En el capítulo “Aproximaciones parciales a la complejidad del sistema de numeración: avances de un estudio acerca delas interpretaciones numéricas", María Emilia Quaranta, Paola Tarasow y Susana Wolman, retomando las investigaciones de Delia Lerner, ponen de relieve nuevos resultados relativos al conocimiento del sistema de numeración, específicamente de la serie numérica escrita, puestos en evidencia por los alumnos que participaron en un proyecto de enseñanza en el que el principio de la intervención didáctica era producir e interpretar escrituras numéricas. La recurrencia a los números nudos, a la relación del nombre de la cifra con la escritura o a la relación de escritura igual cuando se trata de la misma decena son algunos delos conocimientos que los niños ponen en juego para la construcción de las regularidades del sistema de numeración. María Emilia Quaranta y Susana Wolman, en su texto titulado “Discusiones en las clases de matemáticas: qué, para qué y cómo se discute", parten de reconocer la confusión que existe hasta la fecha en relación con el concepto de “puesta en común". Desde la didáctica de la matemática, las autoras argumentan teóricamente la importancia de los momentos de discusión. Señalan que los espacios de debate deben ser planeados de manera intencional por el profesor y que constituyen “un potente incentivo de progreso en el aprendizaje". La dificultad para definir un modo general de organizar estos espacios lleva a las autoras a exponer fragmentos de registros de clases del primer ciclo de la EGB, en los que se pueden observar algunas cuestiones didácticas presentes en las confrontaciones. El análisis posterior que realizan al término del desarrollo de cada actividades enriquecedor, ya que destaca intervenciones del docente dignas de ser considera-das por un maestro con interés en gestionar puestas en común en su salón de clase. En el capítulo 7, Irma Saiz aborda el problema de la adquisición de conocimientos espaciales por el niño en su documento “La derecha… ¿de quién. Ubicación espacial en el Nivel Inicial y primer ciclo de la EGB". La autora presenta los resultados obtenidos en el desarrollo de algunas secuencias didácticas. Previo a ello, Saiz expone algunos conceptos de teorías psicológicas representativas que sustentan dicha adquisición, así como cuestionamientos actuales a estas teorías desde los avances actuales en este terreno. Asimismo, cuestiona la reducción que hace la enseñanza de este objeto de cono-cimiento a la presentación de un lenguaje espacial, determinado, además, por el maestro y no por situaciones que podrían exigir tal conocimiento al alumno. Los objetivos de las secuencias que se presentan son organizar un proceso de elaboración colectiva de conceptualizaciones respecto de la organización del espacio (La granja) y de orientación de los objetos (El tobogán). La presentación del desarrollo exhaustivo y meticuloso de las secuencias puede constituir un aporte diden los primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza", Claudia Broitman y HoracioItzcovich abordan el tema de la enseñanza de la geometría. Los autores inician con un breve esbozo del origen del conocimiento geométrico y la manera como éste se desprende de los espacios físicos para convertirse en una rama de la matemática. Posteriormente, distinguen distintos tipos de problemas: los que se resuelven con cono-cimientos espaciales cuya adquisición es espontánea, problemas de producción e interpretación de representaciones planas y problemas “espacio-geométricos", entre otros. El propósito de tal categorización es destacar la necesidad de constituir en objetos de estudio para el primer ciclo aquellos conocimientos espaciales cuya adquisición no es espontánea. El desarrollo anterior per-mite a los autores asumir una postura en relación con lo que, desde su punto de vis-ta, deben ser los dos grandes objetivos dela enseñanza de la geometría en la EGB, a saber: La construcción de conocimientos cada vez más próximos a “porciones" de saber geométrico elaborados a lo largo de la historia de la humanidad. En segundo lugar, y tal vez el más

importante, el inicio en un modo de pensar propio del saber geométrico. Actico de gran valor para los docentes.

Enseñar Matemáticas a niños pequeños. ¿Seriación, clasificación y /o resolución de problemas?

Opinan expertos

María Emilia Quaranta

Mayo de 2006

Para reflexionar acerca del interrogante que propone el título es necesario preguntarnos cuál es el sentido formativo que le estamos atribuyendo a los aprendizajes matemáticos en el Nivel Inicial. Creemos que una finalidad central que puede asumir la enseñanza de la matemática a los pequeños es comenzar a introducirlos en un modo de producción de conocimiento, un espacio de la cultura que la escuela debe transmitir. En esa dirección, se persigue instalar en las salas una actividad en cierto modo análoga a la que desarrollan los matemáticos en su tarea: hacerse preguntas, intentar soluciones, buscar puntos de apoyo en lo que se sabe para averiguar lo que no se sabe, probar, equivocarse, corregir o ajustar sus búsquedas, comunicar preguntas, hallazgos, resultados, afirmaciones, considerar la producción de otros, defender puntos de vista, discutir, analizar, acordar con otros, etcétera.

Este despliegue tiene lugar alrededor de problemas que los conocimientos a enseñar permiten resolver. El lector podría pensar que nos estamos inclinando hacia la alternativa “resolución de problemas”. Sin embargo, para poder responder afirmativamente, tendríamos que precisar mucho más bajo qué condiciones se plantea la actividad de resolución de problemas*.

Examinemos un ejemplo posible en el cual los alumnos deben usar los números para resolver una situación de reparto:

Organización de la clase: de a 2 o en pequeños grupos (de hasta 4 alumnos)

Material: 18 figuritas (o fotos, etc.); 3 sobres por pareja (o pequeño grupo) de alumnos; papel y lápiz para cada alumno.

Desarrollo:

El docente puede disponer de 18 figuritas** que muestra a sus alumnos y luego guarda en una caja. Luego, con la clase organizada de a dos niños puede entregar a cada pareja tres sobres:

** La cantidad de elementos a distribuir así como la cantidad de partes constituyen aspectos de la situación que el docente podría modificar de acuerdo con los conocimientos del grupo de alumnos y lo que él quiera provocar.

“Debo enviar estas 18 figuritas a tres niños. Para ello les doy tres sobres, uno para cada chico. Ustedes deben escribir sobre el sobre la cantidad de figuritas que llevará cada chico. Los tres

deben recibir la misma cantidad de figuritas. Tienen una hoja blanca para hacer todo lo que necesitan para averiguarlo.”

El objetivo didáctico de esta situación es que los niños adviertan que el conteo es un procedimiento que permite resolver situaciones en las cuales se trata de distribuir una colección de elementos y también que progresen en el uso de esta herramienta. Desde la mirada del niño, el objetivo es averiguar cuántas figuritas le tocarán a cada uno.

¿Por qué nos parece interesante distinguir entre objetivo didáctico y objetivo desde la perspectiva del niño? El primero refiere a los aprendizajes que queremos que se alcancen. En ese sentido, es importante analizar si el problema propuesto efectivamente requiere poner en juego los conocimientos a los que apuntamos, si realmente promueven los aprendizajes buscados. Estas son consideraciones desde el docente, desde nuestra intención de enseñar ciertos conocimientos.

Desde el alumno, si bien éste sabe que se le propone una tarea para que aprenda algo, se trata de que se introduzca en el juego que la actividad le plantea por la finalidad misma de la situación: en nuestro ejemplo, averiguar cuántas figuritas le tocarán a cada niño. Este objetivo comandará la organización de la resolución así como el control de los pasos que va dando y el resultado que encuentre. Aquí, los alumnos deben controlar la cantidad total a distribuir, la equitatividad de la distribución y el valor que finalmente toca a cada parte, pero la disponibilidad de los sobres los alivia de controlar la cantidad de partes. De este modo, la vinculación entre los conocimientos puestos en juego en la resolución con las características de la situación contribuye a la construcción se su sentido.

Es importante que la solución quede a cargo de los alumnos, la búsqueda debe pertenecerles. Para que esto tenga lugar, es necesario que el docente abra un espacio de exploración, de búsqueda, en el cual podría alentarlos, responder a preguntas ligadas a la comprensión del enunciado, intentando no dar directamente él un procedimiento a utilizar o juicios acerca de la validez de las producciones o afirmaciones de los niños.

¿Por qué no estamos proponiendo entregar figuritas para realizar efectivamente la distribución? ¿Cuál es la diferencia entre dejarles figuritas disponibles en cada mesa y no hacerlo? No ofrecer la colección a distribuir exige con más fuerza que haya que anticipar el resultado de la distribución, “traba” la distribución efectiva, llevando a los chicos a trabajar sobre sus representaciones de la tarea, ayudarse con algún tipo de escritura o marcas sobre el papel, controlar la cantidad total a distribuir (que sean 18, ni más ni menos).

El lector podrá objetar que algunos niños dibujan un reparto de figuritas o marcas que simula el reparto real de figuritas. Sin embargo, aun cuando ese procedimiento quede muy “pegado” a una distribución material, pone en juego una anticipación de cómo se haría el reparto, y toma en cuenta algunos aspectos de éste en la representación utilizada.

Tal apertura en la búsqueda de soluciones requiere advertir que diferentes procedimientos son posibles (correctos o no) por parte de los pequeños. En esta situación, podrían:

Distribuir las 18 figuritas de manera no equitativa.

Anotar (más o menos azarosamente) números en cada sobre, sin controlar el total de la colección a distribuir.

A través de un gráfico, distribuir una por una el total de figuritas y luego contar cuántas le corresponden a cada parte. Un procedimiento similar puede seguirse contando sobre otro soporte como, por ejemplo, los dedos.

Distribuir de a más de una figurita por vez (de a dos, de a tres, etc.)

Apelar a conocimientos sobre la suma: “seis para cada uno porque seis, seis, y seis son dieciocho”.

Etc.

Este problema demanda que el niño se ocupe de conteos diferentes:

el del total distribuido, comparándolo con el total a distribuir (es decir, al llegar a 18 hay que detenerse);

el valor que se va asignando a cada parte en cada paso de la distribución: por ejemplo, uno a cada uno en cada vuelta; o dos a cada uno en cada vuelta, etc.

el valor que finalmente toca a cada parte.

