Matemáticas Posteadas en la Red Por José Acevedo Jiménez, octubre, noviembre y dic. 2014. divulgadoresrd@hotmail.com

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Albert E. Bosman: el profesor detrás del árbol de Pitágoras. Hace tiempo hablamos de un maravilloso fractal, de hecho, si no mal recuerdo fue mi primera entrada en esta plataforma. Nos referimos al árbol de Pitágoras (ver imagen) o como prefiero llamarlo el fractal de Bosman, dando crédito a su creador: Albert E. Bosman. La creación de Bosman, sin duda alguna, será imperecedera y de alguna manera su nombre, aunque no muy conocido, también. Albert E. Bosman (1891-1961) fue un profesor de matemática e ingeniería eléctrica holandés. Concibió el fractal conocido como árbol de Pitágoras alrededor de 1942. En 1957 publicó el libro: Het wondere der onderzoekingsveld vlakke meetkunde, en dicha obra describió las propiedades del afamado fractal. Bosman también demostró el desarrollo que sigue el árbol cuando se utiliza un triángulo no isósceles en ángulo recto con ángulos de 60 ° y 30 °. Pitágoras fue y será un gigante dentro de las matemáticas, Bosman apenas un conocido. Por tal motivo, considero justo que su obra más preciada lleve el nombre de su creador: el fractal de Bosman.

Fuente de la imagen: fractalworld.xaoc.ru

La ley de Ohm. Dicha ley establece que la intensidad de corriente (I) que circula por un conductor eléctrico es directamente proporcional al voltaje aplicado (diferencia de potencial) e inversamente proporcional a la resistencia del mismo.

La ley fue postulada por el matemático y físico alemán Georg Simon Ohm (1789 - 1854). En honor a Ohn, la unidad de resistencia eléctrica se denomina ohmio y se representa con la última letra del alfabeto griego (omega) en mayúscula.

¿Es Plutón un planeta? En el 2006, la Unión Astronómica Internacional (IAU) degradó a Plutón a planeta enano. Sin embargo, tal degradación no ha sido aceptada por todos y, desde entonces, las quejas en contra de la IAU no han parado. Recientemente, el Centro Harvard-Smithsonian para la Astrofísica organizó un debate sobre si Plutón debe recuperar su estatus perdido. Según el público presente Plutón si debe ser considerado un planeta. En www.aprendematematicas.org.mx/ nos hacemos la misma pregunta y queremos conocer el pensar de nuestros lectores. Es importante saber que la definición de planeta de la IAU tiene ciertas lagunas que deben ser solventadas y que el evento de Harvard no tiene carácter oficial. ¡Anímense y den su opinión!

Fuente de la imagen: curiosidades.batanga.com

Curiosidad matemática. En matemáticas, existen curiosidades que, pese a su poca o nula utilidad práctica, no podemos dejar pasar por alto. Aquí dejamos una de esas curiosidades.¡Verdad que 40337956 es un número fantástico!

La ley del seno. Dado un triángulo , cuyos ángulos también llamaremos ; si los lados opuestos a los

ángulos son , respectivamente, entonces se cumple que:

¿Es el cero un número natural?

Hay cuestiones en las que los matemáticos no logran ponerse de acuerdo; son numerosas las razones que podemos citar que impiden llegar a un consenso universal sobre ciertos temas que han caído en un agujero negro del que no se puede salir. Tal es el caso del número cero, los matemáticos no han podido ponerse de acuerdo de si pertenece o no al conjunto de los números naturales. Sobran argumentos para defender cualquier frente que se elija, cosa que dificulta aún más la búsqueda de una solución a la polémica. El problema que causa tales bifurcaciones, a mi entender, radica en que muchas veces no contamos con una definición que sea lo suficientemente consistente como para evitar las molestas situaciones que nos puedan llevar a creer que estamos en una autopista de doble vía, cuando en realidad sólo es de una. Un claro ejemplo de lo que se ha expuesto lo podemos ver en la definición de los números primos, que se definen como aquellos números naturales que sólo pueden ser divididos por el uno y por sí mismos. Esta definición, aunque no es incorrecta, nos conduce inevitablemente por una autopista de doble vía, y es aquí donde surge el debate:

¿Es el 1 un número primo? Siguiendo la definición que hemos dado, podemos dar dos respuestas (autopista de doble vía) ambas válidas para la definición sugerida. a) Podemos decir que el 1 no es primo, ya que hemos definido a los números primos como aquellos que tienen dos divisores. b) Podemos decir que el 1 es primo, se ha definido número primo como aquel que tiene como únicos divisores al propio número y al uno, el uno puede ser dividido por sí mismo y a la vez puede ser dividido por la unidad, si bien es cierto que estamos ante un caso especial, no hemos cometido ninguna infracción que quebrante la definición que hemos dado; aunque sin duda alguna la misma será tema de discusión. Es por esa razón que nos vemos obligados a dar una definición mucho más consistente de lo que es un número primo, de manera tal que podamos evitar situaciones poco deseadas que den lugar a las bifurcaciones. Una definición más consistente de número primo es la siguiente: Todo número natural que tiene como único divisor propio al 1 es un número primo. En esta última definición simplemente no hay lugar para el número 1, ya que dicho número no tiene divisores propios. Volviendo al tema que ha dado nombre a este escrito nos volvemos a preguntar: ¿es el cero elemento de los números naturales? Los números naturales son definidos como aquellos que usamos para contar los elementos de un conjunto, esta definición no es lo suficientemente consistente como para excluir al cero del conjunto de los naturales, así que la bifurcación se hace inevitable, es decir que existirán quienes defiendan la exclusión o inclusión del cero al conjunto de los naturales, dependiendo de si convenga o no hacerlo.

Hasta que no se dé una definición rígida de los números naturales, tendremos que conformarnos con decir que: la repuesta a nuestra pregunta puede ser tanto afirmativa como negativa.

Método ruso para multiplicar. De niño, sentía apatía hacia ciertos algoritmos como: el de la división y la radicación. Lamentablemente, igual que otros, crecí en un sistema educativo cuyos cimientos descansaban más en el poder de la memoria que en el uso de la razón. No quiero que me mal interpreten, pues, en esta misma entrada, hablaremos sobre un algoritmo para multiplicar un tanto diferente al que tradicionalmente conocemos, “el método ruso para multiplicar”. El punto es que, si bien encontraba engorrosos y hasta fastidiosos los algoritmos de la división y radicación, la verdad no hay que culpar a tales algoritmos; todo el peso de la culpa recae en el viejo y obsoleto sistema educativo que pretendía enseñar a la fuerza. Aunque cargantes, los algoritmos de la división y la radicación son geniales. Pero, resultan ser toda una tortura cuando se les impone por la fuerza, sobre todo cuando existen otras maneras más eficientes de llegar a los mismos resultados. En otras palabras, no estoy en contra de que los algoritmos, como los mencionados, se enseñen en la escuela, pero, no estoy de acuerdo que los mismos, cual sistema dictatorial, sean implementados para usarlos de manera obligatoria. Estimular la imaginación también es parte importante del aprendizaje.

