Matematica per l’Ingegneria...
Transcript of Matematica per l’Ingegneria...
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nde
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26
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27
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p.1.
4-2)
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olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
28
2.El
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e2.
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.B.R
iem
ann
1826
-1866
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
29
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1,..
.,n
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Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
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La
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>0
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mm
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ain
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olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
31
2.2.
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n.
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(1)
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1875
-1941
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
32
La
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ase
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(5)
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
33
Defi
niz
ione
2.2-
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eE
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nsi
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mis
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niin
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I,si
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Pro
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ne
2.2-
2.La
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ne
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me
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2,.
..so
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M,in
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num
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n.
iii)
La
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),ci
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onu
mer
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M,a
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sgiu
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siha
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niz
ione
2.2-
2.Si
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ita
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eme
mis
urab
ileE
⊆R
n;
dire
mo
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em
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abile
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R;e
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cui
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eno
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∈E
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Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
34
Defi
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ione
2.2-
3.Si
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ma
funz
ione
sem
plic
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afu
nzio
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me
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una
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che
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me
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..,
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2,.
..,E
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sec
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c+∞
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.
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
35
Sia
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fun
afu
nzio
nem
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abile
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5.D
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x.
(10)
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olo
2.
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dell’
integrazio
ne
36
2.3.
L’in
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rale
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gu
e
Teo
rem
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Lebe
sgue
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verg
enza
dom
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ne
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mab
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Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
37
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adi
B.Le
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som
mab
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b)si
ha
lim n→
∞
∫ E
f n(x
)dx
=∫ E
f(x
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B.Levi
1875
-1961
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
38
Teo
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Pro
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,y)d
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,y)d
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G.Fubin
i
1879
-1943
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
39
Teo
rem
adi
Ton
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Pro
pos
izio
ne
2.3-
4.Si
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,y)�→
f(x
,y),
x∈
R,
y∈
Run
afu
nzio
nem
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,y)≥
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izio
nepr
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,al
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mab
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R2.
L.Tonelli
1855
-1946
Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
40
Teo
rem
adi
Lebe
sgue
-Vital
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Pro
pos
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2.3-
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ione
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solo
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ura
nulla
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Defi
niz
ione
2.3-
1.La
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ione
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[a,b
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Rsi
dice
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2,..
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1
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p ∑ k=
1
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k)|
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Pro
pos
izio
ne
2.3-
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ione
inte
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cont
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allo
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o.su
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F′ (
x),
siha
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[a,b
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1)
=∫ x 2 x
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f(x
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Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
41
2.4.
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f 2(x
)dx.
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Capit
olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
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nso
che
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)|<
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olo
2.
elementiditeoria
dell’
integrazio
ne
43
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.(8
)
SeE
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(E)
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olo
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1
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(2)
Capit
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3.
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2po
ssia
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neor
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e1.
4-1:
tale
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neam
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ione
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(2),
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calc
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(3)
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afo
1.4:
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1f 1
+λ
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λ2c k
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Capit
olo
3.
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∫ π −π
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(4)
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∫ π −π
f(t
)cos
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k=
1,2,
...,
n,
(5)
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1 π
∫ π −π
f(t
)sin
ktdt,
k=
1,2,
...,
n.
(6)
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Capit
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3.
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1)x) +
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+1)
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a0 2
+∞ ∑ k=
1
[akco
skx
+b k
sin
kx
],
che
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ach
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Four
ier
dif.
Scri
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)∼
a0 2
+∞ ∑ k=
1
[akco
skx
+b k
sin
kx
],(7
)
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Capit
olo
3.
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La
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Bes
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‖2,
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n
|c k|2
≤1 2π
‖f‖2
.(8
′ )
Pas
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+∞
siot
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e∞ ∑
k=−∞
|c k|2
≤1 2π
‖f‖2
.(9
)
Ana
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men
te,se
siut
ilizz
ala
form
are
ale,
siot
tien
ela
disu
guag
lianz
a
|a0|2 2
+∞ ∑ k=
1
[ |ak|2
+|b k
|2] ≤1 π‖f
‖2.
(9′ )
F.W
.B
ess
el
1784
-1846
Capit
olo
3.
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difourie
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olo
3.
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olo
3.
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1845
-1918
Capit
olo
3.
serie
difourie
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izio
ne
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1805
-1859
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olo
3.
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difourie
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olo
3.
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3.
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3.
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3.
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3.
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φk
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la
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104
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la
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ormata
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-1783
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5.4-
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5.5.
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ion
idif
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nzi
alio
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Un
prob
lem
adi
valo
riin
izia
lipe
run
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nedi
ffere
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−1
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olo
6.
la
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r11
0
6.La
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r6.
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ne
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nizi
one
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ione
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Defi
niz
ione
6.1-
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iam
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otras
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6.1-
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pos
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ne
6.1-
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6.
la
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r11
1
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olo
6.
la
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r11
2
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6.2-
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|x|)+
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2a
>0
Capit
olo
6.
la
trasf
ormata
difourie
r11
3
6.2.
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ne
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ione
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0)
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form
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pos
izio
ne
6.2-
3.Si
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som
mab
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af;al
lora
,pe
rog
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0
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funz
ione
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f(x
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rmat
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0).
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pos
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ne
6.2-
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2.N
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la
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r11
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Capit
olo
6.
la
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r11
5
6.3.
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ione
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pos
izio
ne
6.3-
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=2π
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),g
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rmat
adi
Four
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nari
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)=
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).
Capit
olo
6.
la
trasf
ormata
difourie
r11
6
6.4.
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ma
diS
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n
C.Shannon
1916-2
001
Sia
x(t
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Capit
olo
6.
la
trasf
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r11
7
Tab
ella
6.3-
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efini
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e6.
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Form
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∫ ∞ −∞
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xf(ω
)dω.
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(x)]
(ω)
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)+
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[f2(x
)](ω
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(ω)
=1 |c|
F[f
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( ω c
)∀c
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x0)]
(ω)
=e−
ix0ωF
[f(x
)](ω
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F[e
iω0xf(x
)](ω
)=
F[f
(x)]
(ω−
ω0)
F[f
′ (x)]
(ω)
=iω
F[f
(x)]
(ω)
d dωF
[f(x
)](ω
)=
F[−
ixf(x
)](ω
)
F[(
f 1∗f
2)(
x)]
(ω)
=F
[f1(x
)](ω
)·F
[f2(x
)](ω
)
(f1|f
2)
=2π
(f1|f
2)
=⇒
‖f‖2
=2π
‖f‖2
Capit
olo
6.
la
trasf
ormata
difourie
r11
8
Tab
ella
6.3-
1’.
Proprie
ta
della
trasf
ormata
diFourie
r
(con
isi
mbo
lide
llaD
efini
zion
e6.
1-1′
)
Defi
nizi
one:
F[x
(t)]
(f)
=X
(f)
=∫ ∞ −
∞e−
i2π
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)dt
Form
ula
d’in
vers
ione
:x(t
)=
∫ ∞ −∞
ei2π
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f
F[c
1x
1(t
)+
c 2x
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)](f
)=
c 1X
1(f
)+
c 2X
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)
F[x
(ct)
](f)
=1 |c|
X( f c
) ,∀c
�=0
F[x
(t−
t 0)]
(f)
=e−
it0f
X(f
)
F[e
i2π
f0tx(t
)](ω
)=
X(f
−f 0
)
F[x
′ (t)
](f)
=i2
πf
X(f
)
X′ (
f)
=F
[−i2
πtx(t
)](f
)
F[(
x1∗x
2)(
t)](
f)
=X
1(f
)·X
2(f
)
(X1|X
2)
=(x
1|x
2)
=⇒
‖X‖2
=‖x
‖2
Capit
olo
7.
dis
trib
uzio
ni
119
7.D
istri
buzi
oni
7.1.
Ilco
nce
tto
did
istr
ibu
zio
ne
Defi
niz
ione
7.1-
1.La
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ione
v:
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Cap
part
iene
allo
spaz
ioD
(R)
sees
sae
dicl
asse
C(∞
)(R
)e
ilsu
osu
ppor
to:
supp
v:=
{x∈
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(x)�=
0}e
com
patt
o,du
nque
cont
enut
oin
unin
terv
allo
limit
ato
della
rett
are
ale.
Defi
niz
ione
7.1-
2.D
irem
och
ela
succ
essi
one
v k(x
)di
funz
ioni
dello
spaz
ioD
(R)
conv
erge
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ione
nulla
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i)es
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terv
allo
[a,b
]che
cont
iene
isup
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nzio
niv k
:∀k
,sup
pv k
⊆[a
,b];
ii)
per
ogni
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v(p
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(x)
conv
erge
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alla
funz
ione
nulla
:lim
k→
∞‖v
(p)
k‖ ∞
=0.
Dir
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(x)
tend
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v∈D
(R)
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−v
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eal
lafu
nzio
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llane
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pena
spec
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Capit
olo
7.
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trib
uzio
ni
120
Defi
niz
ione
7.1-
3.Si
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ma
dist
ribu
zion
esu
Rog
nifu
nzio
nale
T:D
(R)→
Clin
eare
eco
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uo,ne
lse
nso
che
( v k→
v(i
nD
(R)) =
⇒( T
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T(v
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ne
7.1-
1.La
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zach
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f∈
L1 lo
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dist
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zion
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∫ Rf(x
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ein
iett
iva.
Defi
niz
ione
7.1-
4.D
ata
lasu
cces
sion
edi
dist
ribu
zion
i(f
k),
dire
mo
che
f kco
nver
gea
f∈D
′ (R
)se
lim k→
∞〈f
k,v〉=
〈f,v〉,
∀v∈D
(R).
(3)
Pro
pos
izio
ne
7.1-
2.Si
af k
(x)
una
succ
essi
one
difu
nzio
niso
mm
abili
suR
tali
che
1)f k
(x)≥
0,∀k
,∀x;
2)∫ R
f k(x
)dx
=1,
∀k
3)∀δ
>0,
limk→
∞∫ δ −
δf k
(x)d
x=
1.
Allo
raf k
(x)→
δ(x)
inD
′ (R
)pe
rk→
∞.
Capit
olo
7.
dis
trib
uzio
ni
121
Tab
ella
7.1-
1.A
lcune
famig
lie
difunzio
niche
tendono
alla
delt
adiD
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f(x
)λ
f(λ
x)
χ[−
1/2,1
/2](x)
λχ
[−1/2λ
,1/2λ](x)
χ[0
,1](x)
λχ
[0,1
/λ](x)
1 π
11
+x
2
λ π
11
+λ
2x
2
1 √π
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λ √π
e−λ
2x2
(1−
|x|)+
λ(1
−λ|x|)+
1 2e−
|x|
λ 2e−
λ|x|
Capit
olo
7.
dis
trib
uzio
ni
122
7.2.
Op
eraz
ion
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lled
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ibu
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ni
Com
bina
zion
elin
eare
:
〈c1f 1
+c 2
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1,v〉+
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2,v〉,
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(R).
(1)
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nun
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(x),
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7.
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123
7.3.
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7.3-
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7.
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imbo
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)]=
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δ(f−
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+λ)]
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