Matemática - Longseller · tres momentos básicos del trabajo en la clase:revisión,desarrollo y...

PresentaciónLa propuesta de enseñanza que desarrolla Longseller en la Serie de Matemáticapara los tres primeros años de la secundaria atiende a la necesidad de tener encuenta que el conocimiento matemático debería aparecer en el aula tanto comoinstrumento de resolución de diferentes situaciones como en el enunciado dedefiniciones, propiedades y relaciones.De tal modo, en esta serie de libros se procura propiciar en el aula una prácticamatemática que lleve a los alumnos a conceptualizar la Matemática por sus ob-jetos y también por su forma de trabajo, su forma de expresión, y los modos dehacer y de pensar que le son propios.En este sentido, se propone organizar la enseñanza de manera que los alumnospuedan establecer relaciones entre los datos, las incógnitas, los procedimientosde resolución y las soluciones de un problema; que puedan interpretar y produ-cir información, expresada en forma oral o escrita con diferentes representacio-nes, que puedan investigar regularidades y generalizar soluciones y resultados,formulando argumentos para determinar su validez, y que puedan ir avanzan-do en el estudio de las nociones y sus características. En este ciclo, las formas devalidación deben considerarse especialmente, pues deberían evolucionar desdelas empíricas y referidas a casos particulares hacia las basadas en propiedades ydefiniciones conocidas y generalizadas.Matemática I, II y III es una propuesta innovadora de materiales transportablesa la carpeta de trabajo de cada estudiante. Se ofrece para cada año una serie detrabajos prácticos con secuencias de actividades organizadas, que atienden a lostres momentos básicos del trabajo en la clase: revisión, desarrollo y ejercitación.Se presenta, además, un Anexo teórico con textos explicativos, que el estudiantepuede consultar cada vez que lo necesite.Cada trabajo práctico presenta una primera página de actividades de revisión,con problemas que permiten abordar conocimientos anteriores, pero que se ex-plicitarán en una puesta en común con el fin de introducir los nuevos. El desa-rrollo de cada trabajo práctico está formado por dos o tres secuencias de trabajo.Por último, una batería de problemas finales permite que los alumnos vuelvan autilizar las nociones y procedimientos trabajados.Este cuadernillo ofrece una guía para abordar las secuencias didácticas de cadatrabajo práctico: se describe cómo están ordenadas las actividades y cómo tra-bajar con ellas. Se presentan, además, las respuestas y soluciones para todas lasactividades del libro.

Secuencias didácticasCada una de las secuencias que integran los trabajos prácticos de Matemática IItoma un tema eje para cuyo aprendizaje es necesario que los alumnos resuelvanlas actividades propuestas, ya que en todos los casos ese tema se aprende resol-viendo una serie de problemas relacionados con él. En este cuadernillo se expli-ca de manera detallada la variedad de contextos elegidos para plantear cada no-ción y la complejización paulatina que se propone a lo largo del trabajo práctico(T. P.). En este sentido, la descripción que ofrecemos sólo se concentra en los pun-

MatemáticaSecuencias didácticas y soluciones

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tos nodales de cada secuencia. Aquí ofrecemos, además, un análisis pormenori-zado de los problemas que implican alguna dificultad particular para los alum-nos o que son centrales para el tratamiento del concepto eje.

Primera secuencia: Usos, representaciones y propiedades de los números enteros

En los problemas 4 a 6 se proponen una serie de preguntas que llevan a ubicaracontecimientos históricos en distintos calendarios, señalarlos en líneas de tiem-po e interpretar el sentido de números positivos y negativos, con respecto a unareferencia que se toma como cero.Si bien al intentar resolver mentalmente el problema 4 es posible que los alum-nos obtengan distintos valores, representarlos sobre la recta permite determinarcuáles son los correctos. Para comparar los calendarios islámico y gregoriano, enel problema 5b, además de considerar que el cero corresponde a distintos acon-tecimientos históricos, es necesario tener en cuenta que los años tienen distintaduración. El cero del calendario islámico se ubica en 622 del calendario gregoria-no y el cero del gregoriano se encuentra entre –642 y –641 del islámico.Los problemas 6 y 7 brindan nuevas oportunidades para interpretar númerosrelativos.En los problemas 8 y 9 se aborda la noción de opuesto y se focaliza el trabajo enel análisis de la notación para precisar que, cuando se indica con una letra unnúmero entero cualquiera y se anota p, el número puede ser tanto positivo co-mo negativo.

Segunda secuencia: Operaciones con números enteros

Los números con signo + o – también se usan para indicar transformaciones de lacantidad de elementos de una colección (agregar,avanzar,quitar o retroceder ) o com-paraciones entre cantidades (tener más o menos que). En este sentido, el problema10, que introduce el tema, presenta un doble desafío. No sólo hay que analizar el re-sultado de componer transformaciones que pueden tener sentido opuesto,como ba-jar o subir en el ránking, sino que, además, tener una mejor posición o “subir”en elránking significa estar en un puesto con un número menor (a mayor número, me-nor posición). Para resolver esto es posible asignar distintos significados a los signos:

+1:estar un lugar más abajo en el ránking

De la cabeza 8º 10º 9º

+2 –1

+1

Corazón latino 29º 22º 19º

–7 –3

–10

+1: subir un lugar

8º –1 De la cabeza-2 9º

+1 10º

+3 19º Corazón latino22º +10

+7 29º

Trabajo Práctico Nº 1 | Números enteros y sus operaciones

La comprensión de las características delas operaciones en este campo numéri-co sólo puede consolidarse al explorarsituaciones dentro de la matemáticamisma. En este T. P., se proponen explo-raciones numéricas que permiten inda-gar y formular propiedades para avan-zar luego hacia el trabajo algebraico,que se hace necesario cuando se tratade demostrar. Para tener disponibles co-nocimientos básicos relativos a las ope-raciones con números naturales y suspropiedades se puede iniciar resolvien-do los problemas 1 a 3 de la Revisión.

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En cualquiera de los casos interesa descubrir que las modificaciones en el mis-mo sentido se “acumulan” (si subió 7 y subió 3, entonces subió 10, o si bajó 2 y ba-jó 6, entonces bajó 8) y que si el sentido de las transformaciones no es el mismo,el resultado se obtiene haciendo la diferencia entre las cantidades y mantenien-do el sentido de la transformación con mayor valor absoluto. Esta misma discu-sión sobre el significado se retoma en los problemas 13 y 14, incorporando el a-nálisis de las escrituras.De manera análoga, en el problema 12 la interpretación del signo puede ser di-ferente si se piensa el problema desde el punto de vista del comprador o delvendedor:

La resolución del problema 16 y el análisis posterior del apartado “Multiplica-ción” en la página 147 del Anexo teórico, permite dar sentido a la “regla de lossignos”, desde una problemática interna a la matemática, la necesidad de man-tener las propiedades de las operaciones con números naturales.El trabajo sobre los problemas 18 a 28 apunta al análisis de relaciones entre nú-meros y propiedades de las operaciones planteadas en forma general a través deexpresiones con letras. Seguramente los alumnos realizarán una primera explo-ración con ejemplos numéricos, tanto para comprender el significado de cadaexpresión como para elaborar una conjetura acerca de su validez.Por ejemplo, en el problema 21 los alumnos pueden trabajar con ejemplos comolos dos primeros y luego resolver c. como se indica en la última columna.

Es posible que el uso de letras unido al problema de considerar el signo presen-te dificultad. De todos modos, se trata de iniciarse en el trabajo algebraico, y só-lo a mediano plazo los alumnos adquirirán cierto dominio sobre esta tarea. Eneste sentido, es probable que en la clase convivan ejemplos numéricos y expre-siones generales frente a la resolución de un mismo problema, aun cuando sehayan explicitado en forma teórica las propiedades involucradas. Sin embargo,

Cuando se compra se “gasta” dinero.Compré un electrodoméstico a $200, otro a$350 y como parte de pago vendí uno usa-do a $120. ¿Cuánto gasté?

La cantidad en stock disminuye cuando serealiza una venta.Se venden a un cliente 200 artículos y a otro350, y se compran 120. ¿En cuánto se modi-ficó la cantidad de artículos que había?

82 - 28 = 54

65 - 56 = 9

73 - 37 = 36

Los resultados están todosen la tabla del 9.

54 - 45 = 9

87 - 78 = 9 si las cifras sonun número y su siguiente,la diferencia es 9 porque esuno menos que 10.54 - 45 = 54 - 44 – 1 = 9

Si se pone la cifra menorprimero,da -9 : 45 - 54 = -9.

ab = 10a + bba = 10b + aab – ba = 10a + b – 10b – aab – ba = 9a – 9b = 9 (a – b),que es múltiplo de 9 cual-quiera sea el signo de a – b.

habrá que ir discutiendo sobre el uso de los ejemplos para argumentar a propó-sito de la validez general de una expresión. En este problema, no basta compro-bar con muchos ejemplos que la diferencia entre los números es múltiplo de 9para asegurar que esto ocurre siempre y es necesario demostrarlo.En el problema 25, si bien es posible plantear la igualdad y analizar para qué valo-res de a y b es verdadera, también se puede argumentar usando un contraejemplo:

Es probable que cuando los alumnos buscan ejemplos utilicen números natura-les, y si bien esto es válido para encontrar un contraejemplo, es interesante pro-ponerles indagar cómo varían los resultados cuando se utilizan enteros positivosy negativos. Esta exploración puede dar lugar a la formulación de nuevas pre-guntas, por ejemplo:si a = 3 y b = 5, (a + b) 2 > a2 + b2 y si a = –4 y b = –2 (a + b) 2 > a2 + b2

¿Se puede afirmar que siempre (a + b) 2 > a2 + b2 ? Si a = 3 y b = 5, (a + b) 2 > a2 + b2, pero si a = 4 y b = –2 (a + b) 2 < a2 + b2

¿Se puede anticipar en qué casos (a + b) 2 > a2 + b2 y en qué casos es menor? Para realizar el problema 27 es posible distribuir las propiedades entre grupos paraexponer y discutir luego las demostraciones realizadas.

Primera secuencia: Usos, representaciones y propiedades de los números racionales

A fin de introducir los números racionales negativos, se proponen problemas co-mo el 4, en el que no siempre es posible responder utilizando los números racio-nales positivos. Al analizar situaciones en que estos últimos resultan insuficien-tes se propicia la construcción de sentido de los números racionales.La representación en la recta numérica permite poner en juego la articulaciónentre diferentes representaciones de los números racionales y también identifi-car la conveniencia de la escritura por utilizar. Esto se plantea en el ítem a. delproblema 7, donde se vincula la escritura fraccionaria con la representación enla recta numérica y se puede analizar la conveniencia de trabajar con esta escri-tura, dado que dos de los números propuestos tienen escritura decimal periódi-ca, lo que obstaculiza su representación. El problema se puede resolver así:

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Representando 1/6 y luego los restantes nú-meros utilizando la noción de fracción e-quivalente.

Representando 1/3 y dividiendo el segmen-to comprendido entre 0 y 1/3 en dos partescongruentes a fin de representar 1/6.

0 1 2 73

16

16

-1 0 1 2 73

16

13

16

-1

Trabajo Práctico Nº 2 | Números racionales y sus operaciones

En este T. P. se avanza en la construcciónde sentido de los números racionalesincorporando los números racionalesnegativos. Asimismo, se profundiza eltrabajo en torno a las diferentes repre-sentaciones de un número racional, apartir de situaciones que exijan elegirla representación más conveniente.También se retoma el tratamiento delas operaciones elementales entre nú-meros racionales y sus propiedades y seintroduce la potenciación con exponen-tes positivos y negativos y la radicacióny sus propiedades. Las actividades pro-puestas favorecen la puesta en juego deaspectos conceptuales y no la realiza-ción de cálculos complejos.

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

a2 + 2 ab + b2 = a2 + b2 ↔ a ab = 0 ↔ a == 0 ó b = 0

(a + b)2 ≠ a2 + b2

pues (3 + 5)2 ≠ 32 + 52

64 ≠ 9 + 25

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El ítem b. de esta misma actividad permite vincular la escritura decimal, la frac-cionaria y la representación en la recta, pues aun en el caso en que los alumnosescriban 2/5 en forma decimal, es necesario realizar las particiones característi-cas del trabajo con fracciones (representar la unidad y dividirla en 10 partes con-gruentes o bien dividirla en 5 partes congruentes y luego dividir, por ejemplo, elsegmento comprendido entre –1,4 y –1,2 en dos partes congruentes).Continuando con esta secuencia, el problema 8 agrega una complejidad: es ne-cesario ubicar el 0 y el 1, a partir de la ubicación de dos números racionales.Con la incorporación de los números racionales negativos, se avanza en el estu-dio de la relación de orden. El problema 14 permite realizar el análisis global deuna expresión algebraica con el apoyo de lo numérico; es decir, sin recurrir a laspropiedades del orden, dado que este año sólo se realiza una primera aproxi-mación al estudio de las inecuaciones (T. P. N°3). Para que se cumpla la condi-ción impuesta en el ítem a., 2/m debe ser necesariamente menor que 0, por loque m < 0. Esto se retoma en el ítem b., en el que 2/m + 1 debe ser necesaria-mente menor que cero, de lo que surge que m < –1. El problema 45 de la Bateríatambién permite analizar expresiones algebraicas con apoyo de lo numérico.Retomando el trabajo con la densidad de los números racionales desarrollado en 7°año, el problema 15 a. puede ar lugar a diferentes procedimientos de resolución:

Es importante que el docente pregunte cuántas fracciones diferentes pudieronintercalar y que haga notar el hecho de que al dividir el segmento en 11 partescongruentes es posible intercalar 10 fracciones. Con relación al ítem b. puedenaparecer en la clase diferentes modos de resolución como estos cuatro:

Transformar 23 y 24 en fracciones equiva-lentes de denominador 11:23 = 253/11 y 24 = 264/11. Luego, las frac-ciones comprendidas entre 253/11 y 264/11

son: 254/11; 255/11; 256/11; 257/11; 258/11;259/11; 260/11; 261/11; 262/11; 263/11.

Dividir el segmento comprendido entre 23

y 24 en 11 partes congruentes y luego:23 + 1/11; 23 + 2/11; 23 + 3/11;23 + 4/11; 23 + 5/11; 23 + 6/11;23 + 7/11; 23 + 8/11; 23 + 9/11;23 + 10/11.

Escribir números seleccionados al azar ycomprendidos entre 23 y 24.Por ejemplo, 47/2; 71/3…

Escribir fracciones decimales comprendidasentre 23 y 24.Por ejemplo, 231/100; 232/100…

Considerar las fracciones de denominador11 determinadas en el ítem a. y encontrarfracciones comprendidas entre ellas: selec-cionando fracciones al azar y verificando siestán comprendidas entre las fracciones se-leccionadas, o bien dividiendo la distanciaentre las fracciones seleccionadas, por e-jemplo, en dos partes congruentes.

Utilizar lo acordado durante la puesta encomún: para intercalar 8 fracciones se pue-de dividir el segmento en 9 partes con-gruentes:23 + 1/9, 23 + 2/9, 23 + 3/9, 23 + 4/9, 23 + 5/9,23 + 6/9, 23 + 7/9, 23 + 8/9

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Durante la puesta en común los alumnos explicarán las estrategias utilizadas, loque permitirá destacar la eficacia de la última de ellas y posteriormente gene-ralizar:“Si se deben intercalar n fracciones entre dos números, se debe dividir elsegmento unidad en n + 1 partes congruentes”. Las conclusiones elaboradas du-rante la resolución de los ítems anteriores permitirá afirmar que se trata de in-finitos números racionales (ítem c.). Dado que en la actividad los números sonenteros consecutivos y con el objetivo de que se extienda la validez de la estrate-gia para dos números racionales cualesquiera, es importante que el docente pro-ponga una discusión en torno a esta cuestión preguntando, por ejemplo, cómose puede hacer para intercalar 8 fracciones comprendidas entre 1/3 y 3/2.Con relación al tratamiento de las expresiones decimales periódicas, se proponeque los alumnos trabajen analizando cómo expresarlas mediante cocientes denúmeros naturales y cómo se realiza el pasaje de una escritura a otra, sin dete-nerse en la memorización de las reglas usuales.

Segunda secuencia: Operaciones con números racionales

En este apartado se incorporan la suma, la resta, la multiplicación y la divisiónde números racionales negativos mediante actividades que requieren cálculossimples (problemas 18 y 19). Pese a la simplicidad de éstos, es importante que eldocente permita utilizar calculadora, o bien para efectuarlos o bien para con-trolar los resultados.Con relación a la potenciación, los ítems a. y b. del problema 21 permiten retomaraspectos diferenciales entre el funcionamiento de los naturales y los racionales res-pecto de la multiplicación, trabajo que se ha iniciado en 1° año. En función de losvalores asignados a las bases de las potencias y sin usar la calculadora, los alumnosdeberán comparar multiplicaciones. En el caso del ítem a., con factores compren-didos entre 0 y 1: 0,5463124 > 0,5463127. En el caso del ítem b., con factores mayo-res que 1: 1,5463124 < 1,5463127. En esa misma línea está pensado el problema 22.El problema 24 permite vincular escrituras en las que intervienen potencias de10, aspecto que puede ser relacionado con las distintas formas de expresar nú-meros con notación científica en diferentes calculadoras, y que en muchos casosdesorienta a los alumnos, pues suelen pensar que se trata de números diferentes.En el problema 28, se analiza la extensión de las propiedades de la potenciacióny radicación de números enteros, y se solicita una demostración sencilla. Ésta re-quiere apoyarse en la definición de potencia con exponente racional y en la pro-piedad relativa a potencia de potencia, que se analizan en el Anexo teórico.

Primera secuencia: Rectas y ángulos

Los problemas 5 y 6 remiten a la noción de ángulo como giro; ponen el acento enlas posibilidades de retomar lo trabajado en años anteriores, sin descuidar la mi-rada sobre la medida del ángulo, es decir, la amplitud. Esto es importante, ya queen la construcción de la noción de ángulo, aparece en los alumnos en algunas oca-siones la idea de que la medida está dada por la longitud de los lados.

Trabajo Práctico Nº 3 | Ángulos y polígonos

La propuesta de este T. P. es colocar a losalumnos en la necesidad de argumentarsobre la base de propiedades conocidas.Elegir qué propiedades se toman como

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punto de partida y cuáles deben demos-trarse son decisiones que dependen bási-camente del tipo de problemas que sedesarrollen y de los conocimientos geo-métricos de los alumnos.En todos los casos, el trabajo con las no-ciones geométricas consideradas ele-mentales, como rectas y ángulos, así co-mo ciertas relaciones como paralelismoy perpendicularidad, son los contenidosque permiten avanzar en esa dirección.

El problema 7 es una primera “entrada” a la producción de argumentos deducti-vos, ya que colocar “alguna” exigencia en la situación en la cual el alumno se en-cuentra puede ser una buena forma de empujar en esa dirección. En este ejemplo,en el ítem a., la prohibición del uso del transportador planteada explícitamente o-bliga a la búsqueda de relaciones y a la deducción de los valores de los ángulos, sinrecurrir a la experimentación. El ítem b. obliga a los alumnos a poner en relaciónuna serie de propiedades que, si son aceptadas por el grupo de alumnos, puedenser consideradas como el conjunto de “verdades”que sirven para argumentar ma-temáticamente.En el problema 8, se propone una situación en la cual los alumnos puedan llegara enunciar que “por dos puntos, definidos éstos, pasa una única recta”, que es unpostulado de Euclides. De este modo, se habilita a los alumnos a realizar distintasconstrucciones para llegar a una conjetura, en lugar de enunciar directamente elpostulado. El problema 9 presenta una situación similar, pero ubicando tres pun-tos y, por lo tanto, complejizando las relaciones que se presentan.Los problemas 10 y 11 son para aplicar algunas de las nociones ya trabajadas,apuntando a que los alumnos utilicen la notación geométrica y las relaciones en-tre ángulos.

Segunda secuencia: Polígonos

Los problemas 12 y 13 presentan situaciones específicas a partir de las cuales sepueden identificar qué propiedades se necesitan para resolverlos, en función delo trabajado en años anteriores con los cuadriláteros. A partir de allí, el docentepuede analizar si se trata de propiedades ya conocidas por los alumnos, de pro-piedades que podrían aceptarse por su carácter “evidente”, o de propiedades que,si bien no serán demostradas, se construirán a partir de experimentaciones o delanálisis de dibujos particulares. La intención didáctica de estos problemas es tra-bajar sobre las relaciones que existen entre lados, ángulos y diagonales de loscuadriláteros, poniendo en discusión las definiciones que ellos hayan elaboradohasta esta etapa de su escolaridad. Es decir, el trabajo con cuadriláteros es, fun-damentalmente, de recuperación de las propiedades de las figuras trabajadas enel segundo ciclo.En el problema 15, la actividad apunta a poner en juego una cuestión que es esen-cial en la práctica geométrica: la posibilidad de obtener información sobre la figuracon la que se está trabajando a partir del conocimiento de algunas relaciones, sinnecesidad de medir. El uso de la medición puede ser un recurso en procesos explo-ratorios para arribar a la formulación de conjeturas, pero a esta altura de la escola-ridad se busca que la validación de éstas se realice a través de argumentos deducti-vos. El nivel de complejidad de las afirmaciones propuestas es decisión del docenteen función de las características de su curso.Los problemas 16, 17 y 18 utilizan las construcciones como recurso didáctico pa-ra poner en relación las propiedades puestas en juego hasta el momento. Para elproblema 16 a., los alumnos podrían proponer las siguientes soluciones:


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En el problema 19, aparece la noción de bisectriz, que fue trabajada en 1o año, pe-ro no vinculada a los cuadriláteros. Nuevamente, se utiliza una figura para con-jeturar sobre una propiedad, en este caso la relación de perpendicularidad entrelas bisectrices de ángulos consecutivos de un paralelogramo. Si bien no es posi-ble indicar cuáles serán las propiedades de partida que el grupo considere comoverdad, se pueden señalar algunas posibilidades:

Tercera secuencia: Cubrimiento

El trabajo con cubrimientos pone en evidencia ciertas relaciones entre los ángu-los interiores de los polígonos. Esta mirada sobre el tema permite trabajar sobreotros problemas, en contextos diferentes, que redundan en la construcción de lasmismas relaciones. Los únicos polígonos regulares que cubren el plano son eltriángulo, el hexágono y el cuadrado. Para aprenderlo, los alumnos deben coor-dinar las siguientes cuestiones: deben converger como mínimo tres ángulos enun vértice; el valor máximo de un ángulo interior de un polígono regular que cu-bre el plano es de 120 grados; y para polígonos de más de seis lados, el valor delángulo interior es mayor que 120 grados.Como hay que establecer una condición sobre un conjunto infinito –el de todoslos polígonos– el problema exige la puesta en juego de un argumento general.Los problemas 22 y 23 permiten reutilizar la noción de ángulo interior: en el 22,se trata de la de suma de ángulos interiores de cuadriláteros; pero en el 23, se au-menta la complejidad, ya que aparece un hexágono regular del cual desconocenla medida de sus ángulos interiores. Si, frente a esta dificultad, algunos alumnosno logran avanzar, se puede proponer que trabajen triangulando la figura paraaveriguar cuál es la suma de los ángulos interiores de un hexágono. De esta ma-nera, la intervención didáctica propone un recurso a los alumnos, da pistas, pe-ro no da la respuesta.Las preguntas de los problemas 27, 28 y 29 tienen el objetivo de poner en dudaalgunas afirmaciones. Esta secuencia concluye con el problema 30, donde se pi-

A partir de construir seg-mentos perpendiculares a py q:un cuadrado o un rectán-gulo, sabiendo que dos rec-tas perpendiculares a unatercera son paralelas entre sí.

