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MATEMÁTICAS SECUNDARIA TERCER GRADO

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para la sociedad del conocimiento

Fractal 3. MatemáticasSerie ConStruir

Primera edición, 2008Segunda edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-840-9

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

Dirección de contenidos y servicios educativosElisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolaresFelipe Ricardo Valdez González

Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar

EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloArmando Solares Rojas

Coordinador de la serieDavid Francisco Block Sevilla

AutoresSilvia García Peña, Tatiana María Mendoza van der Borch

Revisión técnicaErnesto Manuel Espinosa AsuarMaría de los Dolores Lozano SuárezJesús Rodríguez VioratoArmando Solares Rojas

ColaboraciónErnesto Manuel Espinosa Asuar (páginas 62, 63, 64, 104, 105, 106, 156, 157, 158, 192, 193, 194, 224, 225 y 226)

Coordinación de correcciónAbdel López Cruz

CorrecciónEquipo SM, Daniel García

Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto

Diseño de la serieJesús García, Pedro Castellanos

Diseño de portadaRenato Aranda, Juan Bernardo Rosado

Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García

ImagenEquipo SM

Coordinación de diagramaciónJesús Arana

DiagramaciónMaría Elena Amaro GuzmánAldo Botello BáezVíctor Hugo Romero Vargas

IlustracionesMaribel Vidals, Bertha Ramírez, Rubén NavaJudith Meléndrez, Guillermo López WirthJavier De Aquino

FotografíaArchivo SM, © 2011, Thinkstock

Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que

más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas.

También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?, las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?, ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…?

Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.

Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas.

Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos, por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura.

Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.

Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir

las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar.

l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender.

A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas.

Esperamos, como todos los autores que escriben libros para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta!

Los autores

Presentación

15

Para estudiar la caída de los cuerpos, Galileo Galilei , arrojaba objetos de distintos tamaño desde lo alto de la torre de Pisa.

Para relacionar la distancia que recorre un cuerpo en caída libre en relación con el tiempo que transcurre y la aceleración de la gravedad, se puede emplear la siguien-te expresión:

d = 12 gt2

En este bloque trabajarás expresiones como la anterior.

En este bloque estudiarás:

• expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(a + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

• los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

• las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias; la recta secante y la tangente a una circunferencia.

• la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

• la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

• la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

• diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

BLOQUE 1

76

Lección 28 Rectángulos semejantes¿Todos los rectángulos son semejantes o sólo son parecidos? En el lenguaje de las matemáticas, la palabra semejante tiene un significado más preciso que el que se le da en el lenguaje cotidiano.

1 Realicen lo siguiente:

a) Tracen un rectángulo A en el que el largo sea el triple del ancho.

b) Supongan que trazan un rectángulo B a escala 2 a 1 del rectángulo A, o sea que sus lados ten-gan el doble del tamaño. ¿Cuál será la relación entre los lados del rectángulo B? Subraya lo que creas correcto:

● En el rectángulo B el largo es seis veces el ancho.● En el rectángulo B el largo también es el triple del ancho.● En el rectángulo B el largo es el doble del ancho.

c) Tracen en su cuaderno el rectángulo B y verifiquen su respuesta anterior.

Dos rectángulos dibujados a escala son rectángulos semejantes.

d) Tracen en su cuaderno el rectángulo C semejante al rectángulo A con un factor de escala 4 a 1; verifiquen si conserva la misma relación que A y que B entre el largo y el ancho.

2 Comparen sus respuestas y lean y comenten la siguiente información.

La relación “doble” que guardan las dimensiones largo y ancho del rectángulo B con res-pecto al rectángulo A se llama factor de escala o, también, razón de semejanza entre los rectángulos. La relación de semejanza de dos rectángulos es una relación de proporcionalidad y la razón de semejanza, en este caso, es también constante de proporcionalidad.

Por otra parte, en todos los rectángulos semejantes a A, el ancho es 13 del largo (o el largo es 3 veces el ancho). Esta razón entre largo y ancho no tiene un nombre especial.

3 Considera los siguientes rectángulos semejantes.

a) Midan el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos.

b) ¿Cuál es la razón de semejanza del rectángulo azul con respecto al rectángulo rojo?

c) Traza en tu cuaderno un rectángulo cuya razón de semejanza o factor de escala con respecto al

rectángulo rojo sea 3 a 1.

d) ¿El rectángulo que trazaste es semejante al rojo y al azul?

¿Cómo lo sabes?

4 Se tienen las siguientes fotografías.

A B

Las siguientes son medidas de la base y la altura, respectivamente, de varios rectángulos. Anoten a cada rectángulo si es semejante a A a B o a ninguna.

Medidas (cm) 5 � 4.5 18 � 15 12 � 10 8 � 5 24 � 15 9 � 7.5 16 � 10 12 � 7.5 a � 3a

Es semejante a:

5 Comenten en grupo los resultados a los que llegaron.

6 Para seguir trabajando con rectángulos semejantes, resuelve el anexo 3 de la página 225.

2.3.

Con

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s

77

a

b

c

d

TECNOLOGÍA

Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimientode matemáticas.

Fractal 3 está dividido en cinco bloques. Cada bloque se inicia con una página intro-ductoria que consta de los siguientes elementos:

Actividades de construcción del conocimiento.Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

Formas de organizaciónEn algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo, individual, en equipos, en parejas o grupal.

tecnologíaEstas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.

Contenidos programáticos que se estudian en el bloque.

Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.

Los contenidos se desarrollan en lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:

ConceptosCuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

introducciónTexto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

ContenidoEn cada lección se indica el contenido del programa oficial que se trabaja en la lección. Cuando en una lección intervienen de manera importante varios contenidos del programa, se señalan todos.

Guía de uso

Repasemos lo aprendidoContiene preguntas de los distintos temas que se vieron en el bloque. Contestar estas preguntas te permitirá repasar y, al mismo tiempo, identificar algunas cuestiones que quizá no te hayan quedado claras. Encontrarás el formato típico de los exámenes para que te vayas acostumbrando a usarlo: preguntas de opción múltiple y una o varias preguntas abiertas.

Al finalizar cada bloque, encontrarás tres secciones:

Las matemáticas en…Se proponen situaciones dela vida cotidiana, de la naturaleza, de la música o de otros ámbitos, en los que, sorprendentemente, hay un conocimiento de matemáticas en juego.

Y para terminar…Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

Al final del libro, encontrarás la sección Anexos, con algunas actividades que se llevan a cabo con computadora. Estas actividades te permitirán afirmar algunos aspectos de los temas que has venido estudiando, al mismo tiem-po que aprenderás a usar algunos programas. Los momentos en los que se sugiere realizarlas vienen indicados en las lecciones con el símbolo TECNOLOGÍA.

Por último, hallarás una tabla que relaciona los contenidos del programa y las lecciones del libro.

Guía de uso

158

Y para terminar...

Pasar el ríoTres acertijos para pasar el río

1 Un viejo se encuentra a la orilla de un río con un perro, una gallina y una bolsa de maíz. El viejo desea cruzar el río, dispone de una balsa en la que necesariamente debe ir él y es posible que cargue sólo una de las tres cosas que desea pasar. El problema consiste en pasar al perro, a la gallina y a la bolsa de maíz del otro lado, pero cuidando que nunca se quede la gallina con el maíz porque la gallina se lo come, ni el perro con la gallina por que el perro se la come. Escribe un instructivo detallado mediante el cual el viejo pueda pasar en su balsa a la gallina, el perro y el maíz.

2 Ocho excursionistas quieren cruzar un río. No hay puente; solo dos niños que juegan en un bote tan pequeño que sólo puede transportar a un adulto o máximo a los dos niños juntos. Un niño y un adulto lo harían hundirse. ¿Cómo hacer para que crucen todos los excursionis-tas? Describe cuál es tu solución.

3 Tres misioneros y tres caníbales se encuentran a la orilla de un río que quieren cruzar. El problema consiste en que el río está repleto de pi-rañas y para cruzar sólo disponen de una canoa de remos a la que le caben sólo dos pasajeros. Los tres misioneros son capaces de remar y los caníbales también. Se debe tener mucho cuidado al cruzar el río, pues si en algún momento, en alguna de las orillas, hay más caníbales que misioneros los caníbales se comerían a los misioneros. ¿Existe al-gún procedimiento mediante el cual puedan cruzar los seis sin que algún misionero sea devorado? De ser así, escribe un instructivo que permita resolver la situación.

Respuestas (en cada caso se indica una de las respuestas posibles):

Acertijo 1. • Pasa el viejo con la gallina

• Se regresa el viejo

• Pasa el viejo con el perro

• Se regresa el viejo con la gallina

• Pasa el viejo con el maíz

• Se regresa el viejo

• Pasa el viejo con la gallina

Acertijo 2.• Pasan los dos niños

• Se regresa un niño

• Pasa un adulto

• Se regresa el otro niño

Se repiten estos pasos siete veces más

Acertijo 3• Pasa un misionero con un caníbal

• Se regresa el misionero

• Pasan dos caníbales

• Se regresa un caníbal

• Pasan dos misioneros

• Se regresa un misionero y un caníbal

• Pasan dos misioneros





192

Las matemáticas en las espirales

Desde los tiempos antiguos, las espirales han llamado la atención de artesanos, pintores y también de matemáticos. La espiral más sencilla, la espiral uniforme, también es conocida como espiral de Arquímedes, debido a que Arquímedes, un matemático y geómetra griego, escribió un tratado titulado De las espirales, en el que analizó sus propiedades. Podemos encontrar una espiral de Arquímedes en una cuerda enrolla-da sobre sí misma o en la espiritrompa de una mariposa.

● ¿Cómo explicarías qué es una espiral?

● ¿Cuáles características observas en la espiral de Arquímedes?

La espiral de Arquímedes es sencilla de dibujar o de representar; aparece grabada en piedra o como motivo de adorno desde las épocas más remotas.

Arquímedes definió a esta espiral diciendo: “Imaginaos una línea que gira con velocidad cons-tante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral”.

Actualmente la información digital en un CD se graba en forma de espiral de Arquímedes.

Mosaico de ChipreCapitel fenicio

193

La espiral de Arquímedes no aparece mucho en la naturaleza; la que sí aparece es la espiral logarítmica. En esta espiral, según vayamos girando alrededor del origen, la curva se irá alejan-do del origen de forma cada vez más rápida.

La forma de espiral logarítmica aparece en conchas, en galaxias, en huracanes.

Una técnica sencilla para dibujar una espiral es la siguiente.

● Haz este dibujo en papel milimétrico; pue-des hacer tantos triángulos como quieras. Los catetos del primer triángulo rectángu-lo deben medir 1 cm. En los demás trián-gulos rectángulos uno de los catetos es la hipotenusa del triángulo anterior y el otro cateto mide 1 cm.

● Indica en tu dibujo cuánto mide cada una de las hipotenusas de los triángulos. En cada caso expresa esa medida como la raíz de un número.

● ¿Qué tipo de espiral se obtiene?, ¿una de Arquímedes o una logarítmica?

Repasemos lo aprendido

222

y

x

10

9

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7

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-1-1 2 3 4 51 6 7 8 9 10

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x

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9

8

7

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5

4

3

2

1

-1-1 2 3 4 51 6 7 8 9 10

I. Considera la gráfica y subraya la respuesta correcta.

1 ¿Cuál es la ecuación de la recta?

a) y = x + 4 b) y = −4xc) y = x − 4 d) y = 4x

2 ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

a) y = 4x2 b) y = 4x2 + 4c) y = x2 d) y = −x2

3 ¿En qué punto se intersecan la recta y la parábola?

a) (0,0) y (2, 4)b) (0, 0 ) y (4, 16)c) (0,0) y (16, 4)d) (4, 16) y (16, 4)

4 Supongamos que el punto de intersección es el resultado de un problema. ¿Cuál de los siguien-tes podría ser ese problema?

a) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es el doble de su perímetro.b) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es la mitad de su perímetro.c) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es el cuadrado de su perímetro.d) Hallar el lado (x) de un cuadrado cuya área es igual a su perímetro.

II. Subraya la respuesta correcta.

1 Supongamos que se tienen cilindros con altura igual a 1 unidad y se va variando la medida del radio. ¿Cuál gráfica representa esta situación?

a) b)

20

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-1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

223

c) d)

2 Un cono mide 10 cm de altura y el radio de la base es 5 cm. Si el cono se corta por la mitad como se muestra en la figura, ¿cuál es el volumen del cono pequeño que resul-ta de este corte?

a) cm3 b) cm3 c) cm3 d) cm3

3 Con los datos de la tabla de la derecha elabora una gráfica de caja-brazos en tu cuaderno.

¿Qué conclusiones puedes obtener?

4 Las personas que hacen ejercicio deben controlar su ritmo cardiaco, es decir, el número de pul-saciones del corazón por minuto. Una vieja fórmula para calcular el máximo de pulsaciones por minuto es la siguiente.

Máximo de pulsaciones por minuto = 220 − edad

Sin embargo, más recientemente se dio a conocer otra fórmula.

Máximo de pulsaciones por minuto = 208 − (0.7 × edad)

Pregunta 1. Pedro tiene 62 años y dice que con la nueva fórmula su máximo de pulsaciones por minuto se incre-

menta. ¿Tiene razón? Justifica tu respuesta.

Pregunta 2. ¿Para qué edad el máximo de pulsaciones por minuto es igual con ambas fórmulas?

Se hace un corte aqui10 cm

π(2.5)210 3

π(5)25 3

π(2.5)25 3

π(5)25 3

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2

1

-1-1 2 3 4 51 6 7 8 9 10

País PIBPC (en dólares) País PIBPC (en dólares)Estados Unidos 39 676 Canadá 31 263Costa Rica 9 481 El Salvador 5 041 México 9 803 Nicaragua 3 634Panamá 7 278 Honduras 2 876Colombia 7 256 Guatemala 4 313Venezuela 6 043 Belice 6 747

Presentación para el maestro

El enfoque didáctico de Fractal

A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.

Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como so-lución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar.

Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado.

¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el cono-cimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conoci-mientos previos y la necesidad de uno nuevo.

Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejerci-cios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales.

Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de proce-dimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para re-solver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pa-sos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada.

Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la re-solución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.

Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

Presentación para el maestro

programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.

Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando apro-vechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporciona-lidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones.

Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema.

Algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases. En las preliminares se incluye una propuesta de dosifica-ción para el desarrollo de las lecciones a lo largo del año escolar.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los apren-dizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases;

• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

Los autores

Dosificación

S E M A N A S

1 2 3 4

BLO

QU

ES

1

1.1. Productos notables y factorización(lecciones 1 y 2)

1.1. Productos notables y factorización(lecciones 3 y 4)

1.2. Justificación propiedades de cuadriláteros(lecciones 5 a 8)

1.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y circunferencias entre sí(lecciones 9 a 11)

2

2.1. Ecuaciones no lineales(lecciones 23 y 24)

2.2. Ecuaciones cuadráticas por factorización (lecciones 25 a 27)

2.3. Figuras semejantes (lecciones 28 y 29)

2.3. Figuras semejantes (lecciones 30 y 31)

3

3.1. Funciones expresadas con tablas o expresiones algebraicas(lecciones 41 y 42)

3.2. Ecuaciones cuadráticas por fórmula general (lecciones 43 y 44)

3.3. Teorema de Tales(lecciones 45 a 48)

3.4. Homotecia(lecciones 49 a 52)

4

4.1. Método de diferencias finitas para sucesiones cuadráticas(lecciones 64 a 67)

4.2. Teorema de Pitágoras (lecciones 68 a 70)

4.3. Razones trigonométricas(lecciones 71 a 73)

4.4. Crecimiento aritmético y exponencial(lecciones 74 a 76)

5

5.1. Ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones(lecciones 79 y 80)

5.2. Conos, esferas y cilindros(lecciones 81 y 82)

5.3. Volumen de cilindros y conos(lecciones 83 y 84)

5.3. Volumen de cilindros y conos(lecciones 85 y 86)

Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

Dosificación

S E M A N A S

5 6 7 8 9

1.4. Ángulo inscrito y ángulo central de una circunferencia(lecciones 12 y 13)

1.5. Medida de ángulos inscritos, centrales, arcos, sectores, coronas(lecciones 14 a 16)

1.6. Razón de cambio de una función lineal(lecciones 17 a 19)

1.7. Diseño de un estudio y comunicación de resultados(lecciones 20 a 22)

Repasemos lo aprendido(páginas 60 y 61)

Evaluación del bloque 1

2.4. Criterios de semejanza de triángulos(lecciones 32 a 34)

2.4. Criterios de semejanza de triángulos(lecciones 35 y 36)

2.5. Uso de índices(lecciones 37 y 38)

2.6. Simulación en situaciones probabilísticas(lecciones 39 y 40)



3.5. Gráficas de funciones no lineales (lecciones 53 y 54)

3.6. Forma y posición de las gráficas de funciones no lineales(lecciones 55 a 58)

3.6. Forma y posición de las gráficas de funciones no lineales(lecciones 59 a 61)

3.7. Gráficas formadas por secciones de rectas y curvas(lecciones 62 y 63)



4.5. Relación de datos de distinta naturaleza de un mismo fenómeno (lecciones 77 y 78)



5.4. Estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos(lecciones 87 y 88)

5.5. Gráfica de caja-brazo(lecciones 89 a 91)



podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.

Índice

Bloque 1 Conocimientosyhabilidades

Lección 1. Productos notables I 16 1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x − a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 − a2.

Lección 2. Productos notables II 18Lección 3. Productos notables III 20Lección 4. Expresiones equivalentes 22

Lección 5. Construcciones I 24 1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

Lección 6. Construcciones II 26Lección 7. Construcciones III 28Lección 8. Construcciones IV 30

Lección 9. En la carpintería 32 1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

Lección 10. Más sobre tangentes 34Lección 11. Posiciones relativas 36

Lección 12. Ángulos, arcos y cuerdas I 38 1.4. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

Lección 13. Ángulos, arcos y cuerdas II 40

Lección 14. Triángulos y circunferencias 42 1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Lección 15. Un juego sobre ángulos 44Lección 16. Diseños con círculos 46

Lección 17. La velocidad como razón de cambio 48 1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

Lección 18. Variaciones de temperatura 50Lección 19. La pendiente como razón de cambio 52

Lección 20. Preguntas adecuadas y no tan adecuadas 54 1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

Lección 21. La presentación más adecuada 56Lección 22. Del problema a la comunicación de resultados 58

Repasemos lo aprendido 60

Las matemáticas en la medición de la circunferencia de la Tierra

62

Y para terminar… 64

Presentación 3guía de uso 4Presentación para el maestro 6Dosificación 8

Índice


Lección 23. La medida de un lado 66 2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Lección 24. El número desconocido 68

Lección 25. Técnicas para resolver ecuaciones I 70 2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Lección 26. Técnicas para resolver ecuaciones II 72Lección 27. Factorizaciones fáciles y no tan fáciles 74

Lección 28. Rectángulos semejantes 76 2.3. Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.Lección 29. Una condición más sobre semejanza 78

Lección 30. Encuentra los errores 80Lección 31. Rectángulos semejantes en el plano

cartesiano82

Lección 32. Condiciones necesarias y suficientes 84 2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Lección 33. Un criterio más de semejanza de triángulos 86Lección 34. Más sobre semejanza de triángulos 88Lección 35. ¿Cuánto mide la altura del poste? 90Lección 36. Calculando distancias 92

Lección 37. Análisis de índices I 94 2.5 Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.Lección 38. Análisis de índices II 96

Lección 39. ¿Niña o niño? 98 2.6. Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.Lección 40. Simulando el problema 100


Las matemáticas en la criptografía 104



Lección 41. Depreciación y plusvalía 108 3.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

Lección 42. Cantidades que cambian y se relacionan 110

Lección 43. Una fórma útil 112 3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

Lección 44. Algunos problemas 114

Lección 45. Paralelas y segmentos proporcionales 116 3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Lección 46. El teorema de Tales y sus aplicaciones 118

Índice

Lección 47. Triángulos, hilo, palillos y algo más I 120 3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Lección 48. Triángulos, hilo, palillos y algo más II 122

Lección 49. Sombras y otras proyecciones 124 3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que –1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

Lección 50. Homotecias fraccionarias y negativas 126Lección 51. Cambiando el centro de homotecia 128Lección 52. Más sobre homotecia 130

Lección 53. Curvas en el plano 132 3.5. Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

Lección 54. La velocidad también varía 134

Lección 55. La máquina función I 136 3.6. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.

Lección 56. Funciones cuadráticas I 138Lección 57. Funciones cuadráticas II 140Lección 58. La máquina función II 142Lección 59 El recíproco de un número 144Lección 60. Parábolas y ecuaciones 146Lección 61. Si cambia la ecuación, cambia la gráfica 148

Lección 62. Puntajes en videojuegos 150 3.7. Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Lección 63. Cambia… la manera de cambiar 152


Las matemáticas en una hoja de papel 156



Lección 64. Figuras con palillos 160 4.1. Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.

Lección 65. Primeras o segundas diferencias 162Lección 66. El método de las diferencias 164Lección 67. Números y figuras 166

Lección 68. La cuerda de 12 nudos 168 4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.Lección 69. Una comprobación con material 170

Lección 70. Problemas diversos 172

Índice

Lección 71. A veces, Pitágoras no alcanza 174 4.3. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

Lección 72. La tangente tiene que ver con la pendiente 176Lección 73. El saber da poder 178

Lección 74. Planes de ahorro I 180 4.4. Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

Lección 75. Planes de ahorro II 182Lección 76. Planes de ahorro III 184

Lección 77. La basura 186 4.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

Lección 78. El reciclado 188


Las matemáticas en las espirales 192



Lección 79. La traducción de los problemas 196 5.1. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

Lección 80. De todo un poco 198

Lección 81. Girar una figura produce otra figura 200 5.2. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera cono recto.

Lección 82. Cortes con formas inesperadas 202

Lección 83. ¿Cómo se hace un cilindro? 204 5.3. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.Lección 84. El volumen de un cilindro 206

Lección 85. ¿Cómo se construye un cono? 208Lección 86. Un cono a la medida 210

Lección 87. Volúmenes y capacidades 212 5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Lección 88. Más giros 214

Índice

Lección 89. El mejor horno I 216 5.5. Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

Lección 90. El mejor horno II 218Lección 91. Duración de una anestesia 220


Las matemáticas en reflectores parabólicos 224


Anexos 227Bibliografía 235

15

Para estudiar la caída de los cuerpos, Galileo Galilei , arrojaba objetos de distintos tamaño desde lo alto de la torre de Pisa.

Para relacionar la distancia que recorre un cuerpo en caída libre en relación con el tiempo que transcurre y la aceleración de la gravedad, se puede emplear la siguien-te expresión:

d = 12 gt2

En este bloque trabajarás expresiones como la anterior.

En este bloque estudiarás:

• expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(a + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

• los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

• las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias; la recta secante y la tangente a una circunferencia.

• la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

• la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

• la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

• diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

BLOQUE 1

16

1 LafiguraAesuncuadradodivididoencuatropartes:uncuadradogrande,uncua-dradochicoydosrectángulosiguales.Conbaseenestainformaciónylaqueofrecelafigura,anotenloqueseindica.

a) La medida de un lado de la figura.

b) El área de cada una de las partes.

Cuadrado grande.

Cuadrado chico.

Rectángulo.

c) El área total de la figura.

d) De las siguientes cuatro expresiones, hay dos que corresponden al área de la figura Aanterior. Subráyenlas.

x2 1 y2 (xy)2 (x 1 y)2 x2 1 2xy 1 y2

e) Expliquen por qué se puede asegurar que la siguiente igualdad es correcta: (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2

2 Desarrollenelproductoqueseindica.Sinorecuerdancómosehace,leanlainfor-maciónquesedaenelrecuadrodeladerecha.

(x 1 y)2 es lo mismo que (x 1 y) (x 1 y).

(x 1 y) (x 1 y) 5

3 Conayudadesuprofesoroprofesora,expliquenporqué,enelcasodelafiguradelaactividad1,xyysólopuedensernúmerospositivos.

Lección 1

16

ProductosnotablesILos productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que tienen características especiales. Con base en estas características, se pueden identificar y resolver fácilmente.

x

y

yx

Recuerda. (a 1 b) (c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd

Figura A

17

4 CalculalosvaloresdelasexpresionesAaFcuandoxyytomanlosvaloresqueseindican.

A B C D E F

x y x2 y2 2xy x 1 y x2 1 2xy 1 y2 (x 1 y)2

2 3

5 1

4 10

12 2

21 22

2 23

22 3

5 Conayudadesuprofesoroprofesora,haganlosiguiente.

a) Comparen la explicación que dieron en la actividad 1, inciso e, con las que dieron sus compañeros.b) Verifiquen que la expresión E de la tabla vale lo mismo que la F, cualesquiera que sean los va-

lores que den a x y y.c) Lean y comenten la siguiente información:

La expresión (x + y)2 y la expresión x2 + 2xy + y2 son equivalentes.La expresión (x + y)2 es un binomio al cuadrado.Entonces, puede decirse que: El desarrollo de un binomio al cuadrado es igual a: el cuadrado de su primer término, más

el producto de sus términos multiplicado por dos, más el cuadrado de su segundo término.

6 Expresenenformademultiplicaciónlossiguientesbinomiosalcuadradoycalcu-lenlosresultados,comoenelejemplo.

a) (x 1 2y)2 5 (x 1 2y) (x 1 2y) 5 b) (a 1 3b)2 5 x2 1 2xy 1 2xy 1 4y2 5 x2 1 4xy 1 4y2

c) (2x 1 y)2 5 d) (a 1 b)2 5 e) (3m 1 n)2 5 f) (2m 1 5)2 5

g) (1.5a 1 b)2 5 h) (2m 1 3n)2 5

7 Conayudadesuprofesoroprofesora,verifiquenque,siemprequeseelevaunbi-nomioalcuadrado,elresultadofinal,despuésdesimplificarlostérminosseme-jantes,esuntrinomioconlassiguientescaracterísticas:

l Dos de los términos son cuadrados perfectos.l El otro término es el producto de las raíces cuadradas de los dos cuadrados perfectos, multipli-

cado por dos.

17

1.1.

Efe

ctua

r o s

impl

ifica

r cál

culo

s co

n ex

pres

ione

s al

gebr

aica

s ta

les

com

o: (x

+ a

)2 ; (x

+ a)

(x +

b);

(x +

a)(x

– a

). Fa

ctor

izar

exp

resi

ones

alg

ebra

icas

tale

s co

mo:

x2 +

2ax

+ a

2 ; ax2 +

bx;

x2 +

bx

+ c;

x2 –

a2 .

18

Lección 2

1 LafiguraAesuncuadradodivididoencuatropartes:uncuadradogrande,uncua-dradochicoydosrectángulos.

ProductosnotablesII El resultado de elevaralcuadradounbinomio se conoce como trinomiocuadrado

perfecto. ¿Por qué crees que se llama así?

a

2b

a 2b

Relacionen las dos columnas; anoten en el paréntesis el número que corresponde.

() Medida de un lado del cuadrado grande 1) a

() Área de un rectángulo 2) a2 1 4ab 1 4b2

() Medida de un lado del cuadrado chico 3) 2b

() Área de la figura A 4) 2ab

2 Lossiguientestrinomiossoncuadradosperfectosporqueseobtuvieronalelevaralcuadradodiferentesbinomios.Encuentrenencadacasoelbinomioalcuadradoquecorresponde.

a) n2 1 2np 1 p2 5 b) a2 1 2ab 1 b2 5

c) 4a2 1 8ab 1 4b2 5 d) x2 1 6xy 1 9y2 5

e) 9x2 1 6xy 1 y2 5 f) 4m2 1 12mn 1 9n2 5

3 Desarrollenlosbinomiosalcuadradoqueencontraronenlaactividadanteriorparacomprobarquesícorrespondenalostrinomios.

a) ( )2 5 b) ( )2 5

c) ( )2 5 d) ( )2 5

e) ( )2 5 f) ( )2 5

4 Averigüencómocambiaelresultadodeelevarunbinomioalcuadrado,cuandounoolosdostérminossonnegativos.

a) (a 1 b)2 5 b) (a 2 b)2 5

c) (2x 1 y)2 5 d) (x 2 2y)2 5

e) (22m 1 n)2 5 f) (2m 2 2n)2 5

Figura A

19

5 Encuentrenlosbinomiosalcuadradodelosqueprovienenlassiguientesexpre-siones.

a) n2 2 2np 1 p2 5 b) 9a2 1 6a 1 1 5

c) 4a2 2 8a 1 4 5 d) x2 2 6xy 1 9y2 5

6 Conayudadesuprofesoroprofesoracomparenlosresultadosobtenidosenlasactividades4y5.

7 LafiguraBesuncuadradodivididoencuatropartes,uncuadradogrande,uncua-dradochicoydosrectángulosiguales.Conbaseenlainformaciónquehayenlafigura,anotenloqueseindica.

1.1.

Efe

ctua

r o s

impl

ifica

r cál

culo

s co

n ex

pres

ione

s al

gebr

aica

s ta

les

com

o: (x

+ a

)2 ; (x

+ a)

(x +

b);

(x +

a)(x

– a

). Fa

ctor

izar

exp

resi

ones

alg

ebra

icas

tale

s co

mo:

x2 +

2ax

+ a

2 ; ax2 +

bx;

x2 +

bx

+ c;

x2 –

a2 .

Figura Ba) La medida de un lado del cuadrado chico.

b) La medida de un lado del cuadrado grande.

c) El largo del rectángulo.

d) La medida de un lado de la figura B.

e) La expresión con la que se calcula el área de la figura B.

f) El área de la figura B.

8 Resuelvanlosiguiente.

a) (n 1 1)2 = b) (n 2 1)2 5

c) Con base en los resultados anteriores, calculen el resultado de:

912 5 (90 + 1)2 5 2012 5

992 5 1992 5

9 Eláreadeuncuadradoesx2+10x+25.Conbaseenestainformaciónresuelvanlosiguiente:

a) ¿Cuánto mide un lado de ese cuadrado?

b) ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado?

10 Conayudadesuprofesoroprofesora,comparensusresultadosdelasactividades7,8y9.

2mn n2

20

Lección 3

1 Lafigura1esuncuadradodivididoentrespartes,dostrapeciosigualesyuncua-drado.Lafigura2esunrectánguloqueseformóconlosdostrapeciosigualesdelafigura1.Conbaseenestainformaciónhaganloqueseindica.

ProductosnotablesIIIAlgunos productos son más fáciles de resolver de lo que te imaginas; sólo hay que saber reconocerlos.

a) Anoten las medidas que hacen falta en el rectángulo.

b) ¿Cuál es la expresión que permite calcular el área de la parte rayada de la figura 1?

c) ¿Cuál es la expresión que permite calcular el área de la figura 2?

d) Completen la siguiente igualdad y expliquen por qué es cierta.

igual a 5

e) Verifiquen que la igualdad anterior expresa lo siguiente:

Lasumadedosnúmerosmultiplicadaporsudiferencia,esigualalcuadradodelprimernúmeromenoselcuadradodelsegundonúmero.

f) Desarrollen el siguiente producto. Simplifiquen el resultado y verifiquen si al final obtienen el cua-drado del primer término menos el cuadrado del segundo.

(x 1 y) (x 2 y) 5 ______ 1 ______1 ______1 ______ 5 ______ 2 ______

Figura 1

Figura 2

Área de la parte sombreada de la figura 1 área de la figura 2

a

ba

21

2 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparensusrespuestasconlasdeotrosequipos.Sihaydiferencias,identifiquenloserroresycorríjanlos.

3 Aladerechadecadafiguratrazaelrectánguloqueseformaalrecortaryaco-modarlosdostrapeciossombreados.Ademásanotalasmedidasenlosladosdelrectánguloyescribelaexpresiónqueindicalaigualdaddelasáreassombreadas.

4 Leelasiguienteinformación.

Dos binomios de la forma (a + b) y (a – b) se llaman binomiosconjugados. Como te habrás dado cuenta, el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

5 Encuentrenlapartequefaltaenlassiguientesigualdades.

a) (5 1 3)(5 2 3) 5 b) (3a 2 b)(3a 1 b) 5

c) m2 2 n2 5 d) 4a2 2 1 5

e) 106 3 94 5 (100 1 6) (100 2 6) =

1.1.

Efe

ctua

r o s

impl

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+ a)

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b);

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a)(x

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s co

mo:

x2 +

2ax

+ a

2 ; ax2 +

bx;

x2 +

bx

+ c;

x2 –

a2 .

6

2

y

2x

22

Lección 4 ExpresionesequivalentesHay expresiones algebraicas que, aunque se escriben diferente y aparentemente no tienen nada que ver una con otra, expresan el mismo valor, es decir, son expresionesalgebraicasequivalentes.

1 Imaginenquetienenuncubohechoconplastilinayporunodesusvérticeslecor-tanuncubomáspequeño,comosemuestraeneldibujo.

2 Elvolumendelaparterestante,despuésdehabercortadoelcubopequeño,sepuedecalculardevariasmaneras.Unadeellasconsisteencalcularlosvolúmenesdeloscuatroprismasquesemuestranenelsiguientedibujoysumarlos.

a) Anoten enseguida el volumen de cada prisma.

Prisma 1 =

Prisma 2 =

Prisma 3 =

Prisma 4 =

b) Anoten la expresión de la suma de los volúmenes y simplifíquenla.c) Verifiquen que la expresión anterior simplificada es la misma que escribieron en el inciso c de la

actividad 1.

3 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparenlosresultadosobtenidosenlasactividadesanteriores.Sihaydiferencias,tratendeencontrarloserroresycorrijan.

a) ¿Cuál es el volumen del cubo completo?

b) ¿Cuál es el volumen del cubo que se corta?

c) ¿Cuál es el volumen de la parte restante, después de haber cortado el cubo pequeño?

1

2 4 3

b

a

23

4 Elsiguientecubo,cuyaaristamidex1y,estáformadoporochopiezascomolasquesemuestranaladerecha.Conbaseenestainformación,haganloqueseindica.

a) Anoten sobre cada pieza su volumen.b) Identifiquen las piezas que son iguales.

¿Cuántos tipos de piezas son? ¿Cuántas piezas hay de cada tipo?

c) Completen la siguiente expresión: (x + y)3 = _______ + _______ + _______ + _______

5 Identifiquenlasexpresionesdeizquierdayderechaentrelasqueseestableceunaigualdad,yescribanenlosparéntesislaletraquecorresponde.

a) (p 2 q) (p2 1 pq 1 q2) (p 1 q)3 ( )

b) p2 1 2pq 1 q2 p3 2 q3 ( )

c) p3 1 3p2q 1 3pq2 1 q3 p2 2 q2 ( )

d) (p + q) (p 2 q) (p 2 q)2 ( )

e) p2 2 2pq 1 q2 (p 1 q)2 ( )

6 Conayudadesuprofesoraoprofesorverifiquensusrespuestas.Silodesean,pue-denasignarlesvaloresapyqparacomprobarquelasexpresionesquerelaciona-rondanelmismoresultado.

1 1

4

4

2 3

2 37

7

6

6

5

58

y

yx

x

1.1.

Efe

ctua

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)2 ; (x

+ a)

(x +

b);

(x +

a)(x

– a

). Fa

ctor

izar

exp

resi

ones

alg

ebra

icas

tale

s co

mo:

x2 +

2ax

+ a

2 ; ax2 +

bx;

x2 +

bx

+ c;

x2 –

a2 .

24

Lección 5

1 Unparalelogramoesuncuadriláteroquetienesusladosparalelosdosados.Deacuerdoconestoidentifica,aojo,lasfigurasquesonparalelogramosymárcalos.

2 Veansimarcaronlasmismasfiguras.Sihaydiferenciasargumentensuselecciónyaverigüenjuntosquiénesestánbien.Después,determinensilossiguientesenun-ciadossonverdaderosofalsosyseñálenlosconVoF.

a) Un paralelogramo puede tener sólo dos lados iguales.

b) Un paralelogramo puede tener sus cuatro lados iguales.

c) Todos los paralelogramos tienen lados iguales dos a dos.

d) Todos los paralelogramos tienen sus ángulos rectos.

3 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparensusrespuestasdelaactividadan-terior;sihaydiferencias,averigüenquiéntienerazón.

ConstruccionesI¿Cuántos cuadrados diferentes hay que tengan un lado de 5cm? ¿Cuántos rectángulos diferentes hay que tengan un lado de 5cm?

Cuando nos dan medidas para construir una figura, resulta útil saber si, con esas medidas, es posible construir una sola figura, una infinidad de figuras diferentes, o ninguna figura.

25

4 Contestalasiguientepreguntayhazloquesepidedespués.

a) Si cada miembro de tu grupo construye un paralelogramo cuyos lados midan 6.5 cm y 3.5 cm,

respectivamente, ¿crees que todos los paralelogramos serán iguales? b) Dibuja el paralelogramo. Usa los instrumentos geométricos necesarios y de preferencia usa una

hoja blanca.c) Compara tu paralelogramo con el de otros compañeros. ¿Todos fueron iguales?

d) Si no fueron iguales, ¿qué otro dato se necesitaría para que todos fueran iguales?

5 Conayudadesuprofesorhaganlosiguiente:

a) Comparen sus respuestas a la pregunta 4, inciso d.

b) Cuando consideren que una respuesta es falsa, traten de probarlo, trazando dos paralelogramos que cumplan lo que dice la respuesta y sin embargo no sean iguales.

c) Si una respuesta les parece correcta, también traten de hacer dos paralelogramos distintos con lo que esa respuesta dice, para ver si de veras no se puede.

