Matemática: Unidad II

Unidad II

Prof.: Christiam Huertas

www.mathesm.blogspot.com

27/02/2012

Inecuaciones y funciones reales I

Las matemáticas son fáciles

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1


2

Inecuaciones lineales

y funciones reales I

Capítulo 1

Inecuación lineal

Las expresiones “a lo menos”, “cuando mucho”, “como mínimo”, “como

máximo”, “sobrepasa”, “no alcanza” y otras, están presentes en nuestro

lenguaje diario y en general se refieren a situaciones en las cuales se establecen

comparaciones entre dos magnitudes. Por ejemplo, que la máxima velocidad

permitida en carretera es de 100 km/h, quiere decir que el rango de velocidades

permitidas se encuentra entre 0 y 100 km/h, y expresado en términos

matemáticos, se escribe . O bien, “el doctor indico que debe bajar

por lo menos 6 kg”, quiere decir que el peso ideal ( ) es menor o igual que el

peso actual ( ) menos 6 kg, y expresado matemáticamente se escribe

. Se ve, entonces, que las inecuaciones permiten modelar o representar

algunas situaciones de comparación. En este capítulo precisamente

aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones.

1.1 Inecuación

Una inecuación en una variable es una proposición que involucra dos

expresiones, de las que al menos una contiene a la variable, separadas por uno

de los símbolos de desigualdad: , , o .

Ejemplo 1 Ejemplos de inecuaciones

a)

b)

c)

d)

e)

UNIDAD

II


3

1.1.1 Solución de una inecuación

Una solución de una inecuación en es un valor de para el que la inecuación

es verdadera.

Ejemplo 2 Solución de una inecuación

Consideremos la inecuación .

Buscamos valores de para el cual se verifique la inecuación:

Si : ( )

(F) Entonces no es solución.

Si : ( )

(V) Entonces es solución.

Si : ( )

(V) Entonces es solución.

Si √ : (√ ) √

√ √ (V) Entonces √ es solución.

Así, podemos encontrar más soluciones, pero no es la forma correcta. Lo que

tenemos que hacer es resolver la inecuación y hallar todas las soluciones.

1.1.2 Conjunto solución de una inecuación

El conjunto solución de una inecuación es el conjunto formado por todas las

soluciones de la inecuación y se denota por .

Ejemplo 3 Ejemplo de conjunto solución

En la inecuación , vemos que se verifica si es cualquier número menor

que 3; es decir, las soluciones son todos los números que pertenecen al

intervalo ⟨ ⟩. Por lo tanto, ⟨ ⟩.

Gráficamente:

1.1.3 Resolución de una inecuación

Resolver una inecuación en significa determinar todos los valores de para

los que la inecuación es verdadera; es decir, tenemos que hallar su conjunto

solución.

𝑥


4

Un método para resolver una inecuación es sustituirla por una serie de

desigualdades equivalentes hasta obtener una desigualdad con una solución

obvia, como . Se obtienen desigualdades equivalentes aplicando las

propiedades de desigualdades estudiadas anteriormente.

Ejemplo 4 Ejemplo de resolución de una inecuación

Resuelva la inecuación .

Solución

Aplicaremos las propiedades de desigualdades para resolver la inecuación:

Restamos x

Sumamos 1

Es decir; las soluciones son todos los números mayores que 4. Por lo tanto,

⟨ ⟩ .

1.2 Inecuación lineal

Una inecuación lineal o de primer grado es una desigualdad que se verifica para

uno o más valores reales de su variable.

Una inecuación lineal es una inecuación de la forma:

donde y es la variable.

1.2.1 Resolución de una inecuación lineal

Una inecuación de primer grado se resuelve empleando las leyes de orden dadas

anteriormente.

Ejemplo 5


Solución

Se tiene la inecuación:

Restamos

Dividimos entre


5

El conjunto solución es el intervalo ⟨ ⟩.

Ejemplo 6


Solución


Restamos 7

Restamos

Dividimos entre

El conjunto solución es el intervalo , ⟩.

Ejemplo 7


Solución


Sumamos

Dividimos entre 3

El conjunto solución es el intervalo ⟨ ⟩.

Ejemplo 8

Resuelva la inecuación

.

Solución


Multiplicamos por ( ) .

/ ( )

Restamos


6

Dividimos entre

Que es equivalente a

El conjunto solución es el intervalo , -.

Ejemplo 9

Lucero S.A.C., una firma de confecciones, determina que sus ingresos totales,

en dólares, a partir de la venta de prendas, están dados por .

Determine el número de vestidos que debe vender Lucero para asegurar que

sus ingresos totales sean superiores a $ 70 050.

Solución

Se sabe que si vende prendas, el ingreso total es de dolares.

Se quiere que los ingresos sean superiores a $ 70 050, entonces de debe tener

la siguiente condición:

Ingreso

Resto 50

Multiplico por

Así, los ingresos totales de la compañía excederán $ 70 050 cuando venda más

de 350 prendas.


7

Capítulo 2

Producto cartesiano

El nombre de producto cartesiano de dos conjuntos fue dado

en honor al gran matemático francés Descartes (1596-1650),

quien al considerar el plano como un conjunto de pares de

números inició una nueva rama de las Matemáticas llamada

Geometría Analítica.

2.1 Par ordenado

Los pares ordenados aparecen con naturalidad con bastante frecuencia. Obser-

vemos los siguientes cuadros: el primero muestra una lista de objetos con sus

respectivas cantidades y precios; y el segundo, una lista de nombres con sus

respectivos números telefónicos.

Concepto Cantidad Precio (S/.) Apellidos y nombres Teléfono

Lápices 2 cajas 12 Pérez Soto Abel 5326487

Lapiceros 5 cajas 20 Torres Castro Ana 4366612

Plumones 12 cajas 84 Suarez Quispe Luana 3451278

Es notorio que a cada objeto de la primera lista está asociada una pareja de

números en el orden cantidad – precio, estas parejas son:

( ) ( ) ( )

donde el primer número de cada pareja corresponde a la cantidad y el segundo

número, al precio.

Igualmente se puede observar en la segunda lista, que cada número telefónico está

asociado al nombre completo de una persona, formando parejas de nombres y

número telefónico, en ese orden. Estos ejemplos nos ilustran la idea de par

ordenado.

Dados dos conjuntos (no vacíos), un par ordenado está formado por dos

elementos, uno por cada conjunto, guardando un orden estricto.


8

Notación

El par ordenado se escribe entre paréntesis, separado por una coma:

( )

Primera componente Segunda componente

Se lee: Par ordenado coma .

Ejemplo 1 Ejemplos de pares ordenados

( )

(√ )

( )

( ) ( )

( )

( )

La definición formal de par ordenado: ( ) {* + * +}, se debe a

Kuratowski, quien la introdujo en 1921.

2.1.1 Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados son iguales si y solamente si sus primeros componentes

son iguales y sus segundos componentes también son iguales.

Simbólicamente se expresa así:

( ) ( )

Ejemplo 2

Determine el valor de e si se sabe que los pares ordenados ( ) y

( ) son iguales.

Solución

Como los pares ordenados son iguales: ( ) ( )

se debe cumplir que

y

y

Es decir, e .

2.1.2 Plano cartesiano

El plano cartesiano se forma con dos rectas reales que se interceptan

perpendicularmente, donde el punto de intersección es en cero ( ), llamado

centro u origen de coordenadas.


9

Plano cartesiano

A la recta horizontal se le llama eje o eje de las abscisas. A la derecha del

cero se ubican convencionalmente valores positivos y a la izquierda valores

negativos.

A la recta vertical se le llama eje o eje de las ordenadas. Sobre el cero,

convencionalmente se ubican los valores positivos y bajo este los valores

negativos.

2.1.2 Representación geométrica de un par ordenado

La representación de un par ordenado en el plano cartesiano se realiza de la

siguiente manera: la primera componente va siempre en el eje y la segunda en

el eje .

