UNIDAD 1 Conjuntos y sus aplicacionesProblemas a entregar

Podrás realizar estos ejercicios a mano o en algún editor de ecuaciones, como el editor que ya tiene incluido el programa Word, si los realizas a mano deberás escanear el documento. En ambos caso debes entregar vía plataforma un archivo muy claro y legible.

Toma como ejemplo los problemas resueltos en el tema 1.5.

Deberás entregar para cada problema:1) El planteamiento2) Los datos con los que se cuenta3) El desarrollo4) Resultado5) El diagrama Venn-Euler del problema

Problemas a entregar:1. En una encuesta aplicada a estudiantes de la FCPS, se encontró que 77 de ellos ya han aprobado el idioma inglés, 44 han aprobado el idioma francés y 13 han aprobado ambos idiomas. ¿Cuántos alumnos han aprobado por lo menos un idioma?

De un determinado conjunto (U) de estudiantes encuestados que han aprobado algún idioma 77 pertenecen al subconjunto de los que han aprobado el idioma inglés; 44 al subconjunto de los que han aprobado el idioma francés, y la intersección entre ambos subconjuntos, es decir los que abrobaron ambos idiomas fueron 13.

n(U)= número total de estudiantesn(A)= número de los que han aprobado inglés = 77n(B) = número de los que han aprobado francés = 44.

n(A_B)= número de los que han aprobado ambos idiomas = 13.

Para contestar a la pregunta sobre los que han aprobado un idioma, denominado subconjunto (F), se tendrá que obtener el número de estudiantes encuestado n(U)=n(A) + n(B) - n(A_B)n(U)= 77 + 44 -13n(U)=108

Finalmente, debido a que el total de alumnos encuestados que aprobaron idiomas fueron 108, de los cuáles 13 aprobaron francés e inglés, el número de los que al menos aprobaron un idioma será:

n(F)= n(U) -n(A_B)n(F) = 95 alumnos

El diagrama de Venn Euler aplicado a este problema se representa de la siguiente manera:

2. Todos los estudiantes de primer semestre del grupo 9042 han comprado boletos para el cine, 32 compraron para la película Excentricidades de una joven rubia, 26 para El informe Toledo, y 12 para ambas películas ¿cuántos estudiantes tiene el grupo 9042?

En este problema, el conjunto se encuentra bien definido como todos los intetrantes del grupo 9042. De este conjunto (U), el subconjunto (A) está formado por 32 alumnos que compraron boletos para la pelícuola Excentricidades de una joven rubia; el subconjunto (B) por 26 alumnos que compraron boletos para El informe boleto, y el subconjunto intersección (A_B), es decir para ambas películas, está formado por 12 alumnos. Por lo tanton(U) = n(A) + n(B) - n(A_B)

n(U) = 32 + 26 - 11

n(U) = 46

Por lotanto el grupo 9041 tiene 46 alumnos.

La representación en el diagrama Venn -Euler es la siguiente:

3. El Área de Recursos Humanos de una Clínica efectúa un estudio para conocer el uso que dan sus trabajadores a los vales extra que les entregan en el mes de diciembre. Se preguntó si los vales los utilizan en la compra de comida, ropa o juguetes. Se utilizó una muestra representativa de 1000 empleados, y se obtuvo qué:

275 empleados usaron los vales en comida400 empleados usaron los vales en ropa550 empleados usaron los vales en juguetes150 empleados usaron los vales en comida y ropa110 empleados usaron los vales en comida y juguetes250 empleados usaron los vales en ropa y juguetes100 empleados usaron los vales en comida, ropa y juguetes

Determinaa) ¿Cuántos empleados utilizaron sus vales solo en comida? b) ¿Cuántos solo en ropa?c) ¿Cuántos solo en juguetes?d) ¿Cuántos empleados no utilizaron sus vales en cualquiera de estas tres mercancías?

Este problema desde un principio indica que hay un conjunto (U) que consta de 1000 empleados De este conjunto, se desprenden los subconjuntos siguiente: los que gastaron sus vales extras al fin de mes en comida (A); ropa (B), juguetes (C) y los que no lo gastaron en éstos rubros (S). El problema informa que:n(A)= 275n(B)=400n(C)=550n(A_B)= 150n(A_C)=110n(B_C)=250n(A_B_C) = 100 De esto se desprende que:

n(U) = n(A) + n(B) + n(C) -n(A_B) - n(A_C) - n(A_B_C) + n(S)

Este último término no se conoce (S).