A partir de construir seg-mentos que no son perpen-diculares a p y q, pero para-lelos entre ellos: un romboo un paralelogramo propia-mente dicho.

A partir de construir seg-mentos que no son perpen-diculares a p y q, y no sonparalelos entre ellos: algúntrapecio; en ese caso no esparalelogramo.

Las propiedades que ya co-nocen y con las cuales estánfamiliarizados, como la deque la suma de los ángulosinteriores de un triángulovale 180º.

Las que tienen cierto gradode “evidencia”; por ejemplo,los ángulos Â y D suman180º porque se puede “co-rrer y superponer” AB y CD.

Otras que no pueden serconsideradas “evidentes”pero que resultan “funda-mentales”, como es el casode ADE, la mitad de D es igual a la mitad de Â más Ê.

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Trabajo Práctico Nº 4 |Fórmulas y transformaciones algebraicas

Una de las posibles causas de las dificul-tades que los alumnos tienen para de-sempeñarse eficientemente con las no-ciones algebraicas se vincula al hecho deque, en muchas circunstancias, dichos ob-jetos se introducen a partir de situacio-nes en las que no resultan ser una herra-mienta imprescindible para encontrar lasolución, o bien mediante propuestas enlas que el docente “muestra” la eficaciade ellos.En este capítulo se propone un trabajoque apunta a que los alumnos otorguensentido a la escritura de fórmulas y a suvalidación, a la transformación de expre-siones algebraicas y a la puesta en ecua-ción (primer grado con una incógnita),junto con la correspondiente resolución.

de una demostración. Los alumnos pueden poner en juego distintos conoci-mientos, por ejemplo:

En este ejemplo, como en muchos otros, se plantea como un momento impor-tante en el aprendizaje la puesta en común de todas estas estrategias, que dancuenta de las propiedades utilizadas para demostrar. La puesta en común de-be incluir la justificación que los alumnos hacen de sus conjeturas. Por acuer-dos colectivos, la clase debe ir distinguiendo la “calidad” de las distintas estra-tegias aceptando las primeras dos –pues son afirmaciones que valen para“todo” triángulo– y no conformándose con la tercera. En los problemas 31 y 34,el trabajo es similar al planteado precedentemente, pero avanza con otras pro-piedades geométricas.

Primera secuencia: Fórmulas matemáticas

Para continuar con el tratamiento de la generalización iniciado durante 1° año,el problema 4 apunta a la búsqueda de regularidades y elaboración de fórmu-las. La elección de presentar tres figuras sin acompañamiento de texto tiene laintención de que los alumnos se apropien de las propiedades comunes de lasfiguras. Los ítems a. y b. permiten percibir las características de las figuras. Lapuesta en común es fundamental, pues a través de ella los alumnos podráncomparar sus producciones, y de ser necesario, rectificarlas. Es aconsejable queel docente realice una “institucionalización” que recoja las diferentes elabora-ciones de los alumnos. Una vez resuelto el ítem c., se realizará una puesta en co-mún en la que se expondrán los diferentes métodos de cálculo utilizados, sinprivilegiar ninguno de ellos. En esta instancia se recordará el concepto de perí-metro de una figura, lo que permitirá analizar los errores eventuales.La importancia del problema 5 radica en que los alumnos no pueden dibujar lafigura en su hoja (con sus dimensiones reales), y si eligen realizar una reducción,la medida de los lados no puede proporcionar la medida exacta del perímetro, loque bloquea procedimientos ligados a las mediciones.El problema 6 induce a los alumnos a expresar el lado del cuadrado grande enfunción del lado del cuadrado pequeño. Durante la puesta en común se discuti-rán los métodos utilizados y su validez; asegurando que los alumnos dominen almenos un método de cálculo del perímetro de la figura.El problema 7 a. apunta al pasaje de una formulación escrita a una escritura ma-temática utilizando las letras. Entre las fórmulas posibles figuran las siguientes:

La relación numérica entrelas medida de los ángulosexterior e interior de unmismo vértice.

La propiedad sobre la sumade los ángulos interiores deun triángulo.

Los dibujos de los otros ángu-los exteriores, lo que comple-jiza la figura de análisis, perointentando desde el dibujofundamentar su respuesta.


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Es importante someter estas fórmulas a una discusión grupal en la que se anali-ce su validez. Retomando las fórmulas correctas que provienen de diferentes mé-todos de cálculo, el docente realizará una primera aproximación a la noción de e-quivalencia, destacando:“Las fórmulas obtenidas resultan equivalentes, pues, sibien provienen de diferentes procedimientos, todas permiten calcular el períme-tro en forma correcta”. Si no surge una diversidad de fórmulas como la propues-ta, alegando que las escribieron alumnos de otro curso, el docente pondrá algu-nas a consideración. Si los alumnos no disponen de una operatoria algebraica,analizarán la validez utilizando o bien procedimientos empíricos (haciendo fun-cionar las fórmulas con los valores de los perímetros obtenidos), o bien reconstru-yendo el procedimiento que permitió elaborarlas. En esta instancia resulta de in-terés realizar una puesta en común dando lugar a las explicaciones de losdiferentes grupos y solicitando “explicaciones que permitan comprender mejor”,lo que permitirá cuestionar la insuficiencia de los métodos pragmáticos. Al avan-zar con el trabajo en torno a la validación de expresiones algebraicas equivalen-tes a través del uso de las propiedades de las operaciones aritméticas, es impor-tante retomar las fórmulas trabajadas y analizarlas desde esta perspectiva.

Segunda secuencia: Expresiones equivalentes

En este apartado se proponen problemas que apuntan a trabajar la equivalenciade expresiones algebraicas. La secuencia comienza con el problema 9, en la que seaceptará una validación basada en los procedimientos de cálculo, y continúa conel problema 10, proponiendo la utilización del contexto geométrico como recur-so para validar las diferentes escrituras. Posteriormente se incluyen actividadesque involucran la validación de la equivalencia entre expresiones algebraicas uti-lizando las propiedades de las operaciones aritméticas. Así, por ejemplo, en el pro-blema 14 es necesario transformar una expresión algebraica en otra equivalentea fin de leer información que no era evidente en la expresión original.

Tercera secuencia: Ecuaciones

Para abordar las ecuaciones de primer grado con una variable se propone partirdel trabajo realizado en torno a expresiones algebraicas, tal como se plantea enel problema 23. Se han seleccionado coeficientes enteros con el fin de no com-plejizar los cálculos, lo que podría desviar la finalidad del problema. Durante es-ta etapa el docente no introduce la noción de ecuación, lo que se reserva para ins-tancias posteriores.

CorrectasP = (L + 1) . 3 + L . 3 + 1P = (L + 1) . 4 + (L . 4) – L . 2

P = (L + L + 1) . 3 + 1

IncorrectasP = (L + 1) . 4 + L . 3 – 1P = (L + 1) . 4 + L . 4 – L

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Continuando con este trabajo, en los ítems del problema 24 se incluyen situa-ciones que pueden ser modelizados mediante ecuaciones. Éstas tienen la for-ma: cx + d = mx + n (la incógnita está en los dos miembros de la igualdad), sibien pueden ser transformadas a la forma ax + b = 0. Se ha seleccionado estetipo de problemas porque las situaciones que conducen a ecuaciones donde laincógnita aparece al principio en un único miembro de la igualdad pueden re-solverse sin escribir la ecuación; es decir, aritméticamente, lo que dificulta laconstrucción de sentido de tal escritura, según diversos estudios. En funciónde la selección de ecuaciones con coeficientes enteros, para el ítem a. se espe-ran soluciones como las siguientes:

La finalidad de los ítems b. y c. del problema 24 es que los alumnos vuelven autilizar los procedimientos anteriores y los mejoren. Para que todos puedan a-rribar a una respuesta, especialmente los que trabajan por ensayo y error, esimportante permitir el uso de calculadoras. Al finalizar este ítem es necesariorealizar una puesta en común para elaborar una síntesis de los procedimien-tos utilizados. La reiteración del mismo enunciado favorecerá la utilización delos procedimientos anteriores para encarar la resolución del ítem d. Sin em-bargo, en función de los coeficientes seleccionados (números racionales conexpresión decimal finita), los procedimientos aritméticos se tornan muy difi-cultosos. Si algunos grupos persisten en utilizarlos, es importante que el do-cente acote el tiempo, a fin de impedir su uso. Durante la puesta en común seretomarán las dificultades que generan tales procedimientos, lo que favorece-rá la construcción de sentido de la puesta en ecuación. En esta instancia el do-cente comenzará a institucionalizar la noción de ecuación como la expresiónde una condición sobre un conjunto de números (no como igualdad con in-cógnita) y la noción de solución.La remisión al Anexo teórico propuesta en el ítem a. de la actividad 25 permiti-rá interpretar los procedimientos habituales de resolución de ecuaciones (pro-piedades de las operaciones aritméticas y noción de ecuación equivalente), y re-conocer su eficacia.Posteriormente, se proponen actividades que permiten poner en juego la nociónde solución de una ecuación y otras que apuntan a analizar la existencia de infi-nitas soluciones, o la no existencia de solución.

Escribir la ecuación y utilizar el procedi-miento descripto en la actividad anterior:

Sin escribir la ecuación y utilizando proce-dimientos aritméticos de ensayo y error.

3n + 4 = 2n + 62n + n + 4 + 2 – 2 = 2n + 62n + 4 + 2 + n – 2 = 2n + 62n + 6 + n – 2 = 2n + 6Luego : n – 2 = 0, por lo que n = 2

Rosario:ingresa obtiene

0 4

1 7

2 10

Celeste:ingresa obtiene

0 6

1 8

2 10


12

Primera secuencia: Triángulos

En los problemas 4 y 5, se espera que los alumnos mejoren la calidad de su tra-bajo con la regla y el compás y puedan construir triángulos a partir de distintoselementos dados como datos. Podrán también disponer de diferentes criteriospara establecer la igualdad de dos triángulos, conociendo la igualdad de algu-nos de sus elementos. Otros aspectos más transversales comienzan a trabajarseaquí pero no se agotan en este ítem, como saber cuándo una colección de datosdetermina una única figura en la construcción requerida y cuándo la construc-ción es imposible (su existencia y unicidad).El problema 9 parte del planteo de una relación que debe demostrarse. Entoncesse pueden producir las siguientes soluciones:

Como ya se mencionó, todas estas estrategias sirven para que el docente guíe unapuesta en común donde la argumentación y la validación de conjeturas sea elobjeto del trabajo.En el problema 10, y en todos aquellos en los cuales se debe responder sobre exis-tencia y unicidad de la solución, el docente debe a veces conformarse con justifi-caciones muy precarias, basadas tanto en la visualización como en la intuición.Si bien el objetivo al que se apunta es la entrada en el razonamiento deductivo,no hay que perder de vista que esto es un proceso y que es necesario el tránsitopor toda una colección de actividades para lograrlo.A partir de todo el trabajo de construcciones realizado hasta aquí, y de la discu-sión acerca de existencia y unicidad, se pueden plantear actividades que permi-tan enunciar los criterios de igualdad. Para ello, el docente puede proponer dos

1 + 1’+ B + C = 180¿

Realizar distintas construcciones, poniendo los datos en los dibujos y validar em-píricamente.

A1

2B CC’

• Se sabe que AB < BC

Intentar validar desde propiedades conocidas. Por ejemplo:

Buscar contraejemplos y no encontrarlos.

• Entonces 1 = 2

1) En ABC, A + B + C = 180¿

• Construir BC’ = AB ⇒ ABC’ es isósceles

2) En ABC’, 1 + B + 2 = 180¿

• Comparando 1) y 2)

• De 3) y 4) C < A

3) 1’ + 2 = C C < 24) A = 1 + 1' = 2 + 1’ A < 2

Trabajo Práctico Nº 5 | Triángulos y circunferencia

En este capítulo se considera la caracte-rización de lugar geométrico como con-dición que cumple cierto conjunto depuntos que equidistan de uno fijo. Se tra-ta de avanzar en que los alumnos sepaninvertir esta propiedad en la construc-ción de una circunferencia que pase portres puntos dados.Transversalmente, al igual que en el T. P.N° 3, se espera un avance en la formula-ción de conjeturas generales y en la cali-dad de las justificaciones de esas formu-laciones.

13

o tres frases del estilo “si dos triángulos tienen ..... iguales, entonces son iguales”y preguntar acerca de su veracidad, incluyendo tanto frases falsas como verda-deras. Posteriormente, puede pedir a los alumnos que ellos mismos formulen cri-terios verdaderos. De esta manera, se continúa con la secuencia planteada en losproblemas 11 y 12.En el problema 17, aparece la altura como elemento nuevo. Es necesario que losalumnos comprendan la importancia de la información que da la medida de laaltura, independientemente de saber dónde está ubicada. Un recurso de muchautilidad consiste en trazar una recta paralela al lado, a una distancia igual a la me-dida de la altura. Para esta construcción de paralelas se permite el uso de la reglay la escuadra; también se puede plantear el problema del trazado de paralelas conregla y compás.El problema 18 plantea una situación interesante de construcción, ya que avan-za desde la congruencia de ángulos hacia la utilización de algunas de las líneasnotables de los triángulos, como son las medianas y las bisectrices.Para argumentar sobre la afirmación del problema 19, los alumnos deberán con-siderar las relaciones de congruencia que se dan en los triángulos isósceles. De-bido a que el trabajo sobre la validación es un proceso que recién se inicia, qui-zás es necesaria una pregunta extra del docente o el volver sobre algunasdefiniciones, como el de mediana.En el problema 20, es útil sugerir la realización de figuras de análisis. En el casode la afirmación del punto c., dado que es falsa, se puede arribar a su validacióna través de la realización de un dibujo particular y el análisis de sus característi-cas. Este análisis puede realizarse en el curso de una discusión colectiva, y gene-rará el convencimiento sobre la validez de la demostración a partir de un con-traejemplo.

Segunda secuencia: Relaciones con circunferencias

En esta sección, se introduce el concepto de recta tangente. Se ha elegido su trata-miento en relación con el círculo para dar una definición precisa sin apelar al cálculoinfinitesimal:una recta es tangente a un círculo si se corta con él en un único punto.El problema 26 propone una afirmación que debe ser justificada. Para ello, hayque razonar por el absurdo:“Si la recta no fuera tangente, cortaría al círculo almenos en otro punto y entonces quedaría determinado un triángulo isóscelescon centro en el círculo con uno de sus ángulos de la base recto. ¡Esto es imposi-ble!”. Nuevamente, este tipo de razonamiento, tan usual en matemática, puedeser costoso de elaborar para un alumno, al menos las primeras veces. Es necesa-ria la intervención docente que, por un lado, colabore con su desarrollo y, por o-tro, promueva una vuelta sobre el tipo de razonamiento empleado, una vez con-cluida la prueba. El mismo procedimiento puede seguirse para responder conuna validación el problema 28..Para resolver la construcción del problema 29, conviene separar los datos dispo-nibles y lo que se quiere hallar. Es necesario construir una circunferencia que es-té inscripta en el triángulo escaleno. La confección de una figura de análisis, un


14

esquema que permita ubicar el posible lugar del centro, parece de gran utilidaden este caso. En este esquema puede observarse que el centro equidista de lospuntos de contacto, es decir que es el punto de intersección de las bisectrices. És-te es uno de los problemas que propician la aparición de la figura de análisis,una herramienta muy útil que los alumnos deberían adquirir.El docente también puede proponer que se construya una circunferencia, de mo-do que los vértices del triángulo pertenezcan a ella, o sea, una circunferencia cir-cunscripta. En este caso, se pueden analizar diferentes variantes, entre ellas, queun lado del triángulo sea diámetro de la circunferencia. Luego de resolver esteproblema, los alumnos habrán adquirido conocimientos acerca de la propiedadde los ángulos inscriptos en una semicircunferencia.Este saber permite otro algoritmo de construcción para la tangente por un puntoexterior, sobre lo cual es interesante volver, en una actividad de evocación posterior.

Primera secuencia: Fórmulas y cambios

El propósito del problema 5 es avanzar en el estudio de las nociones de variable,varia-bles independientes y dependientes,e introducir las nociones de dominio e imagen.Con relación al ítem a., las respuestas esperadas son:

Para obtener la respuesta 1, se utiliza la fórmula del área de un trapecio, y paraobtener las repuestas 2 y 3 se utilizan la suma o la diferencia de dos áreas, res-pectivamente. En cuanto a la respuesta 4, sólo puede ser obtenida después de untrabajo algebraico sobre las respuestas anteriores. El ítem b. permitirá validar laequivalencia de las fórmulas que hayan surgido.Para responder al ítem c. es necesario resolver la ecuación 64 – 4x = A; donde Aes un número conocido, considerando las dimensiones del cuadrado, que es loque permite otorgar sentido a la determinación del dominio y de la imagen. Silos alumnos lo tienen en cuenta podrán identificar que ninguna de las solucio-nes es posible (si A = 12 cm2 , entonces x = 13 cm, que excede el lado del cuadra-do; si A = 28 cm2 , entonces x = 9 cm, que también lo excede, y si A = 80 cm2 , en-tonces x = – 4 cm, que es negativo). Sin embargo, es muy habitual que algunosalumnos no tengan en cuenta las dimensiones del cuadrado y que afirmen quetodas las soluciones son posibles o que sólo descarten la última de ellas (x nega-tivo). La utilización del contexto geométrico solicitada en el ítem d. puede per-mitir una reflexión en torno a la validez de las soluciones y descartar los casos enlos que x es negativo o superior a 8.

A = MB . AD + MA . AD2

A = (8 – x) 8 + 8x2

A = 8 (8 – x) + 4x

A = AB2 – AM . AD2

A = 82 – 8x2

A = 64 – 4xA = (MB + CD) . AD;2

A = [(8 – x) + 8] 82

A = 4 [(8 – x) + 8]

Trabajo Práctico Nº 6 | Variaciones

Con el apoyo del trabajo algebraico rea-lizado en el T. P. N°4, y retomando el estu-dio del aspecto modelizador de las fun-ciones iniciado en 1° año, en este T. P. seenfatizan las nociones de dependencia yvariabilidad y se profundiza en aspectosligados a la elaboración de fórmulas queexpresan variaciones. Se proponen si-tuaciones que permiten otorgar sentidoa la determinación del dominio y la ima-gen, y se continúa con el tratamiento dela articulación entre diferentes repre-sentaciones de las funciones (gráfica, fór-mula, dibujo, tabla y lenguaje coloquial).Es importante notar que, al igual que en1°, no se propone la definición usual defunción (centrada en la existencia y launicidad) ni se toma como apoyo el es-tudio de relaciones entre conjuntos fini-tos, ya que esto no contribuye a la cons-trucción de las nociones de dependenciay variabilidad, que resultan esencialesen la modelización de fenómenos.

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Durante la puesta en común es importante que el docente solicite a los alumnos quepropongan valores posibles e imposibles de A y que justifiquen. Posteriormente, esnecesario que el docente retenga las siguientes cuestiones:“x varía y toma valorescualesquiera entre 0 y 8, dado que M varía sobre AB; A también varía y toma valorescualesquiera entre 32 y 64; se dice entonces que x y A son dos variables”.Asimismo, es importante que destaque que:“x y A designan números descono-cidos pertenecientes a un conjunto determinado de números: x designa un nú-mero desconocido comprendido entre 0 y 8; A designa un número desconocidocomprendido entre 32 y 64”.La remisión al Anexo teórico propuesta en el problema 6 permitirá continuar lainstitucionalización de las nociones de variable dependiente, de variable inde-pendiente, de dominio y de imagen de una función.

Segunda secuencia: Funciones y variaciones uniformes y no uniformes

Continuando con problemas planteados en el contexto geométrico, la identifi-cación de variables y constantes propuesta en el problema 10 permite analizardos procesos que crecen uniformemente: el perímetro y el área de un rectángu-lo de ancho constante. La remisión al Anexo teórico propuesta en el problema 11

favorece un avance en la caracterización de las variaciones uniformes.Los problemas 12 y 13 permiten articular tres formas de representación (len-guaje coloquial, fórmula y gráfica cartesiana) en la modelización de procesos quecrecen en el problema 12 y decrecen en el 13, en forma uniforme. Asimismo, fa-vorecen la puesta en juego del vínculo entre ecuaciones lineales y funciones li-neales, dado que se solicita la determinación de preimágenes a partir de valoresconocidos de la imagen. Así, en el problema 12 es necesario determinar el tiem-po que tarda el silo en llenarse, lo que puede establecerse a partir de la gráfica oresolviendo la ecuación 500 = 5t + 25.Continuando con este trabajo, la remisión al Anexo teórico propuesta en el pro-blema 14 propicia la interpretación de los parámetros característicos que inter-vienen en las fórmulas que modelizan estos procesos (m y n, f(x) = mx + n). Así,por ejemplo, en el problema 12 [f (t) = 5t + 25] n = 25 representa la cantidad detrigo que inicialmente contiene el silo, y m = 5 representa la rapidez con que sellena el silo. Durante la puesta en común es necesario que el docente pregunteacerca de la influencia de cada parámetro en el gráfico cartesiano.Para resolver el problema 15 es necesario manejar simultáneamente los proce-sos modelizados en los problemas 12 y 13, a fin de determinar el punto de en-cuentro. Es muy probable que algunos alumnos se valgan del trabajo en torno aecuaciones y otros privilegien la utilización de la gráfica cartesiana:


16

Durante la puesta en común se discutirá sobre la conveniencia de una u otra re-solución. En este caso, la solución no es entera y los parámetros toman valoresgrandes, por lo que la gráfica no resulta ser el recurso más adecuado. Es impor-tante notar que, si bien se trata de un sistema de ecuaciones, esta actividad noapunta a su tratamiento, que se reserva para 3° año.Finalmente, se analizan los límites de los modelos de variación uniforme a partirdel análisis de las correspondientes fórmulas, tablas y gráficas, lo que permitirá u-na primera aproximación al estudio de fenómenos no lineales. Una vez resuelto es-te T. P., resultaría importante que el docente solicitara a los alumnos que volvieransobre las actividades en las que no se pidió caracterizar el modelo, e identifi-caran cuáles de ellas corresponden a variaciones uniformes y cuáles no.

Primera secuencia: Relaciones entre ángulos y lados de un triángulo

En la primera parte de esta secuencia interesa poner en relación las propiedadesde los lados y los ángulos de los triángulos. Es probable que los alumnos reco-nozcan la congruencia de los lados en un triángulo isósceles pero tal vez no ad-viertan que a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.En el problema 4 se trata de analizar expresiones sobre distintos triángulos yargumentar acerca de su validez. Si bien es posible responder realizando algu-nos dibujos y mediciones, se espera que también se utilicen algunas propieda-des conocidas:

En este problema y en el siguiente es posible aceptar algunas razones basadas enla experimentación; sin embargo, los problemas 6 y 7 proponen realizar demos-traciones. Si bien las exploraciones previas y la lectura del Anexo teórico brindan

25 + 5t = 500 – 5t10t = 475

t = 47,5

500

100

0 10 50

C

t

1 (t)

t = 47,5 min

C1

C2

C1 (t) = 500 – 5tC2 (t) = 25 + 5t

Este triángulo tiene un án-gulo de 60º y no es equilá-tero.

La suma de los ángulos in-teriores es 180º.Si uno mide 60º, los otrosmiden 120º entre los dos,pero no se sabe si son igua-les o no.

Si el triángulo es equilátero,cada uno de sus ángulos in-teriores mide 60º, pero sa-ber que uno solo mide 60ºno dice nada de los otrosdos.

Trabajo Práctico Nº 7 | Triángulos rectángulos

Si bien el núcleo de este T. P. es la relaciónpitagórica entre las medidas de los ladosde un triángulo rectángulo, el trabajoplanteado en los problemas apunta mása la elaboración de conjeturas y al aná-lisis de su validez que a su aplicación pa-ra el cálculo. En este año el desafío estácentrado en avanzar en la argumenta-ción utilizando el razonamiento deduc-tivo, superando las comprobaciones em-píricas realizadas en años anteriores. Detodos modos, y dada la complejidad quesupone el avance en este tipo de tarea,también se incluyen situaciones con a-poyo experimental que permiten produ-cir conjeturas y diferenciar distintos ti-pos de argumentos.

17

elementos suficientes para realizarlas, es posible que algunos alumnos tenganciertas dificultades para organizar la escritura aunque adviertan las propiedadesque necesitan usar. En este sentido, es importante priorizar el establecimiento derelaciones y la explicitación de lo que se piensa, antes que la rigurosidad en la es-critura formal. La comunicación de las distintas formas de registrar los pasos se-guidos en cada “demostración personal” podrá originar la necesidad de mejoraralgunos aspectos formales.Los problemas 8 a 12 plantean situaciones que requieren exploraciones sobre di-bujos utilizando medidas. En este caso, se trata de dar elementos para elaborarconjeturas a propósito de la posibilidad de anticipar si un triángulo que se pro-pone construir será o no rectángulo, teniendo información sólo sobre la medidade sus lados.En los problemas 9 y 10 interesa destacar que, si bien las ternas 3, 4 y 5, y 5, 12 y13 dan lugar a la construcción de triángulos rectángulos, las reglas elaboradaspor Malena y Camilo no pueden generalizarse. Ésta es una nueva oportunidadpara hablar del uso de ejemplos y contraejemplos para argumentar sobre la va-lidez de una afirmación.

Segunda secuencia: Cuadrados, triángulos y áreas

En la secuencia anterior los alumnos determinaron que, cuando las medidas delos lados de un triángulo forman una terna pitagórica, se puede afirmar que eltriángulo es rectángulo.En esta secuencia, se vinculan las áreas de los cuadrados construidos tomandocomo medida del lado las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.En los problemas 13 a 16 se trata, nuevamente, de realizar exploraciones quepermitan elaborar conjeturas. Los problemas 18 y 19 brindan la oportunidad deaplicar la propiedad descubierta para el cálculo. El uso de la propiedad de Pitá-goras para resolver problemas de aplicación tanto de la vida cotidiana como delinterior de la matemática también aparece en los problemas de la Batería.El problema 20 plantea una nueva exploración numérica que anticipa la demos-tración que se propone luego, en el problema 21. En este punto es interesante pro-poner la comparación de distintas expresiones elaboradas por los alumnos, o pre-sentadas por el profesor, para determinar si pueden considerarse o no equivalentes.Por ejemplo, algunas expresiones elaboradas por alumnos pueden ser:

Según el tipo de trabajo sobre expresiones simbólicas realizado con anterioridad,también es posible incluir expresiones del tipo:

En todo triángulo rectán-gulo, el cuadrado construi-do sobre la hipotenusa tie-ne un área igual a la sumade las áreas de los cuadra-dos construidos sobre loscatetos.

En todo triángulo rectán-gulo, la medida de la hipo-tenusa elevada al cuadradoes igual a la suma de loscuadrados de las medidasde los catetos.

Si un triángulo es rectángu-lo, la suma de los cuadradosde sus catetos es igual alcuadrado de la hipotenusa.


Si ABC es rectángulo ⇒ a2 + c2 = b2

Si a2 + c2 = b2 ⇒ ABC es rectángulo

En el problema del Episodio 7 y en el 23 se propone el análisis de procedimientosrecursivos que permiten obtener distintas familias de figuras. Es posible com-pletar el análisis vinculando estos procedimientos a la representación de puntosirracionales en la recta numérica.

Tercera secuencia: Cálculo de distancias

La secuencia si inicia con un problema en contexto real para finalizar con un pro-blema de lugar geométrico que involucra, sin mencionarlo, la ecuación en el pla-no de una circunferencia de centro (0,0). Si bien no se trata de una introduccióna la geometría analítica, sí se espera que los alumnos puedan conocer una nue-va forma de definir las figuras y establecer relaciones entre conocimientos sobrelos números, la medida, las figuras y los sistemas de representación.Los problemas 24, 25 y 26 incluyen representaciones gráficas que permiten com-parar respuestas obtenidas en diferentes registros. Los problemas 27, 28 y 29 seplantean en el registro numérico para vincular su resultado a la representacióngráfica, en el problema VII. Sin embargo, es posible que algunos alumnos co-miencen por graficar los puntos para orientar su trabajo. En este sentido, no esimportante el orden en el que se realizan estas actividades, sino la comparaciónde los distintos procedimientos involucrados y su análisis. Es más, las distintasformas de resolver podrían surgir de manera espontánea como producciones si-multáneas de distintos alumnos. Algunas posibilidades de resoluciones de alumnos son:

18

A B

CD

Gráfico de figura de vértices A (3; –2)B (9; –2)C (6; 2)D (3; 4)

No queda un rombo.

M y N están alineados, pues tie-nen la misma coordenada y.Si MN fuera una diagonal, S y Ttendrían que tener la misma co-ordenada x para estar alineadosen una perpendicular al eje x.Si MN fuera un lado, S y T ten-drían que tener la misma coor-denada X para que ST sea para-lelo a MN. Como no coincideninguna coordenada de S y T, nopuede ser un rombo.

|MS| = |SN| = 5|TN| =V40

|MT| = 2hay dos lados igua-les y otros dos dis-tintos; no puede serrombo.

C

A B

ab

c

19

También es posible proponer a los alumnos que indiquen cuáles tendrían queser las coordenadas para obtener distintos tipos de figuras.La inclusión de coordenadas naturales, enteras o racionales da lugar a distintasdificultades en el cálculo y permite recuperar las propiedades conocidas de las o-peraciones para utilizarlas en un nuevo contexto.

Primera secuencia: organización e interpretación de la información

La tabla en la que se presenta la información del problema 3 incluye valores quecorresponden a distintos indicadores. Si los alumnos no lo advierten en una pri-mera lectura conviene analizar que en ningún caso se trata de valores absolutosya que son porcentajes de la población total, tasas o, en el caso de la esperanzade vida, un promedio. Considerar estas diferencias resulta imprescindible pararealizar una primera interpretación de la información.La realización de los problemas 4 y 5 lleva a distinguir los resultados obtenidosal estudiar todos los individuos de una población o una muestra. La informacióndel problema 6 se puede organizar de distintas formas, dando lugar tanto a lasistematización posterior en una tabla de frecuencias o en un gráfico de barras.

En los problemas 9 a 12 se presentan distintos gráficos. Al resolverlos no sólo esimportante interpretar la información que brindan, sino también discutir acer-ca de la intención que puede haber detrás de las representaciones utilizadas, yexplorar cómo influyen las modificaciones de la escala en el mensaje que se quie-re producir.En el problema 13 se trata de decidir qué tipo de gráfico se adecua mejor a la in-formación que se debe comunicar, profundizando el análisis acerca de los crite-rios que orientan la elección de un tipo u otro de gráfico. Los problemas 14 a 17

se centran en la interpretación de distintas medidas de posición. Interesa deter-minar cuál es la elección de la medida más representativa en función de la si-tuación que se analiza y precisar la información que brinda cada una de ellas;por ejemplo, en el problema 15, todas las afirmaciones que se realizan son cier-

Nota Alumnos

2 //////3 ////////4 ///////5 ////6 ///7 ////8 /////9 //////

X X

X X X XX X X X XX X X X X XX X X X X X X XX X X X X X X XX X X X X X X X

Notas 2 3 4 5 6 7 8 9

Trabajo Práctico Nº 8 | Organización de datos y prediccionescon números

Este T. P. se inicia con problemas que in-volucran la interpretación y producciónde información estadística expresadamediante diferentes representaciones. Setrata de establecer relaciones entre losdatos y las preguntas que se intentanresponder, y determinar qué tipo de or-ganización de la información resultaconveniente para comunicar los resulta-dos y qué parámetros ayudan a la com-prensión del problema.En la segunda parte, se establecen rela-ciones entre estadística y probabilidadpara determinar con qué nivel de certe-za se pueden generalizar los resultadosobtenidos de una muestra y se analizanmétodos de conteo necesarios para elcálculo de probabilidades.En los años previos de la escolaridad losalumnos ya han tenido que interpretarinformación presentada en tablas y grá-ficos de distinto tipo, conocen el uso deporcentajes y es posible que hayan cal-culado algunos promedios. Éstos son, bá-sicamente, los conocimientos que se re-cuperan en los problemas 1 y 2.


tas, pero cada una señala un aspecto diferente de la situación.En particular, es importante discutir acerca de las conclusiones que se puedenestablecer a partir de conocer la media aritmética de un conjunto de datos, in-terpretando el valor numérico obtenido en el contexto del problema; por ejem-plo, qué significa una media de 3,2 hijos.El problema 17 propone a los alumnos que corrijan cálculos estadísticos equivo-cados. Ese procedimiento permitirá revisar algunos errores de interpretación queaparecen con cierta frecuencia.

Segunda secuencia: Predicciones usando números

El juego del ahorcado –que seguramente es conocido por los alumnos– permiteiniciar el análisis de fenómenos a partir del estudio de lo que ocurre con unamuestra. Si bien éste no es un juego de azar y elegir palabras con letras que apa-recen con menor frecuencia relativa en los textos no garantiza ganar, permite in-troducir un análisis frecuencial de la probabilidad que se desarrolla en los pro-blemas siguientes.En el caso del juego del problema 21 es probable que los alumnos elijan el núme-ro para jugar por alguna preferencia particular y aun que mantengan esta elec-ción en más de una vuelta. Si bien se trata de evaluar cuáles son las probabilida-des de obtener los distintos números al tirar dos dados, es posible que un alumnoelija el 7 y no gane, lo que dará lugar a discutir acerca de los juegos de azar.En el caso del juego del problema 22, esta situación se pone aún más en eviden-cia ya que algunos alumnos, basándose en la experiencia anterior, colocan todassus fichas entre el 6, el 7 y el 8 y no ganan. Una elección más estratégica, aunqueno necesariamente ganadora, es colocar algunas fichas en números como el 3, el4 el 9, etc.Para analizar las afirmaciones del problema 23 es conveniente contar con dos da-dos diferentes, ya que si son iguales es muy difícil que los alumnos identifiquenque el suceso (3; 4) es diferente del suceso (4; 3).Para establecer relaciones entre probabilidad teórica y experimental, es posibleconfrontar los resultados del cálculo teórico con las frecuencias obtenidas; porejemplo, al lanzar dos dados en el juego del problema 21. Si bien no se trata delos mismos dados, reunir los resultados de los tableros utilizados por distintosgrupos puede dar lugar a considerar que la frecuencia tiende a estabilizarse yque puede ser medida en términos de probabilidad.Muchas veces, para determinar el número de casos favorables y el número de ca-sos posibles es necesario recurrir a métodos exhaustivos de conteo, sin que estorequiera la presentación de fórmulas de variaciones o combinaciones. El proble-ma 24 permite realizar una primera exploración con un número de casos tal queel conteo directo, si bien es dificultoso y lleva a la necesidad de alguna organiza-ción, resulta posible. Aquí presentamos tres soluciones:

20

21

En los casos de las primeras dos soluciones, los alumnos exploran todas las posi-bilidades comenzando con 1 (12 posibilidades). Luego, podrán pensar del si-guiente modo “comenzando con 2 son 12, con 3 otras 12 y así con 4 y con 5; en to-tal 5 . 12 = 60”.Se espera que después de responder a las preguntas del problema 25 y de leer elAnexo teórico, y aunque no se utilice directamente la multiplicación, los alum-nos puedan organizar los casos del Episodio 8 usando un diagrama de árbol.

1 2 3

1 2 4

1 2 5

1 3 2

1 3 4

1 3 5

1 4 2

1 4 3

1 4 5

1 5 2

1 5 3

1 5 4

3

2 4

5

2

1 3 4

5

2

4 3

5

2

5 3

4

5 posibilidades

4 posibilidades

3 posibilidades

son 5 . 4 . 3 = 60 números posibles


22

Respuestas y solucionesT. P. Nº 1 | Números enteros

y sus operaciones

1. a. Se itera la suma cada vez que apretamos

el “=”.

b. Si oprimimos, por ejemplo, 6 + 7 + 10 = =

= , asocia los dos primeros e itera la última

suma.

c. No. Obtiene las potencias de 7.

d. Operando: 7 + 7 = = = … Para las poten-

cias: 7 x 1 = = = …

e. (4 + 4) = 8 · 1 = = = …

2. a.

480 · 52 = 430 · (51 + 1) o multiplicando

480 por otras descomposiciones aditivas de

52 sin el 2.

280 · 52 = (100 + 180) · (51 + 1) o multipli-

cando otras descomposiciones aditivas de

52 y de 280 sin el 2.

b.

480 · 52 = (479 + 1) · 52

480 · 82 = (479 + 1) · (72 + 10)

Hay muchas posibilidades de expresión en

cada caso.

c. En ambos casos, distributividad del pro-

ducto respecto de la suma.

d. Sí, por la propiedad distributiva.

3. a. Variando el número de días por año, agre-

gando años bisiestos y considerando meses

con cantidades de días variables.

b. 1 año lunar: 354 días; 100 años lunares:

35.400 días; 35.400 : 365 años solares.

Aproximadamente, 97 años solares.

4. a. La olimpíada se realizó en el año –756,

porque la fundación fue en el –753 y tres a-

ños antes fue el –756.

b.

Son los años: –756; –760; –764; –768; –772;

–776.

c. Cada unidad en la recta corresponde a dos

años; para marcar el cero, deberíamos tener

375 unidades a la derecha de –750. Siendo

cada unidad de 0,5cm, la hoja debería medir

187,5 cm a partir del –750.

5. a. El cero del calendario islámico se ubica en

el 622 del calendario gregoriano y el 0 del

gregoriano se encuentra entre el -642 y

-641 del islámico.

–776

–772

–768

–764

–760 –750

–756

b.

6. a y b. En la puesta en común, es conveniente

discutir con los alumnos sobre lo que pensa-

ron al elegir la unidad adecuada.

7. En este gráfico, el punto correspondiente a

cada mes representa la diferencia entre la

venta y la compra de dólares del mes.

a. El mes en que hubo mayor diferencia en-

tre compra y venta fue mayo de 2003.

b. En junio del 2002, se produjo la compra-

venta más equilibrada.

c. Con los datos de la tabla, se puede res-

ponder respecto de la diferencia entre los

saldos de compraventa de marzo y abril, que

son –200 y –750. La diferencia es de 500 mi-

llones. Entre junio y julio, la diferencia es de

150 millones.

8. a. Ejemplo: –500 : |–500| = 500, opuesto de

–500 = 500.

9. a. Siempre verdadero.

b. A veces.

c. A veces.

d. A veces.

e. A veces

f. A veces.

10. a.

Corazón latino

Come away with me

American life

Un mundo diferente

b. Corazón latino: 29 – 19 = 10: subió 10

puestos. Come away with me: 6 – 7 = –1: ba-

jó un puesto. American life: 2 – 10 = –8: bajó

8 puestos. Un mundo diferente: 13 – 11 = 2:

subió 2 puestos.

11. a. –200 – (–750 ) = 550

100 – (–50 ) = 150

b. Ejemplo: semana 1: se venden 100 millo-

nes (–100); semana 2: se venden 300 millo-



nes (–150).

12. a y b. Ejemplo para ítem a.: Una fábrica de

remeras ha preparado para la venta 120 re-

meras. Si se ha comprometido a entregar

200 unidades a Lagarto’s y 350 a Cocodri-

lo’s, ¿cuántas remeras le faltan para com-

pletar los pedidos?

13. I. No, pues baja 2 puestos y luego sube 1; en

total, baja 1 puesto.

–500 –300 –100 100 500 622 711

0

–1157 –950,5

P M D E

–126 0 92

greg

oria

nois

lám

ico

II. No, pues sube 7 y luego 3; en total, sube

10 puestos.

III. Sí.

IV. Sí.

14. Sugerir que se contemplen distintas alter-

nativas respecto de los signos de cada uno:

7 + 8; 7 – 8; –7 – 8; –7 – (– 4).

15. Episodio 1

Pluma es aquella a la que corresponde el

mayor número de la columna de diferencias.

16. a. A (área) = a (alto) · t (ancho)

5 · 4 = 20: disminuye 10 cm22

3 · 6 = 18: disminuye 12 cm22

3 · 4 = 12: disminuye 8 cm22

b.

Variación: (a – n) · t – a · t = (A – nt) – A.

Siendo A el área original, el nuevo disminu-

ye n · t unidades de área. Variación = –n · t.

Disminuye a · m.

Variación: (a – n) · (t – m) – a · t = a · t –

– am – nt + nm – a · t.

A disminuye, pues am y nt son mayores que

nm, por lo que la variación es menor que 0.

17. Se sugiere una puesta en común en el piza-

rrón, en la que los alumnos expliquen y

ejemplifiquen las reglas.

18. a. Hay 16 combinaciones posibles, conside-

rando que ambos pueden ser positivos o

ambos negativos.

a b a · b

1 250 250

2 125 250

5 50 250

10 25 250

25 10 250

50 5 250

125 2 250

250 1 250

b. Hay 16 combinaciones posibles, conside-

rando que uno debe ser positivo y otro ne-

gativo.

c. No hay posibilidades.

d. Hay 44 posibilidades.

19. a.

b

t

a

r

23

b. Sí, por propiedad distributiva,

(a + b) · (t – r) = at – ar + bt – br =

= 80 – 30 + 48 – 18 = 80.

c. (a – b) · (t – r) = at – bt – ar + br = 20

(r – t) · (b – a) = rb + ta – tb – ar = 20

20. a. y b. Lucio tiene razón, pues todo número

ba de dos cifras se puede escribir como la

suma de la cifra de las unidades más la de

las decenas por diez.

Si se escribe ba como b · 10 + a, entonces, ab

será a · 10 + a; luego, al operar según se in-

dica, b · 10 + a – a · 10 – b = 9b – 9a =

= 9 (b – a), que es un número divisible por 9.

Si la cifra de las decenas es mayor, la resta

es un número mayor que cero y, si no es así,

será menor que cero, pero en ambos casos

es divisible por 9.

21. a. Jazmín tiene razón: 24 = 9 · 6 + (–30) =

= 9 · 5 + (–21) y se cumplen las condiciones

dadas por Lucio.

b. No. El divisor puede ser menor que 0; por

ejemplo, –4 : –2 = 2.

c. 24 = 6 · 9 + (–30) = 6 · 5 + (–6) = …

Si c < 0, siempre r ≥ c. Por ejemplo,

24 = (–9) · (–3) + (–3), siendo d = –9, c = –3

y r = c.

22. a. Cuando trabajamos con números enteros,

en la expresión D = d · c + r, es necesario

convenir que r sea mayor que 0, para no in-

currir en el problema planteado por Jazmín.

b. La diferencia con los naturales es que, en

ese conjunto, el dividendo es siempre mayor

que el divisor, lo cual no puede asegurarse

en los enteros.

23. a. No es posible saber cuánto es a22, pero es

posible saber cuánto es a22 · b22, porque es i-

gual que (a · b)22 = (–48)22.

b. Para calcular a44 · b44 = 14422 · 12122.

Para a · b3, no alcanza la información pues,

al calcular a y b, ambos pueden ser positivos

o negativos, con lo que el producto puede

ser positivo o negativo dependiendo de los

signos de a y b.

24. a. Sí, m puede ser mayor o menor que 0. Hay

infinitas soluciones.

b. No, pues el resultado de ese producto

siempre es mayor que 0.

c. Sí, m debe ser mayor que 0. Hay infinitas

soluciones.

25. a. Dando un contraejemplo: (2 + 3 )22 = 25,

pero 4 + 9 ≠ 25.

b. Ejemplo: ◊(25 – 16) = 3, pero

◊25 – ◊16 = 5 – 4 ≠ 3.

◊(64 +` 36~) = 10, pero ◊64 – ◊36 = 8 + 6 ≠ 10.

26. a. 9 – 8 – (–14) + 3 = 16

b. 8 – 9 – (–13) – (–3) = 15

c. – (–12 – 3) – 9 = 6

d. – (12 : 4) – 9 = –12

27. Las propiedades de la potenciación (ítem a.,

b., c., d., y e.) podemos demostrarlas por

propiedades conmutativa y asociativa del

producto, aclarando en cada caso que los

exponentes son números enteros.

En el caso de las propiedades de la radica-

ción, es conveniente determinar las condi-

ciones en que éstas se verifican.

28. Se sugiere una puesta en común con los

aspectos que el docente considere importan-

te destacar del trabajo realizado por los

alumnos.

29. a. Falso, porque el opuesto de p está entre

10 y 15, con lo que es mayor o igual que 10,

pero también menor o igual que 15.

b. Falso.

c. Falso, porque está entre –14 y –9.

d. Verdadero, porque si p = –13, entonces,

p – 1 = –14.

30. a. t = –5, pero no es único: cualquier núme-

ro entero que sea igual o menor que –3.

b. t = 3, pero no es único: puede ser cual-

quier número entero mayor que 3.

c. t = –18; es único.

d. No existe t entero que cumpla la condi-

ción.

31. a. 3.

b. –4.

c. 3.

d. –5.

e. 35.

32. En la resta, no se verifican las propiedades

conmutativa (a.) ni asociativa (b.).

33. a. D.T.: bajó 3 puestos.

b. (1 – 3) + (3 – 4) = –3.

F.P. no varió: (2 – 1) + (1 – 2) = 0.

S. subió 2: (3 – 5) +(5 – 1) = 2.

M. bajó 4: (4 – 6) + (6 – 8) = –4.

R. bajó 1: (5 – 2) + (2 – 6) = –1.

D. subió 3: (6 – 10) + (10 – 3) = 3.

B. subió 2: (7 – 4) + (4 – 5) = 2.

L. M. bajó 1: (8 – 7) + (7 – 9) = –1.

L. P. bajó 1: (9 – 8) + (8 – 10) = –1.

L. T. subió 3: (10 – 9) + (9 – 7) = 3.

34. Sí, es el caso de t = –1 pues, para cualquier

número entero n, vale que al multiplicarlo

por –t = – (–1) = 1 da como resultado n.

35. a.

b. En b. hay infinitas posibilidades para b y c.

El punto b puede estar en cualquier punto de

la recta de modo tal que sea menor que .

c. El punto c puede estar en cualquier punto

de la recta de modo tal que sea menor que a.

36. a. –42.

b. –22.

c. 5.

d. –33.

37. a. 30 – 6 : 3 – 1 · 8 – 2 = 18

b. (30 – 6) : 3 – 1 · (8 – 2) = 2

c. 30 – (6 : 3 – 1) · 8 – 2 = 20

d. 30 – (6 : 3) – 1 · (8 – 2 ) = 22

e. 30 – (6 : 3) – (1 · 8) – 2 = –22

38. a. y b.

39. P: II; Q: I; R: III; S: IV.

40. a. y b. Los alumnos pueden intercambiar los

distintos resultados de su exploración para

conocer los diferentes funcionamientos.

41. a. Es mayor el monto del dinero pagado.

P – C = 35.262. En la caja, hay 35.262 pesos

menos que al abrir.

b. Si al abrir había n pesos:

Primera hora: n + 6895 – 12.505 = n – 5610.

Segunda hora: n – 5610 + 10.643 – 9500 =

= n – 4467.

Tercera hora: n – 4467 + 8067 – 7554 =

= n – 3954.

Cuarta hora: n – 3954 + 13.692 – 45.000 =

= n – 35.262.

c. Sí, pues en todos los casos el saldo sería

positivo.

–3 5 x

y

U

V

SM

T

Q

PR

N

–5

3

–3

5

–6

a

)

–3a –a 0 2a

2

a

a

2)


24

42. Una alternativa sería dar ejemplos numéri-

cos, reemplazando en cada caso.

La primera expresión es el doble de la dife-

rencia entre m y p, la segunda es el cuadra-

do de la diferencia entre m y p, y la última es

la diferencia de los cuadrados de m y p.

43. Puede proponerse un trabajo en equipos de

modo que las preguntas se formulen y verifi-

quen entre los distintos equipos.

44. Sí, pues, si el número es ab, a · 10 + b + b · 10

+ a = a · 11 + b · 11 = 11 · (a + b).

45. a. 60; –60.

b. 1445; –1445.

c. –60; 60.

d. –1445; 1445.

46. a. y b. Se sugiere enunciarlas con las restric-

ciones convenientes.

T. P. Nº 2 | Números racionales

y sus operaciones

1. a. Puede restarse el mismo número o multi-

plicar por 0.

b. Si no se desea multiplicar por 0, deben

restarse 8 unidades y luego dividir por 10

hasta lograr el 0, por restas sucesivas de la

unidad, en la parte entera; luego, multipli-

car por 10 sucesivamente hasta eliminar las

cifras decimales.

2. a. Ejemplos: 1 : 10; 11 : 10; 2,52 · 10.

b. Hay infinitas posibilidades.

3. a.

(5,34 · 15,12) + (2,3 · 1,2)

(2,52 · 3,15) : (5,28 · 4,12)

b. [(3 · 5) : (4 · 3)] – [(6 · 4) : (7 · 3)]

c.

28 · 90 = 2,52 · 100

0,0028 · 900 = (2,8 : 1000) · (0,9 · 1000) =

= 2,52

5,6 · 0,9 = 2 · 2,52

2,8 · 3 = 2,8 · [(0,9 · 10) : 3] = 25,2 : 3

d. Ejemplo: 28 · 0,09.

e. Propiedades de la multiplicación y divi-

sión por potencias de 10 y asociatividad

de la multiplicación.

4. Expresando 5,4 · 1,5 = 5,4 · (1,3 + 0,2) =

= 5,4 · 1,3 + 5,4 · 0,2 con lo que bastaría co-

nocer 5,4 · 1,3.

5. a. $1,80 – (33,5% de $1,80) = $1,20.

b. En mayo, cuesta $2,50, que es el 6% me-

nos del precio que costaba en abril.

100% – 6% = 94%, que corresponde a $2,50.

En abril, costaba el 100%: si $2,50 es el 94%,

el 100% es, aproximadamente, $2,66.

c. Si en mayo el aceite costaba $2,50 y en ju-

nio costaba $2, el precio en junio con respec-

to a abril, que era $2,66, bajó un 25%, apro-

ximadamente.

6. a. Por ejemplo, –8 y 5.

b. Por ejemplo, 2 y 7.

7. a.

b.

8 a.

b.

9. a. Se busca discutir las diferentes resolucio-

nes entre los valores numéricos de los datos.

En el caso b., por ejemplo, la diferencia entre

0,75 y – es 1, por lo que conviene dividir

la distancia entre ellos en cuatro partes

iguales. En a., la distancia es 0,6, con lo que

puede dividirse en dos partes y encontrar el

punto para 0; en cambio, para 1, hay que di-

vidir. Podría preguntarse: “¿Necesitaron la

regla?”, “Si la usaron, ¿podrían prescindir de

ella?”.

b. ¿Pueden resolver el problema si los datos

son y ?

10. a. Mediante truncamiento, dan 0,234 los

números siguientes: 0,2340; 0,2341; 0,2342;

0,2343; 0,2344; 0,2345; 0,2346; 0,2347;

0,2348; 0,2349.

b. Mediante redondeo, dan 0,234 los núme-

ros siguientes: 0,2336; 0,2337; 0,2338;

0,2339; 0,2340; 0,2341; 0,2342; 0,2343;

2,2344 y 0,2339.

11. Episodio 2

Por redondeo: 99,5 ≤ L ≤ 100,4; entonces,

9900,25 ≤ B ≤ 10080,16. Llamando L al lado

de la base y B, al área de la base.

Por truncamiento: 100 ≤ L ≤ 100,9, pero

L ≤ 100,4 por redondeo. Entonces, 10000 ≤

≤ B ≤ 10080,16. La pirámide buscada es la

que tiene la base de área media: pluma.

12. a. Ordenando de menor a mayor: –1; –0,3;

–0,2; 0; 0,2; 0,9.

b. Transporte y comunicaciones.

2

3

1

5

1

4

0 1

0,75–1

4

0 1

–0,9 –0,3

2

5

0

–1,3 –0,2

–1 1 2

7

3

0

–1

6

13. Expresando en forma decimal:

a.

< < , o bien 0,4 < 0,5 < 0,6

< < , o bien 1,1 < 1,16¤ < 1,2

– < – < – , o bien –0,6 < –0,5 <

< –0,4

– < – < – , o bien –1,2 < –1,16¤ <

< –1,1

b.

0,49 < 0,5 < 0,51; 0,499 < 0,5 < 0,501

1,16 < 1,16¤ < 1,17; 1,165 < 1,16¤ < 1,167

–0,51 < –0,5 < –0,49;

–0,501 < –0,5 < –0,499

–1,17 < –1,16… < –1,16;

–1,167 < –1,16… < –1,165

14. a. 2 : m < 0; entonces, como 2 > 0, debe ser

m < 0.

b. 2 : (m + 1) < 0; entonces, m + 1 < 0; luego,

m < –1.

15. a. Debe cumplirse que 23 < < 24; enton-

ces, se pueden escribir 23 y 24 como fraccio-

nes equivalentes de denominador 11: ;

. Todas las fracciones de numeradores

254 a 263 y denominador 11 están com-

prendidas entre esos valores.

Otro modo es usando propiedades de las

desigualdades: 23 · 11 < n < 24 · 11.

Así, 253 < n < 264 y las fracciones son ;

; ; ; ; ; ; ;

; .

b. ; ; etc.

c. No se pueden expresar todas, pues son

infinitas.

16. No, porque siempre se suma la mitad de lo

que se necesita para “llegar” a 1. Aunque

cada vez el número por sumar es menor

que el sumado antes, siempre habrá una

nueva fracción faltante.

17. a. Por ejemplo, entre –1 y 1, finitas: –0,9;

–0,2 y 0,5, y periódicas: –0,6⁄; –0,3⁄; 0,3⁄.

b. Siempre es posible. Hay infinitas expre-

siones decimales finitas e infinitas expresio-

nes decimales periódicas. Se pretende que

47

2

231

100

263

11

262

11

261

11

260

11

259

11

258

11

257

11

256

11

255

11

254

11

264

11

253

11

n

11

11

10

7

6

12

10

4

10

5

10

6

10

12

10

7

6

11

10

6

10

1

2

4

10

35. a. Si m3 = 46,656 y m4 = 167,9616, m = 3,6.b. m7 puede calcularse por definición de po-tenciación, o bien multiplicando m3 por m4.

36. a. 3,24 = =

b. 1,7⁄ = 1 + =

c. 6, 7535353 = 6,7 + 0,053 =

= + =

d. 1.

37. a. 7–2

b. –2

c. (0,1)–3

d. 10–4

38. a. –3b. –2c. 1

d. 3e. –2

39. a.3

=

b. (0,5)14 =14

= 6,1 · 10–5

c.

d. 6

e.4

40. a. Considerando que 1 litro de agua pesa1 kg, 10 litros pesan 104 gramos. Entonces,llamando M al número de moléculas,M = 6,023 · 1023 · 104 : 18 = 3,346 · 1026.b. Siendo 1 año luz igual a 9,45 · 1012 km,Alfa Centauro se encuentra a 3,78 · 1013 kmde la Tierra, lo que representa 2,52 · 105 ve-ces la distancia entre el Sol y la Tierra.

41. Sí. Siendo n y n + 1 coprimos, el denomina-dor común, mcm, es el producto entre am-bos. Luego, – + 1 = .

42. Hay infinitas soluciones. Por ejemplo, + + = 1.

43. a. No.

b. Sí: .

c. Sí: – .

d. No.

34

14

16

13

12

n + 1 – nn (n + 1)

1n

1n

b54

a

b12

a

512b3

5a

b12

a

278

b32

a

b14

a

3343495

53900

6710

169

79

8125

324100

25Matemática

Secuencias didácticas y soluciones

el alumno ponga en juego la noción de den-sidad de los números racionales.

18. a. 1.200.000 + 2003 años. Ver gráfica.b. 1.600.000 años. Ver gráfica.

19. a. y b. Hay infinitos en cada caso. Es impor-tante que los alumnos identifiquen pares de números pertenecientes a diferentesconjuntos numéricos y de distinto signo.

20. El primero es igual al cuarto y el segundo, altercero.

21. a. 0, 5463124 > 0, 5463127. b. 1, 5463124 < 1, 5463127.c. 0, 5463124 = (–0, 546312)4. d. (–0, 546312)2 > –(0, 546312)2.

22. a.mn < 1mn > 1mn > 1mn < 1

b. Justificando el primer caso, si 0 < m < 1,siendo m racional, la fracción que lo repre-senta tiene el numerador menor que el de-nominador, la potencia natural mantiene e-sa desigualdad, y el número resultante esmenor que 1 y menor que el número dado.Un ejemplo puede servir:

2

= < 1.

23. a.7

, considerando 0, 5 = y por produc-to de potencias de igual base.b. 1, por cociente de potencias de igual base.c. 43, considerando 0,25 = , potencia conexponente negativo, propiedad distributivade la potenciación, potencia de potencia ycociente de potencias de igual base.d.

5

, considerando 0,25 = y 0,5 = , producto de potencias de igual base, poten-cia de potencia y cociente de potencias de i-gual base.

24. Aplicando propiedades de producto por po-tencias de 10:a. Falso.b. Falso.c. Verdadero.d. Falso.

25. Sí, porque 245 · 1011 = 245 · 1013 · 10–2 == 2,45 · 1013 por conmutatividad y asociati-vidad de la multiplicación. Aplicando luegola propiedad distributiva de la multiplica-ción respecto de la suma, llegamos a la con-clusión de Pedro.

12

14

b12

a

14

12

b12

a

14b1

2a

26. Cada mm3 de sangre tiene: GR = 5 · 106

y GB = 7 · 103.a. 5 litros = 5 dm3 = 5 · 106 mm3; entonces,GR = 25 · 1012 y GB = 35 · 109.b. Altura: 3 · 25 · 1012 micrones = = 3 · 25 · 1012 · 10–3 mm = 75 · 109 mm.c. Siendo D = M: V y M = P: g, con g acelera-ción de la gravedad.M = 6 · 1027 : 9,8 = 6,12 · 1026 y V = · 3,14 · (6,4 · 106)3 = 1097,5 · 1018. D = 6,12 · 1026 : 1097,5 · 1018 = = 5,58 · 10–3 · 108. d. D = 9,7 · 1020.

27. a. (2 + 3) = 25 ≠ 4 + 9. b. ◊4` `+ 9 = ◊1`3 ≠ ◊4 + ◊9

28. Expresando el índice como exponente frac-cionario, pueden aplicarse las propiedadesde la potencia de potencia para probar lapropiedad.

29. = ◊2 : ◊3 por distributividad de la raíz respecto del cociente para números positivos.

= –1

por potencia con exponente negativo.

–3

= –

= –

= = 4 6

por potencia con exponente fraccionario,equivalencia de fracciones y potencia conexponente negativo.

30. Buscamos dejar a 3 comprendido entre dosnúmeros cuyos cuadrados pueden calcular: 1 < 3 < 4; entonces, ◊3 debe cumplir ◊1 < ◊3 < ◊4; 1 < ◊3 < 2.Buscamos otros cuadrados conocidos máspróximos a 3: 1,52 = 2,25; 1,72 = 2,89.Siendo 2,89 < 3 < 4, debe ser: ◊2,89 < ◊3 < ◊4, por lo que 1,7 < ◊3 < 2.Como 1,82 = 3,3124; entonces, 2,89 < 3 < 3,3124, por lo que debe ser◊2,89 < ◊3 < ◊3`,`3`1`2`4, o sea, 1,7 < ◊3 < 1,8.

31. equivalen a ; – equivalen a – ; –no puede expresarse como racional con de-nominador 6, pues debería poder obtenerlomultiplicando o dividiendo el denominadorpor un entero. No existe n entero tal que n · 5 o n : 5 sea igual a 6.

32. Es conveniente considerar el origen y repre-sentar 0,1.

33. M = –1 – = – . N = –1 + = – .

34. a = 102 : 1,5 = 66,6⁄

34

14

54

14

25

13

26

13

26

b23

a64b2

3a64b3

2a3

2b32

ab32

a

b32

a23

23

43

x

x

x

Vx x

26

44. a. Deben representarse 1 y –1.b. No puede representarse gráficamente,pues la representación tendría infinitos ele-mentos en el intervalo entre –1 y 1, pero notodos; hay, a la vez, infinitos elementos deese segmento que no pertenecen al conjun-to pedido; por ejemplo: , , – .c. Ver b. considerando las semirrectas a laderecha de 1 y a la izquierda de –1.

45. a. m ≥ 3. b. m ≥ 5. c. m ≥ – , siendo m entero, es m ≥ –1. d. m ≥ –1.

46. a. y b. ◊1`,`5 > 3◊1`,`5, pues el radicando es ma-yor que 1.◊0`,`5 < 3◊0`,`5 pues, comparando y 3 , la segunda tiene un denominador menor quela primera, o sea que el cociente es mayor.

47. a. m = 1. b. m = ◊8. c. m = 0. d. m = 2.

48. Cada 15 minutos o fracción se abonan$0,50. a. 5,50.b. Estuvo estacionado más de 2 horas; alo sumo, 2 .c. El auto estuvo estacionado más tiempo. El tiempo fue mayor que el del estaciona-miento de la camioneta. Por ejemplo, si lacamioneta estacionó 4 horas, el auto habríaestacionado, como mínimo, 4 horas con 45minutos y, a lo sumo, 5 horas.

49. Se sugiere una puesta en común con partici-pación de los alumnos, a modo de revisión.

50. a. y c. son correctas.

51. Al multiplicar por los múltiplos de 11 hastael 99, se obtienen números cuyas cifras soniguales entre sí e iguales a las del múltiploelegido. Si elegimos un múltiplo de 11 ma-yor que 99, ¿se sigue verificando esta “pro-piedad”? ¿Se verifica otra que podamos ge-neralizar? ¿Servirá para todos los múltiplosde 11 mayores que 100?

52. a. Sí. Por ejemplo, a = 4 y b = –1, a + b < a.b. Sí. Por ejemplo, a = 2 y b = –1, a – b = = 3 > 1 = a + b.

T. P. Nº 3 | Ángulos y polígonos

1. a. y b. La actividad propuesta intenta poneren juego las relaciones entre rectas a partirde las construcciones que los alumnos reali-

54

34

12

12

12

32

π8

π6

π4

cen. Las instrucciones que puedan elaborarrespecto de la tarea van a estar en relacióncon los conocimientos que ya tengan de di-chas relaciones.

2. a. y b. Esta propuesta tiene una intenciona-lidad didáctica similar a lo expresado en elproblema 1, pero agrega la complejidad deque las construcciones tienen como referen-cia puntos determinados.

3. a. Cuadrilátero, 1; pentágono, 2; hexágono,3; dodecágono, 9; polígono de n lados, n – 3.b. Desde cada vértice, se determina una dia-gonal con todos los otros vértices del polígo-no menos con tres, el mismo vértice y losdos consecutivos a él.

4. a.

b. En la figura A, 2; en la B, 6; en la C, 8.

5. a. 270°. b. 90°. c. 45°.

6. a. Rotación de centro O y amplitud 60° ensentido antihorario o amplitud 300° en sen-tido horario.b. Rotación de centro O y amplitud 180° ensentido horario o antihorario. c. Rotación de centro O y amplitud 150° ensentido antihorario o amplitud 210° en sen-tido horario.

7. a. Los ángulos del triángulo equilátero miden60°. En los vértices A y B, los complementa-rios de los ángulos del triángulo miden 30°.b. Los triángulos OBC y OAD son isósceles,dos de sus lados son congruentes con el la-do del cuadrado. Sus ángulos miden 30°, 75°y 75°. Con vértice en el punto O, |AO

™B| + |AO

™D| + |BO

™C| = 60° + 75° + 75°;

entonces, |CO™

D| = 150°.

8. a. Sí. Puede enunciarse a partir de la rela-ción entre punto y recta.b. Sí. Los puntos A y B pertenecen a infinitassemirrectas incluidas en la recta que ambosdeterminan; es suficiente con tomar un ori-gen que deje a ambos puntos en la mismasemirrecta.

9. a. Tres rectas.b. Una recta. Porque cada dos puntos deter-minan una recta a la que también pertene-ce el tercer punto.c. Son infinitas. Ver 9. b.

