentru a evalua diferenta dintre functia f si polinomul sau de aproximare se cal-culeaza expresia

E =2

T

∫ T

0(f(x)− Sm(x))2 dx.

de unde deducema2

0

2+

m∑n=1

(a2n + b2

n

)≤ 2

T

∫ T

0f(x)2dx,

numita inegalitatea lui Bessel.Trecand la limita ın aceasta inegalitate , cu m→∞ suntem condusi la

a20

2+∞∑n=1

(a2n + b2

n

)=

2

T

∫ T

0f(x)2dx,

numita identitatea lui Parseval.

In cele ce urmeaza vom scrie seria Fourier pentru o functie periodica avandperioada particulara 2π.

Teorema 1.3 Consideram o functie periodica f : [−π, π] → R care are perioadaT egala cu T = 2π. Atunci

i) daca f este o functie para atunci seria sa Fourier devine

f(x) =a0

2+∞∑n=1

an cosnx,

unde coeficientii au expresiile:

a0 =2

π

∫ π

0f(x)dx, an =

2

π

∫ π

0f(x) cosnxdx.


ii) daca f este o functie impara atunci seria sa Fourier devine

f(x) =∞∑n=1

bn sinnx,

unde coeficientii au expresiile:

bn =2

π

∫ π

0f(x) sinnxdx.

Demonstratie. i) Deoarece f este o functie para, f(−x) = f(x), putem sa scriem

an =2

2π

∫ π

−πf(x) cosnxdx =

=1

π

(∫ 0

−πf(x) cosnxdx+

∫ π

0f(x) cosnxdx

).

In ultima relatie, prima integrala se reduce la a doua folosind substitutia x→ −xsi luand ın consideratie ca functiile f si cosx sunt functii pare. De aceea,

an =2

π

∫ π

0f(x) cosnxdx.

Similar, este usor de observat ca

bn =2

2π

∫ π

−πf(x) sinnxdx =

=1

π

(∫ 0

−πf(x) sinnxdx+

∫ π

0f(x) cosnxdx

)= 0,

deoarece functia sinx este o functie impara iar f a fost presupusa functie para.ii) Putem folosi aceiasi procedura dar luand ın consideratie faptul ca f este o

functie impara, adica f(−x) = −f(x). Asadar, obtinem

a0 = 0, an = 0, bn =1

π

∫ π

0f(x) sinnxdx,


Observatie. Se obisnuieste sa se spuna ca o functie para admite serie Fourierde cosinusi iar o functie impara admite serie Fourier de sinusi.Acum, consideram cazul functiilor definite pe un interval nesimetric de forma[0, π]. Este clar ca pe un astfel de interval nu se poate pune problema paritatiiunei functii.


Teorema 1.4 Consideram functia f : [0, π] → R. Atunci ea admite atat serieFourier de cosinusi cat si serie Fourier de sinusi.

Demonstratie. Pentru a gasi seria Fourier de cosinusi a functiei f , construimurmatoarea functie

g(x) =

f(x), x ∈ [0, π]f(−x), x ∈ [−π, 0].

Printr-un calcul foarte simplu putem sa verificam ca g este o functie para si atunci,ın conformitate cu teorema 1.3, aceasta functie admite o serie de cosinusi:

g(x) =a0

2+∞∑n=1

an cosnx,

unde

a0 =2

π

∫ π

0g(x)dx, an =

2

π

∫ π

0g(x) cosnxdx.

Dar pe intervalul [0, π] functia g(x) este f(x) astfel ıncat seria anterioara este, defapt, seria functiei f .

Pentru a gasi seria Fourier de sinusi a functiei f , construim urmatoarea functie

h(x) =

f(x), x ∈ [0, π]−f(−x), x ∈ [−π, 0].

Este un simplu exercitiu sa verificam ca h este o functie impara si atunci, ınconformitate cu teorema 1.3, aceasta functie admite o serie de sinusi:

h(x) =∞∑n=1

bn sinnx,

unde

bn =2

π

∫ π

0g(x) sinnxdx.

Dar pe intervalul [0, π] functia h(x) este f(x) astfel ıncat seria anterioara este, defapt, seria functiei f . Asadar, teorema este demonstrata.

In cele ce urmeaza consideram cazul general al unei functii definita pe un in-terval arbitrar [a, b].

Teorema 1.5 Consideram functia f : [a, b]→ R. Atunci seria sa Fourier este

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) ,


unde

a0 =2

b− a

∫ b

af(x)dx,

an =2

b− a

∫ b

af(x) cos

nπ

b− a(2x− a− b)dx,

bn =2

b− a

∫ b

af(x) sin

nπ

b− a(2x− a− b)dx.

Demonstratie. Definim functia g(x) prin

g(x) = f

(a+ b

2+b− a2π

x

).

Pentru ca sa gasim domeniul de definitie pentru g observam ca

a ≤ a+ b

2+b− a2π

x ≤ b,

deoarece f este definita pe intervalul [a, b]. Inegalitatea anterioara devine

2aπ ≤ aπ + bπ + (b− a)x ≤ 2bπ ⇒ x ∈ [−π, π].

Atunci, ın baza teoremei 1.3, seria Fourier a functiei g este

g(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) ,

unde

a0 =1

π

∫ π

−πf(x)dx,

an =1

π

∫ π

−πf(x) cosnxdx,

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sinnxdx.

Dar expresia lui an este

an =1

π

∫ π

−πf

(a+ b

2+b− a2π

x

)cosnxdx.

Sa facem schimbarea de variabila

a+ b

2+b− a2π

x = y.


atunci

dx =2π

b− ady.

De asemenea, pentru x = −π obtinem y = a si pentru x = π ⇒ y = b. Atunci

x =

(y − a+ b

2

)2π

b− a(2y − a− b) π

b− a.

De aceea,

an =1

π

∫ b

af(y) cos

nπ

b− a(2y − a− b) 2π

b− ady =

=2

b− a

∫ b

af(y) cos

nπ

b− a(2y − a− b)dy.

Folosind aceiasi procedura, coeficientii bn devin

bn =2

b− a

∫ b

af(y) sin

nπ

b− a(2y − a− b)dy,


Observatie. In cazul particular a = −l si b = l obtinem ca f : [−l, l] → Rsi atunci coeficientii sai Fourier sunt:

a0 =1

l

∫ l

−lf(x)dx,

an =1

l

∫ l

−lf(x) cos

nπ

lxdx,

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin

nπ

lxdx.

In finalul acestui paragraf dam forma complexa a seriei Fourier. In contextulfunctiilor complexe este foarte utila relatia

ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) ,

numita formula lui Euler.In baza formulei lui Euler este usor sa obtinem relatiile

cosnωx =einωx + e−inωx

2, sinnωx =

einωx − e−inωx

2i= −ie

inωx − e−inωx

2.

Folosind aceste relatii, seria Fourier devine

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) =


=a0

2+∞∑n=1

[aneinωx + e−inωx

2− ibn

einωx − e−inωx

2

]=

=a0

2+∞∑n=1

(anan − ibn

2einωx +

an + ibn2

e−inωx).

Sa notam

cn =an − ibn

2.

Luand ın consideratie expresiile pentru coeficientii an si bn, obtinem

cn =1

2

[2

T

∫ T

0f(t) cosnωtdt− i 2

T

∫ T

0f(t) sinnωtdt

]=

=1

T

∫ T

0f(t)[cosnωt− i sinnωt]dt =

1

T

∫ T

0f(t)e−inωtdt.

Similar, avem

c−n =an + ibn

2=

1

T

∫ T

0f(t)einωtdt.

De aceea,

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(2

T

∫ T

0f(t)e−inωtdtxeinωx +

2

T

∫ T

0f(t)einωtdtxe−inωx

)=

=a0

2+∞∑n=1

(2

T

∫ T

0f(t)einω(x−t)dt+

2

T

∫ T

0f(t)e−inω(x−t)dt

)=

=a0

2+∞∑n=1

2

T

∫ T


−∞∑n=−1

2

T

∫ T

0f(t)einω(x−t)dt =

=∞∑n=0

2

T

∫ T


−∞∑n=−1

2

T

∫ T

0f(t)einω(x−t)dt.

In final, putem sa scriem

f(x) =∞∑n=0

2

T

∫ T


−∞∑n=−1

2

T

∫ T

0f(t)einω(x−t)dt,

sau,

f(x) =2

T

∞∑n=−∞

∫ T

0f(t)einω(x−t)dt.

4.2. FORMULA INTEGRALA FOURIER 123

4.2 Formula integrala Fourier

Consideram o functie f : R → K, unde K = R sau K = C, avand urmatoareleproprietati:

1) f este derivabila aproape peste tot pe R;2) In orice punct de discontinuitate de speta ıntai t0 f ia valoarea

f(t0) =f(t0 − 0) + f(t0 + 0)

2,

unde f(t0− 0) si f(t0 + 0) sunt limitele laterale ale functiei f , la stanga, respectiv,la dreapta, ın punctul t0.

3) f este o functie absolut integrabila pe R, adica∫ ∞−∞|f(t)|dt <∞.

Atunci are loc urmatoarea formula:

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(τ)eiuτdτdu, (2.1)

numita formula integrala Fourier.In teorema urmatoare vom face trecerea de la forma complexa a formulei inte-

grale Fourier la forma sa reala (numita si forma trigonometrica).

Teorema 2.1 In conditiile de mai sus impuse functiei f are loc urmatoarea formareala a formulei integrale Fourier:

f(t) =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f(τ) cosu(t− τ)dτdu. (2.2)

Demonstratie. Folosind bine cunoscuta formula a lui Euler:

eiu(t−τ) = cosu(t− τ) + i sinu(t− τ),

formula (2.1) devine

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(τ) cosu(t− τ)dτ +∫ ∞−∞

f(τ) sinu(t− τ)dτdu. (2.3)

Folosim acum notatiile:

ϕ(u, t) =∫ ∞−∞

f(τ) cosu(t− τ)dτ,


ψ(u, t) =∫ ∞−∞

f(τ) sinu(t− τ)dτ,

si atunci relatia (2.3) devine

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

ϕ(u, t)du+i

2π

∫ ∞−∞

ψ(u, t)du.

Este usor de vazut ca

ϕ(−u, t) = ϕ(u, t), ψ(−u, t) = −ψ(u, t),

adica, ϕ(u, t) este functie para si ψ(u, t) este functie impara, ın raport cu u.De aceea,

ϕ(u, t) =∫ ∞−∞

f(τ) cosu(t− τ)dτ =∫ 0

−∞f(τ) cosu(t− τ)dτ+

+∫ ∞

0f(τ) cosu(t− τ)dτ = 2

∫ ∞0

f(τ) cosu(t− τ)dτ,

unde am folosit schimbarea de variabila u→ −u pe intervalul (∞, 0] si am luat ınconsideratie paritatea functiei ϕ. Folosind aceiasi schimbare de variabila si luandın consideratie paritatea functiei ψ, obtinem

ψ(u, t) =∫ ∞−∞

f(τ) sinu(t− τ)dτ =

=∫ 0

−∞f(τ) sinu(t− τ)dτ +

∫ ∞0

f(τ) sinu(t− τ)dτ = 0.

In final, deducem

f(t) =2

π

∫ ∞−∞

ϕ(u, t)du =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f(τ) cosu(t− τ)dτdu,


Observatie. Este interesant de observat analogia dintre seria Fourier si formulaintegrala Fourier. Intr-adevar, observam ca

cosu(t− τ) = cosut cosuτ + sinut sinuτ,

si atunci forma reala a formulei integrale Fourier devine

f(t) =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

f(τ) cosut cosuτdτ +∫ ∞−∞

f(τ) sinut sinuτdτdu =


=1

π

∫ ∞0

[∫ ∞−∞

f(τ) cosuτdτ]

cosut+[∫ ∞−∞

f(τ) sinuτdτ]

sinutdu.

De aceea, putem sa scriem

f(t) =∫ ∞

0[A(u) cosut+B(u) sinut] dt, (2.4)

unde am folosit notatiile

A(u) =1

π

∫ ∞−∞

f(τ) cosuτdτ,

B(u) =1

π

∫ ∞−∞

f(τ) sinuτdτ.

Reamintim ca forma generala a seriei Fourier este

f(t) =∞∑0

[an cosnt+ bn sinnt] ,

Este clar ca aceasta formula este analoaga cu (2.4). Semnul integrala este substi-tuit prin semnul suma.

In cele ce urmeaza obtinem o forma particulara pentru formula integrala Fourierın cazul unei functii avand paritate.

Teorema 2.2 Presupunem satisfacute conditiile standard impuse functiei f . Atuncii) daca f este o functie para atunci formula integrala Fourier devine:

f(t) =2

π

∫ ∞0

cosut

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτdu; (2.5)

ii) daca f este o functie impara atunci formula integrala Fourier devine:

f(t) =2

π

∫ ∞0

sinut

∫ ∞0

f(τ) sinuτdτdu. (2.6)

Demonstratie. Scriem formula integrala Fourier ın forma

f(t) =∫ ∞

0[A(u) cosut+B(u) sinut] dt, (2.7)

unde

A(u) =1

π

∫ ∞−∞

f(τ) cosuτdτ,

B(u) =1

π

∫ ∞−∞

f(τ) sinuτdτ.


De asemenea,

A(u) =1

π

[∫ 0

−∞f(τ) cosuτdτ +

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ].

Pentru prima integrala facem schimbarea de variabila τ → −τ si aceasta integralase reduce la a doua integrala deoarece functia f(τ) cosuτ este o functie para.Atunci

A(u) =2

π

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ.

Luand ın consideratie faptul ca functia f(τ) sinuτ este o functie impara, obtinem

B(u) =1

π

∫ ∞−∞

f(τ) sinuτdτ =

=1

π

[∫ 0

−∞f(τ) cosuτdτ +

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ]

= 0.

Cu aceste estimari asupra espresiilor A(u) si B(u), relatia (2.7) devine:

f(t) =∫ ∞

0A(u) cosutdu =

2

π

∫ ∞0

cosut

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτdu,

adica, relatia (2.5) este demonstrata. Folosind calcule similare este usor sa demon-stram relatia si (2.6) si teorema este demonstrata.

Aplicatie. Sa scriem formula integrala Fourier pentru functia

f : R→ R, f(t) =

1, t ∈ (−a, a)1/2, t = ±a0, t ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞)

unde a este a constanta pozitiva. Aceasta este functia lui Dirichlet de discontinu-itate. Este usor de dovedit ca f(−t) = f(t), adica f este functie para si atunci

f(t) =2

π

∫ ∞0

cosut

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτdu =

=2

π

∫ ∞0

cosut

∫ a

0f(τ) cosuτdτ

du =

2

π

∫ ∞0

cosut

∫ a

0cosuτdτ

du =

=2

π

∫ ∞0

cosut

(sin au

u

)du =

2

π

∫ ∞0

cosut sin au

udu.

La sfarsitul acestui paragraf studiem, pe scurt, transformata Fourier, pornind dela formula integrala Fourier.Folosind forma complexa a formulei integrale Fourier, putem sa scriem

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(τ)eiuτdτdu =


=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(τ)eiute−iuτdτdu =

=1

2π

∫ ∞−∞

eiut∫ ∞−∞

f(τ)e−iuτdτdu.

In concluzie, avem

f(t) =1√2π

∫ ∞−∞

eiut

1√2π

∫ ∞−∞

f(τ)e−iuτdτ

du. (2.8)

Prin definitie, transformata Fourier este functia

F(u) =1√2π

∫ ∞−∞

f(τ)e−iuτdτ.

Din (2.8) deducem imediat ca

f(t) =1√2π

∫ ∞−∞F(u)eiutdu,

numita transformata Fourier inversa.Trebuie sa subliniem analogia dintre transformata Fourier si inversa sa, cel putin ınraport cu nucleul transformatei. Sa gasim transformata Fourier ın cazul particularal functiilor avand paritate.

Teorema 2.3 In cazul ın care f are paritate, avemi) daca f este o functie para atunci transformata sa Fourier devine

Fc(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ, (2.9)

si este numita transformata Fourier de cosinusi. Transformata sa inversa este

f(t) =

√2

π

∫ ∞0Fc(u) cosutdu;

ii) daca f este o functie impara atunci transformata sa Fourier devine

Fs(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(τ) sinuτdτ, (2.10)

si este numita transformata Fourier de sinusi. Inversa acestei transformateeste

f(t) =

√2

π

∫ ∞0Fs(u) sinutdu;


Demonstratie.i) Folosind formula integrala Fourier pentru o functie para, obtinem

f(t) =2

π

∫ ∞0

cosut

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτdu =

=

√2

π

∫ ∞0

cosut

√

2

π

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ

du.De aceea,

Fc(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ,

si atunci

f(t) =

√2

π

∫ ∞0Fc(u) cosutdu.

ii) Similar, folosind formula integrala Fourier pentru o functie impara, obtinem

f(t) =2

π

∫ ∞0

sinut

∫ ∞0

f(τ) sinuτdτdu =

=

√2

π

∫ ∞0

sinut

√

2

π

∫ ∞0

f(τ) sinuτdτ

du.De aceea,

Fs(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(τ) sinuτdτ,

si atunci

f(t) =

√2

π

∫ ∞0Fs(u) sinutdu,


Aplicatie. Sa calculam transformata Fourier pentru functia

f(t) =

e−at, t ∈ [0,∞)eat, t ∈ (−∞, 0)

unde a este o constanta pozitiva.Este usor de demonstrat ca functia data este o functie para. De aceea, ea admitetransformata Fourier de cosinusi:

Fc(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(τ) cosuτdτ =

√2

π

∫ ∞0

e−aτ) cosuτdτ =


=

√2

π

(−1

ae−aτ) cosuτ |∞0 −

u

a

∫ ∞0

e−aτ) sinuτdτ)

=

=

√2

π

[1

a− u

a

(−1

ae−aτ) sinuτ |∞0 +

u

a

∫ ∞0

e−aτ) cosuτdτ)].

Notand cu I integrala initiala, putem sa scriem

I =1

a− u2

a2⇒ I =

a

u+a2.

In concluzie,

Fc(u) =

√2

π

a

u2 + a2

si

f(t) =

√2

π

∫ ∞0Fc(u) cosutdu =

2a

π

∫ ∞0

cosut

u2 + a2du.

Sa verificam ca aceasta functie este functia initiala. Consideram integralele

I1 =1

2

∫ ∞−∞

cosut

u2 + a2du,

I2 =1

2

∫ ∞−∞

sinut

u2 + a2du.

atunci

I1 + I2 =1

2

∫ ∞−∞

eiut

u2 + a2du =

1

2.2πrez(f, ai),

ın baza teoremei reziduurilor. Reziduul rez(f, ai) poate fi usor calculat

rez(f, ai) = limu→ai

(u− ai) eiut

(u− ai)(u+ ai)=e−at

2ai.

Atunci

I1 + I2 =1

2.2πi

e−at

2ai=π

ae−at.

In final, avem

I1 =π

2ae−at ⇒ f(t) =

2a

π

π

2ae−at = e−at, ∀t ∈ [0,∞).

Folosind paritatea functiei f , constatam ca

f(t) =

e−at, t ∈ [0,∞)eat, t ∈ (−∞, 0)


Observatie. Daca consideram egalitatea

g(u) =1√2π

∫ ∞−∞

f(t)e−iutdt,

unde functia g este data iar functia f este necunoscuta, atunci spunem ca aceastaegalitate este o ecuatie integrala de tip Fourier. Similar, ın cazul functiilor avandparitate, egalitatile de forma

g(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(t) cosutdt,

g(u) =

√2

π

∫ ∞0

f(t) sinutdt,

sunt, de asemenea, ecuatii integrale de tip Fourier. In fiecare caz solutiile se de-termina cu ajutorul inversei transformatei Fourier.

Aplicatie. Sa gasim solutia ecuatiei integrale:∫ ∞0

f(t) cosutdt = ϕ(u),

unde f este functie necunoscuta iar functia ϕ este data prin

ϕ(u) =

1− u, u ∈ [0, 1]

0, u ∈ (1,∞).

Inmultind cu√

2/π ambii membri ai ecuatiei si notand cu

g(u) =

√2

πϕ(u),

obtinem o ecuatie de forma celor de mai sus. Cu ajutorul inversei transformateiFourier gasim

f(t) =

√2

π

∫ ∞0

g(u) cosutdu =2

π

∫ ∞0

ϕ(u) cosutdu =

=2

π

∫ 1

0(1− u) cosutdu =

2

π

1− cos t

t2, t ∈ [0,∞).

4.3. TRANSFORMATA FOURIER IN L1 131

4.3 Transformata Fourier ın L1

Reamintim, mai ıntai, faptul ca o functie f : IR→ IR apartine spatiului L1(IR), siscriem pe scurt f ∈ L1, daca∫ +∞

−∞|f(t)|dt < +∞.

Definitia 3.1 Daca functia f : IR → IR, f ∈ L1 atunci transformata sa Fourierse defineste prin

F(f(t))(x) =∫ +∞

−∞f(t)eixtdt, (3.1)

unde i este unitatea complexa, i2 = −1.

Pentru simplificarea scrierii, folosim notatia F(f(t))(x) = f(x).

Teorema 3.1 Daca f ∈ L1, atunci transformata sa Fourier f este functie con-tinua si marginita pe IR. Mai mult, avem∣∣∣f(x)

∣∣∣ ≤ ‖f‖B(IR) ≤ ‖f‖L1(IR), (3.2)

unde am notat prin B(IR) multimea functiilor marginite pe IR.

Demonstratie. Pornind de la definitia (3.1), obtinem∣∣∣f(x)∣∣∣ ≤ ∫ +∞

−∞|f(t)|

∣∣∣eixt∣∣∣ dt =

=∫ +∞

−∞|f(t)|dt = ‖f‖L1(IR).

Daca ın aceasta inegalitate trecem la supremum, rezulta

‖f‖B(IR) ≤ ‖f‖L1(IR),

si aceasta demonstreaza ca transformata Fourier este o functie marginita. Maimult, am demonstrat deja inegalitatea dubla (3.2). Sa demonstram acum ca feste o functie continua. Vom folosi evaluarile:∣∣∣f(x+ h)− f(x)

∣∣∣ =∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(t)

[ei(x+h)t − eixt

]dt∣∣∣∣ ≤

≤∫ +∞

−∞|f(t)|

∣∣∣eixt∣∣∣∣∣∣eiht−1∣∣∣dt=∫ +∞

−∞|f(t)|

∣∣∣eiht−1∣∣∣dt≤2

∫ +∞

−∞|f(t)|dt

(3.3)


de unde vom deduce ca diferenta din membrul stang al inegalitatii (3.3) estemarginita de o functie sumabila.Pe de alta parte,

∣∣∣f(x+ h)− f(x)∣∣∣ ≤ ∫ +∞

−∞

∣∣∣eiht − 1∣∣∣ |f(t)|dt

si

limh→0

∣∣∣eiht − 1∣∣∣ |f(t)| = 0.

Aceasta ınseamna ca sunt ındeplinite conditiile teoremei lui Lebesque si putemtrece la limita sub integrala:

limh→0

∣∣∣f(x+ h)− f(x)∣∣∣ =

∫ +∞

−∞limh→0

∣∣∣eiht − 1∣∣∣ |f(t)|dt = 0,

adica f(x) este continua ın orice punct x ∈ IR.

Corolarul 3.1 Daca avem un sir fnn≥1 de functii din L1(IR) astfel ıncat

limn→∞

fn = f, ın L1(IR),

atunci

limn→∞

fn(x) = f(x), uniform ın raport cu x ∈ IR.

Demonstratie. Rezultatul se obtine imediat ın baza inegalitatii (3.2):∣∣∣fn(x)− f(x)∣∣∣ ≤ ‖fn − f‖L1(IR),

de unde rezulta concluzia corolarului.

In teorema urmatoare vom demonstra doua dintre cele mai importante proprietatiale transformatei Fourier.

Teorema 3.2 Daca f ∈ L1, atunci transformata sa Fourier f satisface urmatoarelereguli de calcul

F(f(t+ a)) = e−iaxF(f(t)) = e−iaxf(x),

f(x+ b) = F(eibtf(t)

)= eibtf(t). (3.4)


Demonstratie. Pornim de la definitia transformatei Fourier:

F(f(t+ a)) =∫ +∞

−∞f(t+ a)eixtdt =

= e−iax∫ +∞

−∞f(τ)eixτdτ = e−iaxf(x),

unde am folosit schimbarea de variabila t + a = τ . Apoi, am demonstrat dejaformula (3.4)1. In privinta formulei (3.4)2 pornim, de asemenea, de la definitiatransformatei Fourier

F(eibtf(t)) = eibtf(t) =∫ +∞

−∞eibtf(t)eixtdt =

=∫ +∞

−∞f(t)ei(x+b)tdt = f(x+ b),

adica am obtinut (3.4)2.

In teorema urmatoare, datorata marilor matematicieni Riemann si Lebesque, studiemcomportarea transformatei Fourier la infinit.

Teorema 3.3 Daca f ∈ L1, atunci

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

∫ +∞

−∞f(t)eixtdt = 0.

Demonstratie. Putem sa scriem

−f(x) = eiπf(x) =∫ +∞

−∞f(t)eiπeixtdt =∫ +∞

−∞f(t)eix(t+π/x)dt =

∫ +∞

−∞f(τ − π/x)eixτdτ,

dupa ce am facut schimbarea de variabila t+ π/x = τ .Atunci

2f(x) = f(x)− (−f(x)) =∫ +∞

−∞[f(t)− f(t− π

x)]eixtdt. (3.5)

Pentru ultimul integrant din (3.5) avem evaluarea∣∣∣∣[f(t)− f(t− π

x)]eixt

∣∣∣∣ ≤ |f(t)|+∣∣∣∣f(t− π

x)∣∣∣∣ ,

adica ultimul integrant din (3.5) este marginit de o functie sumabila (prin ipoteza,f ∈ L1). Putem atunci folosi teorema lui Lebesque de trecere la limita sub integralaın (3.5). Luand ın consideratie ca

limx→±∞

∣∣∣∣f(t)− f(t− π

x)∣∣∣∣ = 0,

atunci se obtine imediat rezultatul dorit.


Corolarul 3.2 Daca f ∈ L1(IR), atunci

limx→±∞

∫ +∞

−∞f(t) cosxtdt = 0, lim

x→±∞

∫ +∞

−∞f(t) sinxtdt = 0.

Demonstratie. Rezultatul se obtine imediat din teorema 3.3, folosind formulalui Euler eixt = cosxt+ i sinxt.In conformitate cu teoremele 3.2 si 3.3, transformata Fourier este o functie continuape IR si are limitele nule la −∞ si +∞. Acum, consideram problema inversa. Dacaavem o functie g care este continua pe IR si are limitele nule la −∞ si +∞, atuncig este transformata Fourier a unei functii din L1(IR)? Raspunsul este negativ sidemonstram aceasta folosind un contraexemplu.

Lema 3.1 Daca o functie g are proprietatile unei transformate Fourier, atuncinu este necesar ca g sa fie imaginea unei functii din L1(IR).

Demonstratie. Definim functia g prin

g(x) =

−g(−x) , daca x < 0,x/e , daca 0 ≤ x ≤ e,

1/ lnx , daca x > e.

Din definitie, g este simetrica ın raport cu originea. atunci

limx→∞

g(x) = limx→∞

1

lnx= 0.

Pe de alta parte, g este continua, deoarece pentru x = e, avem

g(e− 0) = g(e+ 0) = 1.

De aceea, functia g are proprietatile unei transformate Fourier. Totusi, g nu esteimaginea unei functii din L1(IR). Presupunem, prin absurd, ca exista o functief ∈ L1(IR) astfel ıncat

g(x) =∫ +∞

−∞f(t)eixtdt. (3.6)

Sa calculam limita urmatoare:

limn→∞

∫ n

e

g(x)

xdx = lim

n→∞

∫ n

e

1

x lnxdx =

= limn→∞

[ln(lnx)]ne = limn→∞

ln(lnn) =∞. (3.7)


De aceea, daca pornim de la definitia lui g, obtinem ca limita din (3.7) este infinita.Sa demonstram ca daca folosim forma (3.6) a functiei g, atunci limita din (3.7)este finita. Intr-adevar, luand ın consideratie forma (3.6) a functiei g, obtinem

g(x) = −g(−x) =∫ +∞

−∞f(t)e−ixtdt.

Daca adunam aceasta relatie cu (3.6) suntem condusi la

2g(x) =∫ +∞

−∞f(t)

[eixt + e−ixt

]dt = 2i

∫ +∞

−∞f(t) sinxtdt.

Atunci

g(x) = i∫ 0

−∞f(t) sinxtdt+ i

∫ ∞0

f(t) sinxtdt =

= i∫ ∞

0[f(t)− f(−t)] sinxtdt.

De aceea, integrala din (3.7), devine

∫ n

e

g(x)

xdx = i

∫ n

e

∫ ∞0

[f(t)− f(−t)] sinxt

xdtdx. (3.8)

In ultima integrala putem schimba ordinea de integrare, deoarece f(t)−f(−t) estesumabila (prin ipoteza, f ∈ L1(IR)). De aceea,

∫ n

e

g(x)

xdx = i

∫ ∞0

[f(t)− f(−t)]∫ n

e

sinxt

xdxdt =

= i∫ ∞

0[f(t)− f(−t)]

∫ nt

et

sin ξ

ξdξ

dt <∞,

deoarece integrala ∫ nt

et

sin ξ

ξdξ

este convergenta si functia f(t)− f(−t) este sumabila.Asadar, ajungem la o contradictie care demonstreaza ca functia g nu poate fi trans-formata Fourier a unei functii din L1(IR).O alta ıntrebare naturala ın raport cu transformata Fourier este urmatoarea:Daca f ∈ L1(IR) atunci f ∈ L1(IR)? Raspunsul este din nou, negativ si demon-stram aceasta folosind tot un contraexemplu.

Lema 3.2 Daca o functie este din L1(IR) atunci transformata sa Fourier nu estenecesar o functie din L1(IR).


Demonstratie. Definim functia f prin

f(t) =

0 , daca t < 0,e−t , daca t ≤ 0.

Deoarece ∫ +∞

−∞f(t)dt =

∫ +∞

0e−tdt = 1,

vom deduce ca f ∈ L1(IR).Dar transformata Fourier a functiei f este

f(x) =∫ +∞

0e−teixtdt =

∫ +∞

0e(ix−1)tdt =

1

1− ix=

1 + ix

1 + x2,

de unde, clar, rezulta ca f 6∈ L1(IR).

Acum, expunem, fara demonstratie, doua teoreme, datorate lui Jordan, care daulegatura dintre transformata Fourier si functia original.

Teorema 3.4 Daca f ∈ L1(IR) si, mai mult, f este o functie cu variatie marginita(f ∈ BV (IR)), atunci ın vecinatatea unui punct fixat u are loc urmatoarea formulade inversare

lima→∞

1

2π

∫ a

−af(x)e−ixudx =

1

2[f(u+ 0)− f(u+ 0)].

Daca u este un punct de continuitate pentru functia f , atunci formula de inversaredevine

f(u) =1

2π

∫ ∞−∞

f(x)e−ixudx,

unde f este transformata Fourier a functiei f .

Teorema 3.5 Daca f ∈ L1(IR) si f ∈ L1(IR), atunci ıntr-un punct u de continu-itate al functiei f avem urmatoarea formula de inversare

f(u) =1

2π

∫ ∞−∞

f(x)e−ixudx.


La sfarsitul acestui paragraf vom prezenta unele consideratii asupra produsul deconvolutie pentru functiile din L1(IR).Prin definitie, daca f, g ∈ L1(IR), atunci produsul lor de convolutie este

(f ∗ g)(t) =∫ +∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ. (3.9)

Teorema 3.6 Daca f, g ∈ L1(IR) atunci produsul lor de convolutie este definitaproape peste tot pe IR si este o functie din L1(IR).

Demonstratie. Folosind schimbarea de variabila t− τ = u, avem∫ +∞

−∞|f(t− τ)|dτ =

∫ +∞

−∞|f(u)|du,

astfel ıncat, luand ın consideratie faptul ca f ∈ L1(IR), vom deduce ca integrantuldin membrul drept al relatiei (3.9) este o functie definita aproape peste tot sisumabila. Putem, de aceea, inversa ordinea de integrare:∫ +∞

−∞|f ∗ g|(t)dt =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|f(t− τ)||g(τ)|dτ

dt =

=∫ +∞

−∞|g(τ)|

∫ +∞

−∞|f(t− τ)|dt

dτ =

= ‖f‖L1

∫ +∞

−∞|g(τ)|dτ = ‖f‖L1‖g‖L1 ,

si aceasta demonstreaza ca f ∗ g ∈ L1(IR).

Propozitia 3.1 Daca f, g ∈ L1(IR) atunci

‖f ∗ g‖L1 ≤ ‖f‖L1‖g‖L1 .

Demonstratie. Deoarece f, g ∈ L1(IR), atunci ın conformitate cu teorema 3.6,avem ca f ∗ g ∈ L1(IR). Folosind definitia (3.9) a produsului de convolutie sidefinitia normei ın L1(IR), obtinem

‖f ∗ g|L1 =∫ +∞

−∞

∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ

∣∣∣∣ dt ≤≤∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|f(t− τ)g(τ)|dτ

∣∣∣∣ dt =

=∫ +∞

−∞|g(τ)|

∫ +∞

−∞|f(t− τ)|dt

dτ =

=∫ +∞

−∞|g(τ)|

∫ +∞

−∞|f(u)|du

dτ =

= ‖f‖L1

∫ +∞

−∞|g(τ)|dτ = ‖f‖L1‖g‖L1 ,



Deoarece am demonstrat deja ca produsul de convolutie f ∗g este o functie dinL1(IR), putem calcula transformata sa Fourier.

Teorema 3.7 Daca f, g ∈ L1(IR), atunci

F((f ∗ g)(t)) = F(f(t)).F(g(t)).

Demonstratie. Luam ın consideratie definitia transformatei Fourier pentru functiiledin L1(IR) si definitia produsului de convolutie. Asadar, obtinem

F((f ∗ g)(t)) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ

eixtdt =

=∫ +∞

−∞g(τ)

∫ +∞

−∞f(t− τ)eixtdt

dτ =

=∫ +∞

−∞g(τ)

∫ +∞

−∞f(u)eixudu

eixτdτ =

= f(x)∫ +∞

−∞g(τ)eixτdτ = f(x).g(x),

dupa ce am facut schimbarea de variabila t− τ = u.

4.4 Transformata Fourier ın L2

In acest paragraf se va dovedi ca fiind foarte util rezultatul pe care ıl demonstramın urmatoarea lema.

Lema 4.1 Pentru ∀ε > 0 si ∀α ∈ IR, avem urmatoarea egalitate

∫ +∞

−∞eiαte−εt

2

dt =(π

ε

)1/2

e−α24ε .

Demonstratie. Folosind schimbarea de variabila

t =x√ε,


obtinem ∫ +∞

−∞eiαte−εt

2

dt =1√ε

∫ +∞

−∞eiα x√

ε e−x2

dx. (4.1)

Consideram ca un rezultat bine cunoscut valoarea integralei lui Gauss∫ +∞

−∞e−(x+iβ)2dx =

√π, (4.2)

Acest rezultat poate fi obtinut folosind transformata Laplace, sau cu ajutorul uneiproceduri specifice ın contextul teoriei integralelor complexe.Putem sa scriem integrala din (4.2) ın forma∫ +∞

−∞e−x

2

e−2βxieβ2

dx = eβ2∫ +∞

−∞e−x

2

e−2βxidx

si atunci ∫ +∞

−∞e−x

2

e−2βxidx =√πe−β

2

.

Introducem acest rezultat ın (3.1), luand

β = − α

2√ε

:

∫ +∞

−∞eiαte−εt

2

dt =1√ε

√πe−α24ε ,

si aceasta ıncheie demonstratia.

In teorema urmatoare demonstram un rezultat fundamental, care anticipeazatransformata Fourier pentru functiile din L2(IR).

Teorema 4.1 Consideram functia f ∈ L1(IR)∩L2(IR). Atunci f , ca transformataFourier a unei functii din L1(IR), este o functie din L2(IR). Mai mult,

‖f‖L2(IR) =√

2π‖f‖L2(IR).

Demonstratie. Deoarece f ∈ L1(IR), stim ca exista transformata sa Fourier, f ,data prin

f(x) =∫ +∞

−∞f(t)eixtdt.


Atunci ∣∣∣f(x)∣∣∣2 = f(x)f(x) =

∫ +∞

−∞f(t)eixtdt

∫ +∞

−∞f(u)e−ixudu.

Inmultind aceasta egalitate cue−x

2/n

si apoi integram egalitatea care rezulta pe IR:

I≡∫ +∞

−∞

∣∣∣f(x)∣∣∣2e−x2n dx=

∫ +∞

−∞e−

x2

n

∫ +∞

−∞f(t)eixtdt

∫ +∞

−∞f(u)e−ixudu

dx.

Deoarece f si f sunt functii absolut integrabile, putem inversa ordinea de integrare:

I =∫ +∞

−∞f(u)

∫ +∞

−∞f(t)

[∫ +∞

−∞e−

x2

n eix(t−u)dx]dtdu =

=√πn

∫ +∞

−∞f(u)

∫ +∞

−∞f(t)e−

n(t−u)24 dt

du,

ın care am folosit rezultatul din lema 4.1 cu ε = 1/n si α = t− u.In ultima integrala facem schimbarea de variabila t− u = s si apoi notam din nous prin t:

I =√πn

∫ +∞

−∞f(u)

∫ +∞

−∞f(t+ u)e−

nt2

4 dtdu =

=√πn

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(u)f(t+ u)du

e−

nt2

4 dt. (4.3)

Introducem notatia

g(t) =∫ +∞

−∞f(u)f(t+ u)du. (4.4)

Sa demonstram ca functia g este continua ın t = 0. Intr-adevar,

|g(t)− g(0)|2 =∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(u)[f(t+ u)− f(u)]du

∣∣∣∣2 ≤≤∫ +∞

−∞

∣∣∣f(u)∣∣∣ . ∫ +∞

−∞|f(t+ u)− f(u)|2 du =

= ‖f‖L2 .∫ +∞

−∞|f(t+ u)− f(u)|2 du,

ın care am folosit inegalitatea lui Holder.Este cunoscut faptul ca orice functie din Lp, p > 1 (ın cazul nostru, f ∈ L2) estecontinua ın medie si atunci∫ +∞

−∞|f(t+ u)− f(u)|2 du→ 0, pentru t→ 0,


ceea ce demonstreaza ca

|g(t)− g(0)|2 → 0, pentru t→ 0,

adica, functia g este continua ın origine.Ne ıntoarcem la relatia (4.3) si o scriem ın forma∫ +∞

−∞e−

x2

n

∣∣∣f(x)∣∣∣2 dx =

√πn

∫ +∞

−∞e−

nt2

4 g(t)dt =

= 2√π∫ +∞

−∞e−τ

2

g

(2√nτ

)dτ. (4.5)

Din definitia (4.4) a functiei g, vom deduce

|g(t)| ≤∫ +∞

−∞

∣∣∣f(u)∣∣∣2 du1/2

.∫ +∞

−∞|f(t+ u)|2 du

1/2

=

=(‖f‖2

L2

)1/2 (‖f‖2

L2

)1/2= ‖f‖2

L2 .

De asemenea, din (4.4) obtinem

g(0) =∫ +∞

−∞f(u)f(u)du =

∫ +∞

−∞|f(u)|2 du = ‖f‖2

L2 . (4.6)

Deoarece functia

e−τ2

g

(2√nτ

)

este marginita superior de o functie sumabila, si anume de functia

e−τ2‖f‖2

L2 ,

vom deduce ca ın (4.5) putem folosi teorema lui Lebesque care permite trecerea lalimita sub integrala. Atunci, pentru n→∞, din (4.5) rezulta∫ +∞

−∞

∣∣∣f(x)∣∣∣2 dx = 2

√π∫ +∞

−∞e−t

2

g(0)dt =

= 2√π‖f‖2

L2

∫ +∞

−∞e−t

2

dt = 2√π‖f‖2

L2

√π = 2π‖f‖2

L2 ,

ın care am folosit relatia (4.6).De aceea,

‖f‖2L2 = 2π‖f‖2

L2 ⇒ ‖f‖L2 =√

2π‖f‖L2 ,


ceea ce ıncheie demonstratia teoremei.

Facem acum un alt pas ın vederea introducerii transformatei Fourier pentru functiiledin L2(IR). Pentru aceasta, introducem functia trunchiata. Astfel, daca f ∈L2(IR), atunci functia trunchiata fa, asociata functiei f , sau trunchiata functiei f ,se defineste prin

fa(t) =

f(t) , daca |t| ≤ a,

0 , daca |t| > a.(4.7)

Teorema 4.2 Daca functia f ∈ L2(IR) atunci functia trunchiata fa este o functie

din f ∈ L1(IR)∩L2(IR) si, de aceea, ea admite transformata Fourier si fa ∈ L2(IR).Mai mult, pentru a→ 0 avem

fa(t)→ f(t), ın norma din L2.

Demonstratie. Mai ıntai, putem observa ca din (4.7) rezulta

|fa(t)| ≤ |f(t)|, ∀t ∈ IR⇒ |fa(t)|2 ≤ |f(t)|2, ∀t ∈ IR,

Apoi, integrand ultima inegalitate, rezulta∫ +∞

−∞|fa(t)|2 dt ≤

∫ +∞

−∞|f(t)|2dt⇒

⇒ ‖fa(t)‖L2 ≤ ‖f(t)‖L2 ,

ceea ce demonstreaza ca fa ∈ L2(IR).Pe de alta parte, din definitia unei functii trunchiate obtinem∫ +∞

−∞|fa(t)| dt =

∫ +a

−a|f(t)|dt ≤

√2a(∫ +a

−a|f(t)|2dt

)1/2

,

ın baza inegalitatii lui Holder.Dar ∫ +a

−a|f(t)|2dt ≤

∫ +∞

−∞|f(t)|2dt = ‖f‖2

L2

si atunci ∫ +∞

−∞|fa(t)| dt ≤

√2a‖f‖2

L2

ceea ce demonstreaza ca fa ∈ L1(IR). De aceea, fa este o functie din L1(IR) si,de asemenea, din L2(IR), adica, ea satisface ipotezele teoremei 4.1 si atunci existatransformata sa Fourier ın sensul transformatei pentru functiile din L1(IR):

fa(x) =∫ +∞

−∞fa(t)e

ixtdt =∫ +a

−af(t)eixtdt.


De asemenea, din teorema 4.1 vom deduce ca fa ∈ L1(IR). Trebuie sa demonstram

ca fa este convergenta ın spatiul L2(IR). Pentru aceasta folosim criteriul lui Cauchyde sir fundamental (L2(IR) este un spatiu complet). Pentru b > 0, avem

∥∥∥fa − fa+b

∥∥∥2

L2≤∣∣∣∣∣∫ +a

−a+b|f(t)|2dt+

∫ a+b

a|f(t)|2dt

∣∣∣∣∣ .De aceea, ∀ε > 0, ∃n0(ε) astfel ca daca a > n0(ε) si b > 0, avem∥∥∥fa − fa+b

∥∥∥2

L2< ε

si aceasta demonstreaza ca sirul fa este convergent ın norma lui L2(IR).

Acum, putem definim transformata Fourier pentru o functie din L2(IR).

Definitia 4.1 Daca functia f ∈ L2(IR) atunci se poate atasa functia trunchiatafa si pentru aceasta, ca o functie din L1(IR), se poate atasa transformata Fourier

fa(x) =∫ +∞

−∞fa(t)e

ixtdt =∫ +a

−af(t)eixtdt.

Prin definitie

f(x) = lima→0

fa(x), ın L2.

Rezultatul din teorema urmatoare este datorat lui Parseval.

Teorema 4.3 Daca functia f ∈ L2(IR) atunci f ∈ L2(IR) si∥∥∥f∥∥∥L2

=√

2π ‖f‖L2 .

Demonstratie. Faptul ca f ∈ L2(IR) se obtine din teorema 4.1. Apoi aveminegalitatea ∣∣∣∥∥∥fn∥∥∥

L2−∥∥∥fm∥∥∥

L2

∣∣∣ ≤ ∥∥∥fn − fm∥∥∥L2. (4.8)

In teorema 4.2 am demonstrat deja ca sirul fn este convergent si atunci

limn→∞

∥∥∥fn∥∥∥L2

=∥∥∥f∥∥∥

L2.


Pe de alta parte, deoarece fn ∈ L1(IR) ∩ L2(IR), pentru functia trunchiata putemsa scriem ∥∥∥fn∥∥∥

L2=√

2π ‖fn‖L2 ,

Atunci, daca trecem la limita obtinem rezultatul dorit.In teorema urmatoare demonstram o formula de inversare, datorata lui Plancherel.

Teorema 4.4 Daca functiile f, g ∈ L2(IR) atunci avem urmatoarea formula deinversare ∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx = 2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx.

Demonstratie. In conformitate cu formula lui Parseval, putem sa scriem∥∥∥f + g∥∥∥2

L2= 2π ‖f + g‖2

L2 ,

adica, ∫ +∞

−∞

(f(x) + g(x)

)(f(x) + g(x)

)dx =

= 2π∫ +∞

−∞(f(x) + g(x))

(f(x) + g(x)

)dx.

Dupa unele calcule simple, folosind din nou formula lui Parseval, rezulta∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx+

∫ +∞

−∞g(x)f(x)dx =

= 2π∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx+ 2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx. (4.9)

Facem aceleasi calcule substituind g prin ig si atunci

−∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx+ i

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx =

= −2πi∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx+ 2πi

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx.

aici simplificam prin (−i) si adunam egalitatea care rezulta la egalitatea (4.9).Astfel, obtinem rezultatul lui Plancherel.

O alta formula de inversare este demonstrat ın teorema urmatoare.

Teorema 4.5 Daca functiile f, g ∈ L2(IR) atunci avem urmatoarea formula deinversare ∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx =

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx. (4.10)


Demonstratie. Deoarece functiile f, g ∈ L2(IR) vom deduce ca putem atasafunctiile trunchiate fn si, respectiv, gk. Am demonstrat deja ca fn, gk ∈ L1(IR)si atunci putem atasa transformatele lor, ın sensul functiilor din L1(IR). Folosindtransformata Fourier pentru functiile trunchiate, rezulta∫ +∞

−∞fn(x)gk(x)dx =

∫ +∞

−∞gk(x)

∫ +∞

−∞fn(t)eixtdt

dx =

=∫ +∞

−∞fn(x)

∫ +∞

−∞gk(t)e

ixtdxdt =

∫ +∞

−∞fn(t)fk(t)dt. (4.11)

In aceste calcule am inversat ordinea de integrare deoarece integralele sunt calcu-late pe intervale finite, luand ın consideratie definitia functiilor trunchiate.

Egalitate (4.11) demonstreaza ca formula de inversare (4.10) este valabila pen-tru functiile trunchiate. Fixam acum fn si folosim rezultatul din teorema 4.2, astfelıncat sirul gk este convergent, aproape peste tot, ın sensul lui L2, la o functie

din L2. In mod analog, rezulta faptul ca sirul fn este convergent, aproape pestetot, ın sensul lui L2, la o functie din L2. Vom folosi apoi faptul ca cele doua limitesunt g si respectiv f . Acum, ın baza teoremei lui Lebesque ın privinta trecerii lalimita sub integrala, din (4.11) rezulta (4.10)si atunci teorema este demonstrata.

La sfarsitul acestui paragraf demonstram ultima formula de inversare pentru trans-formata Fourier.

Teorema 4.6 Consideram functia f ∈ L2(IR) si definim functia g prin

g(x) = f(x), ∀x ∈ IR.

atunci

f(x) =1

2πg(x), ∀x ∈ IR.

Demonstratie. In conformitate cu definitia normei ın L2, avem∥∥∥∥f− 1

2πg∥∥∥∥2

L2=∫ +∞

−∞

(f(x)− 1

2πg(x)

)(f(x)− 1

2πg(x)

)dx=

= ‖f‖2L2 +

1

4π2‖g‖2

L2 −1

2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx− (4.12)

− 1

2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx.

Folosind de doua ori formula lui Parseval, obtinem

1

4π2‖g‖2

L2 =2π

4π2‖g‖2

L2 =

=1

2π

∥∥∥∥f∥∥∥∥2

L2=

1

2π

∥∥∥f∥∥∥2

L2=

1

2π‖f‖2

L2 . (4.13)


Pe de alta parte, folosind (4.10) si apoi formula lui Parseval, rezulta

− 1

2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx = − 1

2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx =

= − 1

2π

∫ +∞

−∞f(x)f(x)dx = − 1

2π

∥∥∥f∥∥∥2

L2= (4.14)

= −2π

2π‖f‖2

L2 = −‖f‖2L2 .

Similar,

− 1

2π

∫ +∞

−∞g(x)f(x)dx = − 1

2π

∫ +∞

−∞f(x)g(x)dx = (4.15)

= −‖f‖2L2 = −‖f‖2

L2 .

Aici am folosit rezultatul din (4.14) si faptul elementar ca conjugatul, ın sensulnumerelor complexe, al unui numar real este egal cu el ınsusi.Daca luam ın consideratie formulele (4.13), (4.14) si (4.15) ın (4.12), obtinemformula din teorema noastra.

Capitolul 5

Calcul variational

5.1 Introducere

In ingineria moderna se ıntalnesc adesea probleme tehnice care necesita, din parteacelui care le abordeaza, cunostinte matematice solide precum si abilitatea de afolosi diferite tehnici si metode matematice. Se poate aprecia ca fiind foarte real-ista consideratia ca progresul ın tehnologia moderna este necesar legat de aportulmatematicii atat sub aspect teoretic cat, si mai ales, practic.In debutul acestui paragraf reamintim unele notiuni elementare de baza ale Anal-izei matematice intens folosite ın acest capitol.

1. Un spatiu liniar R este spatiu liniar normat daca fiecarui element x ∈ Ri se poate asocia un numar real nenegativ ‖x‖ numit norma acelui element, cuproprietatile:

-i) ‖x‖ = 0 numai daca x = 0;

-ii) ‖αx‖ = |α|‖x‖;-iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (inegalitatea triunghiului pentru norme).

2. O multime M de elemente x, y, z, ..., de orice natura este un spatiu metricdaca pentru fiecare pereche de elemente x, y ∈ M se poate asocia un numar realnenegativ %(x, y) astfel ıncat

-i) %(x, y) = 0 daca si numai daca x = y;

-ii) %(x, y) = %(y, x);

-iii) %(x, y) + %(y, z) ≥ %(x, z).Numarul %(x, y) este numit distanta dintre elementele x si y. Este usor de argu-mentat ca fiecare spatiu liniar normat este un spatiu metric. Aceasta afirmatiepoate fi sustinuta daca luam %(x, y) = ‖x− y‖.

3. Spatiul C0[a, b] este spatiul tuturor functiile y(x) continue pe [a, b]. Norma

147

148 CAPITOLUL 5. CALCUL VARIATIONAL

uzuala pentru fiecare element y ∈ C0[a, b] este

‖y‖0 = maxa≤x≤b

|y(x)|,

unde |y(x)| este modulul elementului y(x) ∈ C0[a, b].4. Spatiul C1[a, b] este spatiul tuturor functiile y(x) continue pe [a, b], avand

derivata de ordinul ıntai, de asemenea, continua pe [a, b]. Norma uzuala pentrufiecare element y ∈ C1[a, b] este


|y(x)|+ maxa≤x≤b

|y′(x)|,

unde y′(x) este derivata de ordinul ıntai a functiei y(x).5. Spatiul Cn[a, b] este spatiul tuturor functiile y(x) continue pe [a, b] ımpreuna

cu derivata lor pana la ordinul n inclusiv (n este un numar natural fixat). Normauzuala pentru fiecare element y ∈ Cn[a, b] este

‖y‖n =n∑k=0

maxa≤x≤b

|y(k)(x)|,

unde y(k)(x) este derivata de ordinul k a functiei y(x). In unele situatii, normaelementului y(x) ∈ Cn[a, b] este definita dupa cum urmeaza

‖y‖ = maxa≤x≤b

|y(x)|, |y′(x)|, ..., |y(n)(x)|

.

Presupunem ca avem o multime M de functii y(x). Daca fiecarei functii y(x) ∈Mi se poate asocia, printr-o anumita lege, un numar bine definit J , atunci spunemca avem o functionala J definita pe multimea M si scriem J = J(y(x)).

Multimea M de functii y(x) pe care functionala J = J(y(x)) este definita estenumita domeniul de definitie al functionalei.

Exemplul 1. Fie M = C1[a, b] multimea de functii y(x) care au derivata continuape intervalul [a, b] si fie functionala J definita prin:

J(y(x)) = y′(x0), x0 ∈ [a, b].

Este clar ca J = J(y(x)) este o functionala definita pe multimea indicata de functiideoarece la fiecare functie din aceasta multime i s-a asociat un numar bine definit,si anume, valoarea derivatei functiei ın punctul fixat x0.Daca, de exemplu, a = 1, b = 3 si x0 = 2, atunci pentru y(x) = x2 + 1 obtinem

J(x2) = 2x|x=2 = 4.

5.1. INTRODUCERE 149

Pentru y(x) = ln(1 + x) avem

J(ln(1 + x)) =1

1 + x

∣∣∣∣x=2

=1

3.

Exemplul 2. Fie M = C0[−1, 1] multimea de functii y(x) continue pe intervalul[−1, 1] si fie ϕ(x, y) o functie data definita si continua pentru orice x, −1 ≤ x ≤ 1si pentru orice numar real y. Atunci

J(y(x)) =

1∫−1

ϕ(x, y(x))dx,

este o functionala definita pe multimea indicata de functii. De exemplu, dacaϕ(x, y) = x/(1 + y2), atunci pentru y(x) = x rezulta

J(x) =

1∫−1

x

1 + x2dx = 0,

si pentru y(x) = 1 + x avem

J(1 + x) =

1∫−1

x

1 + (1 + x)2dx = ln

√5− arctg2.

Exemplul 3. Fie M = C1[a, b] multimea de functii y(x) avand derivata y′(x)continua pe intervalul [a, b]. Atunci

J(y(x)) =

b∫a

√1 + y′2(x)dx,

este o functionala definita pe aceasta multime de functii. Aceasta functionalareprezinta lungimea arcului de pe curba y = y(x), arc care are extremitatile ınpunctele A(a, y(a)) si B(b, y(b)).

Definitia 1.1 Spunem ca curbele y = y(x) si y = y1(x) definite pe intervalul [a, b]sunt apropiate ın sensul unei vecinatati de ordinul zero daca diferenta |y(x)− y1(x)|este mica pe [a, b].

Geometric, aceasta ınseamna ca acele curbe sunt apropiate pe intervalul [a, b] ınprivinta ordonatelor.

Spunem ca curbele y = y(x) si y = y1(x) definite pe intervalul [a, b] suntapropiate ın sensul unei vecinatati de ordinul ıntai daca diferentele |y(x)− y1(x)|si |y′(x)− y′1(x)| sunt mici pe [a, b]. Geometric, aceasta ınseamna ca acele curbe,


pe intervalul [a, b], sunt apropiate atat ın privinta ordonatelor cat si a directiilortangentelor duse ın puncte apropiate. Mai general, spunem ca curbele y = y(x)si y = y1(x) definite pe intervalul [a, b] sunt apropiate ın sensul unei vecinatati deordin k daca modulele

|y(x)− y1(x)| , |y′(x)− y′1(x)| , ...∣∣∣y(k)(x)− y(k)

1 (x)∣∣∣

sunt mici pe [a, b].Este evident ca daca doua curbe sunt apropiate ın sensul vecinatatii de ordinul k,atunci ele sunt si mai apropiate ın sensul unei vecinatati de orice ordin mai mic.

Exemplul 1. Pentru n suficient de mare, definim pe intervalul [0, π] urmatoarelefunctii

y(x) =sinn2x

n, y1(x) = 0, ∀x ∈ [0, π].

Aceste functii sunt apropiate ın sensul vecinatatii de ordin zero deoarece

|y(x)− y1(x)| =∣∣∣∣∣sinn2x

n

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n.

Altfel spus, pe ıntregul interval [0, π] aceasta diferenta este mica ın modul daca neste suficient de mare. Dar, nu este vecinatate de ordinul ıntai deoarece

|y′(x)− y′1(x)| = n∣∣∣cosn2x

∣∣∣si, de exemplu, ın punctele

x =2π

n2,

avem |y′(x)− y′1(x)| = n si, ca atare, diferenta |y′(x)− y′1(x)| nu poate fi facutaarbitrar de mica pentru n suficient de mare.

Exemplul 2. Pentru n suficient de mare, definim pe intervalul [0, π] urmatoarelefunctii

y(x) =sinn2x

n2, y1(x) = 0, ∀x ∈ [0, π].

Aceste functii sunt apropiate ın sensul vecinatatii de ordinul ıntai deoarece

|y(x)− y1(x)| =∣∣∣∣∣sinn2x

n2

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n2

si diferentele

|y′(x)− y′1(x)| =∣∣∣∣cosnx

n

∣∣∣∣ ≤ 1

n,

sunt mici, pentru n suficient de mare.


Definitia 1.2 Distanta dintre curbele y = f(x) si y = f1(x) (a ≤ x ≤ b), undef(x) si f1(x) sunt functii continue pe [a, b], este numar nenegativ % egal cu maxim-ul diferentei |f1(x)− f(x)| pe intervalul a ≤ x ≤ b:

% = % [f1(x), f(x)] = maxa≤x≤b

|f1(x)− f(x)|

Distanta de ordinul n dintre curbele y = f(x) si y = f1(x) (a ≤ x ≤ b), undefunctiile f(x) si f1(x) au derivatele de ordinul n continue pe intervalul [a, b], estecea mai mare dintre cantitatile

|f1(x)− f(x)| , |f ′1(x)− f ′(x)| , ...,∣∣∣f (n)

1 (x)− f (n)(x)∣∣∣

pe intervalul [a, b]. Vom nota aceasta distanta dupa cum urmeaza

%n = %n [f1(x), f(x)] = max0≤k≤n

maxa≤x≤b

∣∣∣f (k)1 (x)− f (k)(x)

∣∣∣ .Exemplul 1. Sa gasim distanta de ordinul ıntai dintre curbele f(x) = x2 sif1(x) = x3 pe intervalul [0, 1].Calculam derivatele functiilor date, f ′(x) = 2x si f ′1(x) = 3x2, si consideramfunctiile

y1(x) = x2 − x3, y2(x) = 2x− 3x2.

Sa gasim valoarea lor maxima pe intervalul [0, 1]. Avem y′1(x) = 2x− 3x2.Egalam aceste derivate cu zero si gasim punctele stationare ale functiilor y1(x),care sunt x1 = 0 si x2 = 2/3. Mai mult,

y1|x=0 = 0, y1|x= 23

=4

27.

Valoarea functiei y1(x) ın punctul final este y1(1) = 0, de unde

%0 = max0≤x≤1

∣∣∣x3 − x2∣∣∣ = max

0≤x≤1

(x2 − x3

)=

4

27.

Sa gasim acum distanta de ordin zero % dintre derivatele f ′(x) = 2x si f ′1(x) = 3x2:

% = max0≤x≤1

|y′2(x)| = max0≤x≤1

∣∣∣2x− 3x2∣∣∣ .

Daca construim graficul functiei |2x− 3x2| atunci este evident ca % = 1. Atunci,distanta de ordinul ıntai %1 dintre curbele f(x) = x2 si f1(x) = x3 este egala cu

%1 = max (%0, %) = 1.


Definitia 1.3 O ε−vecinatate a unei curbe y = f(x) (a ≤ x ≤ b) este definitaastfel: multimea curbelor y = f1(x) ale caror distante de ordinul n fata de curbay = f(x) sunt mai mici ca ε, adica:

%n = %n [f1(x), f(x)] < ε.

O ε−vecinatate de ordinul zero este numita ε−vecinatate tare a functiei y = f(x).O ε−vecinatate tare a curbei y = f(x) cuprinde curbele situate ıntr-o banda delatime 2ε ın jurul curbei y = f(x).O ε−vecinatate de ordinul ıntai este numita ε−vecinatate slaba a functiei y = f(x).

Definitia 1.4 O functionala J(y(x)) definita pe o multime M de functii y(x) estenumita continua ın punctul y = y0(x) ın sensul vecinatatii de ordinul n daca pentruorice numar ε > 0 exista un numar η > 0 astfel ıncat pentru functiile admisibley = y(x) care satisfac conditiile

|y(x)− y0(x)| < η, |y′(x)− y′0(x)| < η, ...,∣∣∣y(n)(x)− y(n)

0 (x)∣∣∣ < η,

are loc inegalitatea |J (y(x))− J (y0(x))| < ε.Cu alte cuvinte,

%n [y(x), y0(x)] < η ⇒ |J (y(x))− J (y0(x))| < ε.

O functionala care nu este continua ın sensul vecinatatii de ordinul n va fi numitadiscontinua ın sensul acestei vecinatatii. Daca punem

y(k)(x) = y(k)0 (x) + αω(k)(x), k = 0, 1, 2, ..., n

unde α este un parametru si ω(x) este o functie arbitrara ın multimea M , se poateobserva ca

limα→0

y(k)(x) = y(k)0 (x), k = 0, 1, 2, ..., n

si definitia continuitatii functionalei ın punctul y(x) = y0(x) poate fi scrisa astfel:

limα→0

J [y0(x) + αω(x)] = J [y0(x)] .

Exemplul 1. Sa aratam ca functionala

J(y(x)) =

1∫0

[y(x) + 2y′(x)] dx

definita pe spatiul C1[0, 1] este continua ın raport cu functia y0(x) = x ın sensulvecinatatii de ordinul ıntai. Intr-adevar, luam un numar arbitrar ε > 0 si aratam ca


exista un numar η > 0 astfel ıncat |J(y(x))−J(x)| < ε atata timp cat |y(x)−x| < ηsi |y′(x)− 1| < η. Avem

|J(y(x))− J(x)| =

∣∣∣∣∣∣1∫

0

[y(x) + 2y′(x)− x− 2] dx

∣∣∣∣∣∣ ≤

≤1∫

0

|y(x)− x|dx+ 2

1∫0

|y′(x)− 1| dx.

Alegem η = ε/3. Atunci pentru toate functiile y(x) ∈ C1[0, 1] pentru care

|y(x)− x| < ε

3′si |y′(x)− x| < ε

3

vom avea|J(y(x))− J(x)| < ε.

Atunci, pentru fiecare ε > 0 exista un η > 0, de exemplu, η = ε/3, astfel ıncat,atata timp cat %1[y(x), x] < η sa avem |J(y(x))− J(x)| < ε.Prin definitie, aceasta ınseamna ca functionala data este continua ın functia y0(x) =x ın sensul vecinatatii de ordinul ıntai.De fapt, este usor de vazut ca aceasta functionala este continua ın sensul vecinatatiide ordinul ıntai ın raport cu orice curba y(x) ∈ C1[0, 1].


J(y(x)) =

1∫0

[y(x) + 2y′(x)] dx

definita pe spatiul C1[0, π] este discontinua ın raport cu functia y0(x) = 0 ın sensulvecinatatii de ordinul zero.Intr-adevar, fie functiile y0(x) = 0 pe [0, π] si yn(x) = (sinnx)/n.Atunci %0[y0(x), yn(x)] = 1/n si %0[y0(x), yn(x)] → 0 pentru n → ∞. Pe de altaparte, diferenta

J (yn(x))− J (y0(x)) ==

π∫0

cosn x

ndx =

π

2

nu depinde de n. Atunci, pentru n → ∞, J (yn(x)) nu tinde la J (y0(x)), si, caatare, functionala data este discontinua ın sensul vecinatatii de ordinul zero ınprivinta functiei y0(x).Dar este usor sa demonstram ca functionala luata ın consideratie este continua ınprivinta functiei y0(x) = 0 ın sensul vecinatatii de ordinul ıntai.


Definitia 1.5 Fie M un spatiu liniar normat de functii y(x). Functionala L(y(x))definita pe spatiul M este numita functionala liniara daca satisface urmatoareledoua conditii

-1) L(cy(x)) = cL(y(x)), unde c este o constanta arbitrara;-2) L(y1(x) + y2(x)) = L(y1(x)) + L(y2(x)), unde y1(x) ∈M si y2(x) ∈M .

Definitia 1.6 Daca cresterea functionalei

∆J = J(y(x) + δy)− J(y(x))

poate fi reprezentata sub forma

∆J = L(y(x), δy) + β(y(x), δy)‖δy‖

unde L(y(x), δy) este functionala liniara ın raport cu δy si β(y(x), δy)→ 0 pentru‖δy‖ → 0, atunci acea parte a cresterii functionalei care este liniara ın raport cuδy, L(y(x), δy), este numita variatia functionalei si este notata cu δJ . In acestcaz, spunem ca functionala J(y(x)) este diferentiabila ın punctul y(x).


J(y(x)) =

b∫a

y(x)dx

definita pe spatiul C0[a, b] este diferentiabila ın fiecare punct y(x) al acestui spatiu.Intr-adevar, prin calcul direct

∆J = J(y + δy)− J(y) =

=

b∫a

[y(x) + δy(x)]dx−b∫a

y(x)dx =

b∫a

δy(x)dx.

Atunci,

∆J =

b∫a

δy(x)dx.

Aceasta este o functionala liniara ın raport cu δy(x). In cazul dat ıntreaga cresterea functionalei se reduce la o functionala liniara ın raport cu δy(x). Aceastafunctionala este diferentiabila ın fiecare punct y(x) si variatia sa este

δJ =

b∫a

δy(x)dx.

Acum, dam o a doua definitie a variatiei unei functionale.


Definitia 1.7 Variatia functionalei J(y(x)) ın punctul y = y(x) este definita cafiind valoarea derivatei functionalei J(y(x) + αδy(x)) ın raport cu parametrul αcand α = 0:

δJ =∂

∂αJ(y(x) + αδy(x))

∣∣∣∣∣α=0

.

Daca variatia unei functionale exista ca partea principala liniara a cresterii sale,adica, ın sensul primei definitii, atunci variatia de asemenea exista ca valoarea aderivatei ın raport cu parametrul α cand α = 0, si aceste variatii coincid.

Exemplul 1. Folosind a doua definitie, sa gasim variatia functionalei

J(y(x)) =

b∫a

y2(x)dx.

Mai ıntai, variatia acestei functionale ın sensul primei definitii este egala cu

δu = 2

b∫a

y(x)δy(x)dx.

Sa gasim variatia acestei functionale folosind a doua definitie a variatiei. Avem

J(y(x) + αδy(x)) =

b∫a

[y(x) + αδy(x)]2dx.

Apoi

∂

∂αJ(y(x) + αδy(x)) = 2

b∫a

[y(x) + αδy(x)]δy(x)dx,

si, ca o consecinta,

δJ =∂

∂αJ(y(x) + αδy(x))

∣∣∣∣∣α=0

= 2

b∫a

y(x)δy(x)dx.

Astfel, este usor de vazut ca variatiile functionalei ın discutie ın sensul celor douadefinitii coincid.

Observatie. A doua definitie a variatiei unei functionale este mai putin acce-sibila decat prima ın sensul ca exista functionale din cresterea carora nu esteposibil sa separam partea principala liniara, dar variatia exista ın sensul celei de-adoua definitie. Vom demonstra acest fapt folosind un exemplu de functii pentru


care problema formulata este equivalenta cu faptul ca existenta derivatei ın oricedirectie nu este suficienta pentru existenta diferentialei functiei.In acest sens sa consideram functia

f(x, y) =xy√x2 + y2

=%

2sin 2ϕ, x2 + y2 6= 0,

unde % si ϕ sunt coordonatele polare ale punctului (x, y).Derivatele partiale ∂f/∂x si ∂f/∂y exista ın fiecare punct si ın origine sunt egale cuzero, dar diferentiala df nu exista ın origine. Intr-adevar, presupunand existentadiferentialei df , gradientul functiei f , calculat ın origine ar trebui ın acest caz safie egal cu zero, si de aceea, derivata ın orice directie, df(0, 0)/dl, ar trebui ca siea sa fie egala cu zero. Dar, putem sa constatam cu usurinta ca

df(0, 0)

dl=

1

2sin 2ϕ,

care, ın general vorbind, este diferita de zero.Aici, ϕ este unghiul format de vectorul l cu axa Ox si derivata ın directia lui lcoincide cu derivata ın raport cu %.O functionala J(x, y) care depinde de doua elemente x si y (care apartin unui spatiuliniar) este numita functionala biliniara daca, pentru x fixat, este functionalaliniara ın raport cu y si, pentru y fixat, este functionala liniara ın raport cu x.Asadar, functionala J(x, y) este biliniara daca

J(α1x1 + α2x2, y) = α1J(x1, y) + α2J(x2, y),

J(x, α1y1 + α2y2) = α1J(x, y1) + α2J(x, y2).

Daca punem y = x ıntr-o functionala biliniara, obtinem expresia J(x, x), careeste numita functionala patratica. O functionala biliniara definita pe un spatiufinit-dimensional este numita forma biliniara. O functionala patratica J(x, x) estenumita pozitiv definita daca J(x, x) > 0 pentru orice element x nenul.

Exemplul 1. Daca A(t) este o functie continua fixata, atunci urmatoarea in-tegrala

J(x, y) =

b∫a

A(t)x(t)y(t)dt

este o functionala biliniara, si expresia

b∫a

A(t)x2(t)dt


este o functionala patratica ın spatiul C0[a, b].Daca A(t) > 0 pentru toti t ∈ [a, b], atunci aceasta functionala patratica va fipozitiv definita.

Exemplul 2. DacaA(t), B(t) si C(t) sunt functii continue fixate, atunci urmatoareaintegrala

b∫a

[A(t)x2(t) +B(t)x(t)x′(t) + C(t)x′2(t)

]dt

este un exemplu de functionala patratica definita pentru toate functiile din spatiulC1[a, b].Acum, intentionam sa introducem a doua variatie (sau variatia de ordinul doi) aunei functionale.

Definitia 1.8 Fie J(y) o functionala definita pe un spatiu liniar normat. Vomspune ca functionala J(y) are o variatie de ordinul doi daca cresterea sa

∆J = J(y + δy)− J(y)

poate fi scrisa ın forma

∆J = L1(δy) +1

2L2(δy) + β‖δy‖2

unde L1(δy) este functionala liniara, L2(δy) este o functionala patratica, si β → 0pentru ‖δ‖ → 0.

Vom numi functionala patratica L2(δy) a doua variatie, sau diferentiala deordinul doi a functionalei J(y) si o notam cu δ2J .

Putem demonstra ca daca a doua variatie a unei functionale exista, atunci ea esteunic definita.

Exemplul 1. Sa calculam a doua variatie pentru functionala urmatoare

J(y) =

1∫0

(xy2 + y′2

)dx.

Folosind definitia, obtinem

∆J = J(y + δy)− J(y) =

=

1∫0

[x(y + δy)2 + (y′ + δy′)3 − xy3 − y′3

)dx =


=

1∫0

[2xyδy + x(δy)2 + 3y′2δy′ + 3y′(δy′)2 + (δy′)3

]dx =

=

1∫0

(2xyδy + 3y′2δy′

)dx+

1∫0

[x(δy)2 + 3y′(δy′)2

)dx+

1∫0

(δy′)3dx.

Pentru un y(x) fixat, primul termen din membrul drept al relatiei anterioare este ofunctionala liniara ın raport cu δy(x) iar termenul al doilea din membrul drept esteo functionala patratica. In sfarsit, pentru al treilea termen putem face evaluarea:∣∣∣∣∣∣

1∫0

(δy′)3dx

∣∣∣∣∣∣ ≤ (max |δy′|)21∫

0

|δy′| dx ≤ ‖δy‖2

1∫0

|δy′| dx,

(norma ın sensul spatiului C1[0, 1]), de unde deducem ca acest termen poate fireprezentat ın forma β ‖δy‖2, unde β → 0 cand ‖δy‖ → 0. In conformitate cudefinitia, functionala data are a doua variatie δ2J si este egala cu

δ2J = 2

1∫0

[x(δy)2 + 3y′(δy′)2

)dx.

Sa formulam si sa demonstram conditia necesara de extrem pentru o functionala.

Definitia 1.9 Spunem ca o functionala J(y(x)) ısi atinge maxim-ul pe o curbay = y0(x) daca valoarea functionalei J(y(x)) pe orice curba vecina cu y = y0(x)nu depaseste valoarea J(y0(x)), adica,

∆J = J(y(x))− J(y0(x)) ≤ 0.

Daca ∆J ≤ 0 si ∆J = 0 numai cand y(x) = y0(x), atunci spunem ca avem unmaxim strict pe curba y = y0(x). Curba y = y0(x) pe care se atinge minimulfunctionalei poate fi definita ıntr-o modalitate similara. In acest caz ∆J ≥ 0 petoate curbele vecine cu curba y = y0(x).


J(y(x)) =

1∫0

(x2 + y2

)dx

atinge un minim strict pe curba y(x) = 0.Intr-adevar, pentru orice functie y(x) continua pe [0, 1] avem

∆J = J(y(x))− J(0) =

1∫0

(x2 + y2

)dx−

1∫0

x2dx =

1∫0

y2dx ≥ 0,

egalitate apare numai cand y(x) = 0.

5.2. ECUATIA LUI EULER 159

5.2 Ecuatia lui Euler

Folosind un limbaj simplifiat, obiectul de studiu pentru capitolul ”Calcul variational”ıl constituie aflarea valorii minime sau maxime a unei functionale. Rezultateledin acest capitol al matematicii sunt mai generale ca cele din teoria clasica afunctiilor. Dar, multe rezultate de aici sunt echivalente cu rezultate similare dincazul functiilor.

Problemele calculului variational ısi au originea ın Fizica, dar ın ultimul intervalde timp si alte domenii ale stiintei sau tehnicii sunt ”ajutate” de rezultatele sitehnicile calculului variational.

Se considera ca prima problema de calculul variational este datorata lui JeanBernoulli care ın 1696 a formulat urmatoarea problema:

Consideram A si B doua puncte care nu sunt situate pe aceiasi verticala si, deasemenea, nici pe aceiasi orizontala. Un punt material greu cade pe o curba cuextremitatile ın punctele A si, respectiv, B. Sa determinam traiectoria punctuluimaterial care pleaca din punctul A astfel ıncat timpul necesar sa ajunga ın punctulB sa fie minim.Aceasta problema, numita problema curbei brahistrocrone, a fost rezolvata dupamulti ani, de Leibniz, Newton si Jacob Bernoulli.

In Mecanica, principiul lui Hamilton afirma ca un sistem mecanic, dintre toatetraiectoriile posibile pe care se poate se poate deplasa ıntr-o perioada de timp,”alege” acea traiectorie pe care lucrul mecanic consumat este minim.

Sa specificam si alte probleme matematice pentru a caror solutionare sunt uti-lizate tehnicile calculului variational.1. Geodezica unei suprafete. Fie o suprafata ın spatiul euclidian cu trei dimen-siuni si doua puncte arbitrare A si B situate pe aceasta suprafata. Sa gasim arculde curba continut ın suprafata care leaga punctele A si B astfel ıncat lungimea saeste cea mai mica.2. Suprafata de arie minima. Se considera doua puncte arbitrare A si B.Sa gasim arcul de curba care leaga A si B astfel ıncat aria obtinuta prin rotireaacestui arc ın jurul axei Ox sa fie cea mai mica.3. Probleme izoperimetrice. Fie A si B doua puncte arbitrare. In multimeacurbelor avand aceiasi lungime l care unesc punctele A si B, sa gasim pe aceeacare, ımpreuna cu segmentul AB, ınchide o suprafata de arie maxima.

In cele ce urmeaza specificam notiunile matematice necesare pentru a rezolvao problema de calcul variational. Intentionam sa gasim extremul numai pentru ofunctionala de tip integrala. Multimea de definitie pentru functionala va fi spatiul


C1[a, b], definit deja anterior, si anume:

C1[a, b] =y = y(x), y : [a, b]→ R : y este de clasa C1

.

Acest spatiu este dotat cu structura de spatiu liniar ın raport cu operatiile uzualede functii si cu o structura de spatiu normat ın raport cu norma


|y(x)|+ maxa≤x≤b

|y′(x)|.

Integrantul functionalei va fi o functie L care depinde de trei variabile si va fi numitlagrangeanul functionalei:

L : [a, b]×R×R→ R, L = L(x, y(x), y′(x)).

Acum, putem definim functionala, notata cu I, pentru care vrem sa gasim valoareaextrema (minima sau maxima):

I : C1[a, b]→ R, I(y) =

b∫a

L(x, y(x), y′(x))dx. (2.1)

Asadar, pe scurt, o problema de calcul variational consta ın determinarea aceleifunctii de clasa C1 pentru care se atinge valoarea extrema (minima sau maxima) afunctionalei I. Sa fixam valorile functiei y la capetele intervalului, adica y(a) = yasi y(b) = yb, unde ya si ya sunt numere reale cunoscute.In lema urmatoare demonstram un rezultat auxiliar, dar foarte important. Deaceea o vom numi lema fundamentala a calculului variational.

Lema 2.1 Consideram y = y(x) o functie astfel ıncat y ∈ C1[a, b]. Daca

b∫a

y(x)η(x)dx = 0

pentru orice functie η = η(x) astfel ıncat η ∈ C1[a, b] si η(a) = η(b) = 0, atunciy(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca ∃x0 ∈ [a, b] astfelıncat y(x0) 6= 0. Fara a reduce generalitatea, putem presupune ca y(x0) > 0.Demonstratia este similara daca am presupune ca y(x0) < 0. Deoarece functiay(x) este continua, ın conformitate cu o teorema clasica din analiza matematica,valorile functiei y(x) sunt strict pozitive pe o ıntrega vecinatate a lui x0, adica

y(x) > 0, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε] ,


unde ε este un numar real pozitiv, arbitrar de mic.Deoarece integrala din ipoteza este nula pentru orice funtie η, deducem ca

aceasta afirmatie este adevarata si pentru o functie η particulara. Asadar, definimfunctia

η0(x) =

0, x ∈ [a, x0 − ε)[(x− x0)2 − ε2]

2, x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]

0, x ∈ (x0 + ε, b]

Clar, avem (din definitie) η0(a) = η0(b) = 0. Sa demonstram ca η0(x) ∈ C1[a, b].Este usor de vazut ca

limxx0−ε

η0(x) = limxx0−ε

η0(x) = η0(x0 − ε),

astfel ıncat η0 este o functie continua ın punctul x0 − ε. Similar,

limxx0+ε

η0(x) = limxx0+ε

η0(x) = η0(x0 + ε),

astfel ıncat η0 este o functie continua ın punctul x0 + ε. Prin calcul direct, avem

η′0(x) =

0, x ∈ [a, x0 − ε)4(x− x0) [(x− x0)2 − ε2] , x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]0, x ∈ (x0 + ε, b]

Apoi, avemlim

xx0−εη′0(x) = lim

xx0−εη′0(x) = 0

si, de asemenealim

xx0+εη′0(x) = lim

xx0+εη′0(x) = 0

astfel ıncat deducem ca η0(x) ∈ C1[a, b]. De aceea, trebuie sa avem

b∫a

y(x)η0(x)dx = 0⇒

⇒x0−ε∫a

y(x)η0(x)dx+

x0+ε∫x0−ε

y(x)η0(x)dx+

b∫x0+ε

y(x)η0(x)dx = 0⇒

⇒x0+ε∫x0−ε

y(x)[(x− x0)2 − ε2

]2dx = 0.

Dar, aceasta este o contradictie, deoarece integrantul din aceasta integrala estestrict pozitiv,

y(x) > 0, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε],[(x− x0)2 − ε2

]2> 0, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε].


Asadar, lema este demonstrata.

In teorema urmatoare demonstram o conditie necesara de extrem pentru o functionala.Acest rezultat fundamental este datorat lui Cauchy si va fi foarte utilizat ın totcapitolul calcul variational.

Teorema 2.1 Daca y(x) este functia unde functionala I(y) (definita ın (2.1)) ısiatinge valoarea extrema, atunci y(x) satisface urmatoarea euatie

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0, (2.2)

numita ecuatia lui Euler.

Demonstratie. Pentru a evidentia ca valoarea functionalei I calculata ın y(x)este extrema, consideram o vecinatate de speta ıntai a functiei y(x)

y(x) + εη(x)ε , η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = η(b) = 0.

Ultima conditie impusa lui η(x) ınseamna ca orice functie din aceasta vecinatateare aceleasi capete ca functia y(x).Sa calculam valoarea functionalei I ıntr-un reprezentant arbitrar din aceasta vecinatate:

I(y + εη) =

b∫a

L(y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x). (2.3)

Integrala din membrul drept este o functie care depinde numai de ε, adica

I(y + εη) = F (ε).

Dar, pentru ε = 0 obtinem I(y) si aceasta valoare a fost presupusa ca este valoareaextrema a functionalei I. Aceasta ınseamna ca ε = 0 satisface conditia necesarade extrem pentru functia F , adica

dF (ε)

dε

∣∣∣∣∣ε=0

= 0⇒

⇒b∫a

[∂L

∂(y + εη)η(x) +

∂L

∂(y′ + εη′)η′(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣ε=0

= 0⇒

⇒b∫a

[∂L

∂yη(x) +

∂L

∂y′η′(x)

]dx = 0⇒


⇒b∫a

∂L

∂yη(x)dx+

b∫a

∂L

∂y′η′(x) = 0. (2.4)

Calculam prin parti ultima integrala:

b∫a

∂L

∂y′η′(x) =

∂L

∂y′η(x)

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y

)η(x)dx.

Datorita conditiilor η(a) = η(b) = 0, obtinem

b∫a

∂L

∂y′η′(x) = −

b∫a

d

dx

(∂L

∂y

)η(x)dx,

astfel ıncat din (2.4) rezulta

b∫a

∂L

∂yη(x)dx−

b∫a

d

dx

(∂L

∂y

)η(x)dx = 0⇒

⇒b∫a

[∂L

∂yη(x)− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx = 0.

Acum, putem folosi lema fundamentala de unde se deduce ca

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0,

adica, (2.2) si teorema este demonstrata.

Observatia 1. Deoarece L = L(x, y(x), y′(x)), avem

d

dx

(∂L

∂y′

)=

∂2L

∂y′∂x+

∂2L

∂y′∂yy′ +

∂2L

∂y′2y′′,

si ecuatia lui Euler devine

∂L

∂y− ∂2L

∂y′∂x− ∂2L

∂y′∂yy′ − ∂2L

∂y′2y′′ = 0

Asadar, putem observa ca ecuatia lui Euler este o ecuatie diferentiala ordinara deordinul doi, astfel ıncat solutia generala depinde de doua constante reale arbitrare.Aceste constante vor fi eliminate folosind conditiile y(a) = ya si y(b) = yb, stiindfaptul ca numerele ya si yb sunt prescrise.


Observatia 2. Trebuie sa subliniem faptul ca nu orice solutie a ecuatiei lui Eulerda o valoare extrema pentru functionala I.Ecuatia lui Euler asigura rezultatul contrar: daca o functie este un punct de extremal functionalei I, atunci aceasta functie satisface ecuatia lui Euler. Prin analogiecu teoria clasica a functiilor, orice solutie a ecuatiei lui Euler va fi numita punctstationar al functionalei I.Pentru a obtine un extrem efectiv al functionalei I vom da o conditie suficienta,ca si ın teoria clasica a functiilor.In cele ce urmeaza demonstram doua propozitii ın care obtinem doua integraleprime pentru ecuatia lui Euler.

Propozitia 2.1 Daca lagrangeanul functionalei I nu depinde de functie, atunciecuatia lui Euler admite urmatoarea integrala prima

∂L

∂y′= C, (2.5)

unde C este o constanta arbitrara.

Demonstratie. Deoarece lagrangeanul functionalei I nu depinde de functie, avem

L = L(x, y′(x))⇒ ∂L

∂y= 0,

astfel ıncat ecuatia lui Euler se reduce la

d

dx

(∂L

∂y′

)= 0⇒ ∂L

∂y′= C = constant,

si demonstratia propozitiei este ıncheiata.

Propozitia 2.2 Daca lagrangeanul functionalei I nu depinde explicit de variabilax, atunci ecuatia lui Euler admite urmatoarea integrala prima

L− y′ ∂L∂y′

= C, (2.6)

unde C este o constanta arbitrara.

Demonstratie. Deoarece lagrangeanul functionalei I nu depinde explicit de vari-abila x, avem

L = L(y, y′(x))⇒ ∂L

∂x= 0.


Vom demonstra ca derivata totala a expresiei

L− y′ ∂L∂y′

este nula astfel ıncat aceasta expresie va fi o constanta. Prin calcul direct obtinem

d

dx

(L− y′ ∂L

∂y′

)=∂L

∂x+∂L

∂yy′ +

∂L

∂y′y′′ − y′′ ∂L

∂y′− y′ d

dx

(∂L

∂y′

)=

= y′[d

dx

(∂L

∂y′

)− ∂L

∂y

],

astfel ıncat, folosind ecuatia lui Euler, deducem

d

dx

(L− y′ ∂L

∂y′

)= 0,

de unde urmeaza

L− y′ ∂L∂y′

= C = constant,

si demonstratia propozitiei este ıncheiata.

Observatie. Sa consideram ca lagrangeanul este o functie liniara de derivatafunctiei necunoscute, adica

L (x, y(x), y′(x)) = A(x, y)y′(x) +B(x, y),

unde functiile A(x, y) si B(x, y) satisfac conditia

∂A

∂x=∂B

∂y.

Atunci obtinem∂L

∂y=∂A

∂yy′ +

∂B

∂y,∂L

∂y′= A,

astfel ıncat ecuatia lui Euler devine

∂A

∂yy′ +

∂B

∂y− d

dx(A) = 0⇒

∂A

∂yy′ +

∂B

∂y− ∂A

∂x− ∂A

∂yy′ ≡ 0.


Cu alte cuvinte, ecuatia lui Euler devine o identitate si deci admite orice solutie.Acest fapt poate fi explicat dupa cum urmeaza. Functionala, care are lagrangeanulın sitatia de mai sus, are forma

I(y) =

b∫a

[A(x, y)

dy

dx+B(x, y)

]dx =

=

(b,y(b)∫(a,y(a)

[A(x, y)dy +B(x, y)dx] dx.

Datorita conditiei∂A

∂x=∂B

∂y

deducem ca integrala de mai sus depinde numai de punctul initial (a, y(a)) si punc-tul terminal (b, y(b)) si este independenta de curba ce uneste punctele.

Aplicatia 1. Sa rezolvam problema curbei brahistocrone. Consideram formaexplicita y = y(x) pentru curba care uneste punctele O(0, 0) si A(x1, y1). Se stieclasica lege a lui Newton pentru miscarea unui punct (cu notatiile cunoscute):

mr = F, F = mg⇒ mrr = Fr⇒ mvv = Fr⇒

⇒ d

dt

(mv2

2

)= Fr⇒ d

(mv2

2

)= Fr = Fdr.

Dar dr = dxi + dyj astfel ıncat ultima ecuatie devine

d

(mv2

2

)= gdy = d(mgy)⇒ mv2

2= mgy ⇒ v2 = 2gy ⇒ v =

√2gy.

Pe de alta parte, avem

v =ds

dt⇒ dt =

ds

v=

√1 + y′2√

2gy,

dupa ce am folosit faptul ca viteza initiala este nula si elementul de arc pe curbay = y(x) are formula ds =

√1 + y′2.

Integram ultima ecuatie de-a lungul curbei y = y(x) ıntre punctele O si A siobtinem

t =

x1∫0

√1 + y′2√

2gydx.


Este clar, daca consideram o alta curba ıntre O si A vom obtine o alta valoarepentru timpul t, astfel ıncat trebuie sa scriem:

t(y) =1√2g

x1∫0

√1 + y′2

ydx.

Asadar, trebuie sa gasim functia y(x) pentru care functionala t(y) are valoareaminima. Este usor de vazut ca

L =

√1 + y′2

y.

Deoarece L = L(y(x), y′(x), adica lagrangeanul nu depinde explicit de x, putemfolosi integrala prima, demonstrata ın propozitia 2.2:

L− y′ ∂L∂y′

= C.

Asadar, obtinem ecuatia√1 + y′2

y− y′ 1√y

y′√1 + y′2

= C ⇒ 1 + y′2 − y′2√y(1 + y′2)

= C ⇒

⇒ 1√y(1 + y′2)

= C ⇒ y(1 + y′2

)=

1

C2= C1.

ultima ecuatie este a ecuatie parametrica. Daca notam y′ =ctgu, rezulta

1 + y′ = 1 + ctgu =1

sin2 u⇒

⇒ y(u) = C1 sinu =C1

2(1− cos 2u). (2.7)


y′ =dy

dx=dy

du

du

dx⇒ dx

du=dy

du

1

y′=dy

dutgu,

astfel ıncat

dx

du= C1 sin 2u

sinu

cosu= 2C1 sin2 u = C1(1− cos 2u).


Dupa ce integram, gasim

x(u) = C1(u− sin 2u

2=C1

2(2u− sin 2u) + C2.

Luand ın consideratie aceasta relatie ımpreuna cu (2.7), avem forma parametricaa curbei brahistocrone

x(u) = C1

2(2u− sin 2u) + C2

y(u) = C1 sin2 u = C1

2(1− cos 2u).

(2.8)

Constantele C1 si C2 vor fi determinate folosind conditia ca curba trece prinpunctele O(0, 0) si A(x1, y1.Se poate constata cu usurinta ca ın (2.8) avem o familie de cicloide.

Aplicatia 2. Sa gasim punctul de extrem pentru functionala urmatoare

I(y) =

ln 2∫0

(e−xy′2 − exy2

)dx, y(0) = a, y(ln 2) = b,

unde a si b sunt numere reale prescrise.Folosind ecuatia lui Euler, obtinem

−2exy − d

dx

(2e−xy′

)= 0⇒ d

dx

(2e−xy′

)+ exy = 0,

dupa ce am simplificat prin (−2). Vom folosi regula de derivare pentru produs siınmultim cu ex:

−e−xy′ + e−xy′′ + exy = 0∣∣∣ .ex ⇒ y′′ − y′ + e2xy = 0.

Folosind schimbarea de variabila ex = t obtinem

exdx = dt⇒ dt

dx= ex = t⇒ y′ =

dy

dx=dy

dt

dt

dx= yt⇒

⇒ y′′ =dy′

dx=dy′

dt

dt

dx=

d

dt(yt) = t (yt+ y) ,

astfel ıncat ecuatia lui Euler devine

t2y + ty − ty + ty = 0⇒ y + y = 0.

Deoarece ecuatia caracteristica r2 + 1 = 0 are radacinile ±i obtinem solutia

y(t) = C1 cos t+ C2 sin t⇒ y(x) = C1 cos ex + C2 sin ex,

unde constantele C1 si C2 pot fi determinate folosind conditiile initiale.

5.3. GENERALIZARI ALE ECUATIEI LUI EULER 169

5.3 Generalizari ale ecuatiei lui Euler

In acest paragraf vom demonstra cateva generalizari ale ecuatiei lui Euler, sianume: ın raport cu numarul de functii care apar sub lagrangean, ordinul derivateifunctiei y(x) care apare sub lagrangeanul functionalei si ın raport cu numarul devariabile ale functiei necunoscute.

In prima teorema, obtinem un sistem de ecuatii, numit sistemul Lagrange-Euler de ecuatii, care extinde rezultatul fundamental al lui Euler ın cazul candfunctionala (de asemenea, lagrangeanul) depinde de mai multe functii necunoscute.Consideram ca functionala depinde de n functii necunoscute, fiecare depinde de osingura variabila x, adica,

I(y1, y2, ..., yn) =

b∫a

L (x, y1(x), y2(x), ..., yn(x), y′1(x), y′2(x), ..., y′n(x)) dx,

unde yi = yi(x), i = 1, 2, ..., n.

Teorema 3.1 Presupunem ca functionala I ısi atinge valoarea extrema ın functiile(y1, y2, ..., yn). Atunci aceste functii satisfac urmatorul sistem de ecuatii

∂L

∂y1

− d

dx

(∂L

∂y′1

)= 0,

∂L

∂y2

− d

dx

(∂L

∂y′2

)= 0

−−−−−−−−−−

∂L

∂yn− d

dx

(∂L

∂y′n

)= 0. (3.1)

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, presupunem ca n = 2. De aceea,consideram functionala

I(y, z) =

b∫a

L (x, y(x), z(x), y′(x), z′(x)) dx,

unde y = y(x) si z = z(x).Daca presupunem ca functionala ısi atinge valoarea extrema ın functiile (y(x), z(x)),trebuie sa demonstram ca aceste functii satisfac sistemul de ecuatii

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0,


∂L

∂z− d

dx

(∂L

∂z′

)= 0.

Consideram doua vecinatati ale functiilor y(x) si z(x), respectiv,

y(x) + ε1η1(x)ε1 , z(x) + ε2η2(x)ε2

unde η1(x) si η2(x) sunt functii de clasa C1 pe intervalul [a, b] si satisfac conditiile

η1(a) = η1(b) = 0, η2(a) = η2(b) = 0.

Vom calcula valoarea functionalei I pentru un representant oarecare din fiecarevecinatate:

I (y + ε1η1, z + ε2η2) =

=

b∫a

L (x, y(x) + ε1η1(x), z(x) + ε2η2(x), y′(x) + ε1η′1(x), z′(x) + ε2η

′2(x)) dx.

Este evident ca putem sa scriem

I (y + ε1η1, z + ε2η2) = I (ε1, ε2) .

Pentru ε1 = ε2 = 0 functia y(x) + ε1η1(x) din prima vecinatate devine y(x) sifunctia z(x) + ε2η2(x) din a doua vecinatate devine z(x). Dupa cum am presupus,functionala I are valoarea extrema tocmai pentru functiile y(x) si z(x). Asadar,putem conchide ca punctul (0, 0) este punctul de extrem pentru functia I(ε1, ε2)si deci acesta trebuie sa satisfaca conditia necesara de extrem, adica

∂I(ε1, ε2)

∂ε1

∣∣∣∣∣ε1=0

= 0,∂I(ε1, ε2)

∂ε2

∣∣∣∣∣ε2=0

= 0.

Acum, derivam ın raport cu ε1 si ε2 integrala care defineste functia I(ε1, ε2):

b∫a

[∂L

∂(y + ε1η1

η1(x) +∂L

∂(y′ + ε1η′1η′1(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣ε1=0

= 0,

b∫a

[∂L

∂(y + ε2η2

η2(x) +∂L

∂(y′ + ε2η′2η′2(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣ε2=0

= 0

Luand ın consideratie faptul ca ε1 = 0 si ε2 = 0, obtinem

b∫a

[∂L

∂yη1(x) +

∂L

∂y′η′1(x)

]dx = 0⇒

b∫a

∂L

∂yη1(x)dx+

b∫a

∂L

∂y′η′1(x)dx = 0,


si

b∫a

[∂L

∂zη2(x) +

∂L

∂z′η′2(x)

]dx = 0⇒

b∫a

∂L

∂zη2(x)dx+

b∫a

∂L

∂z′η′2(x)dx = 0.

Integram prin parti ultima integrala din relatiile de mai sus. Atunci,

b∫a

∂L

∂y′η′1(x)dx =

∂L

∂y′η1

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η1(x)dx

sib∫a

∂L

∂z′η′2(x)dx =

∂L

∂z′η2

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂z′

)η2(x)dx.

Dar, prin ipoteza, avem

η1(a) = η1(b) = 0, η2(a) = η2(b) = 0,

si atunci integralele devin

b∫a

∂L

∂y′η′1(x)dx = −

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η1(x)dx

b∫a

∂L

∂z′η′2(x)dx = −

b∫a

d

dx

(∂L

∂z′

)η2(x)dx.

In final, conditiile de extrem devin

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η1(x)dx = 0,

si, respectiv,b∫a

[∂L

∂z− d

dx

(∂L

∂z′

)]η2(x)dx = 0.

Pentru ambele integrale din membrul stang ale acestor relatii, putem folosi lemafundamentala de unde obtinem

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0,


∂L

∂z− d

dx

(∂L

∂z′

)= 0


Aplicatia 1. Sa gasim functiile y(x) si z(x) care extremeaza functionala definitaprin urmatoarea integrala

I(y, z) =∫ π

0

(2yz − 2y2 + y′2 − z′2

)dx, y(0) = 0, y(π) = 1, z(0) = 0, z(π) = 1.

Luand ın consideratie faptul ca lagrangeanul este

L (x, y(x), z(x), y′(x), z′(x)) =(2yz − 2y2 + y′2 − z′2

),

deducem ca sistemul Euler-Lagrange de ecuatii devine

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0,

∂L

∂z− d

dx

(∂L

∂z′

)= 0⇒

2z − 4y − d

dx(2y′) = 0, 2y − d

dx(−2z′) = 0,⇒

y′′ + 2y − z = 0, z′′ + y = 0,⇒

y(4) + 2y′′ − z′′ = 0, z′′ = −y ⇒ y(4) + 2y′′ + y = 0.

Deoarece ecuatia caracteristica

r4 + 2r2 + 1 = 0,

are radacinile complex conjugate duble ±i, deducem ca ecuatia diferentiala aresolutia generala egala cu

y(x) = (Ax+B) cosx+ (Cx+D) sinx.

Folosind conditiile initiale y(0) = 0 si y(π) = 1, gasim B = 0 si A = −1/π. Apoifunctia z(x) poate fi obtinuta folosind ecuatia z(x) = y′′(x) + 2y(x) si conditiileinitiale z(0) = 0, z(π) = 1. In final, obtinem solutiile

y(x) = −xπ

cosx+D sinx

z(x) =1

π(2 sinx− π cosx) +D sinx,

unde D este o constanta arbitrara.


O alta generalizare a ecuatiei lui Euler poate fi obtinuta considerand cazul candfunctionala I depinde numai de o functie y, dar lagrangeanul functionalei depindede derivatele de ordin superior ale functiei y. Rezultatul este datorat lui Poisson siEuler si este demonstrat ın teorema urmatoare. In baza consideratiilor anterioare,vom considera functionala I ın forma:

I(y) =

b∫a

L(x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)

)dx.

Teorema 3.2 Daca functia y(x) este functia unde functionala I, pentru care la-grangeanul depinde de derivatele de ordin superior ale lui y(x), ısi atinge valoareaextrema, atunci y(x) satisface urmatoarea euatie

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)+

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)+ ...+ (−1)n

dn

dxn

(∂L

∂y(n)

)= 0,

numita ecuatia lui Euler-Poisson.

Demonstratie. Pentru simplificarea calculelor, dar fara a restrange generalitatea,consideram numai cazul n = 2. Ca o consecinta, lagrangeanul depinde, ın plus, dey′′(x), adica,

I(y) =

b∫a

L (x, y(x), y′(x), y′′(x)) dx.

Sa demonstram ca functia y(x) satisface ecuatia

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)+

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)= 0.

Impreuna cu functia y(x) consideram o vecinatate de ordinul doi care continefunctii de forma

y(x) + εη(x)ε ,unde ε este parametru mic si η(x) este o functie de clasa C2 pe intervalul [a, b]care satisface conditiile

η(a) = η(b) = 0, si η′(a) = η′(b) = 0.

Pentru a evidentia ca valoarea functionalei I este extrema pentru functia y(x),calculam valoarea lui I pentru un reprezentant arbitrar al vecinatatii de mai sus:

I(y + εη) =

b∫a

L (x, y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x), y′′(x) + εη′′(x)) dx.


Asadar, obtinem

I(y + εη) = I(ε).

Dar pentru ε = 0 reprezentantul vecinatatii devine chiar y(x) si functionala I ısiatinge valoarea extrema ın y(x). Astfel putem concluziona ca ε = 0 este punctulde extrem pentru functia I(ε) si atunci, el trebuie sa satisfaca conditia necesarade extrem, adica

dI(ε)

dε

∣∣∣∣∣ε=0

= 0.

Introducem derivata sub integrala deoarece capetele integralei nu depind de ε:

b∫a

[∂L

∂(y + εη)η(x) +

∂L

∂(y′ + εη′)η′(x) +

∂L

∂(y′′ + εη′′)η′′(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣ε=0

= 0.

Folosind faptul ca ε = 0, obtinem

b∫a

[∂L

∂yη(x) +

∂L

∂y′η′(x) +

∂L

∂y′′η′′(x)

]dx = 0.

Acum, descompunem integrala din membrul stang ın trei integrale si calcula ul-timele doua prin parti:

b∫a

∂L

∂yη(x)dx+

b∫a

∂L

∂y′η′(x)dx+

b∫a

∂L

∂y′′η′′(x)dx = I1 + I2 + I3 = 0. (3.2)

Integrand prin parti a doua integrala din (3.2), I2, obtinem

I2 =

b∫a

∂L

∂y′η′(x)dx =

∂L

∂y′η

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx

Luand ın consideratie ca η(a) = η(b) = 0, rezulta

I2 =

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx.

Acum, integram prin parti a treia integrala din (3.2):

I3 =

b∫a

∂L

∂y′′η′′(x)dx =

∂L

∂y′′η′∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y′′

)η′(x)dx.


Luand ın consideratie ca η′(a) = η′(b) = 0, rezulta

I3 =

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′′

)η′(x)dx.

Mai integram ınca o data prin parti

I3 = − d

dx

(∂L

∂y′′

)η

∣∣∣∣∣b

a

+

b∫a

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)η(x)dx.

Dar, prin ipoteza, avem η(a) = η(b) = 0, si atunci integrala I3 devine:

I3 =

b∫a

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)η(x)dx.

Cu expresiile gasite pentru integralele I2 si I3, relatia (3.2) devine

b∫a

∂L

∂yη(x)dx−

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx+

b∫a

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)η(x)dx = 0⇒

⇒b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)η(x) +

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)]η(x)dx = 0.

Acum, putem aplica lema fundamentala si relatia anterioara conduce la ecuatia

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)+

d2

dx2

(∂L

∂y′′

)= 0

care este ecuatia Euler-Poisson si teorema este demonstrata.

Aplicatia 1. Ca o aplicatie a ecuatiei Euler-Poisson vom gasi functia care ex-tremeaza urmatoarea functionala

I(y) =

e∫1

(x2y′′ − 2x2y′2

)dx, y(1) = 0, y(e) = 1.

Luand ın consideratie faptul ca lagrangeanul functionalei este

L (x, y(x), y′(x), y′′(x)) = x2y′′ − 2x2y′2,

obtinem∂L

∂y= 0,

∂L

∂y′= −4x2y′,

∂L

∂y′′= x2,


si atunci ecuatia Euler-Poisson se reduce la

− d

dx

(−4x2y′

)+

d2

dx2

(x2)

= 0⇒ 4(4x2y′′ + 2xy′

)+ 2 = 0⇒

⇒ 2x2y′′ + 4xy′ + 1 = 0.

Daca notam prin y′(x) = z(x), ecuatia anterioara se reduce la

2x2z′ + 4xz + 1 = 0⇒ z′ +2

xz = − 1

2x2.

Ultima ecuatie este o ecuatie diferentiala ordinara liniara de ordinul ıntai astfelıncat solutia sa va avea forma

z(x) = e−2 lnx(C −

∫ 1

2x2e2 lnxdx

)=

1

x2

(C −

∫ 1

2x2x2dx

)=C

x2− 1

2x,

unde C este o constanta arbitrara. Luand ın consideratie notatia anterioara, pentrufunctia y(x) obtinem

y(x) = −Cx− 1

2lnx+ C1.

Pentru a obtine constantele C si C1 vom folosi conditiile initiale y(1) = 0 si y(e) = 1astfel ıncat

C = C1 =3e

2(e− 1).

De aceea, functia care extremeaza functionala data este

y(x) =3e

2(e− 1)

(1− 1

x

)− 1

2lnx.

Ultima generalizare a ecuatiei lui Euler pe care ne propunem sa o obtinemse refera la numarul de variabile independente de care depinde functia necunos-cuta. Notam cu u functia necunoscuta si presupunem ca ea depinde de n variabileindependente, adica,

u = u(x1, x2, ..., xn).

De asemenea, presupunem ca functionala depinde numai de o functie necunoscuta,u, si lagrangeanul depinde de functia u si derivatele sale partiale de ordinul ıntai:

I(u) =∫Ω

L

(x, u(x),

∂u

∂xi

)dx,

unde x este o variabila vectoriala x = (x1, x2, ..., xn) si Ω este un domeniu ıntr-unspatiu n−dimensional, adica, avem o integrala multipla.


Pentru simplificarea calculelor, dar fara a restrange generalitatea, consideramnumai cazul n = 2. Ca o consecinta, functia necunoscuta u depinde numai dedoua variabile, si anume, x si y, lagrangeanul depinde de functia neunoscuta usi de derivatele lor partiale de ordinul ıntai, ∂u/∂x si ∂u/∂y. Ca atare, avemurmatoarea functionala

I(u) =∫ ∫

Ω

L

(x, y, u(x, y),

∂u

∂x,∂u

∂y

)dxdy.

Teorema urmatoare, datorata lui Ostrogradski si Euler, da ecuatia verificata defunctia u care extremeaza functionala de mai sus.

Fie Ω un domeniu marginit ın spatiul 2−dimensional R2 avand frontiera netedaΓ = ∂Ω. Consideram ca functia necunoscuta u si lagrangeanul L sunt functiiregulate, u, L ∈ C1(Ω) si folosim bine cunoscutele notatii ale lui Monge

ux =∂u

∂x, uy =

∂u

∂y.

Ca urmare, trebuie sa extremam urmatoarea functionala:

I(u) =∫ ∫

Ω

L (x, y, u(x, y), ux, uy) dxdy. (3.3)

Teorema 3.3 Daca functia u extremeaza functionala I din (3.3) atunci ea satis-face urmatoarea euatie

∂L

∂y− ∂

∂x

(∂L

∂ux

)− ∂

∂y

(∂L

∂uy

)= 0,

numita ecuatia Euler-Ostrogradski.

Demonstratie. Impreuna cu functia u consideram a vecinatate de speta ıntaicare contine functii de forma

u(x, y) + εη(x, y)ε ,

unde ε este un parametru arbitrar de mic si η(x, y) este o functie din C1(Ω) caresatisface conditia

η(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Γ = ∂Ω. (3.4)

Ultima conditie arata ca fiecare functie din vecinatate are aceleasi valori pe fron-tiera ca si functia u(x, y).


Sa calculam valoarea functionalei I pentru un reprezentant arbitrar al acesteivecinatati.

I(u+εη)=∫ ∫

Ω

L(x, y, u(x, y)+εη(x, y), ux(x, y)+εηx(x, y), uy(x, y)+εηy(x, y)) dxdy.

Obtinem o functie care depinde numai de ε, I(ε). Pentru ε = 0 functia dinvecinatate, adica u(x, y) + εη(x, y), se reduce la functia u(x, y) care este punctulde extrem pentru functionala I astfel ıncat deducem ca punctul ε = 0 trebuie sasatisfaca conditia necesara pentru extrem, adica

dI(ε)

dε

∣∣∣∣∣ε=0

= 0.

Daca introducem derivata sub integrala, rezulta

∫ ∫Ω

[∂L

∂(u+εη)η(x, y)+

∂L

∂(ux + εηx)ηx(x, y)+

∂L

∂(uy+εηy)ηy(x, y)

]dxdy

∣∣∣∣∣∣ε=0

=0.

Daca luam ın consideratie faptul ca ε = 0, relatia anterioara devine∫ ∫Ω

[∂L

∂uη(x, y) +

∂L

∂uxηx(x, y) +

∂L

∂uyηy(x, y)

]dxdy = 0. (3.5)

Acum, descompunem integrala ın trei integrale si calculam prin parti ultimele douadintre ele∫ ∫

Ω

∂L

∂uη(x, y)dxdy +

∫ ∫Ω

∂L

∂uxηx(x, y)dxdy +

∫ ∫Ω

∂L

∂uyηy(x, y)dxdy =

= I1 + I2 + I3 = 0.

In privinta lui I2 avem urmatoarele estimari:

I2 =∫ ∫

Ω

∂L

∂uxηx(x, y)dxdy =

∫ ∫Ω

[∂

∂x

(∂L

∂uxη

)− η ∂

∂x

(∂L

∂ux

)]dxdy

si atunci putem sa scriem

I2 =∫ ∫

Ω

∂

∂x

(∂L

∂uxη

)dxdy −

∫ ∫Ω

η∂

∂x

(∂L

∂ux

)dxdy. (3.6)

De asemenea, ın privinta lui I3 avem urmatoarele estimari

I3 =∫ ∫

Ω

∂L

∂uyηy(x, y)dxdy =

∫ ∫Ω

[∂

∂y

(∂L

∂uyη

)− η ∂

∂y

(∂L

∂uy

)]dxdy


si atunci putem sa scriem

I3 =∫ ∫

Ω

∂

∂y

(∂L

∂uyη

)dxdy −

∫ ∫Ω

η∂

∂y

(∂L

∂uy

)dxdy. (3.7)

Reamintim acum bine cunoscuta formula a lui Green, care face legatura dintreintegrala curbilinie si integrala dubla. Asadar, daca Ω este un domeniu marginitın spatiul R2 cu frontiera Γ care este o curba ınchisa si neteda, atunci formula luiGreen asigura urmatoarea legatura:

∮Γ

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =∫ ∫

Ω

(∂Q

∂x− ∂P

∂x

)dxdy.

Cu scopul de a folosi formula lui Green, adunam, membru cu membru, relatiile(3.6) si (3.7)

I2+I3 =∫ ∫

Ω

(∂L

∂uxηx+

∂L

∂uyηy

)dxdy=

∫ ∫Ω

[∂

∂x

(η∂L

∂ux

)+∂

∂y

(η∂L

∂uy

)]dxdy−

−∫ ∫

Ω

[η∂

∂x

(∂L

∂ux

)+ η

∂

∂y

(∂L

∂uy

)]dxdy.

Pentru prima integrala din membrul drept al relatiei anterioare aplicam formulalui Green∫ ∫

Ω

[∂

∂x

(η∂L

∂ux

)+

∂

∂y

(η∂L

∂uy

)]dxdy =

∮Γ

−η ∂L∂uy

dx+ η∂L

∂uxdy = 0,

unde am folosit conditia (3.4). In urma acestor calcule, suma I2 + I3 se reduce la

I2 + I3 =∫ ∫

Ω

[η∂

∂x

(∂L

∂ux

)+ η

∂

∂y

(∂L

∂uy

)]dxdy.

Introducem aceste rezultate ın (5.13) si obtinem

∫ ∫Ω

[∂L

∂u− ∂

∂x

(∂L

∂ux

)− ∂

∂y

(∂L

∂uy

)]η(x, y)dxdy = 0.

Acum, putem folosi lema fundamentala astfel ıncat relatia anterioara conduce la

∂L

∂u− ∂

∂x

(∂L

∂ux

)− ∂

∂y

(∂L

∂uy

)= 0,


adica ecuatia lui Euler-Ostrogradski, care ıncheie demonstratia teoremei.

Aplicatia 1. Sa folosim ecuatia lui Euler-Ostrogradski pentru a determina functiace extremeaza urmatoarea functionala

I(u) =∫ ∫

Ω

(∂u∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2 dxdy,

unde u = u(x, y), u ∈ C2(Ω) si Ω este un domeniu marginit din spatiul euclideanR2. Lagrangeanul functionalei noastre este

L

(x, y, u(x, y),

∂u

∂x,∂u

∂y

)=

(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

.

Atunci∂L

∂u= 0,

∂L

∂ux= 2

∂u

∂x= ux,

∂L

∂uy= 2

∂u

∂y= uy,

astfel ıncat ecuatia lui Euler-Ostrogradski devine

∂

∂x(ux) +

∂

∂y(uy) = 0⇒ ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

Atunci, functia u(x, y) satisface ecuatia lui Laplace si, dupa cum stim, este nu-mita functie armonica. Este cunoscut faptul ca ın spatiul euclidian R2 o functiearmonica are forma

u(x, y) = C ln1√

x2 + y2,

unde C este o constanta arbitrara. In spatiul euclidian Rn, n ≥ 3 o functiearmonica are forma

u(x) = C1

r,

unde x este o variabila vectoriala, x = (x1, x2, ..., xn), C este o constanta arbitrarasi r este distanta euclidiana, adica,

r =

√√√√ n∑k=1

x2k

5.4. CONDITII SUFICIENTE DE EXTREM 181

5.4 Conditii suficiente de extrem

Dupa cum deja am spus, o functie care satisface ecuatia lui Euler nu este automatun punct de extrem al functionalei. Aceasta este numai conditia necesara pentruextrem. Prin analogie cu teoria clasica a functiilor, pentru ca o functie care sat-isface ecuatia lui Euler sa fie efectiv un punct de extrem al functionalei, trebuiesa satisfaca conditii suplimentare. In cazul functionalelor aceste conditii suficientevor fi obtinute cu ajutorul variatiei de ordinul doi a functionalei. Mai ıntai, ınteorema urmatoare, vom obtine forma variatiei de ordinul doi a unei functionalede tip integrala.

Teorema 4.1 Fie y(x) o functie care satisface ecuatia lui Euler pentru functionala

I(y) =

b∫a

L (x, y(x), y′(x)) dx.

Consideram a vecinatate a functiei y(x) care consta ın functii de forma

y(x) + εη(x)ε ,

unde ε este parametru mic iar functia η(x) satisface conditiile uzuale η ∈ C1[a, b],η(a) = 0 si η(a) = 0. Daca functionala este calculata pentru o functie y(x)+εη(x),care apartine vecinatatii de mai sus, atunci variatia sa de ordinul doi are expresia

δ2I

dε2

∣∣∣∣∣ε=0

=

b∫a

∂2L

∂y′2η′2(x)dx.

Demonstratie. Prin calcul direct, obtinem

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

=δ2

δε2

b∫a

L (x, y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x)) dx

ε=0

=

=δ

δε

b∫a

(∂L

∂(y + εη)η(x) +

∂L

∂(y′ + εη′)η′(x)

)dx

ε=0

=

=

b∫a

[∂2L

∂(y+εη)2η2(x)+2

∂2L

∂(y+εη)∂(y′+εη′)η(x)η′(x)+

∂2L

∂(y′+εη′)2η′2(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣ε=0


Luand ın consideratie faptul ca ε = 0, obtinem

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

=

b∫a

[∂2L

∂y2η2(x) + 2

∂2L

∂y∂y′η(x)η′(x) +

∂2L

∂y′2η′2(x)

]dx,

astfel ıncat variatia de ordinul doi a functionalei capata forma

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

=

b∫a

∂2L

∂y2η2(x)dx+ 2

b∫a

∂2L

∂y∂y′η(x)η′(x)dx+

+

b∫a

∂2L

∂y′2η′2(x)dx = I1 + I2 + I3. (4.1)

Integram prin parti a doua integrala din (4.1), adica, I2:

b∫a

∂2L

∂y∂y′η(x)2η′(x)dx =

∂2L

∂y∂y′η2(x)

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)η2(x)dx.

Dar η(a) = η(b) = 0 si atunci I2 devine

I2 = −b∫a

d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)η2(x)dx.

Introducem aceasta forma a lui I2 ın (5.16) si rezulta

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

=

b∫a

[∂2L

∂y2− d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)]η2(x) +

∂2L

∂y′2η′2(x)

dx.

Sa demonstram ca prima parte a ultimei integrale este egala cu zero. Pornind dela ecuatia lui Euler si folosim derivata ın raport cu y, rezulta

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0

∣∣∣∣∣′

y

⇒

⇒ ∂2L

∂y2− d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)= 0.

In final, a doua variatie a functionalei se reduce la

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

=

b∫a

∂2L

∂y′2η′2(x)dx,


astfel ıncat rezultatul amintit ın teorema este demonstrat.Folosind a doua variatie a functionalei, vom gasi conditia suficienta pentru ex-tremarea functionalei respective.

In teorema urmatoare demonstram conditia suficienta ce trebuie satisfacuta defunctia y(x), care verifica ecuatia lui Euler, sa fie efectiv, punctul de minim pentrufunctionala I. Rezultatul este datorat lui Legendre.

Teorema 4.2 Daca a doua variatie a functionalei I este pozitiva, pentru fiecarefunctie η(x) astfel ıncat η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = η(b) = 0, atunci

∂2L

∂y′2≥ 0.

Demonstratie. In conformitate cu ipoteza, avem

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

≥ 0⇒

⇒b∫a

∂2L

∂y′2η′2(x)dx ≥ 0.

Presupunem ca exista un punct x0 ∈ [a, b] astfel ıncat

∂2L

∂y′2< 0.

Deoarece L ∈ C2, deducem ca∂2L

∂y′2∈ C0,

adica, este o functie continua. De aceea,

∂2L

∂y′2

este negativa pe o ıntrega vecinatate a punctului x0. Atunci, putem sa scriem

∂2L

∂y′2< −α

2

2, ∀x ∈ [x0 − ε, x0 + ε],

unde ε este un parametru mic.Inegalitatea din ipoteza are loc pentru orice functie η(x) care satisface conditiile


de mai sus. Asta ınseamna a inegalitatea data are loc si pentru un η(x) particular,sa spunem η0(x), pe care ıl construim dupa cum urmeaza

η0(x) =

0, daca x ∈ [a, x0 − ε)sin2(x2 − ε2)/ε2, daca x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]0, daca x ∈ (x0 + ε, b]

Este usor de vazut ca, prin definitie, η0(a) = η0(b) = 0.Prin calcul direct, obtinem

limxx0−ε

η0(x) = limxx0−ε

η0(x) = 0,

si, similar,lim

xx0+εη0(x) = lim

xx0+εη0(x) = 0,

adica, functia η0(x) este continua ın punctele x0 ± ε. Folosind consecinta luiLagrange, se poate demonstrate ca functia η0(x) este derivabila ın punctele x0± εsi avem

limxx0−ε

η′0(x) = limxx0−ε

η′0(x) = 0.

Similar,lim

xx0+εη′0(x) = lim

xx0+εη′0(x) = 0.

Aceste calcule demonstreaza ca functia η0(x) ∈ C1[a, b]. Luand ın consideratieconditiile initiale de mai sus, satisfacute de functia η0(x), putem concluziona caη0(x) satisface toate conditiile din ipotezele teoremei noastre. De aceea, trebuie saavem

b∫a

∂2L

∂y′2η′2(x)dx ≥ 0,

integrala fiind calculata pentru functia y(x) + εη0(x) care apartine unei vecinatatia functiei y(x). Vom demonstra ca obtinem o contradictie. Pe de alta parte, avem

∂2L

∂y2− d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)∈ C0.

De asemenea, aceasta functie este definita pe intervalul ınchis (si deci, marginit)[a, b], astfel ıncat folosind clasica teorema a lui Weierstrass deducem ca functiadata este marginita pe intervalul [a, b] si exista M > 0, definit astfel ıncat

M = supa≤x≤b

∣∣∣∣∣∂2L

∂y2− d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)∣∣∣∣∣ .


Acum, putem contrazice ipoteza

δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

≥ 0.

Intr-adevar, folosind consideratiile anterioare, obtinem

∣∣∣∣∣ δ2I(ε)

δε2

∣∣∣∣∣ε=0

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣b∫a

[∂2L

∂y2− d

dx

(∂2L

∂y∂y′

)]η2(x) +

∂2L

∂y′2η′2(x)

dx

∣∣∣∣∣∣ ≤

≤M

b∫a

sin4 x2 − ε2

ε2dx− α2

2

b∫a

4 sin2 x2 − ε2

ε2cos2 x

2 − ε2

ε2

4x2

ε2dx ≤

≤x0+ε∫x0−ε

dx− 8α2

ε2

x0+ε∫x0−ε

x2dx = 2Mε− 64α2x20

ε.

Atunci, considerand, ca de obicei, ε suficient de mic, a doua variatie a functionalei,

δ2I(ε)

δε2

devine negativa ceea ce contrazice ipoteza.Astfel teorema este demonstrata.

Aplicatie. Folosind rezultatul lui Legendre, sa gasim punctul de minim efectivpentru urmatoarea functionala

I(y) =∫ π/2

0

(y′2 − y2

)dx, y(0) = y(

π

2) = 1.

Folosind ecuatia lui Euler, se obtine urmatoarea ecuatie diferentiala

y′′ + y = 0.

Deoarece ecuatia caracteritica r2 + 1 = 0 are radacinile complex conjugate ±i,deducem ca solutia ecuatiei diferentiale este

y(x) = A cosx+B sinx.

Folosind conditiile initiale y(0) = y(π2) = 1, rezulta A = 1 si B = 1 astfel ıncat

y(x) = cos x+ sinx.


Vom scrie lagrangeanul functionalei noastre ca o functie de y′(x). Prin calcul directobtinem

y′(x) = cos x− sinx⇒ y′2(x) = 1− sin 2x.

Astfel lagrangianul devine

L (x, y(x), y′(x)) = y′2(x)− y2(x) = −2 sin 2x.

Dar sin 2x = 1− 2y′(x) astfel ıncat avem

L (x, y, y′) = 2y′2 − 2⇒ ∂L

∂y′= 4y′ ⇒ ∂2L

∂y′2= 4 > 0.

In conformitate cu rezultatul lui Legendre suntem condusi la concluzia ca functia

y(x) = cos x+ sinx

este efectiv punctul de minim pentru functionala data.

5.5 Probleme izoperimetrice

Exista unele probleme de calculul variational pentru care functia, ce trebuie saextremeze o functionala, este supusa la unele restrictii. Vom numi o astfel deproblema ca o problema de extrem conditionat, sau, o problema izoperimetrica.Dintre toate modalitatile de a impune restrictii, noi vom folosi doar pe urmatoarea:definim o noua functionala, sa spunem J(y(x)), cu un alt lagrangean, sa spunemM(x, y(x), y′(x)), si consideram numai functiile y(x) pentru care noua functionalaia o valoare constanta data l.Atunci, ımpreuna cu functionala

I(y) =

b∫a

L (x, y(x), y′(x)) dx

consideram noua functionala

J(y) =

b∫a

M (x, y(x), y′(x)) dx

si o problema izoperimetrica poate fi formulata dupa cum urmeaza:Dintre toate curbele y = y(x) ∈ C1[a, b] de-a lungul carora functionala J(y) ia

5.5. PROBLEME IZOPERIMETRICE 187

o valoare data l, sa se determine una pentru care functionala I(y) are valoareextrema.

In privinta lagrangienilor L si M presupunem ca au derivate partiale pana laordinul doi si acestea sunt continue pentru a ≤ x ≤ b si pentru valori arbitrare alefunctiilor y(x) si y′(x).

O bine cunoscuta problema izoperimetrica este problema lui Dido, numita, deasemenea, si problema pescarului. Dintre curbele ınchise de lungime l, sa gasim peaceea care ınchide cea mai mare arie. In acest caz, lagrangienii L si M sunt

L (x, y(x), y′(x)) = y(x), M (x, y(x), y′(x)) =√

1 + y′2(x).

Ca o consecinta, trebuie sa gasim curba y = y(x) de-a lungul careia functionala

J(y) =

b∫a

√1 + y′2(x)dx

are o valoare data l si pentru care functionala

I(y) =

b∫a

y(x)dx

are valoarea extrema.Ne ıntoarcem la problemele izoperimetrice ın general si demonstram principalulrezultat din acesta context, datorat lui Euler.

Teorema 5.1 Daca o curba y = y(x) extremeaza functionala

I(y) =

b∫a

L (x, y(x), y′(x)) dx

si este supusa la conditiile

J(y) =

b∫a

M (x, y(x), y′(x)) dx = l, y(a) = ya, y(b) = yb

iar y = y(x) nu este un extrem al functionalei J , atunci exista o constanta λ astfelıncat curba y = y(x) este un extrem al functionalei

I(y) =

b∫a

[L (x, y(x), y′(x))− λM (x, y(x), y′(x))] dx.


Demonstratie. Impreuna cu functia y(x) consideram o vecinatate de functii deforma

y(x) + αη(x) + βγ(x)α,β .

Fiecare functie din aceasta vecinatate are aceleasi capete ca y(x), adica,

η(a) = η(b) = 0, γ(a) = γ(b) = 0.

Daca calculam valoarea functionalei I pentru un reprezentant arbitrar al acesteivecinatati, gasim o functie care depinde de α si β:

I(y(x) + αη(x) + βγ(x)) =

=

b∫a

L (x, y(x) + αη(x) + βγ(x), y′(x) + αη′(x) + βγ′(x)) dx = I(α, β).

Dar α si β nu sunt independente deoarece

J(y(x) + αη(x) + βγ(x)) =

=

b∫a

M (x, y(x) + αη(x) + βγ(x), y′(x) + αη′(x) + βγ′(x)) dx = J(α, β).

Atunci,J(α, β) = l.

Daca presupunem ca J depinde de β, putem folosi teorema functiilor impliciteastfel ıncat obtinem urmatoarele trei afirmatii:

-1) β poat fi exprimata ca o functie de α, adica β = β(α);-2) daca α = 0 atunci β = 0, adica β(0) = 0;-3) putem calcula derivata lui β dupa cum urmeaza

β′(α) =dβ

dα= −∂J/∂α

∂J/∂β.

Pentru α = 0, si ca atare si β = 0, reprezentantul ales din vecinatate se reduce lacurba y(x) care extremeaza functionala I. Asta ınseamna ca α = 0 este un punctde extrem al functiei I(α, β) = I(α, β(α)), si, ın conformitate cu conditia clasicade extrem, avem

dI

dα

∣∣∣∣∣α=0

= 0.⇒

⇒(∂I

∂α+∂I

∂β

dβ

dα

)α=0

= 0⇒


⇒b∫a

[∂L

∂(y + αη + βγ)η(x) +

∂L

∂(y′ + αη′ + βγ′)η′(x)

]dx

∣∣∣∣∣∣α=0

+

+

b∫a

[∂L

∂(y + αη + βγ)γ(x) +

∂L

∂(y′ + αγ′ + βγ′)γ′(x)

]dxdβ

dα

∣∣∣∣∣∣α=0

= 0⇒

⇒b∫a

[∂L

∂yη(x) +

∂L

∂y′η′(x)

]dx+

b∫a

[∂L

∂yγ(x) +

∂L

∂y′γ′(x)

]dxdβ

dα= 0

⇒b∫a

∂L

∂yη(x)dx+

b∫a

∂L

∂y′η′(x)dx+

+

b∫a

∂L

∂yγ(x)dx

b∫a

∂L

∂y′γ′(x)dx

dβ

dα= 0 (5.1)

Integrand prin parti, obtinem

b∫a

∂L

∂y′η′(x)dx =

∂L

∂y′η

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx,

si, deoarece η(a) = η(b) = 0, rezulta

b∫a

∂L

∂y′η′(x)dx = −

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx.

Similar,b∫a

∂L

∂y′γ′(x)dx =

∂L

∂y′γ

∣∣∣∣∣b

a

−b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)γ(x)dx,

si, deoarece γ(a) = γ(b) = 0, rezulta

b∫a

∂L

∂y′γ′(x)dx = −

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)γ(x)dx.

Luand ın consideratie aceste estimari, conditia de extrem (5.1) devine

b∫a

∂L

∂yη(x)dx−

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx+

b∫a

∂L

∂yγ(x)dx−

b∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)γ(x)dx

dβdα

=0⇒


⇒b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx+

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)γ(x)

]dx

dβ

dα= 0.

Dar,dβ

dα= −∂J/∂α

∂J/∂β,

si atunci relatia anterioara devine

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx−

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)γ(x)

]dx

∂J/∂α

∂J/∂β=0 (5.2)

Pe de alta parte, daca integram prin parti si luam ın consideratie datele initialeη(a) = η(b) = 0, obtinem

∂J

∂α=

b∫a

[∂M

∂y− d

dx

(∂M

∂y′

)]η(x)dx.

In aceiasi maniera, luand ın consideratie faptul ca γ(a) = γ(b) = 0, obtinem

∂J

∂β=

b∫a

[∂M

∂y− d

dx

(∂M

∂y′

)]γ(x)dx.

Tinem cont de aceste estimari ın (5.2) si obtinem

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx−

−b∫a

b∫a

[∂M∂y− d

dx

(∂M∂y′

)]η(x)dx

b∫a

[∂M∂y− d

dx

(∂M∂y′

)]γ(x)dx

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]γ(x)dx = 0.

Daca folosim notatia

λ =

b∫a

[∂L∂y− d

dx

(∂L∂y′

)]γ(x)dx

b∫a

[∂M∂y− d

dx

(∂M∂y′

)]γ(x)dx

relatia anterioara poate fi adusa la forma

b∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]− λ

[∂M

∂y− d

dx

(∂M

∂y′

)]η(x)dx = 0.


Luand ın consideratie faptul ca η(x) satisface conditiile din lema fundamentala,obtinem urmatoarea ecuatie

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)− λ

[∂M

∂y− d

dx

(∂M

∂y′

)]= 0,

care poate fi adusa ın urmatoarea forma

∂

∂y(L− λM)− d

dx

[∂

∂y′(L− λM)

]= 0.

In final, observam ca aceasta ecuatie este ecuatia lui Euler pentru functionala I(y),unde am folosit notatia

I(y) =

b∫a

(L− λM) dx,


Observatie. Parametrul λ este numit multiplicatorul lui Lagrange si este ne-cunoscut. Putem determina valoarea sa din ecuatia

b∫a

M (x, y(x), y′(x)) dx = l,

dupa ce introducem ın lagrangean expresia gasita pentru functia y(x).

Aplicatia 1. Sa rezolvam problema lui Dido, adica problema pescarului !Inainte de toate, sa notam ca curba trebuie sa fie convexa. Intr-adevar, daca nu arfi asa, atunci exista o linie dreapta L astfel ıncat daca o portiune din frontiera estereflectata ın linie, atunci obtinem a regiune cu aria mai mare ca regiunea initialaavand aceiasi lungime cu linia de frontiera.

De asemenea, mai notam ca orice linie dreapta care bisecteaza o curba ınchisacare margineste o arie maxima va divide aria de asemenea la jumatate. Dacapresupunem contrariu, adica linia L1 nu are aceasta proprietate, atunci, facem oreflectie ın oglinda de-a lungul liniei L1 a acelei portiuni cu suprafata de cea maimare arie, vom obtine o curba cu aceiasi lungime dar care va margini o arie maimare.Alegem ca axa Ox orice dreapta care bisecteaza curba si ajungem la urmatoareaformulare a problemei.