6 Lossiguientessegmentosindicanlasmedidasdelosladosdeunparalelogramoysualtura.

a) ¿Crees que, si cada miembro de tu grupo hace un paralelogramo con esta información, todos los paralelogramos saldrán iguales?

b) Construye el paralelogramo y compáralo con los de tus compañeros. ¿Son iguales todos los paralelogramos?

7 Construyanunparalelogramoconlassiguientesmedidas.

Un lado: 7 cm Otro lado: 3.5 cm Altura: 4.5 cm

8 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomentenelresultadodesutrazoytratendellegaraunaconclusión.Anótenla.

1.2.

Apl

icar

los

crite

rios

de c

ongr

uenc

ia d

e tr

iáng

ulos

en

la ju

stifi

caci

ón d

e pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

.

lado lado altura

26

Lección 6

1 Encadaunodelossiguientestriánguloselijanunladoyapartirdeeseladocons-truyanotrotriánguloigual,demaneraquelafiguracompletaseaunparalelogra-mo.Despuéscontestenlaspreguntas.

a) ¿Cuál de los criterios de congruencia sirve para mostrar que los triángulos que construyeron son iguales a los originales?

b) En el triángulo obtusángulo, René eligió un lado y sobre ese lado trazó un triángulo igual, pero no formó un paralelogramo. ¿Qué figura pudo haber formado? Dibújala.

c) ¿Con qué tipo de triángulos se puede formar un rombo?

2 Contuscompañerosyconayudadetuprofesoraoprofesor,comparensusres-puestas;después,discutansobrelassiguientespreguntas.

¿Es cierto que el paralelogramo que se forma con dos triángulos rectángulos siempre es un cuadrado?

¿Es cierto que siempre es un rectángulo?

ConstruccionesII

¿Sabías que cualquier paralelogramo puede ser dividido en dos triángulos iguales?

27

3 Elsiguientetrazomuestraunladodeunparalelogramoylosángulosadyacentesaeselado.Reproduceeltrazoenunahoja,completaelparalelogramoydespuéshazloqueseindica.

a) ¿Crees que tu paralelogramo debe ser igual al de tus compañeros? ¿Por qué?

b) ¿Qué otro dato se necesitaría para que todos fueran iguales? c) Con ayuda de tu profesora o profesor, compara tus respuestas con las de tus compañeros.

4 Haganlosiguiente.

a) Indiquen si creen que es posible construir las siguientes figuras.

Figura A. Un paralelogramo con las siguientes medidas: lado, 6.5 cm; ángulos adyacentes, 60° y 120°; altura, 3.5 cm. ¿Es posible?

Figura B. Un paralelogramo con las siguientes medidas: lado, 5.5 cm; ángulos adyacentes, 35° y 125°; altura, 3.5 cm. ¿Es posible?

b) Utilice cada quien una hoja de papel e intente hacer las figuras.

5 Analicenlostrazosanterioresycontesten:

a) ¿Por qué no fue posible hacer un paralelogramo con los datos de la figura B?

b) Si sólo pudieran modificar uno de los cuatro datos de la figura B, ¿cuál modificarían para que el trazo sí fuera un paralelogramo?

c) Modifiquen el dato elegido como crean conveniente, hagan nuevamente el trazo y verifiquen que es un paralelogramo. Recuerden que cualquier paralelogramo se puede dividir en dos triángulos congruentes.

6 Conayudadesuprofesoraoprofesor,comparensusrespuestasa laactividadanteriorytratendeobtenerunaconclusión.Anótenla.

1.2.

Apl

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los

crite

rios

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ia d

e tr

iáng

ulos

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la ju

stifi

caci

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e pr

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s de

los

cuad

rilát

eros

.

50° 130°

28

Lección 7

1 Elsiguientetrazomuestradosladosdeunparalelogramoyelánguloqueformandichoslados.Conbaseenestainformaciónhazloqueseindica.

ConstruccionesIII¿Sabías que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo deben medir 180°?

a) Copia el trazo en una hoja de papel y termina de trazar el paralelogramo.

b) ¿Crees que tu paralelogramo debe ser congruente con el de tus compañeros de grupo?

¿Por qué?

c) Verifica tu respuesta anterior comparando tu paralelogramo con el de otros compañeros.

2 Conayudadesuprofesoraoprofesor,comparenlosprocedimientosutilizadosparaterminardeconstruirelparalelogramo.

3 Elsiguientetrazomuestralasdosdiagonalesdeunparalelogramoylamedidade

135°

50°

unodelosángulosqueformanlasdiagona-les.Conestainformaciónhaganloqueseindica.

a) Copien el trazo en una hoja de papel y construyan el paralelogramo.

b) Consideren como un hecho que los lados opuestos del paralelogramo que trazaron son iguales. Con base en esto, busquen argumentos para mostrar que las diagonales se cortan en sus puntos medios.

c) ¿Cuál es el criterio de congruencia de triángulos que sirve para mostrar lo que se pide en el inciso anterior?

4 Lasdiagonalesdeunparalelogramomidenrespectivamente4cmy6cm;unodelosángulosformadosporlasdiagonalesmide70°.Conbaseenestainformaciónhaganlosiguiente.

a) Tracen el paralelogramo sobre una hoja de papel.

b) Comparen su paralelogramo con el de otros equipos para que vean si son congruentes.

c) Completen el siguiente enunciado:

Las diagonales de un paralelogramo siempre se cruzan en

5 Encadaunodelossiguientestrazos,elsegmentoesunadelasdiagonalesdeunparalelogramoylacircunferenciaseñalaloslímitesdelaotradiagonal.Además,apareceanotadalamedidadeunladodelparalelogramo.Conbaseenestainfor-maciónhaganloqueseindica.

a) Copien los dibujos en una hoja y terminen de trazar los paralelogramos.b) Comparen sus paralelogramos y verifiquen que son congruentes.c) Si en algún caso no pudieron construir el paralelogramo, expliquen por qué no fue posible.

d) Anoten las medidas que crean convenientes para que se pueda construir un paralelogramo y constrúyanlo en sus cuadernos.

diagonal 1: __________ diagonal 2: __________ lado: _________

6 Leanlasiguienteinformación.

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos; pueden tener lados iguales dos a dos o cuatro lados iguales; sus ángulos internos consecutivos suman 180° y sus diagonales se cruzan en sus puntos medios.

1.2.

Apl

icar

los

crite

rios

de c

ongr

uenc

ia d

e tr

iáng

ulos

en

la ju

stifi

caci

ón d

e pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

.

Lado: 4 cm

Lado: 3.5 cm

Lado: 1.5 cm

29

30

Lección 8 ConstruccionesIV¿Sabías que la forma de un cuadrilátero depende de cómo se tracen sus diagonales?

1 Lassiguientestablasmuestranlasmanerasenquesepuedentrazarlasdiagonalesdeuncuadrilátero.Analícenlasyhaganloqueseindica.

Diagonalesiguales

Se cortan en el punto medio

Sí No

a) En cada casilla de las tablas pongan un ejemplo de cómo quedarían trazadas las diagonales.

b) Anoten la palabra paralelogramo en las casillas donde necesariamente la figura que se forma es un paralelogramo.

c) Anoten en cada casilla alguno de los siguientes nombres considerando la figura que se forma: Cuadrado Rectángulo Rombo Trapecioisósceles

2 Conayudadesuprofesoraoprofesorcomparensusresultadosconlosdeotrosequipos.

3 Completenlassiguientesfrases.

a) Para que se forme un cuadrado, las diagonales deben ser _____________________________

b) Para que se forme un rombo, las diagonales deben ser _______________________________

c) Para que se forme un rectángulo, las diagonales deben ser ____________________________

d) Para que se forme un trapecio isósceles, las diagonales deben ser ______________________

SíN

o

Son

perp

endi

cula

res

Diagonalesdesiguales

Se cortan en el punto medio

Sí No

SíN

o

Son

perp

endi

cula

res

31

4 Lassiguientesetiquetascontienenpropiedadesdeloscuadriláteros.

A B

C D

E F

G H

I J

K L

M N

l Debajo de cada una de las siguientes figuras anoten las letras que indican las propiedades que le corresponden.

Diagonales iguales Diagonales desiguales

Diagonales perpendiculares Diagonales no perpendiculares

Diagonales que se cruzan

en sus puntos medios

Diagonales que no se cruzan

en sus puntos medios

Cuatro ángulos rectos Ningún ángulo recto

Sólo dos ángulos rectos Sólo un ángulo recto

Cuatro lados iguales Lados iguales dos a dos

Lados opuestos paralelos Sólo dos lados paralelos

1.2.

Apl

icar

los

crite

rios

de c

ongr

uenc

ia d

e tr

iáng

ulos

en

la ju

stifi

caci

ón d

e pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

.

5 Revisalosanexos0,1y2delaspáginas228a230paraqueaprendasmásdelaspropiedadesdelasfigurasusandologo.

TECNOLOGÍA

32

Lección 9

1 Uncarpinteronecesitacortarcírculosdemadera;cuentaconlassiguientespiezasydeseaelmayorcírculoposibledecadauna.

Las piezas están hechas a escala. Traza en cada una el mayor círculo posible.

2 Comentacontuscompañeroslamaneraenquerealizaroneltrazoencadafigura.

Para la siguiente actividad debes recordar que:

La distancia de un punto a una recta se mide sobre la perpendicular a la recta que pasa por ese punto.

Enlacarpintería¿Cómo obtener el mayor círculo posible de una pieza de madera? En esta lección se trabajará con este tipo de problemas.

90º

distanciaP

33

1.3.

Det

erm

inar

med

iant

e co

nstr

ucci

ones

las

posi

cion

es re

lativ

as e

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rect

as y

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ias.

Cara

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cta

seca

nte

y la

tang

ente

a u

na c

ircun

fere

ncia

.

3 EncadafiguramideyanotasobrelalínealamedidadelradiodelacircunferenciayladistanciadelcentrodelacircunferenciaalladoAB.

a) ¿En cuál figura el lado AB corta en dos puntos la circunferencia? __________

b) ¿En cuál figura el lado AB toca la circunferencia en un punto? ___________

c) ¿En cuál figura el lado AB no toca la circunferencia? _________________

4 Apartirdelosresultadosdelaactividadanalicenlarelaciónentrelamedidadelradio,ladistanciadelcentrodelacircunferenciaalladoAByelnúmerodepuntosenqueelladoABtocalacircunferencia.Anotensusobservaciones.

5 Compartanconsuscompañerosdegruposusrespuestasalasactividades3y4yleanlasiguienteinformación.

Una recta que no toca a la circunferencia es exterior a ella; si la toca en dos puntos la recta es secante a la circunferencia y si la toca sólo en un punto es tangente.

Figura 1 B

B

BA

A

A

Figura 2

Figura 3

Figura 1 B

B

BA

A

A

Figura 2

Figura 3

Figura 1 B

B

BA

A

A

Figura 2

Figura 3

34

Lección 10

1 Enlasprimerascircunferenciassehantrazadosecantesyenlaúltimaunatangen-te,todaslasrectasformanunángulo(a)conunradio.

Observa cómo varía la medida del ángulo a,¿Cuánto mide este ángulo cuando la recta es tangente?

2 ¿Porquélasiguienterectanopuedeserunatangentealacircunferencia?

3 EntucuadernotrazaunarectayubicasobreellaelpuntoP.Trazaunacircunfe-renciaqueseatangentealarectaenelpuntoP.¿Cuántassolucioneshay?

4 Comentensusrespuestasalasactividadesanterioresyleanestainformación.

El punto donde la tangente toca la circunferencia se llama puntodetangencia. Toda tan-gente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

5 Trazaentucuadernoeldesarrolloplanodeuncilindroquetengaalturade6cmyderadiodelabase3cm.Recuerdaqueeneldesarrolloloscírculosdelasbasesdebensertangentesalabasedelrectánguloqueformalacaralateral.

MássobretangentesConsidera que tienes un cuadrilátero y los cuatro lados son tangentes a una circunferencia, ¿hay alguna relación de medida entre los lados del cuadrilátero? Lo sabrás al estudiar esta lección.

a aa aa aa aa aa aa aa a

41º

57º

C

X

P

35

6 Hazloqueseindica.

I. Traza el segmento PC.II. Ubica y llama M al punto medio de PC.III. Con centro M y radio MP traza una circunfe-

rencia.IV. Ahora hay dos circunferencias; observa que se

cortan en dos puntos; llámalos A y B.V. Une P con A y P con B

l Analiza la figura y contesta:

a) ¿Por qué podemos afirmar que PAy PBson tangentes a la circunferencia?

b) Busca una relación entre las medidas de las tangentes PAy PB, elabora una conjetura y anótala.

7 Considerenquelosladosdelcuadriláterosontangentesalcírculoycontesten.

a) Si AB + CD = 9.5 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero?

Argumenten su respuesta.

b) Si AB + CD = 2x, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero?

8 Comentensusrespuestasalosejercicios6y7.Esimportantequetomenencuen-taquealmedirpuedencometerseerroresdeaproximación.

Si dos segmentos trazados desde el mismo punto exterior son tangentes a una circunferencia, entonces tienen la misma medida.

1.3.

Det

erm

inar

med

iant

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nstr

ucci

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las

posi

cion

es re

lativ

as e

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rect

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Cara

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cta

seca

nte

y la

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a u

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ircun

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ncia

.

P

C

A

C

D

B

36

Lección 11

1 Resuelvelossiguientesproblemasdeconstrucción;entodosloscasosusatusins-trumentosgeométricos.

a) En la circunferencia C1 marca un punto y llámalo A. Traza otra circunferencia que toque a C1 sólo en el punto A.

b) En la circunferencia C2 marca dos puntos y llámalos A y B. Traza otra circunferencia que también pase por A y por B.

c) Traza una circunferencia que tenga su centro fuera de la circunferencia C3 y que no la toque en ningún punto.

PosicionesrelativasHasta ahora has estudiado que hay rectas tangentes y secantes a una circunferencia. ¿Habrá circunferencias tangentes entre sí ?, ¿circunferencias secantes entre sí ?

C1

O

C2

O

C3

O

37

1.3.

Det

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iant

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ucci

ones

las

posi

cion

es re

lativ

as e

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ias.

Cara

cter

izar

la re

cta

seca

nte

y la

tang

ente

a u

na c

ircun

fere

ncia

.

d) Traza una circunferencia que tenga el mismo centro que C4 y que su radio sea diferente al de C4.

e) Traza una circunferencia dentro de la circunferencia C5 de tal manera que su centro no sea el punto O y no toque a C5 en ningún punto.

2 Comparenlosprocedimientosyresultadosfinalesdelostrazosanteriores.Leanlasiguienteinformaciónydespuésanotenjuntoacadatrazolaposiciónrelativadelascircunferencias.

Dos circunferencias pueden tener diferentes posiciones relativas entre sí:

Secantes: Se cortan en dos puntos.Exteriores: Una está fuera de la otra y no se tocan en ningún punto.Interiores: Una está dentro de la otra y no se tocan en ningún punto.Tangentes: Se tocan sólo en un punto; pueden ser tangentes exteriores o tangentes interiores.Concéntricas: Sus centros coinciden.

3 Sisecomparalasumadelosradiosdelasdoscircunferenciasconladistanciaen-treloscentros,¿cómosonentresíestasmedidaspara…

a) dos circunferencias tangentes exteriores?

b) dos circunferencias secantes?

c) dos circunferencias exteriores?

4 Tracenensuscuadernosdoscircunferencias,unade3cmderadioylaotrade4cmderadio,encadaunadelastresposicionesindicadasenelejercicio3,yveri-fiquensisecumplensusrespuestas.

C4

O

C5

O

38

Lección 12

1 Anota✓alosánguloscuyovérticecoincideconelcentrodelacircunferenciaycuyosladossondosradiosdelacircunferencia.

2 Trazaencadaunadelassiguientescircunferenciasunánguloconvérticeenelcentroyladosdosradiosconlamedidaqueseindica.

En una circunferencia, se le llama ángulocentral al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios.

Un ángulo central determina un arco, es decir, una parte de circunferencia. Al igual que el ángulo central, el arco puede medirse en grados; por ejemplo, este arco mide 90°.

3 Encadacaso,anotalamedidaengradosdecadaarcomarcadoconrojo.

Ángulos,arcosycuerdasIEl círculo tiene propiedades que uno no se imagina. En esta lección y en la siguiente continuarás explorando algunas de estas propiedades.

90° 60° 140° 220°

39

4 Marca,respectivamente,unarcode60°,200°y180°.

5 Leanlainformacióndelrecuadro.

A un ángulo central también le corresponde una cuerda: es el segmento que une los dos extremos del arco.

Debido a que un ángulo central divide a la circun-ferencia en dos arcos; es importante marcar el ángulo que se está considerando, para saber cuál es el arco que le corresponde.

a) Anoten si la afirmación es falsa (F) o verdadera (V)

l La cuerda de un arco de 90º tiene el doble de longitud que la cuerda de un arco de 45º

l Si se duplica la medida de un arco, también se duplica la medida del ángulo central correspon-

diente

l Si dos ángulos centrales miden lo mismo, las cuerdas correspondientes tienen la misma longitud

b) Se tienen dos círculos de distintos tamaños. En cada uno se marca un ángulo central de 45° y también el arco y la cuerda correspondientes.

l ¿Los dos ángulos centrales miden lo mismo?

l ¿Las dos cuerdas miden lo mismo?

l ¿Los dos arcos miden lo mismo?

6 Conayudadesumaestro,comparensusrespuestasalaspreguntasanteriores.

1.4.

Det

erm

inar

la re

laci

ón e

ntre

un

ángu

lo in

scrit

o y

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ngul

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l de

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mbo

s ab

arca

n el

mis

mo

arco

.

Arco 77°

Cuerda

77°

40

Lección 13

1 Beto(B),Carlos(C),Dany(D)yÉric(E)estánenlassiguientesposicionesparatiraragol.Consideraqueelángulodetirodecadaunoestáenelplanodelpiso,comoeldeÉric.

a) A simple vista, ¿quién de los cuatro te parece que tiene el ángulo de tiro de mayor tamaño?

b) Traza los tres ángulos que faltan y mídelos todos. Ve-rifica si tu respuesta a la pregunta anterior es correcta.

2 Conayudadetumaestro,revisensusrespuestasalaactividadanterioryleanlasiguienteinformación.

En una circunferencia, se le llama ánguloinscrito a aquel cuyovértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.

3 Encadacircunferenciasehatrazadounánguloinscritoenazulyunángulocentralenrojo,ambosabarcanelmismoarco.

Calca y recorta el ángulo central de la primera circunferencia y dóblalo a la mitad. Compara la medida de la mitad del ángulo central con el ángulo inscrito. Repite lo anterior en todas las circunferencias.

Anota tus hallazgos.

Ángulos,arcosycuerdasIIEn la lección anterior aprendiste que si dos ángulos centrales abarcan el mismo arco entonces tienen igual medida ¿Y si un ángulo es central y el otro no?, ¿qué sucede en estos casos?

B

C D

E

41

4 Enlasiguientefigura,Oeselcentrodelacircunferencia.Averigüencuáleslame-didadelosángulosA,ByCsinusartransportador,usandosolamentelainforma-ciónqueseda.Lesservirárecordarque:

l la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es de….l un ángulo llano mide…. l los ángulos de la base de un triángulo isósceles son….

5 Conayudadesuprofesor,haganlosiguiente.

a) Vean si ustedes encontraron las mismas medidas que sus compañeros para los ángulos B y C. Si hay diferencias, analicen juntos en dónde están los errores.

b) Expliquen cómo encontraron las medidas y vean si sus compañeros las encontraron de la misma manera.

c) Completen la siguiente tabla.

Si el ángulo D midiera la medida del ángulo A sería la medida del ángulo C sería

130°

150°

160°

x

2x

d) Observen que en la figura anterior, el ángulo inscrito C y el ángulo central A abarcan un mismo arco. Observen también que A siempre mide lo doble que C.

Esto que acaban de hacer para un caso de ángulos inscritos y centrales se cumple para todos; en estudios posteriores podrán demostrarlo.

La medida de un ánguloinscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central que abarca el mismo arco.

Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco miden lo mismo

1.4.

Det

erm

inar

la re

laci

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un

ángu

lo in

scrit

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ngul

o ce

ntra

l de

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circ

unfe

renc

ia,

si a

mbo

s ab

arca

n el

mis

mo

arco

.

D= 120°

A

B

C

0

42

Lección 14

1 Sinmedir,enlaprimeracircunferenciatrazaunánguloinscritoquemidalami-taddelángulocentralyenlasegundacircunferenciatrazaunánguloinscritoquemidalomismoqueelángulocentral.

2 Unánguloinscritoabarcaunarcoigualalamitaddeunacircunferencia.

l ¿Cuánto mide el ángulo?

l Argumenten su respuesta.

3 Enlafigura,MNesundiámetro.

a) ¿Cuánto mide el ángulo inscrito MPN?

_____________________b) ¿Cómo lo averiguaste?

___________________________________________

___________________________________________

4 EnlafiguraACyBDsondiámetros.

a) ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD?

_____________________b) Argumenta tu respuesta.

___________________________________________

___________________________________________

TriángulosycircunferenciasUn triángulo está inscrito en una circunferencia de tal manera que uno de sus lados es un diámetro, ¿qué tipo de triángulo es?

M

P

N

D

A

C

B

43

5 ConsideraelsegmentoPQ

a) Traza varios rectángulos de tal manera que PQ sea una de sus diagonales.

b) ¿Qué puedes decir de los otros dos vértices de todos los rectángulos que trazaste?

6 Comentensusresultadosdelosejerciciosanteriores.

7 EltriánguloABCesuntriángulorectángulo.

a) ¿Cuál es el ángulo recto?

b) Traza la circunferencia que pasa por los tres vértices.

c) Si AB mide 15 cm, ¿cuánto mide la mediana trazada con rojo?

d) ¿Si AB mide x, ¿cuánto mide CD?

8 Guíatesóloporlospuntosy,sinmedir,trazaenlacircunferenciauntriánguloins-critocuyosángulosmidan30°,45°y105°.

9 Enlacircunferencia.

a) Traza un triángulo cualquiera cuyos vértices estén so-bre la circunferencia.

b) Usa la figura para demostrar que los ángulosinteriores de un triángulo siempre suman 180°. Escribe tus argumentos en tu cuaderno.

10 Comparaconotroscompañerostusrespuestasyprocedimientos.

1.5.

Cal

cula

r la

med

ida

de lo

s án

gulo

s in

scrit

os y

cen

tral

es, a

sí c

omo

de a

rcos

, el á

rea

de s

ecto

res

circ

ular

es y

de

la c

oron

a.

P Q

A

BC

D

44

Lección 15

1 Juegaconuncompañero,setratadeformarelmayoránguloinscrito.

a) Elige un punto P sobre la siguiente circunferencia de tal manera que formes el ángulo inscrito APB.

b) En esta misma circunferencia, tu compañero elige otro punto Q de tal manera que forme el án-gulo inscrito AQB.

c) Gana el que forme el ángulo inscrito de mayor medida; comprueben midiendo con un transpor-tador.

d) Jueguen dos veces en la circunferencia de tu libro y dos veces en la circunferencia del libro de tu compañero.

2 Enlacircunferenciasehanmarcadolospuntoselegidosporvariosalumnos.

a) ¿Quién ganó?

b) ¿Quiénes quedaron empatados?

c) ¿Cuánto mide el ángulo que formó Fer?

d) ¿Cuánto mide el ángulo que formó Bety?

Unjuegosobreángulos¿Siempre se puede trazar una circunferencia que pase por los cuatro vértices de un cuadrilátero?

A B

A B

Bety

Fer

Ara

Luis

45

3 Trazaelánguloformadoporcadaalumnoy,sinmedir,subrayaencadacircunfe-renciaelnombredelalumnoqueganó.

4 Contestalassiguientespreguntas.Nonecesitasmedircadaángulo.

a) ¿Cuánto suman los ángulos formados por Pedro y Luis?

b) ¿Cuánto suman los ángulos formados por Vero y Esther?

c) Explica cómo se pueden conocer las sumas anteriores sin medir los ángulos.

5 ¿Cómoconvenceríasaotroalumnodelosiguiente?

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos siempre suman 180°.

Escribe aquí tu argumento.

6 Trazaunacircunferenciaquepaseporloscuatrovérticesdecadacuadrilátero,enloscasosenqueestoseaposible.

7 Conayudadesumaestro,comparensusrespuestasalaspreguntas4,5y6.Des-puéscontestenentretodoslapreguntaconlaqueempezóestalección:

¿Siempre se puede trazar una circunferencia que pase por los cuatro vértices de un cuadrilátero?

1.5.

Cal

cula

r la

med

ida

de lo

s án

gulo

s in

scrit

os y

cen

tral

es, a

sí c

omo

de a

rcos

, el á

rea

de s

ecto

res

circ

ular

es y

de

la c

oron

a.