10. a. Tres ángulos.b. Cuatro ángulos.

11. a. En la figura del ítem a. del problema 10,no es posible.Para la figura del ítem b. del problema 10,

c. En la figura del ítem a. del problema 10,no es posible.Para la figura del ítem b. del problema 10,

12. a. Sí. Por propiedad de ángulos opuestos deun paralelogramo.b. Sí. Por propiedad de ángulos opuestos deun paralelogramo.c. No necesariamente; sólo si |A

™C| = |B

™D|.

13. a

∆

π

∂

©

b.

∂

©

∫å

Figura A

Figura B

Figura C

27


Dos pares de ángulos opuestos con-

gruentes y no rectos: paralelogramo no

rectángulo.

Dos pares de ángulos opuestos congruen-

tes y rectos: rectángulo no cuadrado.

Un par de ángulos congruentes: trapecio

rectángulo.

b. El cuadrilátero no es único. Además de los

dibujados en a., están los especiales para ca-

da caso: rombo, cuadrado, romboide.

14. a. No, porque 40° + 40° + 120° + 120° ≠

≠ 360°.

b. Son suplementarios porque, sumados a

sus opuestos respectivamente congruentes,

suman 360°.

15. Las respuestas no son únicas. Las afirmacio-

nes van a contener los conocimientos geo-

métricos que los alumnos poseen sobre los

elementos geométricos que reconocen en el

dibujo. Algunas posibilidades son:

Afirmaciones ciertas:

El lado AD es paralelo al lado BC.

El cuadrilátero AMND no es paralelogramo.

El cuadrilátero AMND es un trapecio

rectángulo.

Conjeturas:

El segmento AM no es congruente al seg-

mento DN.

3™

y 6™

son suplementarios.

La longitud de MN supera a la longitud de

AD.

Afirmaciones falsas:

AM™

N y DN™

M son congruentes.

2™

y 4™

no son congruentes.

El cuadrilátero BCNM tiene un par de ángu-

los opuestos congruentes.

16. a.

b. La distancia entre las rectas es la longitud

del lado del cuadrado.

17. a.

b. Las amplitudes de AO™

C y CO™

B varían.

|AO™

C| + |CO™

B| = 180°.

B

A

ro

C

18. a. |1™

|= 60° por suma de ángulos interiores

de un triángulo.

|2™

| = |CA™

B| = 45° por alternos internos entre

AB|| r y AC secante.

|3™

|= 180° – |1™

| – |2™

|= 75°, o bien

|3™

| = |AB™

C|= 75° por correspondientes entre

AB || r y BC secante.

19. a. Sí. |EA™

D| = |BA™

D| : 2 y |AD™

E| = |AD™

C| : 2.

Entonces, |EA™

D| + |AD™

E| = |BA™

D| : 2 + |AD™

C| :

: 2 (por propiedad de las igualdades).

= (|BA™

D| + |AD™

C|) : 2 (por propiedad distri-

butiva de la división con respecto a la adi-

ción).

= 90°.

Resulta que |AE™

D| = 90° por suma de ángu-

los interiores del triángulo AE™

D.

b. No. Dar un contraejemplo como el de la

figura y explicar por qué AE™

D no es recto.

c. Sí. Basta con suponer que se mantiene fijo

el triángulo AED rectángulo en E, y se varían

las posiciones de los puntos B y C, constru-

yendo otros paralelogramos o cuadriláteros

cualesquiera para los cuales AE y DE no sean

bisectrices de BA™

D y AD™

C, respectivamente.

20. a.

|C™OA| = |B

™OD| por opuestos por el vértice;

|A™OM| = |M

™OB| por bisectriz; |C

™ON| = |N

™OD|

por bisectriz. Además, |A™OM| = |C

™ON|

por opuestos por el vértice y trazado de

bisectriz.

O

D

N

C

A

M

B

E C

D

A

B

Entonces, |N™OC| + |C

™OA| + |A

™OM| =

= |N™OD| + |D

™OB| + |B

™OM| = 180°.

b. Es un ángulo recto. Por bisectriz miden

180° : 2 = 90°.

21. Entre otras cuestiones, en general, el análisis

que realizan los alumnos se limita a revisar

las figuras de análisis y la unicidad de las res-

puestas encontradas. Se sugiere confrontar

en pequeños grupos las estrategias utilizadas

en las demostraciones, poniendo la mirada

sobre las conjeturas de las cuales partieron.

Esto puede permitir avanzar con demostra-

ciones de tipo más formal.

22. a. Un romboide y dos paralelogramos de di-

ferentes dimensiones.

b. La respuesta no es única; puede ser un

ángulo de cada paralelogramo o los ángulos

del romboide.

23. Hexágonos regulares, 120°; triángulos equi-

láteros, 60°; rombos, 60° y 120°.

24. Con ésta sí se puede.

Con ésta también se puede.

Ésta permite cubrir.

Este hexágono regular también sirve.

En la pirámide, encontraron un pentágono

regular.

25. a.

b.

c. 72°; 60°.

d. 360°.

e. Octógono, 45°; decágono, 36°; dodecágo-

no, 30°.

26. a.

90°

120°

28

b. Isósceles, ya que posee dos lados congruen-

tes que son radios de la misma circunferencia.

c. Las amplitudes de los ángulos congruen-

tes suman 180° – 45° = 135°. Cada ángulo

adyacente al lado desigual del triángulo

isósceles mide 62° 30’. Cada ángulo interior

del octógono mide 62° 30’ · 2 = 135°.

27. a. Sí. Los otros dos ángulos sumarían 540° –

– 270° = 270°. Puede ser uno de 120° y otro

de 150°, o dos ángulos de 135°.

b. No. Un ángulo tendría una amplitud de

540° – 360° = 180°. El polígono tendría 4

vértices y 4 lados: no sería pentágono.

28. Cuatro lados. Ver página 58 del Anexo teórico.

29. 60°.

30. |™1| + |C

™BA| = 180° por adyacentes;

|B™AC| + |C

™BA| + |A

™CB|= 180° por ser

ángulos interiores de un triángulo; resulta

|™1| + |C

™BA| = |B

™AC |+ |C

™BA | + |A

™CB|; enton-

ces, |™1| = |B

™AC|+ |A

™CB| por propiedad cance-

lativa de la adición.

31. a. Sí. |A™BC| = |E

™DC| por correspondientes en-

tre AB || DE y BC secante, y

|B™AC |= |D

™EC | por correspondientes entre

AB || DE y AC secante. Por lo tanto,

|E™DC | = |D

™EC |; entonces, el triángulo ECD es

isósceles.

b. Sí, en forma análoga a la anterior, se de-

muestra que queda determinado un trián-

gulo con un par de ángulos congruentes: es

isósceles.

32. a.

b. Uno. Es un rombo por la propiedad de las

diagonales del rombo.

33. a. Verdadero, si los dos pares de ángulos

opuestos son congruentes.

b. Verdadero

Se sugiere comparar los elementos de los

triángulos que quedan determinados.

34. Los triángulos BQP y PDC son congruentes

por criterios de congruencia de triángulos;

|BP| = |PC| por punto medio; |B™PQ| = |D

™PC|

por opuestos por el vértice, y |Q™BP| = |P

™CD|

por alternos internos entre AB || CD y BC

secante.

35. a.

b. El cuadrilátero ABDE es paralelogramo

por tener un par de lados opuestos paralelos

y congruentes. Por propiedad de las diago-

nales del paralelogramo, K es punto medio

de AD y de BE. Análogamente, J es punto

medio de BC y de AF.

c. Por lo demostrado en b., JK es base media

de ABCD; entonces, es paralela a CD; por lo

tanto, DCJK es trapecio.

36. |™1| = 75°; |

™2| = 80°; |

™3| = 95°; |

™4| = 55°.

37. Se puede asegurar que a las nueve de la ma-

ñana el ángulo será recto, pero la primera

vez será entre las 4:05 y las 4:10.

38. a. ™1 y

™5;

™2 y

™6;

™3 y

™7;

™4 y

™8.

b. ™4 y

™6;

™3 y

™5.

c. ™1 y

™3;

™2 y

™4;

™5 y

™7;

™6 y

™8.

d.™1 y

™8;

™2 y

™7.

39. a. 105°.

b. 140°.

40. 180° (n – 2) = n · 162°

Entonces, n · 180° – 360° = n · 162°; resulta n

(180° – 162°) = 360°; entonces, n = 20°.

41. El ángulo interior mide 108°.

180 (n – 2) = n · 108°; entonces, n = 5.

42. Se puede completar para polígonos de cual-

quier número de lados.

43. |™1| = 60° por conjugado externo con el án-

gulo dado, entre s || t y r secante.

|™2| = 60° por alterno interno con el ángulo 1,

entre t || v y r secante.

BF

J

A

K

E

D

C

44. La construcción no es única. Se puede suge-

rir a los alumnos que incluyan la mayor can-

tidad de figuras que cumplan con las carac-

terísticas pedidas: rectángulos, rombos,

cuadrados.

45. a.

b. En una hoja, se construye un segmento

congruente con AB. A partir de éste, el pro-

cedimiento utilizado no es único.

Una posibilidad es trazar por A y B rectas

perpendiculares a AB y, con centro en A, se

traza una circunferencia de radio AB y otra

con centro en B, de igual radio. Se nombra

M y N a dos de los puntos de intersección

entre las circunferencias y las rectas. Ambos

puntos deben estar en el mismo semiplano

respecto de AB. Se construye el segmento

MN y queda determinado el cuadrado

AMNB.

46. a.

b. Uno. Por relación entre las medidas de los

lados de un triángulo y criterio de con-

gruencia, si tres segmentos determinan un

triángulo, es único.

c. No se puede construir. Con tres segmen-

tos de 9 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente,

no se puede construir un triángulo.

47. a.

b. Las amplitudes de los otros ángulos son

140°, 40°, 140°.

c. No. Existen infinitos paralelogramos de-

pendiendo de la longitud de los lados.

r

M

N

A

B

Nombre

del

polígono

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Medida de cada

ángulo interior

60°

90°

108°

120°

128° 34' 17,1"

Nro. de

lados

3

4

5

6

7

Suma de las me-

didas de los án-

gulos interiores

180°

360°

540°

720°

900°

d.

Los ángulos serían congruentes con los de un

paralelogramo cualquiera y los lados serían

todos congruentes, pero de cualquier longi-

tud, es decir, existirían infinitos rombos.

48. a.™1;

™3;

™5 y

™7 son congruentes

™2;

™4;

™6 y

™8 son

congruentes. Por opuestos por el vértice, ™1 y

™3;

™2 y

™4;

™5 y

™7;

™6 y

™8; por correspondientes en-

tre AB || CD y la recta secante trazada, ™1 y

™5;

™2 y

™6;

™4 y

™8;

™3 y

™7.

b. Por adyacentes, ™1 y

™2;

™2 y

™3;

™3 y

™4;

™4 y

™1;

™5 y

™6;

™6 y

™7;

™7 y

™8;

™8 y

™5.

Por conjugados externos e internos entre

paralelas. ™2 y

™7;

™1 y

™8;

™3 y

™6;

™4 y

™5.

49. a.

b.

c.

Se sugiere discutir qué cuadriláteros quedan

determinados.

50. b. Pentágono. Sí, cada lado es el ancho de la

cinta.

51. a. Con hexágonos regulares se puede cubrir

una superficie.

52.

T. P. Nº 4 | Fórmulas y

transformaciones algebraicas

1. a.

1 = (1 + 1) · 1 – 1

1 = (1 – 1) · 1 + 1

1 = (1 + 1) : 1 – 1

1 = 1111 · 1

1 = 1((11 –– 11)) : 1

1 = (1 + 1)11 – 1

1 = 111 + 1 – 1

1 = (1 · 1)((11 –– 11))

b.

0 = 4 + 4 – 4 – 4

1 = 44 : 44

2 = 4 : 4 + 4 : 4

3 = (4 + 4 + 4) : 4

4 = 4 + (4 – 4) · 4

5 = (4 + 4 · 4) : 4

6 = 4 + (4 + 4) : 4

7 = 4 + 4 – 4 : 4

8 = 4 + 4 + 4 – 4

9 = 4 + 4 + 4 : 4

2. a. 4 + 5 = 9; 5 + 6 = 11; 6 + 7 = 13; la suce-

sión continúa 9; 11; 13; 15; …

b. Son números impares.

c. Son números que se obtienen sumando

n + (n + 1) con n ≥ 0.

3. a. 3 + 4 + 5 = 12; 12 : 3 = 4

20 + 21 + 22 = 63; 63 : 3 = 21

345 + 346 + 347 = 1038; 1038 : 3 = 346

b. Se obtiene el valor central, porque:

a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 y

(3a + 3) : 3 = 3a : 3 + 3 : 3 = a + 1

Si se trata de cuatro números consecutivos,

4 + 5 + 6 + 7 = 22; 22 : 4 = 5,5.

a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6;

(4a + 6) : 4 =

Si se suman cuatro números, se obtiene la

semisuma de los dos centrales.

Se sugiere tomar más ejemplos. Se concluye

que, si n es impar, se obtiene el valor central

y, si n es par, la semisuma de los valores

centrales.

(2a + 3)

2

6

1 5

4

5

632

1

4

2

3

4. a. En todos los casos, se dibujan dos cuadra-

dos cuyos lados difieren en una unidad.

b. Se trata de dos cuadrados que comparten

sólo un vértice y uno de los lados del cua-

drado menor. El lado del cuadrado mayor

supera al lado del otro cuadrado en una

unidad.

c. 1 + 3 · 3 + 4 · 3 = 22, o bien:

3 · 4 + 4 · 4 – 3 · 2 = 22.

5. a. 1 + 33,5 · 3 + 34,5 · 3 = 205

b. Se suma 1, más 3 por la medida del lado

del cuadrado menor, más 3 por la medida

del lado del cuadrado mayor. La expresión

no es única.

6. a. 1 + 55, 3 · 3 + 56, 3 · 3 = 335,8, o bien

4 · (55,3 + 56,3) – 55,3 · 2 = 335,8.

b. El lado del cuadrado mayor es igual al la-

do del cuadrado menor aumentado en 1.

c. El perímetro es igual a uno más el triple

del lado del cuadrado menor, más el triple

del lado del cuadrado menor aumentado en

uno, o bien seis veces el lado del cuadrado

menor aumentado en cuatro.

d. En esta etapa, se aceptarán argumentos

basados en cálculos. Por ejemplo, utilizar las

expresiones que hayan surgido y analizar si

funcionan para calcular los perímetros efec-

tuados en los problemas 4 y 5.

7. a. Si se designa con P al perímetro y con l, al

lado del cuadrado menor:

P = 1 + l · 3 + (l + 1) · 3

b. En la comparación, se observará que el

perímetro puede depender del lado del cua-

drado menor (l) o del lado del cuadrado ma-

yor (L).

P = l · 4 + (l + 1) · 4 – l · 2

P = l + l + l + l +1 + l + 1 + l + 1 + 1

c. P = L – (L – 1) + L · 3 + (L – 1) · 3

P = 1 + L · 3 + (L – 1) · 3

8. a.

3 + 4 = 7 y 7 no es par. En general,

n + n + 1 = 2n + 1 no es divisible por 2.

n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3 (n + 1) es

divisible por 3.

6 + 7 + 8 + 9 = 30 no es divisible por 4.

En general, n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6

no es divisible por 4.

n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 =

= 5n + 10 = 5 (n + 2) no es divisible por 5.

b. En general, si n es par, siendo n la canti-

dad de números consecutivos por sumar, la

suma no es múltiplo de la cantidad de su-

mandos; si n es impar, sí. Es necesario gene-

ralizar a fin de mostrar la validez para todos

los casos.

29


30

9. a. Sí Sí No NoNo No

b. En la fila inferior, hay b baldosas lisas y,en la fila superior, sólo 2, es decir, b + 2. Silas expresiones propuestas no son equiva-lentes a b + 2, no son correctas.c. b · 2 – (b – 2); 2 + 2 + b – 2; b + (b – (b – 2))Es importante que los alumnos discutanacerca de la validez de las fórmulas propuestas.

10. Las expresiones propuestas no son únicas.a · a – b · b ac +ad + bc (a – b) (a – b ) + 2b (a – b) a (c+d) + bc

11. Se demuestra por propiedades distributivade la multiplicación con respecto a la adi-ción y sustracción de naturales, y por pro-piedad cancelativa.(a – b) (a – b ) + 2b (a – b) = = a2 – ba – ba + b2 + 2ab – 2b2 = a2 – b2

a (c + d) + bc = ac + ad + bc

12. Se opera con las expresiones de la columnaA y se obtienen las siguientes expresionesde la columna B:a. 3 + xb. 10x + 2; no hay expresión equivalente enla columna B.c. 8x2

d. x – 3e. 8x – 9; no hay expresión equivalente en lacolumna B.f. x2 + 7x + 12g. x2 – 12x + 36

13. a. 2n – n; 2 (n +1) – n – 2 b. 3n – 5; 2 (n + 2) + n – 9 c. n2 + n; n2 + 2 (n –1) – n + 2d. n – 2; n (n +2) – (n2 + n + 2)e. 3n – 2; 3 (n – 1) + 1f. 3 (n– 1) – 2n; 4n – 3 (n + 1)

14. a. 2 · n + 18 + 6 · n – 18 = 8 · n es múltiplo de8 para todo n entero.b. n2 + 7 · n – n2 – 1 = 7 · n – 1 no es múltiplode 6 para todo n entero.c. 3 · n2 + 7 · n – 3 · n2 + 14 = 7 · n + 14 = = 7 · (n + 2) es múltiplo de 7 para todo n en-tero.

15. a. 7 · n – 56 – 2 · n = 5 · n – 56. Se puede su-mar 3 · n; 11 · n;… Algunos de los múltiplosobtenidos para n natural son enteros nega-tivos.b. 9 · n + 27 – 3 + 2 · n = 11 · n + 24. Se puedesumar: –3 · n; 5 · n;… Todos los términos quese pueden sumar difieren en 8 · n.c. 16 · n – 41. Se puede sumar –7; 49;…

16. Considerando el orden de la primera colum-na, la segunda debe ordenarse como sigue:

– b; ; 2 (a + a + 1); a2 + b2;

(a + b)2;

17. a. 8 · 9 = 72; entonces, 852 = 72 · 100 + 25 == 722522 · 23 = 506; entonces, 2252 = 506 · 100 + + 25 = 50.625b. Para números de dos cifras: (10d + 5) (10d + 5) = 100d2 + 50d + 50d + 25 == 100d2 + 100d + 25 = 100d (d + 1) + 25.Análogamente para más cifras.c. Sí, se puede operar como si fueran enteros y considerar la cantidad de cifrasdecimales que corresponda para dar el resultado.

18. AD = 5 hm · 15 hm y AC = 15 hm · 5 hm. Soniguales.

19. a. L1 + L2 – =

= L1 L2 + – – =

= 85 cm2 – = 84,15 cm2

b. x · = 84,15; entonces, x = 99%.

c. (L1 + 1) (L2 – 1) = L1 L2 + L2 – L1 – 1, siendo L1

y L2 las medidas de los lados del rectángulo.

20. 96%; 97,75%. Hay que restar cien veces elcuadrado del porcentaje agregado y quitadoa los lados. Por ejemplo, si se trata del 15%,A – 100 · · · A = 97,75 A.Entonces, el área de la puerta de la tortuga es AT = 2b · , o sea, AT = b · h.

21. a. (n + 6) (n + 6) > n2 + 12nb. n2 – 36 < 36 + 12n + n2

c. 2n2 – 2n = 2n2 – 2nd. 2n2 – 2n = n2 + n2 – n – n

22. a. 5x – 3 = 2x + 1 + 3x – 4 b. 2x – 2 + 6 – 3x = –x + 4c. 4x = (x + 3) · 2 – 5 + 2x + (–1)

23. a. Es correcto.b. 4x – 6 = 3x + x – 3 – 3 = (3x – 3) + (x – 3);entonces, x – 3 = 0; x = 3.4x + 3 = x + 3x + 3 = (x + 3) + 3x; entonces,3x = 0; x = 0.

24. a. a = 2

b. a = –2

h2

15100

15100

85100

85100 cm2

L1 L2

100L1 L2

10L1 L2

10

bL2

10abL1

10a

(a – b)3

(b · h)2

a3

c. a =

d. a =

25. Es posible que muchos alumnos respondana las dos primeras preguntas por tanteo, esdecir, sin plantear la ecuación correspon-diente, pero no a las dos últimas. Es impor-tante no imponer el planteo de ecuacionesen los casos en que los alumnos arriben asoluciones por tanteo o mediante cálculosaritméticos. Se incluye el planteo de las ecuaciones co-rrespondientes a las dos primeras pregun-tas y su resolución por si no surgen respues-tas por tanteo.

a. a · 3 + 4 = a · 2 + 6; resulta que a · 2 + a + + 4 = a · 2 + 4 + 2; a = 2.b. a · 3 + 1 = a · 2 – 1; resulta que a · 2 + a + + 1 = a · 2 + 1 – 2; a = –2.c. a. 2 + 3 = a · 4 + 2; resulta que a · 2 + 2 + 1= a · 2 + a · 2 + 2; a = .d. a · 1,3 + 0,5 = a · 1,6 – 0,3; resulta que a · 1,3 + 0,8 – 0,3 = a · 1,3 + a · 0,3 – 0,3; a = .También pueden resolverse como se descri-be en el apartado “Ecuaciones”, que co-mienza en la página 30 del Anexo teórico.

26. 2x + 10 = – ; entonces, 10x + 50 = = 2x – 6; 8x + 2x + 50 = 2x + 50 – 56; 8x = –56; x = –7

27. a. 6 · n + 3,50 = 3 · n + 6,25b. 3 · n + 3 · n + 3,50 = 3 · n + 3,50 + 2,75; 3 · n = 2,75; entonces, compraron 3 alfajorespor $2,75.