Sa gasim o curba y = y(x), y(−a) = y(a) = 0, care ımpreuna cu segmentul−a ≤ x ≤ a, avand o lungime data l > 2a, margineste o arie maxima.


Astfel, problema se reduce la cautarea extrem-ului functionalei

I(y) =

a∫−a

y(x)dx, y(−a) = y(a) = 0

supusa conditiei

J(y) =

a∫−a

√1 + y′2(x)dx = l, l > 2a.

Construim lagrangeanul

L (x, y(x), y′) = L (x, y(x), y′) + λM (x, y(x), y′) = y(x) + λ√

1 + y′2(x)

si consideram functionala auxiliara

I(y) =

a∫−a

L (x, y(x), y′) dx.

Ecuatia lui Euler pentru aceasta functionala este

d

dx

(λy′√

1 + y′2

)= 1,

de undeλy′√

1 + y′2= x+ C, C = constant.

Explicitam aceasta ecuatie ın y′ si obtinem

dy

dx=

x+ C1√λ2 − (x+ C1)2

,

care dupa integrare conduce la solutia:

(x+ C1) + (y + C2) = λ2,

adica, un cerc de raza λ cu centru ın punctul (−C1,−C2). Constantele C1, C2 siparametrul λ se determina din conditiile y(−a) = y(a) = 0 si conditia izoperimet-rica, adica, egaland valoarea functionalei J(y) cu l. Obtinem

C22 = λ2 − (C1 − a)2

C22 = λ2 − (C1 + a)2


de unde

C1 = 0, C2 =√λ2 − a2,

astfel ıncat

y(x) =√λ2 − x2 −

√λ2 − a2,

y′(x) = − x√λ2 − x2

.

Conditia izoperimetrica conduce la

l =

a∫−a

λ√λ2 − x2

= λ arcsinx

λ

∣∣∣∣a−a

= 2λ arcsina

λ,

de undea

λ= sin

l

2λ.

Rezolvam aceasta ecuatie ın necunoscuta λ si gasim o anumita valoare λ = λ0 siapoi marimea lui

C2 =√λ2

0 − a2.

Sa demonstram ca ultima ecuatie are ıntotdeauna solutie. Intr-adevar, daca puneml/2λ = t, reducem aceasta ecuatie la forma

sin t =2a

lt,

unde 2a/l = α < 1 ın baza ipotezei. In punctul t = 0, functia y(t) = sin t aretangenta de panta π/4, ın timp ce functia y(t) = αt are o panta mai mica. Deaceea, graficele ale acestor functii au cel putin un punct de intersectie, altul decatoriginea O(0, 0).

Aplicatia 2. Sa rezolvam problema geodezicelor.

Solutia vectoriala.

Inainte de toate, reamintim ca o geodezica a unei suprafete este o curba delungime minima continuta ın suprafata data care uneste doua puncte date alesuprafetei. In cazul nostru, dintre toate curbele situate pe o sfera de raza 1 careunesc doua puncte date, sa o gasim pe aceea de lungimea cea mai mica.Presupunem ca sfera este data prin ecuatia vectoriala

r = r(u, v).


Ecuatiile geodezicelor pot fi obtinute ca si ecuatiile lui Euler corespunzatoare prob-lemei variationale a gasirii celei mai mici distante, pe o suprafata, dintre douapuncte date. Fie ϕ longitudinea, θ latitudinea unui punct de pe sfera, si ϕ = ϕ(θ)ecuatia curbei autate. Atunci avem

r = r(ϕ, θ) = x(ϕ, θ)i + y(ϕ, θ)j + z(ϕ, θ)k.

Reamintim ca elementul de arc pe o suprafata are forma

ds =√Eu′2 + 2Fu′v′ +Gv′2dθ

si atunci lungimea curbei dintre punctele corespunzatoare valorilor θ1 si θ2 aleparametrului θ este

J(u, v) =

θ2∫θ1

√Eu′2 + 2Fu′v′ +Gv′2dθ,

unde E,F,G sunt coeficientii formei patratice a suprafetei, adica,

E =

(∂r

∂u,∂r

∂u

), F =

(∂r

∂u,∂r

∂v

), G =

(∂r

∂v,∂r

∂v

)

Aici, (a,b) este produsul scalar al vectorilor a si b.In cazul sferei,

E = (rϕ, rϕ) = sin2 θ, G = (rθ, rθ) = 1, F = (rϕ, rθ) = 0,

si

J(ϕ, θ) =

θ2∫θ1

√1 + sin2 θ.ϕ′2(θ)dθ.

Deoarece lagrangeanul nu contine functia ϕ(θ) deducem ca ecuatia lui Euler poatefi ınlocuita cu integrala prima particulara

d

dθLϕ′ = 0,

unde

Lϕ′ =sin2 θϕ′(θ)√

1 + sin2 θ.ϕ′2(θ),

astfel ıncatsin2 θϕ′(θ)√

1 + sin2 θ.ϕ′2(θ)= C1


Din aceasta obtinem

ϕ′(θ) =C1

sin θ√

sin2 θ − C21

=

=C1

sin2 θ√

(1− C21)− C2

1ctg2θ= − C1d(ctg2θ)√

(1− C21)− C2

1ctg2θ.

Integrand obtinem

ϕ(θ) = arccosC1ctg2θ√

1− C21

+ C2,

adica,

ϕ(θ) = arccos(Cctgθ) + C2, unde C =C1√

1− C21

,

de unde

Cctgθ = cos[ϕ(θ)− C2],

sau, echivalent,

ctgθ = A cosϕ(θ) +B sinϕ(θ)

unde

A =cosC2

C, B =

sinC2

C

Inmultind ambii membri cu sin θ, obtinem

cos θ = A cosϕ sin θ +B sinϕ sin θ,

de unde, trecand la coordonate carteziene, deducem

z = Ax+By.

Aceasta este ecuatia unui plan trecand prin centrul sferei si care intersecteza sferade-a lungul unui cerc mare. Atunci, geodezica sferei este un cerc mare.

Solutia carteziana. Consideram sfera avand originea ca centru si raza egalacu 1. Dintre toate curbele care unesc doua punct arbitrare A si B situate pe sfera,sa o gasim pe aceea de lungime minima. Consideram curba ın forma parametrica

x = x(t)y = y(t)z = z(t), t ∈ [a, b]


Capetele a si b ale intervalului vor fi determinate din conditia ca arcul de curba satreaca prin punctele A si B. Dupa cum stim, elementul de arc este

ds =√x2 + y2 + z2dt.

Lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctele A si B este

s(x, y, t) =

b∫a

√x2 + y2 + z2dt.

Asadar, trebuie sa extremam aceasta functionala luand ın consideratie faptul caarcul de curba trebuie sa apartina sferei x2 + y2 + z2 = 1.In baza teoremei 5.1, avem functionala

I(x, y, z) =

b∫a

[√x2 + y2 + z2 − λ

(x2 + y2 + z2 − 1

)]dt,

cu ajutorul careia obtinem sistemul de ecuatii

∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)= 0

∂L

∂y− d

dt

(∂L

∂y

)= 0

∂L

∂z− d

dt

(∂L

∂z

)= 0,

ın care lagrangeanul L este

L (t, x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), z(t)) =√x2 + y2 + z2 − λ

(x2 + y2 + z2 − 1

)Deoarece

∂L

∂x= −2λx,

∂L

∂y= −2λy,

∂L

∂z= −2λz

si∂L

∂x=

x√x2 + y2 + z2

,∂L

∂y=

y√x2 + y2 + z2

,∂L

∂z=

z√x2 + y2 + z2

,

sistemul de ecuatii de mai sus devine

−2λx− d

dt

(x√

x2 + y2 + z2

)= 0


−2λy − d

dt

(y√

x2 + y2 + z2

)= 0

−2λz − d

dt

(z√

x2 + y2 + z2

)= 0.

Acest sistem poate fi scris ın forma

d

dt

(x√

x2 + y2 + z2

)+ 2λx = 0

d

dt

(y√

x2 + y2 + z2

)+ 2λy = 0

d

dt

(z√

x2 + y2 + z2

)+ 2λz = 0.

Este destul de dificil de rezolvat acest sistem ın variabila t, astfel ıncat trecem lao noua variabila s, luand ın consideratie faptul ca

ds =√x2 + y2 + z2dt.

Prin calcul direct, obtinem

x =dx

dt=dx

ds

ds

dt= x′

√x2 + y2 + z2 ⇒ x√

x2 + y2 + z2= x′,

y =dy

dt=dy

ds

ds

dt= y′

√x2 + y2 + z2 ⇒ y√

x2 + y2 + z2= y′,

z =dz

dt=dz

ds

ds

dt= z′

√x2 + y2 + z2 ⇒ z√

x2 + y2 + z2= z′.

Sistemul va capata formad

dt(x′) + 2λx = 0

d

dt(y′) + 2λy = 0

d

dt(z′) + 2λz = 0

adica,dx′

ds

ds

dt+ 2λx = 0

dy′

ds

ds

dt+ 2λy = 0


dz′

ds

ds

dt+ 2λz = 0

de unde deducem

x′′ = − 2λ√x2 + y2 + z2

x

y′′ = − 2λ√x2 + y2 + z2

y

z′′ = − 2λ√x2 + y2 + z2

z

Folosind notatia2λ√

x2 + y2 + z2= β(t),

ultimul sistem devine x′′ = −β(t)xy′′ = −β(t)yz′′ = −β(t)z

(5.3)

Pe de alta parte, prin derivarea ecuatiei sferei, x2 + y2 + z2 − 1 = 0, ın raport cuvariabila s, obtinem

xx′ + yy′ + zz′ = 0,

si, dupa ınca o derivare

x′2 + y′2 + z′2 + xx′′ + yy′′ + zz′′ = 0. (5.4)

Inmultim prima ecuatie din (5.3) cu x, a doua cu y si a treia cu z apoi adunamrelatiile care rezulta, astfel ca obtinem

xx′′ + yy′′ + zz′′ = −β(t)(x2 + y2 + z2

)= −β(t).

Daca introducem acest rezultat ın (5.4) deducem

x′2 + y′2 + z′2 = β(t). (5.5)

Pe de alta parte, folosind sistemul anterior de relatiix = x′

√x2 + y2 + z2

y = y′√x2 + y2 + z2

z = z′√x2 + y2 + z2

de unde este usor de vazut ca

x′2 + y′2 + z′2 = 1

5.6. PROBLEME CU CAPETE MOBILE 199

si atunci din (5.5) deducem

β(t) = 1,

si sistemul (5.3) devine x′′ + x = 0y′′ + y = 0z′′ + z = 0

Este usor de rezolvat acest sistem de ecuatii diferentiale (cu ajutorul ecuatiei car-acteristice, caci ecuatiile sistemului sunt cu coeficienti constanti). Gasim solutiile

x(s) = A1 cos s+ A2 sin sy(s) = B1 cos s+B2 sin sz(s) = C1 cos s+ C2 sin s,

unde A1, A2, B1, B2, C1, C2 sunt constante.Din primele doua ecuatii gasim expresia pentru cos s si sin s si pe care le intoducemın ultima ecuatie astfel ca obtinem o ecuatie de forma

z = Ax+By, A, B = constante,

adica, ecuatia unui plan trecand prin centrul sferei si care intersecteza sfera de-alungul unui cerc mare. Asadar, geodezica sferei este un cerc mare.

5.6 Probleme cu capete mobile

In toate problemele de calcul variational pe care le-am studiat deja, capetelefunctiei care extremeaza o functionala erau fixate. In acest paragraf introducemunele notiuni privind problemele cu frontiera mobila. Vom considera numai douacazuri:

-1) un capat al curbei extremale (de exemplu, capatul din stanga curbei) estefixat si celalalt (capatul din dreapta) este mobil de-a lungul curbei date y = ϕ(x).

-2) capatul din stanga al curbei extremale este mobil de-a lungul unei curbeidate y = ϕ(x) si cel din dreapta este mobil de-a lungul altei curbei date y = ψ(x).

Este clar, exista probleme mai complicate cand capetele curbei extremale suntmobile, unul de-a lungul unei curbei date si celalalt aluneca pe o suprafata, sau,mai general, ambele capete sunt mobile de-a lungul a doua suprafete date.


Pentru moment, consideram problema mai simpla a gasirii distantei minimedintre un punct fixat A(a, b) si o curba

(C) y = ϕ(x), x ∈ [α, β].

Deci, un capat al curbei extremale va fi fixat si altul este mobil de-a lungul curbei(C). Notam cu B(x1, ϕ(x1) punctul unde este atins minim-ul distantei dintrepunctul A si curba (C). In acest caz functionala care trebuie sa fie extremata este

I(y) =

x1∫a

L (x, y(x), y′(x)) dx. (6.1)

Teorema 6.1 Daca functia y(x) extremeaza functionala I(y) din (6.1), atunci easatisface urmatorul sistem de ecuatii

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0 (6.2)

L+∂L

∂y′

(dϕ

dx− dy

dx

)x=x1

= 0. (6.3)

Demonstratie. Inainte de toate, trebuie sa subliniem faptul ca relatia (6.3) estenumita conditia de transversalitate.Consideram o vecinatate de speta ıntai a functiei y(x), adica functii de forma

y(x) + εη(x)ε , ε > 0

si calculam valoarea functionalei I(y) pentru un reprezentant arbitrar al acesteivecinatati

I(y + εη) =

x1∫a

L (x, y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x)) dx = I(ε).

Pentru un reprezentant arbitrar al acestei vecinatati (adica, pentru un ε fixatarbitrar), o egalitate de forma

y(x) + εη(x) = ϕ(x), (6.4)

defineste valoarea punctului x1 ca intersectie a acestor curbe. Evident, pentru unε arbitrar, obtinem x1 = x1(ε) si functionala poate fi scrisa ın forma

I(y + εη) =

x1(ε)∫a

L (x, y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x)) dx = I(ε).


Este evident ca pentru ε = 0 reprezentantul vecinatatii se reduce la functia y(x)care extremeaza functionala. Ca atare, ε = 0 este punct de extrem pentru functiaI(ε) si, de aceea,

dI(ε)

dε

∣∣∣∣∣ε=0

= 0.

Folosind regula de derivare a integralei cu parametru, deducem:

dI(ε)

dε

∣∣∣∣∣ε=0

=dx1(ε)

dεL (x1(ε), y(x1(ε)), y′x1(ε))

∣∣∣∣∣ε=0

+

+

x1(ε)∫a

(∂L

∂(y + εη)η(x) +

∂L

∂(y′ + εη′)η′(x)

)dx

∣∣∣∣∣∣∣ε=0

= 0.

Luand ın consideratie faptul ca ε = 0, putem sa scriem

dx1(0)

dεL (x1(0), y(x1(0)), y′x1(0)) +

x1(0)∫a

(∂L

∂yη(x) +

∂L

∂y′η′(x)

)dx = 0. (6.5)

Sa calculam, prin parti, ultima integrala din aceasta ecuatie

x1(0)∫a

∂L

∂y′η′(x)dx =

∂L

∂y′η(x)

∣∣∣∣∣x1(0)

a

−x1(0)∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx.

Daca tinem cont ca η(a) = 0, avem

x1(0)∫a

∂L

∂y′η′(x)dx =

∂L

∂y′η(x1(0))−

x1(0)∫a

d

dx

(∂L

∂y′

)η(x)dx.

Atunci, ecuatia (6.5) devine

dx1(0)

dεL (x1(0), y(x1(0)), y′x1(0)) +

∂L

∂y′η(x1(0))+

+

x1(0)∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx = 0. (6.6)

Acum, scriem faptul ca x1(ε) verifica ecuatia (6.4), adica

y(x1(ε)) + εη(x1(ε)) = ϕ(x1(ε)) (6.7)


Folosind derivata ın raport cu ε ın (6.7), rezulta

dy

dx1

dx1

dε+ η(x1(ε)) + ε

dη

dx1

dx1

dε=

dϕ

dx1

dx1

dε⇒

⇒ η(x1(ε)) =dx1

dε

[dϕ

dx1

− dy

dx1

]− ε dη

dx1

dx1

dε

astfel ıncat, daca punem ε = 0, obtinem

η(x1(0)) =dx1(ε)

dε

(dϕ

dx1

− dy

dx1

)ε=0

. (6.8)

Substituind acest rezultat ın (6.6), deducem

dx1(0)

dε

[L (x1, y(x1), y′x1) +

∂L

∂y′

(dϕ

dx− dy

dx

)x=x1

]+

+

x1∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx = 0. (6.9)

Egalitatea (6.9) are loc pentru orice η, deoarece am calculat valoarea functionalei Ipentru un reprezentant arbitrar din vecinatatea functiei y(x). Astfel, putem alegeacea functie η pentru care η(x1(0)) = 0 si relatia (6.8) devine

dx1(ε)

dε

(dϕ

dx1

− dy

dx1

)ε=0

= 0.

Dar, ultimul termen nu poate fi zero, astfel ıncat deducem

dx1(0)

dε= 0,

si egalitatea (6.9) se reduce la

x1(0)∫a

[∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)]η(x)dx = 0.

De aceea, putem folosi lema fundamentala si ajungem la concluzia

∂L

∂y− d

dx

(∂L

∂y′

)= 0


adica, tocmai ecuatia lui Euler (6.2).Luand ın consideratie aceasta concluzie, relatia (6.9) se reduce la

L (x1, y(x1), y′x1) +∂L

∂y′

(dϕ

dx− dy

dx

)x=x1

= 0,

adica, conditia de transversalitate din enuntul teoremei noaetre. Asadar, si ecuatialui Euler si conditia de transversalitate sunt demonstrate astfel ıncat demonstratiateoremei este ıncheiata.Sa dam o interpretare geometrica a conditiei de transversalitate. Pentru aceasta,demonstram urmatoarea propozitie.

Propozitia 6.1 Daca lagrangeanul functionalei I(y) are forma

L = L (x, y(x), y′(x)) = h(x, y(x))√

1 + y′2(x), h(x, y) 6= 0,

si, ca o consecinta, functionala este

I(y) =

x1∫a

h(x, y(x))√

1 + y′2(x)dx,

atunci conditia de transversalitate devine

y′(x) = − 1

ϕ′(x)

unde y(x) este functia extremala a functionalei si ϕ(x) este curba pe care se miscaunul din capetele curbei extremale.

Demonstratie. Conditia generala de transversalitate

L (x1, y(x1), y′x1) +∂L

∂y′

(dϕ

dx− dy

dx

)x=x1

= 0,

devine, ın cazul nostru,

h(x, y(x))√

1 + y′2(x) + h(x, y(x))y′(x)√

1 + y′2(x)(ϕ′(x)− y′(x))x=x1

= 0.

Prin ipoteza avem h(x, y) 6= 0, astfel ıncat deducem

1 + y′2(x) + y′(x)ϕ′(x)− y′2(x)√1 + y′2(x)

= 0⇒


⇒ 1 + y′(x)ϕ′(x) = 0,

Asadar rezultatul dorit este demonstrat.

Observatie. Conditia de transversalitate din propozitia anterioara afirma cacurba extremala a functionalei si curba pe care se misca unul din capetele curbeiextremale, trebuie sa fie ortogonala una pe alta.

Aplicatie. Sa calculam minim-ul distantei dintre punctul A(−1, 5) si curbay2 = x. In acest caz functionala este

I(y) =∫ x1

−1

√1 + y′dx,

x1 fiind un punct mobil pe curba

y = ϕ(x) =√x.

In locul ecuatiei lui Euler putem folosi integrala prima

∂L

∂y′= C, C = constant.

Conditia de transversalitate capata forma√1 + y′ +

y′√1 + y′2

(1

2√x− y′

)x=x1

= 0.

Diny′√

1 + y′2= C ⇒ y′ = C1 ⇒ y = C1x+ C2,

astfel ıncat conditia de transversalitate devine√1 + C2

1 +C1√

1 + C21

(1

2√x1

− C1

)= 0⇒

⇒ 1√1 + C2

1

+1

2√x1

C1√1 + C2

1

= 0⇒ 2√x1 + C1 = 0.

Apoi, deoarece punctele A(−1, 5) si B(x1,√x1) apartin dreaptei y = C1x + C2

obtinem doua relatii pentru a determina C1 = −2, C2 = 3 si x1 = 1. Ecuatiadreaptei devine y = −2x+ 3 si atunci minim-ul distantei este∫ 1

−1

√1 + y′2dx =

∫ 1

−1

√5dx = 2

√5.

Capitolul 6

Ecuatii cvasiliniare

6.1 Forma canonica ın cazul n = 2

Fie Ω un domeniu marginit din spatiul euclidian n−dimensional IRn. Forma gen-erala a unei ecuatii diferentiale cu derivate partiale este:

F (x, u, ux1 , ..., uxn , ux1x2 , ..., uxixj , ux1x2...xi , ..., ux1x2...xn) = 0, (1.1)

unde cu uxi , uxixj , uxixjxk , ..., am notat derivatele partiale

∂u

∂xi,∂2u

∂xi∂xj,

∂3u

∂xi∂xj∂xk, ...

In aceasta ecuatie functia necunoscuta este u(x) = u(x1, x2, ..., xn), x ∈ Ω.Functia F satisface, ın raport cu argumentele sale, unele ipoteze de regularitatecare permit operatiile matematice necesare pentru a rezolva ecuatia.

O functie reala u(x) definita ın domeniul Ω, unde este considerata ecuatia (1.1),care este continua ımpreuna cu derivatele sale partiale si care introdusa ın ecuatieo transforma pe aceasta ıntr-o identitate se numeste solutie regulata a ecuatiei.Vom studia numai ecuatiile diferentiale cu derivate partiale de forma (1.1) carecontin derivate partiale pana la ordinul doi, inclusiv.

Definitia 1.1 O ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul doi, ıntr-osingura functie necunoscuta, care depinde de n variabile independente, de forma

n∑i=1

n∑j=1

aij(x1, x2, ..., xn)∂2u

∂xi∂xj= f(x1, x2, ..., xn, u, ux1 , ..., uxn) (1.2)

este numita ecuatie diferentiala cvasi-liniara cu derivate partiale de ordinul doi.

205

206 CAPITOLUL 6. ECUATII CVASILINIARE

Functiile aij = aji si f sunt functii cunoscute si, ın general, sunt presupuse continueın raport cu argumentele lor.

In toate cele ce urmeaza consideram numai cazul a doua variabile independente,(n = 2), astfel ıncat ecuatia cvasiliniara (1.2) devine

a11∂2u

∂x2+ 2a12

∂2u

∂x∂y+ a22

∂2u

∂y2= f(x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y) (1.3)

Problema integrarii unei ecuatii de forma (1.3) este problema determinarii uneifunctii u = u(x, y), u : Ω→ IR, u ∈ C2(Ω) care sa verifice ecuatia data.Pentru a face mai facila integrarea ecuatiei (1.3), vom face o schimbare a variabilorindependente: de la variabilele (x, y) trecem la variabilele (ξ, η) prin transformarea

ξ = ξ(x, y),

η = η(x, y), (1.4)

astfel ıncat ξ, η ∈ C2(Ω) si∣∣∣∣∣∂(ξ, η)

∂(x, y)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ ξx ξyηx ηy

∣∣∣∣∣ 6= 0, pe Ω. (1.5)

Schimbarea (1.4) este o transformare nedegenerata (sau nesingulara) de variabilesi este facuta cu scopul ca ın noua ecuatie diferentiala cu derivate partiale, ın vari-abilele ξ si η, de asemenea de forma (1.3), unul sau doi coeficienti sa fie nuli.

Observatie. Datorita ipotezelor impuse variabilelor ξ si η, putem aplica ın oricepunct din Ω teorema functiilor implicite. Astfel, daca fixam arbitrar (x0, y0) ∈ Ω,putem determina functiile (1.4) ın raport cu necunoscutele x si y, astfel ıncat ıntr-ovecinatate a punctului (x0, y0), obtinem

x = x(ξ, η)

y = y(ξ, η). (1.6)

Daca notam cu ξ0 = ξ(x0, y0) si η0 = η(x0, y0), atunci obtinem ca x0 = x(ξ0, η0) siy0 = y(ξ0, η0).Pentru a obtine ecuatia diferentiala cu derivate partiale ın noile variabile ξ si η,substituim derivatele functiei necunoscute cu derivatele ın raport cu variabilelenoi. Avem:

∂u

∂x=∂u

∂ξ

∂ξ

∂x+∂u

∂η

∂η

∂x,

∂u

∂y=∂u

∂ξ

∂ξ

∂y+∂u

∂η

∂η

∂y

Apoi:

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂x

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x+∂2u

∂η2

(∂η

∂x

)2

+

6.1. FORMA CANONICA IN CAZUL N = 2 207

+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x2+∂u

∂η

∂2η

∂x2,

∂2u

∂x∂y=∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+

∂2u

∂ξ∂η

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ (1.7)

+∂2u

∂η2

∂η

∂x

∂η

∂y+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x∂y+∂u

∂η

∂2η

∂x∂y,

∂2u

∂y2=∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂y

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y+∂2u

∂η2

(∂η

∂y

)2

+

+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂y2+∂u

∂η

∂2η

∂y2.

Daca substituim derivatele din (1.7) ın (1.3) obtinem

a11∂2u

∂ξ2+ 2a12

∂2u

∂ξ∂η+ a22

∂2u

∂η2= F (ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η) (1.8)

unde coeficientii noi aij au expresiile:

a11 = a11

(∂ξ

∂x

)2

+ 2a12∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ a22

(∂ξ

∂y

)2

,

a12 = a11∂ξ

∂x

∂η

∂x+ a12

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ a22

∂η

∂y

∂ξ

∂y, (1.9)

a22 = a11

(∂η

∂x

)2

+ 2a12∂η

∂x

∂η

∂y+ a22

(∂η

∂y

)2

.

Este clar ca anularea coeficientilor a11 si a22 ai ecuatiei (1.8) este legata de re-zolvarea ecuatiei diferentiale cu derivate partiale de ordinul ıntai:

a11

(∂z

∂x

)2

+ 2a12∂z

∂x

∂z

∂y+ a22

(∂z

∂y

)2

= 0. (1.10)

Intr-adevar, daca z = ϕ(x, y) este o solutie a ecuatiei (1.10), atunci folosind trans-formarea de variabile

ξ = ϕ(x, y)

η = η(x, y),

unde η este o variabila arbitrara, dar care trebuie sa satisfaca conditia (1.5), din(1.9) deducem ca a11 = 0.


Daca alegem noile variabile:

ξ = ξ(x, y)

η = ϕ(x, y),

unde z = ϕ(x, y) este o solutie a ecuatiei (1.10), atunci din relatia (1.9)3 obtinemca a22 = 0.

Pe de alta parte, sa observam ca rezolvarea ecuatiei diferentiale cu derivatepartiale (1.10) este legata de rezolvarea ecuatiei diferentiale ordinare

a11 (dy)2 − 2a12dy dx+ a22 (dx)2 = 0, (1.11)

care, formal, poate fi rescrisa ın forma:

a11

(dy

dx

)2

− 2a12dy

dx+ a22 = 0. (1.12)

Propozitia 1.1 Au loc urmatoarele afirmatii:

(i). Fie ϕ(x, y) = C o integrala prima a ecuatiei (1.11), unde C este o con-stanta arbitrara. Atunci functia z = ϕ(x, y) este o solutie a ecuatiei (1.10).

(ii). Fie z = ϕ(x, y) o solutie a ecuatiei (1.10). Atunci ϕ(x, y) = C, unde Ceste o constanta arbitrara, este o integrala prima a ecuatiei (1.11).

Demonstratie. (i). Fie ϕ(x, y) = C o integrala prima a ecuatiei (1.11).Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca

∂ϕ

∂y(x, y) 6= 0 pe Ω.

Daca∂ϕ

∂y(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω0 ⊂ Ω,

atunci continuam studiul numai pe Ω \ Ω0.Daca

∂ϕ

∂xy(x, y) = 0,∀(x, y) ∈ Ω,

atunci schimbam rolul variabilelor x si y.Daca ambele derivate sunt nule,

∂ϕ

∂x(x, y) = 0, si

∂ϕ

∂y(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ Ω,


atunci ϕ(x, y) este o functie constanta si, de aceea, ecuatia (1.10) are solutia nula.Ca o consecinta, putem presupune ca

∂ϕ

∂y6= 0.

Atunci ıntr-o vecinatate a unui punct (x0, y0) pentru care

∂ϕ

∂y(x0, y0) 6= 0,

putem scrie y = f(x, c0), unde c0 = ϕ(x0, y0). Mai mult,

dy

dx= −

∂ϕ∂x

(x, y)∂ϕ∂y

(x, y). (1.13)

Substituim (1.13) ın (1.12), care este echivalenta cu (1.11), si obtinem

0 =

a11

(dy

dx

)2

− 2a12dy

dx+ a22

(x0,y0)

=

=

a11

− ∂ϕ∂x∂ϕ∂y

2

− 2a11

− ∂ϕ∂x∂ϕ∂y

+ a22

(x0,y0)

=

=

a11

(∂ϕ

∂x

)2

+ 2a12∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y+ a22

(∂ϕ

∂y

)2 1(

∂ϕ∂y

)2 ,

de unde urmeazaa11

(∂ϕ

∂x

)2

+ 2a12∂ϕ

∂y

∂ϕ

∂x+ a22

(∂ϕ

∂y

)2

(x0,y0)

= 0,

pentru toate posibilitatile de a alege (x0, y0) ın Ω, adica, ϕ(x, y) este o solutiepentru ecuatia (1.10).

(ii). Sa presupunem ca z = ϕ(x, y) este o solutie pentru ecuatia (1.10) siaratam ca ϕ(x, y) = C, unde C este o constanta arbitrara, este o integrala primapentru ecuatia (1.11). Pentru aceasta trebuie sa aratam ca dϕ(x, y) = 0, adica,

∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy = 0,

de unde urmeaza∂ϕ∂x∂ϕ∂y

= −dydx. (1.14)


Daca scriem faptul ca z = ϕ(x, y) este o solutie a ecuatiei (1.10)

a11

(∂ϕ

∂x

)2

+ 2a12∂ϕ

∂y

∂ϕ

∂x+ a22

(∂ϕ

∂y

)2

= 0

si ımpartim aici, formal, cu (∂ϕ/∂y)2, fara a mai repeta consideratiile cu privirela teorema functiilor implicite, care, evident ramane valabila, din prima parte ademonstratiei, obtinem

a11

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

2

+ 2a12

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

+ a22 = 0.

Aici, substituim (1.14) astfel ıncat se obtine ecuatia (1.12).In esenta, ın propozitia (1.1) se arata ca pentru a gasi o solutie pentru ecuatia(1.10) trebuie sa gasim integrale prime pentru ecuatia (1.12).Ca o consecinta, aratam ca pentru a anula coeficientii a11 si a22 ai ecuatiei (1.8),ınseamna sa gasim integralele prime ale ecuatiei (1.12). Ecuatia (1.11) este numitaecuatia caracteristicilor si integralele sale prime se numesc caracteristici sau curbecaracteristice. Analizand ecuatia caracteristicilor (1.11), deducem ca pentru a gasiintegrale sale prime, avem trei cazuri diferite, avand ın vedere discriminantul ∆ alecuatiei, ∆ = a2

12 − a11a22:

1o. Daca ∆ > 0, ecuatia (1.11) admite doua curbe caracteristice reale si dis-tincte. Atunci ecuatia cu derivate partiale este numita ecuatie hiperbolica.

2o. Daca ∆ = 0, ecuatia (1.11) admite numai o caracteristica reala. Atunciecuatia diferentiala cu derivate partiale este numita ecuatie parabolica.

3o. Daca ∆ < 0, ecuatia (1.11) admite doua caracteristici complex conjugate.Atunci ecuatia diferentiala cu derivate partiale este numita ecuatie eliptica.Clasificarea anterioara este facuta cu privire la ecuatia diferentiala cu derivatepartiale ın forma sa initiala (1.3). Dar, transformarea de coordonate(1.4) cuconditia (1.5), nu afecteaza tipul ecuatiei (1.3).

Intr-adevar, daca calculam ∆ pentru forma (1.8) a ecuatiei, (adica formacanonica ), deducem ca discriminantul ∆ are acelasi semn:

∆ = a122 − a11 a22 =

(a2

12 − a11a22

)(∂ξ∂x

∂η

∂y− ∂ξ

∂y

∂η

∂x

)2

,

adica,

∆ = ∆

(∂(ξ, η)

∂(x, y)

)2

, (1.15)


unde am luat ın consideratie forma (1.9) a coeficientilor aij. Din (1.15) deducemca, daca ecuatia este hiperbolica, parabolica sau eliptica, ıntr-un sistem de coor-donate, atunci ea are aceiasi tip daca trecem la alt sistem de coordonate, dacatransformarea de coordonate este nedegenerata, adica, are loc conditia (1.5).

Este usor de constatat ca ∆ este o functie continua ın raport cu variabilele(x, y). In baza unei teoreme de baza din analiza matematica se stie ca daca ofunctie continua este pozitiva ıntr-un punct, atunci ea este pozitiva ıntr-o ıntreagavecinatate a punctului respectiv. Asadar, putem divide planul R2 ın trei zonediferite. Vom numi domeniu de hiperbolicitate pentru ecuatia (1.3) multimeapunctelor din planul IR2 pentru care ecuatia (1.3) este hiperbolica. Analog pot fidefinite domeniile de parabolicitate si de elipticitate, respectiv.

In cele ce urmeaza intentionam sa gasim forma canonica a unei ecuatii diferentialecu derivate partiale ın toate trei cazurile.

1o Cazul hiperbolic: ∆ = a212 − a11a22 > 0. In acest caz ecuatia (1.11) are

doua integrale prime reale si distincte: ϕ(x, y) = C1, ψ(x, y) = C2, unde C1 si C2

sunt constante arbitrare. Consideram variabilele noi (ξ, η) ın forma

ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) (1.16)

si, ın baza propozitiei 1.1, vom obtine ca a11 = 0 si a22 = 0, astfel ıncat formacanonica a ecuatiei hiperbolice este

a12∂2u

∂ξ∂η= f

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)

sau, daca ımpartim cu a12 (care evident, nu poate fi nul):

∂2u

∂ξ∂η= F

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

). (1.17)

Sa observam ca transformarea (1.16) este nedegenerata. Intr-adevar,∣∣∣∣∣∂(ξ, η)

∂(x, y)

∣∣∣∣∣ = 0⇔ ∂ϕ

∂y

∂ψ

∂x− ∂ψ

∂x

∂ϕ

∂y= 0⇔

−∂ϕ∂x∂ϕ∂y

= −∂ψ∂x∂ψ∂y

⇔ a12 +√

∆

a11

=a12 −

√∆

a11

⇔

⇔√

∆ = −√

∆⇔ ∆ = 0,

care este absurda, luand ın consideratie faptul ca ∆ > 0.


2o Cazul parabolic: ∆ = a212− a11a22 = 0. In acest caz ecuatia caracteristica

(1.11) are numai o integrala prima reala, ϕ(x, y) = C, unde C este o constantaarbitrara. Putem folosi noile variabile (ξ, η) dupa cum urmeaza

ξ = ϕ(x, y), η = η(x, y), (1.18)

unde η este o functie arbitrara de clasa C2, care ımpreuna cu ϕ asigura conditiaca transformarea (1.18) este nedegenerata∣∣∣∣∣∂(ξ, η)

∂(x, y)

∣∣∣∣∣ =∂ϕ

∂x

∂η

∂y− ∂η

∂x

∂ϕ

∂y6= 0. (1.19)

Deoarece am ales ξ = ϕ(x, y), ın baza propozitiei 1.1, deducem ca a11 = 0. Sademonstram ca si a12 = 0.

Propozitia 1.2 Daca ξ si η sunt de forma (1.18), si satisfac conditia (1.19),atunci avem a12 = 0.

Demonstratie. Din conditia a212 = a11a22 deducem ca a11 si a22 au, simultan,

acelasi semn si, fara a restrange generalitatea, presupunem ca a11 > 0 si a22 > 0.Atunci a12 = ±√a11

√a22. In conformitate cu propozitia 1.1, rezulta ca a11 = 0 si,

de aceea

0 = a11

(∂ξ

∂x

)2

+ 2a12∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ a11

(∂ξ

∂y

)2

=

=

(√a11

∂ξ

∂x

)2

±√a11

√a22

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+

(√a22

∂ξ

∂x

)2

=

=

(√a11

∂ξ

∂x±√a22

∂ξ

∂y

)2

.

Aceasta implica√a11

∂ξ

∂x±√a22

∂ξ

∂y= 0. (1.20)

Folosind (1.9) deducem

a12 = a11∂ξ

∂x

∂η

∂x+ a12

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ a22

∂ξ

∂y

∂η

∂y=

=

(√a11

∂ξ

∂x±√a22

∂ξ

∂y

)(√a11

∂η

∂x±√a22

∂η

∂y

),

astfel ıncat, luand ın consideratie relatia (1.20), obtinem ca a12 = 0.


Folosind faptul ca a11 = a12 = 0, deducem ca ecuatia parabolica are urmatoareaforma canonica

a22∂2u

∂η2= F

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

),

sau, echivalent,

∂2u

∂η2= G

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

Observatie. Daca, ın locul transformatei (1.18), luam transformarea

ξ = ξ(x, y),

η = ϕ(x, y),

unde ϕ(x, y) = C este singura integrala prima a ecuatiei caracteristice (1.11), siξ(x, y) este o functie arbitrara de clasa C2 si care ımpreuna cu ϕ(x, y) asigura faptulca transformarea este nedegenerata (adica, ξ(x, y) si ϕ(x, y) satisfac o conditie careeste analoaga cu (1.19)), atunci dupa unele calcule, analoage cu cele din propozitia1.2, obtinem urmatoarea forma canonica

∂2u

∂ξ2= H

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

3o Cazul eliptic: ∆ = a212 − a11a22 < 0. In acest caz ecuatia caracteristica

(1.11) admite doua integrale prime, care sunt complex conjugate si care pot fiscrise ın forma

ϕ(x, y) = C1,

ϕ(x, y) = C2,

unde C1 si C2 sunt constante arbitrare. De asemenea, am notat cu ϕ functia careeste conjugata complexa a functiei ϕ. Procedam ca ın cazul hiperbolic, adica,luam noile variabile ξ si η de forma

ξ = ϕ(x, y),

η = ϕ(x, y),

cu conditia ∣∣∣∣∣∂(ϕ, ϕ)

∂(x, y)

∣∣∣∣∣ =∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y− ∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y6= 0.


Atunci vom obtinem a11 = a22 = 0 si de aceea ecuatia eliptica are urmatoareaforma canonica

∂2u

∂ξ∂η= F

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

Spre deosebire de cazul hiperbolic, ultima ecuatie are radacini ın multimea nu-merelor complexe.

Vrem sa gasim o schimbare de variabile astfel ıncat sa obtinem forma canonicaın multimea numerelor reale. Pentru aceasta introducem functiile α(x, y) si β(x, y)astfel ıncat

α = Re(ϕ) =1

2(ϕ+ ϕ) ,

β = Im(ϕ) =1

2i(ϕ− ϕ) ,

si noile variabile ξ si η sunt luate de forma

ξ = α + iβ,

η = α− iβ. (1.21)

Propozitia 1.3 In cazul ecuatiei eliptice avem

a11 = a22, a12 = 0,

unde aij sunt coeficientii ecuatiei canonice obtinuti folosind transformarea (1.21).

Demonstratie. Este usor de vazut ca ξ este, de fapt, ξ = ϕ(x, y) si atunci a11 = 0.Daca luam ın consideratie (1.21), atunci avem

0 = a11 = a11

(∂ξ

∂x

)2

+ 2a12∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ a22

(∂ξ

∂y

)2

=

a11

(∂α

∂x+ i

∂β

∂x

)2

+ a22

(∂α

∂y+ i

∂β

∂y

)2

+

+2a12

(∂α

∂x+ i

∂β

∂x

)(∂α

∂y+ i

∂β

∂y

)=

= a11

(∂α

∂x

)2

+ 2a12∂α

∂x

∂α

∂y+ a22

(∂α

∂y

)−

−

a11

(∂β

∂x

)2

+ 2a12∂β

∂x

∂β

∂y+ a22

(∂β

∂y

)2+

+2i

[a11

∂α

∂x

∂β

∂x+ a12

(∂α

∂x

∂β

∂y+∂α

∂y

∂β

∂x

)+ a22

∂α

∂y

∂

∂y

].


Aceasta este o egalitate ın multimea numerelor complexe si atunci si partea realasi partea imaginara sunt nule, de unde urmeaza rezultatul din propozitie.

Folosind rezultatele din propozitia 1.3, deducem ca ın cazul eliptic forma canonicaa ecuatiei este

∂2u

∂α2+∂2u

∂β2= H

(α, β, u,

∂u

∂α,∂u

∂β

),

unde H este o functie reala.Putem demonstra ca ın domeniul de elipticitate al ecuatiei (1.3) nu exista o directiecaracteristica. In domeniul de hiperbolicitate al ecuatiei (1.3), ın fiecare punctexista doua directii caracteristice reale si distincte si ın fiecare punct al domeniuluide parabolicitate exista numai o directie caracteristica reala.

Ca o consecinta, daca coeficientii a11, a12 si a22 ai ecuatiei (1.3) sunt suficientde regulati, domeniul de hiperbolicitate este acoperit de doua familii de curbecaracteristice, iar domeniul de parabolicitate este acoperit numai printr-o astfel defamilie.Ca o exemplificare, sa consideram ecuatia:

ym∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

unde m este un numar natural par. In acest caz ecuatia (1.12) capata forma:

ym(dy

dx

)2

+ 1 = 0.

Este usor de vazut ca nu exista nici o directie caracteristica in semiplanul y > 0.Dar, ın fiecare punct al dreptei y = 0 si ın fiecare punct al semi-planului y < 0,exista o directie caracteristica, respectiv, doua directii caracteristice.Scriem ecuatia curbei caracteristice ın forma:

dx± (−y)m2 dy = 0,

de unde, prin integrare, deducem ca semiplanul y < 0 este acoperit prin douafamilii de curbe caracteristice reale, descrise prin ecuatiile:

x− 2

m+ 2(−y)

m+22 = C1,

si

x+2

m+ 2(−y)

m+22 = C2,

unde C1 si C2 sunt constante reale.


6.2 Forma canonica pentru n > 2

In acest paragraf facem unele consideratii asupra formei canonice a unei ecuatiidiferentiale cu derivate partiale de ordinul doi, ın cazul n > 2.

Fie Ω o multime deschisa din IRn si consideram ecuatia cvasiliniara cu derivatepartiale de ordinul doi

n∑i=1

n∑j=1

aij(x) =∂2u

∂xi∂xj= f

(x1, x2, ..., xn, , u,

∂u

∂x1

,∂u

∂x2

, ...,∂u

∂xn

), (2.1)

unde x = (x1, x2, ..., xn). Functiile aij = aji(x) sunt prescrise si aij ∈ C(Ω).Functia f = f(x1, x2, ..., xn, u, p1, p2, ..., pn) este definita si este continua pentruorice (x1, x2, ..., xn) ∈ Ω si −∞ < u, p1, p2, ..., pn < ∞, ın timp ce u este functianecunoscuta, u : Ω→ IR, u ∈ C2(Ω).

Intentionam sa facem o schimbare de variabile astfel ıncat ın noua ecuatie(numita ecuatie canonica ) unii din coeficientii noi, notati cu aij, ca si ın cazuln = 2, sa fie nuli.Consideram transformarea

ξ1 = ξ1(x1, x2, ..., xn),

ξ2 = ξ2(x1, x2, ..., xn),

................................