Una vez sabido que no es obligatorio memorizar el método que da nombre a esta entrada, procederemos a describirlo: 1) En la parte superior de sendas columnas, escribimos los números que deseamos multiplicar (ver imagen del post). 2) El primer número de la columna de la izquierda lo dividimos entre 2 sucesivamente, tomando sólo la parte entera de cada resultado. Escribir los resultados uno debajo del otro, tal como se

muestra en la imagen de la entrada. 3) el primer número de la columna de la derecha lo multiplicamos por 2 sucesivamente, tantas veces como divisiones fueron efectuadas en la columna de la izquierda. Escribir los resultados uno debajo del otro, tal como se muestra en la imagen de la entrada. 4) Tomamos todos los números de la columna derecha que corresponden o forman pareja con los impares de la columna izquierda (ver imagen). Sumamos tales números y comprobamos los resultados multiplicado los números dados de la manera tradicional. ¡Genial el algoritmo ruso para multiplicar, no les parece!

Método hindú para multiplicar. En matemática, existe más de una forma de llegar a un mismo destino. Hace poco, mostramos el algoritmo ruso para multiplicar; en esta ocasión daremos entrada al método hindú o de Fibonacci (primero en introducirlo en Europa, en su Liber Abaci) para efectuar multiplicaciones. Para efectuar el método hindú, debemos construir una tabla rectangular o cuadrada, dependiendo de la cantidad de dígitos, si es tienen la misma cantidad o no, del multiplicando y del multiplicador. En la imagen del post se muestra como se colocan los números a ser multiplicados, el multiplicador se coloca arriba (se lee de izquierda a derecha) y el multiplicando se coloca a la derecha (se lee de arriba hacia abajo). En este caso, tenemos un número de tres dígitos (532) y otro de dos dígitos (18), por lo tanto, nuestro rectángulo es de 2x3 (dos filas por tres columnas). Luego, trazamos la diagonal a cada celda como se muestra en la imagen y listo, ya tenemos nuestra tabla.

Pasos: 1) Rellenar la tabla con los productos de los dígitos que corresponden a cada una de las filas y columnas, estas multiplicaciones dan como resultado números de uno o dos dígitos. El dígito de la izquierda se coloca en la subdivisión de arriba y el dígito de la derecha se coloca en la subdivisión de abajo (ver imagen). Si sólo tenemos un dígito, agregamos cero en la subdivisión de arriba. 2) Una vez llenada la tabla, procedemos a sumar los números contenidos en la misma. La esquina superior y su homóloga inferior siempre tienen un único número, el de la esquina inferior pasa igual (6 en este caso). El de la esquina superior pasa o no igual dependiendo de si hay o no acarreo, en este caso no hay acarreo de la suma anterior y por tal razón el cero pasa igual. Los demás números quedan atrapados entre dos rectas (diagonales) paralelas, los números entre rectas se suman y se coloca el dígito de la unidad en su respectivo lugar (ver imagen), el dígito, de existir, se acarrea a la siguiente suma. 3) Al finalizar el proceso, el resultado final se lee de izquierda a derecha, iniciando con el número que se encuentra más arriba.

Poesía y matemática (poemat)

En esta ocasión, en poemat, damos entrada a uno de los poemas del escritor español Miguel de Unamuno (1864 - 1936). Esperamos sea del agrado de todos ustedes. 2 x 2 son 4, 2 x 3 son 6, ¡ay que corta vida la que nos hacéis!. 3 x 3 son 9,

2 x 5 10, ¿volverá a la rueda la que fue niñez?. 6 x 3 18, 10 x 10 son 100. ¡Dios! ¡No dura nada nuestro pobre bien! Infinito y cero, ¡la fuente y el mar!. ¡Cantemos la tabla de multiplicar!

Anamorfosis: el arte de la reflexión. La matemática no sólo es una ciencia útil, muchas veces encontramos arte y belleza en los elementos que la componen. En su: Mysticism and Logic: And Other Essays, Bertrand Russell, describe muy bien: "La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna partede nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía." Pero, ciertas ramas de la matemática describen las formas y las figuras junto a sus propiedades y, qué es una escultura sino pura geometría. En esta entrada hablaremos un poco de anamorfosis o anamorfismo. Según la definición de: El Pequeño Larousse Ilustrado (2011), una anamorfosis es una imagen deformada que un instrumento óptico, especialmente un espejo curvo, da de un objeto. En el arte, es el dibujo deformado de un objeto que, visto en un espejo cilíndrico o cónico, recupera su forma real. En la imagen del post se muestra la escultura: Kiss of Chytrid, obra del artista e ingeniero: Jonty Hurwitz. Les confieso algo: las matemáticas nunca dejan de sorprenderme.

Fuente de la imagen: www.ideafixa.com

Poesía y matemática (poemat). Raíz Cuadrada. (autor: Fabio Mendoza Escorsia) Así nos construyeron Los griegos por fin lo consiguieron Nos llaman raíz cuadrada Aunque muchos no lo creyeron Las exactas cuadrados perfectos son Las inexactas por aproximaciones Nos usan en todas las naciones Estamos en numerosos almacenes. Y si negativas nos quieren realizar Nunca lo vas a lograr Pues negativa con negativa Positivas vamos a resultar No somos siempre la mitad Si raíz cuadrada con mitad quieres realizar Solo el cuatro vas a encontrar No me confundas, solo cuatro te va a dar Si me conoces no vas a pecar Para eso los griegos nos construyeron

Conocerme soy es una buena ayuda Por favor trata de entenderme.

Paradoja de la suerte. "Es de mala suerte ser supersticioso."

Gardner: el gran divulgador de las matemáticas. Para muchos, sobre todo para los estadounidenses, octubre es el mes del terror. Y, precisamente, terror es lo que sienten algunas personas cuando escuchan la palabra: matemática. No vamos a buscar el origen de tal fobia, mas bien, vamos hablar de un divulgador matemático que nació en octubre, tal día como hoy. Nos referimos Martin Gardner (1914 – 2010). Entre otras cosas, por medio de sus libros y publicaciones, Gardner nos ensenó que las matemáticas también pueden ser divertidas e interesantes. Entre sus obras, podemos citar: ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar; ¡Ajá! Inspiración; Máquinas y diagramas lógicos; La explosión de la relatividad; Nuevos pasatiempos matemáticos; Carnaval matemático; Circo matemático; Los mágicos números del Dr. Matrix; y un largo etc. Martin Gardner nació en Tulsa, Oklahoma, Estados Unidos de América, el 21 de octubre de 1914. Estudió filosofía y luego de graduarse se dedicó al periodismo. Su sección mensual de juegos matemáticos (publicada en la revista de divulgación científica: Scientific American) perduró 25 años, su debut fue en el año1956. En su día, le queremos decir: gracias señor Gardner por mostrarnos los encantos de las matemáticas.

Fuente de la imagen: www.post-gazette.com

Raíz cuadrada de 2: el primer irracional conocido. Raíz de 2, quizás fue el primer número irracional conocido por la humanidad. Lo podemos encontrar en el teorema de Pitágoras, pues, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud unitaria; por tal razón, dicho número también se conoce como constante pitagórica. Como se ha dicho, raíz de 2 es un número irracional (no puede ser expresado como el cociente de dos números enteros) y, más precisamente, es un número irracional algebraico (resultado de una ecuación algebraica). Existen numerosas pruebas que confirman la irracionalidad de raíz de 2. También, matemáticamente, se puede expresar de diversas maneras (en la imagen del post mostramos una de ellas). Raíz de 2 es un número con muchas aplicaciones prácticas, entre tantas, lo podemos encontrar en campos relacionados con la electricidad. Una propiedad muy interesante de raíz de dos (r2) es la siguiente: 1/(r2 - 1) = r2 + 1. Precisamente, este es el valor a que tiende el límite, cuando se acercan al

infinito, del cociente entre los términos a_(n+1)/a_(n) de la sucesión que se muestra en la imagen del post.

¡Notan alguna relación con la sucesión de Fibonacci!

Octubre 23: el día del mol. El mol, en el sistema internacional, es la unidad con que se mide la cantidad de materia o sustancia. Dada una sustancia cualquiera, un mol contiene 6,022·10^23 entidades (moléculas, iones, electrones...o grupos relacionados). La constante 6,022·10^23 se conoce como: número de Avogadro, dicha cantidad se nombra en honor al físico italiano Amedeo Avogadro (1776 - 1856). Debido al formato de fecha de los Estados Unidos (10/23), en dicho país cada 23 de octubre se celebra (de manera no oficial) el día del mol. ¡Felicidades, a esa unidad básica del sistema internacional!

Fuente de la imagen: lacienciaysusdemonios.com

Números metálicos: oro, plata, bronce y demás.

En matemáticas, bien conocido es el número áureo (fi). También llamado número de oro, entre otras denominaciones, (fi) ha sido utilizado por artistas y matemáticos desde la antigüedad. (Fi) es un número irracional con muchas propiedades interesantes y está estrechamente ligado con la sucesión Fibonacci, pues es el límite, cuando (n) tiende al infinito, de F(n +1)/F(n).

Al ser llamado el número de oro, queda claro que al referirnos a un número metálico estamos hablando de (fi), pero, ¡sorpresa!, no es el único número llamado como un metal. También existe: el número de plata, el de bronce y en general se pueden definir por la fórmula que se muestra en la imagen del post. Recientemente, en la entrada: (Raíz cuadrada de 2: el primer irracional conocido) hablamos, sin hacer referencia directa al mismo, del número de plata o plateado que es igual a: r(2) + 1, e incluso, vimos la sucesión con la cual se relaciona. La familia de números metálicos fue introducida por la matemática argentina Vera W. Spinadel en 1995. En el artículo titulado: LA FAMILIA DE NUMEROS METALICOS Y EL DISEÑO, Spinadel menciona algunas propiedades de los números metálicos. Entre tales, tenemos: 1) Son todos irracionales cuadráticos. 2) Son todos límites de sucesiones generalizadas de Fibonacci secundarias. 3) Son los únicos números irracionales cuadráticos que generan una sucesión generalizada de Fibonacci secundaria (con propiedades aditivas) que, a la vez, es una progresión geométrica.

Évariste Galois: el joven eterno. Como presagiando el infausto desenlace, la noche anterior al duelo, Galois se apresuró a terminar el manuscrito que lo convirtió en uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. Seguro de lo que había escrito, el joven matemático confió su último trabajo a un amigo íntimo. Auguste Chevalier, el amigo de Galois, de alguna manera debía contactar a Gauss o Jacobi para que dieran su opinión respecto al manuscrito; “no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas” como, cercano a las puertas de la muerte, escribiera el mismo Galois en su misiva. Y es que, según Galois, aquellos dos prominentes matemáticos eran los únicos capaces de entender “el embrollo” algebraico que había dejado para la posteridad. Pero, se equivocó al pretender acaparar la atención de aquellos gigantes, pues, el caprichoso destino resolvió que su revolucionaria obra fuera aprobada por un matemático de jerarquía menor, comparada con la de Gauss y Jacobi. El augurio del joven francés no estuvo alejado de la realidad. El 30 de mayo de 1832, Évariste Galois perdió el duelo que a la mañana siguiente le arrebató la vida. Pero, aquella no fue su única visión sobre los acontecimientos futuros relacionados con su persona; confiado en que algún día sería parte de la posteridad, refiriéndose a su teoría, escribió: “Después de esto habrá, espero, gentes que encontrarán provechoso descifrar todo este lío.” 11 años después de su muerte, en 1843, el genio del joven eterno fue finalmente reconocido cuando Joseph Liouville examinó el manuscrito dejado por Galois. Évariste Galois nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg la Reine, Francia. Las investigaciones de Galois dieron origen a lo que se conoce como: Teoría de Grupos y Cuerpos de Galois. Aunque, en el 203 aniversario de su nacimiento, en estas cortas líneas dedicadas a su memoria, hemos iniciado hablando de su legendaria muerte, íntimamente ligada a su historia, en verdad, nuestra intención ha sido la de celebrar la vida de aquél matemático que permanecerá por siempre

joven. Las últimas palabras de Galois, agonizante, a su hermano Alfredo fueron: “¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años”… hoy, no lloramos por ti Galois, por el contrario, celebramos tu ascenso al Olimpo de los Inmortales…lugar donde te encuentras junto a: Euler, Gauss, Newton, Arquímedes, Pitágoras, Euclides, Jacobi y todos los matemáticos que han dejado su huella indeleble en la historia de las matemáticas.

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Jugando con igualdades: la sucesión Fibonacci. Jugar con números o, más precisamente, con elementos relacionados con las matemáticas es una buena manera de combatir el aburrimiento. Papel y lápiz con una pizca de imaginación es todo lo que se necesita para descubrir, por lo menos de manera personal, todo un mundo lleno de posibilidades.

En la sucesión Fibonacci podemos encontrar un sin número de propiedades interesantes. Muy conocida es su estrecha relación con el número de oro. Dicha sucesión es quizás la sucesión que más ha sido estudiada por matemáticos y aficionados; esto hace pensar que la sucesión de los conejos no tiene nada nuevo que pueda ser descubierto. Bueno, eso no lo sé, pero lo que sí puedo decir es que jugar con la sucesión Fibonacci es una buena fórmula contra el aburrimiento y, a la vez que ejercitan, sus mentes, pueden encontrar propiedades interesantes que en lo personal desconocen. En mi caso, en la imagen del post, muestro una que encontré jugando con la mencionada sucesión. Y, aunque no es desconocida para las matemáticas (es un caso particular de la identidad de d’Ocagne)... la verdad es que era desconocida para mí.

Números Fibonacci y la fórmula de Binet. Los números Fibonacci son los elementos o términos que componen la sucesión Fibonacci. Los primeros términos de dicha sucesión son: F1 = F2 = 1. A partir de estos términos se pueden obtener todos los demás, sumando dos términos anteriores. Es decir, la relación de recurrencia que define la sucesión de Fibonacci es: Fn = F(n-1) + F(n-2). Ahora, imagínense que deben encontrar el término 300 de la sucesión. Obviamente, buscarlo por medio de la ecuación que hemos dado no es la forma más efectiva de hacerlo...pero, no se preocupen; la fórmula de Binet (ver imagen del post) resuelve el problema. Sólo tenemos que sustituir a (n) por el término que queremos encontrar, calculamos el resultado y listo. ¡Genial, no les parece!

La fórmula de Binet fue propuesta, en 1843, por el matemático Jacques Binet (1786 - 1856). Cabe destacar que, más de un siglo atrás, dicha fórmula ya era conocida por varios matemáticos, entre estos: Euler, Daniel Bernoulli y de Moivre.

¿Sabías que…?

El matemático alemán Karl Weierstrass nació en Ostenfelde (actual Alemania) el 31 de octubre de 1815. Weierstrass es considerado el padre del análisis moderno.

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Cuadrado mágico. De mágicas celdas, cuadriculas numeradas suman igual. ¡Oh!, cuadrado tan genial; que a matemáticos y a profanos seduces por igual. La constante, que llaman mágica, con una simple igualdad puedo calcular; ¡oh!, cuadrado magistral, más que un ocio en ti puras matemáticas puedo encontrar. José Acevedo Jiménez (JAJ).

George Boole: la lógica de un genio. Pese a su breve paso por este mundo, pues murió a los 49 años de edad, el matemático británico George Boole nos legó su álgebra (hoy conocida como booleana). De formación, en gran parte, autodidacta, Boole fue nombrado profesor de matemáticas (1849) en Queen's College de Cork (University College, en la actualidad), Irlanda. En 1854, publicó el libro titulado: An Investigation of the Laws of Thought (investigación sobre las leyes del pensamiento). En dicha obra se sentaron las bases que permitieron relacionar la lógica con las matemáticas. En sus inicios, los estudios de Boole pasaron desapercibidos. Su algebra tuvo una evolución lenta y, aquello, para algunos, parecía más un entretenido juego de palabras que algo verdaderamente útil. Hoy en día, nadie pone en duda la utilidad de la lógica de Boole. Su álgebra es la base teórica que ha permitido desarrollar los circuitos digitales. Las operaciones que realizan los computadores y, en general, las matemáticas empleadas en las ciencias de la computación existen gracias al trabajo realizado por Boole. Boole fue un genio adelantado a su época. Su genialidad consistió, principalmente, en reconocer un sistema cuyas reglas le permitieron expresar y simplificar, por medio de procedimientos totalmente matemáticos, problemas, cuyos argumentos pueden ser verdaderos o falsos, relacionados con la lógica. En la actualidad, el álgebra o lógica booleana tiene muchas aplicaciones. Las compuertas lógicas (usadas en las computadoras) trabajan en base al álgebra de Boole. George Boole nació en Lincoln, Reino Unido, el 2 de noviembre de 1815. Se recuerda, principalmente, por ser el creador del algebra booleana. El matemático y lógico británico abandonó el plano físico el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple (actual Irlanda), pero, sin duda alguna, su genio inmortal permanecerá junto a los mortales mientras las propias matemáticas existan.

Fuente de la imagen: biografiasyvidas.com

Una "verdad demostrable" de Arquímedes de Siracusa. Todo segmento delimitado por una línea recta y una parábola (área de segmento parabólico) equivale a 4/3 del área del triángulo (inscrito en la parábola) que tiene la misma altura e igual base que el segmento tomado de la parábola.

El cuadrado mágico de Durero: una constante realmente mágica. En 1514 el artista alemán Alberto Durero (1471 - 1528), en su grabado: "Melancolía I", plasmó para la posteridad un curioso cuadrado mágico de orden 4x4 (ver imagen). En la obra del pintor alemán, aparecen varios elementos y objetos relacionados con las matemáticas, entre tales podemos claramente distinguir: un sólido truncado, una esfera, un compás y, por supuesto, el cuadrado mágico antes mencionado. El cuadrado mágico del artista. En las celdas centrales de la última fila del cuadrado mágico, curiosamente, aparecen los números: 15-14. Pero, ¡ya habíamos visto tales números! así es mis amigos, al inicio de este escrito, la fecha en que fue pintada la obra. La constante mágica del mencionado cuadrado es 34. Eso significa que la suma de todas las columnas, filas y diagonales principales es 34. Pero, dicha constante no sólo aparece en las cuadrículas mencionadas, también la encontramos al subdividir el cuadrado mágico en cuatro cuadrados de orden 2x2, en tal caso tenemos los números: (16, 3, 5, 10); (2, 13, 11, 8); (9, 6, 4,

15); (7, 12, 14, 1). Al sumar los números de las esquinas, (16, 13, 4, 1), volvemos a obtener la misma constante, 34. Pero, la cosa no termina aquí; no tengo que mencionar el número que resulta al sumar los cuatro números que se encuentran en el centro del cuadrado (10, 11, 6, 7) o los dos centrales de la primera fila sumados a los dos centrales de la última (3, 2, 15, 14), esperen que hay más, conseguimos lo mismo si sumamos los dos centrales de la columna izquierda a los dos centrales de la columna derecha (5, 9, 8, 12). Existen muchas otras combinaciones en las cuales podemos obtener la constante mágica de Durero, ¡se animan a buscarlas! Fuente de la imagen: matematica.laguia2000.com

Embotellamiento matemático.

Fuente de la imagen: elmejorhumorinteligente.blogspot.com

Elemental mi querido Pedro, está en radianes. Hace unos días, Pedro, un estudiante de secundaria, me preguntó: ¿por qué es tan especial y hermosa la identidad de Euler si el resultado no varía al usar 180 en vez de pi? Pues, para mí, la identidad de Euler es hermosa porque reúne en una simple fórmula algunos de los números más importantes de las matemáticas: pi, e, i, 1 y 0. Vinculados con tres de las operaciones aritméticas básicas (potenciación, suma y multiplicación) obtenemos un resultado e traordinario. Por eso, pienso que es hermosa la identidad de Euler… respondí, antes de ser interrumpido por Pedro. Bien, pero… obtenemos el mismo resultado si usamos 180 en vez de pi, ¿cómo e plica eso? – Intervino, concluyendo con una pregunta. – Elemental, mi querido Pedro. – dije rememorando a un famoso personaje. – Está en radianes. – ¡Radianes! – Expresó con asombro. – Así es, radianes. – Aseveré. – El radian, en el Sistema Internacional, es la unidad de medida de

ángulos. Representa el ángulo que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia dada. – Expuse. – El radian es la medida natural para medir los ángulos, las series de potencias de las funciones seno y coseno aparecen expresadas en radianes y, precisamente de tales series de potencia se obtiene la identidad de Euler. El coseno de (pi), expresado en radianes, es igual a -1 y el seno de (pi), en la misma unidad, es igual a 0. Si calculas el seno y coseno de 180, dada la misma unidad angular, obtendrás un resultado muy diferente que el obtendrías si usas (pi).