28. a. Es necesario estudiar la ecuación previa-mente a fin de proponer un contexto posi-ble. Para la primera, debe buscarse un pro-blema cuya solución pueda ser un númeronegativo.

29. a. No. b. Sí. c. No.

30. a. n – 3 = 4 · n – 12 2 · n + 5 = n + 3 1 + n = 5n b. Infinitas.

31. a. Sí, pues operando se obtiene 6 – x = 6 – x,que se verifica para todo x.b. Bastará con considerar expresiones alge-braicas equivalentes para todo valor de x ra-cional.

65

25x

83

12

83

12

44. a. V = a1 · a2 · a3 y V’ = a1 + · a2 – · a3 – ; entonces, V’ = 0,99275 Vb. V = a1 · a2 · a3 y V’ = a1 + · a2 – · a3 – ; entonces, V’ = 1,1385 Vc. No hay una relación constante; dependede las medidas de las aristas.V’ = (a1 – 1) · (a2 – 1) · (a3 – 1)

45. El lunes tenía 44 galletas.El martes tenía 68 galletas.El miércoles tenía 92 galletas.El jueves les dio galletas a 6 amigos,

como muestra la tabla:

Galletas que tiene Galletas que da Amigo 444 222 + 2 1 220 110 + 2 2 108 54 + 2 3 52 26 + 2 4 24 12 + 2 5 10 5 + 2 6 3

46. No, la suma es 55 y, siendo todos los su-mandos enteros, no es posible obtener unasemisuma entera positiva que, sumada a suopuesta, dé 0.

47.

Un procedimiento:Elegir un número primo y ubicarlo en

cuatro casillas, de modo que cada una per-tenezca a una fila y una columna diferentes.En este caso, se comenzó colocando 11 encada una de las casillas de la diagonal prin-cipal y 13, en cada una de las casillas de ladiagonal secundaria.

Repetir todas las veces que sea necesario,buscando que el producto de los númerosprimos elegidos para cada casilla no se repi-ta en otra y no supere 100.

b15a3

100aba2

10aba1

10a

ba3

10aba2

20aba1

10a

31Matemática

Secuencias didácticas y soluciones

32. a. 5 · x + 8 = 5 · x – 2 y 8 ≠ –2.b. Bastará con considerar un par de expre-siones equivalentes y sumar o restar a unade ellas cualquier número racional distintode 0.

33. Se sugiere trabajar en grupos e intercambiarlos problemas propuestos para la resolución.

34. María tiene dos jarras de jugo. La primerajarra contiene más del doble de litros que lasegunda. ¿Cuánto jugo debe tener la primerjarra para que, al pasar litros a la segundajarra, la primera siga teniendo más jugo? J1 – > + J1 > 3. La primera jarra debetener más de 3 litros.

35. a. +13 – xb. +3 · x – 44 c. –5 · x – 8 + 5. La solución no es única.

36. a. y b. Ambas expresiones son distintas de 0para todo n racional.

37. Falso. n – 3 + 8 · n – 2 + 30 – 15 · n = = 25 – 6 · n

38. a. x = –b. No tiene solución.c. n = 8d. x = –

39. Por ejemplo, 2 x + < x + , para x <

x + 2 · x < 5 x + , para x > –0,25

40. a. x < b. x > 0c. x >

41. (n + 2)2 – n2 = k; entonces, n = – 1 El número pensado es un cuarto del resulta-do menos 1.

42. Entre otras, n2 – (n – 2)2; 4 · n – 4; (n – 2) · 4 + 4; 2 · n + 2 · (n – 2)

43. a. Sí, porque n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + + 4 + n + 5 + n + 6 + n + 7 + n + 8 + n + 9 = = 10 · n + 45b. Sí, porque (n + n + 9) · 5 = = 5 · n + 5 · n + 45 = 10 · n + 45c. Sí, porque 10 · n + 90 – 45 = 10 · n + 45d. Sí, porque 5 (2 · n + 9) = 10 · n + 45

54

118

25

b110

a

23

53

b12

a

352

114

34

J12

34

34

Efectuando los productos entre los facto-res primos colocados en cada casilla, resul-tan los números de la tabla, que no es única.

48. 3f + 2a = 78p4f + 1a = 54p

Si se multiplica la ecuación 1 por 4 y la ecua-ción 2 por 3, y se restan, resulta a = 30p.

T. P. Nº 5 | Triángulos y circunferencia

1. a. Es único, porque queda determinado en la construcción; todos los triángulos sepueden superponer y coinciden todos suspuntos.b. Sobre una recta (la recta r), se construyeun segmento AB de 6 cm. Con centro en un extremo de AB y radio 4 cm, se traza una circunferencia; con centro en el otro extremo del segmento AB y radio 3 cm, setraza otra circunferencia. La intersección de ambas circunferencias es el tercer vérticedel triángulo.c. Sus ángulos son congruentes, porque eltriángulo es único.d. No se puede construir el triángulo, por-que la medida de uno de los segmentos es i-gual a la suma de las medidas de los otrosdos y, entonces, resulta que dos lados se“aplastan” sobre el tercero.

2. a. Infinitos, pues manteniendo constante el valor de los ángulos se pueden variar loslados.b. Sobre la recta r, se construye un segmen-to AB de una longitud l cualquiera. Se cons-truyen dos ángulos adyacentes al segmentoAB, de 50° y 60°, respectivamente. En la in-tersección entre los lados de los ángulos tra-zados, está el tercer vértice del ángulo cuyaamplitud es de 70°. Todos los triángulos tie-nen la misma forma y difieren en la longi-tud de los lados. c. Todos los triángulos tienen la misma for-ma; tienen lados proporcionales.

3. a.

b.Nro. de cuerdas (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nro. máximode regiones 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56

j

881

1865

56652

6

3265524

7860

211

*La expresión que permite encontrar el nú-mero de galletas que tenía en función delnúmero de galletas que le quedan utilizan-do la primera regla es g – + 2 = g’, sien-do g’ el número de galle-tas que le quedan yg, el número de galletas que tenía.Utilizando la regla del viernes, la relación esg – + 3 = g’.Para todo número natural g ≥ 6 que permitahacer el reparto, es g – + 2 < g – + 3 , es decir que leconviene utilizar la regla del viernes.

bg3

abg2

a

bg3

a

bg2

a

32

4. a.

b. Sí. Se pueden construir infinitos triángu-

los con los segmentos AB y BD. Es suficiente

con variar el ángulo que forman.

c. En este caso, el triángulo es único.

d. No, porque, al quedar determinadas las

dos longitudes y la abertura del ángulo que

forman, todos los triángulos que se constru-

yan resultarán congruentes .

5. a.

b. Triángulo rectángulo escaleno.

c. Sí, porque tanto el ángulo entre AC y BC

como la longitud de los dos lados que lo for-

man quedan determinados por los demás

datos.

6. Medida de los lados y ángulos

Triángulo MNP |MN| = 4 cm |NP| = 2 cm |PM| = entre

2 y 6 cm

Triángulo QRS |QS| = 4 cm |SR| = 3 cm |RQ| = entre

1 y 7 cm

Medida de los ángulos: M™PN y R

™SQ miden

90°.

7. a.

b. 60° porque |™A| + |

™B| + 60° = 180°.

c. Sobre la recta r, se construye un segmen-

to de una longitud l cualquiera. Se constru-

yen dos ángulos adyacentes al segmento,

de 45° y 75°, respectivamente. El tercer án-

gulo resulta de 60°.

d. Todos los triángulos tienen la misma for-

ma y difieren en la longitud de los lados.

45° 75°

A

B

C

A B

D

D’’’’D’’’

D’’

D’

D

A B

8. a.

b. I. Los triángulos tienen la misma forma y

diferentes tamaños.

III. Es como el caso I; aunque el tercer

ángulo no está indicado, se deduce del

valor de los otros dos y sabiendo que 180°

es el valor de la suma de los ángulos en todo

triángulo.

IV. Se pude construir cualquier triángulo

isósceles de 70° de ángulo no congruente.

V. Los elementos señalados no son suficien-

tes para construir un único triángulo.

9. a. En todo triángulo, si un lado es menor

que otro, el ángulo que se opone al mayor

es mayor que el ángulo que se opone al me-

nor, o bien, en todo triángulo, a mayor lado

se opone mayor ángulo. A lados congruen-

tes, se oponen ángulos congruentes.

b. Las respuestas dependerán de las propie-

dades ya conocidas por los alumnos. Entre

otras, las siguientes:

45°

45°V.

70°

IV.

60°60°

50°

III.

30°90°

5 cm

II.

100°

I.

100°50°

50°30°

En un triángulo equilátero, todos los lados

y todos los ángulos son congruentes.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto

al ángulo recto es mayor que los catetos.

En un triángulo oblicuángulo, el ángulo

obtuso se opone al lado mayor.

10. a.

b. No, porque después de trazar AB se traza

una recta r paralela a AB a una distancia de

3 cm. Luego, se traza el ángulo A intersec-

ción de r y el lado del ángulo A es un único

punto, C, tercer vértice del triángulo.

c. Todos los triángulos obtenidos son con-

gruentes.

11. Para que sea posible, será necesario ubicar-

los en forma conveniente. Después de elegir

un segmento cualquiera como base, de los

restantes se toma el de menor longitud co-

mo altura.

12. Afirmación 1: N™MP y N

™PM son congruentes.

Afirmación 2: |™M| + |

™N| + |

™P| = 180°.

Afirmación 3: La distancia de M a t es la

misma que la distancia de P a t.

Afirmación 4: Los ángulos formados por t y

los lados NP y NM son congruentes con

N™MP y N

™PM, por ser alternos internos res-

pectivamente entre las paralelas t y AB.

13. En el problema 8 II., un lado y un par de án-

gulos colocados en la misma posición res-

pecto de dicho lado. En 10, un lado, hAABB, y

dos ángulos colocados en la misma posición

respecto de dicho lado, A, y el ángulo recto

que forma la altura con el lado AB. Después

de construido ese triángulo único, se com-

pleta el triángulo pedido. En 11, dos lados

y el ángulo opuesto al mayor; se trata del

ángulo recto que forma la altura con el

lado correspondiente. En el problema 12,

no se usaron criterios de congruencia de

triángulos.

14. Episodio 5

En A’ o en B’.

Tendrían que haber golpeado en infinitos

puntos.

B’ B

A’

A

C

50°

4cm

A

B

ABh

C

r

15. a.

b. No, los triángulos ABF y ABF’ son isósce-

les. F puede ser cualquier punto del arco con

centro en B y radio AB.

c. G es cualquier punto interior o exterior a

la circunferencia trazada y no equidistante

de A y B.

16. a.

b. En el triángulo isósceles obtusángulo y en

el equilátero. En el triángulo escaleno rec-

tángulo. En el triángulo equilátero.

17.

a. Sí, los triángulos ABH y ACH son con-

gruentes, porque A™BH y A

™CH son congruen-

tes por construcción, A™HC y A

™HC son ambos

rectos, y, por lo tanto, los terceros ángulos

de cada triángulo son también congruentes.

Además, AH es común a ambos triángulos.

Es decir que cumplen con un criterio de con-

gruencia: tienen congruentes un lado y los

dos ángulos adyacentes.

B

H

C

A

A

F

C

F’

G’

G

B

b. El triángulo ABC es isósceles por lo proba-

do en a., ya que AB es congruente con AC.

18. a.

b. M y N deben estar a la misma distancia

de O. Así, el triángulo MON resulta isósceles

y la bisectriz de ™O es también altura del la-

do MN y mediana.

19. En todo triángulo isósceles, la altura corres-

pondiente al lado no congruente determina

dos triángulos congruentes, pues tienen

dos lados y dos ángulos respectivamente

congruentes. Por lo tanto, todos sus ele-

mentos resultan congruentes; en particular,

los segmentos que determina la altura

sobre el lado no congruente del triángulo

isósceles. Entonces, la altura es también

mediana.

20. a. Verdadero, porque la bisectriz es el lugar

geométrico de los puntos del plano que

equidistan de los lados del ángulo.

b. Falso. En el triángulo rectángulo, coincide

con uno de los catetos y puede ser mayor

que el otro.

c. Falso. Ver construcción.

d. Sí. Se puede justificar por criterio de con-

gruencia de triángulos si el ángulo que que-

da determinado al trazar la bisectriz resulta

ser el opuesto al lado mayor. En caso con-

trario, los criterios de congruencia no permi-

ten demostrar. Se podrá justificar suponien-

do que el triángulo puede no ser isósceles y

se llega a una contradicción. Ver problema

18.

21. Por ejemplo:

Verdadera. En todo triángulo equilátero,

coinciden mediatrices, medianas, bisectri-

ces y alturas. Justificar por criterios de con-

gruencia de triángulos.

Falsa. La altura correspondiente a la hipote-

nusa de un triángulo rectángulo es siempre

bisectriz del ángulo recto. Es suficiente con

mostrar un contraejemplo.

22. a. Los triángulos ABF y BCE son congruentes

por tener el ángulo B en común y los ele-

mentos señalados respectivamente con-

gruentes. Por lo tanto, todos sus elementos

O C

MP

NQ

son congruentes; en particular, ™A y

™C.

b. y c. Por congruencia entre los triángulos

ABF y BCE.

d. Por congruencia entre los triángulos

AED y CDF, que tienen |A™ED| = |D

™FC| por

adyacentes de ángulos congruentes,

|A™DE| = |F

™DC| por opuestos por el vértice

y |AE | = |DC| por ser diferencia entre seg-

mentos congruentes.

23.

Ambos triángulos tienen la misma base, la

mitad de la medida del lado BC, y la misma

altura, distancia entre BC y la recta paralela

a BC que pasa por A.

24. a.

El punto P está a 2,5 cm de M y de N; no

es único.

Se pueden construir dos triángulos isós-

celes, MRN y MQN. Son congruentes.

b. El punto que se encuentra a 2,5 cm de M

y de N sería único, punto medio del seg-

mento MN.

Para construir el triángulo isósceles, se po-

dría haber considerado a MN uno de los la-

dos congruentes, o bien el triángulo hubie-

ra resultado equilátero.

25.

I. Se traza la circunferencia.

II. Se marca un radio.

III. Se traza la perpendicular al radio por el

punto común al radio y a la circunferencia.

Esa perpendicular es tangente a la recta en

ese punto.

26. Sí, porque la distancia de los demás puntos

de la recta al centro de la circunferencia es

mayor que el radio; se trata de puntos exte-

riores a la misma. Por eso, la recta y la cir-

t

R

N

M

P

Q

C

M

E

A

33


34

cunferencia tienen sólo un punto común, el

de tangencia.

27.

Se traza la circunferencia C1, de centro A, y

el punto B, exterior a la circunferencia. Se

determina el segmento AB y su punto me-

dio, M. Con centro en M, se traza C2. Las in-

tersecciones de C1 con C2, los puntos E y F,

son los puntos de tangencia de las rectas EB

y FB, respectivamente, con C1.

28. No, la perpendicular a la recta que incluye al

radio por un punto es única.

29. a.

b. El punto I, centro de la circunferencia, es

el punto de intersección de las bisectrices.

Es suficiente trazar dos bisectrices para ob-

tenerlo. El radio es la distancia de I a cual-

quier lado del triángulo.

30. a.

b. Los ángulos inscriptos en la semicircunfe-

rencia son rectos. Se traza OP radio; quedan

determinados dos triángulos isósceles, POA

y POB. En el triángulo POA,

|P™OA| + 2 |A

™PO| = 180° y, en el triángulo

POB, |P™OB| + 2 |O

™PB|= 180°; si se suman

las igualdades, resulta |P™OA| + 2 |A

™PO| +

+ |P™OB| + 2 |O

™PB|= 180° + 180°; luego,

180° + 2(|A™PO|+ |O

™PB|) = 180° + 180°;

resulta |A™PO|+ |O

™PB|= 90°; entonces, A

™PB

es recto.

31. a. Por criterio de congruencia de triángulos,

OQM y OQN resultan congruentes. En parti-

cular, |M™QO|= |N

™QO|; entonces, QO es bisec-

triz de M™QN.

b. Romboide. Tiene dos pares de lados con-

secutivos congruentes por ser los triángulos

OMQ y ONQ congruentes.

P

A

Q

B

O

A

bA

bB

bC

B

C

I

c1F

A

ME

Bc2

32. a.

b. Son secantes y no perpendiculares por ser

ambas perpendiculares a radios que forman

un ángulo de menos de 90°.

33. a. No se puede asegurar.

b. No se puede asegurar.

c. Sí, tienen un lado y un par de ángulos co-

locados en la misma posición con respecto

al lado.

34.

|OM| = |AM|. En todos los casos, sucede

lo mismo.

35. a. La distancia al centro es igual a la longi-

tud del radio.

b. La distancia al centro es menor que la lon-

gitud del radio.

c. La distancia al centro es mayor que la lon-

gitud del radio.

36. a. |™1| = 30°.

b. |™2| = 120°.

c. |™3| = 100°.

37. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa,

que es el mayor lado, se opone al ángulo

recto, que es el mayor ángulo. Teniendo

además un ángulo agudo, se puede afirmar

que todos los triángulos construidos con e-

sos datos son congruentes por el criterio

que dice que dos triángulos son congruen-

tes si lo son dos ángulos y el lado opuesto al

mayor de ellos.

38. a. Falso. La altura es el segmento de la per-

pendicular al lado por el vértice opuesto, su

medida es menor que la de cualquier otro

segmento con extremos en el lado y el vérti-

ce opuesto, incluida la mediana. En algunos

triángulos, altura y mediana coinciden.

b. Falso. Sólo se puede asegurar que dos de

sus lados son congruentes.

1

3

A

N

C

M

P

O

B

D

A

B

COd

39. Los triángulos ABM y ADN son congruentes

por ser rectángulos y tener sus dos catetos

congruentes. Entonces, todos sus elemen-

tos resultan congruentes; en particular, sus

hipotenusas, AM y AN.

40. a. y b.

c. Están alineados; por ser ™B recto, se puede

inscribir en una semicircunferencia en la

que AQ es diámetro.

41. a. |A™OB| = · 360° = 72°

|B™OC| = · 360° = 60°

|C™OD| = · 360° = 120°

b. Existe una relación de proporcionalidad

directa entre la longitud del arco y la ampli-

tud del ángulo central correspondiente.

42.

El triángulo COD es isósceles, pues dos de

sus lados son radios de la misma circunfe-

rencia. Entonces, OM es mediana y media-

triz, por lo tanto, perpendicular a CD por M.

43. Considerando el triángulo ABC equilátero,

de altura h = 1, y dado el punto P, hay que

probar que |x| + |y| + |z| = 1

Se trazan las rectas m, n y q, paralelas a ca-

da uno de los lados del triángulo por el pun-

to P, y quedan determinados tres triángu-

los, DPE, PGF e IHP.

IPH es equilátero, pues

P™I H = cc

™A

I™HP = cc

™C

Análogamente, los triángulos DPE y PGF

son equiláteros.

Por lo tanto, todas las alturas de cada uno

de estos triángulos son congruentes.

A

y

z hxP

B

C

D

G

M

O

F

1

3

1

6

1

5

B

A

Q

O

35Matemática Secuencias didácticas y soluciones

Si se trazan h1, h2 y h3, resulta lo siguiente:y =c h1

z =c h2

x =c h3

Si se traza `J`F // `AC por F, se obtiene el trián-gulo JFB que es congruente con el triánguloDPE. Por lo tanto, h3 =c h4

Como la altura del triángulo ABC es 1, |h4| + |h2| + |h1| = 1; luego, |x| + |y| +|z| = 1

44. a. Se pide representar un eclipse de Luna. b. Las tangentes se designan interiores y exteriores.

T. P. Nº 6 | Variaciones

1. a. Armar la caja con las anotaciones que fi-guran en el esquema.Se considerará ancho de la hoja (A) al ladosobre el que se realizan los pliegues. Obser-var que, en todos los casos, la altura de lacaja es d.

b. Sí. Siendo la base cuadrada, el lado de és-ta debe ser: L = 4d; A = 4d + 4d = 8d H = 4d + 2d = 6d = A.

c. Si la base mide 6 cm de lado, d = 1,5 cm; A = 12 cm; H = 9 cm. Si la base es rectangular, podemos ubicar e-se rectángulo de dos formas distintas en lahoja.

34

4d

dA

2d

d

y = h1

P

qA I H

G

F

E

J

D

m

nz

h4

h3

h2

x

C

B

y

P

qA I H

G

FE

D

m

nzx

C

B

Primera forma: lado mayor de la base per-pendicular a los pliegues:d = 3,25 cm; A = 13 + 4 · 3,25 = 26 cm H = 6 + 2 · 3,25 = 12,5 cmSegunda forma: lado menor perpendicular alos pliegues:d = 1,5 cm; A = 12 cm H = 13 + 2 · 1,5 = 16 cm

2. a. Si tomamos la primera forma de trabajar,d = 14 : 4 = 3,5 cm, pero esto debería ser 5,pues d es la altura. No se puede de esta for-ma. Si tomamos la segunda, d = 8 : 4 = 2,tampoco coincide con la altura pedida. Nopuede construirse una caja, a partir de estasinstrucciones, con estas dimensiones.b. Según la forma elegida para a y b:Si a es perpendicular al plegado, A = 2a; H = b + 2 · = b + .Si b es perpendicular al plegado, A = 2b; H = a + .

c. Base de la caja: · H – .

Altura de la caja: .

3. Condiciones: A y H mayores que 0; poder plegar A en 8 partes; H > , observando la fórmula en el ítem c. del problema 2.

4. Siendo 0,5 litros = 0,5 dm3, debe construirse una caja de volumen V = 0,5 dm3.V = A · H · d = 8d · b + · d = = 8d · (b + 2d) · d, siendo b el lado de la baseparalelo al plegado. Debe cumplirse que0,5 = 8 d2b + 16d3.Existe más de una posibilidad: según el va-lor que tome d, según el ancho A de hoja elegido. Se trabajará de maneraanáloga para litro.