ξn = ξn(x1, x2, ..., xn), (2.2)

cu conditia

∣∣∣∣∣∂ξ∂x∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ξ1∂x1

∂ξ1∂x2

... ∂ξ1∂xn

∂ξ2∂x1

∂ξ2∂x2

... ∂ξ2∂xn

∂ξn∂x1

∂ξn∂x2

... ∂ξn∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0, (2.3)

unde ξ = ξ(x) este o functie vectoriala , ξ : Ω→ IRn, ξ ∈ C2(Ω).Datorita conditiei (2.3), ın baza teoriei functiilor implicite, sitemul de ecuatii (2.2)poate fi rezolvat ın variabila vectoriala x:

x1 = x1(ξ1, ξ2, ..., ξn),

x2 = x2(ξ1, ξ2, ..., ξn),

................................

xn = xn(ξ1, ξ2, ..., ξn),

6.2. FORMA CANONICA PENTRU N > 2 217

astfel ıncat ın final, solutia ecuatiei (2.1) va fi obtinuta ca o functie de x.Din (2.2) avem

∂u

∂xi=

n∑k=1

∂u

∂ξk

∂ξk∂xi

, i = 1, 2, ..., n

si atunci∂2u

∂xi∂xj=

n∑k=1

n∑m=1

∂2u

∂ξk∂ξm

∂ξk∂xi

∂ξm∂xj

+n∑k=1

∂u

∂ξk

∂2ξk∂xi∂xj

. (2.4)

Introducem (2.4) ın (2.1) si obtinem ecuatia

n∑i=1

n∑j=1

n∑k=1

n∑m=1

aij∂2u

∂ξk∂ξm

∂ξk∂xi

∂ξm∂xj

= G

(ξ, u,

∂u

∂ξ1

,∂u

∂ξ2

, ...,∂u

∂ξn

). (2.5)

Introducem notatia

akm(ξ) =n∑i=1

n∑j=1

aij∂ξk∂xi

∂ξm∂xj

(2.6)

si atunci ecuatia (2.5) devine

n∑k=1

n∑m=1

akm(ξ)∂2u

∂ξk∂ξm= G

(ξ, u,

∂u

∂ξ1

,∂u

∂ξ2

, ...,∂u

∂ξn

). (2.7)

Fixam un punct x0 = (x01, x

02, ..., x

0n) ∈ Ω si folosim notatia

λik =∂ξk∂xi

(x0)

astfel ıncat din (2.6) deducem

akm(ξ0) =n∑i=1

n∑j=1

aij(x0)λikλjm (2.8)

In aceasta relatie am folosit notatia ξ0 = ξ(x0).Folosind o notatie matriceala

A = [akm] , A = [aij] , Λ = [λij] ,

ecuatia (2.8) devineA = ΛtAΛ, (2.9)

unde am notat cu Λt transpusa matricei Λ.Este bine cunoscut faptul ca daca, ın (2.9), facem schimbarea de variabile

Λ = TM,


unde prin M am notat o matrice nedegenerata, si prin T o matrice otogonala(T t = T−1), atunci matricea A se reduce la forma sa diagonala, adica, matriceacare are elemente nenule numai pe diagonala principala.

In ceea ce priveste elementele de pe diagonala principala, avem urmatoarearegula a lui Sylvester, numita si regula inertiei:

Numarul elementelor pozitive de pe diagonala principala este constant. Deasemenea, numarul elementelor negative de pe diagonala principala este constant.Tratam urmatoarele situatii:

1o Daca toate elementele de pe diagonala principala sunt strict pozitive ıntr-unpunct ξ0 ∈ Ω, atunci ecuatie canonica devine

n∑j=1

ajj∂2u

∂ξ2j

(ξ0) = G

(ξ1, ξ2, ..., ξn, u,

∂u

∂ξ1

,∂u

∂ξ2

, ...,∂u

∂ξn

).

Atunci, spunem ca ecuatia cvasiliniara diferentiala cu derivate partiale de ordinuldoi este eliptica ın punctul ξ0 ∈ Ω.

2o Daca nu exista elemente nule pe diagonala principala, dar exista si elementepozitive si elemente negative, atunci spunem ca ecuatia este hiperbolica ın punctulξ0 ∈ Ω. In cazul particular ın care numai un element este strict pozitiv si toatecelelalte elemente sunt strict negative, spunem ca ecuatia este ultrahiperbolica ınpunctul respectiv.

3o Daca pe diagonala principala exista unele elemente nule, atunci ecuatia esteparabolica ın punctul respectiv.

4o Daca pe diagonala principala exista si elemente nule si elemente nenule siacestea din urma au toate acelasi semn atunci ecuatia este eliptico-parabolica ınpunctul respectiv.

5o Daca pe diagonala principala exista elemente nule si elemente nenulea vandsemne diferite atunci spunem ca ecuatia este hiperbolico-parabolica.

Este clar ca avantajul pentru forma canonica a ecuatii cvasiliniare cu derivatepartiale de ordinul doi este dat de faptul ca aceasta forma a ecuatiei faciliteazaintegrarea sa.

Capitolul 7

Ecuatii hiperbolice

7.1 Problema coardei infinite

Principalul reprezentant al ecuatiilor hiperbolice este considerat ca fiind ecuatiacoardei vibrante, numita, de asemenea, si ecuatia undelor.

Mai ıntai, consideram cazul coardei infinite. Propriu-zis, coarda nu este infinita,dar lungimea sa este mult mai mare decat sectiunea sa transversala. Principalulscop al acestui paragraf este studierea urmatoarei probleme cu date initiale, atasataecuatiei coardei infinite

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞), (1.1)

∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞),

unde functiile f(t, x), ϕ(x) si ψ(x) sunt date si continue pe domeniul lor dedefinitie. Functia u = u(t, x) este functia necunoscuta a problemei si reprezintaamplitudinea coardei la momentul t, ın punctul x. Constanta pozitiva a esteprescrisa pentru fiecare tip de material al coardei.

Vom descompune problema Cauchy (1.1) ın alte doua probleme, una omogenaın raport cu membrul drept al ecuatiei si, a doua, omogena ın raport cu conditiileinitiale:

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞), (1.2)

∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞),

219

220 CAPITOLUL 7. ECUATII HIPERBOLICE

si, respectiv,

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0,

u(0, x) = 0, ∀x ∈ (−∞,+∞), (1.3)

∂u

∂t(0, x) = 0, ∀x ∈ (−∞,+∞),

Propozitia 1.1 Daca functia u1(t, x) este o solutie a problemei (1.2) si functiau2(t, x) este o solutie a problemei (1.3), atunci functia

u(t, x) = u1(t, x) + u2(t, x), ∀x ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0, (1.4)

este o solutie a problemei (1.1).

Demonstratie. Mai ıntai, verificam conditiile initiale:

u(0, x) = u1(0, x) + u2(0, x) = ϕ(x) + 0 = ϕ(x),

∂u

∂t(0, x) =

∂u1

∂t(0, x) +

∂u2

∂t(0, x) = ψ(x) + 0 = ψ(x),

unde am luat ın consideratie conditiile initiale (1.2)2 pentru solutia u1(t, x) si(1.3)2, respectiv, (1.2)3 si (1.3)3 pentru solutia u2(t, x).Folosind liniaritatea derivatei, prin derivare ın (1.4), obtinem

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2=

(∂2u1

∂t2− a2∂

2u1

∂x2

)+

(∂2u2

∂t2− a2∂

2u2

∂x2

)=

= 0 + f(t, x) = f(t, x),

unde am luat ın consideratie ecuatiile (1.2)1 si (1.3)1.

In cele ce urmeaza, vom rezolva separat problemele (1.2) si (1.3) si atunci, ınbaza propozitiei 1.1, vom obtine solutia problemei (1.1).In ceea ce priveste problema (1.3) avem urmatorul rezultat

Teorema 1.1 Functia U(t, x) definita prin

U(t, x) =1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(τ, ξ)dξ

dτ, (1.5)

este solutia problemei (1.3).

7.1. PROBLEMA COARDEI INFINITE 221

Demonstratie. Este clar ca

U(0, x) =1

2a

∫ 0

0

∫ x+a(0−τ)

x−a(0−τ)f(τ, ξ)dξ

dτ = 0.

Apoi, folosind regula derivatei unei integrale cu parametru, rezulta

∂U(t, x)

∂t=

1

2a

∫ x

xf(t, ξ)dξ +

1

2a

∫ t

0

∂

∂t

∫ x+a(t−τ)


dτ =

=1

2a

∫ t

0a[f(τ, x+ a(t− τ)) + f(τ, x− a(t− τ))]dτ +

+1

2a

∫ t

0

[∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)

∂f(τ, ξ)

∂tdξ

]dτ =

=1

2

∫ t

0[f(τ, x+ a(t− τ)) + f(τ, x− a(t− τ))]dτ.

Acum, este evident ca

∂U

∂t(0, x) =

1

2

∫ 0

0[f(τ, x+ a(0− τ)) + f(τ, x− a(0− τ))]dτ = 0.

Vom deriva relatia anterioara din nou ın raport cu t:

∂2U

∂t2(t, x) =

1

2[f(t, x+ a.0) + f(t, x− a.0)] +

+1

2

∫ t

0

∂

∂t[f(τ, x+ a(t− τ)) + f(τ, x− a(t− τ))] dτ,

adica,

∂2U

∂t2(t, x)=f(t, x)+

a

2

∫ t

0

[∂f(τ, x+a(t−τ))

∂(x+a(t−τ))− ∂f(τ, x−a(t−τ))

∂(x−a(t−τ))

]dτ.

(1.6)

Derivam acum ın raport cu x, folosind, din nou regula derivatei unii integrale cuparametru. Rezulta

∂U(t, x)

∂x=

1

2a

∫ t

0

∂

∂x

∫ x+a(t−τ)


dτ =

=1

2a

∫ t

0[f(τ, x+ a(t− τ))− f(τ, x− a(t− τ))]dτ.


Aici, derivam ınca o data, din nou ın raport cu x, astfel ıncat suntem condusi la

∂2U(t, x)

∂x2=

1

2a

∫ t

0

∂

∂x[f(τ, x+ a(t− τ))− f(τ, x− a(t− τ))] dτ =

=1

2a

∫ t

0

[∂f(τ, x+ a(t− τ))

∂(x+ a(t− τ))

∂(x+ a(t− τ))

∂x−

−∂f(τ, x− a(t− τ))

∂(x− a(t− τ))

∂(x− a(t− τ))

∂x

]dτ.

De aceea,

∂2U(t, x)

∂x2=

1

2a

∫ t

0

[∂f(τ, x+a(t−τ))

∂(x+a(t−τ))− ∂f(τ, x−a(t−τ))

∂(x−a(t−τ))

]dτ, (1.7)

astfel ıncat, din (1.6) si (1.7), obtinem

∂2U(t, x)

∂t2− a2∂

2U(t, x)

∂x2= f(t, x),

adica, U(t, x) verifica ecuatia (1.3)1. Teorema este acum complet demonstrata.

Acum, sa rezolvam problema (1.2).

Teorema 1.2 Solutia problemei (1.2) este data prin

u(t, x) =1

2[ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−atψ(s)ds.

Demonstratie. Ca un prim pas, obtinem forma canonica a ecuatiei (1.2)1.Folosind consideratiile pe care le-am facut ın paragraful 1.1 din Capitolul 1, ecuatiacaracteristica ın cazul nostru este(

dx

dt

)2

− a2 = 0.

Putem observa ca ∆ = a2 > 0 si, de aceea, avem, ıntr-adevar, cazul ecuatieihiperbolice. Se obtin imediat integralele prime

x+ at = C1,

x− at = C2,

unde C1 si C2 sunt constante arbitrare. Atunci efectuam schimbarea de variabile

ξ = x+ at,

η = x− at. (1.8)


Este usor de vazut ca transformarea (1.8) este nesingulara, deoarece∣∣∣∣∣∂(ξ, η)

∂(t, x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ a −a1 1

∣∣∣∣∣ = 2a > 0.

Cu schimbarea de variabile (1.8), forma canonica este

∂2u

∂ξ∂η= 0,

adica,

∂

∂η

(∂u

∂ξ

)= 0⇒ ∂u

∂ξ= γ(ξ), γ ∈ C1((−∞,+∞)).

Dupa ınca o integrare, obtinem

u(ξ, η) =∫γ(ξ)dξ + β(η) = α(ξ) + β(η), (1.9)

unde α este o primitiva a functiei arbitrare γ.Daca presupunem ca α si β sunt functii de clasa C1, atunci nu are importanta

ordinea de derivare ın relatia anterioara, ın conformitate cu clasicul criteriu al luiSchwarz. Dar, pentru a verifica ecuatia cu derivate partiale de ordinul doi, functiileα si β trebuie sa fie functii de clasa C2 si deci se poate aplica criteriul lui Schwarz.Introducem (1.8) ın (1.9), adica revenim la variabilele initiale. Obtinem:

u(t, x) = α(x+ at) + β(x− at), (1.10)

unde functiile α si β vor fi determinate cu ajutorul conditiilor initiale:

ϕ(x) = u(0, x) = α(x) + β(x),

ψ(x) =∂u

∂t(0, x) = aα′(x)− aβ′(x).

Acest sistem este echivalent cu

α(x) + β(x) = ϕ(x),

α(x)− β(x) =1

a

∫ x

0ψ(s)ds+ C,

unde C este o constanta arbitrara de integrare. Solutia acestui sistem este

α(x) =ϕ(x)

2+

1

2a

∫ x

0ψ(s)ds+

C

2,

β(x) =ϕ(x)

2− 1

2a

∫ x

0ψ(s)ds− C

2,


astfel ıncat, din (1.10), obtinem

u(t, x) =ϕ(x+ at)

2+

1

2a

∫ x+at

0ψ(s)ds+

C

2+

+ϕ(x− at)

2− 1

2a

∫ x−at

0ψ(s)ds− C

2=

=1

2[ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−atψ(s)ds,

Acesta este chiar rezultatul dorit si teorema este demonstrata.

Observatie.. In baza rezultatelor din teorema 1.1, teorema 1.2 si propozitia 1.1,vom deduce ca solutia problemei (1.1) este

u(t, x) =1

2[ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−atψ(s)ds+

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)


dτ. (1.11)

In felul acesta, am demonstrat urmatorul rezultat de existenta:

Teorema 1.3 (de existenta). Daca functia data f(t, x) este presupusa de clasaC0((0,∞)× (−∞,+∞)), functia data ϕ(x) este de clasa C2(−∞,+∞) si functiadata ψ(x) este de clasa C1(−∞,+∞), atunci problema neomogena a coardei infi-nite admite solutia clasica (1.11).

Vom numi solutie clasica o functie u = u(t, x) de clasa C2((0,∞) × (−∞,+∞))care verifica conditiile initiale (1.1)2 si (1.1)3 si care daca este ıntrodusa ın ecuatia(1.1)1, o transforma pe aceasta ın identitate.

Observatie. Forma (1.11) a solutiei problemei (1.10) este de asemenea numita siformula lui D‘Alembert pentru problema neomogena a coardei infinite.In teorema urmatoare demonstram unicitatea solutiei problemei Cauchy (1.1).

Teorema 1.4 (de unicitate). Singura solutie clasica a problemei neomogene acoardei vibrante infinite este cea data ın (1.11).

Demonstratie. Presupunem, prin absurd, ca problema (1.1) admite doua solutiiclasice u1(t, x) si u2(t, x) si atunci

∂2ui∂t2− a2∂

2ui∂x2

= f(t, x), ∀(t, x) ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0,

ui(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞), (1.12)

∂ui∂t

(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ (−∞,+∞),


unde i = 1, 2. Definim functia v(t, x) prin

v(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x).

atunci

∂2v

∂t2− a2 ∂

2v

∂x2=∂2u1

∂t2− a2∂

2u1

∂x2=

(∂2u2

∂t2− a2∂

2u2

∂x2

)=

= f(t, x)− f(t, x) = 0,

unde am folosit (1.12)1.De aceea,

v(0, x) = u1(0, x)− u2(0, x) = ϕ(x)− ϕ(x) = 0,

∂v

∂t(0, x) =

∂u1

∂t(0, x)− ∂u2

∂t(0, x) = ψ(x)− ψ(x) = 0,

unde am folosit conditiile initiale (1.12)2 si (1.12)3. Atunci, functia v satisface oproblema de forma (1.1), unde f(t, x) = ϕ(x) = ψ(x) = 0. Atunci, ın conformitatecu (1.11), avem

v(t, x) = 0⇒ u1(t, x) = u2(t, x),

ceea ce ıncheie demonstratia teoremei.Pentru a obtine un rezultat de stabilitate ın raport cu ”membrul drept” si conditiileinitiale, pentru problema (1.1), consideram ca t ∈ (0, T ], unde T este un momentconvenabil ales.

Teorema 1.5 (de stabilitate). Notam cu u1(t, x) si respectiv u2(t, x), solutiile(unice) ale problemelor

∂2ui∂t2− a2∂

2ui∂x2

= fi(t, x), ∀(t, x) ∈ (−∞,+∞), ∀t > 0,

ui(0, x) = ϕi(x), ∀x ∈ (−∞,+∞), (1.13)

∂ui∂t

(0, x) = ψi(x), ∀x ∈ (−∞,+∞),

unde i = 1, 2 si T este un moment fixat, ıntr-un mod pe care ıl vom vedea ın celece urmeaza. Atunci pentru orice ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat daca

|f(t, x)| = |f1(t, x)− f2(t, x)| < δ,

|ϕ(t, x)| = |ϕ1(t, x)− ϕ2(t, x)| < δ, (1.14)

|ψ(t, x)| = |ψ1(t, x)− ψ2(t, x)| < δ,

avem

|u(t, x)| = |u1(t, x)− u2(t, x)| < ε.


Demonstratie. In baza teoremelor 1.3 si 1.4, singura solutie clasica a problemelor(1.13) este data de functiile ui(t, x), date prin

ui(t, x) =1

2[ϕi(x+ at) + ϕi(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−atψi(s)ds+

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)fi(τ, ξ)dξ

dτ,

unde i = 1, 2. Acum, facem diferenta celor doua solutii

u1(t, x)− u2(t, x) =1

2[ϕ1(x+ at)− ϕ1(x+ at)] +

+1

2[ϕ1(x− at)− ϕ2(x− at)] +

1

2a

∫ x+at

x−at[ψ1(s)− ψ2(s)] ds+

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)[f1(τ, ξ)− f2(τ, ξ)] dξ

dτ.

Daca trecem la modul ın aceasta egalitate si folosi inegalitatea triunghiului, obtinemca modulul membrului drept este mai mic decat suma modulelor. Vom folosi apoifaptul ca modul unei integrale este mai mic ca integrala modulului:

|u1(t, x)− u2(t, x)| ≤ 1

2|ϕ1(x+ at)− ϕ1(x+ at)|+

+1

2|ϕ1(x− at)− ϕ2(x− at)|+ 1

2a

∫ x+at

x−at|ψ1(s)− ψ2(s)| ds+

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)|f1(τ, ξ)− f2(τ, ξ)| dξ

dτ.

Daca luam ın consideratie (1.14), aceasta inegalitate conduce la

|u1(t, x)− u2(t, x)| ≤ δ

2+δ

2+

δ

2a

∫ x+at

x−atds+

+δ

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)dξ

dτ = δ + δt+

δ

2a

∫ t

02a(t− τ)dτ =

= δ

(1 + t+

t2

2

)≤ δ

(1 + T +

T 2

2

).

Daca alegem T astfel ca

1 + T +T 2

2<ε

δ,

obtinem

|u1(t, x)− u2(t, x)| < ε,



La sfarsitul acestui paragraf facem unele comentarii asupra rezultatelor deexistenta, unicitate si stabilitate din teoremele precedente 1.3, 1.4 si 1.5.

In cazul unei probleme cu date initiale, sau cu date la limita, sau, mai general,ın cazul unei problemei mixte cu date la limita si initiale, exista conceptul deproblema bine pusa, folosita prima data de J. Hadamard, sau problema rezonabila,dupa denumirea folosita de Sobolev. Acest concept ınseamna ca pentru problemarespectiva avem o teorema de unicitate a solutiei .

O teorema de unicitate poate fi demonstrata numai pentru unele clase defunctii. In cazul problemei coardei infinite, expusa anterior nu putem avea o solutieclasica daca nu presupunem ca functiile prescrise f, ϕ si ψ sunt continue. De aceea,clasa functiilor continue este clasa unde se poate pune problema unicitatii solutiei.

Daca vrem sa demonstram numai unicitatea solutiei, atunci este suficient sapresupunem ca functiile f, ϕ si ψ sunt de clasa C0 pe domeniul lor de definitie.Daca vrem sa demonstram existenta solutiei este necesar sa presupunem ca functiileϕ si ψ sunt de clasa C1.

Asadar, apare conceptul de clasa de corectitudine pentru datele initiale siconditiile la limita. Aceasta este multimea de functii de unde trebuie sa fie functiiledin datele initiale si conditiile la limita astfel ıncat sa avem unicitatea solutiei pen-tru problema respectiva.

Dupa ce demonstram teorema de existenta si teorema de unicitate, putemvorbi de existenta si unicitatea solutiilor problemelor pentru care functia ”membruldrept” este data si, de asemenea, functiile din datele initiale si conditiile la limitasunt prescrise.

O solutie particulara a unei probleme date este solutia care corespunde ın modunic (ın virtutea unei teoreme de existenta si unicitate) unui membru drept, unordate la limita si unor date initiale fixate. De aceea, pentru fiecare fixare a mem-brului drept, a datelor initiale si a datelor la limita avem o solutie particulara. Inacest context, solutia generala va fi familia tuturor solutiilor particulare. In unelecazuri, exista unele solutii pentru care nu putem demonstra o teorema de existentasi unicitate. O astfel de solutie este numita solutie singulara.

Functiile care definesc membrul drept, conditiile initiale si conditiile la limitasunt se obtin experimental. In cazul problemei coardei vibrante infinite, pentrufunctiile f1, ϕ1 si ψ1 determinate de un experimentator, avem o solutie unic deter-minata u1. Daca un alt experimentator obtine datele f2, ϕ2 si ψ2, pentru acelasifenomen, problema va admite solutia unic determinata u2.Daca datele f1, ϕ1 si ψ1 difera suficient de putin de datele f2, ϕ2 si ψ2, iar solutiilecorespunzatoare u1 si, respectiv u2, sunt suficient de apropiate, spunem ca solutiaeste stabila


7.2 Probleme cu date la limita si initiale

Fie Ω un domeniu marginit din spatiul IRn cu frontiera ∂Ω avand plan tangent,variind continuu aproape peste tot. Ca de obicei, notam cu TT un interval de timpTT = (0, T ] si TT = [0, T ], unde T > 0.Consideram problema cu date initiale si pe frontiera, atasata ecuatiei undelor

∆u(t, x)− utt(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

u(t, y) = α(t, y), ∀x ∈ TT × ∂Ω,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω, (2.1)

ut(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ Ω,

unde functiile f, α, ϕ si ψ sunt date si continue pe domeniul lor de definitie.

Definitia 2.1 Vom numi solutia clasica a problemei (2.1), functia u=u(t, x) caresatisface conditiile:

- u este o functie continua pe TT × Ω;- derivatele uxixi si utt sunt functii continue pe TT × Ω;- functia u satisface ecuatia (2.1)1, conditia la limita (2.1)2 si, de asemenea,

conditiile initiale (2.1)3 si (2.1)4.

Vom folosi o metoda energetica sa aratam ca problema (2.1) are numai o solutie.

Teorema 2.1 Problema cu date la limita si initiale (2.1) are cel mult o solutieclasica.

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca problema (2.1) are douasolutii clasice, u1(t, x) si u2(t, x). Definim functia v prin

v(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x).

Este usor de vazut ca functia v satisface conditiile impuse unei solutii clasice,deoarece u1(t, x) si u2(t, x) sunt solutii clasice. De asemenea, v satisface problema(2.1) ın forma sa omogena:

∆v(t, x)− vtt(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

v(t, y) = 0, ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω,

v(0, x) = 0, ∀x ∈ Ω, (2.2)

vt(0, x) = 0, ∀x ∈ Ω.

7.2. PROBLEME LA LIMITA 229

Acum, atasam functiei v, functia E definita prin

E(t) =1

2

∫Ω

[v2t (t, ξ) +

n∑i=1

v2xi

(t, ξ)

]dξ, (2.3)

care este numita integrala energiei.Vom da demonstratia ın doua etape. In prima etapa vom arata ca E(0) = 0,

si, ın etapa a doua , demonstram ca

dE(t)

dt= 0,

de unde urmeaza concluzia ca, de fapt, E(t) este o constanta. Dar, ın conformitatecu prima etapa, E(0) = 0, si atunci concluzia va fi ca E ≡ 0. Aceasta concluzieımpreuna cu definitia (2.3) a functiei E conduc la concluzia ca

vt = 0, vxi = 0, i = 1, 2, ..., n,

care demonstreaza ca v este o constanta. Dar, pe frontiera, functia v este zero si,de aceea, vom deduce ca aceasta constanta este nula, adica, v ≡ 0 astfel ıncat,avand ın vedere expresia functiei v(t, x) deducem ca u1 ≡ u2.Prima etapa poate fi imediat demonstrata, fara dificultate. Substituim direct t = 0ın expresia functiei E si obtinem

E(0) =1

2

∫Ω

[v2t (0, ξ) +

n∑i=1

v2xi

(0, ξ)

]dξ = 0,

unde am folosit conditiile initiale (2.2)3 si (2.2)4.Acum, abordam etapa a doua. Datorita conditiilor de regularitate satisfacute defunctia v, putem deriva ın (2.3) sub integrala

dE(t)

dt=∫

Ω

[vt(t, ξ)vtt(t, ξ) +

n∑i=1

vxi(t, ξ)vtxi(t, ξ)

]dξ. (2.4)

Dar ∫Ωvxi(t, ξ)vtxi(t, ξ)dξ =

∫Ω

∂

∂xi[vxi(t, ξ)vt(t, ξ)] dξ −

−∫

Ωvt(t, ξ)vxixi(t, ξ)dξ =

∫∂Ωvxi(t, ξ)vt(t, ξ) cosαidσξ −

−∫

Ωvt(t, ξ)vxixi(t, ξ)dξ = −

∫Ωvt(t, ξ)vxixi(t, ξ)dξ, (2.5)

unde, mai ıntai, am folosit formula Gauss-Ostrogradski (ceea ce este posibil, luandın consideratie faptul ca suprafata ∂Ω admite plan tangent).


Apoi am folosit conditia la limita (2.2)2.Din (2.5) rezulta ca

∫Ω

n∑i=1

vxi(t, ξ)vxixi(t, ξ)dξ = −∫

Ωvt(t, ξ)∆v(t, ξ)dξ,

si atunci (2.4) devine

dE(t)

dt=∫

Ωvt(t, ξ) [vtt(t, ξ)−∆v(t, ξ)] dξ = 0,

deoarece v satisface eucatia omogena (2.2)1.

Vom demonstra acum un rezultat de stabilitate privind solutia problemei (2.1),ın raport cu membrul drept al ecuatiei si, de asemenea, cu conditiile initiale.

Teorema 2.2 Consideram u1(t, x) si u2(t, x) solutiile problemelor

∆ui(t, x)− ∂2ui∂t2

(t, x) = fi(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

ui(t, y) = α(t, y), ∀x ∈ TT × ∂Ω,

ui(0, x) = ϕi(x), ∀x ∈ Ω,

∂ui∂t

(0, x) = ψi(x), ∀x ∈ Ω,

unde i = 1, 2.Presupunem ca pentru ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat

|f1(t, x)− f2(t, x)| < δ,

|ϕ1(t, x)− ϕ2(t, x)| < δ,∣∣∣∣∣∂ϕ1

∂xi(t, x)− ∂ϕ1

∂xi(t, x)

∣∣∣∣∣ < δ,

|ψ1(t, x)− ψ2(t, x)| < δ.

Atunci

|u1(t, x)− u2(t, x)| < ε.

Demonstratie. Notam cu u(t, x) diferenta celor doua solutii

u(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x),


si atasam integrala energiei

E(t) =1

2

∫Ω

[u2t (t, ξ) +

n∑i=1

u2xi

(t, ξ)

]dξ. (2.6)

Datorita conditiilor de regularitate satisfacute de functia u, putem deriva subintegrala ın (2.6)

dE(t)

dt=∫

Ωut(t, ξ) [utt(t, ξ)−∆u(t, ξ)] dξ +

+∫∂Ωut(t, ξ)

n∑i=1

uxi(t, ξ) cosαidσξ, (2.7)

dupa ce am folosit formula Gauss-Ostrogradski, ca ın demonstratia teoremei 2.1.Dar pe frontiera avem

∂u

∂xi=∂u1

∂xi− ∂u2

∂xi=∂α

∂xi− ∂α

∂xi= 0. (2.8)

De asemenea,

∂2u

∂t2−∆u =

∂2u1

∂t2−∆u1 −

∂2u2

∂t2+ ∆u2 =

−f1(t, x) + f2(t, x).

Daca notam cuf(t, x) = f1(t, x)− f2(t, x)

si luam ın consideratie (2.8), derivata din (2.7) devine

dE(t)

dt= −

∫Ωut(t, ξ)f(t, ξ)dξ. (2.9)

Este usor sa demonstram inegalitatea

±ab ≤ a2

2+b2

2, (∗)

Atunci, din (2.9) vom deduce

dE(t)

dt≤ 1

2

∫Ωu2t (t, ξ)dξ +

1

2

∫Ωf 2(t, ξ)dξ. (2.10)

In baza ipotezelor

|f(t, x)| = |f1(t, x)− f2(t, x)| < δ


vom deduce ca ultima integrala din (2.10) este arbitrar de mica. Vom folosi notatia

A(t) =1

2

∫Ωf 2(t, ξ)dξ.

Luand ın consideratie (2.6), adica expresia functiei E(t), este clar ca

1

2

∫Ωu2t (t, ξ)dξ ≤ E(t),


dE(t)

dt≤ E(t) + A(t), (2.11)

astfel ıncat, daca ınmultim cu e−t, rezulta

d

dt

[e−tE(t)

]≤ A(t)e−t.

Integram pe intervalul [0, t] si obtinem

e−tE(t) ≤ E(0) +∫ t

0e−τA(τ)dτ,

si aceasta relatie poate fi scrisa ın forma

E(t) ≤ etE(0) +∫ t

0et−τA(τ)dτ.

Deoarece t ∈ (0, T ], ultima inegalitate conduce la

E(t) ≤ eTE(0) +∫ T

0eT−τA(τ)dτ. (2.12)

Folosind ipotezele teoremei, vom deduce ca E(0) este arbitrar de mica si, deoarece,de asemenea, A(t) este arbitrar de mica, rezulta ca integrala din (2.12) este arbitrarde mica. De aceea, functia E(t) este superior marginit de o constanta care poatefi arbitrar de mica. Sa aratam acum ca u este arbitrar de mica. Pentru aceasta,definim functia E1(t) prin

E1(t) =1

2

∫Ωu2(t, ξ)dξ. (2.13)

In baza ipotezelor de regularitate impuse functiei u, putem deriva sub integrala ın(2.13) si atunci obtinem

dE1(t)

dt=∫

Ωu(t, ξ)ut(t, ξ)dξ ≤

≤ 1

2

∫Ωu2t (t, ξ)dξ +

1

2

∫Ωu2(t, ξ)dξ,


dupa ce am folosit din nou inegalitatea anterioara (*).Am demonstrat deja ca

dE1(t)

dt≤ E1(t) + E(t),

si, folosind aceiasi procedura ca ın cazul lui (2.11), rezulta

E1(t) ≤ eTE1(0) +∫ T

0eT−τE(τ)dτ.

Deoarece E1(0) este arbitrar de mica, si, de asemenea, E(t) este arbitrar de mica,vom deduce ca E1(t) este arbitrar de mica si atunci u este arbitrar de mica.


7.3 Problema Cauchy

Problema cu date la limita si initiale din paragraful precedent contine conditiileimpuse pe suprafata care ınchide domeniul unde este formulata problema. In acestparagraf vom presupune ca suprafata care margineste domeniul este la distantamare astfel ıncat putem considera ca domeniul problemei este ıntreg spatiul. Deaceea, conditia la limita din formularea problemei dispare.

Consideram problema cu date initiale, adica, problema Cauchy, ın spatiul eu-clidian cu trei-dimensional IR3. Deci, avem problema

∂2u

∂t2(t, x, y, z)−a2∆u(t, x, y, z)=f(t, x, y, z),∀(t, x, y, z) ∈(0,+∞)×IR3,

u(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3, (3.1)

∂u

∂t(0, x, y, z) = ψ(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3,

unde functiile f, ϕ si ψ sunt date si continue pe domeniul lor de definitie, iar a esteo constanta pozitiva cunoscuta, si anume, constanta de material.

Vom numi solutie clasica a problemei (3.1) o functie u = u(t, x, y, z) care sat-isface conditiile:

- u si derivata sa de ordinul ıntai sunt functii continue pe [0,+∞)× IR3;- derivatele omogene de ordinul doi ale functiei u sunt functii continue pe(0,+∞)× IR3;- u verifica ecuatia (3.1)1 si satisface conditiile (3.1)2 si (3.1)3.

Definim functia u(t, x, y, z) prin

u(t, x, y, z) = Uf (t, x, y, z) +Wψ(t, x, y, z) + Vϕ(t, x, y, z), (3.2)

unde functiile Uf (t, x, y, z), Wψ(t, x, y, z), Vϕ(t, x, y, z) au, prin definitie, expresiile

Uf (t, x, y, z) =1

4πa2

∫B(x,y,z,at)

f(ξ, η, ζ, t− r/a)

rdξdηdζ,

Wψ(t, x, y, z) =1

4πa2

∫∂B(x,y,z,at)

ψ(ξ, η, ζ)

tdσat, (3.3)

Vϕ(t, x, y, z) =1

4πa2

∂

∂t

(∫∂B(x,y,z,at)

ψ(ξ, η, ζ)

tdσat

),

unde

r = |ξx| =

√√√√ 3∑i=1

(xi − ξi)2 =√

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2.

7.3. PROBLEMA CAUCHY 235

De asemenea, ın formulele (3.3), B(x, y, z, at) este o bila cu centrul ın punctulde coordonate (x, y, z) si raza at si ∂B(x, y, z, at) este frontiera acestei bile, adicasfera cu acelasi centru si aceiasi raza.

In teorema care urmeaza vom demonstra ca functia u definita ın formula (3.2),este efectiv solutie clasica pentru problema Cauchy (3.1). Acesta este principalulrezultat al acestui paragraf.

Teorema 3.1 Daca f ∈ C2((0,+∞)), ϕ ∈ C3(IR3) si ψ ∈ C3(IR3), atunci functiau definita ın (3.2) este solutia clasica a problemei Cauchy (3.1).

Demonstratie. Facem demonstratia ın trei etape. In prima etapa demonstramca functia Wψ din (3.3)2 este solutia problemei

∂2Wψ

∂t2(t, x, y, z)−a2∆Wψ(t, x, y, z)=0,∀(t, x, y, z) ∈(0,+∞)×IR3,

Wψ(0, x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ IR3, (3.4)

∂Wψ

∂t(0, x, y, z) = ψ(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3.

In etapa a doua demonstram ca functia Vϕ din (3.3)3 este solutia problemei

∂2Vϕ∂t2

(t, x, y, z)− a2∆Vϕ(t, x, y, z) = 0, ∀(t, x, y, z) ∈ (0,+∞)× IR3,

Vϕ(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3, (3.5)

∂Vϕ∂t

(0, x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ IR3,

si, ın ultima etapa, demonstram ca functia Uf din (3.3)1 este solutia problemei

∂2Uf∂t2

(t, x, y, z)−a2∆Uf (t, x, y, z)=f(t, x, y, z),∀(t, x, y, z) ∈(0,+∞)×IR3,

Vϕ(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3, (3.6)

∂Vϕ∂t

(0, x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ IR3.

Daca demonstram precedentele trei rezutate, atunci, luand ın consideratie (3.2),vom deduce

∂2u

∂t2− a2∆u =

∂2Uf∂t2

− a2∆Uf +∂2Wψ

∂t2− a2∆Wψ +

+∂2Vϕ∂t2

− a2∆Vϕ = f(t, x, y, z) + 0 + 0 = f(t, x, y, z).


Apoi, pentru conditiile initiale avem:

u(0, x, y, z) = Uf (0, x, y, z) +Wψ(0, x, y, z) +

+Vϕ(0, x, y, z) = 0 + 0 + ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, z),

si, ın final,

∂u

∂t(0, x, y, z) =

∂Uf∂t

(0, x, y, z) +∂Wψ

∂t(0, x, y, z) +

+∂Vϕ∂t

(0, x, y, z) = 0 + ψ(x, y, z) + 0 = ψ(x, y, z),

adica, u din (3.2) verifica, efectiv, problema (3.1) si demonstratia va fi ıncheiata.

Etapa I.

Notam cu M punctul de coordonate (x, y, z) si atunci putem scrie Wψ ın forma

Wψ(t, x, y, z) =1

4πa2t

∫∂B(M,at)

ψ(ξ, η, ζ)dσat,

unde dσat este elementul de arie pe sfera de raza at.Facem schimbarea de variabile (ξ, η, ζ)→ (α, β, γ):

ξ = x+ αat,

η = y + βat, (3.7)

ζ = z + γat.

Atunci

α2 + β2 + γ2 =(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2

a2t2= 1,

adica, punctul de coordonate (α, β, γ) este pe sfera unitateB(M, 1). Ca o consecinta,functia Wψ capata forma

Wψ(t, x, y, z) =t

4π

∫∂B(M,1)

ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)dσ1. (3.8)

Luand ın consideratie faptul ca functia ψ a fost presupusa de clasa C2 si estedefinita pe o multime compacta (sfera unitate), avem

|Wψ(t, x, y, z)| ≤ |t|c0

4π

∫∂B(M,1)

dσ1 = tc0,

si, de aceea,Wψ(t, x, y, z)→ 0 pentru t→ 0+,


uniform ın raport cu x, y, z, adica, Wψ satisface conditia (3.4)2.Acum, derivam ın raport cu t, ın (3.8):

∂Wψ

∂t(t, x, y, z) =

1

4π

∫∂B(M,1)

ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)dσ1 +

+at

4π

∫∂B(M,1)

[α∂ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)

∂(x+ αat)+

+β∂ψ(x+αat, y+βat, z+γat)

∂(y+βat)+γ

∂ψ(x+αat, y+βat, z+γat)

∂(z + ζat)

]dσ1.

(3.9)

Notam cu I2 ultima integrala din (3.9) si observam ca integrantul sau este o functiederivabila ın directia normalei. Atunci

|I2| ≤at

4π

∫∂B(M,1)

∣∣∣∣∣∂ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)

∂ν

∣∣∣∣∣ dσ1 ≤

≤ atc1

4π

∫∂B(M,1)

dσ1 =atc1

4π4π = atc1,

unde c1 este supremum-ul derivatei ın directia normalei, care exista datorita conditiilorde regularitate impuse functiei ψ.Atuni putem deduce ca I2 → 0, pentru t→ 0+, uniform ın raport cu x, y, z.Pentru prima integrala din membrul drept al relatiei (3.9), notata cu I1, se poateaplica teorema de medie, caci sunt ındeplinite conditiile.De aceea, exista un punct (α∗, β∗, γ∗) ∈ ∂B(M, 1) astfel ıncat

I1 =1

4π

∫∂B(M,1)

ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)dσ1 =

=1

4πψ(x+ α∗at, y + β∗at, z + γ∗at)

∫∂B(M,1)

dσ1 =

= ψ(x+ α∗at, y + β∗at, z + γ∗at).

Atunci, este clar ca I1 → ψ(x, y, z), pentru t → 0+, uniform ın raport cu x, y, z.In concluzie, daca trecem la limita ın (3.9), cu t→ 0+, obtinem

limt→0+

∂Wψ

∂t(t, x, y, z) = ψ(x, y, z),

adica, Wψ verifica conditia initiala (3.4)3.Subliniem faptul ca (3.9) poate fi rescrisa ın forma

∂Wψ(t, x, y, z)

∂t=Wψ(t, x, y, z)

t+

1

4πat

∫∂B(M,at)

∂ψ(ξ, η, ζ)

∂νdσat (3.10)


dupa ce am revenit la variabila (ξ, η, ζ).In integrala din (3.10) aplicam formula Gauss-Ostrogradski astfel ıncat relatia(3.10) capata forma urmatoare:

∂Wψ(t, x, y, z)


t+

1

4πat

∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dξdηdζ.

(3.11)

Notam cu I(t) integrala din (3.11) astfel ıncat (3.11) poate fi rescrisa ın forma

∂Wψ(t, x, y, z)


t+

1

4πatI(t),

si, dupa ce derivam ın raport cu t, rezulta

∂2Wψ(t, x, y, z)

∂t2=

1

4πatI ′(t). (3.12)

Pentru derivarea ın I(t), folosim coordonatele sferice:

I(t) =∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dξdηdζ =

=∫ at

0

∫ π

0

∫ 2π

0∆ψ(r, θ, ϕ)r sin θdrdθdϕ.

atunci

I ′(t) = a3t2∫ π

0

∫ 2π

0∆ψ(r, θ, ϕ) sin θdθdϕ =

= a3t2∫∂B(M,1)

∆ψdσ1 = a∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dσat.

De aceea, (3.12) devine

∂2Wψ(t, x, y, z)

∂t2=

1

4πt

∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dσat = a2∆Wψ. (3.13)

Aici am luat ın consideratie definitia (3.3)2 pentru Wψ si faptul ca putem derivasub integrala ın raport cu (ξ, η, ζ), ın baza regularitatii functiei ψ.Relatia (3.13) arata ca Wψ satisface ecuatia (3.4)1 si prima etapa este completdemonstrata.

Etapa II.

Mai ıntai, putem observa ca

Vϕ(t, x, y, z) =∂Wϕ(t, x, y, z)

∂t, (3.14)


luand ın consideratie definitia (3.3)3 pentru Vϕ si definitia (3.3)2 scrisa pentru Wϕ

(ın locul lui Wψ).Atunci

Vϕ(0, x, y, z) =∂Wϕ(0, x, y, z)

∂t= ϕ(x, y, z),

luand ın consideratie prima etapa, adica, Vϕ verifica conditia initiala (3.5)2.Daca derivam ın raport cu t ın (3.14), obtinem

∂Vϕ(t, x, y, z)

∂t=∂2Wϕ(t, x, y, z)

∂t2=

1

4πatI ′(t), (3.15)

dupa ce am folosit egalitatea (3.12).In baza demonstratiei din etapa I, avem

I ′(t) = a∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dσat,


∂Vϕ(t, x, y, z)

∂t=

1

4πt

∫∂B(M,at)

∆ψ(ξ, η, ζ)dσat =

=a2t

4π

∫∂B(M,1)

∆ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)dσ1.

Atunci, vom deduce ca

∂Vϕ(t, x, y, z)

∂t→ 0, pentru t→ 0+,

deoarece integrala∫∂B(M,1)

∆ψ(x+ αat, y + βat, z + γat)dσ1

este o functie marginita, ın baza regularitatii functiei ϕ.De aceea, Vϕ satisface conditia initiala (3.5)3.A ramas sa aratam ca Vϕ satisface ecuatia (3.5)1. Luand ın consideratie (3.14),rezulta

∂2Vϕ∂t2

− a2∆Vϕ =∂2

∂t2

(∂Wϕ

∂t

)− a2∆

∂Wϕ

∂t=

=∂

∂t

(∂2Wϕ

∂t2− a2∆Wϕ

)= 0,


deoarece ın etapa I am demonstrat deja ca

∂2Wϕ

∂t2− a2∆Wϕ = 0.

