Matematicas 5 Primaria

ÁreaCurso Proyecto

EtapaMATEMÁTICAS 05 Mundo Agua Primaria

Autores

Carlos Arribas AlonsoJuan Antonio Román González

Colaboradora

María del Carmen Corral Férriz

Revisores técnicosPepi Pariente de VegaCelso Peñas Martínez

El 0,7% de la venta de este libro va destinado a la construcción de la escuela de Chibuluma (Zambia), proyecto gestionado por la ONGD Solidaridad, Educación,Desarrollo (SED).

E D E LV I V E S

mundoaguaPROYECTO

001_15102.qxd 8/9/09 17:30 Página 1

2

Al comienzo de cada unidad encontrarás una

breve biografía de unpersonaje célebre

relacionado con lasmatemáticas.

¿Te atreves a contestarlas preguntas sobre el

texto?

¿Quieres entender cómoson y para qué sirven las

matemáticas? Prestaatención a páginas como

esta, aprende loscontenidos y ponlos en

práctica con lasactividades.

En el apartado Resuelvo problemas conocerás

distintas estrategias quete ayudarán a resolver

problemas.

En el apartado de Lógicapodrás poner a prueba turazonamiento pararesolver problemasdiferentes.

En ocasiones, al margenpuedes encontrarcontenidos a tener encuenta.

En esta páginaencontrarás un textosobre valores y unaspreguntas que te haránreflexionar. Además deuna actividad pararealizar en grupo.

En el apartado deVocabulario aprenderás el significado de nuevas palabras.

29

Los inventos nos ayudan a avanzarLa computadora de Konrad Zuse mejoró la rapi-dez y la exactitud en las operaciones pero erademasiado grande y pesada. Con el tiempo, losordenadores se han ido perfeccionando tanto envelocidad de cálculo como en tamaño. Los actualesrealizan de 2 000 a 3 000 millones de instruccionespor segundo y algunos ordenadores portátiles pue-den llegar pesar menos de un kilogramo.

Además, desde finales de 1980, las calculadorassencillas se han incluido dentro de otros aparatoscomo relojes de pulsera o teléfonos móviles.

Después de conocer

la utilidad del ordenador

para realizar

operaciones, en la

unidad estudiarás

la multiplicación

y la división.

Sobre el texto1. ¿Por qué fue importante la

invención de la computadora?¿Qué mejoró?

2. ¿Qué parecidos y diferenciaspuede haber entre el modelo Z1de Konrad Zuse y un ordenadoractual?

En grupo¿Qué cualidades sonimportantes para serinventor? Enumerad tresobjetos que os gustaríainventar y sus aplicaciones.

28

2

Era un niño inteligente y trabajador,siempre fue dos años por delante

de sus compañeros de clase. Connueve años ingresó en la escuela

de secundaria y a los 25 años segraduó como ingeniero. Durante

esos estudios debió de hacer a manomuchos cálculos aburridos, tanto que soñó

con una máquina que hiciera los cálculos por él.

De pensamiento inquieto e imaginativo, pronto renunció a sutrabajo en una fábrica de aviones para crear un «taller de inventos».

Su primera idea fue construir un «cerebro mecánico», una computadora,y trabajó hasta que consiguió construir y programar una máquina capaz decalcular.

A los 28 años finalizó el Z1, la calculadora mecánica controlada por progra-mas que funcionaba con electricidad. Fue su logro más destacado aun-que no llegó a funcionar. Pesaba unos 500 kg y tenía 20 000 piezasmetálicas. Un modelo reconstruido se puede ver desde 1989 en elMuseo Tecnológico de Berlín.

Este aparato fue destruido durante la guerra. En 1940, a los 30años, finalizó el modelo Z2, y un año después, el modelo Z3,que está considerado como la primera computadora progra-mable.

En 1946 fundó la primera compañía de ordenadores y logróque en 1951 el modelo Z4 fuera el único ordenador operati-vo en Europa.

Los últimos años de su vida desarrolló nuevas ideas informáti-cas. Murió el 18 de diciembre de 1995.

computadora: aparato queobtiene el resultado decálculos matemáticos.

programar: elaborarprogramas para resolverproblemas con ayuda de ordenadores.

mecánico: realizado por un aparato o máquina.

Konrad Zuse

nació en Alemania en

1910. Fue el inventor

del primer ordenador

programable.

La multiplicacion y la division

Actividades1. Escribe el nombre de dos

aparatos que hayan favorecidoel avance de la sociedad.

2. Además de calcular o haceroperaciones, ¿qué podemoshacer con un ordenadoractualmente?

¿Cuántas personas han usado el comedor de este colegio los tres primerosdías de la semana?

• Podemos resolverlo de varias maneras.

187 + 210 + 98 = 495

210 + 98 + 187 = 495

El resultado es el mismo aunque cambiemos el orden de los sumandos, 495 comensales. Por eso decimos que la adición cumple la propiedad conmutativa.

• También podemos calcular el resultado agrupando los sumandos y susti-tuyendo dos de ellos por su suma.

(210 + 187) + 98 = 397 + 98 = 495210 + 187 + 98

210 + (187 + 98) = 210 + 285 = 495

El resultado sigue siendo el mismo, 495 comensales. Por eso decimos que la adición cumple la propiedad asociativa.

20

La adición y suspropiedades

La semana pasada visitaron el Oceanográfico 3 546 escolares y esta semana,4 120. ¿Cuántos escolares más han visitado el Oceanográfico esta semana quela anterior?

• Para contestar a la pregunta, restamos 3 546 de 4 120.

21

La sustracción y su prueba

Recuerda que para restar varias cantidades a otra, pri-mero le restamos una de las cantidades, a la diferenciaobtenida le restamos otra y así sucesivamente. Calculael resultado.

a. 456 – 234 – 120 b. 8 976 – 645 – 589

Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. 3 526 – (1 602 – 584)

b. (9 850 – 8 731) – 415

c. 24 908 – (15 076 – 9 321)

Marisa debe recorrer 4 780 m. Si primero hace 1 659 my luego 2 178 m, ¿cuántos metros le faltan para termi-nar el recorrido?

3

4

5

Comprueba si estas sustracciones están bien hechas y corrige las que no lo estén.

a. 6 400 – 439 = 5 961

b. 78 900 – 23 765 = 56 135

c. 2 300 – 1 768 = 534

Descubre mentalmente el término que falta y completaen tu cuaderno.

a. 480 – ..... = 400 d. ..... – 200 = 6 540

b. 5 750 – ..... = 5 730 e. ..... – 187 = 3 110

c. 3 520 – ..... = 1 420 f. ..... – 504 = 125

1

2

actividades

4 1 2 0

– 3 5 4 6

5 7 4

M

– SD

D

+ SM

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

5 7 4

+ 3 5 4 6

4 1 2 0

Diferencia

Sustraendo

Minuendo

Por tanto, esta semana han visitado el Oceanográfico 574 escolares más quela anterior.

• Para comprobar el resultado, utilizamos la prueba de la sustracción. Su-mamos la diferencia y el sustraendo y, si el resultado es igual al minuendo,la sustracción está bien hecha.

Si la suma de la diferencia y el sustraendo es igual al minuendo, la sustracción está bien hecha. Esta es la prueba de la sustracción.

Luego la operación está bien hecha.

Recuerda cómo se relacionan los términos de la sustracción.

4 120 – 3 546 = 574 574 + 3 546 = 4 120 4 120 – 574 = 3 546

M – S = D D + S = M M – D = S

La sustracción no cumple la propie-dad conmutativa como la adición.

87 – 50 ≠ 50 – 87

Observa

Días Comensales

lunes 187

martes 210

miércoles 98

jueves 115

La adición cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

Completa en tu cuaderno el dato que falta y resuelve.

a. 7 058 + 324 + 154 = 324 + 154 + ..... = .....

b. 320 + 2 540 + ..... = 132 + 2 540 + ..... = .....

c. 87 + ..... + 3 154 = 865 + ..... + 3 154 = .....

d. 432 + ..... + 90 = 90 + ..... + 685 = .....

Un ciclista recorre 9 657 m por la mañana y, por la tarde, 380 m más que porla mañana.

a. ¿Cuántos metros ha recorrido por la tarde?

b. ¿Cuántos metros pedaleó durante el día?

c. ¿Es correcto decir que por la mañana ha recorrido 9 000 m aproximadamente?Razona la respuesta.

4

5

Resuelve estas adiciones de dosformas diferentes aplicando lapropiedad conmutativa.

a. 354 + 210 + 65

b. 309 + 176 + 3 245

c. 2 036 + 8 173 + 15 390

Calcula el resultado agrupandoprimero dos sumandos.

a. 65 + 487 + 535

b. 8 125 + 975 + 4 200

c. 4 907 + 36 028 + 57 830

Julia tiene trece años, su hermanaÁngela tiene cinco más y su pa-dre, veintiocho más que Julia.¿Cuántos años tienen Ángela y supadre? ¿Cuántos años suman lostres en total?

1

2

3

actividades

54

Resuelvo problemas

Lógica

Utilizar un esquema o un dibujo para resolver gráficamente un problema

• Después, observamos que cada planta puede colocarseen cada uno de los diferentes maceteros y representa-mos las soluciones del problema con un esquema.

Aplico la estrategia

¿Cuántas combinaciones posibles puedes hacer conestas camisetas y estos pantalones?

Nieves quiere rellenar un hueco con baldosas cuadra-das. El hueco mide seis baldosas de alto y tres de ancho.

La mitad de las baldosas que tiene son azules, sonrojas y el resto, amarillas.

a. Dibuja el hueco y colorea cuatro mosaicos posibles se-gún el color de las baldosas.

b. ¿Puede haber más soluciones? Razona la respuesta.c. ¿Qué fracción del total representan las baldosas ama-

rillas?

418

2

1 Escribe todos los números posibles de tres cifras que sepueden formar con estas tres tarjetas.

Marina y Eugenio han dividido una pizza en 12 porcio-

nes iguales. Marina ha comido de pizza y Eugenio,el triple que Marina.

a. Representa gráficamente la cantidad de pizza que hacomido cada uno.

b. ¿Ha sobrado alguna porción? Si es así, escribe la frac-ción que representa.

212

4

3

Rubén, Marta y Cisco están sentados en un banco yquieren saber de cuántas maneras diferentes se pue-den colocar. Indica al menos cinco formas distintas.

Pedro tiene que regar cada día 12 macetas. Dice queesta mañana ha regado cuatro doceavos y que el restolo hizo por la tarde.

a. Haz un esquema con las macetas que ha regado tantopor la mañana como por la tarde.

b. Escribe la fracción que representan las macetas rega-das por la tarde.

6

5

A Paula le han regalado por su cumpleaños dos plantas ytres maceteros de diferentes colores. Cuando llega a casaquiere saber de cuántas maneras posibles podría colocarlas plantas en los maceteros. ¿Cómo podrá averiguarlo?

Para resolver el problema seguimos estos pasos:

• Primero dibujamos los datos necesarios para resolverel problema: las plantas y los maceteros.

• Finalmente, contamos las soluciones del esquema:hay seis formas diferentes de combinar las plantas conlos maceteros.

55

Un profesor ha formado tres grupos para hacer un ta-ller de energías renovables. Ha dispuesto a los alumnosen tres filas de mesas con seis alumnos en cada una.

Un grupo está formado por de la clase, otro por y el último, por el resto.

a. ¿Cuántos alumnos forman cada grupo?b. Dibuja cómo pueden distribuirse de tres formas dis-

tintas. Colorea cada grupo de un color.

26

36

7

Razonamiento con fracciones

Recuerda cómo se calcula la fracción de una cantidad. Después, averigua losbalones que hay en las cajas. Ten en cuenta lo que se indica en cada caso.

Encuentra en este puzle las tres piezas que forman cada serie y representanla misma cantidad.

2

1

14

del total = 13

del total =16

del total =

310

610

510

710

210

0,50,6

0,3

0,2

0,7

Biografía

Actividades

Observa

Lógica

Estrategia

Cada día utilizas las matemáticas para entender y manejar la información.

En este libro, además aprenderás cómo usarla adecuadamente en todas las

situaciones.

Cómo se usa

002_003_15102.qxd 8/9/09 17:37 Página 2

3

El apartado ¡Cúanto heaprendido!, al final decada unidad, te servirápara evaluar lo que hasvisto en la unidad.

Aplica las matemáticasde forma divertidarealizando el Sudoku ydespués, pon a prueba tu ingenio.

En la doble página de Cooperamos paraaprender aprenderásuna nueva forma detrabajar en equipo contus compañeros.

En el apartado deCálculo mental

aprenderás a operar de manera rápida

mentalmente. Si aplicaslo aprendido descubrirás

otras estrategias por ti mismo.

Cada cuatro unidadesencontrarás una doble

página de Repasotrimestral con

actividades pararecordar los contenidos

de estas unidades.

Con el resumen deAclaro mis ideas podrás

repasar todo lo que hasaprendido en la unidad.

¡Cuánto he aprendido!

Completa en tu cuaderno con las palabras que faltan y aprende.

• La multiplicación cumple las propiedades ..... , ..... y .....

respecto de la adición y de la sustracción.• En una división el resto debe ser siempre ..... que el di-

visor.• Si multiplicamos o dividimos por el mismo ..... el divi-

dendo y el divisor, el cociente no varía, pero el ..... quedamultiplicado o dividido por dicho ..... .

• Para multiplicar un número por la unidad seguida de....., ..... al final de dicho número los ceros que siguen ala ..... .

• Para dividir un número entre la unidad seguida de ce-ros, separamos del número, empezando por la ....., tan-tas cifras como ..... siguen a la unidad. El númeroformado por las ..... separadas es el ....., y el formado porlas otras, el ..... .

Explica con un ejemplo cómo se resuelven las opera-ciones combinadas con paréntesis.

Resuelve en tu cuaderno y relaciona las expresiones quetienen el mismo resultado.

1 013 × 71 13 × 7474 × 13 122 × (5 × 19)

(122 × 5) × 19 71 × 815 × 25815 × 71 × 25 71 × 1 013

Un elefante come diariamente 213 kg de hierba. Si en elmismo recinto conviven siete elefantes, ¿cuántos kilo-gramos de hierba comen en total durante un año?

Calcula de dos formas distintas aplicando la propiedaddistributiva.

a. (115 + 75) × 15b. 20 × (286 − 86)c. 18 × (24 + 635)

5

4

3

2

1 Escribe las operaciones y calcula.

a. El doble de la diferencia entre quince y siete.b. Doce por la suma de ciento nueve más catorce.c. La diferencia entre cincuenta y nueve y treinta y seis,

multiplicada por siete.

Calcula estas divisiones en tu cuaderno y escribe si sonexactas o inexactas.

a. 3 368 : 8 c. 7 351 : 117b. 4 563 : 24 d. 213 481 : 342

Comprueba las divisiones anteriores utilizando la pruebade la división.

Realiza las siguientes operaciones.

a. 23 × 100 d. 536 : 10b. 2 090 × 100 e. 5 238 : 100c. 170 × 10 f. 11 236 : 1 000

Resuelve estas operaciones combinadas.

a. (23 × 10 – 150) + 36 : 6 b. 66 × 3 –145 + 45

Calcula mentalmente las siguientes multiplicaciones.

a. 8 × 11 c. 45 × 11 e. 70 × 101b. 90 × 11 d. 5 × 101 f. 64 × 101

11

10

9

8

7

6

Aclaro mis ideas

42

Propiedades de la multiplicación

Conmutativa

7 × 80 = 80 × 7

5 × 6 × 7 = 6 × 5 × 7

Asociativa

(3 × 4) × 2 = 3 × (4 × 2)

Distributiva

6 × (8 + 12) = 6 × 8 + 6 × 12

4 × (12 – 6) = 4 × 12 – 4 × 6

La división

Tipos Propiedad fundamental

Si multiplicamos o dividimos eldividendo y el divisor por unmismo número, el cociente novaría, pero el resto, si lo hay,queda multiplicado o divididopor dicho número.

24 : 6 = 4> 48 : 12 = 4

> 12 : 3 = 4

Exacta

El resto es cero.

56 : 8 = 7

56 = 8 × 7

Inexacta

El resto no es cero.

58 : 8 = 7 y r = 2

58 = 8 × 7 + 2

D = d × c D = d × c + r

× 2

: 2

Multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros

Multiplicar

45 × 10 = 450

67 × 100 = 6 700

54 × 1 000 = 54 000

Dividir

3 452 : 10 > c = 345 y r = 2

3 452 : 100 > c = 34 y r = 52

3 452 : 1 000 > c = 3 y r = 452

Jerarquía de las operaciones

Sin paréntesis

9 × 8 + 12 : 4 – 372 + 3 – 3

72

Siempre de izquierda a derecha. Primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.

Con paréntesis

156 – (23 + 6) × 5156 – 29 × 5

156 – 14511

¿Cuántos números de ocho cifras cumplen estascondiciones? Escríbelos en tu cuaderno.

De ellos, ¿cuál se divide entre diez de formaexacta?

12

Tiene un 7 en las unidades de millón, un 2 en lascentenas, un 8 en las decenas de millar, un 3 enlos millares, un 4 en las decenas, un 6 en las cen-tenas de millar y un 1 en las decenas de millón.

43

Uso las TIC

Podemos construir cuerpos geométricos fácilmente utili-zando una hoja de texto de Word y siguiendo estos pasos:

1 Sigue los pasos anteriores y dibuja las figuras que apare-cen en el apartado 3, con color y giradas.

2 Averigua cómo podemos dibujar prismas triangulares o pentagonales partiendo de un triángulo o un pentágonoy el botón de 3D.

Actividades

Cuerpos geométricos con Word

1. En la opción Ver, buscamos Barra de herramientasy hacemos clic sobre la de Dibujo.

Así aparecerá la barra en la parte inferior de la pan-talla.

2. Una vez instalada la barra de Dibujo, hacemos clicsobre Autoformas y seleccionamos la opción For-mas básicas.

De este modo aparecerán las distintas figuras que po-demos dibujar; entre ellas, formas planas y cuerpos geométricos.

1 Colocamos la barra de herramientas

1. Para dibujar un cubo, por ejemplo, selecciona-mos el botón , después hacemos clic sobre lapágina en blanco y arrastramos hasta que elcubo tenga el tamaño que queremos.

2. El rombo amarillo que aparece junto a la figuranos permite modificarla y transformarla en otrocuerpo geométrico. Para obtener un prismacomo en este caso, basta con hacer clic sobre elrombo y arrastrar.

3. Por último, podemos utilizar el botón paracolorear las figuras y el botón paragirarlas.

2 Dibujamos cuerpos geométricos

209

Si quieres aprendercosas nuevas

sobre la amistad,lee El anillo de Midas, de

Patxi Zubizarreta. ¡Seguro que te encantará!

24

1. Expresa con cifras del sistema decimal el número romano XLIV.

2. Escribe el valor en unidades de las cifras 7 y 8 en el número 37 582.

3. ¿Qué cifra representa las decenas de millón en 345 768 909?

4. Si un número tiene seis cifras y otro tiene siete, ¿qué número es mayor?

5. Si representamos los números 657 y 354 en la recta, ¿cuál estará mása la derecha?

6. De los números 2 499, 3 543 y 3 120, ¿cuál de ellos se aproxima más a3 000?

7. La suma de dos números es 120 y el menor es 40. ¿Cuál es el mayor?

8. ¿Qué número hay que sumar a trescientos para obtener cuatrocientos?

9. La diferencia entre dos números es 8 y el menor es 17. ¿Cuál es el nú-mero mayor?

10. Si la suma del sustraendo y la diferencia es igual al minuendo, ¿la sus-tracción está bien hecha?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas adiciones.

a. 476 + 99 c. 394 + 99 e. 2 146 + 99 g. 3 568 + 99b. 524 + 99 d. 615 + 99 f. 4 417 + 99 h. 5 379 + 99

Calcula mentalmente estas sustracciones.

a. 231 – 99 c. 482 – 99 e. 5 124 – 99 g. 6 492 – 99b. 563 – 99 d. 367 – 99 f. 2 648 – 99 h. 7 465 – 99

Observa las estrategias anteriores y explica cómo sumarías y restarías 999a un número. Escribe dos ejemplos de cada caso y comprueba los resulta-dos con la calculadora.

3

2

1

¡Prueba tu ingenio!

¿Es correcto lo que diceFermín? Razona tu respuesta.

2

3

3

2

3

3

4

2

Para sumar 99 a un número, primero sumamos 100 y alresultado le restamos 1.

384 + 99 = 384 + 100 – 1 = 484 – 1 = 483

Para restar 99 a un número, primero restamos 100 y alresultado le sumamos 1.

384 – 99 = 384 – 100 + 1 = 284 + 1 = 285

Sudo

ku

Uno menos veinte es igual a diecinueve.

Nuevastecnologías

Resumende la

unidad

Diezpreguntas

breves

Preguntadifícil

Repasoconceptos

Sudoku

78

Cooperamos para aprender

Una sesión de magia¿Crees que puede haber magia en las matemáticas?

Si sigues estos pasos con ayuda de tus compañeros y tu profesor descu-briréis curiosidades relacionadas con las matemáticas y podréis hacer unasesión de magia.

1. InvestigarLo primero que debes hacer antes de preparar cada una de las actuacionesde la sesión es investigar sobre los tipos de curiosidades matemáticas quela formarán. En este caso, lo haréis en grupos de cuatro y cada uno haráuna de estas tareas.

Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4

Buscar trucos de números sinla calculadora.

Buscar juegos para realizarcon la calculadora.

Buscar trucos con las cartasde una baraja.

Buscar trucos visuales configuras.

• Para empezar, recopila todo el ma-terial que encuentres en la biblio-teca, Internet o que te facilite tuprofesor sobre el tema que te ha to-cado investigar y léelo con aten-ción.

• Luego, reúnete con los compañe-ros de los otros grupos que ten-gan la misma tarea que tú yponed en común todos los trucoso curiosidades que habéis recopi-lado. Comentad e intercambiadesta información para aclarar lasposibles dudas. ¡Ayudaos y escu-chaos para convertiros en magosexpertos!

76

Recuerdo lo que sé

Lee y escribe con letra estos números.

a. 227 431 c. 10 023 403 e. 6 542 712b. 909 090 d. 3 268 546 f. 12 300 807

Expresa con cifras romanas los siguientes números.

Escribe el valor de la cifra 2 en cada uno de estos nú-meros.

a. 345 127 c. 51 203 482b. 2 172 305 d. 326 976 204

Compara en tu cuaderno utilizando los signos <, = o >.

a. 623 285 6 501 033 c. 96 752 967 520b. 846 362 846 361 d. 378 678 378 678

Realiza las operaciones aproximando primero las can-tidades a los millares.

A + B B + C B – C C – A

Calcula de dos formas diferentes.

a. 23 456 + 101 886b. 87 210 + 208 541 + 25 143c. 6 718 036 + 258 + 514 970

Corrige las operaciones que no estén bien hechas. 7

6

5

4

3

2

1 En una ciudad de 234 526 habitantes, 98 438 son mu-jeres. ¿Cuántos hombres hay en la ciudad? Compruebael resultado.

Calcula de dos formas distintas estas multiplicaciones.

Coloca paréntesis donde corresponda según el resul-tado.

a. 35 × 26 – 15 = 895b. 35 × 26 – 15 = 385c. 240 + 18 × 46 = 11 868d. 240 + 18 × 46 = 1 068

Realiza estas divisiones y rodea las que sean exactas.Después, comprueba si están bien hechas.

a. 6 780 : 5 b. 23 456 : 65 c. 88 234 : 52

Paula tiene 250 fotos y las distribuye en álbumes de 25fotos, mientras que Rubén tiene 750 fotos y las distri-buye en álbumes de 75 fotos. ¿Cuántos álbumes nece-sita cada uno? ¿Qué ocurre con los resultados? Razonatu respuesta.

Encuentra el término que falta y completa en tu cua-derno.

a. 2 478 × 100 = …..

b. 16 498 × ….. = 1 649 800c. ….. × 10 = 4 560d. 7 890 × ….. = 78 900

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a. 548 : 10 d. 3 530 : 1 000b. 2 895 : 100 e. 36 548 : 100c. 26 919 : 10 f. 19 233 : 1 000

Halla el resultado de estas operaciones combinadas.15

14

13

12

11

10

9

8

453 × 324 298 × 125 2 239 × 546

207 × 412 354 × 620 1 527 × 382

520 : 5 – 192 + 1 720 × 10 – 158

002_003_15102.qxd 8/9/09 17:38 Página 3

NÚMEROS Y OPERACIONES TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓNUNIDAD

NÚMEROS Y OPERACIONES GEOMETRÍA Y MEDIDAUNIDAD

4

5. Los númerosdecimales págs. 80-95

La décima, la centésima y la milésima. Los números decimales y valor posicional. Lectura y escritura de números decimales. Lecturay escritura de cantidades decimales. Los números decimales y lasfracciones. Representación en la recta numérica. Comparación yordenación de números decimales. Redondeo de números decimales.

6. Operaciones connúmeros decimales págs. 96-111

La adición y sustracción con decimales. Los decimales en lacalculadora. Multiplicación de un número decimal por otronatural. Multiplicación de un número natural por otro decimal.Multiplicación de un número decimal por 10, 100, 1 000...División de números con cociente decimal. División de unnúmero decimal entre otro natural. División de un númerodecimal entre 10, 100, 1 000...

7. Medidas de longitud y superficie págs. 112-127

Unidades de longitud mayores que el metro. Unidades de longitud menores que el metro. Equivalencia entre lasunidades de longitud. Instrumentos de medida. La adicióny la sustracción con cantidades de longitud. Multiplicaciónde cantidades de longitud. La medida de superficie: el área. El metro, el decímetro y el centímetro cuadrado.

8. Medidas de capacidady masa págs. 128-143

Unidades de capacidad mayores que el litro. Unidades de capacidad menores que el litro. Unidades de masamayores que el gramo. Unidades de masa menores que el gramo. Equivalencia entre unidades. Instrumentos demedida. Adición y sustracción con capacidades y masas.Multiplicación con masas y capacidades.

Recuerdo lo que sé págs. 144-145

Cooperamos para aprender: Construcción de figuras con regla y compás págs. 146-147

0. Recuerdopágs. 6-11

Números de hasta siete cifras. La adición y la sustracción. La multiplicación y la división. Las fracciones y sus términos. Los números decimales.

1. Los números y lasoperaciones págs. 12-27

Sistema de numeración romano. Sistema de numeración decimaly posicional. Números de más de siete cifras. Comparación yordenación de números. Representación de números en la recta.Aproximación de números hasta los millares. La adición y suspropiedades. La sustracción y su prueba.

2. La multiplicación yla división págs. 28-43

La multiplicación y sus propiedades. La propiedad distributiva. La división y su prueba. La propiedad fundamental de la división.Multiplicación por la unidad seguida de ceros. División entre launidad seguida de ceros. Jerarquía de las operacionescombinadas. Practicamos con la calculadora.

3. Las fraccionespágs. 44-59

La fracción y su representación. Escritura y lectura de fracciones.Comparación de fracciones con la unidad. Las fraccionesaparentes. Comparación de fracciones. Las fracciones equivalentes.La fracción de una cantidad. Adición y sustracción con el mismodenominador.

4. Tratamiento de lainformación págs. 60-75

Las tablas de datos. La frecuencia y la moda. La mediaaritmética. El gráfico de barras simple. El gráfico de barrasdoble. El gráfico de puntos y el de líneas. El pictograma. El gráfico de sectores. Análisis crítico de datos en gráficosy tablas.


Cooperamos para aprender: Una sesión de magia págs. 78-79

GEOMETRÍA Y MEDIDAUNIDAD

9. Medida del tiempo.Sistema monetario págs. 148-163

Períodos mayores y menores que el año. Las horas, los minutos y los segundos. Expresiones simples detiempo. Expresiones complejas de tiempo. Adición y sustracción de cantidades de tiempo. Multiplicación y división de cantidades de tiempo. El sistema monetario. Equivalencia entre el euro y el dólar.

10.Los ángulos págs. 164-179La medida de los ángulos. Los ángulos y el transportador. Adición y sustracción de ángulosLa bisectriz de un ángulo. Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos. Ángulos complementarios y suplementarios. Los ángulos y los giros. Medida de ángulos en triángulos y cuadriláteros.

11.Las figuras planas.El área págs. 180-197

Los elementos de un polígono. El perímetro. Los polígonos. Los triángulos. Los cuadriláteros. El área del cuadrado y del rectángulo. El área del triángulo y del romboide. La circunferencia y el círculo. Figurascon simetría y figuras simétricas. Traslaciones. Movimientos en el plano.

12.Los cuerposgeométricos págs. 198-211

Los poliedros y sus elementos. Los poliedros regulares. Los prismas. Las pirámides. El cilindro, el cono y la esfera.


Cooperamos para aprender: Un juego de preguntas págs. 214-215

004_005_15102.qxd 8/9/09 17:38 Página 4

LÓGICA CÁLCULO MENTALRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS



5

Obtener los datos de un texto y resolver. Comprensión de vocabulario. Sumar 99 a un número.

Pasos en la resolución de problemas. Interpretación de operaciones y textos numéricos. Multiplicar un número por 11.

Utilizar un esquema o dibujo para resolver gráficamenteun problema.

Razonamiento con fracciones.Transformar un número en una fracción aparente condenominador 3.

Obtener los datos de un gráfico para resolver unproblema.

Relacionar distintos tipos de gráficos con la mismainformación.

Multiplicar un número por otro formado por una cifrasignificativa seguida de ceros.

Inventar el enunciado a partir de una pregunta y su solución.

Deducciones con números y símbolos.Redondear un número decimal a la decena máspróxima.

Anticipar una solución aproximada al problema y comprobar el resultado.

Series y relaciones lógicas con números decimales .Calcular el producto aproximado de números de doscifras.

Operar convirtiendo los datos a la misma clase de unidades.

Cálculo de superficie.Convertir cualquier tipo de unidades de un orden a otrasdel orden inmediato inferior.

Operar en forma simple o en forma compleja. Estimación de masa y de capacidad de algunos objetos.Convertir cualquier tipo de unidades de un orden a lasdel orden inmediato superior.

Interpretar de forma lógica los resultados de unproblema.

Razonamientos con el dinero y con el tiempo. Transformar horas en minutos o minutos en segundos.

Inventar dos preguntas para un enunciado y resolverlas. Razonamientos con ángulos y figuras. Multiplicar un número por 5.

Calcular el área de figuras compuestas. Flexibilidad imaginativa con figuras. Dividir un número entre 5.

Inventar el enunciado de un problema y resolverlo conla estrategia más apropiada.

Visión espacial. Dividir un número entre 20.

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6

0

Adivina, adivinador...Las matemáticas, como todas las ciencias, han idoevolucionando y aportando a otras disciplinas,como la música, la informática o la física, a través deltrabajo, los inventos y los descubrimientos de grandespensadores y científicos de todas las épocas.

A lo largo de este curso, te proponemos que conozcas la viday obra de algunos de ellos y la utilidad de su trabajo.

Seguro que a algunos los conoces y a otros no tanto... Enalgunos casos, te sonarán sus inventos o los habrás

visto... ¿Te animas a jugar a las adivinanzasantes de empezar? ¡No vale mirar las res-

puestas en las siguientes unidades!

Le llamaban«príncipe», eraalemán y eraun genio delcálculo mental.

Recuerdo

Su apellidoempieza con By fue el inventordel sistema delectura paraciegos.

¿Sabes de un arquitectoque construía imitandola naturaleza y susformas? Una pista: AG.

¿Sabes quiénhizo su másfamosodescubrimientoviendo caer unamanzana?

006_011_15102_U0.qxd 8/9/09 17:42 Página 6

Cada cifra del número 2 354 067 representa un orden de unidades.

7

Números de hasta siete cifras

Los números de siete cifras tienen unidades de millón, centenas de millar, decenas de millar, unidades de millar, centenas, decenas y unidades.

U = unidades UM = unidades de millar

D = decenas DM = decenas de millar

C = centenas CM = centenas de millar

UMM = unidades de millón

Para leer números de siete cifras, nombramos la cifra que ocupa el séptimo lu-gar seguida de la palabra millón o millones y, a continuación, el número for-mado por las seis cifras restantes.

2 354 067 > dos millones trescientos cincuenta y cuatro mil sesenta y siete

Recuerda que, al descomponer un número, cuando una de sus cifras es uncero no se escriben las unidades de ese orden.

2 354 067 = 2 000 000 + 300 000 + 50 000 + 4 000 + 60 + 7

7.º 6.º 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º

UMM CM DM UM C D U

2 3 5 4 0 6 7

Orden

Símbolo

Número

10 U = 1 D

100 U = 1 C

1 000 U = 1 UM

10 000 U = 1 DM

100 000 U = 1 CM

1 000 000 U = 1 UMM

recuerda

¿Qué número tiene 3 unidades de millón, 56 millares y 120 unidades? ¿Cuáles el número anterior a él? ¿Y el siguiente?

Escribe con cifras estos números.

a. Ciento treinta mil sesenta c. Un millón trescientos noventa mil nueve

b. Cincuenta mil ciento doce d. Tres millones quince mil ciento cinco

Observa el ejemplo e indica cuántas unidades representan las cifras coloreadas.

a. 56 789 c. 670 175 e. 6 987 029

b. 234 657 d. 1 205 358 f. 8 054 755

De un aeropuerto salen por la mañana 12 768 pasajeros y, por la tarde, una can-tidad compuesta por las mismas cifras pero con la cifra de las decenas y la delos millares intercambiadas. ¿Cuándo salieron más pasajeros? ¿Cuántos más?

3

4

5

6

Lee y escribe con letra los si-guientes números.

a. 8 083 e. 403 678

b. 85 098 f. 312 540

c. 56 040 g. 1 380 259

d. 50 665 h. 5 906 348

Escribe en tu cuaderno con letraestos números.

a. 36 892 d. 1 567 345

b. 480 681 e. 3 408 098

c. 905 422 f. 5 709 009

1

2

actividades

456 786 > 5 DM = 50 000 U

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En un camping hay 845 personas mayores de edad y 768 menores. ¿Cuántaspersonas conviven en el camping en total? ¿Cuántos adultos más que meno-res hay?

Recuerda que en la adición el orden de los sumandos no cambia el resultado,pero no sucede igual en la sustracción; no podemos cambiar de orden el mi-nuendo y el sustraendo.

768 + 845 = 845 + 768 = 1 613 845 – 768 = 768 – 845

La adición y la sustracción

Los términos de la adición se llaman sumandos y suma, y lostérminos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia.

Andrés ha caminado 345 m, Carla, 45 m más que An-drés, y Julián, 45 m menos que Carla. ¿Cuántos metrosha caminado cada uno?

Calcula la diferencia y subraya el sustraendo.

a. 5 437 – 189 c. 5 823 000 – 614 235

b. 67 200 – 4 657 d. 8 067 652 – 3 455 908

¿Qué término falta en cada sustracción? Calcúlalo y completa en tu cuaderno.

a. 156 – ..... = 100 b. 786 – ..... = 586

c. ..... – 300 = 450

El sustraendo de una sustracción es 4 567. Si el mi-nuendo tiene dos centenas más y cuatro decenas me-nos, ¿cuál es la diferencia?

En un jardín hay 276 rosas rojas y 169 rosas amarillas.¿Cuántas rosas rojas más que amarillas hay?

Teresa y Elena coleccionan cromos y han reunido 122.Si ayer tenían 145, ¿cuántos cromos han regalado?

5

6

7

8

9

10

Realiza estas adiciones y subraya el resultado.

a. 456 + 1 678

b. 5 768 + 746 + 6 865

c. 914 875 + 3 456 + 76 908

¿Qué término falta en cada caso? Calcúlalo mental-mente y completa las operaciones en tu cuaderno.

a. 235 + 265 = .....

b. 625 + ..... = 1 000

c. 1 250 + ..... = 2 000

Comprueba que el orden de los sumandos no cambia elresultado y resuelve.

a. 645 + 780 = 780 + 645

b. 2 435 + 3 756 = 3 756 + 2 435

c. 7 045 + 4 807 + 943 = 7 045 + 943 + 4 807

Al colocar dos sacos en una báscula, esta marca 187 kg.Si uno de los sacos pesa 98 kg, ¿cuánto pesará el otro?

1

2

3

4

actividades

• Para resolver la primera pregunta,sumamos 768 y 845.

Es decir, en total hay 1 613 personas. Luego en el camping hay 77 adultosmás que menores de edad.

• Para resolver la segunda pregunta,restamos 768 de 845.

8 4 5 minuendo– 7 6 8 sustraendo

7 7 diferencia

7 6 8 sumando+ 8 4 5 sumando1 6 1 3 suma

8

006_011_15102_U0.qxd 8/9/09 17:43 Página 8

La furgoneta amarilla transporta 40 paquetes iguales de 8 kg cada uno y lafurgoneta roja, 540 kg en cajas de 30 kg. ¿Cuántos kilogramos transporta la furgoneta amarilla? ¿Cuántas cajas lleva la furgoneta roja?

Recuerda que en la multiplicación el orden de los factores no cambia el producto.

40 × 8 = 8 × 40 = 320

9

La multiplicación y la división

• Para resolver la primera pregunta,multiplicamos 40 × 8.

• Para contestar a la segunda pre-gunta, dividimos 540 entre 30.

Por tanto, la furgoneta amarilla trans-porta 320 kg.

Luego la furgoneta roja lleva 18 cajas.

dividendo 5 4 0 3 0 divisor2 4 0 1 8 cociente

resto 0 0

4 0 factor× 8 factor3 2 0 producto

Los términos de la multiplicación son los factores y el producto. Lostérminos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y elresto.

Comprueba que el orden de los factores no varía el resultado.

a. 34 × 8 b. 450 × 9 c. 40 × 32 d. 1 254 × 65

Señala los términos de estas divisiones y calcula su cociente.

a. 98 : 6 b. 765 : 4 c. 550 : 50 d. 876 : 3

Nombra y averigua el término que falta en cada caso.

a. 72 : ..... = 9 c. 56 : ..... = 7 e. ..... : 4 = 8

b. 56 : ..... = 8 d. ..... : 6 = 9 f. ..... : 5 = 50

Calcula el cociente y comprueba que en estas divisiones el producto del di-visor por el cociente es igual al dividendo.

a. 450 : 5 c. 3 918 : 3 e. 98 750 : 25

b. 732 : 61 d. 54 048 : 12 f. 469 692 : 36

En el patio de un colegio, 135 alumnos se reparten en seis filas iguales.

a. ¿Cuántos alumnos habrá en cada fila?

b. ¿Queda algún alumno sin colocarse en la fila? ¿Cuántos?

4

5

6

7

8

Indica los términos de estas mul-tiplicaciones y calcula su pro-ducto.

a. 34 × 9 d. 2 876 × 65

b. 437 × 8 e. 865 × 648

c. 543 × 23 f. 3 582 × 754

Completa en tu cuaderno el factorque falta.

a. 8 × ..... = 72

b. 7 × ..... = 42

c. 6 × ..... = 54

d. 9 × ..... = 180

e. 4 × ..... = 240

f. 5 × ..... = 350

Averigua qué número es veintitrésveces mayor que 456.

1

2

3

actividades

30 × 9 = 270 > 9 × 30 = 270

8 kg

30 kg

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Pedro y Aladina han fabricado una cometa hexagonal.

La tela está dividida en seis triángulos iguales, cada uno representa una sextaparte de la cometa entera.

La cometa tiene tres sextos rojos, dos sextos azules y un sexto verde.

• Para leer fracciones, nombramos primero el número del numerador y luegoel del denominador. Si los denominadores son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, usa-mos las palabras: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos,novenos o décimos.

> cuatro quintos > ocho décimos8

10

4

5

10

Las fracciones y sus términos

A estas expresiones las llamamos fracciones, y representan partesiguales de la unidad. Una fracción se escribe con dos númerosseparados por una raya horizontal, llamados numeradory denominador.

> rojo > azul

> verde

Indica las partes de la unidad que tomamos.

Indica el número de partes iguales en que dividimos la unidad.

numerador

denominador

3

6

Lee y escribe en tu cuaderno el nombre de estas frac-ciones.

a. c. e. g.

b. d. f. h.

Realiza los siguientes apartados.

a. Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado.

b. Divide el cuadrado en cuatro partes iguales.

c. Colorea partes de amarillo y de verde.

55

23

310

89

14

34

74

67

19

45

2

3

¿Qué fracción representa la parte coloreada en cadacaso?

a. c. e.

b. d. f.

1

actividades

3

6

1

6

2

6

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Observa las dos cuadrículas de la izquierda y las casillas que tienen coloreadas.

Los números decimales tienen una parte entera y una parte decimal separa-das por una coma. La parte entera está a la izquierda de la coma y la parte decimal, a su derecha.

Las décimas y las centésimas también pueden expresarse como un númerodecimal.

11

Los números decimales

• En la primera, de las 10 casillassolo una está pintada.

Cada casilla es una décima de lacuadrícula.

• En la segunda, de las 100 casillassolo una tiene color.

Cada una de las casillas es unacentésima de la cuadrícula.

1 décima = 1 d = 110

1 centésima = 1 c = 1100

110

= 0,1 1100

= 0,01

D U d c

1 6, 2 5

Parte entera Parte decimal

Las décimas ocupan el primer lugar a la derecha de la coma y las centésimas, el segundo.

9,75 > 9 coma 75 unidades

9,75 > 9 unidades 75 centésimas

recuerda

Escribe la expresión decimal de estas fracciones como en los ejemplos.

a. c. e. g.

b. d. f. h.

Representa con una fracción cada expresión decimal.

a. 0,4 b. 0,75 c. 0,06 d. 3,54

Victoria divide una cuerda de 40 cm en 10 partes iguales. Ella se queda conseis partes y su amiga Virginia se lleva el resto.

a. ¿Cuántas décimas de la cuerda se ha llevado Virginia?

b. ¿Cuántos centímetros miden en total las partes que se ha quedado Victoria?

125100

48100

15100

5100

62108910

810

410

3

4

5

Copia este rectángulo en tu cua-derno. Después, colorea tres casi-llas de rojo y seis de amarillo.¿Cuántas décimas has pintado decada color?

Dibuja en un papel cuadriculadoun cuadrado de 10 cuadrados delargo y 10 de ancho. Después, co-lorea de azul 3 décimas del dibujoy de verde 15 centésimas.

1

2

actividades

= 0,3 = 5,2 = 0,03 = 0,2727100

3100

5210

310

110

1100

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12

1En 1811, con tres años, Louis seencontraba jugando en el taller desu padre y tuvo un accidente que lodejó ciego. Con el tiempo obtuvo una beca

de estudios y en 1819 se trasladó a Paríspara ingresar en el Instituto Nacional

para Jóvenes Ciegos. En este mismocentro conoció al profesor Charles Bar-

bier, quien había sido capitán de artillería yllevaba 15 años ideando un sistema de escritura secreta

para poder comunicarse en la oscuridad. Se trataba de uncódigo de doce puntos con relieve, levantados sobre el papel,

que dejaba a los soldados compartir la información ultrasecretasobre el campo de batalla durante las noches sin tener que hablar.

Esta fue la gran idea de Charles Barbier que Louis Braille mejoró hastaconseguir, con tan solo 15 años, un sistema mucho más sencillo y fácil deutilizar para personas invidentes. Las letras, números o símbolos de estesistema están formados por conjuntos de uno a seis puntos, aunque en ocasiones(por ejemplo, en los números) se utilizan símbolos al comienzo para indicar que setrata de un número.

Este sistema se llamó Braille en honor a su inventor y se convirtió en un métodouniversal de lectura para los afectados de ceguera, pues, al ser impreso en relievesobre papel, permite la lectura mediante el tacto.

código: sistema de signos y de reglas que permiteformular y comprender un mensaje.

invidente: sin sentido de la vista.

símbolo: imagen querepresenta un conceptopor su parecido con él.

Louis Braille

nació en Francia a

principios del siglo XIX.

Fue el inventor del

sistema de lectura para

invidentes que lleva su

nombre.

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

+ – ÷ * =

Los numeros y las operaciones

012_027_15102_U1.qxd 8/9/09 17:47 Página 12

13

Actividades1. ¿Qué sentidos pueden ayudar a un

invidente en su vida diaria?

2. Existen plazas reservadas paradiscapacitados en medios de transporte,subtítulos en películas, programassonoros de ordenador... ¿Qué otrasmejoras se te ocurren para facilitar el díaa día de una persona discapacitada?

Podemos ayudarSegún los últimos datos de la OrganizaciónMundial de la Salud (OMS), el número deinvidentes en el mundo es de 50 000 000. Estacantidad puede ampliarse hasta los 180 millo-nes en el caso de personas con dificultadesvisuales.

Solo en España existen más de tres millones ymedio de discapacitados. La dificultad másfrecuente para las personas con discapacidades desplazarse fuera del hogar, esto afecta amás de la mitad de las personas con discapa-cidades que tienen entre 6 y 64 años.

Después de conocer

los números en

Braille, en la unidad

estudiarás los

números de hasta

nueve cifras.

Sobre el texto1. ¿Por qué los números del método

braille están formados por docesímbolos en lugar de seis?

2. ¿Cuántos años tenía Louis cuandose trasladó a París? ¿En qué añonació?

En grupoBuscad información sobre cómoestán dispuestos los puntos delmétodo Braille y cuántos signoshay. ¿Es un método sencillo?¿Podrías aprenderlo? Dialoga y comparte tu opinión con tus compañeros.

012_027_15102_U1.qxd 8/9/09 17:48 Página 13

1.ª El valor de una letra se suma al de la anterior si esta es de igual o mayor valor.

XV > 10 + 5 = 15

2.ª El valor de las letras I, X y C se resta de la siguientesi esta es de mayor valor.

• La letra I solo puede usarse a la izquierda de V y de X.

IV > 5 – 1 = 4 IX > 10 – 1 = 9

• La letra X solo puede usarse a la izquierda de L y de C.

XL > 50 – 10 = 40 XC > 100 – 10 = 90

• La letra C solo puede usarse a la izquierda de D y de M.

CD > 500 – 100 = 400

CM > 1 000 – 100 = 900

Para escribir números, los romanos usaban siete letras mayúsculas y a cadauna le daban un valor.

Para formar los demás números combinaban estas letras siguiendo unas reglas.

14

Sistema de numeración romano

Expresa estos números romanos con cifras del sistemadecimal.

Marina ha escrito el mayor y el menor número romanoque se pueden formar con las letras L, X, V, I, C sin re-petir ninguna. ¿Cuáles son esos números?

4

5

Sigue las reglas y escribe con números romanos.

a. Las decenas exactas de 10 a 100.

b. Los treinta primeros números.

Convierte cada número como en el ejemplo.

a. 72 d. 123 g. 1 555

b. 33 e. 561 h. 3 864

c. 47 f. 809 i. 7 486

Cristóbal Colón descubrió América el año 1492. Escribeesta fecha con números romanos.

2 954 = 2 000 + 900 + 50 + 4 > MMCMLIV

1

2

3

actividades

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1 000

3.ª Cuando una letra está entre otras del mismo va-lor, su valor se resta de la que está a su derecha.

MCM > 1 000 + 900 = 1 900

4.ª Solo pueden repetirse las letras I, X, C y M tres ve-ces como máximo.

II = 2 CCC = 300

XXX = 30 MM = 2 000

5.ª Si un número romano tiene una raya horizontalencima, su valor queda multiplicado por mil.

M = 1 000 MM = 2 000 MMM = 3 000

IV— = 4 000 V— = 5 000 X— = 10 000

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Para escribir números usamos el sistema de numeración decimal y posicional.

• En este sistema los números están formados por las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 y 9.

• Se llama decimal porque cada 10 unidades de un orden forman una uni-dad del orden inmediato superior.

10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena

Para convertir unidades de un orden a otras de orden inferior, multiplicamospor 10 tantas veces como órdenes haya de diferencia.

15

Sistema de numeracióndecimal y posicional

Escribe los tres números de seis cifras mayores que puedas formar en cada caso.

Pablo quiere averiguar qué número se esconde tras estas pistas. ¿Cuál es?

a. La suma de sus cuatro cifras es 12.

b. La cifra de las centenas es 7.

c. Las dos cifras de la derecha son iguales.

d. La cifra de los millares es mayor que la de las unidades.

3

4


a. Ciento treinta mil doscientos

b. Cuatrocientos quince mil setenta

c. Seiscientos nueve mil

Indica las unidades que represen-tan las cifras coloreadas.

a. 34 768 907 c. 5 736 890

b. 243 808 465 d. 45 786 435

1

2

actividades

9.º 8.º 7.º 6.º 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º

centenade millón

decenade millón

millóncentenade millar

decenade millar

millar centena decena unidad

CMM DMM UMM CM DM UM C D U

� 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10

: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10

Para convertir unidades de un orden a otras de orden superior, dividimos en-tre 10 tantas veces como órdenes haya de diferencia.

• Se llama posicional porque el valor de las cifras en un número depende dellugar que ocupan.

El 1 representa 10 unidades.

38 712

El 7 representa 700 unidades.

Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional.

Órdenes

Nombre

Símbolos

5, 0, 3, 4, 8, 6 6, 7, 1, 9, 2, 4, 3 8, 1, 5, 0, 2, 7, 3 9, 2, 4, 5, 1, 0, 8

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Recuerda que el número siguiente a 999 999 es el 1 000 000 y se lee «un millón».

1 000 000 de unidades = 1 unidad de millón

1 000 000 U = 1 UMM

16

Números de más de siete cifras

Copia en tu cuaderno y escribe cómo se leen los siguientes números. Re-cuerda agrupar los órdenes de tres en tres empezando por la derecha.

a. 345 687 b. 43 098 678 c. 30 506 780 d. 345 706 890


a. Tres millones ciento veinte mil treinta

b. Quince millones treinta y dos mil ciento cinco

c. Doscientos ocho millones treinta y dos mil cuatrocientos treinta y dos

d. Ochenta y dos millones quinientos noventa y tres

Escribe el mayor y el menor número de siete cifras que puedas formar conlas cifras 2, 4, 6, 5, 9, 7 y 1.

Ana tiene una ficha con el número 308 500 768 y Pedro, otra con un númeroque tiene siete millones menos y seis decenas de millar más. ¿Cuál es el nú-mero de la ficha de Pedro?

4

5

6

¿Qué orden de unidades repre-senta cada cifra coloreada? ¿Quévalor tiene cada una?

a. 45 678 934

b. 67 450 713

c. 546 870 987

d. 809 325 765

Descompón estos números comoen el ejemplo.

a. 132 406897 c. 650 891 254

b. 50 867 309 d. 29 056 387

1

2

3

actividades

Las cifras que ocupan los lugares 7.º, 8.º y 9.º reciben el nombre de unidadesde millón, decenas de millón y centenas de millón, respectivamente.

• Para leer números con millones, nombramos el número formado por lascifras que ocupan los lugares 7.º, 8.º y 9.º seguido de la palabra millones y,a continuación, el número formado por el resto de las cifras.

353 678 975 > trescientos cincuenta y tres millones seiscientos setenta y ocho mil novecientos setenta y cinco

Los números de nueve cifras tienen unidades, decenas y centenas de millón.

9.º 8.º 7.º 6.º 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º

CMM DMM UMM CM DM UM C D U

1 0 0 0 0 0 0

4 5 6 0 7 8 9 0

3 5 3 6 7 8 9 7 5

Órdenes

Símbolos

Números

Millones Millares

Cada orden de unidades está represen-tado por una cifra significativa o porel cero.

45 607 890 5 870 456

recuerda

345 768 376 = 345 000 000 ++ 768 000 + 376

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Ordena de menor a mayor los siguientes números.

Ordena estos precios de menor a mayor.

350 463 209 358 643 209 350 643 209

Dos astronautas discuten sobre quién ha recorrido más kilómetros de losdos. Tashin dice que ha recorrido 507 869 540 km y Sorko afirma que ha al-canzado casi las seis centenas de millón. ¿Quién ha recorrido más kilóme-tros? Explica por qué.

52 783 431 25 691 309 52 783 932 5 275 630

Compara los metros recorridos por estos autocares en un año. ¿Qué autocarha recorrido más metros? ¿Y menos?

• Para comparar varios números, primero nos fijamos en si tienen el mismonúmero de cifras o no. De ellos, será mayor el que tenga más cifras.

17

Comparación y ordenaciónde números

3

4

5

Explica los pasos que seguiríaspara comparar y ordenar de ma-yor a menor estos números.

21 562 403

21 572 430

210 562 034

Compara en tu cuaderno utili-zando los signos <, =, >.

a. 36 240 621 36 240 621

b. 261 304 712 268 304 712

c. 190 236 432 19 421 632

d. 593 236 512 593 230 512

1

2

actividades

• Si los números tienen la misma cantidad de cifras, nos fijamos en las cifrasdel mismo orden de unidades empezando por la izquierda, hasta encontrarque una de ellas es mayor que la otra.

234 768 980 9 cifras

Es el mayor.

34 657 8978 cifras

34 890 0218 cifras

34 657 897 m

234 768 980 m

34 890 021 m

• Por último, para ordenar varios números de mayor a menor, utilizamos elsigno >, y para ordenarlos de menor a mayor, utilizamos <.

234 768 980 > 34 890 021 > 34 657 897

Es decir, el autocar amarillo es el que ha recorrido más kilómetros y elverde, el que menos.

34 657 897

34 890 021

Las cifras de las decenas de millón coinciden.

34 657 897

34 890 021

Las cifras de las unidades de millón coinciden.

34 657 897

34 890 021

Las cifras de las centenas de millar no coinciden.

Como:

3 = 3 4 = 4 6 < 8

Por eso,

34 657 897 < 34 890 021

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actividades

Completa esta recta en tu cuaderno y representa en ella el número de kiló-metros que ha recorrido cada coche de la izquierda.

Copia estas rectas numéricas en tu cuaderno, coloca el número 15 en cadauna de ellas y responde.

a. ¿Está colocado el 15 en el mismo lugar en cada una de las rectas? ¿Por qué?

b. Para que estuviera a la misma distancia, ¿qué deberías hacer con los intervalos?

c. Coloca en cada una de las rectas anteriores el número 30. ¿Qué ocurre?

0 25 75 150 200

0

0

0

5

10

10

20

15

60

15

20

80

25

100

30

120

90

35 40 45

105

50 55 60

180

30 40 50 70 90 110

30 45 60 75 120 135 150 165

0 1

Alfonso representa varios números en una recta siguiendo estos pasos:

1.º Traza la semirrecta r y señala el 0 como origen.

18

Representación denúmeros en la recta

1

2

2.º Elige un punto a la derecha del 0 y le da un valor, por ejemplo 1. La dis-tancia entre esos dos números se llama intervalo; en este caso es de 1 en 1.

3.º Después, a la derecha del 1, traza segmentos con el mismo intervalo ymarca los números siguientes.

4.º Si los números que quiere representar son más grandes, en lugar de to-mar un intervalo de 1 en 1, toma intervalos de 5 en 5, de 10 en 10...

Podemos representar números en la recta tomando el intervalo quemás nos interese.

El mayor de dos números es el queestá más a la derecha en la rectanumérica.

5 < 10

Observa

0 5 10 15

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

0

5

10

10

20

15

30

20

40

25

50

30

60

35

70

40

80

45

90

50

100

55

110

60

120

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Rubén dice que ha hecho la revisión bucal a unos 2 000 alumnos en el cole-gio Quevedo, y Rebeca, su compañera, dice que ha revisado a algo más de1 000 en el Tirso de Molina.

Estos dentistas no dan el número exacto de alumnos sino cantidades aproxi-madas a los millares.

Para aproximar números al millar exacto más próximo, nos fijamos en el nú-mero formado por sus tres últimas cifras. Si es menor de 500, el millar máspróximo es el anterior; en caso contrario, es el millar siguiente.

19

Aproximación de númeroshasta los millares

1 176 1 789

1 176 > 1 000 1 789 > 2 000

Coloca cada bola en la caja que representa su millarmás próximo.

Averigua de qué objeto se trata.

a. Vale casi 3 000 puntos.

b. Cuesta algo más de 4 000 puntos.

c. Está próximo a los 5 000 puntos.

La distancia entre la casa de Juan y el polideportivo esde casi dos mil metros. Si la distancia entre el polide-portivo y el colegio casi llega al millar, ¿cuántos metroshay aproximadamente desde la casa de Juan al colegiopasando por el polideportivo?

4

5

6

Escribe en tu cuaderno el año en que naciste y entrequé millares se encuentra. Después, rodea el millar máspróximo.

Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.

Dibuja esta recta en tu cuaderno y coloca los númerosen un lugar aproximado. ¿Cuál es el millar más próximoa cada uno?

1

2

3

actividades

Termina Está entre Millar másen próximo

1 350 350 1 000 y 2 000 1 000

3 626

6 708

8 115

2 500

1 280 978 2 675 3 110

Centro Alumnos

Quevedo 1 789

Tirso de Molina 1 176

Cervantes 798

Unamuno 480

0 1 000 2 000 3 000 4 000

• El número 1 176 está comprendido entre 1 000 y 1 500. El millar exacto máspróximo es 1 000.

• El número 1 789 está comprendido entre 1 500 y 2 000. El millar exacto máspróximo es 2 000.

Observa que el segmento de recta que tomamos para representar los núme-ros puede partir de otro número distinto al 0.

500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000

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¿Cuántas personas han usado el comedor de este colegio los tres primerosdías de la semana?

• Podemos resolverlo de varias maneras.

187 + 210 + 98 = 495

210 + 98 + 187 = 495

El resultado es el mismo aunque cambiemos el orden de los sumandos, 495 comensales. Por eso decimos que la adición cumple la propiedad conmutativa.

• También podemos calcular el resultado agrupando los sumandos y susti-tuyendo dos de ellos por su suma.

(210 + 187) + 98 = 397 + 98 = 495210 + 187 + 98

210 + (187 + 98) = 210 + 285 = 495

El resultado sigue siendo el mismo, 495 comensales. Por eso decimos que la adición cumple la propiedad asociativa.

20

La adición y suspropiedades

Días Comensales

lunes 187

martes 210

miércoles 98

jueves 115

La adición cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

Completa en tu cuaderno el dato que falta y resuelve.

a. 7 058 + 324 + 154 = 324 + 154 + ..... = .....

b. 320 + 2 540 + ..... = 132 + 2 540 + ..... = .....

c. 87 + ..... + 3 154 = 865 + ..... + 3 154 = .....

d. 432 + ..... + 90 = 90 + ..... + 685 = .....

Un ciclista recorre 9 657 m por la mañana y, por la tarde, 380 m más que porla mañana.

a. ¿Cuántos metros ha recorrido por la tarde?

b. ¿Cuántos metros pedaleó durante el día?

c. ¿Es correcto decir que por la mañana ha recorrido 9 000 m aproximadamente?Razona la respuesta.

4

5

Resuelve estas adiciones de dosformas diferentes aplicando lapropiedad conmutativa.

a. 354 + 210 + 65

b. 309 + 176 + 3 245

c. 2 036 + 8 173 + 15 390

Calcula el resultado agrupandoprimero dos sumandos.

a. 65 + 487 + 535

b. 8 125 + 975 + 4 200

c. 4 907 + 36 028 + 57 830

Julia tiene trece años, su hermanaÁngela tiene cinco más y su pa-dre, veintiocho más que Julia.¿Cuántos años tienen Ángela y supadre? ¿Cuántos años suman lostres en total?

1

2

3

actividades

012_027_15102_U1.qxd 8/9/09 17:48 Página 20

La semana pasada visitaron el Oceanográfico 3 546 escolares y esta semana,4 120. ¿Cuántos escolares más han visitado el Oceanográfico esta semana quela anterior?

• Para contestar a la pregunta, restamos 3 546 de 4 120.

21

La sustracción y su prueba

Recuerda que para restar varias cantidades a otra, pri-mero le restamos una de las cantidades, a la diferenciaobtenida le restamos otra y así sucesivamente. Calculael resultado.

a. 456 – 234 – 120 b. 8 976 – 645 – 589

Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. 3 526 – (1 602 – 584)

b. (9 850 – 8 731) – 415

c. 24 908 – (15 076 – 9 321)

Marisa debe recorrer 4 780 m. Si primero hace 1 659 my luego 2 178 m, ¿cuántos metros le faltan para termi-nar el recorrido?

3

4

5

Comprueba si estas sustracciones están bien hechas y corrige las que no lo estén.

a. 6 400 – 439 = 5 961

b. 78 900 – 23 765 = 56 135

c. 2 300 – 1 768 = 534

Descubre mentalmente el término que falta y completaen tu cuaderno.

a. 480 – ..... = 400 d. ..... – 200 = 6 540

b. 5 750 – ..... = 5 730 e. ..... – 187 = 3 110

c. 3 520 – ..... = 1 420 f. ..... – 504 = 125

1

2

actividades

4 1 2 0

– 3 5 4 6

5 7 4

M

– SD

D

+ SM

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

5 7 4

+ 3 5 4 6

4 1 2 0

Diferencia

Sustraendo

Minuendo

Por tanto, esta semana han visitado el Oceanográfico 574 escolares más quela anterior.

• Para comprobar el resultado, utilizamos la prueba de la sustracción. Su-mamos la diferencia y el sustraendo y, si el resultado es igual al minuendo,la sustracción está bien hecha.

Si la suma de la diferencia y el sustraendo es igual al minuendo, la sustracción está bien hecha. Esta es la prueba de la sustracción.

Luego la operación está bien hecha.

Recuerda cómo se relacionan los términos de la sustracción.

4 120 – 3 546 = 574 574 + 3 546 = 4 120 4 120 – 574 = 3 546

M – S = D D + S = M M – D = S

La sustracción no cumple la propie-dad conmutativa como la adición.

87 – 50 50 – 87

Observa

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22

Resuelvo problemas

Obtener los datos de un texto y resolverUna vez encontrados, resolvemos el problema siguiendoestos pasos:

• Calculamos el número total de alumnos del centro.


Lee de nuevo el texto de la revista y resuelve.

a. Calcula de dos formas distintas el número total dealumnos que hay en ese centro. Aplica la propiedadasociativa.

b. ¿Cuántos familiares o amigos acudieron al zoo?

Observa este recorte, busca los datos necesarios y re-suelve.

2

1

Lee atentamente la noticia anterior y responde.

a. ¿Cuántos kilogramos de comida se reparten en totalpor la mañana? ¿Y por la tarde?

b. ¿Qué cantidad de comida se reparte en total en undía?

3

5 9 7

1 3 9 8

+ 4 3 7

2 4 3 2

> de Infantil

> de Primaria

> de ESO

2 4 3 2

– 1 6 6 9

7 6 3

> alumnos del centro

> alumnos en el zooObserva el reportaje de esta revista escolar. ¿Cuántosalumnos de ese colegio no fueron a la visita?

Para calcularlo, leemos con atención el reportaje, pensa-mos qué datos necesitamos y los buscamos en el texto.

El colegio tiene 2 432 alumnos en total.

• Hallamos la diferencia entre el total de alumnos y losque visitaron el zoo.

En el zoo faltaban 763 alumnos del colegio.

Visita escolar

El colegio Lope de Vega quiso celebrar sus fiestas deuna manera original y para ello el centro invitó atodos sus alumnos a una visita al zoo de la ciudad.Este centro tiene 597 alumnos en Infantil, 1 398alumnos en Primaria y 437 alumnos en la ESO.

Ese día el zoo recibió 2 627 visitas gracias alcolegio. De los visitantes, 1 669 eranalumnos del colegio y los demás,familiares o amigos.

Atrévete y visita el parque

Si lo tuyo es la diversión y las atracciones, ¡estás desuerte! Este fin de semana se abrieron las puertasdel nuevo parque temático. Durante el sábado y eldomingo se recibieron 12 563 visitas, 875 más quedurante el resto de la semana.

¡Cómo comen estos animales!

Todas las mañanas, los cuidadores de estezoológico reparten 3 565 kg de comida entre loselefantes, 1 089 kg entre los hipopótamos y 657 kgentre las jirafas. Y por la tarde alimentan al resto delos animales, reparten 2 578 kg de comida menosque por la mañana.

a. ¿Cuántos visitantes fueron al parque de lunes a viernes?b. ¿Y durante toda la semana?

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Lee atentamente estos recortes y encuentra los datosnecesarios para contestar a las preguntas.

4

Ayuda desinteresada

Varias asociaciones y ONG de nuestra comunidadhan mostrado su apoyo a distintas causas.

> Para mejorar la situación de la escasez de agua en la zona, los bomberos ayudaron al reparto de12 345 l de agua mediante un camión cisterna. Sedescargaron 11875 l en un pueblo y el resto, en otro.

> La ONG «Hazlo por ellos» ha conseguido llenartres contenedores (307 123 kg en total) conalimentos y materiales de primera necesidadpara enviarlos a zonas desfavorecidas.

> Dos asociaciones de vecinosreforestarán una zona demonte castigada por el fuego.La primera plantará 4 693pinos y la segunda plantaráeucaliptos. Habrá 2 786eucaliptos más que pinos.

23

Lógica

Comprensión de vocabulario

¿Qué tres términos guardan más relación con la palabra destacada? Contesta en tu cuaderno.

1

suma diferencia

sumando aumento

Adición

sustraendo diferencia

incremento resto

Sustracción

doble separación

reparto partición

División

precio importe

rebaja pegatina

Coste

distancia kilometraje

camino altura

Recorrido

doble producto

triple resto

Multiplicación

cobrar recoger

unir acumular

Recaudar

coste precio

gasto alarma

Comprar

parte partición

unión porción

Fracción

a. ¿Cuántos litros llevó el camión cisterna al segundopueblo?

b. Si uno de los contenedores de la ONG pesaba 135 674 kgy otro, 78 321 kg, ¿cuánto pesaba el tercer contene-dor?

c. ¿Cuántos eucaliptos se utilizarán para la reforesta-ción? ¿Cuántos árboles se plantarán en total?

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Si quieres aprendercosas nuevas

sobre la amistad,lee El anillo de Midas, de

Patxi Zubizarreta. ¡Seguro que te encantará!

24

1. Expresa con cifras del sistema decimal el número romano XLIV.

2. Escribe el valor en unidades de las cifras 7 y 8 en el número 37 582.

3. ¿Qué cifra representa las decenas de millón en 345 768 909?

4. Si un número tiene seis cifras y otro tiene siete, ¿qué número es mayor?

5. Si representamos los números 657 y 354 en la recta, ¿cuál estará mása la derecha?

6. De los números 2 499, 3 543 y 3 120, ¿cuál de ellos se aproxima más a3 000?

7. La suma de dos números es 120 y el menor es 40. ¿Cuál es el mayor?

8. ¿Qué número hay que sumar a trescientos para obtener cuatrocientos?

9. La diferencia entre dos números es 8 y el menor es 17. ¿Cuál es el nú-mero mayor?

10. Si la suma del sustraendo y la diferencia es igual al minuendo, ¿la sus-tracción está bien hecha?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas adiciones.

a. 476 + 99 c. 394 + 99 e. 2 146 + 99 g. 3 568 + 99b. 524 + 99 d. 615 + 99 f. 4 417 + 99 h. 5 379 + 99

Calcula mentalmente estas sustracciones.

a. 231 – 99 c. 482 – 99 e. 5 124 – 99 g. 6 492 – 99b. 563 – 99 d. 367 – 99 f. 2 648 – 99 h. 7 465 – 99

Observa las estrategias anteriores y explica cómo sumarías y restarías 999a un número. Escribe dos ejemplos de cada caso y comprueba los resulta-dos con la calculadora.

3

2

1


¿Es correcto lo que diceFermín? Razona tu respuesta.

2

3

3

2

3

3

4

2

Para sumar 99 a un número, primero sumamos 100 y alresultado le restamos 1.

384 + 99 = 384 + 100 – 1 = 484 – 1 = 483

Para restar 99 a un número, primero restamos 100 y alresultado le sumamos 1.

384 – 99 = 384 – 100 + 1 = 284 + 1 = 285

Sudo

ku

Uno menos veinte es igual a diecinueve.

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25

Repaso

¿Cómo se leen estos números?

a. 263 087 c. 703 461b. 145 690 d. 602 414

Escribe en tu cuaderno cómo se leen estos números.

a. 3 406 327 c. 20 825 317b. 1 900 070 d. 92 530 105

Descompón en unidades como en el ejemplo.3

2

1 Si el minuendo de una resta es 45 367 y el sustraendo,2 639, ¿cuál es la diferencia?

Realiza las siguientes divisiones.

a. 1 567 : 7 c. 3 827 : 43b. 2 362 : 5 d. 81 600 : 64

En el pueblo de Maxi se han repartido 5 634 l de aguaen botellas de 3 l.

a. ¿Cuántas botellas de agua se han repartido?

b. ¿Cuántas botellas de 2 litros se podrían llenar?

8

10

9

a. 732 820 c. 3 400 872b. 516 032 d. 1 923 607

Utiliza los números del baúl y forma cuatro números diferentes de seis cifras.

4

a. ¿Cuál es el mayor númeroque puedes formar?

b. ¿Y el menor?

580 639 = 500 000 + 80 000 + 600 + 30 + 9

Escribe el número de unidades que representa la cifra de color rojo en cada caso.

a. 31 567 d. 6 087 432b. 741 368 e. 35 602 891c. 632 108 f. 240 893 125

Calcula el resultado de estas sumas.

a. 576 + 9 832 + 305b. 4 871 + 13 622 + 492 c. 8 236 + 6 808 + 34 125

Observa y calcula el valor de cada grupo.

a. 238 balones b. 357 cuerdas

7

6

5

¿Qué fracción de la figura representa cada color?11

Lee y escribe con letra estas fracciones.

a. c. e. g.

b. d. f. h.

Lourdes y Carmen compran una pizza para cenar y la dividen en doce porciones iguales. Carmen se toma la mitad de la pizza y Lourdes, tres porciones.

a. ¿Qué porción de pizza ha comido Carmen? ¿Y Lourdes?b. ¿Qué fracción del total representa la parte que se han

comido entre las dos?

Copia en tu cuaderno estos números decimales. Rodeala parte entera y subraya la parte decimal.

a. 21,34 c. 0,76b. 1,98 d. 49,2

¿Cómo se leen estas cantidades?

a. 3,25 € c. 0,25 mb. 9,45 l d. 21,75 kg

15

14

34

23

18

57

12

210

49

36

13

12

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Aclaro mis ideas

26

Sistemas de numeración

Operaciones

Comparación y ordenación de números

De dos números, es mayor el que tiene más cifras.

Si los números tienen la misma cantidad de cifras, nosfijamos en las cifras del mismo orden empezando porla izquierda, hasta encontrar que una de ellas es mayorque la otra.

456 8154 < 8 > 456 815 < 805 327

805 327

2 785 430 5 > 2 > 2 785 430 > 2 782 0652 782 365

Aproximación de números

La aproximación de un número a las decenas, las cente-nas y los millares se realiza buscando la decena, la cen-tena o el millar exacto más próximo a dicho número.

Decimal y posicional

Cada 10 unidades de un orden forman una unidad delorden inmediato superior.

10 U = 1 D 10 D = 1 C

El valor de las cifras en un número depende del lugarque ocupan.

5 450 5 > 5 000 U 5 > 50 U

Romano

Para escribir números, los romanos usaban siete letrasmayúsculas y a cada una le daban un valor.

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1 000

8 371 8 370 8 400 8 000

Decena más

próxima

Centenamás

próxima

Millar más

próximo

Conmutativa

273 + 982 + 135 = 982 + 135 + 273

Asociativa

(1519 + 815) + 383 = 1519 + (815 + 383)

Relación entre los términos

Adición3 8 4 6

+ 4 1 9 28 0 3 8

}}

> sumando> sumando> suma

Sustracción9 5 7 5

– 2 8 3 97 7 3 6

> minuendo> sustraendo> diferencia

M – S = D D + S = M M – D = S

75 – 50 = 25 25 + 50 = 75 75 – 25 = 50

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• Para escribir números, los romanos usaban ..... ma yúscu-las.

• Nuestro sistema de numeración es ..... y ..... .• Un número es mayor que otro si tiene ..... cifras y, si tie-

nen el ..... número de cifras, es mayor el que tiene ..... lacifra del mismo ..... de unidades empezando por la ..... .

• Para aproximar números al millar exacto más próximo, nosfijamos en el número formado por sus ... últimas cifras.

• La adición cumple las propiedades ..... y ..... .• Para comprobar que una sustracción está bien hecha,

la suma de la ..... con el sustraendo debe ser igual al ..... .

Expresa con cifras los siguientes números romanos.

Gloria nació en el año 1998 y su amiga Soledad, tresaños antes. Escribe con números romanos los años enque nacieron estas amigas.

¿Cuántas unidades representa la cifra 7 en cada caso?


a. 2 765 433 b. 46 050 304 c. 123 456 789


a. 159 326 58 906b. 34 675 34 870c. 436 657 809 437 657 809

Ordena estos números de mayor a menor.

a. 58 690, 5 869 y 56 890b. 123 456, 7 654 321 y 123 654c. 3 256 024, 256 024 y 3 250 624

7

6

5

4

3

2

1 Forma el número mayor y el menor posible de siete cifras con los siguientes dígitos.

Completa esta tabla en tu cuaderno.

Copia estas igualdades y coloca el número que faltapara que se cumpla la propiedad conmutativa.

a. 376 + ..... + 3 216 = 57 620 + ..... + 376b. 5 120 + 9 742 + ..... = ..... + 5 120 + 6 215

Aplica la propiedad asociativa y calcula el resultado.

a. 41 019 + 367 422 + 5 568b. 13 943 + 4 309 + 6 526 287

Averigua el dato que falta y completa en tu cuaderno.

a. 73 419 – ..... = 42 762 b. ..... – 30 872 = 27 476Calcula mentalmente estas operaciones.

a. 138 + 99 c. 563 – 99 e. 240 + 999b. 1 753 + 99 d. 2 785 – 99 f. 3 464 – 999

13

12

11

10

9

8

Decena Centena Millar más más más

próxima próxima próximo

721 088

608 214

1 230 693

2 0 3 4 1 5

28 727070

En esta tabla está representado el número deviajeros que transportó un avión la semana pa-sada.

a. ¿Cómo calcularías cuántas personas viajaron enesa semana? Resuélvelo de dos formas distintas.

b. Expresa con una fracción el número de viajerosque volaron el lunes.

14

L M X J V S D

300 326 400 265 390 196 354

27

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28

2

Era un niño inteligente y trabajador,siempre fue dos años por delante

de sus compañeros de clase. Connueve años ingresó en la escuela

de secundaria y a los 25 años segraduó como ingeniero. Durante

esos estudios debió de hacer a manomuchos cálculos aburridos, tanto que soñó

con una máquina que hiciera los cálculos por él.

De pensamiento inquieto e imaginativo, pronto renunció a sutrabajo en una fábrica de aviones para crear un «taller de inventos».

Su primera idea fue construir un «cerebro mecánico», una computadora,y trabajó hasta que consiguió construir y programar una máquina capaz decalcular.

A los 28 años finalizó el Z1, la calculadora mecánica controlada por progra-mas que funcionaba con electricidad. Fue su logro más destacado aun-que no llegó a funcionar. Pesaba unos 500 kg y tenía 20 000 piezasmetálicas. Un modelo reconstruido se puede ver desde 1989 en elMuseo Tecnológico de Berlín.

Este aparato fue destruido durante la guerra. En 1940, a los 30años, finalizó el modelo Z2, y un año después, el modelo Z3,que está considerado como la primera computadora progra-mable.

En 1946 fundó la primera compañía de ordenadores y logróque en 1951 el modelo Z4 fuera el único ordenador operati-vo en Europa.

Los últimos años de su vida desarrolló nuevas ideas informáti-cas. Murió el 18 de diciembre de 1995.

computadora: aparato queobtiene el resultado decálculos matemáticos.

programar: elaborarprogramas para resolverproblemas con ayuda de ordenadores.

mecánico: realizado por un aparato o máquina.

Konrad Zuse


1910. Fue el inventor

del primer ordenador

programable.

La multiplicacion y la division

028_043_15102_U2.qxd 8/9/09 17:51 Página 28

29

Los inventos nos ayudan a avanzarLa computadora de Konrad Zuse mejoró la rapi-dez y la exactitud en las operaciones pero erademasiado grande y pesada. Con el tiempo, losordenadores se han ido perfeccionando tanto envelocidad de cálculo como en tamaño. Los actualesrealizan de 2 000 a 3 000 millones de instruccionespor segundo y algunos ordenadores portátiles pue-den llegar pesar menos de un kilogramo.

Además, desde finales de 1980, las calculadorassencillas se han incluido dentro de otros aparatoscomo relojes de pulsera o teléfonos móviles.

Después de conocer

la utilidad del ordenador

para realizar

operaciones, en la

unidad estudiarás

la multiplicación

y la división.

Sobre el texto1. ¿Por qué fue importante la

invención de la computadora?¿Qué mejoró?

2. ¿Qué parecidos y diferenciaspuede haber entre el modelo Z1de Konrad Zuse y un ordenadoractual?

En grupo¿Qué cualidades sonimportantes para serinventor? Enumerad tresobjetos que os gustaríainventar y sus aplicaciones.

Actividades1. Escribe el nombre de dos

aparatos que hayan favorecidoel avance de la sociedad.

2. Además de calcular o haceroperaciones, ¿qué podemoshacer con un ordenadoractualmente?

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30

La multiplicación y sus propiedades

¿Cuántos huevos hay en estos cartones en total?


a. 4 × 5 × 9 c. 6 × 9 × 5 e. 8 × 3 × 30

b. 5 × 12 × 4 d. 20 × 5 × 9 f. 2 × 9 × 50

Teresa vive en un edificio de 12 plantas. Si en cada planta hay 8 pisos y cadapiso tiene 6 ventanas y un balcón, ¿cuántas ventanas hay en total en el edi-ficio donde vive Teresa? ¿Y balcones?

4

5

6

Realiza estas multiplicaciones dedos formas distintas aplicando lapropiedad conmutativa.

a. 27 × 10 c. 119 × 13 × 3

b. 208 × 21 d. 6 × 87 × 26

Calcula las siguientes operacionesaplicando la propiedad asociativa.

a. 27 × 13 × 12

b. 9 × 114 × 75

c. 10 × 82 × 24

d. 205 × 312 × 36

Indica qué propiedad es y escribeun ejemplo en cada caso.

a. El orden de los factores no cambiael resultado de la multiplicación.

b. En una multiplicación podemoscambiar dos o más factores porsu producto y el resultado finalno varía.

1

2

3

actividades

La multiplicación cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

La clase de 5.º B ha ganado el concurso de murales de animales. En el premiohabía, entre otras cosas, 9 bolsas con 8 cajas. Si cada caja contenía 5 figuritasde animales, ¿cuántas figuritas se dieron en el premio?

Para resolverlo tenemos que multiplicar el número de bolsaspor el número de cajas y por la cantidad de figuritas que hayen cada caja, pero podemos hacerlo de varias formas.

• Observa que podemos colocar los factores de distintas maneras.

9 × 8 × 5 = 360 5 × 9 × 8 = 360

La multiplicación cumple la propiedad conmutativa porque el orden de losfactores no cambia el producto.

• Además, da igual cómo los agrupemos, el resultado siempre es el mismo,360 figuritas.

(9 × 8) × 5 = 72 × 5 = 360 9 × (8 × 5) = 9 × 40 = 360

La multiplicación cumple la propiedad asociativa porque la forma en que seagrupan los factores para operar no cambia el producto.

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Copia en tu cuaderno y corrige las operaciones quesean incorrectas.

a. (10 + 100) × 10 = 1 000

b. 15 × (8 + 20) = 420

c. 3 × (60 – 35) = 85

En un albergue hay 37 habitaciones. Si en cada habita-ción hay 2 camas grandes y 3 pequeñas, ¿de cuántascamas dispone el albergue? Calcula el resultado de dosformas distintas.

4

5

¿Cómo expresarías estas operaciones de otra forma?

a. (5 × 7) + (5 × 8) c. 9 × (6 + 3)

b. (8 × 4) – (8 × 2) d. (10 – 7) × 4

Resuelve cada operación como en el ejemplo.

a. (84 + 15) × 6 c. 54 × (19 – 8)

b. 90 × (16 + 6) d. 75 × (45 – 15)

Aplica la propiedad distributiva y calcula el resultado.

a. 16 × (15 + 5) c. 12 × (26 + 9)

b. (43 – 28) × 7 d. 22 × (53 – 13)

(23 – 18) × 7 = (23 × 7) – (18 × 7) = 161 – 126 = 35

1

2

3

actividades

Dos equipos participan en un torneo de tenis. El equipo A compró 6 botes depelotas verdes y el equipo B, 4 botes de pelotas amarillas. Si cada bote contiene3 pelotas, ¿cuántas habrá en total?

31

La propiedad distributiva

La multiplicación cumple la propiedad distributiva respecto dela adición y de la sustracción.

6 4

3

(3 × 6) + (3 × 4) = 3 × (6 + 4) = 30

ObservaObtenemos el mismo resultado, 30 pelotas.

La multiplicación cumple la propiedad distributiva, porque el producto deun número por una adición o una sustracción es igual a la suma o la dife-rencia de los productos de dicho número por cada uno de los términos.

Es decir, la multiplicación es distributiva respecto de la adición y de la sus-tracción.

7 × (5 + 4) = (7 × 5) + (7 × 4) = 35 + 28 = 63

7 × (5 – 4) = (7 × 5) – (7 × 4) = 35 – 28 = 7

• Para saberlo, podemos calcular laspelotas que hay de cada color y,después, sumar los resultados.

(3 × 6) + (3 × 4)18 + 12

30

• O bien podemos sumar el número debotes y multiplicar por el número depelotas que hay en cada bote.

3 × (6 + 4)3 × 10

30

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La familia Ugarte está formada por 5 miembros. Si emplean 643 € al mes engastos de alimentación y suponemos que todos comen lo mismo, ¿cuántoseuros al mes gasta en comida cada persona de esta familia?

• Para calcularlo, dividimos 643 entre 5.

Como el resto es 3, distinto de cero, la división es inexacta.

Por tanto, una persona de esta familia gasta aproximadamente en comida 128 €al mes.

• Además, la división está bien hecha porque el dividendo es igual al pro-ducto del divisor por el cociente más el resto.

643 = 5 × 128 + 3

Recuerda que, en las divisiones exactas, el dividendo es igual al divisor porel cociente.

56 : 7 = 8 > 56 = 7 × 8 > D = d × c

Observa que, en una división, el resto siempre es menor que el divisor.

32

La división y su prueba

Observa cómo podemos averiguar qué factor falta en una multiplicación y completa estas operaciones en tu cuaderno.

a. 5 × ..... = 985 c. 162 × ..... = 5 184 e. ..... × 136 = 6 936

b. 73 × ..... = 876 d. ..... × 89 = 4 984 f. ..... × 15 = 56 325

Realiza las siguientes divisiones y compruébalas utilizando la prueba de la división.

a. 4 385 : 27 b. 70 862 : 6 c. 82 559 : 63 d. 15 438 : 92

Inés y sus hermanos han reunido 876 pegatinas de peces de colores y quie-ren repartirlas entre sus 25 primos.

a. ¿Cuántas pegatinas le tocarán a cada uno?

b. ¿Sobrará alguna? ¿Cuántas?

c. Comprueba la operación utilizando la prueba.

12 × ..... = 36 > 36 : 12 = 3 > 12 × 3 = 36

4

5

6

Realiza las divisiones y completaesta tabla en tu cuaderno.

Escribe si son exactas o inexactaslas divisiones anteriores y explicapor qué.

Utiliza la prueba de la divisiónpara comprobar que las divisionesde la primera actividad están bienhechas y que el resto siempre esmenor que el divisor.

1

2

3

actividades

Para comprobar que la división está bien hecha, utilizamos la pruebade la división.

D = d × c + r

1 4 2 8 13 6 8 8 5 81 2 8 1 0 9 4 8 8 6 0

1 1 0 5

12 < 13 5 < 8

recuerda

dividendo (D)

resto (r)

divisor (d)

cociente (c)

6 4 3 51 4 1 2 8

4 33

D d c r

6 342 : 6

14 250 : 37

33 288 : 73

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Tres cursos van a adornar su clase con hojas secas.

• En 5.º A se reparten 56 hojas entre 6 grupos.

• En 5.º B se reparten el doble de hojas entre el doble de grupos.

• En 5.º C se reparten la mitad de hojas entre la mitad de grupos.

¿Cuántas hojas tiene cada grupo de cada clase?

Observa que todos los grupos tienen el mismo número de hojas, pero la can-tidad de hojas que sobran varía según hayamos multiplicado o dividido el di-videndo y el divisor por un número.

33

La propiedad fundamentalde la división

El dividendo y el divisor se hanmultiplicado por 2.

El dividendo y el divisor se han di-vidido entre 2.

En 5.º A dividen 56 entre 6.

El cociente es 9 y el resto 2.

Cada uno de los 6 grupos tiene 9 hojas y sobran 2.

En 5.º B dividen 112 entre 12.

Cada uno de los 12 grupos tiene 9 hojas y sobran 4.

En 5.º C dividen 28 entre 3.

Cada uno de los 3 grupos tiene 9 hojas y sobra 1.

1 1 2 1 2

0 4 9

2 8 3

1 9

Según la propiedad fundamental de la división, si en una divisiónmultiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismonúmero, el cociente no varía, pero el resto, si lo hay, quedamultiplicado o dividido por dicho número.

Aplica la propiedad fundamental de la división y escribe, en cada caso, otrasdos divisiones que tengan el mismo cociente. ¿Qué le sucede al resto de esasdivisiones?

a. 396 : 16 c. 538 : 44

b. 782 : 23 d. 119 : 13

Román quiere repartir 2 846 € entre sus dos hijos y Gloria quiere hacer lo mismo repartiendo 5 692 € entre sus cuatro hijos.

a. ¿Cuánto dinero recibe cada hijo de Román? ¿Y de Gloria?

b. ¿Es necesario hacer todas las operaciones o basta con hacer la primera? Explica por qué.

3

4

Realiza las siguientes divisiones.¿Qué observas?

a. 840 : 40 c. 368 : 8

b. 736 : 16 d. 420 : 20

Resuelve estas divisiones exactas.Después, multiplica por 3 los divi-dendos y los divisores y calcula elcociente y el resto.

a. ¿Cómo son sus cocientes? ¿Por qué?

b. Ahora divide entre 3 los dividen-dos y los divisores. ¿Cómo sonlos cocientes?

2 436 : 114

552 : 12 726 : 9

1

2

actividades

5 6 6

2 9

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En una pradera se han plantado 78 filas de álamos con 10 árboles en cada filay 78 filas de chopos con 100 árboles en cada una. ¿Cuántos árboles de cadatipo se han plantado?

• Para calcular el número de álamos que se han plantado, multiplicamos 78 × 10, y para calcular la cantidad de chopos, multiplicamos 78 × 100.

Luego en la pradera se han plantado 780 álamos y 7 800 chopos.

Observa las operaciones anteriores, verás que para multiplicar un númeropor 10 basta con añadirle un cero al final, y para multiplicarlo por 100 bastacon añadirle dos ceros a la derecha.

78 × 10 = 780 78 × 100 = 7 800

De la misma forma, para obtener el producto de un número por 1 000, aña-dimos tres ceros a la derecha de dicho número.

78 × 1 000 = 78 000

34

Multiplicación por launidad seguida de ceros

El producto de un número por la unidad seguida de ceros se obtieneañadiendo al final de dicho número los ceros que siguen a la unidad.

7 8× 1 0

0 07 87 8 0

7 8× 1 0 0

0 00 0

7 87 8 0 0

8 0 3 1 5× 6 0 × 4 0 64 8 0 0 1 8 9 0

80 × 60 = 4 800 1 2 6 0 0 01 2 7 8 9 0

recuerda

Averigua el factor que falta y completa en tu cuaderno.

a. 16 × ..... = 1 600 c. 334 × ..... = 3 340

b. ..... × 100 = 8 100 d. ..... × 1 000 = 54 000

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

Si para abastecer de agua a un zoo se necesita un camión cisterna diario como este, ¿cuántos litros se ne-cesitarán en un año?

3

4

5

Copia en tu cuaderno y relacionacada operación con su producto.

Realiza estas multiplicaciones porla unidad seguida de ceros.

a. 16 × 100 d. 817 × 1 000

b. 433 × 10 e. 382 × 1 000

c. 1 265 × 10 f. 4 125 × 100

1

2

actividades

62 × 100 62 000620 × 1 000 620 00062 × 1 000 6 200 × 20 100 30 500

60500120

2 400

1 000 l

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Un fabricante quiere colocar 987 gomas de borrar grandes en cajas de 10 uni-dades y 6 769 pequeñas en cajas de 100 unidades.

¿Cuántas cajas de 10 y de 100 unidades llenará?

• Para resolverlo, dividimos 987 entre 10 y 6 789 entre 100.

El fabricante llenará 98 cajas de 10 unidades y 67 de 100. Le quedarán sin co-locar 7 gomas grandes y 69 pequeñas.

Observa las operaciones anteriores, verás que para obtener el cociente de di-vidir un número entre 10 basta con separar con una coma la cifra final, y paradividirlo entre 100 basta con separar con una coma las dos cifras de la derecha.

987 : 10 > c = 98, r = 7 6 769 : 100 > c = 67, r = 69

De la misma forma, para obtener el cociente de un número entre 1 000, se-paramos con una coma las tres cifras de la derecha de dicho número.

43 256 : 1 000 > c = 43, r = 256

35

División entre la unidadseguida de ceros

Si para calcular la décima o la centésima parte de unnúmero lo dividimos entre 10 o 100, respectivamente,¿qué números son los siguientes?

a. Es la décima parte de ochocientos sesenta.

b. Es la centésima parte de trece mil ochocientos noventa.

c. Es mil veces menor que veintiséis mil ciento diecisiete.

d. Es diez veces menor que setecientos quince.

Recuerda que 1 € = 100 cts. y calcula cuánto cuestacada peluche como en el ejemplo.

= 1 364 cts. = 873 cts.

= 2 315 cts. = 785 cts.

3

4

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones comoen el ejemplo.

a. 268 : 10 d. 638 : 10

b. 71 634 : 1 000 e. 8 352 : 10

c. 547 : 100 f. 9 323 : 1 000

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

1

2

actividades

3 400 : 10 = 340

4 000 : 100 = 40

12 000 : 1 000 = 12

recuerda

Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, separamosdel número, empezando por la derecha, tantas cifras como cerossiguen a la unidad. El número formado por las cifras separadas es el resto, y el que forman las otras cifras, el cociente.

9 8 7 1 0

0 8 9 8

0 7

6 7 6 9 1 0 0

0 7 6 9 6 7

6 9

76 : 10 > c = 7, r = 6

Dividendo Divisor Cociente Resto

76 10 7 6721 7 21

7 429 74 29183 18 3

1 322 132 245 650 45 650

10

100

1 852 cts. : 100 > 18 € y 52 cts.

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Iván y Tania participan en el concurso de resolución de operaciones celebradoen su colegio. Estas son las fichas que les han tocado.

Si hay operaciones con paréntesis, primero realizamos las operaciones delparéntesis y, después, el resto de izquierda a derecha.

Observa cómo resuelven las operaciones, con y sin paréntesis.

36

Jerarquía de lasoperaciones combinadas

• Iván calcula primero la división yla multiplicación empezando porla izquierda y, luego, las sumas yrestas en el mismo orden.

56 + 720 : 9 – 12 × 5

56 + 80 – 60

136 – 60

76

• Tania resuelve primero las opera-ciones de los paréntesis y, luego,las otras empezando también porla izquierda.

160 – (50 × 4 – 10) : 5

160 – (200 – 10) : 5

160 – 190 : 5

160 – 38

122

En una expresión con varias operaciones combinadas sin paréntesis,primero calculamos las multiplicaciones y las divisiones de izquierdaa derecha y, después, las adiciones y las sustracciones en ese mismoorden.

Resuelve las operaciones y di cómo son los resultados.

a. 350 – 30 + 150 : 10 – 5 × 8 + 12

b. 350 – (30 + 150) : 10 – 5 × (8 + 12)

Joaquín ha comprado 11 kg de tomates y 6 kg de manzanas. El kilogramo detomates costaba 80 cts. y el de manzanas, 75 cts.

a. Elige la operación adecuada para calcular el precio de la compra.

b. Resuelve la operación y calcula cuánto se ha gastado Joaquín en total.

3

4

Calcula las siguientes operacionescombinadas.

a. 43 + 13 × 6

b. 81 : 9 + 15 – 9

c. 132 × 2 – 75 : 3

d. 450 : 10 + 500 : 100 – 25

Halla el resultado de estas opera-ciones con paréntesis.

a. (5 × 28) + (32 × 8)

b. 120 + (66 – 36) : 15

c. (27 × 5) + 13 × (40 – 15)

d. 27 × (5 + 13 × 40) – 15

1

2

actividades

(11 × 80) + (75 × 6) (11 + 6) × (80 + 75)

028_043_15102_U2.qxd 8/9/09 17:51 Página 36

actividades

Calcula el resultado de estas adiciones y sustracciones.

a. 456 – 234 + 567 c. 897 – (234 + 450) – 123

b. 768 + 465 – 234 d. 456 + 540 – (120 + 345)

Utiliza la calculadora para resolver estas operaciones combinadas como enel ejemplo. Primero, multiplica y divide y, después, suma o resta, pero siem-pre de izquierda a derecha.

a. 35 × 87 + 56 : 8 b. 54 : 9 + 34 × 15 c. 78 + 67 × 25 – 87

Paula se ha comprado 28 sobres de animales de 8 cromos cada uno. Si en elálbum caben solo 250 cromos, ¿cuántos le sobran o le faltan?

Opera con la calculadora.

a. 34 × 67 c. 76 : 12

b. 302 × 120 d. 3 245 : 21

Realiza estas multiplicaciones ydivisiones utilizando la tecla .

a. 32 × 6 : 8

b. 240 : 8 × 5

c. 80 × 34 : 24

d. 810 : 30 × 35

e. 900 : 60 × 7

f. 1 000 : 50 × 46

En algunas calculadoras se usa comosigno de multiplicar * en vez de × ,y como signo de la división, envez de : .

/

La calculadora nos permite realizar operaciones utilizando las teclas de suma,resta, multiplicación y división.

Podemos hacer operaciones combinadas con la calculadora, pero teniendoen cuenta la jerarquía de las operaciones.

• Si son multiplicaciones y divisiones, se pueden hacer directamente utili-zando la tecla = entre las operaciones.

8 × 9 : 3 > 8 × 9 = 72 : 3 = 24

12 : 4 × 5 > 1 2 : 4 = 3 × 5 = 15

• Si son adiciones y sustracciones seguidas, también se pueden hacer, inter-calándolas con la tecla = .

20 – 8 + 34 > 2 0 − 8 = 12 + 3 4 = 46

Pero cuando las operaciones no guardan el orden de izquierda a derecha, de-ben hacerse por separado; primero, las multiplicaciones y las divisiones y,luego, las sumas y las restas.

3 4 × 5 6 = 1 972

5 0 : 5 = 10

1 9 7 2 + 1 0 = 1 982

1 9 8 2 − 3 = 1 979

Si hay paréntesis, primero hacemos las operaciones que hay dentro de los pa-réntesis.

37

Practicamos con la calculadora

+ – × :

34 × 56 + 50 : 5 – 3

1 972 + 10 – 3

1 982 – 3

1 979

3

4

5

1

2=

Observa

9 : 3 + 12 × 9 >9 : 3 = 3

> 3 + 1 0 8 = 1111 2 × 9 = 108

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38

Resuelvo problemas

Pasos en la resolución de problemasEn el parque natural de San Jerónimo habitan 20 especiesdistintas de aves, y de cada especie hay aproximada-mente 360 ejemplares. Si el número total de animales delparque es tres veces mayor que la cantidad de aves,¿cuántos animales hay en total?


• Leemos el enunciado hasta comprenderlo e identifica-mos la pregunta.

• Después, buscamos los datos necesarios para resol-verla.

• Utilizamos esos datos para operar y obtener la solución.

• Por último, escribimos la solución del problema.


Lee de nuevo el enunciado del problema anterior y contesta.

a. Si emigran la mitad de las aves, ¿cuántas aves se mar-chan en total?

b. ¿Cuántos animales hay en el parque que no seanaves?

El autobús que hace la visita por el parque natural re-corre 63 875 km durante el año y consume 2 555 l degasolina.

a. Si todos los días el autobús recorre la misma distanciay el parque no cierra ningún día del año, ¿cuántos ki-lómetros recorre diariamente? Comprueba el resul-tado.

b. Si el litro de combustible cuesta 117 cts., ¿cuánto segastará durante un año en combustible? ¿Y en undía? Comprueba el resultado.

2

1 Se han comprado 78 papeleras para distribuirlas poruna ciudad. De ellas, 36 costaron 110 € cada una ylas 42 restantes valían 96 €. ¿Cuánto dinero costarontodas las papeleras?

Una familia visita una reserva natural y compra dosentradas de adulto y tres de niño. ¿Cuánto dinero segastarán para ver la reserva?

4

3

¿Cuántos animales hay en total?

(20 × 360) × 3 = 7 200 × 3 = 21 600

20 especies 360 aves de cada especie

el triple de animales que de aves

En el parque hay 21 600 animales en total.

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Una fábrica de contenedores para papel reciclado tienetres plantas. Cada planta tiene 16 departamentos y encada departamento hay almacenados 23 contenedores.¿Cuántos contenedores tienen en la fábrica? Calculadespués el resultado de otra forma diferente.

En una granja hay 1 234 cerdos que consumen diaria-mente 13 kg de comida cada uno. El granjero paga 2 €por cada kilo de comida. Contesta y resuelve de dosformas distintas.

a. ¿Cuántos kilos consumen en una semana entre to-dos los cerdos de esta granja?

b. ¿Cuánto dinero se gasta diariamente el granjero enalimentar a sus cerdos?

7

8

14 + (14 × 2) + (14 : 2) (14 + 2) × (14: 2) + 14

Lógica

Interpretación de operaciones y textos numéricos

Averigua en cada caso el valor de las letras.

Escribe estas operaciones combinadas como en el ejemplo y encuentra el número.

a. El triple de la mitad de cuatrocientos veinte. b. Es cien unidades menor que el producto de tres decenas exactas por ocho.c. Se obtiene al multiplicar por cien el cociente de ochenta entre dos decenas.d. Representa el doble de la tercera parte de noventa.e. Es cien veces mayor que la cuarta parte de sesenta.f. Su centésima parte es tres.

2

1

A × (80 : 10) = 1 600 C × (37 – 7) = 2 100 800 : 400 × E = 120

B : 10 + 4 × 5 = 28 11 × 50 : D = 110 F – (4 × 5 – 10) = 75

(420 : 2) × 3 = 210 × 3 = 630

39

Román tiene dos hermanas, Irene y Marina. Él tiene 14años, Irene tiene el doble de años que él y Marina, lamitad.

a. ¿Cuántos años tiene cada hermana?b. Elige la operación que indica cuántos años suman en-

tre los tres y resuélvela razonando la respuesta.

En un centro de acogida de animales, actualmente hay721 perros, 73 gatos y 32 pájaros. El año pasado había196 perros y 25 gatos menos. Expresa las operacionescombinadas necesarias para calcular cuántos animaleshabía el año pasado y resuelve.

5

6

028_043_15102_U2.qxd 8/9/09 17:52 Página 39

Si quieres aprendercosas nuevas sobre el respeto al medio

ambiente, lee La isla de Nim, de

Wendy Orr. ¡Seguro que te encantará!

40

1. De los productos 8 × 10 × 9, 9 × 10 × 6 y 10 × 9 × 8, ¿cuáles tienenel mismo resultado?

2. Calcula el producto de multiplicar 10 por la suma de 15 más 25.

3. En la división exacta, ¿qué número obtenemos al multiplicar el divisorpor el cociente?

4. Si multiplicamos 54 × 98 y 98 × 54, ¿obtendremos el mismo resultado?Explica por qué.

5. ¿Qué número al dividirlo entre 10 da 15?

6. ¿Cuántos litros tenemos si al repartirlos en diez partes iguales cadaparte contiene 12 l?

7. ¿Qué número multiplicado por 9 da 450?

8. ¿Qué número es cien veces menor que 4 700?

9. Calcula mentalmente el resultado de esta operación: 8 × (20 : 5 + 4).

10. Julia reparte 65 chapas entre sus siete amigas y dice que sobran cua-tro chapas. ¿Es correcto? Explica por qué.

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas multiplicaciones.

a. 5 × 11 d. 40 × 11 g. 56 × 11b. 7 × 11 e. 80 × 11 h. 87 × 11c. 3 × 11 f. 20 × 11 i. 98 × 11

Observa la estrategia anterior y explica cómo multiplicarías un número por101. Escribe dos ejemplos y comprueba los resultados con la calculadora.

Calcula mentalmente estas operaciones.

a. 1 × 101 d. 80 × 101 g. 59 × 101b. 6 × 101 e. 70 × 101 h. 67 × 101c. 9 × 101 f. 60 × 101 i. 89 × 101

3

2

1


1

4

2

3

1

1

3

Para multiplicar un número por 11, primero multiplicamos por10 y al producto le añadimos dicho número.

50 × 11 = 50 × (10 + 1) = 50 × 10 + 50 × 1 = 500 + 50 = 550

Sudo

ku

La madre de Marcos cumplióayer cuatro décadas y la edad deMarcos es el doble de la mitadde la cuarta parte de la edad desu madre. ¿Cuántos años tieneMarcos?

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41

Repaso

Escribe con letra los siguientes números.

a. 34 732 d. 3 020b. 123 837 e. 1 234 567c. 701 400 f. 9 876 543

Copia en tu cuaderno y relaciona los elementos de lasdos columnas.

8 centenas 80 000 0008 centenas de millar 8008 decenas de millar 800 000

8 millones 80 0008 decenas de millón 8 000 000

Escribe con números romanos.

Averigua en qué año se construyeron estos monumentos.

Agrupa las cifras de los siguientes números en gruposde tres empezando por la derecha. Después, escribecómo se leen.

a. 739058 d. 8637701b. 16325837 e. 709641c. 8426710 f. 253926483

Ordena de mayor a menor los números de la actividadanterior.

Construye una recta numérica con intervalos de cincoen cinco y representa en ella los siguientes números.

7

6

5

4

3

2

1 Copia en tu cuaderno y relaciona cada distancia con suaproximación a las centenas.

a. 165 cmb. 149 cm c. 187 cmd. 201 cme. 102 cmf. 120 cm

Redondea a la decena, a la centena y al millar más pró-ximo cada uno de estos precios.

Unos agricultores han recogido 3 785 kg de almendras.Elige el contenedor que más se aproxime a dicha can-tidad y razona tu elección.

¿Cuáles son las propiedades de la adición? Descríbelasy da un ejemplo de cada una.

Calcula aplicando la propiedad asociativa.

a. 1 234 + 57 + 169b. 554 + 709 + 3 120c. 2 314 + 988 + 256 707

Opera y comprueba que la operación está bien hecha.

a. 23 456 – 1 529b. 89 120 – 36 552c. 103 671 – 90 283

La diferencia entre dos números es 2 348 y el menor deellos, 396. ¿Cuál es el número mayor?

14

13

12

11

10

9

8

7 30 23 15

3 000 kg 3 500 kg4 000 kg

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Aclaro mis ideas

42

Propiedades de la multiplicación

Conmutativa

7 × 80 = 80 × 7

5 × 6 × 7 = 6 × 5 × 7

Asociativa

(3 × 4) × 2 = 3 × (4 × 2)

Distributiva

6 × (8 + 12) = 6 × 8 + 6 × 12

4 × (12 – 6) = 4 × 12 – 4 × 6

La división

Tipos Propiedad fundamental

Si multiplicamos o dividimos eldividendo y el divisor por unmismo número, el cociente novaría, pero el resto, si lo hay,queda multiplicado o divididopor dicho número.

24 : 6 = 4> 48 : 12 = 4

> 12 : 3 = 4

Exacta

El resto es cero.

56 : 8 = 7

56 = 8 × 7

Inexacta

El resto no es cero.

58 : 8 = 7 y r = 2

58 = 8 × 7 + 2

D = d × c D = d × c + r

× 2

: 2

Multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros

Multiplicar

45 × 10 = 450

67 × 100 = 6 700

54 × 1 000 = 54 000

Dividir

3 452 : 10 > c = 345 y r = 2

3 452 : 100 > c = 34 y r = 52

3 452 : 1 000 > c = 3 y r = 452

Jerarquía de las operaciones

Sin paréntesis

9 × 8 + 12 : 4 – 372 + 3 – 3

72

Siempre de izquierda a derecha. Primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.