5. a. Área del cuadrilátero = = área del cuadrado – área del triángulo.Área buscada = 64 – (x · 8 : 2) = = 64 – 4x, siendo 0 ≤ x ≤ 8.c. A = 12: sí. 12 = 64 – 4x; entonces, x = 13.A = 28: sí. 28 = 64 – 4x; entonces, x = 9.A = 80: no, siendo mayor que el área total.En la ecuación 80 = 64 – 4x, ningún x verifi-ca la ecuación.

6. a. La variable independiente es x. La variabledependiente es A, área del cuadrilátero.b. Dominio: todos los números x tales que0 ≤ x ≤ 8.Imagen: A tal que 32 ≤ A ≤ 64, pues el áreadel triángulo es a lo sumo 32.

7. a y b. La gráfica 3, pues, cuando x = 8, A = 32y, cuando x = 0, A = 64.

14

bA4

a

A4

A8

A4

A2

b2

a2

a4

8. a. La opción 3.b.

9. Área de la ventana = x2. Perímetro de la ven-tana = 4x.a.

Costo del Costo del Total

vidrio marco

80 x2 4x · 14 P

Ventana de 2 m 4 · 80 = 320 8 · 14 = 112 432 pesos

Ventana de 1,2 m 115,2 67,2 182,4 pesos

b. Precio de la ventana: P(x) = 80x2 + 56x,siendo x la medida del lado de la ventana.c. Dominio: 0,8 ≤ x ≤ 2,2. Imagen: 96 ≤ P ≤ 510,4.

10. a. Permanece constante el alto del rectán-gulo; varía el largo.b. Si el alto es h constante: Perímetro busca-do = P(x) = 2h + 2x, siendo x el largo desen-rollado.c. Es importante que los alumnos puedanconfrontar las expresiones halladas, anali-zando si debe ser única o pueden aplicarsepropiedades para demostrar que se han ob-tenido expresiones equivalentes.d. Área = A(x) = h · x

11. Sí. Se pueden realizar tablas de valores paraambas funciones, a fin de determinar que larazón entre la diferencia de valores de la va-riable independiente y la diferencia entrelos correspondientes de la independiente esconstante.

x en cm 1 2 3 P(x) = 2h + 2x 2h + 2 2h + 4 2h + 6A(x) = h · x H 2h 3h

Para P(x): [2h + 4 – (2h + 2)] : (2 – 1) = 2 == [2h + 6 – (2h + 4)] : (2 – 1).Para A(x): (2h – h) : (2 – 1) = h = = (3h – h) : (3 – 1).

X (en cm)

A (en cm2)

42

5

8

36

12. a. 25 + 5 · 35 = 200 toneladas.

b. C(t) = 25 + 5t, con t en minutos.

c.

Para llenarse: 25 + 5t = 500; entonces,

t = 475 : 5 = 95 minutos.

En dos horas, el silo está lleno y ha

rebalsado.

13. a. C(t) = 500 – 5t, con t en minutos.

b. 0 = 500 – 5t; entonces, t = 100 minutos.

c. En 100 minutos queda vacío, mientras

que al empezar contiene 500 toneladas. A

medida que transcurre t, hay menos canti-

dad de maíz en el silo.

14. En el problema 12, C(t) = 25 + 5t : 25 es el

valor inicial correspondiente a la cantidad

de trigo en el silo y 5 es la razón constante

que representa la rapidez con que se llena

dicho silo.

En el problema 13, C(t) = 500 – 5t: 500 es el

valor inicial y –5 representa la razón cons-

tante que indica la rapidez con que el silo se

vacía.

15. a. Para que ambos silos tengan la misma

cantidad:

25 + 5t = 500 – 5t, de donde t = 475 : 10 =

= 47,5 minutos

100 t

c

80604020

100

200

300

400

500

100 t (en

minutos)

c (en toneladas)

80604020

100

200

300

400

500

25

16. a. C(t) = 25 + 0,20 · (t : 2) = 25 + 0,10t, con

t en minutos.

b. Sí. La fórmula será C(t) = 25 + 0,10t.

c. No.

17. a. Sí. Suponiendo que se habla 3 minutos,

en las empresas anteriores, el costo sería C(3)

= 25 + 0,30 = 25,30 pesos.

Según esta empresa, 25 + 0,20 · 4 = 25,80 pe-

sos. Si la comunicación durara un múltiplo

exacto de 2 minutos, el costo sería el mismo

que en las del problema 16; para cualquier o-

tro t, el costo en esta empresa es mayor.

b. Para utilizar la misma fórmula planteada

en el problema 16, conviene considerar que

el tiempo se mide en intervalos entre dos nú-

meros pares consecutivos (2k; 2(k + 1)) con

k número natural.

18. La manera más simple de responder es a par-

tir de realizar la gráfica, en un mismo siste-

ma, de las tres opciones.

Al no contar con información para t mayor

que 40 segundos respecto del sistema B; en-

tonces, se considera un dominio 0 ≤ t ≤ 40.

a. t = 0; t = 25; t = 35.

b. Las temperaturas de B y C son iguales en-

tre sí, y distintas de la de A, para un t entre 10

y 15 segundos.

19. a.

b. T = 35 + 2t, con t en minutos.

c. 35 < T < 100; entonces, 35 < 35 + 2t < 100,

por lo cual 0 < t < 65 : 2.

Después de los 32,5 minutos, el agua empezó

a evaporarse.

t (en min)

T (en °C)

302010

20

40

60

80

100

50 t (en seg)

T (en °C)

60

A

C

B

40302010

10

40

80

d. Según la cantidad de agua, a los 50 minu-

tos, ésta pudo o no haberse evaporado.

20. Las respuestas no son únicas. Algunos posi-

bles ejemplos son:

a. Una máquina llena bolsas de caramelos a

razón de 3 segundos por bolsa.

Suponiendo que no se pierde tiempo en el re-

cambio de bolsas, ¿cuántas llena en 45 minu-

tos?

b. El 1 de junio, Ana lleva ahorrados 30 pesos.

Si cada día ahorra 3 pesos, ¿cuánto lleva aho-

rrado el día 30 de junio? ¿Puede representar-

se la situación mediante una segmento de

recta?

21. Primer mes: C(k) = 20 + 0,5k, donde k repre-

senta los kw consumidos.

Segundo mes: C(k) = 20 + 0,5 · 2k. El vecino

tiene razón: no es el doble.

22. a. Variable independiente: la hora del día.

Variable dependiente: el ángulo determina-

do por las agujas.

b. Dominio: 0 ≤ h ≤ 24, siendo h la hora.

Imagen: 0° ≤ a < 360°, siendo a el ángulo for-

mado entre las agujas y pudiendo conside-

rarse también como ángulo máximo 180°.

23. Puede establecerse una función de varia-

ción uniforme considerando el ángulo de-

terminado a lo largo de una hora. El ángulo

varía uniformemente con una razón cons-

tante k = 330, que puede obtenerse pensan-

do un dominio de 1 hora.

Suponiendo 0 ≤ h ≤ 1, consideramos el domi-

nio entre la hora 0 y 1 a. m.

La razón, cociente entre las variaciones de

imágenes y las correspondientes variaciones

de elementos del dominio, está representa-

da por 330°, recorridos en una hora, o sea,

k = 330. Si la obtuviéramos a partir del ángu-

lo recorrido en media hora, el ángulo des-

pués de media hora es 180 – 15 (recordar

que la aguja horaria también se desplaza)

dividido por 0,5 horas.

La función es å(t) = 330 · t, siendo t en horas:

0 ≤ t ≤ 1. Pero esta función no sirve para re-

presentar otra hora del día, para la cual debe

replantearse la situación inicial, con la mis-

ma constante k.

24. a.

El precio del oro sí es función uniforme de

su peso: P(x) = kx, siendo k el precio de coti-

zación del oro en ese día y x, el peso en gra-

mos o kilogramos. A igual calidad, sí puede

establecerse una función uniforme respecto

del peso.

La altura de una persona no varía unifor-

memente en función de la edad; la razón en-

tre alturas y días no se mantiene constante.

37


32. a. A = 3b

b. V = a33

c. P = 4,87n

d. No hay dependencia entre las variables

enunciadas; por lo tanto, no puede expre-

sarse la relación entre ellas.

33. a. Ana y Sol son las que viven más cerca. Ana

y Pedro viajaron a mayor velocidad.

Ana llegó primero a su casa. Lucía llegó últi-

ma. Sol, Juan y Pedro llegaron al mismo

tiempo.

b. El punto por marcar estará alineado con el

0 y uno o más puntos marcados.

c. Ana, Sol, Juan, Pedro y Lucía.

34. a. Siendo S el área buscada, si x ≤ |AB| : 2,

S = (|AB| –x)x; si x > |AB| : 2, S = (|AB|– x) (|AB|

: 2)

b. y c. Variable independiente x, tal que

0 ≤ x ≤ |AB|.

Variable dependiente S, tal que

0 ≤ S ≤ |AB|22 : 2.

35. a. La segunda gráfica representa el recorrido

de Marcos.

b. Algunos posibles argumentos que se pue-

den formular para dar cuenta del motivo por

los cuáles se descartan los otros gráficos son

los siguientes:

- En el primero, porque las distancias negati-

vas carecen de sentido.

- En el tercero, porque, si en el primer “trián-

gulo” el vértice corresponde a la distancia de

la casa a la esquina, la segunda distancia es

menor, por lo que, viviendo a mitad de cua-

dra, no llega a la otra esquina.

- En el cuarto, porque la velocidad, después

de pasar por la casa nuevamente, disminu-

ye; ya no sería constante.

- En el quinto, porque varía la distancia reco-

rrida cada vez que pasa por su casa por se-

gunda vez.

- En el sexto, porque hizo un descanso a la

altura de su casa, lo que no se corresponde

con el enunciado.

c. Los puntos correspondientes a las esqui-

nas se determinan por ser los más alejados,

los de mayor distancia d. Están representa-

dos por los vértices de los triángulos isósce-

les, con base en el eje t. Los correspondien-

tes al paso por su casa son los puntos de in-

tersección de la gráfica con el eje t.

d. Para el primero: puede pensarse d como la

posición de Marcos respecto de su casa en

su recorrido.

Para el tercero: va a la esquina y vuelve a su

casa a una velocidad constante, en un tiem-

po t; luego baja la velocidad, de modo que,

aunque vuelve antes de llegar a la otra es-

quina, tarda en ese trayecto el mismo tiem-

La tarifa de luz sí es, en general, uniforme

respecto del consumo: T(k) = A + m · k, siendo

A el abono y m, el valor del kw.

La tarifa de teléfonos urbana sí es, en ge-

neral, función uniforme de la duración.

b. La confrontación de las respuestas entre los

alumnos tiene la intención didáctica de desa-

rrollar la capacidad de formular argumenta-

ciones respecto de los conocimientos matemá-

ticos involucrados.

25. Episodio 6

Nro. de dobleces 0 1 2 3 4 En general…

Nro. de rectángulos 1 2 4 8 16 2nn

26. a. Sí. y = 24 – 2x. Para x = ,

y = 24 – = 21,5.

b. No.

c. Sí. y = – . Para x = 5, y = – .

d. Sí. y = 2,1 + 0,5x. Para x = 5, y = 4,6.

27. En todos los casos, se presentan ejemplos de

infinitas funciones que pueden definirse.

a.

x 3 6 9 y = x

y 4 8 12

Siendo la razón constante,

(8 – 4) : (6 – 3) = .

b.

x 3 6 9 y = –1 + x

y 4 9 14

c.

x 3 6 9 y = x22 – 5

y 4 31 76

28. a. Las gráficas 2, 3 y 5.

b. Gráfica 2: y = x. Gráfica 3: y = –x + 5.

Gráfica 5: y = 1 + x.

29. a. La función que representa la variación de

temperaturas es T(t) = 43,5 – 3t.

Para T = –10, –10 = 43,5 – 3t; entonces,

t „ 18 minutos.

b. L(t) = 125 · = 62,5t, 200 = 62,5t, por lo

que t = 3,2 minutos.

t

2

3

2

5

3

4

3

4

3

1

2

1

2

5

2

5

4

N

(nro. de dobleces)

D (nro. de rectángulos)

321

2

1

4

8

30. Para resolver la situación, se denomina F a la

temperatura expresada en escala Fahrenheit

y C, a la expresada en escala centígrada:

a. C = (F – 32) · . Ver b.

b. Siendo 32 el valor inicial, dado que a 0 °C

corresponden 32 °F, y la razón constante es

(212 – 32) : (100 – 0) = 18 : 10 = ; entonces,

(C) = 32 + C.

c. El dominio y la imagen son conjuntos con-

tinuos; no se les ha asignado un mínimo ni

un máximo, pues estos valores dependen de

los fenómenos cuya temperatura se desea

registrar.

d. Se trata de variaciones uniformes. En cada

caso, pueden analizarse la razón constante y

el valor inicial.

31. a.

b. Sólo se agrandan de manera proporcional

los segmentos horizontales de la gráfica, pe-

ro no varía su forma.

c. La gráfica es “escalonada”.

t (en seg)

H (en metros)

24 28 32 362016124

8

24

16

40

32

8

C (en °C)

F (en °F)

–10–20

20

30

10

F (en °F)

C (en °C)

302010

–10

10

20

–20

9

5

9

5

5

9

38

po. Al pasar nuevamente por su casa, reto-ma el ritmo inicial.Para el cuarto: al volver de la primera esqui-na, cambia a una velocidad que es la mitadde la anterior; con esa nueva velocidad, vahacia la otra esquina y regresa a su casa. Para el quinto: va hacia una esquina y luegohacia la otra, y vuelve con igual velocidad;luego, cada vez se aleja menos de su casa,pero a igual velocidad. Para el sexto: en su paseo, después de hacerdos cuadras, para un momento en su casa.

36. La intención didáctica de la actividad no resi-de en su resolución formal, sino en confron-tar distintos argumentos en función de la in-formación que no se encuentra enunciada.Analizar si Javier y/o el tren se desplazan avelocidad constante; si el origen del movi-miento debe ser considerado a partir del co-mienzo del puente ferroviario; si a partir dellamar D a la longitud del puente, las veloci-dades quedan expresadas en función de D,debe permitir avanzar con cierto análisisfuncional que ponga en juego las nocionesde variables dependiente e independiente,dominio e imagen, entre otros.

T. P. Nº 7 | Triángulos rectángulos

1. a. Verdadero. Esto ocurre si el triángulo esequilátero.b. Falso. Sólo dos de los lados coinciden conlas alturas.c. Falso. Esto sólo ocurre si el lado AB es con-gruente con el lado BC.d. Verdadero. En todo triángulo, a mayor la-do se opone mayor ángulo.e. Verdadero. El mayor ángulo de un trián-gulo rectángulo es el ángulo recto.f. Verdadero. Por definición de distancia, da-do que BC es perpendicular a AB.

2. a. Sí. b. Sí. c. Sí. Todos los casos se justifican por los criteriosde congruencia de triángulos (página 61 delAnexo teórico).

3. c. Se sugiere proponer contraejemplos paralas propiedades que no se cumplen.d. Área triángulo = b · .

Área trapecio = (B + b) · .

4. a. No. Los otros dos ángulos podrían medir,por ejemplo, 50° y 70°.b. El otro ángulo mide 27°.c. No. El otro ángulo agudo mide 50° y, porlo tanto, el triángulo es escaleno.

h2

h2

5. En el triángulo RPQ, R™PT y S

™PQ; P

™RT y P

™QS;

R™TP y P

™SQ; P

™TS y T

™SP.

En el triángulo MNL, R™ML, M

™LR y L

™RM; M

™LN

y N™ML; N

™MR y R

™LN.

6. El triángulo BAC es isósceles; entonces, |A

™BC| = |B

™CA|. El triángulo BMC es isósceles;

entonces, |M™BC| = |B

™CM|. Por diferencia

de ángulos congruentes, |A™BC| – |M

™BC| =

= |B™CA| – |B

™CM| y resulta |

™1| = |

™2|.

7. Si |™1| = |

™2|, entonces, |AB| = |AD| .

Como |A™BC| = |A

™DC| por diferencia de ángu-

los congruentes |A™BC| – |

™1| = |A

™DC| – |

™2|

y |™3| = |

™4|. Entonces, |BC| = |CD| y resulta

ABCD romboide.

8. b. Rectángulo.c. No. La amplitud de los ángulos es la misma.

9. No. Si se construye un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 7 cm y 8 cm, respectiva-mente, el triángulo que se obtiene no es rec-tángulo.

10. No es cierto. Si se elige 6, su doble aumenta-do en 2 es 14 y su siguiente es 15. Si los la-dos de un triángulo miden 6 cm, 14 cm y 15cm, respectivamente, el triángulo no es rec-tángulo.

11. El cuadrado de uno de los valores es igual ala suma de los cuadrados de los otros dos.Por ejemplo, 60; 80 y 100; 21; 28 y 35; 13; 84y 85.

12. Al cambiar de dirección, el jugador realizóun giro que no fue de 90°.

13. b. Lados 3; 4 y 5; áreas 9; 16 y 25.c. Uno más. Lados 6; 8 y 10; áreas 36; 64 y100.

14. a. 8b. La medida de la diagonal del cuadradopequeño es igual a la medida del lado delcuadrado grande. Entonces, el área del cua-drado grande es el doble del área del cua-drado pequeño; se necesita el doble detriángulos para cubrirlo. Otra forma de pen-sarlo es marcar en el cuadrado grande lasdiagonales y las bases medias.

15.

16. a. Sí. Se puede anticipar que el triángulo esrectángulo.

b. Sí. El área de uno de los cuadrados es i-gual a la suma de las áreas de los otros dos.

17. Teorema de Pitágoras: En todo triángulorectángulo, el cuadrado construido sobre lahipotensa tiene un área igual a la suma delas áreas de los cuadrados construidos so-bre los catetos. Teorema recíproco: Si en un triángulo elcuadrado construido sobre uno de sus ladostiene un área igual a la suma de las áreas delos cuadrados construidos sobre los otrosdos lados, el triángulo es rectángulo.Los enunciados también podrían expresarseutilizando “el cuadrado de la medida de unode los lados…” en lugar de “el área del cua-drado construido…”.

18. P = 16 cm; 2L + L + 1 cm = 16 cm; L = 5 cm,el lado no congruente mide 6 cm. h2 = (5 cm)2 – (3 cm)2; h = 4 cm; A = 12 cm2.

19. Sí, puede ser cierto. La diagonal de la panta-lla mide 53,34 cm, pero los lados miden me-nos por ser los catetos de un triángulo rec-tángulo isósceles que tiene por hipotenusaa la diagonal de la pantalla. Si los controlesestán en un costado, y no debajo de la pan-talla, es seguro que el televisor entra en labiblioteca. Si bien no es necesario calcular las dimen-siones del televisor para responder, es posi-ble estimar que la pantalla tiene aproxima-damente 38 cm de alto .

20. a. 36 cm2 – 25 cm2 = 11 cm2

b. No, porque = 3,325 y 3,3252 = 11,055625; supera a 11 y 13,32es mayor.Otra manera de pensarlo es 3,3166 < ◊1`1 << 3,3167 y, por lo tanto, el perímetro estácomprendido entre 13,2664 y 13,2668, queson menores que 13,30. En realidad, el valores muy próximo a 13,3 y es menor que13,32, pero no es mayor que 13,3.

21. a. Sí. El cuadrilátero tiene dos ángulo rectos,pues MN es perpendicular a MP y QP es per-pendicular a MP (MJ y JP se consideran ali-neados). Dos rectas perpendiculares a unatercera recta son paralelas entre sí; por lotanto, MN es paralela a QP. Como el cuadri-

13,304

b◊5`3`,`3`4~2

2a

látero tiene un par de lados opuestos para-lelos, es trapecio.b. El triángulo NJQ es rectángulo pues |N

™JQ| + |Q

™JP| + |N

™JM| = 180° y

|Q™JP| + |N

™JM| = |Q

™JP| + |J

™QP| = 90°, pues el

triángulo QPJ es rectángulo y, por lo tanto,|N

™JQ|= 90°.

c. Área MPQN = Área REA NMJ + Área QPJ +

+ Área NJQ (t + r) ; Área NMJ =

= Área QPJ = t · y Área NJQ = s ·

Entonces, (t + r) = t · + t · + s · ; aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, re-sulta t2 + r2 = s2.

22. Episodio 7El lado del segundo cuadrado debe medir◊2. La base del tercer cuadrado mide 2 y ladel último mide ◊8. Se obtienen los números que correspondena las raíces cuadradas de potencias de 2.

23. a. I. Se construye un triángulo rectángulocon catetos de 1 u; su hipotenusa es AB. II. Se construye un triángulo rectángulo decatetos AB y BC; su hipotenusa es AC. III. Se construye el triángulo rectánguloACD; sus catetos son AC y CD. IV. En el triángulo rectángulo ADE, la hipote-nusa es AE.b. |AB| = ◊2 u; |AC| = |◊3 u|; |AD| = |◊4 u;|AE| = ◊5 u. c. Tres triángulos más.

24. a. Por el boulevard, porque en todo triángu-lo cada lado es menor que la suma de los o-tros dos.b. Por las avenidas Rivadavia y Ameghino,aproximadamente 13 cuadras. Por el Boulevard Sarmiento, aproximadamente 9 cuadras.c. Si se considera que cada cuadra mideaproximadamente 100 m, las distancias son de 1300 m y de 900 m, respectivamen-te, sin contar los cruces de las calles.

25. a. P = |DF| + |FG| + |DG|; entonces, P = 4u + 3u + 5u; P = 12u.b. La diferencia (xF – xD) es el valor de la me-dida del segmento DF.c. La diferencia (yG – yF) es el valor de la me-dida del segmento FG.

26. a. La ubicación del sistema de coordenadases arbitraria. Si se desea facilitar la tarea ycomparar con lo realizado antes, convienecolocar el origen (0; 0) en la plaza de Boule-vard Lavalle y Av. Mitre –los ejes coincidirán

s2

r2

r2

(t + r)2

s2

r2

(t + r)2

con las avenidas Rivadavia y Mitre, respecti-vamente– y tomar una cuadra como unidad. b. Sí, pues, si bien x2 – x1 y x1 – x2 sonopuestos, al utilizarlos para calcular la dis-tancia, es necesario elevar estas diferenciasal cuadrado y (x2 – x1)2 = (x1 – x2)2.

