Matemáticas - … · a las Ciencias Sociales de 2.º Bachillerato es una obra colectiva concebida,...

Matemáticasaplicadas a las Ciencias Sociales

BACHILLERATO

Día a día en el aulaPruebas de bachillerato resueltasB

IBL

IOT

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EL

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ES

OR

AD

O

Día a día en el aula para Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de 2.º Bachillerato es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBASMercedes de Lucas BenedictoPedro Machín PolainaMaría José Rey Fedriani

EDICIÓN EJECUTIVACarlos Pérez Saavedra

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

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DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

© 2016 by Santillana Educación, S. L.Avenida de los Artesanos, 628760 Tres Cantos, MadridPrinted in Spain

ISBN: 978-84-141-0135-3CP: 790778Déposito legal: M-30297-2016

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3DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Índice de pruebas clasificadas por distritos universitarios*

Pruebas propuestas en:

Andalucía 5

Aragón 17

Canarias 27

Cantabria 41

Castilla-La Mancha 53

Castilla y León 65

Cataluña 77

Comunidad de Madrid 87

Comunidad Foral de Navarra 99

Comunitat Valenciana 113

Extremadura 125

Galicia 137

Illes Balears 149

La Rioja 159

País Vasco 171

Principado de Asturias 185

Región de Murcia 197

* Se han ordenado alfabéticamente según las denominaciones oficiales de las Comunidades Autónomas

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ÍndicePrueba 1 6Prueba 2 11

ANDA

LUCÍ

A

Criterios generales de corrección:• Las directrices generales de valoración de un ejercicio serán

su planteamiento y el desarrollo matemático de dicho planteamiento; la mera descripción, sin ejecución, de ambas directrices no será tenida en cuenta.

• El orden y la claridad de exposición así como la capacidad de síntesis son factores que serán tenidos en cuenta.

• Los errores de cálculo operativo, no conceptuales, se penalizarán con un máximo del 10 % de la puntuación asignada al ejercicio o al apartado correspondiente.

• En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso, en la tabla de la ley normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes:

a) Interpolación. b) Aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan

en la tabla.

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6 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. DÍA A DÍA EN EL AULA

Enunciado de la prueba 1

OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Sean las matrices A B

a b=

=

0 23 0 6 1

y .

a) (1,5 puntos). Calcule los valores de a y b para que A · B = B · A.

b) (1,5 puntos). Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X · B - A = I2.

EJERCICIO 2

Sea la función definida de la forma

f xx

xx

x x x( ) = -

<

- ≥

2

12

2 10 22

si

si.

a) (0,5 puntos). Halle el dominio de f.

b) (1,25 puntos). Estudie la derivabilidad de f en x = 2.

c) (1,25 puntos). Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

EJERCICIO 3

Parte I

a) (1 punto). Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(A) = 0,5, que P(B) = 0,4 y que P(A ∪ B) = 0,8, determine P(A / B).

b) (1 punto). Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(C) = 0,3, que P(D) = 0,8 y que C y D son independientes, determine P(C ∪ D).

Parte II

El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley normal de media μ días y desviación típica 3 días.

a) (1 punto). Determine un intervalo de confianza para estimar μ, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8,1 días.

b) (1 punto). ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92 %?

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.

d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

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Distrito universitario de A

ndalucía1

7 Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

a) (2 puntos). Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:

2x + y ≤ 6 4x + y ≤ 10 -x + y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 0

b) (1 punto). Calcule el máximo de la función f (x, y) = 4x + 2y -3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.

EJERCICIO 2

Sea la función f definida mediante

f x x ax b xL x x

( )( )

= + + <≥

2 11

sisi

.

a) (1,5 puntos). Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = -1.

b) (1,5 puntos). Para a = -1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = -1 y en x = 1.

EJERCICIO 3

Parte I

Se sabe que el 30 % de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95 % tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60 % tiene empleo.

a) (1 punto). Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.

b) (1 punto). Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores.

Parte II

Sea la población {1, 2, 3, 4}.

a) (1 punto). Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple.

b) (1 punto). Calcule la varianza de las medias muestrales.

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OPCIÓN A

EJERCICIO 1

a) A B a ba b

⋅ =

⋅

=0 2

3 0 6 112 23 3

B A a b b a⋅ =

⋅

=

6 10 23 0

3 23 12

Para que A · B = B · A los valores deben ser: 3 312 3

14

ab

ab

==

==

→

b) Como las matrices A, B e I2 son cuadradas de orden 2, la matriz X también debe serlo.

x yz t

⋅

-

1 06 1

0 23 0

++

= 1 0

0 166

→ x y yz t t

--

=

0 23 0

1 00 1

x y yz t t

x+ -

+ -

=

6 26 3

1 00 1

→

++ =- =

+ - ==

= -=

6 12 0

6 3 01

11yy

z tt

xy→ 22

31

zt

= -=

Por tanto, tenemos que: X = --

11 23 1

EJERCICIO 2

a) Dom f = - { }1

b) f x xx

x x

'( ) ( )=-

-<

- >

2

12

4 10 2

2si

si

Estudiamos si la función es derivable en x = 2:

f lim f x limx

xx x( ) ( )2 2 2 10 2 12

2

12

2 2= ⋅ - ⋅ = - =

-=

- -→ →

44

14 2 10 12

2 2

2

2

= = - = -+ +

lim f x lim x x

lim

x x

x

→ →

→

( ) ( )

-- +=f x lim f x f x x

x( ) ( ) ( )≠

→→ →

22no continua en ff x x( ) no derivable en = 2

c) Para x = 0: f f( ) ( )0 0 0 2= = -'

La ecuación de la recta tangente es: y - f (0) = f'(0) (x - 0) → y - 0 = -2(x - 0) → y = -2x

EJERCICIO 3

Parte I

a) P A BP A B

P BP A P B P A B

P B( / )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

,=

∩=

+ - ∪=

+0 5 00 4 0 80 4

14

, ,,

-=

b) P C D P C P D P C D P C P D P C P D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + - ∩ = + - ⋅ == + - ⋅ =0,3 0,8 0,3 0,8 0,86

Parte IIσ = 3a) n = 100, x = 8 1,

Si 1 0 97 0 03

20 015- = = =a a

a, , ,→ →

El valor correspondiente a 0,985 de probabilidad es:

z a

2

2 17= ,

Por tanto, el intervalo correspondiente es:

8 1 2 173

1008 1 2 17

3

1007, , ; , , ( ,- ⋅ + ⋅

= 445 8 75; , )

Resolución de la prueba 1

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ndalucía1


9

b) Si 1 0 92 0 08

20 04- = = =a a

a, , ,→ →

El valor correspondiente a 0,96 de probabilidad es: z a

2

1 76= ,

Si se desea un error menor que 1 día: 1 76

31 5 28 27 88, , ,⋅ < > >

nn n→ →

Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de n = 28 personas.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

a)

Vértices de la región factible: A(0, 3), B(1, 4), C(2, 2), D(2,5; 0) y E(0, 0)

b) Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo se tiene que: f (0, 3) = 3 f (1, 4) = 9 f (2, 2) = 9 f (2,5; 0) = 7 f (0, 0) = -3

El máximo de la función se alcanza en todos los puntos del segmento determinado por B y C.

EJERCICIO 2

a) Si la función es continua se verifica que:

lim f x lim f x f a bx x→ →

→1 1

1 1 0- +

= = + + =( ) ( ) ( )

f xx a x

xx

'( ) =+ <

>

2 1

11

si

si

Como en x = -1 hay un mínimo: f'(-1) = 0 → -2 + a = 0 → a = 2

Luego resulta que: 1 + 2 + b = 0 → b = -3

b) f x x x xx x

( )ln

= - + <≥

2 1 11

sisi

Estudiamos la continuidad de la función:

lim f x lim x x

lim f x lix x

x

→ →

→

1 1

2

1

1 1- -

+

= - + =

=

( ) ( )

( ) mm xx →

→1

0+

=

ln No existe

lim ( ) ( )x

f x f x→

→1

no es continua en x = 1,

y, por tanto, no es derivable en x = 1.

f xx x

xx

'( ) =- <

>

2 1 11

1

si

si

La función f (x) es derivable en Dom f = - { }1 , luego también es derivable en x = -1 y f'( )- = -1 3.

Y

4x + y = 10

-x + y = 3

A B

D

C

E X

2x + y = 6

1

1

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EJERCICIO 3

Parte I

Sean los sucesos:

S = «Tener estudios superiores»

E = «Tener empleo»

Entonces, tenemos que: P S P E S P E S( ) , ( / ) , ( / ) ,= = =0 3 0 95 0 6

a) Aplicando el teorema de la probabilidad total:

P E P S P E S P S P E S( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) , , , ,= + = ⋅ + ⋅0 3 0 95 0 7 0 6 == 0 705,

b) Aplicando el teorema de Bayes:

P S E

P E SP E

P S P E SP E

( / )( )

( )( ) ( / )

( ), ,

,=

∩= =

⋅0 3 0 950 7705

0 404= ,

Parte II

a) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4)

b) La distribución de las medias muestrales es:

1,5 2 2,5 2,5 3 3,5

Media: x =+ + ⋅ + +

=1 5 2 2 5 2 3 3 5

62 5

, , ,,

Varianza de las medias muestrales: σ22 2 2 2 2

21 5 2 2 5 2 3 3 56

1 5 4 42=+ + ⋅ + +

- =, , ,

, ,

Criterios específ icos de corrección:

OPCIÓN A OPCIÓN BEJERCICIO 1: 3 puntosa) Hasta 1,5 puntos.b) Hasta 1,5 puntos.

EJERCICIO 2: 3 puntosa) Hasta 0,5 puntos.b) Hasta 1,25 puntos.c) Hasta 1,25 puntos.

EJERCICIO 3Parte I: 2 puntosa) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.Parte II: 2 puntosa) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.

EJERCICIO 1: 3 puntosa) Hasta 2 puntos.b) Hasta 1 punto.

EJERCICIO 2: 3 puntosa) Hasta 1,5 puntos.b) Hasta 1,5 puntos.

EJERCICIO 3Parte I: 2 puntosa) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.Parte II: 2 puntosa) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto.


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OPCIÓN A

EJERCICIO 1

De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restricciones:

4 3 60 3010

20 0x y y x

yx y+ ≥ ≤ ≤

+≥ ≥

a) (2 puntos). Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus vértices.

b) (0,5 puntos). Maximice en esa región factible la función objetivo F(x, y) = x + 3y.

c) (0,5 puntos). ¿Pertenece el punto (11, 10) a la región factible?

EJERCICIO 2

Sea la función f: → , definida por

f xx

x mx x

x

( ) = ≤+ + >

2 15 12

sisi

.

a) (1 punto). Calcule m para que la función sea continua en x = 1.

b) (1 punto). Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?

c) (1 punto). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

EJERCICIO 3

Parte I En un espacio muestral se sabe que para dos sucesos A y B se verifica:

P(A ∩ B) = 0,1 P(AC ∩ BC) = 0,6 P(A / B) = 0,5

a) (0,75 puntos). Calcule P(B).

b) (0,75 puntos). Calcule P(A ∪ B).

c) (0,5 puntos). ¿Son A y B independientes?

Parte IISe sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley normal de media 36 y desviación típica 4,8.

a) (1 punto). Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos?

b) (1 punto). ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media muestral comprendida entre 34 y 36?

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.

d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

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OPCIÓN B

EJERCICIO 1

a) (1,5 puntos). Halle la matriz A que verifica 2 31 5

928-

⋅ =

A .

b) (1,5 puntos). Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes:

x - 3y + 2z = 0 -2x + y - z = 0 x - 8y + 5z = 0

EJERCICIO 2

a) (2 puntos). Sea la función definida para todo número real x por f(x) = ax3 + bx. Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es -3.

b) (1 punto). Si en la función anterior a b= = -1

34y , determine sus intervalos

de monotonía y sus extremos.

EJERCICIO 3

Parte I

Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas.

a) (1 punto). Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

b) (1 punto). Si la bola extraída resulta ser azul, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

Parte II

Se sabe que (45,13; 51,03) es un intervalo de confianza, al 95 %, para la media de una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica 15.

a) (0,5 puntos). ¿Cuál es el error cometido?

b) (1,5 puntos). Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo necesario para que el error no sea superior a 1,8.


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OPCIÓN A

EJERCICIO 1

a)

Vértices de la región factible:

A(0, 30), B(20, 30), C(9, 8) y D(0, 20)

b) F(0, 30) = 90 F(20, 30) = 110 F(9, 8) = 33 F(0, 20) = 60

El máximo de la función F(x, y) en la región factible es 110 y se alcanza en el vértice B.

c) Sustituyendo (11, 10) en xy

≤+

≥10

211 10→ . Entonces (11, 10) no pertenece

a la región factible.

EJERCICIO 2

a) Para que f (x) sea continua en x = 1 debe cumplirse: lim f x lim f x fx x→ →1 1

1+ -

= =( ) ( ) ( )

lim x mx m m

lim

f

x

x

x→

→

1

2

1

1

5 1 5 6

2 2 2

1

+

-

+ + = + + = +

= =

( )

( )) =

+ = = -

2

6 2 4→ →m m

b) Para m = -4: f x xx x x

x

( ) = ≤- + >

2 14 5 12

sisi

ff''( )( ) ln1 2 1 4 21 2 2

+

-= ⋅ - = -= ⋅

→ f'(1+) ≠ f'(1-) → f (x) no es derivable en x = 1.

c) La recta tangente es de la forma y f f x- = -( ) ( )( ).0 0 0'

f f x fx( ) ( ) ln ( ) ln ln0 2 1 2 2 0 2 2 20 0= = = = =' '→

Por tanto, la recta tangente es: y x- = -1 2 0ln ( )

EJERCICIO 3

Parte I

a) P BP A BP A B

( )( )( / )

,,

,=∩

= =0 10 5

0 2

b) P A B P A B P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,∩ = ∪ = - ∪ ∪ = - ∩ = -1 1 1 0→ 66 0 4= ,

c) P A B P A P B P A BP A

P A

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ,( )

∪ = + - ∩= + -0 4 0 2 0 1== - + =0 4 0 2 0 1 0 3, , , ,

Comprobamos: P A BP A P B

( ) ,( ) ( ) , , ,

∩ =⋅ = ⋅ =

0 10 3 0 2 0 06

→ No son independientes.

Y

y = 30A B

C

X4x + 3y = 60

10

10

xy

=+10

2D


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Parte II

a) La distribución de la media muestral es:

N

nN Nμ

σ, ;

,

=

=36

4 8

1636;;

,( ; , )

4 8

436 1 2

= N

P X P X P Z( ) ( )

,> = - ≤ = - ≤

-

=35 1 35 1

35 361 2

11 0 83- ≤ - =P Z( , )

= - - ≤ = ≤ =1 1 0 83 0 83 0 7967P Z P Z( , ) ( , ) ,

Por tanto, la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 es, aproximadamente; 0,8.

b) La distribución de la media muestral para muestras de tamaño 25 es:

N N36

4 8

2536 0 96;

,( ; , )

=

P X P Z( ), ,

34 3634 36

0 9636 36

0 96≤ ≤ =

-≤ ≤

-

= - ≤ ≤ = ≤ - ≤ =P Z P Z P Z( , ) ( , ) ( )2 08 0 2 08 0

= - =0 9812 0 5 0 4812, , ,

Esto representa, aproximadamente, el 48 % de las muestras de tamaño 25.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

a) 2 31 5

928

2 31 5-

⋅ =

=

-

A A→ ⋅

=

-19

282 3y llamamos B

--

1 5.

B =-

=2 31 5

13 0≠ → Tiene inversa y Adj ( ) .B =

-

5 13 2

Matriz inversa: BB

B

t- = = ⋅ -

=

-1 1

135 31 2

5

13

3

131

1

Adj ( )

33

2

13

A =

-

⋅

5

13

3

131

13

2

13

928

=

⋅ - ⋅

+ ⋅

5

139

3

1328

9

13

2

1328

=-

39

1365

13

= -

35

b) El sistema es homogéneo → Rango (M) = Rango (M*). Al ser M = 0 y al tener la matriz de los coeficientes un menor de orden 2 no nulo, Rango (M) = 2.

Por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible, y como Rango (M) = 2 < n.o de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

1 3 2 02 1 1 01 8 5 0 2

-- -

-

=→

F FF FF F F

2 1

3 3 1

2

1 3 2 00 5 3 00 5 3 0+

-=

---

=

--

-

→F F F3 3 2

1 3 2 00 5 3 00 0 0 0

→ x y zy z

- + =- + =

3 05 3 0

→ Llamando λ = z, las infinitas soluciones vendrán dadas por:

z y x y= = = - = - =λ λ λ λ λ λ, , ,35

395

45

∀ λ ∈


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EJERCICIO 2

a) Como pasa por (1, 1) → a + b = 1. La pendiente es: f'(1) = 3a · 1+ b = -3

a ba ba

ab

+ =+ = -

- == -=

13 32 4

23

→

b) f x x x

f x x f x x x

( )

( ) ( )

= -

= - = = = ±

1

34

4 0 4 2

3

2 2' ' → →

Creciente en (-`, -2) ∪ (2, +`) y decreciente en (-2, 2).

Extremos: Mínimo: 216

3,

-

Máximo: -

2

4

3,

EJERCICIO 3

Parte I

a) P P A B( ) ( ) ( )roja urna roja urna roja= ∩ ∪ ∩ = ⋅1

2

4

77

1

2

2

6

2

7

1

6

19

42+ ⋅ = + =

b) P BP B

P( / )

( )

( )azul

azul

azul=

∩=

⋅

⋅ + ⋅

26

12

1

2

3

7

1

2

2

6

==+

= = = =

16

3

14

1

6

16

16

42

168

21

21

48

7

16

Parte II

a) El error cometido es el radio del intervalo: radio Error=-

= =51 03 45 13

22 95 2 95

, ,, ,→

b) El nivel de confianza es 1 - a = 0,95. El valor crítico obtenido en la tabla de distribución normal es: z a

2

1 96= ,

El error máximo es:

E z

n nn= ⋅ = ⋅ = =

⋅

a

σ

2

1 9615

1 81 96 15

1 8, ,

,

,→ =

2

266 77,

Por tanto, el tamaño muestral mínimo debe ser mayor o igual que 267.

0,0250,95

0,025

0,975

z a2

f ' (3) > 0 f ' (-3) > 0

20-3 3

f ' (0) < 0

-2

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16 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.



OPCIÓN A OPCIÓN BEJERCICIO 1: 3 puntos

a) Hasta 1 punto por la región, hasta 1 punto por los vértices.

b) Hasta 0,5 puntos.c) Hasta 0,5 puntos.

EJERCICIO 2: 3 puntos

a) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.c) 0,25 por el punto de tangencia; 0,25

por la pendiente; 0,5 por la recta.

EJERCICIO 3Parte I: 2 puntosa) Hasta 0,75 puntos.b) Hasta 0,75 puntos.c) Hasta 0,5 puntos.

Parte II: 2 puntosa) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.


a) 0,5 puntos por el planteamiento. 1 punto por la resolución.

b) 0,5 puntos por clasificar. 1 punto por resolver.


a) Hasta 1 punto por planteamiento de las ecuaciones. Hasta 1 punto por el cálculo de a y b.

b) Hasta 1 punto.

EJERCICIO 3Parte I: 2 puntosa) Hasta 1 punto.b) Hasta 1 punto.

Parte II: 2 puntosa) Hasta 0,5 puntos.b) Planteamiento 0,5 puntos. Resolución

1 punto.

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ARAG

ÓN

Criterios generales de corrección:• Se valorará el uso del vocabulario y la notación científica.• En aquellas preguntas en las que no se especifique el método

de resolución que se ha de aplicar, se admitirá cualquier forma de resolverlo correctamente y se adaptará la puntuación a esa forma (en caso de duda se consultará al armonizador).

• Tener en cuenta a la hora de corregir la prueba la falta de acuerdo existente sobre los conceptos de convexidad y concavidad en la bibliografía de Bachillerato.

• Si se comete un error que tenga relación con resultados ulteriores de la misma pregunta se ha de tener en cuenta si existe coherencia con el resultado erróneo. En caso afirmativo se valorará el resto de las cuestiones de la misma pregunta, aunque si el error conduce a problemas más simples de los inicialmente propuestos disminuirá la calificación.

• En las preguntas prácticas primará el correcto planteamiento del problema y se valorarán positivamente las explicaciones claras y precisas, y negativamente la ausencia de explicaciones o las explicaciones incorrectas.

• No se dará especial importancia a los errores en las operaciones, excepto que sean reiterativos.

• Se podrán usar calculadoras. Dada la proliferación de las calculadoras programables y la imposibilidad de controlar su uso en la realización de los ejercicios, se exigirá que todos los resultados analíticos y gráficos estén previamente justificados (utilización de fórmulas, obtención de gráficas, cálculo de integrales, derivadas …).

• Por errores ortográficos graves, desorden, falta de limpieza y mala redacción podrá bajarse la calificación del ejercicio hasta un punto, salvo casos extremos.

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CUESTIÓN A1

Dadas las matrices A B=

− −

=

−−

1 0 32 1 01 0 1

2 0 13 2 01 0

y11

:

a) Calcule A · B. (0,75 puntos)

b) Calcule la matriz inversa de B y utilícela para resolver la ecuación X · B = B + A. (2,75 puntos)

CUESTIÓN A2

Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 euros.

a) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo. (3 puntos)

b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido?, en caso negativo diga cuántos no ha plantado y de qué tipo son. (0,5 puntos)

CUESTIÓN B1

a) Derive las funciones f x x x g xx

xh x x( ) ln ( ), ( ) , ( )= − = − = −2

2

2

2 118

82 . (1,5 puntos)

b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por:

V t t t tt

( ) [ , ] [ , ]( , )

= − ∪∈

10 0 2 8 10

16 2 8

2 sisi∈

siendo la variable t el número de minutos transcurridos desde que se pone en marcha.

b1) Represente la función velocidad. (0,75 puntos)

b2) A la vista de la gráfica, diga cuál es la velocidad máxima y en qué momento o momentos se alcanza. (0,5 puntos)

b3) Calcule la velocidad del juguete pasados 30 segundos desde su puesta en marcha. ¿Hay algún otro momento en el que lleva la misma velocidad?, en caso afirmativo, diga en cuál. (0,75 puntos)

Desarrolle clara y razonadamente tres cuestiones, eligiendo una del par (A1, A2), otra de (B1, B2) y otra de (C1, C2).

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ragón2


CUESTIÓN B2

a) Derive las funciones:

f x x x

xg x x e h x

xx( ) ( ) ( ) ( )

( )= − + = − =

+7

91

1

12 2

20 (1,5 puntos)

b) Razone a qué es igual el dominio de la función f(x) del apartado anterior, y diga los puntos en los que alcanza máximo o mínimo relativo. (2 puntos)

CUESTIÓN C1

Se tienen dos urnas A y B. En la primera hay 2 bolas blancas, 3 negras y 1 roja y en la segunda hay 3 bolas blancas, 1 negra y 1 verde.

a) Se extrae una bola de cada urna, calcule la probabilidad de que ambas sean del mismo color. (1,5 puntos)

b) Se lanza una moneda, si se obtiene cara se extraen dos bolas de la urna A y si se obtiene cruz se extraen dos bolas de la urna B, calcule la probabilidad de que ambas bolas sean blancas. (1,5 puntos)

CUESTIÓN C2

La vida media de un determinado modelo de bombilla sigue una distribución normal con desviación típica igual a 60 días. Elegida una muestra y con un nivel de confianza del 98 % se obtiene el intervalo (388,68; 407,32) para la vida media. Calcule la media y el tamaño de la muestra elegida. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados. (3 puntos)

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CUESTIÓN A1

a) A B⋅ =− −

⋅

−−

1 0 32 1 01 0 1

2 0 13 2 01 00 1

5 0 27 2 23 0 0

= − −−

b) det ( )B B= − ≠ −6 0 1→ Existe

B− = −

−

1

13

013

12

12

12

13

023

X B B A X B A B B B A B A B⋅ = + = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅− − − −→ ( ) 1 1 1 1I

→ X =

+− −

1 0 00 1 00 0 1

1 0 32 1 01 0 1

⋅ −

−

1

30

1

31

2

1

2

1

21

30

2

3

=1 0 00 1 00 0 1

+

−

−

−

2

30

7

37

6

1

2

7

60 0 1

=

1

30

7

37

6

1

2

7

60 0 0

CUESTIÓN A2

a) Sean x el número de lotes que han de comprarse en el vivero Agro e y el número de lotes que se han de comprar en el vivero Ceres.

La función a minimizar es: f x y x y( , ) = +700 650

Las restricciones son: 15 15 75030 10 70010 20 650

x yx yx y

+ ≥+ ≥+ ≥

→xx yx y

x y

+ =+ =+ =

503 70

2 65

Los vértices de la región son: A(0, 70), B(10, 40), C(35, 15) y D(65, 0)

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo:f (0, 70) = 45.500 f (10, 40) = 33.000 f (35, 15) = 34.250 f (65, 0) = 45.500

Luego para que el coste sea mínimo, el agricultor debe comprar 10 lotes del vivero Agro y 40 lotes del vivero Ceres.

b) El agricultor ha adquirido:

15 · 10 + 15 · 40 = 750 cerezos 30 · 10 + 10 · 40 = 700 perales 10 · 10 + 20 · 40 = 900 manzanos

Por tanto, no ha plantado: 900 − 650 = 250 manzanos.

Y

x + 2y = 65

A

B

D

C

X

10

10

x + y = 50

3x + y = 70


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ragón2

CUESTIÓN B1

a) f x x x xx

x xx

x'( ) ln ( ) ( ) ln ( )= − +

−− = − −

−2 1

1

11 2 1

12

2

g xx

x'( ) = +

4

163

h x x x'( ) ln ln= ⋅ =−2 2 2 2 22 1 2

b) b1)

x 0 2 8 10

y 0 16 16 0

La representación gráfica de la función es:

b2) La velocidad máxima es de 16 m/min y se alcanza desde el minuto 2 hasta el minuto 8, ambos inclusive.

b3) A los 30 segundos: V(0,5) = 4,75 m/min

Como la gráfica de la función es simétrica respecto de la recta vertical x = 5, se alcanza la misma velocidad a los 9 minutos y 30 segundos.

CUESTIÓN B2

a) f x xx

'( ) = − −7 29

2

g x x e x e x x xx x'( ) ( )( ) ( ) ( )= − − + − = − + + − +2 1 1 1 2 2 1 22 2 ee x ex x= −( )2 1

h xx

'( )( )

= −+

20

1 21

b) Al tener una expresión con un denominador que se anula para x = 0, el dominio de la función f (x) es: Dom f = −R { }0

7 29

0 7 2 9 0 1 3 3 2 02

2 3− − = − − = + − − =xx

x x x x x x→ → →( )( )( ) == = =1 332

, ,x x

f xx

''( ) = − +218

3 f x''( )− = − < = −1 20 0 1→ En hay un máximo.

f x''( )34

30 3= − < =→ En hay un máximo.

f x''3

2

10

30

3

2

= > =→ En hay un mínimo.

2

2

X

Y

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CUESTIÓN C1a) Sean los sucesos: B1 = «Extraer una bola blanca de la primera urna» B2 = «Extraer una bola blanca de la segunda urna» N1 = «Extraer una bola negra de la primera urna» N2 = «Extraer una bola negra de la segunda urna»

Para obtener dos bolas del mismo color hay dos posibilidades, que las dos bolas sean blancas

o que sean negras, y entonces la probabilidad es: P B B P N N( ) ( )1 2 1 213

35

12

15

310

∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =

b) Sean los sucesos: C = «Salir cara en la moneda» X = «Salir cruz en la moneda»

Si se extraen dos bolas de la misma urna, la segunda extracción depende de la primera; por tanto, aplicando el teorema de la probabilidad total se tiene que:

P C P B B P X P B B( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 212

13

15

12

35

12

∩ + ∩ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ==1160

CUESTIÓN C2

Como el intervalo de confianza es de la forma: x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

α α

σ σ

2 2

, , la media de la muestra

es el punto medio del intervalo, luego: x =+

=388 68 407 32

2398

, , días

La amplitud del intervalo es: 18 64 9 322

, ,→ zn

ασ

⋅ =

Si 1 0 98 0 022

0 01− = = =α αα

, , ,→ →

El valor correspondiente a 0,99 de probabilidad es: z α2

2 33= ,

Entonces, se obtiene que: 2 3360

9 32 15 225, ,⋅ = = =n

n n→ → bombillas


CUESTIÓN A1a) 0,75 puntos.b) 2,75 puntos

CUESTIÓN A2a) 3 puntos.b) 0,5 puntos.

CUESTIÓN B1a) 1,5 puntos.b1) 0,75 puntos.b2) 0,5 puntos.b3) 0,75 puntos.

CUESTIÓN B2a) 1,5 puntos.b) 2 puntos.

CUESTIÓN C1a) 1,5 puntos.b) 1,5 puntos.

CUESTIÓN C23 puntos.


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ragón2


OPCIÓN A

1. A primera hora de la mañana en un cajero automático se desea que haya 800 billetes (de 10, 50 y 50 €) con un valor total de 16.000 euros. Sabiendo que por cada 3 billetes de 50 € son necesarios 4 de 20, plantee un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos billetes de cada cantidad ha de haber y resuélvalo por el método de Gauss. (3,5 puntos)

2. a) Derive las funciones:

f xx

xg x x x h x x( ) ( ) ( ) ( ) ln=

+= ⋅ − =

2

2

2 4

3 15 5 (1,5 puntos)

b) La oferta de un bien conocido su precio, p, es:

S pp p

p p p( )

.=

+ ≤ ≤− + < ≤

30 200 0 1060 1 000 10 402

sisi

Represéntela y, a la vista de su gráfica, diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 200 unidades. (2 puntos)

3. En un barrio hay dos institutos, en el primero el 60 % de los alumnos estudia inglés y en el segundo el 45 % no lo estudia. Se sortea un viaje a Londres en cada uno de los institutos, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Los dos alumnos agraciados no estudian inglés. (1 punto)

b) Solo estudia inglés el del primer instituto. (1 punto)

c) Al menos uno estudia inglés. (1 punto)

OPCIÓN B

1. Un camionero transporta dos tipos de mercancías, X e Y, ganando 60 y 50 € por tonelada respectivamente. Al menos debe de transportar 8 toneladas de X y como mucho el doble de cantidad que de Y. ¿A cuánto asciende su ganancia total máxima si dispone de un camión que puede transportar hasta 30 toneladas? (3,5 puntos)

2. a) Derive las funciones f xx

xx

g xx

xh x xe x( ) , ( )

ln, ( ) .= − + = =

68

12 3 (1,5 puntos)

b) Razone a qué es igual el dominio de la función f (x) y calcule los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de dicha función. (2 puntos)

3. El número medio de veces que una persona de una determinada ciudad utiliza mensualmente el transporte público tiene una desviación típica igual a 20. Determine el número mínimo de personas que se han de elegir para obtener un intervalo en el que estará la media, con un nivel de confianza del 95 % y con un radio no mayor que 1,4. Explique los pasos realizados para obtener el resultado. (3 puntos)


Elija la opción A o la opción B y desarróllela razonadamente.

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OPCIÓN A

CUESTIÓN 1

Si llamamos x al número de billetes de 10 €, y al número de billetes de 20 € y z al número de billetes de 50 euros, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x y zx y z

z y

+ + =+ + =

=

80010 20 50 16 000

3 4.

+ + =+ + =

− =

→x y z

x y zy z

8002 5 1 6003 4 0

.

Resolviendo el sistema por el método de Gauss tenemos:

1 1 1 8001 2 5 1 6000 3 4 0 2 2

.−

= −F F FF1

1 1 1 8000 1 4 8000 3 4 0

→−

FF F F3 3 2

1 1 1 8000 1 4 8000 4 0 800

=

+→

→x y z

y zy

+ + =+ =

=

8004 8004 800

→ y = 200 y, sustituyendo en las demás ecuaciones tenemos que z = 150 y x = 450.

Se necesitarán 450 billetes de 10 €, 200 billetes de 20 € y 150 billetes de 50 €.

CUESTIÓN 2

a) f xx x x x

x x'( )

( ) ( )

( ) ( )=

+ −

+=

+

2 3 1 6

3 1

1

3 1

2 2

2 2 2 2

g x x x x x x x'( ) ( ) ( )( ) ( ) (= − + ⋅ − − = − −5 4 2 5 5 8 52 4 2 3 2 4 2 −− x 2 3)

h x

x

x x x'( )

ln ln= =5

1

2

5

2

b)

La máxima oferta se alcanza cuando p = 10, y la menor oferta cuando p = 30.

La oferta es menor que 200 unidades cuando 20 < p < 40.

CUESTIÓN 3

Consideramos los siguientes sucesos:

A = «El alumno del primer instituto estudia inglés»

B = «El alumno del segundo instituto estudia inglés»

P A P A( ) , ( ) ,= =0 6 0 4→ y P B P B( ) , ( ) ,= =0 55 0 45→

a) P A B( ) , , ,∩ = ⋅ =0 4 0 45 0 18

b) P A B( ) , , ,∩ = ⋅ =0 6 0 45 0 27

c) P(al menos uno estudie inglés) = 1 1 0 18 0 82− ∩ = − =P A B( ) , ,

100

10

S (p)

p

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ragón2

OPCIÓN B

CUESTIÓN 2

Si llamamos x al número de toneladas de la mercancía X e y el número de toneladas de la mercancía Y, obtenemos que:

xx y yx y

xx yx y

≥+ ≤+ ≤

≥≤+ ≤

8230

8

30→

La región factible del problema es:

Los vértices de la región factible son: A(8, 8), B(8, 22) y C(15, 15).

Evaluando la función objetivo f (x, y) = 60x + 50y en los vértices de la región tenemos que:

ff( , )( , )8 8 60 8 50 8 480 400 8808 22 60 8 50

= ⋅ + ⋅ = + == ⋅ + ⋅⋅ = + == ⋅ + ⋅ =

22 480 1 100 1 58015 15 60 15 50 15 90

. .( , )f 00 750 1 650+ = .

Por tanto, la ganancia máxima que obtiene el camionero es de 1.650 €, transportando 15 toneladas de la mercancía X y 15 toneladas de la mercancía Y.

CUESTIÓN 2

a) f x xx

'( ) = − −1

616

12

g xx x

xx

xx

'( )ln

(ln )ln

ln=

−=

−1

12 2 h x e x e e xx x x'( ) ( )= + ⋅ = +3 1

b) Al tener la función una expresión con un denominador que se anula para x = 0: Dom f = −R { }0

Para estudiar la concavidad y la convexidad y la existencia de puntos de inflexión estudiamos el signo de la segunda derivada:

f x

xx x''( ) = − + = = = =16

20

2

16

1

8

1

233→ →

La función es convexa en ( , ) ,− ∪ +

` `0

1

2 y, es cóncava en 0

12

,

.

Por ser 12

12

12

112

, ,f

=

un punto donde cambia la curvatura, es un punto de inflexión.

x + y = 30

Y

A

B

C

X

5

x = 8

5

y = x

f f f'' '' ''( ) ( )− < > <

1 0

1

40 1 0

f f f'' '' ''( ) ( )− < > <

1 0

1

40 1 0

f f f'' '' ''( ) ( )− < > <

1 0

1

40 1 0

−1 01

4

1

21−1 0

1

4

1

21−1 0

1

4

1

21

−1 01

4

1

21−1 0

1

4

1

21

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CUESTIÓN 3

El nivel de confianza es 1 0 952

0 025− = =αα

, ,→ ; y el valor crítico obtenido en la tabla

de la distribución normal para 0,975 es: z α2

1 96= ,

El radio es: E zn n

= ⋅ = ⋅ασ

2

1 9620

,

Como E ≤ 1 4, ; calculamos n con la condición: 1 9620

1 4, ,⋅ ≤n

n =

⋅

=

1 96 20

1 4784

2,

,

Se han de elegir como mínimo 784 personas.


OPCIÓN A OPCIÓN BCUESTIÓN 1: 3,5 puntos.

CUESTIÓN 2 a) 1,5 puntos.b) 2 puntos.

CUESTIÓN 3a) 1 punto.b) 1 punto.c) 1 punto.

CUESTIÓN 1: 3,5 puntos.

CUESTIÓN 2a) 1,5 puntos.b) 2 puntos.

CUESTIÓN 3: 3 puntos.

0,975

0,025 0,025

z α2

1 96= ,

0,95

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CANA

RIAS

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PRUEBA A

1. Se afirma que «por lo menos el 60 % de los estudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad». Para contrastarlo se toma una muestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor.

a) Con un nivel de significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación inicial?

b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0,95, para la proporción poblacional de estudiantes que almuerzan en el comedor de la Facultad.

2. Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95 % [10,794; 13,206].

a) ¿Cuál es el gasto mensual medio muestral?

b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99 %?

c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7,9989 €, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada?

3. El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es:

P xx

x( ) = − + +2

320 375

a) Determinar si la función tiene máximo. Razonar la respuesta.

b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto?

c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.

4. Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 decímetros cuadrados de superficie. Se quiere rellenar de rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones y = −x2 + 4x + 3 e y = 3. Si se mide en metros:

a) Representar la parte de la alfombra.

b) Calcular el área de la parte de la alfombra.

c) Si cada rosa cuesta 0,30 €, ¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?

5. En un hotel hay un total de 240 turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera parte de la suma de alemanes e ingleses y el 200 % de los ingleses igualan a la suma de alemanes y franceses:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.

Cada alumno debe elegir solo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, solo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.

Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos.

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Distrito universitario de Canarias

3

PRUEBA B

1. En un IES hay 650 estudiantes. Su altura, medida en metros, sigue una variable normal de media 1,65 y de desviación típica 0,1.

a) ¿Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1,75 metros?

b) Si el 97,72 % de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, ¿cuál es esa altura?

c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por defecto), ¿cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar?

2. Para estimar el gasto medio por comensal en un restaurante, se toma una muestra de 81 personas resultando que el gasto medio muestral es de 27,50 €. Si la desviación típica es de 5,30 €, con una confianza del 98 %:

a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto.

b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1 €.

3. Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo, del 23 %. Sin embargo, la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha proporción ha variado. Para comprobarlo hace una encuesta a 500 clientes potenciales entre los que solo 98 piensan contratar dicho servicio.

a) Con un nivel de significación del 5 %, determinar si es aceptable la afirmación inicial.

b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95 %, determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión.

4. Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G(x) (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, x en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La expresión de G(x) es:

G x

xx

x

xx

( ) =− + ≤ ≤

−

+>

2

153 0 15

6 60

1515

si

si

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo?

c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta.

5. En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de 180 unidades. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 € y de cada lavadora es de 375 €:

a) Formular el correspondiente problema.

b) Representar la región factible.

c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?

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PRUEBA A

PREGUNTA 1

a) El contraste es unilateral:

H pH p

0

1

0 60 6

::

≥<

,,

Para un nivel de significación del 1 %: zα = 2,33

Se acepta la hipótesis nula si p p zp p

n0

0 01− <

−� α ·( )

En la muestra se tiene que la proporción es: p�= =220

4410 49,

Al ser 0 6 0 49 0 11 2 330 6 0 4

4410 05, , , , ·

, · ,, ;− = > = se rechaza la hipótesis nula, es decir,

no se acepta que al menos el 60 % de los estudiantes almuercen en el comedor de la Facultad.

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =α αα

, , ,→ →

El valor correspondiente a 0,975 de probabilidad es: z α

2

1 96= ,


0 49 1 960 6 0 4

4410 49 1 96

0 6 0 4441

, , ·, · ,

; , , ·, · ,

− +

= ( , ; , )0 44 0 53

PREGUNTA 2

a) Como el intervalo de confianza es de la forma: x zn

x zn

− +

α α

σ σ

2 2

· , · , el gasto mensual medio

de la muestra es el valor intermedio del intervalo: x =+

=10 794 13 206

212

, ,€

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =α αα

, , ,→ →


2

1 96= ,

La amplitud del intervalo es: 2 412 1 206 1 96 0 61, , , · ,→ →= =σ σ

n n

Si 1 0 99 0 012

0 005− = = =α αα

, , ,→ →


2

2 58= ,

Por tanto, el intervalo correspondiente es: (12 − 2,58 · 0,61; 12 + 2,58 · 0,61) = (10,43; 13,57)

c) Como σ

n nn n= = = =0 61

7 99890 61 13 11 171 95,

,, , ,→ → →

El tamaño mínimo de la muestra es de 172 jóvenes.

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3

PREGUNTA 3

a) Derivamos la función y la igualamos a cero: P xx x

x'( ) ;= − + − + = =23

2023

20 0 30→

P x x''( ) = − < =2

30 30→ En hay un máximo.

b) − + + = = −=

xx x

x

2

320 375 0 15

75→

En las condiciones de la pregunta, la solución negativa no tiene sentido, luego el producto se retira del mercado a los 75 días.

c) La función es creciente en el intervalo (0, 30) y es decreciente en (30, +`).

PREGUNTA 4

a) Las coordenadas del vértice de la parábola son: xba

y= − = =2

2 7→

Los puntos de corte con la recta y = 3 son: (0, 3) y (4, 3)

b) # #4

0

24

0

23

24 3 3 43

2( ) ( )− + + − = − + = − +

x x dx x x dx

xx

=0

432

3 m2

c) 323

0 04 21 5 600: , .⋅ = rosas 5.600 · 0,30 = 1.680 €

PREGUNTA 5

a)

x y z

zx y

x y z

x y z+ + =

=+

= +

+ + =240

32

24→

003 0

2 0x y z

x y z+ − =

− − =

b) x y zx y z

x y z

x y z+ + =+ − =

− − =

+ + =2403 0

2 0

24→

004 240

3 3 480

8010060

zy z

xyz

=+ =

===

→

Hay 80 turistas ingleses, 100 alemanes y 60 franceses.

PRUEBA B

PREGUNTA 1

N(1,65; 0,1)

a) P X PX

( , ),

,, ,

,> =

−>

−

1 75

1 650 1

1 75 1 650 1 = > = − ≤ = − =P Z P Z( ) ( ) , ,1 1 1 1 0 8413 0 1587

0,1587 · 650 = 103,16

Se espera que 103 estudiantes midan más de 1,75 m.

b) P X a PX a

( ) ,,

,

,

,≤ =

−≤

−

0 9772

1 65

0 1

1 65

0 1→ = ≤

−

=P Z

a 1 65

0 10 9772

,

,,

→ →a

a−

= =1 65

0 12 1 85

,,

, m

Y

y = 3

X

y = −x2 + 4x + 3

1

1

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c) 200650

0 3077= ,

P a X a Pa X

( , , ) ,, ,

,1 65 1 65 0 3077

1 65 1 650 1

− < < + =− −

<→ −−<

+ −

=

1 650 1

1 65 1 650 1

,,

, ,,

a

= − < <

= <

P

aZ

aP Z

a

0 1 0 1 0 1, , , − − <

= <

10 1

22

P Za

P Za

,

− =1 0 3077,

→ → →P Za a

a<

= = =

0 10 6539

0 10 4 0 04

,,

,, ,

El intervalo de alturas que comprende los 200 estudiantes con altura más próxima a la media es: (1,61; 1,69)

PREGUNTA 2

σ = 5,3; n = 81La media de la muestra es: x = 27 5,

a) Si 1 0 98 0 022

0 01− = = =α αα

, , ,→ →


2

2 33= ,


27 5 2 335 3

8127 5 2 33

5 3

81, , ·

,; , , ·

,− +

= (( , ; , )26 13 28 87

b) Si se desea un error menor de 1 €: 2 335 3

1 12 35 152 5, ·,

, ,n

n n< > >→ →

Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 153 personas.

PREGUNTA 3

a) El contraste es unilateral:

H pH p

0

1

0 230 23

::

≥<

,,

Para un nivel de significación del 5 %: zα = 1 645,

Se acepta la hipótesis nula si p p zp p

n0

0 01− <

−� α ·( )

.

En la muestra se tiene que la proporción es: p�= =98

5000 196,

Al ser 0 23 0 196 0 034 1 6450 23 0 77

5000 031, , , , ·

, ,,− = >

⋅= ; se rechaza la hipótesis nula, es decir,

no se acepta que, como mínimo, el 23 % de las personas contraten este servicio telefónico.

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =α αα

, , ,→ →


2

1 96= ,


0 196 1 960 23 0 77

5000 196 1 96

0 23 0 7, , ·

, · ,; , , ·

, · ,− +

77500

0 16 0 23

= ( , ; , )


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3

PREGUNTA 4

a) Derivamos la función: G xx

xx

'( )

( )

=− < <

+>

2

150 15

150

1515

2

si

si G'(x) < 0 en (0, 15) → G(x) es decreciente en (0, 15). G'(x) > 0 en (15, +`) → G(x) es creciente en (15, +`).

b) Al comenzar a utilizar la maquinaria los gastos son: G(0) = 3 → 3.000 € En los primeros 15 meses de uso, la función es decreciente, por lo que los gastos se reducen

hasta un valor de: G(15) = 1 → 1.000 € Después, la función es creciente; esto es, los gastos son cada vez mayores, pero sin superar

los 6.000 €.

c) La función tiene un máximo en el punto (0, 3), ya que G(x) es decreciente en (0, 15), y un mínimo en (15, 1) al ser G(x) creciente en (15, +`).

PREGUNTA 5

a) Sean x el número de neveras e y el número de lavadoras que se almacenan.

La función minimiza es: f x y x y( , ) = +450 375 Las restricciones son:

b)

Los vértices de la región factible son: A(50, 30), B(100, 80) y C(150, 30).

c) Al sustituir las coordenadas de los puntos en la función objetivo, se tiene que:

f (50, 30) = 33.750 f (100, 80) = 75.000 f (150, 30) = 78.750

Por tanto, deben almacenarse 50 neveras y 30 lavadoras para que el coste sea mínimo.

Y

y = 30

A

B

CX

x + y = 18020

20

x − y = 20

Criterios específicos de corrección:

OPCIÓN A OPCIÓN BPREGUNTA 1: Hasta 2,5 puntos.

PREGUNTA 2: Hasta 2,5 puntos.









x yyx yx

+ ≤≥≥ +≥

18030

200

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PRUEBA A

1. El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia.

a) Con un nivel de confianza del 99 %, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia.

b) Con un nivel de significación del 5 %, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25 %?

2. Con una desviación típica de 5 €, el precio medio de un menú en 64 restaurantes de una determinada región es de 20 €.

a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada.

b) ¿Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99 % y un error menor de 1 €?

3. El nivel de las emisiones de gases contaminantes, en toneladas, en una gran industria

durante las 10 horas de actividad, viene dado por la expresión n tt

t( ) ( ),= −8

20 2

siendo t el tiempo en horas, 0 10≤ ≤t .

a) ¿Cuál es el nivel máximo? ¿Cuándo se produce? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye dicho nivel?

b) ¿En qué momentos el nivel es de cuatro toneladas?

4. Se quiere regar una parcela de jardín limitada por y x y x= − = +( )3 32 e . Si se mide en metros y cada metro cuadrado debe recibir 12 litros de agua:

a) Representar la parcela.

b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar?

5. Un comercio tiene un total de 270 unidades de productos de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades menos que de la totalidad de B más C y del tipo C tiene el 35 % de la suma de A más B. ¿Cuántos productos de cada tipo hay en el comercio?

PRUEBA B

1. Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del período de garantía de 2 años. Un comercio vende 120 de esos aparatos:

a) ¿Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el período de garantía?

b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40.

c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80.

Cada alumno debe elegir solo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, solo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.

Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos.

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35DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

3D

istrito universitario de Canarias

2. Se afirma que el precio medio de la compra en un hipermercado, durante los comienzos de mes, es, a lo sumo, de 155 € con una desviación típica de 20 €. Para contrastar lo anterior, se elige una muestra de 81 de dichas compras y se obtiene que el precio medio es igual a 165 €. Suponiendo que el precio de la compra sigue una distribución normal:

a) Con un nivel de significación del 1 %, ¿se puede aceptar la hipótesis inicial?

b) A partir de los datos muestrales y con una confianza del 90 %, ¿cuál es el error máximo al estimar el precio medio de la compra?

3. En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas.

a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90 %.

b) Con un nivel de significación del 5 %, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15 %?

4. Los beneficios (en millones de euros) generados por el funcionamiento de una industria

vienen dados en función del tiempo (en años) por: b tt

t( ) =

+2

1 2

a) ¿Cuándo los beneficios son de un millón de euros?

b) ¿Cuándo los beneficios son máximos? ¿Cuándo crecen y cuándo decrecen?

c) ¿Qué ocurre cuando pasan muchos años?

5. Dos compuestos medicinales tienen dos principios activos A y B. Por cada píldora, el primer compuesto tiene 2 unidades de A y 6 de B, mientras que el segundo compuesto tiene 4 unidades de A y 4 unidades de B. Durante un período de tiempo, un paciente debe recibir un mínimo de 16 unidades tipo A y un mínimo de 24 unidades tipo B. Si el coste de cada píldora del primer compuesto es de 0,50 € y el coste de cada píldora del segundo compuesto es de 0,90 €:

a) Representar la región factible.

b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para minimizar los costos.

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PRUEBA A

PREGUNTA 1

a) Con un nivel de confianza del 99 %: 1 0 99 0 01− = =α α, ,y

El valor correspondiente a 0,995 es: z α

2

2 58= ,

Tienen permiso de residencia 109 inmigrantes.

p n�= = =109

1690 64 169, y

El intervalo de confianza es: p zp p

np z

p p

n�

� ��

� �−

−+

−

α α

2 2

1 1·

( ), ·

( ) =

= −⋅

+⋅

0 64 2 580 64 0 36

1690 64 2 58

0 64 0 36, , ·

, ,; , , ·

, ,

11690 54 0 74

= ( , ; , )

b) El nivel de significación del 5 % significa que: α α= =0 05 1 645, ,→ z

La proporción de inmigrantes sin permiso es: p�= =60

1690 35,

Planteamos un contraste de hipótesis unilateral para la proporción:

H p pH p

0 0

1

0 250 25

::

≤ =>

,,

La zona de aceptación de la hipótesis nula es:

− +−

= − +` `;

( ); , ,p z

p p

n0

0 010 25 1 64α 55

0 25 0 75

169⋅

=

, · ,

( ; , , , ) (= − + ⋅ =` 0 25 1 645 0 033 −− + = −` `; , , ) ( ; , )0 25 0 054 0 304

Como p�∉ −( ; , ),` 0 304 no podemos aceptar la hipótesis nula, es decir, no aceptamos, con un nivel de significación del 5 % que el número de inmigrantes sin permiso sea menor del 25%.

PREGUNTA 2

a) σ = = =5 64 20, n xy

A un nivel de confianza del 0,95 % le corresponde:

α α= =0 05 1 962

, ,→ z

El intervalo de confianza para la media será:

x zn

x zn

− +

= − ⋅α ασ σ

2 2

20 1 965

642· , · , , 00 1 96

5

64

20 1 22 20 1 22

+ ⋅

=

= − + =

,

( , ; , ) (118 78 21 22, ; , )


0,95

0,975

z α

2

1 96= ,

0,025 0,025

0,0050,99

0,995

0,005

z α

2

2 58= ,

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3

b) El nivel de confianza es 1 − α = 0,99. El valor crítico, según la tabla de la distribución normal, es: z α

2

2 58= ,


E zn n

= ⋅ = ⋅ <ασ

2

2 585

1,

n = (2,58 · 5)2 = 166,41

Por tanto, se deben considerar al menos 167 restaurantes.

PREGUNTA 3

a) n tt

t t t t n t( ) · ( ) , ( )= − = − ≤ ≤ = −8

20 252

14

0 1052

24

2 → ' tt t t= − = =52

12

0 5→

n( ) ,552

514

25 6 25= ⋅ − ⋅ = toneladas

El nivel máximo de emisiones se produce a las 5 horas de actividad, siendo de 6,25 toneladas.

Este nivel aumenta en las 5 primeras horas de actividad, disminuyendo a continuación hasta el cese de la misma.

b) El nivel será de 4 toneladas cuando:

5

2

1

44 10 16 0

10 100 64

228

2 2t t t t t tt

− = − − = =± − =

=

→ → →

Por tanto, el nivel de emisión será de 4 toneladas a las 2 horas y a las 8 horas de actividad.

PREGUNTA 4

a) Calculamos los puntos de corte:

( )x xx x xx x

x

− = ++ − = +− + =

=± −

=±

3 39 6 37 6 0

7 49 242

7

2

2

2

552

122

6 6 9

22

1 1 4=

=

=

→

→

( , )

( , )

b) Hallamos el área de la región limitada por ambas funciones:

Área = + − −

= − + − =# #

6

1

26

1

23 3 7 6x x dx x x dx( ) ( ) −− + −

=

x xx

3 2

1

6

3

7

26

= − + −

− − + −

= −

2163

2522

3613

72

6 18 −−

=

+=

176

108 176

1256

2m

Habrá que utilizar: 12125

6250⋅ = litros de agua

0,990,005 0,005

0,995

z α

2

2 58= ,

1

X

Y

y = (x −3)2

y = x +3

1

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PREGUNTA 5

Planteamos el sistema de ecuaciones:

A B CA B C

C A B

+ + == + −

= +

27030

35

100· ( )

→→35 35 10035 35 100

27030

35 35 1

A B CA B CA B

+ + =− − = −+ − 000 0

2 240 12027 1 2C

A AF F

=

= =+

→ →

Sustituyendo en F2 y F3 el valor de A:

B CB C

B CB

+ =− = −

+ =−

2 1507 20 840

7 7 1 0507 20

→ .CC

C C B= −

= = = − =840

27 1 890 70 150 70 80→ →. y

En el comercio hay 120 productos del tipo A, 80 productos del tipo B y 70 productos del tipo C.

PRUEBA B

PREGUNTA 1

La población sigue una distribución binomial de parámetros n p= =1205

20y .

Como n p n q⋅ = ⋅ > ⋅ = ⋅ >120 0 25 5 120 0 75 5, , ,y aproximamos a una distribución normal a partir del teorema de Moivre:

µ σ= ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =n p n p q120 0 25 30 120 0 25 0 75 4 74, , , ,

Si X B X N; ;( ; , ) ( ; , )120 0 25 30 4 74→ '

a) En el período de garantía se espera que se averíen: 5

20120 30⋅ = aparatos

b) P X P X P Z( ) ( , , ),

,25 40 24 5 40 5

24 5 30

4 74≤ ≤ = ≤ ≤ =

−≤ ≤' '

440 5 30

4 74116 2 21

,

,( , , ) (

−

=

= − ≤ ≤ =P Z P ZZ P Z P Z P Z≤ − ≤ − = ≤ − − ≤2 21 116 2 21 1 116, ) ( , ) ( , ) ( ( , )) === − − = − =0 9864 1 0 877 0 9864 0 123 0 8634, ( , ) , , ,

La probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40 es de 0,86.

c) P(no averiados < 80) = ≥ = ≥−

= ≥ −P X P Z P Z( )

,( , )' 20

20 304 74

2 1 == ≤ =P Z( , ) ,2 1 0 9821

La probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80 es de 0,98.

PREGUNTA 2

a) Es un contraste de hipótesis unilateral para la media.

HH

0 0

1

155155

::µ µµ

≤ =>

Como α = 0,01; entonces 1 − α = 0,99 y zα = 2,33.

La región de aceptación será:

− + ⋅

= − + ⋅

` `; ; ,µ

σα0 155 2 33

20

81z

n

= −( ; , )` 160 18

Como 165 ∉(−`; 160,18), no se puede aceptar con un nivel del 1 % la hipótesis inicial.


790778 _ 0027-0040.indd 38 1/8/16 15:06



3

b) Con una confianza del 90 1 0 9 1 642

%, , ,− = =α αy :z

E zn

= ⋅ = ⋅ =ασ

2

1 6420

813 64, ,

Por tanto, el error máximo al estimar el precio medio de la compra es de 3,64 €.

PREGUNTA 3

Hay 99 viviendas habitadas y p�= =99

1210 82, .

a) Con un nivel de confianza del 90 %, tenemos que 1 − α = 0,9 y α = 0,1.

El intervalo de confianza para la proporción es:

p zp p

np z

p p

n�

� ��

� �− ⋅

−+ ⋅

−

α α

2 2

1 1( ),

( ) = −

⋅+0 82 1 64

0 82 0 18

1210 82 1 64

0, , ·

, ,; , , ·

,, ,

( , , ; ,

82 0 18

121

0 82 0 057 0 82

⋅

=

= − ++ =0 057 0 763 0 877, ) ( , ; , )

b) Tenemos que α = 0,05 y que la población de viviendas deshabitadas es: 22121

0 18= ,

Planteamos un contraste de hipótesis unilateral para la proporción:

H p pH p

0 0

1

0 150 15

::

≤ =>

,,

Según la tabla de la distribución normal: α = 0,05 → zα = 1,645 La zona de aceptación de la hipótesis nula es:

− + ⋅−

= − +` `;

( ); , ,p z

p p

n0

0 010 15 1 6α 445

0 15 0 85

1210 15 0 05⋅

⋅

= − +

, ,( ; , ,` 33 0 203) ( ; , )= −`

Como 0,15 ∈ (−`; 0,203), podemos aceptar la hipótesis nula, es decir, aceptamos con un nivel de significación del 5 % que la proporción de viviendas deshabitadas sea, a lo sumo, del 15 %.

PREGUNTA 4

a) Tendremos que calcular para qué valor de t se verifica que b(t) = 1.

b ttt

t t t t t( ) = =+

+ = − + = =± −

=12

11 2 2 1 0

2 4 42

12

2 2→ → →

Los beneficios son de 1 millón de euros en el primer año.

b) b tt t t

tt

t'( )

( )( ) ( )

=+ − ⋅

+=

− ++

=2 1 2 2

12 2

10

2

2 2

2

2 2→ −− + = = = ±2 2 0 1 12 2t t t→ →

Como no consideramos el valor t = −1, los beneficios son máximos al terminar el primer año.

0,90

0,95

0,05 0,05

z α

2

1 64= ,

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Para ver el crecimiento y el decrecimiento, analizamos la primera derivada: en (0, 1) → b'(t) > 0 y en (1, `) → b'(t) < 0.

Los beneficios crecen durante el primer año y luego decrecen.

c) Calculamos limttt →`

21

02+

= , y esto indica que los beneficios generados por la industria

son cada vez menores, pero nunca nulos.

PREGUNTA 5

a) Es un problema de programación lineal. Formamos la siguiente tabla para simplificar el enunciado. Si llamamos x al primer compuesto e y al segundo compuesto se tiene que:

2 4 166 4 24

00

2 83

x yx y

xy

x y+ ≥+ ≥

≥≥

+ ≥

→ xx yxy

yx

yx

+ ≥≥≥

=−

=−

2 12

00

82

12 32

→

−=

−= =→ →8

212 3

22 3

x xx ye

La región factible es la zona sombreada. Podemos ver que no está acotada.

b) Como el paciente tiene que tomar unidades del tipo A y unidades del tipo B, necesariamente el valor mínimo estará en tomar 2 unidades del primer compuesto y 3 unidades del segundo compuesto. Su coste es: f(2,3) = 0,5 · 2 + 0,9 · 3 = 3,70 €

Primer compuesto Segundo compuesto Unidades mínimas

Principio A 2 4 16

Principio B 6 4 24

Precio 0,5 0,9


OPCIÓN A OPCIÓN BPREGUNTA 1: Hasta 2,5 puntos.











1

X

Y

1

yx

=−12 3

2

yx

=−8

2

790778 _ 0027-0040.indd 40 1/8/16 15:06



CANT

ABRI

A

Criterios generales de corrección:• El examen trata de medir el conocimiento de la asignatura

mediante el planteamiento y resolución de ejercicios.• Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos

seguidos así como la claridad de exposición.• Puede haber diferentes métodos para resolver correctamente

un ejercicio, cualquiera de ellos es igualmente válido.• Los ejercicios incompletos se valorarán proporcionalmente

a la puntuación específica.

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BLOQUE 1 [3,5 PUNTOS]

OPCIÓN 1-a

Analizar si el siguiente sistema de ecuaciones lineales posee solución y en caso afirmativo, calcularla:

3 3 14 4 2

5 10 2 0

x y zx y zx y x

− + =+ + =− − =

OPCIÓN 1-b

Una tienda de informática lanza una promoción destinada a comercializar dos modelos de ordenadores portátiles: modelo A y modelo B. Cada unidad del modelo A se vende a 1.000 € y cada unidad del B a 800 €. Se trata de una promoción destinada a un número limitado de unidades: solo afecta a 30 ordenadores del modelo A y a 40 del modelo B. El objetivo de la tienda es vender del modelo A al menos el doble de unidades que del B y obtener unos ingresos mínimos de 30.000 €. ¿Cuántas unidades de cada modelo deberá vender para obtener unos ingresos máximos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos?

BLOQUE 2 [3,5 PUNTOS]

OPCIÓN 2-a

Estudiar la continuidad de la función f xx x

x x( ) =

− +− +

3

2

5 2

5 6 clasificando las discontinuidades

que se encuentren.

¿Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?

OPCIÓN 2-b

Dada la función f x x x x( ) ,= − −3 23 2

se pide hallar:

1. El dominio de definición.

2. Los puntos de corte con el eje X.

3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores de x para los cuales se alcanza un máximo o un mínimo.

4. Curvatura y puntos de inflexión.

5. Área encerrada por la gráfica de la función f (x) y por el eje X.

INDICACIONES AL ALUMNO

El examen consta de 3 Bloques. Cada bloque tiene dos opciones: a y b. El alumno ha de resolver los tres bloques, eligiendo en cada bloque solo una de las dos opciones. Cada bloque que resuelva lo identificará según los ejemplos: si resuelve del bloque 3 la opción b, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: bloque 3-b; si resuelve del bloque 1 la opción a, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: bloque 1-a. El orden de resolución de los bloques es a elección del alumno. El primer y segundo bloque se valorarán hasta 3,5 y el tercero hasta 3.

790778 _ 0041-0052.indd 42 1/8/16 15:07

Distrito universitario de Cantabria

4


BLOQUE 3 [3 PUNTOS]

OPCIÓN 3-a

Una empresa de electrodomésticos cuenta con cuatro fábricas, A, B, C y D, en las que se producen neveras. La fábrica A produce el 30 % del total de neveras; la fábrica B, el 20 %; la C, el 40 %; y la D, el 10 %. El porcentaje de neveras defectuosas en cada fábrica es del 2 % en A; del 5 % en B; del 4 % en C; y del 1 % en D.

Calcular:

1. La probabilidad de que escogida una nevera al azar, esta sea defectuosa.

2. La probabilidad de que una nevera sea defectuosa y proceda de la fábrica B.

3. Si una nevera no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica D?

OPCIÓN 3-b

El tiempo diario que los jóvenes pasan ante el televisor sigue una distribución normal con desviación típica de 20 minutos. Una muestra aleatoria de 100 chicos ha dado un tiempo medio de 170 minutos.

1. Obtener el intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio que los jóvenes pasan ante el televisor.

2. ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 99 % no exceda los 0,5 minutos?

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BLOQUE 1

OPCIÓN 1-a

Sean M =−

− −

−− −

3 3 11 4 45 10 2

11 la matriz de los coeficientes y M* =

−

− −

3 3 11 4 45 10 2

120

la matriz ampliada

del sistema.

M = − − − − + − =24 60 10 20 120 6 0

3 31 4

12 3 15 0− = + = ≠ → Rango (M) = 2

3 3 11 4 25 10 0

30 10 20 60 0−

−= − − − + = →

Rango (M*) = 2

Al ser Rango (M) = Rango (M*) = 2 < n.ode incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, posee infinitas soluciones.

3 3 14 4 2

5 10 2 0

1 15 1

x y zx y zx y z

− + =+ + =− − =

→xx y

yy

zzz

+−−

+−−

===

−−

41530

41122

25

10→

xxt

yt

z t

t

=−

=−

=

∀ ∈

10 16

155 11

15

R�

OPCIÓN 1-b

Sean x e y el número de unidades de cada modelo que deben venderse.La función que hay que maximizar es: f (x, y) = 1.000x + 800yLas restricciones son:

0 300 40

21 000 800 30 000

≤ ≤≤ ≤≥

+ ≥

xy

x yx y. .

≤ ≤≤ ≤≥+ ≥

→

0 300 40

25 4 150

xy

x yx y

Los vértices de la región factible son: A150

7757

,

, B(30, 15) y C(30, 0).

Si sustituimos las coordenadas de los puntos en la función objetivo, obtenemos:

f

1507

757

30 000, .

= f (30, 15) = 42.000 f (30, 0) = 30.000

Por tanto, deben venderse 30 unidades del modelo A y 15 unidades del modelo B para que los ingresos sean máximos. En este caso, dichos ingresos son de 42.000 €.

Y x = 30

A

B

C5

5

5x + 4y = 150

x = 2y

X x = 0

y = 40

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4

BLOQUE 2

OPCIÓN 2-a

Dom f = −R { , }2 3

No existe f ( ).2

limx xx xx →

→2

3

2

5 25 6

00

− +− +

limx xx x

limx x x

x x→ →2

3

2 2

25 25 6

2 2 1− +− +

=− + −( ) · ( )( xx x

limx x

xx− −=

+ −−

= −2 3

2 13

72

2

) · ( ) →

Así, en x = 2 hay una discontinuidad evitable.

No existe f ( ).3

limx x

x xx →3

3

2

5 2

5 6

− +

− += `

limx x

x x

limx x

x x

x

x

→

→

3

3

2

3

3

2

5 2

5 65 2

5

−

+

− +

− += −

− +

−

`

++= +

6`

→ En x = 3 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Luego la función f (x) es continua en R − {2, 3}.

Al ser la primera discontinuidad evitable, la función puede definirse del siguiente modo para que sea continua en x = 2:

f xx xx x

x

x( ) =

− +− +

≠

− =

3

2

5 25 6

2

7 2

si

si

OPCIÓN 2-b

1. Al ser una función polinómica, el dominio de definición es: Dom f = R

2. Si y = 0 → 3x3 − x2 − 2x = 0 → x · (x − 1) · (3x + 2) = 0 →

xx

x

==

= −

01

23

Los puntos de corte son: (0, 0), (1, 0) y −

23

0, .

3. f x x x'( ) = − −9 2 22

9 2 2 01 19

92x x x− − = =

±→

La función es creciente en −−

∪

++

` `, ,

1 19

9

1 19

9 y es decreciente

en 1 19

91 19

9− +

, .

Por tanto, en x =−1 19

9 hay un máximo y en x =

+1 199

hay un mínimo.

f ' (−1) > 0 f ' (0) < 0 f ' (1) > 0

0 1−1 1 19

9

− 1 19

9

+

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4. f x x x x''( ) = − − = =18 2 18 2 01

9→

La función es convexa en −

`,

1

9 y es cóncava en

1

9, +

` , de modo que en x =

19

hay un punto de inflexión.

5. Área = # #0

2

3

3 21

0

3 24

3 2 3 2 34−

− − + − − = −( ) ( ) ·x x x dx x x x dxx x 33

2

2

3

0

3−

+−

x

+ − −

= − − + + − −3

4 3

4

27

8

81

4

9

3

4

1

31

4 32

0

1

·x x

x == + =16

81

7

12

317

3242u

BLOQUE 3

OPCIÓN 3-a

Sea el suceso: F = «Ser defectuosa una nevera».

1. Aplicando el teorema de la probabilidad total:

P F P A P F A P B P F B P C P F C P( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) (= ⋅ + ⋅ + ⋅ + DD P F D) ( / )⋅ = = 0,3 · 0,02 + 0,2 · 0,05 + 0,4 · 0,04 + 0,1 · 0,01 = 0,033

2. P F B P B P F B( ) ( ) ( / ) , , ,∩ = ⋅ = ⋅ =0 2 0 05 0 01

3. P D FP D P F D

P F( / )

( ) ( / )( )

, · ( , ),

=⋅

=−

−=

0 1 1 0 011 0 033

00 102,

OPCIÓN 3-b

Tenemos σ = 20, n = 100 y la media de la muestra es: x = 170

1. Si 1 0 9 0 12

0 05− = = =a aa

, , ,→ →


2

1 65= ,


170 1 65

20

100170 1 65

20

1001− +

=, · ; , · ( 666 7 173 3, ; , )

2. Si 1 0 99 0 012

0 005 2 582

− = = = =a aa

a, , , ,→ → → z

Si se desea que el error no exceda de 0,5 minutos:

E

nn n= < > >2 58

200 5 103 2 10 650 24, · , , . ,→ →

Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser: n = 10.651 jóvenes

f''(−1) < 0 f''(1) > 0

1−1 1

9

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4


BLOQUE 1OPCIÓN 1-aAnalizar el sistema: Hasta 2 puntos.Resolución: Hasta 1,5 puntos.

OPCIÓN 1-bPlanteamiento: Hasta 1 punto.Representación gráfica: Hasta 0,5 puntos.Pregunta 1: Hasta 1 punto.Pregunta 2: Hasta 1 punto.

BLOQUE 2OPCIÓN 2-aPuntos de discontinuidad: Hasta 1 punto.Clasificación de discontinuidades: Hasta 1,5 puntos.Redefinición de la función: Hasta 1 punto.

OPCIÓN 2-bDominio: Hasta 0,25 puntos.Puntos de corte: Hasta 0,5 puntos.Crecimiento y decrecimiento y x: Hasta 1 punto.Curvatura y puntos de inflexión: Hasta 0,8 puntos.Área: Hasta 1 punto.

BLOQUE 3OPCIÓN 3-aPregunta 1: Hasta 1 punto.Pregunta 2: Hasta 1 punto.Pregunta 3: Hasta 1 punto.

OPCIÓN 3-bPregunta 1: Hasta 1,5 puntos.Pregunta 2: Hasta 1,5 puntos.

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2



EJERCICIO N.O 1 [3,5 PUNTOS]

OPCIÓN a

Encontrar una matriz X que verifique: X − B2 = A · B, siendo:

A B=

=

−

1 2 11 3 10 0 2

1 0 12 2 20 0 6

Nota: A · B indica el producto de A por B.

OPCIÓN b

En una fábrica se construyen dos tipos de aparatos: A y B. Ambos tipos de aparatos han de pasar por la secciones X e Y. Cada sección trabaja 100 horas por semana. Cada aparato A lleva tres horas de la sección X y una de la sección Y. Cada aparato B lleva una hora de la sección X y dos de la sección Y. Cada aparato A se vende por 100 € y cada aparato B se vende a 150 €. Hallar cuántos aparatos de cada tipo se producirán para que el ingreso por ventas sea máximo.

EJERCICIO N.O 2 [3,5 PUNTOS]

OPCIÓN a

Sea f (x) = x2 − 3x + 2.

Hallar:

• El dominio de definición.

• Las asíntotas si existen.

• El o los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máximos y mínimos.

• El área encerrada por: la función f (x), la recta x = 0 y la recta y = 0.

OPCIÓN b

Hallar dos números cuya suma es 20, sabiendo que su producto es máximo.

INDICACIONES AL ALUMNO

El examen consta de 3 ejercicios. Cada ejercicio tiene dos opciones: a y b. El alumno ha de resolver los tres ejercicios, eligiendo en cada ejercicio una de las dos opciones.

Cada ejercicio que resuelva lo identificará según los ejemplos:

• Si resuelve del ejercicio n.o 3 la opción b, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: Ejercicio n.o 3 b.

• Si resuelve del ejercicio n.o 1 la opción a, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por la siguiente expresión: Ejercicio n.o 1 a.

El orden de resolución de los ejercicios es a elección del alumno.

Los dos primeros ejercicios se valorarán hasta 3,5 y el tercero hasta 3.

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4


EJERCICIO N.O 3 [3 PUNTOS]

OPCIÓN a

En un tribunal se examinan 123 alumnos del centro A y 77 alumnos del centro B. Del centro A aprueban el 75 % y del centro B el 67 %.

Hallar:

• La probabilidad de que un alumno que no ha aprobado pertenezca al centro A.

• La probabilidad de que un alumno que no ha aprobado pertenezca al centro B.

OPCIÓN b

La altura de un colectivo de jóvenes se distribuye según una ley normal de media desconocida y varianza 25 cm2. Se extrae una muestra aleatoria, y como nivel de confianza del 95 % se determina un intervalo de confianza para la media poblacional, resultando que su amplitud es 2,45 cm.

Hallar:

• El tamaño de la muestra seleccionada.

• Cuál es el intervalo de confianza, con el nivel de confianza del 95 %, si la muestra tomada dio una altura media de 175 cm.

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EJERCICIO N.o 1

OPCIÓN a

X A B B= ⋅ + 2

X =

−

1 2 11 3 10 0 2

1 0 12 2 20 0 6

·

+

−

1 0 12 2 20 0 6

−

=·

1 0 12 2 20 0 6

5 4 97 6 110 0 122

1 0 76 4 140 0 36

+

−

=

6 4 213 10 25

0 0 48

OPCIÓN b

Es un problema de programación lineal, y construimos la siguiente tabla para simplificar el enunciado:

Llamamos A = «número de aparatos del tipo A» y B = «número de aparatos del tipo B».La función que hay que maximizar es f (A, B) = 100A + 150B.

Las restricciones son:

3 1002 10000

A BA BAB

+ ≤+ ≤≥≥

Los vértices de la región factible son: A(0, 0), B(0, 50), C(20, 40) y D100

30, .

Dibujamos la región factible y sustituimos sus vértices en la función que hay que maximizar:

f

f

1003

0 100100

33 333 3

20 40

, . ,

( ,

= ⋅ =

�

)) .

( , ) .

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ =

100 20 150 40 8 000

0 50 150 50 7 500f

f (( , )0 0 0=

Para que el beneficio sea máximo se deberán producir 20 aparatos del tipo A y 40 aparatos del tipo B.

Y

10

10

B = 100 − 3A

X

BA

=−100

2

Tipo A Tipo B Horas semanales

Sección X 3 1 100

Sección Y 1 2 100

Beneficios 100 150

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4

EJERCICIO N.o 2

OPCIÓN a

• Dominio: Dom f = R

• Asíntotas: no tiene, puesto que es una parábola.

• Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:

f x x x'( ) = − = =2 3 0

32

→ → Es un punto crítico.

f''

32

2 032

14

= > −

→ , es un mínimo y, por tanto,

la función es:

Decreciente en −

`,

32

y creciente en 32

, +

` .

• Área encerrada por f (x), x = 0 e y = 0: Los puntos de corte de f (x) con el eje X son x = 1 y x = 2.

Área = − + = − +

= −#

1

0

23 2

0

1

3 23

3

22

1

3

3

2( )x x dx

x xx ++ =2

5

62u

OPCIÓN b

Llamamos a los números x e y, x + y = 20 y su producto x · (20 − x) = 20x − x2 ha de ser un máximo.

f (x) = 20x − x2, f' (x) = 20 − 2x = 0 → x = 10 y f''(x) = −2 < 0 → En x = 10 hay un máximo.

Por tanto, los números son x = 10 e y = 10.

EJERCICIO N.o 3

OPCIÓN a

Hay 200 alumnos en total.

P A P B( ) , ( ) ,= = = =123200

0 61577

2000 385y

Es una aplicación del teorema de Bayes:

• P A

P

P A( )

(

( )centro

suspenso)

suspenso / centro=

·· ( )

(

, · ,

, · ,

P A

P

centro

suspenso)=

0 25 0 615

0 25 0 6115 0 33 0 385

0 153

0 280 546

+= =

, · ,

,

,,

• P(centro B / suspenso) = 1 − 0,546 = 0,454

f (x)

1

1

X

Y

0,615

0,385

A0,75

0,25

0,67

0,33

Aprobado

Suspenso

BAprobado

Suspenso

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OPCIÓN b

El nivel de confianza es: 1 − a = 0,95 y el valor crítico obtenido en la tabla de distribución normal es:

z a

2

1 96= ,

• Sea n el tamaño de la muestra:

2 45 2 2 1 96

5 2

2 2 2

, · ,= + − + = = ⋅ ⋅ =⋅

x zn

x zn

zn n

na a aσ σ σ → 11 96 5

2 4564

2,

,

⋅

=

El tamaño de la muestra debe ser de 64 jóvenes.

• Si m = 175 tenemos una distribución N(175, 5), y el intervalo de confianza para la media será:

x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

= − ⋅a a

σ σ

2 2

175 1 965

64; , ; 1175 1 96

5

64175 1 225 175 1

+ ⋅

=

= − +

,

( , ; ,, ) ( , ; , )225 173 775 176 225=


0,025 0,95 0,025

0,975

z a2


EJERCICIO N.o 1OPCIÓN aA.B: Hasta 1,5 puntos.B2: Hasta 1,5 puntos.Suma: Hasta 0,5 puntos.

OPCIÓN bPlanteamiento: Hasta 1,5 puntos.Resolución (vértices): Hasta 1,5 puntos.Máximo: Hasta 0,5 puntos.

EJERCICIO N.o 2OPCIÓN aDominio: Hasta 0,5 puntos.Asíntotas: Hasta 0,5 puntos.Crecimiento y decrecimiento: Hasta 1,5 puntos.Área: Hasta 1 punto.

OPCIÓN bPlanteamiento: Hasta 1,5 puntos.Resolución: Hasta 1 punto.Justificación: Hasta 1 punto.

EJERCICIO N.o 3OPCIÓN aCada apartado: Hasta 1,5 puntos.

OPCIÓN bCada apartado: Hasta 1,5 puntos.

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CAST

ILLA

-LA

MAN

CHA

Criterios generales de corrección:• Cada propuesta de examen constará de cuatro bloques de dos

opciones A y B cada uno de ellos. Dos de los bloques contendrán problemas del tema de Análisis, uno con problemas del tema de Álgebra y otro con problemas del tema de Geometría.

• El alumno deberá elegir una única opción A o B de cada bloque.• Los criterios generales de corrección son los siguientes: 1. Cada problema completo será calificado de 0 a 2,5 puntos. 2. Los subapartados que puedan aparecer en los problemas

se calificarán según acuerde el tribunal corrector, una vez conocido el examen.

3. Si un alumno desarrolla las dos opciones A y B de un mismo bloque, solo será calificada la primera opción que aparezca desarrollada en la prueba.

4. En la valoración de los ejercicios se tendrá en cuenta: – El planteamiento. – La claridad en la exposición y las explicaciones adicionales. – La corrección en las operaciones. – La interpretación de los resultados (cuando sea necesario). – Los errores conceptuales. – Los errores operacionales. – La corrección de los gráficos incluidos. 5. El tribunal corrector ponderará, en cada ejercicio,

la valoración que se asigne a cada una de las consideraciones del punto anterior.

6. En cualquier caso, nunca se calificará un ejercicio atendiendo exclusivamente al resultado final.

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BLOQUE 1

A) 1) Despeja la matriz X en la ecuación: 2 · X − B = A · X.

2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que:

A B=−

=

−−

−

1 0 12 1 01 3 1

1 23 34 3

y

B) En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas y Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase.

BLOQUE 2

A) Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de «Consumo razonable» y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos de euro por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3. b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. 3) ¿Cuál es ese beneficio máximo?

B) Una caja contiene tres monedas. Una moneda es normal, otra tiene dos caras

y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 13

.

Las tres monedas tienen igual probabilidad de ser elegidas. 1) Se elige al azar una moneda y se lanza al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara? 2) Si lanzamos la moneda trucada dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga una cara y una cruz?

Esta prueba consta de cuatro bloques de dos ejercicios A y B cada uno. El/la alumno/a debe resolver cuatro ejercicios, uno de cada bloque. Cada ejercicio tiene una puntuación de 2,5 puntos. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora.

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Distrito universitario de Castilla-La M

ancha5


BLOQUE 3

A) Dada la función f(x) =

x x

k xx x

+ ≤ −− < <

− ≥

2 si 1

si 1 1( 2) si 12

1) Halla el valor de k para que la gráfica sea continua para x = −1. 2) Para ese valor de k, dibuja la gráfica. 3) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

B) Suponiendo que el rendimiento (R) en % de un estudiante en una hora de examen viene dado por R(t) = 300t(1 − t) siendo 0 ≤ t ≤ 1 (tiempo en horas): 1) Representar gráficamente la función R(t). 2) Indicar cuándo aumenta y disminuye el rendimiento y cuándo se hace cero. 3) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?

BLOQUE 4

A) Entre la población de una determinada región se estima que el 55 % presenta obesidad, el 20 % padece hipertensión y el 15 % tiene obesidad y es hipertenso. 1) Calcula la probabilidad de ser hipertenso o tener obesidad. 2) Calcula la probabilidad de tener obesidad condicionada a ser hipertenso.

B) Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de un modelo de juguetes electrónicos se elige una muestra aleatoria de 36 juguetes de ese modelo obteniéndose una duración media de 97 horas. Sabiendo que la duración de los juguetes electrónicos de ese modelo se distribuye normalmente con una desviación típica de 10 horas: 1) Encontrar el intervalo de confianza al 99,2 % para la duración media de los juguetes electrónicos de ese modelo. 2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.

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BLOQUE 1

A) 1. 2 2 2⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ =X B A X X A X B A X B→ → ( )I

→ →( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1I I I I− ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅− − −A A X A B X A B

2. 22 0 00 2 00 0 2

1 0 12 1 01 3 1

I − =

−

−A

=

−−

−

1 0 12 1 01 3 1

2 4 0 2 1I I− = − ≠ ∃ − −A A→ ( )

( ) )21

2

1

4

3

4

1

41

21I

II− =

−−( ) =

− − −

−−AA

At

Adj (2 −− −

− − −

1

2

1

25

4

3

4

1

4

X A B= − ⋅ =

− − −

− − −

− − −

−( )2

14

34

14

12

12

12

54

34

14

1I

⋅−

−1 23 344 3

1 11 10 1−

=

−−

B) Sean x, y y z el número de cajas para camisetas grandes, medianas y pequeñas, respectivamente.

x y zx y zx y

+ + =+ + =− = +

30 25 1050 30 25 390

1 1→→

10 6 5

10 6 5 8

1010 6 5 78

2

x y zx y zx y z

+ + =+ + =− =

+

++−

+ ===

→xx

x

yyy

z5

1028

2

→ →xxx

yy

z xyz

56

102830

532

++

+ ===

===

Hay 5 cajas de camisetas grandes, 3 cajas de camisetas medianas y 2 cajas de camisetas pequeñas.

BLOQUE 2

A) 1. Sean x e y el número de mensajes SMS y el de llamadas telefónicas de un minuto, respectivamente.

La función que hay que maximizar es: f (x, y) = 15x + 25y


y xy x

x yxy

≤ +≥ −+ ≤

≥≥

33

5 2700

Los vértices de la región factible son: A(0, 3), B(4, 7), C(5, 2), D(3, 0) y E(0, 0).

Y

A

B

C

1 XDE

1

y = x +3

y = x −3

5x + y = 27

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ancha5

2. Al sustituir las coordenadas de los puntos en la función objetivo: f (0, 3) = 75 f (4, 7) = 235 f (5, 2) = 125 f (3, 0) = 45 f (0, 0) = 0 Por tanto, para que el beneficio sea máximo deben enviarse 4 mensajes SMS y hacerse

7 llamadas telefónicas de un minuto.

3. El beneficio máximo asciende a 2,35 €.

B) Sean los sucesos:M1 = «Elegir la moneda normal»M2 = «Elegir la moneda que tiene dos caras»M3 = «Elegir la moneda trucada»C = «Salir cara»X = «Salir cruz»

1. Aplicando el teorema de la probabilidad total:

P C P M P C M P M P C M P M P C( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( /= ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 MM31

3

1

2

1

31

1

3

1

3

11

18) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2. Como los sucesos son independientes:

P C X P X C( ) ( )∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =1

3

2

3

2

3

1

3

4

9

BLOQUE 3

A) 1. ∃ − = − + =f ( )1 1 2 1

lim f x lim x

lim f x limx x

x x

→ →

→

− −

−

− −

+

= + =

=1 1

1

2 1( )

( )→→

→→

−−

+=

∃ = −1

11

k klim f x f

x( ) ( ) si k = 1

2. f xx x

xx x

( ) =+ ≤ −

− < <− ≥

2 si 11 si 1 1

( 2) si 12

3. # # #−

− −

+ + ⋅ + − =+

1

2

1

1

2

1

22

2 1 22

2( ) ( )

( )x dx dx x dx

x

+ +

−

= +

−

−

−2

1

1

1 3

1

22

3

1

22x

x( )++ =

1

3

17

62u

B) 1. R t t t t t( ) ( )= − = −300 1 300 300 2

Y

0,1 X

5

R (t)

2. R t t t t'( ) ( )= − − = −300 1 300 300 600 300 600 0 0 5− = =t t→ , El rendimiento aumenta en la primera media hora y disminuye en la segunda.

300 300 0 01

2t t tt

− = ==

→

El rendimiento se anula al principio y al final de la hora.

Y

1 X

2

f (x)

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3. El rendimiento es máximo a las 0,5 horas.

R( , ) , ( , )0 5 300 0 5 1 0 5 75= ⋅ ⋅ − =

El rendimiento máximo es del 75 %.

BLOQUE 4

A) 1. P H O P H P O P H O( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − =0 2 0 55 0 15 0 6

2. P O HP H O

P H( / )

( )

( )

,

,,=

∩= =

0 15

0 20 75

B) 1. σ = 10 · n = 36

La media de la muestra es:

x = 97

Si 1 0 992 0 0082

0 004− = = =a aa

, , ,→ →


z a

2

2 65= ,


97 2 6510

3697 2 65

10

3692 5− +

=, · ; , · ( , 88 101 42; , )

2. Este intervalo significa que se admite como media muestral cualquier valor comprendido entre 92,58 y 101,42 con una probabilidad del 99,2 %.


BLOQUE 1A) Hasta 2,5 puntos.B) Hasta 2,5 puntos.




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BLOQUE 1A) 1) Despeja la matriz X en la ecuación: X−1 · A + A = B.

2) Halla la matriz X sabiendo que A B=−

=

1 0 10 1 00 0 1

1 1 00 1 11 0 1

y

.

B) La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 años. Hace cinco años, la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenían los otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano excederá en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los hijos.

BLOQUE 2A) Una fábrica de lámparas produce dos modelos A y B. El modelo A necesita dos horas

de trabajo de chapa y una hora de pintura. El modelo B necesita una hora de chapa y dos de pintura. Semanalmente se emplean como máximo 80 horas en trabajos de chapa y 100 horas en trabajos de pintura. Cada unidad del modelo A se vende a 75 € y cada unidad del modelo B a 80 €. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lámparas de cada tipo que interesa producir para que el beneficio obtenido con su venta sea lo mayor posible. 3) Calcula el beneficio máximo.

B) Si una persona va un día a su dentista, supongamos que la probabilidad de que solo le limpie la dentadura es de 0,44; la probabilidad de que solo le tape una caries es de 0,24 y la probabilidad de que le limpie la dentadura y le tape una caries es de 0,08; calcular la probabilidad de que un día de los que va a su dentista, este: 1) Le limpie la dentadura o bien le tape una carnes. 2) Ni le limpie la dentadura ni le tape una caries.

BLOQUE 3

A) Dada la función f xx x xx x

( )( )

= + + <− ≥

2

2

4 3 01 0

sisi

1) Dibuja su gráfica. 2) Estudia

su continuidad en el punto x = 0. 3) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función y la parte negativa del eje X.

B) En un determinado modelo de coche el consumo de gasolina, para velocidades comprendidas entre 20 y 160 km/h, viene determinado por la función C(x) = 8 − 0,045x + 0,00025x2 y viene expresado en litros consumidos cada 100 km recorridos a una velocidad constante de x km/h. 1) ¿Cuántos litros cada 100 km consume el coche si se conduce a una velocidad de 120 km/h? 2) ¿A qué velocidad consume menos? y ¿cuánto consume? 3) ¿A qué velocidades se ha de conducir para consumir 10 litros cada 100 km?


Esta prueba consta de cuatro bloques de dos ejercicios A y B cada uno. El/la alumno/a debe resolver cuatro ejercicios, uno de cada bloque. Cada ejercicio tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora.

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BLOQUE 4

A) El 42 % de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que el 24 % de las mujeres y el 16 % de los hombres está en paro. 1) Elegida una persona al azar de la población activa de ese país, calcula la probabilidad de que esté en paro. 2) Si hemos elegido una persona con trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

B) En un estudio sobre la conductividad térmica de un determinado material, en unas condiciones particulares, se han tomado 81 mediciones de conductividad térmica obteniéndose una media de 41,9. En esas condiciones se sabe que la desviación típica de la conductividad es 0,3. Si suponemos que la conductividad térmica está distribuida de manera normal: 1) Encontrar un intervalo de confianza al 96 % para la conductividad promedio de este material. 2) Interpretar el significado del intervalo obtenido.

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BLOQUE 1

A) 1. X A B A X X A X B A A X B A X A B− −⋅ = − ⋅ ⋅ = − = − = −1 1→ → →· ( ) · ( ) · ( AA)−1

2. B A− =

−

−1 1 00 1 11 0 1

1 0 10 1 00 0 1

=

0 1 10 0 11 0 0

= =D Dy 1

Adj Adj( ) ( )D D t= −

0 1 00 1 11 0 0

→ == −

=−

0 0 11 1 00 1 0

1yAdj

DD

D

t( )== −

0 0 11 1 00 1 0

X A B A A D= ⋅ − = ⋅ =−

− −( ) 1 1

1 0 10 1 00 0 1

−

=

−−·

0 0 11 1 00 1 0

0 1 11 1 00 11 0

B) Sean x = «Hijo menor», y = «Hijo mediano» y z = «Hijo mayor». Planteamos el sistema:

x y z

x y z

y x z

+ + =

− = − + −

+ = + + + +

59

513

5 5

2 5 5 5 1

· ( )

( )

+−−

+−+

=== −

→xxx

yyy

zzz

32

5951

Utilizamos el método de Gauss para la resolución:

1 1 1 593 1 1 51 2 1 1 2 2 1

− −− −

= +F F F→F F F3 3 1

1 1 1 594 0 0 640 3 0 60= − − −

+ + ==

− = −

→ →x y z

xy

xyz

594 643 60

===

162023

Las edades son 16, 20 y 23 años.

BLOQUE 2

A) 1. Sean x = «Número de lámparas del modelo A» e y = «Número de lámparas del modelo B». La función que hay que maximizar es: f (x, y) = 75x + 100y Dibujamos la región factible según las siguientes restricciones:

2 802 10000

2 80x y

x yxy

x yx

+ ≤+ ≤≥≥

+ =→++ =

= −

=−

2 100

80 2100

2y

y x

yx→

→ Punto de corte: (20, 40)

Los vértices son: A(0, 0), B(0, 50), C(20, 40) y D(40, 0). La región factible es la zona sombreada.


Y

A

B C

XD

10

10y = 80 − 2x

yx

=−100

2

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2. Sustituimos los vértices de la función factible en la función que hay que maximizar

f (x, y) = 75x + 100y

f (40, 0) = 3.000 f (20, 40) = 5.500 f (0, 50) = 5.000

Para que el beneficio sea máximo se han de construir 20 lámparas del tipo A y 40 lámparas del tipo B.

3. El beneficio máximo es de 5.500 €.

B) 1. Sean los sucesos d = «Limpiar la dentadura» y c = «Tapar una caries».

P d P c P d c( ) , ( ) , ( ) ,= = ∩ =0 44 0 24 0 08 P d c P d P c P d c( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − =0 44 0 24 0 08 0 6

2. P d c P d c P d c( ) ( ) ( ) , ,∩ = ∪ = − ∪ = − =1 1 0 6 0 4

BLOQUE 3 A) 1.

2. lim x lim x xx x→ →

→0

2

0

21 1 4 3 3+ −

− = + + =( ) y En x = 0 hay una discontinuidad inevitable

de salto finito.

3. Área = + + + + + =

= −

−

− −# #

1

3

20

1

2

3

4 3 4 3

3

( ) ( )x x dx x x dx

x++ +

+ + +

−

−

−

4

23

3

4

23

2

3

1 3 2

1

xx

x xx

00

1

32 3

27

318 9

=

= −−

+ − − − + −

+ − −− + −

= + =

1

32 3

4

3

4

3

8

32u

B) 1. Si la velocidad es de 120 km/h, su consumo será: C(120) = 8 − 0,045 · 120 + 0,00025 · 1202 = 8 − 5,4 + 3,6 = 6,2 litros

2. Hallamos el mínimo de la función C(x): C x x x'( ) , ,= − + = =0 045 0 0005 0 90→ Consume menos gasolina a una velocidad de 90 km/h y su consumo es: C( ) , , , ,90 8 0 045 90 0 00025 90 8 4 05 2 025 52= − ⋅ + ⋅ = − + = ,,975 litros

3. Resolvemos la ecuación: 10 8 0 045 0 00025 0 00025 0 045 2 02 2= − + − − =, , , ,x x x x→

x =± − ⋅ −

⋅=

0 045 0 045 4 2 0 00025

2 0 00025

02, ( , ) ( ) · ,

,

,0045 0 002025 0 002

0 0005

± +=

, ,

,

=±

= = =−0 045 0 063

0 00050 108

0 0005216

0 0, ,,

,,

,→ x xy118

0 00050

,<

Por tanto, 216 km/h es la velocidad cuyo consumo es de 10 litros cada 100 km.


Y

X

1

−3 −1 (1, 0)

(−2, −2)•

• Puntos de corte con el eje : No está definY iida.( )0 1 12− =

→ y

x = −3x = −1

→→• Puntos de corte con el eje :X x xx

2 4 3 0+ + =( −− = =

1 0 12) → x

• Máximos y mínimos: sisi

f x x xx x

'( ) = +−

2 4 02 2

<> 00

0 21

= = −=

=f x xx

f x x' ''( ) ( )→ 2 si < 002 0si

Son mínimos.x >

→

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ancha5

BLOQUE 4

A) 1. Para resolver el problema construimos una tabla de contingencia con los datos del enunciado:

Calculamos el resto de las casillas:

Casilla a: 0,16 + 0,24 = 0,4 Casilla e: 0,24 + 0,42 = 0,66 Casilla d: 1 − e = 1 − 0,66 = 0,34 Casilla b: d − 0,16 = 0,34 − 0,16 = 0,18 Casilla c: 1 − a = 0,6

P(una persona esté parada) = 0,4

2. PP

P( / )

( )( )

hombre activohombre activo

activo=

∩=

00 180 6

0 3,,

,=

B) 1. Del enunciado se deduce que n = 81, x = 41,9 y σ = 0,3.

El nivel de confianza es: 1 − a = 0,96 y el valor crítico obtenido en la tabla de la distribución normal es: z a

2

2 06= ,

El intervalo de confianza para la conductividad térmica promedio será:

x z

nx z

n− ⋅ + ⋅

= − ⋅a a

σ σ

2 2

41 9 2 060 3

; , ,,

9941 9 2 06

0 3

941 831 41 968; , ,

,( , ; ,+ ⋅

= ))

2. Tenemos una confianza del 96 % de que la media de la conductividad térmica está comprendida entre 41,841 y 41,959; es decir, el 96 % de las posibles muestras de 81 mediciones tienen una media comprendida entre 41,831 y 41,968.

Hombre Mujer Totales

Parado 0,16 0,24 a

Activo b 0,42 c

Totales d e 1


Parado 0,16 0,24 0,4

Activo 0,18 0,42 0,6

Totales 0,34 0,66 1

0,02 0,96 0,02

0,962

z a2

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790778 _ 0053-0064.indd 64 1/8/16 15:07



CAST

ILLA

Y L

EÓN

Criterios generales de corrección:• Dentro de cada bloque se puntuará sobre un máximo

de 3 puntos cada una de las preguntas de la 1 a la 3, y con 1 punto la pregunta 4. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones obtenidas en cada pregunta.

• En el caso de que algún examen, en contra de las instrucciones recibidas, presente respuestas a preguntas de ambos bloques solo se corregirán las que correspondan al bloque A.

• Los errores de cálculo en razonamientos esencialmente correctos se penalizarán disminuyendo hasta en el 40 % la valoración en el apartado correspondiente. Los errores de notación solo se tendrán en cuenta si son reiterados y se penalizarán hasta en un 20 % de la calificación máxima atribuida al problema o apartado.

• Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno o la alumna.

• Se valorará positivamente la capacidad, de la alumna o alumno, de utilizar el modo de hacer matemático para resolver la prueba. En todo caso se valorarán los mecanismos de resolución no habituales, atendiendo a la argumentación realizada y a la corrección de las operaciones efectuadas.

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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN

Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas.

Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumen- tación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a.

OPTATIVIDAD: EL ALUMNO/A DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO.

BLOQUE A

1. Sea el sistema:

a x a yx a y

2 3

2

10

+ =+ =

a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a.

b) Resuélvelo para a = 2.

2. Sea C(t) el dinero, en miles de euros, que hay depositado en un día en una sucursal bancaria, en función del tiempo t en horas desde que la sucursal está abierta. Sabiendo que C'(t) = t2 − 7t + 10 y que la sucursal permaneció abierta un total de 8 horas:

a) Obtén los máximos y mínimos locales de la función C(t).

b) Obtén la expresión de C(t) sabiendo que a las 6 horas de estar abierta la sucursal disponía de 20.000 €.

3. Se juntan 3 clases A, B y C con el mismo número de alumnos en el salón de actos de un instituto. Se sabe que el 10 % de los alumnos en la clase A son zurdos, en la clase B el 8 % son zurdos y en la clase C el 88 % de los alumnos no son zurdos.

a) Si elegimos al azar un alumno del salón de actos, ¿con qué probabilidad el alumno no será zurdo?

b) Sabiendo que un alumno elegido al azar del salón de actos es zurdo, ¿cuál es la probabilidad de que no pertenezca a la clase C?

4. Calcula la probabilidad del suceso A B∩ sabiendo que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos A o B es 0,8 y que P(A) = 0,3.

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Distrito universitario de Castilla y León

6


BLOQUE B

1. Una fábrica de papel tiene almacenados 4.000 kg de pasta de papel normal y 3.000 kg de pasta de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos diferentes de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,1 kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja del segundo tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,3 kg de pasta de papel reciclado. Los beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente, 5 € para el primer tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo obtenido?

2. Sea f x ax bx c xmx n x

( ) = + + ≤+ >

2 33

sisi

.

La representación gráfica de la función f(x) es la siguiente:

B(3, 2)

A(2, 1)C(6, 1)

Calcula la expresión de la función f(x) sabiendo que el punto A es el vértice de la parábola.

3. El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una distribución normal de media m y varianza igual a 81.

a) ¿Cuánto vale m si sabemos que solo un 10 % de las personas en la sala sobrepasa un coeficiente intelectual de 105?

En los dos siguientes apartados supondremos que m = 95:

b) Elegida una persona al azar de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que su coeficiente intelectual esté entre 86 y 107?

c) Elegimos 9 personas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficientes intelectuales, ¿cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107?

4. Un cartero reparte al azar 3 cartas entre 3 destinatarios. Calcula la probabilidad de que al menos una de las 3 cartas llegue a su destino correcto.

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BLOQUE A

PREGUNTA 1

a) a x a yx a y

a x a ya a y

2 3

2

2 3

3 410

11

+ =+ =

+−

==

→( )

=−

→ ya a

13 4

a a aa

3 4 0 01

− = ==

→

• Si a ≠ 0 y a ≠ 1, el sistema es compatible determinado. • Si a = 0, el sistema es compatible indeterminado. • Si a = 1, el sistema es incompatible.

b) 4 8 14 0

4 88

11

x yx y

x yy

x+ =+ =

+−

==

=→ →

11

21

8y = −

PREGUNTA 2

a) t t tt

C t t C

2 7 10 0 25

2 7

− + = ==

= − =

→

→'' ''( ) (2) −− < == > =

3 0 En 2 hay un máximo.(5) 3 0 En

→→

tC t'' 55 hay un mínimo.

b) #( )t t dt t t t k2 3 27 1013

72

10− + = − + +

C k k( )6 2013

672

6 10 6 20 143 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ + = =→ →

La expresión de la función es: C t t t t( ) = − + +13

72

10 143 2

PREGUNTA 3


P Z P A P Z A P B P Z B P C P Z C( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )= + + = ⋅13

901100

13

92100

13

88100

+ ⋅ + ⋅ =

= + +

= ⋅ =

13

90100

92100

88100

13

2710

91

·00


P C Z P C ZP C P Z C

P Z( / ) ( / )

( ) ( / )( )

= − = − = −⋅

1 1 1

13

12100

1110

125

35

= − =

PREGUNTA 4

P(al menos ocurre uno de los sucesos) = 1 0 8− ∩ = ∪ =P A B P A B( ) ( ) ,

P A B P B P A B P A B P A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = ∪ − = − =0 8 0 3 0 5


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6

BLOQUE B

PREGUNTA 1

Sean x e y las cajas de cada tipo que deben fabricarse, respectivamente.

La función que hay que maximizar es: f (x, y) = 5x + 6y


0 2 0 2 4 0000 1 0 3 3 000

00

, , ., , .

x yx y

xy

+ ≤+ ≤

≥≥

Y

A

BC

5.000

x + 3y = 30.000

XD

x + y = 20.000

5.000

Los vértices del polígono son: A(0, 0), B(0, 10.000), C(15.000, 5.000) y D(20.000, 0).Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo, se tiene:

f (0, 0) = 0f (0, 10.000) = 60.000f (15.000, 5.000) = 105.000f (20.000, 0) = 100.000

Por tanto, el máximo beneficio se obtiene fabricando 15.000 cajas del primer tipo y 5.000 cajas del segundo tipo, y este beneficio asciende a 105.000 €.

PREGUNTA 2

Si el punto A(2, 1) es el vértice de la parábola:

− = = −ba

b a2

2 4→

Entonces la expresión de la parábola es: ax2 − 4ax + cComo pasa por los puntos A y B:

4 8 19 12 2

4 13 2

a a ca a c

a ca c

− + =− + =

− + =− + =

→

==

= −→ →ac

b15

4

Además, como la recta pasa por los puntos B y C:

3 26 1

1

33

m nm n

m

n

+ =+ =

= −

=

→

La expresión de la función es:

f xx x x

x x( ) =

− + ≤

− + >

2 4 5 313

3 3

si

si

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PREGUNTA 3

a) X ≡ N(m, 9)

P X PX

P Z( ) ,> =−

>−

= >105 0 1

9105

9105→ m m −−

= ≤

−

=

m m9

0 1105

90, ,→ P Z 99

→ → →105

91 29 105 11 61 93 39

−= − = =

mm m, , ,

b) X ≡ N(95, 9)

P X PX

( )86 10786 95

995

9107 95

9< < =

−<

−<

−

= − < <( ) =P Z1 1 33,

= < − − < = − + =P Z P Z( , ) ( ( )) , , ,1 33 1 1 0 9082 1 0 8413 0 74955

c)

X N N; 959

995 3, ( , )

=

P X PX

( )86 10786 95

395

3107 95

3< < =

−<

−<

−

= − < <( ) =P Z3 4

= < − − < = − + =P Z P Z( ) ( ( )) , , ,4 1 3 0 9999 1 0 9987 0 9986

PREGUNTA 4

Sea Ai = «El cartero acierte con la carta i».

P A A A P A P A A P Ai i ji ji

( ) ( ) ( ) (,

1 2 31

3

1

3

1∪ ∪ = − ∩ +==

∑∑ ∩∩ ∩ =

⋅ −

⋅A A2 3

31

23

32

1)

!! 33

13

23! !

+ =



BLOQUE A BLOQUE B1. El apartado a) se valora hasta 2 puntos,

y el apartado b) se valora hasta 1 punto.

2. Cada uno de los apartados a) y b) se valora hasta 1,5 puntos.


4. Se valora hasta 1 punto.

1. Se valora hasta 3 puntos, atendiendo a la utilización de las técnicas de programación lineal. En este contexto, la determinación de la función objetivo se valora hasta 0,5 puntos, el sistema de restricciones se valora hasta 1 punto, la determinación de la región factible se valora hasta 0,5 puntos y la determinación del vértice óptimo y del beneficio máximo hasta 1 punto.

2. El cálculo de la ecuación de la recta se valora hasta 1,5 puntos y el cálculo de la ecuación de la parábola hasta 1,5 puntos.

3. Cada uno de los apartados a), b) y c) se valora hasta 1 punto.


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6



BLOQUE A

1. Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y 30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20 televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 € y por cada televisión digital 15 €. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el ingreso máximo diario que se puede conseguir.

2. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

3. El 35 % de los créditos de un banco son para vivienda, el 50 % para industrias y el 15 % para consumo diverso. Resultan impagados el 20 % de los créditos para vivienda, el 15 % de los créditos para industria y el 70 % de los créditos para consumo.

a) Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

b) Sabiendo que un crédito elegido al azar no fue pagado, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un crédito para industria?

4. Un mensaje es transmitido con errores con probabilidad 0,1. Emitimos de forma independiente 10 mensajes. Calcula la probabilidad de que al menos alguno de los 10 mensajes haya sido transmitido con errores.

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN

Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas.

Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumen- tación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a.

OPTATIVIDAD: EL ALUMNO/A DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO.

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BLOQUE B

1. Se considera el sistema:

x y zx y z

x y a z

− + =− + =

− + − =

2 13 5 4

( 2) 2

a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a.

b) Halla todas las soluciones para a = 3.

2. Una parábola tiene la forma f(x) = ax2 + bx + 2. Se sabe que en el punto (1, 3) tiene un máximo o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (1, 3) corresponde a un máximo o a un mínimo.

3. Se supone que el número de horas extras realizadas por un trabajador de una empresa en un determinado mes sigue una distribución normal con media m desconocida y desviación típica σ = 0,25 horas.

a) Si el número medio de horas extras realizadas en dicho mes por 20 empleados seleccionados de forma aleatoria en la empresa resultó ser x = 4.925 horas, ¿permite ese valor de x rechazar a nivel a = 0,05 que m fuera igual a 5 horas?

b) Da un intervalo de confianza al 99 % para m usando la media de la muestra anterior de 20 trabajadores (x = 4.925 horas).

4. Dos sucesos A y B tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.

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6

BLOQUE A

PREGUNTA 1

Llamamos x = «Número de televisores analógicos» e y = «Número de televisores digitales».La función a maximizar es f (x) = 10x + 15y con las siguientes restricciones:

10 20 40020 30 300

206

x yx y

xy

+ ≤+ ≥

≤≥

Los vértices de la región factible son: A(0, 10), B(0, 20), C(20, 10), D(20, 6) y E(6, 6).Evaluamos los vértices de la región factible:

ff( , )( , )0 10 10 0 15 10 1500 20 10 0 15 20 30

= ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ = 00

20 10 10 20 15 10 35020 6 10 20 15

ff( , )( , )

= ⋅ + ⋅ == ⋅ + ⋅ 66 290

6 6 10 6 15 6 150=

= ⋅ + ⋅ =f ( , )

Se obtiene el máximo ingreso instalando 20 televisores analógicos y 10 televisores digitales.El ingreso máximo diario será de 350 €.

PREGUNTA 2

Si llamamos x e y a los números pedidos: x + y = 120

Hallamos el máximo de la función f x x x x x( ) ( )= − = −2 2 3120 120 :

f x x x x x x'( ) ( )= − = − = =240 3 0 240 3 0 802 → →f x x f x'' ''( ) ( )= − < =240 6 80 0 80→ → es un máximo.

Los números pedidos son x = 80 e y = 40.

PREGUNTA 3

a) Sean los sucesos P = «Crédito impagado», P = «Crédito pagado», V = «Crédito de vivienda», I = «Crédito de industria» y C = «Crédito de consumo diverso».

P(P) = P(V ) · P(P / V ) + P(I) · P(P / I) + P(C) · P(P / C) = 0,35 · 0,8 + 0,5 · 0,85 + 0,15 · 0,3 = 0,75

b) P I PP I P

P P( / )

( )( )

, ,,

,,

=∩

=⋅

−= =

0 5 0 151 0 75

0 0750 25

00 3,

PREGUNTA 4

P(al menos un mensaje, de los diez, tenga error) = 1 − P(todos sean correctos) = = 1 − (0,9)10 = 1 − 0,348 = 0,652


x = 20

A

B

55 DE

y x= −402

y x= −30 23

Y

X

C

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BLOQUE B

PREGUNTA 1

a) Escribimos la matriz de los coeficientes, M, y la matriz ampliada, M*:

Ma

M

=−−− −

=

1 2 13 5 11 1 2

131

*

−−− −

251

11

2

142a

M a a a a= − − − − − − − − − = − = =5 2 2 3 5 6 2 1 1 0 1( ) [ ( ) ] →

• Si a ≠ 1, Rango (M) = Rango (M*) = 3, y el sistema es compatible determinado • Si a = 1, Rango (M) = Rango (M*) = 2 (ya que M* tiene un menor de orden 2 no nulo),

el sistema es compatible indeterminado.

b) Para a = 3, el sistema es:

x y zx y z

x y z

− + =− + =− + =

2 13 5 4

2

Utilizamos, para su resolución, el método de Gauss:

1 2 1 13 5 1 41 1 1 2 2 2

−−−

= −→F F F11

3 3 1

1 2 1 12 3 0 30 1 0 1F F F

x

= −

−−

→

−− + =− =

=

= = =2 1

2 3 31

1 3 0y z

x yy

y x z→ , y

PREGUNTA 2

Por pertenecer el punto (1, 3) a la parábola → 3 = a + b + 2Y por ser (1, 3) un punto crítico y f x ax b a b'( ) = + ⋅ ⋅ + =2 2 1 0→

Resolvemos el sistema: a ba b

a b+ =+ =

= − =12 0

1 2→ y

Por tanto, la parábola es f x x x( ) = − + +2 2 2.Como a < 0, la parábola es decreciente y el punto (1, 3) es un máximo.

PREGUNTA 3

a) Formulamos las hipótesis:

HH

0 0

1

55

::m mm

= =≠

El nivel de significación es a = 0,05.

El estadístico de contraste viene dado por zx

n

=− mσ

0 .

Determinamos la región de aceptación: es un contraste bilateral para la media, y la región de aceptación se obtiene buscando en la tabla de la distribución normal.

−

= −z za a

2 2

1 96 1 96, ( , ; , )


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6

Sabemos que x n= = =4 925 20 0 25. , , .y σ

z =−

= =4 925 5

0 25

20

4 9200 055

89 454 5.

,.,

. ,

Como 89.454,5 ∉ (−1,96; 1,96) se rechaza la hipótesis nula, es decir, rechazamos que la media del número de horas extras realizadas por un trabajador fuera igual a 5 horas.

b) A un nivel de confianza del 99 % le corresponde un valor crítico z a

2

2 58= , .

El intervalo de confianza para la media es:

x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

= − ⋅a a

σ σ

2 2

4 925 2 580

, . ,,225

204 925 2 58

0 25

20, . ,

,+ ⋅

=

= − + =( . , ; . , ) ( . , ; . ,4 925 0 144 4 925 0 144 4 924 9 4 925 144)

PREGUNTA 4

Sabemos que P(A) = 0,4 y P(B) = 0,5 y, por ser independientes, P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ⋅ .

P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( , , , , )∩ = ∪ = − ∪ = − + − ⋅ =1 1 0 4 0 5 0 4 0 5 11 0 7 0 3− =, ,

0,005 0,99 0,005

0,995

z a2

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BLOQUE A BLOQUE B1. Se valora hasta 3 puntos, atendiendo a la

utilización de las técnicas de programación lineal. En este contexto, la determinación de la función objetivo se valora hasta 0,5 puntos, el sistema de restricciones se valora hasta 1 punto, la determinación de la región factible se valora hasta 0,5 puntos y la determinación del vértice óptimo y del beneficio máximo hasta 1 punto.

2. El planteamiento del problema se valora hasta 1 punto. La determinación de los números pedidos usando técnicas apropiadas se valorará hasta 2 puntos.



1. El apartado a) se valora hasta 2 puntos. La solución del sistema en b) se valora hasta 1 punto.

2. El planteamiento del problema se valora hasta 1,5 puntos. La determinación de las constantes pedidas se valora hasta 1 punto. Determinar si en ese punto la función alcanza un máximo o un mínimo se valora hasta 0,5 puntos.



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CATA

LUÑA

Criterios generales de corrección:• El alumnado tiene que explicar el porqué de todas sus

respuestas, de manera que el corrector vea siempre el razonamiento que el alumnado ha hecho. Un problema/cuestión con resultado correcto puede ser valorado con un 0 si el proceso seguido en la resolución no se explica suficientemente. Las cuestiones y los problemas que no estén resueltos completamente se valorarán en función de las partes realizadas.

• En preguntas de carácter conceptual el corrector intentará discernir si el alumnado tiene claros los conceptos o no, aunque haya errores en la exposición. En ningún caso el corrector pondrá el énfasis en el rigor formal de las respuestas.

• Las cuestiones y los problemas no pedirán, por regla general, la realización de cálculos demasiado largos. Por eso hará falta que el alumnado se esfuerce en hacer correctamente los cálculos que haya. Los errores de cálculo se tendrán en cuenta en la puntuación total, aunque con una importancia relativa.

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CUESTIONES

1. Considere el siguiente sistema de inecuaciones:

xyx yx y

≥≥+ ≤+ ≤

003 18

10

a) Represente gráficamente la región de soluciones. (1 punto)

b) Determine el máximo de la función f(x, y) = 3x + 5y en dicha región y para qué valores se alcanza dicho máximo. (0,5 puntos)

c) Determine el máximo de la función f(x, y) = 3x + 3y en dicha región y para qué valores se alcanza dicho máximo. (0,5 puntos)

2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y los mínimos, de la función f(x) = x2e−x. (2 puntos)

3. En un problema de programación lineal, la región de soluciones es el cuadrado de vértices (1, 1), (1, 3), (3, 3) y (3, 1), y la función objetivo es B(x, y) = 3x + 2y.

a) Determine en qué punto es máxima la función objetivo y cuál es este valor máximo. (1 punto)

b) Dé un conjunto de inecuaciones que determine la región de soluciones. (1 punto)

4. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

x y zx y z

ax y z

+ + =+ + =+ + =

52 3 3

10 4 2

a) Halle los valores de a para los cuales el sistema no es compatible determinado. (1 punto)

b) Halle el valor de a para el cual el valor de x es 2. Determine también los valores de y y de z en ese caso. (1 punto)

Responda a TRES de las cuatro cuestiones y resuelva UNO de los dos problemas. En las respuestas, explique siempre qué hace y por qué.

Las cuestiones valen 2 puntos y el problema 4 puntos.

Puede utilizar calculadora, pero no pueden utilizarse calculadoras u otros aparatos que almacenen información o que puedan transmitir o recibir información.

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Distrito universitario de Cataluña

7


PROBLEMAS

5. Un trayecto de 200 km debe hacerse combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 5 €/km; el del ferrocarril, de 2 €/km, y el del autobús, de 3 €/km. El recorrido nos ha costado 500 €, por haber hecho el doble de kilómetros en ferrocarril que en taxi y autobús juntos. Determine las distancias que hemos recorrido en cada medio de transporte. (4 puntos)

6. Un equipo de trabajadores debe hacer la cosecha de un campo de manzanos a partir del 1 de octubre y únicamente puede trabajar durante un día. Si se hace la cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 2.000 €/tonelada. Sabemos que, a partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 20 €/día.

a) Determine la fórmula que expresa los ingresos que se obtienen en función del número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha. (1 punto)

b) Halle cuántos días deben pasar para que los ingresos por la cosecha sean máximos. (1 punto)

c) Diga cuál es el valor máximo de los ingresos por la cosecha. (1 punto)

d) Halle cuántos días deben pasar para que los ingresos por la cosecha sean los mismos que si se hiciese el día 1 de octubre. (1 punto)

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CUESTIONES

1. a)

Los vértices del polígono son: A(0, 0), B(0, 6), C(6, 4) y D(10, 0).

b) Sustituyendo en la función objetivo se tiene que: f (0, 0) = 0 f (0, 6) = 30 f (6, 4) = 38 f (10, 0) = 30 El valor máximo de la función es 38 y se alcanza en el punto C(6, 4).

c) f ( 0, 0) = 0 f (0, 6) = 18 f (6, 4) = 30 f (10, 0) = 30 El valor máximo de la función es 30 y se alcanza en los puntos del segmento de extremos

C(6, 4) y D(10, 0).

2. f x xe x e e x xx x x'( ) ( ) ( )= + − = −− − −2 22 2

e x x x x xx

x− − = − = ==

( )2 0 2 0 02

2 2→ →

La función f (x) es creciente en (0, 2) y es decreciente en (−`, 0) ∪ (2, +`). En x = 0 hay un mínimo absoluto y en x = 2 hay un máximo absoluto.

3. a) B(1, 1) = 5; B(1, 3) = 9; B(3, 3) = 15 y B(3, 1) = 11 La función es máxima en el punto (3, 3) y el valor máximo es 15.

b) Como la región es un cuadrado con los lados paralelos a los ejes, está determinado por las rectas verticales x = 1 y x = 3, y por las rectas horizontales y = 1 e y = 3. Entonces las inecuaciones que determinan la región son:

1 31 3≤ ≤≤ ≤

xy

4. a) Sean Ma

=

1 1 12 3 1

10 4 la matriz de los coeficientes y M

a* =

12

13

10

114

532

la matriz ampliada

del sistema, y se cumple que: M a= −14 2

Si a = 7 → M = 0

1 12 3

1 0= ≠ → Rango M = 2 y 1 1 52 3 37 10 2

12 0= − ≠ → Rango (M*) = 3

Como Rango (M) ≠ Rango (M*), el sistema es incompatible.

b) Si x = 2:

2 54 3 3

2 10 4 235

+ + =+ + =

+ + =

+

y zy z

a y z a

yyy

→++++

===−

+

+++

===

zzz a

yyy

zzz2

311

25 2

3→ −−

===

−

41

251

→yza


Y

A

B C

2

2 x + 3y = 18

XD

x + y = 10

f'(−1) < 0 f'(1) > 0 f'(3) < 0

0 2−1 1 3

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7

PROBLEMAS

5. Sean x, y y z las distancias recorridas en taxi, ferrocarril y autobús, respectivamente.

x y zx y z

y x z

xx

+ + =+ + =

= +

2005 2 3 500

252( )

→xx

yyy

zzz

x++−

+++

===−−

+2 3

2

200500400

→ −−−

+−

===−−

=yyy

zz

x

y33

2200500400

503

→==

=

4003

50z

Por tanto, se han recorrido aproximadamente 16,67 km en taxi; 133,33 km en ferrocarril y 50 km en autobús.