Se responderán con esta información las preguntas formuladas:a) El número de personas sólo gastaron en juguetes, definida como el subconjunto (A') se restará del número de personas del subconjunto (A), la intersecciones entre éste y los subconjuntos B y C, y se le sumará la intersección entre los tres subconjuntos.

n(A') = n(A) - n(A_B) - n(A_C)+ n(A_B_C)

n(A')= 115

De manera análoga se realiza lo mismo para las preguntas b y c, por lo tanto:

b)n(B') = 100c)n(C') = 290

Lo que significa que 115 personas sólo gastron en comida, 100 sólo en ropa, y 290 sólo en juguetes.

Para responder al inciso d), ¿Cuántos empleados no utilizaron sus vales en cualquiera de estas tres mercancías? se emplear la ecuación ya establecida anteriormente

n(U) = n(A) + n(B) + n(C) -n(A_B) - n(A_C) - n(A_B_C) + n(S) despejando n(S)

n(S)= 1000 - 275-400 -550 +110 + 250 + 100n(S) = 185

Por lo tanto, fueron 185 personas las que no gastan en ninguna los tres rubros.

El diagrama de Venn -Euler es el siguiente:

4. La oficina de Turismo de Cancún está realizando un estudio acerca de los empleados del sector restaurantero de la entidad. Por lo pronto, se tiene una muestra válida de 692 empleados, con datos referentes a sexo, estado civil y lugar de origen:300 empleados son hombres 230 empleados(as) se encuentran casados(as), 370 empleados(as) son originarios(as) de Cancún, 150 son hombres y están casados, 180 son hombres originarios de Cancún, 90 empleados(as) originarios de Cancún están casados10 hombres solteros no son originarios de Cancún

Determina:a) El número de hombres, casados y originarios de Cancún.b) El número de mujeres, casadas y que no son originarias de Cancúnc) El número de mujeres, solteras y que no son originarias de Cancún

En este problema se conoce que existe un conjunto (U) formado por 692 empleados, de los cuáles se establecen los subconjutos: los que son hombres (A), los que están casados (B), los que son originarios de Cancún (C), e indirectamente sus complementarios: las mujeres (o los que no son hombres) (A*), los solteros (B*), los que no son de Cancún (C*). Además, el problema específicas algunas intersecciones: (A_B), (A_C), (B_C), y ( A_B*_C*). Planteando esto, las cardinalidades quedan de la siguiente manera:

n(A)= 300n(A*) = 692-300= 392n(B)= 230n(B*)= 692-230=462n(C) = 370n(C*) 692-370= 322

n(A_B)= 150n(A_C) = 180

n(C_B)= 90n(A_B*_C*) = 10

Para responder a la pregunta a), sobre cuántos son los hombres que son casados y provienen de cancún, es decir el subconjunto (A_B_C) se razona lo siguiente: como 150 son hombres y solteros (n A_B), los hombres solteros serán:

n(A_B*) = n(A) - n(A_C)(A_B*) = 300- 150 = 150 personas son hombres y solteros.

Los solteros y provenientes de Cancún serán:n(A_B*_C) = n(A_B*) - n(A_B*_C*)n(A_B*_C) = 140 solteros y de Cancún

Entonces los que son hombres,casados y de Cancún serán:

n(A_B_C )= n(A_C) - n(A_B*_C)n(A_B_C )= 40 hombres, casados y de Cancún.

Para responde a la pregunta del incisco b), sobre el número de mujeres, casadas y que no son originarias de Cancún (A*_B_C*), se razona lo siguiente: Como 392 pertenecen a A*, el número de las que están casadas será:

n(A*_B)= n(B) - n(A_B) = 230 -150 n(A*_B)= 80 mujeres casadas.

Por lo tanto

n(A*_B*) = n(A*) - n(A*_B)n(A*_B*) = 392 - 80 = 312 mujeres solteras

Conociendo que, son 90 los que son casados y de Cancún, y que ya se ha determinado que 40 de éstos son hombres, por lo tanto las mujeres casadas y que son de Cancún será:

n(A*_B_C) = 90-40 = 50 mujeres casadas de Cancún.

Entonces la respuesta a esta pregunta será:

n(A*_B_C*) =n(A*_B) -n( A_B*_C*)n(A*_B_C*)= 80 -50 = 30 mujeres casadas que no son de Cancún.

Finalmente para determinar c) El número de mujeres, solteras y que no son originarias de Cancún, se

recuerda que el número de personas originarias de Cancún son 370, de las cuales 180 son hombres, por lo tanto

n(A*_C)= 370-180 =190 mujeres son de Cancún De estas, sabemos que 50 están casadas cuando obtuvimos n(A*_B_C*), por lo tanto las mujeres solteras y de Cancún serán:

n(A*_B*_C) = 190-50 = 140 son mujeres solteras y de Cancún,

Por lo tanto

n(A*_B*_C*) = n(A*_B*) - n(A*_B*_C)

n(A*_B*_C*) = 312 - 140 = 172 mujeres, solteras y que no son de Cancún. El diagrama de Venen Euler sería el siguiente: