MATEMÁTICAS FINANCIERAS. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARTIMÉTICA. TEORÍA.
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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión
Aritmética (teoría)
www.jagonzalez.blogsgo.com
Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
www.jagonzalez.blogsgo.com RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo, a1=aa2=a+pa3=a+2p
aK=a+(K-1)p
an=a+(n-1)p
nn
nn iaiaiaiaiaA
)1()1()1()1()1( )1(1
33
22
11
nn ipnaipnaipaipaiaA )1())1(()1())2(()1()2()1()()1( )1(321
Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por lo que no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p
0 1 2 3 n-1 n
Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…
a a a …... a a
0 1 2 3 n-1 n p p …... p p
0 1 2 3 n-1 n p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p p
0 1 2 3 n-1 n
p
0 1 2 3 n-1 n
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
inaaA 1
112 )1( iapA in
222 )1( iapA in
)2()2(1 )1( ninnn iapA
)1()1( )1( ninnn iapA
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de los valores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…
nn AAAAAA 1321 ...
)1()1(
)2()2(
22
11 )1()1(...)1()1(
ninn
ninnininin iapiapiapiapaaA
)1())1((
)2())2((
2)2(
1)1(
)1()1(1
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...)1()1(1
)1()1(1
nnn
nnnnn
in ii
ipi
i
ipi
i
ipi
i
ipaaA
Sustituyo la fórmula an/i por su valor…
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1( i 1)1( iv
)1())1((
)2())2((
2)2(
1)1( 11
...11
nnn
nnnnn
in vi
vpv
i
vpv
i
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i
vpaaA
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Sacando factor común …
)1())1(()2())2((2)2()1( 11...11 nnnnnnnnin vvvvvvvvi
paaA
Multiplicando los paréntesis …
nnnnnnin vvvvvvvvi
paaA
)1()2(2 ...
nnnnnnnnin vvvvvvvvvvi
paaA
)1()2(2 ...
Reordenando….
nnnnnnnin vvvvvvvvvvi
paaA
...... )1(32
nnnin vnvvvvvi
paaA
)1(32 ...
OJO!!!
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Por otro lado…
innnnn aiiiiivvvvv
)1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32
Por tanto…
ninin vnai
paaA
1)1( ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
nninin
n ivnai
paaiAS )1()1(
1)1( ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables
nnninin
nnin
nin ivnia
i
psaivna
i
piaaS )1()1()1()1(
nsi
psaS inin
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
dninin ivna
i
paaA
)1(
1)1( ivsiendo
a+(n-2)p a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)()1( ndiAS
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
)1( ivnai
paaA n
inin
1)1( ivsiendo
niAS )1(
a+pa a+(n-1)p
.......
0 1 2 nn-1
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
)1()1(
dn
inin ivnai
paaA
1)1( ivsiendo
a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)()1( ndiAS
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
nninninnn
ininn vnLimaLimi
paaLimvna
i
paaLimA
a a+p a+2p …...
0 1 2 3
iii
iLim
i
iLimaLim
nnnn
inn
101)1(
11
)1(1
nnn
nn
ni
nLiminLimvnLim
)1()1(
Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si )1()(
)1()(
)(
)(,
)(
)(
nbnb
nanaLim
nb
naLim
nb
naLim nnn
01
11)1(
1
)1()1(
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)1( )1()1(
iiLim
ii
nnLim
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nnnnnnn
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
01
ii
p
i
avnLimaLim
i
paaLimA n
ninninn
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
2i
p
i
aA
)1(2
ii
p
i
aA
Si la renta perpetua es además diferida…..di
i
p
i
aA
)1(
2