Sir William Rowan Hamilton (Dublín, Irlanda, 1805-1865)

Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1855)

Muchos problemas quedan sin resolver en el conjunto de los números reales. En particular, la radicación de índice par de números negativos.

El ejemplo más sencillo es que no existe ningún número real x, tal que:

x2 + 1 = 0 pues −= 1x ±

Este y otros problemas parecidos trataron de resolverse durante muchos años, entendiendo que el símbolo 1− significaba un número cuyo cuadrado es – 1. Así, en forma un tanto misteriosa, Cardano en 1545 introdujo el símbolo i, que llegó a llamarse «raimuno» (raíz cuadrada de menos uno), con el cual se representaba un número cuyo cuadrado era –1.

Expresiones tales como (2 + 3i) se llamaron números complejos y se utilizaron de modo puramente formal, casi 300 años antes de que fueran descritos de una manera que puede ser considerada como satisfactoria en la actualidad.

A principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y Willam Rowan Hamilton (1805-1865), independientemente y casi al mismo tiempo, propusieron la teoría actualmente aceptada de los números complejos como pares ordenados de números reales, definiendo en este conjunto las operaciones básicas de suma y multiplicación.

1

1

Es costumbre reservarciertas letras para las variables.

x ? variable real

n ? variable natural

z ? variable compleja

17

NÚMEROS

COMPLEJOS 1 – DEFINICIÓN Se llaman números complejos a las parejas ordenadas de números reales (a, b), para las cuales se definen las operaciones básicas de igualdad, suma y multiplicación. Se usará en muchos casos una sola letra z1, z para representar a un número complejo, pero la notación (a, b) (notación cartesiana) es la más elemental, pues utiliza justamente los dos números reales dados en un cierto orden que lo define. Notación cartesiana z = (a, b) El primer componente a del número complejo se llama parte real y se anota como:

a = Re(z)

El segundo componente b se llama parte imaginaria y se anota como:

b = Im(z)

Un número complejo es igual a un número real, si su segundo componente es cero (a, 0) (véase el punto 3). Y se llama imaginario puro cuando su primer componente es nulo (0, b). . El conjunto de todos los números complejos se simboliza:

2

2

El conjunto de los números complejos satisface los axiomas de cuerpo del sistema de los números reales. Por consiguiente, las leyes del álgebra que se deducen de ese conjunto de axiomas, también son válidas para los números complejos. Esto es: si x, y, z son números complejos, se cumple:

Propiedad conmutativa x + y = y + x xy = yx

Propiedad asociativa

x + (y + z) = (x + y)+z x(yz) = (xy)z

Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz

En los números complejos existen, son únicos y diferentes el neutro de la suma y el neutro de la multiplicación. También existen y son únicos el opuesto y el inverso de un número complejo.

2 – OPERACIONES

2.1. IGUALDAD Dos números complejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si: a = c b = d. Es decir, si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.

2.2. SUMA Dados los números complejos (a, b) y (c, d) se define a la suma como el número complejo que cumple:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) El neutro de la suma es el número complejo (0, 0), ya que se verifica que:

(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

2.3. RESTA Para realizar la resta de dos números complejos es necesario definir el opuesto. El número complejo opuesto al (a, b) es el (– a, – b) pues verifica:

(a, b) + (– a, – b) = (a – a, b – b) = (0, 0) Por lo tanto, para restar dos números complejos se le suma al primero el opuesto del segundo. EJEMPLO: Efectuar (2, – 3) + (– 1, 4) – (0, 3) =

(2, 3) ( 1, 4) (0, 3)

(1,1) (0, 3) (1, 2)

− + − − =

− = −

3

3

2.4. MULTIPLICACIÓN Dados los números complejos (a, b) y (c, d) se define a la multiplicación como el número complejo siguiente:

(a, b)(c, d) = (ac – bd, bc + ad) El neutro de la multiplicación es el número complejo (1, 0) pues cumple que:

(a, b)(1, 0) = (a.1 – b.0, a.0 + b.1) = (a, b)

2.5. DIVISIÓN Dividir dos números complejos (con divisor no nulo) significa multiplicar al primero por el inverso del segundo. El número complejo inverso del (a, b) (con a y b no simultáneamente nulos) es el:

( ) 12 2 2 2

a ba, b ,a b a b

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

La anterior expresión para el inverso de un número complejo es difícil de recordar. Sin embargo, es mucho más fácil calcular el cociente de dos números complejos, utilizando la noción de número complejo conjugado (véase el punto 6). 3 – NOTACIÓN BINÓMICA

Todo número complejo (a, b) puede expresarse como: (a, 0) + (0, b). O sea, como la suma de un número complejo de segundo componente nulo y otro con el primer componente nulo. También de acuerdo con la definición dada de multiplicación de número complejo, se cumple que: (0, b) = (0, 1)(b, 0). Por lo tanto, cualquier número complejo se puede escribir de la siguiente forma:

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0)

Un isomorfismo es una relación que se mantiene a través de las dos operaciones básicas definidas: suma y multiplicación. En este caso, se define la siguiente correspondencia biunívoca entre los números complejos de segundo componente nulo y los números reales:

(a, 0) % a Al número complejo (a, 0) le corresponde el real a

Dicha correspondencia biunívoca es un isomorfismo, pues se mantiene en la suma (la suma de dos números complejos de segundo componente nulo es otro número complejo de segundo componente nulo) y en la multiplicación (la multiplicación de dos números complejos de segundo componente nulo es otro número complejo de segundo componente nulo).

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0)(b, 0) = (a.b – 0.0, a.0 + 0.b) = (ab, 0)

El isomorfismo así definido permite escribir las siguientes igualdades:

(a, 0) = a (b, 0) = b

4

4

En física, la letra i estáreservada para simbolizar intensidad de corriente. Por lo tanto, es común, enlos números complejos, usarpara la unidad imaginaria laletra j. (0, 1) = j

Al definir la unidad imaginaria: (0,1) con la letra i, un número complejo se puede anotar como: (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Unidad imaginaria (0, 1) = i

Notación binómica (a + ib) 4 – PROPIEDADES DE LA UNIDAD IMAGINARIA La incorporación en los números complejos de la letra i surge de su definición como el número complejo (0,1), que corresponde a lo que se conoce como unidad imaginaria. Las propiedades de i resultan de hacer operaciones ya definidas en los números complejos. i2 = (0,1)(0,1) = (0 –1, 0+0) = (– 1, 0) es isomorfo con el real –1

i2 = – 1 propiedad que no puede cumplir ningún número real.

NOTA De aquí surge la propiedad tan citada de que: 1 =− i Esta propiedad permite resolver el problema de la extracción de la raíz cuadrada a un número negativo.

Todas las demás potencias de i dan como resultado uno de estos siguientes cuatro valores: – 1, – i, 1, i. Para calcularlos basta aplicar las propiedades de potencias. i3 = – i pues i3 = i2* i = (– 1)i = – i i4 = 1 pues i4 = i2* i2 = (– 1)(– 1) = 1 i5 = i pues i5 = i4* i = (1)i = i

5

5

Una forma sencilla de calcular in es dividir al exponente entre 4. n∈ * q∈ * r∈

n 4r q

in = i4q + r = (i4)q *ir = ir pues i4=1

in = ir

En el siglo XVIII, los números complejos fueron establecidos correctamente como una extensión de los números reales, pero todavía transcurriría un cierto tiempo antes de que se dominaran sus características.

Leonardo Euler

Suiza

(1707-1783) Así, en la Introducción completa al álgebra, Euler cometió un error al escribir que 2× 3 = 6− − en lugar de − 6 , confundiendo a algunos escritores posteriores sobre dicha materia.

EJEMPLO: Calcular i123

( ) 30123 4 3 30= × = (1) ×( ) =− −i i i i i = 1 = – i

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 401, de la página 402.

NOTA

Las propiedades de los radicales no son en general aplicables cuando las cantidades subradicales son números negativos o, más general, números complejos.

Para realizar el producto de 2× 3− −

Si se aplican propiedades de radicales es incorrecto efectuar:

2 × 3 = ( 2)( 3) = 6− − − −

Pero con la definición de unidad imaginaria es posible escribir:

1 =− i por lo cual es posible expresar a− , como

ai en el cual aparece la expresión a y a esta sí le son aplicables las leyes de los radicales. Para realizar el producto anterior correctamente se procede:

22× 3 = 2 × 3 = × 6 = 6− − −i i i

6

6

Una forma muy interesante de empezar a trabajar con números complejos conjugados es tomar como punto de partida la siguiente definición:

Si z es un número complejo, z será su conjugado si:

z + z ∈ z × z ∈

A partir de esta, tomando a:

z = a + ib z = c + id

deduzca el estudiante los valores de c y d.

5 – OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA La notación binómica es la más extendida, pues permite aplicar las reglas conocidas de operaciones con binomios en los números reales, sin necesidad de recordar las definiciones correspondientes a los números complejos. Operando con i como si fuese real, pero teniendo en cuenta su propiedad básica: i2 = – 1 Suma en forma binómica: (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d) Multiplicación en forma binómica: (a + ib)(c + id) = ac + aid + ibc + i2bd = ac – bd + i(ad + bc) Multiplicación por un real: a(c + id) = ac + iad 6 – NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS

6.1. DEFINICIÓN Los números complejos (a + ib) y (a – ib) se llaman conjugados. Tienen igual la parte real, y opuesta la parte imaginaria.

NOTACIÓN Si z es un número complejo, suele indicarse su conjugado como: z

6.2. PROPIEDAD FUNDAMENTAL La suma y el producto de un número complejo por su conjugado, dan como resultado un número real. En la suma: z + z = (a + ib) + (a – ib) = 2a En la multiplicación: z × z = (a + ib) × (a – ib) = a2 + b2

6.3. DIVISIÓN EN FORMA BINÓMICA Para dividir dos números complejos (con divisor no nulo) en forma binómica, es necesario multiplicar y dividir la fracción por el complejo conjugado del denominador.

7

7

Una paradoja matemática puede definirse como una verdad matemática tan asombrosa que resulte difícil de creer, aun cuando se haya comprobado cada paso de la demostración. Las falacias matemáticas son afirmaciones igualmente asombrosas pero, a diferencia de las paradojas matemáticas, sus demostraciones contienen errores sutiles. Por ejemplo: 1 1− = −

−−1 1 = 1 1

−

−

1 1 = 1 1

1 1 1 1= − −* * 1 = – 1

Véanse los resultados en la página 490.

EJEMPLO:

Efectuar la siguiente división: 6+21+

ii

Se multiplica y divide la fracción propuesta por el conjugado del denominador (1 – i). 6+2 (6+2 )(1 ) 8 4= = = 4 21+ (1+ )(1 ) 2

− −−

−i i i i

ii i i

6.4. OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS Las demostraciones quedan para ejercicio del estudiante. Se debe recurrir a la notación binómica; plantear un número complejo (a + ib) y su conjugado (a – ib), y realizar las cuentas indicadas. z + v z + v= z v z v× = ×

z zvv

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )z zn n= con n entero

( ) ( )z z− = − z za a× = × EJEMPLO: Sea z = (a + ib). Hallar a y b sabiendo que:

( ) ( )z z z z2241 y que: 18× = + = −

Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(a+ b)(a b) = a +b a + b = 41

(a+ b) +(a b) = 2a 2b 2a 2b = 18

− →

− − → − −

i i

i i Solución: a= + 4 b= + 5

Soluciones: (4 + 5i) (4 – 5i) (– 4 + 5i) (– 4 – 5i)

8

8

Un concepto que se debe manejar previo a la representación gráfica de un número complejo es el de sistema de coordenadas cartesianas: es el sistema formado por dos ejes perpendiculares x,, y cuyos orígenes coinciden en el punto O. A cada punto P(a, b) del plano le corresponde uno y solo un par de valores (a, b) llamados coordenadas cartesianas o rectangulares del punto P. El origen O tiene como coordenadas (0, 0).

7 – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

7.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

La validez de las operaciones con números complejos era cuestionada por varios matemáticos anteriores al siglo XIX. El nombre de imaginarios –que aún se da a los números complejos cuyo primer componente es nulo– es un vestigio de ese escepticismo. Sin embargo, a comienzos del siglo XIX, una sencilla interpretación geométrica de las operaciones con números complejos hizo desaparecer estas sospechas. Esta interpretación geométrica consiste en colocar la parte real de un número complejo en un eje y su parte imaginaria en otro eje, perpendicular al primero. El primero de estos ejes se denomina eje real y el segundo eje imaginario. Toda la teoría de los números complejos puede ser desarrollada aritméticamente sin utilizar representación geométrica alguna, pero es útil mostrar que la creación de estos nuevos números ha sido, en parte, motivada por la necesidad de poder representar numéricamente los puntos de un plano, de igual modo que los números reales surgieron en la mente de los matemáticos para poder representar los puntos de una recta.

x

P

y

O

b

a

9

9

m ∈ +∪{0} 0 < α < 2π

7.2. PLANO COMPLEJO Cada punto del plano queda determinado por un par de números reales, que son sus coordenadas cartesianas. Puesto que un número complejo es un par ordenado de números reales, puede representarse geométricamente como un punto en el plano. Por ello, al plano (x, y) se lo llama plano complejo, porque cada punto del plano define un número complejo. Los números complejos de forma (a, 0) pertenecen al eje x al cual se lo llama eje real. Los números complejos de la forma (0, b) se encuentran sobre el eje y, al cual se lo llama eje imaginario. 8 – NOTACIÓN POLAR (MÓDULO – ARGUMENTO)

NOTA

Para comprender el desarrollo del resto del capítulo es necesario que el lector haya estudiado antes el capítulo sobre «Trigonometría».

8.1. DEFINICIÓN

Todo punto del plano (número complejo) determina un único segmento orientado o vector, el cual queda determinado por su módulo m y su argumento α (alfa). El módulo m es la medida del segmento [OP]. El argumento α (alfa) es la medida del ángulo AOP , tomando como positivo el trigonométrico (antihorario). Por lo cual es posible escribir un número complejo indicando tan solo su módulo y su argumento.

Para el valor del módulo se considerará que la distancia d(O, P) es siempre positiva o cero, por lo cual el módulo es un número real positivo o cero. El argumento α solo podrá tener un valor entre 0 y 2π radianes. Esta restricción determina una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los valores para el módulo y el argumento.

NOTACIÓN POLAR: m α

x

P

y

O

b

a

m

α A

10

10

a ≠ 0

m $ 0

8.2. PASAJE DE CARTESIANAS A POLARES

Dado un número complejo en forma cartesiana (a, b), para obtener su notación polar es necesario recordar el teorema de Pitágoras y la definición de tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo. En el triángulo rectángulo OAP se cumple, por el teorema de Pitágoras: m2 = a2 + b2

cateto opuesto btgcateto adyacente a

α = =

Dado el complejo en forma cartesiana (a, b) → b2 2m a b arctga

= + α =

8.3. PASAJE DE POLARES A CARTESIANAS

Dado un número complejo (no nulo) en notación polar m α para obtener sus

coordenadas cartesianas es necesario recordar las definiciones de coseno y seno de un ángulo en un triángulo rectángulo.

cateto adyacente acos a m coshipotenusa m

α = = → = α⋅

cateto opuesto bsen b m senhipotenusa m

α = = → = α⋅

Dado el complejo en forma polar : m a m cos b m sen→ = α = α⋅ ⋅α

No es posible usar esta fórmula cuando el número complejo está sobre el eje y, pues a = 0 y no es posible dividir entre cero. El ángulo en este caso es: 2

π si b > 0 o 32π si b < 0

x

P

y

O

b

a

m

α A

b

x

P

y

O a

m

α A

11

11

8.4. IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La notación polar aporta cierta particularidad a la igualdad de dos números complejos. Según las definiciones dadas, resulta que el módulo de un número complejo es único, no así su argumento. En efecto, ampliando las restricciones hechas, si al argumento se le suma 2π radianes un número entero de veces, se obtiene el mismo punto en el plano.

m m 2k

k

=α α + π

∈

En todos los casos se tomará como valor del argumento aquel situado entre 0 y 2π, llamado valor principal.

8.5. CASOS PARTICULARES EN NOTACIÓN POLAR El número complejo (0, 0) tiene: m = 0 y argumento indeterminado. Los números reales positivos: (a, 0) con a > 0, son de la forma: a 0

Los números reales negativos: (– a, 0) con a > 0, son de la forma: a π

Los números imaginarios puros: (0, b) con b > 0, son de la forma: b

2π

Los números imaginarios puros: (0, – b) con b > 0, son de la forma: b 3

2π

La unidad imaginaria: (0, 1) = i se escribe en polar como: 1

2π

x

P

y

O

m

α x

P

y

O

m

(α + 2π)

12

12

9 – NOTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

De acuerdo con consideraciones trigonométricas ya vistas en el punto 8.3 (pasaje de polares a cartesianas) se cumple:

a = m.cos α

b = m.sen α Por lo cual, un número complejo (a, b) queda expresado en forma cartesiana trigonométrica como: (m.cos α, m.sen α). Y en forma binómica trigonométrica como: (m.cos α + i.m.sen α).

NOTACIONES TRIGONOMÉTRICAS

(m.cos α, m.sen α) m(cos α + i.sen α) 10 – OPERACIONES EN FORMA POLAR

10.1. MULTIPLICACIÓN La notación polar es sumamente cómoda para la multiplicación, división, potenciación y radicación. Para demostrar la forma de proceder se recurre a la notación trigonométrica. Dados dos números complejos m(cos α + i.sen α) y p(cos β + i.sen β), al multiplicarlos en forma binómica se obtiene:

m(cos α + i.sen α).p(cos β + i.sen β) =

= mp.[cos α.cos β – sen α.sen β + i.(cos α.sen β + sen α.cos β)] Aplicando que: cos (α + β) = cos α.cos β – sen α.sen β sen (α + β) = cos α.sen β + sen α.cos β La multiplicación de dos números complejos en forma binómica trigonométrica resulta:

m.(cos α + i.sen β) p.(cos α + i.sen β) = mp.(cos (α + β)+ i.sen (α + β))

x

P(a, b)

y

O

b

a

m

α

13

13

m p m p× = ×α β α +β

Neutro de la multiplicación

Esto permite una expresión muy simple para la multiplicación de números complejos, al expresar dicha operación en forma polar.

Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.

10.2. INVERSO El inverso de un número complejo no nulo es otro complejo tal que multiplicado por el dado, da como resultado el neutro de la multiplicación.

El inverso del complejo: m α es el complejo: 1m−−α pues se cumple:

( )1 1m m m m 1 0

− −× = × =α −α α −α

10.3. DIVISIÓN Dividir dos números complejos (con divisor no nulo) consiste en multiplicar el primero por el inverso del segundo.

mm1m p

p pα ⎛ ⎞−= × = ⎜ ⎟α −β ⎝ ⎠ α−ββ

mm

p pα ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ α−ββ

Para dividir dos números complejos en forma polar, se dividen sus módulos y se restan sus argumentos.

14

14

11 – POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

11.1. DEFINICIÓN La potenciación se define como una multiplicación reiterada.

( )veces

nm m m m ... m= × × × ×α α α α α

n

11.2. POTENCIACIÓN EN FORMA POLAR Dado que la potenciación es un caso de multiplicación reiterada, generalizando la forma de multiplicar en polares para n factores iguales, se logra que:

( )veces

n nm m m ... m mveces n...

= × × × =α α

α+α+ +α

n

n

( )n nm m n=α α

Casos particulares

( )1 1m m m1= =α ×α α

( )0 0m m 10 0= =α ×α

( ) 11 1m m 1 m− −= =α − ×α −α

15

15

De Moivre, de religión protestante, emigró a Inglaterra en 1685. Comenzó a enseñar matemática como profesor particular, mientras esperaba un puesto de profesor universitario, que no logró. Nunca consiguió el patrocinio necesario, pues tenía un acento que lo delataba como francés. Siempre fue considerado como un forastero para la sociedad inglesa. Fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica y la teoría de la probabilidad. En 1718 publicó The Doctrine of Chance, también investigó las estadísticas de mortalidad y los fundamentos de la teoría de anualidades. A pesar de ser una eminencia científica, su principal ingreso económico fueron las clases particulares y murió en la pobreza. Como Cardano, fue famoso también por predecir con éxito el día de su propia muerte. Encontró que estaba durmiendo 15 minutos más por día. Calculó que moriría el día que durmiera durante 24 horas, como así fue.

Abraham De Moivre (Francia, 1667-1754)

EJEMPLO: Dado el número complejo (– 3 + 3i) a) Representarlo en un sistema de ejes cartesianos. b) Expresarlo en la notación polar. c) Calcular su quinta potencia. Para pasar de notación cartesiana a polar se usan las siguientes relaciones:

b2 2dado el número complejo en forma cartesiana : (a, b) m a b arctga

→ = + α =

(– 3 + 3i) ? m α

2 2m ( 3) (3) m 18= − + =

34

3tg 1 (de acuerdo con el dibujo)3

πα = = − α =−

(– 3 + 3i) ? 18

34π

( )5518 18 324 18324 183 73 1554 44 4

⎛ ⎞ = ==⎜ ⎟π ππ π×⎜ ⎟⎝ ⎠

x

y

o

3

–3

a) b)

c) Véase el

punto 8.4.