6. a) Sea x el número de días que pasan a partir del 1 de octubre. La función que determina los ingresos es: f (x) = (60 + x)(2.000 − 20x) = 120.000 + 800x − 20x2

b) f'(x) = 800 − 40x 800 − 40x = 0 → x = 20 f''(x) = −40 < 0 → x = 20 es un máximo. Por tanto, deben pasar 20 días para que los ingresos sean máximos.

c) x = 20 → f (20) = 120.000 + 800 · 20 − 20 · 202 = 128.000 €

d) El día 1 de octubre los ingresos son: f (0) = 120.000 €

120 000 800 20 120 000 800 20 0 02 2. .+ − = − = ==

x x x x xx

→ →440

Luego deben pasar 40 días para que los ingresos sean los mismos que el día 1 de octubre.


CUESTIÓN 1Apartado a): Hasta 1 puntoApartado b): Hasta 0,5 puntosApartado c): Hasta 0,5 puntos

CUESTIÓN 2Hasta 2 puntos

CUESTIÓN 3Apartado a): Hasta 1 puntoApartado b): Hasta 1 punto

CUESTIÓN 4Apartado a): Hasta 1 puntoApartado b): Hasta 1 punto

PROBLEMA 54 puntos

PROBLEMA 6Apartado a): Hasta 1 puntoApartado b): Hasta 1 puntoApartado c): Hasta 1 puntoApartado d): Hasta 1 punto

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Responda a TRES de las cuatro cuestiones y resuelva UNO de los dos problemas. En las respuestas, explique siempre qué hace y por qué.

Las cuestiones valen 2 puntos y el problema 4 puntos.

Puede utilizar calculadora científica para el cálculo de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y especiales, así como para realizar cálculos estadísticos. No se podrán utilizar calculadoras u otros instrumentos con más prestaciones que las mencionadas

CUESTIONES

1. Considere la función f xx

x( ) =

−

2

2 1.

a) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = 2.

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos, si existen.

2. Resuelva el siguiente sistema:

x y zx y zx y z

+ − = −− + − =

− + = −

2 5 13 2 72 3 12

3. Considere el siguiente sistema de inecuaciones:

x yx yx y

− + ≥+ ≥+ ≤

1 01

5 13

a) Represente gráficamente la región factible.

b) Calcule el máximo de la función f(x, y) = x − 3y en dicha región.

4. Escriba un sistema de inecuaciones lineales que tengan como zona solución el interior del paralelogramo que tiene los vértices A(1, 1), B(5, 5), C(3, 8) y D(−1, 4).

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7


PROBLEMAS

5. La curva y = f(x) de la figura tiene como dominio el conjunto de todos los números reales.

a) Determine los puntos donde la función vale 0. Determine los valores de x para los que la función es positiva.

b) Diga en qué puntos se anula la derivada y en qué puntos f'(x) < 0.

c) Halle la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2.

d) Determine la recta tangente en el punto de abscisa x = −1.

e) Determine a sabiendo que f(x) = a(x + 1)(x − 2)2.

6. Una persona va a la bodega y compra tres tipos de vino. En total compra 20 botellas y se gasta 100 €. Compra botellas de tres tipos, A, B y C, que cuestan 3 €, 7 € y 8 €, respectivamente. Halle el número de botellas que ha comprado de cada tipo, sabiendo que ha comprado al menos una de cada tipo.

Y

2

1

X

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CUESTIONES

1. a) La recta tangente es y f f x− = −( ) ( )( )2 2 2' .

f xx x x

xx x

xf' '( )

( )( ) ( )

(=− −−

=−−

2 2 1 22 1

2 22 1

2

2

2

2→ 22

49

) =

Como f ( )24

3= , la recta es: y x x y− = − − + =

4

3

4

92 4 9 4 0( ) →

b) f'(x) = 0 → 2x2 − 2x = 0 → xx==

01

La función es creciente en (−`, 0) ∪ (1, +`) y decreciente en 0

1

2

1

21, ,

∪

. Hay un máximo

en (0, 0) y un mínimo en (1, 1).

2. Formamos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada M*:

M M=−

− −−

= −

−

1 2 53 1 22 3 1

132

21*33

521

17

12

0

−−

−

−

≠ =M M→ Rango ( ) 33 0 3M M* ( *)≠ =→ Rango

Como Rango (M) = Rango (M*), por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por Gauss:

1 2 5 13 1 2 72 3 1 12

− −− −

− −

→F22 2 1

3 3 1

32

1 2 5 10 7 17 40 7 11 10= +

= −

− −−

− −

F F

F F F

− −−−= +

→F F F3 3 2

1 2 5 10 7 11 100 0 66 6−

Obtenemos el sistema:

x y z

y zz

+ − = −− =− = −

2 5 17 11 10

6 6→ Las soluciones son: z y

zx z y= =

+= = − + − = −1

10 117

3 1 5 2 2, y

3. a) Dibujamos las rectas:

y xy xy x

= += −= −

1113 5

Los vértices de la región factible son:

A(0, 1), B(2, 3) y C(3, −2).

b) Calculamos el máximo de la función f (x, y) = x − 3y:

ff

f

( , )( , )

( , ) (

0 1 0 3 32 3 2 3 3 7

3 2 3 3 2

= − = −= − ⋅ = −

− = − ⋅ − )) = 9

Observamos que el máximo se obtiene en el punto C(3, −2).


f'(−1) > 0 f'(2) > 0

0 21−1

f f' '14

034

0

<

<

14

12

34

Y

A

B

C

2

1 X

y = x + 1

y = 1 − x y = 13 − 5x

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7

4. Dibujamos el paralelogramo y calculamos las ecuaciones de las rectas que lo forman:

Recta AB: pasa por A(1, 1) y AB = ( , )4 4

Recta BC: pasa por B(5, 5) y BC = −( , )2 3

Recta CD: pasa por C(3, 8) y CD = − −( , )4 4

Recta AD: pasa por A(1, 1) y AD = −( , )2 3

Las ecuaciones son:

y x

y x

y x

y

− = −

− = − −

− = +

− = −

1 1 1

532

5

4 1 1

132

· ( )

· ( )

· ( )

· (( )x −

1

El sistema de ecuaciones es:

y xx y

y xx y

>+ <− <+ >

3 2 255

3 2 5

PROBLEMAS

5. a) Observando la curva, vemos que f (x) = 0 en x = −1 y en x = 2. La función es positiva si x < −1.

b) La derivada se anula en los puntos que tengan recta tangente horizontal, es decir, en x = 0 y en x = 2.

La primera derivada es negativa en (−`, 0) ∪ (2, +`), intervalos donde la función es decreciente.

c) En x = 2, la recta tangente es y = 0.

d) En x = −1, f (x) = 0 y la pendiente de la recta tangente es m = −3; obsérvese que el vector director es u→= −( , )1 3 y la recta pedida es: y x y x− = − + = − −0 3 1 3 3( ) →

e) Si f x a x x a x x( ) ( )( ) ( )= + − = − +1 2 3 42 3 2

f x a x x'( ) ( )= −3 62 y f a a'( ) ( )− = − − = + = −1 3 3 3 613

→ →

La función es: f x x x x x( ) ( )( ) ( )= − + − = − − +1

31 2

1

33 43 3 2

6. Es un problema de programación lineal. Sean, respectivamente, x, y y z el número de botellas de los tipos A, B y C:

x y zx y zx y z

+ + =+ + =≥ ≥ ≥

203 7 8 100

1 1 1, ,

El sistema lo resolvemos por el método de Gauss:

1 1 1 203 7 8 100

1 1 1 200 42 2 13

= −

→F F F 55 40

x y zy z

yz

z

x

+ + =+ =

=−

= −

=

204 5 40

40 54

1054

20→

−− + − = +

10

54

1014

z z z

Como x, y y z deben ser números enteros mayores que 1, necesariamente z ha de ser múltiplo de 4 y como mínimo ha de ser 4. Por otra parte, z no puede ser 8 porque entonces sería y = 0. Así, la solución es x = 11, y = 5 y z = 4.

Y

A

B

C

1

13x + 2y = 25

X y = x

−x + y = 5

3x + 2y = 5

D

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CUESTIÓN 1: Hasta 2 puntos




PROBLEMA 5: Hasta 4 puntos

PROBLEMA 6: Hasta 4 puntos

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COM

UNID

AD D

E M

ADRI

D

Criterios generales de corrección:Por acuerdo de la Comisión Interuniversitaria, en todos los ejercicios se ponderará específicamente la capacidad expresiva y la corrección idiomática de los alumnos, y para ello se tendrá en cuenta:a) La propiedad del vocabulario.b) La corrección sintáctica.c) La corrección ortográfica (grafías y tildes).d) La puntuación apropiada.e) La adecuada presentación.El corrector especificará en el ejercicio la deducción efectuada en la nota global en relación con los cinco criterios del punto anterior, que podrá ser hasta un máximo de cuatro puntos.Uno o dos errores aislados no deben penalizarse.Reiteradas incorrecciones idiomáticas podrán suponer incluso la calificación de suspenso.

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OPCIÓN A

EJERCICIO 1 (Puntuación máxima: 3 puntos)

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?


Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real:

f(x) = x2 − x g(x) = 1 − x2


En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.

a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane.

b) Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas?


El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiantes de Secundaria de una cierta ciudad se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos (en minutos):

91 68 39 82 55 70 72 62 54 67

a) Determínese un intervalo de confianza al 90 % para el tiempo medio diario dedicado a escuchar música por un estudiante.

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que 5 minutos, con un nivel de confianza del 95 %.

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

Instrucciones: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.

Calificación: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

Tiempo: 90 minutos.

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Distrito universitario de la Com

unidad de Madrid

8


OPCIÓN B


Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2.000 y 3.000 € por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo.


Se considera la función real de variable real definida por:

f x

x x

xx( ) =

+ +2 20≠

a) Determínense las asíntotas de f.

b) Calcúlense sus máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento.

c) Calcúlese la integral definida #2

1

f x dx( ) .


Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que:

P A P B P A B( ) ( ) ( )= = ∪ =1

4

1

3

1

2

a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese.

b) Calcúlese P(A / B).

Nota: La notación A representa el suceso complementario de A.


El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo en una cierta región, se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 1 tonelada por hectárea. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1 hectárea cada una, obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas.

a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por hectárea es menor que 0,5 toneladas, con un nivel de confianza del 98 %? Razónese.

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que 0,5 toneladas con un nivel de confianza del 95 %?

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OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Sea x el número de hectáreas en barbecho y sean y y z las hectáreas dedicadas al cultivo de trigo y cebada respectivamente.

x y zy zx y z

x y zy z

+ + == += + −

+ + =− =

102

6

102→

xx y z

x y zy z

y z− − = −

+ + =− =

+ =

6

102

2 2 16→

+ + =− =

=

==→ →

x y zy z

z

xyz

102

4 12

25

==

3

Así, el agricultor tiene 2 hectáreas en barbecho y dedica 5 hectáreas al cultivo de trigo y 3 al de cebada.

EJERCICIO 2

f x g x x x x x x x

x( ) ( )= − = − − − = = −

=

→ → →2 2 21 2 1 0

12

1

F x x x x dx x x dxx

( ) [( ) ( )] ( )= − − − = − + + = −# #1 2 12

32 2 2

3

++ +x

x2

2

Área = − + + = − −

−#

1

1

2

22 1 11

2( ) ( )x x dx F F == + =

5

6

7

24

9

8

u2

EJERCICIO 3

Sean los sucesos A = «Salir un número par», B = «Salir un número mayor o igual que cinco», C = «Obtener dos caras» y D = «Obtener exactamente una cara».

a) La probabilidad de ganar es:

P G P C A P D B( ) ( ) ( )= ∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =

1

4

1

2

1

2

1

3

7

24

b) Aplicando el teorema de Bayes: P C GP C P G C

P G( / )

( ) ( / )

( )=

⋅=

⋅=

14

12

7

24

3

7

EJERCICIO 4

Tenemos que σ = 15, n = 10 y la media de la muestra es: x = 66

a) Si 1 0 9 0 12

0 05− = = =a aa

, , ,→ → . El valor correspondiente a 0,95 de probabilidad es: z a

2

1 645= ,


66 1 645

15

1066 1 645

15

1058− ⋅ + ⋅

=, ; , ( ,220 73 80; , )

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =a aa

, , ,→ → . El valor correspondiente a 0,975 de probabilidad

es: z a

2

1 96= , . Si se desea un error menor que 5 minutos: 1 9615

5 5 88 34 57, , ,⋅ < > >n

n n→ →

Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser: n = 35

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unidad de Madrid

8

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

Sean x e y las toneladas de aceite que se compran a las almazaras A y B, respectivamente.

La función que hay que minimizar es:

f x y x y( , ) . .= +2 000 3 000


2 72 7

62

≤ ≤≤ ≤+ ≥≤

xy

x yx y

Los vértices del polígono son:

A(2, 7), B(7, 7), C(7; 3,5), D(4, 2) y E(2, 4)

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo, se tiene:

f (2, 7) = 25.000 f (7, 7) = 35.000 f (7; 3,5) = 24.500 f (4, 2) = 14.000 f (2, 4) = 16.000

Luego deben comprarse 4 toneladas a la almazara A y 2 a la B con un coste de 14.000 euros.

EJERCICIO 2

a) Dom f = − {0}

lim f x

lim f xx

x

→

→

→0

0

−

+

= −

= +

( )

( )

`

` f (x) tiene una asíntota vertical en x = 0.

lim f xx →±

→`

`( ) = La función no tiene asíntota horizontal.

lim

f x

xlim

x x

x

limx x

x x

x

→ →

→

± ±

±

=+ +

=

+ +

` `

`

( ) 2

2

2

21

2

xxx lim

x x x

xx−

=+ + −

=

±→ `

2 221

→ f (x) tiene una asíntota oblicua: y = x + 1

b) f xx x x x

x

x

x

x

xx

'( )( ) ( )

=+ − + +

=−

−= =

2 1 2 2

20

2

2

2

2

2

22→ 22 2→ x = ±

La función es creciente en − −( ) ∪ +( )` `, ,2 2 y es decreciente en −( ) ∪ ( )2 0 0 2, , .

Presenta un máximo relativo en x = − 2 y un mínimo relativo en x = 2 .

c) #2

1

2 2

1

22

22

5

22 2

x x

xdx

xx x

+ += + +

= +ln ln

f'(−2) > 0 f'(−1) < 0 f'(1) < 0 f'(2) > 0

0− 2 2−2 −1 1 2

Yx = 7

A B

D

C

X

1

x + y = 6

E

1

y = 7

y = 2

x = 2

yx

=2

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EJERCICIO 3

a) P A B P A P B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ ∩ = + − =→ 1

4

1

3

1

2

1

12

Como P A P B P A B( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = = ∩1

4

1

3

1

12→ Los sucesos A y B son independientes.

b) P A BP A B

P B

P A B

P B( / )

( )

( )

( )

( )=

∩=

− ∪

−=

−

−=

1

1

112

11

3

3

44

EJERCICIO 4

σ = 1, n = 64, x = 6

a) Si 1 0 98 0 022

0 01− = = =a aa

, , ,→ →


2

2 33= ,

Así, el error de estimación es: 2 331

640 29 0 5, , ,⋅ = <

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =a aa

, , ,→ → . El valor correspondiente a 0,975 de probabilidad

es: z a

2

1 96= , . Si se desea un error menor que 0,5 toneladas: 1 961

0 5 3 92 15 37, , , ,⋅ < > >n

n n→ →

El tamaño mínimo de la muestra debe ser: n = 16

Criterios específicos de corrección:ATENCIÓN. La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos.

EJERCICIO 1. Planteamiento correcto del sistema de ecuaciones: 1,5 puntos. Resolución correcta de dicho sistema: 1,5 puntos.

EJERCICIO 2. Localización de la región: 1 punto. Planteamiento del área como una integral definida: 1 punto. Cálculo correcto del área: 1 punto.

EJERCICIO 3. Cada apartado correctamente resuelto: 1 punto.


EJERCICIO 1. Deducción correcta de la función objetivo: 0,5 puntos. Planteamiento correcto del problema de programación lineal: 0,5 puntos. Representación correcta de la región factible: 1 punto. Localización del mínimo: 0,5 puntos. Obtención del valor mínimo: 0,5 puntos.




OPCIÓN A OPCIÓN B

NOTA. La resolución de ejercicios por cualquier procedimiento correcto, diferente al propuesto por los coordinadores, ha de valorarse con los criterios convenientemente adaptados.

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unidad de Madrid

8



OPCIÓN A


Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

x ay zy az

x y z

+ + =+ =

+ + =

12 2

1

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.

b) Resolver el sistema para a = 3 y a = 1.


Dada la función real de variable real definida por: f xx x

x x( ) =

−− +

2

2 3 2a) Especificar su dominio de definición.

b) Estudiar su continuidad.

c) Calcular sus asíntotas, si las hubiera.


En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,05 para la marca C. Un comprador elige un yogur al azar.

a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado.

b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?


Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica 328 €. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1.248 €. Calcular:

a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel de confianza del 99 %.

b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %, un error en la estimación de la recaudación diaria media menor de 127 €.

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.

Tiempo: Una hora y treinta minutos.

Calificación: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

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OPCIÓN B


Una aerolínea quiere optimizar el número de filas de clase preferente y de clase turista en un avión. La longitud útil del avión para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitándose 2 m para instalar una fila de clase preferente y 1,5 m para las de clase turista. La aerolínea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mínimo el triple que las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 € y de 206 € para la clase preferente.

¿Cuántas filas de clase preferente y cuántas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio máximo? Indicar dicho beneficio.


La gráfica de la función f (x) = ax3 + bx2 + c satisface las siguientes propiedades:

• Pasa por el punto (0, 0).

• Tiene un máximo local en el punto (1, 2).

Se pide:

a) Obtener el valor de los coeficientes a, b y c.

b) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función g(x) = −x3 + 3x, el eje X y la recta x = 1.


Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:

P A P B P A B( ) ( ) ( )= = ∩ =

3

4

1

2

1

20

Calcular:

P A B P A B P A B P B A( ) ( ) ( / ) ( / )∪ ∩


El tiempo invertido en cenar por cada cliente de una cadena de restaurantes es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con desviación típica de 32 minutos. Se quiere estimar la media de dicho tiempo con un error no superior a 10 minutos, y con un nivel de confianza del 95 %.

Determinar el tamaño mínimo muestral necesario para poder llevar a cabo dicha estimación.

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unidad de Madrid

8

OPCIÓN A EJERCICIO 1

a) Llamamos M a la matriz de los coeficientes y M* a la matriz ampliada: • Si M a a a a= − = = =2 0 0 1→ o

• Si a ≠ 0 y a ≠ 1 → Rango (M) = Rango (M*) = 3 → El sistema es compatible determinado.

• Si a = 0, Rango (M) = 2, Rango (M*) = 3 (M* tiene un menor de orden 3 no nulo) → El sistema es incompatible.

• Si a = 1, Rango (M) = Rango (M*) = 2 → y el sistema es compatible indeterminado.

b) • Si a = 3, resolvemos el sistema por el método de Gauss:

•

1 3 1 10 2 3 21 1 1 1 3 3 1

= −F F F→

11 3 1 10 2 3 20 2 0 0 2 2−

= +→F F FF3

1 3 1 10 0 3 20 2 0 0−

• El sistema es:

x y zzy

y z x+ + =

=− =

= = =3 1

3 22 0

02

3

1

3→ , y

• Si a = 1, el sistema es:

x y zy z

+ + =+ =

12 2

• λ = z → y x=−

= −−

− =−

= − ∀ ∈2

21

2

2

2

2 2

λ λλ

λ λ λλy ,

EJERCICIO 2

a) Los valores que anulan el denominador son 2 y 1. Por tanto, el dominio es: Dom f = − {1, 2}

b) f xx x

x x

x x

x x( )

( )

( )( )=

−

− +=

−

− −

2

2 3 2

1

1 2

• En x = 1, la función f (x) no está definida en 1; por tanto, no existe f (1), y como

• limx x

x xlim

xxx x→ →1 1

11 2 2

1( )

( )( )−

− −=

−= − , se tiene que en x = 1 hay una discontinuidad evitable.

• En x = 2: limx x

x xx →2

11 2

20

( )( )( )

−− −

=

• Calculamos los límites laterales: lim

x x

x xlim

x x

xx x→ →2 2

1

1 2

1

1+ −

−

− −= +

−

−

( )

( )( )

( )

(`

))( )x −= −

2`

• En el punto x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

c) Asíntotas horizontales: limx x

x xlim

x xx x

yx x→+ →

→` `

2

2

2

23 21

3 21

−− +

=−

− += =

−11

Asíntotas verticales: limx x

x xlim

x xx xx x→ →

→1

2

2 1

2

23 21

3 21

+ −

−− +

= −−

− += −

lim

x xx x

limx x

x xx x→ →→

2

2

2 2

2

23 2 3 2+ −

−− +

= +−

− += −` ` xx = 2

Asíntotas oblicuas: m limf x

xlim

x x

x x xx x= =

−

− +=

± ±→ →→

` `

( ) 2

3 23 20 No tiene asíntotas oblicuas.


No tiene asíntota vertical en x = 1

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EJERCICIO 3

a) P(A) = 0,5; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2; P(Cad / A) = 0,01; P(Cad / B) = 0,02 y P(Cad / C) = 0,03

Construimos un diagrama de árbol:

Por el teorema de la probabilidad total:

P(Cad) = P(A) · P(Cad / A) + P(B) · P(Cad / B) · P(C) · P(Cad / C) = 0,5 · 0,01 + 0,3 · 0,02 + 0,2 · 0,03 = 0,017

b) Por el teorema de Bayes:

P B

P B P BP

( / )( / ) ( )

( ), ,

,Cad

CadCad

=⋅

=⋅

=0 02 0 3

0 01700 352,

EJERCICIO 4

a) n = 100; x = 1.248; N(m, 328), y a una confianza del 99 % le corresponde un valor crítico z a

2

2 58= , .

El intervalo de confianza para la media será:

x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

a a

σ σ

2 2

; =

= − ⋅ + ⋅1 248 2 58

328

1001 248 2 58

328

100. , ; . ,

= ( . , ; . , )1 163 37 1 332 62

b) El nivel de confianza es: 1 − a = 0,95 y el valor crítico obtenido en la tabla de la distribución normal es: z a

2

1 96= ,


E zn n

= ⋅ = ⋅ =aσ

2

1 96328

127,

n =⋅

=

1 96 328

12725 62

2,

,

Por tanto, el tamaño de la muestra mínimo debe ser, al menos, de 26 comercios.

No caducado

0,5

0,3

0,2

A0,01

0,03

0,98

0,02

0,94 No caducado

Caducado

No caducado

Caducado

CaducadoC

B

0,97

0,005

0,995

0,005 0,99

z a2

0,025

0,975

0,025 0,95

z a2

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unidad de Madrid

8

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

Sean x = «Número de filas de clase preferente» e y = «Número de filas de clase turista».

Planteamos el sistema de inecuaciones, dibujamos la región factible y calculamos sus vértices:

2 1 5 10433

104 21 5

208x y

xy x

yx

+ ≤≥≥

=−

=,,→

−−

==

43

33

x

xy x


A 3

1963

,

, B(16, 48) y C(3, 9).

La función beneficio es:

f (x, y) = 206x + 152y

Estudiamos cómo se comportan los vértices de la región factible:

f f3

196

310 548 67 16 48 10 592, . , ( , ) .

= = ff ( , ) .3 9 1 986=

Para obtener el beneficio máximo se deben instalar 16 filas de clase preferente y 48 filas de clase turista. El beneficio será de 10.592 €.

EJERCICIO 2

a) Por pasar por (0, 0) → f (0) = c = 0 → f (x) = ax3 + bx2

Como tiene un máximo en (1, 2) → f (1) = 2 → a + b = 2

f'(1) = 0 → f'(1) = 3a · 12 + 2b · 1 = 0 → 0 = 3a + 2b

a ba b

a ba b

b+ =+ =

+ =+ =

23 2 0

3 3 63 2 0

→ → == = −6 4y a

Por tanto, la función es f (x) = −4x3 + 6x2 y los coeficientes son: a = −4, b = 6 y c = 0.

b) La función g(x) = −x3 + 3x corta a los ejes cuando:

− + = = = − =x x x x x3 3 0 0 3 3→ , y

Calculamos los máximos y mínimos:

f x x x x'( ) = − + = = = −3 3 0 1 12 → y

f x x f f'' '' ''( ) ( ) ( )= − < − >6 1 0 1 0

Por tanto, tiene un punto máximo en (1, 2) y un punto mínimo en (−1, −2).

Nos ayudamos con la gráfica para calcular el área pedida:

Área = − + + − + =

= − +

−# #

0

3

31

0

3

4 2

3 3

4

3

( ) ( )x x dx x x dx

x x

22 4

3

2

9

4

5

4

14

43

0 4 2

0

1

+ − +

= + =

−

x x==

7

22u

Y

X

1g(x)

x = 1

1 3− 3

Y

A

B

C

X10

9

y = 3x

yx

=−208 43

x = 3

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EJERCICIO 3

P A B P A B P A B( ) ( ) ( )∩ = ∩ = − ∪1

P A B P A B( ) ( ) ,∪ = − ∩ = − = =1 11

201920

0 95

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,∩ = + − ∪ = + − = =3

4

1

2

19

20

6

200 3

P A BP A B

P B

P B P A B

P B( / )

( )

( )

( ) ( )

( )

, ,

,=

∩=

− ∩=

−0 5 0 3

0 550 4= ,

P B AP A B

P A

P A P A B

P A( / )

( )

( )

( ) ( )

( )

, ,=

∩=

− ∩=

−0 75 0 3

0,,,

750 6=

Las igualdades utilizadas pueden deducirse del diagrama de Venn.

EJERCICIO 4

El nivel de confianza es: 1 − a = 0,95 y el valor crítico obtenido

en la tabla de la distribución normal es: z a

2

1 96= ,

El error máximo es: E zn n

= ⋅ = ⋅ =aσ

2

1 9632

10,

Calculamos el valor de n: n =⋅

=

1 96 32

1039 33

2,

,

El tamaño mínimo muestral para llevar a cabo dicha estimación ha de ser de 40 minutos.


OPCIÓN A OPCIÓN BEJERCICIO 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)Discusión correcta del sistema: 1 punto.Resolución correcta para a = 3: 1 punto.Resolución correcta para a = 1: 1 punto.

EJERCICIO 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)Por cada apartado correctamente resuelto: 1 punto.



EJERCICIO 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Deducción correcta de la función objetivo: 0,5 puntos. Expresión correcta de las inecuaciones: 0,5 puntos.Determinación correcta de la región factible: 1 punto.Localización del punto óptimo: 0,5 puntos.Valor del óptimo: 0,5 puntos.

EJERCICIO 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)Apartado a): 2 puntos. Apartado b): 1 punto.

EJERCICIO 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)Por cada probabilidad correctamente resuelta: 0,5 puntos.

EJERCICIO 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)Planteamiento correcto: 0,5 puntos.Obtención correcta del tamaño muestral: 1,5 puntos.

AB

E

0,025

0,975

0,025 0,95

z a2

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COM

UNID

AD F

ORA

L D

E NA

VARR

A

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EJERCICIO 1

OPCIÓN A

i) Calcular A · B y B · A, si es posible, siendo: A B=−

−

= −

2 13 12 2

2 1 23 0 1

(6 puntos)

ii) ¿Se pueden encontrar matrices C y D para las que existan los productos A · C · B y B · D · A? (4 puntos)

OPCIÓN B

Una empresa fabrica dos tipos de piezas: A y B. Cada pieza debe pasar por tres departamentos con limitaciones de tiempo. Las horas necesarias para cada pieza y sus beneficios son:

Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3 Beneficios

Pieza A 2 5 2 11 €

Pieza B 6 2 2 7 €

Horas disponibles 66 50 26

Calcular la producción que maximiza el beneficio.

i) Plantea el problema. (4 puntos)

ii) Resolución gráfica. (4 puntos)

iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el beneficio de B se reduce en 4 €. (2 puntos)

EJERCICIO 2

OPCIÓN A

Dibujar el recinto encerrado por la función y = x3 − 6x2 + 8x y el eje X. (3 puntos)

Calcular el área de dicho recinto. (7 puntos)

OPCIÓN B

Dada la función f xx

x x( ) =

−− −

2

2

4

2:

i) Hallar los puntos de discontinuidad. (4 puntos)

ii) Si existe algún punto de discontinuidad, hallar los límites laterales y el tipo de discontinuidad. (4 puntos)

iii) Determinar si se puede completar el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta real. (2 puntos)

INSTRUCCIONES:

El alumno elegirá una opción de cada uno de estos tres ejercicios.

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Distrito universitario

de la Comunidad Foral de N

avarra9


EJERCICIO 3

OPCIÓN A

En una mesa del comedor universitario están sentados 12 estudiantes, de los cuales 8 son de economía y 4 de ingeniería. Entre los 8 de economía, hay 4 varones y 3 entre los de ingeniería.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (3 puntos)

Suponiendo que el estudiante elegido ha resultado ser varón, ¿de cuál de las dos titulaciones es más probable que sea? (7 puntos)

OPCIÓN B

La duración de un modelo de bombilla de bajo consumo, según el fabricante, se distribuye como una normal de media 5.000 horas y desviación típica 310 horas. Con el fin de contrastar esta hipótesis, se toma una muestra al azar de 40 de esas bombillas y la duración media para esta muestra es de 4.500 horas. ¿Se puede creer al fabricante a un nivel de confianza del 95 %? (10 puntos)

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EJERCICIO 1

OPCIÓN A

i) Como las matrices A y B tienen dimensiones 3 × 2 y 2 × 3, respectivamente, la matriz producto A · B debe tener dimensión 3 × 3 y la matriz producto B · A debe tener dimensión 2 × 2.

A B⋅ =−

−

⋅ −

2 13 12 2

2 1 23 0 1

=

−−

−

1 2 59 3 52 2 6

B A⋅ = −

⋅

−

−

2 1 23 0 1

2 13 12 2

= −

−

11 54 1

ii) Como la matriz A solo puede multiplicarse por matrices con dos filas, y como para multiplicar por la matriz B las matrices deben tener dos columnas, las matrices C para las que existe el producto A · C · B son matrices cuadradas de orden 2.

Del mismo modo, como la matriz B solo puede multiplicarse por matrices con tres filas, y para poder multiplicar por la matriz A las matrices deben tener tres columnas, las matrices D para las que existe el producto B · D · A son matrices cuadradas de orden 3.

OPCIÓN B

i) Sean x e y las piezas de cada tipo que deben fabricarse, respectivamente.

La función que hay que maximizar es: f x y x y( , ) = +11 7


2 6 665 2 502 2 26

00

x yx yx y

xy

+ ≤+ ≤+ ≤

≥≥

ii)

Los vértices de la región factible son: A(0, 0), B(0, 11), C(3, 10), D(8, 5) y E(10, 0).

Al sustituirlos en la función objetivo tenemos que:

f (0, 0) = 0f (0, 11) = 77f (3, 10) = 11 · 3 + 7 · 10 = 103f (8, 5) = 11 · 8 + 7 · 5 = 123f (10, 0) = 110

Luego han de fabricarse 8 piezas de tipo A y 5 piezas de tipo B. iii) Si el beneficio de B se reduce, la función que hay que maximizar es: f (x, y) = 11x + 3y

Y

A

B C

X

2

5x + 2y = 50

D

E2

2x + 6y = 66

2x + 2y = 26


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avarra9

La región factible es la misma y, al evaluar los vértices de esta en la nueva función objetivo, tenemos que:

f (0, 0) = 0f (0, 11) = 33f (3, 10) = 11 · 3 + 3 · 10 = 63f (8, 5) = 11 · 8 + 3 · 5 = 103f (10, 0) = 110

Entonces la solución es fabricar solo 10 piezas de tipo A.

EJERCICIO 2

OPCIÓN A

y x x xy

x x xx

= − +=

− + ==3 2

3 26 80

6 8 00 0 0

→ →→ ( , )

xxx

==

2 2 04 4 0

→→

( , )( , )

y x xx

x

' = − + ==

−

=+

3 12 8 0

6 123

6 123

2 →

La función es creciente en −−

∪

++

` `, ,

6 12

3

6 12

3 y decreciente en

6 12

3

6 12

3

− +

, .

Su representación gráfica es:

El área del recinto encerrado por la función y el eje de abscisas es:

Área = − + + − + =# #2

0

3 24

2

3 2 46 8 6 81

4( ) ( )x x x dx x x x dx x −− +

+2 43 2

0

2

x x

+ − +

= + =

1

42 4 4 4 84 3 2

2

4

2x x x u

Y

X

1

1

0 1 4

f' (0) > 0 f' (1) < 0 f' (4) > 0

6 123

− 6 123

+

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OPCIÓN B

i) x xxx

2 2 02

1− − =

== −

→

Dom f = R − {−1, 2} Los puntos de discontinuidad son los puntos en los que la función no está definida, es decir,

en x = −1 y x = 2.

ii) limx

x xx →−

−

− −=

1

2

2

4

2`

limx

x x

limx

x x

x

x

→

→

−

−

−

+

−

− −= −

−

− −= +

1

2

2

1

2

2

4

24

2

`

`

→

En x = −1 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

lim

xx xx →

→2

2

2

42

00

−− −

lim

xx x

limx xx xx x→ →2

2

2 2

42

2 22 1

−− −

=− +− +

( )( )( )( )

==++

=limxxx →2

21

43

Como existe lim f xx →2

( ), pero no existe f (2), en x = 2 hay una discontinuidad evitable.

iii) Al ser x = −1 un punto de discontinuidad inevitable, no puede completarse el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta real.

EJERCICIO 3

OPCIÓN A

Sean los sucesos:

E = «Estudiar economía» I = «Estudiar ingeniería»H = «Ser hombre» M = «Ser mujer»

Aplicando el teorema de la probabilidad total:

P M P E P M E P P M( ) ( ) · ( / ) ( ) · ( / )= + = ⋅ + ⋅ =I I8

1248

412

14

5512

Y aplicando el teorema de Bayes:

P E HP E P H E

P H( / )

( ) · ( / )

( )= =

⋅=

812

48

7

12

4

7

P HP P H

P H( / )

( ) · ( / )

( )I

I I= =

⋅=

412

34

7

12

3

7

Por tanto, si el estudiante es varón es más probable que estudie economía.

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avarra9

OPCIÓN B

N(5.000, 310)n = 100, x = 4.500

El contraste es bilateral:

HH

0

1

5 0005 000

::

µµ

=≠

.

.

Para un nivel de confianza del 95 %:

z a

2

1 96= ,

Se admite la hipótesis nula si x zn

− <µσ

a0

2

· .

Como 4 500 5 000 500 1 96310

4096 07. . , · ,− = > = ; se rechaza la hipótesis nula, es decir,

no se puede creer al fabricante a ese nivel de confianza.


EJERCICIO 1OPCIÓN Ai) 6 puntos.ii) 4 puntos.

OPCIÓN Bi) 4 puntos.ii) 4 puntos.iii) 2 puntos.

EJERCICIO 2OPCIÓN A3 puntos (dibujar el recinto).7 puntos (calcular el área).

OPCIÓN Bi) 4 puntos.ii) 4 puntos.iii) 2 puntos.

EJERCICIO 3OPCIÓN A 3 puntos (calcular la probabilidad de que sea mujer). 7 puntos (determinar la titulación más probable).

OPCIÓN B10 puntos.

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INSTRUCCIONES:

El alumno elegirá una opción de cada uno de estos tres ejercicios.

EJERCICIO 1

OPCIÓN A

Dadas las ecuaciones:

3 2 53

x y zx y z

− − =+ + =

añadir una ecuación lineal de modo que el sistema resultante sea:

i) Compatible determinado y resolverlo. (4 puntos)

ii) Compatible indeterminado y dar su solución. (4 puntos)

iii) Incompatible y justificarlo. (2 puntos)

OPCIÓN B

Un horticultor desea mezclar fertilizantes que proporcionen un mínimo de 15 unidades de potasa, 20 unidades de nitratos y 24 unidades de fosfatos. Cada unidad de la marca 1 proporciona 3 unidades de potasa, 1 de nitratos y 3 de fosfatos; su costo es de 120 €. Cada unidad de la marca 2 proporciona 1 unidad de potasa, 5 de nitratos y 2 de fosfatos; su costo es de 60 €. ¿Cuál es la combinación de fertilizantes de menor costo que satisface las especificaciones deseadas?

i) Plantea el problema. (4 puntos)

ii) Resolución gráfica. (4 puntos)

iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el precio de la marca 2 aumenta en 20 €. (2 puntos)

EJERCICIO 2

OPCIÓN A

Dada la función: f xx

xx

x x

( ) = +≤

− >

2

11

2 1 13

i) ¿En qué punto o puntos es discontinua? ¿De qué tipo? (4 puntos)

ii) ¿Es derivable en x = 1? ¿Y en x = −1? ¿Por qué? (6 puntos)

OPCIÓN B

Dada la función: f x x x xx x

( ) = − + ≤ ≤− + < ≤

2 6 0 510 5 10

sisi

i) Dibujar su gráfica. (4 puntos)

ii) Calcular la superficie que encierra con el eje X. (6 puntos)

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avarra9


EJERCICIO 3

OPCIÓN A

Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: hipotecarios, para industria y personales. Se sabe que el 50 % de los créditos que concede son hipotecarios, el 20 % para industria y el 30 % restantes son personales. Han resultado impagados el 15 % de los créditos hipotecarios, el 25 % de los créditos para industria y el 30 % de los créditos personales.

i) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague. (4 puntos)

ii) Un determinado crédito ha resultado impagado, calcular la probabilidad de que sea un crédito hipotecario. (6 puntos)

OPCIÓN B

Se cree que la distancia al instituto de las casas de los alumnos se distribuye normalmente con media 2,8 km y desviación típica 0,6 km. Se ha producido un aumento considerable de matrícula en los últimos años y se desea saber si ha variado la distancia media de las casas de los alumnos al centro; para ello se ha elegido una muestra de 35 alumnos y se ha determinado que la distancia media muestral es 3,1 km. ¿Es creíble la afirmación inicial al nivel 5 %? (10 puntos)

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EJERCICIO 1

OPCIÓN A

i) Para que el sistema sea compatible determinado, la tercera ecuación se elige de modo que no sea combinación lineal de las otras dos.

El sistema puede ser:

3 2 531

x y zx y z

x y

+ − =+ + =

+ = −

Lo resolvemos por el método de Gauss:

3 2 1 51 1 1 31 1 0 1 2 23

−

−

=→

F F −−= −

−

− −

FF F F

1

3 3 2

3 2 1 50 1 4 40 0 1 4

Obtenemos el siguiente sistema:

3 2 54 4

44 12 1

x y zy z

zz y x

+ − =+ =

− = −

= = − =→ , y 11

ii) Para que el sistema sea compatible indeterminado, elegimos una tercera ecuación que sea combinación lineal de las ecuaciones dadas.

El sistema puede ser:

3 2 53

2 2 2

3 2x y zx y zx y z

x y z+ − =+ + =+ − =

+ − =→ 553

3 2 53x y z

x y zx y z+ + =

+ = ++ = −

→

3 2 53 3 9 3

4 4x y zx y z

y z+ = ++ = −

= −→

Llamamos z = λ, y = 4 − 4λ y x = 3 − λ − (4 − 4λ) = −1 + 3λ, ∀ λ ∈ R.

iii) Para que el sistema sea incompatible, por el teorema de Rouché, el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser distinto del rango de la matriz ampliada.

Por tanto, la tercera ecuación se elige de modo que sea la suma de las ecuaciones dadas en el primer miembro, pero no en el segundo.

3 2 53

4 3 1

3 2 1x y zx y z

x y

+ − =+ + =

+ =

−→ Rango 11 1 1

4 3 02

3 2 1 51 1 1 3

=

−y Rango

44 3 0 13

=

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avarra9

OPCIÓN B

i) Formamos una tabla para simplificar el enunciado:

Marca 1 Marca 2 Mínimo de unidades

Potasa 3 1 15

Nitratos 1 5 20

Fosfatos 3 2 24

Coste 120 60

Sean x = «Fertilizantes de la marca 1» e y = «Fertilizantes de la marca 2». El sistema es:

3 155 20

3 2 24

x yx yx y

+ ≥+ ≥+ ≥

La función que hay que minimizar es: f (x, y) = 120x + 60y

ii) Dibujamos la función factible y estudiamos el comportamiento de la función objetivo f (x, y) = 120x + 60y.


A B C55

14

45

142 9

80

13

36

13, , ( , ) ,

y

Evaluando los vértices de la región factible en la función objetivo tenemos que:

f

f

f

5514

4514

664 29

2 9 780

8013

, ,

( , )

=

=

,, ,3613

904 62

=

Luego la combinación de fertilizantes de menor costo es 3,93 de la marca 1 y 3,21 de la marca 2.

iii) La región factible es la misma que en el caso anterior. En este caso, la función objetivo es: f (x, y) = 120x + 80y Sustituyendo los vértices de la región factible en la función objetivo tenemos que:

f

f

f

55

14

45

14728 57

2 9 960

80

13

, ,

( , )

=

=

,,36

13960

=

Luego la combinación de fertilizantes de menor costo es 3,93 de la marca 1 y 3,21 de la marca 2, la misma que en el apartado anterior.

Y

A

B

C

X

2

y = 15 − 3x

2

yx

=−205

yx

=−24 32

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EJERCICIO 2

OPCIÓN A

i) Los puntos posibles de discontinuidad son x = 1 y x = −1.

Estudiamos el comportamiento de la función en x = 1:

lim x limx

xf

x x→ →1

3

12 1 1

2

11 1 1

+ −− =

+= =( ) ( )

No es discontinua en x = 1.

Estudiamos el comportamiento de la función en x = −1:

limx

xlim

xxx x→ →− −+ −+

= −+

= +1 1

21

21

` `

Es discontinua inevitable de salto infinito en x = −1.

ii) Estudiamos la derivabilidad en x = 1:

Las derivadas laterales son: f x x f xx

' '( ) ( )( )

+ −= =+

62

12

2y

f f' '( ) ( )( )

1 6 1 6 12

1 114

22

+ −= ⋅ = =+

=

Como f'(1+) = f'(1−), la función no es derivable en x = 1.

En x = −1 no es derivable puesto que, como hemos visto en el apartado i), la función no es continua.

OPCIÓN B

i)

ii) Área = − + + − + =−

+# #

5

0

210

5

3 2

6 103

6

2( ) ( )x x dx x dx

x x

+

−+

=

0

5 2

5

10

210

xx

=−

+ +−

+ − − +

=

125

3

150

2

100

2100

25

250

2755

645 83= , u2

Y

X

1

1

f (x)

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avarra9

EJERCICIO 3

OPCIÓN A

i) Para resolver el problema construimos el siguiente diagrama de árbol, siendo los sucesos:

I = «Crédito impagado»

P = «Crédito pagado»

Así, la probabilidad de que se pague el crédito será:

P P( ) , , , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ =0 5 0 85 0 2 0 75 0 3 0 7 0 785

ii) La probabilidad de ser un crédito hipotecario sabiendo que ha sido impagado es:

PP

P( / )

( )( )

,hipotecario

hipotecarioI

I

I=

∩=

⋅0 5 0,,,

,,

,15

1 0 7850 0750 215

0 348−

= =

OPCIÓN B

Planteamos un contraste bilateral para la media:

HH

0 0

1

2 82 8

::

µ µµ

= =≠

,,

Como el nivel de significación es a = 0,05; se tiene, buscando en la tabla de la distribución normal, que z a

2

1 96= , .

Sabemos que x = 3,1; n = 35 y σ = 0,6.

La zona de aceptación es:

µσ

µσ

a a0

2

0

2

2 8 1 960

− +

= −z

nz

n· , · , , ·

,66

352 8 1 96

0 6

35; , , ·

,+

=

= − + =( , , ; , , ) ( , ; , )2 8 0 198 2 8 0 198 2 602 2 998

Como x = 3,1 ∉ (2,602; 2,998), se rechaza la hipótesis nula; por tanto, al nivel del 5 % se pone en duda que la distancia media de los alumnos al centro sea de 2,8 km.

0,5

0,2

0,3

I

P

0,15

0,3

0,75

0,25

0,85

Industria

Hipotecarios

Personales

I

P

I

P0,7

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EJERCICIO 1OPCIÓN A i) 4 puntos. ii) 4 puntos.iii) 2 puntos.

OPCIÓN B i) 4 puntos. ii) 4 puntos.iii) 2 puntos.

EJERCICIO 2OPCIÓN A i) 4 puntos.ii) 6 puntos.

OPCIÓN B i) 4 puntos.ii) 6 puntos.

EJERCICIO 3OPCIÓN A i) 4 puntos.ii) 6 puntos.

OPCIÓN B10 puntos.

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COM

UNIT

AT V

ALEN

CIAN

A

Criterios generales de corrección:• Todos los problemas de la opción elegida por los estudiantes

de entre las dos propuestas en la prueba contribuirán por igual a la calificación del ejercicio. Cada problema valdrá un tercio de la nota total.

• Los problemas obtendrán la máxima puntuación cuando su planteamiento, desarrollo y solución sean correctos.

• Se valorará de manera especialmente positiva la adecuada estructuración de las contestaciones atendiendo a los siguientes factores:

– La claridad conceptual en la exposición. – La justificación de la estrategia diseñada para resolver

el problema. – La construcción o elección razonada de los elementos

(funciones, modelos probabilísticos, sistemas de referencia, gráficos, etc.) necesarios para la formalización matemática de la situación a resolver.

– La corrección lógica en los razonamientos o cálculos que conduzcan a la obtención de la o las soluciones o a la convicción de su inexistencia.

– La interpretación de las soluciones obtenidas, si procede, y, en su caso, la puesta de manifiesto de la inverosimilitud o incorrección de las mismas.

• En tanto que las matemáticas constituyen también un lenguaje que contiene recursos apropiados para convencer y comunicar, se valorará positivamente la destreza demostrada en cuanto a:

– La claridad y precisión, cualidades ambas compatibles con la flexibilidad para explorar distintas estrategias o para reconsiderar los supuestos de partida si es necesario o conveniente.

– La coherencia y pertinencia de los argumentos esgrimidos. – La originalidad de los enfoques adoptados. – La concisión, pulcritud y claridad comunicativa

de los elementos auxiliares del desarrollo (diagramas, gráficos, tablas, etc.).

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EJERCICIO A

Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.

PROBLEMA 1

Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 €, 4.000 € por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50 % más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.

PROBLEMA 2

a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:

3

5

2

2

4

5

1

16

5

x

x

x

x

y

y

y

y

+−+−

≥≥≤≤

−

b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.

c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f (x, y) = 3x − y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.

PROBLEMA 3

a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 en el intervalo[1, 4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos.

b) Estudia la continuidad en el intervalo [0, 4] de la siguiente función:

f x

x x

x x x x( ) =

+ ≤ <− + + ≤ ≤

2 3 0 1

6 9 1 1 43 2

PROBLEMA 4

Dados dos sucesos A y B, sabemos que P(A ∩ B) = 0,1; P(A ∪ B) = 0,7 y P(A / B) = 0,2.

a) Calcula P(A) y P(B).

b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

c) Calcula P(A ∪ B), donde A representa el suceso complementario o contrario de A.

Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que SOLO se harán TRES de los cuatro problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.

Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).

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unitat Valenciana10


EJERCICIO B


PROBLEMA 1

Determina la matriz X que verifica la ecuación AX + I = ABt, siendo I la matriz identidad,

A B=−

=−

1 1

1 1

2 1

1 1, y Bt la traspuesta de la matriz B.

PROBLEMA 2


x( ) ,=

−

2

24 determina:

a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.

b) Ecuación de sus asíntotas.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Máximos y mínimos relativos.

e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.

PROBLEMA 3

El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función

f x x x( ) .= − +2 20

a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario?

b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? ¿Cuánto vale este? Justifica que es mínimo.

PROBLEMA 4

El 60 % de los alumnos de cierta asignatura aprueba en junio. El 80 % de los presentados en septiembre también aprueba la asignatura. Sabiendo que los alumnos que se presentaron en septiembre son todos los que no aprobaron en junio, determina:

a) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar haya aprobado la asignatura.

b) Si sabemos que un estudiante ha aprobado la asignatura, la probabilidad de que haya sido en junio.

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EJERCICIO A

PROBLEMA 1

Sean x, y y z el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización.

x y zx z

z x y

+ + ==

= +

651 5

6 000 2 000 4 000,

. . .

+

+

+−−

===

+→ →

xxx

y

y

zzz

x yy2

233

6500

2yy

zzz

++−

=== −

54

65130

65

→ →x y

yzzz

xy

+ ++

===

==2 5

13

65130260

3015

zz =

20

Se han vendido 30 plazas de garaje en la urbanización A, 15 plazas en B y 20 plazas en C.

PROBLEMA 2

a)

b) Los vértices de la región factible son: A(1, 1), B 23

2,

, C(4, −1) y D(3, −2).

c) f (1, 1) = 2 f 23

2

9

2,

= f (4, −1) = 13 f (3, −2) = 11

El valor mínimo de la función se alcanza en el punto A(1, 1), en el que la función vale 2.

PROBLEMA 3

a) f x x x'( ) = − +3 12 92

3 12 9 0 1

32x x x

x− + = =

=

→

La función f (x) es creciente en (−`, 1) ∪ (3, +`) y es decreciente en (1, 3); por tanto, en x = 1 hay un máximo absoluto y en x = 3 hay un mínimo absoluto.

b) Las funciones que forman f (x) son continuas, por lo que estudiamos la continuidad en el punto en el que f (x) cambia su expresión algebraica: x = 1

f ( )1 1 6 9 1 5= − + + =

lim x

lim x x xx

x

→

→

1

1

3 2

2 3 5

6 9 1 5

−

+

+ =

− + + =

( )

( )

=→→

Existe lim f xx 1

5( ) .

lim f x fx →

→1

1( ) ( )= La función es continua en x = 1 y, por tanto, en todo el intervalo [0, 4].

f ' (0) > 0 f ' (2) < 0 f ' (4) > 0

0 1 2 3 4

Y

1

1

x + y = 5

X

5x + 4y + 16

3x + 2y = 5

x − 2y = −1

B

A

C

D

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unitat Valenciana10

PROBLEMA 4

a) P A BP A B

P BP B

P A B

P A B( / )

( )

( )( )

( )

( / )

,

,=

∩=

∩= =→ 0 1

0 2

11

20 5= ,

P A B P A P B P A B P A P A B P B P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∪ = + − ∩ = ∪ − +→ AA B∩ =)

= 0,7 − 0,5 + 0,1 = 0,3

b) P A P B P A B( ) ( ) , , , ( )⋅ = ⋅ = ≠ ∩0 3 0 5 0 15 → Los sucesos A y B no son independientes.

c) P A B P A P B P A B P A P B P B P A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) (∪ = + − ∩ = + − − ∩∩ =B))

= + ∩ = − + =P A P A B( ) ( ) ( , ) , ,1 0 3 0 1 0 8

EJERCICIO B

PROBLEMA 1

AX AB AX AB X A AB AAt t t

t

+ = = − = − =− −I I I→ →

1 1( )( )Adj

A=

−

12

12

12

12

X =−

−

12

12

12

12

1 11 1

·

−

−

· 2 1

1 11 00 1

=

−

12

12

12

12

·· 2 01 1

32

12

12

12

−

=

−

PROBLEMA 2

a) 4 − x2 = 0 → x = ±2 → Dom f = R − {−2, 2}

Solo corta en el punto (0, 0).

b) limx

x

limx

x

x

x

→

→

−

−

−

+

−= −

−= +

2

2

2

2

2

2

4

4

`

`

= −→ x 2 es una asíntota vertical.

limx

x

limx

x

x

x

→

→

2

2

2

2

2

2

4

4

−

+

−= +

−= −

`

`

=→ x 2 es una asíntota vertical.

lim

x

xlim

x

xy

x x→ →→

+ −−=

−= − = −

` `

2

2 2 24

8

41 1

( )es unna asíntota horizontal.

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntotas oblicuas.

c) f xx x x x

xxx

x

'( )( ) ( )

( ) ( )

(

=− − −

−=

−2 4 2

48

48

4

2 2

2 2 2 2

−−= =

xx

2 20 0

)→

La función f (x) es creciente en (0, 2) ∪ (2, +`) y es decreciente en (−`, −2) ∪ (−2, 0).

d) El punto (0, 0) es un mínimo relativo. No hay máximos relativos.

f ' (−3) < 0 f ' (1) > 0 f ' (3) > 0

0 1−3

f ' (−1) < 0

−2 −1 2 3

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e)

PROBLEMA 3

a) Para cada unidad, la función que determina el coste es:

g x

x x

x( ) =

− +2 20

b) g x xx x x

x

x

x'( )

( )=

−

⋅ − − +

=−

11

2 2020

2 2

xx

xx x

−= = =

200 20 400

2→ →

La función g(x) solo está definida en los valores positivos, y como g’(395) < 0 y g’(405) > 0, se verifica que el mínimo se encuentra en el punto x = 400.

Por tanto, el coste unitario mínimo es: g(400) = 0,95

PROBLEMA 4

Sean los sucesos:

A = «Aprobar la asignatura», J = «Aprobar en junio» y S = «Aprobar en septiembre»

a) P A P J P S J( ) ( ) ( ) , , ,= + ∩ = + =0 6 0 32 0 92

b) P J AP J A

P A( / )

( )

( )

,

,,=

∩= =

0 6

0 920 65

Y

1

1

X

x = −2 x = 2

y = −1f (x)

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unitat Valenciana10



EJERCICIO A


PROBLEMA 1

Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?

PROBLEMA 2

a) Halla los vértices de la región determinada por las siguientes inecuaciones:

3 12 2 3

22 2 3 1x y x y y

xx y+ ≤ − ≥ − ≥ − + ≥

b) Calcula los puntos de la región donde la función f (x, y) = 3x − 2y alcanza los valores máximo y mínimo y determina estos.

PROBLEMA 3

Dada la función:

f xx xx x x

x a x( ) =

+ ≤ <− + ≤ ≤

− + < ≤

2 0 26 12 2 4

2 4 8

2

a) Halla el valor de a para que la función y = f (x) sea continua en el intervalo [0, 8].

b) Halla los máximos y mínimos absolutos de y = f (x) en el intervalo [0, 4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos absolutos.

c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y = 0, x = 0, x = 3 y la gráfica de y = f (x).

PROBLEMA 4

Se sabe que P(A) = 0,4; P(B) = 0,6 y P(A ∪ B) = 0,7.

a) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

b) Calcula P(A ∩ B), donde B representa el suceso complementario o contrario de B.

c) Calcula P(A ∩ B).

Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que SOLO se harán TRES de los cuatro problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.

Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).

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EJERCICIO B


PROBLEMA 1

Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

xxx

yyy

zzz

22 7

104−

+−+

+++

===

−

−

PROBLEMA 2


x( ) ,=

+−

2 4

2 3 se pide:

a) Su dominio y punto de corte con los ejes coordenados.

b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Máximos y mínimos locales.

e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.

PROBLEMA 3

Dada la función y x x x= − + +3 29 24 3:

a) Calcula los máximos y mínimos locales. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos locales.

b) Halla el área de la región del plano determinada por la gráfica de y = f (x) y las rectas y = 0, x = 0 y x = 5.

PROBLEMA 4

De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace 2 dianas de cada 3 disparos, y el otro consigue 3 dianas de cada 4 disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcula:

a) La probabilidad de que los dos acierten.

b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no.

c) La probabilidad de que ninguno acierte.

d) La probabilidad de que alguno acierte.

e) Sumar las probabilidades de a), b) y c), justificando la suma obtenida.

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unitat Valenciana10

EJERCICIO A

PROBLEMA 1

2 2 123 162 4 14

2 23 1

A BA BA B

BA B

+ =+ =+ =

=+ =

→66

116

35

= =−

=→ B AB

y

Se necesitarán 5 gramos del complemento A y 1 gramo del componente B.

PROBLEMA 2

a) Dibujamos la región factible y calculamos sus vértices:

3 122 3

22

2 3 1

x yx y

yx

x y

+ ≤− ≥ −

≥ −

+ ≥

b) fff

( , ) ( )( , )( , )

2 1 3 2 2 1 84 0 3 4 123 3 3 3

− = ⋅ − ⋅ − == ⋅ == ⋅ −− ⋅ =

− = ⋅ − − ⋅ = −2 3 3

1 1 3 1 2 1 5f ( , ) ( )


A(−1, 1), B(3, 3), C(4, 0) y D(2, −1).

El máximo es 12 y se obtiene en el punto B, y el mínimo es −5 y se obtiene en el punto D.

PROBLEMA 3

a) En : yx lim x x lim x fx x

= − + = + =+ −

2 6 12 4 2 42

2

2→ →( ) ( ) (22 4 2) .= =Es continua en→ x

En :x lim x a a lim x x

x x= − + = − + − +

+ −4 2 8 6 12

4 4

2

→ →( ) ( ) == − + = =4 8 4 12→ →a a

Si a = 12, f (x) es continua en [0, 8].

b) Calculamos la derivada de f (x) en [0, 4].

f xx

xx

x x

f

'

''

( )

(

= −

− = =

12 6

0 22 4

2 6 0 3

3

< << <

→

)) = =2 0 3> → En hay un mínimo relativo.x

Mínimo absoluto: (0, 2). Máximos absolutos: (2, 4) y (4, 4)

c) Área = + + − + = +

# #2

0

3

2

22

2 6 122

2( ) ( )x dx x x dxx

x + − +

=

0

2 3 2

2

3

2

36

212

283

x xx u


Y

1

1

X

A

B

CD

x − 2y = −3

3x + y = 12y

x= −

22

2x + 3y = 1

Y

X

f (x)1

1

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PROBLEMA 4

a) P A B P A P B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( )∪ = + − ∩ = + − ∩→ →0 7 0 4 0 6 PP A B( ) ,∩ = 0 3

P A P B P A B( ) ( ) , , , ( )⋅ = ⋅ = ≠ ∩0 4 0 6 0 24

No son independientes.

b) P A B P A P A B( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = − =0 4 0 3 0 1

c) P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) , ,∩ = ∪ = − ∪ = − =1 1 0 7 0 3

EJERCICIO B

PROBLEMA 1

x y zx y zx y z

+ + = −− + =

− + + = −

−12 02 7 4

1 1 1 12→ −−

− −

= −1 1 0

2 7 1 4 2 2 1→

F F FF33 3 1

1 1 1 11 2 0 13 6 0 3= −

−−

− −

F F

→F F F3 3 23

1 1 1 11 2 0 10 0 0 0

= +

−−

+ + = −− =

→ x y zx y

12 1

Llamamos y y x z= = + = − − − − = − − ∀ ∈→ →1 2 1 1 2 2 3λ λ λ λ λ, .R

PROBLEMA 2

a) 2 3 03

2

3

2x x f− = = = −

→ → Dom R

No hay corte con el eje X y el corte con el eje Y es: 0

43

, −

b) lim f x limx x→ →3

2

3

2

+= +( ) ` y

−= − =f x x( ) ` → 3

2

es una asíntota vertical.

limx

xx →→

``

2 42 3

+−

= No tiene asíntotas horizontales.

c) f xx x x

x

x x

x'( )

( ) ( ) ·

( ) (=

− − +

−=

− −

−

2 2 3 4 2

2 3

2 6 8

2

2

2

2

330 1

42)( )f x x

x' = = −

=

→

La función es creciente en (−`, −1) ∪ (4, +`) y es decreciente en −

∪

1

32

32

4, , .

d) Hay un máximo local en −1, f (−1) = (−1, −1), y un mínimo local en 4, f (4) = (4, 4).

f ' (−2) > 0 f ' (2) < 0 f ' (5) > 0

0 5

f ' (0) < 0

−2 −1 2 432

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unitat Valenciana10

e) Como esta función tiene asíntota oblicua, la calculamos para hacer correctamente la gráfica:Y

1

1

X

f (x)

y x= +12

34

x =32

m limf x

xlim

x

x x

n lim

x x

x

= =+

−=

=

→± →±

→±

` `

( ) 2

2

4

2 3

1

2

`̀ `f x x lim

x

xx

x( ) −

=

+

−−

1

2

4

2 3

1

2

2

→±

=

+ − +

−

lim

x x x

xx →±`

2 8 2 3

4 6

2 2

=+

−

=lim

x

xx →±`

3 8

4 6

3

4

Asíntota oblicua: y x= +1

2

3

4

PROBLEMA 3

a) f x x x f x x' ''( ) ( )= − + = −3 18 24 6 182 y

Puntos críticos: 3 18 24 0 6 8 042

2 2x x x xxx

− + = − + ===

→ →

f f'' ''( ) ( )4 24 18 0 2 12 18 0= − > = − <

Hay un mínimo relativo en 4, f (4) = (4, 19), y un máximo relativo en 2, f (2) = (2, 23).

b) Área = − + + = − + +#

5

0

3 24 3 2

9 24 34

93

242

3( )x x x dxx x x

x

= =0

5

23854

96 25, u

PROBLEMA 4

Sean los sucesos A = «Acierte el tirador A» y B = «Acierte el tirador B».

a) P A B P A P B( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =23

34

12

b) P A B P A B( ) ( )∩ + ∩ = ⋅ + ⋅ =2

3

1

4

1

3

3

4

5

12

c) P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ⋅ = ⋅ =1

3

1

4

1

12

d) P A B P A B P A B( ) ( ) ( )∪ = − ∪ = − ∩ = − =1 1 11

12

11

12

e) La suma de las probabilidades calculadas en los apartados a), b) y c) es 1, porque los tres sucesos forman un sistema completo de sucesos, es decir, son independientes dos a dos y la unión es el suceso seguro.

A

B

E

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790778 _ 0113-0124.indd 124 1/8/16 15:13



EXTR

EMAD

URA

Criterios generales de corrección:• Utilizar correctamente el lenguaje matricial y aplicar

correctamente las operaciones con matrices.• Transcribir problemas expresados en lenguaje habitual

a lenguaje algebraico y utilizar técnicas algebraicas (matrices, sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal bidimensional) para la resolución de dichos problemas.

• Analizar e interpretar las propiedades locales y globales de funciones que describen situaciones reales en el campo de las Ciencias Sociales.

• Resolver problemas de optimización asociados a situaciones reales en el campo de las Ciencias Sociales utilizando el cálculo de derivadas.

• Calcular e interpretar probabilidades de sucesos aleatorios utilizando técnicas generales.

• Utilizar técnicas de muestreo estadístico para la selección de muestras representativas.

• Inferir conclusiones en poblaciones a partir de la información suministrada por muestras convenientemente seleccionadas.

• Con carácter general se valorará: – La exposición del razonamiento utilizado. – La justificación de las respuestas. – La interpretación de los conceptos y resultados básicos.

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Elegir una opción entre las dos que se proponen a continuación.

Calificación máxima de la prueba: 10 puntos.

Problema 1: de 0 a 3,5 puntos; problema 2: de 0 a 3 puntos; problema 3: de 0 a 3,5 puntos.

OPCIÓN A

PROBLEMA 1

Una hamburguesería necesita diariamente un mínimo de 180 kilogramos de carne de cerdo y 120 kilogramos de carne de ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden suministrarle la carne requerida pero ha de ser en lotes. El lote del matadero A contiene 6 kilogramos de carne de cerdo y 2 kilogramos de carne de ternera siendo su coste 25 € y el lote del matadero B contiene 4 kilogramos de carne de cerdo y 3 kilogramos de carne de ternera siendo su coste 35 €. Determinar, justificando la respuesta:

a) El número de lotes que debe de adquirir la hamburguesería en cada matadero con objeto de garantizar sus necesidades diarias con el mínimo coste.

b) El valor de dicho coste diario mínimo.

PROBLEMA 2

El número de visitantes que acuden a una exposición fotográfica durante las dos semanas de duración de la misma, ha variado según la función:

N(t) = −t3 + 24t2 − 117t + 570 1 ≤ t ≤ 14

donde t representa el día. Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿Cuántos visitantes hubo el día de la inauguración? ¿Y el día de la clausura?

b) ¿Qué día tuvo lugar la asistencia máxima de visitantes? ¿Qué día tuvo lugar la asistencia mínima de visitantes?

c) ¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo de visitantes?

PROBLEMA 3

En una población se ha determinado que de cada 100 aficionados al fútbol, 25 son abonados del equipo A, 45 son abonados del equipo B y el resto son abonados del equipo C. Sabiendo que el 30 % de los abonados de A, el 40 % de los abonados de B, y el 50˙% de los abonados de C, tienen menos de 30 años, determinar la probabilidad de que seleccionando al azar a un aficionado al fútbol en esa población sea menor de 30 años. Justificar la respuesta.

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Distrito universitario de Extrem

adura11


OPCIÓN B

PROBLEMA 1

Considérese el sistema de ecuaciones:

axxx

yayay

zzz

+++

+++

=== −

323

011

a) Discutir sus posibles soluciones según los valores del parámetro a.

b) Resolver el sistema para a = 0.

Justificar la respuesta.

PROBLEMA 2

Un canal privado de televisión ha comprobado que durante los 75 minutos que duró la retransmisión de un partido de tenis, el índice de audiencia fue variando según la función:

I(t) = At2 + Bt + C 0 ≤ t ≤ 75

Sabiendo que al inicio de la retransmisión el índice de audiencia era de 6 puntos y que a los 30 minutos se alcanzó el índice de audiencia mínimo con 3 puntos:

a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta.

b) Representar la función.

PROBLEMA 3

En un periódico de difusión nacional se han publicado en el año 2007 un total de 2.500 ofertas de trabajo para licenciados. En una muestra de un 10 % de ellas se han contabilizado 50 ofertas de trabajo para licenciados en Matemáticas. Determinar, justificando la respuesta:

a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de ofertas de trabajo para licenciados en Matemáticas publicadas en dicho periódico en 2007.

b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación con un nivel de confianza del 95 %.

a 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0,00,10,20,30,4

∞1,6451,2821,0360,842

2,5761,5981,2541,0150,824

2,3261,5551,2270,9940,806

2,1701,5141,2000,9740,789

2,0541,4761,1750,9540,772

1,9601,4401,1500,9350,755

1,8811,4051,1260,9150,739

0−`

α2

+`

α2

−tα tα

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OPCIÓN A

PROBLEMA 1

a) Sean x e y el número de lotes que deben adquirirse en los mataderos A y B, respectivamente.

La función que hay que minimizar es: f (x, y) = 25x + 35y


6 4 1802 3 120

00

x yx y

xy

+ ≥+ ≥

≥≥


A(0, 45), B(6, 36) y C(60, 0)

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo resulta:

f (0, 45) = 1.575 f (6, 36) = 1.410 f (60, 0) = 1.500

Luego deben adquirirse 6 lotes del matadero A y 36 lotes del matadero B.

b) El coste mínimo asciende a 1.410 €.

PROBLEMA 2

a) En el día de la inauguración: N(1) = −1 + 24 − 117 + 570 = 476 Y en el día de la clausura: N(14) = −2.744 + 4.704 − 1.638 + 570 = 892

b) N t t t N t t' ''( ) ( )= − + − = − +3 48 117 6 482

− + − = ==

3 48 117 0 313

2t t tt

→

N t''( )3 30 0 3= > =→ En hay un mínimo.N t''( )13 30 0 13= − < =→ En hay un máximo.

La asistencia mínima se produjo en el tercer día y la máxima en el decimotercero.

c) El mayor número de visitantes fue: N(13) = −2.197 + 4.056 − 1.521 + 570 = 908 personas Y el menor número de visitantes fue: N(3) = −27 + 216 − 351 + 570 = 408 personas

PROBLEMA 3

Sea el suceso M = «Tener menos de 30 años».

P(M / A) = 0,3 P(M / B) = 0,4 P(M / C) = 0,5 P(A) = 0,25 P(B) = 0,45 P(C) = 0,3

Por el teorema de la probabilidad total resulta:

P(M) = P(A) · P(M / A) + P(B) · P(M / B) + P(C) · P(M / C) = 0,25 · 0,3 + 0,45 · 0,4 + 0,3 · 0,5 = 0,405

Y

A

B

C

10

X10

6x + 4y = 180

2x + 3y = 120


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adura11

OPCIÓN B

PROBLEMA 1

a) Sean Ma

aa

=

1 31 21 3

la matriz de los coeficientes y Ma

aa

* =−

1 3 01 2 11 3 1

la matriz ampliada

del sistema.

M a= −2 1

• Si a ≠ ±1 → Rango (M) = Rango (M*) = 3 = n.o de incógnitas → El sistema es compatible determinado.

• Si a = 1 → M = 0

1 31 2

1 0 21 3 01 2 11 3 1

1 0= − ≠ =−

= ≠→ →Rango Rango( ) (M MM*) = 3

• Rango (M) ≠ Rango (M*) → El sistema es incompatible.

• Si a = −1 → M = 0

−= − ≠ =

−

−= ≠

1 31 2

5 0 21 3 01 2 11 3 1

11 0→ →Rango Ran( )M ggo ( *)M = 3

• Rango (M) ≠ Rango (M*) → El sistema es incompatible.

b) Si a = 0:yxx

zzz

xy z

zz

+++

=== −

++

===

323

011

32

01→

−−

=== −

1

56

2→

xyz

PROBLEMA 2

a) Si al inicio de la retransmisión el índice de audiencia era de 6 puntos: I(0) = 6 → C = 6

Si a los 30 minutos se alcanzó el índice de audiencia mínimo: I'(30) = 0I'(t) = 2At + B → 60A + B = 0 → B = −60A

Sabiendo que a los 30 minutos el índice de audiencia era de 3 puntos: I(30) = 3

900A − 60A · 30 + 6 = 3 → −900A = −3 → A B= = −1

300

1

5→

La expresión de la función es: I( )t t t= − +1

30015

62

b) Y la representación de la función es:

I(t)

10

1

X

Y

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PROBLEMA 3

a) Si la muestra está formada por un 10 % del total quiere decir que la componen 250 ofertas. Por tanto, el estimador puntual para el porcentaje de ofertas de trabajo para licenciados

en Matemáticas es:

p� = =50

2500 2,

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =α αα

, , ,→ →


z α

2

1 96= ,

Así, el error máximo que se comete es:

E =⋅

=1 960 2 0 8

2500 05, ·

, ,,


OPCIÓN A OPCIÓN BPROBLEMA 1: Hasta 3,5 puntos.

PROBLEMA 2: Hasta 3 puntos.

PROBLEMA 3: Hasta 3,5 puntos.




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adura11



OPCIÓN A

PROBLEMA 1

Una tienda de artículos de piel necesita para su próxima campaña un mínimo de 80 bolsos, 120 pares de zapatos y 90 cazadoras. Se abastece de los artículos en dos talleres: A y B. El taller A produce diariamente 4 bolsos, 12 pares de zapatos y 2 cazadoras con un coste diario de 360 €. La producción diaria del taller B es de 2 bolsos, 2 pares de zapatos y 6 cazadoras siendo su coste de 400 € cada día. Determinar, justificando la respuesta:

a) El número de días que debe trabajar cada taller para abastecer a la tienda con el mínimo coste.

b) El valor de dicho coste mínimo.

PROBLEMA 2

El índice de popularidad de cierto gobernante era de 2,5 puntos cuando inició su mandato. A los 50 días alcanzó el máximo índice de popularidad con 7,2 puntos. Sabiendo que durante los primeros 100 días de su mandato dicho índice fue cambiando de acuerdo con la expresión:

I(t) = At2 + Bt + C 0 ≤ t ≤ 100

Se pide:

a) Determinar las constantes A, B y C. Justificar la respuesta.

b) Representar la función obtenida.

PROBLEMA 3

Una empresa se dedica a la fabricación de calefactores. Cada calefactor, antes de ser enviado al mercado para su venta, ha de superar tres controles de calidad: Cl, C2 y C3 en ese orden. Si no supera alguno de ellos es rechazado. Por la experiencia acumulada, se sabe que un 95 % de los calefactores superan Cl, que en C2 se rechaza un calefactor con probabilidad 0,02 y que 90 de cada 100 calefactores superan C3. Determinar, justificando la respuesta, la probabilidad de que un calefactor elegido al azar en la producción de esa empresa sea rechazado.

Elegir una opción entre las dos que se proponen a continuación.

Calificación máxima de la prueba: 10 puntos.

Problema 1: de 0 a 3,5 puntos; problema 2: de 0 a 3 puntos; problema 3: de 0 a 3,5 puntos.

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OPCIÓN B

PROBLEMA 1

Discutir según los valores de m el sistema de ecuaciones:

mx y zx y zx y z

− − =+ + =− − =

32 13 2


PROBLEMA 2

Se ha determinado que el coste total (en euros) que le supone a cierta empresa la producción de n unidades de determinado artículo varía según la función:

C(n) = 2n3 + 270n − 2.048

Determinar, justificando la respuesta:

a) La función que define el coste por unidad producida.

b) El número de unidades que deben producirse para hacer mínimo el coste por unidad.

c) El valor de dicho coste mínimo por unidad.

PROBLEMA 3

En una población de 2.000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los conductores seleccionados se les preguntó si llevaban en sus vehículos cadenas para utilizar en caso de que hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información recogida se obtuvo el siguiente intervalo de confianza al 95 % para la proporción de conductores de esa población que llevaban en sus vehículos cadenas para la nieve: (0,172; 0,228). Determinar, justificando la respuesta:

a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que llevan en su vehículo cadenas para la nieve.

b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95 %, con dicha estimación puntual.

a 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

`1,6451,2821,0360,8420,6740,5240,3850,2530,126

2,576 1,5981,2541,0150,8240,6590,5100,3720,2400,113

2,3261,5551,2270,9940,8060,6430,4960,3580,2280,100

2,1701,5141,2000,9740,7890,6280,4820,3450,2150,088

2,0541,4761,1750,9540,7720,6130,4680,3320,2020,075

1,9601,4401,1500,9350,7550,598 0,4540,3190,1890,063

1,8811,4051,1260,9150,7390,5830,4400,3050,1760,050

0−`

α2

+`

α2

−tα tα

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adura11

OPCIÓN A

PROBLEMA 1

a) Es un problema de programación lineal. Nos ayudamos con la siguiente tabla:

Taller A Taller B Mínimo

Bolsos 4 2 80

Zapatos 12 2 120

Cazadoras 2 6 90

Coste 360 400

Sean x = «Número de días que trabaja el taller A» e y = «Número de días que trabaja el taller B».

Tenemos que resolver el siguiente sistema, y su solución es la región factible.

4 2 8012 2 120

2 6 9000

x yx yx y

xy

+ ≥+ ≥+ ≥

≥≥

+ ≥+ ≥

+ ≥≥≥

→

2 406 60

3 4500

x yx y

x yxy

= −= −

=−

→y xy x

yx

40 260 645

3

Los vértices de la región factible son: A(7,94; 12,35), B(15, 10) y C(5, 30).

Evaluando estos vértices en la función coste se tiene:

f f f( , ; , ) . ( , ) . ( , )7 94 12 35 7 800 15 10 9 400 5 30 13= = = ..800

El taller A debe trabajar 8 días, y el taller B debe trabajar 13 días, puesto que el mínimo número de días debe ser un número natural.

b) El coste mínimo es: f (8, 13) = 360 · 8 + 13 · 400 = 2.880 + 5.260 = 8.080 €

PROBLEMA 2

a) Si t = 0 → I(0) = C = 2,5; si t = 50 → I(50) = A · 502 + B · 50 + C = 7,2 El máximo índice de popularidad lo alcanza a los 50 días. Como I I' '( ) ( )t At B A B= + = ⋅ + =2 50 2 50 0→

Resolvemos el sistema:

CA B C

A B

=+ + =

+ =

2 52 500 50 7 2

100 0

2 50,

. , .→ 00 50 4 7100 0

2 500 50 4 75

A BA B

A B+ =+ =

+ =, . ,.

→0000 50 0

2 500 4 7A B

A+ =

= −→ . ,

→ A B C= − = =0 00188 0 188 2 5, y; , ,

b) La representación gráfica de la función es:

I(t) = −0,00188t2 + 0,188t + 2,5


Y

AB

C

10

y = 60 − 6x

Xy = 40 − 2x

10

yx

=−453

I(t)

10

1

X

Y

2,5

50 100

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PROBLEMA 3

Sean los sucesos A = «Calefactor admitido» y R = «Calefactor rechazado».

Construimos un diagrama de árbol:

P(R) = P[R en C1 ∪ (A en C1 ∩ R en C2) ∪ (A en C1 ∩ A en C2 ∩ R en C3)] =

= 0,05 + 0,95 · 0,02 + 0,95 · 0,98 · 0,1 = 0,1621

OPCIÓN B

PROBLEMA 1

Mm

Mm

=− −

− −

=

− −1 11 2 11 3 1

1 1 31* 22 1 11 3 1 2− −

M m m m m= − − + − − + − = + = = −2 1 3 2 1 3 3 0 3( ) →

• Si m ≠ −3 → Rango (M) = Rango (M*) = 3• El sistema es compatible determinado.

• Si m = −3 → Rango (M) = 2 y Rango (M*) = 3 (tiene un menor de orden 3 no nulo)• El sistema es incompatible.

PROBLEMA 2

a) Llamamos F nC n

n( )

( )= a la función que define el coste por unidad producida.

La función es:

F n n

n( )

.= + +2 270

2 0482

b) Calculamos el valor de n para el que F(n) es mínimo:

F n n

nn n n'( )

..= − = = = =4

2 0480 4 2 048 512 8

23 3→ → →

Deben producirse 8 unidades para hacer mínimo el coste por unidad.

c) El valor de dicho coste mínimo para 8 unidades es:

F( )

.8 2 8 270

2 048

86542= ⋅ + + = €

0,95 0,98 0,9C1

R

0,05 0,02 0,1

R R

C2 C3 A MercadoAA

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adura11

PROBLEMA 3

a) El intervalo de confianza al 95 % para la proporción es:

(0,172; 0,228) = (0,2 − 0,028; 0,2 + 0,028)

La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores es de p� = 0 2, .

b) El error máximo viene dado por E zp p

n=

−α

2

1·

( ).