In concluzie, Vϕ satisface ecuatia (3.5)1 si demonstratia etapei II este ıncheiata.

Etapa III.

Mai ıntai, din (3.3)1 putem imediat deduce ca

limt→0+

Uf (t, x, y, z) =1

4πa2limt→0+

∫B(M,at)

f(ξ, η, ζ, t− r/a)

rdξdηdζ = 0,

luand ın consideratie conditiile de regularitate ale functiei f si faptul ca, la limita,bila B(M,at) se reduce la punctul (x, y, z).De aceea, Uf satisface conditia initiala (3.6)2. Scriem acum Uf ın forma

Uf (t, x, y, z) =1

4πa2

∫ t

0

∫∂B(M,%)

f(ξ, η, ζ, t− %/a)

%dσ%

d% =

=1

4πa2

∫ t

0

∫∂B(0,1)

f(x+α%, y+β%, z+γ%, t−%)dσ%

%d%.

(3.16)

Atunci

∂Uf (t, x, y, z)

∂t=

1

4πa2

∫∂B(0,1)

f(x+α%, y+β%, z+γ%, t−%)tdσ%+

+1

4πa2

∫ t

0

∫∂B(0,1)

f(x+α%, y+β%, z+γ%, t−%)dσ%

%d%.

(3.17)

A doua integrala din (3.17) dispare pentru t = 0. Pentru prima integrala folosimteorema de medie si atunci aceasta integralaa devine produsul dintre t si o con-stanta marginita si, de aceea, tinde la zero, pentru t→ 0+, adica

limt→0+

∂Uf (t, x, y, z)

∂t= 0,

limita avand loc uniform ın raport cu (x, y, z). De aceea, Uf satisface si conditiainitiala (3.6)3.


A ramas sa demonstram ca Uf verifica ecuatia (3.6)1. Pentru aceasta introducemnotatia

U1(t, τ, x, y, z) =

=t−τ4πa2

∫∂B(0,1)

f(x+(t−τ)ξ, y+(t−τ)η, z+(t−τ)ζ, t−%)dσ1. (3.18)

Atunci (3.16) devine

Uf (t, x, y, z) =∫ t

0U1(t, τ, x, y, z)dτ. (3.19)

Pornind de la (3.18) obtinem, fara dificultate, relatiile

∂2U1(t, τ, x, y, z)

∂t2−∆U1(t, τ, x, y, z) = 0,

U1(t, t, x, y, z) = 0, (3.20)

∂U1(t, t, x, y, z)

∂t= f(t, x, y, z).

Atunci din (3.19) rezulta

∂2Uf (t, x, y, z)

∂t2=∂U1(t, t, x, y, z)

∂t+∫ t

0

∂2U1(t, τ, x, y, z)

∂t2dτ =

= f(t, x, y, z) +∫ t

0

∂2U1(t, τ, x, y, z)

∂t2dτ. (3.21)


∆Uf (t, x, y, z) =∫ t

0∆U1(t, τ, x, y, z)dτ =

=∫ t

0

∂2U1(t, τ, x, y, z)

∂t2dτ, (3.22)

unde am luat ın consideratie relatia (3.20)1.Din (3.21) si (3.22), prin scadere, rezulta

∂2Uf (t, x, y, z)

∂t2−∆Uf (t, x, y, z) = f(t, x, y, z),

adica, Uf verifica ecuatia omogena (3.6)1 si demonstratia ultimei etape este ıncheiata.

In acelasi timp, se ıncheie si demonstratia teoremei.


Formula (3.2) care da forma solutiei pentru problema Cauchy (3.1) este numitaformula lui Kirchhoff.

Formula lui Kirchhoff este de asemenea utila sa demonstram unicitatea solutieiproblemei Cauchy. Intr-adevar, daca problema (3.1) admite doua solutii, u1(t, x, y, z)si u2(t, x, y, z), atunci notam cu u(t, x, y, z) diferenta lor,

u(t, x, y, z) = u1(t, x, y, z) + u2(t, x, y, z).

Este usor de vazut ca u(t, x, y, z) satisface o problema Cauchy de forma (3.1) undef ≡ 0, ϕ ≡ 0 si ψ ≡ 0. Daca scriem formula lui Kirchhoff pentru u, evident,obtinem u ≡ 0 de unde vom deduce ca u1 ≡ u2.

In final, formula lui Kirchhoff poat fi folosita sa demonstram un rezultat destabilitate pentru solutia problemei Cauchy (3.1), ın raport cu membrul drept siconditiile initiale.

7.4 Problema coardei vibrante finite

Vom trata ın cele ce urmeaza cazul coardei vibrante finite. Principalul scop alacestui paragraf este studierea urmatoarei probleme cu date la limita si initiale,atasata ecuatiei (omogena, ın prima instanta) coardei finite

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l], (4.1)

∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ [0, l],

unde functiile f(t, x), ϕ(x) si ψ(x) sunt date si continue pe domeniul lor dedefinitie. Functia u = u(t, x) este functia necunoscuta a problemei si reprezintaamplitudinea coardei la momentul t, ın punctul x. Constanta pozitiva a este pre-scrisa pentru fiecare tip de material din care este confectionata coarda si constantal reprezinta lungimea coardei.

Problema mixta cu date la limita si initiale este completa daca adaugamconditiile la limita

u(t, 0) = g1(t), u(t, l) = g2(t), ∀t > 0,

unde functiile g1(t) si g2(t) sunt date si descriu comportarea coardei la capete.De dragul simplificarii calculelor consideram numai cazul g1(t) = g2(t) = 0 si

spunem ca capetele coardei sunt fixate.

7.4. PROBLEMA COARDEI FINITE 243

Procedura pentru rezolvarea problemei mai sus formulate este metoda Bernoulli-Fourier, numita, de asemenea, si metoda variatiei constantelor.

Incercam sa gasim o solutie de forma

u(t, x) = X(x)T (t)

astfel ca derivatele devin∂u

∂x= X ′T,

∂u

∂t= XT ′

∂2u

∂x2= X ′′T,

∂2u

∂t2= XT ′′.

Rezolvarea ecuatiei diferentiale cu derivate partiale s-a redus la rezolvarea uneiecuatii diferentiale ordinare:

XT ′′ − a2X ′′T = 0,

ecuatie ce poate fi rescrisa ın forma

1

a2

T ′′

T=X ′′

X.

Este usor de vazut ca ambii membri ai acestei relatie sunt constante, astfel ıncatputem sa scriem

X ′′ − kX = 0, T ′′ − ka2T = 0,

unde constanta k este valoarea comuna a rapoartelor de mai sus.Luand ın consideratie conditiile la limita, obtinem

u(t, 0) = 0⇒ X(0)T (t) = 0⇒ X(0) = 0

u(t, l) = 0⇒ X(l)T (t) = 0⇒ X(l) = 0.

In felul acesta, pentru determinarea functiei X(x) avem urmatoarea problema

X ′′ − kX = 0,

X(0) = 0, X(l) = 0. (4.2)

Ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiale de mai sus (avand coeficientiiconstanti) este

r2 − k = 0,

astfel ıncat trebuie sa consideram trei cazuri.

I. k = 0. In acest caz ecuatia se reduce la X ′′ = 0 astfel ca solutia sa devine

X(x) = C1x+ C2


si, luand ın consideratie conditiile la limita din (4.2), constantele C1 si C2 devinzero. In concluzie, ın acest caz obtinem solutia X(x) = 0 care nu satisface prob-lema noastra (4.1).

II. k > 0. In acest caz ecuatia caracteristica are doua radacini reale ±√k si

atunci ecuatia diferentiala are solutia generala

X(x) = C1e√kx + C2e

−√kx.

Luand ın consideratie conditiile la limita din (4.1), constantele C1 si C2 devin zero.De aceea, de asemenea ın acest caz obtinem solutia X(x) = 0 care nu satisfaceproblema noastra (4.1).

III. k < 0. Notam k = −λ2. In acest caz ecuatia caracteristica are doua radacinicomplexe conjugate ±iλ si atunci ecuatia diferentiala are solutia generala

X(x) = C1 cosλ+ C2 sinλ.

Luand ın consideratie conditiile la limita din (4.2), pentru a determina constanteleC1 si C2, obtinem relatiile C1 = 0 si C2 sinλl = 0. Atunci

sinλl = 0⇒ λ = nπ, n = 0, 1, 2, ...

Asadar, obtinem un numar infinit de valori pentru parametrul λ, numite valoriproprii pentru problema coardei vibrante finite

λn =nπ

l, n = 0, 1, 2, ...

Corespunzator, din forma generala a solutiei, gasim un numar infinit de functiiX(x), numite functii proprii

Xn = Cn sinnπ

lx, Cn = constante, n = 0, 1, 2, ...

Luand ın consideratie valoarea parametrului k = −λ2, pentru determinarea functieiT (t) avem ecuatia

T ′′ −(nπa

l

)T = 0,

care are solutiile

Tn = Dn cosnπa

lt+ En sin

nπa

lt,

unde Dn, En =constante, n = 0, 1, 2, ...In concluzie, pentru problema mixta initiala, exista un numar infinit de solutiiparticulare

un(t, x) = Xn(x)Tn(t) =(An cos

nπa

lt+Bn sin

nπa

lt)

sinnπ

lx, n = 0, 1, 2, ..


unde am folosit notatiaAn = CnDn, Bn = CnEn.

Deoarece problema noastra este una liniara, solutia sa generala va fi o combinatieliniara a solutiilor particulare, adica

u(t, x) =∞∑n=0

(An cos

nπa

lt+Bn sin

nπa

lt)

sinnπ

lx.

Pentru a determina coeficientii An si Bn putem folosi conditiile initiale ale prob-lemei mixte. Mai ıntai, avem

ϕ(x) = u(0, x) =∞∑n=0

An sinnπ

lx.

Aceasta este seria Fourier a functiei ϕ(x) si atunci An sunt coeficientii Fourier aifunctiei ϕ(x). Folosind formula cunoscuta pentru acesti coeficienti, obtinem

An =2

l

l∫0

ϕ(x) sinnπ

lxdx.

Folosind cealalta conditie initiala, avem

∂u

∂t(t, x) =

∞∑n=0

(−An

nπa

lsin

nπa

lt+

nπa

lBn cos

nπa

lt)

sinnπ

lx.

Astfel, a doua conditie initiala conduce la

ψ(x) =∂u

∂t(0, x) =

∞∑n=0

nπa

lBn sin

nπ

lx.

Aceasta este seria Fourier a functiei ψ(x) si atunci

naπ

lBn

sunt coeficientii Fourier ai functiei ψ(x). Folosind formula cunoscuta pentru acesticoeficienti, obtinem

naπ

lBn =

2

l

l∫0

ψ(x) sinnπ

lxdx,

astfel ıncat

Bn =2

naπ

l∫0

ψ(x) sinnπ

lxdx.


In concluzie, solutia problemei omogene a coardei vibrante este

u(t, x) =∞∑n=0

(An cos

nπa

lt+Bn sin

nπa

lt)

sinnπ

lx,

unde coeficientii An si Bn au expresiile

An =2

l

l∫0

ϕ(x) sinnπ

lxdx,

Bn =2

naπ

l∫0

ψ(x) sinnπ

lxdx.

La sfarsitul acestui paragraf, consideram problema neomogena a coardei vibrantefinite, adica

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l], (4.3)

∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ [0, l],

u(0, t) = u(l, t) = 0.

Pentru a rezolva aceasta problema, o descompunem ın doua probleme: una, avandecuatia diferentiala cu derivate partiale ın forma sa omogena si conditiile initialeneomogene si, a doua, avand ecuatie diferentiala neomogena iar conditiile initialeomogene:

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l], (4.4)

∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ [0, l],

u(t, 0) = u(t, l) = 0

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = 0, ∀x ∈ [0, l], (4.5)

∂u

∂t(0, x) = 0, ∀x ∈ [0, l],

u(t, 0) = u(t, l) = 0.


Este clar, pentru a rezolva problema (4.4) folosim procedura expusa mai sus. Sarezolvam problema (4.5). Vom cauta o solutie particulara de forma

up(t, x) =∞∑n=1

Cn(t) sinnπ

lx, (4.6)

adica, coeficientii necunoscuti Cn(t) depind numai de t.Este usor de vazut ca

up(t, 0) = up(t, l) = 0.

De asemenea, derivand ın (4.6) ın raport cu t, avem

∂up∂t

=∞∑n=1

C ′n(t) sinnπ

lx,

si∂2up∂t2

=∞∑n=1

C ′′n(t) sinnπ

lx.

Acum, derivand ın (4.6) ın raport cu x, obtinem

∂up∂x

=∞∑n=1

Cn(t)nπ

lcos

nπ

lx,

si∂2up∂x2

= −∞∑n=1

Cn(t)(nπ

l

)2

sinnπ

lx.

Atunci ecuatia din (4.5) se reduce la

∞∑n=1

[C ′′n(t) +

(naπ

l

)2

Cn(t)

]sin

nπ

lx = f(t, x).

Aceasta relatie poat fi privita ca seria Fourier a functiei f(t, x) si atunci parantezelepatrate de mai sus sunt coeficientii Fourier ai functiei f(t, x)

C ′′n(t) +(naπ

l

)2

Cn(t) =2

l

l∫0

f(t, x) sinnπ

lx = hn(t),

ultima egalitate fiind o notatie.Deoarece up(0, x) = 0 deducem

∞∑n=1

Cn(0) sinnπ

lx = 0⇒ Cn(0) = 0.


De asemenea, deoarece∂up∂t

(0, x) = 0,

deducem ∞∑n=1

C ′n(0) sinnπ

lx = 0⇒ C ′n(0) = 0.

De aceea, pentru a gasi coeficientii Cn(t) trebuie sa rezolvam o problema Cauchysimpla, atasata unei ecuatii diferentiale ordinare

C ′′n(t) +(naπ

l

)2

Cn(t) = hn(t),

Cn(0) = 0,

C ′n(0) = 0.

In concluzie, solutia problemei (4.5) este functia (4.6) unde coeficientii Cn(t)satisfac problema Cauchy de mai sus.

Acum este clar ca solutia problemei mixte cu date initiale si limita a coardeivibrante finite, (4.3), este suma solutiei problemei (4.4) cu solutia problemei (4.5).

Capitolul 8

Ecuatii parabolice

8.1 Problema finita a caldurii

Cel mai important exponent al ecuatiilor cu derivate partiale de ordinul doi de tipparabolic ıl constituie ecuatia propagarii caldurii ıntr-un mediu.

Principalul scop al acestui paragraf este studierea urmatoarei probleme mixtecu date la limita si initiale, atasata ecuatiei (omogena, ın prima instanta) propagariicaldurii ıntr-o bara. Se presupune ca bara are sectiunea transversala foarte micaın comparatie cu lungimea sa.

∂u

∂t− a2∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l].

(1.1)

unde functiile f(t, x), ϕ(x) si ψ(x) sunt date si continue pe domeniul lor dedefinitie. Functia u = u(t, x) este functia necunoscuta a problemei si reprezintacaldura ın bara ın punctul x al sau si la momentul t, Constanta pozitiva a este pre-scrisa pentru fiecare tip de material din care este confectionata bara iar constantal reprezinta lungimea barei.

Problema mixta cu date la limita si initiale este completa daca adaugamconditiile la limita:

u(t, 0) = g1(t), u(t, l) = g2(t), ∀t > 0,

unde functiile g1(t) si g2(t) sunt prescrise si descriu comportarea caldurii la capetelebarei, ın orice moment t > 0.

De dragul simplificarii calculelor consideram numai cazul g1(t) = g2(t) = 0 sispunem ca capetele barei sunt neıncalzite.

249

250 CAPITOLUL 8. ECUATII PARABOLICE

Procedura pentru rezolvarea problemei mai sus formulate se bazeaza pe metodaBernoulli-Fourier, numita, de asemenea, si metoda variatiei constantelor.Incercam sa gasim o solutie de forma

u(t, x) = X(x)T (t)

astfel ca derivatele functiei u devin:

∂u

∂x= X ′T,

∂u

∂t= XT ′

∂2u

∂x2= X ′′T.

Rezolvarea ecuatiei diferentiale cu derivate partiale din problema mixta (1.1) s-aredus la rezolvarea ecuatiei diferentiale ordinare

XT ′ − a2X ′′T = 0,

care poate fi rescrisa ın forma1

a2

T ′

T=X ′′

X.

Este usor de vazut ca ambii membri ai acestei relatii sunt constante, astfel ıncatputem sa scriem

X ′′ − kX = 0, T ′ − ka2T = 0,

unde constanta k este valoarea comuna a rapoartelor de mai sus.Luand ın consideratie conditiile la limita, obtinem

u(t, 0) = 0⇒ X(0)T (t) = 0⇒ X(0) = 0

u(t, l) = 0⇒ X(l)T (t) = 0⇒ X(l) = 0.

In felul acesta, pentru determinarea functiei X(x) avem urmatoarea problema:

X ′′ − kX = 0,

X(0) = 0, X(l) = 0. (1.2)

Ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiale de mai sus (avand coeficientiiconstanti) este

r2 − k = 0,

astfel ıncat trebuie sa consideram trei cazuri.

I. k = 0. In acest caz ecuatia se reduce la X ′′ = 0, astfel ca obtinem solutia

X(x) = C1x+ C2

8.1. PROBLEMA FINITA A CALDURII 251

si, luand ın consideratie conditia la limita din (1.1), constantele C1 si C2 devinzero. In concluzie, ın acest prim caz obtinem solutia X(x) = 0 care nu satisfaceproblema noastra (1.1).

II. k > 0. In acest caz ecuatia caracteristica are doua radacini reale ±√k si

atunci ecuatia diferentiala are solutia generala

X(x) = C1e√kx + C2e

−√kx.

Luand ın consideratie conditia la limita din (1.1), constantele C1 si C2 devin zero.De aceea si ın acest caz obtinem solutia X(x) = 0 care, de asemenea, nu satisfaceproblema noastra (1.1).

III. k < 0. Notam k = −λ2. In acest caz ecuatia caracteristica are doua radacinicomplexe conjugate ±iλ si ecuatia diferentiala are solutia generala

X(x) = C1 cosλ+ C2 sinλ.

Luand ın consideratie conditia la limita din (1.1), pentru determinarea constanteleC1 si C2, obtinem relatiile C1 = 0 si C2 sinλl = 0. Atunci

sinλl = 0⇒ λ = nπ, n = 0, 1, 2, ...

Asadar, obtinem un numar infinit de valori pentru parametrul λ, numite valoriproprii pentru problema finita a propagarii caldurii:

λn =nπ

l, n = 0, 1, 2, ...

Corespunzator, din forma generala a solutiei, gasim un numar infinit de functiiX(x), numite functii proprii

Xn = Cn sinnπ

lx, Cn = constante, n = 0, 1, 2, ...

Luand ın consideratie valoarea parametrului k = −λ2, pentru determinarea functieiT (t) avem ecuatia

T ′ −(nπa

l

)T = 0,

de unde rezulta

Tn = Dne−(nπal )

2t, Dn = constante, n = 0, 1, 2, ...

In concluzie, pentru problema mixta initiala, exista un numar infinit de solutiiparticulare

un(t, x) = Xn(x)Tn(t) = Ane−(nπal )

2t sin

nπ

lx, n = 0, 1, 2, ..


unde am folosit notatiaAn = CnDn.

Deoarece problema noastra este una liniara, solutia sa generala va fi o combinatieliniara a solutiilor particulare, adica

u(t, x) =∞∑n=0

Ane−(nπal )

2t sin

nπ

lx.

Pentru determinarea coeficientilor An putem folosi conditia initiala a problemeimixte. Asadar, avem

ϕ(x) = u(0, x) =∞∑n=0

An sinnπ

lx.

Aceasta este seria Fourier a functiei ϕ(x) si atunci An sunt coeficientii Fourier aifunctiei ϕ(x). Folosind formula cunoscuta pentru acesti coeficienti, obtinem

An =2

l

l∫0

ϕ(x) sinnπ

lxdx.

In concluzie, solutia problemei omogene a propagarii caldurii este

u(t, x) =∞∑n=0

Ane−(nπal )

2t sin

nπ

lx, An =

2

l

l∫0

ϕ(x) sinnπ

lxdx.

La sfarsitul acestui paragraf, vom formula si rezolva problema neomogena a propagariicaldurii, adica

∂u

∂t− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l], (1.3)

u(0, t) = u(l, t) = 0.

Pentru a rezolva aceasta problema, o descompunem ın doua probleme: una avandecuatia diferentiala ın forma sa omogena si conditia initiala neomogena si, a douaavand ecuatia diferentiala neomogena iar conditia initiala omogena:

∂u

∂t− a2∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ [0, l], (1.4)

u(t, 0) = u(t, l) = 0


∂u

∂t− a2∂

2u

∂x2= f(t, x), ∀x ∈ [0, l], ∀t > 0,

u(0, x) = 0, ∀x ∈ [0, l], (1.5)

u(t, 0) = u(t, l) = 0.

Evident, pentru a rezolva problema (1.4) folosim procedura expusa anterior.Sa rezolvam acum problema (1.5). Vom cauta o solutie particulara de forma

up(t, x) =∞∑n=1

Cn(t) sinnπ

lx, (1.6)

adica, coeficientii necunoscuti Cn(t) depind numai de t.Este usor de vazut ca

up(t, 0) = up(t, l) = 0.

De asemenea, derivand ın (1.6) ın raport cu t, avem

∂up∂t

=∞∑n=1

C ′n(t) sinnπ

lx.

Acum, derivand ın (1.6) ın raport cu x, obtinem

∂up∂x

=∞∑n=1

Cn(t)nπ

lcos

nπ

lx,

si∂2up∂x2

= −∞∑n=1

Cn(t)(nπ

l

)2

sinnπ

lx.

Atunci ecuatia din (1.5) se reduce la

∞∑n=1

[C ′n(t) +

(naπ

l

)2

Cn(t)

]sin

nπ

lx = f(t, x). (1.7)

Inmultim ambii membri ai acestei egalitati cu functiile

sinmπ

lx

si folosim faptul ca aceste functii sunt ortogonale:

∫ l

0sin

nπ

lx sin

mπ

lxdx =

1

2

∫ l

0

[cos(n−m)

nπ

lx− cos(n+m)

nπ

lx]dx.


In vederea evaluarii ultimei integrale, trebuie sa consideram doua cazuri.Mai ıntai, daca n 6= m obtinem

1

2

∫ l

0

[cos(n−m)

nπ

lx− cos(n+m)

nπ

lx]dx =

=1

2

[l

(n−m)πsin

(n−m)π

lx|l0 −

l

(n+m)πsin

(n+m)π

lx|l0

]= 0.

Daca n = m avem∫ l

0sin

nπ

lx sin

mπ

lxdx =

∫ l

0sin2 nπ

lxdx =

1

2

∫ l

0

(1− cos

2nπ

lx)dx =

=1

2

[x|l0 −

l

2nπsin

2nπ

lx|l0

]=l

2− l

4nπsin

2nπ

lx|l0 =

l

2.

In concluzie, produsul scalar are urmatoarele valori:(sin

nπ

lx, sin

mπ

lx)

=∫ l

0sin

nπ

lx sin

mπ

lxdx =

0, n 6= ml/2, n = m.

Dupa aceste calcule, din (1.7) obtinem∫ l

0

∞∑n=1

[C ′n(t) +

(naπ

l

)2

Cn(t)

]sin

nπ

lx sin

mπ

lxdx =

∫ l

0f(t, x) sin

mπ

lxdx⇒

⇒∞∑n=1

[C ′n(t) +

(naπ

l

)2

Cn(t)

] ∫ l

0sin

nπ

lx sin

mπ

lxdx =

∫ l

0f(t, x) sin

mπ

lxdx.

Folosind rezultatul de mai sus ın integrala din membrul stang, deducem[C ′n(t) +

(naπ

l

)2

Cn(t)

]l

2=∫ l

0f(t, x) sin

nπ

lxdx, (1.8)

si ecuatia poate fi rescrisa ın forma

C ′n(t) +(naπ

l

)2

Cn(t) =2

l

∫ l

0f(t, x) sin

nπ

lxdx.

Folosind notatia

Hn(t) =2

l

∫ l

0f(t, x) sin

nπ

lxdx,

ecuatia anterioara, (1.8), poate fi scrisa ın forma

C ′n(t) +(naπ

l

)2

Cn(t) = Hn(t), (1.9)


care este o ecuatie diferentiala liniara si neomogena de ordinul ıntai. Este binecunoscut faptul ca o ecuatie diferentiala liniara si neomogena, ın forma sa generala:

y′ + P (x)y = Q(x)

are solutia:

y(x) = e−∫ x0P (t)dt

[C +

∫ x

0Q(t)e

∫ t0P (t)dtdt

], C = constanta.

In cazul nostru, adica al ecuatiei (1.9), avem (luand C = 0):

Cn(y) =∫ t

0e−(naπ/l)2tHn(s)e(naπ/l)2sds =

∫ t

0Hn(s)e−(naπ/l)2(t−s)ds.

Apoi o solutie particulara a ecuatiei neomogene este

up(t, x) =∞∑0

Cn(t) sinnπ

lx =

=∞∑0

[∫ t

0Hn(s)e−(naπ/l)2(t−s)ds

]sin

nπ

lxds =

=∫ l

0

[ ∞∑0

Hn(s)e−(naπ/l)2(t−s) sinnπ

lx

]ds.

Reamintim ca solutia generala a ecuatiei omogene este

u0(t, x) =∞∑0

An(t)e−(naπ/l)2t sinnπ

lx, An =

2

l

∫ l

0ϕ(x) sin

nπ

lxdx,

si aceasta poate rescrisa ın forma

u0(t, x) =∞∑0

2

l

∫ l

0ϕ(s) sin

nπ

lse−(naπ/l)2tds.

Atunci, luand ın consideratie faptul ca solutia generala a ecuatiei neomogene este

u(t, x) = u0(t, x) + up(t, x),

putem sa scriem

u(t, x) =∞∑0

[An +

∫ t

0Hn(s)e(naπ/l)2sds

]e−(naπ/l)2t sin

nπ

lx,

unde

An =2

l

∫ l

0ϕ(x) sin

nπ

lxdx, Hn =

2

l

∫ l

0f(t, x) sin

nπ

lxdx.


In cele ce urmeaza vom folosi o metoda operationala pentru a rezolva pro-blema propagarii caldurii ıntr-o bara semi-infita uni-dimensionala. De fapt folosimtransformata Laplace pentru a rezolva aceasta problema.Consideram o bara semi-infita uni-dimensionala ne ıncalzita la momentul initial.Variatia temperaturii ın aceasta bara poate fi descrisa prin modelul matematic dinurmatoarea problema mixta:

∂2u

∂x2=

1

a2

∂u

∂t, (t, x) ∈ (0,∞)× (0,∞)

u(0, x) = 0, x > 0 (1.10)

u(t, 0) = u0, t > 0

(1.11)

Aici u = u(t, x) este functia necunoscuta a problemei si reprezinta temperatura ınbara la momentul t ın punctul x al barei. De asemenea, u0 este o constanta datasi reprezinta valoarea temperaturii la capatul barei ın orice moment. Notam

U(p, x) = Lu(t,x),

adica, transformata Laplace a functiei u(t, x).Dupa cum stim, aceasta transformata integrala este

Lu(t,x) =

∞∫0

u(t, x)e−ptdt.

Este usor sa demonstram urmatoarele rezultate

L(∂u

∂t

)= pLu(t,x) − u(0, x) = pU(p, x),

L(∂u

∂x

)=∫ infty

0

∂u

∂xe−ptdt =

=∂

∂x

∫ infty

0u(t, x)e−ptdt =

∂U

∂x.

Evident, putem sa scriem∂U

∂x=dU

dx,

deoarece p este considerat ca un parametru. De aceea, avem

L(∂u

∂x

)=dU

dx.


Similar,

L(∂2u

∂x2

)=∫ infty

0

∂2u

∂x2e−ptdt =

=∂2

∂x2

∫ infty

0u(t, x)e−ptdt =

∂2U

∂x2=d2U

dx2.

Dupa aceste calcule ecuatia propagarii caldurii din (1.10) devine

d2U

dx2=

1

a2U(p, x),

care este o ecuatie diferentiala ordinara avand coeficientii constanti. Ecuatia sacaracteristica este

r2 =p

a2⇒ r = ±

√p

a

astfel ıncat solutia generala a ecuatiei diferentiale se scrie ın forma

U(p, x) = C1e−√p

ax + C2e

√p

ax.

Aceasta solutie trebuie sa fie finita pentru x → ∞, si atunci obtinem C2 = 0 siastfel solutia devine

U(p, x) = C1e−√p

ax.

Acum, putem folosi conditia pe capatul x = 0:

Lu(t,0) = Lu0 =u0

p,

adicaC1e

−√p

a0 =

u0

p⇒ C1 =

u0

p.

In final, solutia ecuatiei este

U(p, x) =u0

pe−√p

ax.

Atunci solutia ecuatiei propagarii caldurii este

u(t, x) = L−1

[u0

pe−√p

ax

]. (1.12)

Pentru a calcula transformata Laplace inversa de mai sus, reamintim ca

L (tα) =Γ(α + 1)

pα+1.


Intr-adevar, pornind de la definitie, avem

L (tα) =∫ ∞

0tαe−ptdt,

unde facem schimbarea de variabila pt = τ astfel ıncat

dt =dτ

p⇒ L (tα) =

1

pα+1

∫ ∞0

ταe−τdτ =Γ(α + 1)

pα+1.

In cazul particular α = −1/2 obtinem

L(t−1/2

)=

Γ(1/2)√p

=

√π√p,

astfel ıncat deducem1√p

= L(

1√πt

).

Acum, folosim bine cunoscuta serie

eu = 1 +1

1!u+

1

2!u2 + ...+

1

n!un + ...

unde u = −√p

ax. Seria anterioara devine

e−√p

ax = 1− 1

1!

√p

ax+

1

2!

p

a2x2 − 1

3!

√p

a

p

a2x3 + ...

Atunci1

pe−√p

ax =

1

p− x

a

1√p

+x2

2!a2− x3

3!a3

√p+ ...

Asadar, putem sa scriem

u0

pe−√p

ax = u0

[L (1)− x

aL(

1√πt

)+ ...

]=

= u0L[1− x

a

1√πt

+ ...

]= L

[u0

(1− x

a

1√πt

+ ...

)].

In felul acesta, deducem ca ecuatia (1.11) are solutia, scrisa mai sus ca inversatransformatei Laplace, de forma

u(t, x) = u0

(1− x

a

1√πt

+ ...

).


Putem sa scriem acest rezultat ın forma

u(t, x) = u0

[1− erf

(x

2a√t

)+ ...

],

unde erf este functia erorilor, des ıntalnita ın Analiza Numerica, data prin

erf(x) =2√π

∫ x

0e−τdτ.

8.2 Probleme cu date ınitiale si la limita

Fie Ω un domeniu marginit din IRn avand frontiera ∂Ω si Ω = Ω ∪ ∂Ω. Pentruo constanta de timp T > 0, fixata arbitrar, consideram intervalul de timp TT datprin

TT = t : 0 < t ≤ T, TT = t : 0 ≤ t ≤ T.

Atunci ecuatia propagarii caldurii (pe scurt, ecuatia caldurii) este

ut(t, x)− a2∆u(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω. (2.1)

Aici am folosit notatia ut = ∂u/∂t. De asemenea, a este o constanta pozitiva data(constanta de material), iar cu ∆ am notat operatorul lui Laplace.Ca de obicei, atasam ecuatiei (2.1) o conditie initiala de forma:

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω. (2.2)

De asemenea, adaugam conditiile la limita ın una din urmatoarele forme:

- conditia lui Dirichlet

u(t, y) = α(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω; (2.3)

- conditia lui Neumann

∂u

∂ν(t, y) = β(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω; (2.4)

- conditia mixta

λ1∂u

∂ν(t, y) + λ2u(t, y) = γ(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω; (2.5)


Daca consideram , de exemplu, problema (2.1), (2.2), (2.3), atunci avem urmatoarelesemnificatii fizice:

- u(t, x), care este functia necunoscuta a problemei, reprezinta temperatura ındomeniul Ω, la orice moment t;

- ϕ(x) reprezinta temperatura (cunoscuta) la momentul initial ın toate puncteledomeniului (inclusiv punctele de pe frontiera);

- α(t, y) reprezinta temperatura (cunoscuta) ın orice moment pe suprafata ∂Ωcare margineste domeniul.

De aceea, problema (2.1), (2.2), (2.3) consta ın determinarea temperaturii ıntoate puncte domeniului Ω, la orice moment, stiind temperatura ın domeniu lamomentul initial si, de asemenea, stiind ın orice moment temperatura pe suprafatadomeniului, ∂Ω.

In cele ce urmeaza vom studia, ın special, problema (2.1), (2.2), (2.3). Pen-tru caracterizarea acestei probleme vom considera, pentru moment, urmatoareleipoteze standard:

(i) functia f : TT × ∂Ω→ IR este data si f ∈ C(TT × ∂Ω);(ii) functia ϕ : Ω→ IR este data si ϕ ∈ C(Ω);(iii) functia α : TT × ∂Ω→ IR este data si α ∈ C(TT × ∂Ω).

Vom numi solutie clasica a problemei (2.1), (2.2), (2.3) o functie u = u(t, x),u : TT × Ω→ IR, avand proprietatile:

- u ∈ C(TT × Ω);- ut, uxixi ∈ C(TT × Ω;- u satisface ecuatia (2.1), conditia initiala (2.2) si conditia la limita (2.3).

In formularea problemei (2.1), (2.2), (2.3), valorile initiale si la limita sunt date pemultimea TT × ∂Ω sau pe multimea 0 × Ω.Definim multimea Γ prin

Γ =

(t, x) : (t, x) ∈(TT × ∂Ω

)∪(0 × Ω

). (2.6)

si o numim frontiera parabolica , care este diferita de frontiera topologica. Defapt, pentru ca sa obtinem frontiera parabolica am sters din frontiera topologica”capacul” pentru t = T .

In teorema urmatoare demonstram un rezultat privind valorile extreme, ıncazul ecuatiilor parabolice omogene.

ut(t, x)−∆u(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω. (2.7)


Teorema 2.1 Fie domeniul Ω si TT , definite ca mai sus, si consideram functia uastfel ca u ∈ C(T T ×Ω), ut, uxixi ∈ C(TT ×Ω). Daca u satisface eucatia omogena(1.7), atunci valorile extreme

sup(t,x)∈T T×Ω

u(t, x), inf(t,x)∈T T×Ω

u(t, x)

sunt atinse, ın mod necesar, pe Γ.

Demonstratie. Daca facem demonstratia numai pentru supremum, nu restrangemgeneralitatea deoarece rezultatul pentru infimum se obtine imediat daca substituimfunctia u cu functia −u.Mai ıntai, trebuie sa subliniem faptul ca ın conditiile teoremei, u isi atinge efectivvaloarile sale extreme, ın conformitate cu clasica teorema a lui Weierstrass.Presupunem, prin reducere la absurd, ca u ısi atinge supremum-ul ın interiorulparabolic, nu pe frontiera Γ. Aceasta ınseamna ca putem presupune ca exista unpunct (t0, x

0) ∈ T T × Ω \ Γ astfel ca

M = sup(t,x)∈T T×Ω

u(t, x) = u(t0, x0).

Notam cu m valoarea suprema a functiei u luata pe Γ:

m = sup(t,x)∈Γ

u(t, x).

In conformitate cu supozitia de mai sus, avem

M > m. (2.8)

In cele ce urmeaza vom demonstra ca (2.8) conduce la o contradictie. Definimfunctia v(t, x) prin

v(t, x) = u(t, x) +M −m

2d2

n∑i=1

(xi − x0

i

)2, (2.9)

unde d este diametrul multimii Ω.Evaluand functia v pe Γ, obtinem

v(t, x)|Γ ≤ m+M −m

2=M +m

2<M +M

2= M. (2.10)

Pe de alta parte,

v(t0, x0) = u(t0, x

0) +M −m

2d2

n∑i=1

(x0i − x0

i

)2= M,


adica v, care verifica aceleasi conditii de regularitate ca si u, ısi atinge cea maimare valoare ın punctul (t0, x

0) ca si u. Deoarece pe Γ valorile lui v sunt strict maimici ca M , vom deduce ca exista un punct (t1, x

1) ın interiorul parabolic astfel ca

sup(t,x)∈T T×Ω

v(t, x) = v(t1, x1),

ın timp ce v nu poate lua valoarea sa maxima pe Γ. Scriem conditia de extrempentru v(t, x) ın punctul (t1, x

1):

∂v(t, x)

∂t

∣∣∣∣∣(t1,x1)

≥ 0. (2.11)

Daca t1 ∈ (0, T ) atunci ın (2.11) avem egalitate de unde urmeaza conditia luiFermat. Daca t1 = T , atunci valoarea la dreapta lui T nu exista si atunci dacaavem un punct de extrem ın t1 ınseamna ca functia v este pozitiva si crescatoarela stanga lui T . Pe de alta parte, functia v(t1, x), privita ca functie numai den variabile spatiale (x1, x2, ..., xn) ısi atinge valoarea maxima pe Ω ın punctul(x1

1, x12, ..., x

1n) de unde urmeaza conditia necesara de maxim

∂2v(t, x)

∂x2i

∣∣∣∣∣(t1,x1)

≤ 0, i = 1, 2, ..., n.

De aici obtinem

∆v(t1, x1) ≤ 0. (2.12)

Din (2.11) si (2.12) rezulta

(−vt(t, x) + ∆v(t, x))(t1,x1) ≤ 0. (2.13)

Pornind de la forma (2.9) a functiei v, obtinem

(−vt(t, x) + ∆v(t, x))(t1,x1) = (−ut(t, x) + ∆u(t, x))(t1,x1) +

+(M −m)n

d2=

(M −m)n

d2> 0,

ın care am luat ın consideratie (2.8).Aceasta inegalitate este contrara cu inegalitatea (2.13), ceea ce demonstreaza capresupunerea (2.8) este falsa si teorema este demonstrata.

Ca o consecinta imediata a teoremei valorilor extreme, vom demonstra unici-tatea solutiei pentru o problema cu date initiale si pe frontiera.


Teorema 2.2 Problema constituita din ecuatia (2.1), conditia initiala (2.2) siconditia la limita (2.3) are cel mult o solutie clasica.

Demonstratie. Presupunem ca problema (2.1), (2.2), (2.3) admite doua solutiiclasice u1(t, x) si u2(t, x). Atunci avem

∆ui(t, x)− ∂ui∂t

(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

ui(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω, (2.14)

ui(t, y) = α(t, y), ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω,

unde i = 1, 2 si functiile f, ϕ si α sunt date si continue acolo unde sunt definite.Pe de alta parte, u1 si u2 satisfac conditiile unei solutii clasice. Definim functiav(t, x) prin

v(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x), ∀(t, x) ∈ T T × Ω.

Daca tinem cont de consideratiile anterioare, obtinem ca v satisface conditiile deregularitate ale unei solutii clasice si, mai mult, ea verifica problema

∆v(t, x)− ∂v

∂t(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

v(0, x) = 0, ∀x ∈ Ω, (2.15)

v(t, y) = 0, ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω.

Astfel, deducem ca functia v satisface toate conditiile teoremei 2.1. De aceea,valorile sale extreme

sup(t,x)∈T T×Ω

v(t, x), inf(t,x)∈T T×Ω

v(t, x)

sunt, ın mod necesar, atinse pe Γ. In conformitate cu (2.15)2 si (2.15)3 v este nulape frontiera parabolica si atunci

sup(t,x)∈T T×Ω

v(t, x) = inf(t,x)∈T T×Ω

v(t, x) = 0,

adica v(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ T T × Ω si atunci din definitia functiei v(t, x) deducemca u1(t, x) ≡ u2(t, x), ceea ce ıncheie demonstratia.

Tot ca o aplicatie a teoremei valorilor extreme, vom demonstra acum un rezul-tat de stabilitate a solutiei ın raport cu conditiile initiale si conditiile la limita,pentru problema mixta (2.1), (2.2), (2.3).


Teorema 2.3 Presupunem ca functia f(t, x) este data si continua pe TT ×Ω. Fieϕ1(t, x) si ϕ2(t, x) doua functii, date si continue pe Ω si functiile α1(t, x) si α2(t, x)date si continue pe TT × ∂Ω.Consideram urmatoarele doua probleme


(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

ui(0, x) = ϕi(x), ∀x ∈ Ω,

ui(t, y) = αi(t, y), ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω,

unde i = 1, 2.Daca ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) astfel ıncat

|ϕ(x)| = |ϕ1(x)− ϕ2(x)| < δ,

|α(x)| = |α1(x)− α2(x)| < δ.

atunci

|u(t, x)| = |u1(t, x)− u2(t, x)| < ε.

Demonstratie. Functia u(t, x) definita, ca ın enuntul teoremei, prin

u(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x),

satisface conditiile unei solutii clasice. De asemenea, u satisface problema

∆u(t, x)− ∂u

∂t(t, x) = f(t, x)− f(t, x) = 0,

u(0, x) = u1(0, x)− u2(0, x) = ϕ1(x)− ϕ2(x) = ϕ(x), (2.16)

u(t, y) = u1(t, y)− u2(t, y) = α1(t, y)− α2(t, y) = α(t, y).

Deoarece u satisface conditiile de mai sus de regularitate si ecuatia omogena(2.16)1, vom deduce ca sunt satisfacute conditiile teoremei valorilor extreme. Atuncivalorile extreme ale functiei u sunt atinse pe frontiera parabolica Γ. Dar pe Γfunctia u se reduce la ϕ sau la α si, deoarece ϕ si α satisfac conditiile |ϕ| < δ,|α| < δ, obtinem rezultatul teoremei, luand δ = ε.

O solutie particulara a problemei (2.1), (2.2), (2.3) este solutia obtinut prin fixareamembrului drept f al ecuatiei, fixarea datei initiale ϕ si a datei la limita α.Familia tuturor solutiilor particulare obtinuta prin variatia functiilor f , ϕ si α, ınclasa functiilor continue , este solutia generala a problemei (2.1), (2.2), (2.3).


Acum, demonstram ca o solutie particulara a ecuatiei omogene a propagariicaldurii este functia V definita prin

V (t, τ, x, ξ) =1

(2√π)

n(√

t− τ)n exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

. (2.17)

Propozitia 2.1 Functia V (t, τ, x, ξ), pentru 0 ≤ τ < t ≤ T , este de clasa C∞ sisatisface ecuatiile:

∆xV (t, τ, x, ξ)− ∂V (t, τ, x, ξ)

∂t= 0,

∆ξV (t, τ, x, ξ) +∂V (t, τ, x, ξ)

∂τ= 0.

Demonstratie. Dupa unele calcule elementare, obtinem

∂V (t, τ, x, ξ)

∂xi= V (t, τ, x, ξ)

(−(xi − ξi)

2(t− τ)

)= −∂V (t, τ, x, ξ)

∂ξi.

De aceea,

∂2V (t, τ, x, ξ)

∂x2i

=V (t, τ, x, ξ)

((xi−ξi)2

4(t− τ)2− 1

2(t− τ)

)=∂2V (t, τ, x, ξ)

∂ξ2i

.

Adunam relatiile obtinute pentru i = 1, 2, ..., n si rezulta

∆xV (t, τ, x, ξ)=V (t, τ, x, ξ)

(1

4(t− τ)2

n∑i=1

(xi−ξi)2− n

2(t− τ)

)=

= ∆ξV (t, τ, x, ξ).