17 de noviembre, natalicio de August Möbius (1790 - 1868). El matemático y astrónomo alemán August Ferdinand Möbius nació en Schulpforta, actual Alemania, el 17 de noviembre de 1790. El público general lo conoce mejor por la cinta de una sola cara y un único borde que se nombra en su honor (cinta o banda de Möbius). Desde 1816 August Möbius impartió clases de astronomía en la Universidad de Leipzig. En geometría proyectiva, fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas.

Fuente de la imagen: britannica.com

Fractales: la nueva geometría de Mandelbrot. "Una nube está hecha de billones de billones de billones que parecen nubes. Mientras más te acercas a una nube no obtienes algo suave, sino irregularidades a una escala más pequeña." Benoît B. Mandelbrot. Durante siglos, la geometría se limitó al estudio de ciertas reglas para hallar áreas y volúmenes. El origen de la geometría se remonta al tiempo de los antiguos egipcios. Es precisamente en Egipto y Babilonia donde la geometría se desarrolla, sin embargo su desarrollo está basado solamente en experiencias y observaciones. Fueron los griegos quienes le dieron un carácter abstracto a la geometría, por ejemplo, mientras que para los egipcios una línea era una cuerda tensa, para los griegos la idea de línea venía siendo un concepto mental que podía ser representado por algún objeto físico apropiado, como la cuerda. Otro gran aporte legado por los griegos a la geometría fue la interpretación en términos de geometría a la aritmética y el álgebra. Así, por ejemplo, una longitud podía ser interpretada como un número; y el producto de dos números como el área de un rectángulo y el producto de tres números como el volumen de un cubo. Euclides y su obra Elementos. Es poco lo que se sabe sobre la vida del geómetra griego, una de las cosas que sabemos es que fue profesor de matemáticas en la universidad de Alejandría, ciudad donde vivió durante el reinado de Ptolomeo I. Se puede decir que es Euclides quien sistematiza la geometría al agrupar y seleccionar los axiomas que conforman su afamada obra Elementos. Los Elementos de Euclides es una de las obras científicas más difundidas, durante muchos siglos el estudio de Los Elementos de Euclides estudio era obligatorio en los centros de estudios superiores. Parte del contenido de los Elementos nos es muy familiar, puesto que es usado por algunos profesores como introducción a la geometría plana y del espacio que conforman nuestro nivel de estudios secundarios. Geometrías no euclidianas. Como ya se ha dicho, durante mucho tiempo la geometría clásica o euclideana permaneció casi invariable. Debieron pasar casi dos mil años para que se dieran cambios significativos en la evolución de la geometría. Los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat son dos figuras claves en el desarrollo de una nueva corriente geométrica al crear de manera simultánea e independiente la geometría analítica, es gracias a la nueva rama de las matemáticas que la geometría logra al fin conjugarse de manera metódica con el algebra y la aritmética. Otros avances importantes se dan a mediados del siglo XVIII, los matemáticos se habían dado cuenta que el axioma del paralelismo, expuesto en los Elementos, podía no cumplirse para ciertas geometrías, tales sospechas fueron confirmadas cuando János Bolyai (1802 – 1860) y Nikolái Lobachevski (1792 – 1856), en trabajos independientes, crean una geometría no eclideana totalmente consistente. Junto a los ya mencionados, los matemáticos alemanes Carl F. Gauss (1777 - 1855) y Bernhard Riemann (1826 – 1866) ocupan un destacado lugar entre los matemáticos que contribuyeron al desarrollo de las nuevas geometrías. Hoy día contamos con diversas geometrías entre las que podemos citar: la geometría hiperbólica; geometría proyectiva; geometría elíptica; geometría fractal; entre muchas otras. La Geometría Fractal. A mediados de la década de los setenta (siglo XX) el matemático francés Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) desarrolló la geometría fractal. El término fractal fue inventado por el propio Mandelbrot para referirse a ciertos objetos geométricos cuya estructura básica irregular se repite a escalas cada vez más reducidas.

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.” (Benoît Mandelbrot). Como bien describe el Dr. Mandelbrot, existen objetos en la naturaleza que no pueden ser descritos, de manera exacta, por la geometría tradicional. Sin embargo, dada su naturaleza irregular y fragmentada son ideales para ser descritos por la geometría fractal. Dada la naturaleza de los fractales, la geometría que los describe puede ser denominada como la geometría de la autosemejanza, sin embargo es mucho más que eso pues en ella se usa un término mucho más abstracto de la dimensión que en el caso de tales objetos puede ser un número fraccionario. Cabe destacar que mucho antes de que el Dr. Mandelbrot acuñara el termino fractal dichos objetos eran conocidos y estudiados por los matemáticos, entre estos matemáticos podemos destacar a: Gaston M. Julia (1893 – 1978); Wacław F. Sierpiński (1882 – 1969) ; Helge von Koch (1870 – 1924). Cada vez son más las aplicaciones prácticas que se encuentran en la geometría fractal. Gran parte del desarrollo de los fractales ha sido posible gracias a los ordenadores y a la vez los fractales han sido cruciales para la mejora en la calidad de las imágenes que en ellos se generan, por lo que podemos decir que existe un beneficio mutuo entre las partes. En un principio, considerados como simples curiosidades matemáticas los fractales han recorrido un largo camino hasta que fueron reconocidos por el Dr. Mandelbrot como parte esencial de una nueva geometría, los fractales se abren cada vez más paso en las matemáticas modernas.

Fuente de la imagen: webs.um.es

20 de noviembre, natalicio de Benoît Mandelbrot (1924 - 2010). El matemático francés de origen polaco Benoît Mandelbrot nació en Varsovia, Polonia, el 20 de

noviembre de 1924. Mandelbrot fue uno de los padres fundadores de la geometría fractal (término acuñado por el propio Mandelbrot en 1975). En la actualidad los fractales son empleados en diversas áreas de las artes y las ciencias.

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Por eso puedo notar que piensas como matemático. Lo noto, porque al cruzar la calle, por el paso de peatones, no sólo ves tal trayecto…también te imaginas un clásico problema de probabilidad geométrica, la aguja de Buffon, e inevitablemente el número (pi) viene a tu mente. Por eso sé que, piensas como un matemático.

Fuente de la imagen: blog.forsev.es

Por eso puedo notar que piensas como matemático.

¡Exacto!, porque al ver detenidamente la verja de la casa, no sólo ves los barrotes protectores y un bonito adorno…también te imaginas un símbolo muy usado en cálculo e inevitablemente las integrales vienen a tu mente. Por eso sé que, piensas como un matemático.

El producto de Wallis es una fórmula que permite encontrar el valor de (pi). Fue

descubierta por el matemático inglés John Wallis (23 de noviembre de 1616, Ashford – 28 de octubre de 1703, Oxford) en 1655. El producto de Wallis es una fórmula que permite encontrar el valor de (pi). Fue descubierta por el matemático inglés John Wallis (23 de noviembre de 1616, Ashford – 28 de octubre de 1703, Oxford) en 1655.

¿Sabías que…? El número imaginario elevado a la da como resultado un número real. El resultado de dicha operación es: 0.20787...