Con paréntesis

156 – (23 + 6) × 5156 – 29 × 5

156 – 14511

028_043_15102_U2.qxd 8/9/09 17:52 Página 42



• La multiplicación cumple las propiedades ..... , ..... y .....

respecto de la adición y de la sustracción.• En una división el resto debe ser siempre ..... que el di-

visor.• Si multiplicamos o dividimos por el mismo ..... el divi-

dendo y el divisor, el cociente no varía, pero el ..... quedamultiplicado o dividido por dicho ..... .

• Para multiplicar un número por la unidad seguida de....., ..... al final de dicho número los ceros que siguen ala ..... .

• Para dividir un número entre la unidad seguida de ce-ros, separamos del número, empezando por la ....., tan-tas cifras como ..... siguen a la unidad. El númeroformado por las ..... separadas es el ....., y el formado porlas otras, el ..... .

Explica con un ejemplo cómo se resuelven las opera-ciones combinadas con paréntesis.

Resuelve en tu cuaderno y relaciona las expresiones quetienen el mismo resultado.

1 013 × 71 13 × 7474 × 13 122 × (5 × 19)

(122 × 5) × 19 71 × 815 × 25815 × 71 × 25 71 × 1 013

Un elefante come diariamente 213 kg de hierba. Si en elmismo recinto conviven siete elefantes, ¿cuántos kilo-gramos de hierba comen en total durante un año?

Calcula de dos formas distintas aplicando la propiedaddistributiva.

a. (115 + 75) × 15b. 20 × (286 − 86)c. 18 × (24 + 635)

5

4

3

2

1 Escribe las operaciones y calcula.

a. El doble de la diferencia entre quince y siete.b. Doce por la suma de ciento nueve más catorce.c. La diferencia entre cincuenta y nueve y treinta y seis,

multiplicada por siete.

Calcula estas divisiones en tu cuaderno y escribe si sonexactas o inexactas.

a. 3 368 : 8 c. 7 351 : 117b. 4 563 : 24 d. 213 481 : 342

Comprueba las divisiones anteriores utilizando la pruebade la división.


a. 23 × 100 d. 536 : 10b. 2 090 × 100 e. 5 238 : 100c. 170 × 10 f. 11 236 : 1 000

Resuelve estas operaciones combinadas.

a. (23 × 10 – 150) + 36 : 6 b. 66 × 3 –145 + 45


a. 8 × 11 c. 45 × 11 e. 70 × 101b. 90 × 11 d. 5 × 101 f. 64 × 101

11

10

9

8

7

6

¿Cuántos números de ocho cifras cumplen estascondiciones? Escríbelos en tu cuaderno.

De ellos, ¿cuál se divide entre diez de formaexacta?

12

Tiene un 7 en las unidades de millón, un 2 en lascentenas, un 8 en las decenas de millar, un 3 enlos millares, un 4 en las decenas, un 6 en las cen-tenas de millar y un 1 en las decenas de millón.

43

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44

3 Las fracciones

Los compases pueden ser binarios, ternarios o cuaternarios, según estén divididosen dos, tres o cuatro partes.

En el compás , por ejemplo, el numerador indica que el compás tendrá dos par-

tes y el denominador indica que la unidad será una nota negra.

Un vals, por ejemplo, tiene el compás , y un rock, generalmente el .44

34

24

Johann, que nació en unafamilia con una larga tradición

musical, fue un niño autodidacta quesiempre mostró un interés y talento espe-

cial para la música. Pronto aprendió a tocarel órgano y otros instrumentos de teclado.

Estudió a los grandes maestros y venció cual-quier obstáculo con tal de escuchar las interpretaciones de

los músicos más importantes de ese momento. En 1703 ter-minó sus estudios.

Bach fue violinista en una orquesta, organista, compositor y direc-tor de coro. Dio conciertos de gran éxito y su fama se extendió poco apoco por toda Europa.

Sus obras para órgano han sido consideradas las más grandes quejamás se hayan compuesto. Influyó en muchos músicos posteriores,como Mozart o Beethoven.

Fue en la época de Bach cuando los compositores establecieron el con-cepto de compás para medir la estructura de sus obras y ordenar de formatemporal sus partituras. Un compás se indica con una fracción al principio delpentagrama, está compuesto por varias unidades de tiempo y se representa en elpentagrama con unas líneas verticales.

Johann Sebastian Bach


1685. Fue uno de los

compositores e

intérpretes más famosos

de su época. autodidacta: que aprendepor sí mismo, sin ayuda de un maestro.

obstáculo: dificultad o inconveniente.

influir: causar un efecto o cambio sobre algo o alguien.

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45

La docena generosaTambién se utilizan las fracciones en

la compra de alimentos al peso: kg

de jamón, kilo de manzanas…

Se cuenta que un hombre fue a com-

prar comida para su casa y pidió una

docena de huevos de este modo:

12

34

En grupo¿Qué indican el numerador y el denominador de un compás?Busca información enenciclopedias, diccionarios eInternet o pregunta a tu profesorde música.

Sobre el texto1. Señala dos rasgos importantes de la

forma de ser de Johann Sebastian Bach.¿Cuál de ellos te gustaría imitar? Explica por qué y cómo lo harías.

2. ¿Cuántos años faltan para celebrar elcuarto centenario de su nacimiento?¿Cuántos años tendrás tú en esa fecha?

Después de conocer

un uso original de las

fracciones, en esta

unidad verás qué

tipos hay y cómo se

opera con ellas.

Actividades1. Revisa el pedido del hombre, represéntalo

gráficamente y averigua por qué al comerciante no le salía la cuenta.

2. Si hubiese pedido la docena con tres fracciones con denominador 12, ¿qué fracciones habrían sido?¿Podría pedirlas con otro denominador distinto de 12?

3. Piensa dos motivos por los que debemos ser justos y evitar el engaño en cualquier situación.

Póngame una docena de huevos pero

en tres partes: para mi mujer, para mi

hijo y para mí, que soy más modesto.14

13

12

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La familia de Julio ha celebrado el cumpleaños del abuelo con una tarta.

La dividieron en ocho partes iguales y se han tomado cinco.

Observa que en la bandeja quedan de la tarta.38

Las fracciones se pueden representar gráficamente mediante distintas figuras.Cada figura completa representa una unidad, se divide en partes iguales y secolorean algunas.

Numerador: número de porciones igualesque quedan.

Denominador: número de partes igualesen que dividimos la tarta.

46

La fracción y su representación

Feliz cumpleaños, abuelo.

38

Para representar gráficamente una fracción, dividimos la figura entantas partes iguales como indique su denominador y coloreamostantas partes como indique su numerador.

Copia en tu cuaderno estas figuras y representa con color la fracción que seindica en cada caso.

a. b. c.

Paula y Alaia han pedido una pizza para comer y la han partido en ocho por-ciones iguales. Paula se comerá tres trozos y Alaia, cuatro.a. Dibuja en tu cuaderno la pizza y sus divisiones.b. Expresa en forma de fracción qué parte de

la pizza se comerá cada amiga.c. ¿Qué fracción de pizza sobrará?

16

59

410

2

3

¿Qué fracción representa la partecoloreada de cada figura?

1

actividades

2 de las 3 partes iguales 3 de las 4 partes iguales 6 de las 10 partes iguales 7 de las 12 partes iguales

23

34

610

712

a.

c.

b.

d.

f.

e.

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Julio ha coloreado del círculo y Adela, del rectángulo.

Recuerda que para leer fracciones, nombramos primero el número del nume-rador y luego, el del denominador.

512

47

47

Escritura y lectura de fracciones

Escribe cómo se lee la fracción que representan los pétalos coloreados decada flor.

Representa gráficamente estas fracciones y escríbelas con cifras.

a. Seis octavos d. Cuatro quintos

b. Nueve doceavos e. Cinco décimos

c. Tres séptimos f. Cinco sextos

3

4

Escribe con letra cómo se leen estas fracciones.

Expresa en forma de fracción.

a. Tres doceavos

b. Cinco catorceavos

c. Seis onceavos

d. Nueve quinceavos

1

2

actividades

1113

1011

47

13

1520

725

69

35

819

416

72

26

• Si los denominadores son: 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 o 10, usamos las pa-labras: medios, tercios, cuartos,quintos, sextos, séptimos, octavos, no-venos o décimos.

> un medio

> tres décimos310

12

• Si los denominadores son mayoresque 10, añadimos al número deldenominador la terminación -avos.

> tres onceavos

> ocho diecisieteavos817

311

No debemos confundir las expresio-nes ordinales con los números frac-cionarios.

Observa

cuatro séptimos cinco doceavos

47

512

14.º > decimocuarto

> un catorceavo 114

a. d.c.b.

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 47

Para comparar fracciones con la unidad, nos fijamos en su numerador y sudenominador.

48

Comparación de fraccionescon la unidad

Las fracciones que son menores que la unidad se llaman fracciones propiasy las que son mayores se llaman fracciones impropias.

> fracción propia > fracción impropia > unidad 44

74

34

Las fracciones pueden ser propias, impropias o iguales a la unidad.

< 1

Si el numerador es menor que el denominador.

56

= 1

Si el numerador y el denomina-dor son iguales.

66

> 1

Si el numerador es mayor que el denominador.

76

Compara y completa en tu cuaderno con los signos <, = o >.

a. 1 b. 1 c. 1 d. 1

Indica qué fracción representa la parte coloreada de estas figuras. Después,observa el ejemplo y escribe la fracción que le falta a cada una para com-pletar una unidad.

Paula dibujó estos dos grupos de figuras, pero no sabe qué fracción repre-senta cada grupo. ¿Qué fracciones son? ¿Son propias o impropias?

1441

155

99

814

3

4

5

Clasifica las fracciones en mayo-res y menores que la unidad.

Contesta a estas preguntas.

a. ¿Cuándo decimos que una frac-ción es propia?

b. ¿Cómo son el numerador y eldenominador de una fracciónimpropia?

c. ¿Qué condición cumplen los tér-minos de una fracción que esigual a la unidad?

1

2

actividades

Menor que la unidad Igual que la unidad Mayor que la unidad

129

1215

94

2112

69

45

> 5 − 4 = 1 > 15

45

a. c.

b. d.

a. b.

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Los alumnos de una clase celebraron una merienda en el colegio. Entre todos

se tomaron de la tarta de chocolate, de tarta de limón y de tarta de

fresa. ¿Cuántas tartas se comieron en total?

124

84

33

Las fracciones aparentes

Observa el ejemplo y escribe en forma de fracción aparente cada grupo.

a. b. c.

Expresa en litros la leche que ha comprado Isidro.

3

4

Explica en cada caso por qué lafracción es aparente. Después, es-cribe si es propia o impropia.

Clasifica estas fracciones en pro-pias, impropias y aparentes.

1

2

actividades

En total se comieron seis tartas completas.

Si al dividir el numerador entre el denominador de una fracción obtenemosun número natural, decimos que esa fracción es una fracción aparente.

Las fracciones , y son fracciones aparentes porque su división es

exacta.

= 1 = 2 = 3

124

84

33

124

84

33

> una tarta33

> dos tartas84

> tres tartas124

Podemos convertir un número enuna fracción aparente.

3 = 3 = 155

93

Observa

Las fracciones aparentes son aquellas que representan unidadescompletas o enteras.

>

49

= 3: 3 = 1 = 8 : 4 = 2 = 12: 4 = 384

33

124

255

63

44

189

124

147

933

73

53

639

142

46

84

He comprado ochomedios litros.

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 49

Alberto tiene cuatro empanadas divididas en distintas porciones, las de laizquierda son de atún y las de la derecha de carne.

De las de atún ha separado y , y de las de carne, y .

¿De qué empanada de atún ha separado mayor cantidad? ¿Y de las de carne?

39

36

39

49

50

Comparación de fracciones

Si comparamos dos fracciones que tienen el mismo denominador, esmayor la que tiene mayor numerador. Si tienen el mismo numerador,es mayor la que tiene menor denominador.

>

> 36

34

35

45

Observa

Las partes en las que están divididasson iguales.

Las partes en las que están divididasson de distinto tamaño.

porque 9 = 9 y 4 > 3. porque 3 = 3 y 9 > 6.49

39

>36

39

>

050_C1_15102

Ordena cada grupo de fracciones de menor a mayor.

a. , y c. , y

b. , y d. , y

Escribe las fracciones que representan las partes colo-readas de cada figura y ordénalas de mayor a menor.

a. c.

b. d.

Julián y Ana tienen dos cuerdas iguales. Julián recorta

de su cuerda y Ana, de la suya. Representa las

cuerdas y los cortes sobre dos segmentos de 8 cm. ¿Quién ha cortado mayor trozo de su cuerda?

510

58

86

66

76

35

36

34

49

46

47

75

35

45

3

4

5

Indica qué fracción representa cada figura y cuál es lamayor de cada pareja.

a. b.

c.

Compara estos pares de fracciones. Después, representala comparación con un dibujo y comprueba el resultado.

a. y c. y

b. y d. y 43

45

46

56

34

36

35

45

1

2

actividades

Denominadores iguales Numeradores iguales

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 50

Judith ha cortado tres cartulinas del mismo tamaño y ha coloreado en ellas

, y respectivamente.48

24

12

Observa que ha coloreado la misma superficie en las tres cartulinas.

Las fracciones , y representan la misma cantidad, decimos que son

fracciones equivalentes.

• Para obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicamos o dividi-mos sus términos por el mismo número.

48

24

12

Las fracciones equivalentes

Los productos de los términos cruza-dos de dos fracciones equivalentesson iguales.

6 × 5 = 10 × 3

Observa

12

48

24

= =

23

46

=

× 2

× 2

610

35

=

: 2

: 2

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de la unidad.

610

35

=

Calcula y escribe una fracción equivalente a cada fracción multiplicando losdos términos por el mismo número.

a. b. c. d.

Halla una fracción equivalente a cada fracción dividiendo los dos términosentre el mismo número.

a. b. c. d.

Encuentra las fichas coloreadas que representan la misma cantidad. ¿Cuálesson? ¿Qué fracciones representan?

a. b. c. d.

515

721

412

69

57

25

56

34

2

3

4

Observa los dibujos y completaestas fracciones equivalentes.

a.=

b. =

c.=

2.....

1.....

.....

104

.....

46

.....

3

1

actividades

51

= =

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 51

En una colección de 27 libros sobre plantas, los estudian cómo se clasifican.

¿Cuántos libros hay sobre clasificación de las plantas?

Debemos hallar de 27 y, para ello, primero calculamos cuántos libros hay

en parte y, después, cuántos libros hay en los .

29 2

919

29

Observa que para calcular los de 27 hemos hecho estas operaciones:

de 27 = (27 : 9) × 2 = 3 × 2 = 6

52

La fracción de una cantidad

Lee y calcula.

a. Tres sextos de setenta y dos c. Diez doceavos de ciento treinta y dos

b. Cinco séptimos de noventa y uno d. Nueve treceavos de sesenta y cinco

En un jarrón hay 6 flores. Si Ángela se lleva del total, ¿cuántas flores que-dan? Ayúdate de un dibujo.

Rosalía divide una tabla de 360 cm en tres partes iguales. ¿Cuánto mediránjuntas dos de esas partes?

En una clase hay 30 alumnos. De ellos, llegan al colegio en transporte pú-

blico y el resto, andando. ¿Cuántos alumnos de esa clase van al colegio entransporte público? ¿Cuántos van andando?

46

13

3

4

5

6

Completa esta tabla en tu cua-derno.

Calcula las siguientes cantidadesde dos formas distintas.

a. de 315 céntimos

b. de 450 litros de agua

c. de 1 000 metros de cuerda210

49

25

1

2

actividades

29

29

Para calcular la fracción de una cantidad la dividimos entre eldenominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

Podemos calcular la fracción de unacantidad de otro modo.

de 27 = (27 × 2) : 9 = 54 : 9 = 629

Observa

100 50

1 000

500

• Primero dividimos la cantidad en-tre el denominador.

• Después, multiplicamos el resul-tado por el numerador.

Cada de la colección son 3 libros.19 En los de la colección hay 6 libros.2

9

de de de de34

15

14

12

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 52

actividades

Observa el ejemplo y expresa como sumas de fraccionesla parte coloreada de estas figuras.

a. b. c.

Suma las siguientes fracciones.

a. + d. + +

b. + e. + +

c. + f. + + 423

1023

1523

15

35

78

68

58

49

79

811

211

411

14

34

Para adornar su clase, unos alumnos han diseñado un mosaico. Han colocado

ya de piezas marrones y de piezas azules. ¿Qué fracción del mosaico

han colocado en total? ¿Qué fracción del mosaico falta aún por colocar?

312

612

53

Adición y sustracción conel mismo denominador

Indica qué fracción representa cada parte coloreada deestas figuras. Después, réstalas y representa gráfica-mente la fracción que resulte.

a. b. c.

Realiza estas sustracciones.

a. – d. – –

b. – e. – –

c. – f. – –

De una piscina llena de agua se sacan primero y

luego del total.

a. ¿Qué fracción del total de agua se ha sacado?

b. ¿Qué fracción del total queda en la piscina?

28

38

734

1234

2034

212

712

19

29

79

310

910

315

615

1415

27

57

3

4

5

1

2

Para sumar o restar dos fracciones con el mismo denominador,sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismodenominador.

612

312

912

6 + 312

+ = = 1212

912

312

12 – 912

– = =

39

59

39

59

89

+ =

>

>

• Para calcular la fracción total colo-cada, sumamos las dos fracciones.

Han colocado ya del mosaico.912

• Para saber la fracción que falta por co-locar, restamos la fracción colocada.

Faltan por colocar del total.312

+ =

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 53

54

Resuelvo problemas

Utilizar un esquema o un dibujo para resolver gráficamente un problema

• Después, observamos que cada planta puede colocarseen cada uno de los diferentes maceteros y representa-mos las soluciones del problema con un esquema.


¿Cuántas combinaciones posibles puedes hacer conestas camisetas y estos pantalones?

Nieves quiere rellenar un hueco con baldosas cuadra-das. El hueco mide seis baldosas de alto y tres de ancho.

La mitad de las baldosas que tiene son azules, sonrojas y el resto, amarillas.

a. Dibuja el hueco y colorea cuatro mosaicos posibles se-gún el color de las baldosas.

b. ¿Puede haber más soluciones? Razona la respuesta.c. ¿Qué fracción del total representan las baldosas ama-

rillas?

418

2

1 Escribe todos los números posibles de tres cifras que sepueden formar con estas tres tarjetas.

Marina y Eugenio han dividido una pizza en 12 porcio-

nes iguales. Marina ha comido de pizza y Eugenio,el triple que Marina.

a. Representa gráficamente la cantidad de pizza que hacomido cada uno.

b. ¿Ha sobrado alguna porción? Si es así, escribe la frac-ción que representa.

212

4

3

A Paula le han regalado por su cumpleaños dos plantas ytres maceteros de diferentes colores. Cuando llega a casaquiere saber de cuántas maneras posibles podría colocarlas plantas en los maceteros. ¿Cómo podrá averiguarlo?


• Primero dibujamos los datos necesarios para resolverel problema: las plantas y los maceteros.

• Finalmente, contamos las soluciones del esquema:hay seis formas diferentes de combinar las plantas conlos maceteros.

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 54

Lógica

Rubén, Marta y Cisco están sentados en un banco yquieren saber de cuántas maneras diferentes se pue-den colocar. Indica al menos cinco formas distintas.

Pedro tiene que regar cada día 12 macetas. Dice queesta mañana ha regado cuatro doceavos y que el restolo hizo por la tarde.

a. Haz un esquema con las macetas que ha regado tantopor la mañana como por la tarde.

b. Escribe la fracción que representan las macetas rega-das por la tarde.

6

5

55

Un profesor ha formado tres grupos para hacer un ta-ller de energías renovables. Ha dispuesto a los alumnosen tres filas de mesas con seis alumnos en cada una.

Un grupo está formado por de la clase, otro por y el último, por el resto.

a. ¿Cuántos alumnos forman cada grupo?b. Dibuja cómo pueden distribuirse de tres formas dis-

tintas. Colorea cada grupo de un color.

26

36

7

Razonamiento con fracciones

Recuerda cómo se calcula la fracción de una cantidad. Después, averigua losbalones que hay en las cajas. Ten en cuenta lo que se indica en cada caso.

Encuentra en este puzle las tres piezas que forman cada serie y representanla misma cantidad.

2

1

14

del total = 13

del total =16

del total =

310

610

510

710

210

0,50,6

0,3

0,2

0,7

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 55

56

Si quieres aprendercosas nuevas sobre

la solidaridad con otros pueblos, lee

Los gigantes de la luna, de Gonzalo Moure.

¡Seguro que te encantará!

1. Si dividimos un círculo en seis partes iguales, ¿qué fracción del círculorepresenta solo cinco partes?

2. ¿Qué cantidad es mayor, los o los de una tarta?

3. Escribe el número que representa la fracción aparente .

4. De entre las fracciones , y , ¿cuál es la mayor? ¿Y la menor?

5. Si Juan bebe de un litro de zumo y Abel, de otro litro, ¿quién toma

más zumo de los dos?

6. ¿Las fracciones y son equivalentes? ¿Por qué?

7. ¿Cuál es la sexta parte de 360?

8. Averigua los euros que te llevas si tomas de 120 .

9. Calcula los de 50 coches de carreras.

10. Escribe la fracción diferencia entre seis novenos y tres novenos de una

tarta de fresa.

45

210

1218

46

57

58

14

54

34

248

35

34

Decamat

Cálculo mental

Transforma estos números en una fracción aparente con denominador 3.

a. 5 c. 10 e. 19 g. 23b. 4 d. 12 f. 34 h. 100

Observa la estrategia anterior y explica cómo transformarías un número enuna fracción aparente con denominador 5. Escribe dos ejemplos y com-prueba los resultados con la calculadora.

Transforma estos números en una fracción aparente con denominador 5.

a. 7 c. 10 e. 40 g. 25b. 8 d. 11 f. 51 h. 100

3

1


¿Serías capaz de crear lamisma figura moviendo tansolo dos palillos y dejandola flor fuera? Demuéstralo.

1 3

4

2

4

1

Para transformar un número en una fracción aparente condenominador 3, dejamos ese denominador y obtenemos elnumerador multiplicando dicho número por 3.

Sudo

ku

7 × 33

213

7 = = 8 × 33

243

8 = =

2

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:57 Página 56

57

Repaso

Escribe cómo se leen estos números.

a. 234 657 c. 13 508 642b. 5 657 897 d. 9 876 543

Anota en tu cuaderno con cifras estos números.

a. Ochenta mil ochocientos ochob. Setecientos ochenta y dos mil ciento unoc. Doce millones cuarenta mil siete

Observa el ejemplo y copia las dos columnas en tu cua-derno. Después, relaciona cada pareja de números.

Escribe el mayor y el menor número que puedas formarcon estas cifras.

Ordena de menor a mayor estas cantidades.

Dibuja un segmento y divídelo en 10 partes iguales. Co-mienza a numerar en el 0 y haz intervalos de 50 en 50hasta llegar a 500. Después, sitúa en él estos números.

a. 150 b. 75 c. 300 d. 250

¿En qué año naciste? Aproxima ese número a la cen-tena y al millar más próximos.

Calcula estas adiciones de dos maneras distintas. ¿Quépropiedad se cumple?

a. 785 365 + 27 158 b. 306 473 + 77 950

8

7

6

5

4

3

2

1 Halla el resultado de estas operaciones y di qué pro-piedad se cumple.

a. 1 253 085 + (87 030 + 250)b. (1 253 085 + 87 030) + 250

Realiza las siguientes sustracciones y comprueba queestán bien hechas.

a. 56 543 – 27 156 b. 760 432 – 53 651

Resuelve aplicando la propiedad distributiva.

a. 40 × (25 + 56) c. (195 – 80) × 53b. 80 × (76 – 20) d. (30 + 560) × 20

Marcelo tiene 500 naranjos, de cada naranjo obtiene126 naranjas y las vende a 12 cts. cada una.

a. ¿Cuánto dinero sacará en total por la venta de las naranjas?

b. Expresa el resultado en euros.

Divide y comprueba el resultado con la prueba.

a. 13 656 : 26 b. 804 482 : 614 c. 4 560 225 : 355

A una peña de 35 amigos le ha tocado la lotería a partesiguales. Si les ha tocado 836 465 € en total, ¿cuánto leha tocado a cada uno? Comprueba el resultado.

¿Qué operación de la columna tiene el mismo resultadoque su modelo de la primera fila?

Resuelve estas operaciones.

a. 876 × 100 d. 51 × 15 + 87b. 36 × 275 + 99 e. 208 × 10 – 75 : 5c. 750 × 1 200 f. 315 + 49 : 7 + 21 × 4

16

15

14

13

12

11

10

9

1 3 4 2 6 9 1 2

26 785 037 627 857

627 578 5 843 263

62756

2104263

4 10959443

4 600 : 100 13 807 : 1 000 15 750 : 10460 : 100 138 070 : 100 15 750 : 100460 : 10 13 807 : 100 157 500 : 100

4 600 : 10 13 8070 : 10 000 15 750 : 1 000

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:58 Página 57

Aclaro mis ideas

58

Las fracciones

Escritura y lectura Representación

Comparación de fracciones

Con el mismo denominador

porque 5 = 5 y 4 > 3.

Con el mismo numerador

porque 4 = 4 y 5 < 7.

numerador denominador

tres quintos

35

Coloreamos 3 partes.

Se divide en 5 partes iguales.

Clases de fracciones

Propia

< 1

numerador < denominador

23

Impropia

> 1

numerador > denominador

43

Aparente

= 2

numerador : denominador = n.º

42

Operaciones con fracciones

Fracción de una cantidad

de 30 = (30 : 3) × 2 = 20

Adición Sustracción

Las fracciones equivalentes

Comprobación

Los productos deben ser iguales.

Podemos obtenerlas

Multiplicando los dos términos Dividiendo los dos términos por el mismo número. entre el mismo número. =8

1246

8 × 6 = 12 × 4

= = 812

1624

8 × 212 × 2

= = 812

23

8 : 412 : 4

> 45

35

> 45

47

+ = = 45

75

35

4 + 35

– = = 45

15

35

4 – 35

23

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:58 Página 58



• Si el denominador de una fracción es mayor que diez,para leerla añadimos al ..... la terminación ..... .

• Las fracciones que son menores que la unidad se lla-man fracciones ....., y las que son mayores se llaman frac-ciones ..... .

• Las fracciones ..... son aquellas que representan unida-des completas o ..... .

• Si comparamos dos fracciones que tienen el mismo de-nominador, es mayor la que tiene ..... numerador. Si tie-nen el mismo numerador, es mayor la que tiene .....

denominador.• Dos fracciones son ..... si representan la misma parte de

la unidad.• Para calcular la fracción de una cantidad la ..... entre el

numerador y el resultado lo ..... por el ..... .• Para sumar o restar dos fracciones con el mismo deno-

minador, sumamos o restamos los ..... y dejamos elmismo ..... .

Indica la fracción que representa cada color.

Escribe estas fracciones en tu cuaderno.

a. Tres quinceavos e. Dos veinteavosb. Doce treceavos f. Cuatro onceavosc. Siete décimos g. Seis novenosd. Nueve catorceavos h. Diez doceavos

Si has comido de un melón, ¿cuánto melón has

comido? Razona el significado de cada término de lafracción.

Escribe la fracción que le falta a cada una para com-pletar la unidad.

17

25

56

48

36

34

5

4

3

2

1

59

Inventa y representa gráficamente una fracción propia,una fracción impropia y una fracción aparente. Explicaqué características tiene cada una.

¿Qué fracción representa la parte coloreada de cada fi-gura? Ordénalas de mayor a menor.

a. b. c. d.

Encuentra dos fracciones equivalentes en cada caso.

a. b. c. d.

Halla las siguientes cantidades.

a. de 100 b. de 200 c. de 815

Realiza estas operaciones con fracciones y representagráficamente el resultado.

a. + c. + e. –

b. + d. – f. –

Transforma estos números en dos fracciones, una condenominador 3 y otra con denominador 5.

a. 4 b. 10 c. 21 d. 52 e. 200

34

14

58

28313

613

13

43

29

79

26

36

35

34

15

515

618

912

47

11

10

9

8

7

6

Piensa y contesta a las siguientes preguntas.

a. ¿Qué número representa la fracción ?

b. La fracción , ¿representa una cantidad exacta?

¿Entre qué dos números naturales se encuentra?c. ¿Qué tipo de fracción es cada una?d. ¿Todas las fracciones impropias son aparentes?e. ¿Todas las fracciones aparentes son impropias?

1215

1515

12

044_059_15102_U3.qxd 8/9/09 17:58 Página 59

60

4Antes de cumplir los tres años, Gaussparecía ya ser un genio, pues a esa edadaprendió a leer y a calcular con mucha

habilidad. Cómo sería el talento de esteniño que hasta llegó a descubrir un error

en los cálculos que hizo su padre para pagara unos empleados.

Se cuentan muchas anécdotas de él, pero una de las másconocidas es la siguiente. Cuando tenía diez años, su

profesor mandó sumar los cien primeros números naturales,pues pensó que esa tarea tendría entretenidos a sus alumnos durante un

buen rato; pero se equivocó, pues, tras unos segundos, Gauss levantó la manoy dijo que tenía la solución: «Los cien primeros números naturales suman 5050».

¡Y así es! ¿Pero cómo lo hizo en tan poco tiempo? Pues, mentalmente, se fijó en los númerosde cada extremo y los fue emparejando porque vio que la suma del primer término con elúltimo, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, era siempre la misma: 101.

Observa que con estos 100 números se pueden formar 50 parejas, y como cada unasuma 101, la suma total se obtiene multiplicando 101 × 50 = 5 050.

En el año 1796 demostró que se podía construir un polígono de 17 lados con regla ycompás, y con el tiempo fue encontrando el modo de construir los demás polígonosregulares utilizando solo esos dos instrumentos.

A lo largo de su vida aportó numerosos descubrimientos en Astronomía, Geometría,Estadística y Magnetismo. Incluso inventó un telégrafo eléctrico en 1833 para podercomunicarse entre su casa y el observatorio.

Murió a los 77 años siendo reconocido como el mayor matemático de todos los tiempos.

talento: inteligencia,habilidad.

magnetismo: fuerza deatracción del imán sobreotros objetos.

telégrafo: aparato empleadopara el envío y recepción de mensajes medianteimpulsos eléctricos.

Carl F. Gauss

nació en Alemania

en 1777.

Está considerado

el «príncipe de las

matemáticas».

Tratamientode la información

1, 2, 3, 4, …, 97, 98, 99, 100

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = … = 50 + 51

101 101 101

50 parejas

101 101

{ { { { {

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:00 Página 60

La importanciade la informaciónHoy en día podemos recibir noticias al mismotiempo que se producen o a los pocos minutosde haber ocurrido.

Los medios de comunicación han mejoradocon el paso del tiempo. La radio, latelevisión, Internet, el teléfono fijo y elmóvil, etc., nos acercan la información conmayor rapidez que el telégrafo, el correopostal o el periódico.

Después de ver cómo

se transmite la

información, en la

unidad aprenderás

cómo trabajar con

ella correctamente.

En grupoLee de nuevo la anécdota deGauss. ¿Es importante pensar y observar los datos antes deresolver un problema? Dialoga y comparte tu opinión con tuscompañeros.

Sobre el texto1. ¿Por qué crees que se merece

Gauss el título de príncipe de lasmatemáticas?

2. Observa cómo sumó los 100primeros números naturales ycalcula cuánto suman los 100siguientes, desde el 101 hasta el 200.

61

Actividades1. ¿Qué medio de comunicación utilizas

más para recibir información? ¿Por qué?

2. ¿Qué ventajas puede tener la radio sobrelos periódicos? ¿Y estos sobre la radio?Escribe al menos dos ventajas en cadacaso.

3. ¿Es importante que la información querecibimos por televisión o Internet seacierta? Razona la respuesta.

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:00 Página 61

Al lanzar un dado varias veces, hemos obtenido estosnúmeros.

a. Construye una tabla de frecuencias y registra estos datos.

b. Anota el valor que representa la moda.

c. ¿Cuántas veces hemos lanzado en total el dado?

Ayer fueron al parque los alumnos de una clase de 5.ºcon una cámara de fotos. Estos son los tipos de insec-tos que encontraron.

mariposas: IIII III libélulas: III

mariquitas: IIII IIII II abejas: IIII IIII III

escarabajos: IIII

a. Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias.

b. ¿Qué insecto representa la moda?

2

3

Lee el trabalenguas y observa cuántas veces aparececada una de las vocales.

a. Completa en tu cuaderno esta tabla de frecuencias.

b. ¿Qué vocal representa la moda?

1

actividades

Una profesora ha preguntado a sus alumnos cuáles son sus dos deportes pre-feridos. Entre todos han hecho el recuento, han visto cuántas veces aparececada deporte y lo han anotado en esta tabla.

Observa que para hacer el recuento de datos trazamos una raya por cada res-puesta. El número de veces que se elige ese deporte en total es su frecuencia.

El deporte que tiene mayor frecuencia representa la moda. En este caso, lamoda es la vela.

Las tablas de recuento y de frecuencia presentan datos de manera sencilla yorganizada, de este modo podemos entender sin dificultad la informaciónque en ellas aparece.

62

Las tablas de datos.La frecuencia y la moda

En una tabla se presenta la información de forma clara y ordenada.

La frecuencia de un dato es el número de veces que se repite.

El dato que tiene mayor frecuencia representa la moda.

3 4 6 5 6 4 3 3 2 1 6 5 4 2 3 6 5 3

4 5 6 4 5 3 2 4 5 6 4 3 2 3 3 1 2 1

Vocales Recuento Frecuencia

a IIII IIII II 12eiou

Deportes Recuento Frecuencia

natación IIII IIII II 12

tenis IIII III 8

baloncesto IIII IIII 9

vela IIII IIII III 13

patinaje III 3

total 45

moda

El cielo está enladrillado,

quién lo desenladrillará.

El desenladrillador que lo desenladrille,

buen desenladrillador será.

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:00 Página 62

En un puerto se han celebrado cinco regatas. Esta tabla recoge el número develeros que participaron en cada una.

63

La media aritmética

Benjamín ha leído estos libros de cuentos.

a. Calcula cuántas páginas tienen de media los libros de Benjamín.

b. ¿Cuál es el precio medio de estos libros?

La media del peso de tres contenedores es de 60 kg. Si uno pesa 68 kg yotro, 60 kg, ¿cuánto pesará aproximadamente el tercero? Elige la respuestacorrecta y explica por qué.

a. Más de 60 kg

b. 60 kg

c. Menos de 60 kg

En un concurso de saltos, Berta ha saltado cuatro veces. Estas son las longi-tudes de sus saltos.

a. ¿Cuántos centímetros ha saltado cada vez? ¿Y de media?

b. Calcula la diferencia entre el salto más largo que ha dado Berta y la longitudmedia de sus saltos.

4

5

6

2

Observa la tabla de frecuencias delas regatas y contesta.

a. ¿En qué regatas participaron me-nos veleros que la media?

b. ¿En qué regatas participaronmás veleros que la media?

Calcula la media de las cantida-des que hay en cada fila.

a. 35 g 45 g 120 g 68 g

b. 34 l 120 l 50 l 70 l 66 l

c. 210 m 87 m 345 m

En una pista de patinaje hubo 24personas el lunes, 26 el martes y28 el miércoles.

a. ¿Cuántas personas patinaron demedia en estos tres días?

b. ¿Qué día hubo menos patinado-res que la media?

2

3

actividades

La media aritmética de varios datos se calcula dividiendo la suma de todos ellos entre el número de datos.

1,62 m 1,79 m 1,59 m 1,68 m

Regatas Frecuencia

primera 12

segunda 15

tercera 17

cuarta 13

quinta 18

total 75

media

75 : 5 = 15

1

suma de todos los datos

número de datosmedia aritmética =

El organizador dice que han participadouna media de 15 veleros por regata.

Para comprobarlo, tomamos los datosde la tabla y seguimos estos pasos:

El cociente de dividir el total de veleros entre el número de regatas es la media aritmética. Luego, efectivamente, en cada regata ha participado unamedia de 15 veleros.

• Primero sumamos los veleros quehan participado en todas las regatas.

12 + 15 + 17 +13 + 18 = 75

• Después, dividimos el total de ve-leros entre el número de regatas.

75 : 5 = 15

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:00 Página 63

0

20

40

60

80

100

120

140

puntos

rojo gris azul negro verdeequipos

Un entrenador de baloncesto ha anotado en esta tabla los puntos conseguidospor cinco equipos en varios partidos y ha representado los datos en un gráficode barras simple, utilizando una barra para indicar los puntos de cada equipo.

64

El gráfico de barras simple

Observa las notas que han sacado los alumnos de unaclase en un examen de Matemáticas.

a. ¿Cuántos alumnos de la clase han aprobado?

b. ¿Cuántos alumnos han hecho el examen?

c. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase si tres de ellos no pudieron hacer el examen?

3Este gráfico representa el número de espectadores quevieron una película en el cine del barrio.

a. ¿Cómo son las barras? ¿En qué eje están los valores?

b. ¿Por qué la barra del domingo es mayor que la del vier-nes?

c. Calcula la media de espectadores que vieron la pelí-cula durante esos tres días.

En la elección de delegado de una clase se han presen-tado cuatro alumnos. Estos son los resultados de la vo-tación. Represéntalos en un gráfico de barras simple.

1

2

actividades

En un gráfico de barras simple, la longitud de cada barra representala frecuencia de ese dato.

Para construir este gráfico de barrassimple, primero trazamos el eje ver-tical con una escala que va desde 0hasta la frecuencia mayor que apa-rezca en la tabla.

Después, trazamos el eje horizontalcon los diferentes equipos.

Finalmente, dibujamos sobre cadaequipo la barra para indicar su fre-cuencia, los puntos.

Recuerda que los gráficos de barraspueden ser verticales u horizontales.

La anchura es la misma en todas lasbarras, pero la altura no.

Observa

sob0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

not bien suf insufAlumnos Iker Sonia Jordi Roque

N.º de votos 12 15 3 4

Equipos Puntos

rojo 120

gris 80

azul 142

negro 75

verde 112

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Esta tabla indica el número de chicos y chicas que han sacado libros de la bi-blioteca de su colegio a lo largo de esta semana.

Con los datos, la bibliotecaria ha elaborado un gráfico de barras doble utili-zando dos barras para indicar en cada caso el número de niñas o niños quehan sacado libros de la biblioteca.

65

El gráfico de barras doble

Para construir este gráfico de barrasdoble, primero trazamos el eje verti-cal, con una escala que irá desde 0hasta la frecuencia mayor que apa-rece en la tabla.

Después, trazamos el eje horizontalcon los distintos días.

Finalmente, dibujamos sobre cadadía una barra de frecuencias para loschicos y otra para las chicas.

Recuerda que los gráficos de barrasdobles también pueden ser vertica-les u horizontales.

L 12 16

M 18 14

X 21 28

J 24 20

V 10 16

Días Chicos Chicas

En un gráfico de barras doble representamos la frecuencia de dos datos distintos mediante dos barras que se pueden relacionar y comparar.

El recuadro que indica lo que repre-senta cada columna de color se llamaleyenda.

Observa

En la entrada de un centro veterinario se muestra cuán-tos animales se han cuidado en los primeros meses delaño. Observa el gráfico y contesta.

a. ¿Cuántos perros se han cuidado en total?

b. ¿Cuántos gatos han sido atendidos en el centro?

c. ¿Qué mes se atendieron más animales?

d. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

e. ¿Cuántos perros de media recibieron cuidado al mesen este centro veterinario?

2Este gráfico representa el número de alumnos que to-man de postre lácteos o fruta en un comedor.

a. ¿Qué días se ha tomado más fruta que lácteos?

b. ¿Qué día se tomó menos fruta de todos?

c. ¿Cuántos alumnos comen cada día en ese comedor?

d. Si el viernes hubo de postre una manzana o un yogur,¿cuántas manzanas y cuántos yogures se tomaron ese día?

1

actividades

perros

gatos

enero febrero marzo abril0

2

4

6

8

10

12

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66

El gráfico de puntos y el de líneas

actividades

Fíjate de nuevo en el gráfico deÁngel y contesta.

a. ¿Cuántos balones ha encestadoen total de lunes a viernes?

b. Si ha lanzado 30 tiros diarios,¿cuántos lanzamientos fallidosha cometido en total?

c. Calcula cuántos balones ha en-cestado como media esos días.Haz lo mismo con los tiros queha fallado.

Ángel quiere perfeccionar sus lanzamientos y ha intentado encestar 30 vecesun balón. Ha apuntado en esta tabla cuántos balones logró encestar cada unode los días.

Para representar el número de canastas, ha construido un gráfico de puntosy, después, un gráfico de líneas o poligonal.

En el eje vertical marcamos los intervalos de la escala.

En el eje horizontal marcamos los días de la semana. Después, trazamos ha-cia arriba una línea vertical haciendo coincidir su altura con el número de ve-ces que ha encestado ese día. En ese extremo dibujamos un punto y hacemoslo mismo con el resto de los días.

Por último, para obtener el gráfico de líneas, unimos cada uno de esos puntos.

0L M X J V

5

10

15

20

25

30

0L M X J V

5

10

15

20

25

30

En el gráfico de líneas podemos ver la evolución de Ángel a lo largo de lasemana.

Observa

En un gráfico de líneas o poligonal podemos ver cómo varían losdatos a lo largo del tiempo. Se obtiene a partir de un gráfico de puntos.

N.º decanastas

Representa en un gráfico de líneas las notas de Irene y Pedro en Matemáticas.

Manuela ha representado en esta tabla las ganancias que ha obtenido en sutienda durante los cuatro trimestres del año.

a. Construye un gráfico de puntos y de líneas conlos datos de la tienda de Manuela.

b. ¿Qué trimestre del año ha obtenido mayores ga-nancias? ¿Y menos?

c. ¿Cuánto dinero ha ganado este año en total?

d. ¿Cuál es la media de beneficios por trimestreque ha obtenido en este año?

2

3

1

1.º 11 500 €

2.º 18 000 €

3.º 13 000 €

4.º 21 000 €

4 6 7

10 8 5

1.ª evaluación 2.ª evaluación 3.ª evaluaciónIrene

Pedro

lunes 15

martes 18

miércoles 20

jueves 22

viernes 25

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67

El pictograma

Mes VentasManuela lleva la cuenta del número de ordenadores que se han vendido ensu tienda los primeros meses del año y los ha representado de forma gráficaen este pictograma.

Un pictograma está formado por figuras que llamamos iconos. En este picto-grama los iconos son pantallas de ordenador.

La clave indica cuántas unidades re-presenta cada icono. En este caso, cadaicono representa 24 ordenadores.

Para saber cuántos ordenadores se hanvendido cada mes, multiplicamos elvalor del icono por el número de ico-nos que hay en cada columna.

Si en alguna columna aparece la mitadde un icono, esa figura equivale a lamitad del número que indica la clave.En este pictograma cada mitad de unicono equivale a 12 ordenadores.

= 24 unidades

enero febrero marzo abril

1

0

2

3

4

5

6

7

8

En un pictograma representamos de forma gráfica distintas cantidadespor medio de iconos. Cada icono puede representar más de una unidad.

enero 24 × 3

febrero 24 × 6

marzo 24 × 5 + 12

abril 24 × 7 + 12

Los alumnos de 5.º y 6.º del colegio San Anselmo se pueden quedar por latarde para estudiar y hacer los trabajos escolares. Observa el pictograma ycontesta.

a. ¿Cuántos alumnos se han quedado cada tarde en la clase de estudio?

b. Ordena los días de menor a mayor asistencia.

Construye un pictograma que indique los coches vendidos por una fábrica enestos meses. Cada icono debe equivaler a 10 coches.

3

4

Explica oralmente lo que repre-sentan estos iconos.

Este pictograma muestra los pe-riódicos deportivos que se hanvendido en un quiosco los tres pri-meros días de la semana.

a. ¿Cuántos periódicos representacada icono? ¿Y medio?

b. Calcula cuántos periódicos sehan vendido en total.

actividades

1

2

40 35 30 40 55 70 40

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:01 Página 67

Este gráfico recoge el tipo de postre que ha tomado cada uno de los 360 co-mensales de un colegio.

a. Si solo han tomado yogur cinco alumnos, calcula el número de comensalesque han tomado cada tipo de postre.

b. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

Alberto recuerda que el valor total del círculo es de 360 grados y sabe queel sector menor de este gráfico circular representa 20 grados.

a. ¿Cuál será el valor aproximado de cada sector?

b. Inventa un problema cuyos datos estén represen-tados en este gráfico.

68

El gráfico de sectores

El director de un colegio ha representado en este gráfico de sectores el númerode alumnos que van al colegio en autobús, en coche y andando.

El círculo completo representa el total de alum-nos que hay en el centro.

180 + 50 + 70 = 300

Cada porción coloreada del círculo representa lacantidad de alumnos que van al colegio de unmodo u otro.

Observa que cuanto mayor es el dato, mayor es laamplitud del ángulo del sector que le corresponde.

El gráfico de sectores o gráfico circular está formado por un círculo divididoen sectores y se usa para hacer comparaciones entre distintos valores de formarápida y visual.sector circular

Observa

En un gráfico de sectores, la frecuencia de cada valor está representadapor la amplitud del sector correspondiente.

Los alumnos de una clase de 5.ºhan tenido estas calificaciones enun examen de Matemáticas.

a. Observa el gráfico circular y ave-rigua qué color representa en élcada calificación.

b. ¿Por qué el sector de color rojoes la mitad que el sector de coloramarillo?

c. ¿Cuántos alumnos han apro-bado en total? ¿Cuántos alum-nos hay en esa clase?

actividades

1

6 notable 12 suficiente 8 bien 3 insuficiente

en autobús

en coche

andando

manzana

yogur

naranja

flan

2

3

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69

Análisis crítico de datos en gráficos y tablas

Enero 46

Febrero 23

Marzo 11

Abril 30

Estos gráficos representan la venta de casas en una zona el primer cuatrimes-tre del año. ¿Están dibujados correctamente?

Para comprobarlo, comparamos los datos de la tabla con la altura de las barrasen el primer gráfico y verificamos que la barra de marzo no tiene la alturaque le corresponde.

En el gráfico poligonal, el error está en el mes de febrero, donde aparecen másviviendas vendidas de las que indica la tabla de frecuencias.

De los gráficos podemos deducir que la venta de viviendas ha disminuido deenero a marzo y que en el mes de abril se han vendido más viviendas que enmarzo.

Un grupo de ecologistas ha elaborado un gráfico de lí-neas doble con las ayudas recibidas por dos ONG du-rante los cinco primeros meses del año.

a. Comenta algunas diferencias o semejanzas entre losdatos de una y otra organización.

b. ¿En qué mes reciben mayores ayudas cada una de lasdos organizaciones?

c. Elabora las tablas de frecuencias de cada ONG.

d. ¿Qué ONG tiene más ayudas al mes de media duranteestos cinco meses?

2En este gráfico de barras doble se representan las pre-ferencias de un grupo de chicos y de chicas en las acti-vidades extraescolares.

a. Nombra dos diferencias entre las actividades preferidaspor los chicos y por las chicas.

b. ¿Cuál es la actividad preferida por ellos? ¿Y por ellas?

c. ¿Cuántos escolares han elegido el patinaje en total?

d. ¿Qué actividad es la menos elegida por los chicos?

e. Realiza la tabla de frecuencias y averigua cuántos es-colares han sido encuestados.

1

actividades

enero0

10

20

30

40

50

febrero marzo abril enero0

10

20

30

40

50

febrero marzo abril

Para evitar errores, debemos comparar la información representada enlos gráficos con los datos de su tabla de frecuencias correspondiente.

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Resuelvo problemas

Obtener los datos de un gráfico para resolver un problemaEl Ayuntamiento ha representado gráficamente la utili-zación de los medios de transporte de la ciudad durantelos meses de junio y julio.

Cada una de las barras representa el número de personasde esa ciudad que ha utilizado ese medio de transporte.

¿Cuántas personas de media han utilizado el taxi duranteesos dos meses?

• Para averiguarlo, primero buscamos en el gráfico elnúmero de personas que ha utilizado ese medio detransporte cada mes.

• Después, calculamos la media sumando los datos ob-tenidos y dividiéndolos entre 2.

• Por último, escribimos la solución.

Durante los meses de junio y julio han utilizado el taxien esa ciudad 1 830 personas de media.


Observa de nuevo el gráfico anterior y contesta.

a. ¿Cuántas personas han utilizado el metro en esa ciu-dad durante los meses de junio y julio?

b. ¿Cuál es la media de personas que utilizaron el auto-bús como medio de transporte en esos dos meses?

Una biblioteca municipal ha colgado en el tablón deanuncios este gráfico que indica la cantidad de librosde que dispone de cada tipo.

a. ¿Cuántos libros de cada clase hay en la biblioteca?b. ¿De qué clase hay más libros? ¿Y menos?c. ¿Cuántos libros hay en total?

2

1 Si en la ciudad de la actividad 1 el billete de metrocuesta 90 cts. y el de autobús 105 cts., ¿cuántos eurosse han recaudado entre los billetes vendidos de metroy autobús en el mes de junio?

Este pictograma representa el consumo de luz de unafamilia durante los seis primeros meses del año.

a. ¿Qué gasto ha tenido la familia cada mes?b. Calcula el gasto total que ha tenido la familia durante

los seis meses.c. ¿Qué consumo medio por mes ha hecho la familia

desde enero a junio?d. ¿Qué mes supera la media de consumo?

4

3

junio > 1 800 personas julio > 1 860 personas

1 800 + 1 860 = 3 660 > 3 660 : 2 = 1 830

humor0

2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

aventuras cuentos terror70

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71

Lógica

Un profesor llevó a sus alumnos a una granja escueladurante el año y ha representado en un gráfico de sec-tores el número de alumnos que ha ido cada trimestre.Observa el gráfico y contesta.

a. Si el cuarto trimestre fueron a la granja escuela solotres alumnos, ¿cuántos fueron los otros trimestres?

b. ¿En qué trimestre han ido más niños a la granja es-cuela? ¿Y menos?

c. ¿Cuántos alumnos hay en clase en total? Razona turespuesta.

5 Un excursionista parte de Seto y se para a mirar esteplano para situarse antes de proseguir su paseo.

a. ¿Cuántos metros recorrerá yendo a Cuervo por el iti-nerario 1?

b. ¿Recorrerá más o menos metros si va por el itinerario 2?¿Cuántos metros?

c. Si el excursionista quiere hacer el itinerario 1 ida yvuelta, y luego ir a Cuervo pasando por Colmena, ¿quédistancia recorrerá?

6

Relacionar distintos tipos de gráficos con la misma información

Sandra, Jaime y Virginia han elaborado cada uno un gráfico distinto con los datos de estatabla. En ella se representa el gasto que ha tenido un transportista durante el primercuatrimestre del año.

Observa los gráficos y averigua si contienen algún dato erróneo. ¿Quién ha repre-sentado correctamente todos los datos de la tabla de frecuencias?

1

1 000 € 1 250 € 2 000 € 1 750 €Enero Febrero Marzo Abril

enero0

500

1000

1500

2000

febrero marzo abril0

500

1000

1500

2000


enero

febrero

marzo

abril

Sandra Jaime Virginia

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72

Si quieres conocerun viaje de aventuras a

Guinea Ecuatorial, lee Un amigo en la selva, de

Alfredo Gómez Cerdá.¡Seguro que te encantará!

1. Si has comprado tres libros de 12 €, 15 € y 18 €, ¿cuánto te han cos-tado de media?

2. La media de dos cantidades es 25 €. Si una de las cantidades es 30 €,¿cuál será la otra?

3. ¿Qué nos indica la frecuencia de un dato en una tabla?

4. En una tabla de frecuencias, ¿qué valor representa la moda?

5. Si la nota media de tres puntuaciones es ocho, ¿puede haber algunapuntuación mayor que ocho?

6. En un gráfico de barras simple vertical, ¿las barras tienen la misma an-chura o la misma altura? Razona la respuesta.

7. En los gráficos verticales hay dos ejes, en uno indicamos los distintos ti-pos de datos y en el otro, ¿la frecuencia de cada dato o la media?

8. Nombra al menos tres tipos de gráficos distintos.

9. ¿Cómo se llama el gráfico que se representa con iconos?

10. En un gráfico circular, ¿cómo se representa la frecuencia de los valores?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas multiplicaciones.

a. 80 × 70 c. 23 × 200 e. 87 × 5 000b. 40 × 90 d. 34 × 300 f. 92 × 3 000

Observa la estrategia anterior y explica cómo dividirías un número entreotro formado por una cifra significativa seguida de ceros. Escribe dos ejem-plos y comprueba los resultados con la calculadora.


a. 80 : 40 c. 500 : 50 e. 4 500 : 50b. 90 : 30 d. 360 : 60 f. 2 000 : 400

2

3

1


Observa cómo gira la rueda rojaen cada caso. ¿En qué sentidogirará la rueda azul?

4

1

1

4

2

3

3

2

Para multiplicar un número por otro formado por una cifrasignificativa seguida de ceros, multiplicamos el número por la cifra significativa y al producto le añadimos los ceros delsegundo factor.

70 × 50 = 3 500 12 × 300 = 3 600 25 × 4 000 = 100 000

Sudo

ku

A

B

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73

Uso las TIC

Abre una hoja nueva de Excel y escribe en la celdaA1, Transporte, y en la B1, N.º de alumnos. Después,introduce los tipos de transporte en la columna A yla cantidad de alumnos en la columna B, tal comoaparece en esta pantalla.

Partimos de una tabla de valores que contenga losdistintos tipos de datos y sus frecuencias. Por ejem-plo, esta indica el número de alumnos que van alcolegio en autobús, en coche y andando.

Para construir el gráfico utilizamos el asistente paragráficos y seguimos los cuatro pasos que indi-camos a continuación.

Podemos construir un gráfico de barras de manera muysencilla utilizando una hoja de cálculo de Excel y siguiendocuatro pasos.

1

1 Representa en un gráfico de barras los datos de esta tabla. 2 Construye un gráfico con las notas de Laura en estas tresasignaturas. Coloca las notas en el eje vertical y los nom-bres de las asignaturas en el horizontal.

Actividades

Introducimos la tabla de datos

Construcción de un gráfico con Excel

Transporte N.º de alumnosautobús 180coche 50

andando 70

1. Elegimos el tipo de gráfico, Columnas, y el sub-tipo de gráfico, Columna agrupada. Y pulsamosSiguiente.

2. Seleccionamos con el ratón las celdas que con-tienen los datos de la tabla, pinchamos en lacelda A1 y arrastramos hasta la B4 sin soltar ymarcamos el apartado Columnas. Después, en-tramos en la pestaña Serie y, dentro del apartadoRótulos del eje de categorías (X), seleccionamosen la tabla desde la celda A2 hasta la A4. Y pulsa-mos Siguiente.

3. Rellenamos la pestaña de Títulos, como apareceen la figura.

En la pestaña Leyenda, desactivamos la opciónMostrar leyenda y pulsamos Siguiente.

4. Marcamos la opción de colocar en gráfico comoobjeto en: hoja 1 y pulsamos Finalizar.

2 Representamos gráficamente

Óscar 32

Luciana 30

Domingo 36

Nombre Edad

Inglés Lengua Plástica10 9 7

Asignatura

Nota

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:01 Página 73

74

Aclaro mis ideas

Información en tablas

Tabla de recuento y de frecuencias Moda y media

moda = dato que más se repite

media aritmética = suma de todos los datosnúmero de datos

Información en gráficos

Gráfico de puntos Gráfico poligonal

Pictograma Gráfico de sectores

Gráfico de barras simple Gráfico de barras doble

Deportes Recuento Frecuencia

natación IIII IIII II 12

tenis IIII III 8

vela IIII IIII III 13

0L M X J V

5

10

15

20

25

30

0L M X J V

5

10

15

20

25

30

= 24 unidades


1

0

2

3

4

5

6

7

8

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:01 Página 74



• La ..... de un dato es el número de veces que se repite.• El dato que tiene mayor frecuencia representa la ..... .• La media aritmética de varios datos se calcula ..... la

suma de todos ellos entre el ..... de ..... .• En un gráfico de barras, la altura de cada barra repre-

senta la ..... de ese dato.• En un ..... representamos de forma gráfica distintas can-

tidades por medio de iconos. Cada ..... puede represen-tar más de una ..... .

• En un gráfico de sectores, la frecuencia de cada valorestá representada por la ..... del sector ......

Estos son los colores que han sugerido los miembros deun equipo de baloncesto para la elección del color de sucamiseta.

rojo, rojo, rojo, verde, verde, azul, amarillo, lila, lila, lila, lila,rojo, verde, verde, rojo, rojo, azul, azul, azul, amarillo, ama-rillo, azul, lila, lila, lila.a. Elabora una tabla de recuento y frecuencia de datos con

el color de camiseta elegido por cada jugador.b. ¿Qué color representa la moda?c. Si dos jugadores no han propuesto ningún color, ¿cuán-

tos jugadores hay en el equipo?

El gasto por mantener y cuidar los jardines de una ciu-dad es de 350 € mensuales, excepto en junio, quecuesta 610 €, y en diciembre, 450 €. Representa estainformación en un gráfico de puntos y calcula cuál es lamedia de gasto al mes.

Una profesora ha preguntado a sus alumnos cuántasmascotas tienen en su casa. Las contestaciones estánrecogidas en este gráfico.

a. Si solo cuatro de los alumnostienen dos mascotas en casa,¿cuántos tienen solo una? ¿Yninguna?

b. ¿Cuántos alumnos han contes-tado a la pregunta de la profe-sora?

4

3

2

1 Este gráfico representa el número de autobuses que seencuentran de servicio durante las fiestas de un pueblo.

a. ¿Qué día había más autobuses de servicio de noche?b. ¿Cuántos autobuses funcionan durante el día como me-

dia en estos días?Irene, Román y Pedro han elaborado un pictogramapara anotar los cromos que tiene cada uno.

a. ¿Cuántos cromos tiene cada amigo?b. ¿Cuántos tienen entre los tres?

Calcula mentalmente las siguientes operaciones.

a. 8 × 60 d. 600 : 300b. 90 × 700 e. 1 400 : 70c. 45 × 3 000 f. 64 000 : 800

7

6

5

La altura media de dos amigas es de 140 cm. Si una de ellas mide 150 cm, ¿cuánto medirá laotra? ¿Solo hay una solución? ¿Por qué?

8

75

060_079_15102_U4.qxd 8/9/09 18:01 Página 75

76

Recuerdo lo que sé


a. 227 431 c. 10 023 403 e. 6 542 712b. 909 090 d. 3 268 546 f. 12 300 807

Expresa con cifras romanas los siguientes números.

Escribe el valor de la cifra 2 en cada uno de estos nú-meros.

a. 345 127 c. 51 203 482b. 2 172 305 d. 326 976 204


a. 623 285 6 501 033 c. 96 752 967 520b. 846 362 846 361 d. 378 678 378 678

Realiza las operaciones aproximando primero las can-tidades a los millares.

A + B B + C B – C C – A

Calcula de dos formas diferentes.

a. 23 456 + 101 886b. 87 210 + 208 541 + 25 143c. 6 718 036 + 258 + 514 970

Corrige las operaciones que no estén bien hechas. 7

6

5

4

3

2

1 En una ciudad de 234 526 habitantes, 98 438 son mu-jeres. ¿Cuántos hombres hay en la ciudad? Compruebael resultado.

Calcula de dos formas distintas estas multiplicaciones.

Coloca paréntesis donde corresponda según el resul-tado.

a. 35 × 26 – 15 = 895b. 35 × 26 – 15 = 385c. 240 + 18 × 46 = 11 868d. 240 + 18 × 46 = 1 068

Realiza estas divisiones y rodea las que sean exactas.Después, comprueba si están bien hechas.

a. 6 780 : 5 b. 23 456 : 65 c. 88 234 : 52

Paula tiene 250 fotos y las distribuye en álbumes de 25fotos, mientras que Rubén tiene 750 fotos y las distri-buye en álbumes de 75 fotos. ¿Cuántos álbumes nece-sita cada uno? ¿Qué ocurre con los resultados? Razonatu respuesta.

Encuentra el término que falta y completa en tu cua-derno.

a. 2 478 × 100 = …..

b. 16 498 × ….. = 1 649 800c. ….. × 10 = 4 560d. 7 890 × ….. = 78 900

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a. 548 : 10 d. 3 530 : 1 000b. 2 895 : 100 e. 36 548 : 100c. 26 919 : 10 f. 19 233 : 1 000

Halla el resultado de estas operaciones combinadas.15

14

13

12

11

10

9

8

453 × 324 298 × 125 2 239 × 546

207 × 412 354 × 620 1 527 × 382

520 : 5 + 192 + 1 720 × 10 – 158

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¿Qué fracción representa la parte coloreada en cadacaso? ¿Y la parte no coloreada?

a. b. c.

Lee y escribe con letra estas expresiones.

a. y 14.º b. y 12.º c. y 11.º

Agrupa estas fracciones en propias, impropias y apa-rentes.

a. b. c. d. e.

Compara estos pares de fracciones utilizando los sig-nos <, = o > en tu cuaderno.

Dibuja sobre segmentos de 8 cm estas fracciones.

¿Qué pares de fracciones son equivalentes?

a. y b. y c. y d. y

¿Qué figuras representan fracciones equivalentes?

a. b. c.

Pedro tiene ahora de la edad de su madre, que

cumplirá 41 años dentro de un mes. ¿Cuántos años

tiene Pedro?

23 25

5315

5350

65

68

123

96

512

1021

57

48

23

22

59

44

83

43

68

34

21

88

18

38

58

20

1111

2111

75

45

19

35

18

711

314

17

16

Irene > IIII Mario > III

Pedro > IIII II Paula > IIII

Esperanza > IIII IIII I

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000


77

Calcula estas operaciones con fracciones.

a. + c. –

b. + + d. – –

En la pizarra de una clase se ha marcado el número devotos que ha obtenido cada uno de los cinco candida-tos a delegado.

Construye la tabla de frecuencias y un gráfico de barrasque represente estos datos.

Este gráfico poligonal representa el número de lectoresque ha comprado la revista Mes a Mes en el primercuatrimestre del año.

• Construye la tabla de frecuencias.• ¿En qué mes se han comprado más revistas? ¿Qué

cantidad ha sido?• ¿Cuántos lectores tuvo en total la revista durante el

cuatrimestre?• En este cuatrimestre, ¿qué media de lectores al mes

han comprado la revista?• ¿Qué puedes decir sobre las ventas o los lectores de la

revista observando el gráfico?

24

518

818

3540

2640

26

25

29

39

89

427

1227

927

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78


Una sesión de magia¿Crees que puede haber magia en las matemáticas?

Si sigues estos pasos con ayuda de tus compañeros y tu profesor descu-briréis curiosidades relacionadas con las matemáticas y podréis hacer unasesión de magia.

1. InvestigarLo primero que debes hacer antes de preparar cada una de las actuacionesde la sesión es investigar sobre los tipos de curiosidades matemáticas quela formarán. En este caso, lo haréis en grupos de cuatro y cada uno haráuna de estas tareas.


Buscar trucos de números sinla calculadora.

Buscar juegos para realizarcon la calculadora.

Buscar trucos con las cartasde una baraja.

Buscar trucos visuales configuras.

• Para empezar, recopila todo el ma-terial que encuentres en la biblio-teca, Internet o que te facilite tuprofesor sobre el tema que te ha to-cado investigar y léelo con aten-ción.

• Luego, reúnete con los compañe-ros de los otros grupos que ten-gan la misma tarea que tú yponed en común todos los trucoso curiosidades que habéis recopi-lado. Comentad e intercambiadesta información para aclarar lasposibles dudas. ¡Ayudaos y escu-chaos para convertiros en magosexpertos!

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2. Crear• Es el momento de preparar la sesión de magia. Vuelve

con tu grupo y explica a tus compañeros los trucos quehabéis seleccionado los expertos de tu tarea; es tu res-ponsabilidad explicarles todo de manera clara y sencilla.Cuando hayas terminado, el resto de tus compañeros deequipo expondrá los trucos de su tarea mientras los de-más lo escucháis con atención y hacéis preguntas sobrelo que no entendéis.

• Decidid las secciones que van a aparecer en la sesión demagia y si se harán en directo o en vídeo.

• Entre toda la información que habéis recogido, elegidlos trucos que os parezcan más adecuados para cadauna de las secciones.

3. Realizar• Decidid el orden en el que se van a presentar las sec-

ciones.

• Controlad el tiempo que durará cada parte del espec-táculo, incluyendo la presentación. Es importante quelos trucos no sean demasiado largos para no aburrir alpúblico.

• Elegid la música o los efectos que acompañarán a cadatruco, así como la decoración del escenario.

• Buscad un lugar adecuado para la puesta en escena.

• Pensad en el vestuario apropiado para cada uno de losmiembros del equipo.

• Ensayad cada número hasta poder presentarlo delantede la clase o grabarlo.

¡Felicidades! Habéis organizado vuestra particular sesión de magia matemática.¡Sorprended a vuestros compañeros con estos trucos!

79

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80

5

No se sabe mucho sobre los prime-ros años de la vida de Al-Khwa-

rizmi, tan solo que nació en unaciudad persa y que unos años más

tarde se trasladó con sus padres cercade Bagdad. Su talento era tan sobresaliente que

llamó la atención del califa, que le dio trabajo en subiblioteca. Allí pudo estudiar en un ambiente multi-

cultural y conoció las obras más importantes que sehabían escrito sobre las matemáticas y otras ciencias.

En aquella época, el sistema de numeración decimal se usaba sola-mente en India, ya que fue en este país donde se inventó. Al-Khwa-rizmi estudió este sistema y la manera de hacer cálculos con él. Loperfeccionó con sus propias aportaciones e ideó la forma de usar el cerocomo una cifra. Gracias a su obra, que lo explica de forma sencilla, este sistema fueadoptado por todo el mundo árabe.

Posteriormente, sus obras fueron traducidas al latín y llegaron a Europa, que aban-donó el sistema de numeración romano y adoptó el sistema de numeración deci-mal. Hoy en día se usa prácticamente en todo el mundo y, debido a que llegó aEuropa a través de los árabes y las obras de Al-Khwarizmi, es conocido tambiéncomo sistema de numeración arábigo.

Además de estudiar matemáticas, Al-Khwarizmi escribió libros sobre astronomía ygeografía, en los que recopilaba los estudios y descubrimientos de los griegos e hin-dúes. Su mayor aportación consiste en haber estudiado y traducido las obras másantiguas, procedentes de culturas distintas a la suya, y haberlas dado a conocer.

multicultural: que agrupaculturas distintas.

aportación: mejora,perfeccionamiento.

recopilar: reunir variasobras o cosas que yaexisten y que tienen algoen común.

hindú: que viene de laIndia.

Al-Khwarizmi

nació en Persia en el

año 780. Dio a conocer el

sistema de numeración

decimal que se usa

actualmente en todo

el mundo.

Los números decimales

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81

Después de conocer

la historia del sistema

numérico decimal,

en la unidad

estudiarás los

números decimales.

En grupoImaginad un sistema denumeración distinto al romano y al decimal. ¿Qué característicastendría que tener para que fueraadoptado por todo el mundo?

Escribid las respuestas en grupo y comparadlas con el resto de la clase.

Sobre el texto1. ¿Qué relación tiene Al-Khwarizmi con

el sistema de numeración decimal?

2. ¿A qué idioma fueron traducidas sus obras?

3. ¿Por qué el sistema decimalreemplazó al sistema romano?

La transmisión del conocimientoCuando en un país se realizan descubrimientos oavances importantes que pueden ser útiles y apli-carse en el resto del mundo, resulta muy conve-niente que lleguen a conocerse en todas partes.

Hoy en día los descubrimientos llegan rápida-mente a cualquier lugar, gracias a los medios decomunicación modernos y al conocimiento deidiomas. Sin embargo, en el pasado la transmi-sión del conocimiento era mucho más difícil y eltrabajo de las personas como Al-Khwarizmi quetraducían y explicaban las obras que se hacían enotros países fue fundamental para que las socie-dades avanzaran.

Actividades1. ¿Cómo crees que se transmite el conocimiento

hoy en día? ¿Es fácil la comunicación entrepersonas de distintos países?

2. ¿Crees que es importante conocer idiomasdistintos al tuyo?

3. Imagina que la clase es el mundo y cada unode vosotros, un país. ¿Crees que podríascolaborar en trasmitir tus conocimientos aotros compañeros?

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Observa estas figuras; en ellas están representadas una décima, una centé-sima y una milésima.

Las décimas, las centésimas y las milésimas pueden expresarse como fraccióno como expresión decimal.

Además, cada unidad decimal contiene diez unidades del orden inmediatoinferior.

Si dividimos una unidad en diez partes, cada una de ellas es una décima,como cada columna roja. Si la dividimos en cien partes, cada una de ellas esuna centésima, como cada casilla azul. Y si la dividimos en mil partes, cadauna de ellas es una milésima, como cada cubito verde.

82

La décima, la centésimay la milésima

Las décimas, centésimas y milésimasocupan el primer, segundo y tercerlugar después de la coma.

0,1 0,01 0,001

recuerda

La décima, la centésima y la milésima son menores que la unidad.

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1 000 milésimas

1 décima =

Su símbolo es d.

= 0,11

101 centésima =

Su símbolo es c.

= 0,011

1001 milésima =

Su símbolo es m.

= 0,0011

1 000

1 U 1 d 1 c10 d 10 c 10 m

Escribe con letra estas cantidades.

a. 0,05 b. 0,7 c. 0,009

Completa en tu cuaderno.

a. 5 U = ..... c b. 3 d = ..... c c. 2 U = ..... m d. 5 c = ..... m

¿Cuántas milésimas hay en cada caso?

a. 0,067 b. 0,435 c. 0,056 d. 1,345

Descompón como en el ejemplo.

a. 5 073 milésimas b. 9 874 milésimas c. 879 milésimas

2

3

4

5

Observa y contesta escribiendo elnúmero con cifras.

a. ¿Cuántas décimas hay de coloramarillo? ¿Y rosa?

b. ¿Cuántas centésimas hay de co-lor azul? ¿Y rojo?

1

actividades

0,035 treinta y cinco milésimas

3 456 milésimas = 3 U 456 m = 3,456

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El número 14,875 es un número decimal. Los números decimales tienen unaparte entera y otra parte decimal.

La parte entera está a la izquierda de la coma y representa las unidades com-pletas. La parte decimal está a la derecha de la coma y está formada por dé-cimas, centésimas, milésimas...

Como en los números naturales, en los números decimales cada cifra representaun orden de unidades y su valor depende del lugar que ocupa en el número.

14,875 > 1 decena, 4 unidades, 8 décimas, 7 centésimas y 5 milésimas

> 1 D 4 U 8 d 7 c 5 m

Recuerda que, cuando no hay unidades de un orden, escribimos un 0.

3 U 5 c > 3,05

83

Los números decimales y el valor posicional

D U d c m

1 4, 8 7 5

Parte Parte decimalentera

Los números decimales están formados por una parte entera y otradecimal separadas por una coma.

Observa el ejemplo y escribe estos números como expresión decimal.

a. 0 U 4 d 5 c 7 m d. 2 D 8 U 9 m

b. 12 U 4 c 6 m e. 9 U 4 c

c. 0 U 6 d 2 m f. 3 D 5 c

Descompón cada número decimal como en el ejemplo.

a. 0,405 c. 36,087 e. 12,09

b. 1,35 d. 2,450 f. 8,945

Indica el orden de unidades de cada una de las cifras del número 3,927. Siordenamos esas cifras de menor a mayor y del número resultante separa-mos dos decimales, ¿qué número obtendremos? ¿Qué clase de unidades re-presenta cada una de las cifras ahora?

3

4

5

¿Qué clase de unidades repre-senta cada cifra? Fíjate en elejemplo.

a. 3,546 d. 12,765

b. 0,23 e. 4,649

c. 0,578 f. 27,043

Copia esta tabla en tu cuadernoy coloca en ella estos números.

3,45 17,9 3,567

2,7 0,789 3,25

1

2

actividades

4,56 4 > 4 U 5 > 5 d 6 > 6 c

D U d c m


3 U 4 d 5 c > 3,45

4,567 > 4 U 5 d 6 c 7 m = 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007

14,875 kg

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Para escribir un número decimal, primero escribimos la parte entera seguidade una coma y, después, la parte decimal.

Para leer un número decimal, podemos hacerlo de varias formas.

• Nombramos primero la parte entera seguida de la palabra coma o con y,después, la parte decimal seguida de la palabra unidades.

• O bien indicamos el orden de unidades, nombrando primero la parte en-tera seguida de la palabra unidades y, después, la parte decimal indicandosi son décimas, centésimas, milésimas...

84

Lectura y escritura de números decimales

D U d c m

1 6, 2 5


0,04 se lee:

> cuatro centésimas

> cero coma cero cuatro unidades

> cero unidades cuatro centé simas

Observa

Podemos leer un número decimal de varias formas distintas.

Relaciona en tu cuaderno cada número decimal con su lectura.

3,245 tres unidades doscientas cuarenta y cinco milé simas

0,87 ochenta y siete milésimas

0,087 treinta y dos coma cuarenta y cinco unidades

32,45 cero con ochenta y siete unidades

Escribe estas cantidades en unidades como en el ejemplo.

a. 25 décimas d. 15 milésimas g. 254 centésimas

b. 15 centésimas e. 150 milésimas h. 8 centésimas

c. 46 décimas f. 13 décimas i. 20 centésimas

Maite tiene un número escrito en una tarjeta. Sabe que tiene cuatro unida-des, cinco milésimas y dos décimas y que la cifra de las unidades y de las cen-tésimas es la misma y, además, es el doble que la de las décimas. ¿Quénúmero tiene Maite?

4

5

6

Copia el número que expresa tresunidades quince centésimas. Des-pués, escribe con letra los otrosnúmeros.

a. 3,015 c. 0,315

b. 31,5 d. 3,15


a. Trece unidades veinticinco cen-tésimas

b. Dos coma quince unidades

c. Veinte con ocho unidades

Lee estos números en voz alta yescríbelos de tres formas distintas.

a. 25,6 d. 2,087

b. 3,87 e. 3,109

c. 51,09 f. 62,708

1

2

3

actividades

> 16 coma 25 unidades

16,25 > 16 con 25 unidades

> 16 unidades 25 centésimas

15 décimas = 1,5 unidades

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Cuando los números decimales son precios o cantidades de medida, al leer-los expresamos la clase de unidades que corresponden en cada caso.

Podemos hacerlo de varias formas. Por ejemplo, el precio de la lámpara sepuede leer así.

Observa otros ejemplos con litros, metros y kilogramos.

Recuerda que el número que está a la izquierda de la coma representa las uni-dades en que viene expresada una cantidad.

15,75 € > 15 euros 75 céntimos 14,78 m > 14 metros 78 centímetros

3,54 l > 3 litros 54 centilitros 7,125 kg > 7 kilogramos 125 gramos

Lectura y escritura de cantidades decimales

> 15 coma 75 euros

15,75 € > 15 con 75 euros

> 15 euros 75 céntimos

3 coma 54 litros

3 con 54 litros

3 litros 54 centilitros

14 coma 78 metros

14 con 78 metros

14 metros 78 centímetros

7 coma 125 kilogramos

7 con 125 kilogramos

7 kilogramos 125 gramos

Expresa en forma decimal estas cantidades.

a. 2 con 25 metros d. 12 metros 54 milímetros

b. 7 coma 87 metros e. 26 kilogramos 725 gramos

c. 12 litros 435 mililitros f. 109 euros 63 céntimos

Observa el ejemplo y escribe en forma decimal en tu cuaderno.

a. 35 centímetros = ..... metros d. 125 mililitros = ..... litros

b. 230 céntimos de euro = ..... euros e. 475 centímetros = ..... metros

c. 500 gramos = ..... kilogramos f. 2035 gramos = ..... kilogramos

Noelia ha saltado tres metros y cincuenta y tres centímetros, Miguel ha sal-tado tres con sesenta y dos metros y su amiga Ángela, tres coma treinta y seismetros. Expresa estas cantidades con un número decimal.

3

4

5

Adela ha consumido cero litrosveinticinco centilitros de colonia.

a. Señala la cantidad que expresael consumo de colonia.

25 l 0,25 l 0,025 l 2,5 l

b. Lee las cantidades anteriores y escríbelas con letra.

Copia en tu cuaderno estas canti-dades y escribe cómo se leen detres formas distintas.

a. 6,45 l d. 15,75 €

b. 0,750 kg e. 7,036 l

c. 12,25 m f. 1,354 km

1

2

actividades

85

3,54 l 14,78 m 7,125 kg

25 centímetros = 0,25 metros

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Juan ha comprado una bombilla de bajo consumo, para ahorrar energía, yun cable de 12,078 m de largo.

Podemos expresar el precio de la bombilla y la longitud del cable en forma defracción.

• Para expresar un número decimal en forma de fracción, escribimos comonumerador el número sin la coma y como denominador, la unidad seguidade tantos ceros como decimales tiene el número.

Podemos hacer lo contrario y convertir fracciones decimales en númerosdecimales.

• Para convertir una fracción decimal en un número decimal, escribimos elnumerador y separamos con la coma, empezando por la derecha, tantas ci-fras como ceros tiene el denominador. Si no hay cifras suficientes, se com-pleta con ceros.

86

Los números decimales y las fracciones

Convierte en número decimal estas fracciones y escribe cómo se leen dichosnúmeros.

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

En la clase de gimnasia, Ángel ha lanzado el balón a 7,25 m de distancia yAdela, 39 cm más lejos que él. Expresa en forma de fracción la distancia alcanzada por cada uno.

Mateo ha comprado tres coma doscientos setenta y cinco kilogramos de ja-món. Sus hijos escriben esta cantidad, uno en forma decimal y el otro enforma de fracción. ¿Quién lo ha escrito correctamente? Corrige el error.

125100

871000

25100

8100

310

546100

5461000

2310

14100

3

4

5

Expresa como fracción los siguien-tes números decimales.

a. 1,6 e. 0,125

b. 25,9 f. 0,096

c. 0,75 g. 3,540

d. 2,86 h. 78,087

Escribe en forma decimal y comofracción estas cantidades.

a. Cero coma ciento veinticinco

b. Quince unidades treinta y dosmilésimas

c. Nueve unidades ciento treinta ycinco milésimas

d. Dos unidades cincuenta y ochocentésimas

1

2

actividades

Una fracción decimal tiene comodenominador la unidad seguida deceros.

recuerda

6,75 € = €675100

12,078 m = m12 0781 000

= 5,35310

= 0,8686

100= 4,095

4 0951 000

Los números decimales pueden expresarse como fracciones y viceversa.

0,3 = 310

0,05 = 5100

siete coma = 7,12 =doce unidades

Carlos > 3,275 kg Job > kg3275100

712100

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Marina ha representado el número 1,8 en la recta numérica.

Para situar un número decimal en la recta, seguimos estos pasos:

• Primero trazamos una línea y situamos en ella la cifra de las unidades da-das y la siguiente, en este caso el 1 y el 2. Este segmento representará unaunidad.

• Después, lo dividimos en 10 partes iguales. Cada una de estas partes repre-sentará una décima.

Representación en la rectanumérica

¿A qué número decimal corresponde cada letra?

Representa estos números en una recta numérica.

Alfonso quiere colocar una bombilla cada 1,18 m enuno de sus pasillos.

a. Representa en una recta numérica el lugar que ocupanlas cuatro primeras bombillas.

b. ¿Cuántas bombillas podrá colocar en una longitud deocho metros? Ayúdate de una recta numérica.

3

4

5

Copia en tu cuaderno estos intervalos de la recta nu-mérica y completa la serie de las décimas.

Ordena estos números de menor a mayor.

a. ¿Qué cifra tiene cada uno en el lugar de las unidades?¿Entre qué unidades están comprendidos?

b. Dibuja una recta y sitúa en ella los números anteriores.

1

2

actividades

• Si el número que queremos representar tiene centésimas, dividimos en 10partes iguales la décima de la recta en la que se encuentra dicho número.Cada una de estas partes representará una centésima.

Por ejemplo, el número 1,85 está comprendido entre los números 1,8 y 1,9 y tiene 5 centésimas.

• Para situar el número, contamos las décimas que tiene y lo situamos en esepunto. En el caso del número 1,8 son 8 décimas.

1 2

1 21,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

1,80 1,901,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89

1 21,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

De dos números decimales represen-tados en la recta, es mayor el queestá más a la derecha.

Observa

6,78 6,7 6,73 6,81 6,79

1,6 1,3 1,7 2,5 2,9

87

0 0,1 0,2 1

5 5,1 5,2 6

a

5 5,40 5,60 6

b c d

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Completa en tu cuaderno las siguientes relaciones. Observa que en algún caso hay más de una solución.

a. 4,85 < 4, 5 c. 0,4 8 < 0,4 8

b. ,234 > ,278 d. 5,357 < 5,35

Tres senderistas han caminado 5,876 km, 5,678 km y6,089 km, respectivamente. Ordena estos recorridos demenor a mayor longitud.

Escribe tres números mayores que 8,25 que tengan laparte entera igual a la cifra de sus centésimas.

Álvaro bebe 1,257 l de agua al día, Adela bebe 1,287 ly su amigo Julián, litro y medio aproximadamente.¿Quién es el que más bebe? ¿Y el que menos bebe? Or-dena de menor a mayor las cantidades.

4

5

6

7

Utiliza los signos <, = y > para comparar estos pares denúmeros decimales.

a. 4,65 y 4,78 c. 0,56 y 0,489

b. 34,23 y 32,78 d. 1,25 y 0,546

Ordena de menor a mayor estos números.

3,456 3,098 2,970

3,129 4,100 3,650

3,465 4,001 2,907

Escribe tres números que cumplan esta expresión.

4,765 < 4, 69

1

2

3

actividades

Una familia ha pesado su equipaje antes de salir de vacaciones. Tienen dosmaletas y dos mochilas y quieren saber cuál es la más pesada de cada clase.

Si la familia quiere, además, guardar en el coche los cuatro bultos ordenadosde menor a mayor, ¿en qué orden los guardará?

• Para saberlo, debemos comparar y ordenar las cuatro cantidades.

22,176 < 22,178 < 24,324 < 25,128

Luego guardarán primero la mochila verde, luego la naranja, después la ma-leta roja y, por último, la azul.

• Para averiguarlo, debemos comparar la masa de las maletas y, luego, la delas mochilas.

88

Comparación y ordenaciónde números decimales

25,128 kg 22,176 kg 22,178 kg24,324 kg

La parte entera de 25,128 es mayorque la de 24,324.

25,128 > 24,324

La maleta más pesada es la azul.

Como tienen la misma parte entera,comparamos la parte decimal.

22,176 < 22,178

Como 176 < 178, la mochila que pesamás es la naranja.

25,128 y 24,324 22,176 y 22,178

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En un concurso de saltos, Amanda ha saltado 1,74 m y Sandra, 1,28 m.

Amanda redondea la longitud de su salto a las unidades y dice que ha saltadounos 2 m. Sandra hace lo mismo y afirma que ha saltado aproximadamente 1 m.

Podemos redondear los números 1,74 y 1,28 a las unidades utilizando la rectanumérica o fijándonos en sus cifras.

• Si los situamos en la recta, vemos que 1,74 está más próximo a 2 que a 1,y que 1,28 está más cerca de 1 que de 2.

Para redondear esos mismos números a las décimas, vemos que 1,74 estámás próximo a 1,7 que a 1,8, y que 1,28 está más cerca de 1,30 que de 1,20.

• Si nos fijamos en el número formado por sus cifras decimales, para re-dondear un número decimal a las unidades, si la parte decimal es menorque 5, 50 o 500, dejamos las mismas unidades, y si es mayor, aumentamosen 1 las unidades.

1,3 > 1 1,9 > 2 1,74 > 2 1,289 > 1

Y para redondearlo a las décimas, si la parte decimal sin las décimas es menorque 5 o 50, dejamos las mismas décimas, y si es mayor, aumentamos en 1las décimas.

1,74 > 1,7 1,50 > 1,5 1,289 > 1,3 1,743 > 1,7

Redondeo de númerosdecimales

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2Si la parte decimal de un número es5, 50 o 500, podemos redondearlo alas unidades por abajo o por arriba.Ambas opciones son correctas.

1,5 > 1 o 2

1,50 > 1 o 2

1,500 > 1 o 2

Observa

1

1,5

2

1,28 > Se redondea a 1.

1,28 m

1,74 m

1,74 > Se redondea a 2.

1,28 > Se redondea a 1,3. 1,74 > Se redondea a 1,7.

Redondea primero a las décimas y luego a las unidades como en el ejemplo.

a. 4,657 c. 3,897 e. 2,471

b. 2,098 d. 3,567 f. 8,500

En el comedor de un colegio han hecho sopa para comer. La olla contieneveinte litros y cincuenta y nueve centilitros de sopa y pesa veintiocho comasetecientos ochenta y cinco kilogramos.

a. Expresa la capacidad de la olla en forma decimal y aproxímala a las décimas.

b. Escribe su peso como un número decimal. ¿Cuántos kilogramos pesa apro-ximadamente?

3

4

Redondea estos números decima-les a la unidad.

a. 5,2 d. 0,575

b. 6,15 e. 3,432

c. 43,78 f. 68,50

Aproxima estos números a las dé-cimas.

a. 5,36 d. 7,342

b. 34,57 e. 0,493

c. 91,50 f. 0,512

1

2

actividades

3,578 > 3,6 > 4

89

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90

Resuelvo problemas

Inventar un enunciado a partir de una pregunta y su soluciónSi conocemos la pregunta y la solución de un problema,podemos inventar un posible enunciado, pero sin olvi-dar que este enunciado debe responder a la pregunta quese plantea y a la solución dada.

Observa esta pregunta y su respuesta:


Inventa un enunciado para esta pregunta y su res-puesta. Resuelve el problema y comprueba que las so-luciones coinciden.

• Pregunta: ¿Qué distancia ha saltado el deportista en-tre los tres saltos?

• Solución: El deportista ha saltado 5,63 metros.

Escribe un enunciado posible y comprueba la solución.

• Pregunta: Sabiendo lo que ya ha descargado el camióncisterna en dos ocasiones, ¿cuántos litros quedan enel camión ahora?

• Solución: En el camión quedan 17 328 litros.

2

1 Observa la pregunta y la respuesta e inventa un posi-ble problema.

• Pregunta: ¿Cuántos metros ha recorrido el senderista

si ha caminado de la distancia total?

• Solución: El senderista ha recorrido 3 250 metros.

Redacta un enunciado posible y comprueba la solu-ción.

• Pregunta: ¿Qué avión lleva más carga? ¿Cuál es la di-ferencia?

• Solución: El avión gris lleva 875,8 kg más que elblanco.

4

15

3

¿Cuántos kilómetros recorre el tren de mercancías durante la semana?El tren recorre semanalmente 5 750 km.

Puede haber más de un enunciado posible para una mismapregunta y su solución.

Observa

Un posible enunciado para este problema podría ser elsiguiente.

«Un tren que transporta distintos electrodomésticos re-corre de lunes a viernes 750 km diarios y el fin de se-mana, 2 000 km más.»

Es un posible enunciado porque cumple los siguientesapartados.

• Después de leerlo, la pregunta planteada al inicio tienesentido.

• Los datos necesarios para resolver el problema apare-cen en el enunciado.

750 km diariamente de lunes a viernes y 2000 km el fin de semana.

• Al operar, la solución que se obtiene coincide con lasolución inicial.

750 × 5 + 2 000 = 5 750

El tren recorre 5 750 km semanalmente.

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91

Lógica

Escribe un problema con los datos necesarios para re-solver esta pregunta y que coincida con la solución.

• Pregunta: ¿Cuánto se ha gastado Alfredo?• Solución: Alfredo se ha gastado en total 120 €.

Observa estas preguntas, redacta un enunciado posibley resuélvelas.

a. ¿Qué fracción representa la cantidad de pastel que sehan comido entre Pedro, Irene y Paula?

b. ¿Qué porción de pastel queda después de que los tresse hayan comido su parte?

5

6

Inventa un enunciado para estas preguntas y com-prueba las soluciones.

a. ¿Cuántos litros quedan en la piscina hinchable si se

han sacado ya de su capacidad?

b. ¿Cuántos bidones de 50 l se pueden llenar con de

la capacidad de la piscina?

Escribe un enunciado posible para estas dos preguntasy después, resuélvelas.

a. ¿Cuánto dinero se recaudará con las entradas vendi-das de adultos y de niños en este Fórmula Uno?

b. Ten en cuenta la distancia total y el número de vuel-tas que tiene el circuito. ¿Qué longitud tiene unavuelta al circuito?

25

7

8

Deducciones con números y símbolos

Observa las pistas que se dan y completa el valor delresto de los símbolos.

1

Observa los datos de las dos igualdades y averigua acuántas flores blancas equivale un balón azul y a cuán-tos teléfonos equivale un reloj.

¿A cuántas estrellas es igual un cuadrado? ¿Y un círculo?

2

3

= 5

= 6

= 4

= 9

14

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92

1. Imagina que das un salto de 2,48 m. Redondea esa longitud a las dé-cimas y a las unidades.

2. ¿Qué lugar ocupa la cifra de las centésimas en un número decimal?

3. Calcula las milésimas que hay en dos unidades.

4. ¿En qué lado de la coma está la parte entera de un número con deci-males?

5. Lee en voz alta el número 12,654 de tres formas distintas.

6. ¿Cuántas unidades y décimas hay en 28 décimas?

7. En la cantidad de 12,456 m, ¿qué cifra representa los metros?

8. ¿Con qué fracción puedes representar el número 1,25?

9. Redondea el número 3,58 a las décimas y a las unidades.

10. De los números 12,456 y 12,546, ¿cuál es mayor? ¿Por qué?

Decamat

Cálculo mental

Redondea mentalmente a las decenas.

a. 17,56 c. 876,54 e. 92,28 € g. 32,125 mb. 43,58 d. 675,20 f. 15,25 kg h. 54,076 l

Observa la estrategia anterior y explica cómo aproximarías un número a la centena más próxima. Escribe cuatro ejemplos.

Redondea mentalmente a las centenas.

a. 917,56 c. 475,20 e. 420,82 € g. 651,25 kgb. 243,58 d. 187,306 f. 796,152 m h. 943,76 l

3

2

1


Los pentominós son figurasformadas por cinco cuadrados,unidos por algún lado y detodas las formas posibles. Estos son dos ejemplos, perohay doce diferentes. Dibuja entu cuaderno al menos seis.

0,1 0,2

0,4

0,2

0,2

Sudo

ku

Si quieres aprendersobre el desierto del Sáhara

y la gente que vive en él,lee El volcán del desierto,

de Alfredo Gómez Cerdá.¡Seguro que te

encantará!

Hazlo con los números:0,1; 0,2; 0,3 y 0,4.

Para redondear un número decimal a la decena más próxima,nos fijamos en la cifra de las unidades. Si es mayor o igual que 5, añadimos 1 a las decenas. Si es menor que 5, la decenamás próxima es la dada.

17,832 > 20 51,75 > 50 575,26 > 580

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Repaso

Calcula las siguientes operaciones aplicando la propie-dad asociativa.

a. 24 × 9 × 37 b. 704 × 123 x 87 c. 94 × 203 × 41

Marca las operaciones incorrectas y corrígelas.

a. (8 + 12) × 4 = 80

b. 6 × (127 + 36) = 977

c. (37 – 15) × 11 = 142

d. 525 : 5 – 12 + 360 : 4 = 184

Realiza estas divisiones y comprueba el resultado.

a. 7 658 : 8 b. 12 392 : 64 c. 26 540 : 15

Dibuja y colorea en tu cuaderno las partes que indicacada fracción o escribe la fracción que representa laparte coloreada de la figura.

………………..................

………………..................

Relaciona con flechas en tu cuaderno cada fracción consu lectura.

seis novenos

tres octavos

ocho doceavos

nueve dieciseisavos

5

15

38

4

3

2

1 Paula, Miriam y Quique han comprado una bandeja de

pasteles. Paula se ha comido de su pastel, Miriam

y Quique .

a. ¿Quién ha comido más de un pastel? ¿Y menos?b. ¿Cuántos pasteles han comido entre los tres?

Escribe la fracción que representa cada figura y ordé-nalas de mayor a menor.

Teresa y Joaquín han ido de excursión a un pantano quese encuentra a 80 km de su pueblo. Cuando llevaban

recorridos del camino, el autobús se estropeó y tu-

vieron que terminar el camino a pie. ¿Cuántos kilóme-tros recorrieron en autobús? ¿Y andando?

Observa el pictograma y resuelve.

a. ¿Cuántos pasajeros representa un vagón de tren? ¿Ymedio?

b. ¿Cuántas personas han viajado durante el domingo?¿Y el jueves?

c. ¿Cuántos viajeros cogieron el tren en total de jueves adomingo?

12

6

32

22

9

34

8

7

93

812

38

69

916

a.

a. b. c. d.

b. d.

c.

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Aclaro mis ideas

94

Características de los números decimales

Están formados por

Parte entera: está a la izquierda de la coma y re-presenta las unidades completas.

Parte decimal: está a la derecha de la coma y estáformada por décimas, centésimas, milésimas...

Se leen

> 16 coma 25 unidades

16,25 > 16 con 25 unidades

> 16 unidades 25 centésimas

> 15 coma 75 euros

15,75 € > 15 con 75 euros

> 15 euros 75 céntimos

Décima

Su símbolo es d.

Centésima

Su símbolo es c.

Milésima

Su símbolo es m.

1 décima = = 0,1110

1 centésima = = 0,011100

1 milésima = = 0,00111 000

D U d c m

1 4, 8 7 5


Se expresan

Los números decimales pueden expresarse comofracciones y viceversa.

Se representan

= 5,35310

= 0,8686100

= 4,0954 0951 000

Comparación Redondeo

4,45 > 3,17

El primero tiene mayor la parte entera.

5,76 > 5,43

Tienen la misma parte entera y el primero tienemayor la parte decimal.

2,37 > redondeo a las unidades > 22,37 > redondeo a las décimas > 2,4

2 32,1 2,2 2,3 2,4 2,82,6 2,72,5 2,9

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

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• Los números decimales tienen parte ..... y parte ..... se-paradas por una ..... .

• Los números decimales pueden expresarse como ..... yviceversa.

• De dos números decimales representados en la ....., esmayor el que está más a la ......

• Para redondear un número decimal podemos fijarnosen sus ..... o en su ..... en la recta numérica.

Escribe con letra cuántas décimas, centésimas o milési-mas representan estos números. Después, exprésaloscomo una fracción.

a. 0,006 e. 0,036b. 0,8 f. 0,803c. 0,03 g. 0,306d. 0,83 h. 0,08

Con las siguientes cifras forma el número decimal máspequeño y el más grande.

Escribe cómo se leen estos números decimales de tresformas distintas.

a. 0,25 e. 2,324 kgb. 3,027 f. 6,98 €c. 5,003 g. 5,13 ld. 7,02 h. 9,47 m

Escribe en forma de número decimal y de fracción.

a. Nueve unidades dieciocho centésimasb. Cuatro unidades setenta y siete milésimasc. Veinticinco milésimasd. Una unidad tres décimas

Anota como fracción y como número decimal lo que re-presenta cada figura.

6

5

4

3

2

1 Representa cada número decimal en una recta numé-rica.

a. 0,10 c. 3,8 e. 2,60b. 3,2 d. 1,4 f. 8,32

Completa en tu cuaderno para que se cumpla la com-paración. ¿En qué casos hay más de una solución?

a. 12,37 > 12,..... c. .....,..... = 0,26 e. 5,628 < 5,62.....

b. 8,..... < 8,72 d. 37,02 < .....,02 f. 8,372 > 8,3.....2

Observa la cifra de las milésimas y redondea estos nú-meros a las centésimas.

Calcula mentalmente el redondeo a las decenas y cen-tenas de estas cantidades.

a. 179 e. 225,8 kgb. 913 f. 834,13 €c. 543,26 g. 432,88 ld. 4 676,9 h. 8 096,12 m

10

9

8

7

Esta es la distancia que ha recorrido cada sen-derista.

a. ¿Cómo podrías ordenar las distancias de mayora menor?

b. Averigua qué senderista ha caminado más.c. Explica cómo has resuelto el problema.

11

0 8 0 2

4,872 13,1726,356 0,129

6 0 1 4 3 7 5 0

95

5,876 km

5 km 786 m

de 56 852 m110

a. b. c.

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96

6

Simon Stevin fue un niño inquieto y curiosoque aprendía rápidamente todo lo que le lla-

maba la atención. De joven trabajó como conta-ble para un comerciante, viajó bastante por el

norte de Europa y también fue ingeniero. Realizóvarios inventos con gran éxito, entre ellos un

carruaje terrestre que se impulsaba con velas, comolos barcos.

Una de las mayores preocupaciones de Stevin fue que susobras fueran entendidas por el mayor número posible degente. Por eso las escribió en holandés o francés y no enlatín, como hacían la mayor parte de científicos y matemá-ticos de su época, ya que quería que las pudieran leer tam-bién las personas que no habían aprendido latín en laescuela.

Escribió una obra sobre matemáticas titulado La Aritmética deSimon Stevin, de Brujas, en el que explicaba cómo usar losnúmeros decimales para realizar de forma sencilla las cuatro ope-raciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. Que-ría convencer a la gente de que usando los números decimales se obtienenresultados más exactos en los cálculos y en las mediciones.

Además, descubrió que las fracciones se podían expresar como números decimalesy fue el primero en usar el símbolo de la adición (+) y de la sustracción (–).

La mayoría de sus invenciones se aplicaron a la contabilidad, haciéndola más sen-cilla y comprensible para todo el mundo.

Simon Stevin

nació en Bélgica en 1548.

Utilizó los números

decimales para realizar

operaciones e inventó la

forma actual de

expresarlos

por escrito.

Operaciones con números decimales

contabilidad: sistema parallevar las cuentas de unnegocio.

ingeniero: el que aplica elconocimiento científico para realizar inventos y construcciones útiles parala humanidad.

aritmética: rama de lasmatemáticas que estudia losnúmeros y las operacioneshechas con ellos.

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97

El sistema métrico decimalSiempre hemos necesitado una manera de medir las cosas. Alprincipio, las unidades de medida eran objetos corrientes o par-tes del cuerpo humano. Por ejemplo, como unidad de volumen,el barril o como unidad de longitud, el pie. Estas unidades anti-guas resultaban prácticas y eran conocidas por la mayoría de laspersonas, pero no eran medidas exactas y además no resultabanútiles para medir cosas mucho más pequeñas o más grandesque ellas.

A finales del siglo XIX se adoptó el sistema métrico decimal,basado en unidades de medida (metro, litro, gramo) que pue-den dividirse o multiplicarse por 10. Gracias a este sistema, lasmedidas de las cosas son mucho más exactas y se evitan errores.

Aunque en algunos lugares se continúan usando las medidastradicionales, se ha fijado su valor respecto al sistema métricodecimal, con lo que ya no hay confusiones. Así, por ejemplo, unpie equivale a 30,48 cm.

Ahora que ya conoces

algunas de las

aplicaciones de los

números decimales, en la

unidad estudiarás las

operaciones con ellos.

Actividades1.¿Qué ventajas tiene el sistema

métrico decimal respecto a lasmedidas tradicionales?

2.¿Por qué resulta útil que todos lospaíses utilicen el mismo sistemapara medir las cosas?

En grupoBuscad ejemplos de situaciones en las que habitualmente se usan losnúmeros decimales. Por ejemplo,para expresar la longitud de unsalto. Comparad vuestros ejemplos con el resto de losgrupos.

Sobre el texto1. ¿Cuál fue uno de los

inventos de Simon Stevin?

2.¿De qué quería convencer a la gente?

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En el cumpleaños del abuelo, sus nietos le han regalado un podómetro.

Para probar el aparato, por la mañana dan un paseo de 1,91 km y por la tarde,otro de 1,568 km. ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total? ¿Cuántos ki-lómetros más han recorrido por la mañana que por la tarde?

• Para contestar a la primera pregunta, sumamos lo que han caminado porla mañana y por la tarde. Para resolver la segunda, hallamos la diferencia delos dos paseos.

En la adición y en la sustracción con decimales, colocamos los números ha-ciendo coincidir la coma en la misma columna. Después, operamos como sifuesen números naturales y, por último, añadimos la coma en el resultado se-parando la parte entera de la decimal.

98

La adición y la sustraccióncon decimales

Si en un número falta algún ordende unidades, lo sustituimos por uncero.

recuerda

Copia en tu cuaderno los tres números de cada fila que suman una unidadexacta.

a. 0,250 0,150 0,100 0,650

b. 0,090 0,110 0,780 0,800

Completa cada serie con tres términos más.

a.

b.

¿Cuál es la longitud total de estas cintas? ¿Cuál es la diferencia entre la lon-gitud mayor y la menor?

De una cuerda se han cortado primero 1,76 m y luego 0,85 m y ahora mide4,26 m.

a. ¿Qué longitud de la cuerda se ha cortado en total?

b. ¿Qué longitud tenía la cuerda antes de dar los dos cortes?

Hace nueve meses Pedro tenía 28,45 kg de masa. Si la báscula indica 31,19 kg,¿cuántos kilogramos ha engordado?

4

7

8

6

5

Suma estas cantidades con deci-males.

a. 44,76 € + 21,35 €

b. 210,40 € + 30,95 €

c. 608,25 kg + 235,5 kg

d. 3 490,65 m + 13 m + 126,12 m

Halla la diferencia entre cada parde cantidades.

a. 43,702 km – 12,879 km

b. 542,3 kg – 71,467 kg

c. 0,75 m – 0,125 m

d. 47,9 l – 25,87 l

Calcula y completa en tu cua-derno con el término que falta.

1

2

3

actividades

23,25 23,20 23,15 .....

287,40 287,70 288 .....

1, 9 1+ 1, 5 6 8

3, 4 7 8

U d c m1, 9 1 0

– 1, 5 6 80, 3 4 2

U d c m

Es decir, en total han recorrido 3,478 km.

Por la mañana caminaron 0,342 kmmás que por la tarde.

2,1 + ...... = 41,10 + ...... = 23,20 + ...... = 72,20 + ...... = 3

2,1 + ...... = 41,10 + ...... = 23,20 + ...... = 72,20 + ...... = 3

Con este podómetropodrás saber lo quecaminas cada día.

a. b. c.

1,15 m 3,22 m0,87 m

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Fernando viene del supermercado y quiere comprobar si el total de la cuentaes correcto.

Para ver si la suma está bien hecha, Fernando hace estas operaciones con lacalculadora. Para ello, tiene en cuenta que la coma de los números decimalesse representa con la tecla . .

Luego la cuenta de Fernando está bien hecha.

Para operar con la calculadora, podemos encontrar las siguientes teclas.

99

Los decimales en la calculadora

En la calculadora se separa la parte entera de la decimal con un punto.

3

4

1

2

actividades

Para separar los decimales tambiénse usa el punto. Por eso, para evitarconfusión, los miles y millones seseparan con un espacio, sin coma nipunto.

Observa

+ sumar

– restar

× * multiplicar

: / dividir

Calcula la suma y después comprueba el resultado conla calculadora.

a. 0,78 + 4 + 6,873

b. 2,45 + 6,243 + 6,98 + 7

c. 1,25 + 5,43 + 8,654 + 0,46

Realiza estas sustracciones sucesivas con la calculadoracomo en el ejemplo.

a. 5,18 – 2,5 – 2,43

b. 7,25 – 1,56– 0,98

c. 65 – 34,25 – 12,76

3,67 – 1,87 – 1,23

Resta en la calculadora 0,15 de 12,75 y contesta.

a. ¿Qué número aparece en el visor como resultado?

b. Pulsa de nuevo el signo = , ¿qué número aparece?

c. Observa qué ocurre al seguir pulsando una y otra vez y completa esta serie con cuatro términos más.

Silvia ha comprado un cuento por 6,25 € y su primo,otro 1,38 € más barato. Resuelve y comprueba los re-sultados con la calculadora.

a. ¿Cuántos euros ha costado el cuento del primo de Silvia?

b. Si han entregado 20 € para pagar los dos libros, ¿cuántoles han devuelto?

12,75 0,15 12,6 ..... ..... ..... .....=====–

32.68. =89.2+19.21+521+3+45.21

1.80 0.57= =32.1–78.1–76.3

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:15 Página 99

La monitora ha entregado un zumo y un bocadillo a cada uno de los 15 scoutsque han limpiado el campamento de papeles y plásticos esta tarde.

Si la monitora ha pagado 3,75 € por cada una de las meriendas, ¿cuántos eu-ros se ha gastado en total?

Para averiguarlo, multiplicamos 2,75 × 15.

Por tanto, la monitora se ha gastado en total 56,25 €.

100

Multiplicación de un númerodecimal por otro natural

El producto de un número decimalmenor que la unidad por otro natu-ral es menor que el número natural.

0,7 × 5 = 3,5 3,5 < 5

Observa

Sin hacer las operaciones, señala los productos que sean menores que el nú-mero natural. Después, comprueba el resultado. ¿Por qué sucede?

a. 0,56 × 32 c. 0,987 × 5 e. 1,09 × 45

b. 2,53 × 9 d. 1,8 × 43 f. 0,547 × 9

La gorra de Germán cuesta 3,75 € y la de Ana, 87 cts. más. Recuerda que 1 € = 100 cts. y contesta:

a. ¿Cuánto cuesta la gorra de Ana?

b. ¿Cuánto cuestan siete gorras como las de Ana?

El rastrillo que usan los scouts para limpiar el campamento cuesta 12,75 €.Si este año se han comprado cinco iguales y les han hecho un descuento de5 €, ¿cuántos euros se han gastado en la compra de los rastrillos?

4

5

6

¿Cuántos decimales tendrá el pro-ducto de 3,654 × 12? ¿Por qué?

Realiza las siguientes multiplica-ciones.

a. 4,45 × 12 d. 43,56 × 43

b. 1,9 × 23 e. 65,89 × 30

c. 4,56 × 54 f. 43,12 × 56

Halla el producto y aproxima elresultado a las unidades como enel ejemplo.

a. 3,12 × 7 f. 5,76 × 7

b. 5,67 × 8 g. 3,45 × 6

c. 19,56 × 6 h. 0,87 × 32

d. 21,07 × 7 i. 6,49 × 15

e. 13,52 × 12 j. 36,47 × 9

1

2

3

actividades

• Primero, multiplicamos los núme-ros sin tener en cuenta la coma.

3 7 5× 1 51 8 7 53 7 55 6 2 5

3, 7 5× 1 51 8 7 53 7 55 6, 2 5

• Después, separamos del resultado,con una coma y empezando por laderecha, tantas cifras como deci-males tenga el factor decimal.

2 decimales

2 decimales

Para calcular el producto de un número decimal por otro natural,multiplicamos los factores prescindiendo de la coma y separamos del resultado tantas cifras como decimales tenga el factor decimal.

8,79 × 6 = 52,74 > 53

0,78 × 21 < 21 porque 0,78 < 1

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 100

Adela y su hermano celebraron la semana del agua. Si cada día ahorraron5,76 l, ¿cuántos litros han ahorrado en total en esa semana?

Para calcularlo, multiplicamos 7 × 5,76.

Luego en esa semana han ahorrado 40,32 l de agua.

Observa que la multiplicación es conmutativa.

Multiplicación de un númeronatural por otro decimal

Señala en qué casos son ciertas las expresiones siguientes y luego com-pruébalo haciendo las operaciones.

a. 78 × 1,3 < 78 c. 23 × 0,75 < 23 e. 1 × 0,75 < 1

b. 56 × 1,6 > 56 d. 4 × 0,54 < 4 f. 2 ×1,5 > 2

Calcula el peso de un paquete de 12 botellas si cada una pesa 1,75 kg.

Julián ha comprobado que ahorra 0,45 l de agua cada día que cierra el grifomientras se lava los dientes.

a. ¿Cuántos litros ahorrará en 30 días?

b. Si los 25 alumnos de su clase hicieran lo mismo, ¿cuántos litros ahorrarían?

4

5

6

¿Cuántos decimales tendrá el pro-ducto de 24 × 53,61? ¿Por qué?

Multiplica del modo más sencilloaplicando la propiedad conmutativa.

a. 3 × 5,7 d. 76 × 4,9

b. 5 × 2,9 e. 32 × 23,9

c. 6 × 3,25 f. 194 × 3,5

Sin hacer la operación, indica quéproductos son mayores que el fac-tor sin decimales. Después, com-prueba el resultado.

a. 12 × 0,8 c. 7 × 1,25

b. 232 × 0,56 d. 38 × 3,8

1

2

3

actividades

101

• Primero, multiplicamos los núme-ros sin tener en cuenta la coma

• Después, separamos del resultado,con una coma y empezando por laderecha, tantas cifras como deci-males tenga el factor decimal.

7× 5, 7 6

4 24 9

3 54 0 3 2

7× 5, 7 6

4 24 9

3 54 0, 3 2

2 decimales

2 decimales

Si multiplicamos un número naturalpor uno decimal mayor que la uni-dad, el producto es mayor que elnúmero natural.

5 × 1,7 = 8,5 8,5 > 5

Observa5, 7 6

× 74 0, 3 2

7 × 5,76 = 5,76 × 7 = 40,32

Al multiplicar un número natural por otro decimal podemos utilizarla propiedad conmutativa.

5 × 1,8 > 5 porque 1,8 > 1

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 101

Los alumnos de 5.º visitan un taller de cerámica donde les explican cómo setrabaja y se cuece la arcilla. Si compran para el colegio 10 leones, 100 ranas y1 000 caballitos como estos, ¿cuánto les costará la compra de esas figuras?

1,28 € 1,75 €0,85 €

1,28 × 10 = 12,8 0,85 × 100 = 85 1,75 × 1 000 = 1 750

• Para contestar a la pregunta, multiplicamos los precios de cada figura porsu cantidad.

Si eliminamos los ceros que están a la derecha de los decimales, vemos que:

Luego los leones costarán 12,8 €, las ranas, 85 € y los caballos, 1 750 €.

Observa que, si al desplazar la coma no hay cifras suficientes, completamosel resultado con los ceros que hagan falta.

1,75 × 1 000 = 1 750

102

Contesta a las siguientes preguntas.

a. ¿Qué cantidad es diez veces mayor que 8,75 l?

b. ¿Qué masa es cien veces mayor que 0,089 g?

c. ¿Qué longitud es mil veces mayor que 0,876 km?

Aproxima el número decimal a las décimas y multiplicacomo en el ejemplo.

a. 4,78 × 10 b. 63,21 × 100 c. 8,574 × 1 000

Un tren infantil está formado por nueve vagones y lamáquina. Si tanto los vagones como la máquina miden4,56 m cada uno, ¿qué longitud tiene en total ese tren?

3

4

5

Realiza estas multiplicaciones por la unidad seguida deceros.

a. 212,7 × 10 d. 0,9683 × 100

b. 341,25 × 10 e. 79,545 × 1 000

c. 891,541 × 100 f. 0,1657 × 1 000


a. 0,12 × ..... = 12 d. ..... × 10 = 54

b. 23,4 × ..... = 234 e. ..... × 100 = 79

c. 3,54 × ..... = 354 f. ..... × 1 000 = 12 500

1

2

actividades

0,25 × ….. = 2,5 > 0,25 × 10 = 2,5

1, 2 8× 1 01 2, 8 0

0, 8 5× 1 0 08 5, 0 0

1, 7 5× 1 0 0 0

1 7 5 0, 0 0

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000..., trasladamosla coma tantos lugares a la derecha como ceros siguen a la unidad.

3,48 × 10 > 3,5 × 10 = 35

Multiplicación de un númerodecimal por 10, 100, 1 000...

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 102

Un grupo scout ha comprado una cuerda de 78 m y la dividen en ocho par-tes iguales, una para cada patrulla. ¿Cuántos metros de cuerda le tocarán acada uno exactamente?

• Para resolverlo, dividimos 78 : 8.

De este modo, a cada patrulla le tocará una cuerda de 9,75 m.

• Si la cuerda midiera solo 7 m, el reparto se haría dividiendo 7 : 8 del modosiguiente.

División de números con cociente decimal

Relaciona con flechas las expresiones que tienen elmismo valor en tu cuaderno.

1 : 4 1 : 5 1 : 2

0,20 0,50 0,25

Una tarta de chocolate tiene 1 250 g de masa. Si se di-vide en ocho partes iguales, ¿cuántos gramos tendrácada una? Calcula el cociente con dos decimales.

Julián y otros cuatro amigos se reparten a partes igua-les 4 l de zumo de naranja. ¿Qué cantidad de zumo lecorresponderá a cada uno?

15

14

12

4

5

6

Halla el cociente con uno o dos decimales.

a. 45 kg : 8 c. 4 378 g : 45 e. 6 758 € : 32

b. 375 m : 6 d. 658 l : 21 f. 600 cm : 7

Escribe estas divisiones en tu cuaderno y rodea las quetengan el dividendo menor que el divisor. ¿Cómo se cal-culan las divisiones de este tipo?

a. 5 : 7 c. 3 : 4 e. 27 : 25

b. 13 : 9 d. 12 : 15 f. 65 : 77

Calcula el cociente con dos decimales de todas las di-visiones de la actividad anterior.

1

3

2

actividades

Los restos parciales, 6 y 4, represen-tan unidades de órdenes distintos.

Observa

103

Cuando llegamos al resto, para que elreparto sea más exacto, seguimos di-vidiendo ese resto entre el divisor.

Para ello, colocamos la coma en el co-ciente y continuamos la división mul-tiplicando por 10 cada resto parcial.

7 8 86 9

7 8 m 86 0 dm 9, 7 5 m

4 0 cm0

Como el dividendo es menor que eldivisor, escribimos en el cociente uncero seguido de una coma y multi-plicamos el dividendo por 10.

Después, continuamos la divisiónmultiplicando por 10 cada resto par-cial hasta obtener un cero en el resto.

En este caso, a cada patrulla le tocaría una cuerda de 0,875 m.

7 0 80,

7 0 86 0 0, 8 7 5

4 00

78 m

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 103

Para participar en los juegos escolares, los cinco equipos de un colegio hanabonado 167,25 € entre todos a partes iguales. ¿Cuántos euros ha tenido queabonar cada equipo?

Para calcularlo, dividimos 167,25 : 5.

Por tanto, cada equipo ha abonado 33,45 €.

104

División de un númerodecimal entre otro natural

• Primero dividimos la parte entera.

Obtenemos 33 € de cociente y 2 €de resto.

Obtenemos 45 cts. más de cociente y de resto, 0.

C D U d c1 6 7, 2 5 50 1 7 3 3 €

2 €C D U d c1 6 7, 2 5 50 1 7 3 3, 4 5

2 22 5

0 cts.

Es más exacto decir que cada equipoha abonado 33,45 € que 33 €.

Observa

Para dividir un número decimal entre un número natural, dividimosprimero la parte entera, después escribimos una coma en el cocientey continuamos dividiendo la parte decimal.

Si se hacen ocho trozos iguales de un listón de madera que mide 2,750 m,¿qué longitud tendrá cada trozo? Da la respuesta con dos decimales.

Con el contenido de una garrafa se han rellenado 4 botellas de 1,25 l. ¿Quécapacidad tenía la garrafa inicial si estaba llena? Elige la operación y re-suelve.

a. 1,25 : 4

b. 4 × 1,25

c. 1,25 + 1,25 + 1,25

Un colegio ha comprado tres ordenadores portátiles iguales. Si el valor totalera de 1 499,85 € pero le han hecho un descuento de 180 €, ¿cuánto ha cos-tado cada ordenador? Indica el precio con euros y céntimos.

¿Cuántos kilogramos debemos tener si al repartirlos en 54 partes iguales ob-tenemos 3,45 kg de cociente y 5 dag de resto?

4

5

6

7

Halla el cociente de estas divisio-nes con dos cifras decimales.

a. 34,54 : 12 d. 76,435 : 32

b. 234,76 : 21 e. 800,76 : 41

c. 987,675 : 30 f. 934,675 : 52

Resuelve las siguientes divisionesy comprueba si están bien hechascon la prueba de la división.

a. 308,43 : 45

b. 732,462 : 34

c. 1 919,289 : 53

Sin hacer las operaciones, observa yordena los cocientes de menor amayor. Después, compruébalos rea -lizando las divisiones.

a. 67,657 : 10 c. 67,657 : 100

b. 67,657 : 8 d. 67,657 : 15

1

2

3

actividades

• Después, escribimos una coma enel cociente y dividimos la parte de-cimal.

2,750 m

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 104

En una almazara se han obtenido 438,5 l de aceite. Si se reparte esta cantidaden partes iguales entre 10, 100 o 1 000 personas, ¿cuántos litros recibiría unapersona en cada caso?

• Para calcularlo, dividimos 438,5 entre 10, 100 y 1 000.

En el primer caso cada persona recibiría 43,85 l, en el segundo recibiría 4,385 ly en el tercero, 0,4385 l.

Observa que, si al desplazar la coma no hay cifras suficientes, completamoscon los ceros que hagan falta.

438,5 : 1 000 = 0,4385

438,5 : 10 = 43,85 438,5 : 100 = 4,385 438,5 : 1 000 = 0,4385

División de un númerodecimal entre 10, 100, 1000…

34 : 10 = 3,4

34 : 100 = 0,34

34 : 1 000 = 0,034

Observa

105

4 3 8, 5 1 0

0 3 8 4 3, 8 5

0 8 5

0 5 0

0

4 3 8, 5 1 0 0

0 3 8 5 4, 3 8 5

0 8 5 0

0 5 0 0

0 0 0

4 3 8, 5 1 0 0 0

0 3 8 5 0, 4 3 8 5

0 8 5 0

0 5 0 0

0 0 0

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1 000..., trasladamos la coma tantos lugares a la izquierda como ceros siguen a la unidad.

El hilo de un carrete mide 238,5 m. Calcula las siguien-tes cantidades.

a. Su décima parte.

b. Su centésima parte.

c. La milésima parte.

Fíjate en el ejemplo y escribe los cocientes de estas di-visiones.

a. 23 654 : 10 b. 23 654 : 100 c. 543 : 1 000

De un cable que mide 34,5 m se hacen 100 partes igua-les. ¿Qué longitud tendrá cada una de las partes?

4

5

6

Realiza estas divisiones entre la unidad seguida de ceros.

a. 34,5 : 10 d. 23,45 : 10

b. 455,35 : 100 e. 34,56 : 1 000

c. 435,10 : 100 f. 4 567,25 : 1 000

Contesta a las siguientes preguntas.

a. ¿Qué cantidad es 100 veces menor que 345,76 m?

b. ¿Qué cantidad es 10 veces menor que 1 000 l?

c. ¿Qué cantidad es 1 000 veces menor que 3 456 km?

d. ¿Qué número es la centésima parte de 34,7?

Averigua el término que falta y completa en tu cua-derno.

a. 34,5 : ..... = 3,45 e. ..... : 100 = 34,5

b. 3,45 : ..... = 0,0345 f. ..... : 1 000 = 0,345

c. 62,54 : ..... = 0,6254 g. ..... : 10 = 0,6254

d. 624,6 : ..... = 6,246 h. ..... : 100 = 6,254

1

2

3

actividades

478 : 100 = 4,78

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 105

106

Resuelvo problemas

Anticipar una solución aproximada al problema y comprobar el resultadoPara ambientar la plaza de un pueblo en sus fiestas pa-tronales, el Ayuntamiento ha comprado cinco lámparas ysus respectivas bombillas. ¿Cuánto han costado aproxi-madamente todas las lámparas con sus bombillas?


Sandro entrena tres días a la semana en bicicleta paraestar en forma y ha registrado las distancias que reco-rre durante esos días en esta tabla.

a. ¿Qué distancia recorre durante el lunes y el viernes apro-ximadamente? ¿Y durante el miércoles y el viernes?

b. ¿Cuántos kilómetros más recorre el lunes que el vier-nes aproximadamente?

c. ¿Qué distancia ha pedaleado aproximadamente du-rante la semana?

1 Patricia ha ahorrado 576,82 € y su amiga Lorena, tresveces más.

a. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos aproximadamente?b. Si se gastan 963,95 € entre las dos en un regalo para

otra amiga, ¿cuánto dinero le quedará a cada una?

Un viajante ha recorrido durante este año 20 135,676 kmcon su coche.

a. Si quiere saber cuántos kilómetros de media ha hechoaproximadamente al mes, ¿cómo puede averiguarlo?Calcúlalo de una manera aproximada y, después, com-para ese resultado con la solución exacta.

b. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el viajante al cabo desiete años si circula lo mismo cada año?

3

2

• Para anticipar una solución aproximada al problema,primero redondeamos los precios a la unidad.

24,20 € > 24 € 2,70 € > 3 €

• Luego, planteamos el problema y realizamos las ope-raciones.

(5 × 24) + (5 × 3) = 120 + 15 = 135

Las lámparas con sus bombillas han costado 135 € apro-ximadamente.

• Ahora bien, para calcular la solución exacta al pro-blema, la operación correcta sería la siguiente.

(5 × 24,20) + (5 × 2,70) = 121 + 13,5 = 134,5

Es decir, las lámparas con sus bombillas han costado134,5 € exactamente.

273,634 km 168,972 km 96,125 km

Lunes Miércoles Viernes

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 106

107

Lógica

Series y relaciones lógicas con números decimales

Añade cinco términos más a estas series.

a. b. c.

Relaciona cada expresión con su representación gráfica en tu cuaderno.

0,7 0,5

0,3 0,25

0,015

Completa este triángulo equilátero con los números que se indican para que al sumar los números de cada lado obtengas 15,5.

1

2

3

0,125 0,150 0,175 ….. 1,15 1,35 1,55 ….. 1,80 1,65 1,50 …..

1,75 3,75 5,50 6,25 7,50 8,25

La familia Torres quiere pedir un préstamo al bancopara poder comprar una casa y un coche.

a. ¿Qué cantidad tiene que pedir esta familia al bancoaproximadamente?

b. ¿Qué diferencia de precio hay aproximadamente entrela casa y el coche?

c. Si por comprar las dos cosas les descuentan la décimaparte del precio total, ¿en cuánto, más o menos, se lesquedaría la casa y el coche?

4 En un estadio de fútbol con capacidad para 118 840personas, durante un partido importante se llenaron

las partes de su capacidad y las entradas se vendie-

ron a 12,51 €.

a. ¿Cuántos aficionados al fútbolacudieron al partido?

b. Redondea el número de aficio-nados a los millares y calculacuál fue la recaudación delpartido.

En un huerto hay 2 345 filas de naranjos, en cada filahay 29 naranjos y de cada naranjo se pueden sacar 6 kg de naranjas.

a. ¿Cuántos naranjos hay aproximadamente?b. ¿Cuántos sacos de 3 kg podremos llenar con todas las

naranjas del huerto?

5

34

6

a. b.

c. d.

6,25

e.

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 107

108

1. Si compras dos bolsas de patatas fritas de 1,50 €, ¿cuántos euros pa-garás?

2. ¿Cuántas centésimas hay que añadir a 0,25 para que sumen dos uni-dades?

3. ¿Cuántas centésimas hay que quitarle al número 2 para obtener 1,25?

4. ¿Cuántos decimales tendrá el producto de 2,34 × 5?

5. Una profesora compra diez cuentos. Si cada uno cuesta 1,35 €, ¿cuán-tos euros pagará en total?

6. Calcula un número que sea 100 veces mayor que la mitad de 3.

7. ¿Por qué número multiplicamos 0,043 para obtener como producto 43?

8. ¿Cuál será el cociente de 234 : 100? ¿Y el de 23,54 : 10?

9. ¿Por qué número dividimos 345,64 para obtener como cociente3,4564?

10. Si un pastel cuesta 2,45 €, ¿cuánto costarán diez bandejas de diez pas-teles cada una?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente el producto aproximado de estas multiplicaciones.

a. 58 × 79 c. 47 × 61 e. 37 × 21 × 76b. 28 × 21 d. 83 × 99 f. 19 × 51 × 78

Observa la estrategia anterior y explica cómo calcularías el producto apro-ximado de números de tres cifras redondeándolos a las centenas. Escribe dosejemplos y comprueba los resultados con la calculadora.

Halla mentalmente el resultado aproximado de estas multiplicaciones.

a. 378 × 521 c. 712 × 489 e. 619 × 879b. 764 × 302 d. 501 × 457 f. 430 × 120

3

2

1


Pan, pan y medio, dos panes y medio y cinco medios panes,¿cuántos panes son?

1

0,75

0,50

0,50

0,50

1

Sudo

ku

Si quieres aprendercosas nuevas sobre los

trucos de magia, lee El truco más difícil, de

Fernando Lalana. ¡Seguro que te

encantará!

Completa con los números: 1 - 0,25 - 0,5 - 0,75.

Para calcular el producto aproximado de números de dos cifras,los redondeamos a las decenas y multiplicamos los resultados.

47 × 32 > 50 × 30 = 1500

096_111_15102_U6.qxd 8/9/09 18:16 Página 108

Repaso

¿Qué clase de unidades representan las cifras colorea-das de cada número? ¿Cuál es su valor?

a. 4,05 c. 236,8b. 15,371 d. 349,308

Lee y escribe con letra estos números decimales en tucuaderno.

a. 25,16 c. 813,72b. 301,7 d. 289,326

Escribe con cifras los siguientes números.

a. Diez con ochenta y tres milésimasb. Veinticinco unidades quince centésimasc. Ciento noventa con ochocientas siete milésimasd. Mil dos unidades cinco centésimas.

Escribe con letra y en forma decimal estas fracciones.

a. 8/10 c. 762/1 000b. 21/100 d. 183/100

Copia esta recta en tu cuaderno y coloca estos númerosdecimales.

Ordena de mayor a menor los precios de estas prendas.

Calcula la media aritmética en cada caso.7

6

5

4

3

2

1 Un profesor ha registrado las notas que han obtenidolos alumnos de su clase en el último examen del año.

a. Elabora la tabla de frecuencias con las notas.b. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?c. ¿Qué nota representa la moda del último examen?

Este gráfico representa los pasajeros que transporta unavión con capacidad para 300 personas durante una se-mana.

a. ¿Qué día viajan más pasajeros en el avión? ¿Y menos?b. ¿Cuántos pasajeros viajan cada día? ¿Y en total?c. Calcula la media de pasajeros que transporta el avión

durante la semana aproximadamente.d. ¿Cuántos asientos libres hay cada día aproximadamente?e. Averigua la media de asientos libres durante toda la semana.

Con los datos del gráfico anterior, construye un gráficode puntos y otro poligonal representando las plazas li-bres en cada vuelo durante esa semana.

Relaciona en tu cuaderno cada fracción decimal con suexpresión decimal y con cómo se lee.

0,01 una milésima

0,1 una centésima

0,001 una décima

9

110

1100

11 000

11

10

8

0 1 2 3

0,5 1,3 0,7 2,6 1,9

2 560 m 10 815 m 9 779 m 15 358 m

1 116 € 756 € 393 €

27 kg 52 kg 81 kg 75 kg 40 kg

109

IIII III IIII IIII IIII I IISob Not Bien Suf Ins

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Aclaro mis ideas

110

Multiplicación

De un número decimal por otro natural

Multiplicamos los factores prescindiendo de la coma yseparamos del resultado tantas cifras como decimalestenga el factor decimal.

De un número decimal por 10, 100, 1 000…

1,28 × 10 = 12,8

0,85 × 100 = 85

1,75 × 1 000 = 1 750

Trasladamos la coma tantos lugares a la derecha comoceros siguen a la unidad.

Adición Sustracción

Colocamos los números haciendo coincidir la coma en la misma columna. Después, operamos como si fuesen nú-meros naturales y, por último, añadimos la coma en el resultado separando la parte entera de la decimal.

1, 9 1+ 1, 5 6 8

3, 4 7 8

1, 9 1 0– 1, 5 6 8

0, 3 4 2

3, 7 5× 1 55 6, 2 5

7× 5, 7 64 0, 3 2

División

De números naturales con cociente decimal

Seguimos dividiendo el resto entre eldivisor, colocamos la coma en el co-ciente y continuamos la división mul-tiplicando por 10 cada resto parcial.

De un número decimal entre otro natural

Dividimos primero la parte entera,después escribimos una coma enel cociente y continuamos divi-diendo la parte decimal.

De un número decimal entre 10, 100, 1 000…

438,5 : 10 = 43,85

438,5 : 100 = 4,385

438,5 : 1 000 = 0,4385

Trasladamos la coma tantos luga-res a la izquierda como ceros si-guen a la unidad.

7 8 86 0 9, 7 5

4 00

U d c1 6 7, 2 5 50 1 7 3 3, 4 5

2 22 5

0

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• En la adición y sustracción con ....., colocamos los nú-meros haciendo ..... la coma en la misma ...... Después,operamos como si fuesen ..... naturales y, por último,añadimos la ..... en el ......

• Para multiplicar un número decimal por 10, 100,1 000....., trasladamos la ..... tantos lugares a la ..... como..... acompañen a la unidad. Para dividirlo, trasladamos la..... tantos lugares a la ..... como ..... acompañen a la ......

• En la ..... de un número decimal entre otro natural, divi-dimos primero la parte ....., después escribimos una ..... enel ..... y continuamos dividiendo la parte ......

Observa los dibujos y calcula las operaciones.

A + B + C A + C A – CB + C B – A B – C

Lucas quiere regalarle a su hermana esta cámara de fo-tos y este trípode por su santo. Si en la tienda paga conun billete de 200 €, ¿cuánto le devolverán?

Escribe los pasos que emplearías para sumar y restarestas cantidades utilizando la calculadora.

Calcula las siguientes multiplicaciones.

a. 27,365 × 13 c. 41 × 19,095b. 109,76 × 26 d. 32 × 932,123

5

4

3

2

1

23,16 kg 17,33 kg

A B C

Paula ha abierto su hucha para comprar un regalo a sus padres y quiere saber a cuántas monedas de10 cts. equivale todo ese dinero.

Averigua a cuántas monedas de 10 cts. equivale el di-nero de Paula y explica paso a paso cómo lo has resuelto.

12

Halla el coste total de 27 peluches de cada clase.

Averigua qué operaciones son incorrectas y corrígelasen tu cuaderno.

a. 237,36 × 100 = 2 373,6 c. 113,5 : 100 = 1,135b. 16,296 × 10 = 162,96 d. 4 356,2 : 1 000 = 43,562

Al acabar el curso, cinco alumnos le regalan a su profe-sor una brújula y un libro de rutas de senderismo. Si entotal se han gastado 72 € y han aportado a partes igua-les, ¿qué cantidad ha puesto cada uno?

Resuelve estas divisiones con decimales en el dividendo.Calcula el cociente con dos cifras decimales.

a. 25 365,31 : 18 c. 8 502,36 : 621b. 3 621,836 : 34 d. 763,4354 : 52

Calcula la décima, centésima y milésima parte de estascantidades.

Realiza mentalmente los productos aproximados.

a. 23 × 48 c. 19 × 84 e. 427 × 518b. 51 × 32 d. 296 × 905 f. 680 × 374

11

10

9

8

7

6

111

276 l 2 753 € 45 321 m

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112

7

Eratóstenes era muy inteligente y dedicó su vida al estudio, así

que llegó a ser un sabio célebreen su época. El faraón de Egipto le

encargó que educara a sus hijos y tam-bién que dirigiera la gran biblioteca de Alejandría.

Esta biblioteca reunía miles de obras de la antigüe-dad, de modo que Eratóstenes continuó leyendo y

aprendiendo. Además de las matemáticas, se interesó por lafilosofía, la astronomía, la geografía y la poesía.

Eratóstenes es recordado sobre todo porque fue el primero que inten-tó calcular el tamaño de la Tierra. Para ello comparó la sombra que pro-yectaba un mismo objeto en dos ciudades distintas a la misma hora. Alcomprobar que la sombra era distinta, midió la distancia entre las ciudades ysupo hacerse una idea aproximada de lo que mide la circunferencia de la Tierra.

Calculó que la circunferencia máxima de nuestro planeta era de 252 000 estadios(lo que equivale a 39 614,4 km). Ese resultado, aunque no es exacto, se acercamucho al cálculo que se realizó posteriormente y que se considera válido hoy endía (40 008 km).

Resulta sorprendente que Eratóstenes lograra un resultado tan aproximado en esaépoca, cuando muchos negaban que la Tierra fuera redonda. Además, no utilizó lastécnicas modernas de medición, sino tan solo la observación del Sol y las sombras.

Eratóstenes también calculó de manera aproximada la distancia que separa a laTierra del Sol y la Luna. Para ello utilizó los datos obtenidos mediante la observa-ción de los astros y los eclipses.

célebre: conocido pormucha gente.

técnica: conjunto derecursos y procedimientospara hacer algo.

eclipse: ocultación de unastro que queda tapadopor otro.

Eratóstenes

nació en Grecia alrededor

del año 276 a. C. Calculó

la longitud de la

circunferencia máxima

de la Tierra.

Medidas de longitud y superficie

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113

Actividades1. ¿Por qué llegó a ser tan importante

la biblioteca de Alejandría?

2. ¿Por qué crees que quisieron los invasoresque no quedara rastro de otras culturas?¿Consiguieron su propósito?

3. ¿Cuál es la función de las bibliotecas hoy en día? ¿Vas a menudo?

Tras conocer

cómo se calculaban

las distancias

antiguamente, en la


unidades de medida

de longitud y

superficie.

Sobre el texto1. ¿Qué biblioteca dirigió Eratóstenes?

2. ¿Qué unidad de medida utilizóEratóstenes para sus cálculos? ¿Eramayor o menor que un kilómetro?

3. ¿Qué instrumento actual conocespara estudiar los astros?

La biblioteca de AlejandríaAlejandría era la ciudad más grande de Egipto y en ella convi-vían en paz gentes de muchas nacionalidades. En el siglo III a.C.se creó una biblioteca que con los años creció hasta convertirseen la más grande del mundo. Llegó a reunir más de 700 000obras.

Los representantes de la biblioteca viajaban a todos los rinco-nes del mundo en busca de libros. También traducían las obrasque llegaban de los países del Mediterráneo, de la India y deOriente. Cuando un barco llegaba al puerto, lo registraban paraver si transportaba libros y así poder copiarlos.

Durante muchos siglos, la biblioteca de Alejandría se conside-ró un templo del conocimiento. Muchos sabios viajaban hastaallí para consultar sus obras y dedicar sus vidas al estudio,como hizo Eratóstenes. De este modo se realizaron muchosdescubrimientos en todas las ciencias.

Siglos más tarde, tras las guerras e invasiones que sufrió Egip-to, la biblioteca quedó totalmente destruida y la mayor parte desus obras se perdieron. Los pueblos que invadieron la ciudadpensaron que estas obras pertenecían a culturas distintas a lasuya y que era mejor que no quedara rastro de ellas.

En grupo¿Cómo será la sombra de un objetocuando el Sol está justo encima deél? Explicad cómo varía la longitudde la sombra dependiendo de la posición del Sol. Dibujaddistintas situaciones en vuestro cuaderno.

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La unidad fundamental de medida de longitud es el metro, con ella medimosla longitud de un objeto o la distancia a la que se encuentra uno de otro.

Las unidades de longitud mayores que el metro son el kilómetro, el hectó-metro y el decámetro. Las usamos para medir grandes longitudes o distan-cias.

La medida de longitud se puede expresar de forma simple, con una sola clasede unidades, y de forma compleja, con dos o más clases de unidades.

forma simple > 3 750 m forma compleja > 3 km 750 m

Cada unidad de un orden contiene 10 unidades del orden inmediato inferior.

114

Unidades de longitudmayores que el metro

El significado de estos prefijos es:

kilo- > 1000 hecto- > 100

deca- > 10

Observa

kilómetro hectómetro decámetro metro

km hm dam m

1 000 m 100 m 10 m 1 m

Mayores que el metro

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 km = 10 hm 1 hm = 10 dam 1 dam = 10 m

El metro es la unidad fundamental de medida de longitud.El kilómetro, el hectómetro y el decámetro son unidades de longitudmayores que el metro.

Expresa estas cantidades en forma simple como en elejemplo.

a. 5 km 250 m c. 7 km 87 m

b. 12 km 450 m d. 536 km 297 m

Observa el ejemplo y expresa estos metros en formacompleja.

a. 8 709 m c. 3 987 m

b. 13 456 m d. 2 088 m

Un senderista ha caminado por la mañana 3 km 546 my por la tarde, 1 km 154 m. ¿Cuántos metros caminópor la mañana? ¿Y por la tarde?

3

4

5

Recuerda cómo se multiplica una cantidad por la uni-dad seguida de ceros y expresa en metros estas longi-tudes.

a. 8 km d. 0,750 km

b. 5 hm e. 6,5 km

c. 7 dam f. 87,25 hm

Completa en tu cuaderno y convierte los metros a lasunidades que se indican.

a. 3 780 m = ..… km c. 350 m = ..… dam

b. 300 m = ..…hm d. 35 489 m = ..… km

1

2

actividades

12 km > 12 km × 1 000 = 1 200 m

1 200 m > 1 200 m : 1 000 = 1,2 km

3 km 345 m = 3 000 m + 345 m = 3 345 m

4 356 m = 4 000 m + 356 m = 4 km 356 m

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Las unidades de longitud menores que el metro son el decímetro, el centí-metro y el milímetro, con ellas medimos longitudes pequeñas como la an-chura de una puerta, la longitud de un lápiz o el grosor de un clip.


Unidades de longitudmenores que el metro

metro decímetro centímetro milímetro

m dm cm mm

1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Menores que el metro

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm

La medida de una longitud con estas unidades también se puede expresar deforma simple y de forma compleja.

forma simple > 125 cm forma compleja > 1 m 25 cm

El decímetro, el centímetro y el milímetro son unidades de longitudmenores que el metro.

El significado de los prefijos de estasunidades de medida es:

deci-> décima parte

centi-> centésima parte

mili-> milésima parte

Observa

Observa el ejemplo y expresa estas longitudes en centímetros.

a. 5,60 m b. 12,45 m c. 115,3 m

Transforma en milímetros las siguientes longitudes.

a. 7,220 m = ..... mm b. 3,659 m = ..... mm c. 32 m = ..... mm

Expresa en forma simple como en el ejemplo.

a. 3 m 340 cm b. 8 m 98 cm c. 14 m 75 cm

Observa el ejemplo y expresa estos centímetros en forma compleja.

a. 654 cm b. 1 250 cm c. 46 765 cm

Si trazas una línea de 1,75 m en el suelo. ¿Cuántos centímetros mide? ¿Cuán-tos centímetros le faltan para medir dos metros?

3

4

5

7

6

Copia y completa en tu cuaderno.

a. Un ..... tiene diez decímetros.

b. Con cien centímetros podemosformar un ..... .

c. A una cinta de ocho decímetrosle faltan ..... decímetros para me-dir un ..... .

Carmen tiene una caja con hilosde colores de estas longitudes.Copia en tu cuaderno las que seanmenores que un metro y ordéna-las de mayor a menor.

a. 120 cm e. 89 cm

b. 980 mm f. 547 mm

c. 234 cm g. 3 244 mm

d. 547 cm h. 98 mm

1

2

actividades

7,8 m > 7,8 m × 100 = 780 cm

5,456 m > 5,456 m × 1 000 = 5 456 mm

4 m 87 cm = 400 cm + 87 cm = 487 cm

756 cm = 700 cm + 56 cm = 7 m 56 cm

115

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La distancia entre los pueblos de Soto y Libra está indicada en estos cartelesde dos formas distintas. Es la misma longitud pero está expresada en dos uni-dades diferentes.

5,843 km = 58 430 dm

Para convertir unidades de un orden en otras de orden inferior, las multipli-camos por 10 tantas veces como lugares haya de una unidad a otra.

Para convertir unidades de un orden en otras de orden superior, las dividimos entre 10 tantas veces como cambios de orden se produzcan.

116

Equivalencia entre lasunidades de longitud

58 430 dm a kilómetros > 58 430 : 10 : 10 : 10 : 10 = 58 430 : 10 000 = 5,843

m kmhmdam

5,843 km a decímetros > 5,843 × 10 × 10 × 10 × 10 = 5,843 × 10 000 = 58 430

hm dmmdam

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

5,843 58,43 584,3 5 843 58 430 584 300 5 843 000

km hm dam m dm cm mm

Para convertir una unidad en otra de orden inferior, la multiplicamospor 10. Para convertirla a una unidad de orden superior, la dividimosentre 10.

Un folio mide 295 mm de largo y 211 mm de ancho. Ex-presa estas medidas en centímetros.

Observa el cuadro de equivalencias e indica qué ordende unidades representa cada una de las cifras de456,789 m.

Convierte estas distancias a centímetros como en elejemplo.

4

5

6

Observa el cuadro de equivalencias y convierte estascantidades.

a. 9,543 km a decímetros c. 34 km a centímetros

b. 12,45 cm a decámetros d. 675 cm a hectómetros

Expresa estas medidas en metros.

a. 345 cm c. 87 km

b. 4 356 mm d. 1 236 hm

Escribe la medida de estos objetos en centímetros.

a. 1,28 m b. 189 mm c. 0,34 km

1

3

2

actividades

3 km 150 m = 300 000 cm + 15 000 cm = 315 000 cm

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Para medir la longitud usamos distintos instrumentos. Con unos medimoslongitudes pequeñas y con otros, distancias largas.

Estos son algunos de los instrumentos de medida más usados.

Instrumentos de medida

Investiga qué es una «rueda métrica» y cómo realiza las mediciones.

Un policía mide el ancho de la calle con una rueda mé-trica. Si en una vuelta completa la rueda avanza 0,54 my ha dado 10 vueltas completas, ¿cuál es el ancho deesa calle?

Nombra qué instrumentos usarías para medir:

a. El ancho de la clase.

b. La longitud del libro de Matemáticas.

c. La altura de un compañero.

d. El diámetro del tapón de una botella.

e. El recorrido de un paseo por el parque.

5

6

7

La regla de arriba mide la longi-tud de un lapicero. Expresa su me-dida en milímetros.

Estima la longitud y la anchura deeste libro. Después, comprueba lamedida exacta con una regla.

Observa la fotografía del cuenta-kilómetros y expresa la distanciarecorrida en metros.

El podómetro de Julia marca 4 570pasos. Si cada paso mide 60 cm,calcula los kilómetros completosque ha caminado Julia. ¿Cuántoskilómetros son aproximadamente?

1

2

3

4

actividades

117

Tiene forma rectangular y mide menosde un metro. Con ella medimos peque-ñas longitudes y trazamos rectas.

Una es una banda de tela o plástico muyflexible, la otra es una cinta metálica yflexible enrollada en una carcasa.

Se usa para medir el grosor de piezaspequeñas, circulares o cilíndricas.

Regla Cinta métrica Calibre o pie de rey

Pieza que llevan los coches y motos quemarca la distancia recorrida.

Aparato que cuenta el número de pasosque da la persona que lo lleva y la dis-tancia recorrida.

Cuentakilómetros Podómetro

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Los alumnos del equipo de atletismo entrenan los fines de semana. Los sábadosrecorren 3 km 450 m y los domingos, 1 km 769 m. ¿Cuántos kilómetros hacenen total el fin de semana en el entrenamiento? ¿Cuántos kilómetros más reco-rren el sábado que el domingo?

• Para contestar a la primera pregunta, sumamos los recorridos, y para re-solver la segunda, los restamos. Podemos hacerlo en forma compleja o enforma simple, el resultado es el mismo.

Observa que cuando sumamos o restamos unidades de medida, las trasfor-mamos en unidades de un orden superior o inferior cuando es necesario.

1 219 m = 1 km 219 m 3 km 450 m = 2 km 1 450 m

Sumamos los 1 000 m = 1 km del resultado a los 3 km dearriba.

Como 450 < 769, de los 3 km del minuendo pasamos 1 km = 1 000 m a los 450 m.

El equipo de atletismo recorre 5 km 219 m el fin de se-mana.

El equipo recorre el sábado 1 km 681 m más que el do-mingo.

118

La adición y la sustraccióncon cantidades de longitud

F. compleja F. simple

+ 1 km 769 m > + 1 769 m

5 km 1219 m 5 219 m

Para sumar o restar cantidades de longitud siempre sumamos orestamos unidades del mismo orden haciendo las transformacionesnecesarias.

Halla la diferencia que hay entre estas distancias.

a. 5 km 820 m – 2 km 768 m c. 8 km – 7 km 125 m

b. 4 km – 2 km 548 m d. 3 m 456 mm – 2 m 765 mm

Observa la longitud de estas cintas y calcula.

El padre de Rubén mide 1 m 87 cm, Rubén mide 38 cm menos que su padrey Charo, 26 cm menos que su hermano Rubén. ¿Cuánto miden Rubén yCharo?

3

4

5

Opera colocando en la misma co-lumna las unidades del mismo or-den.

a. 7 km 214 m + 5 km 87 m

b. 4 km 78 m + 567 m

c. 4 km 567 m + 3 km 198 m

d. 978 m + 1 km 543 m

Suma las siguientes cantidades delongitud.

a. 3 m 789 mm + 1 m 763 mm

b. 13 m 25 cm + 3 m 65 cm

c. 7 m 45 cm + 87 cm

1

2

actividades

3+1 km 450 m 3 450 m


– 1 km 769 m – 1 km 769 m > – 1 769 m

1 km 681 m 1 681 m

3-1 km 1450 m 2 km 1450 m 3 450 m

A B C

31 m 38 cm 28 m 8 cm9 m 66 cm

C + B A – B A – C

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119

Mientras iban al colegio, el padre de Leví le ha dicho que su casa está a 1 km709 m del colegio. Si Leví come en su casa y tiene clase por la tarde, ¿cuántoskilómetros anda en un día?

• Para calcularlo debemos multiplicar 1 km 709 m por 4, porque Leví va al co-legio y vuelve dos veces al día, hace 4 viajes en total.

Podemos hacerlo en forma compleja o en forma simple, el resultado es el mismo.

El resultado es el mismo porque 6 km 836 m = 6 836 m.

Por tanto, Leví anda en un día 6 km 836 m.

También en la multiplicación, transformamos las unidades de medida enotras de un orden superior cuando es necesario.

2 836 m = 2 km 836 m

Observa que, en estas multiplicaciones, solo un factor expresa la medida, elotro es un número sin unidades de longitud.


1 km 7 0 9 m

× +2 4

6 km 28 3 6 m

1 7 0 9 m

× 4

6 8 3 6 m

1 7 0 9 m× 4

6 8 3 6 m

medidanúmero

El producto de una medida de longitud por un número natural esotra medida de longitud expresada en las mismas unidades que lamedida inicial.

Convierte a expresión simple y multiplica como en el ejemplo.

a. 3 m 25 cm × 6 b. 3 km 108 m × 5 c. 4 m 48 cm × 10

Multiplica como en el ejemplo.

a. 7 269 m × 3 b. 4 175 m × 8 c. 21 630 m × 6

La rueda de una bicicleta avanza 1 m 54 cm en cada vuelta completa.

a. ¿Qué distancia recorrerá al dar 200 vueltas completas?

b. ¿Y al dar 7,5 vueltas? Multiplica en forma simple.

La escalera de un teatro tiene 25 peldaños. Si 15 de ellos miden 24 cm y elresto, 18 cm, ¿qué altura tiene la escalera de ese teatro?

3

4

5

6

Halla el producto de estas canti-dades de medida complejas.

a. 3 km 345 m × 3

b. 12 m 87 cm × 5

c. 25 cm 8 mm × 6

José María tiene un sacapuntasde 2 cm 7 mm y Adela, uno 3 ve-ces más largo. ¿Qué longitudtiene el sacapuntas de Adela?

1

2

actividades

2 km 500 m × 5 > 2 500 m × 5 = 12 500 m

3 125 m × 3 > 3 km 125 m × 3 = 9 km 375 m

Multiplicación de cantidades de longitud

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Observa estas figuras geométricas superpuestas en la cuadrícula. ¿Cuántoscuadrados ocupa cada una? ¿Cuál es su área?

El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa. Para calcularel área de una figura, la comparamos con otra que tomamos como unidad yaveriguamos cuántas veces la contiene.

Para expresar la superficie que ocupan estas figuras, podemos compararlascon el cuadrado rojo.

= unidad cuadrada

• El rectángulo tiene 12 cuadrados de superficie.

• El triángulo tiene 6 cuadrados de superficie.

• El círculo ocupa aproximadamente 9 cuadrados de superficie.

En este caso hemos tomado como unidad de medida el cuadrado rojo, peropodemos hacerlo con unidades de distinta clase y tamaño.

120

La medida de superficie: el área

El área de una figura es el número de veces que contiene a otra quetomamos como unidad.

Calcula el área de estas figuras tomando primero como unidad el rectángulorojo y, después, el verde.

Toma como unidad de medida el cuadrado azul y calcula el área de cada figura.

2

3

Toma como unidad el cuadrado si-guiente y calcula el área de estasfiguras.

= unidad cuadrada

1

actividades

A B

C

B

AC

E

F

D

a.

b.

c.

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El metro cuadrado es elárea de un cuadrado quetiene un metro de lado. Susímbolo es m2.

El decímetro cuadrado esel área de un cuadradoque tiene un decímetro delado. Su símbolo es dm2.

El centímetro cuadradoes el área de un cuadradoque tiene un centímetro delado. Su símbolo es cm2.

Una bordadora trabaja sobre una tela con forma de cuadrado de 1 m de ladoy ha recortado un cuadradito de tela de 1 dm de lado. ¿Cuánto mide la su-perficie de la tela inicial?

Para medir la superficie usamos distintas unidades.

Para medir superficies grandes utilizamos el metro cuadrado y para medirsuperficies pequeñas, el decímetro y el centímetro cuadrado.

El metro, el decímetro y el centímetro cuadrado

Observa

121

1 dm

1 dm

1 cm

1 cm

Para medir el área de las figuras planas usamos como unidad demedida el metro cuadrado, el decímetro cuadrado o el centímetrocuadrado.

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2

Observa el cuadro de equivalencias y completa en tu cuaderno.

a. 5 dm2 = ..... cm2 c. 46 m2 = ..... dm2 e. 3,65 m2 = ..... cm2

b. 3 dm2 = ..... cm2 d. 1,85 dm2 = ..... cm2 f. 35,4 dm2 = ..... cm2

Paula ha dibujado estas figuras en su cuaderno. Si cada cuadrado mide 1 cm2, ¿qué superficie ocupa cada una? ¿Cuántos decímetros cuadrados son?

4

5

Dibuja un decímetro cuadrado enuna cartulina y recórtalo. Traza en el suelo un metro cuadrado yusa el decímetro cuadrado paramedir su superficie. ¿Cuántos de-címetros cuadrados contiene?

Nombra tres objetos cuya superfi-cie pueda medirse con un decíme-tro cuadrado.

Expresa estas áreas en metroscuadrados.

1

2

3

actividades

3 dm2

550 cm29 cm2

50 dm2

1 m

1 m

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2

× 100 × 100

: 100 : 100

1 cm21 dm21 m2

a. c.

b. d.

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122

Resuelvo problemas

Operar convirtiendo los datos a la misma clase de unidadesEl Ayuntamiento quiere vallar la parcela rectangulardonde se construirá un polideportivo municipal. Los al-bañiles han medido cada lado de la parcela.

Teniendo en cuenta que en uno de los lados más largosirá una puerta de 5,76 m, ¿cuántos metros de valla se ne-cesitarán para rodear la parcela? Ayúdate del dibujo.


La rueda de un tractor recorre 4,71 m al dar una vueltacompleta y la de una bicicleta, 1 m 19 cm.

a. ¿Cuántos centímetros avanza la rueda del tractor aldar cinco vueltas completas?

b. ¿Qué rueda avanza más de las dos en una vuelta?¿Cuántos centímetros más?

1 Un motorista recorre 73 km en una hora en direccióna Setos. Observa el dibujo y contesta.

a. ¿Cuántos metros habrá recorrido el motorista despuésde 2,5 horas?

En ese momento, ¿cuántos metros le faltarán por recorrerhasta llegar a Setos? ¿Cuántos kilómetros son aproxi-madamente?

Paula ha dado dos saltos seguidos, uno de 246 cm y elotro de 1,96 m.

a. ¿Cuántos metros ha saltado en total?

b. ¿Cuántos centímetros le faltan para alcanzar los 5 m?

3

2

• Para resolver el problema tenemos que sumar todas lasmedidas de la parcela, pero primero debemos trans-formar todas las cantidades a la misma unidad, la queaparece en la pregunta.

• Después, realizamos las operaciones necesarias.

Sumamos la longitud de todos sus lados para saber losmetros de valla que se necesitarán.

(67,5 × 2) + 97,29 + 91,53

135 + 97,29 + 91,53 = 323,82

En total se necesitarán 323,82 m de valla para rodear laparcela.

>

97 m 29 cm

97 m 29 cm = 97,29 m

97 m 29 cm – 5,76 m = 91,53 m

5,76 m

0,06

75 k

m

67,5

m

0,0675 km = 67,5 m

1 m 19 cm

4,71 m

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123

Lógica

Un abuelo hace diariamente el camino de ida y vueltadesde su casa hasta la de sus nietos, que está a 3 km756 m de distancia.

a. ¿Cuántos metros recorre cada día?b. ¿Cuántos kilómetros recorre en una semana?

Román ha comprado un solar rectangular de 2 hm 9 mde largo y 5 dam de ancho y quiere rodearlo con unaverja que cuesta 45 € el metro. ¿Cuánto le costará laverja?

Rubén y Marina salen de paseo. Rubén dice que ha ca-minado 3 216 m y Marina, 16 hm 15 dam. ¿Quién hacaminado más? ¿Cuántos metros más?

6

5

4 En un «maratón solidario», cada participante abonará17 cts. por cada kilómetro que recorra, que irán desti-nados a una obra benéfica. Si se recorren 271 983 ki-lómetros, ¿cuántos euros se recaudarán?

El conductor de un autobús de línea ha anotado enesta tabla los kilómetros que ha recorrido durante elprimer trimestre del año. ¿Cuántos kilómetros de me-dia ha hecho el conductor al mes?

8

7

Cálculo de superficie

Copia esta cuadrícula en tu cuaderno y construye al menos seis figuras combinando cinco cuadrados. Las figuras de-ben tener la misma área pero distinta forma. Después, escribe el perímetro de cada figura.

perímetro de A = 12 cm

1

Calcula la superficie de las figuras tomando en cadacaso como unidad la parte coloreada.

Con nueve baldosas cuadradas de 20 cm de lado for-mamos otro cuadrado.

a. ¿Cuántos centímetros medirá el perímetro del cua-drado?

b. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene una baldosa?¿Y el cuadrado?

c. ¿Cuántas baldosas necesitamos para formar un cua-drado con cuatro baldosas de lado? ¿Cuál será el pe-rímetro de ese cuadrado?

32

Enero Febrero Marzo

27 356,211 19 542,322 32 803,109

Mes

km

A B

1 cm

1 cm

A CB

D E

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124

1. ¿Qué unidad de medida representa una cuerda de 1 000 m? ¿Y otra de1 000 mm?

2. Escribe los símbolos de las unidades de medida de longitud menoresque el metro.

3. ¿Qué longitud es mayor, km o 450 m?

4. Expresa en metros 23,596 km.

5. ¿Con qué instrumento medirías la distancia recorrida por un coche en-tre dos ciudades?

6. Entre 45 000 m, 4,5 km y 4 500 m, ¿qué dos cantidades expresan lamisma longitud?

7. Ordena de menor a mayor estas unidades de medida de longitud: de-cámetro, milímetro, decímetro, hectómetro.

8. Expresa 23 546 m en forma compleja con kilómetros y metros.

9. Convierte 2 m 45 cm a centímetros.

10. Si en un podómetro un paso representa 50 cm, ¿cuántos metros habrásrecorrido si el podómetro marca 1 000 pasos?

12

Decamat

Cálculo mental

Convierte mentalmente estas unidades a otras del orden inmediato inferior.

a. 2 km d. 25 cm g. 23,4 m j. 3,75 damb. 5 hm e. 4,12 km h. 6,87 cm k. 7,6 dmc. 12 m f. 9 dam i. 6,79 hm l. 5,6 m

Observa la estrategia anterior y explica cómo convertirías unas unidades deun orden en otras de dos órdenes inferiores. Escribe tres ejemplos.

Convierte mentalmente estas unidades a otras dos órdenes inferiores.

a. 8 km c. 45,67 m e. 21 dam g. 4,5 kmb. 9,75 hm d. 12 m f. 34,5 dm h. 3,456 km

3

2

1


¿Qué superficie es mayor, uncuadrado de medio metro delado o la mitad de 1 m2?

m

mm

dm mm

cm

Sudo

ku

0,5 m

0,5 m 1 m2

Si quieres aprendersobre seres fantásticos de

leyenda, como los dragones,lee La Vaca de Fisterra y

la viga de alquitrán, deMarilar Aleixandre.