Pe de alta parte, folosind derivata ın (2.17) ın raport cu t si, respectiv, τ , rezulta:

∂V (t, τ, x, ξ)

∂t=V(t, τ, x, ξ)

(1

4(t− τ)2

n∑i=1

(xi − ξi)2− n

2(t− τ)

)=

= −∂V (t, τ, x, ξ)

∂τ.

Astfel, rezultatele din enuntul propozitiei sunt obtinute imediat. Faptul ca functiaV (t, τ, x, ξ) este de clasa C∞ poate fi argumentat folosind faptul ca t 6= τ si, ınesenta, V (t, τ, x, ξ) este o functie exponentiala.


Observatie. Este usor sa verificam faptul ca daca x 6= ξ, atunci functia V (t, τ, x, ξ)este marginita superior de o functie exponentiala si

limt−τ→0+

V (t, τ, x, ξ) = 0.

Daca x = ξ, atunci functia exponentiala dispare si

limt−τ→0+

V (t, τ, x, ξ) = +∞.

O alta proprietate importanta a functiei V (t, τ, x, ξ) va fi demonstrata ın teoremaurmatoare.

Teorema 2.4 Au loc urmatoarele egalitati:∫IRn

V (t, τ, x, ξ)dx = 1,∫

IRnV (t, τ, x, ξ)dξ = 1.

Demonstratie. Scriem integrala de volum ın extenso:∫IRn

V (t, τ, x, ξ)dξ =

=1

(2√π)

n

∫ +∞

−∞...∫ +∞

−∞

1(√t−τ

)n exp

−n∑i=1

(xi−ξi)2

4(t− τ)

dξ1dξ2...dξn.

Facem schimbarea de variabila ξi−xi = 2√t− τηi si prin calcule directe, obtinem

ca jacobianul schimbarii are valoarea:∣∣∣∣∣DξDη∣∣∣∣∣ = 2n

(√t− τ

)n.

Atunci ∫IRn

V (t, τ, x, ξ)dξ =1

(√π)

n

∫ +∞

−∞...∫ +∞

−∞e−

n∑i=1

η2idη1dη2...dηn =

=1

(√π)

n

∫ +∞

−∞...∫ +∞

−∞e−η

21e−η

22 ...e−η

2ndη1dη2...dηn =

=1

(√π)

n

(∫ +∞

−∞e−s

2

ds)n

=1

(√π)

n

(√π)n

= 1,

unde am folosit integrala lui Gauss∫ +∞

−∞e−s

2

ds =√π.

Similar, se poate demonstra cealalta egalitate din enunt.

In teorema care urmeaza, vom demonstra un rezultat care generalizeaza egalitatiledin enuntul teoremei 2.4


Teorema 2.5 Consideram Ω un domeniu marginit. Daca notam cu IΩ integrala

IΩ(t− τ, x) =∫

ΩV (t, τ, x, ξ)dξ,

atunci pentru x ∈ Ω, avem

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) = 1,

limita avand loc uniform ın raport cu x, pe multimi compacte din Ω, si, pentrux ∈ IRn \ Ω

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) = 0,

limita avand loc uniform ın raport cu x, pe multimi compacte din IRn \ Ω.

Demonstratie. Mai ıntai, consideram cazul x ∈ Ω. Vom folosi notatiile

d0 = dist(x,Ω), d1 = dist(Q, ∂Ω),

unde Q este un compact, fixat arbitrar ın Ω, astfel ca x ∈ Q.Reamintim ca, prin definitie, avem

d0 = dist(x, ∂Ω) = supy∈∂Ω|x− y|,

d1 = dist(Q, ∂Ω) = supy∈∂Ω,x∈Q

|x− y|.

Consideram bilele B(x, d0) si B(x, d1) si atunci

B(x, d1) ⊂ B(x, d0) ⊂ Ω. (2.18)

Folosind monotonia integralei si luand ın consideratie incluziunea (2.18), vom de-duce

IΩ(t− τ, x) =∫

ΩV (t, τ, x, ξ)dξ ≥

≥∫B(x,d0)

V (t, τ, x, ξ)dξ ≥∫B(x,d1)

V (t, τ, x, ξ)dξ = (2.19)

=1

(2√π)

n(√

t− τ)n ∫

B(x,d1)exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

dξ.Facem schimbarea de variabila

ξi − xi = 2√t− τηi, i = 1, 2, ..., n.


Ca ın demonstratia teoremei 2.4, valoarea jacobianului acestei schimbari este

2n(√

t− τ)n.

Cu aceasta schimbare de variabila, ultima integrala din (2.19), devine:

1

(√π)

n

∫B(0, d

2√t−τ )

e−

n∑i=1

η2idη, (2.20)

ın care √√√√ n∑i=1

(ξi − xi)2 = 2√t− τ

√√√√ n∑i=1

η2i .

Daca trecem la limita ın (2.19) cu t − τ → 0+ si luam ın consideratie (2.20),obtinem

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) ≥ limt−τ→0+

1

(√π)

n

∫B(0, d

2√t−τ )

e−

n∑i=1

η2idη =

=1

(√π)

n

∫IRn

e−

n∑i=1

η2idη = 1,

ın care am folosit integrala lui Gauss. De asemenea, am folosit faptul ca pentrut− τ → 0+, avem

d

2√t− τ

→∞

si atunci bila

B(0,d

2√t− τ

)

devine ıntreg spatiul IRn. De asemenea, am demonstrat deja ca

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) ≥ 1. (2.21)

Deoarece Ω ⊂ IRn, avem, evident, ca

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) ≤∫

IRnV (t, τ, x, ξ)dξ = 1,

si atunci

limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) ≤ 1. (2.22)


Din (2.21) si (2.22), prima parte a demonstratiei este ıncheiata. Limita are locuniform ın raport cu x, pe multimi compacte din Ω care contin x, deoarece distantad folosita ın consideratiile anterioare depinde numai de multime compacta carecontine punctul x si nu de alegerea lui x ın multimea compacta respectiva.

Acum, abordam cazul cand x ∈ IRn \ Ω. Luand ın consideratie faptul ca Ω afost presupusa ca fiind domeniu (marginit), folosind teorema lui Jordan, avem caIRn \ Ω este, de asemenea, un domeniu. Fie o multime compacta Q∗ ⊂ IRn \ Ωastfel ıncat x ∈ Q∗ si consideram distantele d∗0 = dist(x, ∂Ω), d∗1 = dist(Q∗, ∂Ω) sibila s B(x, d∗0) si B(x, d∗0). Deoarece d∗0 > d∗1, vom deduce

B(x, d∗1) ⊂ B(x, d∗0)⇒⇒ Ω ⊂ IRn \B(x, d∗0) ⊂ IRn \B(x, d∗1).

Relativ la integrala IΩ(t− τ, x) avem urmatoarele estimari

0 ≤ IΩ(t− τ, x) =∫

ΩV (t, τ, x, ξ)dξ ≤

≤∫

IRn\B(x,d∗0)V (t, τ, x, ξ)dξ ≤

∫IRn\B(x,d∗1)

V (t, τ, x, ξ)dξ. (2.23)

Facem schimbarea de variabila

ξi − xi = 2√t− τηi, i = 1, 2, ..., n.

In baza consideratiilor din prima parte a demonstratiei, ultima integrala din (2.23)devine

1

(√π)

n

∫De−

n∑i=1

η2idη, (2.24)

unde domeniul de integrare D este

D = Rn \B(0,d∗

2√t− τ

).

Daca trecem la limita pentru t− τ → 0+, atunci raza

d∗

2√t− τ

devine infinita si atunci bila

B(0,d∗

2√t− τ

)


devine ıntreg spatiul IRn. De aceea, integrala din (2.24) tinde la zero si, revenindla (2.23), rezulta

0 ≤ limt−τ→0+

IΩ(t− τ, x) ≤∫De−

n∑i=1

η2idη = 0,

ın care domeniul de integrare D este cel definit mai sus. Limita are loc uniform ınraport cu x, pe multimi compacte din Ω care contin punctul x, deoarece distantad∗ folosita ın consideratiile anterioare depinde numai de multimea compacta cecontine x, nu si de alegerea lui x ın multimea compacta respectiva.Utilitatea rezultatelor demonstrate ın teoremele 2.4 si 2.5 este evidentiata ın teo-rema urmatoare.

Teorema 2.6 Consideram Ω un domeniu marginit din IRn si presupunem cafunctia f este continua si marginita pe Ω. Atunci:

- (i). daca x ∈ Ω, avem

limt−τ→0+

∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ = f(x),

limita avand loc uniform ın raport cu x, pe multimi compacte din Ω.- (ii). daca x ∈ IRn \ Ω,

limt−τ→0+

∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ = 0,


Demonstratie. (i). Consideram Q o multime compacta fixata arbitrar, Q ⊂ Ω,astfel ıncat x ∈ Q. Avem estimarile∣∣∣∣∫

ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ − f(x)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ−

−f(x)∫

ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣f(x)∫

ΩV (t, τ, x, ξ)dξ − f(x)

∣∣∣∣ ≤≤∫

ΩV (t, τ, x, ξ)|f(x)− f(ξ)|dξ + |f(x)|

∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)dξ − 1

∣∣∣∣ ≤≤∫B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)|f(x)−f(ξ)|dξ+∫

IRn\B(x,δ)V (t, τ, x, ξ)|f(x)−f(ξ)|dξ+

+c0

∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)dξ − 1

∣∣∣∣ , (2.25)

unde, cu c0 am notat c0 = supx∈Ω

f(x).


Cu intentia de a folosi continuitatea functiei f , luam ε suficient de mic, siatunci exista η(ε) astfel ıncat daca

|x− ξ| < η(ε)⇒ |f(x)− f(ξ)| < ε.

Daca ın estimarile din (2.25) luam δ < η(ε), rezulta ca∫B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)|f(x)− f(ξ)|dξ < ε∫B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)dξ ≤

≤ ε∫

IRnV (t, τ, x, ξ)dξ = ε.

atunci ∫Ω\B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)|f(x)− f(ξ)|dξ < 2c0

∫Ω\B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)dξ,

si

limt−τ→0+

∫Ω\B(x,δ)

V (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ = 0,

deoarece x 6∈ Ω \B(x, δ) si atunci putem folosi a doua parte a teoremei 2.5.In final, pentru ultima integrala din (1.25), avem

limt−τ→0+

∣∣∣∣∣∫

Ω\B(x,δ)V (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ − 1

∣∣∣∣∣ = 0,

deoarece x ∈ Ω si atunci putem folosi prima parte a teoremei 2.5. Daca luamın consideratie aceste estimari ın (2.25), punctul (i) este demonstrat. Subliniemfaptul ca limita din (i) are loc uniform ın raport cu x deoarece ultima integraladin (2.25) tinde la zero, uniform pe multimi compacte din Ω.

(ii). Luam, arbitrar, o multime compacta Q∗ astfel ca x ∈ Q∗ si Q∗ ⊂ IRn \ Ω.Deoarece, prin ipoteza, f este o functie marginita, avem∣∣∣∣∫

ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ

∣∣∣∣ ≤ ∫Ω|V (t, τ, x, ξ)| |f(ξ)| dξ ≤

≤ c0

∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ,

si atunci

0 ≤ limt−τ→0+

∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ

∣∣∣∣ ≤ c0

∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ.

Deoarece x 6∈ Ω, folosind a doua parte a teoremei 2.5, aceste inegalitati conduc laconcluzia ca

limt−τ→0+

∫ΩV (t, τ, x, ξ)dξ = 0 (2.26)


si atunci

limt−τ→0+

∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)f(ξ)dξ

∣∣∣∣ = 0,

limita avand loc uniform ın raport cu x, pe multimi compacte din IRn\Ω, deoareceasa a fost obtinuta limita din (2.26). Demonstratia teoremei este ıncheiata.In teorema urmatoare, vom da o generalizare a rezultatelor din teorema 2.6.

Teorema 2.7 Fie functia g(τ, ξ) presupusa continua si marginita pe TT×Ω. Daca,mai mult,

limτ→t+

g(τ, ξ) = g(t, ξ)

limita avand loc uniform ın raport cu ξ, pe multimi compacte din Ω, atunci- (i). daca x ∈ Ω,

limτ→t−

∫ΩV (t, τ, x, ξ)g(τ, ξ)dξ = g(t, x),

limita avand loc uniform ın raport cu x, pe multimi compacte din Ω.- (ii). daca x ∈ IRn \ Ω,

limτ→t−

∫ΩV (t, τ, x, ξ)g(τ, ξ)dξ = 0,


Demonstratie. (i). Consideram Q o multime compacta fixata arbitrar, Q ⊂ Ω,astfel ıncat x ∈ Q ⊂ Ω. Atunci∣∣∣∣∫

ΩV (t, τ, x, ξ)g(τ, ξ)dξ − g(t, x)

∣∣∣∣ ≤≤∣∣∣∣∫

ΩV (t, τ, x, ξ)[g(τ, ξ)−g(t, ξ)]dξ

∣∣∣∣+∣∣∣∣∫ΩV (t, τ, x, ξ)dξ−g(t, x)

∣∣∣∣ . (2.27)

Daca ın (2.27) trecem la limita cu τ → t−, prima integrala din membrul drepttinde la zero, ın baza ipotezelor. De asemnea, si ultima integrala din (2.27) tindela zero ın baza teoremei 2.6. De asemenea, vom deduce ca ambele limite au locuniform ın raport cu x, pe multimi compacte din Ω, bazandu-ne pe ipoteze, si pefaptul ca astfel a fost obtinut rezultatul din teorema 2.6.

(ii). Intr-o maniera similara putem demonstra rezultatul de la acest punct, siatunci demonstratia este ıncheiata.

8.3. METODA FUNCTIEI GREEN 273

8.3 Metoda functiei Green

Mai ıntai, vom obtine formula lui Green pentru ecuatia caldurii. Pentru atingereaacestui scop, definim operatorii L(τ,ξ) si M(τ,ξ) prin

L(τ,ξ)u = ∆ξu−∂u

∂τ,

M(τ,ξ)v = ∆ξv +∂v

∂τ. (3.1)

Consideram Ω un domeniu marginit a carui frontiera ∂Ω admite plan tangent,variind continuu aproape peste tot .In toate cele ce urmeaza vom folosi functia u(t, x) care satisface urmatoarele ipotezestandard:

- u ∈ C(TT × Ω);- uxixi , ut ∈ C(TT × Ω), pentru 0 ≤ τ < t ≤ T .

Daca amplificam (3.1)1 cu v(τ, ξ) si (3.1)2 prin u(τ, ξ), obtinem

vLu− uMv = v∆ξu− u∆ξv − v∂u

∂τ− u∂v

∂τ

adica

vLu− uMv = v∆ξu− u∆ξv −∂

∂τ(uv). (3.2)

Propozitia 3.1 Presupunem satisfacute ipotezele de mai sus ın raport cu dome-niul Ω si functia u. Daca functia v satisface aceleasi ipoteze ca si functia u, atunciare loc formula lui Green∫

Ω

∫ t

0[vLu− uMv]dτdξ =

∫∂Ω

∫ t

0

[v∂u

∂ν− u∂v

∂ν

]τdσξ −

−∫

Ωu(t, ξ)v(t, ξ)dξ +

∫Ωu(0, ξ)v(0, ξ)dξ. (3.3)

Demonstratie. Integram egalitatea (3.2) pe multimea Ω× [0, t]:∫Ω

∫ t

0[vLu− uMv]dτdξ =

∫Ω

∫ t

0[v∆ξu− u∆ξv]dτdξ−

−∫

Ω

∫ t

0

∂

∂τ(uv) dτdξ. (3.4)


Folosind bine cunoscuta formula Gauss-Ostrogradski, rezulta

∫Ω

∫ t

0v∆ξudτdξ =

∫Ω

∫ t

0v

n∑i=1

∂2u

∂ξ2i

dτdξ =

=∫

Ω

∫ t

0

n∑i=1

v∂

∂ξi

(∂u

∂ξi

)dτdξ =

∫∂Ω

∫ t

0v

n∑i=1

v∂u

∂ξicosαidτdσξ =

=∫∂Ω

∫ t

0v∂u

∂νξdτdσξ,

unde ν este norma unitara, orientata spre exterior, la suprafata ∂Ω.Similar, putem obtinem urmatoarea egalitate

∫Ω

∫ t

0u∆ξvdτdξ =

∫∂Ω

∫ t

0u∂v

∂νξdτdσξ.

Atunci ∫Ω

∫ t

0

∂

∂τ(uv) dτdξ =

∫∂Ωuv|t0 dξ =

=∫∂Ω

[u(t, ξ)v(t, ξ)− u(0, ξ)v(0, ξ)]dξ.

Folosind aceste estimari ın (3.4), obtinem formula lui Green.

Formula lui Green (3.3) poate fi generalizata ın sensul ca ın forma (3.1) a op-eratorilor L siM ın locul operatorului lui Laplace ∆ putem lua un operator liniararbitrar de ordinul doi.Asadar, definim operatorul L si adjunctul sau M prin

Lu =n∑i=1

n∑j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+

n∑i=1

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u,

Mv =n∑i=1

n∑j=1

∂2(aij(x)v)

∂xi∂xj−

n∑i=1

∂(bi(x)v)

∂xi+ c(x)u, (3.5)

unde aij = aji ∈ C2(Ω), bi ∈ C1(Ω) si c ∈ C0(Ω).Folosind o procedura similara cu cea din (3.1), construim operatorii A si B prin

Au = Lu− ∂u

∂t,

Bv = Mv +∂v

∂t. (3.6)


Propozitia 3.2 Presupunem satisfacute ipotezele din propozitia 3.1 ın privintadomeniului Ω si a functiilor u si v. Atunci are loc formula lui Green:∫

Ω

∫ t

0[vAu−uBv]dτdξ=

∫∂Ω

∫ t

0

γ

[v∂u

∂γ−u∂v

∂γ

]+buv

dτdσξ−

−∫

Ωu(t, ξ)v(t, ξ)dξ +

∫Ωu(0, ξ)v(0, ξ)dξ. (3.7)

Demonstratie. Inmultim ın (3.6)1 cu v si ın (3.6)2 cu u si scadem relatiile carerezulta, de unde urmeaza egalitatea:

vAu− uBv = vLu− uMv − v∂u∂t− u∂v

∂t=

= vLu− uMv − ∂

∂t(uv) .

Integram aceasta egalitate pe multimea Ω×[0, t] si, dupa ce folosim formula Gauss-Ostrogradski, suntem condusi la formula lui Green (3.7).

Consideram, din nou, operatorii L si M definiti ın (3.1). Corespunzator, vomfolosi formula lui Green ın forma (3.3). Pornind de la aceasta forma a formulei luiGreen, intentionam sa gasim formula Riemann-Green.In acest scop, folosim, din nou, functia V (t, τ, x, ξ) definita prin

V (t, τ, x, ξ) =1

(2√π)

n(√

t− τ)n exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

. (3.8)

Unicul punct singular al functiei V (t, τ, x, ξ) este punctul (t, x) = (τ, ξ). Pentru aevita acest punct, consideram domeniul

τ ; 0 ≤ τ ≤ t− δ, δ > 0 × Ω.

Pentru acest domeniu scriem formula lui Green (3.3) pentru perechea de functii(v, u), unde v = V (t, τ, x, ξ) si u = u(τ, ξ):∫

Ω

∫ t−δ

0[V (t, τ, x, ξ)Lu(τ, ξ)− u(τ, ξ)MV (t, τ, x, ξ)] dτdξ =

=∫∂Ω

∫ t−δ

0

[V (t, τ, x, ξ)

∂u

∂ν(τ, ξ)− u(τ, ξ)

∂V (t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ −

−∫

ΩV (t, t− τ, x, ξ)u(t− τ, ξ)dξ +

∫ΩV (t, 0, x, ξ)u(0, ξ)dξ.

(3.9)


In aceasta egalitate trecem la limita cu δ → 0 si folosim teorema 2.7 din paragraful8.2 (Capitolul 7). Atunci, daca x ∈ Ω, rezulta

u(t, x) = −∫

Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)Lu(τ, ξ)dτdξ +

+∫∂Ω

∫ t

0

[V (t, τ, x, ξ)

∂u

∂ν(τ, ξ)− u(τ, ξ)

∂V (t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ+

+∫

ΩV (t, 0, x, ξ)u(0, ξ)dξ. (3.10)

Rezultatul demonstrat mai sus va fi sintetizat ın teorema urmatoare.

Teorema 3.1 Pentru ecuatia caldurii, formula lui Riemann-Green are forma (3.10),unde operatorii L si M sunt definit ın (3.1) iar V (t, τ, x, ξ) este o functie care areforma (3.8).

Observatie. Daca x ∈ IRn\Ω atunci trecand la limita ın (3.9) cu δ → 0 si folosinda doua parte a teoremei 2.7, paragraful 8.2, rezulta:

0 = −∫

Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)Lu(τ, ξ)dτdξ +

+∫∂Ω

∫ t

0

[V (t, τ, x, ξ)

∂u

∂ν(τ, ξ)− u(τ, ξ)

∂V (t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ+

+∫

ΩV (t, 0, x, ξ)u(0, ξ)dξ.

Acum, consideram problema cu date initiale si pe frontiera:

Lu(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω,

u(t, y) = α(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω,

∂u

∂νu(t, y) = β(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω.

atunci formula lui Riemann-Green capata forma

u(t, x) = −∫

Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ +

+∫∂Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)β(τ, ξ)dτdσξ−

∫∂Ω

∫ t

0

∂V (t, τ, x, ξ)

∂να(τ, ξ)dτdσξ+

+∫

ΩV (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ. (3.11)


Integralele din membrul drept al formulei (3.11) sunt asa numitii potentiali aiproblemei caldurii, si anume,:

I1 =−∫

Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ

este potentialul caloric de volum;

I2 =∫∂Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)β(τ, ξ)dτdσξ

este potentialul caloric de suprafata de simplu strat;

I3 = −∫∂Ω

∫ t

0

∂V (t, τ, x, ξ)

∂να(τ, ξ)dτdσξ

este potentialul caloric de suprafata de dublu strat;

I4 =∫

ΩV (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ

este potentialul caloric temporal.

De aceea, formula (3.11) mai este numita si formula potentialilor calorici.Potentialii calorici sunt folositi pentru rezolvarea problemelor cu date initiale sila limita, ın contextul ecuatiilor parabolice. Mai exact, potentialii calorici permittransformarea acestor probleme ın ecuatii integrale de tip Fredholm.Consideram problema de tip Dirichlet

∆ξu(τ, ξ)− ∂u

∂τ(τ, ξ) = f(τ, ξ), ∀(τ, ξ) ∈ TT × Ω,

u(0, ξ) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ Ω, (3.12)

u(τ, η) = α(τ, η), ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω,

unde Ω este un domeniu marginit cu frontiera ∂Ω avand plan tangent variindcontinuu aproape peste tot. Notam cu TT intervalul (0, T ] si cu TT intervalulınchis [0, T ]. Functiile f, ϕ si α sunt date si continue pe domeniile indicate.Conditia (3.12)3 este numita conditia lui Dirichlet. Intr-o problema de tip Neu-mann, conditia (3.12)3 este ınlocuita prin conditia la limita de tip Neumann:

∂u

∂ν(τ, η) = β(τ, η), ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω.

Definitia 3.1 Vom numi functie Green atasata domeniului Ω, operatorului L siconditiei lui Dirichlet (3.12)3, functia G(t, τ, x, ξ) definita prin

G(t, τ, x, ξ) = V (t, τ, x, ξ) + g(t, τ, x, ξ), (3.13)


unde functia V (t, τ, x, ξ) este definita ın (3.8) iar functia g(t, τ, x, ξ) are pro-prietatile:

- g(t, τ, x, ξ) este continua ın raport cu variabilele t, τ, x si ξ pe multimeaTT× ×TT × Ω× Ω;- derivatele gxixi si gt sunt functii continue pe multimea TT × TT× ×Ω× Ω;- g(t, τ, x, ξ) satisface eucatia adjuncta omogena a caldurii

Mg(t, τ, x, ξ) = ∆ξg(t, τ, x, ξ) +∂

∂τg(t, τ, x, ξ) = 0;

- g(t, τ, x, ξ) satisface conditia g(t, t, x, ξ) = 0.

Functia Green G(t, τ, x, ξ) satisface, prin definitie, conditia omogena a lui Dirichlet

G(t, τ, x, η) = 0, ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω.

In teorema urmatoare demonstram ca daca problema Dirichlet (3.12) admite osolutie clasica , atunci aceasta solutie poate fi reprezentata cu ajutorul functieiGreen, definita ın formula (3.13).

Teorema 3.2 Daca presupunem ca problema Dirichlet (3.12) admite o solutieclasica, atunci aceasta solutie are forma

u(t, x) = −∫

Ω

∫ t

0G(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ −

−∫∂Ω

∫ t

0

∂G(t, τ, x, η)

∂να(τ, η)dτdση +

∫ΩG(t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ. (3.14)

Demonstratie. Incepem prin a scrie formula lui Green (3.7) pentru perechea defunctii v = g(t, τ, x, ξ) si u = u(τ, ξ), unde u(τ, ξ) este solutia problemei (3.12):

0=−∫

Ω

∫ t

0g(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ+

∫Ω

∫ t

0u(τ, ξ)Mg(t, τ, x, ξ)dτdξ+

+∫∂Ω

∫ t

0

[g(t, τ, x, ξ)

∂u(τ, ξ)

∂ν− u(τ, ξ)

∂g(t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ −

−∫

Ωg(t, τ, x, ξ)u(τ, ξ)dξ +

∫Ωg(t, 0, x, ξ)ϕ(τ, ξ)dξ.

In baza ipotezelor impuse functiei g, aceasta egalitate devine

0=−∫

Ω

∫ t

0g(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ+

∫Ωg(t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ+

+∫∂Ω

∫ t

0

[g(t, τ, x, ξ)

∂u(τ, ξ)

∂ν− α(τ, ξ)

∂g(t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ. (3.15)


Acum, scriem formula lui Riemann-Green (3.10) pentru perechea de functii v =V (t, τ, x, ξ) si u = u(τ, ξ), unde u(τ, ξ) este solutia problemei (3.12):

u(t, x)=−∫

Ω

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ+

∫ΩV (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ+

+∫∂Ω

∫ t

0

[V (t, τ, x, ξ)

∂u(τ, ξ)

∂ν− α(τ, ξ)

∂V (t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ. (3.16)

Adunam, membru cu membru formulele (3.15) si (3.16), astfel ca rezulta

u(t, x) = −∫

Ω

∫ t

0G(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ +

+∫∂Ω

∫ t

0G(t, τ, x, ξ)

u(τ, ξ)

∂νdτdσξ −

∫∂Ω

∫ t

0

∂G(t, τ, x, ξ)

∂να(τ, η)dτdση +

+∫

ΩG(t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ.

Deoarece functia GreenG(t, τ, x, ξ) se anuleaza pe frontiera (ıntrucat, prin definitie,G(t, τ, x, ξ) satisface conditia omogena a lui Dirichlet), vom deduce ca a doua in-tegrala din membrul drept al egalitatii anterioare dispare, iar formula care ramaneeste chiar (3.14), ceea ce ıncheie demonstratia.

In cele ce urmeaza, vom face consideratii analoage pentru problema lui Neu-mann care pot fi deduse din problema Dirichlet (3.12) substituind conditia (3.12)3

cu conditia

∂u(τ, η)

∂ν= β(τ, η), ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω. (3.17)

Functia Green pentru domeniul Ω, operatorul L si conditia lui Neumann (3.17) estedata ın formula (3.13) din definitia 3.1, dar ultima conditie din aceasta definitieeste ınlocuita cu

∂G(t, τ, x, η)

∂ν= 0, ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω, (3.18)

adica, functia G satisface conditia lui Neumann ın forma sa omogena.

Propozitia 3.3 Presupunem ca problema lui Neumann (3.12)1, (3.12)2, (3.17)admite o solutie clasica. Atunci aceasta solutie poate fi exprimata cu ajutorulfunctiei Green ın forma

u(t, x) = −∫

Ω

∫ t

0G(t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ +

+∫∂Ω

∫ t

0G(t, τ, x, η)β(τ, η)dτdση +

∫ΩG(t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ. (3.19)


Demonstratie. Vom folosi aceleasi motivatii ca ın demonstratia formulei (3.14).Mai ıntai, scriem formula lui Green pentru perechea de functii v = g(t, τ, x, ξ) siu = u(τ, ξ), unde u(τ, ξ) este solutia problemei lui Neumann ın discutie. Apoiscriem formula lui Riemann-Green pentru perechea de functii v = V (t, τ, x, ξ)si u = u(τ, ξ), unde u(τ, ξ) este solutia problemei lui Neumann. Daca adunam,membru cu membru cele doua relatii care rezulta si luam ın consideratie conditiileimpuse functiilor g(t, τ, x, ξ), G(t, τ, x, ξ), obtinem formula (3.19).

Daca examinam formulele (3.14) si (3.19), suntem condusi la concluzia casolutiile problemei Dirichlet si problemei lui Neumann, daca exista, pot fi unicreprezentate cu ajutorul functiei Green. Deoarece functia V (t, τ, x, ξ), din definitiafunctiei Green, este definita ın (3.8), rezulta ca ın vederea determinarii functieiGreen trebuie determinata functia g(t, τ, x, ξ).

Aparent, problema determinarii functiei g(t, τ, x, ξ) este de aceiasi dificultateca determinarea propriu-zisa a solutiei problemei Dirichlet sau problemei Neu-mann, ın special luand ın consideratie conditiile de regularitate impuse functieig(t, τ, x, ξ).

Dar spre deosebire de solutia clasica u, functia g(t, τ, x, ξ) satisface, si ın cazulproblemei Dirichlet si ın cazul problemei Neumann, ecuatia omogena a caldurii.De asemenea, ın problema lui Dirichlet si, de asemenea, ın problema lui Neumann,solutia u satisface o conditia la limita cu α si, respectiv, β, arbitrare. In cazulfunctiei g(t, τ, x, ξ) trebuie satisfacuta o conditie la limita ın care membrul drepteste perfect determinat, deoarece

g(t, τ, x, η) = −V (t, τ, x, η), ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω,

si, respectiv,

∂g(t, τ, x, η)

∂ν= −∂V (t, τ, x, η)

∂ν, ∀(τ, η) ∈ TT × ∂Ω,

unde V (t, τ, x, η) este data ın (3.8).Am facut aceste comentarii pentru a demonstra ca functia Green poate fi

folosita cu succes pentru a gasi solutia problemelor cu date initiale si la limitadin teoria ecuatiilor parabolice.

In consideratiile din acest paragraf, metoda functiei Green a fost folosita pen-tru a gasi solutia problemelor liniare. Dar aceasta metoda poate fi folosita sipentru determinarea solutiilor problemelor neliniare. Vrem sa subliniem ca pen-tru determinarea functiei Green se poate folosi si transformata Laplace. Aplicamtransformata Laplace ecuatiilor parabolice si conditiilor la limita si initiale astfelca obtinem o problema eliptica cu date la limita, deoarece transformata Laplaceactioneaza asupra variabilei temporale. De asemenea, o problema cu date initiale si


la limita pentru ecuatiile parabolice, capata unele simplificari daca aplicam trans-formata Fourier asupra variabilelor spatiale.

Consideram problema neliniara

∆u− ∂u

∂t= F (t, x, u, ux1 , ux2 , ..., uxn), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω, (3.20)

u(t, y) = α(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω.

In abordarea problemei (3.20) putem folosi aceiasi procedura ca ın cazul prob-lemelor liniare. Mai ıntai, determinam functia Green atasata domeniului Ω, oper-atorului liniar ∆u− ut si conditiilor la limita (3.20)3. Daca presupunem ca prob-lema (3.20) admite o solutie clasica, atunci aceasta solutie poate fi reprezentatacu ajutorul functiei Green ın forma

u(t, x)=−∫

Ω

∫ t

0G(t, τ, x, ξ)F (τ, ξ, u, uξ1 , uξ2 , ..., uξn)dτdξ−

−∫∂Ω

∫ t

0

∂G(t, τ, x, η)

∂να(τ, η)dτdση+

∫ΩG(t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ. (3.21)

Trebuie acum sa determinam conditiile ce trebuiesc impuse functiilor F, α si ϕastfel ıncat functia u din (3.21) sa fie efectiv solutie pentru problema (3.20). Sepoate demonstra un rezultat de forma:Daca functia F este continua ın toate variabilele sale si satisface o conditie Lips-chitz ın variabila u, ux1 , ux2 , ..., uxn , atunci u din (3.21) este efectiv solutie pentruproblema (3.20).

8.4 Problema Cauchy

In rezolvarea problemelor cu date la limita si initiale pentru ecuatia caldurii dinparagraful precedent, este esential sa stim temperatura pe suprafata domeniuluiunde a fost formulata problema.

In acest paragraf consideram ca suprafata este la o distanta mare, astfel ıncatın locul unui domeniu marginit vom considera ıntreg spatiul IRn. De aceea, dispareconditia la limita si atunci avem urmatoarea problema Cauchy:

∆u(t, x)− ut(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × IRn,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ IRn, (4.1)


unde TT este un interval de timp (0, T ] iar functiile f si ϕ sunt date si suntpresupuse continue pe TT × IRn, respectiv, pe IRn.Problema (4.1) va fi completa daca cunoastem comportarea functiei u la infinit.Sunt consacrate doua tipuri de comportare la infinit:

- functia u este marginita;- u tinde asimptotic la zero.

In toate cele ce urmeaza vom presupune ca functia u este marginita la infinit.Vom numi solutie clasica pentru problema Cauchy, o functie u care satisfaceconditiile:

- u ∈ C(TT × IRn);- u si uxi sunt functii marginite pe TT × IRn;- uxixi , ut ∈ C(TT × IRn);- u satisface ecuatia (4.1)1 si conditia initiala (4.1)2.

In abordarea problemei Cauchy (4.1), vom parcurge doua etape. Mai ıntai, pre-supunand ca problema admite o solutie clasica, vom gasi forma ei cu ajutorulformulei Riemann-Green.

In etapa a doua, vom arata ca ın unele conditii de regularitate impuse functiilorf si ϕ formula gasita pentru u este efectiv solutie pentru problema (4.1).Reamintim ca solutia fundamentala V (t, τ, x, ξ) este data prin

V (t, τ, x, ξ) =1

(2√π)

n(√

t− τ)n exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

. (4.2)

Teorema 4.1 Presupunem ca problema Cauchy (4.1) admite o solutie clasica.Atunci aceasta solutie admite reprezentarea:

u(t, x)=−∫

IRn

∫ t


∫IRnV (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ (4.3)

Demonstratie. Fixam arbitrar x ∈ IRn si luam bila B(0, R) cu centrul ın originesi raza R suficient de mare astfel ıncat bila contine ın interior punctul x. Scriemapoi formula lui Riemann-Green pentru aceasta bila, pentru perechea de functiiv = V (t, τ, x, ξ) si u = u(t, x), unde u(t, x) este solutia problemei (4.1)

u(t, x)=−∫B(0,R)

∫ t


∫B(0,R)

V (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ+

+∫∂B(0,R)

∫ t

0

[V (t, τ, x, ξ)

∂u(τ, ξ)

∂ν−u(τ, ξ)

∂V (t, τ, x, ξ)

∂ν

]dτdσξ.

(4.4)

Am presupus ca u si uxi sunt functii marginite (deoarece u este o solutia cla-sica pentru problema (4.1)). Atunci, luand ın consideratie proprietatile functiei


V (t, τ, x, ξ), putem arata ca daca R→∞, ultima integrala din (4.4) tinde la zero.Ca sa ne atingem acest scop, scriem ultima integrala din (4.4) ın forma

∫∂B(0,R)

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)

∂u(τ, ξ)

∂νdτdσξ −

−∫∂B(0,R)

∫ t

0

∂V (t, τ, x, ξ)

∂νu(τ, ξ)dτdσξ = I1 + I2. (4.5)

Atunci

|I1| ≤ c0

∫∂B(0,R)

∫ t

0

1(√t− τ

)n exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

dτdσξ,unde

c0 =1

(2√π)

n sup∂u

∂ν

si acest supremum exista deoarece u este o functie marginita.Este clar ca

|xk − ξk| ≤ r = |ξx| =

√√√√ n∑i=1

(xi − ξi)2.

Putem alege raza bilei R astfel ca pentru x fixat arbitrar, x ∈ IntB(0, R) siξ ∈ ∂B(0, R), sa avem |ξx| > R/2.Folosind aceste estimari, pentru I1 obtinem

|I1| ≤ c0

∫∂B(0,R)

∫ t

0

1(√t− τ

)n e− R2

16(t−τ)dτdσξ.

Cat priveste derivata functiei V (t, τ, x, ξ) ın directia normalei, avem estimarea∣∣∣∣∣∂V∂ν∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑k=1

∂V

∂xkcosαk

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣n∑k=1

∂V

∂xk

∣∣∣∣∣ ,De aceea, pentru I2 obtinem

|I2|≤c1

∫∂B(0,R)

∫ t

0

n∑i=1

|xi − ξi| (t−τ)−n+22 exp

−n∑i=1

(xi − ξi)2

4(t− τ)

dτdσξ.


Tinand cont de aceste estimari, rezulta

|I2| ≤ c2

∫∂B(0,R)

∫ t

0

r

(t− τ)(n+2)/2e−

r2

4(t−τ)dτdσξ ≤

≤ c2R∫∂B(0,R)

∫ t

0

1

(t− τ)(n+2)/2e−

R2

16(t−τ)dτdσξ,

unde c1 este obtinut din supremum-ul functiei u iar c2 = nc1.Daca facem schimbarea de variabila

t− τ =R2

16σ2⇒ dτ =

R2

8σ3dσ,

atunci pentru I2 avem

|I2| ≤ c31

Rn−1

∫∂B(0,R)

∫ ∞R

4√t

σn−1e−σ2

dσdσξ =

= c3ωn

∫ ∞R

4√t

σn−1e−σ2

dσdσξ

O estimare analoaga se poate obtine si pentru integrala I1, folosind aceiasi schim-bare de variabila. Integrand de n− 1 ori prin parti, se va obtine

limR→∞

∫ ∞R

4√t

σn−1e−σ2

dσdσξ = 0.

De aceea, I1 si I2 tind la zero, pentru R→∞. Daca trecem la limita cu R→∞ ın(4.5), obtinem ca integrala din membrul stang tinde la zero. Asadar, daca trecemla limita cu R→∞ ın (4.4), obtinem forma dorita (4.3) a solutiei si demonstratiateoremei este ıncheiata.

Formula (4.3) este numita formula lui Poisson pentru reprezentarea solutieiproblemei Cauchy (4.1). Cu ajutorul formulei lui Poisson se poate demonstraunicitatea solutiei clasice pentru problema (4.1).

Teorema 4.2 Problema Cauchy (4.1) admite cel mult o solutie clasica.

Demonstratie. Presupunem, prin absurd, ca problema (4.1) admite doua solutiiclasice, sa spunem u1(t, x) si u2(t, x). Deci:


(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × IRn,

ui(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ IRn,


unde i = 1, 2. Definim functia v(t, x) prin v(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x). atunci

∆v(t, x)− ∂v

∂t(t, x) = f(t, x)− f(t, x) = 0,

v(0, x) = u1(0, x)− u2(0, x) = ϕ(x)− ϕ(x) = 0. (4.6)

Asadar, am obtinut o noua problema Cauchy cu f ≡ 0 si ϕ ≡ 0. In conformitate cuteorema 4.1, daca o problema Cauchy admite o solutie, atunci solutia are neaparatforma (4.3). Daca scriem formula (4.3) si luam ın consideratie ca f ≡ 0 si ϕ ≡ 0,atunci obtinem v(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × IRn astfel ıncat u1(t, x) = u2(t, x) sidemonstratia se ıncheie.A ramas sa demonstram ca functia u din (4.3) este efectiv o solutie pentru problemaCauchy 4.1. Acesta este obiectivul teoremei care urmeaza, pe care, ın consecinta,o putem numi teorema de existenta.

Teorema 4.3 Presupunem ındeplinite urmatoarele conditii:(i) functiile f(t, x), ∂f

∂xi(t, x), ∂2f

∂x2i(t, x) sunt continue si marginite pe TT × IRn,

adica,

f(t, x),∂f

∂xi(t, x),

∂2f

∂x2i

(t, x) ∈ C(TT × IRn) ∩B(TT × IRn);

(ii) functiile ϕ(t, x), ∂ϕ∂xi

(t, x), ∂2ϕ∂x2i

(t, x) sunt continue si marginite pe TT × IRn,

adica,

ϕ(t, x),∂ϕ

∂xi(t, x),

∂2ϕ

∂x2i

(t, x) ∈ C(TT × IRn) ∩B(TT × IRn).

Atunci functia u din (4.3) este efectiv o solutie pentru problema Cauchy (4.1), sianume, o solutie marginita pe TT × IRn.

Demonstratie. Definim integrala I1 prin

I1 =∫

IRnV (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ,

si aratam ca I1 verifica problema

∆u(t, x)− ∂u

∂t(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × IRn,

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ IRn. (4.7)

De asemenea, sa aratam ca integrala I2

I2 =∫

IRn

∫ t

0V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dτdξ,


verifica problema

∆u(t, x)− ∂u

∂t(t, x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ TT × IRn,

u(0, x) = 0, ∀x ∈ IRn.

Atunci, va fi evident ca I1 + I2, adica, u din (4.3), verifica problema Cauchy (4.1).Deoarece ϕ este marginita si continua, avem

|I1| ≤ ‖ϕ‖∫

IRnV (t, 0, x, ξ)dξ = ‖ϕ‖ ,

ceea ce demonstreaza ca integrala I1 este convergenta si, de aceea, putem derivasub integrala. Atunci

∆I1 −∂I1

∂t=∫

IRn

(∆V − ∂V

∂t

)ϕ(ξ)dξ = 0,

unde am luat ın consideratie proprietatile functiei V (t, τ, x, ξ).Pe de alta parte, din proprietatile functiei V (t, τ, x, ξ), avem

limt→0

I1 = limt→0

limR→∞

∫IRn

V (t, 0, x, ξ)ϕ(ξ)dξ = ϕ(x),

deoarece bila B(0, R) are raza R suficient de mare, astfel ıncat punctul x estecontinut ın interior bilei.Ca si ın cazul lui I1, se poate arata ca integrala I2 este convergenta si atunci putemderiva sub integrala astfel ıncat

∆xI2 = −∫ t

0

∫IRn

∆xV (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dξdτ. (4.8)

In cazul derivatei ın raport cu t, avem o integrala cu parametru:

∂I2

∂t=−

∫IRnV (t, t, x, ξ)f(t, ξ)dξ−

∫IRn

∫ t

0

∂V (t, τ, x, ξ)

∂τf(τ, ξ)dξdτ. (4.9)

Pentru prima integrala din membrul drept al relatiei (4.9) avem, de fapt

limτ→t−

limR→∞

∫B(0,R)

V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dξ = f(t, x),

ın conformitate cu prima parte a teoremei 2.7 (paragraful 8.2).Atunci, formula (4.9) devine

∂I2

∂t= −f(t, x)−

∫IRn

∫ t

0

∂V (t, τ, x, ξ)

∂τf(τ, ξ)dξdτ,


relatie care, ımpreuna cu (4.8), conduc la

∆xI2 −∂I2

∂t= f(t, x)−

−∫

IRn

∫ t

0

[∆xV (t, τ, x, ξ)− ∂V (t, τ, x, ξ)

∂τ

]f(τ, ξ)dτdξ.

Dar

∆xV (t, τ, x, ξ)− ∂V (t, τ, x, ξ)

∂τ= 0,

si atunci relatia anterioara devine

∆xI2 −∂I2

∂t= f(t, x).