Potencia imaginaria. Si un ser imaginario puede imaginar, sin duda debe ser real; qué contradicción, paradoja e istencial…que siendo imaginario, elevado al igual, un guarismo tan real pueda resultar. José Acevedo Jiménez (JAJ).

Humor matemático. Porque... una buena forma de perder el miedo por las matemáticas es a través de la risa. No a la fobia matemática. Fuente de la imagen: nonperfect.com

Timbiriche: un juego de estrategia matemática. Lo interesante de las matemáticas es que la podemos encontrar hasta en las situaciones menos imaginadas. Conocí el timbiriche cuando tenía unos diez años de edad, más o menos. La verdad me pareció un juego algo insípido y aburrido. Mucho tiempo después volví a ver “tan insustancial” juego; pero, para mi sorpresa, alguien tuvo la idea de llevarlo a un formato digital. - ¡Vaya! nunca lo imaginé. ¡Quién lo diría, un juego tan insípido en formato digital!- pensé. Y, la verdad me picaba la curiosidad. Por primera vez sentí deseos de jugar el afamado juego de colegio, pero, no contra un semejante, sino, con una máquina. Al adentrarme al juego, o más bien al programa informático, pude notar que tenía varios niveles de dificultad. Recuerdo que inicié con una matriz pequeña (2x3). La partida no tenía nada de especial, salvo por una cosa, el programa estaba diseñado para ejecutar una jugada estratégica que forzaba al jugador humano a realizar un contraataque planeado. Pero, como inicié la partida (la opción podía ser cambiada), lo más que podía hacer era anticiparme a sus movimientos para tratar de empatar. De otra forma terminaría perdiendo siempre, sin remedio. Fue así como comencé a interesarme por el juego y, poco a poco fui aumentando el nivel de dificultad (agrandando la matriz) y con ello las estrategias del juego. El timbiriche es un juego matemático. En teoría de juego se clasifica como: un juego simétrico, secuencial, de suma cero e información perfecta. No siempre nos debemos fiar de la primera impresión. Estaba equivocado y ahora sólo puedo decir: ¡qué gran juego ese que llamamos tibiriche! A niveles expertos, si quieres ganar…no olvides desarrollar una buena estrategia.

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1 de diciembre, natalicio de Nikolái Lobachevski (1792 - 1856). El matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski nació el 1 de diciembre de 1792 en Nizhni Nóvgorod, Rusia. Lobachevski se recuerda, principalmente, por haber creado, independientemente de: János Bolyai y Carl Friedrich Gauss, una geometría no euclidiana. El matemático ruso notó que el V postulado de Euclides sólo se cumple en el plano euclidiano. Por lo tanto, no es válido o no se cumple en un sistema geométrico hiperbólico. Quinto postulado de Euclides: Si a un mismo lado de una recta que corta a otras dos, se forman ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, entonces esas dos rectas se cortan de ese lado al ser prolongadas indefinidamente. Postulado tomado de: matetam.com.

Fuente de la imagen: historum.com

A propósito del natalicio de Lobachevski. Euclides no estaba equivocado, lo que sucede es que en matemáticas las verdades no son absolutas, sino mas bien acondicionadas. En la imagen del post se pueden ver los tres tipos de geometrías homogéneas. La euclidiana de curvatura nula, la elíptica o riemanniana de curvatura positiva y la hiperbólica o lobachevskiana de curvatura negativa. Fuente de la imagen: bertolo.pro.br

No a la fobia matemática: todos somos matemáticos. Dicen que todo está relacionado con las matemáticas. Un matemático es una persona que estudia uno o varios campos relacionados con las matemáticas y, dado que todo se relaciona con las matemáticas y que de alguna manera, todos, nos debemos dedicar a alguna actividad para vivir, entonces, podemos decir que: todos somos matemáticos. Por eso, amigo lector, recuerda que no debes temer a algo que siempre has dominado. Fuente de la imagen: nadanoslibradeescorpio.blo

Una historia breve: la super cinta. Nadie conoce su identidad y mucho menos sospechan que la cinta verde, con tan solo hacer cierto doblez, se convierte en The Möbius strip la fantástica cinta de propiedades matemáticas asombrosas…y así, la cinta que tiene dos superficies o caras se transforma en una banda de Möbius, una super cinta con una sola cara y un único borde.

Fuente de la imagen: gopixpic.com

La conjetura. Intenté de varias formas resolver ese problema; aplicando ecuaciones y matemáticas modernas. Pero, siempre se resiste y supera toda prueba, por eso es conjetura y no un fantástico teorema. Conjetura no tortures aquellas mentes inquietas, que buscan responder las preguntas más complejas; rebela tu secreto y deja, que finalmente, te den el estatus que mereces convirtiéndote en una verdad eterna. José Acevedo Jiménez (JAJ).

Fuente de la imagen:es.xkcd.com

Abeja obrera. Vuela abeja obrera, en busca de polen flor; zumbando sus alas lleva el néctar de dulce amor. Tesela el panal de cera, con hexágonos a proporción; no construye cuadrados ni triángulos, para el espacio aprovechar mejor. ¡Qué secreto guarda la abeja, conoce de medición! trigonometría, matemática, emplea para orientarse con ayuda del Sol. José Acevedo Jiménez (JAJ).

Fuente de la imagen: madrimasd.org

Belleza matemática: producto infinito de Viète.

Desarrollado por François Viète (1540 - 1603) en el 1593, es considerado el primer producto infinito usado para calcular el número (pi). El producto infinito de Viète es toda una obra de arte de las matemáticas...contemplemos su gran simplicidad y belleza.

En la imagen, no solo veo números y radicales…también, aprecio algo que causa un placer indescriptible a mis sentidos; parecido al que siente un amante del arte al ver por primera vez una majestuosa pintura.

Números de Catalan: fórmula contenedora. Los números de Catalan aparecen en varios problemas que involucran combinatorias. Los primeros números de Catalan son: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...; dicha secuencia la podemos obtener al sustituir (a), en la fórmula del post, por 1.

Dado que podemos deducir o obtener los números de Catalan de la fórmula mostrada, hemos decidido llamarla fórmula contenedora. Las demás secuencias resultantes (para valores de (a) > 1) también pueden ser útiles para resolver problemas combinatorios. Algunas secuencias de la fórmula contenedora son: Para: (a = 1); números de Catalan: 1, 1, 2, 5, 14, 42,... (a = 2); 1, 1, 3, 12, 55, 273,... (a = 3); 1, 1, 4, 22, 140, 969,..