� �

1 0 95 0 05 1 96

2

− = = =α α α, , ,→ y z

E =

⋅= ⋅ =1 96

0 2 0 8200

1 96 0 028 0 054, ·, ,

, , ,

El error máximo que estaríamos cometiendo con dicha estimación puntual es de 0,054.


OPCIÓN A OPCIÓN BPROBLEMA 1: Hasta 3,5 puntos.






0,025 0,95 0,025

0,975

z α2

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GALI

CIA

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BLOQUE DE ÁLGEBRAPuntuación máxima 3 puntos

EJERCICIO 1

Un autobús transporta en cierto viaje 60 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero que vale 1 €; estudiantes que tienen un 25 % de descuento y jubilados con un descuento del 50 % del precio del billete. La recaudación del autobús en este viaje fue de 48 €. Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el doble que el número del resto de viajeros.

EJERCICIO 2

Un proyecto de jardinería puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de ajardinar tres zonas: A, B y C. En la siguiente tabla se recoge el número de unidades que puede ajardinar cada grupo en cada zona durate una semana:

Zona A Zona B Zona C

Grupo G1 4 10 7

Grupo G2 10 5 7

Se necesita ajardinar un mínimo de 40 unidades en la zona A, 50 unidades en la zona B y 49 unidades en la zona C, estimándose el coste semanal en 3.300 € para el grupo G1 y en 4.000 € para el grupo G2.

¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? Expresar la función objetivo y las restricciones del problema. Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.

BLOQUE DE ANÁLISISPuntuación máxima 3,5 puntos

EJERCICIO 1

Supongamos que el valor V, en euros, de un producto disminuye o se deprecia con el tiempo t, en meses, donde:

V tt

tt( )

( )= −

+≥50

25

20

2

2

a) Calcular el valor inicial del producto, V(0). ¿A partir de qué mes el valor del producto es inferior a 34 €?

b) Determinar la velocidad de depreciación del producto, es decir, V'(t).

c) Hallar lim V tt→+`

( ). ¿Hay algún valor por debajo del cual nunca caerá V?


El alumno debe resolver solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques temáticos.

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Distrito universitario de G

alicia12

EJERCICIO 2

El número de plazas ocupadas de un aparcamiento a lo largo de las 24 horas de un día, viene expresado por la función:

N tt t

t t t( ).

=+ ≤ <

− + + ≤ <1 680 20 0 8

10 260 400 8 162

sisi

−− + − ≤ ≤

10 360 1 200 16 242t t t. si

a) ¿A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocupación máxima? ¿Cuántos coches hay a esa hora?

b) ¿Entre qué horas la ocupación del aparcamiento es igual o superior a 2.000 plazas?

BLOQUE DE ESTADÍSTICAPuntuación máxima 3,5 puntos

EJERCICIO 1

En un mercado de valores cotizan un total de 60 empresas, de las que 15 son del sector bancario, 35 son industriales y 10 son del sector tecnológico. La probabilidad de que un banco de los que cotizan en el mercado se declare en quiebra es 0,01; la probabilidad de que se declare en quiebra una empresa industrial es 0,02 y de que lo haga una empresa tecnológica es 0,1.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca una quiebra en una empresa del citado mercado de valores?

b) Habiéndose producido una quiebra, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una empresa tecnológica?

EJERCICIO 2

En una determinada población se sabe que el valor de la tasa diaria de consumo de calorías sigue una distribución normal con desviación típica σ = 400 calorías.

a) Si la media poblacional es m = 1.600 calorías y se elige al azar una muestra aleatoria de 100 personas de esa población, determinar la probabilidad de que el consumo medio diario de calorías en esa muestra esté comprendido entre 1.550 y 1.660 calorías.

b) Si desconocemos la media m y con el mismo tamaño de muestra se afirma que «el consumo medio diario en esa población toma valores entre 1.530 y 1.670 calorías», ¿con qué nivel de confianza se realiza esta afirmación?

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BLOQUE DE ÁLGEBRA

EJERCICIO 1

Sean x, y y z el número de viajeros que pagan el billete entero, de estudiantes y de jubilados, respectivamente.

x y zx y z

y x z

x+ + =+ + =

= +

+600 75 0 5 48

2, ,

( )→

yy zx y z

x y z

x y z+ =+ + =

− + =

+ +604 3 2 192

2 2 0→

==− − = −

− = −

===

602 483 120

16404

y yy

xyz

→

Por tanto, viajaron 16 personas que pagaron el billete entero, 40 estudiantes y 4 jubilados.

EJERCICIO 2

Sean x e y el número de semanas que deberá trabajar cada grupo.

La función que hay que minimizar es: f (x, y) = 3.300x + 4.000y


4 10 4010 5 507 7 49

00

x yx y

x yxy

+ ≥+ ≥

+ ≥≥≥


A(0, 10), B(3, 4), C(5, 2) y D(10, 0).

Al sustituir las coordenadas de los puntos en la función objetivo se tiene:

f ( 0, 10) = 40.000 f (3, 4) = 25.900 f (5, 2) = 24.500 f (10, 0) = 33.000

Luego para finalizar el proyecto con el mínimo coste, el grupo G1 deberá trabajar durante 5 semanas y el grupo G2 durante 2 semanas.

BLOQUE DE ANÁLISIS

EJERCICIO 1

a) V(0) = 50 €

5025

234

252

16 25 16 642

2

2

22 2−

+=

+= = +

tt

tt

t t( ) ( )

→ → tt t tt

t+ − − =

=

= −

64 9 64 64 016

89

2→ →

Como t ≥ 0, la solución válida es: t = 16 meses

Por tanto, el valor del producto es inferior a 34 € a partir del mes 16.

b) V tt t t t

tt

'( )( ) ( )

( )= −

+ − ⋅ ++

= −+50 2 25 2 2

250 102 2

4

2 00 502

1002

2

3 3

t tt

tt

−+

= −+( ) ( )

c) lim V t limt

tt t→ →+ += −

+

` `( )

( )50

252

2

2 = − =50 25 25

El valor del producto no caerá nunca por debajo de 25 €, puesto que la función tiene una asíntota horizontal en este valor.


YA

B

C

1

1

2x + y = 10

X

2x + 5y = 20

x + y = 7

D

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alicia12


alicia12

EJERCICIO 2

a) N tt

t tt

'( ) =< <

− + < <− +

20 0 820 260 8 1620 360 16

sisisi << <

t 24

−20t + 260 = 0 → t = 13

−20t + 360 = 0 → t = 18

N tttt

''( ) =< <

− < <− < <

0 0 820 8 1620 16 24

sisisi

Al ser negativa la segunda derivada, esos valores son valores máximos de la función.

N(13) = 2.090 N(18) = 2.040

Por tanto, la ocupación máxima se presenta a las 13 horas, cuando hay 2.090 coches en el aparcamiento.

b) Como la primera expresión de la función corresponde a una función lineal creciente (por tener pendiente positiva), el valor más alto que alcanza es: N(8) = 1.840 coches. Luego en el intervalo de horas hasta las ocho de la mañana no hay una ocupación igual o superior a 2.000 plazas.

− + + = − + = =

=

10 260 400 2 000 26 160 0 1610

2 2t t t t tt

. → →

La segunda expresión de la función tiene como gráfica una parábola cuyo vértice (13, 2.090) es un máximo. Por tanto, la ocupación es igual o superior a 2.000 plazas entre las 10 y las 16 horas.

− + − = − + = =

=10 360 1 200 2 000 36 320 0 16

22 2t t t t t

t. . → →

00

Análogamente, la tercera expresión de la función tiene como gráfica una parábola cuyo vértice (18, 2.040) es un máximo. Así, la ocupación es igual o superior a 2.000 plazas entre las 16 y las 20 horas.

Luego la ocupación del aparcamiento es igual o superior a 2.000 plazas entre las 10 y las 20 horas.

BLOQUE DE ESTADÍSTICA

EJERCICIO 1

Sean los sucesos: B = «Ser una empresa del sector bancario», I = «Ser una empresa industrial»,T = «Ser una empresa tecnológica» y D = «Producirse una quiebra».


P D P B P D B P P D P T P D T( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )= ⋅ + ⋅ + ⋅ =I I

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ +

15

600 01

35

600 02

10

600 1 0 25 0 01 0 5, , , , , , 88 0 02 0 17 0 1 0 03⋅ + ⋅ =, , , ,

b) P T DP T P D T

P D( / )

( ) ( / )

( )

, ,

,,=

⋅=

⋅=

0 17 0 1

0 030 57

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EJERCICIO 2

a) X N N; 1 600400

1001 600 40. , ( . , )

=

P X P

X( . . )

. . .1 550 1 660

1 550 1 600

40

1 600

40

1< < =

−<

−<

.. .660 1 600

40

−

=

= − < < = < − − < =P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( ( , )) ,1 25 1 5 1 5 1 1 25 0 93332 1 0 8944 0 8276− + =, ,

b) El intervalo de confianza es: (1.530, 1.670) = (1.600 − 70, 1.600 + 70)

z za a

aa a

2 2

400

10070 1 75

20 04 0 08 1 0⋅ = = = = − =→ → → →, , , ,,92

Luego la afirmación tiene un nivel de confianza del 92 %.



BLOQUE DE ÁLGEBRA (3 puntos)

EJERCICIO 1– Formulación del sistema: 1,5 puntos (0,5

puntos por cada una de las tres ecuaciones).– Resolución del sistema: 1,5 puntos (0,5 puntos

por cada una de las incógnitas).

EJERCICIO 2– Formular el sistema de inecuaciones: 0,75 puntos.– Función objetivo: 0,25 puntos.– Vértices de la región factible: 1 punto (0,25 por

cada uno de los cuatro vértices).– Representación gráfica de la región factible:

0,5 puntos (por dibujar las rectas de la región del plano limitada por ellas y los cuatro vértices).

- Optimización: 0,5 puntos.

BLOQUE DE ANÁLISIS (3,5 puntos)

EJERCICIO 1a) 1 punto: – Valor inicial del producto: 0,25 puntos. – Mes a partir del que el valor del producto es

inferior a 34 €: 0,75 puntos.b) 1,25 puntos: – Por calcular la derivada: 1 punto. – Llegar a la expresión final de la velocidad

de depreciación del producto: 0,25 puntos.c) 1,25 puntos: – Cálculo del límite: 0,75 puntos. – Valor del producto por debajo del cual

nunca caerá V: 0,25 puntos. – Justificación: 0,25 puntos.

EJERCICIO 2a) 2 puntos: – Determinar las derivadas: 0,75 puntos. – Hora en que se alcanza el máximo: 0,5

puntos.

– Número máximo de vehículos: 0,25 puntos. – Justificación del máximo absoluto (esbozo

de la gráfica de la función o bien estudiando el comportamiento de la función): 0,5 puntos.

b) 1,5 puntos: (0,75 puntos por cada una de las inecuaciones formulada y resuelta en cada trozo de la función que le corresponde).

BLOQUE DE ESTADÍSTICA (3,5 puntos)

EJERCICIO 1a) 2,5 puntos: – Expresión del teorema de la probabilidad

total: 0,5 puntos. – Identificación de cada una de las

probabilidades de la fórmula anterior: 1,5 puntos.

– Cálculos correspondientes para llegar al resultado final: 0,5 puntos.

b) 1 punto: Por calcular la probabilidad condicionada pedida.

EJERCICIO 2a) 1,75 puntos: – Determinar la distribución de X: 0,5 puntos. – Formular la probabilidad pedida: 0,25 puntos. – Tipificación: 0,5 puntos. – Paso a tablas: 0,25 puntos. – Uso de tablas y resultado final: 0,25 puntos.b) 1,75 puntos: – Formular la ecuación que iguala el error

en la estimación con el radio del intervalo dado: 0,75 puntos.

– Obtener z a2

: 0,25 puntos.

– Calcular el valor del área en la tabla: 0,25 puntos.

– Calcular el nivel de confianza: 0,5 puntos.

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alicia12Enunciado de la prueba 2

BLOQUE DE ÁLGEBRAPuntuación máxima 3 puntos

EJERCICIO 1

Una empresa de productos informáticos tiene tres tiendas (T1, T2 y T3) que venden un modelo de ordenador (O), uno de impresora (I), y otro de cámara digital (C), a un precio de venta por unidad de 1.200 €, 300 € y 650 €, respectivamente. Un cierto mes, el número de artículos vendidos (en cada tienda) es indicado en la siguiente tabla:

O I CT x yT x zT y z

1

2

3

42520

Determinar el número de artículos vendidos en cada una de las tres tiendas, sabiendo que los ingresos obtenidos un determinado mes fueron 23.600 € en la tienda T1, 39.700 € en la tienda T2 y 32.200 € en la tienda T3.

EJERCICIO 2

Dado el siguiente sistema de inecuaciones:

− + ≥ + ≤ + ≥x y x y x y6 12 2 20 3 2 24

a) Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.

b) ¿En qué punto de esa región alcanza el valor máximo la función f (x, y) = 4x + y?

BLOQUE DE ANÁLISISPuntuación máxima 3,5 puntos

EJERCICIO 1

El rendimiento de dos trabajadores de una factoría (valorado en una escala de 0 a 100) durante una jornada de 8 horas, viene dado por la función:

r tt t t

tt t

( ) =− + ≤ <

≤ <− ≤ ≤

10 60 0 480 4 6170 15 6

2 sisisi 88

siendo t el tiempo en horas.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Cuál es el rendimiento máximo?

b) ¿En qué instantes de su jornada laboral o rendimiento se sitúa según la escala?

El alumno debe resolver solo un ejercicio de cada uno de los tres bloques temáticos.

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EJERCICIO 2

Una empresa estima que el coste (en euros) de producción de x unidades de un determinado producto viene dado por la función C(x) = 2.400 − 26x, y que el ingreso diario (en euros) que se obtiene vendiendo estas x unidades viene dado por la función I(x) = 150x − x2.

a) Calcular la función B(x) que expresa los beneficios (ingresos menos gastos) diarios obtenidos. ¿Entre qué valores deberá estar comprendido el número de unidades producidas diariamente para que la empresa no tenga pérdidas?

b) Determinar el número de unidades que se tiene que producir diariamente para que el beneficio sea máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

BLOQUE DE ESTADÍSTICAPuntuación máxima 3,5 puntos

EJERCICIO 1

En una ciudad, el 55 % de la población en vida laboral son hombres; de ellos, un 12 % está en paro. Entre las mujeres el porcentaje en paro es del 23 %. En esta ciudad se elige a una persona en vida laboral.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no esté en paro?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro?

c) Calcular el porcentaje de paro de esa ciudad.

EJERCICIO 2

En un determinado país se sabe que la altura de una población sigue una distribución normal con desviación típica de 10 cm.

a) Si la media poblacional fuese de 172 cm, calcular la probabilidad de que la media muestral de 64 personas esté comprendida entre 171 y 173 cm.

b) Si la media de una muestra de 64 personas es de 173,5 cm, determinar un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99 %.

c) ¿Qué tamaño de muestra se debe tomar para estimar la media de altura de la población con un error menor de 2 cm, y con un nivel de confianza del 95 %?

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alicia12


alicia12

BLOQUE DE ÁLGEBRA

EJERCICIO 1

Planteamos el sistema usando la tabla del enunciado:

1 200 300 2 600 23 60030 000 300 650 39. . .

.x y

x z+ + =+ + = ..

. .700

24 000 300 650 32 200

120

+ + =

+

y z

x→

330 2 10030 65 97030 65 820

yx zy z

=+ =+ =

.

Lo resolvemos utilizando el método de Gauss:

120 30 0 2 10030 0 65 970

0 30 65 820

.

−

= −→F F F2 2 3

120 30 0 2 10030 30 0 150

0 30 65 820

.

= +→F F F1 1 2

150 0 0 2 25030

.−−

30 0 150

0 30 65 820

Resolviendo el sistema equivalente:

150 2 25030 30 15030 65 820

xx yy z

x=

− =+ =

.→ == = =15 10 8, y zy

EJERCICIO 2

a) Dibujamos la región factible y hallamos sus vértices:

− + ≥+ ≤+ ≥

x yx yx y

6 122 20

3 2 24→ Rectas que generan la región: y

xy

xy

x=

+=

−=

−12

6

20

2

24 3

2

Sus puntos de corte, que son los vértices de la región factible, son:

A(2, 9), B(12, 4) y C(6, 3)

b) La función objetivo f x y x y( , ) = +4 alcanzará el máximo en alguno de los vértices de la región factible.

f f f( , ) ( , ) ( , )2 9 4 2 9 17 6 3 4 6 3 27 12 4 4 12= ⋅ + = = ⋅ + = = ⋅ + 44 52=

En el vértice B(12, 4), la función objetivo alcanza su valor máximo, que es 52.


Y

A

BC

1

1

X

yx

=−24 32

yx

=−202

yx

=+126

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BLOQUE DE ANÁLISIS

EJERCICIO 1

a) Dibujamos la función y observamos que: • Es creciente en (0, 3). • Es decreciente en (3, 4) ∪(6, 8). • El rendimiento máximo de los trabajadores

es 90 en una escala de 0 a 100, y se produce a las tres horas de trabajo.

b) Su rendimiento se sitúa a la mitad de la escala al cabo de la primera hora de trabajo y, también, al final de la jornada.

EJERCICIO 2

a) La función beneficio es: B x x C x x x x x x( ) ( ) ( ) .= − = − − − = − + −I 150 2 400 26 124 22 2 ..400

Calculamos los puntos de corte con el eje X:

x =

− ± −−

=− ±

−=

− ±−

124 15 376 9 6002

124 5 7762

124 76. . .22

24100

→ xx

==

Como la función B(x) es una parábola abierta hacia abajo, que corta al eje X en x = 24 y en x = 100, el número de unidades producidas diariamente por la empresa para no tener pérdidas debe ser mayor o igual que 24 unidades y menor o igual que 100 unidades.

b) Veamos cuándo se anula la primera derivada de la función B(x):

B'(x) = −2x + 124 = 0 → x = 62

Por tanto, deben producir 62 unidades diarias para que el beneficio sea máximo. El beneficio es: B(62) = −(62)2 + 124 · 62 + 2.400 = 1.144 €

BLOQUE DE ESTADÍSTICA

EJERCICIO 1

Construimos una tabla de contingencia con los datos del enunciado:


Parado 0,12 0,23 b

No parado a c d

Totales 0,55 e 1


Parado 0,12 0,23 0,35

No parado 0,43 0,22 0,65

Totales 0,55 0,45 1

Las casillas se han calculado de la siguiente forma:

Casilla a: 0,55 − 0,12 = 0,43 Casilla c: d − 0,43 = 0,22 Casilla b: a + 0,23 = 0,35 Casilla e: 1 − 0,55 = 0,45 Casilla d: 1 − b = 1 − 0,35 = 0,65

a) P(hombre y no esté en paro) = P(hombre y no parado) = 0,43

b) P(mujer y parada) = 0,23

c) El porcentaje de paro en la ciudad es del 35 %.


Y

r (t)

1

10

X

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alicia12


alicia12

EJERCICIO 2

a) Sea X la variable que expresa la media de edad.

P X PZ

( )171 173171 172

10

64

173 17210

64

≤ ≤ =−

≤ ≤−

=

−≤ ≤

=P Z

8

10

8

10

= ≤ − + ≤ = ⋅ − =P Z P Z( , ) ( , ) , ,0 8 1 0 8 2 0 7881 1 0 5762

Por tanto, aproximadamente el 58 % de las muestras de 64 personas tienen una altura comprendida entre 171 cm y 173 cm.

b) n = 64 y x = 173,5

El nivel de confianza es: 1 − a = 0,99. El valor crítico, según la tabla de la distribución normal, es: z a

2

2 58= ,

El intervalo de confianza para la media es:

x z

nx z

n− ⋅ + ⋅

= − ⋅a aσ σ

2 2

173 5 2 5810

; , ,664

173 5 2 5810

64170 275 176; , , ( , ;+ ⋅

= ,, )725

c) El nivel de confianza es: 1 − a = 0,95; le corresponde a = 0,05 y el valor crítico, según la tabla de la distribución normal, es: z a

2

1 96= ,

El error máximo viene dado por:

E z

n n= ⋅ = ⋅ =a

σ

2

1 9610

2,

Despejamos n:

n =

⋅

= =

1 96 102

9 8 96 042

2,( , ) ,

Por tanto, el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 97 personas para que el error cometido sea menor de 2 cm.

0,005 0,99 0,005

0,995

z a2

2 58= ,

0,025 0,95 0,025

0,975

z a2

1 96= ,

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BLOQUE DE ÁLGEBRA (3 puntos)

EJERCICIO 1

– Formulación del sistema: 1,5 puntos.– Resolución del sistema: 1,5 puntos.

EJERCICIO 2

a) 2,5 puntos: – Por la representación de las rectas:

0,75 puntos. – Vértices de la región factible: 0,75 puntos. – Identificación de la región factible: 1 punto

(por dibujar las rectas de la región del plano limitada por ellas y los tres vértices).

b) Optimización: 0,5 puntos.

BLOQUE DE ANÁLISIS (3,5 puntos)

EJERCICIO 1

a) 2 puntos: – Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

1,5 puntos. – Rendimiento máximo: 0,5 puntos.

b) 1,5 puntos: – Determinar la solución en el primer

intervalo de tiempo: 0,75 puntos. – Determinar la solución en el último

intervalo de tiempo: 0,75 puntos.

EJERCICIO 2

a) 2 puntos: – Obtener la función beneficio: 1 punto. – Intervalo de unidades producidas para que

la empresa no tenga pérdidas: 1 punto.b) 1,5 puntos: – Cálculo de la primera derivada: 0,5 puntos. – Obtener el punto crítico: 0,25 puntos. – Comprobar que es un máximo: 0,25 puntos. – Calcular el beneficio máximo: 0,5 puntos.

BLOQUE DE ESTADÍSTICA (3,5 puntos)

EJERCICIO 1

a) 1 punto.b) 1 punto.c) 1,5 puntos.

EJERCICIO 2

a) 1,25 puntos: – Determinar la distribución de: 0,5 puntos. – Tipificación y paso a tablas: 0,5 puntos. – Uso de tablas y resultado: 0,25 puntos.

b) 1,25 puntos: – Por la expresión del intervalo: 0,5 puntos. – Calcular z a

2

: 0,25 puntos.

– Calcular numéricamente los extremos del intervalo: 0,5 puntos.

c) 1 punto: – Formulación: 0,5 puntos. – Cálculo de n: 0,5 puntos.

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ILLE

S BA

LEAR

S

Criterios generales de corrección:• Se evaluarán cada ejercicio o cada parte de ejercicio

con múltiplos de cuarto de punto. • Estos criterios no prevén todos los casos que en la práctica

se pueden presentar. • Tampoco pretenden dar todas las posibles soluciones

a un ejercicio, ni siquiera la mejor. • Puede haber casos concretos en que sea difícil aplicar

los criterios que se exponen a continuación. Se aplicarán en los casos claros. En los casos dudosos, haga prevalecer su criterio y sentido común.

• Se valorarán todas las partes que sean correctas, aunque el resultado final no lo sea.

• Se penalizarán los errores simples de cálculo con 0; 0,25 o 0,5 puntos según la importancia del error y su criterio. Los errores de cálculo que lleven a resultados incoherentes o absurdos, se penalizarán con 0,75 o 1 punto. En cualquier caso, la evaluación final de cada ejercicio debe ser ≥ 0 y, en los ejercicios con apartados, la evaluación final de cada apartado debe ser ≥ 0.

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Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas.

Duración: una hora y media.

OPCIÓN A

1. Tres familias van a una heladería. La primera familia toma 2 helados pequeños y 1 grande; la segunda familia toma 2 pequeños, 1 mediano y 1 grande; y la tercera familia toma 1 pequeño y 2 grandes. A la primera familia le cobran 4,50 €, a la segunda, 6,30 €, y a la tercera, 5,40 €. Se denotan por x, y, z las incógnitas que representan respectivamente el precio de un helado pequeño, de uno mediano y de uno grande.

a) Dé la matriz A que expresa el número de helados pequeños, medianos y grandes que toma cada una de las tres familias, de manera que:

A · X = B

donde Xxyz

B=

=

y

4 56 35 4

,,,

. (0,5 puntos)

b) Calcule A−1. (1,5 puntos)

c) Resuelva la ecuación matricial A · X = B. (0,5 puntos)

2. De todos los rectángulos de perímetro 48 m, calcule las dimensiones del que tiene la diagonal más pequeña. (2,5 puntos)

3. Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras y otra urna B contiene 3 blancas y 4 negras. Se elige una urna al azar y se extrae una bola.

a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea negra. (1,5 puntos)

b) Suponiendo que la bola extraída es blanca, calcule la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A. (1 punto)

4. Para estimar la proporción de las viviendas de una determinada ciudad que tienen aire acondicionado se quiere utilizar una muestra aleatoria de tamaño n. Calcule el valor mínimo de n para que, con un nivel de confianza del 97 %, el error en la estimación sea más pequeño que 0,05. (Como se desconoce la proporción, se debe tomar el caso más desfavorable, que será 0,5.) (2,5 puntos)

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Distrito universitario de Illes Balears

13

OPCIÓN B

5. Dada la función f x ax bx

( ) ,= + +236

calcule a y b de manera que la gráfica de f pase

por el punto (3, 10) y tenga tangente horizontal en este punto. (2,5 puntos)

6. En Navidad un colmado quiere preparar dos tipos de lotes, L1 y L2. Cada lote del tipo L1 está formado por 4 barras de turrón, 2 botellas de cava y 2 paquetes de café, y cada lote del tipo L2 está formado por 2 barras de turrón, 2 botellas de cava y 4 paquetes de café. Con cada lote del tipo L1 se obtiene un beneficio de 4,50 €, y con cada lote del tipo L2, uno de 3 €. El colmado dispone de 300 barras de turrón, de 180 botellas de cava y de 300 paquetes de café. ¿Cuántos lotes de cada tipo se tienen que preparar para obtener un beneficio máximo? (2,5 puntos)

7. Determine la función f (x), definida para x > 0, que verifica

que f xx x

f'( ) ( ) .+ − = =1 1

0 1 42

y (2,5 puntos)

8. Se supone que el peso de los limones de una determinada variedad sigue una distribución normal de media 250 g y desviación típica 24 g. Se toma una muestra al azar de 64 de estos limones y se calcula su media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media sea menor que 244 g? (2,5 puntos)

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OPCIÓN A

CUESTIÓN 1

a) La matriz A es de la forma: 2 0 12 1 11 0 2

b) det ( )A A A= − = ≠ ∃ =

−

−

−

− −4 1 3 0

23

013

1 1 013

023

1 1→ →

c) A X B X A Bxyz

⋅ = = ⋅

=

−

−−→ →1

2

30

1

311 1 01

30

2

3−

⋅44 56 35 4

1 21 82 1

,,,

,,,

=

CUESTIÓN 2

Sea x la medida de uno de los lados del rectángulo.

Como el perímetro mide 48 m, el otro lado puede expresarse como: 24 − x

Aplicando el teorema de Pitágoras, la función que permite calcular

la diagonal es de la forma: f x x x( ) ( )= + −2 224

f xx x

x x

x

x'( )

( )( )

( ) (=

+ − −

+ −=

−

+

2 2 24 1

2 24

2 24

242 2 2 −−= − = =

xx x

)20 2 24 0 12→ →

Así, x = 12 es un mínimo y, por tanto, el otro lado del rectángulo mide: 24 − 12 = 12 m, es decir, el rectángulo con la diagonal más pequeña es un cuadrado cuyo lado mide 12 m.

CUESTIÓN 3

Sean los sucesos: A = «Elegir la urna A», B = «Elegir la urna B», C = «Extraer una bola blanca» y N = «Extraer una bola negra».


P N P A P N A P B P N B( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

12

38

12

47

531112


P A CP A C

P CP A P C A

P A P C A P( / )

( )( )

( ) ( / )( ) ( / ) (

=∩

=⋅

⋅ + BB P C B) ( / )⋅=

⋅

⋅ + ⋅=

+=

12

58

12

58

12

37

516

516

314

3559

24 − x

x

f '(10) < 0 f '(13) > 0

10 12 13

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13CUESTIÓN 4

1 0 97 0 032

0 015− = = =α αα

, , , .→ → El valor correspondiente a 0,985 es: z α

2

2 17= ,

El error es menor que 0,05 si: zp p

n nα

2

12 17

0 5 0 50 05⋅

−= ⋅

⋅<

� �( ),

, ,,

n n> >21 7 470 89, , .→ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser: n = 471

OPCIÓN B

CUESTIÓN 5

Al ser horizontal la tangente en el punto (3, 10), significa que se trata de un máximo o un mínimo de la función, y tenemos que: f '(3) = 0

f x a

xa a f x x b

x'( ) ( )= − − = = = + +2

362 4 0 2 4

362

→ →

Como la gráfica de la función pasa por el punto (3, 10), se cumple que: f (3) = 10Entonces resulta que: 12 + b + 12 = 10 → b = −14

CUESTIÓN 6

Sean x e y los lotes de cada tipo que se tienen que preparar.

La función que hay que maximizar es: f (x, y) = 4,5x + 3y


4 2 3002 2 1802 4 300

00

x yx yx y

xy

+ ≤+ ≤+ ≤

≥≥

Los vértices del polígono son: A(0, 75), B(30, 60), C(60, 30) y D(75, 0)

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo:

f (0, 75) = 225 f (30, 60) = 315 f (60, 30) = 360 f (75, 0) = 337,5

Luego tienen que prepararse 60 lotes de tipo L1 y 30 lotes de tipo L2.

CUESTIÓN 7

f xx x

f xx x x x

' '( ) ( )+ − = = − + − +

1 1

01 1 1 1

2 2 2→ # = − − +dx x

xkln

1

Como f (1) = 4, entonces: 0 −1 + k = 4 → k = 5

La expresión de la función es: f x xx

( ) ln= − − +1

5, para x > 0.

Y

A B

10

2x + y = 150

X

C

D

10

x + 2y = 150

x + y = 90

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OPCIÓN A1. a) Hasta 0,5 puntos. b) Hasta 1,5 puntos. c) Hasta 0,5 puntos.

2. Hasta 2,5 puntos.

3. a) Hasta 1,5 puntos. b) Hasta 1 punto.


OPCIÓN B5. Hasta 2,5 puntos.




CUESTIÓN 8

La distribución de las medias muestrales sigue una distribución normal:

N N25024

64250 3, ( , )

=

P X PX

P Z<( ) =−

<−

= < −244250

3

244 250

3( 22 1 2 1 0 9772 0 0228) ( ) , ,= − ≤ = − =P Z

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13Enunciado de la prueba 2

OPCIÓN A

1. La suma de las tres cifras de un determinado número es 12. La cifra de las centenas es la media de las otras dos. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el número disminuye en 198 unidades. ¿De qué número se trata? (2,5 puntos)

2. Se quiere construir una caja abierta (sin tapa) recortando cuadrados iguales en cada uno de los lados de una hoja de cartón cuadrado de 72 cm de lado. Calcula la longitud del lado del cuadrado que se ha de recortar para obtener una caja de volumen máximo. (2,5 puntos)

3. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extraen tres bolas al azar sin reemplazamiento.

a) Calcula la probabilidad de extraer 2 bolas blancas y 1 negra. (1,5 puntos)

b) Calcula la probabilidad de extraer al menos 1 bola negra. (1 punto)

4. La altura media de una muestra tomada al azar de 324 hombres de una determinada región es de 171 cm, y la desviación típica, 9 cm. Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional para un nivel de confianza del 97 %. (2,5 puntos)

OPCIÓN B

5. Dada la función, f xx x

( ) ,=− −

1

62 calcula cuando existan:

a) Las asíntotas verticales y las horizontales. (1 punto)

b) Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. (1 punto)

c) Los máximos relativos y los mínimos relativos. (0,5 puntos)

6. En la preparación de dos tipos de barras de turrón, T1 y T2, se utiliza almendra marcona y almendra vivot. Cada barra del tipo T1 contiene 90 g de almendra marcona y 60 g de almendra vivot, y cada barra del tipo T2 contiene 30 g de almendra marcona y 120 g de almendra vivot. Con cada barra del tipo T1 se obtiene un beneficio de 1,20 €, y con cada barra del tipo T2, uno de 1 €. Se dispone de 270 kg de almendra marcona y de 480 kg de almendra vivot.

a) ¿Cuántas barras de cada tipo se han de preparar para poder obtener un beneficio máximo? (2 puntos)

b) ¿Cuál es ese beneficio máximo? (0,5 puntos)

7. Determina la función f (x), definida para x > 0, que verifica

f x xx

'( ) − − =1

02

y f (1) = 0. (2,5 puntos)

8. Para estimar la proporción de los habitantes de una determinada gran ciudad que tienen microondas, se quiere servir de una muestra aleatoria que mida n. Calcula el valor mínimo de n para el cual, con un nivel de confianza del 97 %, el error en la estimación sea más pequeño que 0,02. (Como se desconoce la proporción, se ha de tomar el caso más desfavorable, que será 0,5.) (2,5 puntos)

Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas.

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OPCIÓN A

CUESTIÓN 1

Sean a, b y c las tres cifras del número, y como la suma de ellas es 12: a + b + c = 12

Y, además, tenemos que: ab c

a b c=+

= +2

2→

Resolvemos: a b ca b c

b c ab c a

+ + == +

+ = −+ =

122

122

→ →→ →12 2 4− = =a a a

El número que buscamos tiene la forma: 100a + 10b + c

100c + 10b + a = 100a + 10b + c −198 → −99a + 99c = −198

Como a c c= − ⋅ + = − = =4 99 4 99 19819899

2→ →

Hallamos b: 2a = b + c → b = 2a − c = 2 · 4 − 2 = 6. El número pedido es 462.

CUESTIÓN 2

El volumen de la caja vendrá dado por:

f x x x x x x x x( ) ( ) ( . )= − = − + = − +72 2 5 184 288 4 4 2882 2 3 2 55 184. x

Calculamos los valores que anulan la primera derivada:

f x x x x x'( ) .= − + = = =12 288 5 184 0 12 362 → y

En (−`, 12), f'(x) > 0; en (12, 36), f'(x) < 0 y en (36, +`), f'(x) > 0;por tanto, el volumen de la caja es máximo cuando x = 12.

CUESTIÓN 3

a) P(blanca 1.a ∩ blanca 2.a ∩ negra 3.a) = 5

8

4

7

3

6

10

56⋅ ⋅ =

P(blanca 1.a ∩ negra 2.a ∩ blanca 3.a) = 5

8

3

7

4

6

10

56⋅ ⋅ =

P(negra 1.a ∩ blanca 2.a ∩ blanca 3.a) = 3

8

5

7

4

6

10

56⋅ ⋅ =

P(extraer dos bolas blancas y una negra) = 310

56

30

56

15

28⋅ = =

b) P(al menos una negra) = 1 − P(las tres blancas) = 15

8

4

7

3

61

60

336

23

28− ⋅ ⋅ = − =

CUESTIÓN 4

Tenemos que el nivel de confianza es: 1 − α = 0,97

El valor crítico obtenido en la tabla de distribución normal es: z α

2

2 17= ,

Calculamos el intervalo de confianza:

x zn

x zn

− +

= − ⋅α α

σ σ

2 2

171 2 179

3241, , ; 771 2 17

9

324+ ⋅

=,

= − +

=171

19 53

18171

19 53

18169 91

,;

,( , 55 172 085; , )

72x

x

0,015 0,97 0,015

0,97 + 0,015 = 0,985

z α2

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13

OPCIÓN B

CUESTIÓN 5

a) Asíntota horizontal: limx x

limx x

yx x→ →

→+ −− −

=− −

= =` `

16

01

60 0

2 2y

Asíntotas verticales: los límites laterales en los puntos 3 y 2, que anulan el denominador, son:

lim f x lim f x lim f x

x x x→ → →3 3 2+ − += + = − = −( ) ( ) ( )` `, , `̀ `y lim f x

x →2−= −( )

Por tanto, x = 3 y x = −2 son las asíntotas verticales.

b) Calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

f x

xx x

xx x

x'( )( )

( ) ( )=

− −− −

=− +− −

= =2 1

62 1

60

12 2 2 2

→22

Formamos los intervalos para estudiar la monotonía, teniendo en cuenta las asíntotas verticales:

La función es creciente en ( , ) ,− − ∪ −

` 2 2

12

y decreciente en 12

3 3, ( , )

∪ +` .

c) Calculamos la segunda derivada:

f x

x x x x x x''( )

( ) ( ) ( )( )=

− − − − − + ⋅ ⋅ − − −2 6 2 1 2 2 1 62 2 2

(( )( ) ( ) ( )

(x xx x x x

x x2 4

2

262 6 2 1 2 2 1

− −=

− − − − − + ⋅ ⋅ −− −−

=6 3)

=

− + + − − + + −

− −=

− +2 2 12 8 4 4 2

6

6 62 2

2 3

2x x x x x

x x

x x( )

( )

114

62 3( )x x− −

f''1

2

64

62

14

1

4

1

26

=

− +

− −

330

1

2

1

2<

→ El punto , f

= −

1

2

4

25,

es un punto máximo

y no tiene mínimos.

CUESTIÓN 6

a) Sean x = «Número de barras de turrón T1» e y = «Número de barras de turrón T2»

Las restricciones del problema son:

90 30 270 00060 120 480 000

00

x yx y

xy

+ ≤+ ≤

≥≥

..

Los vértices de la región factible son: A(0, 0), B(0, 4.000), C(2.000, 3.000) y D(3.000, 0)

Para maximizar la función objetivo, la evaluamos en sus vértices:

f f f( . , ) . ( . , . ) . ( , .3 000 0 3 600 2 000 3 000 5 400 0 4 0= = 000 4 000) .=

Para obtener un beneficio máximo se han de preparar 2.000 barras de T1 y 3.000 barras de T2.

b) El beneficio máximo es de 5.400 €.

f ' (−3) > 0 f ' (1) < 0 f ' (4) < 0

0 1−3

f ' (0) > 0

−2 3 412

Y

A

B C

3x + y = 9.000

XD

1.000x + 2y = 8.000

1.000

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CUESTIÓN 7

f x xx

f x xx

dxx

'( ) ( )= + = +

= +

1 132

2 2

32

→ # xxx

xk

−

−= − +

13

123

1

Como , y la función es:f k k( )1 02

31 0

1

3= − + = =→ → ff x x

x( ) = − +

2

3

1 1

33

CUESTIÓN 8

El nivel de confianza es 1 − α = 0,97 y el valor crítico obtenido en la tabla de la distribución normal es: z α

2

2 17= ,

E zp p

nE= ⋅

−<α

2

10 02

� �( ), .y queremos que

En n

= ⋅−

< ⋅−

=2 170 5 1 0 5

0 02 2 170 5 1 0 5

0,, ( , )

, ,, ( , )

,→ 002 y calculamos :n

n = −

= ⋅0 5 1 0 5

2 170 02

0 25 108 52

, ( , ),,

, , 22 0 25 11 772 25 2 943 06= ⋅ =, . , . ,

Por tanto, se ha de elegir una muestra, como mínimo de 2.944 habitantes que tengan microondas.