Representación geométrica del par ordenado (a,b)

La representación de un par ordenado queda determinada mediante un punto

que se ubica con respecto a cada una de sus componentes en la intersección de

las paralelas al eje de las y de las respectivamente.

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑎

𝑏 (𝑎 𝑏)


10

Ejemplo 3

Represente geométricamente los siguientes pares ordenados:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Solución

Lo ubicamos en el plano cartesiano.

2.2 Cálculo del producto cartesiano

Dados dos conjuntos y no vacios, se llama producto cartesiano al conjunto

de pares ordenados, formado por todos los elementos de , como primeros

componentes, asociados a los elementos de , como segundos componentes.

Notación Definición

*( ) +

Ejemplo 4

Dados los conjuntos * + y * +. Halle el producto cartesiano

de y (es decir, ) y el producto cartesiano de y (es decir, ).

Solución

Por definición, *( ) +

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

𝑋

𝑌


11

También, *( ) +

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Notamos que es diferente que .

Otros métodos útiles para obtener el producto cartesiano de dos conjuntos, es el

diagrama del árbol y la tabla de doble entrada; las cuales se muestran a

continuación:

a) Diagrama del árbol

( )

( )

( )

( )

( )

( )

b) Tabla de doble entrada

1 2 4

3 ( ) ( ) ( )

5 ( ) ( ) ( )

2.2.1 Representación gráfica del producto cartesiano

El producto cartesiano de y se puede representar mediante las siguientes

graficas:

a) Diagrama sagital de

𝐴 𝐵

∙

∙

∙

∙

∙

𝐴 𝐵


12

b) Representación de en el plano cartesiano

También se puede representar en el plano cartesiano: en el eje , los elementos

del conjunto ; y en el eje , los elementos del conjunto .

Ejemplo 5

Dados los conjuntos

* +

* +

Halle el producto cartesiano .

Solución

Expresamos los conjuntos por extensión:

* + * +

* + * +

Por definición, *( ) +

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+

Tenga en cuenta que: ( ) .

2.1.1 Propiedades del producto cartesiano

1. El producto cartesiano no es conmutativo. En general

si y son 2 conjuntos no vacíos:

Salvo en el caso en que . A

𝐴 𝐵

𝑿

𝒀


13

Notación

Si , entonces:

Ejemplo 6

Dado el conjunto * +. Halle .

Solución

Se tiene el conjunto * +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Es decir;

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

2. El producto cartesiano es nulo o vacío, si y solo si

es vacío o es vacío.

A

3. El cardinal de es igual al cardinal de

multiplicado por el cardinal de .

( ) ( ) ( )

A

( ): número de elementos del conjunto .

Ejemplo 7

Si * + y * +, entonces:

( ) ( ) ( )

Es decir; tiene exactamente 12 elementos (12 pares ordenados).

𝐴 𝐴


14

Capítulo 3

Relaciones

Las cosas del mundo real se encuentran, unas con otras en estrecha vinculación,

en particular emparentadas por algún criterio de vinculación: “María es hija de

Arturo”, “Vanessa estudia en la UCH”, “Nazca es una provincia de Ica”, “el

ascensor tiene capacidad para 11 personas”, son ejemplos donde los objetos

están vinculados, respectivamente, por los criterios: “…es hija de…”,

“…estudia en la UCH…”, “…es una provincia de…”, “…tiene capacidad

para…”.

Este apareamiento de elementos de conjuntos de acuerdo a algún criterio es lo

que se llama relación. El concepto de relación es sumamente poderoso, útil y

sencillo, es por ello que el estudio de las relaciones matemáticas es básico y

fundamental en la Matemática en general.

3.1 Relación

Sean y dos conjuntos. Una relación de en , es cualquier subconjunto

del producto cartesiano de y .

Simbólicamente,

es una relación de en

Ejemplo 1

Dados los conjuntos * + y * +; hallemos :

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Algunos subconjuntos de son:

*( )+

*( ) ( )+

*( ) ( ) ( )+

Por definición, , y son relaciones de en .

En total, podemos encontrar ( ) relaciones de en

incluyendo al conjunto vacio.

Notación

Si es una relación de y , también se denota por


15

Ejemplo 2 Ejemplos de relaciones

Dados los conjuntos * + y * +.

El producto cartesiano de estos conjuntos es

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formaran

subconjuntos con las características precisas siguientes:

Caso 1:

Que los primeros elementos sean iguales a los segundos:

( ) ( ) son los pares ordenados que cumplen la relación, y forman un

subconjunto de . Luego,

*( ) ( )+ es una relación de en .

Caso 2:

Que los primeros elementos sean mayores que los segundos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) son los pares que cumplen la relación, y

forman un subconjunto de . Luego,

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ es otra relación de en .

Caso 3:

Que los primeros elementos sean menores que los segundos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) son los pares ordenados que cumplen la

relación, y forman un subconjunto de . Luego,

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ es otra relación de en .

Ejemplo 3 Ejemplo de relación

Un estudiante de biología, a fin de investigar la RELACIÓN entre el aumento

de peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momento en

que nace hasta que adquiere un máximo desarrollo.

La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados co-

rrespondientes a esas edades, expresado en kilogramos.

Edad en

meses

Recién

nacido 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Peso en

kg. 0,1 0,6 2,1 4,0 6,2 8,4 10,6 12,7 14,6 14,8


16

La tabla indica un conjunto de “parejas ordenadas” de números, el primero de

los cuales es la edad y el segundo el peso; habiéndose formado una relación

ordenada entre los dos números de cada pareja.

Notación

Dados dos conjuntos y , la relación de un elemento del conjunto con

un elemento del conjunto , se denota así:

ó ( )

Que se lee: “ esta relacionada con ”

Ejemplo 4

Dados los conjuntos * + y * +. Se define la relación de

en como:

si y solo si

Halle por extensión.

Solución

Primero hallemos el producto cartesiano de y .

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición :

( ) ( ) ( ) ( )

Es decir; *( ) ( ) ( ) ( )+.

Ejemplo 5

Dados los conjuntos * + y * +. Se define la relación de

en como:

*( ) +

Halle por extensión.

Solución

Primero hallemos el producto cartesiano de y .

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )+

Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición es

un número par:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Es decir; *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.


17

Ejemplo 6

Dados los conjuntos * + y * +; y la relación de

en . Halle por extensión en cada caso:

a) ( ) si y solo si .

b) ( ) si y solo si .

c) ( ) si y solo si .

d) ( ) si y solo si divide a .

e) ( ) si y solo si .

f) ( ) si y solo si es múltiplo de 3.

Solución


18

Tipos de relación

Hay cuatro tipos de relación entre los elementos de un mismo conjunto:

Reflexiva, Simétrica, Transitiva y de Equivalencia (esta última engloba a las

anteriores).

Relación reflexiva

es una relación reflexiva si todos los elementos del conjunto están

relacionados consigo mismo, a través de .

Simbólicamente, se denota así:

es reflexiva ( )

Ejemplo 7 Ejemplo de relación reflexiva

Sea el conjunto * + y la relación de dada por

*( ) ( ) ( ) ( )+

es una relación reflexiva ya que ( ) .

Relación simétrica

es una relación simétrica si siempre que un elemento del conjunto está

relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,

está relacionado con el primero a través de .


es simétrica ( ) ( )

Ejemplo 8 Ejemplo de relación simétrica


*( ) ( ) ( ) ( )+

es una relación simétrica ya que ( ) ( ) .

Relación antisimétrica

es una relación antimétrica si siempre que un elemento del conjunto está

relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,

no está relacionado con el primero a través de .


19


es antisimétrica ( ) ( )

Ejemplo 9 Ejemplo de relación antisimétrica


*( ) ( ) ( ) ( )+

es una relación antisimétrica ya que ( ) ( ) .

Relación transitiva

es una relación transitiva cuando siempre que un elemento del conjunto

está a su vez relacionado con otro, y este está relacionado con un tercero,

entonces el primero está relacionado con el tercero, a través de .


Si ( ) ( ) ( )

Ejemplo 10 Ejemplo de relación transitiva

Sea el conjunto * + y una relación en definida como: “es mayor

que”. Entonces

*( ) ( ) ( )+

es una relación transitiva.

Ejemplo 11 Ejemplo de relación transitiva

Sea el conjunto * + y una relación transitiva en

definida como: “juega por el mismo equipo que”. Entonces

*( ) ( ) ( )+

es una relación transitiva.

Relación de equivalencia

de en es una relación de equivalencia cuando es reflexiva, simétrica y

transitiva simultáneamente.


20

Ejemplo 11 Ejemplo de relación de equivalencia

Sea * +; pasajeros de un avión. Se cumple que :

1. Es reflexiva porque cada uno paga su pasaje.

2. Es simétrica porque Pedro viaja en el mismo avión que Juan y Juan

viaja en el mismo avión que Pedro.

3. Es transitiva, porque si Pedro viaja con Juan y Juan viaja con Andrés;

entonces, Pedro viaja con Andrés.

Relación de orden

de en es una relación de orden cuando es reflexiva, antisimétrica y

transitiva simultáneamente.


21

Capítulo 4

Funciones

Las funciones son realmente fundamentales para las matemáticas. De manera

usual decimos: “el funcionamiento del mercado de valores es una función de la

confianza de los consumidores”, o bien “la

presión sanguínea del paciente es una función de

los medicamentos prescritos”. En cada caso, la

palabra función expresa la idea de que el

conocimiento de cierta información nos lleva al

conocimiento de otra. En matemáticas, las

funciones más importantes son aquellas en las

que el conocimiento de un número nos indica

otro número. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemos

determinar su área. Si conocemos la circunferencia de un círculo, podemos

determinar su radio.

Es la idea matemática más útil para modelar el mundo real.

4.1 Funciones en nuestro entorno

En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por

ejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el

costo de enviar una encomienda depende de su peso. Se usa el término función

para describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa

lo siguiente:

La altura es una función de la edad.

La temperatura es una función de la fecha.

El costo de enviar encomienda es una función del peso.

4.2 Definición de función

Dados dos conjuntos no vacíos y y una relación , entonces se

define: es una función de en si y solo si para cada elemento existe

un solo elemento .

𝐴 𝐵

∙ 𝑥 ∙ 𝑦

𝑓


22

Notación

o →

Y, se lee: “ es una función de en ”.

Donde:

es el conjunto de partida.

es el conjunto de llegada.

Ejemplo 1

El conjunto *( ) ( ) ( ) ( )+ representa a una función,

porque a cada elemento de le corresponde un único elemento de .

Ejemplo 2

El conjunto *( ) ( ) ( ) ( )+ no representa a una función,

porque a un mismo elemento de , el , le corresponde dos elementos de ,

que son y , incumpliendo con la definición de función.

Condición de unicidad

Sea una función.

Si ( ) ( )

Es decir; no deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo

primer elemento.

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

𝑓

∙

∙

∙

∙

∙

∙

∙

𝑔


23

Ejemplo 3

Si el conjunto *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ representa una

función, halle el valor de y .

Solución

De la función

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

notamos que:

A le corresponde dos valores: y 6.

A le corresponde dos valores: y .

Como es una función, por la condición de unicidad se debe cumplir que:

y

y

4.3 Dominio y rango de una función

4.3.1 Dominio de una función

Llamado también conjunto de preimágenes y está formado por todas las

primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.

Notación

Sea una función.

( ) * ( ) +

4.4.1 Rango de una función

Llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas

componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.

Notación

Sea una función.

( ) * ( ) +


24

Ejemplo 4 Dominio y rango de una función

Dada la función *( ) ( ) ( ) ( )+, entonces

( ) * +

( ) * +

4.4.1 Regla de correspondencia

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango.

Notación

Sea una función, entonces

( ) ( )

denota la dependencia entre e .