János Bolyai: la frustración de un matemático. ¿A quién le pertenecen las ideas? ¿Existen o se conciben? Bueno, independientemente de las respuestas, lo cierto es que a lo largo de la historia se pueden encontrar innumerables casos de personas, que de forma autónomas, se tropezaron con una misma idea. Por citar un ejemplo, muy conocida fue la disputa de Newton y Leibniz sobre la autoría del cálculo matemático. En matemáticas es algo muy frecuente. Quizás, en mi opinión, se debe a que sus conceptos están muy relacionados o vinculados. Y, por tal motivo, es más fácil llegar a un mismo resultado aunque el método para llegar al mismo sea diferente. Después de todo, en matemáticas, existen diferentes vías para llegar al mismo lugar. Al concebir o descubrir, como mejor lo desee el lector, una idea es natural sentir gran satisfacción por lo obtenido; sobre todo si tal idea es de suma transcendencia. Pero, ¿y si no es tan nuestra como pensábamos y con anterioridad ha sido descubierta? No cabe duda que, en tal caso, nos llevaremos una gran decepción. A muchos nos ha tocado experimentar el sabor amargo que causa tal situación; sobre todo cuando no contamos con las herramientas que puedan probar nuestra coautoría. Es posible que las ideas sólo existan, independientemente del ser, y esperen ser descubiertas. Para los europeos de la edad media América no existía, pero, que ellos no tuvieran noticias del denominado nuevo continente bajo ninguna circunstancia quería decir que no estuviera en el lugar donde siempre estuvo. El matemático János Bolyai (1802 – 1860), sin duda alguna, experimentó la frustración que causa saber que “nuestras ideas” no son tan nuestras como solemos pensar. Independientemente de Nikolái Lobachevski, y sin conocerlo, Bolyai publicó, en 1832, un tratado sobre geometría no euclidiana; Lobachevski publicó un estudio muy similar apenas tres años antes. Como si no fuera suficiente, Gauss se reusó a tomar a Bolyai como discípulo (en una carta, el padre de Bolyai le escribió a Gauss para que aceptara ser el maestro de su hijo). La excusa de Gauss fue que los logros de Bolyai no eran tan novedosos, pues el propio Gauss los había anticipado, sin publicarlos, una década atrás. Desalentado, János Bolyai dejó para siempre su carrera como matemático. Para el ser humano es mucho más importante la trascendencia y el reconocimiento personal, así que nunca sabremos que grandes cosas pudo aportar el matemático húngaro a la humanidad. János Bolyai nació en Kolozsvár (actual Cluj, Rumania) el 15 de diciembre de 1802. En la actualidad, se le ha dado el reconocimiento que merece al reconocerlo como uno de los descubridores de un sistema de geometría no euclidiana.

Fuente de la imagen: ingresopasivointeligente.com

Verdad eterna. Verdad eterna la que enuncia un teorema; qué no daría un matemático por encontrar tal evidencia. Los antiguos egipcios se vanagloriaron de sus ancestrales monumentos, pero, hasta esos inmensos los devorará el tiempo…mientras que aquellas verdades permanecerán invariables por toda la eternidad. José Acevedo Jiménez (JAJ).

La Sucesión Fibonacci. Sucesión interminable, de números infinitos, la llamada Fibonacci le muestro amigos míos. Inicio con: 1, 1, y al sumarlos obtengo el 2, luego 3 y 5…siempre sumando el enésimo término al anterior. Y, si por simple no les sorprende; que eso no los engañe, pues la sucesión Fibonacci es grandiosa

e inigualable. La encontramos en tantas cosas, que son innumerables; hasta con el número de oro se relaciona y no es alarde…sin dudas, mis amigos, es la secuencia más notable; es la serie, ¡perdón sucesión!, la llamada Fibonacci. José Acevedo Jiménez (JAJ).

Letras y fractales. Bueno,...la imagen lo dice todo. Fuente de la imagen: vicente1064.blogspot.com

Ramanujan: el hombre que nació para calcular. “...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas.” Esas fueron las palabras que escribió el matemático británico Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) al conocer algunas de las fórmulas de un, entonces desconocido, matemático indio llamado Srinivasa Aiyangar Ramanujan. Corría el año 1912 cuando Ramanujan se animó a mostrar sus resultados a una terna de matemáticos de gran prestigio. Dos de ellos hicieron caso omiso a las cartas enviadas por el joven matemático, pero, por suerte para las matemáticas Hardy, quien estuvo al punto de tirarla a la basura, se detuvo a revisar su contenido. El matemático de Cambridge había descubierto un diamante en bruto y, una amistad que perduró hasta la muerte, a destiempo, del hombre que había nacido sólo para calcular, Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920). Una anécdota, contada por el propio Hardy, afirma que estando muy enfermo Ramanujan, en el hospital de hospital de Putney, lugar donde acostumbraba Hardy a visitarle, de camino al hospital notó que el taxi que había tomado portaba el número: 1,729. Hardy, quizás para iniciar una conversación que le pareciera interesante a Ramanujan dijo: “Creo que el número de mi ta i era el 1.729, me ha parecido un número bastante insulso". Y, tratándose de una materia que Ramanujan dominaba a la perfección, rápidamente y sólo haciendo cálculos mentales, respondió: “No Hardy, es un número muy interesante. Es el menor número que puede ser expresado de dos formas

diferentes como la suma de dos cubos". En efecto, el 1,729 se puede expresar como: 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3. Hoy día, a tal número se le llama número de: número de Hardy-Ramanujan y, la generalización de la propiedad descrita por Ramanujan es que surgen los llamados: números Taxicap. Srinivasa Ramanujan nació en Erode, India, el 22 de diciembre de 1887. A los 15 años de edad le prestaron un libro que contenía 6,000 teoremas conocidos, sin incluir demostración. Ese fue todo el conocimiento básico que necesitó Ramanujan para convertirse en uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos.

Fuente de la imagen: http://ramanujan.sirinudi.org/

Jugando con números: primos parentales. Sea (Pn, Pn+1) un par de números primos y, {Sa } la sucesión de todos los números pares. Entonces, decimos que los números (Pn, Pn+1) son primos parentales si (Pn, Pn+1) resultan ser el par de números primos más pequeños, no repetidos, cuya diferencia da como resultado un número par de la sucesión {Sa }. Si (p, q) son dos primos parentales, entonces el siguiente par de números primos parentales debe ser diferente del par (p, q). En otras palabras, cada par está compuesto por números primos diferentes a los demás. Ejemplos: (3, 5) son números primos parentales pues son el par de primos más pequeños cuya diferencia es 2. (7, 11) también son parentales por ser la pareja de primos más pequeña cuya diferencia es 4.

Las primeras parejas de números primos parentales son: (3,5); (7,11); (13,19); (23,31); (37,47);…

Concepto y definición: José Acevedo Jiménez (JAJ).

Pitágoras: generalización de un teorema. Bien conocido es el teorema de Pitágoras, ese que cumplen todos los triángulos rectángulos y afirma que: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ¡Vamos, que quizás es el teorema más conocido de todos! Bueno, de eso ni dudas; pues, Pitágoras, junto a “su teorema”, trascienden a las propias matemáticas. Y, siendo tan conocido el llamado teorema de Pitágoras, sorprende que la generalización del mismo no lo sea tanto. ¡Si, amigos míos! El teorema de Pitágoras puede ser generalizado y, mejor aún, sigue manteniendo la belleza que caracteriza al mítico teorema griego. Aquí vamos. El teorema de Pitágoras se puede transcribir de la siguiente manera: Dado un triángulo rectángulo, sobre los catetos y la hipotenusa construimos cuadrados cuyas áreas son iguales a las longitudes de los lados del triángulo dado. Entonces, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidas sobre los catetos. Esta definición, en la que hemos definido el famoso teorema en función de las áreas construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo, nos da una idea de cómo podemos generalizar el ancestral teorema. Generalización restringida: En un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de las áreas, de polígonos regulares, construidos sobre los catetos es igual al área del polígono regular construido sobre la hipotenusa. ¡Verdad que es hermoso!, pero, aunque se cumple, la verdad, nunca he visto una demostración de tan maravillosa afirmación. Por lo menos no generalizada. Nota: El teorema no se limita a las áreas de los polígonos regulares, pero en este post no hemos limitados a los mismos dado que no hemos tomado en cuenta otros elementos, como la altura y la semejanza, que podrían modificar el enunciado del teorema. En esta entrada, hemos querido solo

dar una pequeña pincelada sobre el tema tratado. Fuente de la imagen: matelucia.wordpress.com

¿Sabías que…?

