Matematica per economisti Beatrice Venturi 1 Facoltà di Economia Equazioni differenziali Lineari ed...

matematica per economisti Beatrice Venturi

1

Facoltà di Economia

Equazioni differenziali Lineari

ed Applicazioni Economiche

LEZIONE 2prof. Beatrice Venturi


2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

LINEARILINEARI

APPLICAZIONI ECONOMICHEAPPLICAZIONI ECONOMICHE


3

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI

Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma:

)()(' xgyxfy La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente :

cdxxgeey

dxxfdxxf)(

)()(


4


)(xxydx

dy

xdxxy

dy

)(

2

2

)(x

cexy

Esempi


5


y′-xy=0

y(0)=1

Consideriamo il seguente problema a valori iniziali:

2

2

)(x

exy


6


[Plot]

52.50-2.5-5

2.5e+5

2e+5

1.5e+5

1e+5

5e+4

0

x

y

x

y

2

2

)(x

exy


7

Diapositiva sommario

ESEMPIO ECONOMICO

)(1

)(

1ts

Idt

dII

tsdt

dI

Modello di crescita di Domar


8

Diapositiva sommario

dove la propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo

0)( Itsdt

dI

dttsCetI )()(


9


Equazioni differenziali lineari: omogenee a coefficienti non costanti

Esempio

0)()()1( 1 xyxadx

dy


10


)()(1 xyxadx

dy

dxxaxy

dy)(

)( 1

dxxaxy )()(ln 1

dxxaCexy )(1)(


11


Abbiamo ottenuto l’integrale generale associato

all’equazione omogenea (1).

kdxxaety )(1)(

dxxaCety )(1)(


12


Equazioni differenziali lineari: non omogenee

a coefficienti non costanti

)()()()2( 01 xaxyxadx

dy


13


dxxae )(1

)(

)()(

0

)(

1

)()(

1

11

xae

xyxaedx

dye

dxxa

dxxadxxa

Moltiplichiamo entrambi i termini per:


14


)())(( 0

)()( 11 xaexyeDdxxadxxa

dxxaedxxyeDdxxadxxa

)())(( 0

)()( 11


15


INTEGRALE GENERALEDELLA (2)

])([)( 0

)()( 11 cdxxaeexydxxadxxa


16

IL PROBLEMA DI CAUCHY

Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare

xy

che soddisfi n equazioni iniziali del tipo :


17

,,........,,,

:

...........

,'

,

10000

100

1

00

00

00

0

nx

nn

yyxyyx

dove

yxy

yxy

yxy

yxy

sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy.


18

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE

Questo tipo di equazioni possono essere classificate in:

• omogenee;

• lineari non omogenee (1° e 2° caso);


19


)()(122

2

tftxadt

dxa

dt

xd

Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti costanti

l’equazione omogenea ad essa associata è

0)(122

2

txadt

dxa

dt

xd


20


Ipotizziamo la soluzione di questa del tipo

tetx )(

tt edt

xdee

dt

dx 22

2


21


sostituendo

0)( 122 aae t

l’espressione in parentesi prende il nome di polinomio caratteristico

0122 aa


22


Caso a)se le radici

21 esono distinte

l’integrale generale della equazione omogeneaha la seguente forma

tt ecectx 2121)(

dove Rcec 21

sono due costanti arbitrarie.


23


Caso b)se le radici

21

sono coincidentil’integrale generale della equazione omogenea

ha la seguente formatt tecectx

21)( dove 21 cec

sono due costanti arbitrarie


24

Caso c)se le radici

i1

, i2

sono complesse coniugatel’integrale generale della equazione omogenea

ha la seguente forma

tektektx tt sincos)( 21

dove la forma reale si ricava utilizzando il teorema di Eulero



25


Esempi

tttxdt

dx

dt

xd3)(32 3

2

2

0322

311)

2(

22

2/1 a

acbb

3,1 21

Integrale generale della omogenea

tttt eetxeetx 321

21 )(,)(

tt ecectx 321)(


26


dctbtattx 23)(

cbtattx 23)(' 2

battx 26)(''


27


ttdctbtat

cbtatbat

3)(3

)23(226323

2

0322

03346

036

013

dcb

cba

ba

a


28


Da cui l’integrale particolare

27

22

9

5

3

2

3

1)( 23 ttttx

)()( 321 txtecectx tt

e quello generale


29


Problema di Cauchy

1)0( x

0)0( x

tttxdt

dx

dt

xd3)(32 3

2

2


30


23t2 5

9t 1

3t3 e t 5

27e3t 22

27x(t)=

52.50-2.5-5

5e+5

3.75e+5

2.5e+5

1.25e+5

0

x

y

x

y


31


21

tt tecectx 21)(

0)(91242

2

txdt

dx

dt

xd

2

3

4

36)6(6 2

2/1

09124 2


32


0)(522

2

txdt

dx

dt

xd

i211 i212

)2sin2(cos)(1 titetx t

)2sin2(cos)(2 titetx t


33


tetxtx

t t 2cos2

)()()( 21

1

tei

txtxt t 2sin

2

)()()( 21

2

tektektx tt 2sin2cos)( 21


34

BIBLIOGRAFIA

M. KLINE : “Storia del pensiero matematico”.

DIRKSJ.STRUIK : “Matematica : un profilo storico”.

COURANT/ROBBINS : “Che cos’è la matematica”.

BENCINI/GERONIMO : “Il pensiero matematico”.

DODERO/BARONCINI : “Itinerari di matematica”.

Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica.

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