OPCIÓN A OPCIÓN B1. Planteamiento del sistema de ecuaciones:

1 punto. Resolución del sistema: 1,5 puntos.

2. Planteamiento del problema: 1,5 puntos. Cálculo efectivo del valor: 1 punto.

3. a) Hasta 1,5 puntos. b) Hasta 1 punto.


5. a) Hasta 1 punto. b) Hasta 1 punto. c) Hasta 0,5 puntos.

6. a) Planteamiento que se ha de maximizar la función f (x, y) = 1,2x + y sometida a las restricciones

zy

x yz y

≥≥

+ ≤+ ≤

00

90 30 270 00060 120 480 000

.

.

o equivalente: 1 punto. Maximización de la función sometida

a las restricciones: 1 punto.

b) Hasta 0,5 puntos.


8. 2,5 puntos.

0,015 0,97 0,015

0,97 + 0,015 = 0,985

z α2

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LA R

IOJA

Criterios generales de corrección:• Se sugiere un tipo de corrección positivo, es decir, partiendo

de cero y sumando puntos por los aciertos que el alumno vaya obteniendo.

• Como excepción al apartado anterior, los errores muy graves, del tipo:

a b a b

x

x

x

x x

x2 22 3

1

3+ = + =

+= +

lnln # #

se penalizarán especialmente, y pueden suponer un 0 en el apartado en el que se hayan cometido.

• Se deberá valorar la exposición lógica y la coherencia de las respuestas, tanto en cuestiones teóricas como prácticas. Algunos ejemplos:

a) Si al resolver un sistema de ecuaciones, el alumno comete un error numérico, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se prestará especial atención siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial.

b) En la representación gráfica de funciones, se valorará la coherencia del dibujo con los datos obtenidos previamente por el alumno. (Vale aquí la misma excepción que en el párrafo anterior.)

• La puntuación máxima de cada pregunta o apartado figura en los enunciados.

• Si un alumno da una respuesta acertada a un problema escribiendo solo los resultados, sin el desarrollo lógico de cómo los ha obtenido, la puntuación en este apartado no podrá ser superior al 40 % de la nota máxima prevista.

• Si el alumno debe elegir un solo problema entre dos propuestos y resuelve los dos, se le corregirá únicamente el que haya resuelto en primer lugar.

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PARTE A

Responde de manera razonada a las siguientes cuestiones:

A1 (1 punto). Resuelve la ecuación matricial M · X = M + Mt, siendo X una matriz

desconocida de tamaño 2 × 2, M =

1 23 4

y Mt la traspuesta de M.

A2 (1 punto). ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función f xx

x( ) =

+−

4

162?

A3 (1 punto). Calcula la siguiente integral indefinida: # xx

dx+

52

A4 (1 punto). Sonia y Manuel tiran, cada uno, un dado numerado del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que Sonia saque mayor puntuación que Manuel?

PARTE B

Resuelve uno de los dos problemas siguientes:

B1 (3 puntos). Discute, en función del parámetro a, la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. Resuélvelo cuando sea posible.

x y zx y zx y az a

+ + =− + =− + = −

4 23 2 12 5

B2 (3 puntos). Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de problemas para que resuelvan, como máximo, 70 problemas. Los problemas están clasificados en dos grupos. Los del grupo A valen 5 puntos cada uno y los del grupo B, 7 puntos. Para resolver un problema del tipo A se necesitan 2 minutos y para resolver un problema del tipo B, 3 minutos. Si los alumnos disponen de dos horas y media para resolver los problemas, ¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacer para obtener la puntuación máxima? ¿Cuál es dicha puntuación máxima?

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Distrito universitario de La Rioja

14

PARTE C


C1 La función f tt t

t( ) =

− +

+

2

2

1

1 representa la concentración de oxígeno en un estanque

contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas).

a) (1,5 puntos). Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) para t ≥ 0 así como los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima.

b) (1,5 puntos). De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t ≥ 0, estudiando con todo detalle sus asíntotas.

C2 El sueldo de los trabajadores de una multinacional sigue una distribución normal de media m = 2.500 € y desviación típica σ = 600 €. Si se toma una muestra de 64 trabajadores:

a) (0,5 puntos). ¿De qué tipo es la distribución de las medias de las muestras que pueden extraerse?

b) (1 punto). ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea menor que 2.350?

c) (1,5 puntos). Calcula el intervalo característico de las medias muestrales correspondiente a una probabilidad del 90 %.

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PARTE A

CUESTIÓN A1

M X M M X M M M M Mt t t⋅ = + = ⋅ + = + ⋅− −→ 1 1( ) ,I siendo I la matriz identidad de orden 2.

Como existe :M M M= − ≠ =−

−

− −2 0

2 13

2

1

2

1 1,

Entonces tenemos que: X =

+−

−

1 00 1

2 132

12

⋅⋅

=

+

−

1 32 4

1 00 1

0 212

52

=

−

1 212

72

CUESTIÓN A2

Dom f = R − {−4, 4}

limx

xx →→

−

+−4 2

416

00

limx

xlim

xx x

limx x x→ → →− − −

+−

=+

− +=

4 2 4

416

44 4( )( ) 44

14

18x −

= −

limx

xx →→

4 2

416+−

`

limx

x

limx

x

x

x

→

→

4 2

4 2

416416

−

+

+−

= −

+−

= +

`

`

=→ x 4 es una asíntota vertical.

Por tanto, la función solo tiene una asíntota vertical.

CUESTIÓN A3

# #xx

dx xx

d+

= + +

510

252

22

xxx

xx

k= + − +3

310

25

CUESTIÓN A4

Los resultados posibles para Sonia y Manuel son:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Así, la probabilidad de que Sonia obtenga mayor puntuación que Manuel es: 15

36

5

12=

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14

PARTE B

PROBLEMA B1

Sean Ma

= −−

1 4 13 1 22 5

la matriz de los coeficientes y Ma a

* = −− −

1 4 1 23 1 2 12 5

la matriz ampliada del sistema.

M a= −13 13

• Si a ≠ 1 → Rango (M) = Rango (M*) = 3 = n.o de incógnitas. El sistema es compatible determinado, y tiene una solución única.

x y zx y zx y az a

x+ + =− + =− + = −

+4 23 2 12 5

4→

yy zy zy a z a

+ =− − = −− + − = − −

213 513 2 4( )

→ →x y z

y za z a

x+ + =− − = −− = −

=4 213 5

1 1

1

( )

55

136

131

y

z

=

= −

• Si a = 1 → M = 0 → Rango (M) = 2 = Rango (M*) (puesto que todos los menores de orden 3 de M* son nulos). El sistema es compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones.

x y zx y zx y z

x y+ + =− + =− + = −

+4 23 2 12 5 1

4→

++ =− − = −− − = −

+ + =zy zy z

x y z213 513 5

4 2→ −− − = −

=

= − +== −

13 50 0

3 9

5 13y z

x ty tz t

→

con t ∈ R

PROBLEMA B2

Sean x e y el número de problemas de cada tipo.

La función que hay maximizar es: f (x, y) = 5x + 7y

Teniendo en cuenta que dos horas y media son 150 minutos, las restricciones son:

x yx y

xy

+ ≤+ ≤≥≥

702 3 150

00

Los vértices de la región factible son: A(0, 50), B(60, 10), C(70, 0) y D(0, 0).

Al sustituir las coordenadas de los puntos en la función objetivo:

f (0, 50) = 350 f (60, 10) = 370 f (70, 0) = 350 f (0, 0) = 0

Luego para obtener la puntuación máxima deben resolverse 60 problemas del grupo A y 10 problemas del grupo B, de modo que se consiguen 370 puntos.

Y

A

B

C10

10

x + y = 70

XD

2x + 3y = 150

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PARTE C

PROBLEMA C1

a) f tt t t t t

tt

'( )( )( ) ( )

( ) (=

− + − − + ⋅+

=−2 1 1 1 2

112 2

2 2

2

tt 2 21+ )

t

tt t

2

2 221

10 1 0 1

−

+= − = = ±

( )→ →

Así, para t ≥ 0: f (t) es decreciente en (0, 1) y es creciente en (1, +`). En t = 1 hay un mínimo absoluto.b) Como Dom f = R, la función no tiene asíntotas verticales.

lim f t lim

t t

tt t→ →+ +=

− +

+=

` `( )

2

2

1

11

→ y = 1 es una asíntota horizontal.

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.

Considerando los puntos (0, 1) y 11

2,

,

la representación gráfica de la función es:

PROBLEMA C2

a) X N N; 2 500600

642 500 75. , ( . , )

=

b) P X PX

( . ). . .

< =−

<−

2 350

2 500

75

2 350 2 500

75= <− = − < = − =P Z P Z( ) ( ) , ,2 1 2 1 0 9772 0 0228

c) Si 1 0 9 0 12

0 05− = = =α αα

, , ,→ →

El valor correspondiente a 0,95 de probabilidad es: z α2

1 645= ,


2 500 1 645

600

642 500 1 645

600

64. , , . ,− ⋅ + ⋅

= ( . , ; . , )2 376 63 2 623 38


PARTE AA1: Hasta 1 punto.A2: Hasta 1 punto.A3: Hasta 1 punto.A4: Hasta 1 punto.

PARTE BB1: Hasta 3 puntos.B2: Hasta 3 puntos.

PARTE CC1: Apartado a): Hasta 1,5 puntos.Apartado b): Hasta 1,5 puntos.C2: Apartado a): Hasta 0,5 puntos.Apartado b): Hasta 1 punto.Apartado c): Hasta 1,5 puntos.

f ' (−2) > 0 f ' (0) < 0 f ' (2) > 0

0 1−1 2−2

Y

f (t)

0,2

X2

1

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14

PARTE A

Responde de manera razonada a las siguientes cuestiones:

A1 (1 punto). Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:

M a=

3 2 15 0

1 2 3

A2 (1 punto). Calcula la integral indefinida:

# x x

xdx

3

2

2 1+ +

A3 (1 punto). El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función:

f t

t

t( )

( )=

+

+

18

3

2

2

donde t es el tiempo medio en años desde t = 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a `.

A4 (1 punto). Tenemos dos urnas A y B. En A hay 6 bolas blancas y 4 negras. En B hay 3 bolas blancas y 6 negras. Se saca una bola de A y se introduce en B. A continuación se saca una bola de B, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea negra?

PARTE B


B1 (3 puntos). De todos los rectángulos de perímetro 10 metros, halla las dimensiones del que tiene la diagonal mínima.

B2 Dada la función f (x) = x3 + 3x2:

a) (1 punto). Calcula sus puntos de cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión.

b) (1 punto). Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) (1 punto). Represéntala gráficamente.


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PARTE C


C1 (3 puntos). Una empresa de construcción está formada por 20 oficiales y 12 peones. Para su siguiente trabajo se tienen que distribuir en grupos de dos tipos:

• Tipo A: Un oficial y un peón. • Tipo B: Dos oficiales y un peón.

Los grupos de tipo A tienen unos ingresos de 1.500 € mensuales. Los grupos de tipo B tienen unos ingresos de 2.000 € mensuales. Determina cómo se han de distribuir los trabajadores para obtener los ingresos máximos.

C2 La temperatura media de una localidad sigue una ley normal de media 20,2 grados centígrados y desviación típica 6. Se toman muestras de 100 días y se pregunta:

a) (0,5 puntos). ¿Qué tipo de distribución siguen las medias extraídas?

b) (1,5 puntos). ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de la muestra esté entre 19,7 y 20,7 grados?

c) (1 punto). Encuentra el intervalo de confianza donde se encuentra el 95 % de las temperaturas medias de la muestra de 100 días.

Tabla abreviada de la distribución normal tipificada

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

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14

PARTE A

CUESTIÓN A1

Una matriz no tiene inversa si su determinante vale cero.

Calculamos el valor de a para que M = 0:

M a a a a a= = + − + = = =3 2 1

5 01 2 3

45 2 5 6 0 40 4 10→ →

La matriz M no tiene inversa cuando a = 10.

CUESTIÓN A2

# #x xx

dx xx x

dxx3

2 2

22 1 2 12

2+ +

= + +

= + ln xx

xk− +

1

CUESTIÓN A3

La población inicial es:

f ( )018

32

2= = millones de individuos

A largo plazo la población será:

limt

tlim

t

t tt t→ →+ +

+

+=

+

+ +=

` `

18

3

18

6 31

2

2

2

2( ) millón de individuos

CUESTIÓN A4

Según salga bola blanca o bola negra de la urna A, se configuran dos tipos de urna B que llamaremos B1 y B2.

Consideramos los sucesos n = «Sacar bola negra» y b = «Sacar bola blanca».

Nos ayudamos con el siguiente diagrama de árbol:

Urna A

Urna B1

Urna B2

Sale b

Sale n

0,6

b

4b6n

6b4n

3b7n

n

b

n

0,6

0,4

0,4

0,3

0,7

P(n) = P(n en B1 ∪ n en B2) = P[(sale b de A ∩ sale n de B1) ∪ (sale n de A ∩ sale n de B2)] = = 0,6 · 0,6 + 0,4 · 0,7 = 0,64


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PARTE B

PROBLEMA B1

El perímetro de un rectángulo de lados a y b es: 2a + 2b = 10La diagonal es:

a b a

a2 2 2

210 2

2+ = +

−

, y queremos que sea mínima.

Llamamos f (a) a la función diagonal:

f a a

aa a a( ) ( )= +

−

= + − = −2

2

2 2 210 2

25 2 10aa+ 25

Calculamos su primera derivada y vemos en qué valores se anula:

f a

a

a aa b

a'( ) ,=

−

− += = = =

−4 10

2 2 10 250

104

2 510 2

22→ y ==

−=

10 52

2 5,

Comprobamos si a = 2,5 es un mínimo:

f a a a a''( ) ( ) ( )= − + + − −

−2 2 10 25 2 5

1

22

1

2 − − +

−( )( )4 10 2 10 252

3

2a a a

y vemos que f''(2,5) > 0. Por tanto, la diagonal mínima pertenece a un cuadrado de lado 2,5 metros.

PROBLEMA B2

a) Hallamos los puntos de corte con los ejes:

f x x x x x x x( ) ( )= + = + = = = −3 2 23 3 0 0 3→ →y Los puntos soon: y( , ) ( , )0 0 3 0−

f x x x x x f x x f x' '' '''( ) ( ) ( ) ( )= + = + = + =3 6 3 2 6 6 62

Máximos y mínimos:

Si f x x x x x'( ) ( )= + = = = −0 3 2 0 0 2→ → y Calculamos el comportamiento de la segunda derivada en x = 0 y x = −2.

ff''''

( ) ( , )(0 6 0 0 0

2= >

−→ es un punto mínimo.

)) ( , )= − < −6 0 2 4→ es un punto máximo.

Puntos de inflexión:

Si f x x x''( ) = + = = −0 6 6 0 1→ → Como f'''( ) ( , )− ≠ −1 0 1 2→ es un punto de inflexión.

b) Intervalos de crecimiento: (−`, −2) ∪ (0, +`) Intervalo de decrecimiento: (−2, 0)

c) Y

f (x)

X

1

1


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14

PARTE C

PROBLEMA C1

Construimos la siguiente tabla para plantear el sistema de inecuaciones:

Tipo A Tipo B Trabajadores

Oficial 1 2 20

Peón 1 1 12

Ingresos 1.500 2.000

Llamamos x = «Número de grupos de tipo A» e y = «Número de grupos de tipo B».Resolvemos el siguiente sistema y calculamos los vértices de la región factible:

x yx yxy

yx

y

+ ≤+ ≤≥≥

=−

2 2012

00

20

2→== −

−= − = =

12

20

212 4 8

x

xx x y→ → e

Los vértices de la región son: A(4, 8), B(12, 0), C(0, 10) y D(0, 0).

La función objetivo que tenemos que maximizar es:

f (x, y) = 1.500x + 2.000y

Estudiamos la función en los vértices de la región factible:

ff( , ) . . .( , ) .4 8 1 500 4 2 000 8 22 00012 0 1 500

= ⋅ + ⋅ == ⋅112 18 000

0 10 2 000 10 20 0000 0 0

== ⋅ ==

.( , ) . .( , )

ff

Se obtienen los ingresos máximos cuando los trabajadores se distribuyen en 4 grupos del tipo A y 8 grupos del tipo B.

PROBLEMA C2

a) La temperatura media poblacional sigue una distribución normal: N(20,2; 6)

Y la media muestral seguirá una distribución normal: N N20 26

10020 2 0 6, ; ( , ; , )

=

b) P X P Z( , , ), ,

,, ,

,19 7 20 7

19 7 20 20 6

20 7 20 20 6

< < =−

< <−

=

= − < < = < − <− =P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( , )0 833 0 833 0 833 0 833 0,, , ,797 1 0 797 0 594− + =

Por tanto, la probabilidad de que la temperatura media de la muestra de 100 días esté entre 19,7 y 20,7 grados es de 0,594.

Y

A B

C2x + y = 12

X

2

x + 2y = 20

D

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PARTE AA1: Hasta 1 punto.A2: Hasta 1 punto.A3: Hasta 1 punto.A4: Hasta 1 punto.

PARTE BB1: Hasta 3 puntos.B2: Apartado a): Hasta 1 punto. Apartado b): Hasta 1 punto. Apartado c): Hasta 1 punto.

PARTE CC1: Hasta 3 puntos.C2: Apartado a): Hasta 0,5 puntos. Apartado b): Hasta 1,5 puntos. Apartado c): Hasta 1 punto.

c) El nivel de confianza es: 1 − α = 0,95 y el valor crítico obtenido en la tabla de la distribución normal es:

z α2

1 96= , .

0,025 0,95 0,025

0,975

z α2

1 96= ,

El intervalo de confianza para la media viene dado por:

x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

= − ⋅α α

σ σ

2 2

20 2 1 966

10, , ,

0020 2 1 96

6

10019 02 21 37; , , ( , ; , )+ ⋅

=

Podemos decir que el intervalo de confianza donde se encuentra el 95 % de las temperaturas medias de las muestras de 100 días es: (19,02; 21,37).

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PAÍS

VAS

CO

790778 _ 0171-0184.indd 171 1/8/16 15:18



Notas: 1. Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 o el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D).

2. Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos.

3. Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables.

4. En hoja aparte hay una tabla de la distribución normal estándar.

APARTADO A

EJERCICIO A1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0,05 € por cada impreso repartido, mientras que la empresa B le paga 0,07 € por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de A, en la que caben 120, y otra para los de B, en la que caben 100. Por experiencia sabe también que cada día puede repartir, a lo sumo, 150 impresos. ¿Cuántos impresos debe repartir de cada clase para que su ganancia diaria sea máxima? ¿A cuánto ascendería dicha ganancia?

EJERCICIO A2. Dada la matriz:

Am

m= −− −

1 10 1

6 1 0

a) Hallar los valores de m para los cuales tiene inversa.

b) Cuando m = 2, encontrar la matriz X que cumple X · A = (1 0 −1).

APARTADO B

EJERCICIO B1. Un artículo de consumo estuvo a la venta durante 8 años, y su precio P(t) (en miles de euros) varió con el tiempo t (en años) que llevaba en el mercado, según la función siguiente:

P tt t

t t( ) =

+ ≤ ≤

− + < ≤

4 4 0 2

5

225 2 8

2 si

si

a) Representar gráficamente la función.

b) Averiguar en qué momentos se alcanzaron los precios máximo y mínimo, y cuáles fueron esos precios.

EJERCICIO B2. Hallar el valor de a > 0 para el cual son iguales las áreas A x dxa

1

0

= #

y A x dxa

2

0

2= # , y representar gráficamente los recintos correspondientes

a dichas áreas.

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Distrito universitario del País Vasco

15

APARTADO C

EJERCICIO C1. En una caja hay diez bolas, cinco de las cuales están marcadas con números positivos y las otras cinco con números negativos. Si se extraen, al azar y simultáneamente, dos bolas y se multiplican los números que aparecen en ellas, ¿qué es más probable, un resultado positivo o uno negativo?

EJERCICIO C2. Se hacen tres lanzamientos de un dado equilibrado. Si la suma de las dos primeras puntuaciones es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las tres puntuaciones sea 15?

APARTADO D

EJERCICIO D1. Una compañía de autobuses sabe que el retraso en la llegada sigue una ley normal de media 5 minutos, y que el 68,26 % de los autobuses llega con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos. Hallar la desviación típica de la ley normal y la probabilidad de que un autobús se retrase más de 10 minutos.

EJERCICIO D2. Cierto partido político difunde en su campaña que el 60 % de los electores tiene intención de votarle en las próximas elecciones, pero en una encuesta realizada a 1.000 de esos electores elegidos al azar solo 540 afirmaron tal intención. ¿Es aceptable lo que dice el partido, con un 95 % de confianza? ¿Y con el 99 %?

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APARTADO A

EJERCICIO A1

Sean x e y los impresos que se reparten de cada clase, respectivamente.

La función que hay que maximizar es:

f (x, y) = 0,05x + 0,07y


0 1200 100

150

≤ ≤≤ ≤+ ≤

xy

x y

Los vértices del polígono son:

A(0, 100), B(50, 100), C(120, 30), D(120, 0) y E(0, 0).

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo, tenemos que:

f (0, 100) = 7 f (50, 100) = 9,5 f (120, 30) = 8,1 f (120, 0) = 6 f (0, 0) = 0

Por tanto, debe repartir 50 impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B, con lo que se obtendría una ganancia de 9,50 €.

EJERCICIO A2

a) A m= −5 2

La matriz A tiene inversa si m ≠ ± 5 .

b) Si m = 2, entonces existe la matriz inversa de A:

A− =− − −

− − −

11 2 16 12 52 5 2

Despejamos en la ecuación:

X A= − ⋅ = − ⋅− − −

− − −

−( ) ( )1 0 1 1 0 1

1 2 16 12 52 5 2

1

= ( )1 3 1

Y x = 120

A B

C

20

x + y = 150

XDE

20

y = 100

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15

APARTADO B

EJERCICIO B1

a) Teniendo en cuenta los puntos:

x 0 2 8

y 4 20 5

La representación de la función es:

b) Según la representación, el precio mínimo fue de 4.000 € cuando el producto apareció en el mercado, y el máximo fue de 20.000 € y se alcanzó a los dos años.

EJERCICIO B2

A x dxx aa a

10

2

0

2

2 2= =

=#

A x dxx aa a

20

23

0

3

3 3= =

=#

Si las áreas son iguales, entonces tenemos que:

a aa a

2 32 3

2 33 2 0= − =→

Como a > 0, se verifica que:

3 2 03

2− = =a a→

Los recintos correspondientes son:

Y

1 X

2

P(t)

x = 1,5

y = x

1

1

Y

X x = 1,5

y = x2

1

1

Y

X

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APARTADO C

EJERCICIO C1

P(obtener un resultado positivo) = P(extraer dos bolas con números positivos) +

+ P(extraer dos bolas con números negativos) =

52

102

52

10

+

22

4

9

=

P(obtener un resultado negativo) = P(extraer una bola con un número positivo y otra

con un negativo) =

51

51

102

5

⋅

=99

Por tanto, es más probable obtener un resultado negativo.

EJERCICIO C2

Si la suma de las tres puntuaciones es 15, es necesario que las dos primeras tiradas sumen como mínimo 9; además, el enunciado indica que la suma es par, por lo que solo puede ser 10 o 12.

Entonces, tenemos que: P(obtener suma igual a 15 en tres lanzamientos) = = P(obtener 5 en el tercer lanzamiento) · P(obtener suma igual a 10) + + P(obtener 3 en el tercer lanzamiento) · P(obtener suma igual a 12) =

= ⋅ + ⋅ = =

1

6

3

36

1

6

1

36

4

216

1

54

APARTADO D

EJERCICIO D1

P X PX

P Z( )2 82 5 5 8 5 3

< < =−

<−

<−

=

−< <

σ σ σ σ

332

31 0 6826

σ σ

= <

− =P Z ,

→ → →P Z <

= = =

30 8413

31 3

σ σσ,

P X PX

P Z( ) ( , )> =−

>−

= > = −10

5

3

10 5

31 67 1 PP Z( , ) , ,≤ = − =1 67 1 0 9525 0 0475


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15

EJERCICIO D2

El contraste es bilateral:

H pH p

0

1

0 60 6

::

=≠

,,

Para un nivel de confianza del 95 %, el valor de z α

2

1 96= , es: z α

2

1 96= ,

Se admite la hipótesis nula si �p p zp p

n− < ⋅

−0

2

0 01α

( ).

En la encuesta se tiene que la proporción es:

p�= =540

1 0000 54

.,

Como 0 54 0 6 0 06 1 960 6 0 4

1 0000 03, , , ,

, ,.

,− = > ⋅⋅

= ; se rechaza la hipótesis nula, es decir,

no se puede aceptar lo que dice el partido a ese nivel de confianza.

Si el nivel de confianza es del 99 %:

z α

2

2 58= ,

Análogamente, como 0 54 0 6 0 06 2 580 6 0 4

1 0000 04, , , ,

, ,.

,− = > ⋅⋅

= ; se rechaza la hipótesis nula,

y, no se acepta lo que dice el partido con un 99 % de confianza.


APARTADO AEJERCICIO A1: Hasta 3 puntos.EJERCICIO A2: Hasta 3 puntos.

APARTADO BEJERCICIO B1: Hasta 3 puntos.EJERCICIO B2: Hasta 3 puntos.

APARTADO CEJERCICIO C1: Hasta 2 puntos.EJERCICIO C2: Hasta 2 puntos.

APARTADO DEJERCICIO D1: Hasta 2 puntos.EJERCICIO D2: Hasta 2 puntos.

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APARTADO A

EJERCICIO A1. Hallar A2, A3, A4 y A5, siendo A la matriz:

A =

1 10 1

¿Se percibe algún patrón que permita adivinar cuál es A50 y, en general, An?

EJERCICIO A2. Con 6 kg de un fármaco se desea elaborar pastillas grandes (40 g cada una) y pequeñas (20 g cada una), de manera que el número de pastillas grandes no sea inferior a 30 pero tampoco superior al doble del número de las pequeñas. Si el beneficio que se obtiene en la venta es de 0,25 €, por cada pastilla grande, y 0,15 €, por cada pequeña, ¿cuántas pastillas hay que vender de cada clase si se busca el máximo beneficio posible?

APARTADO B

EJERCICIO B1. Encontrar el dominio de la función y = log (1 + x + x2) y los puntos en los que la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (Nota: «log» significa «logaritmo neperiano».)

EJERCICIO B2. Hallar el área de la figura OAB, en la que O es el origen de coordenadas, A(−1, 1), B(2, 1), los lados OB y AB son segmentos rectilíneos y OA es un arco de la curva y = x2.

APARTADO C

EJERCICIO C1. Se lanza una moneda (equilibrada) cuatro veces. Hallar la probabilidad de obtener un número impar de caras.

EJERCICIO C2. En una asociación, en la que el 60 % de sus miembros son mujeres, la mitad de estas y el 20 % de los varones asistieron a cierta reunión. Si se elige al azar un miembro de dicha asociación, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer?

Notas: 1. Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 o el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D).

2. Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos.

3. Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables.

4. Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar.

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15

APARTADO D

EJERCICIO D1. En una ciudad en la que la edad de sus habitantes se ajusta a una distribución normal de media 35 años, ¿qué grupo es más numeroso: el de los mayores de 65 años o el de los menores de 18 años? Justifica la respuesta.

EJERCICIO D2. En cierta comunidad autónoma, la proporción de ciudadanos contrarios a la construcción de un embalse ascendía, el pasado año, al 30 %. En una reciente encuesta realizada a 400 ciudadanos de esa comunidad (elegidos al azar) 112 de ellos manifestaron ser contrarios al embalse. ¿Puede decirse, con un 95 % de confianza, que ha variado esa proporción de ciudadanos? ¿Y con un 99 % de confianza?

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APARTADO A

EJERCICIO A1

A2 1 10 1

1 10 1

1 20 1

=

⋅

=

= ⋅ =

⋅

A A A3 2 1 20 1

1 10 1

=

= ⋅ =

1 30 1

1 30 1

4 3A A A ⋅

=

= ⋅ =

1 10 1

1 40 1

15 4A A A 440 1

1 10 1

1 50 1

⋅

=

Observamos que, para todas las matrices, el elemento a2 coincide con la potencia de la matriz A. Por tanto, tenemos que:

A50 1 500 1

=

y, en general, se verifica que: A nn =

10 1

EJERCICIO A2

Planteamos un sistema de inecuaciones lineales con las condiciones del enunciado, siendo x = «Número de pastillas grandes» e y = «Número de pastillas pequeñas».

40 20 6 000302

2 30030

x yxx y

x yx

+ =≥≤

+ =≥

.→

xx y≤

2

Dibujamos la región factible y hallamos sus vértices:

y xxx y

y xx

= −==

= −=

300 2

302

300 230

→

= −=

→

→

A

y xx y

B

x

( , )

( , )

30 240

300 22

120 60

===

302

30 15x y

C→ ( , )

La función objetivo es: f (x, y) = 0,25x + 0,15y

El máximo lo alcanzará en alguno de los vértices de la región factible:

ff( , ) , , ,( , ) ,30 240 0 25 30 0 15 240 43 5120 60 0

= ⋅ + ⋅ == 225 120 0 15 60 39

30 15 0 25 30 0 15 15⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =,

( , ) , ,f 99 75,

Para que el beneficio sea máximo habrá que vender 30 pastillas grandes y 240 pastillas pequeñas, y el beneficio es de 43,50 €.

Y x = 30

A

B

C

50

X50

y = 300 − 2x

yx

=2

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15

APARTADO B

EJERCICIO B1

El dominio estará formado por todos los valores x tales que 1 + x + x2 > 0, y esta condición se cumple siempre, el dominio es: Dom f = .

Calculamos f (x):

f x f x

xx x

' '( ) ( ): =+

+ +1 2

1 2

La bisectriz del primer cuadrante es la recta f (x) = x, que tiene pendiente 1.

Para hallar los puntos en los que la tangente a la curva es paralela a f (x) = x, resolvemos la ecuación:

1 2

11 1 2 1 0 1 0

22 2+

+ += + = + + − = − = =x

x xx x x x x x x x→ → → →( ) 00

1x =

Los puntos pedidos son:

( , log ( )) ( , ) ( , log ( )) ( ; ,0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 12 2+ + = + + =y 0098)

EJERCICIO B2

Dibujamos la figura OAB:

La recta AB es y = 1 y la recta OB es yx

=2

.

Área = − + −

= −

− −# #

0

1

22

1

1 12

( )x dxx

dx xx 33

1

0 2

0

2

3 41

1

32 1

5

3

+ −

= − + − =

−

xx

uu2

A B

1

1

O

Y

X

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APARTADO C

EJERCICIO C1

P[(1 cara y 3 cruces) ∩ (3 caras y 1 cruz)] = ⋅

+ ⋅

= ⋅

4

1

24

1

28

1

2

4 4

= =

48

16

1

2

EJERCICIO C2

Construimos una tabla de contingencia con los datos del enunciado:

M H Totales

Asistieron 0,3 0,2 a

No asistieron b c d

Totales 0,6 0,4 1


Casilla a: 0,3 + 0,2 = 0,5 Casilla b: 0,6 − 0,3 = 0,3 Casilla c: 0,4 − 0,2 = 0,2 Casilla d: 1 − 0,5 = 0,5

La tabla correspondiente es:

M H Totales

Asistieron 0,3 0,2 0,5

No asistieron 0,3 0,2 0,5

Totales 0,6 0,4 1

• P(al elegir al azar un miembro de la asociación sea uno de los asistentes) = 0,5

• P(M / no asistió) =∩

= =P M

P( )

( ),,

,no asistió

no asistió0 30 5

0 6

APARTADO D

EJERCICIO D1

Llamamos X = «Edad de una persona».

La variable X se distribuye según una N(35, σ). Tipificando la variable X tenemos que:

P X P Z P Z( )< = <

−

= <

−

18

18 35 17

σ σ

P X P Z P Z( )> = >

−

= >

65

65 35 30

σ σ

Por la simetría de la función de distribución de la normal se tiene que:

P Z P Z P X>

< <

−

>

30 1765

σ σ→ ( )) ( )< <P X 18

Por tanto, el grupo más numeroso es el grupo de menores de 18 años.−

17σ

17σ

30σ


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15

EJERCICIO D2

Planteamos un test de hipótesis bilateral para la proporción:

H p pH p

0 0

1

0 30 3

::

= =≠

,,

• Del enunciado sabemos que p n�= = =

112

4000 28 400, .y

• El estadístico de contraste viene dado por:

zp p

p p

n

=−

−=

−

−=

−� 0

0 01

0 28 0 3

0 3 1 0 3

400

0 0

( )

, ,

, ( , )

, 22

0 0220 9

,,= −

• Con un 95 % de confianza, el coeficiente es 0,95 y α = 0,05.

• Según la tabla de la distribución normal, z α

2

1 96= , .

• Por tanto, la región de aceptación es (−1,96; 1,96).

Como el estadístico z = −0,9 ∈ (−1,96; 1,96) aceptamos la hipótesis nula, es decir, que con un nivel de confianza del 95 % no ha variado la proporción de ciudadanos contrarios a la construcción del embalse.

• Con un 99 % de confianza, el coeficiente es 0,99 y α = 0,1.

• Según la tabla de distribución normal, z α

2

2 58= , .

• La región de aceptación es (−2,58; 2,58).

• Como el estadístico z = − ∈ −0 9 2 58 2 58, ( , ; , ) aceptamos la hipótesis nula, con un nivel de confianza del 99 %, y vemos que tampoco ha variado la proporción de ciudadanos contrarios a la construcción del embalse.

•

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APARTADO AEJERCICIO A1: Hasta 3 puntos.EJERCICIO A2: Hasta 3 puntos.

APARTADO BEJERCICIO B1: Hasta 3 puntos.EJERCICIO B2: Hasta 3 puntos.

APARTADO CEJERCICIO C1: Hasta 2 puntos.EJERCICIO C2: Hasta 2 puntos.

APARTADO DEJERCICIO D1: Hasta 2 puntos.EJERCICIO D2: Hasta 2 puntos.

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PRIN

CIPA

DO

DE

ASTU

RIAS

Criterios generales de corrección:• Solo se corregirán cuatro bloques. En caso de un número mayor

se considerarán los cuatro primeros.• No se tendrán en cuenta en la calificación incorrecciones debidas

a cálculos anteriores erróneos siempre que exista coherencia en el desarrollo del problema.

• Los errores debidos a despistes no se tendrán en cuenta en la calificación, excepto cuando sean reiterados, se simplifique el problema o se contradigan resultados teóricos básicos.

• Si se comete un error que afecta a resultados posteriores del mismo ejercicio, se tendrá en cuenta si existe coherencia con el resultado erróneo, en cuyo caso se aplicará el criterio de puntuación fijado.

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BLOQUE 1

a) Calcula el producto (1 3) · 25

25

y el · (1 3).

b) Estudia para qué valores de m el sistema, con incógnitas representadas por x e y,

dado por mx mmx m y m

− − =+ − − − =

2 01 2 1 0( )

tiene solución y cuándo es única.

Encuentra dos soluciones para m = 1.

BLOQUE 2

Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de una ciudad, se quiere colocar al menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20 % de las piezas que se coloquen sean jardineras.

a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan?

BLOQUE 3

En la construcción de un túnel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado por el siguiente modelo matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún tramo de la perforación el porcentaje supera el 40 %, se deberán reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la estructura.

R xx

x x x( ) ,= − + + ≤ ≤3

2

34 5 18 15 0 7

a) Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece.

b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?

c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión de la curva.

BLOQUE 4

a) Si f' es la derivada de la función dada por f x x xx

x( ) ( )= − +2 63

03 2

4≠ ,

calcula f'(−2).

b) Dibuja la función f(x) = 2x3 − 6x2. Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4.

El alumno deberá contestar a cuatro bloques elegidos entre los seis que siguen. La contestación deberá ser siempre razonada. Cada uno de los bloques de preguntas puntúa por igual (2,5 puntos).

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Distrito universitario del Principado de A

sturias16

BLOQUE 5

En un grupo de familias, un 10 % ha cambiado de coche y también ha cambiado de piso. Un 50 % no ha cambiado de coche y sí de piso. Entre los que han cambiado de coche, un 25 % ha cambiado de piso.

a) ¿Qué porcentaje de familias ha cambiado de piso?

b) ¿Qué probabilidad hay de que una familia del grupo haya cambiado de coche?

c) De las familias que no han cambiado de piso, ¿qué porcentaje ha cambiado de coche?

BLOQUE 6

Antes de la puesta en marcha del carnet por puntos, la velocidad en cierta carretera seguía una normal de media 80 kilómetros por hora y desviación típica 10. Pasados unos meses de la introducción de dicha medida, sobre 40 vehículos observados a diferentes horas del día se obtuvo una media de 75 kilómetros por hora. Si la velocidad sigue siendo una normal con la misma desviación típica:

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con dicha medida la situación sigue igual, frente a que, como parece, ha mejorado. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación del 5 %?

b) Calcula un intervalo de confianza del 95 % para la velocidad en ese tramo después de la introducción del carnet por puntos.

(Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(3,16) = 1; F(1,96) = 0,975; F(1,64) = 0,95; F(0,95) = 0,83; F(0,05) = 0,52).

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BLOQUE 1

a) ( ) ( )1 3 25

17⋅

=

25

1 3 2 65 15

⋅ =

( )

b) De la primera ecuación se obtiene:

xm

mm m y m y

mm

=+

+ + − − − = =−−

22 1 2 1 0

11

→ →( )

Por tanto, si m ≠ 0 y m ≠ 1 el sistema es compatible determinado, si m = 0 es incompatible y si m = 1 es compatible indeterminado.

Si m = 1:

xx

− =− =

3 03 0

Así, dos de las soluciones del sistema serían, por ejemplo: (3, 1) y (3, 2).

BLOQUE 2a) Sean x el número de farolas e y el número de jardineras que se van a colocar.


x yxy

yx

y x y

+ ≥≤ ≤≤ ≤

≤

≥ +

200 400 12

30 2, ( )

El conjunto de soluciones viene dado por la región de vértices:

A(16, 4), B(15, 5), C(36, 12), D(40, 12) y E(40, 10)

Los puntos con coordenadas enteras determinados por los vértices de este polígono son todas las combinaciones de piezas que se pueden colocar.

b) La función que hay que maximizar es:

f (x, y) = x − y

Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo:

f (16, 4) = 12 f (15, 5) = 10 f (36, 12) = 24 f (40, 12) = 28 f (40, 10) = 30

Por tanto, deben colocarse 40 farolas y 10 jardineras para que la diferencia sea máxima. Pero esta no es la combinación en la que más piezas se utilizan, ya que el vértice B, con 40 farolas y 12 jardineras, es el que corresponde a la combinación con más elementos.

Y

y = 12

AB

C

5

5

x + y = 20

E

D

x = 40

y = 0,2 (x + y)

X

y x=3

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sturias16

BLOQUE 3

a) R x x x'( ) = − +2 9 18

x x xx

2 9 18 0 63

− + = ==

→

El porcentaje crece en (0, 3) ∪ (6, 7) y decrece en (3, 6).

b) Teniendo en cuenta los puntos:

x 0 3 6

y 15 37,5 33


En el intervalo [0, 7] en el que está definida la función no se supera el 40 %, así que no es necesario reforzar las medidas.

c) R x x''( ) = −2 9 R''( )3 3 0= − < → (3, f (3)) es un máximo relativo. R''( )6 3 0= >− → (6, f (6)) es un mínimo relativo.