El número ( es un número trascendente (no puede expresarse como la raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales) y fue el matemático francés Charles Hermite (1822 - 1901) el primero en demostrarlo. Charles Hermite nació el 24 de diciembre de 1822 en Dieuze, Francia. Se dedicó a estudiar la teoría de números. En matemáticas varios entes, como los polinomios de Hermite, se nombran en su honor. Fuente de la imagen: librosmaravillosos.com

Ciencia y dibujos animados: marca "Acme". Si alguna vez vieron El Coyote y el Correcaminos (dibujos animados del universo de los Looney Tunes), entonces, conocen muy bien la corporación "Acme". Los dispositivos y artefactos usados por el Coyote, con la finalidad de atrapar al Correcaminos, estaban registrados bajo el nombre de la mencionada corporación. Dicha marca no sólo era distintiva en la serie de El Coyote y el Correcaminos, también lo fue en la serie animada: Animaniacs (distribuida por la casa productora Warner Bros). La serie estaba protagonizada por los hermanos Warner (Yakko, Wakko y Dot), tres adorables personajes de características antropomorfas, con: prominente cola, oreas largas y curvadas, pies semejantes a los de un can; en definitiva, una mezcla subreal de esas que sólo pueden salir de la imaginación de un artista. Pero, no hablemos más de los personajes y sigamos con la “marca acme”. Si escribimos “acme” al revés obtenemos: emca, ¡les recuerda algo! Resulta que en uno de los episodios, los hermanos Warner tratan de ayudar a Albert Einstein (el genio tiene problemas para llegar a su famosa ecuación). En un intento por reanimar a un frustrado Einstein, Yakko, el mayor de los hermanos, escribió mientras cantaba la palabra “acme” sobre un pizarrón; acto seguido, Wakko escribe la palabra al revés, pero, con un pequeño detalle, escribe una “a” minúscula que se asemeja mucho al número 2 y parece ser el superíndice de la “c”. Yakko le reclama, pasivamente, a Wakko por haber escrito la “a” en forma de 2; a Einstein, que está observando las alocadas ocurrencias de los hermanos, de repente se le “enciende el foco”; ¡Eureka! con tan solo agregar el signo de igual a la “mal formada palabra” de Wakko (e=cma) obtiene su famosa ecuación e = mc^2. Jubiloso, el prominente científico, vocifera por todo lo alto su repentino descubrimiento. Aquí pueden ver parte del capítulo: http://youtu.be/rsyJX3sESjs La próxima vez que vean la afamada “marca Acme” de seguro no la volverán a ver igual.

Fuente de la imagen: youtube.

Recordando a: John von Neumann. El matemático húngaro John von Neumann (1903 – 1957) era poseedor de una mente prodigiosa. Su contribución a la ciencia se extienden más allá de la frontera matemática y llega alcanzar otras como la física cuántica y la economía. Merecidamente, se le considera como uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos. La mosca de Neumann. Según cuenta una, de tantas dignas de mencionar, anécdota, en cierta ocasión al matemático húngaro le plantearon el siguiente problema: “Dos trenes separados por una distancia de 200 km se ponen en marcha simultáneamente uno hacia el otro, con una rapidez de 50 km/h. En el mismo instante, una mosca que se encuentra posada en el extremo delantero de uno de los trenes, emprende vuelo hacia el frente del otro, con una rapidez de 75 km/h. Al llegar al segundo tren, la mosca regresa inmediatamente al primero, sin perder tiempo, y así continua su recorrido de un ferrocarril hacia otro, viajando siempre en línea recta, hasta que finalmente los trenes chocan con la mosca en medio. ¿Cuál es la distancia recorrida por la mosca?” Sin titubear el matemático respondió: - 150 km. El interrogador extrañado de la respuesta dijo: - me sorprende su respuesta, pues los matemáticos intentan resolver el problema por medio de series infinitas. - ¿Acaso existe otra forma de resolverlo? – inquirió Neumann extrañado. En efecto, existen dos maneras diferentes de resolver el problema. Las personas no doctas en matemáticas intentan resolver el problema de una manera simple y natural, considerando solo algunas cuestiones relativas al movimiento. Por otro lado, las personas que poseen cierto grado de conocimiento matemático prefieren resolver el problema de una forma más compleja, sumando términos infinitos de una serie geométrica. John von Neumann nació el 28 de diciembre de 1903 en Budapest, Imperio austrohúngaro. Fue uno de los precursores de la teoría de juegos. El matemático húngaro George Pólya dijo sobre Neumann: "Él era el único alumno que me dio miedo". Fuente de la imagen: loffit.abc.es .

Matemáticas y cine: más allá del infinito. Bien conocida es la frase de Buzz Lightyear “Al infinito… ¡y más allá!”; una frase genial, sin dudas, que ha sobrepasado los límites de la pantalla gigante hasta llegar a formar parte del argot popular. Pero, ¿tiene sentido el grito de guerra del personaje espacial de Disney? Después de todo, ¿qué puede haber más allá del infinito? La popular frase ha desatado un torrencial de discusiones entre varias ramas del saber humano y, entre tales están las matemáticas y la filosofía. Cabe destacar que muchos matemáticos aseguran que es imposible llegar más allá del infinito; eso si consideramos que el universo es infinito, pues aún no conocemos a ciencia cierta sus dimensiones. Incluso en nuestros días, hablar del infinito es algo un tanto complicado pues aunque hemos aprendido algo sobre el tema, son variadas las cuestiones, sobre el infinito, que siguen desconcertando el intelecto humano. Y, los matemáticos afirman que es imposible semejante frontera…quizás deberíamos ver la pregunta desde un punto menos físico y más abstracto, pues después de todo, y viendo el problema desde una perspectiva de conjuntos, existen diferentes tipos de infinitos e incluso algunos más grandes que otros. Así es, aunque parezca paradójico. Es posible que de momento no podamos responder, por lo menos de manera satisfactoria, la pregunta que hemos propuesto al inicio de estas líneas. Pero, hay algo que no podemos negar, de estar hoy con nosotros, la frase de Buzz Lightyear habría llamado la atención de Georg Cantor. Después de todo, fue Cantor quien nos enseñó que tratándose del infinito las cosas no necesariamente son lo que aparentan ser.

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