El conteo de uno en uno (de dos en dos; etc.) es un procedimiento que permite controlar la equitatividad de la distribución. Es decir, asegura que se atribuya lo mismo a cada parte. Este procedimiento constituye una construcción de los chicos, de hecho podrá notarse que algunos recurren a este tipo de distribución y otros reparten azarosamente sin cuidar la igualdad entre las partes. Asimismo, el conteo “de a más de uno…” constituye un avance que facilita el trabajo con colecciones grandes. Este último recurso requiere un cierto dominio en el uso de la serie numérica oral: no es lo mismo avanzar de a uno, que hacerlo de a dos, de a cinco, etc.

Ahora bien, no se trata de enseñar directamente estos procedimientos sino de proponer problemas donde puedan desplegarse. La confrontación y el análisis de diferentes modos de resolución podrá permitir que se difundan en el grupo y que las estrategias utilizadas avancen.

Como vemos, diferentes abordajes son posibles para la misma situación. Seguramente aparecerán distintas propuestas en el mismo grupo. Esta heterogeneidad es necesaria para el tipo de actividad que estamos caracterizando. Sin ella, pierde sentido los análisis que queremos promover con los alumnos. Si todos hicieran lo mismo, si todos apelaran a las mismas relaciones, ¿cuál sería el sentido de discutir sobre los diferentes procedimientos? En otros términos, las situaciones tienen que tener la suficiente apertura como para que puedan ser abordadas por los niños desde su diversidad de conocimientos numéricos, a menudo vagos o incorrectos; al mismo tiempo, esta diversidad es una condición para promover la producción matemática buscada.

Como supondrá el lector, esto implica buscar comprender las producciones de los alumnos, qué conocimientos –muchas veces parciales- las han orientado, aceptar tanto las correctas como las erróneas. Asumir con todo el grupo el problema de la validación de las producciones es parte del quehacer matemático, es constitutivo del sentido de los conocimientos. Es decir, no se trata sólo de “meterse” en la resolución sino también de buscar modos de establecer si la producción propia o la de otro es correcta o no, dónde reside el error, cómo sería necesario corregirla, etc.

¿Cómo pueden los alumnos validar su resolución en la situación de nuestro ejemplo? Por un lado, podrían apelar a la situación misma, revisando el procedimiento, utilizando otro procedimiento para controlarlo. También a través de la interacción social, en la confrontación con los pares. Finalmente, cabe la posibilidad de una validación empírica, si el docente facilitara las figuritas a los alumnos para que corroboren su resultado a través de una distribución efectiva. No poder realizar una distribución efectiva (porque no se dispone de las figuritas) los introduce en los análisis que mencionamos, lo cual hace interesante esa restricción.

Para que los niños se introduzcan ellos mismos en tratar de mostrar por qué una manera de pensarlo es válida, por qué una no, dónde reside el error, por qué, etc., es necesario que provisoriamente el docente se abstenga de mostrar su punto de vista. Si les hiciera saber qué procedimientos le parecen correctos y cuáles no, qué afirmaciones considera válidas y cuáles no, qué procedimientos le parecen más económicos, etc., para el grupo dejaría de tener sentido introducirse en la búsqueda de justificaciones a sus producciones.

Estamos buscando comenzar a formar un alumno que asuma una posición de dominio frente a las situaciones, una posición que les permita apropiarse del problema, a asumir el desafío que se le plantea, en lugar de intentar adivinar qué quiere el docente, una posición que los lleve a hacerse cargo de la responsabilidad cognitiva frente a la resolución del problema, a una búsqueda de resolución en cierto sentido autónoma: “…¿podemos hablar de problema cuando no hay desafío en relación a uno mismo o (y) desafío en relación con el conocimiento?” (Alain Bouvier, citado en Charnay y Mante, 1995)

En síntesis, la actividad propuesta excede el simple uso de los conocimientos en la resolución de problemas, se apunta a provocar explicitaciones de los procedimientos y soluciones, el análisis de

su validez, discusiones con los pares, la identificación de los conocimientos nuevos a retener, el establecimiento de conclusiones, precisiones en el vocabulario; reutilizaciones de lo aprendido…

* Para pronunciarnos acerca de las actividades de seriación y clasificación también deberíamos situarlas en el marco de qué perspectiva son propuestas. Estas prácticas están instaladas en los Jardines con la intención de favorecer los aprendizajes numéricos. Sabemos que la conservación de clases y seriaciones que acompaña la conservación de las cantidades discretas, tal como mostró Piaget (Piaget y Szeminska, 1941), son aprendizajes que se producen en el desarrollo de los conocimientos independientemente de una enseñanza que intencionalmente los promueva. También sabemos que no es posible enseñarlos directamente y que los aprendizajes numéricos no se limitan ni están directamente condicionados por la conservación de las cantidades discretas. Es decir, estamos optando por una enseñanza de la matemática que se haga cargo de otros conocimientos que las grandes categorías del pensamiento estudiadas por Piaget que dependen del desarrollo cognitivo pero son en cierta medida independientes de la enseñanza formal.