16

16

cos 3α = (cos α)3 – 3(cos α)(sen α)2 Resulta que: sen 3α = 3(cos α)2(sen α) – (sen α)3

11.3. FÓRMULA DE De MOIVRE Potencia en forma trigonométrica

Dado el número complejo m(cos α + isen α), su potencia enésima es:

(m.(cos α + i.sen α))n = mn (cos (nα) + i.sen (nα)) Esta expresión se deduce reiterando n veces la multiplicación (véase el punto 11.2) y permite calcular trigonométricamente las potencias de exponente natural de los números complejos. La fórmula de De Moivre con m = 1, resulta: (cos α + i.sen α)n = cos (nα) + i.sen (nα)

cos (nα) = Re[(cos α + i.sen α)n] A partir de la cual es posible escribir que: sen (nα) = Im[(cos α + i.sen α)n]

Expresiones muy útiles para calcular los desarrollos de ángulos dobles, triples, cuádruples, que aparecen en el capítulo de «Trigonometría», página 341.

Por ejemplo: cos 3α es la parte real del complejo (cos α + i.sen α)3 (cos α + i.sen α)3 = (cos α)3 + 3(cos α)2(i.sen α) + 3(cos α)(i.sen α)2 + (i.sen α)3

(cos α + i.sen α)3 = ( )( ) ( )− −2 2 33cos α 3(cos α)(sen α) + . 3(cos α) (sen α) (sen α)i

Como ejercicio, el estudiante, expresará cos 3α solo en coseno o sen 3α solo en seno, usando la fórmula fundamental.

17

17

n - 4n - 4

Todo número complejo no nulo tiene n raíces enésimas distintas. El problema de la radicación, lleno de excepciones y paradojas en el campo real, obtiene en el campo complejo una solución general y sencilla.

12 – RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

12.1. FORMA POLAR Dado el número complejo: m α no nulo y el número natural n > 1,

se define la raíz enésima del número complejo dado, como otro complejo p β

nm p si se cumple : p mn = =⎛ ⎞⎜ ⎟α β β α⎝ ⎠

lo cual implica la siguiente igualdad: np mn

=β α

La condición necesaria y suficiente para que esta igualdad se verifique es que sean iguales los módulos y que los argumentos difieran en un número exacto de «vueltas». Esto significa que debe cumplirse:

n np m p m= → =

2kn 2k n * kn nα π

β = α + π → β = + ∈ ∈

Los primeros n valores de k (o sea, desde k = 0 hasta k = n – 1) dan n distintos argumentos dentro del intervalo [0, 2π). Se obtienen de este modo las n raíces de un número complejo. O sea, n números complejos cuyas potencias enésimas sean: m α

Véase el punto 8.4.

18

18

K = 0

K = 1

K = 2

x

y

EJEMPLO: Calcular 8

34π

38 83 2k

4 12 3

= =π π π+

2

12

234

21712

π

π

π

Para k > 2 da argumentos mayores que 2π, y se repiten los mismos puntos en el plano.

Un caso particular interesante es calcular las raíces enésimas de (1, 0), las cuales se denominan raíces enésimas de la unidad. Puesto que (1, 0) es un número complejo que tiene módulo 1, de la observación anterior se deduce que los extremos de las raíces enésimas de la unidad con n > 2, son los vértices de un polígono regular de n lados, inscripto en una circunferencia de radio 1.

Ejemplo: 8 (1, 0)

x

y

o

2

12π

2 3

4π

2 1712

π

19

19

12.2. RAÍZ CUADRADA EN FORMA BINÓMICA En muchos casos en que se desea hallar las raíces cuadradas de un número complejo (a + ib) existe interés en evitar el pasaje a la forma polar. Sea el complejo (a + ib). La raíz cuadrada de este complejo será otro número complejo (c + id) tal que su cuadrado de (a + ib).

Si: 2a+ b = c+ d debe cumplirse: (c+ d) = (a+ b)i i i i Al efectuar el cuadrado de un binomio, y al tener en cuenta que i2 = – 1 se obtiene: (c + id)2 = c2+ 2icd – d2 ? (c2– d2 + i2cd) = a + ib Para que se cumpla esta última igualdad, debe cumplirse que:

c2 – d2 = a (igualdad 1) 2cd = b (igualdad 2) Para hallar los valores de c y d en función de los de a y b, se recurre a la definición del módulo de un complejo.

Para el número complejo (a + ib), el módulo: 2 2m a b= +

Para el número complejo (c + id), el módulo: 2 2m' c d= + Vista la radicación en forma polar, se debe cumplir que:

( ) 2 2 2 22m' m o sea que: c d a b= + = + (igualdad 3) Sumando y restando las igualdades 1 y 3 se obtiene que:

2

2

m aAl sumar: 2c m a c2

m aAl restar: 2d m a d2

+= + → = ±

−= − → = ±

De las cuatro combinaciones posibles para los valores de c y d, solo son dos los valores correctos: aquellos en que el producto c*d tenga el mismo signo de b (véase la igualdad 2).

m a m a si b 02 2

⎛ ⎞+ −± + >⎜ ⎟

⎝ ⎠i

a + b =i 2 2m a b= +

m a m a si b 02 2

⎛ ⎞+ −± − <⎜ ⎟

⎝ ⎠i

20

20

EJEMPLO: Hallar las raíces de: z2 + (– 3 – i)z + (8 – i) = 0 Es una ecuación completa de segundo grado; por lo tanto, se aplica la fórmula de resolución.

z2( 3 ) ( 3 ) 4(1)(8 )

2(1)− − − ± − − − −

=i i i

= ( 3 ) 24 10

2− − − ± − +i i

Primero se halla la raíz cuadrada de (– 24 +10i). Para ello es conveniente usar la forma binómica.