A Vero

Esther

B

A BLuis

Pedro

M

Q

NP

80°

80°

100°

100°

A Vero

Esther

B

A BLuis

Pedro

∡M 1 ∡P 5 180°

46

Lección 16

1 Consideraqueloscuadradosmiden4cmdeladoyparaπtomaelvalor3.14.Cal-culaelperímetroyeláreadecadafiguradecolor.

a) b) c)

P 5 ____________ P 5 ____________ P 5 ____________

A 5 ____________ A 5 ____________ A 5 ____________

d) e)

P 5 ____________ P 5 ____________

A 5 ____________ A 5 ____________

2 Consideraqueelladodeltriánguloequiláteromide4cmysualturamide3.46m.Paraπtomaelvalorde3.14.Encadacasocalculaelperímetroyeláreadelapartecoloreada.Puedesusartucalculadora.

a) b) c) d)

P 5 ____________ P 5 ____________ P 5____________ P 5____________

A 5 ____________ A 5 ____________ A 5 ____________ A 5 ____________

DiseñosconcírculosHay figuras cuya área parece imposible de calcular… hasta que descubres que con algunas transformaciones se vuelve una tarea muy sencilla.

47

3 Consideralosmismosvaloresdelejercicioanteriorycalculaeláreaoperímetrodelaspartescoloreadas.

a) b)

Perímetro 5 ____________ Área 5 ____________

c) d)

Perímetro 5 ____________ Área 5 ____________

4 Tomalasmedidasqueconsideresnecesariasycalculaeláreadecolordecadafi-gura.Puedesusartucalculadora.

a) b) c)

5 Comparatusresultadosyprocedimientoconotroscompañeros.

1.5.

Cal

cula

r la

med

ida

de lo

s án

gulo

s in

scrit

os y

cen

tral

es, a

sí c

omo

de a

rcos

, el á

rea

de s

ecto

res

circ

ular

es y

de

la c

oron

a.

48

Lección 17

1 Resuelveelsiguienteproblema.

Alejandro dio un paseo en bicicleta sobre un camino que tiene un tramo de subida, en el que avanzó muy lento; uno plano, en el que fue un poco más rápido; y uno de bajada que recorrió mucho más rápido. Lo que no se sabe es qué tramo venía primero y cuál después.

La siguiente gráfica indica la distancia que Alejandro llevaba recorrida en cada minuto del trayecto. Analízala y averigua en qué orden venían los tres tramos que Alejandro recorrió.

a) A partir de la gráfica, contesta las siguientes preguntas.

l ¿Cuál fue la longitud total del trayecto?

l ¿Cuánto tiempo duró en total el trayecto?

l ¿Qué distancia llevaba recorrida a los 30 minutos?

LavelocidadcomorazóndecambioUn automóvil recorre 160 km en hora y media. Si mantiene una velocidad constante, ¿cuál es la velocidad en kilómetros por hora? La velocidad del automóvil es una razón que indica cómo cambia la posición del automóvil con respecto al tiempo; por eso es una razóndecambio.

0 10

Distancia (km)

Tiempo (min)

40

35

30

25

20

15

10

5

020 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

49

b) Completa los datos de la siguiente tabla.

Primer tramo Segundo tramo Tercer tramo

Tiempo que se hizo en el tramo ____ minutos 45 minutos 45 minutos

Distancia recorrida en el tramo 20 km _____ km 5 km

Velocidad promedio en el tramo, en metros por

minuto111.11 m/min

c) ¿En qué tramo Alejandro avanzó más rápido? __________________________

2 Lassiguientesrectassongráficasdelare-laciónentretiempoydistanciadelmovi-mientodecuatrotrenes,suponiendoquefueranaunavelocidadconstante.

x representa el tiempo en horas y y la distancia en kilómetros.

a) ¿De qué color es la recta que grafica el movi-

miento del tren más veloz? ______________

b) ¿Y del más lento? ______________________c) Traza en el mismo plano cartesiano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren más

veloz que cualquiera de los cuatro anteriores.d) Traza en el mismo plano cartesiano una recta que sea la gráfica del movimiento de un tren me-

nosveloz que cualquiera de los cuatro anteriores.

3 Indiquencuálesdelassiguientesfrasessonverdaderas,cuálessonfalsasycomen-tenlainformaciónquesedaalfinal.

Un tren A va más rápido que un tren B si:

a) por cada minuto, el tren A avanza más kilómetros que el B.b) el tren A tarda más minutos que el B en avanzar 100 kilómetros.c) dado un mismo aumento en el valor de x (tiempo) en la dos gráficas, aumenta más el valor de

y (distancia) en la gráfica del tren A. d) dado un mismo aumento en el valor de y (distancia) en las dos gráficas, aumenta más el valor de

x (tiempo) en la gráfica del tren A.e) la gráfica del tren A es una recta más “acostada” que la del tren B.

Para determinar cuál es el movimiento más rápido, no basta con mirar solamente el tiempo transcurrido, ni tampoco solamente la distancia recorrida. Es necesario considerar la relación entre el tiempo y la distancia, por ejemplo,160 km en 30 minutos, o 320 km por hora. Esta relación es una razón, o razóndecambio, y se llama velocidad.

1.6.

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Dis

tan

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(km

)

y

xTiempo (horas)

50

Lección 18

1 Consideraqueuntrozodehielosecalentóbajociertascondiciones.Medianteunmecanismofueposiblemedirsutemperaturacadainstantedurante6minutos;elresultadodelasmedicionesestárepresentadoenlagráfica.

a) Explica brevemente cómo varió la tem-peratura a lo largo de los 6 minutos, no olvides mencionar el tramo horizontal.

b) La gráfica permite identificar tres comportamientos distintos en la variación de la temperatura. ¿A qué intervalos de tiempo corresponden esos comportamientos?

Para saber cuánto varía la temperatura porminuto en cada uno de los intervalos de tiempo, calcula los siguientes cocientes.

Variación de temperatura entre los minutos 0 y 2 Tiempo transcurrido entre los minutos 0 y 2 5



Lo que calculaste son razones que indican la variación de la temperatura porminuto. También se les llama razonesdecambio de la temperatura.

c) Observa que las razones de cambio de temperatura son diferentes.

l ¿En cuál de los tres intervalos de tiempo no hubo cambio de temperatura? _______

l ¿En cuál el aumento de temperatura por minuto fue mayor?___________________

VariacionesdetemperaturaLas razones con las que trabajaste en la lección expresaban velocidades y eran positivas.¿Hay razones negativas? Si las hay, ¿cómo se interpretan?

Tiempo (minutos)

Temperatura (ºC)

10

5

-10

-5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

51

d) La ecuación que relaciona x con y en el primer intervalo es y 5 5x 2 10. ¿Cuál es la pendiente?

¿Qué relación tiene esta pendiente con la razón de cambio que encontraste?

2 Consideraahoralasiguientesituación:unreci-pientequecontieneaguaa20°Csepusoaen-friarenunmedioquepermiteunenfriamientoconstante.Aligualqueenelproblemaanterior,semidiólatemperaturaduranteunperiodo.Losresultadosdeestasmedicionesestánrepresen-tadosenlagráficadeladerecha.

a) ¿Qué sucede con la temperatura conforme el tiempo aumenta?

b) Calcula las siguientes razones. Expresa la disminución de la temperatura con un signo negativo.

Variación de temperatura entre los minutos 0 y 4Tiempo transcurrido entre los minutos 0 y 4



c) Habrás notado que las razones son iguales, ¿qué representan estas razones?

d) La ecuación que relaciona x con y es y 52 32 x 1 20. ¿Cuál es la pendiente?

¿Qué relación tiene esta pendiente con la razón de cambio que encontraste?

3 Comparacontuscompañerostusrespuestas;leanestainformación.

Una característica de las rectas es que la razóndecambio es constante. Si cuando x au-menta y también aumenta, la razóndecambioes positiva.

En el ejemplo de disminución de temperatura, mientras x aumenta, y disminuye, por eso la razóndecambio de la recta es negativa.

La razóndecambio de una recta es su pendiente.

1.6.

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eso

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se m

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rect

a qu

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repr

esen

ta.

t (minutos)

T (ºC)

10

5

20

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

5 –6

5

5

52

1 Encadacasoestánlascoordenadasdedospuntos.Acadapuntolecorrespondeunarectaquepasaporesepuntoyporelorigen.

Sin trazar la recta, anota cuál de las dos crees que tiene la mayor pendiente, es decir, cuál se acerca más a la vertical.

Pista: dado un punto de coordenadas (x, y), imagina que al desplazarte x unidades sobre el eje horizontal, subes y unidades sobre el vertical. ¿En qué caso la pendiente es mayor, cuando te des-plazas 1 para subir 2 o cuando te desplazas 1 para subir 3?

a)

Recta Pasa por ¿Qué recta crees que tiene la mayor pendiente? ¿Cómo lo sabes?

m (0, 0) y (1, 2)

n (0, 0) y (1, 3)

b)

p (0, 0) y (1, 2)

q (0, 0) y (4, 8)

c)

r (0, 0) y (4, 8)

s (0, 0) y (3, 8)

Traza las rectas en un plano cartesiano y verifica tus respuestas.

2 Comparensusrespuestasconlasdeotroscompañeros.

3 EnlassiguientestablassehancalculadolosvaloresdedospuntosderectasqueNOpasanporelorigen.

Rectaa Rectabx y1 52 9

a) Sin trazar las rectas, anoten cuál de las dos creen que tiene mayor pendiente, es decir, que se acerca más a la vertical.

b) Argumenten su respuesta.

Lección 19 LapendientecomorazóndecambioEn segundo grado aprendiste que la pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la misma; en las dos lecciones anteriores has descubierto que la pendiente ¡también es una razón! En esta lección seguirás explorando esta última idea.

x y2 43 5

53

4 Comentenconsuscompañerossurespuestaysusargumentos.Despuéstracenlasrectasenunplanocartesianoyverifiquensusrespuestas.Juntoconsumaestro,leanycomentenlasiguienteinformación.

La pendiente de una recta también es su razóndecambio de las ordenadas respecto a las abscisas:

Razón de cambio 5 cambio de ycambio de x

En el caso de funciones cuyas gráficas corresponden a rectas, la pendiente de la recta es igual a la razóndecambio.

Así como la pendiente de una recta es constante, su razón de cambio también es constan-te. Entonces, para calcularla podemos elegir dos puntos cualesquiera de la recta; por ejemplo, si elegimos (6, 11) y (3, 7):

Razón de cambio 5 cambio de ycambio de x

Razón de cambio 5 11 2 76 2 3

Razón de cambio 5 4 3

Esta razón de cambio indica que, por cada vez que la x au-menta 3, la y aumenta 4. O, lo que es lo mismo, cada que la x aumenta 1, la y aumenta 1.333.

5 Enlassiguientestablassehancalculadolosvaloresdealgu-nospuntosdelasrectas,anotaelvalordesurazóndecambio(pendiente).

6 Consideralasiguienterecta.

¿Cuál es la razón de cambio (pendiente) de una recta que forme un ángulo de 45º con el ejex?

7 Inventayescribeentucuadernounproblemaqueseresuelvausandolarazóndecambiodeunarecta.Planteaelproblemaatucompañeroyresuelveelqueélteplantee.

8 Platicaantetugrupocómoobtuvistelasrespuestas.

1.6.

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rect

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esen

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x

y

(3, 7)

(6, 11)

y

x45º

x y0 51 72 93 11

x y0 2.5

0.5 31 3.5

1.5 4

x y

0 0

12 2

32 6

52 10

54

Lección 20

1 Contestaelsiguientecuestionario.

Nombre: ______________________________________

1. ¿Cuánto mides de estatura?

2. ¿Estudias mucho?

3. ¿Qué deporte te gusta más?

4. ¿Tienes letra bonita?

5. ¿Cuántas habitaciones tiene tu casa?

2 Reúneteconotroscompañeros,comparensusrespuestasyjuntoscontinúenre-solviendoloquerestadelalección.

3 Conrespectoalapregunta1:

a) La medida que anotó cada uno, ¿corresponde a su estatura con zapatos, sin zapatos, o la medida de algunos es con zapatos y la de otros, sin zapatos?

b) ¿Hace cuánto tiempo que se midió cada uno?

c) ¿Hubo alguien que no sabía su estatura y dijo un número aproximado? ¿Quién?

d) Si quisieran saber con certeza la estatura actual de cada uno, ¿consideran conveniente tomar en cuenta lo que contestaron en el cuestionario?

e) ¿Qué proponen para recabar información precisa y confiable sobre la estatura de cada uno?

PreguntasadecuadasynotanadecuadasCuando se quiere saber algo, una manera de recabar información es por medio de preguntas, pero ¿cómo hacer preguntas adecuadas de las cuales se obtenga información precisa y confiable?