Además:

es la variable independiente.

es la variable dependiente

Ejemplo 5

Dada la función *( ) ( ) ( ) ( )+. Entonces, tenemos que

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Es decir, si ( ) ( ) * +

Luego, la regla de correspondencia para la función es: o ( ) .

4.4 Función real de variable real

Sea una función. Diremos que es una función real en variable real,

si y son subconjuntos de los reales; es decir, y .

Ejemplo 6 Función real de variable real

Dada la función ⟨ - , - tal que ( ) .

Vemos que ⟨ - y , - ; es decir, es una función real de

variable real.


25

Observación

Si decidimos llamar a una función y es una de las entradas en el dominio

de , entonces ( ) (que se lee “ de ”) representara el número de salida en

el rango de que corresponde a la entrada .

Así:

( )

4.5 Evaluación de una función

En la definición de una función la variable independiente desempeña el papel

de “marcador de posición”. Por ejemplo la función ( ) se

puede considerar como

( )

Para evaluar en un número, se sustituye el número para el marcador de

posición.

Ejemplo 7 Evaluación de una función

Dada la función ( ) . Evalúe la función en el valor indicado.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) .

/

Solución

Evaluamos la función en cada caso:

a) ( ) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

d) .

/ .

/

Ejemplo 8 Una función definida por partes

Un teléfono celular cuesta S/. 39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y

cada minuto adicional de uso cuesta S/. 0,2. El costo mensual es una función

Entrada

Nombre de

la función

Salida


26

de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

( ) { ( )

Determine el valor de ( ), ( ) y ( ).

Solución

Analicemos el valor de entrada :

Si , entonces el valor de ( ) es 39.

Si , entonces el valor de ( ) es ( ).

Puesto que , se tiene ( )

Puesto que , se tiene ( )

Puesto que , se tiene ( ) ( )

Por lo tanto, el plan carga S/. 39 por 100 minutos, S/. 39 por 400 minutos y S/.

55 por 480 minutos.

Ejemplo 9 Evaluar una función

Dada la función ( ) . Halle

) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( )

Solución

Evaluamos la función en cada caso:

) ( )

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( )

) ( ) ( )

( )


27

4.6 Dominio y rango de una función ( ( ))

4.6.1 Dominio de una función

Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para la

función. El dominio de una función se puede expresar de forma explícita.

Ejemplo 10 Dominio explícito

Si se escribe

( )

Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales

.

Si la función está dada por una expresión matemática y el dominio no se

enuncia de manera explícita, entonces el dominio de la función es el conjunto

de los números reales para los que la expresión se define como un número real.

Ejemplo 11

Determine el dominio de la función ( )

Solución

Vemos que la función tiene sentido para todos los valores de excepto 3, el

dominio es todos los valores reales de con .

Por lo tanto, ( ) * +.

Ejemplo 12

Halle el dominio de la función ( ) √ .

Solución

La función tiene sentido si es no negativo; es decir, debe ser mayor o

igual a cero ( ).

Por lo tanto, ( ) , ⟩ .

Ejemplo 13 Determinación de dominios de funciones

Halle el dominio de cada función.

) ( )

) ( ) √ ) ( )

√ ) ( )

√


28

Solución


29

4.4.2 Rango de una función

Recuerde que el rango de una función es el conjunto de las salidas para la

función, y se calcula a partir del dominio.

Ejemplo 14

Halle el rango de la función ( ) si ⟨ -.

Solución

Se tiene la función

( ) ⟨ -

Vemos que su dominio es ⟨ -; es decir .

Para hallar su rango, tenemos que hallar la variación de ( ).

Como

Multiplicamos por 2

Sumamos 5 ⏟

Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.

Ejemplo 15

Halle el rango de la función ( ) .

Solución

Se tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para cualquier

valor real de ; es decir, ( ) .

Como

Sumamos 3 ⏟

Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.

Ejemplo 16

Halle el rango de la función ( ) .

Solución

Se tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para

cualquier valor real de ; es decir, ( ) .