Sea el número complejo (– 24 + 10i) de módulo m = 2 2( 24) (10) 26− + =

Sea (c + id) = 24 10− + i 26 24c 12−

= ± = ± 26 24d 52+

= ± = ±

(1 + 5i) 24 10− + i = (– 1 – 5i)

z 3 1 5 2 31 2

+ + += = +

i ii z 3 1 5 1 2

2 2+ − −

= = −i i

i

Soluciones: {(2 + 3i), (1 – 2i)}

Examen 5.º Científico.Julio 1990, Liceo de Solymar

Se sabe que (Z, W) ∈ 2 1Z = (1+ )W = 9 2 Wi−

1) Calcular (Z, W). Sea el conjunto solución {(Z1, W1), (Z2, W2)} 2) f: ? es polinómica de grado mínimo posible a coeficientes reales

de modo que {Z1, W1, Z2, W2} c f –1({0}). ¿Cuáles son los otros

elementos de f –1({0})? 3) Si el polinomio asociado a f tiene como coeficiente de más alto grado

a 3– 8, ¿cuál es su término independiente? 4) El polinomio asociado a f, ¿es primo o compuesto en los reales?

¿Por qué? 5) El polinomio asociado a f, ¿es primo o compuesto en los complejos?

¿Por qué? Véanse los resultados en la página 490.

21

21

13 – POLINOMIOS DE VARIABLE COMPLEJA

13.1. TEOREMA

Dado un polinomio: z z=n

=0P( ) a≡ ∑

i iii

de variable z

compleja, de coeficientes ai reales, se cumple ( )z zP = P( )

i∈ n∈ . Para la demostración se usarán las propiedades de los números complejos conjugados (véase el punto 6.4).

Haciendo el valor numérico para z , se obtiene que: ( ) ( )z z=n

=0P = a∑

i i

ii

Cada término del polinomio de la forma ( )zai

i se puede escribir (aplicando

propiedades de los números complejos conjugados) como:

( ) ( ) ( )z z z za = a = a = ai i i i

i i ii

( ) ( ) ( )z z z z z=n =n =n

=0 =0 =0P = a = a = a = P( )∑ ∑ ∑

i i ii i ii i i

i i i O sea que: ( )z zP = P( )

13.2. COROLARIO

Todo polinomio de coeficientes reales que tenga una raíz compleja zo también tendrá su compleja conjugada:

oz .

Por el teorema anterior se cumple que: ( )z zo

P P( ) 0 0o

= = =

Dado que P(zo) = 0, por hipótesis.

Entonces se cumple la tesis de que: ( )zo

P 0=

22

22

NOTA Si un polinomio de variable compleja y coeficiente reales tiene una raíz compleja zo, el polinomio es divisible entre

(z – zo) y entre z z( )o− .

Por lo cual, las raíces complejas de un polinomio de coeficientes reales se presentan en pares imaginarios conjugados. En consecuencia, si el polinomio es de grado impar tiene al menos una raíz real.

Todo polinomio reducido de variable compleja de grado n tiene exactamente n raíces (contadas con su orden de multiplicidad).

EJEMPLO: Hallar todas las raíces de: z3– 7z2 + 17z – 15 = 0 sabiendo que una raíz es: (2 – i). Por el teorema anterior, si un polinomio de coeficientes reales, tiene por raíz al número complejo (2 – i), es también raíz el número complejo conjugado (2 + i). Se divide aplicando Ruffini hasta un cociente de primer grado, donde se despeja la tercera raíz.

1 7 17 152 2 11 3 15

1 5 6 + 3 02 + 2 + 6 3

1 3 0

− −− − − +

− −− −

−

i i i

i i

i i i

Cociente = z – 3 de raíz z = 3

Raíces = {3, (2 – i), (2 + i)}

23

23

1) a) Dado un número complejo en forma polar, obtener las fórmulas de pasaje para

expresarlo en notación binómica (a + ib). b) Obtener la fórmula del producto de dos números complejos en notación polar. c) Dados 2

6π y 5

4π calcular su producto.

2) a) ¿Cómo se realiza la multiplicación en polares? ¿Qué notación se usa en la partida? ¿Qué propiedades se usan y que fórmula se aplica al final de la demostración? b) ¿Cómo se calculan las raíces enésimas de un número complejo distinto de

cero? ¿Cuántas raíces enésimas se obtienen? Justificar con detalles esta última respuesta.

c) Calcular ( )2 4 814

π × −

3) a) z = a + bi es un número complejo. Explicar qué significa esta notación y expresarla en forma polar. b) Demostrar la fórmula de De Moivre. 4) a) Definir número complejo. b) Forma binómica y trigonométrica. c) Expresar en forma polar (3 3 )+ i . 5) Escribir y demostrar la fórmula que permite calcular la potencia enésima de un

número complejo z m=α

(fórmula de De Moivre).

6) a) Definir de multiplicación de números complejos dados en notación cartesiana b) Justificar la notación binómica. b1) (0, b) = bi b2) (a, b) = a + bi c) ¿Cómo se multiplica en polares? Justificar. 7) ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas? Si la proposición es falsa, dar un contraejemplo. a) z z 0+ = si y solo si Re(z) = 0

b) zz1

+ es real si y solo si Im(z) = 0 o |z| = 1

24

24

401) Efectuar las operaciones siguientes:

1) (2 + 6i) – (5 – 2i) 2) (9 – 2i) – (7 – 3i) 3) (1 – i)*(1 + i) 4) (8 + i)*(1 + 2i)

402) Efectuar las operaciones siguientes:

1) (1 + i)2 2) 6 71 2

−−

ii

3) 13 +132 3−

ii

4) 5 +15 7 +

ii

5) 18 + 2 + 3

ii

6) 1i

7) i– 2 8) i– 3

9) (1 – i)– 2 10) 1+ 3 + 3 1 1+

−−

i ii i

11) 19 3− i6+i

403) Resolver en

1) z2– 6z + 10 = 0 2) z2 + 1 = 0 3) (z – 3)(z2 + 4) = 2(z2 + 4)

4) z(z2 + 1) – 3 (z2 + 1) = 0 5) (1 + i) z = 1 6) z(2 ) 1+ 17 + = (1 )1+ 3 6

−−

i ii

i i

7) ( )z z z . + 2 = 2i 404) Determinar un número complejo sabiendo que: si al resultado de multiplicarlo por

(2 – i) se le suma (– 4 + 4i) y a lo obtenido se le divide entre (2 + 3i), se vuelve al número complejo de partida.

405) Resolver los siguientes sistemas.

1) x y

x y

2 + = 4 +

+ (2 + ) = 6 +

i

i i

2) x y

x y

4 = 20 4

(3 + ) + = 7 + 7

− − −

−

i i i

i i

3) x z

x z

(2 + ) (3 + 2 ) = 5 4

2 (1 ) = 8 + 8

− −

− −

i i i

i i i

4) x z

x z

(3 ) + ( 1) = 1

2 (2 + 3 ) = 2

− −

− −

i i

i i i

406) Hallar los valores que deben tomar a y b para que la expresión (a + ib)4 sea

igual a 16.

407) Resolver: z w

z w

3 + = 1 3

2 = 6

−

− −

i

i

408) Calcular dos números complejos w y z tales que: ? su suma sea (3 – 2i) ? el producto de sus componentes reales sea 2 ? la componente real de su producto sea 5 ? módulo w < módulo z < 4

25

25

409) Escribir en notación binómica los siguientes números complejos dados en forma polar.

a) 54π b) 2

4π−

c) 4 34π d) 7 5

4π e) 2 4

3π

f) 4 23π g) 3

2π h) 6− π i) 5 2π j) 9

2π−

410) Escribir en notación polar los siguientes números complejos dados en notación binómica.

a) (1 + i) b) (1 – i) c) (– 1 + i) d) (– 1 – i) e) ( )1 3− − i

f) ( )3 3− + i g) 5i h) 7 i) –7 j) – 3i

411) Dados los números complejos: a) (1 + i) b) ( 1 3)− − i c) – i i) Representarlos en un sistema de ejes cartesianos. ii) Expresarlos en la notación polar. iii) Calcular su potencia quinta.

412) a) Sea: z 3 6π= −

calcular z4, z5, z–6 y expresar los resultados en forma binómica.

b) Calcular los componentes cartesianos de los números complejos:

i) 66π ii) 8 3

4π iii) 4 7

6π

413) i) Calcular: ( 5 12 )− + i

ii) Resolver: z2 + (–3 +2i)z + 10 = 0

iii) Resolver: z2 + (3 – 2i)z – 6i = 0

414) Hallar el valor numérico del polinomio: P(z) = (3 + 2i)z3 + (– 12 + i)z2 – (4 + 2i)z + (– 1 + 5i) para z = 1 + i y z = i

415) Construir la ecuación de segundo grado de coeficiente principal igual a 1, que tiene por raíces: (6 + 2i) (6 – 2i)

416) Dado: P(z) ≡ z4 – 8z3 + 21z2 – 10z – 22 hallar las cuatro raíces de P(z), sabiendo que una de ellas es (3 2)+ i

417) Dado P(z) ≡ z4 + (– 5 + 2i)z3 + (1 – 11i)z2 – az + b i) Determinar a y b para que el polinomio sea divisible entre (z+i) y entre (z + 1 + i). ii) Efectuar la descomposición factorial de P(z).

418) a) Calcular α = ( i3 – i2)2 y β tal que se cumpla: 2 3 3β − β = + i

b) Dado P(z) ≡ z3 + (– 5 + 3i)z2 + (6 – 14i)z + (c + di) determinar c y d y resolver P(z) = 0, sabiendo que α y β son raíces de P(z)

26

26

GUSTAVO A. DUFFOUR 490

CAPÍTULO 17 NÚMEROS COMPLEJOS Página 379

Página 385) FALACIA No son aplicables las propiedades de las raíces, ver pág. 383

Página 398) Los de antes sí que eran exámenes . 1) W 3

1 78

=π

W 32 15

8

=π

Z 3 21 98

=π

Z 3 228

=π

2) Los otros elementos son los conjugados.