55

4 Conrespectoalapregunta2,considerenqueunequipodecuatroalumnoscon-testólosiguiente:

AlumnoA:Sí (no estudia en las tardes pero considera que pasar toda la mañana en la escuela es estudiar mucho).

AlumnoB: Sí (además de estar en la escuela, todas las tardes estudia un promedio de 3 horas).AlumnoC: No (sólo estudia en la escuela, al llegar a casa no abre ni un libro).AlumnoD: No (estudia todas las tardes pero siente que no es mucho porque su hermano

estudia como una hora más que él).

a) Comparen las respuestas de ustedes y comenten si los criterios para decir si estudian o no es-tudian mucho son iguales en todos.

b) ¿La pregunta permite saber quiénes estudian mucho y quiénes no?

c) Si quisieran saber cuánto estudia cada uno, ¿qué pregunta formularían?

5 Comentenlaspreguntas3,4y5delcuestionario.Anotenensucuadernoparaquépodríaservirsaberlasrespuestasycómoinvestigaríanesosdatosdeunamaneraadecuada.

Un cuestionario es útil para recabar información.Las preguntas deben plantearse de acuerdo con el propósito de lo que se investiga. Para que funcionen bien, se debe preguntar exactamente lo que se desea saber, las pregun-

tas deben ser cortas, fáciles de entender y de responder. Además, la pregunta debe hacerse de manera que la respuesta sea lo más precisa posible.

En general, es recomendable probar el cuestionario con algunas personas antes de apli-carlo para la investigación final.

En algunas ocasiones es mejor recabar la información de manera directa en lugar de hacer preguntas (como en el caso de las estaturas de los alumnos).

6 Elijanunodelostemasdelastresprimeraspreguntas(estaturas,tiempodeestu-dioodeportes).Haganunbreveestudiosobreél:decidancómorecabarlainfor-mación–siesconunapreguntaháganlademaneraadecuada–,elijanaquiénesinvestigarán,acuántaspersonas,organicenlosdatosentablasy/ográficas–siloconsideranadecuadopuedencalcularalgunadelasmedidasdetendenciacentral(media,medianaomoda)–ydespuéspresentenalgruposusresultados.

1.7.

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56

LapresentaciónmásadecuadaCuando se hace un estudio estadístico los datos recabados se comunican mediante diversas formas; ¿cuál es la manera más adecuada para presentar los resultados?

1 LossiguientesresultadosfuerontomadosdeunapáginadeinternetquesededicaahacerencuestasenMéxico.1

Las respuestas corresponden a la pregunta ¿Cuálestusuperhéroefavorito? y aparecen cuatro op-ciones (spiderman, superman, batman, y el chapulín colorado) de entre las cuales el usuario de in-ternet elige una.

Discutan y anoten en su cuaderno cuál o cuáles de las siguientes consideran que es la manera más adecuada de presentar los resultados de esta encuesta y por qué lo consideran así. ¿Por qué consideran que las otras presentaciones no son adecuadas?

Lección 21

¿Cuál es tu superhéroe favorito?

Spiderman34%

Superman27%

Batman14%

El Chapulín Colorado

25%

2865

2283 2154

1175

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0Spiderman Superman BatmanEl Chapulín

Colorado


3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0Spiderman

2865

2283 2154

1175

Superman BatmanEl Chapulín Colorado



Spiderman 2 865

Superman 2 283

El chapulíncolorado

2 154

Batman 1 175

1Tomado de: http://www.lasencuestas.com/index.php?action=results&poll_ident=13 [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

57

2 Organicenunaencuestasobreelsuperhéroefavoritode30personas.Decidansiharánunapreguntaconopcionesparaquelosencuestadoselijanolaharánabier-taparaquecontestenloquequieran(analicenlasventajasydesventajasdecadacaso);tambiéndebendecidircuálserálapoblaciónencuestada.Unavezquehayanrecabadolosdatoselijanlamejormaneradepresentaralgrupolosresultadosyháganlo.

3 Lassiguientessondiferentespresentacionessobrelacotizacióndeldólarendife-rentesépocas.

Fuente: http://www.guanajuato.gob.mx/desarrollo/comunicados/documentos/200610101038300.boletin%20101006.pdf[Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

Fuente: http://www.monex.com.mx/contenidos/origen/190/1167/dlr.pdf[Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

a) Discutan cuál o cuáles presentaciones les pa-recen más adecuadas y por qué. Anótenlo en su cuaderno.

b) Comenten qué tipo de información, con res-pecto a la cotización del dólar, se presenta en cada caso.

c) Investiguen la cotización del dólar durante todo el mes anterior y presenten al grupo los resultados de su investigación.

1.7.

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11.6

11.4

11.2

11

11.8

11.6

11.4

20-A

br

04-M

ay

18-M

ay

01-J

un

15-J

un

29-J

un

13-J

ul

27-J

ul

10-A

go

24-A

go

07-S

ep

21-S

ep

05-O

ct

PESO-DÓLAR

Peso

s

11.80

11.70

11.60

11.50

11.40

11.30

11.2001 02 03 06 07 08 09 10 13 14

11.54

11.70

11.46

Septiembre 2004

11.38

11.44

11.61

15 17 20 21 22 23 24 27 28 29 30

Tipo de cambioventanilla vs. interbancario (48 hrs.)

Dólar Euro

Peso

s

Cotizaciones del peso al 13 de junio de 2006

Apertura Máximo Mínimo Cierre Var.

Martes 11.4200 11.4733 11.4160 11.4675 0.0425

Lunes 11.3795 11.4250 11.3775 11.4250 0.0320

semanal 11.3553 11.3809 11.3315 11.3530 0.0729

Mayo 11.0834 11.1273 11.0605 11.1005 0.0492

2005 10.8900 10.9103 10.8712 10.8901 -0.4007

FIX 14-Jun-06 11.4327 11-Jun-06 11.3827 -0.0500

En la última semana de diciembre, el dólar inter-bancario valor 48 horas (spot) se fortaleció 2.90 centavos frente al peso y cerró en 10.3040 uni-dades. El dólar acumula una apreciación de un peso con catorce centavos del 1 de enero de 2002 hasta el 27 de diciembre; mientras que, en diciembre, la divisa estadounidense mantiene una ganancia de 15.50 centavos; en tanto, en la sema-na del 23 al 27 el dólar sumó un avance de 9.50 centavos frente al peso. La pérdida que reportó la moneda mexicana durante la semana se debió a la debilidad del dólar estadounidense frente al euro, paridad que cerró en 1.037 unidades, y por el nerviosismo de los mercados ante un ataque de Estados Unidos a Irak.

Fuente: http://132.248.72.141/Boletin_electronico/2003/v9-01/finanzas.html#MERCADO%20CAMBIARIO,%20BMV%20Y%20TASAS%20DE [Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

Fuente: http://www.nafin.com/portalnf/files/pdf/Economia1004.[Fecha de consulta: 4 de octubre de 2007]

58

Lección 22

1 Considerenlasiguientesituación.

El equipo de maestros de una escuela, preocupados por las bajas calificaciones de los alum-nos, decidió investigar cuáles eran las materias de más bajo aprovechamiento. A partir de los datos que recaben, decidirán qué estrategias llevar a cabo, por ejemplo, asesorías en horas libres, clubes de tareas, elaboración de materiales de estudio, etcétera.

a) ¿Cuál es el problema que han detectado los maestros?

b) ¿Qué información necesitan recabar y cómo podrían recabarla? Explíquenlo con detalle.

c) Una vez que tengan la información, ¿cómo podrían organizarla para que fuera muy clara y fácil de interpretar? ¿Qué recursos les podrían servir?

2 Leanestainformación.

La estadística te permite estudiar un conjunto de datos con el propósito de obtener infor-mación que sirva para tomar decisiones. Un estudio estadístico puede realizarse de acuerdo con las siguientes tareas:

1. Especificarelproblema. Lo que se desea averiguar.2. Recopilarlosdatos. Determinar qué datos se requieren, la manera en que pueden

recabarse y después, recopilarlos.3. Organizarlosdatos. Decidir si se organizan en tablas y/o en diferentes tipos de gráfi-

cas como las de barras, polígonos de frecuencia, circulares, etc., y calcular alguna o algunas medidas como la media, la mediana o la moda.

4. Interpretarycomunicarlosresultados. Obtener conclusiones de los datos re-cabados y comunicarlas.

Delproblemaalacomunicaciónderesultados

En esta lección llevarás a cabo un pequeño proyecto de investigación en el que podrás usar tus conocimientos sobre tablas y gráficas; para ello, consulta tus libros de primero y segundo grado en caso de ser necesario.

59

3 Siganreunidosenequipopararealizarunestudiopormediodeuncuestionariocorto.Elcuestionariopuedetenerunasolapregunta.

Tarea1. Discutan en equipo qué problema les gustaría investigar mediante un cuestionario o, simplemente, qué información les interesaría conocer. La información puede ser sobre el grupo, la escuela o la comunidad. Cuando se hayan puesto de acuerdo, describan brevemente el problema en su cuaderno.

Tarea2.Decidan qué pregunta o preguntas tendrá su cuestionario y anótenla(s).

Tarea3.Decidan a quiénes y a cuántas personas aplicarán su cuestionario. Anótenlo.

4 Comentenantetodosloscompañerosdelgrupoloqueacordaronparalastareas1,2y3.Entretodoscomentenlosdiferentesproyectos,proponganmejorasyha-ganlasadecuacionesnecesarias.Cuandotodosesténdeacuerdo,continúenconlassiguientestareas.Estastareaslesllevaránvariosdías,póngansedeacuerdoconsumaestrosobrelasfechasenquepresentaránsusresultados.

Tarea4. Organícense en el equipo para recabar la información.

Tarea5. Organicen en tablas y gráficas (del tipo que consideren pertinentes) la información querecabaron.

Tarea6. Comuniquen a su gru-po los resultados a los que lle-garon.

5 Discutansobrelosdiferentesproyectospresentados;siesposiblehaganunperió-dicomuralenlaescuelaparacomunicarlosresultadosobtenidos.

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Lección 13

6060

I.Subrayalarespuestacorrecta.

1 ¿Cuáleseláreadelcuadrado?

a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 4x – 4c) x2 2 4x + 4 d) x2 + 2x – 4

2 Sesabequeeláreadeunrectánguloesx2+6x+8yquesualturamidex+4,¿cuántomidesubase?

a) x 1 2 b) x 1 4 c) x 2 2 d) x 2 4

3 ¿EncuáldelosdiagramaselsegmentoABestangentealacircunferencia?

a) b)

c) d)

4 ¿CuántomideelánguloABC?

a) 100°b) 80°c)50°d) 25°

Repasemosloaprendido

x � 2

A

70°20°

C

B

A

80°20°

C

B

A

50° 35°

CB

A

40°17°

C

B

A

70°20°

C

B

A

80°20°

C

B

A

50° 35°

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A

40°17°

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B

A

70°20°

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B

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50° 35°

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A

40°17°

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B

A

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B

A

50° 35°

CB

A

40°17°

C

B

A

B

C

100°

6161

5 Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuánto mide el ángulo MNP?

a) 110°b) 90°c) 70°d)20°

6 Consideralasiguientegráfica,¿cuáleslarazóndecambiodelarecta?

a) 1b) 2c) 3d) 4

7 ¿Cuáldelassiguientesrectastieneunarazóndecambionegativa?

a) b)

c) d)

8 ¿Cuántomidelasuperficieazulsielradiodelcírculomayores2xyeldelmenoresx?

a) 4x2 2 πx2 b) 4πx2 + 2πx2

c) 4πx2 2 2πx2 d) 4πx2 2 πx2

II.Trazaentucuadernoloqueseindica1.Un cuadrilátero cuyas diagonales se corten en su punto medio.2. Un cuadrilátero con cualquier par de ángulos contiguos que sumen 180°.

O

70°

N

M

P

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

y

x

6262

Eratóstenes fue un matemático, astrónomo, geógrafo y poeta griego. En el año 236 antes de nuestra era fue llamado a Egipto para que se hiciera cargo de la biblioteca de Alejandría. Gracias a un papiro de la biblioteca, Eratóstenes sabía que Siena (hoy Asuán, en Egipto) está situada prácticamente sobre el trópico de Cáncer, así que el día del solsticio de verano, a mediodía, los objetos en esta ciudad no proyectaban sombra alguna. Eratóstenes consideró que Siena y Alejandría se encontraban a la misma longitud, por lo que estaban sobre una circunferencia que pasa por los polos (realmente distan 3º). También pensó que debido a que el Sol se encuentra tan alejado de la Tierra, sus rayos podían suponerse paralelos entre sí.