De aceea, este clar ca

limt→0

I2 =∫ 0

0

∫IRn

V (t, τ, x, ξ)f(τ, ξ)dξdτ = 0,


La sfarsitul acestui paragraf, vom rezolva o problema Cauchy, atasata ecuatieicaldurii, ıntr-un caz particular.

Fie B = [0, T ] × (−∞,∞) o banda, unde T este un numar pozitiv fixat, carepoate fi si ∞. Consideram ecuatia

∂2u

∂x2− ∂u

∂t= 0, ∀(t, x) ∈ B. (4.10)

Daca functia u(t, x), definita pe banda B, are derivatele ∂2u/∂x2 si ∂u/∂t continueın interiorul benzii si u(t, x) satisface ecuatia (4.10), spunem ca functia u(t, x) esteo solutie regulata a ecuatiei (4.10).Atunci, problema Cauchy consta ın determinarea unei solutii regulate a ecuatiei(4.10) care sa satisfaca conditia initiala:

u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ (−∞,−∞), (4.11)

unde functia ϕ(x) este o functie reala data, continua si marginita.Vom demonstra ca functia u(t, x), definita prin

u(t, x) =1

2√πt

∫ ∞−∞

ϕ(ξ)e−(ξ−x)2

4t dξ, (4.12)


este solutie a problemei Cauchy (4.10), (4.11).Este bine cunoscut faptul ca integrala din (4.12) este uniform convergenta ıntr-o vecinatate a unui punct arbitrar (t, x) din interiorul benzii B. Daca facemschimbarea de variabila ξ = x+ 2η

√t, formula (4.12) devine:

u(t, x) =1√π

∫ ∞−∞

ϕ(x+ 2η√t)e−η

2

dη. (4.13)

Deoarece ϕ este continua si marginita, avem

sup−∞<x<∞

|ϕ(x)| < M, M > 0.

Integrala din (4.13) este absolut convergenta si atunci

|u(t, x)| < M√π

∫ ∞−∞

e−η2

dη =M√π

√π = M.

Integralele obtinute prin derivare sub integrala ın (4.12), ın raport cu x si cu t,sunt uniform convergente. Pe de alta parte, functia

1√te−

(ξ−x)24t , t > 0,

satisface, evident, ecuatia (4.10). Aceste estimari asigura faptul ca functia udefinita ın (4.12) satisface ecuatia (4.10).Folosind din nou uniforma convergenta a integralei ıntr-o vecinatate a oricaruipunct (t, x), cu t > 0, din interiorul benzii B, putem trece la limita, cu t → 0, ın(4.13), de unde rezulta

limt→0

u(t, x) = ϕ(x).

Astfel, vom obtine imediat unicitatea si stabilitatea solutiei regulate pentru prob-lema Cauchy mai sus formulata.Se poate arata ca solutia regulata a ecuatiei (4.10), satisface inegalitatea

m ≤ u(t, x) ≤M,

unde

m = infu(0, x) : x ∈ (−∞,∞), M = supu(0, x) : x ∈ (−∞,∞).

Apoi se poate folosi functia v(t, x) = 2t+x2, care evident este o solutie particularaa ecuatiei (4.10).

Capitolul 9

Ecuatii eliptice

9.1 Formule introductive

Sa consideram un domeniu regulat din spatiul trei-dimensinal R3, avand frontieraS = ∂D care este presupusa suprafata Liapunov.

In Analiza Matematica clasica este demonstrata (si foarte utilizata) urmatoareaformula care face legatura ıntre integrala de suprafata si integrala de volum:∮S[P (x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)]dxdy=

∫D

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dxdydz,

numita formula Gauss-Ostrogradski- Green.In cele ce urmeaza vom deduce unele forme particulare ale acestei formule, utile

ın teoria ecuatiilor eliptice.Fie ϕ o functie scalara, ϕ = ϕ(x, y, z), ϕ ∈ C1(D), D ⊂ R3. Atasam acestei

functii operatorul diferential, notat cu ”grad”

gradϕ =∂ϕ

∂x~i+

∂ϕ

∂y~j +

∂ϕ

∂z~k

numit gradientul functiei ϕ. De remarcat ca operatorul gradient se aplica uneifunctii scalare iar rezultatul este un vector. Acum, sa consideram o functie vecto-riala ~V = ~V (x, y, z) = ~V (V1, V2, V3) astfel ıncat Vi = Vi(x, y, z) ∈ C1(D), D ⊂ R3.Pentru aceasta functie vectoriala putem atasa doi operatori diferentiali, si anume,”operatorul divergenta”, notat cu ”div”, si ”operatorul rotor”, notat cu ”rot”, dupacum urmeaza

div~V =∂V1

∂x+∂V2

∂y+∂V3

∂z,

rot~V =

(∂V3

∂y− ∂V2

∂z

)~i+

(∂V1

∂z− ∂V3

∂x

)~j +

(∂V2

∂x− ∂V1

∂y

)~k.

289

290 CAPITOLUL 9. ECUATII ELIPTICE

De aceea, daca consideram functiile P (x, y, z), Q(x, y, z) si R(x, y, z) ca fiind com-ponentele unei functii vectoriale

~V (x, y, z) = P (x, y, z)~i+Q(x, y, z)~j +R(x, y, z)~k

atunci formula Gauss-Ostrogradski-Green, de mai sus, poate fi rescrisa ın forma∮S

~V ~ndσ =∫Ddiv~V dv, dv = dxdydz, (1.1)

unde ~n este normala exterioara la suprafata S care margineste domeniul D.Aceasta normala este definita prin

~n = (n1, n2, n3) = (cosα, cos β, cos γ) = (cos(x, ~n), cos(y, ~n), cos(z, ~n)).

Pentru doua functii scalare ϕ(x, y, z) si ψ(x, y, z) astfel ıncat ϕ, ψ ∈ C2(D), se

considera functia vectoriala ~V definita prin

~V = ϕ.gradψ.

Atunci produsul scalar ~V .~n devine

~V .~n = ϕ.gradψ~n = ϕ.dψ

dn,

deoarecedψ

dn=∂ψ

∂xn1 +

∂ψ

∂yn2 +

∂ψ

∂zn3.

Cu aceste calcule (1.1) devine∮Sϕdψ

dndσ =

∫Ddiv (ϕgradψ) dv. (1.2)

Sa introducem acum un nou operator diferential vectorial, ∇, numit nabla si definitprin:

∇ =∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k.

Atunci toti operatorii definiti anterior ”grad”, ”div” si ”rot” pot scrisi cu ajutoruloperatorului ”nabla”, dupa cum urmeaza:

gradϕ = ∇ϕ, div~V = ∇.~V , rot~V = ∇× ~V .

De asemenea, avem urmatoarele rezultate

∇.(ϕ.∇ψ) = ∇ϕ.∇ψ + ϕ∇(∇ψ) = gradϕ.gradψ + ϕ∆ψ,

9.2. POTENTIALI 291

deoarece

∇(∇ψ) =∂

∂x

(∂ψ

∂x

)+

∂

∂y

(∂ψ

∂y

)+

∂

∂z

(∂ψ

∂z

)=∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2= ∆ψ

Acum, relatia (1.2) poate fi reformulata dupa cum urmeaza∮Sϕdψ

dndσ =

∫D

(gradϕgradψ + ϕ∆ψ) dv, (1.3)

cunoscuta sub numele prima formula a lui Green.Pentru functia vectoriala ~V = ψgradϕ prima formula a lui Green devine∮

Sψdϕ

dndσ =

∫D

(gradψgradϕ+ ψ∆ϕ) dv. (1.4)

Scadem acum, membru cu membru, formulele (1.4) si (1.3) si atunci obtinem

∮S

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dσ =

∫D

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dv, (1.5)

cunoscuta sub numele de a doua formula a lui Green.

9.2 Potentiali

Consideram functia scalara ϕ = ϕ(x, y, z) astfel ıncat ϕ ∈ C2(D), D ⊂ R3 sidomeniul Ω cu urmatoarele proprietati:

i) Ω este marginit de suprafata regulata Σ = ∂Ω;ii) Σ are normala continua orientata spre exteriorul lui Ω;iii) Ω = Ω ∪ Σ, Ω ⊂ D.

Deoarece ϕ ∈ C2(D) si Ω ⊂ D deducem ca ϕ ∈ C2(Ω).

Definitia 2.1 Prin definitie, urmatoarele integrale

1

4π

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ, − 1

4π

∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ, − 1

4π

∫Ω

1

r∆ϕdσ, (2.1)

se numesc potential de suprafata de simplu strat, potential de suprafata de dublustrat si potential de volum, respectiv.

Aici r este distanta euclidiana r =√x2 + y2 + z2.


Teorema 2.1 Fie ϕ o functie scalara, ϕ ∈ C2(D), domeniul Ω avand proprietatilede mai sus si M0 un punct fixat arbitrar ın domeniul Ω. Atunci avem

ϕ(M) = ϕ(x, y, z) =1

4π

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − 1

4π

∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ − 1

4π

∫Ω

1

r∆ϕdv, (2.2)

∀M ∈ Ω, unde r=√

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2, M0 =M0 (x0, y0, z0) .

Demonstratie. Deoarece M ∈ Ω si Ω este un domeniu deducem ca exista o bilaB(M,%) astfel ıncat B(M,%) ⊂ Ω, unde B(M,%) = B(M,%) ∪ S(M,%). Aici amnotat cu S(M,%) sfera cu centrul M si raza %.

Pe domeniul Ω \ B(M,%) aplicam a doua formula a lui Green (1.5) pentruperechea de functii ϕ si ψ = 1/r:∮

∂(Ω\B)

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dσ =

∫Ω\B

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dv.

Dar ∂(Ω \B

)= Σ ∪ S. De asemenea, este bine cunoscut faptul ca

∆ψ = ∆1

r= 0,

astfel ıncat egalitatea precedenta devine∮Σ∪S

(ϕd

dn

1

r− 1

r

dϕ

dn

)dσ = −

∫Ω\B

1

r∆ϕdv. (2.3)

Sa facem unele estimari asupra membrului stang al relatiei (2.3), pe care ıl notamcu IL. Mai ıntai, observam ca

IL =∮

Σ∪S

(ϕd

dn

1

r− 1

r

dϕ

dn

)dσ =

=∮

Σ

(ϕd

dn

1

r− 1

r

dϕ

dn

)dσ −

∮S

(ϕd

dn

1

r− 1

r

dϕ

dn

)dσ.

Pe de alta parte, pe sfera S(M,%) avem

r = %, n = − rr,

d

dn

(1

r

)= n.grad

(1

r

)= − r

r

(− 1

r2

r

r

)=

1

r2|S =

1

%.

De aceea, putem sa scriem

IL =1

%2

∮Σϕdσ − 1

%

∮S

dϕ

dndσ. (2.4)

9.2. POTENTIALI 293

Deoarece ϕ ∈ C2(D) deducem ca

ϕ

dn∈ C1(D),

astfel ıncat putem folosi teorema de medie ın ambii membri ai relatiei (2.4) sideducem ca exista punctele Q1, Q2 ∈ S astfel ıncat

IL =1

%2ϕ(Q1)4π%− 1

%4π%

dϕ

dn(Q2).

Aici putem trece la limita cu %→ 0 si obtinem

lim%→0

[4πϕ(Q1)− 4π%

dϕ

dn(Q2)

]= 4πϕ(M),

deoarece, daca %→ 0 atunci sfera S(M,%) se reduce la punctul M .Acum, facem unele evaluari asupra membrului drept al relatiei (2.3). Mai

ıntai, sa observam ca deoarece ϕ ∈ C2(D) deducem ca ∆ϕ ∈ C0(D), adica, ∆ϕeste o functie continua. De asemenea, functia distanta r este continua, astfel ıncatfunctia ∆ϕ/r este continua. In conformitate cu teorema lui Weierstrass, o functiecontinua definita pe o multime ınchisa este marginita, astfel ca putem sa scriem∣∣∣∣∫

B

1

r∆ϕdv

∣∣∣∣ ≤ ∫B

∣∣∣∣1r∆ϕ∣∣∣∣ dv ≤M

∫Bdv = 4π%3M

Asadar, deducem ca

lim%→0

∫B

(−1

r∆ϕ

)dv ≤ lim

%→04π%3M = 0.

In concluzie, trecand la limita ın (2.3), pentru %→ 0, suntem condusi la

lim%→0

[∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ −

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − IL

]=

= lim%→0

[∫Ω−1

r∆ϕdv −

∫B−1

r∆ϕdv

].

Atunci, ∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ −

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − 4πϕ(M) =

∫Ω−1

r∆ϕdv,

astfel ıncat, ın final, avem formula dorita a potentialilor:

ϕ(M) =1

4π

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − 1

4π

∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ − 1

4π

∫Ω

1

r∆ϕdv,

si teorema este demonstrata.O consecinta imediata a acestei teoreme este data ın corolarul care urmeaza.


Corolarul 2.1 Daca functia scalara ϕ este o functie armonica, adica, ∆ϕ = 0,atunci formula potentialilor se reduce la

ϕ(M) =1

4π

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − 1

4π

∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ,

Demonstratie. Este usor de vazut ca aceasta egalitate se obtine imediat dinformula (2.2) luand ın consideratie faptul ca ∆ϕ = 0.

Concret, aceasta relatie spune ca pentru a obtine valorile unei functii armoniceϕ, ıntr-un punct din interiorul domeniului unde functia ϕ este armonica, estesuficient sa stim valorile functiei pe frontiera acestui domeniu.

Un alt rezultat foarte important care se deduce din formula celor trei potentiali,valabil, de asemenea, ın cazul functiilor armonice, este demonstrat ın teoremaurmatoare si este cunoscut sub numele formula valorii medii a lui Gauss.

Teorema 2.2 Consideram ϕ o functie armonica pe domeniul D ⊂ R3 si un punctarbitrar M ∈D. Fie bila B(M,R) astfel ıncat B(M,R)∪S(M,R)=B(M,R) ⊂ D.Atunci valoarea functiei ϕ ın punctul M este media valorilor luate de functia ϕ pesfera S(M,R):

ϕ(M) =1

4πR2

∮Sϕ(P )dσ.

Demonstratie. In cazul particular cand functia ϕ este armonica, formula celortrei potentiali capata forma:

ϕ(M) =1

4π

∮Σ

1

r

dϕ

dndσ − 1

4π

∮Σϕd

dn

(1

r

)dσ. (2.5)

Dar, pe sfera S(M,R) avem

r = R, n =n

r,

d

dn

(1

r

)= n.grad

(1

r

)=r

r

(− 1

r2

r

r

)= − 1

r2|S = − 1

R2.

Cu ajutorul acestui estimari, (2.5) devine

ϕ(M) =1

4πR

∮Σ

dϕ

dndσ +

1

4πR2

∮Σϕdσ. (2.6)

Acum, folosim a doua formula a lui Green pentru bila B(M,R) avand ca frontierasfera S(M,R) si pentru perechea de functii ϕ, care este armonica, si ψ ≡ 1:∮

Σ

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dσ =

∫B

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dv.

9.2. POTENTIALI 295

Deoarece ∆ϕ = 0, ∆ψ = 0 si dψ/dn = 0, egalitatea anterioara conduce la

∮Σ

dϕ

dndσ = 0.

Substituind acest rezultat ın (2.6) obtinem

ϕ(M) =1

4πR2

∮Sϕ(P )dσ,

adica, tocmai formula lui Gauss si teorema este demonstrata.

Un rezultat foarte util este principiul de min-max pentru functiile armonicedemonstrat ın teorema urmatoare.

Teorema 2.3 Daca ϕ este o functie armonica pe un domeniu ınchis Ω = Ω∪ ∂Ωsi functia ϕ nu este functie constanta, atunci ϕ ia valoarea sa minima precum sivaloarea sa maxima pe frontiera ∂Ω a domeniului Ω.

Demonstratie. Presupunem ca functia ϕ nu este constanta si sa demonstramca ϕ ia valoarea sa maxima pe frontiera ∂Ω domeniului Ω. Demonstratia estesimilara ın cazul valorii minime. Presupunem, prin absurd, ca exista un punct M0

ın interiorul domeniului Ω astfel ıncat valoarea maxima a functiei ϕ este valoareaın acest punct, adica, ϕ(M0) > ϕ(M), ∀M ıntr-o vecinatate a lui M0. Consideramo sfera cu centrul ın M0 care contine toate punctele pentru care ϕ(M0) > ϕ(M).Atunci ∮

Sϕ(M0)dσ >

∮Sϕ(M)dσ ⇒ ϕ(M0)

∮Sdσ >

∮Sϕ(M)dσ.

In ceea ce priveste ultima integrala, folosim formula lui Gauss si deducem ca

ϕ(M0)4πR2 > ϕ(M0)4πR2 ⇒ ϕ(M0) > ϕ(M0),

care este o contradictie, si teorema este demonstrata.

Observatie. Restrictia impusa functiei ϕ de a nu fi functie constanta nu esteesentiala, este necesara numai pentru metoda de demonstratie. Daca functia ϕ esteconstanta atunci valoarea sa ıntr-un punct este aceiasi ın ambele cazuri: atuncicand punctul este ın interiorul domeniului si ın cazul cand punctul este pe fron-tiera. Asadar, putem spune ca valoarea sa minima si valoarea maxima sunt luatepe frontiera.


9.3 Probleme la limita

Problemele pentru ecuatiile diferentiale cu derivate partiale de tip eliptic nu contindate initiale deoarece aceste ecuatii modeleaza fenomene stationare. Pe scurt, ıncontextul euatiilor eliptice, problemele constau ın determinarea unor functii careın interiorul unui domeniu satisfac o ecuatie diferentiala cu derivate partiale de tipeliptic iar pe frontiera domeniului aceste functii au o comportare cunoscuta. Incele mai multe studii dedicate ecuatiilor eliptice sunt folosite urmatoarele tipuride conditii la limita:

- i) conditia lui Dirichlet cand valoarea functiei pe frontiera domeniului esteprescrisa;

- ii) conditia lui Neumann cand este prescrisa pe frontiera valoarea derivateifunctiei ın directia normalei;

- iii) conditia mixta cand valoarea functiei este prescrisa pe o parte a frontiereiiar pe restul frontierei este prescrisa valoarea derivatei functiei ın directia normalei.In consecinta, exista trei tipuri de probleme cu date la limita (sau mai scurt,probleme la limita):

- i) problema Dirichlet:

∆u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω ⊂ R3,

u|∂Ω = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω; (3.1)

unde functiile f si g sunt date;- ii) problema Neumann:

∆u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω ⊂ R3,

du

dn|∂Ω = h(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω; (3.2)

unde functiile f si h sunt date;- iii) problema mixta:

∆u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω ⊂ R3,

u|Σ1 = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ Σ1; (3.3)

du

dn|Σ2 = h(x, y, z), (x, y, z) ∈ Σ2;

unde functiile f , g si h sunt date si Σ1 ∪ Σ2 = ∂Ω.Vom studia, mai ıntai, problema Dirichlet (3.1). Ne propunem sa demonstram

ca problema Dirichlet are cel mult o solutie.


Teorema 3.1 Solutia problemei Dirichlet este unica.

Demonstratie. Presupunem ca problema Dirichlet are doua solutii, sa spunemu1(x, y, z) si u2(x, y, z), care corespund la acelasi membru drept, adica

∆u1 = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω

u1 = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω,

si

∆u2 = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω

u2 = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω.

Notam cu u(x, y, z) diferenta acestor solutii, u(x, y, z) = u1(x, y, z) − u2(x, y, z).Intentionam sa demonstram ca

u(x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ Ω.

Mai ıntai, avem∆u = ∆u1 −∆u2 = f − f = 0,

astfel ıncat functia u este armonica.Pe de alta parte, pentru orice (x, y, z) ∈ ∂Ω avem

u(x, y, z) = u1(x, y, z)− u2(x, y, z) = g(x, y, z)− g(x, y, z) = 0.

Sa presupunem exista un punct (x0, y0, z0) astfel ıncat u(x0, y0, z0) 6= 0. Fara a re-strange generalitatea, presupunem ca u(x0, y0, z0) > 0. Dupa cum am demonstratdeja, u este a functie armonica si atunci putem aplica principiul de min-max pen-tru functiile armonice cu ajutorul caruia deducem ca valoarea maxiima a functieiu este atinsa pe frontiera. Dar pe frontiera functia u ia numai valori nule. Cuaceasta contradictie teorema este demonstrata. Trebuie sa spunem ca ın cazulın care u(x0, y0, z0) < 0, folosim aceiasi principiul de min-max dar ın raport cuvaloarea minima. Daca u este o functie constanta atunci u ia aceiasi valoare, saspunem C, ın toate punctele domeniului Ω, inclusiv pe frontiera. Dar pe frontieravaloarea lui u este zero, de aceea deducem ca C = 0. Asta ınseamna ca u = 0 siatunci u1 = u2.

In ceea ce priveste problema Neumann, vom demonstra ca solutia sa nu esteunica. Mai exact, vom demonstra ca diferenta a oricaror doua solutii ale problemeiNeumann este o constanta.

Teorema 3.2 Solutia problemei Neumann este determinata pana la constantaaditiva.


Demonstratie. Consideram doua solutii ale problemei Neumann, care corespundla aceiasi functie ”membru drept” si la aceiasi conditie initiala, adica

∆u1 = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω

du1

dn= g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω,

si

∆u2 = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω

du2

dn= g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω.

Notam cu u(x, y, z) diferenta acestor solutii, u(x, y, z) = u1(x, y, z) − u2(x, y, z).Intentionam sa demonstram ca

u(x, y, z) = C = constant, ∀(x, y, z) ∈ Ω.

Mai ıntai, avem∆u = ∆u1 −∆u2 = f − f = 0,

astfel ıncat functia u este armonica.Pe de alta parte, pentru orice (x, y, z) ∈ ∂Ω avem

du

dn=du1

dn(x, y, z)− du2

dn(x, y, z) = g(x, y, z)− g(x, y, z) = 0.

Acum, reamintim prima formula a lui Green:∮Σϕdψ

dndσ =

∫Ω

(grad ϕ.grad ψ + ϕ∆ψ) dv.

Scriem aceasta formula pentru perechea de functii ϕ = ψ = u si obtinem∮Σudu

dndσ =

∫Ω

[(grad u)2 + u∆u

]dv.

Dar

∆u = 0, ın Ω,du

dn= 0, pe ∂Ω,

astfel ıncat relatia anterioara se reduce la∫Ω

(grad u)2 dv = 0.

Asadar, avem

grad u = 0⇒ ∂u

∂x~i+

∂u

∂y~j +

∂u

∂z~k = 0⇒


⇒ ∂u

∂x= 0,

∂u

∂y= 0,

∂u

∂z= 0.

Atunci deducem ca functia nu depinde de variabilele x, y sau z, adica u este ofunctie constanta si teorema este demonstrata.

In cele ce urmeaza intentionam sa construim solutiile pentru problema Dirichletsi problema lui Neumann, atasate ecuatiei lui Laplace. Mai ıntai, consideramproblema Dirichlet:

∆u = 0, ın Ω,

u = f, pe S = ∂Ω.

Luand ın consideratie faptul ca ∆ = 0 si u|S = f deducem ca formula celor treipotentiali se reduce la

u(x, y, z) =1

4π

∮S

1

r

du

dndσ − 1

4π

∮Sf

1

r

d

dn

(1

r

)dσ.

Asadar, pentru ca sa aflam solutia u(x, y, z) trebuie sa eliminam, din relatia ante-rioara, expresia du/dn care este necunoscuta. Pentru aceasta introducem functiag = g(x, y, z) care satisface ecuatiile

∆g = 0, ın Ω,

g = −1

r, pe S.

Acum, aplicam a doua formula a lui Green pentru perechea de functii u si g:

∮S

(gdu

dn− udu

dn

)dσ =

∫Ω

(g∆u− u∆g) dv.

Dar ∆u = 0 si ∆g = 0 si atunci relatia anterioara se reduce la∮Sudg

dndσ =

∮Sgdu

dndσ = −

∮S

1

r

du

dndσ ⇒

⇒∮S

1

r

du

dndσ = −

∮Sudg

dndσ = −

∮Sfdg

dndσ.

cu aceste estimari formula celor trei potentiali devine

u(x, y, z) = − 1

4π

∮Sfdg

dndσ − 1

4π

∮Sfd

dn

(1

r

)dσ =

= − 1

4π

∮Sfd

dn

(g +

1

r

)dσ.


Functia g + 1/r este numita functie Green atasata domeniului Ω si este notata cuG, G = g + 1/r. Functia G satisface urmatoarea problema Dirichlet:

∆G = 0, in Ω

G|S = 0, on S = ∂Ω.

Functia Green este perfect determinata numai de domeniu. De aceea, pentru arezolva o problema Dirichlet pe un domeniu, mai ıntai, trebuie determinata functiaGreen pentru domeniul respectiv si apoi pentru solutie folosim formula:

u(x, y, z) = − 1

4π

∮SfdG

dndσ.

3.4 Functia Green pentru sfera

Consideram bila B(0, R) avand ca frontiera sfera S(0, R). Fie M0 un punct fixatarbitrar ın bila si un alt punct M1 astfel ıncat

OM0.OM1 = R2.

Pe sfera luam punctul M astfel ıncat segmentul M1M este tangent la sfera. Deaceea, avem

4OM0M ∼ 4OM1M

si putem scrie

OM0

OM=

OM

OM1

=M0M

M1M(3.4)

Folosind notatiile

OM0 = d, OM1 = d1, OM = R, M0M = r, M1M = r1,

egalitatea (3.4) devine

d

R=R

d1

=r

r1

. (3.5)

Definim functie g prin

g = −Rd

1

r1

,

3.4. FUNCTIA GREEN PENTRU SFERA 301

sau

g(M) = −OMd

1

|M1M |.

Este usor de vazut ca pentru M ∈ S(0, R) avem

g(M) = −1

r.

Mai mult, prin calcul direct, este usor sa demonstram ca functia g este armonica.De aceea, functia Green pentru sfera este

G = g +1

r=

1

r− R

d

1

r1

.

Acum, deoarece stim functia Green pentru sfera, putem sa gasim solutia problemeiDirichlet pe bila, si anume

u(x, y, z) = − 1

4π

∮SfdG

dndσ. (3.6)

Aceasta solutie va fi complet determinata daca gasim dG/dn. Avem

dG

dn= n.grad G = n

(1

r− R

d

1

r1

)=

= n(grad

1

r− grad R

dr1

)= n

[− 1

r2

r

r− R

d

(− 1

r21

r1

r1

)]=

=nr

r3+R

d

nr1

r31

.

Dar, ın cazul nostru

r = M0M = OM −OM0 ⇒ nr = n(OM −OM0

)= R− d cos θ,

r1 = M1M = OM −OM1 ⇒ nr1 = n(OM −OM1

)= R− d1 cos θ,

unde θ este unghiul MOM0. Cu aceste calcule derivata functiei G ın directianormalei devine

dG

dn=d cos θ −R

r3+R

d

R− d1 cos θ

r31

Din (3.5) obtinem

r1 =rR

d, d1 =

R2

d,


astfel ıncatdG

dn=d cos θ −R

r3+R

d

R−R2/d cos θ

1

d3

r3R3=

=1

r3

[d cos θ −R +

1

d2(d−R cos θ)

d3

R

]=

1

r3

[d cos θ −R +

d

R(d−R cos θ)

]=

=1

r3R

(d cos θ −R2 + d2 − dR cos θ

)=d2 −R2

r3R.

In final, introducem derivata functiei Green ın (3.6) si solutia problemei Dirichleteste complet determinata:

u(x, y, z) =r2 − d2

4πR

∮Sff(x, y, z)

r3dσ.

3.5 Problema Dirichlet pentru cerc

In acest paragraf dam solutia completa pentru problema Dirichlet atasata unui cerccu centru ın origine avand raza R. Cu alte cuvinte, gasim o functie u = u(x, y)care este armonica ın interior cercului si are valoare cunoscuta pe circumferintacercului:

∆u(x, y) = 0, x2 + y2 < R2,

u(x, y) = f(x, y), x2 + y2 = R2,

unde f = f(x, y) este o functie data.Mai ıntai, scriem laplacianul ın coordonate polare:

x = r cos θ, y = r sin θ, unde r =√x2 + y2, θ = arctg

y

x.

Calculam derivatele functiei u:

∂u

∂x=∂u

∂r

x

r− ∂u

∂θ

y

r2

∂u

∂y=∂u

∂r

y

r+∂u

∂θ

x

r2

astfel ca derivatele de ordinul doi sunt

∂2u

∂x2=x2

r2

∂2u

∂r2− 2xy

r3

∂2u

∂r∂θ+y2

r4

∂2u

∂θ2+r2 − x2

r3

∂u

∂r+

2xy

r4

∂u

∂θ

3.5. PROBLEMA DIRICHLET PENTRU CERC 303

∂2u

∂y2=y2

r2

∂2u

∂r2+

2xy

r3

∂2u

∂r∂θ+x2

r4

∂2u

∂θ2+r2 − y2

r3

∂u

∂r− 2xy

r4

∂u

∂θ.

Laplacianul ın coordonate polare devine

∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=∂2u

∂r2+

1

r2

∂2u

∂θ2+

1

r

∂u

∂r,

astfel ıncat gasim urmatoarea forma pentru ecuatia lui Laplace:

r2∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0.

Ca o consecinta, problema Dirichlet poate fi scrisa ın forma

r2∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0, r < R,

u(r, θ) = f(θ), r = R.

Pentru a gasi solutia acestei probleme folosim metoda separarii variabilelor, adicavom cauta solutia ın forma:

u(r, θ) = V (r).W (θ).

Atunci, pentru derivatele functiei u gasim expresiile:

∂u

∂r= V ′.W,

∂2u

∂r2V ′′.W,

∂u

∂θ= V.W ′,

∂2u

∂θ2V.W ′′,

astfel ıncat ecuatia lui Laplace devine

r2V ′′.W + rV ′.W + V.W ′′ = 0.

Impartim aici cu produsul V.W si obtinem

r2V′′

V+ r

V ′

V+W ′′

W= 0⇒ r2V

′′

V+ r

V ′

V= −W

′′

W= k, k = constant

De aceea, din ecuatia lui Laplace deducem doua ecuatii diferentiale ordinare:

W ′′ − kW = 0,

r2V′′

V+ r

V ′

V= −k.


Studiem prima ecuatie. Daca presupunem ca k > 0 gasim solutia

W (θ) = C1e−√kθ + C2e

√kθ,

care nu este valabila deoarece nu este periodica. Daca avem k = 0, gasim

W ′′ = 0⇒ W (θ) = C1θ + C2,

care, de asemenea, nu este valabila deoarece nu este periodica.In cazul k < 0 folosim notatia k = −λ2 si atunci

W ′′ + λ2W = 0⇒ W (θ) = C1 cosλθ + C2 sinλθ.

Aceasta solutie este periodica daca

W (θ + 2π) = C1 cosλ(θ + 2π) + C2 sinλ(θ + 2π) =

= C1 cos(λθ + 2nπ) + C2 sin(λθ + 2nπ),

astfel ıncat λ = n, n = 1, 2, ...Asadar, gasim un numar infinit de solutii particulare de forma

Wn(θ) = An cosnθ +Bn sinnθ. (3.7)

Sa abordam acum ecuatia pentru functia V :

r2V′′

V+ r

V ′

V+ k = 0,

care, pentru valoarea de mai sus a lui k, devine

r2V ′′ + rV ′ − n2V = 0.

Avem aici o ecuatie diferentiala de ordinul doi de tip Euler ın functia necunoscutaV care depinde de variabila r. Dupa procedura de abordare a ecuatiilor Euler,facem schimbarea variabila r = et si atunci

dr = etdt⇒ dr

dt= et,

dt

dr= e−t.

In consecinta,

V ′ =dV

dr=dV

dt

dt

dr= V e−t,

V ′′ =dV ′

dr=dV ′

dte−t = e−t

(−e−tV + e−tV

)= e−2t

(V − V

).


Atunci ecuatia functiei V devine

e2t(V − V

)e−2t + etV e−t − n2V = 0⇒ V − n2V = 0,

avand solutia

V (t) = Dne−nt + Cne

nt = Dn

(et)−n

+ Cn(et)n⇒

⇒ V (r) = Dnr−n + Cnr

n.

Dar functia r−n nu exista ın origine astfel ıncat trebuie sa luam Dn = 0. Atuncisolutiile particulare au forma:

Vn = Cnrn, n = 1, 2, ...

In concluzie, luand ın consideratie solutia (3.7) pentru ecuatia lui W , ecuatia luiLaplace are solutiile particulare

un(r, θ) = Wn(θ).Vn(r) = Cnrn (An cosnθ +Bn sinnθ) ,

sau, cu conventia Cn.An → An, Cn.Bn → Bn,

un(r, θ) = (An cosnθ +Bn sinnθ) rn.

O combinatie liniara a acestor solutii particulare da solutia generala:

u(r, θ) =∞∑0

(An cosnθ +Bn sinnθ) rn,

sau

u(r, θ) =a0

2+∞∑1

(an cosnθ + bn sinnθ) rn,

unde a0 = 2A0, an = An, bn = Bn, n ≥ 1.Conditia la limita Dirichlet conduce la

u(R, θ) =a0

2+∞∑1

(Rnan cosnθ +Rnbn sinnθ) = f(θ).

Coeficientii Fourier ai acestei serii sunt

a0 =2

T

∫ T

0f(t)dt =

1

π

∫ T

0f(t)dt

Rnan =1

π

∫ T

0f(t) cosntdt, Rnbn =

1

π

∫ 2π

0f(t) sinntdt,


astfel ıncat solutia devine

u(r, θ) =1

2π

∫ 2π

0f(t)dt+

∞∑1

[1

πRncosnθ

∫ 2π

0f(t) cosntdt+

+1

πRnsinnθ

∫ 2π

0f(t) sinntdt

]rn.

Putem sa scriem solutia ın urmatoarele forme

u(r, θ) =1

2π

∫ 2π

0f(t)dt+

∞∑1

1

π

(r

R

)n ∫ 2π

0f(t) cosn(θ − t)dt =

=1

2π

∫ 2π

0f(t)dt+

1

π

∞∑1

∫ 2π

0f(t)

(r

R

)ncosn(θ − t)dt =

=1

2π

∫ 2π

0f(t)dt+

1

π

∫ 2π

0f(t)

∞∑1

(r

R

)ncosn(θ − t)dt.

In final, putem sa scriem

u(r, θ) =1

π

∫ 2π

0f(t)

[1

2+∞∑1

(r

R

)ncosn(θ − t)

]dt. (3.8)

Acum, facem unele estimari asupra seriei:

∞∑1

(r

R

)ncosn(θ − t),

prin intermediul seriei

∞∑1

(r

R

)nein(θ−t) =

∞∑1

(r

Rei(θ−t)

)n,

care este convergenta deoarece

|q| =∣∣∣∣( rR

)ei(θ−t)

∣∣∣∣ =r

R< 1.

Este bine cunoscut faptul ca suma acestei serii este q/(1− q), adica

∞∑1

(r

Rei(θ−t)

)n=

q

1− q.

Sa evaluam suma seriei:q

1− q=

rei(θ−t)

R− rei(θ−t)=


=r[cos(θ − t) + i sin(θ − t)]

R− cos(θ − t)− ir sin(θ − t)=

=r[cos(θ − t) + i sin(θ − t)][R− cos(θ − t) + ir sin(θ − t)]

[R− r cos(θ − t)]2 + r2 sin2(θ − t)=

=r[R cos(θ − t)− r + iR sin(θ − t)]

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2.

Atunci seria noastra devine

∞∑n=1

(r

R

)ncosn(θ − t) = Re

∞∑n=1

(r

R

)nein(θ−t) =

=r[R cos(θ − t)− r]

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2.

Pentru solutie obtinem urmatoarele expresii

u(r, θ) =1

π

∫ 2π

0f(t)

[1

2+

r[R cos(θ − t)− r]R2 − 2rR cos(θ − t) + r2

]dt =

=1

2π

∫ 2π

0f(t)

R2 − r2

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2dt.

In final, putem sa scriem urmatoarea forma a solutiei:

u(r, θ) =R2 − r2

2π

∫ 2π

0

f(t)

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2dt,

numita solutia Poisson pentru problema Dirichlet.Acum, aplicam forma Poisson a solutiei pentru ca sa obtinem solutia ıntr-o aplicatieconcreta, foarte utila.

Aplicatie.

Sa gasim distributia unui camp electric ıntr-un disc plan stiind ca acesta are val-oarea 1 pe jumatatea superioara a circumferintei si 0 pe jumatatea inferioara acircumferintei.

Solutie. Aplicam formula lui Poisson pentru functia

f(t) =

1, t ∈ [0.π]0, t ∈ (π.2π].


Atunci forma de mai sus a solutiei devine

u(r, θ) =R2 − r2

2π

∫ 2π

0

1

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2dt.

Pentru a calcula integrala facem schimbarea de variabila:

tgt− θ

2= τ ⇒ t− θ = 2arctg τ ⇒ dt =

2

1 + t2dτ.

De asemenea, deoarece t ∈ [0, π], deducem

τ ∈[−tg

θ

2, ctg

θ

2

].

Integrantul devine

R2 − 2rR1− τ 2

1 + τ 2+ r2 =

(R− r)2 + τ 2(R + r)2

1 + τ 2,

astfel ıncat solutia capata formele:

u(r, θ) =R2 − r2

2π

∫ ctg θ/2

−tg θ/2

1 + τ 2

(R− r)2

[1 +

(R+rR−rτ

)2] 2

1 + τ 2dτ =

=1

π

∫ ctg θ/2

−tg θ/2

R + r

R− r1

1 +(R+rR−rτ

)2dτ =1

πarctg

R + r

R− rτ |ctg θ/2−tg θ/2 =

=1

π

[arctg

R + r

R− rctg θ/2 + arctg

R + r

R− rtg θ/2

].

In final, gasim solutia:

u(r, θ) =1

πarctg

r2 −R2

2rR sin θ.

3.6 Problema Neumann

In cele ce urmeaza intentionam sa construim solutia pentru problema Neumanndefinita prin

∆u = 0, ın Ω,

3.6. PROBLEMA NEUMANN 309

du

dn= h, pe S = ∂Ω.

Luand ın consideratie faptul ca ∆ = 0 si u|S = f formula celor trei potentiali sereduce la

u(x, y, z) =1

4π

∮Sh

1

rdσ − 1

4π

∮Sud

dn

(1

r

)dσ. (3.9)

Asadar, pentru a determina solutia u(x, y, z) trebuie sa eliminam, din relatia ante-rioara, (3.9), expresia lui u din membrul drept deoarece valoarea lui u pe frontieranu este necunoscuta. Sa scriem a doua formula a lui Green∮

S

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dσ =

∫Ω

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)dv,

pentru perechea de functii ϕ = h si ψ = u:

∮S

(udh

dn− hdu

dn

)dσ = 0⇒

∮Shdu

dndσ =

∮Sudh

dndσ.

Acum, consideram functia g astfel ıncat ∆g = 0 ın Ω. In aceiasi maniera ca ınestimarile anterioare obtinem

∮S

(gdu

dn− udg

dn

)dσ = 0⇒ 1

4π

∮S

(gdu

dn− udg

dn

)dσ = 0.

Daca adunam aceasta egalitate, membru cu membru, la egalitatea (3.9) suntemcondusi la

u(x, y, z) =1

4π

∮S

[hdu

dn− udg

dn+

1

r

du

dn− u d

dn

(1

r

)]dσ =

=1

4π

∮S

[(g +

1

r

)− u d

dn

(g +

1

r

)]dσ.

Functia g+ 1/r este numita functia Green atasata domeniului Ω si este notatacu G,

G = g +1

r.

Daca impunem functiei G sa satisfaca conditia

dG

dn=

4π

A,


unde A este aria suprafetei S, atunci solutia capata forma

u(x, y, z) =1

4π

∮SGdu

dndσ − 1

4π

∮S

4π

Audσ =

=1

4π

∮SGdu

dndσ − 1

A

∮Sudσ.

Ultima integrala nu depinde de punctul M = (x, y, z), adica, integrala este oconstanta:

− 1

A

∮Sudσ = C = constanta.

Luand ın consideratie faptul ca

du

dn|S = h,

solutia problemei lui Neumann este

u(x, y, z) =1

4π

∮ShGdσ + C,

G fiind functia Green a domeniului Ω.De aceea, pentru a determina functia u trebuie, mai ıntai, sa determinam functiaGreen a domeniului si aceasta, de fapt, ınseamna determinarea functiei g care estearmonica ın domeniu iar pe suprafata S satisface conditia

dg

dn=

4π

A− d

dn

(1

r

).

Observatie.Problema lui Neumann nu admite ıntotdeauna o solutie. Sa gasim ce conditietrebuie ındeplinita ca o problema Neumann sa aiba solutie. Folosim prima formulaa lui Green: ∮

Sϕdψ

dndσ =

∫Ω

(grad ϕ.grad ψ + ϕ∆ψ) dv

pentru perechea de functii ϕ = 1 si ψ = u:∮S

du

dndσ =

∫Ω

∆udv = 0⇒∮S

du

dndσ = 0⇒

∮Shdσ = 0.

De asemenea, problema Neumann nu are ıntotdeauna solutie chiar ın cazul maigeneral cand ecuatia lui Laplace este ınlocuita cu ecuatia lui Poisson, adica ıncazul problemei:

∆u = f ın Ω

3.6. PROBLEMA NEUMANN 311

du

dn= h pe S = ∂Ω.

Intr-adevar, sa folosim prima formula Green pentru perechea de functii ϕ = 1 siψ = u: ∮

S

du

dndσ =

∫Ω

∆udv.

Atunci problema lui Neumann, atasata ecuatiei Poisson, admite o solutie daca∮Shdσ =

∫Ωfdv.

In finalul acestui paragraf indicam o procedura pentru rezolvarea problemeiNeumann ın cazul particular cand domeniul Ω este o sfera centrata ın origineavand raza R. Sa folosim coordonatele sferice:

x = r sin θ cosϕy = r sin θ sinϕz = r cos θ,

unde r ∈ [0, R], θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].Consideram numai cazul particular cand datele pe frontiera depind numai deunghiul θ, adica

du

dn|x2+y2+z2=R2 = h(θ).

Vom cauta solutia sub forma u = u(r, θ), astfel ıncat trebuie sa scriem ecuatia luiLaplace ın coordonate polare:

∂

∂r

(r2∂u

∂r

)+

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂u

∂θ

)= 0.

Acum, putem folosi metoda separarii variabilelor, adica cautam solutia sub formau(r, θ) = R(r)T (θ). Derivatele functiei u devin

∂u

∂r= R′T,

∂

∂θ= RT ′ ⇒

⇒ ∂

∂r

(r2R′T

)+

1

sin θ

∂

∂θ(sin θRT ′) = 0.

Ecuatia lui Laplace capata forma

2rR′T + r2R′′T +1

sin θ(RT ′ cos θ +RT ′′ sin θ) = 0,


sau, echivalent,

2rR′

R+ r2R

′′

R+

1

sin θ

(T ′

Tcos θ +

T ′′

Tsin θ

)= 0.

Asadar, obtinem doua ecuatii diferentiale ordinare

r2R′′

R+ 2r

R′

R= k,

1

sin θ

(T ′

Tcos θ +

T ′′

Tsin θ

)= −k

unde k este o constanta.Aceste ecuatii pot fi scrise ın forma

r2R′′ + 2rR′ − kR = 0,

T ′′ sin θ + T ′ cos θ + kT sin θ = 0,

si cititorii pot cu usurinta sa gaseasca solutiile acestor ecuatii simple.

Matematici Speciale M Marin

Documents

Transcript of Matematici Speciale M Marin