3) Término independiente = 4, (multiplique los módulos * 3– 8) 4) Es primo en los reales, (no tiene divisores). 5) Es compuesto en los complejos, (tiene divisores, por ejemplo: (z – z1)

401) 1) (– 3 + 8i) 2) (2 + i) 3) 2 4) (6 + 17i)

402) 1) 2i 2) (4 + i) 3) (– 1 + 5i) 4) (1 + 2i) 5) (3 – 4i) 6) – i

7) – 1 8) i 9) 2i 10) (– 3 + i) 11) (3 – i)

403) 1) Solución = {(3 + i), (3 – i)} 2) Solución = {– i, i} 3) Solución = {5, 2i, – 2i}

4) Solución = {3, i, – i} 5) Solución = { }12−i 6) Solución = {2 + i}

7) Solución = {(– 1 + i)}

404) (1, 1)

405) 1) x = 1 + i y = 2 – i 2) x = – 1 + 4i y = – 4i

3) x = (3 – 4i) z = (1 – i) 4) x = 12+ i

z = i

406) (+ 2 + 0i) (0 + 2i) 407) z = – 2i w = 1 – 3i 408) w = 2 + i z = 1 – 3i

409) a)5 2 5 2

+2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i b) ( )2 2− i c) ( )2 2 +2 2− i d) 7 2 7 2

2 2− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i

e) ( )3− − i f) ( )2+2 3− i g) (0 + 3i) h) ∃ (módulo > 0) i) (5 + 0i) j) (0 – 9i)

410) a) 2

4π

b) 2 74π

c) 2 34π

d) 524π e) 2

43π

f) 12 23π

g) 5

2π

h) 70

i) 7π

j) 332π

411) a) ii) 2

4π

iii) 4 2

54π

b) ii) 243π

iii) 3243π

c) ii)132π

iii) 132π

412) a) z9 9 34 = 9 = 2 22

3

− −π−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i z27 9 35 = 9 3 = 2 25

6

− −π−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i z16 1= = 0

27 27−

− −π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i

b) i) ( )3 3, 3 ii) ( )4 2, 4 2− iii) ( )2 3, 2− −

413) i) (2 + 3i) (– 2 – 3i) ii) Solución = {(2 – 4i), (1 + 2i)} iii) Solución = {2i, – 3}

414) P(1 + i) = (– 15 – 23i) P(i) = (15 – 3i) 415) z2 – 12z + 40 = 0

27

27

MATEMÁTICA DE QUINTO 491

416) Raíces de P(z) = ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 + 2 , 3 2 , 1+ 3 , 1 3− −i i

417) i) a = – 14 – 10i b = – 8 + 8i ii) P(z) = (z + i)(z + 1 + i)(z – 2)(z – 4)

418) a) α = – 2i β = (3 + i) b) c = 8 d = 16 Raíces de P(z) = {– 2i, (3 + i), (2 – 2i)}

CAPÍTULO 18 PUNTOS Y SEGMENTOS Página 405

Página 411) ¿Será cierto? 1) Verdadero. 2) Verdadero. 3) Falso, – 5 < – 4 4) Falso, (– 2, 2) equidista de los ejes coordenados.

419) ( )3C , 22

420) A'(– 1, 3) B'(2, – 2) C'(0, – 5) D'(– 5, 3) D"(5, – 3) M(0, 0)

421) i) M(3, 2) ii) C(15, 5) D(– 9, – 1) 422) A'(2, 5) B'(1, 9) C'(8, 5)

423) ( )2, 5M2

( )1N , 02

d(M,N) = 342

d(A,C)= 34 424) C(5, – 3) D(1, – 5)

425) (– 1, 2) (7, 4) (5, 0) Se nombran los vértices con letras y se aplica punto medio. Se obtienen en las x y en las y, dos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

426) i) d(A,B) = 34 ii) d(A,B)x = 5 d(A,B)y = 3

427) d(A,B) = 65 d(C,D) = 74 d(E,F) = 73 d(B,E) = 162

428) Perímetro = 12 429) d(A,B) = 73 d(A,C) = 73 d(B,C) = 146 área = 732

430) d(A,B) = d(A,C) = 5 d(B,C) = 50 área = 252

431) d(A,B) = 50 d(A,C) = 50 d(B,C) = 160

432) M(1, – 1) d(A,M) = 5 433) lado = 193 área = 193

434) Existen dos puntos (9, 4) (– 7, 4) 435) Existen dos puntos (6, 3) (– 10, 3)

436) Existen dos puntos (0, 5) (0, – 3) 437) ( )0, 17B5

−

438) Existen dos puntos (11, – 5) (– 7, – 5) 439) (4, 0)

440) Se toma sobre x C(λ, 0) y se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC. Existen dos soluciones: C(6, 0) C'(1, 0).

441) área = 2

(diagonal)2

área = 1172

443) C(– 1, 0, 1)

444) d(A,B) = d(A,C) = d(B,C) = 86 445) d(A,B) = d(A,C) = 53 d(B,C) = 54

446) d(A,B) = d(A,C) = 30

CAPÍTULO 19 ESTUDIO DE LA RECTA Página 421 Página 428) ¿Será cierto? i) Falso, debe indicarse: a y/o b no pueden ser nulos. ii) Falso, debe indicarse: a ≠ 0 iii) Falso, debe indicarse: b ≠ 0 iv) Falso, las rectas verticales no responden a una ecuación y = f(x)

Página 429) Completar 1) y = x 2) y = – x + 2 3) y = – x – 3 4) y = 3x – 2

447) (r) x = – 1 (p) y = 4 448) (AB) y = – 3 449) (DE) x = – 2

450) 1) p = 1 2) c = – 10 3) b = – 8

451) (r)∩(p) = (– 1, 3) (p)∩(s) = ( )144,3

(r)∩(s) = ( )114,3

−

452) (r)∩(p) = (3, – 2)) (p)∩(s) = (– 4, – 3) (r)∩(s) = (– 5, 4)

Longitud de los lados: 50 , 50 , 10

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