¡Seguro que te encantará!

Completa con las unidades:m, dm, cm y mm.

Para convertir cualquier tipo de unidades de un orden a otrasdel orden inmediato inferior, multiplicamos la cantidad por 10y añadimos la unidad que corresponda.

4,5 km > 4,5 km × 10 = 45 hm

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Repaso

Calcula y expresa en cifras.

a. Las decenas que hay en 4 millares y 2 centenas.b. Los millares que hay en 1 millón.c. Las centenas que hay en 1 millón y 3 millares.

Escribe en tu cuaderno 4 números decimales en los queel número 5 ocupe: en uno el lugar de las unidades, enotro el lugar de las decenas, en otro el de las centésimasy en el último el de las milésimas.

Lee y escribe con letra estas cantidades.

Copia en tu cuaderno y relaciona cada número decimalcon su lectura.

siete unidades tres décimascatorce unidades siete milésimascuatro unidades treinta y tres centésimascuarenta y una unidades diecisiete milésimas

Expresa en forma de fracción las piezas de estos puzles.

Escribe en forma decimal las siguientes fracciones.

a. b. c. d.32100

1 9841 000

54610

761 000

6

5

4

3

2

1 ¿Qué fracción representa cada uno de estos númerosdecimales?

a. 12,3 c. 23,98 e. 4,004b. 0,08 d. 107,31 f. 245,1

Copia en tu cuaderno una recta igual que esta, corrígelay coloca los números en el lugar correcto.

Anota en tu cuaderno las expresiones incorrectas. Ra-zona la respuesta.

a. 6,75 > 5,75 c. 12,37 > 12,86b. 4,3 < 4,5 d. 8,3 < 7,3

Redondea estos números a las décimas y a la unidad.

a. 6,87 c. 0,91 e. 35,74b. 8,13 d. 18,99 f. 6,50

Calcula las siguientes operaciones.

a. 27,321 + 9,085 c. 3,66 + 1,678 + 0,088b. 0,62 + 3,168 + 12,39 d. 455,2 + 19,365

Eugenio tenía en la cartera 32,74 € y se gasta 7,29 €en la papelería. Si luego se compra unos pasteles porvalor de 7,50 €, ¿cuánto le queda en la cartera?

Coloca en vertical en tu cuaderno y calcula.

a. 173,62 × 15 c. 2 561,156 × 33b. 88 235 × 26,3 d. 706 062 × 5,21

Este gráfico muestra el deporte que practican 180 per-sonas durante el fin de semana.

a. ¿Qué deporte es el más practicado? ¿Y el que menos?b. Estima el número de personas que representa cada sec-

tor si se ha encuestado en total a 180 personas.

14

11

13

12

10

9

8

7

6 6,16,26,3 6,46,5 6,66,76,8 6,9 7

125

D U d c m

4,56 17,390,056

24,09 9,384415,3

4,33

41,017

7,3

14,007

a. b. c. d.

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Aclaro mis ideas

126

Unidades de medida de longitud

Equivalencia entre unidades

Tipos de expresión

Simple

3 750 km

125 cm

Operaciones con cantidadesde medida

Adición

Sustracción

Multiplicación

Compleja

3 km 750 m

1 m 25 cm

3 750 km = 3 km 750 m

125 cm = 1 m 25 cm

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro


1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

5,843 58,43 584,3 5 843 58 430 584 300 5 843 000


× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

1 km 7 0 9 m

× +2 4

6 km28 3 6 m

+ 1 km 769 m5 km 1219 m

3+1 km 450 m

3-1 km 1450 m– 1 km 769 m

1 km 681 m

Unidades de medida de superficie

1 metro cuadrado = 1 m2

1 decímetro cuadrado = 1 dm2

1 centímetro cuadrado = 1 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2

El área de una figura es el número de veces que contiene aotra que tomamos como unidad.

1 m

1 m

1 m2

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• La unidad fundamental de longitud es el …...• Las unidades de longitud ….. que el metro son el kiló-

metro, el ….. y el …...• Unidades de longitud menores que el metro son el …..,

el ….. y el …... • El área de una figura es el número de veces que ….. a

otra que tomamos como …...

Transforma estas longitudes en la unidad que se indica.

a. 23 km = ….. m c. 9,87 hm = ….. damb. 104,3 m = ….. hm d. 51 dam = ….. m

Escribe los centímetros que le faltan a cada cuerda parallegar a un metro.

Completa una tabla como esta con las siguientes medidas.

2,375 km 198 cm 2 042 mm 731 m

Escribe dos objetos o distancias que se puedan medircon cada uno de estos instrumentos.

Opera colocando en la misma columna las unidades delmismo orden.

a. 17 km 214 m + 56 km 837 mb. 130 m 25 cm + 75 m 9 cmc. 75 km 77 m + 252 km 198 m

6

5

4

3

2

1


La distancia entre la casa de Carlos y su colegioes de 37 hm 195 m.

a. Expresa esta distancia en forma compleja con ki-lómetros y metros.

b. ¿Cómo lo has averiguado? Explica los pasos quehas seguido.

12

127

Expresa en forma simple y calcula las diferencias.

a. 18 km 526 m – 9 km 97 mb. 84 m 43 cm – 27 m 88 cmc. 407 m 7 dm 23 cm – 59 m 47 cm

Con el depósito lleno, un coche recorre 956 km 227 m,y un camión, cuatro veces más que el coche.

a. ¿Cuántos kilómetros y metros recorre el camión con eldepósito lleno?

b. ¿Qué distancia más recorre el camión que el coche?

Si cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 cm2,¿cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura?

Completa en tu cuaderno las siguientes equivalencias.

a. 46 dm2 = ….. m2 c. 3 m2 = ….. dm2

b. 0,62 m2 = ….. cm2 d. 115,8 dm2 = ….. cm2


a. 4,5 km a hectómetros d. 108 km a decámetrosb. 178 m a decímetros e. 74,7 m a centímetrosc. 293,8 dm a centímetros f. 4,681 hm a metros

8

7

11

10

9

a. c.b.

A B

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128

Newton nació en una pequeñaaldea; sus padres eran campesi-

nos. Desde joven demostró sermuy inteligente, aunque en la

escuela no estaba entre los mejoresalumnos. Prefería aprender por su cuenta, leyendo

libros y observando la naturaleza.

Aunque su familia no consideraba importantes susestudios, él demostró mucho interés por ir a la universidad.

Allí se vio que poseía un gran talento para las matemáticas.

Un día estaba sentado en su jardín cuando vio caer una manzana de unárbol. Se preguntó por qué las manzanas siempre caen de la misma manera,hacia abajo y en línea recta. ¿Por qué no caen hacia arriba o hacia los lados? Trasreflexionar un buen rato, llegó a la conclusión de que las manzanas, como todas lasdemás cosas, caen hacia el centro de la Tierra. Por lo tanto, pensó que era probableque las cosas fueran atraídas por la Tierra.

Dedicó mucho tiempo a desarrollar esta idea y así fue como descubrió que los obje-tos se atraen entre sí. Además, observó que los objetos con más masa tienen máspoder de atracción. Como la Tierra es muy grande, atrae a los objetos que están cer-ca de ella.

Esta teoría se llamó ley de la gravedad y supuso una revolución en los conocimientosde su época. Gracias a ella resultó más fácil entender el funcionamiento del universo.

Por este y otros descubrimientos, Newton es considerado uno de los científicos másimportantes de todos los tiempos. Sin embargo, él opinaba que lo que había apren-dido sobre la naturaleza era muy poco en comparación con todas las cosas quequedaban por descubrir.

Medidas de capacidad y masa

atracción:acercamiento de unacosa a otra.

teoría: explicación delas cosas que da unapersona.

revolución: cambiomuy importante.

Isaac Newton

nació en Inglaterra

en 1643. Descubrió la

ley de la gravedad.

8

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129

En grupoEscribe ejemplos de cosasque puedes aprenderobservando la naturaleza.Dialoga y comparte tuopinión con tus compañeros.

Después de aprender

que los cuerpos se

atraen en función de su

masa, en la unidad

estudiarás las unidades

de medida de la

capacidad y la masa.

Actividades1.¿Cuáles son las cosas que más despiertan

tu curiosidad?

2.¿Qué haces cuando tienes curiosidad poraprender algo?

3.¿Crees que es bueno dudar de las cosas?

Sobre el texto1.Según la teoría de Newton,

¿hacia dónde caen los objetos?

2.¿Qué objetos tienen mayorpoder de atracción?

La curiosidad científicaMucha gente antes de Newton había visto caer manzanasde los árboles. Sin embargo, él se preguntó por qué aque-llo sucedía de esa manera y no de otra.

La mayoría de nosotros no prestamos atención a muchascosas porque estamos acostumbrados a ellas. Sin embar-go, hemos aprendido todo lo que sabemos gracias a lacuriosidad de algunas personas que se preguntaron cómoes nuestro mundo y cómo funcionan las cosas que nosrodean.

La curiosidad es la principal causa por la que estudiamosy aprendemos cosas nuevas. Los científicos se caracteri-zan, más que por su gran inteligencia, por tener una grancuriosidad por el conocimiento.

Se dice que un gran científico dijo: «No tengo talentosespeciales, pero sí soy profundamente curioso».

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130

Unidades de capacidadmayores que el litro

La unidad fundamental de medida de capacidad es el litro, con ella medimosla capacidad de distintos recipientes.

Las unidades de capacidad mayores que el litro son el kilolitro, el hectolitroy el decalitro. Las usamos para medir la capacidad de recipientes grandes.

La medida de capacidad se puede expresar de forma simple y de forma com-pleja.

forma simple > 2 540 l forma compleja > 2 kl 540 l

Cada unidad de un orden contiene 10 unidades del orden inmediato inferior.La capacidad de un recipiente es elespacio que se puede ocupar en suinterior con un líquido.

Observa

kilolitro hectolitro decalitro litro

kl hl dal l

1 000 l 100 l 10 l 1 l

Mayores que el litro

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 kl = 10 hl 1 hl = 10 dal 1 dal = 10 l

El litro es la unidad fundamental de medida de capacidad.El kilolitro, el hectolitro y el decalitro son unidades de capacidadmayores que el litro.

Observa el ejemplo y expresa estos litros en forma com-pleja.

a. 9 046 l b. 7 513 l c. 18 560 l

Un cubo contiene un decalitro de agua y una bañera, unhectolitro.

a. ¿Cuántos litros de agua tiene cada recipiente?

b. ¿Cuál de los dos tiene mayor capacidad?

Si en una piscina llena caben 23 kl 345 l, ¿cuántos litroscaben en ella?

4

5

6

Recuerda cómo se multiplica una cantidad por la uni-dad seguida de ceros y expresa en litros estas capaci-dades.

a. 9 kl c. 8 hl e. 52 dal

b. 7,5 kl d. 6,5 hl f. 0,9 dal

Completa en tu cuaderno y convierte los litros a las uni-dades que se indican.

a. 7 650 l = ….. kl c. 790 l = ….. dal

b. 1 289 l = ….. hl d. 345 l = ….. kl

Completa en tu cuaderno con los signos <, = o >.

a. 3 kl 897 l b. 1 250 l 2 kl c. 6 hl 600 dal

1

2

3

actividades

4 kl > 4 kl × 1 000 = 4 000 l

345 l > 345 l : 100 = 3,45 hl

6 307 l = 6 000 l + 307 l = 6 kl 307 l

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Las unidades de capacidad menores que el litro son el decilitro, el centilitroy el mililitro, con ellas medimos la capacidad de recipientes pequeños, comolos que tenemos en casa o vemos en los comercios.


Unidades de capacidadmenores que el litro

litro decilitro centilitro mililitro

l dl cl ml

1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

Menores que el litro

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 l = 10 dl 1 dl = 10 cl 1 cl = 10 ml

1 l = 10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1 000 ml

La medida de capacidad con estas unidades también se puede expresar deforma simple y de forma compleja.

forma simple > 432 cl forma compleja > 4 l 32 cl

El decilitro, el centilitro y el mililitro son unidades de capacidadmenores que el litro.

Copia y relaciona los elementos de las dos columnas entu cuaderno.

litro 25 cl

de litro 50 cl

de litro 56 cl

casi medio litro 75 cl

más de medio litro 48 cl

Observa la tabla de las unidades menores que el litro.

a. ¿Qué unidad es la décima parte del litro?

b. ¿Qué unidad es la milésima parte del litro?

c. ¿Cuál es el símbolo de esas unidades?

34

14

12

4

5

Convierte estas cantidades a la unidad que se indica ycompleta en tu cuaderno.

a. 8 l = ..... dl d. 2,3 l = ..... cl

b. 1,5 l = ..... dl e. 65 l = ..... ml

c. 0,7 l = ..... cl f. 0,21 l = ..... ml

Realiza las transformaciones necesarias para averiguarqué cantidades son mayores que un litro. Después, or-dénalas de menor a mayor.

a. 12 cl d. 9 dl

b. 2,5 cl e. 12 dl

c. 1 243 ml f. 330 ml

Escribe en litros las cantidades de la actividad anterior.

1

2

3

actividades

12 l > 12 l × 10 = 120 dl

131

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Una de las unidades más usadas para medir la masa de un cuerpo es el gramo.

Las unidades de masa mayores que el gramo son el kilogramo, el hecto-gramo y el decagramo, con ellas medimos cantidades grandes de masa. Elkilogramo es la unidad principal de medida de masa.

132

Unidades de masa mayoresque el gramo

La cantidad de masa se puede expresar de forma simple y de forma compleja.

forma simple > 5 164 g forma compleja > 5 t 164 kg


Para medir cantidades muy grandes de masa, utilizamos la tonelada. Una to-nelada contiene 1 000 kilogramos y su símbolo es t.

kilogramo hectogramo decagramo gramo

kg hg dag g

1 000 g 100 g 10 g 1 g

Mayores que el gramo

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 kg = 10 hg 1 hg = 10 dag 1 dag = 10 g

1 t = 1 000 kg

El kilogramo es la unidad fundamental de medida de masa.La tonelada, el kilogramo, el hectogramo y el decagramo sonunidades de masa mayores que el gramo.

Medir la masa de un cuerpo es com-pararla con la de otro que se tomacomo unidad.

recuerda

Expresa en forma compleja con toneladas y kilogramos como en el ejemplo.

a. 3 456 kg b. 25 089 kg c. 56 783 kg d. 132 809 kg

Observa el ejemplo y expresa en kilogramos estas cantidades.

a. 3 t 465 kg b. 9 t 534 kg c. 5 t 98 kg d. 14 t 30 kg

Compara estas cantidades utilizando los signos <, = o >.

a. 2,5 kg 2 750 g b. 0,98 kg 798 g c. 1,365 kg 1 540 g

Adela pesa 37 kg 198 g y su perro, 2 kg 209 g. ¿Cuánto pesan entre los dos?¿Cuánto más pesa Adela que su mascota?

3

4

5

6

Expresa en gramos las siguientescantidades.

a. 3,5 kg d. 3,5 hg

b. 8,34 kg e. 6 dag

c. 6 hg f. 7,25 dag

Convierte a kilogramos estas can-tidades.

1

2

actividades

8 kg > 8 kg × 1 000 = 8 000 g8 024 kg = 8 000 kg + 24 kg = 8 t 24 kg

9 t 125 kg = 9 000 kg + 125 kg = 9 125 kg

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Unidades de masa menoresque el gramo

Observa el ejemplo y expresa estas cantidades en miligramos.

a. 5,4 g d. 0,768 g

b. 19,38 g e. 2,5 g

c. 3,467 g f. 9 g

Ordena estas cantidades de masa de menor a mayor.

a. 2 g c. 1 897 mg

b. 3,5 dg d. 3 246 mg

¿Qué pesas habría que elegir si queremos pesar un gramo?

2

3

4

¿Qué objetos crees que tienenmenos masa que un gramo?

1

actividades

133

Las unidades de masa menores que el gramo son el decigramo, el centigramoy el miligramo, con las que medimos la masa de cuerpos pequeños, como lamasa de un flan o de una cucharada de azúcar.

Las cantidades de masa con estas unidades también se pueden expresar deforma simple y de forma compleja.

forma simple > 2 864 mg forma compleja > 2 g 864 mg


1 g = 10 dg 1 dg = 10 cg 1 cg = 10 mg

1 g = 10 dg 1 g = 100 cg 1 g = 1 000 mg

gramo decigramo centigramo miligramo

g dg cg mg

1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Menores que el gramo

Nombre

Símbolo

Equivalencia

El decigramo, el centigramo y el miligramo son unidades de masamenores que el gramo.

3,7 g > 3,7 g × 1 000 = 3 700 mg

A

F

D

C

E

B

a.d.

c.b.

128_147_15102_U8.qxd 8/9/09 18:27 Página 133

La capacidad de estas dos bañeras está indicada de dos formas distintas. Es lamisma capacidad pero está expresada en dos unidades diferentes. Lo mismosucede con los dos montones de toallas, tienen la misma masa.

1,35 hl = 1 350 dl 12 500 cg = 1,25 hg

Para convertir unas unidades en otras de distinto orden, operamos igual conunidades de masa, de capacidad o de longitud, el método siempre es el mismo.

• Para convertir unidades de un orden en otras de orden inferior, multipli-camos por 10 tantas veces como lugares haya de una unidad a otra.

1,35 hl a decilitros > 1,35 × 10 × 10 × 10 = 1,35 × 1 000 = 1 350

dal l dl

• Para convertir unidades de un orden en otras de orden superior, dividimosentre 10 tantas veces como cambios de orden se produzcan.

12 500 cg a hectogramos > 12 500 : 10 : 10 : 10 : 10 = 12 500 : 10 000 = 1,25

dg g dag hg

134


× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

0,575 5,75 57,5 575 5 750 57 500 575 000

kl hl dal l dl cl ml

6,874 68,74 687,4 6 874 68 740 687 400 6 874 000

kg hg dag g dg cg mg

Copia en tu cuaderno y rodea las expresiones que re-presentan la misma cantidad en cada fila.

a. 0,250 kg - 250 g - 25 g - 2 500 g

b. 0,750 kl - 75 kl - 750 l - 7 500 dl

c. 1,5 kg - 150 g - 15 000 dg - 15 t


a. 3 t = ..... g c. 4 536 cg = ..... t

b. 5,4 t = ..... dg d. 7,89 dg = ..... t

Un camión cisterna transporta 78,54 kl de gasolina. Aldescargar todo su contenido en una gasolinera, ¿cuántosdecilitros ha aumentado el depósito de dicha gasolinera?

3

4

5

Completa en tu cuaderno estas equivalencias.

a. 9 kl = ..... dl d. 6,725 hl = ..... dl

b. 12 dal = ..... cl e. 3 546 dal = ..... cl

c. 3,45 kl = ..... ml f. 6 785 kl = ..... dl

Convierte estas cantidades de peso a la unidad que seindica y completa en tu cuaderno.

a. 9 kg = ..... mg d. 2 345 mg = ..... hg

b. 6,75 hg = ..... cg e. 4 567 dg = ..... kg

c. 78 dag = ..... mg f. 789 cg = ..... hg

1

2

actividades

1,25 hg

1,35 hl

1350 dl

12500 cg

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Para medir la masa o la capacidad utilizamos distintos instrumentos. Estospueden ser más o menos precisos.

Un instrumento es más sensible cuanto menor sea la cantidad que puedemedir. Una balanza que mide miligramos es más sensible que otra que solomide gramos. Un aparato es fiable si al medir el mismo objeto indica siem-pre el mismo valor o valores muy próximos.

Estos son algunos de los instrumentos de medida de capacidad y de masa másusados.

Instrumentos de medida

135

Probetas Juego de medidas Recipientes graduados

Báscula digital Báscula Balanza de platillos

Lee y escribe las cantidades que indican estas básculas.

Manuel se ha pesado en la báscula de su baño y la pantalla indica 62,3 kg.Expresa el peso de Manuel en forma compleja con kilogramos y gramos.

Observa las probetas que aparecen en la tabla de instrumentos de medida.¿Qué tipo de magnitud se puede medir con las probetas?

Si la primera vez que se pesa un niño en una báscula la pantalla indica 32 kgy al pesarse de nuevo marca 30 kg, ¿se puede decir que es una báscula fiable?

2

3

4

5

Lee y escribe el contenido de es-tas jarras graduadas.

1

actividades

a. b.

c.

d.e.

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En una finca se ha estropeado la canalización del agua y para abastecerse hanalquilado dos camionetas. Si en una llevan 7 kl 645 l de agua y en la otra, 3 kl876 l, ¿cuántos litros transportan en total? ¿Cuántos litros más lleva la furgo-neta grande que la pequeña?

Para contestar a la primera pregunta, sumamos las cantidades, y para resol-ver la segunda, las restamos. Podemos hacerlo en forma simple y en formacompleja, los resultados son los mismos.

Las dos furgonetas llevan en total 11 521 l.

136

Adición y sustracción con capacidades y masas

Podemos sumar o restar con decimales:

Observa

7+1 kl 654 l+ 3 kl 876 l

11 kl 1521 l

7 645 l+ 3 876 l

11 521 l


La furgoneta grande lleva 3 769 l más que la pequeña.

7-1 kl 1654 l– 3 kl 876 l

3 kl 769 l

7 645 l– 3 876 l

3 769 l


Para sumar o restar cantidades de masa o de capacidad, siempresumamos o restamos unidades del mismo orden haciendo lastransformaciones necesarias.

Observa la masa de estos animales y contesta.

2,567 kg 3,320 kg 0,975 kg

a. ¿Cuánto pesan los animales de mayor y menor masa juntos?

b. ¿Qué diferencia de masa hay entre el perro y la tortuga?

c. ¿Qué masa tienen los tres animales en total?

Carla consume 34,75 l de agua cuando se ducha y cuando lo hace Cosmeconsume 45,09 l. ¿Cuántos litros consume Cosme más que Carla?

Este es el contenido que hay en tres garrafas. Si cada una tiene una capaci-dad de 50 l 250 ml, ¿qué cantidad de líquido falta en cada caso para com-pletarlas?

33

4

5

Resuelve estas adiciones.

a. 11,894 kl + 9 kl

b. 12,45 g + 9,154 g

c. 2 kl 98 l + 3 kl 546 l

d. 4 kg 187 g + 1 kg 765 g

e. 5 kl 72 l + 9 kl 230 l

Realiza estas sustracciones.

a. 11,894 kl – 9 kl

b. 12,45 g – 9,154 g

c. 12 kl 598 l – 9 kl 540 l

d. 5 kg 400 g – 3 kg 876 g

e. 7 kg 520 g – 2 kg 365 g

1

2

actividades

27 l 509 ml 47,86 l 45 l 776 ml

7kl 645l 3kl 876l

7,645 kl+ 3,876 kl

11,521 kl

7,645 kl– 3,876 kl

3,769 kl

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Una empresa de alimentación envía a una residencia cada mes 241 kg de frutay 8 latas de atún de 1 kg 345 g cada una. ¿Cuántos kilogramos de atún en-trega la empresa al mes? ¿Cuántos kilogramos de fruta recibirá la residenciaen siete meses?

Observa que, en estas multiplicaciones, solo un factor expresa la medida, elotro es un número sin unidades.

• Para resolver la primera pregunta,multiplicamos lo que pesa una latapor 8.

La empresa entrega 10,760 kg deatún cada mes.

La residencia recibe 1 687 kg de frutaen siete meses.

• Para contestar a la segunda pre-gunta, multiplicamos los kilogra-mos de fruta por 7.

Multiplicación con masas y capacidades

1 kg 345 g× +2 8

10 kg 2760 g

1,345 kg× 810,760 kg


241 kg× 7

1 687 kg

241 kg× 7

1 687 kg

medidanúmero

El producto de una medida de masa o capacidad por un númeronatural es otra medida con las mismas unidades que la medidainicial.

Multiplica y expresa el resultado en forma compleja.

a. 12,675 kg × 14 c. 88,671 kg × 64

b. 71,209 kl × 52 d. 107,022 kl × 46

Esperanza y Mario compran zumos para su negocio de alimentación. Espe-ranza se lleva 6 cajas de zumo de tomate con 12 tetrabriks de 0,50 l cada unay Mario, 8 cajas de zumo de piña con 10 tetrabriks de 0,33 l cada una.

a. ¿Cuántos litros de zumo de tomate ha comprado Esperanza?

b. ¿Cuántos litros de zumo han comprado entre los dos?

En una acampada se han contado 27 mochilas y 14 garrafas de agua. Cadamochila pesa 15 kg 877 g y cada garrafa tiene 5 litros y medio.

a. ¿Cuántos kilogramos pesan todas las mochilas juntas?

b. ¿Cuántos litros de agua hay en total?

3

4

5

Opera y expresa en kilogramos oen kilolitros el resultado.

a. 12 kg 426 g × 6

b. 31 kg 317 g × 9

c. 86 kl 99 l × 3

d. 245 kl 163 l × 2

¿Cuánto pesará un pedido con 7 sandías y 9 melones?

7 kg 358 g 2kg 136 g

1

2

actividades

137

128_147_15102_U8.qxd 8/9/09 18:27 Página 137

138

Resuelvo problemas

Operar en forma simple o en forma complejaRomán y Domingo quieren subir en el ascensor de un centro comercial que soporta una carga máxima de 120 kg750 g. Román pesa 53 kg 385 g y Domingo, 49 kg 197 g.¿Pueden subir los dos juntos en el ascensor? ¿Cuántos ki-logramos y gramos faltan para llegar a la carga máxima?

• Primero observamos cómo están expresados los datosnecesarios para resolver el problema.


Pablo ha comprado un salchichón y un saco de pata-tas; Susana, un queso y una bolsa de naranjas, y Toni,un salchichón y un queso. Calcula el peso de la com-pra que ha hecho cada uno.

1 Observa los toneles de vino que hay en el almacén deuna bodega y contesta.

a. ¿Qué diferencia hay entre las capacidades de los dostoneles?

b. Expresa en litros la cantidad de vino que hay entre losdos.

Marta pesa 64 kg 376 g y su amigo Rubén, 17 kg 198 gmenos que Marta.

a. ¿Cuánto pesa Rubén?b. ¿Cuántos kilogramos pesan entre los dos?

3

2

• Como están expresados en forma compleja y así se pideen la pregunta, realizamos las operaciones en formacompleja y colocamos cada tipo de unidad en una co-lumna.

• Expresamos la solución en forma compleja, y si el pro-blema pide la solución en otras unidades, realizamoslas transformaciones necesarias.

Como el peso total no supera los 120 kg 750 g, sí pue-den subir juntos y aún faltan 18 kg 168 g para llegar ala carga máxima.

5 3 kg 38 5 g+ 4 9 kg 19 7 g1 0 2 kg 58 2 g

1 2 0 kg 75 0 g– 1 0 2 kg 58 2 g

1 8 kg 16 8 g

Román >Domingo >

Román > 53 kg 385 g Domingo > 49 kg 197 g

carga máxima > 120 kg 750 g

Y yo, 53 kg 385 g

Yo peso49 kg 197 g.

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139

Lógica

En la plaza mayor de un pueblo hay una fuente condos caños. De uno de ellos manan 125,27 l de agua enuna hora y del otro, 182 l 51 cl.

a. ¿Cuántos litros y centilitros vierten en una hora los doscaños juntos?

b. En una hora, ¿cuántos litros y centilitros echa un cañomás que el otro?

c. ¿Qué cantidad de agua mana de cada uno durantecuatro horas?

Una furgoneta lleva 2,198 t de fruta y otra, 1 t 546 kg.

a. ¿Cuántos kilogramos de fruta lleva cada furgoneta?b. ¿Cuántos kilogramos más lleva una que otra?

5

4 Los establecimientos de un centro comercial distribu-yen diariamente su basura entre los contenedores depapel, vidrio y plástico.

a. Entre los tres contenedores, ¿cuántos kilogramos debasura se generan durante el día? ¿Y en una semana?

b. Calcula cuántos kilogramos de basura se recogen demedia al día entre los tres tipos de contenedores.

c. ¿Qué cantidad de basura se recicla en cada contene-dor durante una semana?

6

Estimación de masa y de capacidad de algunos objetos

Observa estos adornos con figuras geométricas.

a. ¿Qué bola pesa el doble que una bola amarilla?b. ¿Qué bola pesa la mitad que una bola verde?c. Elige el objeto más pesado de cada adorno.

Explica por qué.

1

Ramón pesa más que Joaquín pero menos que Carlos.Luis pesa más que Joaquín y menos que Ramón. Si Car-los pesa 45,5 kg, ¿cuál de estos pesos corresponde acada amigo?

De un bidón de 10 l, ¿cómo podrías sacar exactamenteun litro de agua si solo dispones de una garrafa de 5 ly otra de 3 l? Ayúdate de un dibujo.

32

450 hg 45,5 kg

40 000 g 42 kg

605 kg 523 g 537,70 kg

766,856 kg

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140

1. Entre 54 l, 0,54 kl, 5,4 hl y 5,4 kl , ¿qué cantidad representa cinco kilo-litros y cuatro hectolitros?

2. Si con 5 hl se llena una piscina, ¿cuál es su capacidad en litros?

3. Escribe la expresión decimal que representa los litros que hay en miltrescientos ocho mililitros.

4. ¿Qué unidad contiene exactamente mil kilogramos? ¿Y mil miligramos?

5. ¿Qué unidad de masa es mil veces mayor que el kilogramo?

6. Ángela tiene veintitrés kilogramos ciento ochenta y cinco gramos demasa. Escribe esa cantidad en forma decimal.

7. Calcula las toneladas que hay que añadir a 3 000 kg para alcanzar 7 t.

8. Di el nombre de dos instrumentos de medida de masa y dos de capa-cidad. ¿Cuál es más fiable de cada pareja?

9. Escribe con letra cuántos litros son ciento veintiocho centilitros.

10. Expresa en litros tres hectolitros y siete litros.

Decamat

Cálculo mental

Convierte mentalmente estas unidades a otras del orden inmediato superior.

a. 38 l d. 48,96 hl g. 40,25 dg j. 8,7 hgb. 967 cl e. 24,1 dal h. 546 g k. 980 dagc. 45 dl f. 430 ml i. 87 mg l. 125 cg

Observa la estrategia anterior y explica cómo convertirías unas unidades deun orden en otras de dos órdenes superiores. Escribe dos ejemplos con uni-dades de capacidad y dos con unidades de masa.

Convierte mentalmente estas unidades a otras dos órdenes superiores.

a. 456 dal c. 4,59 ml e. 45,6 dag g. 320 mgb. 28,9 cl d. 78 dl f. 9,8 l h. 871 cg

3

2

1


Carmen, Ramón, Irene, Juan y Paula comieron galletas enuna fiesta de cumpleaños.Paula comió más galletas queCarmen, Irene comió menos que Ramón pero más que Juany Ramón comió menos queCarmen. ¿Quién comió mayorcantidad de galletas?Ordénalos de mayor a menor.

4

4

1

1

2

2Su

doku

Si quieres aprendersobre el robo de obras de arte,

lee El secreto del gran río,de Alfredo Gómez Cerdá.

¡Seguro que teencantará!

Para convertir cualquier tipo de unidades de un orden a otrasdel orden inmediato superior, dividimos la cantidad entre 10 y añadimos la unidad que corresponda.

34 dl > 34 dl : 10 = 3,4 l

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141

Uso las TIC

1. Para dibujar la pieza que se repetirá en el mo-saico hacemos clic en el botón y selecciona-mos la opción de Polígono Regular.

2. A continuación, tenemos que pinchar sobre ellienzo el lugar donde queremos que esté el cen-tro del polígono, y otra vez más para indicardónde queremos un vértice.

3. Por último, al girar en el sentido de las agujas delreloj, aparece en la pantalla el número de ladosque tendrá el polígono. Cuando aparezca el quequeremos, volvemos a hacer clic y el polígonoquedará dibujado. Podemos construir un trián-gulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono...

Podemos construir mosaicos utilizando el programaCabri siguiendo estos pasos:

1 Dibujamos la pieza base

Mosaicos con Cabri

1. Una vez dibujada la pieza base, por ejemplo unhexágono regular, hacemos clic en el botón yseleccionamos la opción Simetría axial.

2. Después, situamos el puntero en un lado del po-lígono y hacemos clic para dibujar un hexágonosimétrico al inicial unido a él por ese lado.

3. Por último, rellenamos el lienzo con todas las fi-guras posibles. Para colorear el mosaico, pode-mos utilizar los botones Color, Rellenar y Grosor.

2 Realizamos el mosaico

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Aclaro mis ideas

142

Unidades de medida de capacidad y masa


Operaciones con cantidades de medida

Adición Sustracción Multiplicación

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro


1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo


1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Nombre

Símbolo

Equivalencia

1 g = 10 dg = 100 cg = 1 000 mg 1 t = 1 000 kg

0,575 5,75 57,5 575 5 750 57 500 575 000


6,874 68,74 687,4 6 874 68 740 687 400 6 874 000


× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

× 10

: 10

7+1 kl 645 l+ 3 kl 876 l

11 kl 1521 l

7 645 l+ 3 876 l

11 521 l

7–1 kl 1645 l– 3 kl 876 l

3 kl 769 l

7 645 l– 3 876 l

3 769 l

1 kg 345 g× +2 8

10 kg 2760 g

1,345 kg× 8

10,760 kg

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Completa en tu cuaderno con las palabras que faltan yaprende.

• El ..... es la unidad fundamental de medida de capaci-dad.

• El kilolitro, el ..... y el ..... son unidades de ..... mayores queel litro.

• El ....., el centilitro y el ..... son unidades de capacidad .....que el litro.

• El ..... es la unidad fundamental de medida de masa.• El ....., el hectogramo y el ..... son unidades de masa ma-

yores que el gramo.• El decigramo, el ..... y el ..... son unidades de masa ..... que

el gramo.• Para convertir una unidad en otra de orden inferior, la .....

por 10. Para convertirla a una unidad de orden supe-rior, la ..... entre ......

Expresa estas cantidades en litros.

a. 0,16 kl c. 72,6 hl e. 820 clb. 421 dal d. 77 dl f. 83 236 ml

Convierte a kilogramos estas masas.

a. 0,82 t c. 96,1 hg e. 5 109 gb. 506 dag d. 7 650 dg f. 34 765 cg

¿Cuántos litros transporta cada camión?

¿Cuántos centilitros le faltan a cada jarra para comple-tar un litro?

0,75 l 0,30 l 0,50 l 0,250 l

Rodea las cantidades que representan la misma capa-cidad o masa en cada grupo.

6

5

4

3

2

1 Calcula el peso en kilogramos de las siguientes piedras.

Dos amigos se pesan en la farmacia. Uno pesa 43,615 kgy el otro, 51,75 kg. Expresa estas cantidades en formacompleja con kilogramos y gramos.

Observa los datos y resuelve.

a. ¿Cuántos litros se han necesitado para llenar las dospiscinas?

b. ¿Qué diferencia de litros hay entre las dos?

Convierte mentalmente estas unidades a otras de uno y dos órdenes superiores.

a. 54 cl c. 20,9 dl e. 604 gb. 6,5 mg d. 813 cg f. 74 dal

10

9

8

7

De estos recipientes, Paula echa los tres de ma-yor contenido en un depósito con capacidad para1 kl y quiere calcular los litros que faltan para lle-narlo por completo.

Indica qué recipientes ha echado Paula en el depó-sito y explica cómo solucionará el problema.

11

1,3 kl - 130 dal - 130 dl

2,3 cg - 23 kg - 0,023 t

0,15 l - 150 ml - 15 hl

250 g - 2,5 dg - kg14 143

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144

Recuerdo lo que sé

Expresa con cifras.

a. Cinco centésimasb. Cuatro décimasc. Doce milésimasd. Tres milésimase. Cuarenta y cinco centésimas

Separa en cada número la parte entera de la parte de-cimal. Después, escribe la clase de unidades que re-presenta la cifra coloreada de cada número.

2,071 0,53 1,72123,504 97,3 18,74

Anota en tu cuaderno con un número decimal la alturade estos niños en metros.

Ana > 1 con 25 metrosNerea > 98 centímetrosRicardo > 1 metro 7 centímetros

Escribe como fracción los siguientes números decima-les.

a. 3,8 b. 15,62 c. 23,1 d. 8,326

Transforma estas fracciones en números decimales.

a. b. c. d.

Completa esta recta numérica en tu cuaderno.

Ordena de menor a mayor la longitud de estas cintasy explica el proceso que has seguido para averiguarlo.

7

6

13 0081 000

261100

9 312100

3510

5

4

3

2

1 Escribe los euros que cuesta aproximadamente cadaprenda.

Resuelve estas operaciones.

a. 39,631 + 15,95 c. 432,63 – 50,37b. 1 585,54 + 246,36 d. 217,4 – 22,237

Carlota compra en una juguetería unos patines y uncasco. Si paga con un billete de 20 €, ¿cuánto le de-volverán?

Copia en tu cuaderno estas multiplicaciones y calcula.

a. 94 × 31,43 c. 156,19 × 72b. 32,362 × 13 d. 2 583,23 × 84

A un teatro han asistido 838personas. Si para ver la obrahan pagado 7,25 € cadauna, ¿cuánto se ha recau-dado en total ese día?

Señala las multiplicaciones incorrectas y corrígelas.

a. 32,84 × 10 = 3,284b. 870,125 × 100 = 87 012,5c. 1 082,4 × 100 = 10 824d. 9,206 × 1 000 = 9 206

Calcula el cociente de estas divisiones con dos deci-males.

a. 327 : 8 c. 2 430 : 19b. 1 509 : 7 d. 36 187 : 56

8

14

13

12

11

10

9

0 0,3 0,6 1,1 1,9

2,37 m 2,7 m 1,983 m 2,320 m

AB C D

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Halla el resultado de estas operaciones.

a. 3 567,27 : 31 c. 82 361,54 : 75b. 593,123 : 42 d. 32, 54382 : 26

Averigua el término que falta y completa en tu cua-derno.

a. 43,71 : .…. = 4,371b. .…. : 100 = 396,53c. 6 283,9 : .…. = 628,39d. 4,7651 : .…. = 0,047651

Convierte estas distancias a metros.

Un corredor se encuentra a 13,6 km de la salida de unamedia maratón de 20 000 m. ¿Cuántos metros le faltanpara llegar a la meta?

Expresa estas medidas en forma compleja con metrosy centímetros.

a. 2 750 cm c. 138,8 m e. 9,25 mb. 1,62 m d. 537 cm f. 715,08 m

Transforma estas medidas a la unidad que se indica.

a. 396 cm a metros c. 94,36 km a metrosb. 27,823 m a milímetros d. 37 561 mm a metros

Juan mide 1 m 7 cm y Patricia, 1 120 mm. ¿Cuál de losdos es más alto? Expresa sus alturas en centímetros.

Marina fue de excursión y caminó 5 km 676 m por lamañana y 9 km 95 m por la tarde.

a. ¿Cuántos kilómetros y metros ha recorrido durante eldía?

b. ¿Qué distancia le falta si la excursión es de 21 346 m?

22

21

20

19

18

17

16

15 Observa la cuadrícula y toma un cuadrado como uni-dad de medida. ¿Cuál es el área de cada figura? ¿Pue-den tener distinta forma y la misma área? ¿Por qué?


a. 4 m2 = ..... dm2 d. 83 dm2 = ..... cm2

b. 3,6 m2 = ..... dm2 e. 0,16 m2 = ..... cm2

c. 1 300 dm2 = ..... m2 f. 2,73 dm2 = ..... cm2

¿Cuántos litros le falta a cada bidón para completar unkilolitro?

Completa estas equivalencias en tu cuaderno.

a. 7 l = ..... ml d. 0,82 l = ..... clb. 15,3 l = ..... cl e. 50 l = ..... dlc. 23 cl = ..... ml f. 3,86 dl = ..... ml

Escribe la masa de estas piedras en kilogramos.

Elige de cada grupo las dos medidas que completan ungramo.

a. 0,700 g b. 145 mg c. g d. 0,675 g

0,650 g 755 mg 750 mg 0,425 g

300 mg 855 mg g 0,325 g14

12

28

27

26

25

24

23

145

128_147_15102_U8.qxd 8/9/09 18:28 Página 145

146


Construcción de figuras con regla y compás¿Sabrías construir polígonos regulares con regla y compás?

Este trabajo cooperativo te enseñará a dibujarlos con la ayuda de tus com-pañeros y del profesor. Aprende a hacerlo y podrás crear una exposicióncon elementos decorativos formados por polígonos regulares.

1. InvestigarLo primero que debéis hacer es dividiros en grupos de cuatro. Cada uno seencargará de una tarea: buscar los pasos a seguir para construir los si-guientes polígonos regulares con regla y compás.

• Después, reúnete con los expertosen la misma tarea de los otros gru-pos y poned en común la informa-ción recogida. Comentad eintercambiad la experiencia decada uno y resolved entre todos lasdudas o las dificultades que habéisencontrado. Es importante que to-dos sepáis cómo se realiza vuestratarea y que seáis capaces de expli-carla en vuestro equipo.


triángulo equilátero cuadrado hexágono regular octógono regular

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• Una vez formados los grupos y designadas las tareas, investiga sobre la ta-rea que te ha tocado.

• Con toda la información recogida elabora una ficha para poder mostrartus resultados al resto de los compañeros. Elabora una ficha en la que in-diques el nombre del polígono, el número de lados y los pasos a seguir parasu construcción.

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147

2. CrearAhora vuelve con tu grupo y comunícales todo lo que has aprendido investi-gando sobre tu tarea; es tu responsabilidad explicarles la construcción de ma-nera clara y sencilla para que lo entiendan sin problemas. Después, escuchalo que han aprendido los otros miembros de tu equipo, pues cada uno for-máis una pieza necesaria para poder crear una exposición con figuras regu-lares.

A continuación construid varios polígonos en papel o cartulina. Podéis ha-cerlos de diferentes tamaños y colores y formar mosaicos con ellos.

3. Realizar• Decidid dónde se expondrán los mosaicos o adornos que vais a construir.

• Realizad murales donde se expliquen los pasos a seguir para la construcción decada uno de los polígonos regulares de la exposición.

• Realizad un muestrario variado de mosaicos y elaborad unas etiquetas identi-ficativas para explicar qué polígonos lo componen y cuántos hay de cada tipo.

• Podéis animar la exposición utilizando música de fondo y haciendo una pe-queña demostración de cómo se construyen.

¡Enhorabuena! Habéis conseguido crear una exposición de mosaicos preciosos.Dad una vuelta y disfrutad.

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148

9Desde joven, Einstein seinteresó por entender el universo.Estaba convencido de que tanto los pla-

netas como las cosas más pequeñas tienen unmodo de funcionar parecido. Así empezó a

estudiar los conceptos de espacio y de tiempo.

Su pricipal descubrimiento, la teoría de la relativi-dad, se llama así porque quería demostrar que el movimien-

to de las cosas siempre es relativo, es decir, depende delpunto de vista del que lo observa.

Del mismo modo descubrió que el concepto de tiempo no esabsoluto, sino que también es relativo, depende del observador. Así,

debido al movimiento constante de la Tierra, el tiempo nos afecta de unmodo determinado, y fuera de la órbita terrestre, el tiempo nos afectaría deotra manera. En concreto, demostró que cuanto mayor es la velocidad, máslento pasa el tiempo. Para explicarlo usó el siguiente ejemplo.

Imagina a dos gemelos idénticos de veinte años. Uno permanece en la Tierra y el otroparte en una nave, que viaja a la velocidad de la luz, hacia una estrella lejana. Al regre-sar esa nave, para el gemelo que se quedó en la Tierra habrían pasado muchos años,pero en cambio para el otro, sólo unos pocos días. Esto se debe a que la velocidad dela nave es mucho mayor que la velocidad a la que se mueve la Tierra.

absoluto: definitivo, que no puedecambiar.

constante: siempreigual, que no varía.

órbita terrestre: latrayectoria que siguela Tierra al moverse.

Albert Einstein


1879. Formuló la teoría

de la relatividad.

Medida del tiempo. Sistema monetario

Einstein tuvo una vida larga y muy provechosa. Se hizo famoso por sus descubri-mientos, recorrió el mundo para dar conferencias y explicar sus ideas y en 1921recibió el Premio Nobel de Física.

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149

Actividades1. De los inventos que conoces, ¿cuáles

crees que han sido más útiles para lahumanidad?

2. ¿Cómo se puede evitar que se usen losinventos de forma negativa?

3. ¿Qué cosas te gustaría que no sehubieran inventado?

Ciencia y éticaLos avances de la ciencia por lo general nos ayudana mejorar nuestra vida. Gracias a las vacunas, porejemplo, podemos curar enfermedades que antescausaban la muerte. Y gracias a la gasolina tenemoscombustible para hacer funcionar nuestros coches.

Sin embargo, si estos descubrimientos se usan deforma incorrecta, pueden causar desgracias y sermuy negativos.

Los estudios de Albert Einstein fueron el punto departida para la construcción de la primera bombaatómica, con la que en 1945, durante la SegundaGuerra Mundial, fueron destruidas las ciudades deHiroshima y Nagasaki.


curiosidades sobre el

tiempo, en la unidad

estudiarás su medida

y el sistema

monetario.

En grupoBusca información sobreotros descubrimientos quehizo Einstein. Haced unpequeño debate en clasesobre qué utilidad tuvieron.

Sobre el texto1. ¿Qué significa que algo es relativo?

2. ¿Qué demostró Einstein sobre lavelocidad y el tiempo?

3. ¿Cómo afecta el paso del tiempo enel caso de los dos gemelos? ¿Por qué uno envejece más que el otro?

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150

Períodos mayores y menores que el año

Flavio tiene un globo terráqueo y le gusta hacerlo girar y ver los distintos países.

La Tierra gira sobre sí misma y tarda un día en dar una vuelta completa. Undía tiene 24 horas.

La Tierra gira también alrededor del Sol y tarda un año en dar toda la vuelta.Un año tiene normalmente 365 días, pero cada 4 años el mes de febrero tieneun día más y ese año tiene 366 días, es un año bisiesto.

Podemos medir el tiempo con períodos mayores y menores que un año.

Los siglos se representan con números romanos. Para calcular a qué siglo corresponde una fecha, separamos del año de la fecha las dos cifras de la derecha y añadimos una unidad al número formado por el resto de las cifras.

Año 2009 > 20 + 1 > siglo XXI Año 1753 > 17 + 1 > siglo XVIII

Semana Mes Quincena Trimestre Año Lustro Decenio Siglo Milenio

7 días30, 31, 28o 29 días

15 días 3 meses12

meses5 años 10 años 100 años

1 000años

Períodos menores de un año Períodos mayores de un año

Juanjo cumple 11 años el mes próximo. Piensa y contesta.

a. ¿Cuántos años cumplirá cuando pase un decenio?

b. ¿Y cuando pase un lustro?

Ana María cumple hoy siete años. Si dos de esos años han sido bisiestos,¿cuántos días ha vivido hasta ahora Ana María?

Un barco sale a pescar el lunes a las ochode la tarde y regresa el martes a las diez dela noche. ¿Cuántas horas ha estado pes-cando?

Un aventurero acaba de finalizar un viaje que ha durado un lustro y dos tri-mestres. ¿Cuántos meses ha durado en total el viaje?

3

4

5

6

Contesta en tu cuaderno.

a. ¿Cuántas vueltas da la Tierra al-rededor del Sol en un año?

b. ¿Cuántas horas dura una se-mana?

c. ¿Cuántos días hay en tres añosno bisiestos?

d. Si el día 1 de febrero de un añobisiesto es lunes, ¿qué día de lasemana es el último día del mes?

¿En qué siglo nacieron y en quésiglo murieron estos personajes?

a. Miguel de Cervantes (1547-1616)

b. Felipe II (1527-1598)

c. Cristóbal Colón (1451-1506)

d. Francisco de Goya (1746-1828)

e. Pablo Ruiz Picasso (1881-1973)

f. Juan Pablo II (1920-2005)

1

2

actividades

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Elsa fue al cine a ver una película que duró 1 hora, 45 minutos y 28 segundos.

Para medir cantidades de tiempo menores que un día usamos las horas, losminutos y los segundos. Sus símbolos, h, min y s, no llevan punto y no tie-nen plural.

Las horas, los minutos y los segundos se relacionan de forma sexagesimal,cada unidad equivale a 60 unidades de orden inferior.

Observa cómo señalamos las horas, los minutos y los segundos en los relojesanalógicos y en los digitales.

Las horas, los minutos y los segundos

1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s

151

× 60 × 60

× 3 600

h min s

: 60 : 60

: 3 600

h min s

h = 15 min h = 30 min

h = 45 min

14

12

34

Observa

Si el círculo completo del reloj equivale a 60 min, cal-cula los minutos que representa la parte coloreada decada reloj.

Escribe con cifras y símbolos la hora de estos relojes di-gitales.

Dalia ha recorrido un kilómetro en 8 min y 25 s. ¿Cuán-tos segundos ha empleado en el recorrido?

3

4

5

Convierte en tu cuaderno a las unidades que se indicancomo en el ejemplo.

a. 2 h = ..... min d. 4 min = ..... s g. 1 h = ..... s

b. 5 h = ..... min e. 10 min = ..... s h. 3 h = ..... s

c. 6 h = ..... min f. 85 min = ..... s i. 5 h = ..... s

Completa en tu cuaderno y transforma mentalmente aminutos o a horas.

a. 60 s = ..... min e. 180 min = ..... h

b. 120 s = ..... min f. 240 s = ..... min

c. 60 min = ..... h g. 300 min = ..... h

d. 3 600 min = ..... h h. 18 000 min = ..... h

1

2

actividades

3 h a minutos > 3 × 60 = 1803 h = 180 min

horario

minutero

secunderoh min s

a.

a. b. c. d.

b.

d.

e.

c.

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En una maratón, el ganador ha empleado 2 h 45 min 25 s en llegar a la meta.¿Cuántos segundos ha empleado el ganador de la carrera?

Para calcularlo, convertimos 2 h 45 min 25 s a una expresión simple con se-gundos.

El ganador de la maratón ha empleado 9 925 s.

Recuerda que la expresión simple de una cantidad es la que tiene un soloorden de unidades, y la expresión compleja, la que tiene varios.

152

Expresiones simples de tiempo

Para transformar una cantidad de tiempo dada en forma compleja auna expresión simple, convertimos las unidades dadas a la unidadque se pide y sumamos los resultados.

• Primero convertimos las horas yminutos a segundos.

2 h > 2 × 60 × 60 > 7 200 s

45 min > 45 × 60 > 2 700 s

• Después, sumamos todos los se-gundos.

7 2 0 0 s2 7 0 0 s

+ 2 5 s9 9 2 5 s

Transforma estas cantidades detiempo en las unidades que se in-dican.

a. 4 h 24 min = ..... min

b. 5 h 12 min = ..... min

c. 7 min 25 s = ..... s

d. 4 h 56 min = ..... s

Copia en tu cuaderno y une losvalores iguales de cada columna.

1 min 12 s 130 min

2 min 10 s 130 s

2 h 10 min 72 min

1 h 12 min 72 s

1

2

actividades

6 h 12 min > 6 × 60 + 12 = 3726 h 12 min = 372 min

¿Cuántos segundos son en cada caso?

a. 1 h 3 min 50 s c. 3 h 6 min 50 s e. 1 h 1 min 35 s

b. 2 h 5 min 25 s d. 15 min 25 s f. h 20 min 20 s

Expresa en segundos la jornada de trabajo de estas personas.

Si desde que empezó a llover hasta que paró pasaron 3 h 30 min, ¿cuántosminutos estuvo lloviendo?

Calcula cuántos segundos pasas en clase desde que entras al colegio por lamañana hasta que comienza la hora del recreo.

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Carla ha dado una vuelta al patio en 2 min 15 s y Adela, en 150 s. ¿Cuál delas dos ha sido más rápida?

Desde que Jesús bajó a jugar con sus amigos hasta que subió a casa hantranscurrido 10 740 en segundos.

a. ¿Cuántos minutos estuvo jugando Jesús?

b. ¿Cuántas horas y minutos son?

Esta tabla indica el tiempo que ha empleado cada gimnasta en realizar suejercicio.

a. ¿Qué gimnasta ha sido más rápida?

b. ¿Qué gimnasta ha sido más lenta?

c. ¿Cuántos segundos diferencian a la más rápida de la más lenta?

