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Dracena
2018
1ª edição
Matemática em
com multiplano
RUBENS FERRONATO
Copyright © 2018 Ateliê da escrita
Direção
Roberto Maluhy
Coordenação de produção
Larissa Prado
Capa e projeto gráfico
Marilice Viana
Editoração eletrônica
Marilice Viana, Victor Slovac Avila
Edição de texto
Ana Maria Onofre
Revisão
Vitor Hugo Silva
Imagens e vídeos
Rubens Ferronato
Av. Expedicionários, 1267, sala 102 – Centro
17900-000 – Dracena/SP
Tel. (11) 3031-9992
www.ateliedaescrita.com.br
Todos os direitos reservados.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ferronato, Rubens
Matemática em rede com multiplano / Rubens
Ferronato. -- 1. ed. -- Dracena, SP : Ateliê da
Escrita, 2018.
Acompanha Kit Multiplano
ISBN 978-85-63488-37-4
1. Aprendizagem 2. Educação - Finalidades e
objetivos 3. Educação especial 4. Educação inclusiva
5. Educação matemática 6. Matemática - Estudo e
ensino 7. Professores - Formação profissionais
8. Sala de aula I. Título.
18-16772 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Estudo e ensino 510.7
Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964
APRESENTAÇÃOMATEMÁTICA PARA TODOS, SEM DIFICULDADE
Era para ser uma ferramenta para ajudar estudantes cegos ou com
baixa visão a entender um conhecimento que é difícil para muitos
educandos, a Matemática, mas a criatividade do professor Rubens
Ferronato acabou por descobrir uma forma revolucionária de ensinar para
todos, de forma muito mais fácil, interativa, que trabalha
multissensorialmente e possibilita a compreensão dos processos.
Assim nasceu o Multiplano, que começou em um tabuleiro
improvisado de madeira compensada com furos e pinos, onde seria
possível representar operações matemáticas que pudessem ser montadas
pelos próprios estudantes. O desafio principiou com o intuito de educar
um único estudante cego, porque o professor Rubens se negou a aceitar a
ideia de que alguns conceitos da Matemática seriam impossíveis de se
ensinar a cegos, e provou que quem pensava assim estava errado.
O professor não imaginava que as aulas montadas especificamente
para aquele estudante acabariam contagiando toda a turma, que lhe pediu
para ensinar a todos com o Multiplano, já que era muito mais fácil
aprender Matemática com aquele tabuleiro. Sem perceber, o professor
Rubens estava praticando aquilo que hoje é tido como uma das grandes
tendências globais: o desenho universal, ou seja, um caminho que acolhe a
todos, abraçando toda a diversidade humana, com inclusão e acessibilidade.
O Multiplano é hoje um trabalho premiado e recomendado no Brasil e
no exterior, nascido da experiência prática da sala de aula, foco da tese de
mestrado de Rubens Ferronato e aprimorado em 18 anos de estudo.
Participou do Prêmio Tecnologia Social da Fundação Banco do Brasil em
2003; em 2005, foi escolhido pelo Prêmio Top Educacional Mário
Palmério, da ABMES; recebeu o prêmio Finep de Inovação em 2012; foi
escolhido pela equipe curadora do Museu do Amanhã, no Rio de Janeiro,
para participar da exposição “Inovanças – Criações à Brasileira”, em 2017;
participou como único finalista brasileiro do prêmio VIVA ldea, da Viva
Prêmios Schmidheiny, que promove o empreendedorismo na América
Latina; e, em 2018, o professor Rubens foi classificado entre os 50
melhores professores do mundo, no Global Teacher Prize, considerado o
Oscar da Educação.
Quebrar o paradigma de que a Matemática é difícil e repleta de
fórmulas para se memorizar, desde a Educação Infantil até o Ensino
Superior, é uma das conquistas do Multiplano em várias instituições que já
o adotaram e adotam. Despertar, no estudante e no professor, o
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/s5y7vZ
entendimento dos conteúdos, relacionando-os com a aplicação prática no
dia a dia, é outra conquista.
Assim descreve o próprio autor sobre os objetivos de sua invenção:
“Surge como auxílio para professores que visam trabalhar conteúdos
privilegiando os aspectos sintático (estrutural), semântico (significado) e
histórico-social (contexto histórico e social do período) nas dimensões
visual, auditiva e sinestésica que a disciplina apresenta, com o objetivo de
atingir o maior número possível de estudantes. A partir do momento em
que essas dimensões são contempladas em sala de aula, o estudante
percebe maior relação da Matemática com sua vida, despertando, assim,
seu interesse”.
Esses resultados podem ser aferidos em histórias de vida. O primeiro
estudante cego a utilizar o Multiplano, Ivã de Pádua, chegou a diretor de
Recursos Humanos do Hospital Universitário de Cascavel/PR, cargo que
exigia conhecimentos matemáticos elaborados. Outro exemplo é Lucas
Radaelli, também cego, que estudou desde os 12 anos com o Multiplano, e
hoje é programador da Google. Géssica Pereira também tem uma grande
história. Ela perdeu a visão durante os estudos e tinha o sonho de cursar
Engenharia Elétrica, que só foi possível graças ao uso do Multiplano. Hoje,
ela é a primeira estudante cega do Brasil a finalizar Mestrado em
Engenharia Elétrica.
Em um olhar “macro”, o Multiplano também traz benefícios a todos os
estudantes. Em Brejo Santo, no Ceará, por exemplo, a escola estadual Maria
Leite Araújo, que estava abaixo da média no IDEB, saltou para a maior nota
do Estado com 8 meses de Multiplano.
A BNCC E A MATEMÁTICA AO ALCANCE DAS MÃOS
“Lembrar não é reviver, mas refazer, reconstruir, repensar, com imagens e ideias de hoje, as experiências do passado. A memória não é sonho, é trabalho.”
Alfredo Bosi
Nos apropriamos da fala de Bosi (1994, p. 55), porém não na
perspectiva de passado e sim de futuro. Nós queremos assumir o trabalho
de projetar o amanhã a partir das experiências, circunstâncias e ideias de
hoje. Projetar o futuro não como sonho, mas como trabalho. E assim
entendemos a necessidade de propor, com cuidado e responsabilidade, uma
nova experiência de ensino-aprendizagem.
O Multiplano atende os desafios da sala de aula. Tornar a Matemática
acessível, em todos os sentidos, significa pensar num instrumento que
enxergue todos os estudantes, com suas necessidades especiais, como
protagonistas do próprio aprendizado. Esse é um projeto que realmente
torna a aprendizagem da Matemática universal, com oportunidades iguais
para todos, sem preconceitos, com vistas a diminuir as desigualdades sociais.
E o que isso tem a ver com a Base Nacional Comum Curricular? Tudo,
pois a BNCC, em seus pressupostos básicos, suas competências gerais,
enfatiza a busca pela construção de uma sociedade mais ética, democrática,
responsável, sustentável e solidária, que respeite e promova a diversidade e
os direitos humanos, sem discriminação de qualquer natureza.
ALUNOS AUTÔNOMOS, ALUNOS PROTAGONISTAS
Devido à mudança na concepção de sujeito e consequentemente na de
sujeito educativo, faz-se necessária a diversificação de estratégias e
abordagens educativas com a finalidade de contribuir para que o estudante
encare seu protagonismo no processo de aprendizagem e que o professor
deixe de ser o centro da atividade de ensino e assuma o papel de
articulador, um estrategista, e, por que não, de designer.
No papel de articulador, o professor passa a discutir a própria natureza
da educação e a fomentar a autonomia intelectual do estudante. Trata-se de
reconhecer que o objetivo fundamental da educação é a formação do
indivíduo autônomo: educar é ajudar o estudante a encontrar respostas às
suas perguntas, mas, antes disso, contribuir para que ele se desenvolva como
sujeito de sua história e agente de intervenção e transformação social.
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudantes se
deparam com desafios de maior complexidade, sobretudo devido à
necessidade de se apropriarem das diferentes lógicas de organização dos
conhecimentos relacionados às áreas. Tendo em vista essa maior
especialização, é importante, nos vários componentes curriculares, retomar e
ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no
contexto das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à ampliação de
repertórios dos estudantes.
Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia desses
adolescentes, oferecendo-lhes condições e ferramentas para acessar e interagir
criticamente com diferentes conhecimentos e fontes de informação.
(...) Grifo do autor BNCC, p. 58.
Com o uso do Multiplano, estamos apresentando uma nova forma de
relação entre professor e estudantes: primeiro, trazendo a ideia de
atividade tendo em vista a superação da recepção passiva por parte do
estudante e da transmissão passiva por parte dos professores, na maioria
das vezes; segundo, rompendo com a ideia de que o estudante ouve e o
professor fala. Esperamos motivar os estudantes a não só ouvir, mas a
pensar e, assim, passar a questionar, discutir, discordar e estarem dispostos
também a compartilhar conhecimentos e a aprender com seus pares.
COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para
solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar
descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo
do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a
capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos
conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos
diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria,
Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento,
sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a
perseverança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e
qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a
investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes,
para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo
argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias
digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos,
sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias
e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se
situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto
prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões,
utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas,
esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens
para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões
de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos,
sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de
indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para
responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas,
de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma
determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e
aprendendo com eles.BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Versão
Final. Brasília: MEC 19 mar. 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 25 mai. 2018.
A MATEMÁTICA NA BNCCTrabalhar os conceitos matemáticos de forma concreta, por meio da
experiência tátil, potencializa os processos cognitivos que envolvem
análise, síntese e crítica e que favorece o letramento em Matemática.
Conforme a BNCC (p. 263):
A Matemática cria sistemas abstratos, que organizam e inter-relacionam
fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados
ou não a fenômenos do mundo físico.
Esses sistemas contêm ideias e objetos que são fundamentais para a
compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e
argumentações consistentes nos mais variados contextos.
Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipotético-
dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um sistema de axiomas
e postulados, é de fundamental importância também considerar o papel
heurístico das experimentações na aprendizagem da Matemática.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do
letramento matemático1
45, definido como as competências e habilidades de
raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo
a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de
problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos,
procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento
matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos
matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e
perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que
favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a
investigação e pode ser prazeroso (fruição).
[…]
Os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de
desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados como formas
privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo o Ensino
Fundamental. Esses processos de aprendizagem são potencialmente ricos
para o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento
matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para
o desenvolvimento do pensamento computacional.
Referências bibliográficas
BOSI, E. Memória e sociedade: lembranças de velhos. 3. ed. São Paulo: Cia.
das Letras, 1994.
BRASIL. Ministério da Educação, Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, 2016.
MATURANA, H. Ontologia da realidade. Belo Horizonte: UFMG, 1999.
45 Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/ marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2017.
PARA TER SUCESSO COM O MATERIAL DE FORMA INCLUSIVA
Olá, professor!
Antes de iniciar o trabalho, seguem algumas recomendações para que obtenha o sucesso almejado
com a aplicação do Multiplano em sala de aula:
1. É importante que use uma linguagem clara, com informações detalhadas para que o estudante
compreenda e consiga fazer a relação com o cotidiano.
2. Não fique inseguro, nem mude seus procedimentos diante de um estudante cego ou com baixa
visão, apenas intensifique e dinamize o uso do Multiplano para abstração dos conceitos.
3. Ao utilizar o Multiplano com estudantes com deficiência visual, você perceberá que todos os
alunos da classe serão beneficiados, porque a ferramenta facilita a compreensão dos conteúdos
desenvolvidos.
4. Com o tom de voz adequado, leia para a classe os textos escritos na lousa, em cartazes ou outros,
de modo que o aluno cego possa apreender o que está sendo trabalhado.
5. Seja sempre cauteloso ao se comunicar com a classe, evitando fazer comparações que possam
gerar sentimentos de inferioridade.
6. Trabalhe todos os conteúdos de forma a não subestimar o potencial de aprendizagem dos alunos
cegos. Essa prática valoriza a autoestima dos estudantes com deficiência visual, fazendo-os
perceber que são capazes.
7. É importante para o professor que queira melhorar a qualidade do ensino reconhecer que o
estudante cego é um ser único, dotado de limitações e potencialidades como todos os outros.
8. Você vai perceber que, quanto mais os educandos se deparam com situações concretas de
aprendizagem, independentemente de terem ou não restrição sensorial, mais fácil conseguem
fazer suas abstrações.
9. Para o estudante cego, a utilização de materiais concretos torna-se imprescindível, haja vista que
tem no concreto, no palpável, seu ponto de apoio para as abstrações.
10. Lembre-se de que o tato e a audição são os órgãos dos sentidos mais preciosos e aguçados nas
pessoas cegas, pois é através da exploração tátil e da acuidade auditiva que entram em contato
com as coisas do mundo e obtêm a maior parte das informações.
11. Na medida do possível, dê sentido a tudo o que está sendo ensinado – os estudantes, sejam cegos,
sejam não cegos, necessitam entender o conteúdo e não apenas “decorá-lo”.
12. Procure relacionar as terminologias matemáticas à sua origem etimológica, pois isso reforça a
apreensão de conceitos, além de ampliar o vocabulário e facilitar o processo de compreensão de
palavras nas várias situações de aprendizagem e do cotidiano.
13. Peça ajuda, pesquise, se porventura surgirem dúvidas.
14. E lembre-se: o acesso a todos os conteúdos matemáticos, sistematicamente programados na
proposta curricular da instituição de ensino, é um direito dos estudantes para o exercício pleno de
sua cidadania; a subtração ou seleção restritiva desses conteúdos pode acarretar-lhes fragilidades
por toda a vida.
KIT MULTIPLANO
Compartimento superior: reservado para hastes, barras de Estatística, pinos, fixadores, elásticos e base de operações.
Compartimento inferior: reservado para os pinos identificados em Braille, contendo 10 pinos de cada algarismo, sinal ou letra.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/s5y7vZ
Multiplano Retangular: possui 546 furos distribuídos em 21 linhas e 26 colunas.
Pinos para diversas aplicações, como: fixador de elástico, indicador de posição, unidade de contagem, etc. Além disso, o pino com superfície esférica serve para indicar números positivos – intervalo fechado dentro dos números reais – e o pino de superfície plana é usado para números negativos – intervalo aberto de números reais –, entre outras aplicações.
Elásticos: são aplicados em figuras geométricas, como segmento de retas, em intervalos numéricos dos números reais, etc.
Multiplano Circular: possui 72 furos na circunferência, distribuídos de cinco em cinco graus. Além dos furos da extremidade, possui 12 furos no seu interior que representam a projeção do raio sobre os eixos, nos ângulos de 30°, 45° e 60° e um furo central.
Hastes para construção de sólidos geométricos (prismas, pirâmides).
Parábola: usada no plano cartesiano para representar o esboço de um gráfico de uma função de segundo grau.
Hastes trigonométricas para análise do comportamento das funções trigonométricas, como: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
Haste reta: usada no plano cartesiano para representar o esboço de um gráfico de função do primeiro grau, raio nas figuras circulares, etc.
Barras: aplicadas, em conteúdos de estatística, na montagem de gráficos de barras, desenho de figuras planas, etc.
Base de operações: aplicado para identificação de pequenos a grandes números, operações, etc.
Fixador de Multiplano: usado para o agrupamento de duas ou mais placas do Multiplano.
SUMÁRIOOperações de forma primitiva ........................................................................... 15
Tabuada ............................................................................................................ 16
Divisores ............................................................................................................ 18
Números primos ................................................................................................ 20
Números quadrados ........................................................................................... 20
Números triangulares ........................................................................................ 22
Raiz quadrada ................................................................................................... 23
Produtos notáveis .............................................................................................. 24
Figuras geométricas ........................................................................................... 26
Retas paralelas .................................................................................................. 27
Retas concorrentes ............................................................................................ 28
Planos côncavos e convexos ............................................................................... 29
Ângulos ............................................................................................................. 30
Triângulos .......................................................................................................... 32
Triângulos congruentes ...................................................................................... 35
Elementos de uma circunferência ...................................................................... 35
Triângulo retângulo inscrito ............................................................................... 36
Figuras regulares ............................................................................................... 38
Desenhos de personagens, objetos, animais, mapas ........................................... 39
Figuras simétricas .............................................................................................. 41
Mosaicos ............................................................................................................ 41
Cálculo de área .................................................................................................. 42
Teorema de Pick ................................................................................................. 46
Stomachion ....................................................................................................... 48
Gráficos de Estatística ........................................................................................ 49
Operações com pinos identificados em Braille e em algarismos indo-arábicos ... 54
Plano cartesiano ................................................................................................ 57
Gráficos ............................................................................................................. 58
Intervalos numéricos .......................................................................................... 61
Intervalos infinitos ............................................................................................. 62
Inequações ........................................................................................................ 63
Divisão de polinômios ........................................................................................ 65
Localização de números decimais ...................................................................... 68
Gráfico exponencial ........................................................................................... 68
Curva do segundo e do terceiro grau no mesmo plano ....................................... 69
Cônicas .............................................................................................................. 69
Equações ........................................................................................................... 71
Matrizes ............................................................................................................. 72
Frações .............................................................................................................. 72
Sistemas lineares ............................................................................................... 81
Trigonometria .................................................................................................... 84
Pentágonos proporcionais .................................................................................. 86
Figuras espaciais ................................................................................................ 86
Pirâmides .......................................................................................................... 87
Base para operações .......................................................................................... 88
Desafio .............................................................................................................. 94
Matemática em REDE com multiplano | 15
Seguem algumas aplicações matemáticas, lembrando que não se
limitam aos exemplos apresentados.
OPERAÇÕES DE FORMA PRIMITIVAHabilidades
EF01MA06 Construir fatos básicos da adição e utilizá-los em procedimentos de cálculo para resolver problemas.
EF02MA05 Construir fatos básicos da adição e subtração e utilizá-los no cálculo mental ou escrito.
EF02MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4 e 5) com a ideia de adição de parcelas iguais por meio de estratégias e formas de registro pessoais, utilizando ou não suporte de imagens e/ou material manipulável.
EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10) com os significados de adição de parcelas iguais e elementos apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes estratégias de cálculo e registro.
Objetos de conhecimento
• Construção de fatos básicos da adição• Construção de fatos fundamentais da adição e da subtração• Problemas envolvendo adição de parcelas iguais (multiplicação)• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão: adição
de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e medida
Adição
6 + 4 = 10
Subtração
12 – 5 = 7
Multiplicação
5 × 3 = 15
Divisão
14 ÷ 4 = 3 e resto igual a 2
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/ypgxAj
16 | Matemática em REDE com multiplano
TABUADAHabilidades
EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10)
com os significados de adição de parcelas iguais e elementos
apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes
estratégias de cálculo e registro.
Objetos de conhecimento
• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão:
adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais
e medida
A tabuada vem sendo trabalhada nas escolas de um modo tal que não
surte o efeito esperado: os estudantes têm muita dificuldade em abstrair
esse conteúdo, uma vez que lhes são estipulados cem números a serem
decorados/memorizados, o que acaba gerando sentimento de impotência
frente a tantos algarismos.
Uma alternativa é que, antes de memorizá-la, o próprio estudante
construa a tabuada. Para isso devem inserir pinos no Multiplano em forma
de linhas e colunas e, a partir da contagem, será feita a anotação do
resultado. Quanto mais simplificada a tabuada se tornar para o estudante,
mais fácil será o seu reconhecimento como conhecimento cotidiano e,
consequentemente, mais facilitado será o seu processo de abstração.
Sendo assim, propomos mostrar aos estudantes apenas a quantidade
necessária de números dos quais ele precisa saber. Na resolução de
situações similares, bastará que ele aplique a propriedade comutativa da
multiplicação (a ordem dos fatores não altera o produto final). Por
exemplo: 2 × 3 é igual a 3 × 2. Acompanhe o exemplo a seguir.
Foi brincando com os pinos que aprendi a tabuada.
3 × 2 = 6 2 × 3 = 6
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/uV6c7u
Matemática em REDE com multiplano | 17
3 × 3 = 9 4 × 7 = 28 7 × 4 = 28
O professor pode trabalhar de acordo com a necessidade e a
maturidade da turma, sem, necessariamente, seguir um cronograma
pré-estabelecido.
A tabuada do 1 é desnecessária, uma vez que o algarismo 1 é
elemento neutro e, portanto, gera como produto o próprio número que
está sendo multiplicado.
Na tabuada do 2, seguindo a linha de raciocínio apresentada, pode-se
começar a partir do produto 2 × 2, seguindo a ordem sucessiva até 2 × 9,
não havendo necessidade de apresentar ao aluno o produto de 2 × 1.
A partir do momento que o aluno conseguir perceber que
2 × 3 = 3 × 2 = 6, a tabuada do 3 começa pelo produto 3 × 3, pois já se sabe
quanto é 3 × 2, seguindo, sucessivamente, até 3 × 9; assim como a tabuada
do 4 pode ser iniciada direto pelo produto 4 × 4, ..., 4 × 9; a do 5 pode
iniciar pelo produto 5 × 5, ..., 5 × 9, e assim por diante.
Nota-se, portanto, que, para aprender: a tabuada do 2, basta o aluno
assimilar oito produtos; a tabuada do três, sete produtos; a do quatro, seis
produtos; seguindo essa lógica até a tabuada do 9. No caso da tabuada do 9,
bastará que o estudante assimile o produto 9 × 9, levando em consideração
que os demais, utilizando-se da propriedade da comutação, já terão sido
aprendidos. Totaliza-se, assim, somente 36 produtos a serem assimilados
em vez de cem, como é feito costumeiramente.
6 × 9 = 54 9 × 9 = 81
18 | Matemática em REDE com multiplano
A tabela a seguir ilustra uma situação prática para o aluno assimilar
a tabuada:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
A área demarcada em azul representa os produtos que realmente
precisam ser trabalhados com os estudantes.
A tabela a seguir representa os dez números que a maioria dos alunos
têm dificuldade em assimilar, levando-se em consideração que a
dificuldade maior está concentrada a partir da tabuada do 6.
x 6 7 8 9
6 36 42 48 54
7 49 56 63
8 64 72
9 81
DIVISORESHabilidades
EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10)
com os significados de adição de parcelas iguais e elementos
apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes
estratégias de cálculo e registro.
Objetos de conhecimento
• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão:
adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais
e medida
Matemática em REDE com multiplano | 19
Para o estudo dos divisores de um número, podem-se fixar pinos
numa linha, na quantidade que represente o número. Após a montagem
dessa disposição, fazem-se tentativas para encontrar outras formas de
montar retângulos ou quadrados.
Número 6 representado de duas maneiras: 1 × 6 e 2 × 3. Portanto, os divisores de 6 são os números {1, 2, 3, 6}.
Número 16 representado de três formas: 1 × 16; 2 × 8 e 4 × 4. O 4 × 4 indica que o 16 é um
número quadrado e seus divisores são: {1, 2, 4, 8, 16}.
Número 12 representado de três maneiras: 1 × 12; 2 × 6 e 3 × 4. Seus divisores: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Número 36 representado de cinco formas: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 e 6 × 6. Note que a representação 6 × 6 = 36 resulta em um produto que é chamado de número quadrado.
20 | Matemática em REDE com multiplano
NÚMEROS PRIMOSHabilidades
EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e
de divisor.
Objetos de conhecimento
• Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
• Múltiplos e divisores de um número natural
• Números primos e compostos
Número 7
Número 11
Número 17
NÚMEROS QUADRADOSHabilidades
EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre
potenciação e radiciação, para representar uma raiz como
potência de expoente fracionário.
Objetos de conhecimento
• Potenciação e radiciação
Você sabia que somente os números quadrados possuem quantidade ímpar de divisores? Descubra o motivo!
Viram! Só é possível representar um número primo de forma linear.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/mVhUu6
Matemática em REDE com multiplano | 21
O que é um número quadrado?
Para responder a essa pergunta, vamos colocar dois pinos um ao lado
do outro no Multiplano e questionar os estudantes: Esses dois pinos,
colocados um ao lado do outro, lembram a forma de um quadrado?
Observando a disposição dos dois pinos, dá para perceber que não
lembra a figura de um quadrado.
Agora vamos inserir mais um pino (três). E agora, essa disposição dos
três pinos lembra a forma de um quadrado?
Agora vamos inserir mais um pino (quatro). E então: essa disposição
lembra a forma de um quadrado?
Exemplo de números quadrados: 4, 9, 16, 25, ..., 100, etc.
22 32 42 52
E o doze? É um número quadrado?
Como dá para perceber, essa
disposição dos pinos não lembra a
figura de um quadrado e sim de
um retângulo.
Não lembra.
Agora sim!
Podemos visualizar uma disposição de pinos em forma de quadrado. Números quadrados são aqueles que, dispostos em linhas e colunas, formam uma figura quadrada.
22 | Matemática em REDE com multiplano
Todos os números podem ser dispostos em forma de uma linha, de um
retângulo ou de vários retângulos.
Mas nem todos possibilitam a formação de um quadrado.
NÚMEROS TRIANGULARESHabilidades
EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não
recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que
permita indicar os números ou as figuras seguintes.
Objetos de conhecimento
• Sequências recursivas e não recursivas
É chamada de triangular a
quantidade de pinos cuja disposição
forma um triângulo isósceles, com
os três lados com a mesma
quantidade de pinos.
Sequência dos números triangulares: {1, 3, 6, 10, 15, ...}.
(1 + 3 = 4); (3 + 6 = 9); (6 + 10 = 16); (10 + 15 = 25); (15 + 21 = 36); ...
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/9k5f9W
Essa é para você. Descubra uma maneira prática de calcular outros números triangulares.Você sabia que a adição de dois números triangulares consecutivos sempre será um número quadrado?
Matemática em REDE com multiplano | 23
RAIZ QUADRADAHabilidades
EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre
potenciação e radiciação, para representar uma raiz como
potência de expoente fracionário.
Objetos de conhecimento
• Potenciação e radiciação
A raiz quadrada representa o lado de um quadrado.
Com base nessa aplicação, quando pretendemos encontrar a raiz
quadrada de um número, estamos procurando, na verdade, o lado do
quadrado que tem como área o número que está “dentro” do símbolo raiz.
Por exemplo:
RAIZ QUADRADA DE 4: 4
Quadrado de lado 222 = 4
4 = 2
RAIZ QUADRADA DE 9: 9
Quadrado de lado 332 = 9
9 = 3
24 | Matemática em REDE com multiplano
RAIZ QUADRADA DE 16: 16
Quadrado de lado 442 = 16
16 = 4
RAIZ QUADRADA DE 25: 25
Quadrado de lado 552 = 25
25 = 5
PRODUTOS NOTÁVEISHabilidades
EF09MA09 Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e
elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2º grau.
Objetos de conhecimento
• Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis
• Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
Partindo do número 4, deseja-se encontrar o próximo quadrado
perfeito. Para isso, temos que acrescentar dois pinos em uma das colunas,
dois pinos em uma das linhas e um pino para fechar o “cantinho”.
22 + 2 + 2 + 1 = 9 = 32
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/tb8biV
Para facilitar, vamos montar no Multiplano um número quadrado e, a partir dele, encontrar o próximo quadrado perfeito.
Matemática em REDE com multiplano | 25
Continuando do 9 para o próximo número quadrado, temos que
acrescentar três pinos em uma das linhas, três pinos em uma das colunas,
mais o pino do “cantinho”. Ou podemos considerar: 32 mais 2 × 3 mais 1.
32 + 3 + 3 + 1 = 16 = 42
Assim: 42 mais 2 × 4 mais 1 é igual a 52.
42 + 2 × 4 + 1 = 52
16 + 8 + 1 = 25 = 52
Com o número quadrado 81, deseja-se construir o próximo quadrado
perfeito. O primeiro passo é tirar a raiz quadrada do 81: 81 = 9. Feito isso,
basta somar as partes: 81 + 2 × 9 + 1 = 100, o mesmo que 102.
Exemplo: se o número quadrado é o 144, qual é o próximo quadrado
perfeito?
Primeiro passo: tira-se a raiz quadrada 144 = 12.
Segundo passo: efetuar a soma 144 + 2 × 12 + 1 = 144 + 24 + 1 = 169 = 132
Se o quadrado perfeito tem n² pontos e lado n, então qual será o
próximo quadrado perfeito?
Conhecido um número quadrado, calcula-se a raiz, em seguida adicionamos a esse número duas vezes a raiz quadrada dele adicionado de 1 para completar o “cantinho”.
26 | Matemática em REDE com multiplano
O próximo quadrado perfeito será (n + 1)² = n² + 2n + 1, como podemos
ver nas figuras acima.
Considerando o mesmo quadrado de área n² e lado n, queremos
encontrar a área do quadrado com lado (n + 2).
Temos a nova figura formada por n², mais 2n para a direita, 2n para
baixo e quatro pinos no canto. Algebricamente, podemos escrever:
(n + 2)2 = n2 + 2 × 2n + 4 ou (n + 2)2 = n2 + 4n + 22
Para (n + 3):
(n + 3)2 = n2 + 2 × 3n + 32 (n + 3)2 = n2 + 6n + 32
Partindo de n2, deseja-se encontrar o número quadrado (n + a)2.
Seguindo o raciocínio, devemos adicionar os valores n2 mais 2na mais a2.
Sendo assim: (n + a)2 = n2 + 2na + a2.
FIGURAS GEOMÉTRICASHabilidades
EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e
triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou
em contornos de faces de sólidos geométricos.
EF05MA17 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados,
vértices e ângulos, e desenhá-los, utilizando material de desenho ou
tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos
A identificação de figuras geométricas também pode ser feita através
do Multiplano. Para tanto, os pinos devem ser posicionados nos pontos de
vértice das figuras, para que os elásticos possam delimitar a área.
Os produtos notáveis são importantes para agilizar cálculos algébricos.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/u8qAvM
Matemática em REDE com multiplano | 27
No material é possível fazer o deslocamento de um ou mais pontos
de vértice, o que permite ao estudante perceber a modificação ocorrida e suas implicações. Com as figuras construídas, todos os conceitos geométricos,
sejam eles referentes à geometria plana, analítica ou espacial, podem ser
explorados, além de ser possível utilizar as figuras com vistas a esclarecer os
fundamentos de problemas que envolvem probabilidade, entre outros.
Seguem exemplos de figuras que podem ser montadas no Multiplano.
Simulação de figuras geométricas no Multiplano.
Na montagem de uma figura, primeiro coloque os pinos e depois o
elástico. Ao desmontar a figura, primeiro retire o elástico e depois os pinos.
ENTES GEOMÉTRICOS PRIMITIVOS
Ponto. Segmento de reta. Pontos colineares. Plano.
RETAS PARALELASHabilidades
EF04MA16 Descrever deslocamentos e localização de pessoas e de objetos no espaço, por meio de malhas quadriculadas e representações como desenhos, mapas, planta baixa e croquis, empregando termos como direita e esquerda, mudanças de direção e sentido, intersecção, transversais, paralelas e perpendiculares.
EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.
Será necessário um pouco de força na retirada dos pinos, pois eles foram confeccionados com travas na sua base visando à sua proteção.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/Pia3FT
Na verdade, é impossível desenhar uma reta ou semirreta, apenas desenhamos segmentos de reta.
28 | Matemática em REDE com multiplano
Objetos de conhecimento
• Localização e movimentação: pontos de referência, direção e sentido
• Paralelismo e perpendicularismo
• Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas,
esquadros e softwares
Duas retas distintas de um plano são paralelas quando não têm um
ponto comum.
Exemplo de duas retas paralelas.
RETAS CONCORRENTESHabilidades
EF04MA16 Descrever deslocamentos e localização de pessoas e de objetos no
espaço, por meio de malhas quadriculadas e representações como
desenhos, mapas, planta baixa e croquis, empregando termos como
direita e esquerda, mudanças de direção e sentido, intersecção,
transversais, paralelas e perpendiculares.
Objetos de conhecimento
• Localização e movimentação: pontos de referência, direção e sentido
• Paralelismo e perpendicularismo
Duas retas distintas em um plano são concorrentes quando têm um
único ponto comum.
As retas concorrentes são classificadas em dois tipos:
Retas oblíquas são as retas concorrentes que formam um ângulo
diferente de 90 graus entre si.
Retas perpendiculares são as retas
concorrentes que formam um ângulo de
90 graus entre si.
Exemplo de retas oblíquas.
Matemática em REDE com multiplano | 29
Exemplo de retas perpendiculares.
Feixe de paralelas.
PLANOS CÔNCAVOS E CONVEXOSHabilidades
EF05MA17 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados,
vértices e ângulos, e desenhá-los, utilizando material de desenho ou
tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos
Um plano delimitado por segmentos de retas é chamado de polígono e
pode ser côncavo ou convexo.
Polígono convexo. Polígono côncavo.
O polígono será côncavo se um segmento que corta a figura passar por
duas ou mais regiões internas. Caso corte apenas uma região, o polígono
será convexo.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/ycn4CU
30 | Matemática em REDE com multiplano
ÂNGULOSHabilidades
EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às
figuras geométricas.
EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes
contextos e em situações reais, como ângulo de visão.
Objetos de conhecimento
• Ângulos: noção, usos e medida
Ângulo é a reunião de duas semirretas
de mesma origem, não contidas numa
mesma reta.
Bissetriz de um ângulo é a reta que
divide um ângulo ao meio.
Ângulos consecutivos: dois ângulos
são consecutivos quando um lado de um
deles for também lado do outro.
Ângulos adjacentes são dois ângulos
consecutivos. São adjacentes se não têm
pontos internos comuns.
Representação de ângulo.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/YcEaoy
Representação de bissetriz de um ângulo.
Representação de ângulos consecutivos.
Representação de ângulos adjacentes.
Matemática em REDE com multiplano | 31
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são
semirretas opostas aos lados do outro.
Representação de ângulos opostos pelo vértice.
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
Representação de ângulos congruentes.
Reta transversal é o nome dado a uma reta que cruza as retas paralelas.
Representação de ângulos congruentes.
Reta transversal é o nome dado a uma reta que cruza as retas paralelas.
As relações entre os ângulos de duas retas paralelas e uma transversal são:
• Ângulos opostos pelo vértice: B1 e B4; B2 e B3; B5 e B8; B6 e B7.
• Ângulos de mesma medida: B1, B4, B5 e B3; B5, B8, B6 e B7.
O ângulo reto mede 90º. Para representá-lo, basta colocar dois pinos
em uma mesma linha e um outro numa coluna que já possui um ponto.
Observe.
Representação de ângulo reto.
32 | Matemática em REDE com multiplano
Ângulo agudo é um ângulo de medida menor que 90º.
Ângulo obtuso é um ângulo de medida maior que 90º.
Ângulo externo
TRIÂNGULOS
Habilidades
EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às
medidas dos lados e dos ângulos.
Representação de ângulo agudo.
Representação de ângulo obtuso.
Representação de ângulo externo.
Matemática em REDE com multiplano | 33
Objetos de conhecimento
• Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e
ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOSTriângulo retângulo: um dos ângulos internos possui medida de 90 graus.
Triângulo obtusângulo: um dos ângulos internos possui medida maior
de 90 graus.
Exemplo de triângulo obtusângulo.
Triângulo acutângulo, todos os ângulos internos possuem medida
menor que 90 graus.
Exemplo de triângulo retângulo.
Exemplo de triângulo acutângulo.
34 | Matemática em REDE com multiplano
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS
Triângulo escaleno: todos os
lados do triângulo possuem
medidas diferentes.
Triângulo isósceles: dois lados do triângulo possuem medidas iguais.
O triângulo isósceles deve ser construído com quantidade ímpar de
furos entre os pinos colocados na horizontal, formando um eixo de simetria
na vertical. Assim, todo pino colocado no eixo de simetria formará um
triângulo isósceles.
Exemplo de triângulos isósceles.
Triângulo equilátero: todos os lados do triângulo possuem medidas
iguais. É um caso particular do triângulo isósceles.
O triângulo equilátero deve ser construído sobre o Multiplano Circular,
para tornar possível medir seus ângulos.
Exemplo de triângulo equilátero.
Exemplo de triângulo escaleno.
Matemática em REDE com multiplano | 35
TRIÂNGULOS CONGRUENTESHabilidades
EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação
da congruência de triângulos.
Objetos de conhecimento
• Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros
Os pares de triângulos possuem ângulos e lados ordenadamente
congruentes, ou seja, com medidas iguais.
Pares de triângulos congruentes.
ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIAHabilidades
EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como
lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e
resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
EF07MA33 Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver
problemas, inclusive os de natureza histórica.
Objetos de conhecimento
• A circunferência como lugar geométrico
• Medida do comprimento da circunferência
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/8aZisv
36 | Matemática em REDE com multiplano
O diâmetro divide o círculo em dois semicírculos.
Elementos de uma circunferência: diâmetro, corda e raio.
Quadrilátero circunscrito.
Quadrilátero inscrito.
TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO
Habilidades
EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras
ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas
cortadas por secantes.
Objetos de conhecimento
• Relações métricas no triângulo retângulo
• Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
• Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e
verificações experimentais
Matemática em REDE com multiplano | 37
Todo triângulo com vértices nos extremos do diâmetro de um círculo e
um ponto sobre a circunferência será um triângulo retângulo.
Exemplos de triângulos retângulos inscritos na semicircunferência.
Segmentos tangentes tocam a circunferência em um único ponto.
Segmentos tangentes à circunferência.
O segmento secante corta a circunferência em dois pontos.
Segmentos tangente e secante.
Cálculo de ângulos de uma figura inscrita
• Cada ângulo de um triângulo inscrito no Multiplano Circular é igual
ao número de furos mais 1, do lado oposto ao ângulo interno desse
triângulo, multiplicado por 5 e dividido por 2. Ou seja, basta contar a
quantidade de furos mais 1 do lado oposto ao ângulo desejado,
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/XNDm4L
38 | Matemática em REDE com multiplano
multiplicar por 5 (graus entre os furos) e dividir por 2 (metade de
uma volta [360º]). Assim, temos:
• A medida dos ângulos opostos pelo vértice formados pela intersecção de retas que cruzam em qualquer ponto interno do Multiplano Circular é igual à média dos furos entre os pinos dos lados opostos aos ângulos mais 1, multiplicada por 5. Assim:
FIGURAS REGULARES
Habilidades
EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em contornos de faces de sólidos geométricos.
EF07MA27 Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
BA = (17 + 1) × 5 ÷ 2 = 45ºBB = (29 + 1) × 5 ÷ 2 = 75ºBC = (23 + 1) × 5 ÷ 2 = 60º
BX = [(10 + 17) ÷ 2 + 1] × 5 = 72,5ºBY = [(18 + 23) ÷ 2 + 1] × 5 = 107,5º
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/rJuVkn
Matemática em REDE com multiplano | 39
Objetos de conhecimento
• Figuras geométricas planas: reconhecimento do formato das faces de figuras geométricas espaciais
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero• Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares• Polígonos regulares
Toda figura regular é inscritível.
Hexágono regular inscrito em uma circunferência.
Quadrado inscrito em uma circunferência.
As diagonais juntamente com os lados do hexágono regular formam 6
triângulos equiláteros. Veja:
Hexágono regular inscrito em uma circunferência com suas diagonais.
DESENHOS DE PERSONAGENS, OBJETOS, ANIMAIS E MAPAS
Habilidades
EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em contornos de faces de sólidos geométricos.
40 | Matemática em REDE com multiplano
EF02MA15 Reconhecer, comparar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo), por meio de características comuns, em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em sólidos geométricos.
EF03MA15 Classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados (quantidade,
posições relativas e comprimento) e vértices.
Objetos de conhecimento
• Figuras geométricas planas: reconhecimento do formato das faces de figuras geométricas espaciais
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/quRkhN
Matemática em REDE com multiplano | 41
FIGURAS SIMÉTRICASHabilidades
EF04MA19 Reconhecer simetria de reflexão em figuras e em pares de figuras geométricas planas e utilizá-la na construção de figuras congruentes, com o uso de malhas quadriculadas e de softwares de geometria.
EF07MA21 Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.
EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Objetos de conhecimento
• Simetria de reflexão
• Simetrias de translação, rotação e reflexão
• Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
Figura simétrica: corresponde à forma ou arranjo de partes em lados
opostos de um eixo simétrico, tendo cada parte, em um lado, a sua
contraparte espelhada. Encontramos simetria em muitas coisas que nos
cercam.
MOSAICOSHabilidades
EF07MA27 Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o
uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e
externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de
mosaicos e de ladrilhamentos.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/8xr8Lu
Na representação de uma estrela, por exemplo, encontramos quatro eixos de simetria. Identifique-os.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/X4kXVq
42 | Matemática em REDE com multiplano
Objetos de conhecimento
• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
Mosaico construído com pinos e elásticos.
CÁLCULO DE ÁREA
Habilidades
EF03MA21 Comparar, visualmente ou por superposição, áreas de faces de objetos, de figuras planas ou de desenhos.
EF04MA21 Medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos diferentes podem ter a mesma medida de área.
EF05MA20 Concluir, por meio de investigações, que figuras de perímetros iguais podem ter áreas diferentes e que, também, figuras que têm a mesma área podem ter perímetros diferentes.
EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
EF08MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Matemática em REDE com multiplano | 43
Objetos de conhecimento
• Comparação de áreas por superposição• Áreas de figuras construídas em malhas quadriculadas• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações• Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem
ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
• Área de figuras planas
Partindo do trabalho proposto com a tabuada, pode-se introduzir o
cálculo de área.
COM A UTILIZAÇÃO DE PINOS
Área do quadrado
Para calcular a área do quadrado, basta multiplicar o número de pinos
da base pelo número de pinos da altura.
Na figura temos: 6 × 6 = 36 UA
Área do retângulo
Para o cálculo da área do retângulo, segue-se o mesmo procedimento,
multiplicando o número de pinos do comprimento pelo da largura.
Na figura temos: 10 × 7 = 70 UA.
Os pinos representam uma unidade de área (UA).
44 | Matemática em REDE com multiplano
Área do paralelogramo
A disposição dos pinos do retângulo foi alterada, formando um
paralelogramo de mesmo comprimento e altura e mesma área: 10 × 7 = 70 UA.
Na figura temos: 10 × 7 = 70 UA.
COM A UTILIZAÇÃO DE PINOS E ELÁSTICOS
Área do quadrado
Podemos também trabalhar a área do quadrado contornando a figura
com um elástico e fazer a contagem dos furos juntamente com os pinos que
formam os vértices da figura.
Temos no quadrado: 6 × 6 = 36 UA.
Área do retângulo
A área do retângulo apresenta um contorno de 10 por 7.
Temos no retângulo: 10 × 7 = 70 UA.
Lembre-se: os pinos dos vértices estão cobrindo os furos.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/M7naJ3
Matemática em REDE com multiplano | 45
Área do paralelogramo
Projetando os pontos do segmento superior no segmento inferior, e
contornando com um elástico, pode-se perceber que a área do
paralelogramo é igual à área do retângulo.
Área do trapézio
Construindo sobre o trapézio um retângulo com medida da base igual à
média da soma dos pontos superiores com os inferiores, temos um
retângulo com mesma área.
Perdeu-se uma área de um triângulo à esquerda, ganhou-se uma área
no lado direito, mantendo a mesma área do retângulo, que é o produto da
base pela altura.
Fazendo a conferência: 4 furos no segmento superior e 16 no segmento
inferior, tendo assim: (4 + 16) ÷ 2 = 10. E agora vamos multiplicar a média
dos segmentos (base maior e base menor) pela altura: 10 × 7 = 70 UA.
46 | Matemática em REDE com multiplano
Área do triângulo
Para calcular a área do triângulo, basta retirar um pino do retângulo,
obtendo, assim, o triângulo retângulo com a metade da área do retângulo. Veja:
Área do losango
Para montar o losango, devemos deixar uma quantidade ímpar de furos
entre os pinos de uma mesma linha ou coluna, formando uma simetria.
Ligamos, então, os pinos com elásticos para desenhar o losango, em seguida
montamos um retângulo que tenha comprimento igual à maior diagonal do
losango e largura igual à diagonal menor. Comparando a figura, podemos
perceber que a área do retângulo formada é o dobro da área do losango. Assim,
podemos concluir que a área do losango será a metade do produto da diagonal
maior pela diagonal menor: 11 × 7÷ 2 = 38,5 UA.
Área do losango com pinos e elásticos. Área do losango dentro do retângulo.
TEOREMA DE PICKHabilidades
EF04MA21 Medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em
malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades
de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos
diferentes podem ter a mesma medida de área.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/xszJM8
Matemática em REDE com multiplano | 47
Objetos de conhecimento
• Áreas de figuras construídas em malhas quadriculadas
Seja um polígono cujos vértices são pontos do reticulado (intersecção
de linhas e colunas). Aos pontos que estão sobre as arestas do polígono
chamamos pontos de fronteira e aos que estão no interior do polígono
chamamos pontos interiores. O polígono diz-se simples quando não possui
buracos no seu interior, nem intersecções das suas arestas.
O teorema seguinte foi descoberto em 1899 pelo matemático austríaco
Georg Alexander Pick (1859-1942) e permite calcular a área de um polígono
simples contando o número dos seus pontos de fronteira e o número dos
seus pontos interiores.
CÁLCULO DA ÁREA PELO TEOREMA DE PICKDado um polígono simples de área “A”, sejam “p” o número de pontos
de fronteira e “i” o número de pontos interiores, então a área desse
polígono é dada pela seguinte expressão: A = p ÷ 2 + i – 1.
Veja a figura:
A figura contém 9 intervalos por 6 intervalos, dando uma área igual a
9 × 6 = 54 UA. Agora vamos dividir o retângulo em três figuras diferentes:
Para calcular a área pelo Teorema de Pick não vamos considerar a
quantidade de pinos e sim os intervalos entre os pinos.
Primeira figura: p = 12; i = 4 A1 = 12 ÷ 2 + 4 – 1 = 9
Segunda figura: p = 12; i = 13 A2 = 12 ÷ 2 + 13 – 1 = 18
Terceira figura: p = 18; i = 19 A3 = 18 ÷ 2 + 19 – 1 = 27
Logo, temos: A1 + A2 + A3 = 9 + 18 + 27 = 54
48 | Matemática em REDE com multiplano
O Teorema de Pick é interessante porque nos permite calcular a área
de um polígono simples a partir da contagem de pontos do reticulado. É de
fato surpreendente que seja possível substituir o processo habitual de
cálculo de uma área, que envolve medições de grandezas contínuas, por
uma contagem de grandezas discretas.
STOMACHIONHabilidades
EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Objetos de conhecimento
• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
O Stomachion é um quebra-
-cabeças atribuído a Arquimedes,
composto de 14 figuras geométricas
que, juntas, formam um quadrado.
Observe a montagem abaixo:
Se considerarmos o quadrado delimitado pelos elásticos com 12
unidades de comprimento e largura, temos uma área total de 144 unidades
de área, assim distribuídas.
Matemática em REDE com multiplano | 49
Veja! Uma figura repartida em tantas partes e a área de cada uma delas
é dada em números inteiros.
Para confirmar a área de cada figura geométrica pode-se aplicar o
Teorema de Pick.
GRÁFICOS DE ESTATÍSTICAHabilidades
EF01MA21 Ler dados expressos em tabelas e em gráficos de colunas simples.
EF02MA23 Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até
três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados
coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.
EF03MA26 Resolver problemas cujos dados estão apresentados em tabelas de
dupla entrada, gráficos de barras ou de colunas.
EF03MA27 Ler, interpretar e comparar dados apresentados em tabelas de dupla
entrada, gráficos de barras ou de colunas, envolvendo resultados de
pesquisas significativas, utilizando termos como maior e menor
frequência, apropriando-se desse tipo de linguagem para
compreender aspectos da realidade sociocultural significativos.
EF03MA28 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de
até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas,
tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de
colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.
EF04MA27 Analisar dados apresentados em tabelas simples ou de dupla entrada
e em gráficos de colunas ou pictóricos, com base em informações das
diferentes áreas do conhecimento, e produzir texto com a síntese de
sua análise.
EF04MA28 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas e numéricas e
organizar dados coletados por meio de tabelas e gráficos de colunas
simples ou agrupadas, com e sem uso de tecnologias digitais.
50 | Matemática em REDE com multiplano
EF05MA24 Interpretar dados estatísticos apresentados em textos, tabelas e
gráficos (colunas ou linhas), referentes a outras áreas do
conhecimento ou a outros contextos, como saúde e trânsito, e
produzir textos com o objetivo de sintetizar conclusões.
EF05MA25 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas e numéricas, organizar
dados coletados por meio de tabelas, gráficos de colunas, pictóricos e de
linhas, com e sem uso de tecnologias digitais, e apresentar texto escrito
sobre a finalidade da pesquisa e a síntese dos resultados.
EF06MA31 Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.
EF06MA32 Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre
contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável,
entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de
gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados
pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.
EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um
conjunto de dados de uma pesquisa.
Objetos de conhecimento
• Leitura de tabelas e de gráficos de colunas simples
• Coleta, classificação e representação de dados em tabelas simples e de dupla
entrada e em gráficos de colunas
• Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada e
gráficos de barras
• Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada,
gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e colunas e
gráficos pictóricos
• Leitura, coleta, classificação interpretação e representação de dados em
tabelas de dupla entrada, gráfico de colunas agrupadas, gráficos pictóricos e
gráfico de linhas
• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou
múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas
• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar
conjunto de dados
• Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e
adequação para determinado conjunto de dados
Conteúdos referentes à Estatística também podem ser concretizados
com auxílio do Multiplano, como a construção de gráficos, o que facilita,
principalmente ao estudante cego, o entendimento dos mesmos.
Matemática em REDE com multiplano | 51
Pode-se propor aos estudantes que elaborem uma pesquisa sobre
determinado assunto e que construam um gráfico com base nos dados
pesquisados. Dependendo da faixa etária da turma, os estudantes podem
coletar, por exemplo, dados relacionados aos tipos de leitura de que mais
gostam (HQs, romances, poemas, ficção, etc.). Após recolhidos os dados,
podem fazer uma análise dos resultados (média, mediana, moda, etc.) para
então terem condições de construir os gráficos. Dessa forma, todos os
conceitos abstratos podem ser feitos na prática e demonstrados à turma.
Favoreça a participação significativa dos estudantes cegos no trabalho,
cuidando para que não se tornem meros espectadores.
Gráfico utilizando as barras gráficas. Gráfico de pontos: representa a quantidade mensal de sorvete que uma criança consumiu durante um ano.
Gráfico de linha.
Gráfico de linha de forma comparativa.
Gráfico de setores no Multiplano Circular.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/ebgJfC
52 | Matemática em REDE com multiplano
Em Estatística existem muitos cálculos e muitas formas de representar.
Aqui temos apenas algumas situações.
MÉDIA ARITMÉTICA As duas representações gráficas abaixo mostram a quantidade de livros
lida por um grupo de estudantes em cada mês de um ano. Numa foram
usados pinos e na outra, barrinhas.
Para calcular a média aritmética de livros lidos ao longo de um ano
temos que encontrar o ponto de equilíbrio entre as diferenças (entre os
meses em que se leu o maior número de livros e os em que se leu a menor
quantidade. As quantidades maiores transferem unidades para as menores
até criar uma igualdade.
Eis as duas representações da média mensal de livros lidos no período
de um ano.
Matemática em REDE com multiplano | 53
MEDIANA
Mediana é o ponto central de uma distribuição de frequência.
Para encontrar o mês mediano, vamos retirar um pino de cada lado e
assim sucessivamente, até sobrar um ou dois pinos. Observe:
Se a quantidade de pinos for ímpar, resta 1, e se for par, restam dois
pinos.
Assim, a quantidade mediana de livros lidos ocorreu no mês de junho.
Ou seja, antes do mês de junho os estudantes realizaram a leitura de 50%
dos livros lidos no ano todo.
MODA
A moda é o mês em que foi lida a maior quantidade de livros. Nesse
caso a moda ocorreu no mês de janeiro.
54 | Matemática em REDE com multiplano
OPERAÇÕES COM PINOS IDENTIFICADOS EM BRAILLE E EM ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS
As operações básicas da Matemática (adição, subtração, multiplicação e
divisão) podem ser realizadas por um estudante cego no Multiplano partindo
do mesmo algoritmo que um estudante vidente em geral usa ao fazê-las no
caderno. Vamos aos procedimentos básicos para efetuar uma adição:
• os pinos identificados são transcritos na mesma linha para formar o
primeiro número (a 1a parcela),
• o sinal da operação e o conjunto dos outros pinos que formam o
segundo número (2a parcela) são colocados na linha abaixo;
• a operação em si, e seu resultado, é separada pelos elásticos,
simulando exatamente da mesma forma os traços comumente feitos
pelos estudantes videntes para indicar a igualdade.
A seguir temos um exemplo de adição: o número “897” é adicionado a
“485”. Para efetuar essa adição, basta colocar os pinos correspondentes aos
números da 1ª parcela em uma linha (897) e, na linha abaixo, coloca-se o
conjunto de pinos que forma a 2a parcela da operação (485), sempre
respeitando a ordem de alinhamento: unidade abaixo de unidade, dezena
com dezena, centena com centena, etc. Não é aconselhado colocar o “vai
um”; adiciona-se 7 + 5 e indica-se a resposta 12 abaixo, conforme as figuras
a seguir.
Ao adicionar 9 + 8, acrescenta-se o 1: 9 + 8 + 1 = 18.
897 + 485 = 1382
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/MCEKMk
Matemática em REDE com multiplano | 55
Finalizando a operação, faz-se a adição e coloca-se o resultado (1382)
de forma alinhada logo abaixo do elástico.
Na subtração, como pode ocorrer de os números do subtraendo serem
menores do que os do minuendo e, por isso mesmo, ser necessário fazer a
transformação (empréstimo), é preciso haver dois furos livres entre as
posições decimais, a fim de facilitar o deslocamento das quantidades de
uma unidade maior para uma menor.
A seguir, tem-se a subtração de “689” de “847”, em que, como a unidade
“7” do subtraendo não é suficiente para que dela sejam subtraídas “9”
unidades, fez-se necessário adicionar à unidade 7 uma dezena, deslocada do
subtraendo, para daí, sim, dar continuidade ao processo operatório, uma vez
que de “17” é possível retirar “9”, restando “8” unidades.
No alinhamento das dezenas dessa operação, o “empréstimo”
novamente foi necessário: deslocou-se uma centena das “4” do subtraendo,
formando “13” dezenas, das quais é possível subtrair “8” unidades,
restando “5”. Na posição das centenas, subtraiu-se 6 centenas de 7
centenas, restando 1 centena.
Colocam-se os números separados por dois furos, para que seja
possível realizar a transformação.
Faz-se toda a transformação antes de iniciar a subtração.
Subtração: 847 – 689 = 158.
56 | Matemática em REDE com multiplano
Os exemplos de multiplicação e divisão seguem o mesmo processo.
Lembre-se de colocar o produto abaixo.
Multiplicação: 639 × 5 =
O produto de 5 × 9 = 45 unidades é colocado abaixo, e ao produto de
5 × 3 = 15 adicionam-se 4 unidades, e o resultado será 15 + 4 = 19 dezenas.
Multiplicação: 639 × 5 = 3195.
Divisão do número 546 ÷ 4 =
Divisão: 546 ÷ 4 = 136 com resto 2.
Matemática em REDE com multiplano | 57
PLANO CARTESIANOHabilidades
EF05MA14 Utilizar e compreender diferentes representações para a localização
de objetos no plano, como mapas, células em planilhas eletrônicas e
coordenadas geográficas, a fim de desenvolver as primeiras noções de
coordenadas cartesianas.
EF05MA15 Interpretar, descrever e representar a localização ou
movimentação de objetos no plano cartesiano (1º quadrante),
utilizando coordenadas cartesianas, indicando mudanças de
direção, de sentido e giros.
EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do
1º quadrante, em situações como a localização dos vértices de um
polígono.
Objetos de conhecimento
• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1º quadrante) e representação de
deslocamentos no plano cartesiano
• Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
As atividades matemáticas que envolvem construção de gráficos e suas
implicações podem ser realizadas no Multiplano. As retas do plano
cartesiano que representam os eixos “x” e “y” estão em relevo. Para facilitar
a visualização, pode-se fixar pinos nos extremos de cada reta: um deles
precisa estar disposto horizontalmente (eixo x) e o outro, na mediatriz da
abscissa, disposto verticalmente (eixo y).
Delimitados os eixos, o plano fica,
consequentemente, dividido em quatro
quadrantes, exemplificados a seguir.
LOCALIZAÇÃO DOS PONTOS CARTESIANOSPara localizar um ponto nesse plano, por exemplo, o par ordenado (8,
6), ou seja, “8” para “x” e “6” para “y”, o estudante, em primeiro lugar,
Plano cartesiano montado no Multiplano (eixo x, da horizontal, e y, da vertical).
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/1Fz7ao
58 | Matemática em REDE com multiplano
precisa localizar o ponto de origem (0,0), situado na intersecção das retas
que representam os eixos. Então, basta que deslize seus dedos sobre os
elásticos de acordo com o número respectivo do par ordenado. Assim, para
o par (8, 6), deslocam-se oito pontos à direita (eixo x) e seis furos acima
(eixo y). Para finalizar, basta que vá deslizando os dedos, respeitando o
quadrante, até que os dedos se encontrem. Pronto, esse encontro simboliza
o par ordenado; daí é só marcá-lo com um pino.
Para facilitar esse processo, pode-se utilizar pinos quando for localizar
os pontos sobre os eixos principais, para depois procurar a intersecção
desses pontos.
A observação do uso do material
por alunos cegos mostrou-nos que eles
assimilam a prática com uma bastante
facilidade e, em pouco tempo, a
abstração já se torna realidade.
GRÁFICOSNuma função de 1º grau, dada a equação, o estudante tem condições de
determinar alguns pontos resultantes, a fim de facilitar a análise dos
fenômenos envolvidos na função. Por exemplo, para f(x) = x − 2, pode ser encontrada a coordenada da raiz (2, 0). Após o cálculo da raiz, atribuem-se valores para “x” à direita e à esquerda da raiz. Assim, temos os pares
ordenados (3, 1), (1, −1), (4, 2), (0, −2), (5, 3), (−1, −3), (6, 4), (−2, −4), (7, 5), (−3, −5), (8, 6), (−4, −6), (9, 7), (−5, −7). Obtendo-se os pontos retirados da equação, marca-
-se, então, um a um no plano.
Por se tratar de uma equação de
1º grau, esses pontos, quando ligados,
resultam em uma reta de números inteiros.
Para facilitar, podemos localizar
dois pontos e ligá-los com um elástico
para representar uma reta formada por
números reais. Nesse ponto o estudante
poderá observar a inclinação da referida
Pontos do plano: (8, 6); (2, 4); (−5, 7); (−4, −4); (5, −5).
Gráfico da função f(x) = x − 2, apenas com coordenadas formadas por números inteiros.
Matemática em REDE com multiplano | 59
reta e sua relação com a equação, ou seja, dependendo do sinal que
acompanha a incógnita “x”, ela terá uma ou outra inclinação (se positivo,
inclinado à direita; se negativo, à esquerda).
Reta da função afim crescente.
Reta da função afim decrescente.
Reta da função constante.
Retas de funções lineares.
Depois que o estudante compreender o processo, pode-se fazer somente
um esboço da reta resultante da equação, não sendo necessário encontrar
ponto a ponto. Esse esboço pode ser representado por uma reta generalizada,
como a que está representada a seguir, elaborada a partir de uma haste.
Esboço de uma reta crescente. Esboço de uma reta decrescente.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/y19MJc
60 | Matemática em REDE com multiplano
Estamos usando aqui a haste com pino agregado, que permite que o
estudante marque a raiz da equação, ou seja, o ponto que a reta resultante
cruza o eixo das abscissas (x).
PARÁBOLASNa construção de uma parábola, primeiro, se existirem, calculam-se as
raízes, em seguida atribui-se a “x” todos os valores entre as raízes, além de um
valor menor que a raiz situada à esquerda e um valor maior que a raiz à direita.
Assim para a curva y = x2 – 4, temos as raízes −2 e 2 vamos atribuir para “x” os valores −1, 0, 1, e os extremos mais próximos das raízes, −3 e 3. Após a escolha dos valores de “x” vamos substituir na equação y = x2 – 4 para encontrar os valores de “y” (−3, 5), (−2, 0), (−1, −3), (0, −4), (1, −3), (2, 0), (3, 5).
Marcando esses pontos no plano cartesiano temos a parábola:
Parábola de y = x2 – 4. Parábola de y = x2 – 6x + 8. Parábola de y = –x2 + 4x.
Parábola de y = –x2 – 4x – 6. Parábola de y = –x2 − 6x – 9. Parábola de y = x² − 2x + 2.
Gráfico de y = x . Gráfico de y= -x + 2 . Gráfico de y = |2 x + 6|.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/UbKk5x
Matemática em REDE com multiplano | 61
Gráfico de y = |x2 – x – 6|.
Para facilitar, pode-se fazer somente um esboço da parábola resultante
da equação. Esse esboço pode ser representado por uma curva
generalizada, com dois pinos para serem colocados nas raízes.
INTERVALOS NUMÉRICOS
Habilidades
EF09MA06 Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e
utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações
funcionais entre duas variáveis.
Objetos de conhecimento
• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
Sendo a e b reais com a < b.
Intervalo fechado de extremos a e b Superfície Esférica
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/YG9X7T
62 | Matemática em REDE com multiplano
Intervalo aberto de extremos a e b Superfície Plana
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado
à direita) de extremos a e b.
Intervalo aberto à direita (ou fechado à
esquerda) de extremos a e b.
INTERVALOS INFINITOS
Habilidades
EF09MA06 Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre
duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e
utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações
funcionais entre duas.
Objetos de conhecimento
• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
x ≥ a
x > a
x < a
x ≤ a
Quando um número “x” vai para o infinito, coloca-se um pino na extremidade
do Multiplano para simbolizar que o “x” segue para o infinito.
Matemática em REDE com multiplano | 63
INEQUAÇÕES
Habilidades
EF08MA08 Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo,
que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau
com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano
cartesiano como recurso.
Objetos de conhecimento
• Reconhecer que uma inequação é uma sentença matemática que representa
uma desigualdade
• Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita
• Descrever uma situação por meio de uma inequação do 1º grau com uma
incógnita
Sabendo como se concretizam as funções de 1º e 2º graus, o estudante tem condições de fazer análises relativas a uma função produto e/ou
quociente, inequações, etc. Para tanto, elásticos podem ser anexados ao
Multiplano logo abaixo do plano cartesiano, para que se possa estudar a
variação do sinal dentro do conjunto dos números reais. O número de elásticos dependerá do número de funções envolvidas no processo: cada
linha demarcada abaixo do plano cartesiano representa uma função (S1 e
S2), e o último (S1 × S2) representa o resultado do produto ou do quociente
entre os sinais.
A seguir, apresentamos um exemplo de uma função produto
f(x) = (−x − 5) (x2 − 6x + 5). Para resolvê-la, o estudante tem que:• construir o gráfico de cada polinômio pertencente ao produto no
mesmo plano cartesiano;
• isolar as funções e calculá-las de modo separado;
• localizar a raiz de −x − 5 = 0, x = −5, e fazer um esboço do gráfico da função através da reta generalizada;
• localizar a raiz x = −5, introduzir o pino, girar a haste para representar uma reta decrescente;
• a partir da coluna da raiz, deslizar os dedos até que encontre a
primeira reta abaixo do plano (S1);
• marcar o ponto através de um pino em “S1” e, com auxílio do gráfico,
analisar a variação dos sinais dessa função;
• verificar em que intervalo a região do gráfico é positiva e, com
elástico, marcar em “S1” esse intervalo.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/X8dHAc
64 | Matemática em REDE com multiplano
Para essa primeira função, a raiz é “−5” e a inclinação do gráfico vai se dar à esquerda. Assim, para os valores de “x” menores que “−5” a região do gráfico é positiva, para os maiores, negativa.
Feito o estudo da primeira função e marcados os resultados em “S1”, o
esboço não é mais necessário, podendo ser retirado. Então, o estudante fará
a análise da segunda função, procedendo como na primeira: localiza as
raízes (1 e 5); faz um esboço do gráfico; marca essas raízes na segunda linha abaixo do plano (S2); e faz o estudo do sinal da função, anotando nela,
com auxílio de elásticos, os intervalos onde fica positiva. Feito isso, o
esboço do gráfico da segunda função pode ser retirado.
Para finalizar, o estudante marcará as raízes de ambos os gráficos na
terceira linha abaixo do plano (S1 × S2) para que possa fazer o produto dos
sinais. Vai deslizar os dedos em cada intervalo separado e analisar o
produto dos sinais em cada um deles.
O intervalo composto de dois elásticos trata-se de região positiva; onde encontrar apenas um elástico, trata-se de região negativa.
Gráfico de (−x − 5). Abaixo do plano está indicada, com elástico, a região positiva (S1).
S1
Gráfico de (x2 − 6x + 5). Abaixo do plano, estão indicadas, com elástico, as regiões positivas.
S1
S2
O resultado identificado em “S1 × S2” será positivo se os intervalos
analisados em S1 e S2 tiverem sinais iguais; se os sinais forem diferentes, o
resultado será negativo. Assim, para esse exemplo, o produto dos sinais
indicou que: para as regiões onde “x” é menor do que “−5”, a região é positiva; entre “−5” e “+1”, região negativa; valores de “x” compreendidos entre “+1” e “+5”, região positiva; e para “x” maior do que “+5”, região negativa.
Plano cartesiano com função produto solucionada, em que S1
representa a reta generalizada (abaixo, em S1 foram marcados os
resultados dos sinais), S2 representa a parábola generalizada (abaixo,
em S2 foram marcados os resultados dos sinais), e em S1 × S2 são
marcados os resultados do produto/quociente da função.
A presença de dois elásticos representa região positiva.
S1
S2
S1 × S2
Matemática em REDE com multiplano | 65
DIVISÃO DE POLINÔMIOSHabilidades
EF08MA08 Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo,
que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau
com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano
cartesiano como recurso.
Objetos de conhecimento
• Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e
representação no plano cartesiano
A divisão de polinômios também pode ser trabalhada no Multiplano. A
foto abaixo apresenta um exemplo de como isso pode ser feito.
Os números positivos que acompanham a incógnita de um polinômio,
independentemente do grau do expoente, podem ser representados por
pinos “em pé”, e os negativos, por pinos “deitados”. Para que os pinos não
se espalhem ou mudem de posição e também para delimitar a posição de
“x” de acordo com o grau de seu expoente (..., x3, x2, x1, x0), “quadradinhos”
são necessários e podem ser formados usando-se elásticos.
No exemplo a seguir temos um pino “em pé” na posição onde “x” tem
expoente 2 (x2), cinco pinos “deitados” na posição onde “x” tem expoente 1
(x1) e seis pinos “em pé” na posição da constante (x0), identificando o
polinômio como x2 − 5x + 6”, o qual, no caso, é dividendo da operação. Ao lado, ligeiramente acima, temos representado o polinômio “x − 2”, que é o divisor da operação. Abaixo do divisor é colocado o quociente da divisão,
nesse caso “x − 3”. A resolução segue os mesmos procedimentos do estudante vidente,
que anota no caderno, mas com o uso de pinos no lugar de algarismos,
sendo alguns pinos para representar números positivos e outros para
representar os negativos. O estudante cego vai identificar o grau do
expoente da incógnita de acordo com a posição que ocupa nos
“quadradinhos”, começando pelo dividendo, com o expoente zero,
aumentando em direção à esquerda. Nos espaços reservados ao divisor e ao
quociente, a posição segue a ordem decrescente, dos expoentes de maior
grau para os de menor grau, no sentido da direita.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/4GLdWn
66 | Matemática em REDE com multiplano
Segue o esquema de montagem de uma operação com polinômios no
Multiplano:
Se algum valor de “x” ficar sem representação, como no caso do
polinômio “x3 − 7x”, onde faltam os valores de “x2” e da constante, os
espaços respectivos a esses expoentes de “x” ficam vazios, uma vez que são
os “quadradinhos” que estarão indicando qual o grau do expoente da
incógnita. Para determinar a quantidade de quadrados do quociente, deve-
se verificar o grau do dividendo pelo divisor x3 ÷ x = x2, devendo-se montar
três quadrados no quociente. A seguir, a divisão de x3 − 7x por x − 3:
Dentro dos retângulos são colocados pinos que representam os coeficientes de x. Se for positivo, o pino é colocado “em pé”, se negativo, é colocado “deitado”.
Matemática em REDE com multiplano | 67
68 | Matemática em REDE com multiplano
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAISHabilidades
EF05MA02 Ler, escrever e ordenar números racionais na forma decimal com
compreensão das principais características do sistema de numeração
decimal, utilizando, como recursos, a composição e decomposição e a
reta numérica.
Objetos de conhecimento
• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta
numérica
Para a construção de gráficos com variáveis que assumem valores decimais,
deve-se acoplar várias placas do Multiplano, a fim de representar os números
decimais. Para isso, devemos colocar um pino a cada 10 furos para indicar os
números inteiros. É o que será demonstrado nas figuras do tema a seguir.
GRÁFICO EXPONENCIALPara a construção do gráfico de uma função exponencial, deve-se
atribuir para x valores próximos de zero, em seguida substituir na função
para encontrar os respectivos valores de f(x):
Assim, para as funções temos:
Gráfico da função: f(x) = 1
2
x
x −2 −1 0 1 2
f(x) 4 2 1 0,5 0,25
Gráfico da função: f(x) = log2 x
x 0,25 0,5 1 2 4 8
f(x) −2 −1 0 1 2 3
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
Matemática em REDE com multiplano | 69
Gráfico da função: f(x) = 1
x
CURVA DO SEGUNDO E DO TERCEIRO GRAU NO MESMO PLANO
CÔNICAS
ELIPSEElipse é o conjunto dos pontos de um plano, cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos F1, F2 desse plano é constante.
Para construir a elipse, marque dois pontos no plano formado por uma ou mais placas Multiplano.
Coloque dois pinos separados por alguns pontos F1 e F2, corte um fio que tenha uma medida maior que a distância entre os dois pontos, em seguida, com o auxílio de um pino, estique o fio em qualquer direção.
Ao coincidir com um furo, introduza o pino nesse, pegue outro pino e continue o mesmo procedimento até formar a volta completa. É importante ressaltar que, dependendo do tamanho da elipse, será necessário um elástico maior.
Construção de elipse.
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
A função f(x) = x2 − 4x em amarelo e g(x) = x3 − 6x2 + 8x em vermelho.
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/t4Z27k
70 | Matemática em REDE com multiplano
HIPÉRBOLEHipérbole é o conjunto de pontos P de um plano α, tais que a diferença
de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 desse plano é uma constante
positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.
1o passo: acople várias placas Multiplano conforme o tamanho da
figura que se deseja construir e estique dois elásticos para representar o
plano cartesiano.
2o passo: marque dois pontos no eixo “x” A1 e A2, simétricos ao eixo
“y” separados por alguns furos.
3o passo: marque um ponto F1 no eixo “x” distando alguns furos do
lado esquerdo de A1; também no mesmo eixo, mantenha a mesma
quantidade de furos do lado direito de A2 e marque F2.
4o passo: marque um ponto S externo a F1, a F2 na mesma reta;
5o passo: corte um barbante de comprimento maior que o grande plano;
6o passo: faça um laço em uma das extremidades do barbante;
7o passo: prenda o laço do barbante em A1, estique até S e faça um nó
no ponto S.
8o passo: coloque o nó em A2 novamente estique em S e faça um laço
em S.
9o passo: prenda um laço do lado da maior distância em F1 e o outro
laço em F2, pegue o nó e estique no sentido do primeiro quadrante; no local
que o nó tocar no plano, marque com um pino o ponto P. Passe para o
quarto quadrante estique o barbante e marque outro ponto;
10o passo: troque os laços, maior distância do laço até ao nó em F2,
menor em F1. Vá ao segundo quadrante, proceda como nos anteriores e
marque o terceiro ponto; passe para o terceiro quadrante, e marque o
quarto ponto;
11o passo: aumente a distância de F2 até S e marque um ponto S1.
Repita os passos do 7º ao 10º.
12o passo: proceda da mesma forma, sempre mudando o ponto S até
marcar uma quantidade de pontos suficientes para ligar posteriormente
com elásticos ou barbante e formar a hipérbole.
Para construir a hipérbole no Multiplano, acompanhe o passo a passo ao lado.
Construção de hipérbole.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/41pSzJ
Matemática em REDE com multiplano | 71
Para calcular uma equação, é mais fácil se usarmos as propriedades:
1º propriedade: some ou retire o mesmo valor de ambos os lados.
2º propriedade: multiplique ou divida pelo mesmo valor em ambos os lados.
Assim também é valido para as demais operações como potência e
radiciação.
É importante lembrar que o sinal de igualdade representa um equilíbrio e
“tudo que faço de um lado da equação devo fazer do outro”.
EQUAÇÕESHabilidades
EF09MA09 Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e
elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2º grau.
Objetos de conhecimento
• Reconhecer uma equação do 2º grau com uma incógnita e identificar seus
coeficientes
• Identificar e classificar uma equação do 2º grau em completa ou incompleta.
• Resolver equações incompletas do 2º grau
• Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2º grau incompletas
• Resolver equações completas do 2º grau (Fatoração, completar quadrados e
fórmula resolutiva)
• Resolver equações literais do 2º grau
• Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações
polinomiais do 2º grau completas
• Determinar a quantidade de raízes de uma equação do 2º grau por meio do seu
discriminante
2x + 8 = 202x = 12x = 6
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https://goo.gl/8xxu3t
ACESSE O VÍDEO
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72 | Matemática em REDE com multiplano
MATRIZES
Para cálculo de matrizes, determinantes e sistemas lineares, deve-se proceder
de forma análoga aos livros didáticos do Ensino Médio. As fotos a seguir são
apenas ilustrativas.
Matriz 2×3 Matriz 3×3
Determinante usando a regra de Sarrus. Montagem de um sistema linear.
FRAÇÕES
Habilidades
EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de
partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações
equivalentes.
EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de
uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem
uso de calculadora.
EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com
números racionais positivos na representação fracionária.
EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros,
resultado da divisão, razão e operador.
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
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https://goo.gl/Q1y7L1
Matemática em REDE com multiplano | 73
Objetos de conhecimento
• Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação,
adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e
subtração de frações
• Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação,
adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e
subtração de frações
• Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão
e operador
Para o trabalho com frações propõe-se não utilizar o mmc (mínimo múltiplo comum), conteúdo dificultoso para os estudantes, uma vez que gera muitas dúvidas, tais como: “Como vou aprender frações se não consigo resolver o mmc?”. Na verdade, o educando, na maioria das vezes, não compreende para que serve calcular o mmc.
Aprender frações é importante para a vida do estudante, porque em várias situações do dia a dia ele tem de lidar com números na forma decimal, como no registro de quantidades e medidas, na leitura de preços, etc. É importante que os estudantes compreendam que os números decimais são resultados de divisões entre dois números inteiros, ou seja, uma fração. Portanto, simplificar a resolução de frações significa simplificar a vida cotidiana, facilitando o empirismo do raciocínio lógico-matemático.
Exemplo: João e Pedro resolveram comer uma pizza. O garçom a dividiu ao meio. Logo depois que terminaram de comer, chegou José, amigo de Pedro e João. Decidiram, então, pedir outra pizza, que foi dividida em três partes. Como João tinha um compromisso inadiável, logo que os três amigos terminaram de comer a pizza ele foi acertar sua parte nas despesas. Mas, quando chegou ao caixa, surgiu a seguinte dúvida: “Quanto eu tenho que pagar?”.
Foram pedidas duas pizzas: uma dividida em duas partes outra dividida em três partes.
João comeu metade da primeira pizza e a terça parte da segunda.
Logo, temos as frações 1
2
1
3+ , que representam as duas partes que João
comeu de pizza.
É fração? Tenho que pensar!
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/CTFmBf
74 | Matemática em REDE com multiplano
Não é improvável que o estudante resolva essa adição fazendo o
seguinte cálculo: 1
2
1
3+ resultado que não é verdadeiro:
2
5, na verdade, representam menos
da metade de uma pizza, mas João comeu mais do que a metade. Vejamos:
1
2+ ≠
1
3
2
5
Para resolver essa adição, propõe-se que, em vez de calcular o mmc, o
estudante trabalhe com frações equivalentes, isto é, com denominador
igual. O denominador indica em quantas partes foi repartido o todo e o
numerador indica quantas partes foram tomadas desse todo. Se as partes
do todo forem equivalentes, será mais fácil efetuar a operação.
Transpondo essa noção ao exemplo das pizzas, só é possível
estabelecer uma relação entre elas a partir do momento em que os pedaços
forem do mesmo tamanho.
1
2
3
6=
1
3
2
6=
Matemática em REDE com multiplano | 75
3
6
2
6
5
6+ =
Portanto, João comeu 5 pedaços de 6.
Só é possível adicionar frações quando os denominadores forem iguais. E
encontrar frações equivalentes com denominadores iguais é um processo fácil e
que dispensa o cálculo do mmc: basta multiplicar a primeira fração pelo
denominador da segunda e multiplicar a segunda fração pelo denominador da
primeira. No caso de três ou mais frações, utiliza-se a propriedade associativa.
Observe os exemplos a seguir.
a. 1
2
1
3
1 3
2 3
1 2
3 2
3
6
2
6
5
6+ =
⋅
⋅
+⋅
⋅
= + =
b. 1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
5
1
4
1
5
1 3
2 3
1 2
3 2+ + + + +
+ +
=⋅⋅
+⋅⋅
+� �11 5
4 5
1 4
5 4
3
6
2
6
⋅⋅
+⋅⋅
= +
+
+ +
= + =⋅⋅
+⋅⋅
= + =5
20
4
20
5
6
9
20
5 20
6 20
9 6
20 6
100
120
54
120
154
120==
÷÷
=154 2
120 2
77
60
Pode-se representar uma fração usando-se retângulos. Os retângulos
com elásticos cruzados em seu interior representam as partes tomadas da
fração.
5
8
2
5
2
5
4
10=
PRODUTO DE FRAÇÕESÉ importante lembrar que a fração tem várias interpretações: pode ser
relação entre medidas, parte de uma medida de comprimento, de uma área,
relação entre lados de uma figura, etc.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/npfLGo
76 | Matemática em REDE com multiplano
Na primeira figura, temos 6 x 4 = 24 pinos; na segunda figura, temos 9 x 5 = 45.
Ou seja, quando multiplicamos dois números, esses números
representam dimensões (comprimento por largura), e a resposta é a área
da figura.
Para calcular o produto de duas frações, consideramos o total de pinos do
comprimento da figura (ou número de colunas) como sendo o denominador da
primeira fração, o total de pinos da largura (ou número de linhas) como sendo
denominador da segunda fração, e identificamos com elástico o total de pinos
dos numeradores das frações em seus lados correspondentes.
Como exemplo vamos multiplicar 2
3
por 3
4.
O primeiro passo é construir uma figura
de comprimento com três pinos (denominador
da primeira fração) e largura com quatro
pinos (denominador da segunda fração). Em
seguida identificamos com elástico os
numeradores das frações em seus lados
correspondentes.
A fração 2
3 representa dois pinos
marcados num total de três e a fração 3
4
representa três pinos identificados num
total de quatro.
A figura contornada por elástico tem
seis pinos em um retângulo formado por
doze pinos.
Assim podemos concluir que 2
3
3
4
6
12× = .
Todo produto pode ser escrito em forma de linhas por colunas.
Matemática em REDE com multiplano | 77
Voltando à figura formada, podemos reagrupar os pinos e formar
figuras semelhantes:
Os três pinos da quarta linha passaram para a quarta coluna, formando
dois grupos semelhantes; o grupo identificado por elástico é o produto de 2
3
3
4× e o grupo da direita representa parte do todo. Assim temos:
6
12
1
2= .
A quantidade de pinos não muda, apenas a forma de representar a fração
(de seis pinos em doze mudamos para um grupo em dois). As frações 6
12 e
1
2 são frações equivalentes.
Outro exemplo: 5
8
6
10×
A figura retangular identificada com elástico representa o produto de
5 × 6 = 30 pinos e a figura inteira representa o produto de 8 × 10 = 80 pinos. Assim, concluímos que para calcular produto de fração por fração basta
multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.5
8
6
10
30
80× = , ou seja, 30 pinos num total de 80.
Vamos agrupar os pinos para tentar simplificar:
Pode-se concluir que 30
80
3
8= (lê-se: trinta pinos em oitenta é igual a
três grupos de dez em oito grupos de dez).
Dá para simplificar?Se for possível, explique. Quero entender.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/KaygSU
Seguindo o mesmo raciocínio, temos cinco colunas identificadas com elástico, num total de oito colunas, e seis linhas identificadas, num total de dez.
Veja que foi possível formar oito grupos contendo dez pinos cada um.
78 | Matemática em REDE com multiplano
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Vamos voltar à figura anterior para relembrar o produto:
Comprimento vezes largura é igual à área, 6 × 4 = 24.
Na divisão, é fazer o inverso: a medida da área dividida pelo
comprimento à largura.
24 : 6 = 4: nesse caso o dividendo é a área, o divisor é o comprimento e
o quociente (resposta) é a largura.
Quer dizer que estamos partindo do todo para encontrar as partes?
E agora como encontrar partes de partes?
Nesse caso a fração do dividendo é parte da área de um todo referência
e o divisor seja o outro lado da figura.
Vamos adotar em nossos exemplos como padrão de referência uma
figura quadrada de lado 1, ou seja, uma unidade de medida.
Lembrando que o padrão de referência deve ser ajustado de forma que
o total de pinos seja divisível pelos denominadores das frações.
Consideremos as colunas como numerador (área do todo referência) e
as linhas como denominador (lado).
No primeiro exemplo vamos dividir um por meio, 11
2÷ .
Nesse caso tem que ser um quadrado de lado formado com dois pinos.
1
1
Nossa, e agora, como explicar?
Matemática em REDE com multiplano | 79
Agora vamos manter o lado unitário com dois pinos (coluna) e dividir
as linhas ao meio.
1/2
1
Assim, a figura formada tem um total de duas colunas e uma linha.
E podemos concluir que 11
2
2
12÷ = = [lê-se um (representado por duas
colunas) dividido por meio (inicialmente representado por duas linhas) é
igual a duas colunas por uma linha].
Então vamos ver outros exemplos: 1
2
1
3÷
A figura referência deve ter lado divisível por dois e por três.
1
1
O dividendo é que representa a área de meia figura.
E nosso divisor é 1
3÷ =, ou seja, vamos tomar um terço do outro lado da figura.
que é a figura resultante
da divisão do 1
2
1
3÷
1/2
1 1/3
1/2
Para facilitar basta multiplicar os denominadores 2 × 3 = 6.
1
1/2
1
1
80 | Matemática em REDE com multiplano
Logo, 1
2
1
3
3
2÷ = ; ou seja, meia figura (de seis linhas por seis colunas)
dividida na terça parte é uma figura formada com três colunas por duas
linhas.
Vamos ver outra: 2
3
3
4÷
Nossa figura de referência deve ter um total de pinos em seus lados igual ao
produto dos denominadores 3 × 4 = 12.
1
1
Da fração 2
3, vamos dividir o comprimento em três partes e
manter duas partes.
1 1
1 2/3
Da fração 2
3, vamos dividir o comprimento em três partes e
manter duas partes.
1 3/4
2/32/3
Agora ficou mais fácil, posso até ajudar no próximo exemplo.
Pronto, a figura ao lado representa a
divisão do 2
3
3
4÷ .
Matemática em REDE com multiplano | 81
Contando as colunas temos um total de 8 e o número de linhas é igual a 9.
Assim, podemos concluir que 2
3
3
4
8
9÷ = : dois terços (de uma figura 12 × 12)
dividido por três quartos é igual a oito nonos (oito linhas por nove colunas)
Assim podemos afirmar que na divisão de fração (pela regra) basta manter a
primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.
2
3
3
4
2
3
4
3
8
9÷ = × =
SISTEMAS LINEARES
Habilidades
EF08MA08 Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo,
que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau
com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano
cartesiano como recurso.
Objetos de conhecimento
• Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e
representação no plano cartesiano
João e Pedro são pecuaristas. Um dia se encontraram e começaram a
negociar. João disse a Pedro: “Dê-me um de seus bois que ficarei com o dobro
da quantia que você tem”. E então Pedro retrucou: “Não, dê-me um dos seus
que nós ficamos com a mesma quantia”. Quantos bois têm cada um?
A primeira impressão que se tem é a de que o problema não tem
solução, por não aparecer números no enunciado. As informações de um
problema devem ser escritas na ordem em que são contadas e não podem
ser alteradas.
Esse problema tem somente duas variáveis. Só é possível encontrar
solução se pudermos escrever duas equações.
Primeira informação: “Dê-me um de seus bois que eu ficarei com o
dobro da quantia que você tem”.
A quantidade de João mais um boi é igual à quantidade de Pedro
menos um boi. Então, a equação matemática resultante é:
J + 1 = 2 (P − 1)
Segunda informação: “Não, dê-me um dos seus bois que nós ficamos
com a mesma quantia”.
82 | Matemática em REDE com multiplano
Equação matemática: J − 1 = P + 1Escrevendo uma nova equação para reduzir as equações vamos encontrar:
J − P = 2, ou seja, que João tem dois bois a mais que Pedro.Todo problema que tem duas equações necessita de um confronto
entre elas para encontrar a solução.
Solução geométrica:
J + 1 = 2P − 2 1a equação
J − 1 = P + 1 2a equação
Nesse método de solução, monta-se um gráfico de cada equação, onde
a solução será a intersecção das retas resultantes.
1a equação: atribui-se um valor a qualquer uma das duas variáveis,
substitui-se esse mesmo valor na equação para encontrar a relação que
este tem com a outra variável, para formar o par ordenado, e após localizá-
lo no plano cartesiano.
Vamos marcar a quantidade de João no eixo “x” e a quantidade de
Pedro no eixo “y”:
Pela 1a equação, temos:
J + 1 = 2P − 2Se J = 1, então P = 2.
Se J = 9, então P = 6.
Pela 2a equação, temos: J = P + 2.
Se J = 1, então P = −1.Se J = 10, então P = 8.
Agora, vamos construir os dois gráficos em
um mesmo plano cartesiano, pois é a
intersecção entre eles que permitirá
conhecermos a resposta:
Vamos atribuir valores para João e descobrir qual seria a quantia de Pedro.
Vamos ver! O resultado diz que João tem 7 bois e Pedro tem 5.Se Pedro der 1 boi para João ficará com a metade de João, se João der 1 boi para Pedro ambos ficarão com a mesma quantidade.
O ponto de intersecção das retas forma o par ordenado (7, 5), o qual é a solução do problema.
Matemática em REDE com multiplano | 83
TRIGONOMETRIAHabilidades
EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo
uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Objetos de conhecimento
• Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
Outro conteúdo que pode ser explorado no Multiplano é o de
Trigonometria. Isso porque no material a representação do círculo
trigonométrico pode ser feita, através do Multiplano circular, que
permite o estudo dos conceitos e cálculos relativos a esse assunto.
Conceitos muitas vezes, distantes do estudante, que desconhece o
porquê dos fenômenos, simplesmente os memoriza. É o caso das
relações que envolvem seno, cosseno, tangente, etc. Na maioria dos
casos o professor transmite ao estudante os valores que essas funções
apresentam dependendo do ângulo analisado, assim como o sinal que
esses valores podem ter conforme o quadrante em que estiverem
localizados. Mas o porquê desses valores e o porquê da variação de
sinais muitas vezes não são informações que chegam até estudantes,
principalmente aos cegos, mesmo porque faltam materiais didáticos
apropriados. Mas, com auxílio do Multiplano, todas as relações
trigonométricas podem ser concretizadas, o que facilita ao educando a
compreensão dos fenômenos e consequente abstração.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/g3JWqt
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/rRkJ1m
Cosseno: é a projeção do raio sobre o eixo “x”.
84 | Matemática em REDE com multiplano
Seno: é a projeção do raio sobre o eixo “y”.
Tangente: sua medida é identificada na reta que toca o círculo, paralela ao eixo “y”, na intersecção com o prolongamento do raio.
Cotangente: sua medida é identificada na intersecção do raio com a reta que toca o círculo, paralela ao eixo “x”.
Secante: a medida da secante começa no centro da circunferência, segue pelo eixo “x” até a intersecção com a reta que toca o círculo e é perpendicular ao raio.
Cossecante: a medida da cossecante começa no centro da circunferência, segue pelo eixo “y” até a intersecção com a reta que toca o círculo e é perpendicular ao raio.
Vista de todas as funções trigonométricas.
Matemática em REDE com multiplano | 85
PENTÁGONOS PROPORCIONAISHabilidades
EF05MA18 Reconhecer a congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre os
lados correspondentes de figuras poligonais em situações de
ampliação e de redução em malhas quadriculadas usando tecnologias
digitais.
Objetos de conhecimento
• Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas:
reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados
correspondentes
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/7yH13R
Gráfico da função cosseno.
Gráfico da função tangente.
Gráfico da função seno.
Gráfico da função cotangente.
Gráfico da função seno, cosseno, tangente e cotangente.
86 | Matemática em REDE com multiplano
FIGURAS ESPACIAISHabilidades
EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse
conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Objetos de conhecimento
• Vistas ortogonais de figuras espaciais
As figuras espaciais podem ser construídas no Multiplano. As medidas das
hastes são adequadas para serem montadas sobre o Multiplano Circular, onde
podem ser montados os prismas regulares de base triangular, quadrada,
hexagonal. Outros prismas podem ser montados com as mesmas hastes, basta
fazer algumas tentativas.
Prisma de base quadrada montado sobre o Multiplano Circular: é uma forma fácil de visualizar a base, as arestas, os vértices, o apótema, as diagonais, etc. As hastes possuem medidas iguais ao lado da base, tornando nessa configuração um cubo.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/hm9e48
Prisma de base pentagonal.
Prisma de base hexagonal.
Prisma de base triangular.
Matemática em REDE com multiplano | 87
PIRÂMIDESHabilidades
EF02MA14 Reconhecer, nomear e comparar figuras geométricas espaciais (cubo,
bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera), relacionando-as
com objetos do mundo físico.
EF03MA13 Associar figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular,
pirâmide, cone, cilindro e esfera) a objetos do mundo físico e nomear
essas figuras.
EF03MA14 Descrever características de algumas figuras geométricas espaciais
(prismas retos, pirâmides, cilindros, cones), relacionando-as com suas
planificações.
EF04MA17 Associar prismas e pirâmides a suas planificações e analisar, nomear e
comparar seus atributos, estabelecendo relações entre as
representações planas e espaciais.
EF05MA16 Associar figuras espaciais a suas planificações (prismas, pirâmides,
cilindros e cones) e analisar, nomear e comparar seus atributos.
EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e
arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base,
para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Objetos de conhecimento
• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro
e esfera): reconhecimento e características
• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro
e esfera): reconhecimento, análise de características e planificações
• Figuras geométricas espaciais (prismas e pirâmides): reconhecimento,
representações, planificações e características
• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e
características
• Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices,
faces e arestas)
Pirâmide de base quadrada e seus elementos: arestas, vértices, apótema da base, apótema da lateral, etc.
88 | Matemática em REDE com multiplano
As pirâmides são facilmente construídas no Multiplano. Primeiro deve-se
colocar os pinos de acordo com a base, em seguida colocar uma haste no centro
do círculo, enroscar os elásticos na parte inferior na ponta de dois pinos passantes
e finalmente enroscar o elástico no topo do pino central para formar o corpo e a
altura da pirâmide.
Pirâmide de base hexagonal. Pirâmide de base dodecagonal.
Vista superior.
BASE PARA OPERAÇÕESOs números podem ser escritos e calculados no Multiplano. O processo de
identificação de um número é idêntico aos números romanos antigos ou ao
método Sorobã. A intenção nesse processo de cálculo é aproximar o estudante
cego ao método convencional utilizado no quadro de giz com os demais
estudantes. Sabemos que o método do Sorobã é diferente do usado com lápis e
papel, mas, com a base de operações sobre o Multiplano, o aluno pode resolver
com um método combinado entre quadro de giz e Sorobã.
A identificação de um número é feita a partir dos furos, localizados
abaixo da “base de operação”; na primeira coluna identificamos as
unidades, na segunda as dezenas, na terceira as centenas, e assim por
diante, conforme a base decimal. Um pino colocado abaixo da “base de
operação” identifica o número um; colocado no segundo furo representa o
dois; no terceiro, o três e no quarto representa o quatro. Para identificar o
número cinco, coloca-se um pino no furo da “base de operação”; o número
seis está representado juntamente com os pinos cinco e um, já o número
Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.
ACESSE O VÍDEO
https://goo.gl/CZHA8S
Matemática em REDE com multiplano | 89
sete está composto com os pinos cinco e dois, e assim sucessivamente até o
nove. O número 10 está representado por apenas um pino na ordem das
dezenas e nenhum na unidade. Vejamos alguns números:
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
90 | Matemática em REDE com multiplano
OPERAÇÕES:Na adição, segue-se o mesmo método feito no caderno, só não tem o “vai um”. Observe ao lado.
11
523
23
1523
41523
8 9 7+ 4 8 5
8 9 7+ 4 8 5
1 2
Matemática em REDE com multiplano | 91
8 9 7+ 4 8 5
1 8 2
8 9 7+ 4 8 51 3 8 2
6 3 9× 4
6 3 9× 4
3 6
92 | Matemática em REDE com multiplano
6 3 9× 4
1 5 6
6 3 9× 42 2 5 6
8 4 7– 6 8 9
8 4 7– 6 8 9
Matemática em REDE com multiplano | 93
7 1 3 1 7– 6 8 9
1 5 8
Subtração: Nessa sempre saio perdendo!
7 1 3 1 7– 6 8 9
5 4 6 4 5 4 6 4– 4 1
1
94 | Matemática em REDE com multiplano
DESAFIODados três pontos no plano cartesiano A(x0, y0), B(x1, y1) e
C(x2, y2). Determinar um triângulo que contém estes três pontos como
ponto médio de seus lados.
Considerando os pontos dos vértices do triângulo X1(x3,
y3), X2(x4, y4) e X3(x5, y5), as coordenadas de cada ponto serão:
X1 (x3 = x0 + x1 − x2, y3 = y0 + y1 − y2),
X2 (x4 = x0 + x2 − x1, y4 = y0 + y2 − y1),
X3 (x5 = x1 + x2 − x0, y5 = y1 + y2 − y0).
5 4 6 4– 4 1 3 6
1 4– 1 2
2 6– 2 4
2
5 4 6 4– 4 1 3
1 4– 1 2
2
Marcando os pontos X1(−3, 9), X2(9, −3) e X3(−7, −5) no Multiplano, e ligando com um elástico, pode-se perceber que realmente os pontos encontrados são vértices do triângulo que tem como ponto médio os pontos A(3, 3); B(-5, 2) e C(1, –4).
Matemática em REDE com multiplano | 95
Na figura acima foram marcados os pontos: A(3, 3); B(−5, 2) e C(1, −4).Os pontos de vértice são: X1(3 − 5 − 1, 3 + 2 + 4),X1(−3, 9);X2(3 + 1 + 5, 3 − 4 − 2),X2(9, −3).X3(−5 + 1 − 3, 2 − 4 − 3)X3(−7, −5)
Já aprendi! Vou marcar três pontos no Multiplano e criar vários triângulos que
possuem como ponto médio os vértices do triângulo anterior.
Demonstração do teorema:
Se: A(x0,y0) é ponto médio dos pontos X1(x3,y3) e X2(x4,y4),
B(x1,y1) é ponto médio dos pontos X1(x3,y3) e X3(x5,y5),
C(x2,y2) é ponto médio dos pontos X2(x4,y4) e X3(x5,y5),
Então:
a) 2x0 = x3 + x4 => x3 = 2x0 − x4
b) 2x1 = x3 + x5 =>x3 = 2x1 − x5
c) 2x2 = x4 + x5
d) De “a” e “b” temos:
2x0 − x4 = 2x1 − x5 => 2x0 − 2x1 = x4 − x5
e) Somando “c” com “d” temos:
2x2 + 2x0 − 2x1 = 2 x4
f) Dividindo “e” por dois, o
resultado é: x4 = x0 + x2 − x1.
g) Substituindo “f” em “c”:
2x2 = x0 + x2 − x1 + x5 => x5 = x1 + x2 − x0
h) Substituindo “g” em “b”:
x3 = 2x1 − (x1 + x2 − x0) => x3 = x0 + x1 − x2
Os vértices são sempre números inteiros.
A demonstração de y3, y4 e y5 fica a seu critério.
Matemática em REDE com multiplano | 97
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