27. a. Distancia AM = ◊(`–`4`,`5` `–` `1`)2 `+` `(`–`4`,`5` `–` `1`)2;entonces, distancia AM = ◊2 · 5,5.

b. Distancia BM = – 12

+ – 12

; en-

tonces, distancia BM = , o bien distancia

BM = ◊2.

c. Distancia CM = – 12

+ – – 12

;

entonces, distancia CM = ◊2.

28. Distancia PT = ◊8`5. Distancia GT = ◊4`6`,`2`5.Distancia GP = ◊3`7`,`2`5.Perímetro = ◊8`5 + ◊4`6`,`2`5 + ◊3`7`,`2`5; el perí-metro es aproximadamente 22,12.Si bien no es necesario para realizar el cálcu-lo, es posible que algunos alumnos ubiquenlos puntos en un sistema de ejes coordena-dos.

29. No. Es suficiente que la distancia entre dospuntos sea diferente.|MT| = 2 y |TN| = ◊(`3` `–` `9`)`2 `+` `(`–`4` `–` `(`–`2`)`)2 = = ◊4`0. También puede argumentarse queM y N están alineados, pues tienen la mis-ma coordenada x, pero S y T no lo están.

30. a. Los tres puntos están a distancia 4 del origen.b. (–4; 0), (0; –4), (–2◊2; 2◊2), (–2◊2; –2◊2).Se pueden encontrar infinitos puntos más.Todos los puntos que cumplen esta condi-ción pertenecen al lugar geométrico de lospuntos del plano que distan 4 del origen decoordenadas. c. Son los puntos de la circunferencia concentro en el origen de coordenadas y radio4.

d. El punto P pertenece a la circunferenciatrazada.

4–4

–4

4

52

b34

ab34

a

12

18

b34

ab34

a

e. Q es un punto interior a la circunferenciatrazada, pues su distancia al origen de coor-denadas es menor que 4.

31. El propósito de esta actividad es favorecer laautoevaluación sobre el trabajo realizado.

32. a. Sí. 252 = 242 + 72

b. Sí. 252 = 202 + 152

c. No. 192 ≠ 112 + 15,52

d. No. 102 ≠ 82 + 72

e. Sí. 32 = ◊2`2 + ◊72

33. a. |AC| = 25b. |BC| = ◊24c. |AC| = ◊74d. |BC| = 3e. |BC| = 6

34. a. c2 = ◊h`~2 `–` `c12, siendo c1 y c2 los catetos y h,

la hipotenusa.b. h2 = c2 + c2 = 2c2, siendo c los catetos y h,la hipotenusa.c. h = ◊2`c~2 = c◊2 y, entonces, c = .

35. Se necesitan (2 · 6 + 2 · 2,5 + 2 · 1 + + 2 · ◊2`,`5`2 `+` `~1~2) m de caño; aproximada-mente, 24,39 m.

36. |AB| + |BC| + |AC| = 112 cm, o sea, 7 |AC| = 112 cm; |AC| = 16 cm.Perímetro de la región sombreada = = 48 cm + 24 cm + 24 cm + 8 cm = 104 cm.El área de la región sombreada se puedepensar como la diferencia entre las áreas de los triángulos o como área ABC == · 16 · ◊4`8`2 `–` `82 Æ 201 cm2.

37.

a. |A™EP| = |B

™ER|, pues, como ABD es un

triángulo isósceles, |D™AE| = |D

™BE| y |A

™PE| =

= |E™RB| = 90°.

b. Sí. Las relaciones entre los ángulos seconservan.c. Congruentes, dado que tienen sus ángu-los congruentes y un par de lados con-gruentes.

38. Volumen prisma hexagonal = superficie delhexágono · h.V. prisma = 32 · 6 · · 10 = 26611,2 mm3.Volumen del cilindro = superficie del círculo · h.V. cilindro = p · 62 · 10 = 1130,97 mm3.

27,722

D

AE

PR

M B

34

34

h

◊2

39Matemática Secuencias didácticas y soluciones

40

V. de cada tuerca = 25.481 mm3; V. de10.000 tuercas = 254,810 dm3 de hierro.Es posible evaluar cómo afectan o no el re-sultado final distintas aproximaciones enlos cálculos. Además, como las tuercas noson perfectas, para que se puedan fabricar10.000, es necesario aproximar por excesoel volumen del prisma hexagonal y, por de-fecto, el volumen del cilindro calado en elinterior de cada pieza.

39. h = ◊(`1`2` `c``m)2 `–` `(` `6` `c`m)2; h mide aproximada-mente 10,39 cm.

40. a. No, porque, en la cara, AB es altura y nopuede medir lo mismo que la arista.b. Siendo a la medida de una de las aristas:

Se calcula la altura h de una cara:

h = a2 – 2

; h = a .

Se calcula la altura H de la pirámide:

H = a2

– 2

Entonces, H = .

41. a. El volumen del tetraedro es V = BH, donde B es el área de una cara y H, la alturadel tetraedro.

B = · a · h’ = · a · a · = a2 · , donde

a es la arista y h’, la altura de la cara.

Considerando el triángulo rectángulo for-

mado por la altura del tetraedro, la altura h’

de una cara lateral y de la altura h’ de la

base, resulta h’2 = H2 + y H = ◊2 · h’.

V = a2 · · · ◊2 · h’ = · a3

Esta fórmula también puede obtenerse pen-sando que el volumen de un tetraedro dearista a es la tercera parte del volumen deun cubo, donde a es la diagonal de una cara.

V = L3 = · = = · a3

Si la arista es de 10 cm, el volumen es deaproximadamente 118 cm3. b. Para que el envase tenga 1 litro,

1000 cm3 = · a3 y a = 3 y la arista

debe medir aproximadamente 20,4 cm.Este problema permite profundizar las rela-ciones entre volúmenes de cuerpos, aplicarpropiedades de las operaciones y utilizar la

12.000◊2

◊212

◊212

a3

6◊2

a3

(◊2)3

13

13

◊212

23

◊34

13

23

h’2

9

13

◊34

◊32

12

12

13

a◊2

ba2

ab◊32a

◊32

ba2

a

calculadora para aproximar el resultado decálculos con irracionales.

42. Si |h| = 15 cm y el diámetro es de 25 cm, el

radio del sector circular que permite cons-

truir el cono es r = h2 + 2

; r mide apro-

ximadamente 19,53 cm.

43. Si A = (–6; –2)'B = (0; –2)'C = (0; 6): Distancia A, B = ◊(`–`6` `–` `0`)`2 `+` `(`–`2` `–` `(`–`2`)`)2 = 6;distancia B, C = ◊(`–`2` `–` `6`)`2 = 8 y distancia A, C = ◊(`–`6` `–` `0`)`2 `+` `(`–`2`` `–` `6`)2 = 10.La medida del perímetro es 24. Como el ladoAB es paralelo al eje x y el lado CB está sobreel eje y, el ángulo B es recto y se puede cal-cular el área tomando estos lados como ba-se y altura del triángulo; la medida del áreaes 24.

44. Cualquier punto de la mediatriz del seg-mento que determinan esos puntos; porejemplo, (–5; 4), (–5; –2). Además, debe con-siderarse que el lado AB no es necesaria-mente el lado distinto y el punto C podríatener, por ejemplo, coordenadas (–3; –3). Porlo tanto, existen infinitas respuestas distin-tas.

45. a. M = (0; –6)b. (4; –2), (–4; –2), (2◊3; 0), (–2◊3; 0)

46.

|AT| = ◊10 y |TD| = 3◊10El triángulo ATD es rectángulo en T, pues(◊1`0)2 + (3◊1`0)2 = 102.

47. a. F: 2n2 + 6n + n + 3 – n2 – 7n = n2 + 3; paran = 1, es 4 ≠ 3.b. V: 3 · n – 3 + n2 – 2 · n + 1 = n2 + n – 2 = 0 sin = 1.c. V: n2 + 2 · n + 1 – n2 + 4 · n – 4 = 6 · n – 3 == 3 · (2 · n – 1) es múltiplo de 3 para todo nentero.d. F: si n = 0; (n + 1)2 = (n – 1)2

BT

A

C

D

5–5

–5

B

C

A

5

bd2

a

48. Siendo O el centro de la circunferencia, y OAy OB, radios, |

™3| = 180° – 130° = 50° |

™4| =

= = 65°; |™2| = |

™4| = 65° y

|™1| = 25°, pues |

™1| + |

™2| = 90°.

49. AB y BC son bases medias del triánguloMQN; por lo tanto, paralelas a los lados; en-tonces, AMCB paralelogramo.

T. P. Nº 8 | Organización de datos y predicciones con números

1. Para relacionar los datos de la tabla con losdatos del gráfico, deben averiguarse los án-gulos que representan las distintas propor-ciones de cada dato con el total respectivo.a. Si el total por distribuir es 360°, corres-pondiente a los 991 votos considerados, al candidato A le corresponderá un ángulo A = 360 · 102 : 991 „ 37,1°. Así, se obtiene B = 109°; C = 90°; D = 51° y E = 73°.b. En este caso, el porcentaje expresa la proporción respecto del total. Buscando losángulos, N = 360 · 35 : 100 = 126°; L = 72°;M = 72°; C = 54°; O = 36°.c. Es análogo al caso b. A = 72°; S = 90°; E = 90°; T = 36°; O = 72°.Debe analizarse ahora la existencia de estosángulos en los distintos gráficos. El gráfico Icorresponde a los datos en a.; el II, a los da-tos en b., y el III, a los datos en c.

2. a. Sí.b. Sí, pues el “promedio” es 1000 mm; pue-de haber llovido más, o menos.c. No, no es lo habitual, pero puede ocurrir;ha sucedido antes.d. Sí, a la zona de los valles, pues la mediasupera los 10° y no tiene diferencias térmi-cas importantes.

3. a. Creció el porcentaje de ancianos en rela-ción directa con la esperanza de vida al na-cer. Podríamos buscar las causas, por ejem-plo, en los adelantos de la medicina. Decre-ció el porcentaje de jóvenes en relación conel decrecimiento de la tasa de fecundidad.También decreció el porcentaje de extranje-ros en relación con las corrientes migrato-rias que tuvieron su apogeo hasta la prime-ra mitad del siglo XX.b. Entre 1869 y 1914.c. A partir de 1970, la tendencia indica quela esperanza de vida se incrementa 3 pun-tos cada 4 años, por lo que el indicador de-bería ser de aproximadamente 75 años.d. Preguntas acerca de edad, nacionalidad,cantidad de hijos.

(180° – 50°)2

mentaron en los primeros tres meses y des-

pués decrecieron hasta casi desaparecer.

b. Se toman escalas distintas para represen-

tar la cantidad de brotes.

c. En el primero, la incidencia de la infección

parece mucho mayor que en el segundo.

10. En el gráfico, parece que en 2002 el consu-

mo de carne fue mayor que en 1989, pero

analizando las cifras se ve que esto no es a-

sí. Si una “vaca” representa 25 kg de carne,

en 2002 sólo tendría que haber 2 “vacas”.

11. La escala vertical, en el primer gráfico, es 0,7

cm cada 100 brotes; en el segundo gráfico,

es 0,4 cm cada 100 brotes.

12. a. Por ejemplo, podría deducirse rápidamen-

te que la exportación de cereales y de resi-

duos alimentarios es preponderante. Es in-

teresante, en la interpretación de este gráfi-

co, distinguir que se registra el “ingreso”

debido a la exportación y no la “cantidad”

de producto exportado.

b. El valor es el 21% de US$13.620.653.668,

o sea, aproximadamente, US$286.033.727.

c. Según lo que se pretenda mostrar, po-

drían asociarse los datos de distintas for-

mas, sumando sus porcentajes, representa-

dos en un sector común.

13. a. I. La opción es el gráfico de barras. La elec-

ción de las escalas convenientes no es úni-

ca; a veces, depende de cómo se pretende

mostrar el suceso y, a veces, del espacio des-

tinado al gráfico. En el eje vertical, es impor-

tante que la unidad permita distinguir la va-

riación entre los litros consumidos en los

distintos años. Una posibilidad es conside-

rar una unidad cada 5 litros de leche. Por

ejemplo, 5 litros de leche representados por

2 cm. El problema es el “alto” del gráfico.

Para evitarlo, puede hacerse coincidir el eje

horizontal con determinado valor de la va-

riable por medir; en este caso, podría ser 30

litros y, a partir de ese “origen”, elegir la re-

presentación del litro de leche como unidad;

por ejemplo, un litro = 2 cm.

II. La opción es un gráfico de sectores respe-

tando la proporción de los porcentajes da-

dos. Sin embargo, como éstos no suman

100, este gráfico no puede realizarse.

III. La opción es un gráfico de barras. Elegir

la escala según lo analizado en I.

b. Se sugiere interpretar los gráficos según

consignas referidas a qué se pretende mos-

trar, de cuánto espacio se dispone, etcétera,

además de evaluar la conveniencia de unos

u otros según dichas consignas.

c. Seguir las consignas de a.

14. a. No. El consumo per cápita representa el

promedio de consumo, pero no el consumo

real de cada habitante, que podría ser muy

inferior al promedio.

b. Pueden obtenerse conociendo las ventas

dentro del territorio y la cantidad de habi-

tantes.

c. El consumo en la Argentina es más del

doble del consumo europeo y muy alto con

respecto al consumo mundial. En muchos

lugares, el consumo no es significativo o no

existe.

15. a. Los profesores no se equivocan, pero ha-

cen una interpretación parcial de los datos.

b. Deberían tenerse en cuenta el promedio,

la nota más frecuente y el porcentaje de

aprobados.

16. a. Ésta es una buena oportunidad para com-

parar las distintas calculadoras que conviven

en el aula.

b. En este ítem, interesa revisar el trabajo

realizado y ampliar el análisis.

17. No. Los valores que halla no son correctos.

Los correctos son éstos: Moda: 400 (valor de

mayor frecuencia). Media: 394 = (370 · 3 +

380 · 6 + 390 · 6 + 400 · 8 + 410 · 5 + 420 · 2)

: 30. Mediana: 395 (promedio entre los valo-

res de lugar 15 y 16).

18. b. Seguramente, optarán por aquella cuyas

letras se repiten menos o por la menos co-

nocida.

c. Las vocales, pues todas las palabras tie-

nen por lo menos una.

19. a. Sólo se trata de anticipar si algunas letras

aparecen con mayor frecuencia que otras.

b. E; A; O; L; S; N; D; R; U; I.

20. a. Espacio muestral: conjunto de letras del

texto. Suceso elemental: que aparezca la le-

tra a o la b.

b. Probabilidad de que aparezca la n: 0,07.

Probabilidad de que aparezca la b: 0,009.

c. Sí, pues intervienen las mismas letras.

d. No, pues la probabilidad no implica certe-

za. Por ejemplo, la palabra “mugir” no sigue

las tendencias de la tabla.

21. b. Probablemente, en una primera instan-

cia, los números fueron elegidos al azar.

Después del juego, la experiencia indicará

que hay sumas que aparecen más veces que

otras.

c. Los números convenientes son los

centrales.

41


4. Es probable que los resultados hayan sido

distintos, dada la disminución de la tasa de

fecundidad.

5. a. La población escolar constituye una

muestra con características particulares; sus

encuestados corresponden, en general, a un

mismo barrio, que no es representativo de

“todos” los barrios, aun dentro de la ciudad

de pertenencia, y es menos representativa

de poblaciones de distintas regiones

del país.

b. Dependerá de lo conversado en el proble-

ma 4. Se sugiere conversar acerca del número

posible y conveniente de encuestados para

obtener resultados que permitan una gene-

ralización dentro de la escuela.

6. a. Una alternativa es ordenar las notas

de menor a mayor, con las repeticiones

de notas convenientes. Otra, una tabla

de frecuencias o un diagrama como los

siguientes:

Nota Frecuencia Nota Frecuencia

2 6 2 //////

3 8 3 ////////

4 7 4 ///////

5 4 5 ////

6 3 6 ///

7 4 7 ////

8 5 8 /////

9 5 9 /////

Total 43

b. Aprobaron 17 alumnos.

c. Desaprobaron 26 alumnos de un total de

43, o sea, un 60,47%.

7. a. En los ítem a. de los problemas 4 y 6.

b. Ver ítem a. del problema 6.

c.

Nota Frecuencia Frecuencia expresada

relativa como porcentaje

2 6 : 43 = 0,14 14%

3 0,19 19%

4 0,16 16%

5 0,10 10%

6 0,07 7%

7 0,10 10%

8 0,12 12%

9 0,12 12%

8. A modo de ejemplos:

a. Número de alumnos por aula en una es-

cuela.

b. Altura de los habitantes de una pobla-

ción.

c. Nacionalidad de los habitantes de una

ciudad.

9. a. Representan la misma información. Se

observa que los brotes de fiebre aftosa au-

42

22. b.

Conviene ubicarlas alrededor del 7, e in-

cluso repetirlo.

No puede garantizarse un resultado, ya

que es un juego de azar.

Para observar todas las alternativas, pue-

de confeccionarse una tabla de posibilida-

des (la zona grisada corresponde a las su-

mas posibles, según salgan los dados).

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

23. Sebastián tiene razón. En la tabla, se obser-

va que la suma 7 puede presentarse en 6 ca-

sos diferentes.

24. a. 5 · 4 · 3 = 60 números posibles, pues exis-

ten 5 posibles cifras para las centenas; lue-

go, quedan 4 para las decenas y, para las

unidades, sólo 3.

b. Para cada cifra, se cuenta con las 5 posibi-

lidades: 533 = 125 números posibles.

c. En el ítem a., 5 · 4 · 3 · 2 = 120. En el

ítem b. 544.

25. a. En ambos casos, que la suma de ambos

dados dé 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ó 12.

b. Casos favorables para sacar 2: 1.

Casos favorables para sacar 6: 5.

Probabilidad de sacar 2 = .

Probabilidad de sacar 6 = .

26. El propósito de esta actividad es favorecer la

autoevaluación sobre el trabajo realizado.

27. Episodio 8

En la ventana de la izquierda, pueden apare-

cer 4 símbolos en cada uno de los 3 cubos.

Hay 4 casos favorables entre 64 posibles. En

la ventana de la derecha, pueden aparecer 3

símbolos, pero hay 4 cuerpos. La probabili-

dad de que todos sean iguales es 3 casos fa-

vorables entre 81 casos posibles. Conviene

la ventana de la izquierda.

28. Los ángulos correspondientes están dados

en la siguiente tabla:

Ángulo en grados

Merluza 139

Calamar 119

Polaca 26

Anchoíta 5

Abadejo 6

Otros 65

5

36

1

36

29. La moda es siempre uno de los valores que

toma la variable, porque es el valor de la va-

riable de mayor frecuencia.

30. Usando la tabla del problema 22:

Probabilidad de sumar 7 = = .

Probabilidad de que en ambos salga un par

= = .

Conviene la segunda opción.

31. a. „ 0,51.

b. „ 0,32.

c. „ 0,13.

d. „ 0,33.

32. a. En cada caso, calculamos el consumo y el

importe promedio respecto de los bimestres

registrados:

Año 2001: Consumo promedio = 144,3. Im-

porte promedio = 37,8.

Año 2002: Consumo promedio = 53,83. Im-

porte promedio = 23,1.

b. No, pues para el mismo mes, en años dis-

tintos, se registran diferencias significativas

de consumo.

33. a. Probabilidad de que cada una tome su

campera: un caso favorable entre 6

posibles = .

b. Probabilidad de que se lleven todas cam-

peras cambiadas: dos casos entre 6 = . Es

más alta la probabilidad b.

34. a. –4

b. 4

c. 1

d. 3

35. a. –188,25

b. –198

c. 681.455,75

d. 190,775

36. a. –1 ≤ ≤ –0,4; 1 ≤ –x ≤ 2,5; 0,4 ≤ – ≤ 1

b. –1 ≤ ≤ –0,4; 1 ≤ , con y > 0

≤ 1, con y > 0; – ≤ ≤ 0

37. Suponemos m racional y m ≠ 0:

a. m < 0

b. m > 0

38. Ejemplificando en a.:

Decimales: –1,01; –1, 05; –1,001

Periódicos: –1, 01¤; –1, 04¤…

y

x

2

5

x

y

1

y

1

x

1

x

1

x

1

3

1

6

231

706

90

706

229

706

358

706

1

4

9

36

1

6

6

36

39. a. x = –

b. x = –

c. n = 3 ó n = –3.

d. Ningún x verifica la ecuación.

40. a. x > –

b. x < –

c. x >

41. Siendo la suma de las medidas de los ángu-

los interiores de un polígono = 180 · (n – 2),

como el polígono es regular, 180 · (n – 2 ) =

= 108 · n; entonces, 180n – 108n = 360, por

lo cual n = 360 : 72 = 5. El polígono tiene

5 lados.

42. Suma de las medidas de los ángulos

interiores = 180 · (n – 2). Suma de las medi-

das de los ángulos exteriores = 360. Luego,

180n – 360 = 2 · 360; entonces, n = 6.

43. a. No.

b. No.

c. Sí, ambos son triángulos rectángulos de i-

gual hipotenusa.

44. a y b. Sí. Verifican la igualdad pitagórica.

c. No, pues no la verifica.

45. a. |AC| = ◊8 o, en forma aproximada, 2,8.

b. |BC| = 12

c. |AC| = ◊7, aproximadamente, 2,6 .

46. a. y = x; y = x + 5; y = 4

b. En todos los casos, hay infinitas posibili-

dades.

47. a.

b. ¿Hay rectas paralelas? ¿Y perpendicula-

res? ¿Pasan todas por un mismo punto?

¿Cuáles “crecen”? ¿Cuáles decrecen?

2

3

3

8

1

4

1

4

7

2

3

2

–3 6 x

y

–6

6

12

r1

r4

r3

Matemática - Longseller · tres momentos básicos del trabajo en la clase:revisión,desarrollo y...

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