Expresiones complejas de tiempo

4

5

6

Expresa en minutos y segundosestas medidas de tiempo.

a. 125 s c. 1 835 s

b. 365 s d. 3 546 s

Transforma en forma compleja y completa en tu cuaderno.

a. 365 min = ..… h ..… min

b. 1 380 min = ..… h ..… min

c. 4 258 min = ..… h ..… min

d. 2 615 min = ..… h ..… min

Expresa en forma compleja conhoras, minutos y segundos estasmedidas de tiempo.

a. 3 785 s c. 12 390 s

b. 7 460 s d. 15 239 s

1

2

3

actividades

153

Para transformar una expresión de tiempo en forma simple a otra en forma compleja, la convertimos a unidades de orden superiordividiendo entre 60.

Luis y su familia han visto un partido de tenis que ha durado 7 748 s, pero seles ha hecho muy corto. ¿Cuántas horas, minutos y segundos ha durado elpartido de tenis?

Para calcularlo, debemos transformar 7 748 s en una expresión compleja conhoras y minutos.

El partido de tenis ha durado 2 h 9 min 8 s.

• Para ello, primero dividimos lossegundos entre 60 para ver cuán-tos minutos son.

• Después, dividimos los minutosentre 60 para ver cuántas horasson.

7 748 s = 2 h 9 min 8 s

El cociente son horas y el resto,minutos.

7 748 s = 129 min 8 s

El cociente son minutos y el resto,segundos.

7 7 4 8 s 6 01 7 4 1 2 9 min

5 4 88 s

1 2 9 min 6 00 9 min 2 h

1 h = 60 min

1 min = 60 s1 h = 3 600 s

recuerda

3 min 12 s 212 s 185 s 3 min 25 sCarmen Lisa Lola Ana

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Un equipo de gimnasia rítmica entrenó 2 h 26 min 50 s por la mañana y 1 h27 min 15 s por la tarde. ¿Cuánto tiempo entrenaron en total ese día? ¿Cuántotiempo más entrenaron por la mañana que por la tarde?

Para contestar a la primera pregunta, sumamos las cantidades de tiempo, y para resolver la segunda, las restamos.

Observa que transformamos las unidades en otras de un orden superior o in-ferior cuando es necesario.

154

Adición y sustracción de cantidades de tiempo

En la adición y en la sustracción de cantidades complejas de tiempo,sumamos o restamos unidades del mismo orden y transformamosunas unidades en otras cuando es necesario.

Como 65 > 60, transformamos los se-gundos en minutos y los sumamos alos anteriores.

3 h 53 min 65 s = 3 h 54 min 5 s

Ese día el equipo entrenó en total 3 h 54 min 5 s.

2 h 26 min 50 s+ 1 h 27 min 15 s

Como 26 < 27, transformamos unahora en minutos y los sumamos a lacolumna de los minutos.

2 h 26 min 50 s = 1 h 86 min 50 s

Por la mañana entrenaron 59 min 35 smás que por la tarde.

2 h 26 min 50 s 1 h 86 min 50 s– 1 h 27 min 15 s > – 1 h 27 min 15 s

35 s 0 h 59 min 35 s

–1 +60

3 h 53 min 65 s = 1 min + 5 s

Roberto sale de casa a las 8 h 12 min 27 s y regresa a las 13 h 30 min 15 s.¿Cuánto tiempo ha estado fuera de casa?

Hoy había en un puerto dos regatas. La primera ha durado 1 h 45 min 20 sy la segunda, 1 h 38 min 48 s.

a. ¿Cuánto tiempo han durado las regatas en total?

b. ¿Cuánto tiempo más ha durado la primera regata que la segunda?

Un ciclista ha recorrido los 45 km que hay entre Villarrubio y Ciruelo. Por la ma-ñana hizo el recorrido en 1 h 12 min 45 s y por la tarde, en 1 h 28 min 23 s.

a. ¿Cuánto tiempo ha tardado en los dos recorridos?

b. ¿Cuánto tiempo más ha empleado por la tarde que por la mañana?

3

4

5

Suma estas cantidades de tiempo.

a. 2 h 45 min 7 s + 1 h 38 min 20 s

b. 1 h 37 min 12 s + 4 h 5 min 52 s

c. 3 h 47 min 25 s + 56 min 30 s

d. 39 min 58 s + 1 h 43 min 34 s

Calcula la diferencia de tiempoentre estas cantidades.

a. 2 h 45 min – 1 h 38 min

b. 5 h 37 min – 4 h 54 min

c. 3 h 47 min 18 s – 1 h 56 min 9 s

d. 2 h 43 min 38 s – 1 h 9 min 56 s

1

2

actividades

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Julia ha repetido tres veces un ejercicio de natación sincronizada que dura15 min 50 s. Cintia, por su parte, solo ha hecho uno que dura la mitad que elde Julia. ¿Cuánto tiempo ha dedicado Julia a sus ejercicios? ¿Cuánto ha du-rado el ejercicio de Cintia en el agua?

El ejercicio ha durado 7 min 55 s.

45 min 150 s = 45 min + 2 min 30 s

47 min 30 s

Julia ha dedicado a sus ejercicios 47 min 30 s.

• Para calcular el tiempo que ha entre-nado Julia, multiplicamos:15 min 50 s por 3

• Para calcular la duración del ejer-cicio de Cintia, dividimos:15 min 50 s entre 2

Multiplicación y división de cantidades de tiempo

Para multiplicar o dividir cantidades complejas de tiempo por unnúmero natural, multiplicamos o dividimos cada una de las unidadespor dicho número y transformamos unas unidades en otras cuandoes necesario.

A Noel le encantan las tres películas de una trilogía. Si cada una de las pelí-culas dura 2 h 45 min, ¿cuánto dura la trilogía completa?

Convierte a minutos o segundos el dividendo y realiza estas divisiones.

a. 32 h 18 min : 2 c. 98 min 36 s : 6

b. 75 h 50 min : 5 d. 56 h 42 min 56 s : 8

Paula tarda 7 h 36 min en hacer una ruta enbicicleta y Héctor, la tercera parte que Paula.¿Cuánto tiempo tarda Héctor en hacer la ruta?

Alaia trabaja diariamente 8 h 30 min. Si el domingo descansa, ¿cuántotiempo trabaja durante la semana? Resuelve de dos formas diferentes.

4

5

6

7

Halla el producto de estas canti-dades de tiempo.

a. 7 h 14 min × 3

b. 13 h 21 min × 5

c. 21 h 43 min × 2

Convierte a una expresión simpleel primer factor y multiplica.

a. 37 min 35 s × 6

b. 112 min 17 s × 4

c. 95 min 23 s × 7

Copia en tu cuaderno y resuelve.

a. 6 h 42 min : 3

b. 14 h 36 min : 2

c. 45 min 55 s : 5

d. 181 min 24 s : 6

1

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3

actividades

15 min 50 s× 345 min 150 s

15 min 50 s 21 min 7 min 55 s

+60 s

155

110 s0 s

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Laura lee la etiqueta de una chaqueta y observa que el precio viene indicadoen distintas monedas.

En España y en varios países de Europa la unidad monetaria es el euro.

En otros países tienen monedas distintas, como la libra esterlina en Inglate-rra, el dólar en Estados Unidos, el rublo en Rusia o el yen en Japón.

La equivalencia entre el euro y cada una de estas monedas varía con eltiempo, no es un dato fijo.

156

El sistema monetario

Expresa en euros y céntimos estas cantidades.

Rubén se ha comprado una mochila de 46 € 15 cts. y unos patines que le hancostado 28,36 €. ¿Cuánto dinero se ha gastado Rubén en total?

Sergio, Adelina y Sara han estado ahorrando durante todo un año para elviaje de fin de curso. Sergio tiene en su hucha 97 € 53 cts., Adelina ha con-seguido reunir 7 930 cts. y Sara, 100,32 €.

a. Expresa todas las cantidades en euros.

b. ¿Quién tiene más dinero ahorrado? ¿Y menos?

Para poder celebrar el centenario de un colegio, cada uno de sus 976 alum-nos ha ingresado 27,50 € en una cuenta bancaria. Si los gastos de la fiestafueron de 24 972 €, ¿cuánto dinero ha faltado o sobrado de lo recaudado?

4

5

6

7

Escribe en tu cuaderno los billetesy monedas que forman nuestrosistema monetario.

Relaciona cada moneda con supaís de origen.

Rusia libra

Inglaterra euro

Estados Unidos yen

Japón rublo

España dólar

Convierte a forma compleja los si-guientes precios.

1

2

3

actividades

1 € = 100 cts.

La unidad monetaria de la Comunidad Europea es el euro. Algunasmonedas de otros países son el dólar, la libra, el rublo o el yen.

2,75 € = 2 € 75 cts. = 275 cts.

recuerda

libra esterlina dolar rublo yen

a. b.

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Raquel ha ido de vacaciones con su familia a Estados Unidos. Tiene 17 € ensu hucha y quiere saber cuántos dólares son.

Como el valor del euro en relación con el dólar es un dato que puede variarde unos años a otros, para averiguar cuántos dólares son 17 €, primero debemossaber la equivalencia entre las dos monedas en ese momento.

Para calcularlo, como a Raquel le dan 1,56 dólares por cada euro, multiplica-mos los euros por la cantidad de dólares que le dan.

17 × 1,56 = 26,52 17 € = 26,52 $

Luego 17 euros son 26,52 dólares.

Equivalencia entre el euroy el dólar

Copia en tu cuaderno y une con flechas. Ten en cuenta que 1 € = 1,56 $.

100 € 1 000 € 300 € 3 000 €

1 560 $ 4 680 $ 156 $ 468 $

Si 1 € = 1,72 $, compara en tu cuaderno utilizando los signos >, = o <.

a. 350 euros 530 dólares c. 172 dólares 100 euros

b. 876 euros 1 600 dólares d. 56 dólares 48 euros

Observa los dólares que tiene cada uno y contesta.

a. Si 1 $ = 0,64 €, calcula cuántos euros tiene cada uno.

b. Ordena de mayor a menor las cantidades del apartado anterior.

3

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5

Calcula los dólares que son estascantidades si 1 € = 1,56 $.

a. 23 € d. 1 000 €

b. 105 € e. 2 506 €

c. 821 € f. 6 342 €

Si Ángel ha cambiado 1 200 € endólares y en ese momento 1 € =1,63 $, ¿qué objetos puede com-prar con ese dinero? Razona turespuesta e indica los pasos quehas seguido.

1

2

actividades

157

1 dólar = 1 $

El dólar estadounidense es la moneda oficial de Estados Unidos. Su símbolo es $ y su relación con el euro no es siempre la misma.

500 $ 981 $ 712 $

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158

Resuelvo problemas

Interpretar de forma lógica los resultados de un problemaPara celebrar su cumpleaños, Paula ha invitado a susamigas al cine. La película que han decidido ver empiezaa las 21:15 y dura 2 horas y media. Si sus padres las reco-gerán a las 23:30 en la puerta del cine, ¿podrán ver la pe-lícula sin llegar tarde a la cita con sus padres?


El coche de Óscar tiene un depósito con capacidadpara 67,5 l de combustible. Quiere recorrer la distan-cia de ida y vuelta entre Tierra y Llanura sin repostar y sabe que con cada litro puede recorrer 16 236 m.

a. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con el depósitolleno?

b. ¿Podrá ir desde Tierra a Llanura y volver sin repostar?Razona la respuesta.

1 Rosa y Pedro quieren subirse a una barca de un parquede atracciones. Pedro pesa 59,750 kg, Rosa pesa 57 315 g y en la barca hay un cartel que indica quécarga puede llevar como máximo.

a. ¿Cuánto pesan entre los dos? Escribe el resultado enforma compleja con kilos y gramos.

b. ¿Podrán subirse los dos a la vez en la barca? Escribela diferencia entre el peso de los niños y lo queaguanta la barca.

2

• Primero averiguamos a qué hora acabará la película.

Como sabemos la hora de comienzo de la película y suduración, sumamos las cantidades.

La película terminará a las 23 h 45 min.

• Después, comprobamos si acabará antes o después dela hora fijada por los padres.

Como la película acabará a las 23:45 y los padres pasa-rán a recogerlas a las 23:30, si ven la película, no llega-rán puntuales a la cita. Tendrían que ir a la sesiónanterior o elegir otra película que termine antes.

21 h 15 min+ 2 h 30 min

23 h 45 min

23 h 45 min > 23 : 45

Observa

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159

Lógica

Ante la escasez de agua, los habitantes de un pueblohan recogido el agua de la fuente de la plaza durante3 h en un depósito con capacidad para 180 l. Si lafuente vierte en una hora 58 l 37 cl de agua, responde.

a. ¿Cuántos litros vierte la fuente en tres horas?b. ¿Tendrán suficiente con ese depósito? Razona tu res-

puesta.

Carmen pesa 27,580 kg, su hermano pesa exacta-mente el doble que ella, su padre pesa tanto como

Carmen y su hermano juntos y su madre, de lo que

pesa el padre. ¿Cuánto pesa cada miembro de la familia?

Un grupo de cuatro amigos van a una pizzería dondelas pizzas están cortadas en 4 partes. Si cada uno se

come de pizza, ¿cuántas pizzas pedirán? ¿Sobrará

algún trozo? Ayúdate con un dibujo.

34

23

5

4

3 En un colegio hay 1 860 alumnos, son chicas y el

resto, chicos. El profesor de Educación Física quiererepresentar los deportes practicados durante el cursoescolar en un tabla.

a. ¿Cuántas chicas hay en el colegio? ¿Y chicos?b. Observa las siguientes anotaciones y completa en tu

cuaderno la tabla que representa los deportes practi-cados.

• De las chicas, practica tenis y el resto, voleibol.

• De los chicos, la cuarta parte practica yudo y el restojuega al fútbol.

35

13

6

Razonamientos con el dinero y con el tiempo

Explica al menos tres formas distintas de sumar 7,24 € con este billete y estas monedas.Observa que las monedas pueden repetirse.

1

Amalia necesita una sartén y cuando llega a la tiendase encuentra con esta oferta. ¿Qué crees que haráAmalia antes de comprar? ¿Se llevará una, dos o tressartenes? Razona qué respuesta consideras más lógicay escríbela en tu cuaderno.

Estos relojes tuvieron una avería y señalan la hora con35 min de retraso. Dibújalos en tu cuaderno marcandola hora correcta.

32

voleibolyudofútboltenis

Deporte Chicos Chicas

a.

b.

c.

d.e.

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160

1. Escribe qué número expresa los años que hay en tres siglos.

2. ¿A qué siglo pertenece el año 1492, fecha del descubrimiento de América?

3. ¿Cuántos trimestres tiene un año? ¿Y semestres?

4. De los años 890, 799, 1250 y 810, ¿cuáles corresponden al siglo IX?

5. Calcula los minutos que hay en una hora y media y en una hora y cuarto.

6. ¿Qué operación debemos hacer para convertir minutos en horas?

7. ¿Cuántos minutos transcurrirán desde las 10 de la mañana hasta las12:30?

8. ¿Cuál es la expresión correcta de las tres y cuarto? a. 3,15 h b. 3 h 15 min c. 315 min

9. Expresa 130 min en forma compleja con horas y minutos.

10. ¿Cómo convertirías 250 cts. en euros y céntimos?

Decamat

Cálculo mental

Convierte mentalmente estas cantidades a la unidad que se indica.

a. 3 h = ..... min d. 15 h = ..... min g. 8 min = ..... sb. 5 h = ..... min e. 4 h = ..... min h. 5 min = ..... sc. 6 h = ..... min f. 7 min = ..... s i. 20 min = ..... s

Observa la estrategia anterior y explica cómo transformarías una cantidadde minutos en horas o de segundos en minutos. Escribe dos ejemplos decada caso.

Convierte mentalmente estas cantidades a la unidad que se indica.

a. 120 min = ..... h c. 240 min = ..... h e. 360 s = ..... minb. 180 min = ..... h d. 300 s = ..... min f. 420 s = ..... min

3

2

1


¿Cuántos minutos hantranscurrido si el reloj ha

estado parado un cuartode hora? Dibuja en tu cua-derno qué hora marcaría elreloj si no se hubiese parado.

2

3

1

1

2

3

1

Sudo

ku

Si quieres aprendersobre la importancia de

cuidar los recursosnaturales, lee La gran

sequía, de GunterPreuss. ¡Seguro que

te encantará!

Para transformar una cantidad de horas en minutos o deminutos en segundos, multiplicamos dichas cantidades por 60.

3 h > 3 h × 60 = 180 min 6 min > 6 min × 60 = 360 s

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161

Repaso

Santiago tiene 10 € y quiere comprar dos juguetes.¿Cuáles puede comprar? ¿Cuánto dinero le sobrará?


a. 21,3 + 0,36 + 135 c. 54 126, 21 – 8 309,7 b. 213,456 + 1 568,09 d. 27,219 – 0,328

Copia estas multiplicaciones en tu cuaderno y calculael resultado.

a. 43,7 × 8 d. 1 235 × 0,5b. 273,22 × 32 e. 23 491 × 3,7c. 8 254,56 × 17 f. 76 425 × 6,25

En el polideportivo del pueblo se celebró un concierto alque acudieron 24 567 personas. Si la entrada costaba6,4 €, ¿cuánto dinero se recaudó?

Completa en tu cuaderno con el término que falta.

a. 0,27 × ..... = 270 c. 18,5 × ..... = 18 500b. 3,68 × ..... = 36,8 d. 834,57 × ..... = 8 345,7

Resuelve las siguientes divisiones.

a. 27,45 : 10 c. 438,7 : 100b. 4 357,3 : 1 000 d. 87 : 1 000

Realiza la división con dos decimales y calcula el nú-mero que equivale a cada fracción.

a. b. c. d.

Irene y Pedro trabajan en un concesionario. Irene ha ven-

dido de los coches de la exposición y Pedro, el resto.

a. ¿Qué fracción representa los coches vendidos por Pe-dro?

b. Escribe la fracción que representa la diferencia entre loscoches vendidos por Irene y por Pedro.

345

184

712

278

69

8

7

6

5

4

3

2

1 Calcula el cociente con dos decimales en cada caso.

a. División en la que el divisor es 54 y el dividendo, 87 345,32.

b. División en la que el dividendo es 20 864 y el divisor,173.

Expresa en metros estas longitudes.

a. 12 km c. 12,567 hmb. 8,43 km d. 2 456,2 dam

Pablo, Miguel y Salvador han recorrido diferentes dis-tancias con sus vehículos. ¿Cuántos metros ha recorridocada uno? ¿Quién ha recorrido más?

Convierte las siguientes medidas a metros.

a. 60 mm c. 127,3 dmb. 87 cm d. 0,48 cm

Ordena de menor a mayor las cantidades de la actividadanterior.

Nombra y escribe en tu cuaderno tres instrumentos de medida que conozcas: uno de longitud, otro de masa y otrode capacidad. Indica qué se puede medir con cada uno.


a. 74 km 87 m + 19 km 469 mb. 82 km 392 m – 36 km 461 mc. 11 km 216 m × 6


a. 12 m2 = ..... dm2 c. 13,25 m2 = ..... mm2

b. 89 m2 = ..... dam2 d. 7,32 m2 = ..... cm2

Escribe estas cantidades en la unidad que se indica.

a. 23 hl = ..... l d. 52,6 g = ..... cgb. 3,5 kl = ..... dal e. 36 dag = ..... kgc. 87 l = ..... kl f. 275 mg = ..... g

17

16

15

14

13

12

11

10

9

P SM

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Aclaro mis ideas

162

El siglo

Operaciones con unidades de tiempo

Adición Sustracción Multiplicación División

Sistema monetario

La unidad monetaria de la Comunidad Europea es el euro.

1 € = 100 cts.

El dólar estadounidense es la moneda oficial deEstados Unidos. Su símbolo es $ y su relación conel euro no es siempre la misma.

Sistema sexagesimal

Las horas, los minutos y los segundos aumentan y disminuyen de 60 en 60, se relacionan de forma sexagesimal.

Semana Mes Quincena Semestre Año Lustro Decenio Siglo Milenio

7 días 30, 31, 28ó 29 días 15 días 6 meses 12

meses 5 años 10 años 100 años 1 000 años

Períodos menores de un año Períodos mayores de un año

1 h = 60 min

1 min = 60 s

1 h = 3 600 s

× 60 × 60

× 3 600

h min s

: 60 : 60

: 3 600

h min s

2 h 26 min 50 s+ 1 h 27 min 15 s

3 h 53 min 65 s

26 min 50 s3 3

45 min 150 s

47 min 30 s

2 h 26 min 50 s– 1 h 27 min 15 s

35 s1 h 86 min 50 s

– 1 h 27 min 15 s0 h 59 min 35 s

3 h 54 min 5 s

>-1 +60

>

15 min 50 s 21 min 7 min 55 s

+60 s

110 s0 s

>

Los siglos se representan con números romanos.

Año 2009 >� 20 + 1 >� siglo XXI Año 1753 �> 17 + 1 �> siglo XVIII

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• Los períodos mayores de un año son el ....., ....., ..... y ..... .El día, la semana, el ....., la ....., el ..... y el semestre sonperíodos menores que el año.

• Las unidades de medida del tiempo son la ....., el ..... y el..... . Sus símbolos son ....., ..... y ..... .

• Las horas, los minutos y los segundos aumentan y dis-minuyen de ..... en ....., se relacionan de forma ..... .

• En la adición y la sustracción de cantidades complejas,sumamos o restamos unidades del ..... orden.

• El ..... es la moneda oficial de Estados Unidos. Su símboloes ..... y su relación con el euro ..... es siempre la misma.

Responde a estas preguntas.

a. ¿Cuántas horas hay en una quincena?b. ¿Cuántos meses son un lustro?c. ¿Cuántos años son 120 meses? ¿Y 72 meses?

Convierte a minutos estas cantidades.

a. 3 h 27 min c. 4 h 32 min e. 11 280 sb. 10 h 5 min d. 5 h 41 min f. 12 900 s

Expresa en minutos y segundos estas unidades detiempo.

a. 98 s c. 271 s e. 1 268 sb. 152 s d. 936 s f. 2 068 s

Expresa en horas y minutos la duración de estos DVD.

179 min 216 min 137 min

Observa los tiempos empleados por cada coche y calcula.

4 h 37 min 22 s 5 h 56 min 45 s 7 h 16 min 38 s

6

5

4

3

2

1 Un corredor tarda en dar una vuelta a la pista 13 min 42 s.¿Cuánto tiempo tardará en dar siete vueltas? Expresa elresultado en forma simple y compleja.

Un ciclista ha tardado 57 min 27 s en completar nuevevueltas a un circuito. ¿Cuánto tiempo ha empleado endar una vuelta si en todas ha hecho el mismo tiempo?

¿Qué moneda se utiliza en cada país?

Rosa se va de viaje a Estados Unidos y antes de partirquiere cambiar esta cantidad de dinero.

Si en ese momento 1 € = 1,63 $, ¿con cuántos dólares seirá de viaje?

Convierte mentalmente estas cantidades a la unidadque se indica y completa en tu cuaderno.

a. 7 h = ..... min d. 6 min 15 s = ..... sb. 2 h 30 min = ..... min e. 360 min = ..... hc. 3 min = ..... s f. 240 s = ..... min

7

8

11

10

9

A + B C + B C – A

Rusia Inglaterra Japón

Alaia coge un tren por la mañana y tarda en lle-gar a su destino 5 h 24 min 40 s, y Ángel viaja enavión por la noche y tarda en llegar la cuartaparte que Alaia.

Calcula y explica cómo averiguarías los segundosque ha empleado Ángel en llegar a su destino.

12

163

A CB

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164

La geometría es la rama másantigua de las matemáticas. Las

primeras civilizaciones de lahistoria iniciaron su estudio

debido a su utilidad práctica paramedir tierras o realizar construcciones.

Euclides fue probablemente el matemático y geóme-tra más famoso de la Antigüedad. Dedicó su vida a estu-

diar todo lo que se sabía de matemáticas hasta entonces y aenseñarlo a las nuevas generaciones. Su obra más importante se

llama Los elementos y consta de trece libros. En ellos describe los concep-tos básicos de geometría, como línea, ángulo o superficie.

También define los tipos de triángulos y afirma que la suma de los ángulos interioresde cualquier triángulo es de 180º, independientemente del tipo de triángulo que sea.

Losángulos

Euclides

nació en Grecia en el

siglo IV a.C. Realizó las

primeras definiciones de

conceptos geométricos.

geometría: rama de lasmatemáticas que estudia lasfiguras planas y los cuerposque se pueden formar en el espacio.

generación: conjunto depersonas con una misma edad.

básico: fundamental, sobre loque se construye algo.

10

180o 180o

180o

180o180o

180o

Según la longitud de sus lados, un triángulo puede ser isósceles, equilátero o escaleno.

Según la amplitud de sus ángulos será rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:36 Página 164

165

Diferentes pero con algo encomúnEuclides observó que todos los triángulos tenían encomún algo fundamental: sus ángulos suman 180º. Estacondición la cumplen todos los triángulos que podamosimaginar, da igual que sean enormes o diminutos, equilá-teros o isósceles, rectángulos o acutángulos.

A primera vista, resulta mucho más fácil darse cuenta de lasdiferencias que de las similitudes. Incluso hasta el punto deque a veces cuesta creer que dos cosas pueden tener algo encomún aunque nos parezcan muy distintas. Solo al conocera fondo algo nos damos cuenta de cómo es realmente.

Con las personas pasa algo similar. Parecemos muy dis-tintos unos de otros, por nuestra apariencia física, nuestraforma de vestir, el idioma que hablamos o la religión quetenemos; sin embargo, siempre podemos encontrar cosasen común.


algo más sobre la

geometría, en la

unidad estudiarás los

ángulos y su medida.

En grupoBusca un plano de tu ciudad y dibuja el plano de tu barrio.¿Cómo está formado? ¿Qué utilidad crees que puedetener la geometría para la construcción de edificiosy calles?

d.

Actividades1. ¿Por qué crees que es más fácil ver

las diferencias que las similitudes?

2. ¿Es fácil equivocarse cuando juzgamoslas cosas a primera vista? ¿Por qué?

3. ¿Tienes algún amigo del queinicialmente pensabas que no ibas a serlo?

Sobre el texto1. ¿Qué característica común tienen todos

los triángulos?

2. ¿Cómo pueden clasificarse lostriángulos?

3. ¿Puede ser un triángulo escaleno y obtusángulo a la vez? Razona larespuesta.

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166

La medida de los ángulos

La amplitud de un ángulo es la medida de la abertura de sus lados.

Que un ángulo tenga una amplitud mayor o menor no depende de la longi-tud de sus lados sino de su abertura.

La unidad de medida de la amplitud de los ángulos es el grado. Su símbolo es º.

1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3 600“

1 grado = 1º

lado

vértice

Para medir ángulos con mayor exactitud, además del grado, se utilizan otrasunidades de medida como el minuto y el segundo. Sus símbolos son ‘ y “.

Estas unidades se relacionan de forma sexagesimal.

× 60 × 60

× 3 600

o , ,,

: 60 : 60

: 3 600

o , ,,

El grado es la unidad de medida de la amplitud de los ángulos. Su símbolo es º y se lee «grado». Otras unidades menores que el grado son el minuto y el segundo, cuyos símbolos son ‘ y “.

Un ángulo puede nombrarse devarias formas.

Observa

O

A

BAOB

Â

Copia en tu cuaderno y convierte estas amplitudes a lasunidades que se indican.

a. 6’ = ..... “ c. 2º = ..... “ e. 15’ = ..... “

b. 10º = ..... ‘ d. 5º = ..... “ f. 4º 2’ = ..... “

Convierte estas cantidades a las unidades de orden ma-yor que se indican y completa en tu cuaderno.

a. 360’ = ..... º c. 420” = ..... ‘ e. 18 000” = ..... º

b. 240’ = ..... º d. 480” = ..... ‘ f. 21 600” = ..... º

Una profesora dicta a sus alumnos la siguiente oración:«El mayor de los ángulos mide cuarenta y cinco gradostreinta y dos minutos...». Ángela escribe 45º 32 min yCarla, 45º 32’. ¿Quién ha escrito la amplitud de formacorrecta? ¿Por qué?

5

6

7

Escribe el nombre y los símbolos de las unidades de me-dida de la amplitud de los ángulos.

Cuando medimos la amplitud de un ángulo, ¿medimosla longitud o la abertura de sus lados?

Expresa con cifras y los símbolos correspondientes lassiguientes medidas de ángulos.

a. Treinta grados cincuenta minutos

b. Sesenta grados veinte minutos dieciocho segundos

c. Cincuenta grados treinta y ocho minutos cuarenta se-gundos

¿Por qué decimos que las unidades de medida de laamplitud de los ángulos se relacionan de forma sexa-gesimal?

1

3

4

2

actividades

A = 60o 40’ 20’’

lado

amplitud

^

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Para medir la amplitud de un ángulo utilizamos el transportador de ángulos.

El transportador es un semicírculo graduado con dos escalas, una en sentidocontrario a las agujas del reloj de 0º a 180º y otra, de 180º a 0º.

Los ángulos reciben nombres distintos según su amplitud.

Los ángulos y el transportador

167

Estima el valor de estos ángulos en grados. Después, cópialos en tu cuadernoy comprueba con el transportador tu estimación. ¿Cómo se llaman?

a. b. c. d. e.

Dibuja un ángulo de 120º y otro de 80º siguiendo estos pasos.

a. Traza con la regla una semirrecta. Llama 0 a su origen.

b. Haz coincidir el centro del transportador con el punto 0 y el cero del trans-portador con la prolongación de la semirrecta.

c. Haz una señal en el papel que coincida con los 120º y 80º del transportador.

d. Traza otra semirrecta desde 0 hasta la señal trazada.

2

3

Mide con el transportador la am-plitud de estos ángulos.

1

actividades

• Para medir un ángulo coloca-mos el transportador haciendocoincidir el centro con el vérticedel ángulo y el 0º con uno de suslados.

• Después, nos fijamos en el númeroque indica el otro lado del ángulosobre el transportador. Ese nú-mero es la medida de la amplituddel ángulo en grados.

Mide menos de 90º. Mide 90º. Mide más de 90º. Mide 180º. Mide 360º.

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano Ángulo completo

130º

a.

b.

c.

d.

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Observa los ángulos formados por estos lápices. ¿Cuánto medirá el ángulo for-mado entre el lápiz verde y el azul? ¿Cuánto medirá la diferencia de los ángulos?

A = 85º 25’ B = 60º 50’

Al sumar o restar ángulos obtenemos otro ángulo cuya amplitud es la sumao resta de las amplitudes de los ángulos iniciales.

168

Adición y sustracción de ángulos

Para sumar o restar ángulos, sumamos o restamos siempre unidades delmismo orden y transformamos unidades según el sistema sexagesimal.

• Para calcular el valor del ángulosuma de los ángulos A y B, suma-mos sus amplitudes.

Como los minutos suman más de 60,los convertimos en grados.

El ángulo suma mide 146º 15’.

Para poder restar los minutos, con-vertimos un grado en minutos.

El ángulo diferencia mide 24º 35’.

• Para calcular el ángulo diferenciaentre A y B, restamos sus ampli-tudes.

85º 25’+ 60º 50’

145º 75’ > 1º + 15’146º 15’

84º 85’ < 60’ + 25’85º 25’

– 60º 50’24º 35’

¿Cuánto mide la suma de los dos ángulos de mayor amplitud? ¿Y la dife-rencia entre el ángulo mayor y el menor?

Usando el transportador, dibuja los siguientes ángulos.

a. Dos ángulos, A = 100º y B = 40º

b. Ángulo suma, A + B

c. Ángulo diferencia, A – B

Raúl quiere estimar el valor del ángulo suma de las dos porciones de cadabandeja. Ayúdale y escribe en tu cuaderno la solución.

3

4

5

Calcula la amplitud del ángulosuma de estos pares de ángulos.

a. 60º 15’ y 30º 30’

b. 120º 20’ y 45º 53’

c. 110º 38’ 17“ y 80º 34’ 47”

d. 45º 25’ 40“ y 12º 32’ 50“

Halla la diferencia entre estos pa-res de ángulos.

a. 45º 46’ y 28º 25’

b. 59º 34’ y 19º 54’

c. 110º 38’ 17“ y 80º 34’ 67”

d. 45º 48’ 50“ y 12º 32’ 40“

1

2

actividades

A = 120º 45’ 34“ B = 83º 28’ 54“ C = 32º 15’ 58“

^ ^

A = 85º 25’

B = 60º 50’

^

^

^^ ^^

^ ^ ^

^ ^

^ ^

^ ^

a. b. c. d. e.

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La bisectriz de un ángulo

En cada caso está trazado uno de los lados de un ángulo en negro y su bi-sectriz en naranja. Copia en tu cuaderno y dibuja el otro lado de cada ángulo.

Rosario traza un ángulo de 120º y dibuja su bisectriz. Antonio continúa ytraza la bisectriz de uno de los ángulos obtenidos por Rosario.

a. Realiza los pasos que han seguido Rosario y Antonio.

b. ¿Cuánto medirá cada uno de los ángulos formados por la bisectriz de Antonio?

3

4

Copia en tu cuaderno estos ángu-los con el transportador y traza labisectriz con el compás.

¿Cuáles de estos puntos están enla bisectriz del ángulo?

1

2

actividades

169

Ángel tiene una cartulina que forma un ángulo de 80º. Quiere dibujar una lí-nea en la cartulina para doblarla por la mitad.

La semirrecta que divide a un ángulo en dos iguales y tiene como origen elvértice del ángulo se llama bisectriz.

• Para dibujar la bisectriz de un ángulo seguimos estos pasos.

Cada uno de los ángulos en los que ha dividido la bisectriz el ángulo mide 40º.Si Raúl dobla la cartulina siguiendo esa línea, la habrá doblado por la mitad.

Observa que todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de los lados.

90o 120o

160o

60o

A CB

Pinchamos con el com-pás en el vértice y dibu-jamos un arco que cortaa los lados en los puntos1 y 2.

Después, con centro en lospuntos 1 y 2 y con elmismo radio en ambos ca-sos, dibujamos dos arcosque se cortarán en unpunto C.

Por último, unimos elpunto C con el vérticedel ángulo y obtene-mos la bisectriz delángulo.

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que, con origen en elvértice, lo divide en dos ángulos iguales.

1

2

1

2

C

1

2

C

A^

B^

C^

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Teresa, Laura y Luciana han expuesto un trabajo en clase.

Han dibujado dos ángulos que comparten el mismo vértice en distintas posi-ciones sobre cartulina y han explicado a sus compañeros la diferencia quehay entre cada pareja de ángulos.

170

Ángulos consecutivos,adyacentes y opuestos

Explica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a. Los ángulos C y D son consecutivos.

b. Los ángulos A y C son consecutivos.

c. Los ángulos A y B son adyacentes.

Copia y nombra en tu cuaderno los ángulos que se in-dican a continuación.

a. Dos ángulos que seanadyacentes.

b. Dos ángulos que seanopuestos por el vértice.

c. Dos ángulos consecutivos.

Manuela ha dibujado dos ángulos adyacentes. Si unomide 35º 50’, ¿cuántos grados y minutos mide el otro?

3

4

5

Escribe en tu cuaderno de qué tipo es cada pareja deángulos.

Dibuja en tu cuaderno:

a. Dos ángulos consecutivos y señala el lado que tienenen común.

b. Dos ángulos adyacentes y señala el lado que tienen enla misma recta.

c. Dos ángulos opuestos por el vértice.

1

2

actividades

Tienen el vértice y unlado comunes. Formanun ángulo cuya ampli-tud es la suma de losdos.

Tienen el vértice y unlado común y el otrolado está sobre la mis-ma recta. Forman unángulo de 180º.

Tienen el vértice co-mún y los lados deluno son prolongaciónde los del otro. Sus am-plitudes son iguales.

Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes Ángulos opuestospor el vértice

Dos ángulos que tienen el mismo vértice pueden ser consecutivos,adyacentes u opuestos por el vértice.

A

CB

D

A

C

B

D

AB A

BA

C

B

D

^ ^

^ ^

^ ^

a.

b.

c.f.

e.

d.g.

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 170

Para la exposición, Aitor y Mikel han hecho otro trabajo con ángulos teniendoen cuenta en cada caso cuánto suman entre sí.

• Para calcular el ángulo complementario de uno dado, restamos su ampli-tud de 90º, y para hallar su suplementario, los restamos de 180º.

Ángulos complementariosy suplementarios

171

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

90º – 35º = 55º 180º – 70º = 110º

Dos o más ángulos son complementarios si suman 90º, y suplementarios, si suman 180º.

Calcula el valor del ángulo suplementario.

a. b. c. d.

Dos ángulos adyacentes ¿son complementarios o suplementarios? ¿Porqué?

Arantza ha dibujado dos ángulos consecutivos, un ángulo de 60º y otro de40º. ¿Cuánto suman? ¿Qué amplitud tendrá un ángulo suplementario a lasuma de estos dos ángulos? Representa gráficamente la solución en tucuaderno.

3

4

5

Señala qué ángulos son suplemen-tarios y cuáles complementarios.

¿Cuántos grados mide el ángulocomplementario de estos ángulos?

1

2

actividades

Los ángulos complementarios y suple-mentarios pueden ser más de dos.

Observa

Los ángulos unidos forman un án-gulo de 90º, un ángulo recto.

Los ángulos unidos forman un án-gulo de 180º, un ángulo llano.

A

BC

D

30o

40o

60o70o

120o 140o80o

90o

10o 20o

80o70o

A + B = 90º^ ^

A + B = 180º^ ^

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 171

Cuando giramos una figura respecto a un punto, obtenemos otra figura conla misma forma y el mismo tamaño pero colocada en distinta posición.

El punto sobre el que gira la figura se llama centro de giro y los grados quegira, amplitud del giro.

Además de la amplitud es importante saber el sentido del giro.

Si el giro sigue el sentido de las agujas del reloj, decimos que ha girado ensentido negativo, y si lo hacemos en sentido contrario, decimos que ha giradoen sentido positivo.

172

Los ángulos y los giros

La flecha ha girado un ángulo recto.

La flecha ha girado un ángulo llano.

La flecha ha girado tres ángulos rectos.

La flecha ha girado un ángulo completo.

Giro de 90º Giro de 180º Giro de 270º Giro de 360º

Copia esta figura y dibuja en tu cuaderno en qué posi-ción queda en cada caso.

a. Giro positivo de 90º

b. Giro negativo de 120º

c. Giro positivo de 270º

d. Giro positivo de 180º

Averigua qué animal ve el niño en cada caso.

a. Gira 90º en sentido negativo.

b. Gira 45º en sentido positivo.

c. Gira 180º en sentido negativo.

d. Gira 90º en sentido positivo.

e. Gira 270º en sentido negativo.

3

4

Observa la figura inicial y expresa la amplitud y el sen-tido del giro de la flecha en cada caso.

Indica el sentido del giro de la aguja y estima la ampli-tud del ángulo giro como en el ejemplo.

1

2

actividades

+ 60o

+ Giro de 90º ensentido positivo

Giro de 180º ensentido negativo–

a. b.

c. d.

a. b. c.+ 150˚

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Juan ha dibujado un triángulo y ha coloreado sus ángulos. Después, ha recor-tado los ángulos y los ha colocado de forma consecutiva. De este modo ha vistoque los tres ángulos suman 180º, un ángulo llano, y que son suplementarios.

Medida de los ángulos entriángulos y cuadriláteros

173

Observa las divisiones de estos pentágonos.

a. ¿Cuántos grados miden los ángulos de los trián-gulos verdes? ¿Cómo podemos averiguar el valorde los ángulos del pentágono verde?

b. ¿Cómo podemos calcular el valor de los ángulosdel pentágono rojo? ¿Cuánto miden todos sus án-gulos?

Dibuja un triángulo que tenga un ángulo de 30º y otro de 60º. Ayúdate conun transportador.

Calcula los ángulos del triángulo rectángulo formado por Andrés, Bárbara y Carlota si sabemos que uno de ellos es de 35º.

3Halla el valor de los ángulos quefaltan.

Calcula la amplitud de los ángulosque faltan en estos cuadriláteros.

1

2

actividades

C

BA

A

BC

180o

180o

180o

180o

Irene ha dibujado un cuadrilátero y, como Juan, ha coloreado sus ángulos.Después, ha recortado el cuadrilátero en dos triángulos. Así observa que loscuatro ángulos del cuadrilátero suman 360º, un ángulo completo.

Total = 2 × 180º = 360º

A + B + C = 180º

Los ángulos de un triángulo miden 180º, y los de un cuadrilátero,360º.

Los ángulos de un triángulo sonsuplementarios.

Observa

4

5

40o

100o

90o90o60o

60o

90o

120o

180o

90o

60o

^ ^^

A B

C

a. c.

b.

d.

a.

b.

c.

d.100º

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 173

174

Resuelvo problemas

Inventar dos preguntas para un mismo enunciado y resolverlasEl Ayuntamiento de Jata tiene que pagar 2 309 € men-suales por el mantenimiento de los jardines del pueblo,menos en los meses de julio y agosto, que le cuesta 3 516 €por mes. Además, durante este año ha comprado mobi-liario urbano por valor de 165 438 €.

Con el enunciado del problema y los datos que aparecenpodemos inventar distintas preguntas.

Para calcularlo, multiplicamos 2309 por 10 meses y le su-mamos 3516 por 2 meses, julio y agosto.

(2309 × 10) + (3516 × 2) = 23090 + 7 032 = 30122

El Ayuntamiento gasta al año 30 122 € en el manteni-miento de los jardines.


En una fábrica de juguetes se producen anualmente526 cajas de 18 bolsas con 30 balones en cada bolsa.Inventa dos preguntas que se resuelvan con estas ope-raciones.

a. 526 × 18 × 30b. (526 × 18) : 2

En una multicopista hay dos fotocopiadoras. Una deellas hace diariamente 13 562 copias y la otra, 9 536.Los domingos está cerrado. Completa y resuelve estaspreguntas en tu cuaderno.

a. ¿Cuántas fotocopias ..... en dos .....?b. ¿Cuántas ..... hace la ..... en una semana? ¿Y la segunda?c. ¿Cuántas ..... más hace la ..... que la ..... en tres días?

2

1 Un restaurante hace un trato con una frutería y le paga132 cts. por cada kilo de patatas y 67 cts. por cada kilode cebollas. La frutería le ha vendido en un año 3753 kgde patatas y 1 608 kg de cebollas. Inventa y resuelvetres posibles preguntas.

3

Para averiguarlo, dividimos 165 438 entre 3.

165 438 : 3 = 55146

En cada recibo pagará 55146 €.

¿Cuántos euros gasta al año el Ayuntamiento en el mantenimiento de los jardines?

Si paga los gastos del mobiliario urbano en trespagos iguales, ¿cuánto pagará en cada recibo?

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175

Lógica

Inventa y resuelve dos posibles preguntas para cadaproblema.

a. Irene y Esperanza han ido al supermercado. Irene ha

comprado de queso y Esperanza, .

b. Rubén quiere comprarse esta casa de campo y este co-che. Tiene ahorrada ya la tercera parte del valor de lacasa y para comprar el coche sólo le falta conseguir 5765 € más.

38

48

4

c. En un concierto benéfico la entrada costaba 23 €, yaunque 1 745 personas entraron con invitaciones, serecaudaron 2118323 €.

d. Una empresa de juguetes destina todos los años las

partes de sus beneficios a ayudas infantiles y el resto lodivide en partes iguales entre sus 758 empleados. Este año los beneficios de la empresa han sido de 3 437 530 €.

25

Razonamientos con ángulos y figuras

Observa la figura inicial. ¿Qué figura indica un giro suyo de 90º? Razona la respuesta.

Con la figura inicial como referencia, calcula aproximadamente los grados que ha girado la aguja en sentido negativo.

¿Cuántos grados ha girado la ficha aproximadamente en cada caso respecto al modelo? 3

2

1

A B C D

A B C D

a. e.d.c.b.

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 175

176

1. ¿Un ángulo es mayor cuanto más largos sean sus lados? ¿Por qué?

2. ¿La unidad de medida de los ángulos es el centímetro, el transportadoro el grado?

3. Nombra el instrumento con el que medimos la amplitud de los ángulos.

4. Calcula los grados del ángulo suma de un ángulo de 30º con otro deamplitud doble.

5. ¿Cómo se llama la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales?

6. Di el nombre que reciben dos ángulos que tienen un lado común.

7. Escribe la amplitud de tres ángulos que sean complementarios.

8. Indica la amplitud de dos ángulos que sean suplementarios.

9. Si el minutero de un reloj se ha desplazado de las 12:00 a las 16:00,¿cuántos grados ha girado en sentido negativo?

10. Si dos ángulos opuestos por el vértice son rectos, ¿cómo son sus lados?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas operaciones

a. 42 × 5 d. 18 × 5 g. 19 × 5b. 64 × 5 e. 86 × 5 h. 29 × 5c. 82 × 5 f. 62 × 5 i. 39 × 5

Observa la estrategia anterior y explica cómo multiplicarías un número por50. Escribe dos ejemplos y comprueba los resultados con la calculadora.

Halla mentalmente estos productos.

a. 22 × 50 d. 44 × 50 g. 68 × 50b. 16 × 50 e. 86 × 50 h. 66 × 50c. 28 × 50 f. 48 × 50 i. 82 × 50

2

1

3


Mira cómo se mueve la ruedaverde y averigua en quésentido girará la rueda roja.

1

2

1

4

4

3

Sudo

ku

Si quieres aprendersobre la pobreza y las

desigualdades sociales, leeEl marino de Cartagena,

de Michel Girin. ¡Seguroque te encantará!

Para multiplicar un número por 5, lo multiplicamos por 10 y dividimos el resultado entre 2.

38 × 5 = 38 × 10 : 2 = 380 : 2 = 190

AB

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 176

177

Repaso


a. 234 × ..… = 3 421 × 234b. 18 × 8 721 × 512 = 8 721 × 512 × ..…

c. (32 × 156) × ..… = 87 × (156 × 32)d. (100 × ..…) × 1 239 = 100 × (827 × ..…)

En las fiestas del pueblo de Marcial se alquilan bicis ypatinetes. Este año ha sido un éxito porque han alqui-lado 163 bicis y 211 patinetes. ¿Cuánto dinero han re-caudado?

Escribe una división exacta y otra inexacta y nombracada uno de sus términos.

Realiza estas divisiones y aplica la prueba de la divisiónpara comprobar que están bien hechas.

a. 812 743 : 28 b. 347 224 : 63 c. 923 120 : 362

Escribe dos divisiones en cada caso que tengan elmismo cociente. ¿Qué le sucede al resto de las divisio-nes inexactas?

a. 324 : 14 c. 38 426 : 16b. 1 245 : 25 d. 23 488 : 214

Halla el resultado de estas operaciones combinadas.

a. 125 × 3 – 82 : 2b. (12 + 14) × (21 – 16)c. 632 + (37 – 16) : 3

Redondea a las décimas y luego a la unidad.

a. 2,917 d. 9,806b. 0,89 e. 17,063c. 22,432 f. 5,091

7

6

5

4

3

2

1 Completa en tu cuaderno.

Elabora un gráfico circular con los datos de la tabla, querepresenta el color de las tarjetas que hay en una caja.

Compara las siguientes fracciones.

a. 1 c. e.

b. d. 1 f.

Escribe y representa gráficamente dos fracciones pro-pias, dos impropias y dos aparentes.

Ordena estos grupos de fracciones de mayor a menor.

Escribe una fracción equivalente a cada una de estasfracciones.

a. c. e.

b. d. f.

Completa estas equivalencias en tu cuaderno.

a. 29 m = ..... km c. 24,315 t = ..... kgb. 187 l = ..... kl d. 3,872 kg = ..... g

2112

1221

22

32

33

67

64

14

58

912

2418

12

1315

1122

13

12

11

8

55

65

12

10

9

Rojo Azul Verde Amarillo

30 5 15 10

, , , 106

16

36

86

, , , 69

61

64

68

13 €el día

9 €el día

826 × ……… = 826 000……….. × 10 000 = 4 200 0003 709 × 10 = …………..

625 × ………….. = 62 500

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Aclaro mis ideas

178

El ángulo

Elementos Unidades de medida

grado 1º = 60’

minuto 1’ = 60“

segundo 1º = 3 600“

Transportador

Tipos de ángulos

Consecutivos Adyacentes

Â + B = 180º

Opuestos por el vértice

A = B C = D

AB

AB A

C

B

D

Medida de los ángulos en polígonos

178_A2_15102

DIBUJO

Ángulos complementarios

A + B = 90º A + B + C = 90º

A

B

A

CB

Ángulos suplementarios

C + D = 180º A + B + C + D = 180º

C

DC

DB

A

Los ángulos y los giros

Sentido positivo Sentido negativo

+

—

90º 180º 270º 360º

Triángulo

A + B + C = 180º

Cuadrilátero

Total = 2 × 180º = 360º

Pentágono

Total = 3 × 180º = 540º

A

BC

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• El ..... es la unidad de medida de la amplitud de los án-gulos. Su símbolo es ..... . Otras unidades menores queel grado son el ..... y el ..... .

• Al sumar o restar ángulos obtenemos otro ..... cuya am-plitud es la ..... o ..... de las amplitudes de los ..... iniciales.

• La semirrecta que divide a un ángulo en dos iguales ytiene como origen el vértice del ángulo se llama ..... .

• Dos ángulos que tienen el mismo vértice pueden ser .....,..... u ..... por el vértice.

• Dos o más ángulos son complementarios si suman ..... ysuplementarios si suman ..... .

• Los ángulos de un triángulos miden ....., y los de un cua-drilátero, ..... .

Colorea en tu cuaderno como en el ejemplo.

a. b. c. d.

15º 90º 120º 315º

Copia estos ángulos en tu cuaderno. Mídelos con eltransportador e indica su nombre.

Observa y calcula.

A = 100º 32’ 45’’ B = 45º 26’ 9’’ C = 65º 19’

Traza la bisectriz de estos ángulos y escribe los gradosque medirán cada uno de los ángulos que se formen.

5

4

3

2

1 Observa estos ángulos y escribedos ángulos que sean consecutivos,dos adyacentes y dos opuestos porel vértice.

Calcula mentalmente el valor de los ángulos comple-mentarios y suplementarios de los siguientes ángulos.

Averigua el valor de los ángulos de estas figuras.


a. 28 × 5 d. 18 × 50b. 34 × 5 e. 22 × 50c. 84 × 5 f. 42 × 50

9

8

7

6

A + B C + A C − B A − C

110o 30o

80o

45o 30o 60o

C

D

BA

E

Descubre cómo puedes calcular el valor de unángulo interior de un hexágono de dos formasdistintas.

10

179

a. b. c.

a. b. c.

a. b. c.

a.c. d.

b.

164_179_15102_U10.qxd 8/9/09 18:37 Página 179

180

11

Sabemos que fue un matemático,filósofo e ingeniero griego, aunque

gran parte de su vida sigue siendoun misterio. No se sabe exacta-

mente en qué lugar nació ni lafecha de su nacimiento.

Posiblemente nació en una familianoble y viajó por Babilonia y por Egipto. Fue

allí donde aprendió geometría y después, al volver a Grecia,la aplicó en sus descubrimientos.

Entre otras cosas, se hizo famoso por adivinar la fecha exacta de uneclipse de sol, algo que era casi inconcebible en su época. Por ello fueconsiderado uno de los Siete Sabios de la antigua Grecia.

Se cuenta que en uno de sus viajes a Egipto, Tales supo calcular la altura de la pirá-mide de Keops. Para ello utilizó su propia sombra: esperó el momento en el que lalongitud de su sombra fuera igual a su altura. Pensó que, si su sombra medía lo mis-mo que él, entonces la sombra de la pirámide también mediría lo mismo que sualtura.

Además, fue capaz de utilizar la geometría para medir distancias, como la que sepa-ra a un barco de la costa.

Tales de Mileto

nació en Grecia hacia el

siglo VII a.C. Realizó

varios descubrimientos

utilizando la geometría.

Las figuras planas. El área

filósofo: persona quereflexiona sobre el sentidode la vida y de la conductahumana.

noble: que pertenece a unafamilia importante.

inconcebible: impensable,increíble.

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 180

181

RazonamientofilosóficoTales fue el primer filósofo griego. Los filó-sofos como Tales eran personas que intenta-ban explicar la realidad, el comportamientodel ser humano y dar sentido a la vida res-pondiendo a preguntas como: ¿qué es elmundo?, ¿qué es el hombre?, ¿qué puedoconocer?, ¿qué puedo esperar?, ¿quién soy?

Creían que era bueno, aunque difícil, cono-cerse a uno mismo, porque solo entendiéndo-nos a nosotros mismos podríamos entendera los demás.

Después de conocer

algunas aplicaciones de

la geometría, en la


figuras planas y cómo

calcular su área.

Sobre el texto1. ¿Por qué se consideraba a Tales

como un gran sabio?

2. ¿Qué pasos siguió para medir laaltura de la pirámide de Keops?

En grupo¿Qué tipos de eclipseexisten? Busca informaciónsobre los eclipses y quémedidas debemos tomar parapoder observarlos. Realizaduna exposición sobre eclipses para la clase.

Actividades1. ¿Por qué es importante conocerse

a uno mismo?

2. ¿Crees que los demás saben cómoeres? Escribe tres adjetivos quedefinan tu carácter.

3. Después, escribe otro tres objetivosque definan a tu compañero ycompartid la información. ¿Coincide?

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 181

182

Los elementos de unpolígono. El perímetro

Fernando está recortando polígonos de varios tipos para hacer un mosaico.¿Cuánto mide el perímetro de cada hexágono?

Un polígono es una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Son polígonos los triángulos, los pentágonos, los hexágonos...

• Los segmentos de la línea poligonal son los lados, y el punto donde se unen,los vértices.

• Una diagonal es un segmento que une dos vértices que no están en elmismo lado.

• Los ángulos se forman entre dos lados de un mismo vértice.

• El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de todos sus lados.

8 cm + 8 cm + 8 cm + 8 cm + 8 cm + 8 cm = 8 cm × 6 = 48 cm

El perímetro del hexágono es de 48 cm.

Los elementos de los polígonos son los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales. El perímetro se calcula sumando la longitud de todos los lados.

8 cm

Un polígono es convexo si todos susángulos interiores miden menos de180º, y cóncavo, en el caso contra-rio.

Observa

Dibuja en tu cuaderno estos polígonos y contesta.

a. Un polígono de cinco lados. ¿Cuántas diagonales tiene en total?

b. Un polígono de cuatro lados iguales de 5 cm de lado y sus dos diagonales.¿Cuántos triángulos se han formado?

c. Un polígono de seis lados con dos lados consecutivos coloreados con rojo ydos lados no consecutivos, con amarillo. ¿Cuántos vértices y ángulos tiene?

Ruth tiene que copiar en su cuaderno solo los polígonos que sean convexos.¿Cuáles copiará?

2

3

Calcula el perímetro de los si-guientes polígonos.

1

actividades

D

4 cm 12 cm

10 cm

8 cm

7 cm

A

B

C

D

3 cm

6 cm

4 cm

6 cm

12 cm

10 cm

8 cm

7 cm

diagonallado

ángulo vértice

a. b. c. d. e.

convexo cóncavo

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Los polígonos se pueden clasificar por el número de lados en triángulos, cua-driláteros, pentágonos, hexágonos...

Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se llaman regula-res y, en caso contrario, irregulares.

Los polígonos

183

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

7 lados 8 lados 9 lados 10 lados

Heptágono Octógono Eneágono Decágono

Polígonos regulares Polígonos irregulares

Describe estas figuras con una ficha como en el ejemplo.

¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 12 cm de largo y 8 cm de an-cho? Ayúdate de un dibujo y una regla.

El tablero de una mesa tiene forma de octógono regular. Si su perímetro esde 160 cm, ¿cuánto mide cada lado?

4

6

5

Jaime tiene una colección de po-savasos con formas poligonales.Son polígonos que tienen desdetres a ocho lados. Dibújalos en tucuaderno y debajo indica su nom-bre y el número de lados.

Utiliza una regla y una escuadrapara dibujar un cuadrilátero regu-lar de 6 cm de lado. ¿Qué nombrerecibe esta figura? ¿Cuál es su pe-rímetro?

Traza un triángulo y un hexágonoirregulares. Después mide sus pe-rímetros con una regla.

1

2

3

actividades

A: PentágonoClase: RegularLados: 5Vértices: 5Ángulos: 5Diagonales: 5

A

B

C

D

E

F

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 183

Según la amplitud de sus ángulos, un triángulo puede ser:

Según la longitud de sus lados, un triángulo puede ser:

184

Los triángulos

Copia en tu cuaderno estos triángulos y clasifícalos según sus lados. Después,traza y mide con una regla la altura de cada uno.

Calcula el valor de los ángulos de estos triángulos y clasifícalos según seansus ángulos.

3

4

Clasifica estos triángulos por suslados y por sus ángulos.

Dibuja un rectángulo y traza unade sus diagonales.

a. ¿En cuántos triángulos has divi-dido el rectángulo?

b. ¿Cómo son esos triángulos?

1

2

actividades

Tiene un ángulo recto.

Tiene los ángulos agudos.

Tiene un ángulo obtuso.

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

Tiene todos sus ladosiguales.

Solo tiene dos ladosiguales.

Tiene todos los ladosdesiguales.

Equilátero Isósceles EscalenoLa altura de un triángulo es el seg-mento perpendicular trazado desdeun vértice al lado opuesto.

Observa

AB

C

A B C

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Los cuadriláteros

Adivina de qué paralelogramo se trata. Ayúdate de un dibujo.

a. Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos rectos.

b. Tiene dos ángulos obtusos y los lados opuestos iguales.

c. Tiene cuatro ángulos rectos y sus lados no son todos iguales.

Calcula el valor de los ángulos de estos cuadriláteros.

Si el lado de cada cuadrado mide 2 cm, ¿cuál es el perímetro de estas figuras?

2

4

3

Clasifica estos cuadriláteros enparalelogramos, trapecios y trape-zoides.

1

actividades

185

Adela ha preparado este mural con la clasificación de los cuadriláteros.

Si un cuadrilátero tiene los lados opuestos iguales y paralelos, se trata de unparalelogramo. Si no es así, puede ser un trapecio o un trapezoide.

Según sean los cuatro lados de un cuadrilátero, puede ser:

La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360º.

A

B

C

D

E

F2 cm

Cuadrado Rectángulo

Rombo Romboide

Tienen los lados opuestos iguales y paralelos.

Trapecio

Solo tiene doslados paralelos.

Trapezoide

No tiene ningúnlado paralelo aotro.

Paralelogramos No paralelogramos

a. c.b.

b.a. c.

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 185

Ana quiere calcular la superficie que ocupan las alfombras de su habitación.

El área de una figura es la medida de su superficie, y para calcularla multi-plicamos siempre unidades del mismo orden.

Una de las alfombras tiene forma de cuadrado y la otra de rectángulo, pero lasdos están hechas con cuadrados de colores de 1 dm de lado.

Para calcular el área de cada alfombra, multiplicamos la medida del largo porla del ancho.

186

El área del cuadrado y del rectángulo

El área del cuadrado y del rectángulo es el producto de la base por la altura, es decir, del largo por el ancho.

Área = 3 dm × 3 dm = 9 dm2

Área = lado × ladoÁrea = 6 dm × 3 dm = 18 dm2

Área = base × altura

Área del cuadrado Área del rectángulo

3 dm

3 dm

6 dm

3 dm

Halla el área de los siguientes rectángulos.

Convierte las medidas a centímetros y calcula el área de estas figuras.

Una pieza de tela rectangular mide 12 cm de largo y 7 cm de ancho.

a. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene de área? Ayúdate de un dibujo.

b. ¿Cuántos centímetros mide su perímetro?

¿Cuántas piezas de 1 cm2 son necesarias para completar un mosaico rec-tangular de 20 cm de largo y 12 cm de ancho? Ayúdate de un dibujo.

2

3

4

5

Calcula el área de estas figuras encentímetros cuadrados.

1

actividades

10 cm

6 cm

6 cm

4 cm

4 cm

A

B

C

12 cm

10 cm

35,5 cm

10 cmA B

20 cm

0,85 m0,25 m

15 cmA B

base × altura = largo × ancho

Observa

A = l × l A = b × a

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 186

Antonio le explica a su hermana cómo puede calcular el área del triángulo ydel romboide si conoce el área del rectángulo.

Para ello le muestra que al doblar un rectángulo por la mitad obtenemos dostriángulos y que un romboide se convierte fácilmente en un rectángulo conla misma área.

El área del triángulo y del romboide

187

Área = = = 9 cm2

Área = base × altura2

18 cm2

26 cm × 3 cm

2Área = 5 cm × 2 cm = 10 cm2

Área = base × altura

Área del triángulo Área del romboide

5 cm

2 cm

A = b × a2

A = b × a

Halla el área de los siguientes romboides.

Calcula el área de los triángulos que tienen estas medidas.

a. Base = 12 cm y altura = 4 cm c. Base = 14 dm y altura = 7 dm

b. Base = 10 cm y altura = 8 cm d. Base = 2 dm y altura = 12 cm

Dibuja en tu cuaderno un rectángulo de 10 cm de largo y 8 cm de ancho.Después, traza una diagonal y calcula el área de uno de los triángulos quese han formado.

Emilia ha pintado una figura en un folio. Si la figura tiene una superficie de18 cm2, ¿cuál de estas dos es?

2

3

4

5

Calcula el área de estos triángulos.

a.

b.

c.

1

actividades

C10 c

m

16,4 cm

8 cm

14 cm

6 cm

12 cm

6 cm

3 cm

8 cm

3 cmA B

25,6 cm8 cm

6 cm 10 cmA B

6 cm

3 cm

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 187

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan delcentro.

Una circunferencia y su interior forman un círculo.

Algunos objetos como las ruedas de los vehículos, las monedas o incluso ali-mentos como las pizzas tienen forma circular.

• Para medir la longitud de la rueda de su bici, José Luis ha rodeado la ruedacon una cinta métrica y Ana ha hecho lo mismo con la suya.

Al dividir la longitud de la rueda entre su diámetro, los dos obtienen elmismo número.

78,5 : 25 = 3,14 ... 72,22 : 23 = 3,14 ...

Es el número pi, se escribe con la letra griega π y vale 3,14 ...

La longitud de una circunferencia es siempre algo mayor que el triple de sudiámetro. Para calcularla multiplicamos el diámetro por π.

188

La circunferencia y el círculo

78,5 cm

25 cm

23 cm

72,22 cm

Circunferencia Círculo

L = π × diámetro = π × 2 × radio

Otras figuras circulares son:

semicírculo sector circular

segmento circular

Observa

Julio tiene un aro de 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros recorrerá al dar200 vueltas completas?

Una tarta tiene 25 cm de diámetro.

a. ¿Cabrá en una bandeja circular de 13 cm de radio? Explica por qué.

b. ¿Cuántos centímetros de longitud tiene el borde de la bandeja?

Mide con la regla el diámetro de esta circunferencia enmilímetros y calcula su longitud.

Carla tiene un patín con ruedas de dos tamaños, unas miden 6 cm de radioy otras, 4 cm. Al recorrer 100 m con el patín, ¿qué rueda dará mayor númerode vueltas? ¿Por qué?

2

3

4

5

Calcula la longitud de estas cir-cunferencias.

1

actividades

diámetro

radiocentrocuerda

arco

12 cm

DB

A

8 cm 3 cm

C

2,5 cm

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 188

A nuestro alrededor podemos encontrar figuras que tienen simetría o pare-jas de figuras que son simétricas entre sí.

Figuras con simetría yfiguras simétricas

189

Al doblar la figura por el eje las dosmitades coinciden. Puede tener másde un eje.

Al doblar por el eje las dos figurascoinciden. Dos puntos simétricos es-tán a la misma distancia del eje.

Figura con simetría Figuras simétricas

Completa en tu cuaderno este par de figuras para que sean simétricas.

Dibuja sobre papel cuadriculado una figura simétrica a esta.

Miriam busca las parejas de figuras simétricas. ¿Cuáles son?

3

4

5

Copia en tu cuaderno las figurasque tengan simetría y traza todossus ejes de simetría.

Identifica las parejas de figurasque sean simétricas y explica porqué lo son.

1

2

actividades

eje de simetría

a. d.c.b.

eje

a. d.

b. c.

a.

b.

c.

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 189

Podemos formar mosaicos y composiciones trasladando una figura en dis-tintas direcciones.

En una traslación todos los puntos de la figura se desplazan en la misma di-rección y a la misma distancia. En el caso siguiente, por ejemplo, el taburetese traslada hacia la derecha 7 cuadritos.

190

Traslaciones

Anota los grupos de figuras que se han obtenido por traslación. 2Copia en tu cuaderno estas figu-ras y trasládalas 2 cm de distan-cia en la dirección y el sentidoindicado.

1

actividades

Las figuras se desplazan pero conservan el tamaño y la forma.

Figuras trasladadas

a.

b.

c.

d.

e.

a.g.

i.

b.

c.

d.

f.

e.

h.

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 190

Los planos y callejeros están divididos en cuadrículas para poder localizar unlugar de manera sencilla. Para indicar un lugar, nos fijamos en su casilla ynombramos la columna y la fila en la que se encuentra.

Plaza de los Luceros > (D, 2)

Imagina que estás en esa plaza y bajas hacia la izquierda por la avenida de laEstación. Al final de la calle giras unos 90º hacia la izquierda. Sigues andandohacia la glorieta hasta tomar la primera calle a la derecha. Estarás en una ca-lle paralela a Carratalá, ¿cuál es?

El recorrido que has seguido es el siguiente: (D, 2) > (C, 3) > (B, 3) > (B, 4) > (A, 4)

191

Movimientos en el plano

Un autobús sale de la estación y baja hasta la glorieta de la Estrella. En la ro-tonda gira 90º y toma la avenida de Maisonnave, deja dos calles a su iz-quierda y gira 90º en la tercera calle a la izquierda. Sube por ella hasta llegara San Juan Bosco; allí gira a la derecha y continúa hasta que en la calle si-guiente gira de nuevo a la derecha. Por fin, al llegar a una plaza se detiene.

a. Escribe el nombre de las calles por las que pasa el autobús.b. Indica con coordenadas el recorrido que ha seguido.c. ¿Dónde se encuentra ahora el autobús?

Un turista está en el cruce de la calle Maisonnave con la calle Federico Soto.Quiere ir a una librería que hay en el cruce de las calles del Poeta CamposVasallo y Quintana, pero antes pasará por el teatro para sacar dos entradas.

a. Describe el recorrido del turista y por qué calles pasa.b. Indica, nombrando las calles, el recorrido más corto para ir al teatro desde el lugar

donde se encuentra. ¿Qué casillas ha recorrido?

3

4

Si hay una librería en la esquinade la calle Castaños con Alfonsoel Sabio, ¿en qué casilla del planose encuentra?

Andrés vive en la segunda calleparalela a la del Poeta Vila yBlanco hacia el norte, en el puntomás alejado de la calle Serrano.

a. ¿En qué calle vive?

b. ¿Qué plaza está al lado de sucasa?

1

2

actividades

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 191

192

Resuelvo problemas

Calcular el área de figuras compuestasEn un pueblo con mucho turismo se va a restaurar estaparte de fachada del castillo medieval. Los albañiles en-cargados de su restauración han tomado las medidas ne-cesarias. Observa el dibujo y calcula qué superficie tienenque restaurar.

Para calcular el área total debemos dividirla en otras mássencillas que sepamos calcular. En este caso, podemos di-vidir la fachada en un triángulo, un cuadrado y un rec-tángulo.


Se quiere ampliar un polideportivo con una pista defutbito, una pista de tenis y otra de petanca con lasmedidas del dibujo. ¿Qué superficie de terreno se ne-cesitará para la ampliación?

1 Un arquitecto ha diseñado el plano de un apartamentocon una habitación con terraza y, en la misma zona, lacocina y el salón. Observa el plano y calcula la super-ficie del apartamento en metros cuadrados.

2

• Una vez dividida la figura, anotamos las medidas ne-cesarias para calcular por separado el área de cada una.

A = B = 2 × 2 = 4 C = 1,5 × 4

A = 2,5 m2 B = 4 m2 C = 6 m2

• Para saber el área total, sumamos las áreas parciales.

Área total = A + B + C

Área total = 2,5 m2 +4 m2 + 6 m2 = 12,5 m2

Luego tienen que restaurar 12,5 m2 de fa-chada.

2,5 × 22

2,5 m

2,5 m

campofutbito cocina

habitación

4,25 m

5,20

m

3,20

m

salón

terraza

tenis

petanca

16 m

3,75 m

2 m

1,5 m

4 m

2 m 1,5 m

4 m

2 m

2 m

40 m

25,50 m18 m 6 m

A

C

B

A B

C

28 m

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:40 Página 192

193

Lógica

Elisa está haciendo un tapiz cosiendo distintas telas.Observa cómo las ha unido y cuál es su medida y cal-cula el área total del tapiz. Expresa el resultado en me-tros cuadrados.

3 Un albañil quiere averiguar el área que le falta por em-baldosar para reformar la pared de una casa. Escribe lasuperficie que ha cubierto ya de baldosas y la que lequeda por embaldosar.

4

Flexibilidad imaginativa con figuras

Con las siguientes cuatro piezas, Luisa ha hecho estacomposición.

Dibuja en cartulina esas mismas piezas y forma estas trescomposiciones más.

1 Descubre cómo se han colocado las cuatro piezas pe-queñas en las dos figuras de abajo. Dibújalas en tucuaderno y traza las divisiones.

2

3,5

m

2 m 2,2 m 1,5 m

60 cm

120

cm

42 cm

90 c

m

135 cm

A

B

composición

D

CA DCB

figura 1 figura 2

180_197_15102_U11.qxd 8/9/09 18:41 Página 193

194

1. ¿Un triángulo equilátero puede ser también rectángulo? ¿Por qué?

2. ¿Qué diferencia hay entre un polígono convexo y otro cóncavo?

3. Calcula el perímetro de un hexágono regular de 5 cm de lado.

4. Tiene tres lados desiguales y un ángulo recto, ¿de qué clase de triángulose trata?

5. Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.¿Cómo se llama este grupo de polígonos?

6. ¿Qué cuadrilátero tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dosy dos ángulos agudos?

7. Calcula el área de un rectángulo que mide 10 cm de largo y 6 cm de ancho.

8. ¿Cuánto mide la superficie de un triángulo con 12 cm de base y la mi-tad de altura?

9. Entre una circunferencia de 10 cm de diámetro y otra que tiene 6 cm deradio, ¿cuál tiene mayor longitud? ¿Por qué?

10. ¿Cuántos grados tiene que girar la mitad de una figura con simetríapara coincidir con su otra mitad?

Decamat

Cálculo mental

Calcula mentalmente estas operaciones

a. 82 : 5 d. 42 : 5 g. 17 : 5b. 26 : 5 e. 98 : 5 h. 23 : 5c. 48 : 5 f. 64 : 5 i. 39 : 5

Observa la estrategia anterior y explica cómo dividirías un número entre 50.Escribe dos ejemplos y comprueba los resultados con la calculadora.

Divide mentalmente.

a. 250 : 50 c. 150 : 50 e. 870 : 50b. 420 : 50 d. 360 : 50 f. 230 : 50

2

1

3


Completa cada serie con cuatrofiguras más.

3

3

2

1

1

4

Sudo

ku

Si quieres aprendercosas nuevas sobre la lectura

y el mundo de los libros, lee El libro de Guillermo,

de Carlo Fabretti. ¡Seguro que te encantará!

Para dividir un número entre 5, lo dividimos entre 10 y multiplicamos el resultado por 2.

43 : 5 = (43 : 10) × 2 = 4,3 × 2 = 8,6

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195

Repaso

Representa gráficamente estas fracciones.

Este gráfico representa los postres que se han tomadoen un comedor escolar durante una semana.

a. Realiza su tabla de frecuencias.b. Si cada alumno toma un solo postre, contesta:

• ¿Cuántos alumnos comen diariamente en el come-dor?

• ¿Cuántas piezas de fruta se han tomado en total durante la semana? ¿Y yogures?

• En esta semana, ¿qué media de piezas de fruta se han tomado diariamente? ¿Y de yogures?

Halla el cociente con dos decimales de estas divisiones.

a. 632 458 : 27 b. 36 781 : 72 c. 66 342,63 : 56

Escribe con cifras estas cantidades.

a. Cero gramos ciento veinte miligramosb. Dos metros noventa y ocho milímetrosc. Quince litros quince centilitrosd. Tres toneladas doscientos dos kilogramos

Clasifica estos períodos de tiempo según sean menoreso mayores que un año y escribe su duración.

Expresa en forma compleja con minutos y segundos.

a. 140 s b. 180 s c. 726 s d. 1 253 s

6

5

4

3

2

32

58

67

52

1 Realiza estas operaciones en tu cuaderno.

a. 5 h 27 min + 3 h 46 minb. 23 h 18 min – 16 h 25 min

Nuria tarda en hacer los deberes 38 min 24 s, Noelia tardael triple que Nuria y Carlos emplea la mitad de tiempo queNuria. Escribe cuánto tarda cada uno en hacer los deberes.

Si 1 € = 1,56 $, calcula los dólares que son estas can-tidades.

Mide estos ángulos con ayuda de un transportador.

Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos y traza subisectriz.

a. 40º b. 80º c. 120º

Observa el dibujo y escribe dos ángulos de cada tipo:consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice, com-plementarios y suplementarios.

Calcula el valor de los ángulos que faltan de estas figuras.13

12

11

10

9

8

7

A

B

C

D

110o

30o

38o

60o125o

C

DB

A

E F

835 € 1 315 €

quincena decenio cuatrimestre

milenio trimestre

lustro

siglosemana

12 921 €

a.

b.

c.

d.

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Aclaro mis ideas

196

Clases de polígonos

Por el número de lados

triángulo heptágonocuadrilátero octógonopentágono eneágonohexágono decágono

Clases de triángulos

Por sus ángulos

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

Por sus lados

Equilátero Isósceles Escaleno

Por sus lados y sus ángulos

Regulares Irregulares

Por sus ángulos

Cóncavos Convexos

Clases de cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Cálculo de áreas

Área = l × l Área = b × a Área = Área = b × ab × a2

No paralelogramos

Trapecio Trapezoide

Circunferencia y círculo

L = π × diámetro = π × 2 × radio

Figuras circulares

SemicírculoSector Segmento circular circulardiámetro radio

centro cuerdaarco

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• Los elementos de un polígono son los ....., ....., ..... y las ..... .• El perímetro es la ..... de la longitud de todos los ..... .• Si un polígono tiene todos sus ..... y todos sus ..... igua-

les, se dice que es un ..... regular.• Los triángulos pueden clasificarse según sus ..... o según

sus ..... .• La circunferencia es una ..... cerrada y ..... cuyos puntos

..... del centro. Una ..... y su ..... forman un círculo.• Una figura tiene simetría si al ..... por el eje las dos ..... coin-

ciden. Dos puntos ..... están a la misma distancia del eje.

¿Qué figuras son polígonos? Indica cómo se llaman y cuántos lados y vértices tienen.

Copia en tu cuaderno y une con flechas cada nombrecon la figura que le corresponda.

rectángulo acutángulo isóscelesequilátero escaleno obtusángulo

Corrige las oraciones que sean incorrectas.

a. Un trapezoide tiene todos sus lados iguales.b. El romboide no es un cuadrilátero.c. Un cuadrado es un cuadrilátero paralelogramo.d. Un rectángulo tiene todos sus lados iguales.e. Todos los ángulos de un cuadrilátero suman 180º.

¿Cómo definimos una circunferencia? ¿Y un círculo? Di-bújalos en tu cuaderno y señala sus elementos.

Halla el área de estos paralelogramos.6

5

4

3

2

1 Dibuja estos polígonos y calcula su área.

a. Triángulo de base 3,6 cm y altura 6,2 cm.b. Romboide de largo 7,8 cm y altura 4,5 cm.c. Triángulo de base 8 cm y altura ¼ de la base.

¿Cuánto recorrerán estos aros después de 15 vueltas?

Clasifica los siguientes pares de figuras según se hayanobtenido por traslación o por simetría.


a. 42 : 5 c. 66 : 5 e. 63 : 50b. 24 : 5 d. 22 : 50 f. 75 : 50

7

10

9

8

5,5 cm6 cm

7,3 cm

4 cm

8 cm

4 cm

A

B C

AC D

B

13 cm8,5 cm

a.

b. d. f.

c. e.

a.

b.d.

c.

¿Cómo podrías calcular el área del triánguloverde grande? ¿Y la de un triángulo rojo? Calcú-lala y razona tu respuesta.

11

14 cm

10 cm

197

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198

Gaudí fue un arquitecto muy original.No solo fue innovador en sus

diseños, sino también en suforma de trabajar, ya que en

lugar de dibujar sus proyectossobre el papel hacía maquetas tridi-

mensionales, para que pudiera verse exacta-mente cómo quedarían una vez construidos.

Para trabajar, sacaba sus ideas de la naturaleza y bus-caba en ella formas geométricas que pudiera copiar en

sus construcciones. Las montañas, las cuevas y las plantas le sir-vieron de modelo, porque se parecen mucho a figuras con volumen.De este modo, Gaudí dibujaba edificios usando líneas curvas y figurasque imitaban los cuerpos geométricos que observaba en la naturaleza.

Los cuerposgeométricos

Antonio Gaudí

nació en Cataluña en

1852. Fue un arquitecto

muy importante y usó la

geometría en sus

diseños.

innovador: que inventacosas nuevas.

diseño: dibujo detalladode lo que se va aconstruir.

tridimensional: que se veen las tres dimensiones,alto, largo y ancho.

12

Además de ser un gran arquitecto, Gaudí quiso aprender todos los oficios relacio-nados con la construcción de edificios. Así, aprendió carpintería, escultura y a tra-bajar con vidrio, cerámica y yeso. De esta forma, imaginaba y creaba los edificios deprincipio a fin, desde su construcción hasta los detalles más pequeños, como la ilu-minación o los muebles.

A lo largo de su vida, Gaudí realizó muchas obras y muy distintas, como parques,casas, iglesias o escuelas. Muchas de ellas pueden visitarse hoy en día. Su trabajomás importante es quizá la construcción de la catedral de la Sagrada Familia, enBarcelona, aunque después de su muerte todavía se sigue trabajando en ella.

198_215_15102_U12.qxd 8/9/09 18:45 Página 198

199

Gaudí y la Sagrada FamiliaAunque la Sagrada Familia ya estaba construyéndose cuan-do Gaudí se hizo cargo de ella, el arquitecto se preocupó detodos los detalles, dedicó todos sus esfuerzos para mejorar elproyecto, ampliarlo y hacer que el resultado fuera su obramaestra.

A menudo surgieron dificultades, lo criticaban por quererhacer una catedral tan grande y algunos resultados no gusta-ban a mucha gente. También hubo problemas económicos:una obra así costaba mucho dinero y en varias ocasionesestuvo a punto de pararse por falta de financiación.

A lo largo de toda su vida, Gaudí se comprometió con estetrabajo. Superó todos los problemas para poder llevarlo acabo, con gran esfuerzo y dedicación. Incluso llegó a pedirlimosna para poder continuar las obras.

Después de conocer

el uso de la geometría

en la arquitectura, en

la unidad estudiarás

los cuerpos

geométricos.

En grupoBusca más información sobre laSagrada Familia y otras obras deGaudí. ¿Qué formas utilizó pararealizarlas? ¿En ellas ves líneas rectas o curvas? ¿A qué figurasgeométricas se parecen? Realiza lamaqueta de algún edificio u objeto y exponedlas todas en clase.

Actividades1. ¿Por qué crees que era tan importante

para Gaudí sacar adelante su proyecto?

2. ¿Cómo demostró que estabacomprometido con ese trabajo?

3. ¿Qué cosa es importante para ti? ¿Qué estarías dispuesto a hacer para conseguirla?

Sobre el texto1. ¿De dónde sacaba Gaudí las ideas

para sus obras?

2. ¿Qué oficios relacionados con laconstrucción aprendió Gaudí?

3. ¿Qué tipos de obras realizó estearquitecto?

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200

Los poliedros y sus elementos

Algunos objetos o edificios que nos rodean tienen formas geométricas.

Un cuerpo geométrico es una figura con largo, ancho y alto. Si está limitadopor polígonos, recibe el nombre de poliedro.

Realiza una tabla en tu cuaderno con el número de caras, aristas y vérticesque tienen estos poliedros.

A B C D E

Observa la forma de estos dos objetos. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

2

3

Dibuja en tu cuaderno los cuerposque sean poliedros y explica porqué los otros no lo son.

1

actividades

Poliedros irregulares

Prismas Pirámides Otros poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. Loselementos de los poliedros son las caras, las aristas y los vértices.

vértice vérticearista

cara lateralbase

base

A

G H

D E

B

F

C

I

Los poliedros pueden ser regulares o irregulares. Un poliedro es irregular silos polígonos que lo forman no son todos iguales. Según sus caras, los polie-dros irregulares pueden ser:

A B

198_215_15102_U12.qxd 8/9/09 18:45 Página 200

Un poliedro es regular si los polígonos que lo forman son todos iguales y, ade-más, en todos los vértices se unen el mismo número de caras.

Solo existen 5 poliedros regulares.

Los poliedros regulares

201

4 triángulos equiláteros iguales 6 cuadrados iguales

Tetraedro Hexaedro o cubo

Octaedro Dodecaedro Icosaedro

8 triángulos equiláteros 12 pentágonos iguales20 triángulos

equiláteros igualesEsta figura no es un poliedro regular.

Observa

Contesta a las preguntas de Miguel sobre estas figuras.

a. ¿Qué poliedros son regulares? ¿Cuál es su nombre?

b. ¿Qué poliedros tienen cuatro caras laterales?

c. ¿Qué poliedros tienen alguna cara triangular?

2¿A qué poliedro regular corres-ponde cada desarrollo plano?

1

actividades

3 aristas

4 aristas

A

B

C

D

E

A B C D

E F G H

198_215_15102_U12.qxd 8/9/09 18:45 Página 201

Los prismas son poliedros que tienen dos bases iguales y paralelas y caras la-terales que son paralelogramos.

Los prismas reciben el nombre del polígono de su base. Pueden ser triangu-lares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales…

Según la posición de las aristas laterales, los prismas pueden ser rectos u obli-cuos. Según sean sus bases, pueden ser regulares o irregulares.

202

Los prismas

Las aristas son perpendi-culares a la base.

Las aristas son oblicuas ala base.

Prisma recto Prisma oblicuo

La base es un polígonoregular.

La base es un polígonoirregular.

Prisma regular Prisma irregular

Escribe el nombre de los prismas del ejercicio anteriorcomo en el ejemplo.

¿A qué tipo de prisma corresponden estos desarrollos?

Amalia ha dibujado un prisma cuadrangular y en cadavértice ha colocado un punto rojo. Haz lo mismo en tucuaderno.

2

3

4

Observa las siguientes figuras y contesta.

a. ¿Qué prismas son rectos? Explica por qué.

b. ¿Qué prismas son oblicuos? Explica por qué.

c. Escribe el nombre de los dos prismas irregulares.

d. ¿Qué prisma recibe el nombre de cubo? ¿Cuántas caras tiene? ¿Cómo son?

1

actividades

La figura A es un prisma hexagonal recto regular.A B C

D E

A

B

C

198_215_15102_U12.qxd 8/9/09 18:45 Página 202

Las pirámides

203

Según la posición de su altura, las pirámides pueden ser rectas u oblicuas. Se-gún sean sus bases, pueden ser regulares o irregulares.

El segmento trazadodesde la cúspide a la basecae en su centro.

El segmento trazadodesde la cúspide a la baseno cae en su centro.

Pirámide recta Pirámide oblicua

La base es un polígonoregular.

La base es un polígonoirregular.

Pirámide regular Pirámide irregular

Observa las figuras anteriores y contesta.

a. ¿Qué pirámides son rectas? Explica por qué.

b. ¿Qué pirámides son oblicuas? Explica por qué.

c. Escribe el nombre de las dos pirámides irregulares.

d. ¿Qué pirámide recibe el nombre de tetraedro? ¿Cuán-tas caras tiene? ¿Cómo son?

Luis dice que tiene una pirámide hexagonal con seis ca-ras laterales y seis vértices. ¿Es correcto lo que diceLuis? ¿Por qué?

El lado de la base de una pirámide pentagonal regularmide 6 cm, y una arista lateral, el doble.

a. ¿Qué longitud tendrán en total todas las aristas?b. Si la altura de los triángulos es de 11,5 cm, ¿cuál será

el área de todas las caras laterales?

2

3

4

Escribe el nombre de las pirámides como en el ejemplo.1

actividades

La figura A es una pirámide triangular oblicua irregular.

A

C

B

E

D

La tienda que ha estado montando Carolina tiene forma de pirámide.

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base y caras laterales queson triángulos. El vértice común a todas las caras laterales se llama cúspide.

198_215_15102_U12.qxd 8/9/09 18:45 Página 203

Susana observa estos objetos que tienen forma de cilindro, de cono y de es-fera.

Estos tres cuerpos no son poliedros porque no están limitados por polígonossino por una superficie lateral curva.

204

El cilindro, el cono y la esfera

Averigua de qué cuerpo se trata en cada caso.

a. Tiene una única base circular y una superficie curva.

b. Está limitado por una superficie lateral curva y dos bases circulares paralelase iguales.

c. Todos los puntos de su superficie equidistan del centro.

Nombra y dibuja en tu cuaderno dos objetos que tengan forma de cilindro,otros dos con forma de esfera y otros dos de cono.

Escribe en tu cuaderno las definiciones del cilindro, del cono y de la esfera.

Lee y corrige los enunciados incorrectos.

a. El cilindro tiene dos bases circulares paralelas e iguales.

b. Casi todos los puntos de la superficie de la esfera están a la misma distanciadel centro.

c. El cono puede tener dos bases circulares.

d. La cúspide es un elemento del cono.

2

3

4

5

Clasifica estos objetos por suforma en cilíndricos, cónicos o es-féricos.

1

actividades

Tiene dos bases circu-lares iguales y parale-las.

Tiene una base circu-lar.

Los puntos de su su-perficie equidistan delcentro.

Cilindro Cono Esfera

A

C

B

D

E

G

I

F

H

A B C

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El cilindro, el cono y la esfera

205

Esta lata cilíndrica tiene un diámetro de 6 cm. Piensa y calcula.

a. La longitud de la circunferencia de la base.

b. La distancia recorrida por la lata al rodar y dar 1 000vueltas completas.

Observa la huella dejada por un vaso cilíndrico con basede 5 cm de diámetro y 10 cm de altura.

a. ¿Qué longitud tiene la circunferencia de su base?

b. Dibuja en tu cuaderno la huella que dejaría el vaso al dar una vuelta completa sobre sí mismo.

c. Calcula el área de la huella rectangular.

Juan ha mirado un cilindro, un cono y una esfera defrente y desde arriba. ¿Qué dos vistas corresponden alcilindro? ¿Y al cono? ¿Y a la esfera?

10

11

12

¿Qué desarrollo plano corresponde al cilindro y cuál alcono? ¿Existe un desarrollo plano de la esfera? Razonala respuesta.

Dibuja la escultura abstracta que se describe a conti-nuación.

«Tiene un cubo como base y en cada una de las esquinassuperiores hay un cilindro en vertical. Encima de todosellos se ve una pirámide cuadrangular en cuya cúspide sesujeta una esfera con un cono a cada lado.»

Escribe en tu cuaderno qué tres piezas de cada grupoforman una esfera.

Clasifica estas piezas por su forma en semiesferas, se-micilindros o semiconos.

6

7

8

9

actividades

5 cm

10 cm

A B C

AC

B D

A

BC

D

A E

C

DB

F

G

A B

E

G

F

C

D

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206

Resuelvo problemas

Inventar el enunciado de un problema y resolverlo con la estrategia más apropiada

• ¿Cuántos kilómetros recorre el taxista en una semana?

Para añadir un enunciado a esta pregunta, debemos in-cluir en él todos los datos necesarios para poder respon-derla.

Un posible enunciado para la pregunta planteada arribapodría ser:


Inventa un enunciado para cada problema.

a. Observa el precio de estos artículos.

b. ¿Cuántos litros faltan para completar el depósito delavión después de echar en él todo el combustible delcamión cisterna?

1

c. ¿Cuántas toneladas y kilogramos de carga lleva en totalel tren?

d. ¿Cuántos metros le faltan a Paula para recorrer la dis-tancia entre Pisto y Contra?

Para saber si el enunciado es válido para la preguntaplanteada, resolvemos el problema.

• Leemos el enunciado y averiguamos qué pregunta elproblema.

En este caso son los kilómetros que recorre el taxistadurante la semana, de lunes a viernes y el sábado.

• Buscamos en el enunciado los datos necesarios pararesolver el problema y operamos.

(815 km × 6) + 576 km

4 890 km + 576 km

5 486 km

• Por último, vemos que con los datos del enunciado ob-tenemos la respuesta a la pregunta planteada.

En total el taxista recorre a la semana 5 486 km.

Yafit es un taxista que trabaja 6 días a la semana. De lunes a viernes recorre con su taxi 815 km diariosy el sábado recorre 576 km.

? ? ?

Pisto

Contra

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Lógica

Visión espacial

Observa la imagen de la izquierda e indica en tu cuaderno desde dónde se pueden ver cada una de las siguientes vistas.

Relaciona cada figura con su vista de frente y desde arriba. 2

1

207

Aforo completo

adulto: 12,75 €

niño: 7,36 €

A CB

D E

1

2

3 45

A

B KHE

F LIC

JGD

e. ¿Qué distancia recorrerá cada rueda al dar 25 vuel-tas? ¿Cuánto más recorrerá una que otra?

f. ¿A qué hora llegará el autobús a su destino?

g. ¿Cuánto dinero se ha recaudado en el concierto be-néfico?

h. ¿Qué longitud tendrá el ovillo rojo si mide 7 veces másque el azul?

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208

1. ¿Qué es un cuerpo geométrico?

2. Las pirámides y los prismas son poliedros, pero ¿en qué se diferencian?

3. ¿Cómo se llaman los puntos de un poliedro donde se unen tres o másaristas?

4. ¿Cuántas caras tiene en total un prisma hexagonal?

5. Imagina una pirámide pentagonal y di cuántas caras triangulares tiene.

6. Si las aristas de un prisma son perpendiculares a su base, ¿decimos quees un prisma recto, oblicuo o perpendicular?

7. Di el número de caras, vértices y aristas que tienen el cubo y el tetraedro.

8. Hay tres cuerpos geométricos cuyas caras no son polígonos, ¿qué nom-bres reciben?

9. ¿Qué es la mitad de una esfera: una cuña, un casquete o una semies-fera?

10. La circunferencia de la base de un rodillo mide 1,27 m. ¿Qué distanciarecorrerá el rodillo al dar 1 000 vueltas completas?

Decamat

Cálculo mental

Calcula el cociente de estas divisiones

a. 84 : 20 d. 602 : 20 g. 184 : 20b. 46 : 20 e. 806 : 20 h. 340 : 20c. 28 : 20 f. 426 : 20 i. 194 : 20

Observa la estrategia anterior y explica cómo dividirías un número entre200. Escribe dos ejemplos y comprueba los resultados con la calculadora.

Calcula el cociente de estas divisiones.

a. 642 : 200 c. 426 : 200 e. 680 : 200b. 804 : 200 d. 280 : 200 f. 846 : 200

2

1

3


¿Qué tetraedro se haconstruido a partir de estedesarrollo?

1

2

4

2

3

4

Sudo

ku

Si quieres aprendersobre el curso inevitable

del destino, lee Agualuna,de Joan Manuel Gisbert.

¡Seguro que teencantará!

Para dividir un número entre 20, primero lo dividimos entre 10y el resultado lo dividimos entre 2.

484 : 20 = (484 : 10) : 2 = 48,4 : 2 = 24,2

A

B C

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Uso las TIC

Podemos construir cuerpos geométricos fácilmente utili-zando una hoja de texto de Word y siguiendo estos pasos:

1 Sigue los pasos anteriores y dibuja las figuras que apare-cen en el apartado 3, con color y giradas.

2 Averigua cómo podemos dibujar prismas triangulares o pentagonales partiendo de un triángulo o un pentágonoy el botón de 3D.

Actividades

Cuerpos geométricos con Word

1. En la opción Ver, buscamos Barra de herramientasy hacemos clic sobre la de Dibujo.

Así aparecerá la barra en la parte inferior de la pan-talla.

2. Una vez instalada la barra de Dibujo, hacemos clicsobre Autoformas y seleccionamos la opción For-mas básicas.

De este modo aparecerán las distintas figuras que po-demos dibujar; entre ellas, formas planas y cuerpos geométricos.

1 Colocamos la barra de herramientas

1. Para dibujar un cubo, por ejemplo, selecciona-mos el botón , después hacemos clic sobre lapágina en blanco y arrastramos hasta que elcubo tenga el tamaño que queremos.

2. El rombo amarillo que aparece junto a la figuranos permite modificarla y transformarla en otrocuerpo geométrico. Para obtener un prismacomo en este caso, basta con hacer clic sobre elrombo y arrastrar.

3. Por último, podemos utilizar el botón paracolorear las figuras y el botón paragirarlas.

2 Dibujamos cuerpos geométricos

209

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Aclaro mis ideas

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Cuerpos geométricos

No poliedros

Cilindro Cono Esfera Otros

Poliedros regulares

Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Poliedros

Regulares Irregulares

Clases de prismas y pirámides

Prismas Prisma regular Prisma irregular Prisma recto Prisma oblicuo

Pirámides Pirámide regular Pirámide irregular Pirámide recta Pirámide oblicua

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Completa en tu cuaderno con las palabras que faltan yaprende.

• Los elementos de los poliedros son las ….., que puedenser laterales o ….., las ….. y los ….. .

• Los poliedros regulares están formados por ….. igualesy regulares y, además, en todos los ….. se unen el mismonúmero de ….. .

• Los ….. son poliedros que tienen dos bases iguales y pa-ralelas y caras laterales que son ….. .

• Las pirámides son poliedros que tienen ….. sola base ycaras laterales que son ….. con un vértice común lla-mado ….. .

• Los prismas y las pirámides pueden ser rectos u ….., re-gulares o ….. .

• El ….., el ….. y la ….. no son poliedros.

Indica cuáles de estas figuras tienen forma de poliedroy cuáles no. Explica por qué.

¿Qué poliedro regular cumple cada uno de estos apar-tados?

a. Sus caras son 8 triángulos equilateros iguales.b. Sus caras son 6 cuadrados iguales.c. Sus caras son 20 triángulos iguales.d. Sus caras son 12 pentágonos iguales.e. Sus caras son 4 triángulos iguales.

Dibuja en tu cuaderno y escribe debajo de cada figurasi es un prisma recto u oblicuo, regular o irregular.

4

3

2

1

¿Cuántos centímetros avanzará cada cilindro aldar 15 vueltas y en qué orden quedará cada unodespués de darlas? Explica cómo lo puedes ave-riguar. Calcula y razona la respuesta.

9

211

Escribe la definición de pirámide y dibuja una en tu cua-derno.

Copia estas pirámides en tu cuaderno y marca con azullas aristas, con rojo la cúspide y con amarillo la base.

A B C

Escribe cómo se llaman las siguientes figuras. ¿Qué fi-gura se forma añadiéndole otra igual a cada una? Di-bújala.


a. 62 : 20 d. 824 : 200b. 482 : 20 e. 306 : 200c. 728 : 20 f. 426 : 200

5

6

8

7

3 m 72 cm 150 cm 0,5 m

A

AA B C D B C

B C

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212

Recuerdo lo que sé

¿De qué unidad se trata? Escribe su símbolo si lo tiene.

a. Contiene sesenta minutos.b. Es sesenta veces menor que el minuto.c. Ciento veinte unidades forman dos horas.d. Es tres mil seiscientas veces menor que la hora.e. Contiene veinticuatro horas.

Completa en tu cuaderno lo que dura cada período detiempo.

a. Quincena = ..... días e. Decenio = ..... añosb. Trimestre = ..... meses f. Milenio = ..... añosc. Lustro = ..... años g. Siglo = ..... añosd. Cuatrimestre = ..... meses h. Semestre = ..... meses

Gutenberg perfeccionó el funcionamiento de la im-prenta alrededor del año 1436.

a. ¿Cuántos siglos han pasado desde entonces?b. ¿Cuántos años faltan para celebrar el sexto centenario

de su aportación?

Un ciclista da dos vueltas a un circuito. En la primeraemplea 12 min 34 s y en la segunda, 11 min 48 s.

a. ¿Cuánto tiempo ha empleado en total en las dos vuel-tas?

b. ¿Cuánto tiempo más ha empleado en la primera queen la segunda vuelta?

Empareja en tu cuaderno el nombre de cada país conel de su moneda.

Rusia EuroYen Estados UnidosJapón RubloLibra EspañaInglaterra Dólar

Indica cómo se leen estas medidas de amplitud.

a. 15º 30´ c. 35º 23´ 15´´b. 21º 17´ d. 7º 15´ 10´´

6

5

4

3

2

1 Dibuja estos ángulos en tu cuaderno con la ayuda deun transportador.

a. 60ºb. 100ºc. 38ºd. 90º

Traza la bisectriz de los ángulos de la actividad anterior.

Calcula el ángulo suma de estos pares de ángulos.

a. 30º 12´ y 23º 44´b. 25º 37´ y 39º 45´c. 18º 40´ y 9º 9´

Copia estos ángulos en tu cuaderno y calcula las ope-raciones.

A − B C − A C − B

Define cada tipo de ángulos y dibuja un ejemplo.

a. Ángulos consecutivosb. Ángulos adyacentesc. Ángulos opuestos por el vértice

Calcula el valor del ángulo complementario a los si-guientes ángulos.

a. 50º b. 80º c. 35º d. 20º

Averigua el valor del ángulo suplementario.

a. 90º b. 110º c. 50º d. 130º

Averigua qué color señalará la aguja en cada giro. Tenen cuenta que la aguja siempre tiene el origen en 0º.

a. 180º en sentido positivo

b. 90º en sentido negativo

c. 180º hacia la derecha

d. 270º hacia la izquierda

14

13

12

11

10

9

8

7

A = 38o 50’�

�B = 25o 35’

�C = 42o 60’

A − B C − A C − B

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Halla el valor de los ángulos que faltan en estos polí-gonos.

Contesta a las siguientes preguntas y da un ejemplo.

a. ¿Qué es un polígono?b. ¿Cómo es un polígono regular? ¿E irregular?c. ¿Cuáles son sus elementos?

Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

Completa esta tabla en tu cuaderno.

Ayúdate de un dibujo en cada caso y contesta.

a. ¿Cuánto miden los lados de un cuadrado de 8,4 cmde perímetro?

b. Si el perímetro de un rectángulo mide 88 cm y el ladomayor mide 24 cm, ¿cuánto miden todos sus lados?

Dibuja en tu cuaderno la clasificación de los triángulossegún la amplitud de sus ángulos y según sus lados.Indica el nombre debajo de cada uno.

Escribe el nombre de estos cuadriláteros y halla el va-lor de sus ángulos.

21

20

19

18

17

16

15 Calcula el área de las siguientes figuras. Ayúdate de undibujo.

a. Cuadrado de 1,75 cm de lado.b. Rectángulo de 14 cm de largo y 7,5 cm de ancho.c. Romboide de 9,2 cm de altura y el doble de base.

Calcula el área de estas figuras planas.

Dibuja un círculo con 2,5 cm de radio y todos sus ele-mentos. ¿Cuánto mide la longitud de su circunferencia?

Halla la longitud de las siguientes circunferencias.

Dibuja una circunferencia roja, un sector circular azul,un círculo verde, un segmento circular naranja y un se-micírculo amarillo.

Copia estas figuras y realiza un movimiento de trasla-ción y una simetría con cada una.

¿A qué cuerpos geométricos corresponden estos desa-rrollos planos?

28

27

26

25

24

23

22

213

65o

50o

110o

2,1 cm

1,5 cm

6 cm

2,5 cm

1,6 cm

75o45o

85o

75o

100o45o

triánguloheptágonooctógonoeneágono

N.º de lados N.º de vértices

9,3 cm

2,8 cm

4,2 cm

6,5 cm

5 cm

3 cm

27 mm7 cm5,5 cm

A

BC D

A

BC

D

A B C

AB C

A B C D

A

B

C D

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214


Un juego de preguntasYa estamos a final de curso. En él has aprendido cosas que no conocías, comoaproximar números decimales, reconocer fracciones equivalentes, estrategiasde cálculo, algunas unidades de medida y figuras geométricas nuevas.

Si sigues estos pasos podrás repasar jugando todos los contenidos de estecurso, con unas fichas de preguntas que tú mismo elaborarás con ayuda de tuscompañeros y tu profesor.

• Para empezar, recopila todo el material que encuentres sobre el tema quete ha tocado investigar y léelo con atención.

• Luego, reúnete con los compañeros de los otros grupos que tengan la mismatarea que tú y poned en común todo el material que habéis recopilado. Co-mentad e intercambiad esta información para aclarar las posibles dudas.

2. Crear

• Ahora ha llegado el momento de construir el juego. Vuelve con tu grupo ytransmíteles todo lo que has aprendido de la tarea que tenías encargada. Des-pués, escucha lo que ha aprendido cada uno de los miembros de tu equipo.

• Entre toda la información que habéis recogido, seleccionad la que sea másadecuada para elaborar las fichas.

3. Realizar

• Decidid el diseño de las fichas.

• Elegid el número de fichas que tendrá el juego.

• Seleccionad la pregunta de cada ficha y escribidla.

• Escribid todas las respuestas en un folio.

Una vez que hayáis terminado de elaborar las fichas, vuestro profesor realizaráuna selección de las más interesantes, evitando que se repitan las preguntas.


Elaborar preguntas y res-puestas sobre fracciones ynúmeros decimales.

Confeccionar preguntas y respuestas de cálculo mental.

Realizar preguntas y respues-tas sobre figuras planas y susáreas.

Preparar preguntas y respues-tas sobre la lógica vista a lolargo del curso.

1. InvestigarLo primero que debéis hacer antes de empezar a escribir las preguntas es de-cidir de qué tipo van a ser. En este caso, lo haréis en grupos de cuatro y cadauno hará una de estas tareas.

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Antes de empezar a jugar dedica con tu equipo un tiempo a estudiar todas laspreguntas que te proporcione tu profesor.

4. ¡A jugar!

• Para comenzar a jugar tenéis que formar grupos de tres personas, cada unade ellas de un equipo distinto. Vuestro profesor entregará a cada trío unjuego de fichas.

• Una vez que cada trío tenga sus fichas, debe ponerlas boca abajo en unamesa y comenzará el juego, que tendrá las siguientes reglas.

1. Los turnos para jugar siguen el sentido de las agujas del reloj.

2. Un alumno de cada trío coge una ficha de la mesa, lee la pregunta y laresponde. Si la respuesta es correcta, se queda la ficha. Si no sabe contes-tarla, pregunta a otro jugador si quiere responderla. Si nadie conoce larespuesta, la ficha se devuelve de nuevo a la mesa.

3. El alumno que ha contestado a la pregunta consulta si alguien quiere darotra respuesta diferente. El jugador que está a su derecha tiene la primeraoportunidad de hacerlo. En este caso pueden ocurrir estas situaciones:

4. El juego finaliza cuando se acaban todas las fichas de la mesa. El miem-bro del trío que tenga más fichas gana la partida y obtiene 6 puntos parasu equipo, el que quede segundo obtiene 4 puntos, y el que quede ter-cero, 2 puntos. Si empatan los tres, 4 puntos cada uno. Si empatan los dosprimeros, 5 cada uno y 2 el tercero. Si empatan los dos últimos, se quedan3 puntos cada uno y 6 puntos el primero.

5. Los puntos que ha obtenido cada integrante del trío se suman a los quehan obtenido sus compañeros de equipo de base que formaban parte deotros tríos. El equipo que obtenga más puntos es el que gana.

¡Enhorabuena, habéis conseguido repasar de forma divertida todo lo apren-dido en este curso!

Si hay otra respuesta diferente Si no hay otra respuesta diferente

La respuesta es verificada. Si el alumno que ha aportadouna respuesta diferente acierta, se queda con la ficha; si noacierta y la respuesta original es correcta, debe colocar unade las fichas que ya ganó (si es que la tiene) en la mesa; siambas respuestas son erróneas, la ficha se queda de nuevoen la mesa.

Se verifica la respuesta. Si es correcta, el jugador conserva laficha. Pero si la respuesta es incorrecta el jugador debe colo-car la ficha en la mesa.

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Matematicas 5 Primaria

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