Matematica2 20
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Matemática IIaula 20
Profª Débora Bastos
Integrais por substituições trigonométricas.
É impossível ver numa disciplina de cálculo TODOS os métodos de resolução de integrais. Hoje estudaremos as substituições trigonométricas para incrementar nossa gama em resolver integrais.A substituição trigonométrica é um artifício para resolver integrais com radicais, por exemplo:
Nos quais a é uma constante POSITIVA e que não tenhamos no nosso formulário.Nos casos de radicais com subtração podemos substituir x por x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosdOux=a.cos 0 < < 2 dx=a.sindE daí a relação: sen2+cos2=1
22 xa 22 ax 22 ax
Substituições TrigonométricasFazendo a substituição:x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosd
Aqui podemos considerar no intervalo inicial, pois a2 – x2 também deve ser positivo para a raiz existir, então o intervalo está compatível com o problema e só assim podemos considerar que o módulo é o próprio cosseno, pois está considerando só argumentos que o resultado é positivo.
2222222 sin1asinaaxa
cosacosacosa 2
Substituições TrigonométricasRadicais com subtração fazemos a
substituição:x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cosd
Exemplo:
cosaxa 22
22 x4x
dx1
dseccos
4
1
cos
d
4
1 22
kgcot4
1
cos2cos2
dcos22
x
2x4
2/x
2/2x4
sen
cosgcot
kx
x4
4
1 2
Substituições TrigonométricasRadicais com adição fazemos a substituição:x=a.tg 0 < < /2 dx=a. sec2dE daí a relação tg2 +1 = sec2
Exemplo:x=3tg dx = 3sec2
22222 atgaax
32
3
)9x(
dxx2
sec31tg99)tg3(9x 222
)1tg(a 22
secasecaseca 2
Substituições TrigonométricasExemplo:
x=3tg dx =
3sec2
32
3
)9x(
dxx2
sec39x2
3
23
)sec3(
dsec3tg27
sec
dtg3
3
sec
d
cos
sen3
3
3
2
3
cos
dsen3
dsen
cos
cos13dsen
cos
sen3
2
2
2
2
dsen3
cos
dsen3
2 kcos3sec3cos3cos
3
k9²x
99²x
9x
3cos
2
Exemplos:
0a
kavvlna21
av
dv25 22
22
xdxarcsin1
0a
ka
varcsin
va
dv19
22
kx1xarcsinxR 2tA
kx1
eR
xta
dx
)x1(
xe2
2
x
vduvuudvResolva as integrais 1 e 2 por partes:
Demonstre as fórmulas 19 e 25 pelo método da substituição trigonométrica, ou seja: