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SUMRIO

Matemtica

Conjuntos numricos Nmeros inteiros, racionais e reais ........................................................ 3 Sistema legal de medidas ........................................................................... 46 Razes e propores Diviso proporcional ............................................................................. 15 Regras de trs simples e compostas ..................................................... 18 Porcentagens ....................................................................................... 22 Equaes e inequaes de 1 e de 2 graus .......................................... 25/31 Sistemas lineares ........................................................................................ 26 Funes e grficos..................................................................................... 31 Noes de Estatstica Grficos e tabelas ................................................................................. 67 Mdias .................................................................................................. 69 Moda .................................................................................................... 72 Mediana ................................................................................................ 74 Desvio-padro ....................................................................................... 78 Progresses aritmticas e geomtricas ................................................. 36/38 Princpios de contagem .............................................................................. 39 Noes de probabilidade ........................................................................... 42 Geometria plana Polgonos .............................................................................................. 52 Permetros e reas ................................................................................. 55 Semelhana de tringulos ..................................................................... 53 Trigonometria do tringulo retngulo ................................................... 60 Geometria espacial reas e volumes de slidos ................................................................. 63

3MATEMTICACONJUNTOS E INTERVALOS NUMRICOSA seguir recordaremos alguns dos principais conjuntos numricos. Conjunto dos Nmeros Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ....} Conjunto dos Nmeros Inteiros (ou Inteiros Relativos) Z = { .... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Observe que o conjunto N est contido em Z (NZ). Conjunto dos Nmeros Inteiros Negativos

Jlio Lociksmais os nmeros com representao decimal no perdica. So exemplos de nmeros reais: 2 = 2,000... 1/5 = 0,2000... 4/9 = 0,444... = 3,141592653...

2 = 1, 414213...Nmeros Irracionais Alguns nmeros tm representao decimal infinita e aperidica no sendo, portanto, nmeros racionais. A estes nmeros denominamos nmeros irracionais. Nmeros Irracionais: tm representao decimal... ... infinita e ... aperidica. O conjunto dos nmeros irracionais usualmente representado por I. So exemplos de nmeros irracionais: = 3,14159265358979323846... e = 2,71828182846...

Z * = { ... 6, 5, 4, 3, 2, 1} Conjunto dos Nmeros Inteiros no-Positivos Z = { ... 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} Conjunto dos Nmeros Inteiros Positivos

Z * = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... } +Conjunto dos Nmeros Inteiros no-Negativos Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... } Observe que o conjunto Z + igual ao conjunto N. Conjunto dos Nmeros Racionais o conjunto de todos os nmeros x para os quais exista um par de nmeros inteiros a e b, com b 0, tais que a x = b. Q = {x / ax = b , a Z, b Z*} Todos os nmeros inteiros pertencem ao conjunto Q. Logo, o conjunto Z est contido em Q (Z Q). Todas as fraes com numerador e denominador inteiros, pertencem ao conjunto Q. Todas as dzimas peridicas pertencem ao conjunto Q. Os nmeros decimais no peridicos no pertencem ao conjunto Q. CONJUNTO DOS NMEROS REAIS O conjunto dos nmeros reais compreende todos os nmeros que permitam representao na forma decimal, peridica ou no peridica. Isto compreende todos os nmeros inteiros, todos os nmeros racionais e

2 = 1,41421356237...A operao de radiciao produz, freqentemente, nmeros irracionais. A raiz de um nmero natural qualquer, ou resultar tambm nmero natural ou ser um nmero irracional.

nm. natural nm. natural = ou nm. irracional Exemplos:n

R | S | T

3

12 um nmero irracional 10 um nmero irracional

Representao dos Nmeros por Pontos da Reta Podemos representar todos os nmeros reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numrica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o nmero zero.

Depois, marcam-se os demais nmeros inteiros, mantendo sempre a mesma distncia entre dois inteiros consecutivos quaisquer, sendo: os positivos, direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita; e os negativos esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;

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4Todos os demais nmeros reais no inteiros, racionais ou irracionais, podem ser localizados entre dois nmeros inteiros. Observe, por exemplo, onde esto localizados os nmeros

EXERCCIOS CONJUNTOS NUMRICOS 1. Considerando as convenes usuais para os conjuntos numricos, o conjunto Z+ pode ser corretamente denominado: a) Conjunto dos nmeros inteiros no nulos. b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos. c) Conjunto dos nmeros inteiros positivos. d) Conjunto dos nmeros racionais positivos. e) Conjunto dos nmeros naturais. 2. Sobre os nmeros inteiros julgue os itens seguintes: a) Todo nmero par pode ser escrito como 2n, onde n um nmero inteiro. b) Todo nmero mpar pode ser escrito como 2n+7, onde n um nmero inteiro. c) A soma de dois nmeros inteiros mpares sempre um nmero inteiro par. d) Todo nmero inteiro ou par ou mpar. e) Todo nmero inteiro par pode ser escrito como n2+2. 3. Sobre os nmeros inteiros julgue os itens abaixo: a) A soma de dois nmeros inteiros pares sempre um nmero inteiro par. b) O produto de dois nmeros inteiros pares sempre um nmero inteiro par. c) A soma de dois nmeros inteiros mpares sempre um nmero inteiro mpar. d) O produto de dois nmeros inteiros mpares sempre um nmero inteiro mpar. e) O quadrado de um nmero inteiro mpar sempre um nmero inteiro mpar. 4. Seja Z o conjunto dos nmeros inteiros e A e B dois de seus subconjuntos definidos como: A={xZ / 2 x 5} B={xZ / x > 4} Nestas condies pode-se afirmar que: a) AB B b) AB A c) BA {xZ / 4 > x} d) AB={xZ / 2 x 4} e) BA={xZ / x 5} 5. Considere os conjuntos A={xN/ x primo e x 5} Notao de Intervalos: ]5; +[ Observe: Na notao de intervalos, o colchete que est do lado de ou de + fica sempre voltado para fora.

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57. Sobre os conjuntos numricos usuais, N, Z, Q e R, correto afirmar: a) O quociente da diviso de 1 por 17 tem infinitas casas decimais e aperidico. b) Toda frao irredutvel cujo denominador seja divisvel por algum fator primo diferente de 2 e de 5 necessariamente geratriz de uma dzima peridica. c) O valor da frao 355/113 3,141592... Como 3,141592... igual ao nmero tem-se, portanto, que um nmero racional. d) Se o quadrado de um nmero x um nmero racional ento x tambm um nmero racional. e) As equaes do tipo x2 = n , onde n um nmero inteiro qualquer, sempre tm razes reais. 8. Julgue os itens seguintes: a) 3,999... no um nmero inteiro mas um nmero racional. b) No existe um nmero racional x tal que x2 = 10. c) O nmero = 3,14... irracional e, portanto, sua representao decimal tem infinitas casas mas no uma dzima peridica. d) O nmero x = 12.793 no inteiro nem racional mas pertence ao conjunto dos nmero reais. e) Se n um nmero natural qualquer ento ou n um nmero natural ou n um nmero irracional. 9. Sobre o valor de y= x , onde x um nmero real, correto afirmar que: a) Se x=5 ento y no um nmero racional. b) Se x=2 ento y no um nmero real. c) Se x=3 ento o valor de y um nmero real no intervalo ] 1 ; 2 ]. d) Se x=4 ento y igual a 2. e) Se x=25 ento y igual a 5. 10. Sejam R o conjunto dos nmeros reais; Q o conjunto dos nmeros racionais e N o conjunto dos nmeros naturais. correto afirmar que: a) QN R b) QN R c) QN = R d) QR = Q e) QR 11. Sejam x e y dois nmeros reais tais que 0 0) Obs.: Se a < 0, pode-se multiplicar a inequao por 1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequao por 1 os sinais > e < sero sempre trocados um pelo outro. Sejam a > 0 e = b 2 4ac, tem-se: > 0 ax 2 + bx + c ser: positiva para todo x fora do intervalo limitado pelas duas razes; igual a zero para x igual a qualquer uma das duas razes; negativa para todo x dentro do intervalo limitado pelas duas razes. = 0 ax 2 + bx + c ser: igual a zero quando x for a raiz; positiva para todos os outros valores de x. < 0 ax 2 + bx + c ser sempre positiva. EXERCCIOS INEQUAES DO 2O GRAU Nos exerccios de 1 a 5, resolva as inequaes do 2o grau. 1. x 2 +11x 12 > 0 2. x 2 +x +12 0 3. x 2 6x +9 > 0

INEQUAES DO 1O E DO 2O GRAUSResolver uma inequao num dado conjunto numrico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os valores de U que tornam verdadeira a inequao. Este subconjunto de U chamado conjunto-soluo ou conjunto-verdade da inequao. Inequaes do 1o Grau So as inequaes redutveis a uma das seguintes formas: ax + b < 0 ax + b 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0 (todas com a > 0) Obs.: sempre possvel multiplicar os dois lados de uma inequao por 1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequao por 1 os sinais > e < sero sempre trocados um pelo outro. Sendo a > 0 teremos: ax + b < 0 ax + b 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0 x < b/a x