Dado el dominio de definición, el punto (0, f (0)) es el mínimo absoluto y el punto (7, f (7)) es el máximo absoluto de la función.

2 9 092

4 5x x− = = =→ →, En 4,5 hay un punto de inflexión.

BLOQUE 4

a) f x x xx

'( ) = − −6 12122

5

f'( ) ( ) ( )( )

− = ⋅ − − ⋅ − −−

= + =2 6 2 12 212

248

38

3878

25

b) f x x x'( ) = −6 122

6 12 0 02

2x x xx

− = ==

→

f x x''( ) = −12 12

f''( )0 12 0= − < → (0, 0) es un máximo relativo. f''( )2 12 0= >− → (2, −8) es un mínimo relativo.

Teniendo en cuenta los puntos:

x 0 1 2 4

y 0 −4 −8 32

1

5

R(x)

Y

X

0

f'(1) > 0

1 3 4 66,5

7

f'(4) < 0 f'(6,5) > 0

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El área limitada por la función y el eje de abscisas es: Área u= − = −

=#

4

2

3 24

3

2

4

22 62

2 8( )x x dxx

x

BLOQUE 5 Sean los sucesos: A = «Haber cambiado de coche» B = «Haber cambiado de piso»

P A B P A B P B A( ) , ( ) , ( / ) ,∩ = ∩ = =0 1 0 5 0 25

a) P A B P B P A B P B( ) ( ) ( ) ( ) ,∩ = − ∩ =→ 0 6

b) P A B P A P B A P A( ) ( ) ( / ) ( ) ,∩ = ⋅ =→ 0 4

c) P A BP A B

P BP A P A B

P B( / )

( )( )

( ) ( )( )

,=∩

=− ∩−

= =1

34

0 75

BLOQUE 6 N(80, 10), n = 40, x = 75

a) El contraste es unilateral: HH

0

1

8080

::

µµ

≥<

Para un nivel de confianza del 95 % se tiene que: za = 1,64

Se admite que la media poblacional ha aumentado si: x zn

> − ⋅µσ

a0

Como 75 80 1 6410

4074 81> − ⋅ =, , ; se acepta la hipótesis nula, es decir, la situación no ha mejorado.

b) Si 1 0 95 0 052

0 025− = = =a aa

, , ,→ →


2

1 96= ,

Por tanto, el intervalo es:

80 1 9610

4080 1 96

10

4076 9− ⋅ + ⋅

=, , , ( , ; 883 1, )



BLOQUE 1: Hasta 2,5 puntos.






1

f (x)

1

Y

X

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sturias16Enunciado de la prueba 2

BLOQUE 1

Sean las matrices Ax yx y

Bm

Cy

=

=

=

−2

5 03

, , =

, D

13

.

a) Si AB = C + 4D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en función de m.

b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución?¿Cuándo es única?

BLOQUE 2Un restaurante quiere adecuar, en parte o en su totalidad, una superficie de 1.100 m2 para aparcamiento y área recreativa infantil. La superficie de área recreativa ha de ser de al menos 150 m2. El aparcamiento ha de tener como poco 300 m2 más que el área recreativa, y como mucho 700 m2 más que la misma. El aparcamiento le cuesta 15 €/m2, y el área recreativa 45 €/m2.

a) ¿Qué combinaciones de m2 dedicados a cada tipo de servicio se pueden adecuar? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones.

b) ¿Cuál es la combinación más cara? ¿Coincide con la que dedica más espacio al aparcamiento?

BLOQUE 3La cantidad que ingresa mensualmente una empresa en una entidad bancaria depende del saldo que presente su cuenta a fin de mes, y la calcula de acuerdo a la siguiente función. I(x) es el ingreso cuando el saldo es x (ambas cantidades en miles de euros):

I xx x

x

xx

( ),

=− ≤ ≤

++

>

4 0 025 0 60750 3

20 1060

a) ¿Es la cantidad ingresada una función continua del saldo a fin de mes?

b) ¿Decrece alguna vez la cantidad ingresada al aumentar el saldo a fin de mes? Aunque el saldo a fin de mes crezca mucho, ¿ingresará alguna vez la empresa menos de 100 €? ¿Y menos de 400 €?

c) Dibuja la gráfica de la función.

BLOQUE 4Sea la función f(x) = −x2 + 7x − 12. Si f' representa su derivada:

a) Encuentra una primitiva F de f verificando que F(6) = f'(6).

b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 4,5.

El alumno deberá contestar a cuatro bloques elegidos entre los seis que siguen. La contestación deberá ser siempre razonada. Cada uno de los bloques de preguntas puntúa por igual (2,5 puntos).

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BLOQUE 5

Un grupo de antiguos compañeros de estudios se reencuentran pasados unos años. Un 38 % están casados y tienen hijos. Un 22 % no están casados. Entre los que tienen hijos, un 95 % están casados.

a) ¿Qué porcentaje tienen hijos?

b) ¿Qué porcentaje no están casados y tienen hijos?

c) ¿Qué porcentaje no están casados y no tienen hijos?

BLOQUE 6

Según cierto estudio realizado el año pasado, un 35 % de las familias con conexión a Internet utilizaban habitualmente este medio para realizar sus operaciones bancarias. El estudio pronosticaba también que ese porcentaje aumentaría en los próximos meses. De una encuesta realizada recientemente a 125 usuarios de Internet, 50 declararon utilizarla habitualmente para realizar las citadas operaciones.

a) Plantea un test para contrastar que la proporción del año pasado se ha mantenido, frente a que, como parece, se ha cumplido el pronóstico del estudio. ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 10 %?

b) Calcula un intervalo de confianza del 90 % para la proporción actual de usuarios de Internet que la usa habitualmente para realizar sus operaciones bancarias.

(Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1,60) = 0,95; F(1,28) = 0,90; F(1,17) = 0,88; F(0,90) = 0,82; F(0,10) = 0,54).

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sturias16

BLOQUE 1

a) Si AB C D x yx y m y

= +

⋅

=

−4

25 0

3→

+ ⋅

4 1

3

55 2

49

5x ymx ym y

x y++

=

+

+→ mmx ym y

x myx m y

=+ = +

+ =+ − =

45 2 9

5 45 2 1 9

→( )

b) M mm

m m m m=−

= − − = − = =55 2 1

10 5 5 5 5 0 1→

• Si m ≠ 1 → Rango (M)= Rango (M*) = 2 → El sistema es compatible determinado, y tiene una solución única.

• Si m = 1 → Rango (M) = 1 y Rango (M*) = 2 (al tener un menor de orden 2 no nulo) → El sistema es incompatible.

BLOQUE 2 a) Sean x = «Superficie de aparcamiento» e y = «Superficie de área recreativa».

x yy

x y

+ =≥

≤ − ≤

1 100150

300 700

.

La función objetivo es f x y x y( , ) .= +15 45

La región factible es:

Vértice A:

yy x

== − +

150300

→

xA

= 450450 150( , )

Vértice B:

y xy x

= −= − +

1 100300. →

x yB

= =700 400700 400

,( , )

Vértice C:

y xy x

= −= − +

1 100700. →

x yC

= =900 200900 200

,( , )

Vértice D:

yy x

== − +

150700

→

xD

= 850850 150( , )

Las combinaciones posibles de m2 dedicadas a cada tipo serán las que pertenezcan al segmento BC , dado que ninguna otra cumple que: x y+ = 1 100.

b) Para hallar la combinación más cara hallamos el máximo de la función objetivo:

f ( , ) .700 400 15 700 45 400 28 500= ⋅ + ⋅ = f ( , ) .900 200 15 900 45 200 22 500= ⋅ + ⋅ =

El precio será más caro cuando el restaurante utilice 700 m2 de zona de aparcamiento y 400 m2 de área recreativa.

Por otra parte, la superficie de aparcamiento, que viene dada por la variable x, es máxima en el punto C, y no coincide con la combinación más cara.


y = 150

A

B

C100 D

100

y = −300 + x

y = −700 + x

y = 1.100 − x

Y

X

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BLOQUE 3

a) Se trata de una función definida a trozos. Las funciones parciales son continuas en sus dominios.

Estudiamos los límites laterales de la función en x = 60:

limxx

limx x→ →60 60

750 320 10

930620

1 5 4+ −

++

= = −, (y 00 025 4 1 5 2 5, ) , ,x = − =

lim x lim xx x→ →

→60 60+ −

≠I I( ) ( ) Es discontinua cuando el saldo a fin de mes es de 60.000 €.

b) Calculamos la función derivada de I(x):

I'( ),

( )

xx

xx

=− ≤ ≤

−

+>

0 025 0 60372

5 260

2

si

si

I'(x) < 0 en su dominio → I(x) es siempre decreciente.

Para ver cómo se comporta el saldo a fin de mes cuando crece mucho, calculamos lim xx →`

I( ) :

limxxx →`

750 320 10

310

0 3+

+= = ,

Por tanto, si el saldo es muy elevado, la empresa ingresará: 0,3 · 1.000 = 300 € y nunca ingresará menos.

750 320 10

0 4 750 3 8 4 742+

+< + > + >

xx

x x x, → →

Cuando el saldo sea mayor de 742.000 €, ingresará menos de 400 €.

c) Asíntota horizontal: y = 0,3

BLOQUE 4

a) Las primitivas de f (x) son de la forma: F x x x dxx x

x c( ) ( )= − + − = − + ⋅ − +# 23 2

7 123

72

12

La función derivada de f (x) es: f'(x) = −2x + 7 y f'(6) = −5

Como F f c c( ) ( )6 6216

3126 72 5 13= − + − + = − = −' → →

Por tanto, tenemos que F xx x

x( ) .= − + − −3 2

3

7

212 13


1

10

y = 0,3

Y

X

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sturias16

b) Hallamos el vértice de la parábola: V f−

−

−

−

=

7

2

7

2

7

2

1

4, ,

Puntos de corte con los ejes: (0, −12), (3, 0) y (4, 0).

Área = − + − + − + − =# #4

3

24 5

4

27 12 7 12( ) ( ),

x x dx x x dx

= − + −

− − + −

x xx

x xx

3 2

3

4 3 2

37

212

37

212

=

4

4 5,

=−

+ − −−

+ −

− −

643

1122

48273

632

3672924

++ − − − + −

5678

1082

643

1122

48 ==13

u2

BLOQUE 5

Para resolver el ejercicio construimos una tabla de contingencia con los datos del enunciado:

Casados No casados Total

Con hijos 0,38 0,05 a

Sin hijos b c d

Total e 0,22 1


Casados No casados Total

Con hijos 0,38 0,05 0,43

Sin hijos 0,4 0,17 0,57

Total 0,78 0,22 1

Casilla a: 0,38 + 0,05 = 0,43Casilla b: 0,78 − 0,38 = 0,4Casilla c: 0,22 − 0,05 = 0,17Casilla d: 0,4 + 0,17 = 0,57Casilla e: 1 − 0,22 = 0,78

a) Con hijos hay un 43 % del grupo de antiguos compañeros.

b) No casados y con hijos representan el 5 % del grupo.

c) No casados y sin hijos representan el 17 %.

f (x)

0,25

1

Y

X

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BLOQUE 6

a) Planteamos un contraste de hipótesis unilateral para la proporción:

H p pH p

0 0

1

0 350 35

::

≥ =<

,,

Con un nivel de significación del 10 0 1 1 0 90 1 28% , , ,: ya a a= − = =→ z .

La zona de aceptación de la hipótesis nula es:

p zp p

n0

0 010 35 1 28

0− ⋅

−+

= − ⋅a

( ), , ,`

,, ,, ( , ; )

35 0 65

1250 3

⋅+

= +` `

La proporción muestral es:

p�= =50

1250 4,

Como 0,4 ∈ (0,3; +`), podemos aceptar con a = 0,1 que el número de familias con conexión a Internet que la utilizan para operaciones bancarias, ha aumentado.

b) n pp p

n= =

−=

⋅=125 0 4

1 0 4 0 6

1250 043, ,

( ) , ,,y�

� �

0,05 0,90 0,05

0,95

z a2

1 64= ,

Si 1 − a = 0,9; según la tabla de distribución normal: z a

2

1 64= ,

El intervalo de confianza es:

p zp p

np z

p p

n�

� ��

� �− ⋅

−+ ⋅

−

a a

2 2

1 1( ),

( ) =

= − ⋅ + ⋅ =( , , , ; , , , ) ( , ; ,0 4 1 64 0 043 0 4 1 64 0 043 0 33 0 47))

Esto quiere decir que, con un nivel de confianza del 90 %, la proporción actual de usuarios de Internet que la usan habitualmente para realizar sus operaciones bancarias, está entre el 33 % y el 47 %.









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ÍndicePrueba 1 198Prueba 2 204Prueba 3 210

REGI

ÓN

DE

MUR

CIA

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OBSERVACIONES IMPORTANTES

El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es la misma y se indica en la cabecera del bloque. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan.

BLOQUE 1 [3 puntos]

CUESTIÓN 1

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b) Resolver el problema.

CUESTIÓN 2

Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,50 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total.

a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos?

BLOQUE 2 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

En una región, un río tiene la forma de la curva y x x x= − +1

43 2 y es cortada

por un camino según el eje X.

Hacer un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento.

CUESTIÓN 2

Dada la curva yx

x=

−+

2 1

1, calcular:

a) Los puntos de corte con los ejes coordenados.

b) Las asíntotas.

c) Hacer una representación gráfica de la misma.

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Distrito universitario de la Región de M

urcia17

BLOQUE 3 [1,5 puntos]

CUESTIÓN 1

Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y lo queremos dividir en dos partes que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el doble de su base y en el otro su altura es el triple de su base. Determinar el punto por el cual debemos cortar el alambre para que la suma de las áreas de los dos rectángulos sea mínima.

CUESTIÓN 2

Calcular el área limitada por la curva y x x= − +1

2

3

212 , el eje X y las rectas

de ecuaciones x = 0, x = 3. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.

BLOQUE 4 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

Tres hombres A, B y C disparan a un objetivo. Las probabilidades de que cada uno

de ellos alcance el objetivo son 1

6

1

4

1

3, y respectivamente. Calcular:

a) La probabilidad de que todos alcancen el objetivo.

b) La probabilidad de que ninguno alcance el objetivo.

c) La probabilidad de que al menos uno de ellos alcance el objetivo.

CUESTIÓN 2

En una cierta facultad se sabe que el 25 % de los estudiantes suspenden matemáticas, el 15 % suspenden química y el 10 % suspenden matemáticas y química. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Calcular la probabilidad de que el estudiante no suspenda química ni matemáticas.

b) Si sabemos que el estudiante ha suspendido química, ¿cuál es la probabilidad de que suspenda también matemáticas?


CUESTIÓN 1

El peso medio de los paquetes de café puestos a la venta por cierta casa comercial es supuestamente de 1 kg. Para comprobar esta suposición, elegimos una muestra aleatoria simple de 100 paquetes y encontramos que su peso medio es de 0,978 kg. Suponiendo que la distribución del peso de los paquetes de café es normal y la desviación típica de la población es de 0,10 kg. ¿Es compatible este resultado con la hipótesis nula H0: m = 1 con un nivel de significación de 0,05? ¿Y con un nivel de significación de 0,01?

CUESTIÓN 2

La puntuación media obtenida por una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de secundaria en el examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones de la población es normal con desviación típica igual a 20,25 puntos, calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de significación de 0,01.

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BLOQUE 1

CUESTIÓN 1

a) Sean x, y y z el número de hombres, mujeres y niños reunidos, respectivamente.

x y zx y zy x

x y zx y z

+ + =+ =+ =

+ + =+ −

203

1

203→ ==

− =

01x y

b) x y zx y z

x y

x y zz

+ + =+ − =

− =

+ + ==

203 0

1

204 2→ 00

2 19

875y z

xyz+ =

===

→

Luego se han reunido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.

CUESTIÓN 2

a) Sean x e y el número de sortijas sencillas y adornadas, respectivamente.

La función que hay que maximizar es: f x y x y( , ) ,= +4 5 6


0 4000 300

500

≤ ≤≤ ≤+ ≤

xy

x y

El conjunto de soluciones está formado por los puntos de coordenadas enteras determinados por el polígono de vértices:

A(0, 300), B(200, 300), C(400, 100), D(400, 0) y E(0, 0)

b) Al sustituir las coordenadas de estos puntos en la función objetivo:

f (0, 300) = 1.800 f (200, 300) = 2.700 f (400, 100) = 2.400 f (400, 0) = 1.800 f (0, 0) = 0

Luego interesa fabricar 200 sortijas sencillas y 300 sortijas adornadas para obtener los ingresos máximos, que son 2.700 €.

BLOQUE 2

CUESTIÓN 1

y x x x

xy

= − +

=

=1

40

0 0 03 2

→ → ( , )

y x x x

yx x x

x= − +

=

− + ==

1

40

1

40

03 23 2→ →

→ (00 02 2 0

, )( , )x =

→

y x x' = − +34

2 12

Y

A B

C100

XDE 100

y = 300

x = 400x + y = 500


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urcia17

3

42 1 0

22

3

2x xx

x− + =

=

=

→

y x'' = −32

2

f''( )2 1 0= > → En x = 2 hay un mínimo.

f x''23

1 023

= − < =→ En hay un máximo..

Así, la función es creciente en −

`,

23

∪ +

( , ) ,2

23

2` y es decreciente en

.

CUESTIÓN 2

a) yx

xx

y=

−+

=

= − −2 1

10

1 0 1→ → ( , )

yx

xy

x

xx

=−

+=

−

+= =

2 1

10

2 1

10

1

2

1

20→ → → ,

b) Dom f = − − { }1

limx

x

limx

x

x

x

→

→

−

−

−

+

−+

= +

−+

= −

1

1

2 11

2 11

`

`

= −→ x 1es una asíntota vertical.

lim

xx

yx →

→+

−+

= =`

2 11

2 2 es una asíntota horizonntal.

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.

c)

1

f (x)

1

Y

X

1

1

x = −1

y = 2

f (x)

Y

X

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BLOQUE 3

CUESTIÓN 1

Sea x la medida de la base de un rectángulo. Entonces la base del otro rectángulo mide: a − x.

La función que expresa la suma de las áreas es:

f (x) = x · 2x + (a − x) · 3(a − x) = 5x2 − 6ax + 3a2 f'(x) = 10x − 6a

10 6 0

3

5x a x a− = =→

f''(x) = 10 > 0 → En x a=3

5 hay un mínimo.

Luego el alambre debe cortarse de forma que tres quintas partes del mismo determinan la base de un rectángulo, y las dos quintas partes restantes, la base del otro.

CUESTIÓN 2

y x x

yx x

x= − +

=

− + ==

12

32

1

0

12

32

1 012

2→ →→→→

( , )( , )1 0

2 2 0x =

# #1

0

22

1

21

2

3

21

1

2

3

21x x dx x x− +

+ − +

+ − +

=dx x x dx#

3

2

21

2

3

21

= − +

+ − +

1

6

3

4

1

6

3

43 2

0

1

3 2

1

x x x x x x22

3 2

2

31

6

3

4

5

12

1

12

5

12

11

12+ − +

= + + =x x x u22

BLOQUE 4

CUESTIÓN 1

a) Como los disparos son independientes:

P A B C P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

1

6

1

4

1

3

1

72

b) P A B C P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =5

6

3

4

2

3

5

12

c) P(al menos uno acierte) = 1 − P(no acierte ninguno) = 15

12

7

12− =

1

1

x = 3 x = 0

f (x)

Y

X

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urcia17

CUESTIÓN 2

Sean los sucesos: M = «Suspender matemáticas» Q = «Suspender química»

a) P M Q P M Q P M P Q P M Q( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ,∩ = − ∪ = − + − ∩ = −1 1 1 0 255 0 15 0 1 0 7+ − =, , ) ,

b) P M QP M Q

P Q( / )

( )

( )

,

,=

∩= =

0 1

0 15

2

3

BLOQUE 5

CUESTIÓN 1

n x= = =100 0 978 0 1; , ; ,σ

Como contraste es bilateral:

HH

0

1

11

::

mm

=≠

Para un nivel de significación del 0,05: z α

2

1 96= ,

Se admite la hipótesis nula si x zn

− < ⋅mσ

α0

Como 0 978 1 0 022 1 960 1

1000 0196, , ,

,, ;− = > ⋅ = se rechaza la hipótesis nula.

Si el nivel de significación es 0,01: z α

2

2 58= ,

Al ser 0 978 1 0 022 2 580 1

1000 0258, , ,

,, ;− = < ⋅ = se acepta la hipótesis nula.

CUESTIÓN 2

n x= = =81 25 20 25; ; ,σ

Si αα

α= = =0 012

0 005 2 582

, , ,→ → z


25 2 5820 25

8125 2 58

20 25

81− ⋅ + ⋅

,

,; ,

,== ( , ; , )19 19 30 81


BLOQUE 1: Hasta 3 puntos.





790778 _ 0197-0216.indd 203 1/8/16 15:19





BLOQUE 1 [3 puntos]

CUESTIÓN 1

Dada la matriz A =

2 12 3

, calcular dos números reales x e y tales que se verifique

A + xA + yI = 0, siendo I la matriz unidad de orden 2 y 0 la matriz nula de orden 2.

CUESTIÓN 2

En un taller de chapa se pueden fabricar dos tipos de carrocerías A y B. Cada carrocería de tipo A necesita 4 horas de pintura y cada carrocería de tipo B necesita 6 horas de pintura, disponiéndose de un máximo de 500 horas mensuales para la pintura de las carrocerías. Si los beneficios de cada carrocería son de 2.000 € y 3.500 € para los tipos A y B respectivamente:

a) Calcular el número de carrocerías de cada tipo que deben producirse para obtener el máximo beneficio si tienen que fabricar un mínimo de 80 y un máximo de 100 carrocerías de tipo A.

b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

BLOQUE 2 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

Dada la función se pide:f xx

x( ) ,=

+−

1

2

a) Calcular su dominio.

b) Calcular sus asíntotas.

c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Hacer su representación gráfica aproximada.

CUESTIÓN 2

Dada la función:sisisi

f xx xx x

x( ) =

+ <+ >

=

2 23 2

3 22

a) Representarla gráficamente.

b) Estudiar su continuidad y en caso de que exista algún tipo de discontinuidad, decir de qué tipo de discontinuidad se trata.

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urcia17


CUESTIÓN 1

Encontrar un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima.

CUESTIÓN 2

Hallar el área limitada por las curvas y = −x2 + x + 2 e y = −x + 2.

BLOQUE 4 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones, que la probabilidad de que resuelvan el problema de forma

independiente es de 1

3 para Juan y de

1

4 para Pedro.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto por alguno de los dos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea resuelto por ninguno?

CUESTIÓN 2

El volumen diario de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1.000 unidades en la segunda y 2.000 unidades en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1 %, 0,8 % y 2 % respectivamente. Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.


CUESTIÓN 1

Un directivo de cierta empresa de material eléctrico afirma que la vida media de cierto tipo de bombillas es de 1.500 horas. Otro directivo de la misma empresa afirma que la vida media de dichas bombillas es igual o menor de 1.500 horas. Elegida una muestra aleatoria simple de 81 bombillas de dicho tipo, vemos que su vida media ha sido de 1.450 horas. Suponiendo que la vida de las bombillas sigue una distribución normal con desviación típica igual a 180 horas:

a) ¿Es compatible la hipótesis H0: m = 1.500, frente a la hipótesis H1: m ≠ 1.500 con una confianza del 99 %, con el resultado experimental x = 1.450?

b) ¿Es compatible la hipótesis H0: m = 1.500, frente a la hipótesis H1: m < 1.500 con una confianza del 99 %, con el resultado experimental x =1.450?

CUESTIÓN 2

Supongamos una población N(m, σ = 8). Se extrae de ella una muestra aleatoria simple. Si se sabe que la probabilidad de cometer un error de 3,92 o más al estimar la media m mediante la media muestral es de 0,05, ¿qué tamaño ha de tener la muestra?

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BLOQUE 1

CUESTIÓN 1

2 11 3

2 11 3

1 00 1

+ ⋅

+ ⋅

x y

=

0 00 0

22 3

→ x xx x +

= − −

− −

yy0

02 12 3

→ 22 3

2 12 3

x y xx x y+

+

= − −

− −

→→ →

2 21

2 23 3

1

x yxx

x y

x

+ = −= −= −

+ = −

= − ee y = 0

CUESTIÓN 2

a) Sean x = «Número de carrocerías del tipo A» e y = «Número de carrocerías del tipo B».

Según indica el enunciado, ha de cumplirse: 4 6 50080 100x y

x+ ≤≤ ≤

Dibujamos la región factible, hallamos sus vértices y analizamos la función objetivo:f x y x y( , ) . .= +2 000 3 500

Las rectas que generan la región son: yx

=−500 4

6, x = 80 y x = 100.

Vértice A:

yx

xA

=−

=

500 4

680

80 30→ ( , )

Vértice B:

yx

xB

=−

=

500 4

6100

100 16 6→ ( ; , )�

Vértice C: C(100, 0) Vértice D: D(80, 0)

f ( , ) . . .80 30 2 000 80 3 500 30 265 000= ⋅ + ⋅ =

f ( ; , ) . . . ,100 16 6 2 000 100 3 500

50

3258 333 3

� �= ⋅ + ⋅ =

f ( , ) . .100 0 2 000 100 200 000= ⋅ =

f ( , ) . .80 0 2 000 80 160 000= ⋅ =

Han de producirse 80 carrocerías del tipo A y 30 carrocerías del tipo B para que el beneficio sea máximo.

b) El beneficio máximo obtenido es de 265.000 €.

BLOQUE 2

CUESTIÓN 1

a) Dominio: Dom f = − {2}

b) • Asíntotas horizontales:

• lim

xx

limx

xy

x x→ →→

+ −

+−

= −+−

= − = −` `

12

11

21 1y

Y

X

A B

C

10

D10

x = 100 x = 80

yx

=−500 46

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urcia17

• Asíntotas verticales:

• El denominador se anula en x limx

xlim

xx

xx x

=+−

= −+−

= + =+ −

21

21

22

2 2;

→ →→` `y

• Asíntotas oblicuas: no tiene.

c) f xx x

x x'( )

( ) ( )( )( ) ( )

.=− − + −

−=

−2 1 1

23

22 2 Como f (x) nunca se anula, no tiene máximos ni mínimos.

Al ser 3

20

2( ),

−>

x la función es creciente en todo su dominio.

d) Los puntos de corte con los ejes son: (−1, 0) y

01

2,

.

CUESTIÓN 2

a)

b) Las funciones que definen f (x) son continuas en todo su dominio.

Estudiamos el comportamiento de la función en x = 2:

lim f x lim x lim f x lim

x x x x→ → →2 2 23 5

+ + −= + = =( ) ( ) ( )y

→→22 4

−+ =( )x

Por tanto, x = 2 es un punto de discontinuidad inevitable.

BLOQUE 3

CUESTIÓN 1

Llamando x al número, la función que hay que maximizar es: f (x) = x − x2

f x x f x' ''( ) ( )= − = −1 2 2y

Si , y comof x x x f' ''( ) = − = =

0 1 2 0

1

2

1

2→ → = − <2 0, en el punto

x =1

2hay un máximo y

1

2es el número pedido..

x = 2

y = −1 f (x)

Y

X

1

1

Y

X

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CUESTIÓN 2

Hallamos los puntos de corte de la parábola con la recta:

− + + = − + − + = = =x x x x x x x2 22 2 2 0 0 2→ → y

Área = − + + − − +

=#

2

0

2 2 2( ) ( )x x x dx

= − + = − +

=

−+ =#

2

0

23 2

0

2

23

22

83

82

4( )x x dx

x x33

u2

BLOQUE 4

CUESTIÓN 1

a) Sean los sucesos J = «Juan resuelve el problema» y P = «Pedro resuelve el problema».

P(el problema sea resuelto por alguno de los dos) = ∪ = + − ⋅ =P J P( )1

3

1

4

1

3

1

4

1

2

b) P J P P J P P J P( ) ( ) ( )∩ = ∪ = − ∪ =11

2

CUESTIÓN 2

Consideramos los siguientes sucesos: D1 = «Unidad defectuosa de la primera planta», D2 = «Unidad defectuosa de la segunda planta» y D3 = «Unidad defectuosa de la tercera planta».

P(unidad elegida de la primera planta) = 500

3 500

1

7.=

P(unidad elegida de la segunda planta) = 1 000

3 500

2

7

.

.=

P(unidad elegida de la tercera planta) = 2 000

3 500

4

7

.

.=

P(al seleccionar una sea defectuosa) = P(D1 ∪ D2 ∪ D3) = P(D1) + P(D2) + P(D3) =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ −1

70 01

27

0 00847

0 02 1 5 10 2, , , ,

y = −x + 2 y = −x2 + x + 2

Y

X

0,01

0,99

0,008

0,992

0,02

0,98

D1

Defectuosa

No defectuosa17

27

47

D2

D3

Defectuosa

No defectuosa

Defectuosa

No defectuosa

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urcia17

BLOQUE 5

CUESTIÓN 1

a) Formulamos las siguientes hipótesis:

HH

0 0

1

1 5001 500

::

m mm

= =≠

.

.

Al ser el contraste bilateral, la región de aceptación es:

( ; ) ( , ; , )− = −z zα α2 2

2 58 2 58

El estadístico de contraste es:

zx

n

=−

=−

= −m

σ0 1 450 1 500

180

81

2 5. .

,

Como −2,5 ∈ (−2,58; 2,58), aceptamos la hipótesis nula, y existe evidencia suficiente de que la vida media de las bombillas es de 1.500 horas.

b) En este caso, las hipótesis son:

HH

0

1

1 5001 500

::

mm

=<

..

El contraste es unilateral y la región de aceptación para α = 0,01 es (−2,33; +`). El estadístico de contraste, calculado en el apartado anterior, es z = −2,5. Como −2,5 ∉ (−2,33; +`), rechazamos la hipótesis nula.

CUESTIÓN 2

El nivel de confianza es 1 − α = 0,95; le corresponde α = 0,05 y el valor crítico según la tabla de la distribución normal es z α

2

1 96= , .

El error máximo viene dado por:

E zn n

= ⋅ = ⋅ ≥ασ

2

1 968

3 92, ,

Despejamos n:

n ≤⋅

= =

1 96 8

3 924 16

2

2,

,

Por tanto, el tamaño de la muestra debe ser como mínimo de 16 elementos.







0,95

0,975

0,025 0,025

z α2

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BLOQUE 1 [3 puntos]

CUESTIÓN 1

Calcular la matriz inversa de la matriz A = −−

1 3 12 1 23 2 3

.

CUESTIÓN 2

Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, l00 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja de tipo A contiene 3 kg de chocolate, l kg de almendras y l kg de frutas, mientras que cada caja de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y l kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 130 € y 135 € respectivamente.

a) ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia?

b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

BLOQUE 2 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

Dada la función: f xx

x( ) ,=

−

+

2

1 se pide

a) Calcular su dominio.

b) Calcular sus asíntotas.

c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Hacer su representación gráfica aproximada.

CUESTIÓN 2

Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos:

a 10 € el kg si 0 ≤ x < 5

a 9 € el kg si 5 ≤ x < 10

a 7 € el kg si 10 ≤ x < 20

a 5 € el kg si 20 ≤ x

donde x es el peso en kg de la cantidad comprada.

a) Escribir la función que representa el precio del artículo.

b) Hacer su representación gráfica.

c) Estudiar su continuidad.

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urcia17


CUESTIÓN 1

Hallar dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo.

CUESTIÓN 2

Hallar el área limitada por las curvas y = x2 − 4 e y = 4 − x2.

BLOQUE 4 [2 puntos]

CUESTIÓN 1

Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargado dos programas antivirus que actúan independientemente el uno del otro. El programa P1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0,9 y el programa P2 detecta el virus con una probabilidad de 0,8.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado por ninguno de los dos programas antivirus?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un virus que ha sido detectado por el programa P1 sea detectado también por el programa P2?

CUESTIÓN 2

Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40 % de los clientes paga sus compras con tarjeta de crédito y el 60 % restante lo hace en efectivo. Ahora bien, si el importe de la compra es superior a 100 €, la probabilidad de pagar con tarjeta pasa a ser 0,6. Si además sabemos que en el 30 % de las compras el importe es superior a 100 €, calcular:

a) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 € y sea abonado con tarjeta.

b) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 €, sabiendo que fue abonado en efectivo.


CUESTIÓN 1

El nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 mg/100 ml. Se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18,5 mg/100 ml. ¿Es la muestra comparable con la población, con un nivel de significación de 0,05?

CUESTIÓN 2

El peso de los niños varones a las 10 semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87 g. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95 %, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 g?

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BLOQUE 1

CUESTIÓN 1

Primero hallamos el determinante de A para comprobar que es distinto de cero.

A = −−

= + + + − + =1 3 12 1 23 2 3

3 4 18 3 4 18 42

Calculamos la matriz de adjuntos:

Adj ( )A =−

−−

1 12 711 6 77 0 7

Ahora hallamos su traspuesta:

Adj ( )A t =−

−−

1 11 712 6 07 7 7

Dividimos entre el valor del determinante de A y obtenemos su inversa:

AA

A

t− = =

−

−

−

1

1

42

11

42

1

62

7

1

70

1

6

1

6

1

6

Adj ( )

CUESTIÓN 2

Establecemos las siguientes variables:

x = «Número de cajas de tipo A»y = «Número de cajas de tipo B»

Definimos las restricciones y la región factible:

3 2 5001 5 100

8500

x yx yx yxy

+ ≤+ ≤+ ≤≥≥

,

Y

XA

BC

D

20

20

x + 1,5y = 100

x + y = 85

3x + 2y = 500

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Calculamos los vértices de la región factible:

Vértice A: Vértice C:A(0, 0)

x yx y

C+ =+ =

1 5 10085

55 30, ( , )→

Vértice B: Vértice D:

x yx

B+ ==

1 5 1000

0200

3, ,→

x yy

D+ ==

850

85 0→ ( , )

Sustituimos los vértices de la región factible en la función objetivo: B(x, y) = 130x + 135y

B(0, 0) = 0 B(55, 30) = 11.200

B 0200

39 000, .

=

B(85, 0) = 11.050

El beneficio máximo asciende a 11.200 € y se obtiene fabricando 55 cajas de tipo A y 30 cajas de tipo B.

BLOQUE 2

CUESTIÓN 1

a) Dom f = − {−1}

b) • Asíntotas verticales:

limx

x

limx

x

x

x

→

→

−

−

+

−

−+

= +

−+

= −

1

1

21

21

`

`

• En x = −1 hay una asíntota vertical.

• Asíntotas horizontales:

limx

xx →`

21

1−+

= −

• En y = −1 hay una asíntota horizontal.

c) Derivamos y estudiamos el signo de la primera derivada de f (x):

f xx x

x x'( )

( ) ( )

( ) ( )=

− + − −

+=

−

+<

1 2

1

3

10

2 2para cuaalquier valor de x

La función f (x) es siempre decreciente y no tiene máximos ni mínimos relativos.

d) Calculamos los puntos de cortes con los ejes y dibujamos la función:

• Corte con el eje X:

x = 0 → f (x) = 2 → (0, 2)

• Corte con el eje Y:

yx

xx=

−

+= =0

2

10 2→ → →

(2, 0)

Y

X

x = −1

y = −1

1

1

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CUESTIÓN 2

a) f x

xx( ) =

≤ <≤ <

10 59 107

si 0si 5ssi 10si 20

≤ <≤

xx

205

b)

c) Estudiamos la continuidad de f (x) en los puntos x = 5, x = 10 y x = 20:

lim f x lim f x

lim f xx x

x

→ →

→

5 5

10

10 9

9− +

−

= ≠ =

= ≠

( ) ( )

( ) 77

7 510

20 20

=

= ≠ =+

− +

lim f x

lim f x lim f xx

x x

→

→ →

( )

( ) ( ))

La función f (x) no es continua en los puntos x = 5, x = 10 y x = 20.

BLOQUE 3

CUESTIÓN 1

Lamamos a y b a los dos números. Estos números tienen que cumplir que el producto a · b sea máximo y que a + b = 20.

Construimos una función con una sola variable:a + b = 20 → a = 20 − b

f (b) = (20 − b) · b = 20b − b2

Derivamos e igualamos a cero la función f (x):

f'(x) = 20 − 2b

f b b b b bb b

'( ) ( )= − = ⋅ − = =− = =

0 20 2 0 20 2 0 020 2 0 10

→ → →→

Los números que hacen máximo el producto son 10 y 10.

CUESTIÓN 2

El área que hay que calcular es la zona sombreada.

A x dx xx

= ⋅ − = ⋅ −

= ⋅ −

4 4 4 4

34 8

8

3

2

0

23

0

2

#

=

64

3u2

Y

X

2

2

Y

X1

y = x2 − 4

1

y = 4 − x2

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urcia17

BLOQUE 4

CUESTIÓN 1

De los datos del enunciado sabemos que:

P(P1) = 0,9

P(P2) = 0,8

a) Calculamos la probabilidad de que el virus no sea detectado por cada uno de los programas antivirus.

P P

P P

( ) , ,

( ) , ,1

2

1 0 9 0 1

1 0 8 0 2

= − =

= − =

Como los sucesos son independientes, se tiene que:

P P P( ) , , ,1 2 0 1 0 2 0 02∩ = ⋅ =

b) Y como los dos programas antivirus son independientes, resulta que:

P P P P P( / ) ( ) ,2 1 2 0 8= =

CUESTIÓN 2

Definimos los siguientes sucesos:

T = «El cliente paga con tarjeta de crédito»E = «El cliente paga en efectivo»<100 = «La compra es inferior o igual a 100 €»>100 = «La compra es superior a 100 €»

Con los datos del problema construimos el siguiente diagrama de árbol:

a) P(>100 ∩ T) = 0,3 · 0,6 = 0,18

b) P EP E

P E( / )

( )

( )

, ,

, , ,> =

> ∩=

⋅

⋅ + ⋅100

100 0 3 0 4

0 7 0 6 0 3 00 40 22

,,= �

T

E<100

E

T

0,4

0,6

0,4

0,6

>100

0,7

0,3

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BLOQUE 5

CUESTIÓN 1

El intervalo de confianza para la media de la población es:

x zn

x zn

− ⋅ + ⋅

α α

σ σ

2 2

,

Para un nivel de significación de α = 0,05 el valor de z α2

es 1,96.

Sustituyendo todos los datos en el intervalo se tiene que el intervalo de confianza para la media es:

20 1 964

4020 1 96

4

4018 76 2− ⋅ + ⋅

=, ; , ( , ; 11 24, )

Como 18,5 ∉ (18,76; 21,24), la muestra no es comparable con la población con un nivel de significación de 0,05.

CUESTIÓN 2

La relación entre el nivel de confianza, el error admisible y el tamaño de la muestra es:

E zn

= ⋅ασ

2

Para un nivel de confianza del 95 % el valor de z α2

es 1,96.

Sustituyendo los valores y despejando:

15 1 9687 1 96 87

1511 368 129 232= ⋅ =

⋅= =,

,, ,

nn n→ →

Por tanto, necesitamos al menos 130 datos.







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Matemáticas - … · a las Ciencias Sociales de 2.º Bachillerato es una obra colectiva concebida,...

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