Ao que se sabe, as secções cônicas começaram a ser estudadas pelo menos no século III a.c, pelo matemático grego Apolônio, muito embora tenham sido particularmente utilizadas pelos matemáticos e astrônomos do século XVII quando estes procuravam equacionar movimentos de vários objetos naturais.

No início do Renascimento, Nicolau Copérnico afirmava que as órbitas dos planetas então conhecidos eram circulares. Algum tempo mais tarde, Johannes Kepler e depois Edmund Halley descreveram as órbitas de planetas e cometas, recorrendo à el ipse. Outros corpos celestes percorrem trajetórias em forma de hipérbole. Galileu Galilei explicou o movimento de projéteis na Terra por intermédio da parábola.

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Fotografia da edição de “Seções Cônicas” de Apolônio preparada por Isaac Barrow em 1675.

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I. NewtonPrincípios Matemáticos. 1686

Descrever uma cônica que deverá passar por cinco pontos dados.

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El ipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a soma das distâncias a dois pontos f ixos é constante.

É O LUGAR GEOMÉTRICO OU O CONJUNTO DE PONTOS P DE UM PLANO, TAIS QUE

add PFPF 211

=−

            Hipérbole é a curva formada por todos os pontos tal que o módulo da diferença da distância de qualquer ponto da curva para um ponto fixo em uma reta (foco) e a distância do mesmo ponto da curva para o outro ponto da reta (outro foco) é sempre constante e vale 2a, isto é, | PF1 – PF2 | = 2a.

        Parábola é a curva formada por todos os pontos da curva eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta diretriz, isto é, dPF = dPd.

Parábola

POSIÇÕES RELATIVAS DE TRÊS PLANOS

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Resolução de Sistemas Lineares por

escalonamento

=+=+

222

111

c y b x a

c y b x a

==

211212

121221

.cb- y .bb - x .ba-

.cb y ..bbx .b a +==+

211212

121221

.cb- y .bb - x .ba-

.cb y ..bb x .b a

.cb-.cb )x .ba-.b (a 21121221 = .ba-.b a

.cb-.cb

1221

2112=x

=+−=

212121

121221

.ca y .ba x .aa

.ca y ..ba -x .a a- +=+=

212121

121221

.ca y .ba x .aa

.ca- y ..ba -x .a a-

.ca - .ca y ).ba-.b(a 12211221 = .ba-.ba

.ca - .ca

1221

1221=y

O RECURSO DA “GEOMETRIZAÇÃO”

a1 b1

a2 b2

c1 b1

c2 b2

x=a1 b1

a2 b2

a1 c1

a2 c2

y=

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Resolvendo o Sistema Genérico

a1 x + b1 y + c1 z = d1

a2 x + b2 y + c2 z = d2

a3 x + b3 y + c3 z = d3

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A Expansão ou Teorema de Laplace O matemático francês Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), a partir de estudos como o que temos feito, formulou uma hipótese que se demonstrou verdadeira denominada Expansão de Laplace. Laplace demonstrou que o valor do determinante de qualquer ordem quadrada pode ser encontrado aplicando-se o método estudado tomando-se qualquer fila (linha ou coluna) do determinante e não necessariamente a primeira. De forma geral: O valor de um determinante é igual a soma dos produtos dos elementos de uma de suas f i las qualquer pelos seus respectivos cofatores.  

11

3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111

333231

232221

131211

.)1(.)1(.)1(aa

aaa

vaa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa+++ −+−+−=

3332

232211 .)1(aa

aa+−11A

COFATOR No desenvolvimento do determinante:

=COFATOR do elemento 11a

De forma geral o cofator do elemento a i j, indicado por é igual ao produto de (-1) i+J pelo determinante construído pela retirada da l inha i e coluna j do determinante original 

11A

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Além de dar uma notação e linguagem próprias ao determinante, foi o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789/1857) quem o definiu completamente pela primeira vez, bem como definiu alguns de seus elementos principais.

