8 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

398

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

Se ha visto que el conjunto solución de la ecuación Ax + By + C = 0, son todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación.

En un sistema de dos ecuaciones con dos variables, que tiene la forma:

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

+ =+ ={

El conjunto solución lo forman todos los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones, es decir:

x y a x b y c x y a x b y c, ,( ) + ={ }∩ ( ) + ={ }1 1 1 2 2 2

Cada ecuación representa una recta en el plano, entonces, se pueden presentar tres casos:

I. Las rectas se intersecan en un punto. Las rectas sólo coinciden en un punto, por tanto, se dice que el sistema tiene una solución.

EjemploGrafi ca y determina la solución del siguiente sistema:

x yx y+ =− ={ 2 4

3 5

Solución

Se grafi ca cada una de las ecuaciones a partir de encontrar las intersecciones con los ejes XY.

x + 2y = 4 3x − y = 5Sea x = 0

x y+ =2 4

0 2 4( )+ =y

y= =4

22

La intersección conel eje y es: 0 2,( )

Sea y = 0

x y+ =2 4

x + ( )=2 0 4

x = 4

La intersección conel eje x es: 4 0,( )

Sea x = 0

3 5x y− =

3 0 5( )− =y

y= − 5

La intersección conel eje y es: 0 5,−( )

Sea y = 0

3 5x y− =

3 0 5x −( )=

x = 5

3

La intersección con el

eje x 5

30,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Gráfica

Y

X

x + 2y = 4

3x − y = 5

La solución es el punto donde se intersecan las rectas, en este caso (2, 1)

CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA • Sistemas de ecuaciones

399

II. Las rectas son coincidentes. Dos ecuaciones representan rectas coincidentes si al multiplicar una de ellas por un número real k, se obtiene la otra.

En un sistema de rectas coincidentes el conjunto solución es infi nito, es decir, el conjunto solución son todos los puntos de las rectas.

EjemploGrafi ca y determina el conjunto solución del siguiente sistema:

x yx y− =− ={ 2 6

3 6 18

Solución

Se grafi ca cada recta.

x − 2y = 6 3x − 6y = 18Sea x = 0

x y− =2 6

0 2 6( )− =y

y=−

= −6

23

El punto es: 0 3,−( )

Sea y = 0

x y− =2 6

x − ( )=2 0 6

x = 6

El punto es: 6 0,( )

Sea x = 0

3 6 18x y− =

3 0 6 18( )− =y

y=−18

6

y= − 3

El punto es: 0 3,−( )

Sea y = 0

3 6 18x y− =

3 6 0 18x − ( )=

x = 18

3

x = 6

El punto es: 6 0,( )

Se observa que las intersecciones de las rectas con los ejes, son los mismos puntos.

GráficaY

X

x − 2y = 6

3x − 6y = 18

Las rectas coinciden en todos sus puntos, por tanto, el sistema tiene un conjunto infi nito de soluciones.Se observa que si multiplicamos la ecuación x − 2y = 6, por 3, se obtiene la otra ecuación.

III. Las rectas son paralelas. En este caso, las rectas no tienen ningún punto en común, por tanto, el sistema no tiene solución.

EjemploGrafi ca y determina el conjunto solución del siguiente sistema:

2 44 2 12

x yx y

− =− = −{

8 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

400

Solución

Se grafi can las rectas.

2x − y = 4 4x − 2y = − 12

Sea x = 0

2 4x y− =

2 0 4( )− =y

y= − 4

El punto es: 0 4,−( )

Sea y = 0

2 4x y− =

2 0 4x −( )=

x = =4

22

x = 2

El punto es: 2 0,( )

Sea x = 0

4 2 12x y− = −

4 0 2 12( )− = −y

y=−−12

2

y= 6

El punto es: 0 6,( )

Sea y = 0

4 2 12x y− = −

4 2 0 12x − ( )= −

x =−12

4

x = − 3

El punto es: −( )3 0,

Se localizan los puntos de intersección y se grafi can las rectas.

Gráfica

2x − y = 44x − 2y = −12

Al grafi car las rectas se observa que son paralelas, es decir, no hay un punto común, por consiguiente no hay solución, entonces se dice que el conjunto solución es vacío.

EJERCICIO 81Grafi ca y determina el conjunto solución de los siguientes sistemas:

1. x yx y

+ =− ={ 2

6 3.

x yx y

− =− = −{ 5 10

3 15 15 5.

3 2 24 1

x yx y− = −+ ={ 7.

2 56 3 9

x yx y

+ =+ = −{

2. 2 3 66 9 18

x yx y

− =− ={ 4.

x yx y

+ =− = −{ 2 3

5 3 11 6.

10 6 45 3 2

x yx y

+ =+ ={ 8.

2 3 55 4 2

x yx y

+ =+ ={

⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Métodos de solución

Hasta ahora se ha visto cómo resolver de forma gráfi ca un sistema de ecuaciones con dos variables, sin embargo, este método en algunas ocasiones puede ser poco preciso, por lo que existen procedimientos algebraicos y que además de ser prácticos resultan exactos.