30

La función lo podemos expresar como

( ) ( )

Como

( )

( )

Sumamos 1 ( ) ⏟


Ejemplo 17

Halle el rango de la función ( ) √ .

Solución

Se tiene la función ( ) √ .

Primero hallemos su dominio:

La función esta bien definida si , entonces . Es decir,

( ) , ⟩

Hallemos su rango:

Como ( ) , ⟩, entonces

Resto 3

Tomo √ √

Resto 1 √ ⏟


Ejemplo 18

Halle el rango de la siguiente función.

⟨ -

Solución

Vemos que el dominio es el intervalo ⟨ -, y la función esta dada por:

( ) ( )

Como

Resto 1


31

Al cuadrado ( )

Resto 2 ( ) ⏟

Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.

Ejemplo 19

Halle el rango de las siguientes funciones:

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

, ⟩

Solución


32

3.2 Formas para representar una función

Se puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes:

Verbal (mediante una descripción en palabras)

Algebraica (mediante una fórmula explícita)

Visual (por medio de una gráfica)

Numérica (por medio de una tabla de valores)

Cuatro formas de representar una función

Verbal

Con palabras:

( ) es la “población del mundo en el

instante ”

Relación de la población y el tiempo .

Algebraica

Por medio de una fórmula:

( )

Área de un círculo.

Visual

Por medio de una gráfica:

Registro del terremoto de Japón (2011)

Numérica

Por medio de una tabla de valores:

(onzas) ( ) (dólares)

Costo de enviar una carta por correo

de primera clase.

3.3 Gráficas de funciones

La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica.

3.3.1 La gráfica de una función

Si es una función con dominio , entonces la gráfica de es el conjunto de

pares ordenados

{( ( )) }

En otras palabras, la gráfica de es el conjunto de los puntos ( ) tales que

( ), es decir, la gráfica de es la gráfica de la ecuación ( ).


33

Ejemplo 13 Gráfica de una función

Halle la gráfica de la función *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+.

Solución

Representamos cada par ordenado en el plano cartesiano:

Ejemplo 13 Graficación de funciones

Trace las gráficas de las siguientes funciones.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) √

Solución

Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos

expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la

gráfica.


34

√

3.3.2 Obtención de información de la gráfica de una función

Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del

eje . Asi, los valores de una función se pueden leer de su gráfica.

Ejemplo 13 Hallar valores de una función a partir de su gráfica

La función mostrada en la figura da la temperatura entre el medio día y las 6

p.m. en cierta estación meteorológica.

a) Determine ( ), ( ) y ( ).

b) ¿Qué es más grande, ( ) o ( )?


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Solución

a) ( ) es la temperatura a la 1 p.m. Está representada por la altura de la

gráfica sobre el eje . Por lo tanto, ( ) . De manera similar,

( ) y ( ) .

b) Puesto que la gráfica es mayor en que en , se deduce que

( ) es más grande que ( ).

Observación

La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función

en el eje y el eje como se muestra en la figura:

𝑻( 𝑭⬚𝟎 )

𝐇𝐨𝐫𝐚𝐬

𝑌

𝑋 𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨

Ran

go

𝑦 𝑓(𝑥)


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Ejemplo 13 Dominio y rango de una función a partir de su gráfica

Halle el dominio y rango de la función ( ) √ cuya gráfica se

muestra.

Solución

De la gráfica de la figura se ve que el dominio es , - y el rango es , -.

2.1.1 Prueba de la línea vertical

La gráfica de una función es una curva en el plano . Pero surge la pregunta.

¿Qué curvas en el plano son gráficas de funciones? Esto se contesta

mediante la prueba siguiente.

Prueba de la línea vertical

Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo si

ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.


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Ejemplo 11 Prueba de la línea vertical

Analicemos las siguientes gráficas.

Gráfica de una función

No es la gráfica de una función

Ejemplo 11 Uso de la prueba de la línea vertical

Indique cuál de las siguientes gráficas representa a una función.

Solución

a) ___

b) ___

c) ___

d) ___


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Matemática: Unidad II

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