En Alejandría, el día del solsticio de verano, Eratóstenes enterró una vara en el suelo y se dio cuenta de que, a pesar de ser mediodía, la vara sí proyec-taba una sombra. Utilizó entonces un instrumento parecido a un reloj de sol para determinar que el ángulo que se formaba entre la vara y los rayos del sol era de 150 de 360°.

l Si C es el centro de la circunferencia que repre-senta a la Tierra, Eratóstenes se dio cuenta de que el ángulo ACS mide también 1/50 de 360°.

l Dibuja y escribe una justificación para esta afir-mación. (Sugerencia: utiliza lo que sabes de los ángulos que se forman cuando una recta corta dos rectas paralelas.)

LasmatemáticasenlamedicióndelacircunferenciadelaTierra

C

A

S

Eratóstenes consideró que los rayos solares eran paralelos, sabía que en Siena (S) los objetos no ge-neraban sombra. En Alejandría (A) midió el ángulo que se formaba entre los rayos solares y la vara.

636363

La leyenda dice que Eratóstenes mandó medir la distancia entre Siena y Alejandría, pero es probable que ya conociera ese dato. Para sus cálculos tomó la distancia de 5 000 estadios. Éste es el tamaño del arco de la circunferencia comprendido entre A y S.

l Con este dato Eratóstenes pudo calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra. Ahora haz tú el cálculo:

La circunferencia de la Tierra mide __________ estadios. Justifica tu respuesta.

l Se piensa que el estadio que utilizó Eratóstenes medía 158 m. ¿Cuántos kilómetros calculó Eratóstenes

que mide la circunferencia de la Tierra? _____________________

l Eratóstenes pudo confirmar su teoría de que la Tierra es redonda y no plana como se llegó a pensar. ¿Qué hubiera pasado con la sombra de la vara en Alejandría si la Tierra fuera plana?

Parainvestigar

l Actualmente se cuenta con instrumentos muy precisos. De hecho se sabe que la Tierra no es totalmente redonda, sino que está ligeramente achatada. Investiga cuántos kilómetros mide la circunferencia ecua-torial de la Tierra y cuánto mide la circunferencia polar.

l ¿Eratóstenes midió la circunferencia ecuatorial o la circunferencia polar? Justifica tu respuesta.

l Investiga qué es el trópico de Cáncer y el trópico de Capricornio y qué son los equinoccios y los sols-ticios.

l Investiga por qué fue tan importante la biblioteca de Alejandría.

6464

Los flexágonos son objetos de papel que en lugar de tener 2 caras tienen 3 o más.El flexágono más simple es el trihexaflexágono, que tiene tres caras y seis lados.

Para hacer un trihexaflexágono

1 Recorta una tira de papel con 10 triángulos equiláteros. El lado de cada triángulo debe medir al menos 4 cm.2 Colorea los triángulos. Sigue la numeración que se muestra, de manera que cada número indique un color distinto.

3 Voltea la tira y coloréala siguiendo la numeración. El lado blanco de la izquierda va atrás del lado de color 3. Los triángulos blancos se van a pegar uno encima del otro.

4 Dobla la tira sobre todas las líneas varias veces para que el flexágono sea más flexible.

5 Dobla la tira hacia atrás como se muestra. En el segundo paso, al doblarla otra vez hacia atrás, se coloca el pe-núltimo triángulo sobre el primero, de esta manera, en el frente, todos los triángulos son de color 1.

6 El triángulo sobrante se dobla y se pegan los dos triángulos blancos uno encima del otro.

Flexionando el flexágono

Puede ser difícil abrir el flexágono la primera vez, hazlo con cuidado. El flexágono se abre como una flor para que aparezca la cara con el color 3

Al flexionar el flexágono van apareciendo las tres caras. ¡Inventa tus propios diseños!

Y para terminar...

Flexágonos

3

1 2 2

1

1

1 2

3

3

3 3

2

2

2 3

1

1

2 2

3

3

1

1

1

1

1

1

1

11

1

2

2 2

3

3

1

1

1

1

1

1

1

11

1

2

1.4.

Uso

del

leng

uaje

nat

ural

par

a ex

plic

ar e

l sig

nific

ado

de a

lgun

as fó

rmul

as g

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inte

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tand

o lit

eral

es c

omo

núm

eros

gen

eral

es c

on lo

s qu

e es

pos

ible

ope

rar.

65

En una tienda de fotografía, al revelar el carrete entregan tres copias de cada exposición: normal, reducida y ampliada.

Al observar las fotografías de abajo es evidente que tanto la ampliada como la reducida conservan la misma forma que la normal, pero varían sus dimensiones.

La fotografía ampliada y la reducida son semejantes a la normal.

En este bloque estudiarás algunas propiedades de las figuras semejantes.

En este bloque estudiarás:• ecuaciones no lineales

para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas;

• ecuaciones cuadráticas que modelan;

• situaciones y resolverlas usando la factorización.

• figuras semejantes y a comparar las medidas de los ángulos y de los lados.

• los criterios de semejanza de triángulos.

Los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos.

La semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

• índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.

• la simulación para resolver situaciones probabilísticas.

BLOQUE 2

66

Lección 23

1 Lossiguientesenunciadosdicenquérelaciónexisteentrelasmedidasdelosladosdelosrectángulosqueaparecenenseguida.Anotenlamedidaquelecorrespondeacadaladousandounaliteral.LafiguraCesunejemplo.

Figura A: el largo mide 5 metros más que el ancho.

Figura B: el largo mide 3 veces el ancho.

Figura C: el ancho mide 3 metros menos que el largo.

Figura D: el ancho mide la mitad del largo.

2 Paracadaunodelosrectángulosanteriores,formulenunaecuaciónquerelacionelasmedidasdelosladosyelárea.NuevamentelafiguraCesunejemplo.

Figuras Ecuaciones

ABC x(x - 3) 5 550; x2 2 3x 5 550D

3 Conayudadesuprofesoroprofesora,comparenlosresultadosdelatablaanterior,enparticular;analicenenquésondiferenteslasecuacionesdeprimerysegundogrado.Anotensuconclusión:

LamedidadeunladoAnteriormente has estudiado las ecuaciones de primer grado, así como diferentes problemas que se puedan resolver con ellas. Ahora empezarás a estudiar las ecuaciones de segundo grado. ¿Cómo son estas ecuaciones y cómo se usan? De aquí en adelante podrás averiguarlo.

Área 5 234 m2 Área 5 1083 m2

Área 5 550 m2 Área 5 800 m2

A B

C D

x 2 3

x

67

4 Paracadaunadelasecuacionesdelatablaanterior,encuentrenunvalordexquesatisfagalaecuación.Puedenusarelprocedimientoquequieranylacalculadora.Despuéshaganlosiguiente:

a) Anoten con números el largo y el ancho de cada uno de los siguientes rectángulos, que son los mismos de la página anterior.

b) Verifiquen que con las medidas anotadas se obtiene el área que se indica.

5 Conayudadesuprofesoroprofesora,comparenlasmedidasqueanotaronenlosrectángulos;sihaydiferencias,tratendelocalizarloserroresycorrijan.

6 Formulenlaecuacióndesegundogradoquecorrespondeacadaunodelossi-guientesproblemasyresuélvanla.

a) El área de un cuadrado es 182.25 m2, ¿cuánto mide un lado de ese cuadrado?

Ecuación: Medida de un lado

b) El área de un rectángulo es 358 m2; si el largo mide el triple que el ancho, ¿cuáles son las medidas del rectángulo?

largo:Ecuación: Medidas ancho:

7 Leelasiguienteinformación

Una ecuación como x2 2 3x 5 550 es de segundo grado, porque la incógnita está elevada al cuadrado. Cuando la incógnita está elevada al cubo, como en x3 5 8, se trata de una ecua-ción de tercer grado.

Un número que satisface la ecuación x2 2 3x = 550 es 25, porque 252 – 3(25) = 550.

Área 5 234 m2 Área 5 1083 m2

Área 5 550 m2 Área 5 800 m2

A B

C D

2.1.

Util

izar

ecu

acio

nes

no li

neal

es p

ara

mod

elar

situ

acio

nes

y re

solv

erla

s ut

iliza

ndo

proc

edim

ient

os

pers

onal

es u

ope

raci

ones

inve

rsas

.

68

1 Anotenlainformaciónquefaltaenlasiguientetabla.

Problemas Ecuaciones Soluciones

El cuadrado de un número más 11 es igual a 92. ¿Cuál es ese número?

El cuadrado de un número menos 15 es igual a 106. ¿Cuál es ese número?

El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 182. ¿Cuál es ese número?

x2 2 x 1 12 5 144

El cuadrado de un número más el doble de ese nú-mero menos 5 es igual a 75. ¿Cuál es ese número?

2 Conayudadesuprofesoroprofesora,haganlosiguiente:

a) Revisen la primera columna para ver si el problema que ustedes escribieron corresponde a la ecuación ya escrita.

b) Revisen la segunda columna para ver si las ecuaciones que escribieron coinciden.

c) Revisen las soluciones y verifiquen que los valores encontrados satisfacen las condiciones de cada problema.

3 Leelasiguienteinformación.

En una ecuación de segundo grado como x2 5 25, una solución es 5, porque 52 5 25. Sin embargo, la solución también es 25, porque (25)2 5 25. Esto quiere decir que las ecuacio-nes de segundo grado pueden tener dos soluciones. En ciertos casos las soluciones son dos números simétricos.

4 Regresenalatabladelaactividad1parahacerlosiguiente:

a) Averigüen en cuáles casos el simétrico de la solución que encontraron, también es solución de la ecuación. Anoten así las soluciones:

x15 x2 5

Lección 24 ElnúmerodesconocidoEn algunos problemas, las literales representan números desconocidos y esto permite hacer operaciones con ellos como si fueran conocidos; así podemos averiguar de qué números se trata.

69

b) En los casos en los que el simétrico no es solución de la ecuación, prueben con otros números para encontrar la otra solución.

5 Unamaneraderesolverlasecuacionesdesegundogradoconsisteenbuscar,porensayoyerror,númerosquesatisfaganlaecuación.Asíporejemplo,pararesolverlaecuaciónx2+3x=28,sepuedeusarunatablacomolasiguiente

x x2 3x x2 1 3x

1 1 3 42 4 6 10

a) En la tabla anterior, se ve que cuando x vale 1, x2 + 3x es igual a 4. Cuando x vale 2, x2 + 3x es igual a 10. Prueben con otros valores de x hasta que encuentren que x2 + 3x es igual a 28.

b) Hay un número negativo que también satisface la ecuación x2 + 3x = 28. Usen la misma tabla para encontrarlo.

c) Según lo que encontraron, la ecuación x2 +3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra ne-gativa. Anótenlas.

x15 x2 5

6 Encuentrenlassolucionesdecadaunadelassiguientesecuaciones.

a) 5x2 5 45 b) 4x2 5 1

c) x2 1 x 5 56 d) x2 2 x 2 56 5 0

e) x2 2 13x 5 130 d) x2 2 56 5 x

2.1.

Util

izar

ecu

acio

nes

no li

neal

es p

ara

mod

elar

situ

acio

nes

y re

solv

erla

s ut

iliza

ndo

proc

edim

ient

os

pers

onal

es u

ope

raci

ones

inve

rsas

.

70

1 LafiguraAesunrectángulo,tratendeaveriguarcuántomidecadalado.Noolvi-denverificarque,efectivamente,conlasmedidasqueencontraron,eláreaes84cm2yelperímetro38cm.

2 Conayudadesuprofesoroprofesorahaganlosiguiente:

a) Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos.b) Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles sí y cuáles no llevaron al resultado correcto.

3 EnlasiguientetablaseanotaronlospasosdeunrazonamientoparaencontrarlasmedidasdelosladosdelafiguraA.Completenlatabla.

Razonamiento ¿Es correcto?sí/no

Si creen que no es correcto, corríjanlo

Paso1. Si el perímetro del rectángulo mide 38 cm, entonces el largo más el ancho miden 19 cm.

Paso2. Si el largo más el ancho miden 19 cm, esas medidas se pueden representar así: ancho 5 xlargo 5 19 + x

Paso3. Si el ancho mide x y el largo 19 + x, entonces el área se puede expresar así:x(19 + x) 5 84

Paso4. Por tanteo, se pueden encontrar las medidas buscadas: si x 5 1, el área vale 1 (20) 84si x 5 2, el área vale 2 (21) 84

Lección 25 TécnicaspararesolverecuacionesIEl ensayo y error es un procedimiento útil para resolver ecuaciones, aunque a veces resulta muy tardado.

FiguraA

Perímetro538cmÁrea5 84cm2

Largo5Ancho5

MATEMÁTICAS SECUNDARIA TERCER GRADO · Coordinador de la serie David Francisco Block Sevilla...

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