A regra de Sarrus ou do Octógono Estrelado.

O método de resolver sistemas lineares através de determinantes ficou conhecido como regra de Cramer porque foi o matemático suíço Gabriel Cramer (1704/1752) que o tornou conhecido através de seus livros.O nexo entre a resolução de sistemas e de determinantes fez com que se desenvolvesse uma série de propriedades de modo a facilitar os cálculos.

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Leibnitz, Maclauren e Cramer trabalharam com determinantes para resolver o sistema de equações, porém não visualizavam ainda o determinante como um elemento independente no cálculo matemático. Para eles não passava de um instrumento para o cálculo de sistema de equações. A idéia de "determinantes" estava, pois, "embutida" no cálculo do sistema de equações. Apenas no século XIX, aproximadamente 100 anos depois é que o conceito de determinantes tornar-se-ia independente da teoria de equações e adquiriria vida própria. E quem tirou a noção de determinante "de dentro" da teoria de equações foram os matemáticos Augustin-Louis Cauchy (1789/1857, francês) e Carl Gustav Jacobi (1804/1851, alemão).Igualmente o matemático britânico Arthur Cayley (1821/1895) em 1843 aplicava a linguagem de determinantes para a geometria analítica, deduzindo as equações da reta e do plano através de determinantes.

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UMA RETA POR DOIS PONTOSDados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) distintos no plano, existe uma única reta

que passa por estes pontos de equação ax+by+c=0, a, b e c não são todos nulos. Como A e B estão na reta podemos escrever:

axA+ byA+c = 0axB+ byB+c = 0

Podemos escrever o seguinte Sistema: ax+by+c=0 axA+ byA+c = 0 axB+ byB+c = 0

QUAIS SÃO AS VARIÁVEIS DO SISTEMA? a, b e cTrata-se de um Sistema Homogêno: SPD ou SPI. Como a, b e c não são todos

nulos o sistema é SPI, ele admite soluções não triviais, de modo que o determinante do sistema deve ser zero:

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UM CIRCUNFERÊNCIA POR TRÊS PONTOS

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e C (xC, yC) distintos e não colineares do plano. Existe uma única circunferência que passa por estes pontos de equação

a(x 2+y 2)+bx +cy +d = 0, a, b, c e d não são todos nulos. Como A, B e C estão na circunferência podemos escrever:

a(xA 2+ yA 2)+bxA +cyA +d = 0a(xB 2+yB 2)+bxB +cyB +d = 0a(xC 2+yC 2)+bxC +cyC +d = 0

a(x 2+ y 2)+bx +cy +d = 0a(xA 2+ yA 2)+bxA +cyA +d = 0a(xB 2+yB 2)+bxB +cyB +d = 0a(xC 2+yC 2)+bxC +cyC +d = 0

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UMA CÔNICA ARBITRÁRIA

A EQUAÇÃO GERAL DE UMA SEÇÃO CÔNICA ARBITRÁRIA NO PLANO – PARÁBOLA, ELIPSE, HIPÉRBOLE – É DADA POR

ax 2+by 2+cxy+dx +ey +f = 0, a, b, c, d, e e f não são todos nulos.

Para encontrar a equação da cônica necessitamos dos valores das variáveis a, b, c, d, e e f.

Quantos pontos serão necessários para determinar a equação da cônica?

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CONTEXTO:

Um astrônomo que deseja determinar a órbita de uma asteróide em torno do Sol coloca um sistema de coordnadas cartesianas no plano da órbita, com o Sol na origem. Ao longo dos eixos são usadas unidades astronômicas (1 UA= distância média da Terra ao Sol = 149.504.200 km).Pela primeira lei de Kepler, a órbita deve ser uma elipse, de modo que o asrônomo faz cinco observações do asteróide…

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Problema: Aplicar a ideia desenvolvida para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos não colineares: A(1, 1, 0), B(2, 0, -1) e (2, 9, 2)

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